На правах рукописи

Щербак Максим Павлович

Моделирование системы абсолютно жестких тел и односторонних

податливых связей на компьютере с параллельной архитектурой

Специальность 05.13.18 — «Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Петрозаводск 2006

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования

ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Научный руководитель: кандидат технических наук, профессор Гольдштейн Юрий Борисович, Офицальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Сливкер Владимир Исаевич кандидат физико-математических наук, доцент Соколов Андрей Владимирович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет (СПбГАСУ)

Защита состоится 2 ноября 2006 в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 212.190.03 при Петрозаводском государственном университете.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Петрозаводского государственного университета.

Автореферат разослан « » 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Поляков В. В.

1.

Актуальность Среди механических и биомеханических систем, напряженно-деформированное состояние которых подлежит изучению, встречаются системы, содержащие элементы с существенно отличающимися жесткостями. Примеры подобных систем можно найти в различных областях. Например, в мостостроении часто используются фермы, в которых сечение одного из поясов намного массивнее сечений остальных элементов. В технике примерами могут служить различные рычажные устройства с гидро- и пневмоприводами. Ярким представителем обсуждаемых систем является скелетно-мышечная система опорно-двигательного аппарата позвоночных. Жесткость костей скелета на несколько порядков выше жесткости мышц и сухожилий — элементов, которые воспринимают растяжение и практически не сопротивляются сжатию.

Необходимость анализа подобных механических систем возникает довольно часто в различных областях, подчас весьма далеких друг от друга. Например, такой анализ требуется в медицине при лечении травм и протезировании, в авиакосмической промышленности и в автомобилестроении при проектировании систем безопасности, в робототехнике при проектировании разного рода манипуляторов.

Определение усилий и перемещений в обсуждаемых механических системах с помощью современных программных расчетных комплексов затруднено по ряду причин. Одна из них связана с наличием в рассчитываемой системе сопряженных элементов с существенно отличающимися жесткостями. Это обстоятельство негативно влияет на точность расчетов в программах, использующих тот или иной метод решения задачи в перемещениях.

Сказанное относится и к методу конечных элементов, который положен в основу почти всех современных коммерческих программ, предназначенных для расчетов на прочность.

Наличие односторонних связей в обсуждаемых механических системах — это другая причина, затрудняющая, а иногда и делающая невозможным применение промышленных программ. Определяющими соотношениями задачи расчета механической системы с односторонними связями в предположении физической и геометрической линейности являются линейные алгебраические уравнения, коэффициенты которых зависят от искомого решения. Эти зависимости представляют из себя функции, терпящие разрыв, что делает задачу еще и сингулярной. Все современные универсальные расчетные комплексы, использующиеся для расчета механических систем, построены на традиционных алгоритмах, которые предполагают решение систем линейных алгебраических уравнений с детерминированными коэффициентами. Описанная задача плохо укладывается в рамки этих алгоритмов, поэтому почти во всех современных программах поддержка расчетов систем с односторонними связями либо отсутствует, либо реализована слабо. Сказанное относится и к протестированным нами пакетам COSMOS 2.9, ANSYS 9.0, SCAD 7.31.R5.

Этот недостаток довольно существенен, поскольку к задачам указанного рода в настоящее время испытывается повышенный интерес, что было выявлено нами при анализе публикаций, в том числе и самых последних, в области механики и биомеханики.

Для ухода от сингулярности предлагается решать задачу в пространстве состояний с заданной энергетической метрикой, что позволяет свести ее к задаче квадратичного программирования. Вычисления выполнялись при помощи специализированного варианта метода Вулфа, который, хотя и является одним из наиболее эффективных методов, все же требует выполнения большого объема опреаций, многократно перекрывающего все другие вычислительные затраты. Поиск путей снижения затрат времени на выполнение вычислительных операций привел к идее использования параллельных вычислений. В результате был разработан параллельный вариант алгоритма метода Вулфа, предназначенный для кластеров — наиболее доступного класса параллельных компьютеров.

Цель диссертационной работы 1. Создание математической модели систем абсолютно жестких тел, сопрягаемых друг с другом при помощи различных, в том числе и односторонних связей.

2. Разработка алгоритма расчета описанной механической системы, реализующей параллельные вычисления.

3. Разработка программного комплекса, реализующего полученные алгоритмы и позволяющего выполнять расчет рассматриваемых механических систем.

4. Численное исследование мехнической системы жестких тел и податливых односторонних связей, для которой имеются данные натурного эксперимента. Сравнение расчетных и экспериментальных результатов.

5. Анализ эффективности предложенного параллельного алгоритма.

Основные задачи

исследований 1. Определение набора элементов математической модели системы абсолютно жестких тел и связывающих их устройств (двусторонних связей), а также способа описания этих элементов. Формулировка и анализ полной системы уравнений, описывающих равновесное состояние модели, с целью определения усилий и перемещений в элементах последней от статических и кинематических воздействий.

2. Построение второй математической модели, топологически идеинтичной предыдущей, но предусматривающей наличие односторонних связей. Получение разрешающих (определяющих) соотношений, описывающих равновесное состояние модели. Сравнительный анализ существующих численных методов решения определяющих уравнений с целью выбора наиболее приемлемого метода и, в случае необходимости, модификации одного из них.

3. Проверка адекватности разработанных алгоритмов на примере расчета одной из биомеханических систем.

4. Разработка параллельного алгоритма для решения рассматриваемой задачи как задачи математического программирования и демонстрация возможности создания на основе этого алгоритма эффективных компьютерных программ.

Методы исследования 1. Для создания обеих математических моделей применялись методы строительной механики, аппарат линейной алгебры и элементы теории графов. Эти же методы использовались и при выводе полной системы уравнений задачи.

2. При создании вычислительных алгоритмов использовались методы математического, в частности квадратичного, программирования и численные методы линейной алгебры.

3. При построении параллельного алгоритма метода Вулфа использовалась теория информационной структуры программ и алгоритмов1.

4. Для создания программного комплекса использовался пакет свободно распространяемых средств разработки gcc в среде Linux, а также коммуникационные библиотеки MPICH.

1 См.монографии: Воеводин В. В. Параллельные вычисления / В. В. Воеводин, Вл. В. Воеводин. СПб.:

БХВ-Петербург, 2002. 608 с. и Ершов А. П. Современное состояние теории схем программ / А. П. Ершов // Проблемы кибернетики. M., 1973. №27. C. 87–110.

Основные научные положения, выносимые на защиту 1. Механо-математическая модель системы абсолютно жестких тел, изолированных узлов, абсолютно жестких стержней и податливых односторонних связей.

2. Полная система уравнений, описывающих равновесное состояние предложенной модели, и вытекающие из нее разрешающие уравнения.

3. Предложеный метод расчета систем с односторонними связями, названный методом вариации жесткостей связей.

4. Алгоритмы численного решения задачи, в том числе и алгоритм вариации жесткостей связей.

5. Параллельный алгоритм метода Вулфа, предназначенный для решения задач квадратичного программирования.

Достоверность и обоснованность положений, выводов и рекомендаций Достоверность обеспечивается корректным последовательным применением методов механики твердого деформируемого тела и математических методов. Результаты моделирования, полученные с помощью численных экспериментов, согласуются с результатами, установленными другими методами, а также с данными натурных измерений.

Научная новизна исследований 1. Предложена модель системы абсолютно жестких тел, изолированных узлов, абсолютно жестких стержней и податливых связей.

2. Предложена модель топологически идеинтичная предыдущей, но предусматривающая наличие односторонних связей.

3. Разработан параллельный алгоритм метода Вулфа для суперкомпьютеров с распределенной памятью (кластеров).

4. Разработан инженерный метод расчета систем с односторонними связями — метод вариации жесткостей связей.

Практическое значение работы 1. Предложена модель системы жестких тел и податливых связей.

2. Разработаны вычислительные алгоритмы, включая и алгоритм вариации жесткостей связей.

3. Предложен параллельный алгоритм метода Вулфа, который может быть применен для решения любых задач квадратичного программирования, а не только для расчета рассматриваемых механических и биомеханических систем. Алгоритм создан для кластеров, однако, с небольшими изменениями, он может быть применен для других типов параллельных компьютеров, например в многоядерных системах.

4. Создан программный расчетный комплекс, позволяющий выполнять расчет механических систем рассматриваемого типа.

Личный вклад автора 1. Формулирование разрешающих соотношений модели, учитывающей односторонние связи.

2. Анализ предложенных моделей, выбор методов их решения и разработка алгоритмов.

3. Разработка параллельного алгоритма метода Вулфа для параллельных компьютеров с распределенной памятью.

4. Создание программного комплекса, реализующего предложенные методы и алгоритмы.

5. Постановка и решение задачи биомеханики с помошью разработанного программного комплекса.

6. Проведение численных экспериментов над параллельным алгоритмом, с целью определить основные показатели его эффективности.

7. Автором был предложен метод вариации жесткостей связей.

Апробация работы и публикации Результаты настоящей работы были представлены на 20-й Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред.

Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, сентябрь 2003).

Основные положения данной работы были изложены в четырех научных публикациях.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, а также списка цитируемой литературы. Она изложена на 113 станицах и включает в себя 28 рисунков и 8 таблиц. Библиографический список содержит 81 ссылку.

2. Содержание работы Во введении обсуждаются актуальность работы, ее цели и задачи. Приведены краткие исторические справки о развитии и современном состоянии методов строительной механики, а также о применяемой в расчетах аппаратной базе.

Первая глава посвящена математической модели линейной механической системы, состоящей из набора абсолютно жестких тел, изолированных узлов и соединяющих их стержней, которые могут быть жесткими или податливыми. Ставится задача отыскания усилий и перемещений во всех элементах системы при заданном внешнем воздействии.

В этой главе даются основные определения и оговаривается используемая система обозначений. Из рассмотрения равновесного состояния предложенной модели получена полная система уравнений. Как и обычно, она состоит из статических, кинематических и физических соотношений.

Жесткое тело моделируется набором точек в пространстве, расстояние между которыми остается неизменным. Частным случаем жесткого тела является жесткий стержень, он представляет из себя пару точек, находящихся друг от друга на фиксированном расстоянии. Податливая связь моделируется также двумя точками в пространстве, однако расстояние между ними может меняться. Оно зависит от силы, приложенной по концам стержня (к точкам) и направленной вдоль его оси.

Под системой (конструкцией) понимается набор из абсолютно жестких тел и изолированных узлов, которые соединяются между собой различными устройствами. Ими могут быть сферические шарниры, а также жесткие и податливые стержни-связи. Сферический шарнир моделируется заданием общей точки на двух элементах. Она жестко связывает линейные перемещения двух точек разных объектов, не ограничивая при этом их взаимный поворот. При наличии общей точки для трех и более стержней вводится объект, называемый изолированным узлом.

К любой точке системы может быть приложено внешнее воздействие, которое может быть либо силой, либо задаваемым смещением. Второй тип нагружения в строительной механике называют кинематическим воздействием. Податливые стержни могут быть подвергнуты изменению температуры, вызывающему изменение их начальных длин. В таком случае говорят, что к системе приложено температурное воздействие. Комбинируя три перечисленных типа загружения, можно задать любую статическую нагрузку на систему.

Конструкция может содержать абсолютно жесткие тела, изолированные узлы, жесткие стержни, податливые связи, сферические шарниры и опорные точки. Чтобы полностью описать такую систему, необходимо указать координаты всех характерных точек, т. е. задать положение всех шарниров системы, всех изолированных узлов и всех точек крепления стержней.

Для приведенных выше математических объектов, моделирующих механическую систему, составлены уравнения, описывающие взаимные перемещения ее элементов (кинематические соотношения) и условия равновесия этих же элементов (статические уравнения). Кроме этого, для податливых элементов записаны физические уравнения, следующие из закона Гука. Перечисленные уравнения образуют систему размерностью m, которую в механике твердого деформируемого тела называют полной системой уравнений.

Ее неизвестными являются усилия во всех стержнях и шарнирах, а также перемещения жестких тел и изолированых узлов.

Если исходная конструкция неизменяема и не содержит избыточных абсолютно жестких стержней-связей, то матрица полной системы уравнений имеет обратную. Однако непосредственное решение полной системы уравнений сопряжено с рядом неудобств. Во-первых, полная система уравнений обладает большими размерами и содержит в качестве неизвестных все параметры состояния механической системы. Обычно же требуется определить только часть этих параметров, например только усилия. Во-вторых, матрица этой системы уравнений не обладает положительной определенностью.

Для преодоления этих неудобств были получены так называемые канонические уравнения метода сил, неизвестными в которых выступают n параметров, имеющих смысл реакций определенных связей. Достигается это путем преобразования полной системы уравнений относительно оставшихся m n неизвестных.

Матрица a уравнений метода сил является симметричной положительно определенной матрицей с размерами n n. Вектор A свободных членов содержит n элементов. По вектору X однозначно устанавливаются остальные параметры состояния модели.

В конце первой главы приведен иллюстративный пример.

Вторая глава посвящена модели, предусматривающей наличие односторонних связей. Здесь обсуждается специфика, которую привносит в модель, рассмотренную в главе 1, учет односторонней работы всех или части связей системы.

Как уже отмечалось, определяющими (разрешающими) соотношениями модели является система линейных уравнений, коэффициенты которой зависят от ее решения. Зависимости эти представляют собой функции с разрывом, что делает задачу сингулярной. Во второй главе рассмотрены два подхода к ее решению. Первый, традиционный для механики, основан на итерационном процессе решения системы уравнений и подборе коэффициентов. И хотя для этого способа не существует доказательств сходимости, он применяется в инженерной практике чаще других. Второй подход предполагает свести исходную задачу к задаче квадратичного программирования и тем самым уйти от сингулярности. Определяющими в этом случае становятся соотношения Куна-Таккера.

В рамках первого подхода в диссертации предложен новый инженерный метод расчета систем с односторонними связями — метод вариации жесткостей связей. В рамках второго подхода рассмотрены два метода решения задачи оптимизации: метод Монте-Карло и один из точных методов квадратичного программирования — метод Вулфа.

Появление односторонних связей в механической системе требует введения неравенств в ее математическую модель. Эти неравенства отражают специфику работы односторонней связи: она препятствует перемещению в одном направлении и не сопротивляется перемещению в противоположном направлении, усилие (реакция) в ней возможно только одного знака. Обычная нить — яркий пример подобной связи: она не препятствует сближению концов, а усилие в ней может быть только растягивающим. При обозначении Zi и Xi для допустимого перемещения по направлению односторонней связи и ее реакции, ограничения имеют вид:

Эти условия определяют состояние односторонней связи. Всего их может быть два: активное, когда Zi = 0, Xi > 0, и неактивное при Zi 0, Xi = 0. В активном состоянии связь воспринимает усилие, т. е. в ней возникает ненулевая реакция. Напротив, в неактивном состоянии связь усилия не воспринимает, что отражается на коэффициентах в определяющих соотношениях.

На поиске всех неактивных связей основан современный инженерный подход к расчету систем с односторонними связями. Принцип его заключается в итерационном процессе расчета механической системы, в которой все односторонние связи считаются двусторонними. На каждом шаге с помощью зависисмостей (2) определяется список неактивных связей, которые затем временно исключаются из системы. Итерационный процесс считается завершенным, если по результатам очередного расчета изменений в списке активных связей не произойдет. Расчетную схему, которая использовалась в последнем шаге, называют рабочей системой. Все связи в ней заведомо активны и поэтому могут трактоваться как двусторонние, что позволяет применять к рабочей системе обычные методы строительной механики.

Самым известным алгоритмом поиска рабочей системы является алгоритм И. М. Рабиновича1. Однако, несмотря на свою известность, названный алгоритм не всегда приводит к решению, даже если оно существует. Это демонстрируют известные тестовые задачи2.

В настоящей диссертационнной работе предложен альтернативный вариант метода поиска рабочей системы, названный методом вариации жесткостей связей. Основное его отличие от традиционного метода в том, что неактивные связи не удаляются из системы, но жесткость их уменьшается.

Это позволило улучшить сходимость и расширить класс решаемых задач. С помощью предложенного метода были решены тестовые задачи, компрометирующие метод И. М. Рабиновича.

Метод вариации жесткостей связей имеет то достоинство, что он «физически очевиден», кроме того, при его применении топология конструкции сохраняется в процессе вычислений, и он менее громоздок, чем любой метод математического программирования. Главный недостаток метода заключен в том, что он не имеет строгого математического обоснования.

Подобного недостатка лишены методы, основанные на минимизации энергетической функции, нацеленные на использование аппарата математического программирования. С помощью равенства (1) и условий (2), а также принципов метода сил были получены соотношения:

которые являются условиями Куна-Таккера для следующей квадратичной задачи:

Здесь a, A — компоненты системы (1), X — вектор базисных усилий в односторонних связях, состоящий из n элементов, N — вектор небазисных усилий в односторонних связях.

Программа (5) есть задача минимизации квадратичной энергетической функции = 2 X a X + X A при линейных ограничениях. Матрица a в этой 1 См.:Рабинович И. М. Курс строительной механики / И. М. Рабинович. М.: Стройиздат, 1954. ч. II. 544 с.

2 См.Перельмутер А. В. Расчетные модели сооруженний и возможность их анализа / А. В. Перельмутер, В. И. Сливкер. Киев: ВПП «Компас», 2001. 448 c.

функции является симметричной положительно определенной, поэтому выбор методов для отыскания минимума функции широк. Наиболее удобный из них — это метод Вулфа.

При решении задачи (5) с помощью общего алгоритма Вулфа необходимо сначала отыскать одну из точек на опорном плане (найти допустимое базисное решение), что связано с большим объемом вычислений. Однако этих вычислений можно избежать, если учесть специфику решаемой задачи. Как было показано А. В. Перельмутером1, при расчете систем с односторонними связями задачу квадратичного программирования можно поставить так, чтобы выход на опорный план обеспечивался автоматически. Для этого в программе (5) заменяют функцию цели и переходят от задачи минимизации энергетической функции к задаче максимизации параметра загружения, в качестве которого выступает скалярный множитель p [0; 1] перед вектором нагрузки. Полученная таким образом программа имеет вид: