На правах рукописи

Бахтий Николай Сергеевич

Некоторые аспекты моделирования

многофазной многокомпонентной

фильтрации и тестирования вычислительных

алгоритмов, индуцированные программным

комплексом «Техсхема»

05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Тюмень – 2012

Работа выполнена на кафедре алгебры и математической логики Института математики, естественных наук и информационных технологий ФГБОУ ВПО Тюменский государственный университет.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор, Кутрунов Владимир Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, Кислицын Анатолий Александрович (ФГБОУ ВПО Тюменский государ­ ственный университет) доктор технических наук, Стрекалов Александр Владимирович (ФГБОУ ВПО Тюменский государ­ ственный нефтегазовый университет)

Ведущая организация: ОАО «Сибирский научно-исследова­ тельский институт нефтяной промыш­ ленности»

Защита состоится «30» мая 2012 г. в 15.00 часов на заседании диссерта­ ционного совета Д 212.274.14 при ФГБОУ ВПО Тюменский государствен­ ный университет по адресу 625003, г.Тюмень, ул. Перекопская, 15А, ауд.

410.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тюменского государ­ ственного университета.

Автореферат разослан « » апреля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета А.А. Ступников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы Математическое моделирование добычи нефти и газа является важ­ ным этапом проектирования разработки месторождений. Более того, в настоящее время в нашей стране при составлении проектной документа­ ции на разработку месторождений углеводородов создание геологической и фильтрационной модели является обязательным (ГОСТ Р 53710-2009).

Ввиду высокой стоимости бурения основных и боковых стволов, а также высокой выработанности основных месторождений Западной Сибири, в Тюменском регионе геологическое и гидродинамическое моделирование широко применяется для повышения эффективности геолого-технологи­ ческих мероприятий и снижения рисков. Адекватная действительности фильтрационная модель позволяет локализовать зоны с невовлечёнными в разработку запасами углеводородов, назначить адресные геолого-техно­ логические мероприятия и выбрать оптимальный рациональный вариант разработки месторождения.

На данный момент в нашей стране для моделирования фильтра­ ционных процессов чаще всего применяются программные продукты ино­ странных компаний: STARS компании CMG, Eclipse компании Schlumberger, Tempest компании Roxar и т.д. Среди отечественных программ отметим tNavigator компании Rock Flow Dynamics, МКТ группы компаний TimeZYX и программный комплекс (ПК) «Техсхема» научно-исследовательского и проектного института «СургутНИПИнефть». ПК «Техсхема» создал и в течение почти тридцати лет совершенствовал специалист высокого класса в области вычислительной гидродинамики, кандидат технических наук, Виктор Петрович Майер. За это время с использованием ПК «Техсхе­ ма» успешно проектировалась разработка большинства месторождений Западной Сибири (и многих месторождений других регионов). Ввиду воз­ росших требований к гидродинамическим моделям, а также с учётом раз­ вития технологий программирования, возникла необходимость создания новой версии программного комплекса «Техсхема». Таким образом, ввиду малого количества отечественного программного обеспечения и широко­ го использования дорогостоящих зарубежных аналогов, создание каче­ ственного отечественного программного комплекса для создания гидро­ динамических моделей пластовых систем является важной и актуальной практической задачей. Данная работа посвящена авторским алгоритмам, положенным в основу новой версии ПК «Техсхема».

Также актуальной задачей является тестирование вычислительных алгоритмов и получение новых аналитических решений, на основе кото­ рых возможно проверить корректность численных результатов, что под­ тверждается существующими тестами Американского общества инжене­ ров-нефтяников (SPE) и Центральной комиссии ресурсов Российской Фе­ дерации. Данной задаче посвящена третья глава диссертационной рабо­ ты.

Цель диссертационной работы 1. Анализ математических моделей многофазной фильтрации.

2. Изучение напорного и безнапорного фильтрационного течения в рамках многофазной многокомпонентной модели фильтрации «Техсхе­ ма», предложенной В.П.Майером и Ю.Е.Батуриным.

3. Изучение и совершенствование численных методов решения раз­ ностных уравнений, получаемых дискретизацией исходной замкнутой кон­ сервативной системы дифференциальных уравнений в частных производ­ ных.

4. Построение новых аналитических тестовых решений и тестиро­ вание вычислительных алгоритмов с их помощью.

5. Автоматизация процесса адаптации фильтрационной модели на историю разработки.

6. Создание эффективного современного программного комплекса, позволяющего решать широкий спектр практических фильтрационных задач, возникающих при проектировании разработки месторождений уг­ леводородов.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения, соответствующие трём пунктам паспорта специальности 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплек­ сы программ по техническим наукам.

Пункт 1: Развитие качественных и приближенных аналитиче­ ских методов исследования математических моделей.

Новое аналитическое решение задачи притока жидкости к несовер­ шенной скважине, позволяющее оценить жидкостный дебит вертикаль­ ной скважины, характеризующейся неполным вскрытием пласта. Новое аналитическое решение задачи разгазирования нефти, позволяющее каче­ ственно изучить процесс фазовых переходов, происходящих в пластовых системах, в рамках математической модели «Техсхема».

Пункт 2: Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.

При решении итерационными предобусловленными методами систе­ мы линейных алгебраических уравнений, являющейся дискретным анало­ гом уравнения для пластового давления, возможно сократить время рас­ чёта с использованием адаптивного предобусловливания. Тестирование гидродинамических симуляторов «Техсхема» и Eclipse позволило оценить область применения формулы Писмена, ограниченную допущениями, сде­ ланными при её выводе.

Пункт 3: Реализация эффективных численных методов и алгорит­ мов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для прове­ дения вычислительного эксперимента.

Программный комплекс «Техсхема», предназначенный для созда­ ния геолого-технологических моделей, разрабатываемый с использовани­ ем предложенных методов, и используемый для проведения вычислитель­ ных экспериментов в научно-исследовательском и проектном институте «СургутНИПИнефть» (ОАО Сургутнефтегаз).

Таким образом, в соответствии с формулой специальности 05.13. в диссертации представлены оригинальные результаты одновременно из трёх областей: математического моделирования, численных методов и комплексов программ.

Научная новизна 1. Предложен простой критерий, на основе которого при расчёте пластового давления принимается решение о построении нового предо­ бусловливателя или использовании его с предыдущего временного слоя (IMPES-схема решения уравнений фильтрации).

2. Получено новое аналитическое решение задачи притока к несо­ вершенной скважине. Данное решение было использовано при тестирова­ нии вычислительного алгоритма.

3. Получено новое аналитическое решение задачи разгазирования в рамках модели «Техсхема». Данное решение также было использовано при тестировании вычислительного алгоритма.

4. Предложен новый способ оптимизации градиентных методов ав­ тоадаптации фильтрационной модели на историю разработки.

Практическая значимость Разработанные алгоритмы применяются для численного моделиро­ вания процессов добычи нефти и газа.

Использование предлагаемого в данной работе критерия позволяет при решении дискретных уравнений фильтрации по IMPES-схеме сокра­ тить время расчёта пластового давления за счёт использования предобу­ словливателя с предыдущего временного слоя.

На основе аналитического решения, полученного для задачи о при­ токе к несовершенной скважине, стало возможным тестировать программ­ ные комплексы на точность моделирования неполного вскрытия пласта или оценивать жидкостный дебит несовершенных скважин.

Предлагаемый новый способ оптимизации градиентных методов ав­ тоадаптации фильтрационной модели в некоторых случаях позволяет су­ щественно ускорить процесс автоадаптации.

С использованием предыдущей версии программного комплекса «Тех­ схема», разработку которого в течение почти тридцати лет вёл специалист высокого класса Виктор Петрович Майер, подготовлено очень большое ко­ личество проектных документов разработки практически всех месторож­ дений Западной Сибири (и многих месторождений других регионов). Опи­ сываемый в диссертационной работе ПК «Техсхема v1.05» является, по сути, заново созданным программным комплексом. Результаты диссерта­ ционной работы используются в научно-исследовательском и проектном институте Тюменское отделение «СургутНИПИнефть» (ОАО Сургутнеф­ тегаз), что подтверждается актом об внедрении программного комплекса «Техсхема v1.05».

Апробация работы Основные положения диссертационной работы докладывались и об­ суждались на научных семинарах кафедры алгебры и математической логики ТюмГУ под руководством проф. Кутрунова В.Н. (2009-2010), а также следующих научных конференциях: XVI Школа-семинар молодых учёных и специалистов под руководством академика РАН А.И.Леонтьева «Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установ­ ках» (Санкт-Петербург, май 2007); 52-ая научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва, 2009); Третья научно-практическая региональная конференция «Совре­ менные проблемы математического и информационного моделирования.

Перспективы разработки и внедрения инновационных IT-решений» (Тю­ мень, 2010).

По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ работ, 3 из которых — в рецензируемых периодических изданиях.

Личный вклад автора Результаты, составляющие основное содержание диссертации, полу­ чены автором самостоятельно. Во всех совместных работах автор участ­ вовал в формулировках постановок задач, создал как численные методы для моделирования фильтрационных процессов, так и программный ком­ плекс на их основе, провёл расчёты и анализ их результатов.

Структура и объем диссертации Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключе­ ния и списка цитируемой литературы, включающего 54 наименования.

Работа изложена на 136 страницах, содержит 27 рисунков, 26 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представле­ ны выносимые на защиту научные положения.

В первой главе дано описание основных гипотез и допущений, положенных в основу математической модели трёхфазной многокомпо­ нентной фильтрации «Техсхема», к которым относятся:

1. Предполагается, что сложная смесь фильтрующихся в пласте веществ может состоять из нефтяной, водяной и газовой фаз, а также любых их сочетаний. При этом каждая фаза может моделироваться с помощью нескольких компонентов (далее будем называть их псевдоком­ понентами). Псевдокомпонентный состав фаз показан на рис.1.

Рис. 1. Распределение псевдокомпонентов по фазам 2. Одной из основных особенностей математической модели, исполь­ зуемой в данной работе, является введение объёмных долей компонен­ тов в фазах (вместо мольных долей, вводимых в классических моделях подобного рода). Это значительно упростило задачу, так как допустимо считать, что плотности псевдокомпонентов являются только функциями пластового давления.

3. Другой важной особенностью используемой в данной работе ма­ тематической модели является учёт неполного охвата пласта воздействи­ ем. Функция координат и времени (,,, ), определяющая коэффи­ циент охвата пласта воздействием, должна переопределяться всякий раз, когда вводится в разработку, останавливается, переводится под нагнета­ ние вытесняющих агентов или выбывает из разработки хотя бы одна из скважин. А также в тех случаях, когда хотя бы у одной из скважин из­ меняется положение или длина интервала вскрытия пласта.

Систему уравнений, описывающих фильтрацию определённых вы­ ше псевдокомпонентов, удобно записать отдельно для моментов смены системы воздействия и периодов её постоянства.

Введём индексацию для фаз и псевдокомпонентов. Номер фазы бу­ дем обозначать буквой. Индекс = соответствует нефтяной фазе, = — газовой фазе, = — водяной фазе. Номер псевдокомпонента в фазе будем обозначать буквой. Соответствующий рисунку 1 способ индексации псевдокомпонентов представлен в таблице 1.

Способ индексации фаз и компонентов в модели «Техсхема»

С учётом вышеперечисленных допущений закон сохранения массы псевдокомпонента с номером, содержащегося в фазе ( = “нефть“, “газ“ или “вода“), в дифференциальной форме имеет вид:

где — пористость,, — плотность псевдокомпонента фазы,, — насыщенность порового объёма псевдокомпонентом фазы,, — объ­ ёмная доля псевдокомпонента в фазе, w — вектор скорости фильтра­ ции фазы, — интенсивность источника/стока, обусловленная работой скважин,, — интенсивность фазового перехода. Для псевдокомпонен­ тов, фазовые превращения которых невозможны (например, для водя­ ных), 0. Скорости фазовых превращений углеводородов (раство­ рение газа в нефти или выделение его оттуда, а также испарение или конденсация нефти из газа) в охваченной воздействием части порового объёма определяются кинетическим соотношением следующего вида где символом [] обозначена положительная часть числа ;, — объём­ ная равновесная доля -го псевдокомпонента в нефтяной фазе, = 1, 2;

, — то же в газовой фазе, = 1, 2. Константы 1, 2 — темпы раство­ рения/выделения газа из нефти и испарения/конденсации нефти в газе, соответственно. Эти параметры, определяющие интенсивность массооб­ мена между фазами, должны быть определены специальными исследова­ ниями. Нулевые значения 1, 2 используются при моделировании несме­ шивающегося вытеснения нефти и газа.

Объёмные равновесные доли псевдокомпонентов в углеводородных фазах могут быть вычислены по растворимости газа в нефти ( ) и ис­ паряемости конденсата в газе ( ) с использованием следующих соотно­ шений:

где, и — плотности газа, конденсата и нефти в стандартных условиях; = (,3,3 / ) / (,3,3 / +,2,2 / ) — объёмная до­ ля неиспаряемой дегазированной нефти в жидкой углеводородной фазе (нефть+конденсат) в стандартных условиях.

Ниже будет показано, что задание функций, в виде (2) обес­ печивает экспоненциальное стремление во времени компонентных соста­ вов пластовых флюидов к термодинамически равновесному состоянию.

Таким образом, описываемые уравнения допускают неравновесность пла­ стовой системы, т.е. наличие в пласте перенасыщенных нефти и газа.

Отметим некоторые важные свойства:

1) Так как, — объёмная доля псевдокомпонента, очевидно, 2) Плотности фаз определяются через плотности и объёмные доли 3) Сумма насыщенностей, как объёмных долей фаз в поровом объ­ ёме, равна единице Вектор w скорости фильтрации фазы определяется обобщённым законом Дарси где (,,,,, ) — относительная фазовая проницаемость для фазы — функция нефте- и водонасыщенности, координат точки пласта и вре­ мени; — динамическая вязкость фазы при текущих пластовых усло­ виях; (,,, ), (,,, ), (,,, ) — эффективные абсолютные проницаемости пласта для фильтрации вдоль направлений координатных осей,, в точке,, пласта в момент времени, определённые с учётом неполного охвата пласта воздействием; — текущее давление в фазе в охваченной воздействием точке пласта с координатами,, в момент времени ; –– ускорение свободного падения.

Капиллярные скачки давления в нефтяной и водяной фазах, а так­ же в газовой и нефтяной фазах считаются заданными функциями Среднее давление в охваченном воздействием поровом объёме опре­ где введено понятие подвижности суммы фаз С помощью перечисленных далее уравнений состояния учитыва­ ются закономерности влияния пластового давления на фильтрационно­ ёмкостные свойства пласта и флюидов. Другими словами, предполагают­ ся известными следующие функции пластового давления (приводимые ниже функциональные зависимости одинаковы для охваченной и неохва­ ченной частей объёма пласта):

- сжимаемость порового объёма:

- сжимаемости псевдокомпонентов, образующих фазу :

Предполагается, что смена системы воздействия происходит мгно­ венно, то есть функция ступенчато меняется во времени в моменты смены системы воздействия. Это означает, что в моменты смены систе­ мы воздействия остаётся неизменной сумма масс псевдокомпонентов в охваченной и неохваченной частях порового объёма. В дифференциаль­ ной форме закон сохранения массы псевдокомпонентов в моменты смены системы воздействия имеет вид где — пористость неохваченного воздействием порового объёма,, — плотность псевдокомпонента фазы в неохваченной воздействием ча­ сти объёма коллектора,, — насыщенность неохваченного воздействием порового объёма псевдокомпонентом фазы.

В разделе 1.2.4 данной главы показано, что система уравнений (1)-(17) может быть редуцирована до системы уравнений модели неле­ тучей нефти «Black Oil» (таким образом, модель «Техсхема» является обобщением модели «Black Oil»).

Вторая глава посвящена численной реализации модели, основан­ ной на конечно-разностном методе решения вышеописанной системы урав­ нений в частных производных путём последовательного раздельного опре­ деления пластового давления и долей порового объема, насыщенного псев­ докомпонентами. Таким образом, для численного решения системы урав­ нений была выбрана схема IMPES (неявная по давлению, явная по на­ сыщенности). Ввиду явности разностной схемы, на шаг расчёта насы­ щенностей накладываются различные ограничения, также описанные в данной главе.

Ввиду неявного расчёта давления, для его определения на новом временном слое необходимо решать матричное уравнение вида Для решения системы линейных алгебраических уравнений (18) в про­ граммном комплексе «Техсхема» применяется перезапускаемый GMRES­ алгоритм с предобусловливанием (ILU(t)-метод построения нижне- и верх­ нетреугольных матриц предобусловливания и ). Данное предобуслов­ ливание позволяет значительно увеличить скорость сходимости GMRES­ метода, однако, процедура построения матриц и, аппроксимирующих исходную матрицу, требует значительных временных затрат. Было за­ мечено, что в некоторых случаях оправдано не расчитывать матрицы и заново, а использовать их с предыдущего расчёта давления. По­ этому нами был предложен и реализован в ПК «Техсхема» следующий критерий принятия решения о перестроении матриц и заново или использовании их с предыдущего расчёта давления: при анализе коэффи­ циентов матрицы и из физических соображений видно, что наиболее существенно вид матрицы зависит от режимов работы скважин и по­ движности суммы фаз, определяемой формулой (14). Таким образом, критерий состоит в следующем — если одна из скважин изменила режим своей работы (или интервалы перфорации) или же если максимальное изменение подвижности суммы фаз среди всех контрольных объёмов превысило некоторую критическую величину, матрицы предобусловлива­ ния перестраиваются заново. В противном случае матрицы и исполь­ зуются с предыдущего расчёта давления.

Пример работы критерия показан на рисунке 2. Один из графиков на данном рисунке — время расчёта давления без применения вышеопи­ санного критерия (матрицы и перестраиваются всегда), другой — с использованием критерия (матрицы и перестраиваются при выпол­ нении критерия — таким случаям соответствуют пиковые увеличения времени расчёта). В данном примере большинство расчётов давления вы­ полняются примерно в 3 раза быстрее с использованием критерия — та­ ким образом, в данных случаях перестроение матриц предобусловливания только замедляет расчёт давления. Отметим, что получаемое ускорение для каждого примера индивидуально и, как правило, данный критерий даёт значительное ускорение расчёта на начальном этапе моделируемого периода (именно такой пример продемонстрирован на рисунке 2), когда работающих скважин мало, и, таким образом, реже происходят измене­ ния в режимах работы скважин и нет существенных изменений насыщен­ ностей, (следовательно, и подвижность суммы фаз также суще­ ственно не меняется).

Третья глава посвящена тестированию гидродинамического симу­ лятора «Техсхема» и получению аналитических решений, используемых в дальнейшем для тестирования. ПК «Техсхема» был протестирован на семи задачах, шесть из которых (за исключением теста на разгазирова­ ние) включены в список обязательных тестов ЦКР (Центральной комис­ сии ресурсов) для гидродинамических симуляторов. Ввиду ограниченного формата автореферата здесь представлены две тестовых задачи, анали­ тические решения для которых были получены автором данной работы.

1. Тест на точность моделирования неполного вскрытия пласта.

В ПК «Техсхема» реализованы два метода расчёта продуктивно­ стей соединений скважин с пластом: 1 — сложное численно-аналитиче­ ское решение, учитывающее анизотропию пласта, неполноту вскрытия ячеек интервалами перфорации, наклон скважины и её смещение относи­ тельно центра вскрытой ячейки (будем называть данное решение точной формулой притока); 2 — широко применяемая формула Писмена. Ниже представлены результаты решения тестовой задачи с использованием обе­ их формул.

Постановка задачи. Рассматривается однородный пласт с проница­ емостью, кровля ( = 0) и подошва ( = ) которого горизонтальны и непроницаемы. Из этого пласта скважина радиуса добывает несжи­ маемую однофазную жидкость с вязкостью (в этом случае система уравнений (1)-(17) существенно упрощается и давление становится гар­ монической функцией). На расстоянии радиуса питания от оси сква­ жины давление флюида остаётся постоянным (не теряя общности, мож­ но принять = 0). Интервал перфорации частично вскрывает пласт и прилегает к его кровле. На перфорированной части ствола поддержива­ ется постоянное давление заб, к остальной части ствола приток флюида отсутствует. Влияние силы тяжести не учитывается. Разность давлений на контуре питания и перфорированной части ствола скважины равно заб = заб.

Решение задачи. Приближённое решение данной задачи было полу­ чено М.Маскетом для случая, когда интервал перфорации единственный и прилегает к кровле (или подошве) пласта:

где — объёмный дебит скважины, = / —относительная дли­ на перфорированной части ствола скважины, () = гамма-функция.

С решением (19) хорошо согласуется численное решение, получен­ ное на ПК «Техсхема» с использованием точной формулы притока. Ре­ зультаты, полученные с использованием формулы Писмена, согласуются с аналитическим решением значительно хуже, что является результатом неучёта в формуле Писмена смещения скважины относительно центра расчётной ячейки и неполноты вскрытия ячейки интервалом перфора­ ции. Результаты расчётов на сетках, содержащих 20x20x10 и 20x20x5 рас­ чётных ячеек по осям x,y,z, представлены на рисунке 3.

Рис. 3. Зависимости рассчитанных дебитов от доли перфорированной толщины пласта Ввиду вышеупомянутых приближённости и ограничений решения (19), нами в разделе 3.3.1 диссертационной работы совместным примене­ нием методов Фурье и коллокаций было получено аналитическое решение (20), обладающее большей общностью — оно не накладывает ограничений на расположение и количество интервалов перфорации:

где — число удержанных членов разложения граничного условия на стволе скважины в ряд Тейлора, [ /2] —целая часть числа /2, коэффициенты были найдены методом наименьших квадратов из усло­ вия ((, ) заб )2 на перфорированной части ствола. В случае одного интервала перфорации, прилегающего к кровле пласта, решения (19) и (20) дают очень близкие результаты.

Формула (20) справедлива в случае, когда начало 1 и конец интервала перфорации меняется, но перфорированная толщина пласта = 2 1 остаётся постоянной. Зависимость дебита скважины от отно­ шения 1 / (при фиксированном = /2) показана на рисунке 4.

При изменении 1 / от 0 до 0.25 дебит скважины увеличивается с 465.07 м3 /сут до 492.93 м3 /сут, максимальный дебит флюида достигается при положении интервала перфорации посередине между кровлей и по­ дошвой пласта. При других значениях параметров пласта и добываемого флюида изменение дебита может быть более существенным, поэтому по­ ложение интервала перфорации при решении данной задачи желательно учитывать.

Рис. 4. Зависимость дебита скважины от отношения 1 / 2. Тест на разгазирование.

Постановка задачи. В начальный момент времени некоторый объ­ ём, ограниченный поверхностью, полностью занят газонасыщенной нефтью (то есть свободный газ отсутствует). Затем давление на грани­ це мгновенно изменяется и становится равным < нас, где нас — давление насыщения нефти газом. Таким образом, в начальный момент времени начинается процесс разгазирования и в объёме появляется сво­ бодный газ. Как было отмечено выше, в отличие от классической модели «Black oil», в модели «Техсхема» данный процесс происходит не мгновен­ но, а с некоторым конечным темпом (и, таким образом, нефть и газ в пласте могут находиться в термодинамически неравновесном перенасы­ щеном состоянии). Как будет показано ниже, система экспоненциально стремится во времени к термодинамическому равновесию.

Решение задачи. Для получения аналитического решения необхо­ димо пойти на существенное упрощение задачи, поэтому пренебрежём ка­ пиллярными силами (т.е. = = ) и силой тяжести, также будем счи­ тать, что рассматриваемая область изотропна (т.е. = = = ).

Дополнительно предположим, что вязкости = = =, плотно­ сти = = = и относительные фазовые проницаемости =, = 1 =. Тогда скорости фильтрации фаз будут равны нулю, урав­ нения (1)-(17) существенно упростятся, и их решение, удовлетворяющее начальному условию,1 ( = 0) = 0, примет вид где = 1 (1,1 ), =,2,1. Таким образом, система экспонен­ циально стремится к термодинамически равновесному состоянию. Как следует из определения для, скорость данного стремления тем больше, чем больше темп растворения/выделения газа из нефти и чем меньше равновесная доля растворённого в нефти газа,1.

Из (21) следует, что lim,1 () = /. Газонасыщенность системы равна где,1 () определена выражением (21), а,2 () =,2 (0) =. Пре­ дельная газонасыщенность системы, достигшей термодинамического рав­ новесия, равна lim,1 () = 1 /,2.

Используем полученное выше аналитическое решение для тестиро­ вания ПК «Техсхема». Для получения численных результатов зададим следующие свойства флюидов: плотности всех флюидов в стандартных и пластовых условиях равны = 1000 кг/м3, начальное растворение газа в нефти = 15 ст.м3 /ст.м3, растворимость газа в нефти при "новом" давлении * = 10 ст.м3 /ст.м3.

Рис. 5. Газонасыщенность системы с течение времени На рисунке 5 приведены графики зависимости газонасыщенности от времени, построенные на основе формулы (22) и численных расчётов, произведённых в ПК «Техсхема», полученные для трёх различных значе­ ний темпа 1 = 0.00274; 1 = 0.0274 и 1 = 0.274 ([a]=1/сут.). Следует отметить хорошее совпадение численного и аналитического решений.

В четвёртой главе дано описание авторского способа оптимиза­ ции метода Левенберга-Маркварда, реализованного в модуле ПК «Техсхе­ ма», предназначенного для автоматической адаптации фильтрационной модели на историю разработки. Задача автоматической адаптации — ми­ нимизация разностей между фактическими и расчётными данными.

Такими данными могут быть совокупности забойных давлений скважин, расходов жидкости или нефти, инструментально замеренные насыщенно­ сти и пластовые давления и т. д. Назовём эти совокупности элементами цели. Разность между фактическим и расчётным значениями -го элемен­ та цели обозначим (), где = {1, 2,..., } — вектор подбираемых параметров (называемых аргументами целевой функции). В качестве ар­ гументов целевой функции, как правило, выбирают параметры пласта и пластовых флюидов, измеряемые со значительной погрешностью — абсо­ лютную и относительную фазовые проницаемости, продуктивности сква­ жин и т. д. Определим общую целевую функцию в виде где — общее количество измерений всех элементов цели во все мо­ менты времени. Тогда задача поиска оптимальных параметров сводится к минимизации функционала (). Для решения данной зада­ чи в ПК «Техсхема» используется алгоритм Левенберга-Маркварда, со­ гласно которому вектор подбираемых параметров на -ой итерации ( = 1,..., ) вычисляется как где — ограничение на число итераций алгоритма (может отсутство­ вать), ([1] ) = 2 ([1] ) ([1] )([1] ) — матрица Гёссе, вычисленная в линейном приближении, — матрица Якоби, > 0 — коэффициент, отвечающий за влияние градиента целевой функции, — единичная матрица.

Введём понятие взаимной независимости аргументов целевой функ­ ции. Два аргумента и целевой функции называются взаимно­ независимыми, если для любого вектора и = 1,..., выполнено Другими словами, если функция зависит от, то она не зависит от, и наоборот (или же не зависит ни от, ни от ). Выполнение условия (24) означает, что, вычисляя конечно-разностные частные про­ изводные целевой функции, допустимо варьировать аргументы и одновременно:

Таким образом, при заполнении двух столбцов матрицы Якоби необходимо два перезапуска симулятора )(для( вычисления векторов что если аргументов целевой функции попарно взаимно-независимы, то соответствующие столбцов матрицы Якоби можно заполнить одновре­ менно.

Взаимную независимость аргументов удобно представить в виде неориентированного графа. Каждому аргументу целевой функции поставим в соответствие вершину графа. Будем считать, что верши­ ны и соединены ребром, если и взаимно-независимы. Тогда столбцы матрицы Якоби, соответствующие любому полному подграфу графа, можно заполнять одновременно. Таким образом, задача состоит в том, чтобы разбить граф на минимальное количество полных подгра­ фов. Эта задача может быть решена простым перебором с запоминанием минимального и текущего разбиения. Анализ взаимной независимости ар­ гументов целевой функции на всей области их определения — задача, по сложности сопоставимая с исходной. Поэтому предлагается вычислять структуру графа после первой итерации, на которой все аргументы целевой функции варьируются по одному последовательно.

Пример расчёта. В разделе 4.4 диссертационной работы представ­ лен пример работы модуля автоадаптации, минимизирующего разность между расчётной и фактической добычей жидкости 25-ти скважин варьи­ рованием их продуктивностей (таким образом, целевая функция зависит от 25-ти аргументов). Как с использованием оптимизации, так и без неё минимум целевой функции был найден за 3 итерации, но без оптимиза­ ции было осуществлено 79 перезапусков симулятора, а с оптимизацией — только 35. Таким образом, использование оптимизации в некоторых слу­ чаях позволяет существенно уменьшить число перезапусков симулятора при минимизации целевой функции.

В пятой главе кратко описана архитектура программного ком­ плекса «Техсхема», основными особенностями которой являются разде­ ление визуальной и расчётной части на независимые приложения и воз­ можность создания и подключения к визуальной части пользовательских модулей (плагинов).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

В данной диссертационной работе был получен ряд новых резуль­ татов. К ним относятся:

Новое аналитическое решение задачи притока к несовершенной сква­ жине, не накладывающее ограничений на количество и положение интер­ валов перфорации. Оно было использовано при тестировании вычисли­ тельного алгоритма.

Новое аналитическое решение задачи разгазирования в рамках мо­ дели «Техсхема». Данное решение позволяет исследовать качественные особенности фазовых переходов в рамках математической модели «Тех­ схема», также это решение было использовано для тестирования про­ граммного комплекса «Техсхема v1.05».

Новый способ оптимизации градиентных методов автоадаптации гидродинамической модели на историю разработки. Данный способ оп­ тимизации в некоторых случаях позволяет существенно сократить объём вычислений.

Критерий, на основе которого принимается решение о построении нового предобусловливателя или использовании предобусловливателя с предыдущего временного слоя при расчёте пластового давления (IMPES­ схема решения уравнений фильтрации).

С применением вышеперечисленных результатов и новой программ­ ной архитектуры был разработан программный комплекс «Техсхема v1.05», внедрённый в использование в Тюменском отделении «СургутНИПИнефть», ОАО Сургутнефтегаз.

Программный комплекс «Техсхема» и сопутствующие материалы в свободном доступе размещены в сети Интернет по адресу www.tecscheme.org.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в периодических рецензируемых изданиях 1. Бахтий Н.С. Приток жидкости к несовершенной скважине из ради­ ального пласта. / Н.С. Бахтий, В.Н. Кутрунов // Вестник ТюмГУ.

- 2010. - № 6. - C. 134-139.

2. Бахтий Н.С. Оптимизация градиентных методов решения экстре­ мальных задач в подземной гидродинамике / Н.С. Бахтий, В.Н. Кутру­ нов, С.В. Майер, М.В. Сафиуллина // Вестник ТюмГУ. - 2011. - № 7. - C. 143-149.

3. Батурин Ю.Е. Исследование погрешности определения продуктив­ ности скважин в гидродинамической модели / Ю.Е. Батурин, Н.С. Бах­ тий, М.В. Сафиуллина // Известия вузов. Нефть и газ. - 2012. - № Публикации в сборнике научных трудов 4. Бахтий Н.С. Ламинарное течение степенной жидкости на началь­ ном участке круглой трубы / Н.С. Бахтий // Математическое и информационное моделирование : сб. науч. тр. - Тюмень, 2008. - № 10. - C. 13-21.

5. Бахтий Н.С. К определению граничных условий уравнения энер­ гии при численном решении задач неизотермической фильтрации / Н.С. Бахтий // Математическое и информационное моделирование : сб. науч. тр. - Тюмень, 2009. - № 11. - C. 25-33.

Публикации в трудах конференций 6. Бахтий Н.С. К определению граничных условий уравнения энергии при неизотермической фильтрации жидкости / Н.С. Бахтий // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук : тр.

52-ой науч. конф. МФТИ (27-30 нояб. 2009 г., Москва). - Москва, 2009. - C. 231-233.

7. Бахтий Н.С. О тестировании гидродинамических симуляторов, пред­ назначенных для решения задач фильтрации / Н.С. Бахтий // Современные проблемы математического и информационного моде­ лирования. Перспективы разработки и внедрения инновационных IT-решений : тр. третьей регион. науч.-практ. конф. (14 апр. 2010, Тюмень). - Тюмень, 2010. - C. 36-43.