Московский государственный университет

имени М.В. Ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

Ларионов Виталий Борисович

-значной

Замкнутые классы логики,

содержащие классы монотонных или

самодвойственных функций

Специальность 01.01.09 — дискретная математика и

математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2010

Работа выполнена на кафедре математической кибернетики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Алексеев Валерий Борисович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова Угольников Александр Борисович;

кандидат физико-математических наук, доцент Московского энергетического института (технического университета) Мещанинов Дмитрий Германович.

Ведущая организация: Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН.

Защита дисертации состоится 29 октября 2010 г. в 11:00 на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 в Московском государственном универ­ ситете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ.

С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова http://www.cmc.msu.ru в разделе Наука“ — ” Работа диссертационных советов“ — Д 501.001.44“.

” ” Автореферат разослан сентября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета профессор Н. П. Трифонов

Общая характеристика работы

В современной математике и технике теория Актуальность работы.

булевых функций занимает важное положение. Двухзначная логика исполь­ зуется как во многих теоретических областях, так и в прикладных. Всевоз­ можные цифровые устройства, системы искусственного интеллекта, управля­ ющие системы решают сложнейшие задачи, выполняя при этом элементар­ ные двоичные операции и храня данные в виде нулей и единиц.

До сих пор доминирующее положение занимает именно двухзначная ло­ гика. Однако сложность решаемых задач, а, следовательно, и технических устройств, постоянно возрастает. Уже подходят к своему пределу многие тех­ нологические возможности, такие как увеличение плотности элементов на схемах, повышение рабочей частоты. Применение многозначной логики яв­ ляется одним из путей решения указанных проблем.

Многозначная логика предоставляет более широкие возможности для разработки различных алгоритмов во многих областях. Она позволяет умень­ шить как вычислительную сложность, так и размеры, число соединений в различных арифметико-логических устройствах, повысить плотность разме­ щения элементов на схемах, найти альтернативные методы решения задач.

Уже сейчас многозначная логика с успехом применяется при решении многих задач и во множестве технических разработок. Среди них flash-память, различные арифметические устройства, системы искусственного интеллекта и обработки данных, обработка сложных цифровых сигналов и т. д.

Одной из основных задач в многозначной логике является проблема вы­ разимости функций: заданную -значную функцию или класс функций тре­ буется выразить, используя суперпозицию функций некоторого имеющегося множества. Указанную задачу, несколько уменьшив общность постановки, можно переформулировать в задачу описания решетки замкнутых относи­ тельно операции суперпозиции классов функций -значной логики.

Следуя авторам, будем обозначать через множество всех -значных функций.

Задача описания всех замкнутых классов функций двухзначной логики была решена Э. Постом1,2. Было показано, что в 2 счетное число замкнутых классов, каждый из которых имеет конечный базис. Существует в точности 1 Post E. L. Introduction to a general theory of elementary propositions. Amer. J. Math. 1921. Volume 43, № 4. P. 163–165.

2 Post E. L. Two valued iterative systems of mathematical logic. Annals of Math. Studies, Princeton Univ. Press, 1951. V. 5.

пять предполных классов, образующих критериальную систему для разреше­ ния проблемы полноты.

Ю. И. Яновым, А. А. Мучником было показано3, что в при существуют замкнутые классы со счетным базисом, а также замкнутые клас­ сы, не имеющие базиса. Следствием этого результата является континуальная мощность множества замкнутых классов -значных функций при 3. Ока­ залось, что описать решетку классов в для 3, как это было сделано Э. Постом для 2, невозможно. В связи с этим важной проблемой является описание именно фрагментов решетки замкнутых классов -значных функ­ ций.

И. Розенберг изучил4 все предполные классы в решетке замкнутых клас­ сов -значных функций. Указанные классы были описаны через сохраняемые отношения в виде шести семейств, два из которых, обозначаемые через M и S, являются соответственно подмножествами всех монотонных и самодвой­ ственных классов в.

В. В. Мартынюком установлено5, что класс монотонных функций, сохра­ няющих частичный порядок, принадлежит семейству M (то есть является предполным) тогда и только тогда, когда имеет в точности единственный минимальный и единственный максимальный элементы.

С. В. Яблонским доказано6, что класс функций, самодвойственных отно­ сительно некоторой подстановки, принадлежит семейству S тогда и только тогда, когда подстановка разлагается в произведение циклов одинаковой длины, являющейся простым числом.

Возникает вопрос о строении фрагмента решетки замкнутых классов -значных функций над классами монотонных или классами самодвойствен­ ных функций, не являющимися предполными.

Цель диссертационной работы. Основной целью диссертации явля­ ется изучение надрешеток классов монотонных функций и классов самодвой­ ственных функций в при 3.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Ис­ следованы новые фрагменты решетки замкнутых классов в.

3 Янов Ю. И., Мучник А. А. О существовании -значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса. Доклады АН СССР. 1959. Т. 127, № 1. С. 44–46.

4 Rosenberg I. G. La structure des fonctions de plusiers variables sur un ensemble fini. Comptes Rendus Acad. Sci. Paris. 1965. Volume 260. P. 3817–3819.

5 Мартынюк В. В. Исследование некоторых классов функций в многозначных логиках. Проблемы кибернетики, вып. 3. М.: Наука, 1960. С. 49–61.

6 Яблонский С. В. Функциональные построения в -значной логике. Труды математического инсти­ тута им. В.А.Стеклова АН СССР. 1958. Т. 51. С. 5–142.

Теоретическая и практическая ценность.

ский характер. Методы исследования, разработанные в диссертации, могут, по мнению автора, быть применены при дальнейшем изучении решетки за­ мкнутых классов.

Методы исследования. Результаты диссертации получены с примене­ нием методов теории предикатов и теории Галуа для алгебр Поста, а также элементов теории частично упорядоченных множеств и теории чисел.

Публикации и апробирование. По теме диссертации опубликовано 9 работ. Результаты диссертации докладывались на следующих конферен­ циях: XV Международной конференции «Проблемы теоретической кибер­ нетики» (Казань, 2—7 июня 2008 г.), XVII Международной школе-семина­ ре «Синтез и сложность управляющих систем» имени академика О. Б. Лу­ панова (Новосибирск, 27 октября—1 ноября 2008 г.), VIII Международной конференции «Дискретные модели в теории управляющих систем» (Москва, 6—9 апреля 2009 г.), VII молодежной научной школе по дискретной матема­ тике и ее приложениям (Москва, 18—23 мая 2009 г.), XVIII Международной школе-семинаре «Синтез и сложность управляющих систем» имени академи­ ка О.Б.Лупанова (Пенза, 28 сентября—3 октября 2009 г.), X Международ­ ном научном семинаре «Дискретная математика и ее приложения» (Москва, 1—6 февраля 2010 г.).

Также результаты диссертации обсуждались на спецсеминаре «Дискрет­ ная математика и математическая кибернетика» кафедры математической кибернетики факультета ВМК МГУ.

Структура и объем диссертации Объем диссертации 157 страниц.

Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

обосновывается актуальность работы, проводится обзор Во введении исследований и результатов по данной тематике, формулируется цель дис­ сертации, приводится краткое содержание работы, а также перечисляются основные результаты.

Первая глава посвящена общим фактам о замкнутых классах функций -значной логики и описывающих их предикатах, а также достаточным усло­ виям для наличия бесконечной надструктуры у класса монотонных функций.

В разделе 1.1 приводятся основные определения.

Определение 1. Функция (1,..., ) называется -значной логики ( 2), если она определена на и все ее значения принадлежат Множество всех функций -значной логики обозначим. Для любого подмножества из через [] будем обозначать замыкание относительно операции суперпозиции.

Пусть на задано некоторое отношение частичного порядка. Возь­ говорить, что не превосходит относительно частичного порядка и запи­ сывать, ких, что выполнено () ( Множество всех функций из, монотонных относительно, называется классом монотонных функций.

Для краткости будем задавать частичный порядок частично упорядо­ ченным множеством (ЧУМ) из элементов, а соответствующий монотон­ ный класс обозначать.

Определение 3. Пусть (1,..., ) – произвольный предикат, опреде­ ленный на множестве, (1,..., ) – некоторая функция из. Говорят, наборов = (1,..., ) ( {1,..., }), удовлетворяющих предикату, набор (11,..., 1 ),..., (1,..., ) также удовлетворяет предикату.

По определению будем считать, что тождественно ложный предикат сохра­ няет любая функция.

Будем обозначать через Pol() множество функций, сохраняющих пре­ дикат.

Класс является замкнутым классом функций, сохраняющих преди­ кат (, ) = 7. Везде далее, когда будем писать, что монотонный класс задается предикатом, будет подразумеваться именно описанный предикат (, ).

Определение 4. Замкнутый класс называется емым, если существует предикат, такой что справедливо представление = Pol.

В дальнейшем нам понадобятся некоторые семейства предполных клас­ сов.

Определение 5. Класс функций принадлежит семейству C, если — Яблонский С. В., Гаврилов Г. П., Набебин А. А. Предполные классы в многозначных логиках.

Издательский дом МЭИ, Москва, 1997.

множество функций, сохраняющих обладающий следующими свойствами:

Абсолютная симметричность. Для любой подстановки на множе­ Абсолютная рефлексивность. Предикат истинен на любом наборе, ), удовлетворяющие = (в присутствуют хотя бы две равные такой, что для любого набора, у которого есть компонента, Определим следующий предикат:

где — предикат, задающий класс монотонных функций.

Определение 6. Конечное ЧУМ будем называть ством, если для любых двух элементов, существует последователь­ ность 1,..., из элементов такая, что 1 =, =, для любого {1,..., 1} справедливо +1 или +1. В ином случае ЧУМ называется несвязным. Любое ЧУМ, являющееся связным максимальным подмножеством с сохранением отношения частичного порядка, назовем компонентой связности множества.

В разделе 1.1 также приводятся основные сведения о соответствии Галуа между решетками замкнутых классов функций и замкнутых классов преди­ катов. Доказываются вспомогательные утверждения, описывающие свойства формул над {}, где — предикат, задающий класс монотонных функций, а также некоторые используемые в дальнейшем свойства произвольных за­ мкнутых классов функций и задающих их предикатов.

В разделе 1.2 вводится специальное семейство ЧУМ.

Определение 7. Пусть — произвольное ЧУМ,, 1,..., — некото­ тогда и только тогда, когда для любого {1,..., } выполняется соотноше­ Определение 8. Определим 1 как множество, состоящее из всех ЧУМ, которые содержат подмножество из четырех элементов, изображенное на рисунке 1. Причем в не появляются пути из 0 в 3 по вершинам, явля­ ющимся максимумами 1 и 2. Уточним это понятие: не существует последова­ тельности элементов 1,..., в 1 такой, что 1 = 0, = 3, сравнимо максимумы 1 и 2.

Пусть 2 — множество всех ЧУМ, полученных из ЧУМ, принадлежащих множеству 1, инвертированием, пусть = 1 2.

Доказывается следующая основная теорема, формулирующая достаточ­ ные условия наличия у класса монотонных функций бесконечной надструк­ туры.

В решетке замкнутых классов над классом монотонных функ­ Теорема 1.

ций, сохраняющих любое ЧУМ из определенного выше множества, нахо­ дится бесконечная цепочка вложенных друг в друга различных замкнутых классов.

В разделе 1.3 изучаются надструктуры классов монотонных функций при малых. Доказываются следующие теоремы.

Любой класс монотонных функций в, где 4, построен­ Теорема 2.

ный на ЧУМ с одним минимальным элементом и не являющийся предпол­ ным, строго содержится только в классе Pol, принадлежащем семей­ ству C, и во всем.

Минимальной логикой с монотонным классом с бесконечной Теорема 3.

надструктурой является 4.

В дальнейшем используется следующее семейство предполных классов.

Определение 9.

непересекающиеся подмножества. Элементы, называются эквива­ лентными относительно указанного разбиения (обозначение ), если они принадлежат одной его компоненте. Наборы, называются эквивалентными относительно разбиения, если для любого {1,..., } для любых выполнено () ( Множество всех функций, сохраняющих некоторое нетривиальное раз­ биение множества является предполным в классом. Множество всех указанных классов образует семейство предполных классов U.

Обозначим через { } класс семейства U, все функции которого сохра­ Известно8, что для разбиения = { } множества справедливо представление { } = Pol (1, 2 ), где (1, 2 ) — двухместный преди­ кат, определяемый следующим образом: (, ) = тогда и только тогда, когда.

Вторая глава посвящена описанию общих свойств надрешетки классов монотонных функций.

В разделе 2.1 вводится понятие невырожденного предиката. Описыва­ ются свойства тех предикатов, на основе которых разрабатывается техника описания надрешетки классов монотонных функций. Применением данной техники в разделе 2.2 доказываются основные теоремы.

Обозначим через класс, равный пересечению всех предикатно-опису­ емых классов, строго содержащих. Следующая теорема описывает верх­ нюю окрестность произвольного класса монотонных функций.

Справедливо включение, и любой класс, строго Теорема 4.

содержащий класс монотонных функций, содержит класс.

Если ЧУМ обладает единственным минимальным элементом, то удает­ ся получить следующие важные свойства надрешетки классов монотонных функций.

8 Яблонский С. В., Гаврилов Г. П., Набебин А. А. Предполные классы в многозначных логиках.

Издательский дом МЭИ, Москва, 1997.

Пусть = Pol — класс монотонных функций, сохраняю­ Теорема 5.

щих ЧУМ с единственным минимальным элементом. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Для любого предикатно-описуемого класса такого, что, число замкнутых классов, содержащих класс, конечно.

2. Класс (см. предыдущую теорему) предикатно-описуем тогда и только тогда, когда надрешетка класса конечна.

3. Класс монотонных функций содержится в предполном классе семейства C, представимом в виде Pol, других предполных клас­ сов, содержащих класс, нет.

В разделе 2.3 рассматривается случай несвязного ЧУМ (см. определе­ ние 6). Пусть 1,..., — все компоненты связности, | | =. Строятся классы монотонных функций в, порожденные ЧУМ.

Теорема 6.

( {1,..., }), то класс монотонных функций содержится в пред­ полном классе { }, состоящем из функций, сохраняющих разбиение {} множества, другие предполные классы не содержат.

Пусть предикат задает класс монотонных функций, сохра­ Теорема 7.

няющих ЧУМ. Все компоненты связности суть 1,...,, || =.

Тогда:

1. Если для некоторого класс монотонных функций в имеет бесконечную наструктуру, то в также имеет бесконечную надструктуру.

2. Если каждое ЧУМ 1,..., имеет единственный минимальный или максимальный элемент, то класс имеет бесконечную надструк­ туру тогда и только тогда, когда хотя бы один из классов,..., имеет бесконечную надструктуру.

3. Если каждое ЧУМ 1,..., имеет единственный минимальный и максимальный элемент, то класс строго содержится только в В третьей главе наличия у класса монотонных функций бесконечной надструктуры, а также некоторые их следствия.

В разделе 3.1 приводятся достаточные условия для конечности надструк­ туры класса монотонных функций.

Определение 10. Через, будем обозначать множество ЧУМ, имею­ щих максимальных элементов и минимальных.

Рассмотрим произвольное ЧУМ из элементов множества, принад­ лежащее множеству,1. Пусть 1,..., — все максимальные элементы мно­ жества.

Пусть — некоторое непустое подмножество множества = {1,..., }.

Обозначим через ЧУМ, состоящее из элементов таких, что для любого и, если. Для любых двух элементов 1, 2 выполнено 1 2 тогда и только тогда, когда 1 2 в.

нены следующие условия:

1. Для любого непустого подмножества множества множество 2. Каждое множество имеет единственный максимальный элемент 3. Если, то для любых подмножеств, множе­ Любой класс монотонных функций, сохраняющих простое ЧУМ, Теорема 8.

имеет конечную надструктуру.

В разделе 3.2 устанавливается необходимое и достаточное условие на­ личия у классов монотонных функций из некоторых семейств бесконечной надструктуры.

Определение 12. Для произвольного обозначим через множество ЧУМ 21, составленных из элементов таких, что ЧУМ содержит подмножество из четырех элементов (с точностью до пометок элементов), изображенное на рисунке 1, причем во множестве пары элементов 0, 3 и 1, 2 остаются несравнимыми, не появляется элемента такого, что 0, 3 и 1, 2, и элементы 0, 3 являются максимальными в.

Теорема 9.

2,1, обладал бесконечной надструктурой, необходимо и достаточно, чтобы ЧУМ принадлежал семейству 1. В случае конечной надструк­ туры класс содержится только в классах Pol C и.

ЧУМ 22, составленных из элементов, таких, что ЧУМ содержит подмножество из четырех элементов (с точностью до пометок элементов), изображенное на рисунке 1, причем во множестве не появляется элемента такого, что 0, 3 и 1, 2; элементы 0, 3 являются максималь­ ными в или элементы 1, 2 — минимальными.

Теорема 10.

22, обладал бесконечной надструктурой необходимо и достаточно, чтобы ЧУМ принадлежало семейству 2. В разделе 3.3 доказывается неограниченность конечной надструктуры классов монотонных функций.

Для любого числа > 0 существует -значная логика с Теорема 11.

монотонным классом таким, что число различных классов, удовле­ творяющих, конечно, но превосходит число.

В четвертой главе ственных функций.

В разделе 4.1 даются необходимые определения, связанные с классами самодвойственных функций.

Определение 14. Функция -значной логики (1,..., ) называется самодвойственной относительно подстановки, если выполнено следую­ щее тождество: (1,..., ) = ( ((1 ),..., ( ))), где через 1 мы обозначаем подстановку, обратную к. Известно 9, что множество всех функ­ ций из, самодвойственных относительно, является замкнутым классом.

Обозначим этот класс через. Справедливо = Pol, где предикат истинен на всех парах вида (, ()).

Доказываются основные свойства классов самодвойственных функций и задающих их предикатов. Основным результатом является следующая теоре­ ма.

9 Яблонский С. В. Функциональные построения в -значной логике. Труды математического инсти­ тута им. В.А.Стеклова АН СССР. 1958. Т. 51. С. 5–142.

Решетка классов изоморфна решетке делителей числа относительно свойства делимости.

Также в разделе 4.1 вводятся семейства классов, содержащих классы самодвойственных функций.

Определение 15. Обозначим через S множество классов, где — делитель числа, = 1, =.

Определение 16. Через, будем обозначать подмножество множе­ ства, состоящее из всех элементов, образующих циклы подстановки, длины которых делят число.

Определение 17. Пусть подстановка определена на подмножестве, множества таком, что, =,, =, и равна на указанном множестве. Классом, назовем множество функций -значной логики, со­ храняющих следующий предикат: (1, 2 ) = тогда и только тогда, когда 1, 2, и 2 = (1 ), где — произвольный делитель числа, являющегося минимальным, удовлетворяющим =.

Определение 18. Через T будем обозначать множество классов,, где — наименьшее общее кратное длин циклов подстановки, элементы которых образуют множество,, — подстановка, определенная на мно­ жестве,, где, = и, =, и совпадающая с подстановкой на нем, — произвольный делитель числа, являющегося минимальным, удовлетворяющим =.

В разделе 4.2 исследуется структура формул над { }, где — пре­ дикат, задающий класс самодвойственных функций. Основным результатом раздела является следующая теорема, описывающая все классы, содержащие классы самодвойственных функций.

В решетке замкнутых классов -значной логики над классом Теорема 13.

самодвойственных функций находятся только классы семейств S, T, их пересечения и.

В разделе 4.3 изучается структура надрешетки произвольного класса самодвойственных функций.

Определение 19. Рассмотрим множество, для некоторого числа, являющегося наименьшим общим кратным длин некоторого подмножества циклов подстановки, причем, =. Пусть — подстановка, определен­ ная на множестве, и совпадающая с на указанном множестве (в случае, = справедливо = ). Пусть — делитель числа, являющийся минимальным, удовлетворяющим соотношению = на множестве,, где — тождественная подстановка. В случае, если, =, обозначим через, класс, в противном случае (то есть, если, ) обозначим через, класс,.

Теорема 14.

щие условия:

2. HOД(1, 2)|2.

3. Для любого цикла длины подстановки на множестве,, число не делит HOK(1, 2).

1. Найдены достаточные условия для наличия у класса монотонных функ­ ций бесконечной надструктуры.

2. Найдена минимальная логика, содержащая класс монотонных функций с бесконечной надструктурой, а также минимальная логика, содержа­ щая класс монотонных функций с бесконечной надструктурой, порож­ денный ЧУМ, обладающим единственным минимальным элементом.

3. Доказано, что в случае, когда класс монотонных функций порож­ ден ЧУМ, обладающим единственным минимальным элементом, над­ структура любого предикатно-описуемого класса такого, что, 4. Описаны основные свойства надрешетки классов монотонных функций (верхняя окрестность, предполные классы).

5. Описана связь надструктуры класса монотонных функций, сохраняю­ щих несвязное ЧУМ, с надструктурой классов монотонных функций, сохраняющих компоненты связности ЧУМ.

6. Найдено необходимое и достаточное условие для наличия бесконечной надструктуры у класса монотонных функций, сохраняющих ЧУМ с не более чем двумя максимальными и двумя минимальными элементами.

7. Показана неограниченность конечной надструктуры у классов монотон­ ных функций.

8. Полностью описана надструктура классов самодвойственных функций.

Публикации по теме диссертации О некоторых свойствах монотонных функций в много­ 1. Ларионов В. Б.

значных логиках // Тезисы докладов XV Международной конференции «Проблемы теоретической кибернетики» (Казань, 2—7 июня 2008 г.), из­ дательство «Отечество», Казань, 2008. С. 71–72.

О положении некоторых классов монотонных k-знач­ 2. Ларионов В. Б.

ных функций в решетке замкнутых классов // Материалы XVII Меж­ дународной школы-семинара «Синтез и слжность управляющих систем»

имени академика О. Б. Лупанова (Новосибирск, 27 октября—1 нояб­ ря 2008 г.), Издательство Института математики, Новосибирск, 2008.

С. 90-95.

О положении некоторых классов монотонных k-знач­ 3. Ларионов В. Б.

ных функций в решетке замкнутых классов // Дискретная математи­ ка. 2009. Т. 21, № 5. С. 111–116.

О надструктуре классов самодвойственных функций 4. Ларионов В. Б.

в многозначных логиках // Труды VIII Международной конференции «Дискретные модели в теории управляющих систем» (Москва, 6—9 ап­ реля 2009 г.), издательский отдел факультета ВМК МГУ, Москва, 2009.

С. 197–201.

5. Ларионов В. Б.

значной логики с бесконечной надструктурой // Материалы VII моло­ дежной научной школы по дискретной математике и ее приложениям (18—23 мая 2009 г.), М.: ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 2009. С. 7–12.

О положении самодвойственных k-значных функций в 6. Ларионов В. Б.

решетке замкнутых классов // Сборник статей молодых ученых фа­ культета ВМК МГУ, вып. 6, издательский отдел факультета ВМК МГУ, Москва, 2009. С. 90–105.

О надструктуре некоторого семейства замкнутых 7. Ларионов В. Б.

классов монотонных k-значных функций // Материалы XVIII Меж­ дународной школы-семинара «Синтез и сложность управляющих си­ стем» имени академика О. Б. Лупанова (Пенза, 28 сентября—3 октяб­ ря 2009 г.), изд-во механико-математического факультета МГУ, Москва, 2009. С. 56–61.

Критерий конечности надструктуры некоторых клас­ 8. Ларионов В. Б.

сов монотонных -значных функций, сохраняющих частичный поря­ док с единственным минимальным элементом // Материалы X Меж­ дународного научного семинара «Дискретная математика и ее приложе­ ния» (1—6 февраля 2010 г.), изд-во механико-математического факуль­ тета МГУ, Москва, 2010. С. 186–189.

О надструктуре классов монотонных функций в много­ 9. Ларионов В. Б.

значных логиках // Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, вып. 7, издательский отдел факультета ВМК МГУ, Москва, 2010.

С. 42-59.