На правах рукописи

Бобровский Дмитрий Игоревич

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ БИЛИНЕЙНЫХ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ТЕРМИНАЛЬНЫМ КВАДРАТИЧНЫМ

ФУНКЦИОНАЛОМ

Специальность – 05.13.01 «Системный анализ, управление и обработка

информации»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2010

Работа выполнена в отделе прикладных проблем оптимизации Учреждения Российской Академии Наук Вычислительный Центр имени А.А. Дородницына.

Научный руководитель:

доктор физ.-мат. наук Дикусар Василий Васильевич

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук Гребеников Евгений Александрович кандидат физ.-мат. наук Борисова Светлана Валерьевна

Ведущая организация:

Московский Физико-Технический Институт (Государственный университет)

Защита состоится «16» декабря 2010 г. в 16:00 на заседании диссертационного совета Д002.017.03 при ВЦ РАН по адресу ул. Вавилова, д.40, в конференц-зале

Автореферат разослан «16» ноября 2010 г.

Ученый секретарь Мухин Александр Владимирович диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Данная работа посвящена исследованию частного случая нелинейных динамических систем – билинейных систем оптимального управления.

В последнее время всё более актуальными становятся нелинейные задачи оптимального управления. Нелинейные задачи возникают во многих областях – технике, промышленности, экологии, биологии и прочих. Многие из данных задач не могут быть достаточно точно описаны линейными моделями оптимального управления (если могут быть хоть сколько-то приемлемо описаны вообще).

На текущий момент достаточно сильно проработана теория решения линейных задач оптимального управления в различных постановках.

Однако, при добавлении в задачу каких-либо нелинейных элементов существенно усложняется структура задачи, что не позволяет использовать теорию решения линейных задач, решение каждой конкретной задачи становится нетривиальным.

Таким образом, остаётся весьма актуальным вопрос о методах решения нелинейных задач. Также немаловажным является исследование свойств данных систем как для понимания границ применимости текущих численных алгоритмов поиска решений, так и модернизации существующих/создания новых численных алгоритмов. При этом методы, полученные в рамках данной работы, в дальнейшем возможно расширить на полиномиальные задачи оптимального управления.

Следует отметить, что тема исследования нелинейных систем относительно нова – основные публикации российских и зарубежных авторов приходятся на 70-90е года прошлого века. В это время появляются первые работы, где анализируются нелинейные системы оптимального управления, рассматриваются их свойства в достаточно простых и грубых условиях на параметры задачи. Среди зарубежных учёных в качестве основных следует выделить Г. Суссмана, В.Джаржевича, Р.Броккета.

Среди отечественных учёных, внесших значительный вклад в развитие данной теории, следует отметить Р.В. Гамкрелидзе, создавшего мощнейший аппарат для изучения данных систем – хронологическое исчисление, А.А. Аграчёва и С.А. Вахрамеева, развивающих в своих работах аппарат для исследования данных систем, работы В.В. Дикусара по системам оптимального управления, а также А.Ф. Филиппова по теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.

Цель и задачи исследования.

Основная цель состоит в исследовании и обосновании свойств билинейных систем оптимального управления, получения достаточных условий оптимальности для задач с терминальным функционалом, исследования структуры и свойств множества достижимости задачи, поиск достаточных условий выпуклости функционала задачи и множества достижимости рассматриваемой системы.

Задача оптимального управления для билинейных динамических систем – наиболее «близкая» к линейной из нелинейных задач оптимального управления. Однако, при кажущейся похожести данных систем, билинейные системы уже не обладают столь замечательными свойствами, как линейные. В частности, отсутствует критериальность принципа максимума Понтрягина, множество достижимости данной задачи необязательно будет выпуклым (а, следовательно, терминальный функционал необязательно будет выпуклым на множестве допустимых управлений).

В соответствии с целью исследования поставлены следующие задачи:

1. Поиск необходимых условий оптимальности в задаче ОУ для билинейных динамических систем с терминальным функционалом в формулировке А.А. Аграчёва.

2. Поиск достаточных условий оптимальности в задаче ОУ для билинейных динамических систем с терминальным функционалом в формулировке А.А. Аграчёва.

3. Поиск достаточного условия выпуклости функционала в задаче ОУ для билинейных динамических систем с терминальным функционалом в формулировке А.А. Аграчёва.

4. Исследование структуры множеств достижимости билинейных динамических систем.

5. Поиск достаточных условий выпуклости множеств достижимости билинейных динамических систем.

Объект исследования.

Объектом исследования является задача ОУ для билинейной динамической системы терминальным квадратичным функционалом общего вида.

Предмет исследования.

Предметом исследования является процесс решения задачи минимизации терминального квадратичного функционала на решениях билинейной динамической системы ОУ.

Теоретические и методологические основы исследования.

Теоретическую и методологическую основу диссертации составляют труды российских и зарубежных учёных-математиков по методам решения задач ОУ, методам оптимизации, функциональному анализу и теории многообразий.

Научная новизна исследования.

Получены необходимые условия оптимальности управления в новой задаче ОУ для билинейных динамических систем с терминальным квадратичным функционалом и достаточные условия оптимальности управления в ряде частных случаев, найдены условия выпуклости для квадратичного функционала задачи в частном случае, показан ряд свойств множества достижимости билинейной динамической системы как гладкого подмногообразия орбиты билинейной динамической системы, исследована структура граничных точек множества достижимости и показана их связь с граничными точками множества допустимых управлений, показаны условия выпуклости множества достижимости билинейной динамической системы в ряде частных случаев.

Личный вклад автора в проведённое исследование.

Представленные на защиту результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Практическая значимость.

Получены качественные оценки множеств достижимости, которые носят универсальный характер для выделенного класса систем, что было продемонстрировано на примере модели «хищник-жертва»; было показано, что оптимальное управление в данной задаче находится на границе множества допустимых управлений.

Публикации.

Основные результаты исследований отражены в четырёх публикациях автора, общим объёмом 1.7 п.л. в том числе две статьи в журналах из перечня изданий, рекомендованных ВАК, объёмом 0,9 п.л.

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из четырёх глав и заключения. Основное содержание диссертации изложено на 93 страницах печатного текста.

Список литературы содержит 46 наименований.

Основное содержание работы

.

В первой главе «Введение» изложены обоснование предмета и цели исследования, обзор литературы по данному вопросу, основные результаты, выносимые на защиту, характеристика их научной новизны и практической значимости.

Во второй главе «Билинейные системы оптимального управления с квадратичным терминальным функционалом» производится постановка задачи ОУ:

В условиях задачи Здесь x (t, u ) - решение задачи Коши системы Доказывается теорема существования оптимального управления в задаче, находятся необходимые условия оптимальности:

Теорема.

Если J u достигает в точке u U минимума, то выполняется следующее условие:

Если u int U, то это условие эквивалентно дифференциальных уравнений, A u A u A Далее рассматриваются достаточные условия оптимального управления исходя из вида функционала. Приводится достаточное условие оптимальности управления, приводится условие выпуклости квадратичного терминального функционала билинейной задачи ОУ.

Теорема.

Пусть для u U выполняется необходимое условие оптимальности и справедливо:

Тогда u - оптимальное управление.

В конце главы рассматривается частные случаи билинейных систем – коммутативные и квазикоммутативные билинейные системы ОУ. Для них находятся достаточные условия оптимальности управления и выпуклости для функционала задачи.

Утверждение.

Для выпуклости функционала J u в условиях Ai A j A j Ai достаточно, порождала положительно определённую квадратичную форму.

В начале третьей главы «Исследование структуры множества достижимости билинейной динамической системы» вводятся базовые понятия из теории хронологического исчисления и гладких многообразий.

Далее рассматривается множество достижимости билинейной динамической системы для более широкого множества оптимальных управлений, доказывается утверждение о структуре многообразия на множестве достижимости, рассматриваются достаточные условия постоянства ранга для билинейных динамических систем.

Теорема.

Пусть исходная система есть система постоянного ранга.

Тогда F T, u, x0, u L2 t0, T - подмногообразие в n размерности s, где На основании данной теоремы показывается связь граничных точек множества достижимости билинейной динамической системы и граничных точек множества допустимых управлений.

Теорема.

Пусть для билинейной динамической системы ОУ постоянного ранга x(T, u ) X U. Тогда u - существенно граничное управление.

Выводится ряд утверждений, показывающих взаимосвязь билинейных динамических систем ОУ с порождёнными ими симметричными системами. Доказывается теорема о выпуклости множества достижимости билинейной динамической системы ОУ в частном случае, в частном случае квазикоммутативных систем показывается совпадение множеств достижимости исходной системы и системы, построенной на управлениях, в каждой точке с вершинами n -мерного параллелепипеда.

Утверждение.

Пусть исходная система – квазикоммутативная билинейная динамическая система ОУ и пусть выполняется следующее условие:

Тогда имеет место следующее равенство:

Утверждение.

Множество достижимости в условиях Ai A j A j Ai является выпуклым, С помощью теорем о связи граничных точек множества достижимости и граничных точек множества допустимых управлений можно существенно снизить вычислительную сложность задачи численного поиска оптимального управления, т.к. из рассмотрения в процессе поиска оптимального управления можно исключить внутренние точки множества допустимых управлений. К примеру, для множества допустимых управлений, заданных на выпуклом многограннике, можно получить теоретическую оценку уменьшения количества рассматриваемых управлений при рассмотрении покрытия множества допустимых управлений аппроксимирующим его множеством кусочно-постоянных функций. Условие выпуклости множества достижимости позволяет для выпуклых функционалов использовать численные методы, существенно завязанные на выпуклости функционала.

Также рассматриваются условия достижимости и сильной достижимости для билинейных динасических систем ОУ. Рассматривается адаптация теорем Суссмана-Джарджевича о достижимости и сильной достижимости в частных случаях коммутативных и квазикоммутативных билинейных динамических систем ОУ.

Четвёртая глава называется «Применение теории билинейных систем оптимального управления в исследовании модели «хищник-жертва» с учётом внутривидовой конкуренции». Здесь даётся пример применения описанной в работе теории к конкретной задаче.

Рассмотрим постановку задачи.

Изменение числа хищников и жертв во времени характеризуется следующей нелинейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

с начальными условиями:

Здесь x1 и x2 – количество жертв и хищников соответственно в момент времени t t0, T, 1 0 - скорость прироста числа жертв в отсутствии хищников; 2 0 - естественное вымирание хищников, лишённых пищи;

1, 2 0 - константы, характеризующие потребность в пище жертв и (управление). Управление удовлетворяет ограничениям:

где 0 bi 1, i 1, 2 (максимальная часть отлова жертв и хищников).

Требуется найти оптимальное управление, которое максимизирует прибыль фирмы, выраженную интегралом Здесь i, i 1, 2 - стоимость хищников и жертв, ci, i 1, 2 - стоимость затрат на отлов.

Путём введения дополнительной переменной рассматриваемая система сводится к аффинной системе с терминальным функционалом, где аффинная система – обобщение билинейной динамической системы на случай произвольного стационарного векторного поля сноса. Для полученной системы доказывается, что оптимальное управление лежит на границе множества допустимых управлений.

Утверждение.

Пусть u -оптимальное управление в задаче «хищник-жертва» с учётом межвидовой конкуренции. Тогда u - существенно граничное управление.

Основные выводы и результаты.

Основным результатом работы является проведение исследования билинейный систем ОУ.

В случае квадратичного терминального функционала были получены:

1) Необходимое условие оптимальности в задаче понтрягинского типа в формулировке А.А. Аграчёва.

2) Достаточное условие оптимальности для задачи ОУ понтрягинского типа в формулировке А.А. Аграчёва общего вида и ряда частных случаев.

3) Исследован вопрос выпуклости функционала задачи, и получен результат для частного случая коммутативных билинейных задач ОУ.

4) Исследована структура множеств достижимости, показана важная связь граничных точек множества достижимости и граничных точек множества допустимых управлений.

5) Получены условия выпуклости множества достижимости для частных случаев билинейных динамических систем ОУ в задаче понтрягинского типа в формулировке А.А. Аграчёва.

В целом, вопросы, связанные с нелинейными системами оптимального управления на текущий момент исследованы не в достаточной мере. Это связано со сложностью изучения данных систем классическими методами вариационного исчисления. По мнению автора, можно отметить два наиболее перспективных подхода к исследованию данных систем:

геометрический подход на основе хронологического исчисления и исследование алгебр Ли соответствующих билинейных и аффинных динамических систем ОУ. Необходимы исследования в отношении синтеза оптимального управления для билинейных и аффинных динамических систем, рассмотрение билинейных динамических систем с функционалами общего вида, рассмотрение вопросов выпуклости множества достижимости для аффинных задач в общем виде.

Результаты исследований по теме диссертации опубликованы автором в следующих работах:

1) Бобровский Д.И. Исследование ранговых свойств билинейных систем и структуры множества достижимости. Труды института системного анализа РАН. Под. Ред. Ю.С. Попкова. Т.32(3). М.: Изд.

ЛКИ, 2008, с.8- 2) Бобровский Д.И. Исследование свойств билинейных систем оптимального управления. Труды института системного анализа РАН.

Под. Ред. Ю.С. Попкова. Т.32(3). М.: Изд. ЛКИ, 2008, с.14-19.

управления. Сборник трудов XII Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Ростовна-Дону, изд. Южного федерального университета, 2007, с.48- 4) Бобровский Д.И. Исследование коммутативных билинейных систем с квадратичным функционалом. Тезисы докладов XVII конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам" памяти К.И.Бабенко, Дюрсо. 2008. с. 47-51.