На правах рукописи

Кучакшоев Холикназар Соибназарович

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ

ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ДУШАНБЕ-2012

Работа выполнена в Российско-Таджикском(Славянском) университете

Научный руководитель: доктор физико–математических наук, академик АН РТ, профессор Илолов Мамадшо Илолович

Официальные оппоненты: доктор физико–математических наук, Исхоков Сулаймон Абунасрович кандидат физико–математических наук, Джураев Хайрулло Шарофович

Ведущая организация: Таджикский государственный педагогический университет имени С.Айни

Защита состоится 14 марта 2012 г. в 11 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан (734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/4).

Автореферат разослан 13 февраля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Халилов Ш.Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Работа посвящена теории эволюционных уравнений с нелинейными аккретивными операторами и её приложений к разрешимости начальных и начально - краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Эволюционные уравнения с аккретивными операторами составляют раздел современного нелинейного функционального анализа и естественным образом возникают в процессе изучения разрешимости абстрактной начальной задачи Коши. Основным методом исследования является метод нелинейных полугрупп операторов. Указанный метод позволяет расширить класс рассматриваемых монотонных нелинейных уравнений на случай банаховых пространств.

В качестве приложения абстрактных результатов рассматриваются начальные и начально - краевые задачи для системы уравнений модели хемотаксиса.

Нелинейные абстрактные эволюционные уравнения и их приложений к конкретным задачам для дифференциальных уравнений в частных производных рассматривались в работах М.А.Красносельского, М.И.Вишика, Ф.Е.Браудера, Г.Танабе, П.Е.Соболевского, Х.Брезиса, Ж.Л.Лионса, А.Яги, А.Г.Карсатоса, И.Г.Лаптева, М.Илолова, А.М.Самойленко, М.Крендалла и др. Метод нелинейных полугрупп операторов для эволюционных уравнений в банаховом пространстве впервые рассматривается в работе Т.Като1.

В настоящей работе вводятся новые классы эволюционных уравнений обобщающее уравнений изученные ранее вышеназванными авторами и позволяет найти качественно новых приложений. Для простейшей модели хемотаксиса найдены глобальные решения соответствующей системы уравнений.

В случае нелинейной диффузии установлены условия существования решений с обострением (blow-up). Отдельно изучается явление коллапса решений для модели хемотаксиса. Для задач Дирихле и Неймана системы КеллераСиджела в одномерном случае построены разностные схемы и найдены условия монотонности, устойчивости и единственности решений.

Kato T. Nonlinear semigroups and evolution equations // J.Math.Soc.Japan, 1976, 19, p.508-520.

Цель работы 1. Исследование существования, единственности и непрерывной зависимости от начальных данных решений эволюционных уравнений с нелинейными аккретивными операторами в банаховом пространстве.

2. Исследование автомодельных решений и решения типа бегущей волны простейшей модели хемотаксиса - системы дифференциальных уравнений в частных производных Келлера-Сиджела.

3. Исследование монотонности, устойчивости и единственности решений разностных схем для задач Дирихле и Неймана системы уравнений КеллераСиджела в одномерном случае.

Метод исследования Основными методами являются метод нелинейных полугрупп операторов Т.Като, метод М.И.Вишика разрешимости краевых задач для квазилинейных парболических уравнений высших порядков и систем таких уравнений. При доказательстве устойчивости, монотонности и единственности решений разностных схем применяется принцип максимума для разностных схем.

1. Доказаны теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости от начальных данных решений квазилинейных эволюционных уравнений с аккретивными операторами в банаховом пространстве.

2. Установлены условия возникновения автомодельных решений и решений типа бегущей волны системы уравнений Келлера-Сиджела. Найдены условия при выполнении которых решения системы Келера-Сиджела уходят на бесконечность за конечное время. Доказаны теоремы о хемотаксическом коллапсе.

3. Доказаны теоремы устойчивости, монотонности и единственности решений разностных схем для задач Дирихле и Неймана системы КеллераСиджела в одномерном случае.

Результаты полученные в диссертационой работе носят теоретический характер. Они могут послужить основой для дальнейших теоретических исследований в теории нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, в теории краевых задач для квазилинейных параболических уравнений высших порядков.

';

Практическая ценность работы оперделяется практической значимостью системы уравнений Келлера-Сиджела в решений задач биологии и астрофизики.

Основные результаты диссертации обсуждались на международной научной конференции, посвященной 70-летию академика В.А.Садовничий (Москва, МГУ, 30 марта - 02 апреля 2010г.), на республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений посвященной 75-летию со дня рождения академика АН РТ А.Д.Джураева (Душанбе, 16-17 октября 2007 г.), на международной научной конференции "Современные проблемы математического анализа и их приложений посвященной 60-летию академика АН РТ К.Х.Бойматова (Душанбе, 23-24 июня 2010 г.), на международной научной конференции "Современные проблемы математики и ее приложения посвященной 70-летию чл.корр. АН РТ Э.М.Мухаммадиева (Душанбе, 28-30 июня 2011г.), на научно - исследовательских семинарах отдела прикладной математики и механики ИМ АН Республики Таджикистан (руководитель семинара: доктор физ.-мат. наук, академик АН РТ, профессор Илолов М.) в 2008-2012 гг.; общеинститутском семинаре Института математики АН Республики Таджикистан (руководитель семинара: доктор физ.-мат. наук, член-корреспондент АН РТ, профессор Рахмонов З.Х.) в 2011 г.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7]. В совместных работах [1-3], [5], М.Илолову принадлежат постановка задач и выбор метода доказательства.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 70 наименований, занимает 110 страниц машинописного текста и набрана на LATEX’е. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приводится краткий исторический обзор по исследуемой проблеме и даётся обоснование актуальности темы. Приводится также краткое содержание диссертации с указанием основных результатов.

Первая глава состоит из пяти параграфов и посвящена исследованию разрешимости задачи Коши для нелинейных эволюционных уравнений с аккретивными операторами в банаховом пространстве и её приложений к конкретным начальным и начально-краевым задачам.

В первом параграфе первой главы приводятся определения нелинейного аккретивного оператора в банаховом пространстве, нелинейной полугруппы операторов и отображения двойственности.

Во втором параграфе первой главы приводятся различные утверждения об отображениях двойственности и аккретивности.

В третьем параграфе первой главы сформулированы и доказаны основные теоремы о решениях абстрактной начальной задачи Коши.

Рассмотрим в банаховом пространстве X начальную задачу вида где неизвестная функция x(t) некоторая X- значная функция, а семейство нелинейных операторов {A(t)} задано на множестве D(A(t)) X, принимает значения из множества R(A(t)) X и удовлетворяет следующим предположениям:

A1. Область определения D оператора A(t) не зависит от t;

A2. Существует постоянная L, такая что для всех y D и s, t [0, T ] A3. Для каждого t оператор A(t) m - аккретивный.

Имеют места следующие основные утверждения.

Теорема 1.3.1. Предположим, что X равномерно выпуклое и условия A1, A2, A3 выполнены. Тогда для каждого x0 D существует X-значная функция x(t) на [0, T ], которая удовлетворяет уравнение (1) с начальным условием (2) в следующем смысле:

а) x(t) равномерно непрерывно в смысле Липшица и x(0) = x0 ;

c) слабая производная x(t) существует для всех t [0, T ] и равна A(t)x(t);

d) x(t) является неопределённым интегралом от интегрируемой по Бохнеру функции A(t)x(t), так что сильная производная от x(t) существует почти везде и равна A(t)x(t).

Теорема 1.3.2. Пусть выполнены предположения теоремы 1.3.1. И пусть x(t) и y(t) удовлетворяют условиям a),b),c) с начальными условиями x(0) = x0 и y(0) = y0, где x0, y0 D(A(t)).

Теорема 1.3.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.3.1 и пусть дополнительно, пространство X равномерно выпуклое. Тогда сильная произdx = A(t)x(t) существует и сильно непрерывна за исключением водная счётного числа значений t.

Замечание 1.3.1. В случае когда A(t) A, приведённые выше теоремы представляют собой частичное обобщение теоремы Хилле-Филлипса-Иосида на нелинейный случай. В этом случае l > 0 произвольное число и подставляя x(t) = T (t)x0, находим семейство {T (t), 0 t < } нелинейных операторов {T (t)} действующих из D(A) в D(A).

Очевидно, что {T (t)} образует полугруппу генерируемой посредством оператора A. Эта нерастягивающая полугруппа на D(A) и она удовлетворяет условию Полугруппа T (t) может быть расширена по непрерывности до нерастягивающей полугруппы на замыкание [D(A)].

Однако, необходимо заметить, что нельзя при этом доказать сильную дифференцируемость T (t)x0 при t = 0 для всех x0 D(A).

В четвертом параграфе первой главы приведены примеры нелинейных аккретивных операторов.

В пятом параграфе первой главы исследуется модифицированная система Келлера-Сиджела.

Рассматривается задача нахождения функций (u, v) - решений системы уравнений хемотаксиса с нелинейной диффузией концентрации хеморецепторов вида с граничными условиями типа Неймана где - единичная внешняя нормаль к - граница области Rn, и начальными условиями где u0 (x), v0 (x) L2 ().

В задаче (3)-(6) заданное число p > 2.

Замечание 1.5.1. В случае p = 2 система (3)-(6) является системой Келлера-Сиджела.

Имеет место утверждение.

Теорема 1.5.1. Предположим, что u,, где удовлетворяет условию Тогда существует, и притом единственная функция v, обладающая следующими свойствами и удовлетворяющая уравнению (4).

Вторая глава диссертации посвящена автомодельным решениям простейшей модели хемотаксиса системы Келлера-Сиджела.

В первом параграфе второй главы рассматривается n мерный случай системы Келлера-Сиджела Автомодельные решения системы (7) рассматриваются для случаев глобального решения по времени и решение с обострением. Сначала устанавливается утверждение леммы 2.1.1 об инвариантности системы (7) относительно преобразований Затем устанавливается следующая теорема.

Теорема 2.1.1. Система (7) допускает автомодельные решения вида рывно дифференцируемые неотрицательные функции.

В случае решения с обострением или явления "blow-up" в n мерном случае для системы Келлера-Сиджела (7) доказана следующая теорема.

Теорема 2.1.2. Система (7) допускает автомодельные решения вида В третьем параграфе второй главы рассматривается одномерный случай простейшей системы хемотаксиса Вначале рассматриваем только систему (8), не формулируя для неё конкретную задачу. Начальные и начально-краевые задачи рассматриваются отдельно. Из системы (8), в частности, получим следующее уравнение где g(t)-произвольная функция аргумента t.

Имеет место следующая лемма.

Лемма 2.3.1. Уравнение (9) можно получить из линейного уравнения теплопроводности преобразованием Хопфа-Коула где f (t) = g(t).

Теорема 2.3.1. Если w(x, t) > 0 любое неотрицательное решение уравнения (10), то где f (t) = g(t), является решением уравнения (9).

Основным результатом третьего параграфа второй главы является следующая теорема.

Теорема 2.3.2. Пусть f (t) - дифференцируемая функция, w(x, t) > 0 решение уравнения (10), тогда является решением системы (8).

В третьем параграфе второй главы также выписаны в явном виде частные ограниченные решения типа бегущей волны для системы (8).

Третья глава состоит из трех параграфов, и в ней рассматриваются разностные схемы для задачи Дирихле и Неймана системы уравнений Келлера-Сиджела в одномерном случае. Исследованы устойчивость, монотонность и единственность решения разностных схем, аппроксимирующие соответствующих дифференциальных задач и приведены алгоритмы решения разностных задач.

В первом параграфе третьей главы приведены основные понятия и вспомогательные леммы теории разностных схем.

Во втором параграфе третьей главы рассматривается задача Дирихле для системы Келлера-Сиджела u(0, x) = u0 (x), u(t, 0) = (t), u(t, 1) = (t), x [0, 1], t (0, T ], (13) где начальная функция u0 (x) и функции (t), (t), µ(t), (t), неотрицательны.

Чтобы построить разностную схему для задачи (11)-(14), предположим, что функции u(t, x) и v(t, x) достаточно гладкие.

Введём на [0, 1] [0, T ] равномерную сетку с шагом h по переменной x и с шагом по переменной t, то есть Будем обозначать через приближённое решение задачи (11)-(14).

Для оценки сеточной функций zj = yj un на сетке wh используем следующую норму где Введем следующие обозначения Используя обозначения (16), (17) заменим задачу Дирихле (11)-(14) разностной схемой Имеет место следующая теорема.

Теорема 3.2.1. При достаточно гладких функций u(t, x) и v(t, x), разностная схема (18)-(22) аппроксимирует задачу (11)-(14) с первым порядком по и вторым порядком по h в норме (15).

Основным результатом второго параграфа третьей главы является следующая теорема.

Теорема 3.2.2. Разностная схема (18)-(22), монотонна, устойчива и имеет единственное решение при условии Разностную задачу (18)-(22) можно решить методом прогонки на каждом слое.

Теорема 3.2.3. Метод прогонки устойчив для разностной схемы (18)при условии Третий параграф третьей главы посвящён разностной схеме для задачи Неймана системы Келлера-Сиджела в одномерном случае.

Рассмотрим задачу Неймана для системы Келлера-Сиджела где функции u(x, t), v(x, t) и начальная функция u0 (x) достаточно гладкие.

Чтобы построить разностную схему для задачи (23)-(27) введём на [0, 1] [0, T ] равномерную сетку h с шагом h по переменной x и шагом по переменной t.

Разностные уравнения аппроксимирующие соответствующие дифференциальные уравнения в задаче Неймана во всех внутренних узлах сетки h будут такими же как в случае задачи Дирихле (11)-(14). И как известно из теоремы 3.2.1., эти разностные уравнения аппроксимируют соответствующие дифференциальные уравнения с порядком O( + h2 ). Чтобы сохранить такой же порядок аппроксимации при замене условий Неймана соответствующими разностными выражениями используем метод фиктивных точек.

Введём вне отрезка 0 x 1 фиктивную точку x1 = x0 h и будем считать исходное уравнение справедливым при x1 x. Тогда при x = 0, заменяя в условиях Неймана производные симметричной разностью, из разностных уравнений (18),(21) при j = 0, получим соответствующие разностные уравнения с порядком аппроксимации O( + h2 ).

Чтобы сохранить порядок аппроксимации O( + h2 ) при замене условий Неймана в точке x = 1, соответствующими разностными выражениями введем вне отрезка 0 x 1 фиктивную точку xN +1 = xN + h и будем считать исходное уравнение справедливым при xN +1 x. Тогда при x = 1, заменяя в условиях Неймана производные симметричной разностью, из разностных уравнений (18),(21) при j = N, получим соответствующие разностные уравнения с порядком аппроксимации O( + h2 ).

Разностная схема аппроксимирующая задачу Неймана (23)-(27) с порядком O( + h2 ) имеет следующий вид Теорема 3.2.7. Разностная схема (28)-(33) монотонна, устойчива и имеет единственное решение при условии В третьем параграфе третьей главы рассматривается также и схема с направленной разностью для задачи Дирихле и Неймана системы КеллераСиджела.

В выражение vx (t, x)ux (t, x), функцию vx (t, x) представим в виде суммы где Вследствие этого в точке (tn+1, xj ) заменим дифференциальное выражение vx (t, x)ux (t, x), разностным выражением В этом случае разностная схема аппроксимирующая задачу Дирихле (11)-(14) с первым порядком по и вторым порядком по h имеет следующий вид z 2 zj1 2 zj+1 = (yj1 +yj+1 ), j = 1,..., N 1, n = 0,..., K1, (37) Для задачи Неймана (23)-(27) получим следующую разностную схему с порядком аппроксимации O( + h2 ) z 2 zj1 2 zj+1 = (yj1 +yj+1 ), j = 1,..., N 1, n = 0,..., K1, (43) Условия монотонности, устойчивости и единственности решений разностных схем (34)-(38) и (39)-(45) одни и те же. Поэтому сформулируем только одну теорему.

Теорема 3.2.11.Разностная схема (34)-(38) монотонна, устойчива и имеет единственное решение при условии Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю академику АН РТ М.Илолову за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.

Список работ опубликованных по теме диссертации 1. Илолов M., Кучакшоев Х.С., Гулджонов Д.Н. Параболические уравнения с аккретивными операторами // ДАН Республики Таджикистан, 2008, т.51, №12, с.795-801.

2. Илолов М., Кучакшоев Х.С. Об абстрактных уравнений с неограниченными нелинейностями и их приложений // ДАН РФ, 2009, т.486, №3, 3. Илолов М., Кучакшоев Х.С. Уравнения с аккретивными операторами // Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы межд.науч.конф., посв. 70 - летию академика В.А.Садовничего. Москва, 2009г., с.152.

4. Кучакшоев Х.С. Разностные схемы для задачи Дирихле системы хемотаксиса // ДАН Республики Таджикистан, 2009, т.52, №11, с.838-847.

5. Илолов М., Кучакшоев Х.С. О модифицированных системах уравнений хемотаксиса // ДАН Республики Таджикистан, 2010, т.53, №3, с.165-172.

6. Кучакшоев Х.С. Автомодельные решения системы уравнений КеллераСиджела // ДАН Республики Таджикистан, 2010, т.53, №6, с.424-431.

7. Кучакшоев Х.С. Ограниченные решения типа "бегущей волны" и некоторые частные решения системы Келлера-Сиджела // ДАН Республики Таджикистан, 2011, т.54, №8, с.610-617.