На правах рукописи

Колесников Алексей Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В

НЕОДНОРОДНЫХ И ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ МЕТОДОМ

ОДНОРОДНО-АНИЗОТРОПНОГО ЭКВИВАЛЕНТИРОВАНИЯ

Специальность: 05.13.18 – Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Ставрополь – 2014

Работа выполнена в открытом акционерном обществе «Северо-Кавказский научноисследовательский проектный институт природных газов»

доктор физико-математических наук, профессор

Научный руководитель:

Толпаев Владимир Александрович Официальные Пивень Владимир Федотович доктор физико-математических наук, профессор оппоненты:

ФГБОУ ВПО «Орловский государственный университет», профессор кафедры физики Усов Анатолий Борисович доктор технических наук, доцент ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет», профессор кафедры прикладной математики и программирования ГОУ ВПО «Кубанский государственный

Ведущая организация:

университет», г. Краснодар

Защита состоится «28» марта 2014 года в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.245.09 при ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет» по адресу: г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1, корп. 1, ауд. 416.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет» по адресу: г. Ставрополь, пр.

Кулакова, 2. С авторефератом диссертации можно ознакомиться на сайтах СКФУ и ВАК Министерства образования и науки РФ www.ncfu.ru www.vak.ed.gor.ru/ru/dissertation/.

Автореферат разослан «_» февраля 2014 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.245.09, кандидат физ.-мат. наук, доцент О.С. Мезенцева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Большое количество практических задач связаны с движением жидкости и газа в пористых средах. К таким задачам относятся: добыча нефти и газа; водоснабжение; проектирование разработки нефтегазовых месторождений; проектирование гидротехнических сооружений и т.д. Решение таких задач требует разработки теории фильтрационных процессов в моделях пористых сред, наиболее адекватных к естественным условиям.

Защищаемая работа посвящена математическому моделированию фильтрационных свойств неоднородных и периодических пористых изотропных сред свойствами однородно-анизотропных эквивалентов (моделей) этих пористых сред.

Актуальность исследований определяется тем, что сложность послойного расчета фильтрации в слоистых средах, требующая совместного интегрирования системы из большого числа уравнений в частных производных, существенно снижается и сводится к краевой задаче для одного уравнения с постоянными коэффициентами.

Целью работы является разработка: 1) методов решения краевых задач фильтрации в неоднородных и периодических пористых средах путем сведения их к краевым задачам фильтрации в однородных и однородно-анизотропных средах и, 2) методов решения краевых задач теории фильтрации для уравнений эллиптического типа с переменными коэффициентами и систем уравнений эллиптического типа путем перехода к краевым задачам для классических уравнений математической физики – уравнений Лапласа и Гельмгольца.

Объекты исследования – процессы фильтрации жидкости в пористых изотропных неоднородных, изотропных периодических и в анизотропных средах.

Предмет исследования – математические методы построения однородноанизотропных эквивалентов (моделей) изотропных неоднородных и периодических пористых сред.

Методы исследования. При выполнении работы использовались теория фильтрации жидкости (газа) в пористых средах; теория аналитических и обобщенных аналитических функций комплексного переменного; уравнения математической физики; линейная алгебра; вычислительная математика и специализированные программные среды Maple 6 и Matlab.

Научная новизна результатов диссертации заключается в следующем:

Получены новые математические методы применения аппарата теории гармонических функций к исследованию плоскопараллельной стационарной фильтрации жидкости (газа) в широкой серии изотропных неоднородных сред с проницаемостью K k0 k x, y, принадлежащей классу частных решений уравнения неоднородных сред с проницаемостью K k0 p1 x p2 y, позволяющие сводить исследование плоскопараллельной стационарной фильтрации жидкости (газа) к краевым задачам для классических уравнений Лапласа или Гельмгольца;

плоскопараллельной фильтрации для сред с проницаемостью вида K k0 p1 x p2 y ;

Приближенные аналитические методы моделирования фильтрации жесткими и естественными трубками применены к построению однородноанизотропных моделей конкретных изотропно-неоднородных и слоистых сред;

Разработана программа для ЭВМ (номер государственной регистрации № 2012613059 от 29.03.12) для расчета по методу естественных трубок тока главных проницаемостей анизотропной модели изотропной пористой среды, получающейся в результате периодического повторения в пространстве элементарной ячейки шахматного типа;

Разработана программа для ЭВМ (номер государственной регистрации № 2012613060 от 29.03.12) для построения гидродинамических сеток искажения поступательного фильтрационного потока круглым радиально-неоднородным включением и однородно-анизотропной моделью включения;

Определены границы применимости метода однородно-анизотропного эквивалентирования.

Область исследований. Содержание диссертации соответствует паспорту специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (технические науки).

Разработка новых математических методов, направленных на применение классических уравнений математической физики Лапласа и Гельмгольца к исследованию плоскопараллельной стационарной фильтрации жидкости (газа) в широкой серии изотропных неоднородных сред соответствует п.1 паспорта специальности «разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений».

Разработка метода жестких и метода естественных трубок тока для математического моделирования изотропных неоднородных сред однородноанизотропными эквивалентами соответствует п.2 паспорта специальности «развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей».

вычислительные эксперименты по определению точности оценки фильтрационных потоков, скоростей и градиентов давлений по методу однородно-анизотропного эквивалентирования соответствует п.5 паспорта специальности «комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента».

математического моделирования плоскопараллельной фильтрации жидкости (газа) в изотропных неоднородных средах, позволяющие применять решения классических уравнений математической физики Лапласа и Гельмгольца, могут служить основой для развития более точных способов обработки данных газогидродинамических исследований скважин. Кроме того, для расчета более адекватной к геологофильтрационным характеристикам месторождения сетки и плотности размещения скважин.

математического моделирования изотропных неоднородных и, в частности, периодических сред их однородно-анизотропными эквивалентами могут служить основой для развития приближенных экспресс - методов прогнозных промысловых оценок различных вариантов размещения скважин по площади месторождения и вариантов дополнительного бурения скважин с целью повышения коэффициента извлечения углеводородов.

Результаты диссертации использовались в ОАО «СевКавНИПИгаз» при разработке методик расчета прогнозных дебитов скважин и при разработке Р Газпром 071-2009 «Планирование и оценка эффективности геолого-технических мероприятий.

Методика выбора скважин для проведения геолого-технических мероприятий и выбора приоритетных видов геолого-технических мероприятий на конкретных скважинах». (Акт о внедрении от 11 мая 2012 г.) На защиту выносятся:

Математические методы применения гармонических функций к исследованию плоскопараллельной стационарной фильтрации жидкости (газа) в изотропных неоднородных средах с проницаемостями K k0 k x, y, принадлежащими классу частных решений уравнения Новый класс формул перехода, сводящих расчеты плоскопараллельной фильтрации в изотропных неоднородных средах к расчетам в изотропных однородных средах.

Формулы перехода для 26 новых случаев изотропных сред с проницаемостью K k0 p1 x p2 y, позволяющие исследовать плоскопараллельную стационарную фильтрацию жидкости (газа) с помощью решений классических уравнений Лапласа или Гельмгольца.

Адаптированный для решения краевых задач плоскопараллельной фильтрации для сред с проницаемостью вида K k0 p1 x p2 y метод Г. И. Назарова;

кусочно-однородных и слоистых сред.

фильтрационных расчетов в изотропных неоднородных средах методом однородноанизотропного эквивалентирования с использованием разработанных программ для ЭВМ.

Апробация работы.

конференциях: Седьмой Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математики (Воронеж, 2006г.); Воронежская зимняя математическая школа “Современные методы теории функций и смежные проблемы” (Воронеж, 2007г.); VIII и IX Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи– Адлер, 2007г., Кисловодск, 2008г.); III международная научно-техническая конференция "Инфокоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании (Инфоком-3)" (г. Кисловодск, 2008г.).

Диссертация в полном объеме докладывалась: на семинаре под руководством д.ф.-м.н., профессора Семенчина Е. А по математическому моделированию в Кубанском государственном университете (Г. Краснодар, 25.01.2012); на семинаре под руководством д.т.н., профессора Слюсарева Г. И. по математическому моделированию в Северо-Кавказском федеральном университете (г. Ставрополь, 01.11.2013), на заседании секции Ученого совета «Геология, разработка и проектирование обустройства месторождений углеводородов, подземное хранение газа и экология» в ОАО «СевКавНИПИгаз» (г. Ставрополь, 17.12.2013) Публикации. Полученные автором результаты достаточно полно изложены в научных работах, среди которых: 3 статьи, опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК РФ («Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион.

Естественные науки», «Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной Н.Г. Чернышевского»); 4 публикации в журналах «Обозрение прикладной и докторантов», «Материалы Воронежской зимней математической школы, «Современные проблемы теории функций и смежные проблемы», «Проблемы добычи газ, газового конденсата, нефти» и 2 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Структура и объем работы. Общий объём диссертации 203 стр., из них стр. основной части. Основная часть состоит из введения, четырех глав, содержащих 18 пунктов, заключения и списка литературы из 90 названий, из которых 12 на иностранных языках. Диссертация содержит 11 таблиц, 34 графиков и рисунков и одиннадцать приложения общим объёмом 47 стр.

Достоверность и обоснованность научных положений и результатов подтверждается корректным применением апробированных уравнений теории фильтрации жидкости и газа в пористых средах; методов математической физики и теории аналитических и обобщенных аналитических функций комплексного переменного; строгостью производимых математических выкладок; корректностью использования апробированных специализированных программных сред;

непротиворечивостью результатов исследования с ранее полученными результатами других авторов.

Личный вклад автора. В опубликованных в соавторстве работах автору принадлежат: обоснование условий применения в расчетах фильтрации в периодических пористых средах метода однородно-анизотропного эквивалентирования; в методе формул перехода полученные 26 вариантов изменения проницаемости среды для решения задач фильтрации в изотропных неоднородных пластах; разработка алгоритма и программы для ЭВМ расчета главных проницаемостей по методу жестких трубок тока и методу естественных трубок тока для анизотропной модели изотропной пористой среды; разработка алгоритмов и программ для ЭВМ построения гидродинамических сеток квазипоступательного фильтрационного потока и потока, искаженного круглым радиально-неоднородным включением.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведена общая характеристика работы, дано обоснование актуальности темы диссертационной работы, указаны цели и основные задачи исследований, их научная и практическая значимость, приведено краткое содержание по главам.

моделирования стационарной линейной плоскопараллельной фильтрации жидкости (газа) в неоднородных изотропных и анизотропных пористых средах. Приведены известные уравнения плоскопараллельной фильтрации жидкости (газа) в неоднородных анизотропных пористых средах в ортогональных криволинейных координатах,. В системе (1) ki, j - безразмерные компоненты тензора K проницаемости анизотропной неоднородной среды, k0 - постоянный с размерностью проницаемости множитель, H 1, и H 2, - коэффициенты Ламе выбранной в плоскости течения системы координат,, функция, - функция тока (линии уровня которой определяют траектории движения жидких частиц), а функция,, коэффициентом динамической вязкости флюида формулой При фильтрации жидкости учитывается сила веса, выражаемая слагаемым g z, где - плотность, g - ускорение свободного падения, а z - аппликата точки наблюдения по направленной вверх оси над зафиксированной горизонтальной плоскостью. При фильтрации газа силой веса g z по сравнению с поверхностными силами давления пренебрегают, но учитывают сжимаемость газа в рамках изотермического закона const Бойля-Мариотта. Отмечаются частные случаи системы уравнений (1).

Для однородной изотропной среды получаем наиболее простую систему уравнений, совпадающую с условиями Коши-Римана и приводящую к уравнениям Лапласа относительно, и,.

Для неоднородной изотропной среды с проницаемостью K k0 k x, y в декартовых координатах получаем систему уравнений теории p -аналитических функций Г. Н. Положего.

Для неоднородных прямолинейно-анизотропных сред с проницаемостью k11x, y g1 y совмещены с осями анизотропии), соответственно получаем системы играющие центральную роль в теории А. Гельбарта.

Если функции B x, y и B x, y являются частными решениями системы уравнений криволинейных интегралов будут частными решениями системы уравнений A.

В символическом комплексном виде записи интегралы (6) и (7) Л. Берс и А. Гельбарт записывают в виде wA z wA z0 wB z d z, где z x iy; z0 x0 iy0 и называют операцией -интегрирования.

Если функции A x, y и A x, y являются частными решениями системы уравнений криволинейных интегралов будут частными решениями системы уравнений B.

В символическом комплексном виде записи интегралы (8) и (9) по Л. Берсу и А. Гельбарту записываются в виде wB z wB z0 wA z d z, а операцию называют операцией -интегрирования.

Повторные операции построение четных и нечетных формальных степеней комплексного переменного для систем уравнений A и B осуществляется по двум разным «цепочкам»:

Z B Z 1 Z B Z A Z B Z A

Z A Z B Z A Z B Z A Z B.

описывающей фильтрацию в анизотропных неоднородных средах с главными проницаемостями, допускающими разделение переменных по координатам, можно построить с помощью аналога степенного ряда с некоторыми произвольными постоянными an :

Постоянные an находят из граничных условий конкретной задачи фильтрации. К анизотропных неоднородных средах с главными проницаемостями, допускающими сложность построения формальных степеней Z A z, z0,a комплексного переменного, обстоятельство подчеркивает актуальность развития таких новых методов решения задач фильтрации в неоднородных и периодических пористых средах, которые позволили бы применять классические уравнения математической физики – уравнения Лапласа и Гельмгольца.

Вторая глава посвящена разработке новых методов интегрирования системы уравнений (4) плоскопараллельной фильтрации жидкости (газа) в изотропных неоднородных средах. При этом акцент делается на то, как можно применять для интегрирования систем (4) решения классических уравнений математической физики (уравнений Лапласа и Гельмгольца) и теории аналитических функций комплексного переменного.

эллиптического уравнения относительно потенциала x, y соискателем разработан следующий новый математический метод (1-ое защищаемое положение). Если проницаемость K k0 k x, y изотропной неоднородной среды такова, что дробь одной переменной, например, плоскопараллельной фильтрации жидкости в этом классе изотропных неоднородных сред будет равен отношению в котором числитель x, y будет выражаться в виде ряда через произвольное частное решение U 0 x, y уравнения Лапласа U 0 x, y 0.

Коэффициенты ряда ak x находятся из системы рекуррентных дифференциальных уравнений второго порядка

В диссертации отдельно проанализирован частный случай зависимости. Этот случай интересен следующим (2-ое защищаемое положение).

Если проницаемость K k0 k x, y изотропной неоднородной среды такова, что фильтрации жидкости в этом классе изотропных неоднородных сред будет выражаться через решения классического уравнения Лапласа U 0 x, y 0 по формуле K k0 p1 x p2 y найдены 26 конкретных случаев, когда для решения краевых задач фильтрации могут применяться уравнения Лапласа либо Гельмгольца с постоянными коэффициентами (3-е защищаемое положение). Для 26 вариантов проницаемостей, перечисленных в таблице 1, решения краевых задач для системы уравнений Г. Н Положего (4) с переменными коэффициентами строятся через решения W x, y уравнений Лапласа либо Гельмгольца с постоянными коэффициентами. Переход к краевым задачам для приведенного потенциала W x, y в I, III и V случаях (по таблице 1) осуществляется по формулам переход к уравнениям Лапласа либо Гельмгольца осуществляется по формулам Таблица 1. Перечень вариантов, когда приведенный потенциал W x, y выражается через гармонические либо метагармонические функции Таблица 1 (Продолжение) * A1, A2, B1, B2 – произвольные постоянные; A12+A220, B12+B220; для случаев 13,19, 23: a2 - b2 > 0;

для случаев 14, 22: a2 - b2 < Помимо этого, для решения краевых задач фильтрации в изотропных неоднородных средах с проницаемостью K k0 p1 x p2 y соискателем разработан метод, обобщающий метод Г. И. Назарова (4-ое защищаемое положение). Общий интеграл системы (4) с коэффициентом k x, y p1 x p2 y можно представить в виде рядов в которых p2 y -аналитическая функция, удовлетворяющая более простой, нежели (4), системе коэффициенты ak x и bk x находятся из рекуррентных соотношений через две произвольные постоянные a0 и b0.

В частном случае, когда g 0 z является аналитической функцией комплексного переменного z x iy, т.е. когда характеристика p2 y 1, из формул (20) и (21) вытекает результат Назарова Г. И.

универсальный подход к моделированию сложных неоднородных и периодических плоскопараллельная фильтрация в однородно-анизотропных средах с тензором проницаемости K k0 kij описывается эллиптической системой уравнений (1) с одинаковостью коэффициентов Ламе H 1, H 2,, а главные направления анизотропии будут совпадать с координатными линиями, то система уравнений (1) примет простой вид Уравнение для потенциала, линейной плоскопараллельной фильтрации жидкости в однородно-анизотропных средах, как следует из (22), будет уравнением с постоянными коэффициентами позволяющий для интегрирования применять классический метод Фурье. Поэтому, изотермических криволинейных координатах,, уравнение для потенциала, линейной фильтрации в которой имеет достаточно сложный вид (13), удастся заменить эквивалентной в некотором смысле однородно-анизотропной моделью, то, тем самым, трудоемкость решения задач фильтрации в средах с проницаемостью K k0 k, существенно снизится. Решению именно этой задачи посвящена глава 3.

Диссертантом предложены два подхода к построению однородно-анизотропных моделей изотропных неоднородных и периодических сред – метод жестких и метод естественных трубок тока. Основной результат по методу жестких трубок тока (5-ое криволинейный параллелепипед ограниченный координатными поверхностями, а внутри него содержится изотропная неоднородная среда с проницаемостью K k0 k,,. Тогда если принять за главные направления анизотропии однородно-анизотропной модели названной среды проницаемости k11, k 22 и k 33 в смысле метода жестких трубок тока однородноанизотропной модели будут определяться по формулам В диссертации приводятся важные примеры, иллюстрирующие однородноанизотропное эквивалентирование изотропных неоднородных и периодических сред по методу жестких трубок тока.

0 x Lx ; 0 y Ly ; 0 z Lz. Главные проницаемости анизотропной модели:

ячейка шахматного типа В 4-ой главе исследуются погрешности расчётов фильтрации в изотропных эквивалентирования. Показано, что первый источник погрешностей расчетов фильтрации по методу однородно-анизотропного эквивалентирования обусловлен тем, что эквивалентирование осуществляется по элементарной ячейке периодической среды, а не по всей области фильтрации. Поясним сказанное на примере слоистой 0 x Lx ; 0 y Ly ; 0 z Lz, заполненный чередующимися вдоль оси y изотропными однородными слоями с проницаемостями k1 и k 2. Толщины всех слоев считаются одинаковыми, равными h. Область получается из элементарной ячейки вдоль оси y некоторое количество раз. Проанализирован случай, когда в элементарная ячейка 0 укладывается K раз, но при этом остается остаток от отрезка L y, на котором ячейка 0 не может поместиться целиком. Пусть, для примера, длина остатка равна толщине h изотропного слоя. В таком случае размер параллелепипеда вдоль оси y равен Ly 2Kh h 2K 1h.

Для главных проницаемостей однородно-анизотропной модели среды из чередующихся слоев, когда эквивалентирование осуществляется по элементарной k11 k33 1 и k22 2 1 2. Если же эквивалентирование выполняется по всей области, то тогда главные проницаемости анизотропной модели будут равны:

Относительные погрешности определения главных проницаемостей анизотропной модели слоистой среды, вызванные заменой глобального эквивалентирования по на локальное по 0, приведены в таблице 2.

Таблица 2 Относительные погрешности определения главных проницаемостей эквивалентирования на локальное.

Данная таблица приводит к следующим выводам (6-е защищаемое положение).

1. Если вдоль характерного размера области фильтрации элементарная 0 слоистой среды будет укладываться 50 и более раз, главные ячейка эквивалентирования (по всей области ) и вычисленные по методу локального эквивалентирования (по элементарной ячейке 0 ) практически совпадают.

2. Если вдоль характерного размера области фильтрации элементарная ячейка 0 периодической среды укладывается от 10 до 50 раз, то в оценке главных проницаемостей по методу локального анизотропного эквивалентирования может быть допущена ошибка с относительной погрешностью, не превышающей 5%, а если элементарная ячейка 0 периодической среды вдоль характерного размера области фильтрации укладывается менее 10 раз, то расчет главных проницаемостей анизотропной модели периодической пористой среды следует выполнять по методу глобального анизотропного эквивалентирования.

изотропных периодических и неоднородных сред рекомендуется применять для расчетов интегральных характеристик фильтрационных потоков (например, дебитов дифференциальных характеристик фильтрационных потоков (скоростей фильтрации в заданных точках, градиентов давлений) метод однородно-анизотропного эквивалентирования практически не применим.

В заключении кратко перечисляются результаты научного исследования по теме диссертации.

В приложении, содержащем десять пунктов, приведены выкладки формул, расчетные таблицы и рисунки, приводятся листинги программы на Maple 13 для построения математических моделей слоистых сред.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Метод формул перехода О. В. Голубевой и ее учеников Ю. А. Гладышева и К. Н. Быстрова обобщен 1) на пространственные задачи фильтрации, 2) на n -мерное эллиптическое уравнение и 3) на новый широкий класс неоднородных сред с проницаемостями 2 Указана связь уравнений плоскопараллельной фильтрации в неоднородных средах с эллиптической системой уравнений Карлемана. Практическое значение от установленной связи в том, что с ее помощью для решения задач фильтрации жидкости (газа) могут быть применены итерационные методы решения системы уравнений Карлемана.

3 Указан новый класс формул перехода для решения задач фильтрации в изотропных неоднородных средах, содержащий 26 вариантов, позволяющих решения коэффициентами свести к решениям вспомогательных краевых задач для уравнений Лапласа либо Гельмгольца с постоянными коэффициентами.

4 Метод Г. И. Назарова интегрирования эллиптической системы уравнений с применения операций - дифференцирования -моногенных функций Л. Берса и А. Гельбарта на систему уравнений плоскопараллельной фильтрации в изотропных неоднородных средах с проницаемостью k p1 x p2 y.

5 Указаны рациональные алгоритмы построения формальных степеней проницаемостью мультиполей.

изотропных периодических, в частности, слоистых, сред предложен универсальный метод – метод жестких трубок тока. Приведены примеры применения этого метода.

7. Исследованы погрешности расчета главных проницаемостей анизотропных моделей по методу жестких трубок тока. Даны рекомендации по повышению точности расчетов главных проницаемостей анизотропных сред – моделей.

8. Приведены рекомендации по применению в расчетах фильтрационных течений в изотропных неоднородных и периодических пористых средах метода однородно-анизотропного эквивалентирования.

Публикации в изданиях из перечня российских рецензируемых научных журналов, рекомендованных ВАК Минобрнауки России 1. Толпаев, В. А. Уравнения для потенциала p-аналитических функций с характеристиками p = p1(x)p2(y) / В. А Толпаев, А. В. Колесников // Вестник ВГУ.

Серия: Физика. Математика. – Воронеж. –2008. – №1. – C.145-149.

2. Толпаев, В. А. Условия применения в расчетах фильтрации в периодических моделирование и программное обеспечение. – Москва.– 2010. – №1. – С. 24-29.

3. Толпаев, В. А. Новый метод построения формул перехода для решения задач фильтрации в изотропных неоднородных пластах / В. А. Толпаев, А. В. Колесников // Ученые записки Забайкальского государственного гуманитарно-педагогического университета им. Н.Г. Чернышевского. – Чита. – №3. – 2012. – С.122-125.

Публикации в других изданиях Г. Н. Положего с характеристикой p p1 x p2 y через аналитические функции / В. А.

Толпаев, А. В. Колесников // Обозрение прикладной и промышленной математики. – Москва. – 2006. – Т.13. – Вып. 6. – С. 122-125.

5. Толпаев, В. А. Связь уравнений плоскопараллельной фильтрации с системой Карлемана / В. А. Толпаев, А. В. Колесников //Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. – Курск. – 2007. – №1. – С. 78 – 80.

6. Толпаев, В. А. Интегральное представление р- гармонических функций через гармонические / В. А. Толпаев, А. В. Колесников, Ю. В. Харченко / Современные проблемы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней математической школы. – Воронеж: ВГУ, 2007. – С. 1117-1120.

7. Толпаев, В. А. Расчет фильтрационных характеристик однородно анизотропной сред, моделирующей пористую среду с периодической структурой / В. А. Толпаев, А. В. Колесников / Проблемы добычи газ, газового конденсата, нефти: тезисы докладов VII международной научно практической нефтегазовой конференции (Кисловодск, 20-25 сентября 2010). – Ставрополь: РИО ОАО "СевКавНИПИгаз", 2010. – С.24-25.

Свидетельства государственной регистрации программ на ЭВМ 1. Колесников А.В. Расчет главных проницаемостей для анизотропной модели изотропной пористой среды, получающейся в результате периодического повторения в пространстве элементарной ячейки шахматного типа. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012613059. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 29 марта 2012.

2. Колесников А.В. Построение гидродинамических сеток искажения поступательного фильтрационного потока круглым радиально-неоднородным включением и однородно-анизотропной моделью включения. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012613060. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 29 марта 2012.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Заказ № Тираж 100 экз.