WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

На правах рукописи

Соловьев Михаил Борисович

Разработка и исследование новых численных

методов с расщеплением граничных условий

решения нестационарной задачи Стокса

Специальность 01.01.07 “Вычислительная математика”

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва – 2010

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Пальцев Борис Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Чарахчьян Александр Агасиевич кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Жуков Виктор Тимофеевич

Ведущая организация: механико-математический факультет Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 27 января 2011 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 002.017.01 при Учреждении Российской академии наук Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, расположенном по адресу:

119333, г. Москва, ул. Вавилова, д. 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН.

Автореферат разослан декабря 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор Зубов В.И.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В диссертационной работе осуществляется построение новых численных методов решения первой начально-краевой задачи для нестационарной системы Стокса (нестационарной задачи Стокса) t u x u + (t, x) (0, T ), xp = f, divx u = 0, (g, n) ds = 0 t (0, T ), u|(0,T ) = g, (1) x, u|t=0 = a(x), divx a = 0, p dx = 0 t (0, T ), g|t=0 = a|, где область в Rn, граница, x = (x1,..., xn ), n единичный вектор внешней нормали к, > 0 коэффициент кинематической вязкости, u(t, x), p(t, x) искомое решение (скорость и давление), f (t, x), g(t, x) и a(x) заданные вектор-функции (ВФ). Система уравнений Стокса представляет собой линеаризацию полной системы уравнений Навье-Стокса, получаемую отбрасыванием нелинейного конвективного члена в уравнении движения, и описывает течения вязкой несжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса.

Создание эффективных и надежных численных методов решения начально-краевых задач для системы Навье-Стокса, даже в случае линеаризованной начально-краевой задачи (1), и в настоящее время представляет собой весьма сложную и актуальную проблему, связанную с необходимостью преодоления целого ряда принципиальных трудностей. При непосредственном численном аппроксимировании начально-краевой задачи (1) в переменных “скорость–давление” требуется удовлетворять известным весьма трудно проверяемым условиям устойчивости условиям Ладыженской-БабушкиБрецци1 (ЛББ-условиям). Разностных или конечно-элементных (КЭ) схем, удовлетворяющих ЛББ-условиям, на данный момент известно совсем немного, причем в ЛББ-устойчивых КЭ-аппроксимациях давление, как правило, см. Girault V., Raviart P. Finite element methods for Navier-Stokes equations. Berlin:

Springer, 1986.

необходимо аппроксимировать с более низким, чем для скорости, порядком точности по шагу пространственной сетки2. Кроме того, эффективное разрешение разностных схем, возникающих в результате таких аппроксимаций, представляет собой самостоятельную достаточно непростую проблему.

Ранее в работах Б.В. Пальцева с соавторами были разработаны и исследованы3 эффективные численные итерационные методы с расщеплением граничных условий (ГУ) решения стационарной обобщенной задачи Стокса u + µ2 u + x, p = f, div u = 0, (2) с большим параметром µ2 > 0. Задачи вида (2) возникают, в частности, на временных слоях в результате неявных дискретизаций по времени нестационарной задачи Стокса (1). При этом обычно µ2 1/( ), где шаг дискретизации по времени, и поэтому в реальных ситуациях параметр µ2, как правило, принимает очень большие значения. Эти методы достаточно просты алгоритмически (поскольку на их итерациях происходит расщепление на отдельные краевые задачи для приближений к скорости u и давлению p, по сложности численного решения эквивалентные задачам Дирихле и Неймана для скалярных уравнений Пуассона и Гельмгольца) и обладают высокими скоростями сходимости, не убывающими с возрастанием параметра µ2. Для аппроксимации и компонент скорости и давления используются одинаковые билинейные КЭ, и при этом для численных решений обеспечивается 2-й порядок точности по шагу сетки в норме максимума модуля, причем как для скорости, так и для давления, а удовлетворять каким-либо специальным условиям устойчивости типа ЛББ-условий не требуется. Тем не менее, оказалось, что методы численного решения нестационарной задачи Стокса (1), постросм. Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid nite element methods. New York: Springer, 1991.

см. обзорную статью Пальцев Б.В., Белаш В.О., Меллер Н.А., Чечель И.И., Хлюпина Е.Г. О быстросходящихся итерационных методах с расщеплением граничных условий решения краевых задач для линеаризованных и нелинейной систем Навье-Стокса // Труды 2-й междунар. конф. “Функциональные пространства. Дифференциальные операторы.

Проблемы математического образования”, посв. 80-летию Л.Д. Кудрявцева. – М.: Физматлит. 2003. С. 286–301.

енные на пути дискретизации ее по времени по неявным разностным схемам с последующим разрешением возникающих на каждом временном слое обобщенных задач Стокса вида (2) с помощью указанных выше методов, могут приводить к катастрофическому возрастанию ошибки для давления при неограниченном уменьшении значений отношения /|h|, где |h| характерный шаг пространственной сетки4. Наличие этого дефекта делает такой, на первый взгляд естественный, подход практически непригодным для построения эффективных численных методов решения задачи (1), особенно при использовании сильно неравномерных по пространству сеток. В связи с этим возникла проблема создания таких численных методов решения нестационарной задачи Стокса (1), которые, с одной стороны, обладали бы теми же преимуществами, что и упомянутые выше численные итерационные методы с расщеплением ГУ решения стационарной обобщенной задачи Стокса (2), и, с другой стороны, не страдали бы отмеченным дефектом.

Б.В. Пальцевым недавно был предложен5 на дифференциальном уровне быстросходящийся итерационный метод с расщеплением ГУ уже непосредственно для нестационарной задачи Стокса (1) и обоснован для случая, когда пространственная область слой в Rn, а задача периодическая в направлениях вдоль слоя. На каждой итерации метод приводит к решению последовательных задач: зависящей от времени как от параметра задачи Неймана для уравнения Пуассона для приближений к давлению и специальной векторной параболической начально-краевой задачи для приближений к скорости. Итерация завершается простой формулой пересчета на пространственновременной части границы. Расщепление на итерациях метода на существенно более простые (по сравнению с исходной), устойчиво численно аппроксимируемые краевые задачи обусловило перспективность его как основы для создания новых эффективных и устойчивых численных методов решения нестацисм. Пальцев Б.В., Чечель И.И. Конечно-элементные реализации итерационных методов с расщеплением граничных условий для систем Стокса и типа Стокса в шаровом слое, обеспечивающие 2-й порядок точности вплоть до оси симметрии // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. №5. С. 846-889.

см. Пальцев Б.В. Об одном итерационном методе с расщеплением граничных условий решения 1-й начально-краевой задачи для системы Стокса // Докл. РАН. 2010. Т. 432.

№5. С. 597-603.

онарной задачи Стокса (1).

Цели диссертационной работы состоят в 1 ) разработке новых численных итерационных методов решения нестационарной задачи Стокса (1) на пути построения численных реализаций итерационного процесса с расщеплением ГУ, предложенного и обоснованного на дифференциальном уровне Б.В. Пальцевым; 2 ) численном изучении реальных свойств построенных численных методов; 3 ) разработке приемов повышения их эффективности.

Разработка осуществлена для случаев:

а) задачи (1) в полосе в R2 при условии периодичности задачи по направлению вдоль полосы;

б) осесимметричной задачи (1) в зазоре между соосными цилиндрами при условии периодичности ее вдоль цилиндров.

Случай а) представляет интерес для проведения сравнений качеств создаваемых численных реализаций метода с соответствующими качествами уже изученной его дифференциальной версии. В случае б) обоснования метода на дифференциальном уровне пока не получено. Рассмотрение этого случая представляет интерес с точки зрения исследования возможности перенесения численных реализаций метода на случаи более общих областей и выяснения эффективности этих численных реализаций в указанном случае.

Используемые методы. Основу разработанных численных итерационных методов решения нестационарной задачи Стокса составляет итерационный процесс с расщеплением ГУ, предложенный и обоснованный на дифференциальном уровне Б.В. Пальцевым. Построенные в работе численные реализации этого итерационного процесса базируются на следующих дискретизациях по времени отщепленной параболической начально-краевой задачи для приближений к скорости: 1) по полностью неявной разностной схеме; 2) по разностной схеме Кранка-Николсон; 3) по неявной трехслойной разностной схеме 2-го порядка аппроксимации. Аппроксимация на временных слоях задач Неймана для приближений к давлению, а также краевых задач для приближений к скорости, возникающих при таких дискретизациях, осуществлялась с помощью билинейных КЭ. Для разрешения возникающих КЭ-схем использовался многосеточный метод Р.П. Федоренко (модификация для задач вариационного типа). Модифицированные разностно-КЭ-аппроксимации формулы пересчета на границе, обеспечивающие такие же высокие скорости сходимости, как и у исходного метода на дифференциальном уровне, построены на основе конструкции, предложенной А.С. Лозинским6 для ускорения сходимости упомянутых выше численных итерационных методов с расщеплением ГУ решения стационарной обобщенной задачи Стокса (2).

Теоретическая и практическая ценность результатов. Построенные в диссертационной работе численные итерационные методы решения нестационарной задачи Стокса обладают достаточной алгоритмической простотой, поскольку на их итерациях происходит расщепление на существенно более простые (по сравнению с исходной) краевую и начально-краевую задачи, соответственно, для приближений к давлению и к скорости, и эти приближения возможно аппроксимировать по пространству одинаковыми билинейными КЭ. При этом методы, основанные на упомянутых выше конечноразностных дискретизациях 2-го и 3-го видов, обеспечивают для численных решений 2-й порядок точности по шагу пространственно-временной сетки в норме максимума модуля, причем и для скорости и для давления (методы, основанные на простейшей конечно-разностной дискретизации 1-го вида, обеспечивают 1-й порядок точности по времени при сохранении 2-го порядка точности по пространству), чего обычно не в состоянии обеспечить аппроксимации всей задачи (1) в целом, удовлетворяющие ЛББ-условиям. Кроме того, важно подчеркнуть, что построенные методы не страдают потерей точности для давления при неограниченном уменьшении величины /|h|, как это происходит для методов, основанных на первоначальной дискретизации по времени задачи (1) по неявным разностным схемам с последующим решением возникающих на каждом временном слое стационарных обобщенных задач Стокса вида (2) при помощи разработанных ранее численных итерационных методов с расщеплением ГУ (как это отмечалось выше). Скорости сходимости построенных численных итерационных методов так же высоки, как и у исходного итерационного процесса на дифференциальном уровне (ошибка Лозинский А.С. Об ускорении конечно-элементных реализаций итерационных процессов с расщеплением граничных условий для системы типа Стокса // Ж. вычисл. матем.

и матем. физ. 2000. Т. 40. №9. С. 1339-1363.

уменьшается приблизительно в 7 раз за одну итерацию).

Построенные в работе численные методы решения нестационарной задачи Стокса (1) в случае б) (в зазоре между соосными цилиндрами) имеют также и прикладную ценность, поскольку они могут служить основой (при развитии их на случай нелинейной системы Навье-Стокса) для численного исследования классической гидродинамической задачи о механизме образования вихрей Тейлора.

Построенные в работе численные методы представляются перспективными для перенесения их на случаи более общих областей, а также для разработки на их основе новых методов численного решения нелинейной нестационарной задачи Навье-Стокса.

Научная новизна работы. Построенные в работе численные итерационные методы решения нестационарной задачи Стокса являются новыми и не имеют аналогов.

Достоверность полученных в работе результатов обеспечена • использованием в качестве основы для построенных в работе численных методов итерационного процесса с расщеплением ГУ, получившего обоснование на дифференциальном уровне в случае слоя в Rn при условии периодичности задачи в направлениях вдоль слоя;

• проведенными численными исследованиями.

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Разработаны и численно исследованы новые эффективные численные итерационные методы с расщеплением ГУ решения нестационарной задачи Стокса в случае, когда пространственная область представляет собой полосу в R2, а задача периодическая по направлению вдоль полосы.

2. Разработаны и численно исследованы аналогичные численные итерационные методы с расщеплением ГУ решения осесимметричной нестационарной задачи Стокса в зазоре между соосными цилиндрами при условии периодичности ее по направлению вдоль цилиндров.

3. Численными исследованиями установлено, что методы, основанные на упомянутых выше конечно-разностных дискретизациях 2-го и 3-го видов, обеспечивают для численных решений 2-й порядок точности по шагу пространственно-временной сетки в норме максимума модуля как для скорости, так и для давления. Методы же, основанные на простейшей конечно-разностной дискретизации 1-го вида, обеспечивают 1-й порядок точности по времени и 2-й порядок точности по пространству. Разработанные численные методы являются устойчивыми и не страдают потерей точности для давления при неограниченном уменьшении отношения 4. Найдены эффективные способы модификации аппроксимаций формулы пересчета на границе, обеспечивающие такие же высокие скорости сходимости разработанных численных методов, как и у исходного итерационного метода на дифференциальном уровне, а именно уменьшение ошибки приблизительно в 7 раз за 1 итерацию.

Публикации по теме диссертации. По теме диссертации опубликовано 3 статьи [1–3] в изданиях, входящих в перечень ВАК РФ, и 5 работ в сборниках тезисов докладов [4–8].

Личный вклад автора. Все вынесенные на защиту результаты получены лично автором.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре МГУ по аэромеханике и газовой динамике под руководством акад. Г.Г. Черного, семинаре ИВМ РАН “Вычислительная математика, математическая физика, управление” под руководством Г.М. Кобелькова и А.В. Фурсикова, научном семинаре кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ, а также на следующих научных конференциях: Международной конференции “Современные проблемы математики, механики и их приложений”, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего (г. Москва, 30 марта – 2 апреля 2009 г.); XVI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Алушта, 25–31 мая 2009 г.); Международной конференции “Современные проблемы вычислительной математики и математической физики” (г. Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 16–18 июня 2009 г.); Всероссийской конференции “Математика в приложениях”, приуроченной к 80-летию академика С.К. Годунова (г. Новосибирск, 20–24 июля 2009 г.); Международной научной конференции “Современные проблемы математики, механики, информатики” (г.

Тула, 23–27 ноября 2009 г.); Международной конференции по прикладной математике и информатике, посвященной 100-летию со дня рождения академика А.А. Дородницына (г. Москва, ВЦ РАН, 7–11 декабря 2010 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка цитируемой литературы из 65 наименований.

Диссертация содержит 15 таблиц. Общий объем диссертации составляет страниц.

Во введении обосновывается актуальность работы, формулируются ее цели, практическая значимость полученных результатов и положения, выносимые на защиту.

В первой главе построены для случая задачи в полосе в R2 при условии периодичности задачи по направлению вдоль полосы и численно изучены численные реализации предложенного и обоснованного на дифференциальном уровне Б.В. Пальцевым нового итерационного метода с расщеплением ГУ решения нестационарной задачи Стокса (1).

В разделе 1.1 приведена формулировка алгоритма итерационного метода с расщеплением ГУ решения нестационарной задачи Стокса (1) на дифференциальном уровне для случая полосы в R2 при условии периодичности задачи по направлению вдоль полосы. В рассматриваемом в данной главе случае x = (x1, x2 ), под областью в (1) понимается “ячейпрямоугольник (0, L1 ) (0, L2 ), под {L2 }. При этом решение u = (u1 (t, x1, x2 ), u2 (t, x1, x2 )) и p(t, x1, x2 ) и данные f = (f 1 (t, x1, x2 ), f 2 (t, x1, x2 )), g = (g 1 (t, x1, x2 ), g 2 (t, x1, x2 )) и a = = (a1 (x1, x2 ), a2 (x1, x2 )) предполагаются периодическими по переменной x с периодом L1. Все определенные на и (0, T ) скалярные функции и ВФ, встречающиеся далее в периодических по x1 краевых задачах и формулах пересчета, представляют собой сужения на эти множества соответствующих периодических по x1 функций и ВФ.

Итерационный процесс начинается с задания начального приближения 0 (t, x), (t, x) (0, T ), к неизвестной функции где /n производная по направлению n.

В качестве начального приближения 0 (t, x) может быть взята, например, любая непрерывная функция, периодическая по переменной x1 с периодом L1, удовлетворяющая условию при N = 0.

Если N -е приближение N (t, x), удовлетворяющее условию (4), уже найдено, то (N + 1)-е приближение N +1 (t, x) и вместе с ним N –е приближения uN (t, x) и pN (t, x) к скорости и давлению соответственно находятся следующим образом.

1. Решается зависящая от t как от параметра периодическая по переменной x1 с периодом L1 задача Неймана t (0, T ). Необходимое условие разрешимости этой задачи, имеющее вид (4), выполнено.

2. Решается периодическая по переменной x1 с периодом L1 векторная начально-краевая задача решения которой автоматически оказываются соленоидальными по x ВФ.

3. Новое приближение N +1 вычисляется с помощью формулы пересчета где оператор Лапласа-Бельтрами на, релаксационный параметр, оптимальное значение которого для случая задачи (1) в слое в Rn при условиях периодичности задачи в ортогональных направлениях вдоль слоя равно 1.14285.

В разделе 1.2 построена первая (простейшая) численная реализация итерационного метода (5)–(7) решения задачи (1). В основе этой численной реализации лежит дискретизация по времени отщепленной векторной параболической начально-краевой задачи (6) для приближений к скорости по полностью неявной разностной схеме жения к uN (tm, x), fm = f (tm, x), gm (x) = g(tm, x), tm = m. Функции pm,N (x) в (8) суть приближения к pN (tm, x), вычисляемые в результате решения серии задач Неймана где m,N (x) приближения к N (tm, x).

Введены соответствующие функциональные пространства и построены для рассматриваемого случая периодичности по переменной x1 билинейные КЭ-аппроксимации задачи Неймана для уравнения Пуассона вида (9) и векВсе встречающиеся в дальнейшем изложении краевые задачи являются периодическими по переменной x1 с периодом L1.

торной краевой задачи возникающей на временных слоях в результате неявной дискретизации по времени (8) начально-краевой задачи (6).

Для формулы пересчета (7) вначале используется непосредственная разностно-КЭ-аппроксимация, построенная на основе полностью неявной дискретизации по времени:

Здесь m,N ;h = (um,N ;h gm;h, n)|, m,N ;h, um,N ;h и gm;h КЭ-приближения к N (tm, x), uN (tm, x) и g(tm, x) соответственно, h линейная КЭаппроксимация оператора Лапласа-Бельтрами. Вычисление действия оператора h сводится к решению линейной системы с трехдиагональной циклической матрицей и реализуется экономичным образом с помощью метода циклической прогонки.

В разделе 1.3 представлены результаты численных исследований скоростей сходимости первой численной реализации и точности вычисляемых с ее помощью численных решений задачи (1). Оказывается, что первоначальный (основанный на использовании непосредственной аппроксимации (11) формулы пересчета (7)) вариант первой численной реализации страдает значительным падением (по сравнению с исходным итерационным методом на дифференциальном уровне) скоростей сходимости на высокочастотных дискретных гармониках по переменной x1. В связи с этим автором диссертационной работы предложен прием, позволяющий повысить скорости сходимости разрабатываемых численных реализаций на всех дискретных гармониках до уровня исходного итерационного метода для дифференциальной задачи. Суть предложенного приема состоит в специальном модифицировании непосредственных разностно-КЭ-аппроксимаций формулы пересчета (7), осуществляемым на основе упомянутой выше конструкции, предложенной А.С. Лозинским для ускорения сходимости изучавшихся ранее билинейных КЭ-реализаций итерационных методов с расщеплением ГУ решения обобщенной задачи Стокса (2). Так, построена следующая модификация аппроксимации (11) формулы пересчета (7):

где m,N ;h = m,N ;h (h2 /6)h m,N ;h, m,N ;h = m,N ;h + m,N ;h, h2 шаг сетки по переменной x2, обозначения m,N ;h и h те же, что и в (11). Проведенные численные эксперименты показывают, что использование модифицированной аппроксимации (12) формулы пересчета (7) вместо непосредственной ее аппроксимации (11) позволяет повысить скорости сходимости первой численной реализации на всех дискретных гармониках (по переменной x1 ) до уровня исходного итерационного процесса для дифференциальной задачи, а именно, обеспечивает уменьшение ошибки приблизительно в 7 раз за 1 итерацию.

Численные решения задачи (1), получаемые с помощью первой численной реализации, обладают 2-м порядком точности по шагу h пространственной сетки и 1-м порядком точности по шагу дискретизации по времени в норме максимума модуля, причем как для скорости, так и для давления.

Проведен сравнительный анализ точности численных решений нестационарной задачи Стокса (1), вычисляемых двумя различными методами: (i) с помощью первой численной реализации и (ii) с помощью непосредственной дискретизации по времени задачи (1) по полностью неявной разностной схеме с последующим решением возникающих на каждом временном слое стационарных обобщенных задач Стокса вида (13) при помощи билинейной КЭреализации первого итерационного процесса с неполным расщеплением ГУ8.

см. Пальцев Б.В., Чечель И.И. Алгоритмы численных реализаций на основе билинейных конечных элементов итерационных методов с расщеплением граничных условий для системы типа Стокса в полосе при условии периодичности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. №7. С. 799-815.

Приведены примеры, показывающие, что при использовании подхода (ii) может происходить катастрофическая потеря точности для давления (при сохранении при этом достаточно высокой точности для скорости), когда шаг дискретизации по времени становится значительно меньше характерного шага |h| пространственной сетки (численные эксперименты обнаруживают обратно пропорциональное по отношению к возрастание ошибки для давления). Для первой численной реализации подобной потери точности не происходит.

В разделе 1.4 построена вторая численная реализация итерационного метода (5)–(7), основанная на дискретизации по времени отщепленной параболической начально-краевой задачи (6) для приближений к скорости по разностной схеме Кранка–Николсон Здесь fm0.5 (x) = f (tm0.5, x), gm (x) = g(tm, x), t =, функции pm0.5,N (x) вычисляются в результате решения серии задач Неймана где m0.5,N (x) приближения к N (tm0.5, x). Краевые задачи, возникающие на временных слоях после дискретизации по времени, аппроксимируются с помощью билинейных КЭ-схем, построенных в разделе 1.2. Модифицированная аппроксимация формулы пересчета (7), обеспечивающая для второй численной реализации такие же высокие скорости сходимости, как и у исходного итерационного метода на дифференциальном уровне, построена на основе дискретизации по времени, согласованной с дискретизацией (14), используемой для начально-краевой задачи (6), и имеет вид m0.5,N +1;h = m0.5,N ;h + (m,N ;h m1,N ;h )/ Здесь используются те же обозначения, что и в (12).

В разделе 1.5 построена третья численная реализация итерационного метода (5)–(7), основанная на дискретизации по времени отщепленной параболической начально-краевой задачи (6) по неявной трехслойной разностной схеме где fm (x) = f (tm, x), gm (x) = g(tm, x), функции pm,N (x) суть решения задач Неймана (9), отвечающих моментам времени tm, m = 2,..., N, векторфункция u1,N находится с помощью разностной схемы (14). В отличие от разностной схемы Кранка–Николсон (14) разностная схема (17) обеспечивает достаточно быстрое затухание по времени высокочастотных пространственных возмущений в получаемом разностном решении задачи (6). В основе модифицированной аппроксимации формулы пересчета (7), используемой в третьей численной реализации, лежит трехслойная конечно-разностная дискретизация по времени того же вида, что и в (17):

m,N +1;h = m,N ;h + Здесь используются те же обозначения, что в (16) и (12).

В разделе 1.6 представлены результаты численных исследований второй и третьей численных реализаций. В отношении показателей скоростей сходимости этих численных реализаций обнаружены те же явления, что и для первой численной реализации. А именно, выявлено значительное падение скоростей сходимости исследуемых численных реализаций на высокочастотных дискретных гармониках по переменной x1, возникающее при использовании непосредственного аппроксимирования формулы пересчета (7). При использовании же модифицированных аппроксимаций (16) и (18) формулы пересчета (7) (для второй и третьей численных реализаций соответственно) скорости сходимости этих численных реализаций оказываются такими же высокими, как и у исходного итерационного метода на дифференциальном уровне.

Проведенные численные эксперименты обнаруживают 2-й порядок точности по шагу пространственно-временной сетки в норме максимума модуля численных решений задачи (1), вычисляемых с помощью второй и третьей численных реализаций, причем как для скорости, так и для давления.

Во второй главе построены и численно изучены численные реализации итерационного метода (5)–(7), перенесенного на случай осесимметричной нестационарной задачи Стокса (1) в зазоре между соосными цилиндрами при условии периодичности ее вдоль цилиндров (в данном случае обоснования метода на дифференциальном уровне пока не получено).

В разделе 2.1 уточнена постановка задачи (1) для рассматриваемого в данной главе случая. А именно, под областью в (1) в данном случае понимается ячейка периодичности а под существенная граница :

При этом заданные ВФ а также искомая ВФ u = (u1 (t, x), u2 (t, x), u3 (t, x)) и искомая скалярная функция p(t, x) предполагаются осесимметричными и периодическими по переменной x3 с периодом L. Определенные на и (0, T ) скалярные функции и ВФ понимаются в том же смысле, что и в первой главе.

В разделе 2.2 приведена формулировка алгоритма итерационного метода (5)–(7) на дифференциальном уровне для рассматриваемого в данной главе случая. В этом случае отщепленные задачи (5) и (6) являются осесимметричными и периодическими по переменной x3 с периодом L, как и итерационные приближения N (t, x).

В разделе 2.3 описаны используемые пространственно-временные дискретизации отщепленных задач (5) и (6), полагаемые в основу разрабатываемых численных реализаций итерационного метода с расщеплением ГУ. Для отщепленной параболической начально-краевой задачи (6) для приближений к скорости используются те же дискретизации по времени, что использовались в первой главе, а именно полностью неявная дискретизация (8), дискретизация по разностной схеме Кранка-Николсон (14) и неявная трехслойная дискретизация (17), соответственно, для первой, второй и третьей численных реализаций.

Введены соответствующие пространства осесимметричных скалярных функций и ВФ и даны для рассматриваемого в данной главе случая вариационные формулировки краевых задач (5) и (10), возникающих после дискретизации по времени на временных слоях. На основе приведенных вариационных формулировок построены билинейные КЭ-аппроксимации этих задач на равномерных прямоугольных сетках в цилиндрических координатах (, z).

В разделе 2.4 сформулированы алгоритмы первой, второй и третьей численных реализаций итерационного метода (5)–(7) в рассматриваемом случае. Приведены модифицированные разностно-КЭ-аппроксимации формулы пересчета (7), построенные на основе той же конструкции, что использовалась для этого в первой главе.

В разделе 2.5 приведены результаты численных исследований построенных в данной главе численных реализаций. Установлено, что эти численные реализации обладают фактически теми же качествами, что и построенные в первой главе аналогичные численные реализации для случая задачи (1) в полосе при условии периодичности задачи вдоль полосы. Так же, как и в случае, рассмотренном в первой главе, скорости сходимости построенных численных реализаций (при использовании модифицированных аппроксимаций формулы пересчета (7)) хорошо согласуются с аналогичными показателями для исходного итерационного метода на дифференциальном уровне: ошибка уменьшается приблизительно в 7 раз за одну итерацию. При этом построенные численные реализации обеспечивают для численных решений такие же порядки точности, что и аналогичные численные реализации, построенные в первой главе.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

В диссертационной работе разработаны и численно изучены новые эффективные численные итерационные методы с расщеплением ГУ решения нестационарной задачи Стокса в случаях: а) задачи в полосе в R2 при условии периодичности задачи по направлению вдоль полосы; б) осесимметричной задачи в зазоре между соосными цилиндрами при условии периодичности ее вдоль цилиндров. Разработанные численные методы созданы на пути построения численных реализаций итерационного метода с расщеплением ГУ, предложенного и обоснованного на дифференциальном уровне Б.В. Пальцевым, и обладают следующими важными достоинствами.

1. В силу того, что на итерациях методов происходит расщепление на существенно более простые (по сравнению с исходной) краевые задачи для приближений к скорости и давлению, и эти приближения возможно аппроксимировать по пространству одинаковыми билинейными КЭ, методы обладают достаточной алгоритмической простотой.

2. Проведенными численными исследованиями установлено, что численные методы, основанные на конечно-разностной дискретизации по схеме Кранка-Николсон и неявной трехслойной конечно-разностной дискретизации, обеспечивают для численных решений 2-й порядок точности по шагу пространственно-временной сетки в норме максимума модуля, причем и для скорости и для давления, чего обычно не в состоянии обеспечить аппроксимации всей задачи (1) в целом, удовлетворяющие ЛББусловиям. Методы же, основанные на простейшей полностью неявной конечно-разностной дискретизации по времени, обеспечивают для численных решений 1-й порядок точности по времени при сохранении 2-го порядка точности по пространству.

3. Методы не страдают потерей точности для давления при неограниченном уменьшении величины шага дискретизации по времени по сравнению с характерным шагом пространственной сетки, как это происходит для методов, основанных на первоначальной дискретизации по времени задачи (1) по неявным разностным схемам с последующим решением возникающих на каждом временном слое стационарных обобщенных задач Стокса вида (2) при помощи разработанных ранее численных итерационных методов с расщеплением ГУ.

4. Методы обладают такими же высокими скоростями сходимости, как и у исходного итерационного процесса на дифференциальном уровне, а именно, обеспечивают уменьшение ошибки приблизительно в 7 раз за одну итерацию.

5. Благодаря использованию многосеточного метода для разрешения КЭзадач, возникающих на временных слоях, построенные численные итерационные методы оказываются реально высокоэффективными.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Б.В. Пальцеву за постановку задачи и многие ценные советы.

Публикации по теме диссертации 1. Соловьев М.Б. О численных реализациях нового итерационного метода с расщеплением граничных условий решения нестационарной задачи Стокса // Докл. РАН. 2010. Т. 432. № 6.

С. 741–745.

2. Соловьев М.Б. О численных реализациях нового итерационного метода с расщеплением граничных условий решения нестационарной задачи Стокса в полосе при условии периодичности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т. 50. № 10.

С. 1771–1792.

3. Соловьев М.Б. Численные реализации итерационного метода с расщеплением граничных условий решения нестационарной задачи Стокса в зазоре между коаксиальными цилиндрами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т. 50. № 11. С. 1998– 2016.

4. Пальцев Б.В., Соловьев М.Б. О численных реализациях нового итерационного метода с расщеплением граничных условий решения первой начально-краевой задачи для нестационарной системы Стокса // Материалы междунар. конф. “Современные проблемы математики, механики и их приложений”, посв. 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего. М.: Изд-во “Университетская книга”. 2009. С. 332.

5. Соловьев М.Б. Новый итерационный метод с расщеплением граничных условий решения первой начально-краевой задачи для нестационарной системы Стокса и его параллельная реализация // Материалы XVI Междунар. конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС’2009), 25-31 мая 2009 г., Алушта.

М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2009. С. 663–666.

6. Соловьев М.Б. О численной реализации с распараллеливанием нового итерационного метода с расщеплением граничных условий решения первой начально-краевой задачи для системы Стокса // Современные проблемы вычислительной математики и математической физики: Междунар. конф., Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 16-18 июня 2009 г.: Тезисы докладов. М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2009. С. 94–95.

7. Пальцев Б.В., Соловьев М.Б. Об одном итерационном методе с расщеплением граничных условий решения первой начально-краевой задачи для нестационарной системы Стокса и его численных реализациях // Математика в приложениях. Всероссийская конференция, приуроченная к 80-летию академика С.К. Годунова (Новосибирск, 20-24 июля г.): тезисы докладов. Ин-т математики СО РАН. Новосибирск, 2009.

С. 201–202.

8. Соловьев М.Б. Построение, оптимизация и распараллеливание численных реализаций нового итерационного метода с расщеплением граничных условий решения первой начально-краевой задачи для системы Стокса // Материалы междунар. научн. конф. “Современные проблемы математики, механики, информатики”. Тула: Изд-во ТулГУ. 2009.

С. 277–279.



Похожие работы:

«МИХАЙЛОВ Андрей Юрьевич СОЦИАЛЬНАЯ ДОКТРИНА ПРАВОСЛАВНОЙ ЦЕРКВИ В ТРУДАХ И.С. БЕРДНИКОВА Специальность: 07.00.09. – Историография, источниковедение и методы исторического исследования АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата исторических наук КАЗАНЬ – 2006 2 Работа выполнена на кафедре отечественной истории до XX века исторического факультета государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Казанский государственный...»

«Лопаткин Антон Александрович Изучение особенностей молекулярной эволюции птичьих шистосом (Trematoda: Schistosomatidae) Специальность 03.01.07 – молекулярная генетика 03.02.07 – генетика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата биологических наук Москва 2011 Работа выполнена в лаборатории организации генома Учреждения Российской академии наук Института биологии гена РАН. Научные руководители: доктор биологических наук, профессор, член-корреспондент РАН...»

«Мурашов Александр Михайлович Непрерывное образование как фактор устойчивого развития промышленного производства Специальность 08.00.05 Экономика и управление народным хозяйством Специализация Экономика, организация и управление предприятиями, отраслями, комплексами - промышленность АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Москва – 2011 1 Работа выполнена на кафедре Институциональная экономика Государственного университета управления...»

«Костина Татьяна Владимировна Мир университетского профессора Казани. 1804-1863. Специальность 07.00.02 – Отечественная история АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата исторических наук Казань, 2007 2 Работа выполнена на кафедре Отечественной истории до XX века Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина Научный руководитель : доктор исторических наук Вишленкова Елена Анатольевна Официальные...»

«КРУЧИНИН Никита Юрьевич ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ И КОНФОРМАЦИОННОЙ ДИНАМИКИ МАКРОМОЛЕКУЛ НА ПОВЕРХНОСТЯХ ТВЕРДЫХ АДСОРБЕНТОВ И В НАНОКЛАСТЕРАХ Специальность 01.04.07 - Физика конденсированного состояния Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Оренбург–2012 2 Работа выполнена на кафедре радиофизики и электроники федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Оренбургский...»

«ЗОЛОТАРЁВА Лилия Васильевна Туберкулёз в пенитенциарных учреждениях: эпидемиология и профилактика 14.00.30 - эпидемиология Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора медицинских наук Москва – 2008 2 Работа выполнена в Федеральном государственном учреждении науки научно-исследовательский институт эпидемиологии Центральный Федеральной службы по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека Научный консультант : доктор медицинских наук,...»

«Джиоева Галина Хазбиевна ЭтнопеДаГоГический потенциал осетинской семьи Специальность: 13.00.01 – общая педагогика, история педагогики и образования АвтореферАт диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук владикавказ - 2011 работа выполнена в фГБоУ вПо Северо-осетинский государственный университет им. К.Л. Хетагурова научный руководитель: доктор педагогических наук, профессор цаллагова Зарифа Борисовна официальные оппоненты : доктор педагогических...»

«СИРОТКИНА Ирина Владимировна РЕПРЕЗЕНТАЦИЯ ФРАЗЕОСЕМАНТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПЕЧАЛЬ В РУССКОМ И АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКАХ: СТРУКТУРНЫЙ И СЕМАНТИЧЕСКИЙ АСПЕКТЫ Специальность 10.02.20 – Сравнительно-историческое, типологическое и сопоставительное языкознание АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата филологических наук Челябинск – 2012 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Тобольская...»

«КЛЮЧНИКОВ АЛЕКСЕЙ СЕРГЕЕВИЧ ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА КОНСТРУКТИВНОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СОЗДАНИЯ МОЩНЫХ ДМОП-ТРАНЗИСТОРОВ С ОПТИМАЛЬНОЙ ПЛОЩАДЬЮ ПРИ ПОМОЩИ СРЕДСТВ ПРИБОРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ. Специальность 05.27.01 – твердотельная электроника, радиоэлектронные компоненты, микро- и наноэлектроника, приборы на квантовых эффектах АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва - 2007 Работа выполнена на кафедре Интегральной...»

«ВАН Чжэ Особенности восприятия русского художественного текста носителями русского и китайского языков (на материале рассказа А.П. Чехова Шуточка) Специальность 10.02.01 – русский язык Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата филологических наук Москва 2012 Работа выполнена на кафедре русского языка филологического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова Научный руководитель : доктор филологических наук, профессор...»

«ЗИННАТУЛЛИНА Лилия Махарямовна АДВЕРБИАЛЬНЫЕ ФРАЗЕОЛОГИЧЕСКИЕ ЕДИНИЦЫ В АНГЛИЙСКОМ И РУССКОМ ЯЗЫКАХ Специальность 10.02.20 - сравнительно-историческое, типологическое и сопоставительное языкознание АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата филологических наук Казань – 2013 2 Работа выполнена на кафедре английской филологии федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования Казанский (Приволжский)...»

«Томин Павел Юрьевич МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ФИЛЬТРАЦИИ В ТРЕЩИНОВАТЫХ СРЕДАХ 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва 2011 2 Работа выполнена на кафедре плазменной энергетики факультета проблем физики и энергетики Московского физико-технического института. Научный руководитель : кандидат физико-математических наук, доцент...»

«Ибрагимова Альфия Наилевна РАЗРАБОТКА ОПТИМАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ТРАНСАКЦИОННЫХ ИЗДЕРЖЕК НА РЫНКЕ АНТАЦИДНЫХ И ПРОТИВОЯЗВЕННЫХ ЛЕКАРСТВЕННЫХ ПРЕПАРАТОВ Специальность 14.04.03 – организация фармацевтического дела АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фармацевтических наук Москва – 2011 2 Работа выполнена на кафедре управления и экономики фармации Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования...»

«Кузнецова Елена Геннадьевна Ф.М. ДОСТОЕВСКИЙ И КАЗАНЬ (писатель и культура русской провинции второй половины XIX – начала XX вв.) 10.01.01 – русская литература Автореферат диссертации на соискание ученой...»

«КАРАСЕВА Надежда Петровна ВНЕШНЯЯ МОРФОЛОГИЯ И АНАТОМИЯ ГИДРОТЕРМАЛЬНОЙ ВЕСТИМЕНТИФЕРЫ OASISIA ALVINAE JONES 1985 (ANNELIDA: VESTIMENTIFERA) И НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ СИСТЕМЫ ВЕСТИМЕНТИФЕР Специальность 03.02.04 – зоология АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата биологических наук Москва 2012 Работа выполнена на кафедре зоологии беспозвоночных Биологического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова Научный руководитель :...»

«НА ПРАВАХ РУКОПИСИ ВДОВИЧЕНКО АНДРЕЙ ВИКТОРОВИЧ Грекоязычные библейские тексты в предметной и дискурсивной моделях описания Специальность 10.02.19 — Теория языка и специальность 10.02.14 — Классическая филология, византийская и новогреческая филология АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора филологических наук МОСКВА 2014 Работа выполнена в секторе теоретического языкознания Федерального бюджетного государственного учреждения науки Институт языкознания Российской академии...»

«Замахаев Сергей Александрович Методологические, организационно-правовые аспекты реорганизации государственных и муниципальных учреждений здравоохранения бюджетной сферы (социально-гигиеническое исследование) 14.00.33. – Общественное здоровье и здравоохранение АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата медицинских наук Москва – 2006 г. Работа выполнена на базе Федерального Государственного Учреждения Центральный научно-исследовательский институт организации...»

«Безбабный Дмитрий Александрович Исследование формирования, структуры и свойств пленок полупроводниковых силицидов кальция на Si (111) Специальность – 01.04.10 Физика полупроводников АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Владивосток 2014 Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования Дальневосточный федеральный университет и Федеральном государственном...»

«ТИТАРЕНКО Сергей Владимирович ДИНАМИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЛЕЧЕНИЯ БОЛЬНЫХ С МНОЖЕСТВЕННЫМИ ПЕРЕЛОМАМИ ОПОРНО-ДВИГАТЕЛЬНОГО АППАРАТА 14.01.15 – травматология и ортопедия Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата медицинских наук Москва – 2012 г. Работа выполнена на кафедре травматологии и ортопедии медицинского факультета Федерального Государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ...»

«Воробьёв Вениамин Вениаминович СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ КОНСТРУКЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ ИНЕРЦИОННО-ФРИКЦИОННОГО АМОРТИЗАТОРА ПОДВЕСКИ АТС Специальность 05.05.03 – Колесные и гусеничные машины АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Волгоград - 2006 Работа выполнена в Волгоградском государственном техническом университете Научный руководитель доктор технических наук, профессор Рябов Игорь Михайлович. Официальные оппоненты : доктор технических наук,...»




























 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.