МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. М.В. ЛОМОНОСОВА

_

Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 517.956.35

Рудаков Игорь Алексеевич

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.01.02 – дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2008

Работа выполнена на кафедре математики и моделирования экономических систем Брянского государственного университета имени И.Г.

Петровского

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор В.А. Кондратьев.

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор С.И. Похожаев, доктор физико-математических наук, профессор В.А. Треногин;

доктор физико-математических наук, профессор Ю.А. Алхутов.

Ведущая организация: Московский энергетический институт.

Защита диссертации состоится 28 ноября 2008 г. в 16 ч. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, механикоматематический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 24 октября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор И.Н. Сергеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Во многих физических задачах, связанных с процессами колебаний, возникают квазилинейные уравнения гиперболического типа. В диссертации рассматриваются уравнения, описывающие процессы колебаний струны, продольные или поперечные колебания стержня, распространение волн в неизотропной среде (сейсмические волны), распространение электромагнитных волн, процессы колебаний мембраны, плоской пластины, идеального газа в некотором объеме. Если внешняя сила, нелинейное слагаемое и коэффициенты периодичны по времени, то естественным образом возникает задача о доказательстве существования периодических по времени решений.

Проблема существования периодических по времени решений нелинейных уравнений, начиная с классических трудов Пуанкаре, является одной из весьма значимых и актуальных. В последние годы интерес к этой проблеме значительно возрос в связи с разработкой новых методов, которые позволили получить приложения, в частности к тем классам уравнений, которые рассматриваются в диссертации. К ним относятся такие, например, методы, как различные варианты “леммы горного перевала” А.Амбросетти, П. Рабиновича1, метод расслоения С.И. Похожаева2, методы Н.Брезиса и Л.Ниренберга, основанные на теории степени отображения3.

Работы 60-x годов прошлого века авторов O. Veivoda4, H. Lovicarova5, P.

Rabinowitz6 являются одними из первых, в которых исследуется задача о существовании периодического по времени решения достаточно малой амплитуды слабо нелинейного волнового уравнения L.Nirenberg. Variational and topological methods in nonlinear problems.

Bull. Amer. Math. Soc.(N.S.). 1981, V 4, № 3, P. 267-302.

С.И.Похожаев. О методе расслоения решения нелинейных краевых задач. Тр. Матем. Ин-та АН СССР. 1990, Т. 192, С. 146-163.

H.Brezis, L.Nirenberg. Characteriations of the ranges of some nonlinear operators and applications to boundary value problems. Ann. Scuola Norm. Sup.

Pisa, 1978, V. 5, No 2, P. 225-325.

O.Vejvoda. Periodic solutions of a linear and weakly nonlinear wave equations in one dimension. Czech. Math. J, 1964, V. 4, P. 341-382.

H.Lovicarova. Periodic solutions of a weakly nonlinear wave equations in one dimension. Czechoslovak Math. J., 1969, V. 19(94), P. 324-342.

P.Rabinowitz. Periodic Solutions of Nonlinear Hyperbolic Partial Differential Equations. Comm. Pure Aple. Math. 1967, V. 20, P. 145-205.

с нулевыми граничными условиями Дирихле. В 70-80-x годах в работах Х.

Брезиса, Л. Ниренберга Файрайсла11 получены не локальные теоремы существования периодических решений квазилинейного волнового уравнения с нулевыми граничными условиями Дирихле доказано существование периодического решения при любой правой части f, если нелинейное слагаемое g непрерывно и где > 0, C > 0, 1 = 3 есть наибольшее отрицательное собственное значение оператора Даламбера, действующего на гладких 2 -периодических по t функциях, удовлетворяющих нулевым граничным условиям по x, 0 = 0 есть собственное значение бесконечной кратности. Неравенства (2) являются условием отделимости графика функции y = g (u ) при больших значениях | u | от прямых y = | 0 | u и y = | 1 | u. Если оно не выполнено, то есть примеры, соседних собственных значений оператора Даламбера аналогичный результат получен в лишь для частного случая асимптотически линейных функций собственным значением оператора Даламбера. В диссертации существование equations. Comm. Pure Aple. Math., 1978, V. 31, № 1, P. 1-30.

P.Rabinowitz. Large amplitude time periodic solutions of a semilinear wave equations. Comm. Pure Aple. Math., 1984, V. 37, P. 189-206.

волнового уравнения. Мат. Сб., 1988, Т. 136(178), № 4(8), С. 546-560.

u tt u xx ± | u | s 1 u = f ( x, t ). Comm. in part. diff. equations, 1985, V 10, № 11.

E.Feireisl. On the existence of periodic solutions of a semilinear wave equation with a superlinear forcing term. Chechosl. Math. J., 1988, V 38, № 1, P. 78-87.

волнового оператора.

верхний или нижний предел) равен собственному значению. В работах8, доказано существование счетного числа периодических решений уравнения (1) в автономном случае, когда нелинейное слагаемое имеет степенной рост. В получено счетное число решений уравнения (1) в неавтономном случае, если нелинейное слагаемое имеет степенной рост и однородное. При этом в работе Брезиса12 рассматривается задача о свободных колебаниях струны g ( 0 ) = 0. При предположении выполнения условия (2) и g ' (0) > | 1 | доказано существование нетривиального решения. Из приведенных выше условий вытекает, что график функции Даламбера. В работе J.M. Coron13 c помощью специальных инвариантных подпространств удалось избавиться от условия монотонности. В диссертации монотонности g (u ) при произвольных соседних собственных значениях, что позволило доказать существование нетривиальных, периодических решений уравнения sin-Гордон на отрезке с граничными условиями 3-го рода и Дирихле.

H.Brezis. Periodic solutions of nonlinear vibrating string and duality principles. Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.), 1983, V. 8, № 3, P. 409-426.

J.M. Coron. Periodic solutions of a nonlinear wave equations without assumption of monotonicity. Math. Ann, 1983, V. 262, № 2, P. 273-285.

Статья V. Barby, N.H. Pavel14, опубликованная в 1997 г., является одной из первых, в которой рассмотрена задача о периодических решениях волнового уравнения с переменными коэффициентами и однородными граничными условиями Дирихле. Нелинейное слагаемое g (u ) непрерывно, не убывает, удовлетворяет условию (2) и глобальному условию Липшица с константой < | 1 |. При выполнении данных условий доказано существование периодического по времени решения. В диссертации аналогичный результат получен без условия Липшица, для произвольных соседних собственных значений волнового оператора с однородными условиями Дирихле и третьего рода.

Начиная с 1991 года в работах И.А. Кузина15, J. Mawhin, J. Berkovits и A.K. Ben-Naoum16,17,18 исследуется задача о периодических решениях многомерного квазилинейного волнового уравнения в шаре. В работе И.А.

Кузина 15 доказано существование счетного числа радиально симметричных решений, когда нелинейное слагаемое имеет степенной рост. В работах 16,17, для случая четных размерностей доказано существование радиально симметричных 2 периодических по времени решений, если нелинейное слагаемое удовлетворяет условию “нерезонансности”. В случае нечетных размерностей периодическое решение получено, если правая часть лежит в подпространстве бесконечной коразмерности. В диссертации доказано существование периодических решений при любой периодической правой части для нечетных размерностей и произвольном периоде времени, соизмеримым с радиусом шара, когда нелинейное слагаемое удовлетворяет условию “нерезонансности”.

Цель работы. Целью работы является систематическое изучение вопросов разрешимости задачи о периодических по времени решениях гиперболических уравнений с различными типами нелинейных слагаемых (имеющих степенной рост, либо удовлетворяющих условию нерезонансности), с различными граничными условиями, с переменными и постоянными коэффициентами, в частности доказательство существования периодических решений волнового уравнения при любой правой части, когда нелинейное слагаемое удовлетворяет V.Barby, N.H.Pavel. Periodic solutions to nonlinear one dimensional wave equation with x - dependent coefficients. Trans. Amer. Math. Soc., 1997, V. 349, № 5, P. 2035-2048.

И.А.Кузин. Существование счетного множества периодических сферически симметричных решений нелинейного волнового уравнения. Известия РАН. Серия математическая. 1991, Т. 5. N1. С.110-133.

A.K.Ben-Naoum, J.Mawhin. Periodic solutions of some semilinear wave equatons on balls and on spheres. Top. Meth. Nonl.Analysis, 1993, V 1, № 1, P. 113-137.

A.K. Ben-Naoum,J. Berkovits. On the existence of periodic solutions for semilinear wave equation on a ball in R n with the space dimension n odd.

Nonlinear Anal. TMA, 1995, V 24, № 2, P. 241-250.

J. Berkovits, J. Mawhin. Diophantine approximation. Bessel functions and radially symmetric periodic solutions of semilinear wave equatons in a ball.

Trans. Amer. Math. Soc., 2001, V. 353, № 12, P. 5041-5055.

условию “нерезонансности” с произвольными соседними собственными значениями оператора Даламбера; доказательство счетной разрешимости задачи о периодических решениях волнового уравнения с переменными коэффициентами и различными граничными условиями, когда нелинейное слагаемое имеет степенной рост; получение условий существования свободных периодических колебаний в нерезонансном случае; доказательство существования периодических решений уравнения sin-Гордон на отрезке с граничными условиями 3-го рода и Дирихле.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказано существование периодических решений волнового уравнения с однородными граничными условиями Дирихле в нерезонансном случае для произвольных соседних собственных значений.

2. Доказана разрешимость задачи о периодических решениях волнового уравнения с граничными условиями Неймана и 3-го рода. Исследован вопрос о единственности решения.

3. Доказаны теоремы о существовании периодических решений квазилинейного волнового уравнения с переменными коэффициентами.

4. Доказано существование периодических решений многомерного волнового уравнения в шаре с нулевыми граничными условиями Дирихле в нерезонансном случае для нечетных размерностей и для четных размерностей с произвольным периодом, соизмеримым с радиусом шара.

5. Доказано существование счетного числа периодических решений автономного волнового уравнения с граничными условиями 3-го рода и с переменными коэффициентами с нелинейным слагаемым, имеющим степенной рост. Доказано существование периодического решения неавтономного волнового уравнения с переменными коэффициентами в резонансном случае.

6. Доказано существование нетривиального периодического решения для волнового уравнения c немонотонной нелинейностью, а также для уравнения колебаний плоской пластины и балки. Доказано существование нетривиального периодического по времени решения уравнения sin-Гордон на отрезке с однородными граничными условиями Дирихле и 3-го рода.

Методы исследования. В диссертации используются методы компактности, малого параметра, конструкция Ляпунова-Шмидта, теория монотонных операторов, топологические методы (теория степени отображения), вариационный метод.

Для исследования случая произвольных соседних собственных значений разработаны методы доказательства существования решений нелинейных уравнений в гильбертовом пространстве (теоремы 1.2, 1.3 главы 1), когда линейная часть уравнения имеет бесконечное ядро и когда обратный к линейной части оператор на дополнении к ядру не является вполне непрерывным. Эти методы применяются в главе 1 при исследовании волнового уравнения с постоянными и переменными коэффициентами, с различными граничными условиями, а также при исследовании радиально симметричных решений многомерного волнового уравнения.

асимптотические оценки собственных значений оператора Даламбера, с помощью которых удалось получить специальное разложение пространства L в сумму трех ортогональных подпространств. Это позволило, опираясь на леммы Файрайсла 11, доказать счетную разрешимость волнового уравнения с переменными коэффициентами и граничными условиями 3-го рода со степенной нелинейностью.

Результаты главы 3 опираются на лемму “горного перевала” А.Амбросетти, “зацепляющихся” поверхностей, с помощью которых находятся критические точки соответствующего функционала.

Теоретическая и практическая ценность. Предлагаемая работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории нелинейных уравнений в частных производных. Разработанные методы могут быть использованы при доказательстве разрешимости квазилинейных уравнений математической физики19. Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности математика.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на следующих научных конференциях:

International Petrovskii Conference “Differential Equations and Related Topics”.

Moscow M.V. Lomonosov State University, 1985, 1986, 1991, 2001, 2004, 2007.

Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, июнь 2008.

Международная конференция “Тихонов и современная математика”, посвященная 100-летию академика А.Н.Тихонова, Москва, МГУ им.

М.В.Ломоносова, факультет ВМиК, 2006.

Международная конференция, посвященная 85-летию членакорреспондента РАН Л.Д.Кудрявцева, Москва, РУДН, март 2008.

Всероссийская конференция “Дифференциальные уравнения и их приложения”, посвященная 70-летию проф. В.А.Кондратьева, Самара, 2005.

Воронежская весенняя математическая школа “Понтрягинские чтения”.

Воронеж. 2000, 2003.

Воронежская зимняя математическая школа “Современные методы теории краевых задач”. Воронеж. 2000, 2003.

М.А. Красносельского. Воронеж. 2000.

Тезисы докладов опубликованы в сборниках тезисов соответствующих конференций.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях следующих научных семинаров:

J. Shuguan. Time periodic solutions to a nonlinear wave equation with x-dependent coefficients. Calc. Var., 2008, N 32, P. 137- МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет: семинар под руководством проф. В.М. Миллионщикова, проф. В.А Кондратьева, проф.

Н.Х. Розова (март 2007 г.).

МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет: семинар под руководством проф. А.А. Шкаликова, проф. А.Г. Костюченко (февраль 2008 г.).

МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет: семинар под руководством проф. А.С. Шамаева, проф. В.В. Жикова, проф.

Т.А.Шапошниковой (ноябрь 2007 г.).

МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет: семинар под руководством проф. В.А Кондратьева и проф. Е.В.Радкевича (март г., февраль 2007 г.).

МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет: семинар под рук. проф. М.И. Вишика (1981 г, 1982 г. 1983 г., 1984 г., 1991 г.).

МГУ им. М.В. Ломоносова, факультет ВМиК: семинар под руководством член-корр. РАН И.А. Шишмарева (март 2007 г.);

МИ РАН им. В.А.Стеклова: семинар под руководством проф. А.К. Гущина, проф. В.П. Михайлова (март 2007 г.).

Санкт-Петербургское отделение МИ РАН им. В.А.Стеклова: семинар под руководством проф. Н.Н. Уральцевой, проф. В.М. Бабича, проф.

А.И. Назарова (апрель 2007 г.);

МЭИ: семинар под руководством член-корр. РАН С.И. Похожаева и проф.

Ю.А. Дубинского (1984 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора (16 из них опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК), список которых приводится в конце автореферата. Работ, выполненных в соавторстве, нет.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых в общей сложности на 15 параграфов, списка литературы.

Общий объем диссертации составляет 223 страницы, библиография содержит 135 наименований. Нумерация теорем, лемм, формул – двойная: номер параграфа и собственный номер, в каждой главе независимая. Во введении – независимая нумерация формул, а номера теорем совпадают с их номерами в основном тексте.