[ Московский Государственный Университет
имени М.В.Ломоносова
Механико-математический факультет
На правах рукописи
УДК 519.214.4
Осмоловский Игорь Юрьевич
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ В
ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Специальность: 01.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистикаАВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва - 2009 г.
Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механикоматематического факультета в Московском Государственном Университете имени М. В. Ломоносова.
Научный руководитель: доктор физико-математических наук Сенатов Владимир Васильевич.
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор Круглов Виктор Макарович, доктор физико-математических наук профессор Хохлов Юрий Степанович.
Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение математического института.
Защита диссертации состоится 29 мая 2009 года в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 при Московском Государственном Университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские Горы, Главное Здание МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механикоматематического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).
Автореферат разослан 28 апреля 2009 года.
Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор И.Н.Сергеев 1
Общая характеристика работы
Актуальность темы Одним из фундаментальных результатов теории вероятностей является центральная предельная теорема (ЦПТ), которая утверждает, что при достаточно широких условиях сумма многих случайных величин имеет приблизительно нормальное распределение. В ЦПТ рассматриваются независимые и слабо зависимые случайные величины, одинаково и различно распределенные случайные величины, действительные случайные величины и случайные величины, принимающие значения в многомерных пространствах и т.д. Простейший вариант ЦПТ связан с независимыми одинаково распределенными случайными величинами (н.о.р.с.в.) с конечными дисперсиями, при этом без ограничения общности можно считать, что среднее значение этих случайных величин равно нулю, а дисперсия - единице. В этом случае ЦПТ можно сформулировать в следующем виде.
Пусть X1, X2,... - н.о.р.с.в. с EX1 = 0 и DX1 = 1. Обозначим через F общую функцию распределения (ф.р.) этих случайных величин и Fn (x) = P( X1 +···+Xn < x) - функцию распределения нормированной n X1 +···+Xn суммы первых n из этих случайных величин. ЦПТ утверждает, n что Fn (x) (x) при n x 1 eu / равномерно по < x <, где (x) = du - функция распределения стандартного нормального закона. При выполнении некоторых дополнительных условий у ф.р. Fn (x) существует плотность pn (x) и pn (x) (x) при n равномерно по < x <, где (x) = 1 ex /2 - плотность стандартного нормального закона.
Важность ЦПТ объясняется тем, что она позволяет в практических расчетах заменять (при больших n) ф.р. Fn на ф.р., работа с которой не представляет трудностей. Функцию распределения Fn (x) можно записать в виде F n ( nx), где n означает nкратную свертку функции распределения F, точнее, F n (x) =... F (xy1 · · ·yn1 )dF (y1 )... dF (yn1 ), < x <, n то есть Fn (x) является многократной нормированной сверткой ф.р. F с самой собою. Хорошо известно, что свертки распределений в явном виде вычисляются лишь в исключительных случаях, и даже в этих случаях расчет многократных сверток напрямую обычно невозможен.
Например, в случае, когда F (x) является экспоненциальным распределением с параметром единица, то есть F (x) = 0 при x < 0 и при x > 0. Прямые расчеты по этой формуле при больших n невозможны хотя бы из-за того, что 70! > 10100. Как уже отмечалось, ЦПТ позволяет заменять многократные свертки нормальными законами, работа с которыми не вызывает трудностей. Однако, при такой замене мы всякий раз (за исключением тривиального случая, когда F – нормальная функция распределения) совершаем некоторую ошибку, и возникает естественный вопрос о величине этой ошибки, или, как иногда говорят, о точности аппроксимации в ЦПТ.
Одним из самых известных результатов в этом направлении является теорема Берри1 –Эссена2, которая гарантирует, что убывает экспоненциально быстро.
Условия, при которых доказывается неравенство (4) близки, а при четных m совпадают с условиями одной теоремы И.А. Ибрагимова7, устанавливающей связь между скоростью стремления к нулю величины (Fn, ) и значениями моментов F.
По-видимому, точности, которую гарантирует неравенство (4), достаточно для большинства практических расчетов уже при не очень больших m, скажем, для m, больших 3-5, однако ограничение, связанное с Крамер Г. Случайные величины и распределения вероятностей. М.: Изд-во иностр. литер., 1947.
Ибрагимов И.А. О точности аппроксимации распределения сумм независимых величин нормальным распределением, Теория вероятностей и ее применения. 1966. Т.11. Вып.4. С.632-655.
совпадением моментов F и вплоть до порядка m + 1, очень сильно сужает область применения неравенства (4).
Хорошо известен еще один подход к аппроксимации распределений Fn, он связан с так называемыми асимптотическими разложениями. В этом подходе нормальный закон рассматривается только как первое приближение распределения Fn и аппроксимация Fn ищется в виде суммы и некоторых слагаемых, стремящихся к нулю при росте n. Асимптотические разложения в ЦПТ появились в работах Грама8 1883 года, Шарлье9 1913-1914 годов и в работе Эджворта10 1905 года. В 1920-х годах асимптотические разложения интенсивно изучались Г. Крамером11, а затем и другими исследователями, которыми были получены важные результаты, однако подавляющее большинство этих результатов давало оценки точности для асимптотических разложений в терминах O na и o na, где a > 0 - некоторое число, зависящее от количества моментов, которые существуют у распределения F. По-видимому, первые результаты с явными оценками точности для асимптотических разложений появились в конце 20-го века в работах Шимицу12, Добрич, Гош13. В 1990-х годах появились результаты В. Сенатова, которые были получены с использованием сопровождающих зарядов.
Основные результаты по исследованию явных оценок асимптотических разложений в ЦПТ были получены В. В. Сенатовым. Им были получены явные равномерные оценки остаточных частей разложений.
Данная работа обобщает полученные разложения на многомерный случай. При этом оценки остаточных членов получены в явном виде.
Таким образом, тема диссертации представляется актуальной с теоретической точки зрения, а полученные в ней результаты могут быть практически применимы.
Цель работы Цель диссертации - получить новые, более точные, чем известные, асимптотические разложения в центральной предельной теореме в многомерном случае с явными оценками их остаточных частей.
Gram J.P., J. reine und angew. Math, 1883, Bd 94, S. 41-43.
Charlier C.V.L., Arkiv. Mat. Astr. Fys., 1913/1914, Bd 9, N 25, S. 1-17.
Edgeworth, The law of error, Camb. Phil. Soc. Proc. 20, 1905, 36-141.
Крамер Г. Случайные величины и распределения вероятностей. М.: Изд-во иностр. литер., 1947.
Shimizu R., On the remainder term for the central limit theorem, Ann. Inst. Stat. Math. 1974. V.26.
P.195-201.
Dobric V., Ghosh B.K. Some analogs of the Berry-Esseen bound for rst order Chebychev-Edgeworth expansions, Stat. Decis. 1996. V.14.
Научная новизна Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
• Исследованы многомерные аналоги многочленов Чебышева-Эрмита, использующиеся при получении асимптотических разложений в многомерном случае.
• Получены новые асимптотические разложения для гладких распределений в многомерном случае.
• Получены асимптотические разложения для решетчатых распределений в многомерном случае.
• Для всех асимптотических разложений получены явные оценки остаточных членов.
Методы исследования В работе используются методы теории вероятностей, математического и функционального анализа. В частности, для построения асимптотических разложений применяется метод характеристических функций, формулы обращения, теорема Фубини. Также применяются некие новые объекты, многомерные аналоги многочленов Чебышева–Эрмита, которые описаны в работе.
Теоретическая и практическая значимость Работа носит теоретический характер. Были исследованы многомерные аналоги многочленов Чебышева-Эрмита, с помощью которых получена аппроксимация плотностей распределений в многомерных пространствах, а также аппроксимация решетчатых распределений. Полученные результаты можно применять в реальных задачах аппроксимации.
Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механикоматематического факультета МГУ (руководитель - член-корр. РАН А.Н.
Ширяев) в 2008 году и на семинаре кафедры статистики ВМК МГУ (руководитель - академик Ю. В. Прохоров) в 2008 году. Был сделан доклад на международной конференции "Ломоносов-2009". Результаты диссертации были представлены на семинаре "Прикладные аспекты теории вероятностей и математической статистики"кафедры теории вероятностей и математической статистики РУДН (руководитель - д.ф.-м.н.
Ю.С.Хохлов) в 2009 г.
Публикации По теме диссертации опубликованы 3 работы. Список приведен в конце автореферата [1] - [3].
Структура диссертации Диссертация состоит из введения, пяти глав, приложения и списка литературы, насчитывающего 33 наименования и организованного в алфавитном порядке. Результаты, полученные автором диссертации, оформлены в виде Теорем и Лемм. Нумерация лемм и теорем состоит из двух чисел. Первое число относится к номеру главы, второе к номеру утверждения (леммы или теоремы). Нумерация формул - сквозная. Общий объем работы составляет 78 страниц.
2 Краткое содержание диссертации Целью работы является обобщение результатов, о которых говорилось выше, на многомерный случай. При этом используются многомерные аналоги многочленов Чебышева-Эрмита, введенные В.В. Сенатовым14.
В первой главе дается определение многомерных аналогов многочленов Чебышева-Эрмита как полилинейных функционалов, полученных с помощью дифференцирования по Фреше функций, связанных с плотностью нормального закона, для некоторых из них указывается явный вид, перечисляются известные свойства этих функционалов, формулируются и доказываются утверждения, обобщающие свойства одномерных многочленов Чебышева-Эрмита на эти функционалы.
Обозначим E d - евклидово пространство размерности d, (·, ·) - скалярСенатов В.В. Об одном многомерном аналоге разложения Чебышева, Теория вероятностей и ее применения, 2007, т. 52, в. 3, с.с. 603 - 610.
ное произведение в E d, | · | - норму в E d, m - m-й момент одномерного стандартного нормального распределения, (x) = (2)d/2 e|x| /2 - плотность нормального закона с нулевым средним и единичной матрицей ковариаций в E d. Многомерные аналоги многочленов Чебышева-Эрмита j) это множество многочленов Hl, l, j = 0, 1, 2,..., которое являются последовательностью серий, состоящих из счетного числа элементов. Первый элемент каждой серии является функцией на E d, второй элемент каждой серии - линейный функционал, третий элемент - билинейный функционал и т.д.
Эти многочлены можно свести в таблицу Многочлены Чебышева-Эрмита из первой серии (ей соответствует j = 0), точнее, действие многочленов Hl (x) на векторы h1,..., hl E d, можно получить по формуле (производная понимается в смысле Фреше), которая аналогична равенству Hl (x) = (1)l ((x))(l) /(x), справедливому в одномерном случае. Величина Hl (x)(h1,..., hl ) является симметрической функцией переменных h1,..., hl, поэтому мы иногда будем записывать ее в виде Hl (x)({h1,..., hl }), где {h1,..., hl } означает множество, состоящее из векторов h1,..., hl.
Первый элемент первой серии - функция на E d, тождественно равная 1, второй элемент первой серии - линейный функционал (x, ·), третий элемент этой серии - билинейный функционал (x, ·)(x, ·) (·, ·), x E d, и т.д.
Справедлива формула обращения где i - мнимая единица.
равенствами В первой главе указан явный вид некоторых из этих многочленов и рассматриваются их простейшие свойства.
В одномерном случае многочлены Чебышева-Эрмита являются многочленами Аппеля, то есть для них справедливо равенство Аналог этого свойства для многочленов Hl (x) имеет вид Также выполнено рекуррентное соотношение Hl+1 (x)(h1,..., hl+1 ) = (x, hl+1 )Hl (x)(h1,..., hl ) Эти равенства получены В.В. Сенатовым в упомянутой работе14.
Для многомерных аналогов многочленов Чебышева-Эрмита произвольной строки в первой главе получены соотношения и рекуррентная формула Во второй главе в многомерном случае строятся новые асимптотические разложения плотностей нормированных сумм независимых случайных величин, у которых конечны моменты 5 и 6 порядков (асимптотические разложения в случае конечности моментов меньших порядков получены в работе В.В. Сенатова15 Эти асимптотические разложения строятся с использованием вспомогательных сопровождающих зарядов, которые представляют собой функции, получаемые интегрированием многомерных аналогов многочленов Чебышева-Эрмита по распределению исходных случайных величин. Приводятся явные оценки остаточных частей разложений.
Здесь и далее мы будем действовать в рамках следующих обозначений и предположений.
Пусть X1, X2,... - независимые одинаково распределенные величины в E d с нулевым средним и единичным ковариационным оператором и P - распределение X1. Пусть для характеристической функции f (t) распределения P выполнено условие для некоторого >0, и для некоторой пары (µ, T ), где функция e|t| /2 µ(t) 1 и число T > 0, выполняется неравенство |f (t)| µ(t) при всех |t| T.
Через Pn обозначим распределение нормированной суммы X1 +···+Xn.
При выполнении условия (a) для всех n существует плотность pn (x), x E d, распределения Pn, которую можно вычислить по формуле обращения.
Определим моментные характеристики распределения P, которые нам понадобятся. Для s N и вектора e E d, (e, e) = 1, положим s (e) = s (e, P ) := Легко видеть, что s (e) и s (e) - момент и абсолютный момент s-го порядка проекции P на направление вектора e.
Сенатов В.В. Несколько асимптотических разложений в ЦПТ в многомерном случае. Теория вероятностей и ее применения, 2008, т. 53, в. 2, с.с. 293 - 306.
Во всех леммах и теоремах мы будем предполагать, что для некоторого m N величина m+2 конечна.
Мы будем использовать многомерные моменты Чебышева-Эрмита s, s = 0, 1,..., которые определяются следующим образом:
а также величины В оценках остаточных частей асимптотических разложений будут исm) пользоваться величины s, которые определяются формулами для s, в которых нужно положить |l | = 0 при l s + 1.
Отметим, что s (e) - момент Чебышева-Эрмита s-го порядка проекции P на направление вектора e.
Пусть (x) - нормальный закон с нулевым средним и единичным ковариационным оператором в E d. Для e E d,|e| = 1, и натуральных s обозначим s (e) = Отметим, что для любого e E d, |e| = 1, величина s (e) совпадает с sм абсолютным моментом одномерного стандартного нормального закона.
Введем следующие величины Величина Bs асимптотически (при d ) равна d. Для распреd/ делений с конечным четвертым моментом пару (µ, T ) можно подобрать так, чтобы Bs,n Bs при n для любого фиксированного s > 0.
Также отметим, что из формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме следует, что для любого действительного где k - произвольное неотрицательное целое число и - непрерывная комплекснозначная функция такая, что || 1.
Итак, пусть pn (x) - плотность нормированной суммы (X1 +..+Xn ), qn (x) - плотность нормированной n-кратной свертки заряда.
Мы можем записать плотность pn (x) в виде В случае использования заряда доказательство состоит из двух шагов:
• оценка близости плотностей нормированных сумм |pn (x) qn (x)|;
• разложение плотности qn (x) по многочленам Hl (x) с некоторой погрешностью.
Полученные асимптотические разложения можно рассматривать как цепочку результатов, где каждое последующее разложение получается из предыдущего путем переноса (с соответствующими изменениями) некоторых членов из остаточной части в главную.
Оценки остаточных частей для каждого разложения указаны в явном виде. Получены следующие разложения.
Теорема 2.4 Пусть распределение P таково, что 5 < и 4 < 9.
Тогда в рамках введенных обозначений и предположений для всех n max(3, ) таких, что
«