Федеральное государственное бюджетное учреждение наук

и

Институт проблем машиноведения

Российской академии наук

На правах рукописи

Гаврилов Сергей Николаевич

НЕСТАЦИОНАРНАЯ ДИНАМИКА

УПРУГИХ ТЕЛ С ПОДВИЖНЫМИ

ВКЛЮЧЕНИЯМИ И ГРАНИЦАМИ

01.02.04 механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Санкт-Петербург 2013

Работа выполнена в лаборатории гидроупругости Федерального государственного бюджетного учреждения науки Институт проблем машиноведения Российской академии наук.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, чл.-корр. РАН БУРЕНИН Анатолий Александрович (ФГБУН Институт машиноведения и металлургии Дальневосточного отделения Российской академии наук, директор) доктор физико-математических наук, доцент ЕРЕМЕЕВ Виктор Анатольевич (Южный научный центр Российской академии наук, зав.

лаб. “Механика активных материалов”) доктор физико-математических наук, профессор КИСЕЛЁВ Алексей Прохорович (ФГБУН Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН, в.н.с.)

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем мeханики им.

А.Ю. Ишлинского Российской академии наук.

Защита состоится 2013 г. в часов на заседании совета Д 002.075.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт проблем машиноведения Российской академии наук по адресу: 199178, СанктПетербург, В.О., Большой пр., д. 61.

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ ФГБУН Институт проблем машиноведения Российской академии наук.

Автореферат разослан 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.075. доктор технических наук, профессор В.В. Дубаренко Общая характеристика диссертации Актуальность темы. В различных разделах современной механики деформируемого твердого тела возникает необходимость исследования сходных математических задач. Именно: имеется упругий континуум (упругое тело) и подвижной источник (в диссертации подвижное инерционное включение или подвижная граница), способный изменять свое пространственное положение внутри континуума и взаимодействующий с ним. Разделами механики, где такие задачи совершенно естественны, являются, например, механика упругих систем с подвижными нагрузками, в которой подобные задачи были рассмотрены впервые, а также более новые разделы, такие, как механика фазовых превращений (подвижной источник фазовая граница), разномодульная теория упругости (источник подвижной разрывной фронт), механика разрушения (источник трещина), теория дислокаций и дефектов.

Сходство математических постановок подобных задач диктуется сходством физических явлений, которые они описывают. Рассмотрение энергетического баланса для движущегося источника дает возможность определить реакцию континуума на его движение (так называемую конфигурационную силу), что позволяет формулировать нестационарные задачи двух типов (в диссертации задачи кинематического и силового типов). В задачах кинематического типа задается закон движения источника; требуется определить движение упругого тела и, если это необходимо, конфигурационную силу. В задачах силового типа заданы силовые воздействия, вызывающие движение источника, и разыскиваются движение источника и движение упругого тела. Задачи силового типа особенно сложны: по своей сути они являются нестационарными, кроме того, известно, что они всегда нелинейны. Даже для более простых задач кинематического типа распространенной является ситуация, когда вместо нестационарной задачи рассматривается стационарная, в которой источник движется с постоянной скоростью, и разыскивается автомодельное решение, неизменное в подвижной системе координат, движущейся вместе с источником. Что касается собственно нестационарных задач, то систематически в литературе применяются два аналитических подхода: метод интегральных преобразований и вычисление (или асимптотическая оценка) интеграла свертки фундаментального решения соответствующего оператора в частных производных с функцией нагрузки. Оба этих подхода применимы только для задач кинематического типа и достаточно эффективны для нестационарных задач, где внезапно возникший источник движется далее с постоянной скоростью. В некоторых частных случаях с их помощью удается исследовать решения задач, в которых источник движется с переменной скоростью, однако в целом для таких задач данные подходы не являются достаточно эффективными. Возможными подходами также являются численная оценка интеграла свертки или прямое численное моделирование, которое, однако, как правило, неэффективно для выявления качественных закономерностей в решениях соответствующих задач. Таким образом, определение качественных и количественных закономерностей поведения упругих тел с подвижными включениями и границами, не поддающихся анализу в рамках стационарных постановок задач, является весьма актуальной проблемой. В связи с этим возникает необходимость в разработке нового, альтернативного, аналитического подхода к решению нестационарных задач механики упругих тел с включениями и границами, движущимися с переменной скоростью, допускающего систематическое применение в различных разделах современной механики деформируемого твердого тела.

Целями диссертационной работы являются:

• определение качественных и количественных закономерностей поведения упругих тел с подвижными включениями и границами, не поддающихся анализу в рамках стационарных постановок задач;

• разработка нового аналитического подхода, допускающего систематическое применение для решения задач динамики упругих тел с включениями и границами, движущимися с переменной скоростью;

• демонстрация эффективности данного подхода посредством решения ряда задач, исследование которых представляет самостоятельный интерес.

Методы исследований. В диссертации получены аналитические решения ряда нестационарных задач механики упругих тел с подвижными включениями и границами при помощи асимптотических методов.

Теоретическая и практическая значимость диссертации. Диссертация носит теоретический характер. Разработанный в ней аналитический подход к исследованию нестационарных процессов в упругих телах с подвижными включениями и границами может быть применён к широкому классу задач из различных разделов механики сплошных сред. Результаты главы дают представление об области применимости квазистатического подхода, широко используемого в теории фазовых превращений в упругих телах. Результаты главы 3 были получены при финансовой поддержке Shell E.&P. и могут быть использованы в геофизических приложениях. Результаты глав 2 и 5 могут быть использованы в инженерных приложениях, связанных с развитием железнодорожного транспорта.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгой математической постановкой задач, применением математически обоснованных методов решения, полученными предельными переходами к известным случаям, использованием компьютерных систем аналитических вычислений для проверки аналитических результатов, совпадением с результатами численных расчетов.

Научная новизна. В диссертации разработан новый аналитический подход к решению нестационарных задач динамики упругих тел с включениями и границами, движущимися с переменной скоростью, связанный с представлением решений рассматриваемых задач в виде многомасштабных асимптотических разложений по малому параметру (являющемуся свойством рассматриваемых механических систем). Продемонстрирована эффективность предложенного подхода посредством решения ряда не исследованных ранее нестационарных задач механики деформируемого твёрдого тела, представляющих самостоятельный интерес. Проведена верификация квазистатического подхода, широко используемого в литературе для задач механики фазовых превращений в упругих телах.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, представлялись на ежегодных летних школах-конференциях “Advanced Problems in Mechanics” (С.-Петербург, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2009, 2010, 2011, 2013); на международных конференциях “Days on Diraction” (С.Петербург, 2002, 2013); на Всероссийских съездах по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001; Нижний Новгород, 2006); на международных конгрессах ICTAM (Чикаго, США, 2000; Варшава, Польша, 2004); на съезде немецкого общества прикладной математики и механики GAMM (Падуя, Италия, 2003); на конференции (workshop) “Mechanics of Materials” (Обервольфах, Германия, 2002); на восьмой международной конференции “Современные проблемы механики сплошных сред” (Ростов-на-Дону, 2002); на III Всероссийской конференции по теории упругости (Азов, 2003); на 484 коллоквиуме Euromech “Wave Mechanics and Stability of Long Flexible Structures Subject to Moving Loads and Flows” (Делфт, Нидерланды, 2006); на 68 международной конференции–выставке EAGE (Вена, Австрия, 2006); на международной конференции–выставке EAGE “Geosciences To Discover and Develop” (С.-Петербург, 2006); на рабочих встречах исследовательского кластера СПбГУ–РАН и Shell E.&P; на семинаре под руководством Ж. Можена (Париж, Франция, 2002); на семинаре под руководством А. Кастельяноса (Севилья, Испания, 2007); на докладах на Городском семинаре по вычислительной и теоретической акустике (руководитель семинара д.ф.-м.н. Д.П.

Коузов); на семинаре кафедры теоретической механики СПбГПУ (руководитель семинара д.ф.-м.н. А.М. Кривцов).

В полном объеме диссертация докладывалась на семинаре академика Н.Ф. Морозова (С.-Петербург) в 2012 г.; на семинаре Института механики МГУ (руководитель семинара академик РАН И.Г. Горячева) в 2012 г.; на семинаре ИПМех РАН (руководитель семинара чл.-корр. РАН Р.В. Гольдштейн) в 2012 г.; на Санкт-Петербургском городском семинаре по механике (руководитель семинара чл.-корр. РАН Д.А. Индейцев) в 2013 г.

На различных этапах данная работа поддерживалась грантами РФФИ (99-01-00693, 05-01-00785, 08-01-00691, 11-01-00385); грантом Президента РФ для молодых кандидатов наук (МК-5355.2007.1); грантом Фонда содействия отечественной науке; Shell E.&P. (CRDF грант RG0-1318(8)-ST-02); грантом Правительства С.-Петербурга (PD04-1.10-89); входила в Программы фундаментальных исследований РАН академиков Н.Ф. Морозова и И.Г. Горячевой.

Публикации по теме диссертации. Результаты диссертационной работы опубликованы в 21 работе [1–21], в том числе в 10 работах в изданиях, входящих в международную базу цитирования Web of Science [1,2,9,11,12,15, 16, 19–21]. Работа [8] опубликована в издании, входящем в международную базу цитирования SCOPUS. Работы [3,17] опубликованы в журнале из списка российских изданий, рекомендованных ВАК России.

Полнота изложения материала. Все результаты диссертации опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК России.

Личное участие автора. По теме диссертации опубликовано 11 работ, подготовленных лично автором, и 10 работ в соавторстве. В работах [18, 21] автору принадлежат результаты исследования эволюции локализованной моды колебаний (доказательство наличия смешанного спектра собственных колебаний в системе “струна на упругом основании подвижное инерционное включение” принадлежит Д.А. Индейцеву). В работах [13–15] автору принадлежит постановка задачи и метод её исследования, решение выполнялось совместно с Е.В. Шишкиной. В работах [10, 11] автору принадлежит решение задачи (постановка задачи принадлежит Х. Херману). Работа [12] была начата диссертантом совместно с Х. Херманом (постановка задачи) и завершена после кончины соавтора (решение задачи). В работах [16, 17] автору принадлежит процедура построения асимптотического разложения, позволившая получить решение рассмотренных задач.

Структура и объём диссертации. Диссертация изложена на 239 страницах и состоит из введения, пяти глав и списка использованной литературы.

Библиография включает 186 наименований.

Краткое содержание диссертации В диссертации приняты следующие обозначения, общие для всех глав:

малый параметр; t время; x пространственная координата (в рассматриваемых задачах движение источника происходит вдоль оси x); (t) положение подвижного источника (подвижного включения или подвижной границы) на оси x; производная по пространственной координате x некоторой величины ; производная по времени t некоторой величины ;

± предельные значения слева и справа некоторой величины при x = (t);

скачок некоторой величины при x = (t); полусумма предельных значений слева и справа некоторой величины при x = (t); H функция Хевисайда; дельта-функция Дирака.

Первая глава диссертации имеет вводный характер. В ней обсуждаются особенности постановки нестационарных задач о взаимодействии упругих тел с подвижными источниками, а также понятие конфигурационной силы величины, характеризующей энергетический обмен между упругой средой и подвижным источником. Существует два типа конфигурационных сил: внешние и внутренние (классификация принадлежит М. Гартину). Внешняя конфигурационная сила (сила вибрационного давления, сила волнового сопротивления движению) представляет собой реакцию среды на движение инерционного включения. Это понятие было введено в механику работой лорда Рэлея и в последствии обсуждалось в работах Е.Л. Николаи, Т. Хавелока, А.И. Весницкого, Г.Г. Денисова, А.В. Метрикина и многих других авторов. Внутренняя конфигурационная сила (термодинамическая сила, материальная сила) представляет собой реакцию среды на движение неоднородности упругих свойств материала (в частности, на движение подвижной границы, разделяющей зоны внутри материала, обладающие различными упругими свойствами). Это понятие было введено в механику работами Дж. Эшелби, Г.П. Черепанова и Дж. Райса и в последствие рассматривалось в работах Ж. Можена, Р. Кинцлера, Дж. Херрманна и многих других авторов. С единых позиций внешние и внутренние конфигурационные силы были рассмотрены М. Гартиным (хотя фактически Г.П. Черепанов рассматривал их совместно значительно раньше, не делая при этом акцент на некотором их отличии).

В диссертации кратко рассматриваются три классические задачи (задача Рэлея, раздел 1.1.1; задача Николаи, раздел 1.1.2; задача Эшелби, разделы 1.2.1–1.2.3) с целью демонстрации сходства постановок задач, исследуемых далее в диссертации, а также вывода некоторых известных формул.

В разделе 1.1.2 на примере задачи Николаи (задачи о движении точечного инерционного включения по струне) выводится формула для потока энергии J от точечного включения:

внешняя конфигурационная сила, u U = u( (t), t) перемещение включения, P0 сила, действующая на струну со стороны включения. В разделе 1.1.3 продемонстрировано, что внешняя конфигурационная сила может быть представлена как сумма воздействия извне и самовоздействия.

В разделе 1.2.2 выводится формула для потока энергии J от подвижной границы (разрыва поля деформаций), разделяющей зоны внутри материала, обладающие различными упругими свойствами, распространяющейся в прямом упругом стержне при его продольных колебаниях:

Здесь Fint внутренняя конфигурационная сила, W внутренняя энергия стержня на единицу длины, T внутренняя сила в стержне, u перемещения стержня.

Предлагается классификация нестационарных задач о взаимодействии упругих тел с подвижными источниками (задачи кинематического и силового типа), см. разделы 1.1.4 и 1.2.4.

Задачи о подвижных включениях, где закон движения включения заданная функция, являются задачами кинематического типа. В задачах силового типа закон движения включения считается неизвестной функцией, подлежащей определению при помощи уравнения продольного движения включения, которое, к примеру, в задаче Николаи имеет вид (где f0 (t) заданная сила тяги, m0 масса включения), и начальных условий к нему. Задачи кинематического типа для подвижных включений рассматриваются в главе 2 диссертации (раздел 2.1) и главе 5, задачи силового типа в главе 2 (раздел 2.2).

В зависимости от вида определяющего соотношения рассматриваемого материала положения разрывных фронтов (подвижных границ), которые могут в нем распространяться, либо могут быть определены решением уравнений движения с учетом начальных и граничных условий к ним, либо должны рассматриваться как дополнительные степени свободы. Первая ситуация характерна, например, для разномодульной теории упругости (рассматривается в главе 3 диссертации) и соответствует задаче кинематического типа, а вторая рассматривается в теории фазовых превращений в упругих телах и соответствует задаче силового типа (глава 4 диссертации). Требование того, чтобы свободно распространяющаяся подвижная граница не являлась источником энергии для окружающей её упругой среды, приводит к так называемому термодинамическому неравенству В задачах кинематического типа выполнение данного неравенства на всех подвижных разрывах является критерием выбора энергетически допустимых решений и необходимым условием единственности решения. В задачах силового типа требуется сформулировать дополнительное условие на подвижных границах. В качестве дополнительного условия обычно используется так называемое термодинамическое условие, смысл которого состоит в задании некоторой связи между скоростью движения границы и конфигурационной силой, гарантирующей выполнение термодинамического неравенства.

В заключение (раздел 1.4) формулируются основные идеи аналитического подхода к исследованию задач динамики упругих тел с включениями и границами, движущимися с переменной скоростью. Данный подход используется далее для исследования задач, рассмотренных в главах 2–4 диссертации.

Для задач кинематического типа предлагается следующий метод исследования.

1) В системе обнаруживается (или искусственно вводится туда) малый параметр, позволяющий рассматривать её как систему с медленно изменяющимися (во времени или в пространстве) параметрами.

2) Решение задачи представляется в виде многомасштабного асимптотического разложения по малому параметру.

3) Для определения главного члена асимптотического представления решения в окрестности источника используется асимптотический подход типа метода многих масштабов (МММ). При этом целью применяемой асимптотической процедуры является переход от исходной задачи для уравнения в частных производных, описывающего упругий континуум вокруг источника, к некоторой редуцированной задаче, формулируемой для “обобщённой координаты” (t) (положения источника) в терминах величин1, измеренных под подвижным источником (или их предельных значений в окрестности источника).

4) Разрешая редуцированную задачу при помощи асимптотических методов типа МММ, получаем описание движения системы в окрестности источника, справедливое на временах t = O( 1 ).

5) На последнем этапе, при необходимости, при помощи уравнения в частных производных определяется решение на удалении от источника.

Для задач силового типа предлагается следующий метод исследования.

1) Считая закон движения источника (t) произвольной достаточно гладкой функцией и решая задачу кинематического типа, находим функциональную зависимость u± { (t)}( (t), t) деформации (а точнее, её предельных значений u± ) под подвижным источником от закона движения источника 2) Подставляя найденную функциональную зависимость u± { (t)}( (t), t) деформации от закона движения источника в выражение для конфигурационной силы, входящее в правую часть уравнения движения источника, находим неизвестное положение источника (t).

Таким образом, решение задачи силового типа сводится к решению задачи кинематического типа с законом движения (t) достаточно общего вида.

Во второй главе рассматриваются нестационарные задачи динамики бесконечной струны на винклеровском основании, по которой с переменной докритической скоростью движется инерционное включение (инерционная подвижная нагрузка). Во введении представлен аналитический обзор литературы по нестационарным задачам динамики струны под действием подвижной нагрузки. Задачи нестационарной динамики струны под действием подвижной нагрузки рассматривались В.Л. Андриановым, С. Байером, А.И. Весницким, А. Вулфертом, Н.В. Дерендяевым, Б. Диниевичем, Х. Дитерманом, Ю.Д. Каплуновым, С.В. Крысовым, Е.Е. Лисенковой, С.Б. Малановым, Например, деформаций или материальных скоростей.

А.В. Метрикиным, Г.Б. Муравским, Р. Родеманом, Л.И. Слепяном, Ч. Смитом, И.Н. Солдатовым, У. Стронджем, Г.А. Уткиным, Ф.T. Флаэрти, Л. Фрибой и другими авторами.

В задаче кинематического типа, рассматриваемой в разделе 2.1, закон движения включения считается заданной функцией.

В разделе 2.1.1 представлена постановка задачи. Уравнения движения имеют вид Здесь u и U u (t), t перемещения струны и включения соответственно, c скорость поперечных волн в струне, P0 = P T0 неизвестная вертикальная проекция силы, действующей на струну со стороны включения, p0 = pT заданная внешняя вертикальная сила, действующая на включение (например, вес), m0 = mT0 масса включения, k0 = kT0 коэффициент упругости основания, T0 сила натяжения невозмущенной струны. Начальные условия задаются в виде u t 0 разыскиваются в виде Здесь амплитуда W (X, T ), волновое число (X, T ) и частота (X, T ) неизвестные функции, подлежащие определению; W W и при sign = ±1. Будем полагать, что характерное время, за которое скорость v претерпевает существенные изменения, значительно больше характерного времени, за которое происходит установление волновых процессов в случае a = 0. Тогда решение задачи о движении включения с постоянной скоростью показывает, что естественно принять некоторые априорные предположения о структуре решения в случае малого ускорения a. Именно, пусть при больших временах решение задачи под включением имеет вид где суммирование ведется по набору частот T = {0, ±0 (T )}. Асимптотическая процедура, основанная на методе многих масштабов, предложенная в диссертации, позволяет получить следующий результат: