МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. М.В. Ломоносова

На правах рукописи

Муангу Жерве Эме Ришар

ЭФФЕКТИВНЫЙ МЕТОД ОТЫСКАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ

ФОРМ В АЭРОДИНАМИКЕ И ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ

01.02.05— механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009

Работа выполнена на кафедре гидромеханики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова и на кафедре прикладной математики Поморского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор А.А. Бармин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А.Т. Ильичев кандидат физико-математических наук А.Ю. Беляев

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета

Защита состоится 18 декабря 2009г. в 15 часов на заседании диссертацонного совета Д.501.001.89 при Московском государственном университете по адресу: 119991, г. Москва, В о р о б ь е в ы г о р ы, главное здание МГУ, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механикоматематического факультета МГУ.

Автореферат разослан “ “ ноября 2009г.

Ученый секретарь Диссертационного совета доктор физико-математических наук А.Н. Осипцов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

.

Актуальность темы. Задача конструирования объекта, обладающего заданным свойством, всегда вызывает интерес, тем более, когда речь идет об оптимальном свойстве. Человек – прирожденный оптимизатор, и сама природа принуждает достигать цели с наименьшими затратами.

При создании ирригационных и очистительных систем важен вопрос о фильтрации из земляных каналов в грунт. Известно, что потери воды из канала за счет фильтрации могут достигать 50%. В случае магистральных каналов это приводит к потерям влаги и засолению почв, в случае очистительных сооружений - к загрязнению окружающей среды. С другой стороны, меняя профиль канала, из которого производится полив, можно минимизировать потери влаги. В связи с этим представляет интерес исследование оптимальных задач о фильтрации из каналов, а также получение оценок возможных потерь, не находя самого решения.

Оптимальные задачи важны и при профилировании аэродинамических профилей и других устройств для получения оптимальных свойств при заданных ограничениях.

Оптимальные плоские задачи в классе аналитических функций рассматривались ранее многими авторов. Отметим пионерские работы Н.Н. Павловского и А. Прейсманна по минимизации фильтрационных потерь, а также современные работы казанской школы: Н.Б. Ильинского, A.М. Елизарова и др., использующих метод обратных задач.

Цель работы - развитие точных аналитических методов решения оптимальных задач плоско-параллельных течений идеальной несжимаемой жидкости; решение конкретных оптимальных задач в теории фильтрации и обтекания профилей; получение оценок интегральных характеристик рассматриваемых течений.

Общая методика. Основываясь на виде точных решений двумерных задач о фильтрации из каналов, дается их операторное представление и разрабатывается математический аппарат для их решения. Благодаря этому расширяется класс рассматриваемых задач и появляется возможность найти решение в замкнутой форме. По решению задачи фильтрации из канала простой подстановкой находятся решения задач фильтрации под телом плотины и обтекания профилей. В работе широко используется метод Фурье, аппарат теории линейных операторов в гильбертовом пространстве, а также арсенал теории краевых задач и геометрической теории функций.

Научная новизна. Разработана методика решения плоских оптимальных задач для несжимаемой жидкости в теории фильтрации и аэродинамике, которая основана на применении теории операторов. С помощью этой методики аналитически получены решения ряда новых задач, в том числе:

- найдены оптимальные формы земляных каналов с точки зрения минимизации (максимизации) площади загрязнения (полива);

- определены наилучшие формы с точки зрения минимума фильтрационных потерь (задача Прейсманна) при различных изопериметрических ограничениях;

- введено понятие о нормальных каналах, и для них дано необходимое и достаточное условие однолистности решения;

- введена числовая характеристика степени подпора;

- получены двусторонние оценки фильтрационных потерь, улучшающие оценки, имеющиеся в литературе, в случаях фильтрации как без подпора, так и с подпором. Впервые получена точная оценка сверху;

- показано, что циркуляция около профиля, вычисленная согласно гипотезе Жуковского пропорциональна трансфинитному диаметру профиля (константа Чебышева);

- решена задача об аэродинамической брахистохроне;

- даны оценки для силы, действующей на профиль, по его интегральным характеристикам.

Научная и практическая значимость. Разработанные в диссертации методы могут быть применены также при нахождении аналитических функций в областях с односвязной границей и в других приложениях.

Полученные аналитические решения могут быть использованы в гидрогеологии и гидромелиорации, для исследования течений при обтекании профилей и проектирования крыльев.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, неоднократно докладывались и обсуждались на семинаре под руководством академика РАН А.Г. Куликовского, проф. А.А. Бармина, проф.

В.П. Карликова, на семинаре под руководством В.М. Ентова, на семинаре под руководством Н.Б. Ильинского, на Чебышевских и Ломоносовских чтениях, на международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложения».

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах автора, приведенных в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 56 наименований. Общий объем работы - 240 страниц, включая 72 рисунков.

Первоначально диссертация касалась только фильтрации из канала (глава 1и основная часть была написана в 1993-1996 гг. Десять лет спустя работа над диссертацией была продолжена. Используя развитые методы, была исследована аэродинамика плоских профилей.

Большое влияние на автора в студенческие годы оказали спецкурсы А.Г. Костюченко и В.Г. Вильке, им автор выражает глубокую благодарность.

Автор также благодарит В.Н. Чубарикова за моральную поддержку.

Автор признателен своему руководителю проф. А.А. Бармину за многочисленные советы и помощь.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

.

В первой главе, состоящей из четырех параграфов, рассматривается общая постановка задач о фильтрации воды из каналов в грунт бесконечной мощности при традиционных допущениях, когда движение жидкости описывается уравнением неразрывности и линейным законом фильтрации Дарси:

) Область комплексного потенциала Область (z ) заранее неизвестна ввиду наличия свободных границ AO и АВ, подлежащих определению. Вводится комплексный потенциал Можно считать скорость фильтрации, полный расход и удельный вес Тогда параметрическими уравнениями :

Функции x( ), y ( ) называются эпюрами просачивания, их естественно считать элементами пространства Соболева H1(0,).

При заданном в (1.3) x( ) или y ( ), an находятся как коэффициенты Фурье.

Откуда следует интегральное преставление комплексного потенциала (в форме Гельмгольца-Кирхгофа):

Коэффициент C определяет характер течения на бесконечности, что видно При C при C подпора. Вместо формы OB контура канала априори задается одна из функций x(t ), y (t ) как «инструмент управления фильтрацией» Между ними существует связь, которую можно выразить, введя в L2 (0, ) линейный полуунитарный оператор A, положив по определению где P - оператор проектирования на ядро Ker ( A) {1}.

Система (1.3) допускает компактную запись Это наиважнейшее соотношение называется далее уравнением связи.

Первая глава заканчивается изучением структуры решения и свойств оператора A. Отметим следующее:

содержит все нечетные тригонометрические многочлены, поэтому является линейным многообразием всюду плотным, т. е замыкание С точки зрения алгебры и теории операторов имеет место свойство а также соотношения вида:

Эти богатые как математическими, так и механическими приложениями формулы исключительно опираются на свойства оператора A.

Вторая глава состоит из шести параграфов и посвящена изучению конкретных примеров фильтрации из каналов. Из них рассмотрим:

Обобщенные каналы Козени. Комплексный потенциал следует из канонического преставления (1.2), если за последовательность a n взята геометрическая прогрессия Обычные каналы Козени получаются из (2.1) при. Параметрическое уравнение контура канала, т. е эквипотенциал Q k ( B 2 H ). В классе произвольных криволинейных каналов (для случая фильтрации без подпора) имеет место точная оценка:

Знак равенства достигается для некоторых каналов прямоугольного сечения.

Квазитрапецевидные каналы. Среди возможных разнообразных очертаний каналов наиболее распространены симметричные, имеющие форму близкую к трапецеидальной. Подобные каналы моделируются следующим образом:

условие однолистности накладывает ограничение на коэффициенты an ряда (1.2), вследствие которого ряд быстро сходится. Практически удерживается лишь конечное число членов, т.е. эпюры просачивания y ( ) можно искать в виде тригонометрического многочлена степени 2m 1. Этот многочлен и прямая y H ( H -глубина канала) имеют в точке порядок касания, обусловленный тем, что в окрестности точки минимума контура канал горизонтален. Значит После линеаризации и интегрирования находим Этим завершается построение такого класса контуров (рис.2.

Чтобы избежать профилей с самопересечением, наложим ограничения 0 1. Расход Q выражается через геометрические параметры канала Параметр m возрастет с ростом натурального числа (При m 1, получаем канал Козени).

оптимальных задач о фильтрации из каналов, а также получению оценок рассматривались ранее рядом авторов. Здесь они исследуются в комплексе, как задачи оптимального управления с функциональными ограничениями.

для которого длина контура минимальна, допускает формализацию:

Решение x t или y t ищется в пространстве H (0, ).

Запишем решение (функция x определяется с точностью до константы).

t /Q. Она характеризуется тем, что поток воды, через какой либо его участок равен углу смежности этого участка, или то же самое: скорость истечения воды в любую точку контура равна кривизне кривой в этой точке.

Комплексный потенциал течения в этом канале Решение задачи генерирует изопериметрическое неравенство, которое имеет место для любых каналов:

Знак равенства достигается только на квазиэллипсе (3.2). Таким образом, потери при фильтрации из канала оцениваются сверху, если известны длина дуги контура, скорость фильтрации и степень подпора. В работе получены также точные оценки при других ограничениях.

аэродинамике. Рассматриваемые в них объекты (каналы, плотины, крылья) параметрическом виде посредством вспомогательной плоскости:

Профиль крыла есть образ единичной окружности.

Параметрическое уравнение контура находим, положив В силу симметрии ограничимся рассмотрением нижней половины части контура (рис 4). Система (4.2) допускает компактную запись что по существу совпадает с уравнением связи (1.6). Такая аналогия прослеживается достаточно далеко. Можно приложить к задачам обтекания тел вес арсенал теории оператора A.

Здесь, как и в теории фильтрации, параметр C играет центральную роль.

Известно, что в случае обтекания тела потоком заданной скорости v, неопределенным остается циркуляция. Для контура, имеющего острую кромку B ( B 1), постулат Жуковского и формулы Блазиуса-Чаплыгина дают ( - плотность жидкости). Следовательно, при прочих равных внешних условия подъемная сила профиля зависит только от величины C :

( - угол атаки). Это обстоятельство важно для определения качества аэродинамических профилей. Величина C, называется по-разному – конформный радиус, логарифмическая емкость, константа Чебышева, трансфинитный диаметр (см. Голузин Г.М. геометрическая теории функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1965.-628с.).

Для любого профиля с площадью сечения S и длиной дуги контура 2 L справедлива не улучшаемая двухсторонняя оценка, обращавшаяся в равенство только для круга Учитывая формулу (4.5), неравенство (4.6) оценивает подъемную силу.

В работе получен целый ряд подобных оценок.

форме Чизотти:

т.е. определяет профиль крыла как функционал от угла наклона касательной к контуру в точке z, соответствующей t. Это отправной пункт для решения многих интересных задач.

Все геометрические характеристики крыла выражаются через функцию (t ). Соответственно длина контура, хорда, кривизна кривой равняются Модуль скорости и условие согласования (замкнутости контура) имеют вид:

Глава 5. содержит описание математического аппарата конструирования объектов с заданными свойствами. Предлагаемый в ней метод объединяет подходы Казанской школы и Французской.

Проиллюстрируем метод на примере задачи об аэродинамической брахистохроне: в потоке однородной несжимаемой идеальной жидкости заданы две точки A, B и скорость набегающего потока v || AB. Требуется определить (симметричный) контур AMB, по которому жидкая частица проходит из точки A до точки B в кратчайшее время. (Наилучшая форма крыла с точки зрения минимума времени обтекания).

Хотя прямая AB (пластинка) и является кратчайшей расстоянием между этими точками, тем не менее, частицы жидкости проходят ее не в кратчайшее время. Задача допускает формализацию:

Здесь второе равенство фиксирует длину хорды АВ. Следуя принцип оптимальности (Гл.5, §17.1), получаем неравенство для оценки времени обтекания профиля по двум параметром – длина хорда B и трансфинитный диаметр C :

Это неравенство удобно представить в эквивалентном виде Значит всегда Знак равенства достигается только на кривой (рис 5) «аэродинамической брахистохроне».

Неравенство (5.2) также представимо в виде Знак равенства имеется на «аэродинамической циклоиде». Уравнения этих кривых и их свойства приведены в диссертации. Подобная задача решена, когда изопериметрическое ограничение является задание длины дуги контура.

В диссертации в качестве характеристики профиля при движении в идеальной несжимаемой жидкости введен безразмерный параметр (качество профиля) прохождения жидкой частицей дуги АВ (рис.4). Показано, что профиль, обладающий максимальным качеством, введенное выше, является аэродинамическая циклоида.

Основные результаты и выводы В диссертации рассматриваются плоские стационарные задачи фильтрации жидкости из канала и аналогичные по постановке задачи обтекания профилей идеальной несжимаемой жидкостью. Основное внимание обращено на решение оптимальных задач и получение оценок.

Для решения поставленных задач предложен метод объединяющий A.М. Елизарова) и Французской (Ж.Л. Лионса) школ. Метод основан на представление граничных условий для нахождения аналитических функцией в операторном виде, с оператором позволяющим просто описать интегральные характеристики.

С помощью предложенного метода решен ряд оптимальных задач.

-Найдены оптимальные по потерям формы каналов при различных изопериметрических условиях: фиксированы площадь, глубина, ширина, периметр и их комбинации (частный случай – задача Прейсманна).

-Найдены оптимальные формы каналов с точки зрения оптимизации области течения вытекающей жидкости, т.е. площади загрязнения.

-Получено в явном виде выражение для потерь из симметричного канала трапециевидной формы.

-Получены математические условия, обеспечивающие физически допустимый вид контура канала и однолистность решения.

-Показано, что найденный ранее обратным методом П.Я. Кочиной флютбет с постоянной скоростью на нижней части является оптимальным с точки зрения минимума выталкивающей силы.

-При изучении профилей большое значение имеет трансфинитный диаметр профиля (C ): показано, что циркуляция, определенная по гипотезе Жуковского пропорциональна трансфинитному диаметру с коэффициентом, равным скорости в набегающем потоке, умноженному на синус угла атаки.

-Решена задача о наибыстрейшем прохождении жидкой частицы вдоль дуги профиля, обтекаемого идеальной несжимаемой жидкостью при заданной скорости набегающего потока параметрами.

Введен параметр, характеризующий качество профиля C /(V T ), где T – время прохождения жидкой частицей дуги контура.

Показано, что оптимальными профилями по этому параметру являются кривые, скорость движения частицы в любой точке которых пропорциональна радиусу кривизны, или, что тоже самое, время движения частицы на любом участке контура пропорционально углу смежности этого участка.

- Получены оценки для подъемной силы, действующей на профиль, по его интегральным характеристикам.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Муангу Жерве Эме-Ришар. Фильтрация из каналов. Структура решения и оценка расхода. // Изв РАН. МЖГ. 2006. № 1. C. 108-120.

2. Муангу Жерве Эме-Ришар. Некоторые задачи фильтрации из каналов// Вестник математического факультета: Межвузовский сборник научных трудов. Архангельск, Поморский университет 2006. Вып.7. С.86-103.

3. Муангу Ж.Э.Р., Андреев П.Д. Вариационное исчисление и методы оптимизации// Сб. метод. матер.: Организация учебного процесса по специальности 010100 Математика в Поморском государственном университете имени М.В. Ломоносова: Ч. 1 Поморский гос. ун-т им.

М.В.Ломоносова. – Архангельск: Поморский университет, 2005.C. 63-65.

4. Муангу Ж.Э.Р., Титов А.К. Уравнения математической физики//В сб.

метод. матер.: организация учебного процесса по специальности 010501.

Прикладная математика и информатика в Поморском государственном университете имени М.В. Ломоносова; Поморский гос. ун-т им.

М.В.Ломоносова. – Архангельск: Поморский университет, 2006. C. 47-49.

5. Муангу Ж.Э.Р. Титов А.К. Теоретическая механика. Сб. метод. матер.:

Организация учебного процесса по специальности 010100 Математика в Поморском государственном университете имени М.В. Ломоносова: Ч. 1;

Поморский гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. – Архангельск: Поморский университет, 2005. С. 32-35.

6. Муангу Ж.Э.Р. Оптимальные формы земляных каналов. Материалы международной конференции и Чебышевские чтения, посвященные 175летию со дня рождения П. Л. Чебышева. М.: Изд-во мех.-мат. фак. МГУ, 1996. Ч. 2 С. 23.