[ «Кафедра алгебры и геометрии УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ “ГЕОМЕТРИЯ” (СПЕЦИАЛЬНОСТЬ: 050201.65 – “Математика”) Составил: Коробейников В.С. УМК утверждён на заседании кафедры алгебры и геометрии: протокол № ...»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
“Тобольский государственный педагогический институт
имени Д.И. Менделеева”
Кафедра алгебры и геометрии
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
“ГЕОМЕТРИЯ” (СПЕЦИАЛЬНОСТЬ: 050201.65 – “Математика”) Составил:
Коробейников В.С.
УМК утверждён на заседании кафедры алгебры и геометрии:
протокол № 7 от 12. 02. 2008 Тобольск
С О Д Е Р Ж А Н И Е УМК
Рабочая программа......... ПРИЛОЖЕНИЕ I Конспект лекций..... Содержание практических занятий и меПРИЛОЖЕНИЕ II тодические указания для студентов..Раздел I. Аналитическая геометрия плоскости Практические занятия № № 1-3.. Практическое занятие № 4... Практические занятия № № 5-6. Практическое занятие № 7... Практическое занятие № 8... Практическое занятие № 9... Практические занятия № № 10-11.. Практические занятия № 12-14.. Практические занятия № 15-16.. Практические занятия № 17-18.. Раздел II. Аналитическая геометрия пространства Практическое занятие № 1... Практическое занятие № 2... Практическое занятие № 3... Практическое занятие № 4... Практическое занятие № 5... Практическое занятие № 6... Практическое занятие № 7... Практическое занятие № 8... Практическое занятие № 9... Раздел III. Основания геометрии. Геометрические построения на плоскости Практические занятия № № 1-3.. Практические занятия № № 4-5.. Практические занятия № № 6-9.. Практические занятия № № 10-13.. Практические занятия № № 14-16.. Раздел IV. Проективная геометрия Практические занятия № № 1-3.. Практические занятия № № 4-6.. Практические занятия № № 7-11.. Практические занятия № № 12-13.. Практические занятия № № 14-16.. Раздел V. Дифференциальная геометрия Практические занятия № № 1-2.. Практические занятия № № 3-4.. Практические занятия № № 5-6.. Практические занятия № № 7-8.. Практические занятия № № 9-10.. Практические занятия № № 11-13.. Практические занятия № № 14-15..
СОДЕРЖАНИЕ
Содержание самостоятельной работы стуПРИЛОЖЕНИЕ III дентов и методические указания к её вы- полнению......1. Домашние задания Раздел I. Аналитическая геометрия плоскости Домашние задания № № 1-3.. Домашнее задание № 4... Домашние задания № № 5-6.. Домашнее задание № 7.... Домашнее задание № 8.... Домашнее задание № 9.... Домашние задания № № 10-11... Домашние задания № № 12-14... Домашние задания № № 15-16... Домашние задания № № 17-18... Раздел II. Аналитическая геометрия пространства Домашнее задание № 1... Домашнее задание № 2... Домашнее задание № 3... Раздел III. Основания геометрии. Геометрические
СОДЕРЖАНИЕ
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Тобольский государственный педагогический институтПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ: 050201.65 – “Математика” специализация: Алгебра и геометрияСОДЕРЖАНИЕ
Цели и задачи дисциплины Требования к уровню освоения дисциплины.Объём дисциплины и виды учебной работы Содержание дисциплины.
4.2.3. Задания для самостоятельной работы студентов Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
5.2. Средства обеспечения освоения дисциплины. Материально-техническое обеспечение дисциплины.
Содержание текущего и промежуточного контроля.
7.1. Перечень примерных контрольных вопросов и 7.3. Примерная тематика рефератов и курсовых работ 7.4. Методика проведения контрольных мероприятий Методические рекомендации по организации изучения Учебная практика по дисциплине
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Дисциплина “Геометрия” относится к циклу специальных дисциплин и изучается в II-м, III-м, IV-м, V-м и VI-м семестрах I, II и III курсов. На её изучение отведено 558 часов, из них аудиторных – 304 часа: 152 часа лекций и 152 часа практических занятий. Лекционные и практические занятия распределены следующим образом:На самостоятельную работу студентов выделено 254 часа. Формы итогового контроля: зачёты в III-м и V-м семестрах, экзамены – во II-м, IV-м и VI-м семестрах.
I. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
В соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов курс геометрии в педагогическом институте должен развивать у будущего учителя достаточно широкий взгяд на геометрию и вооружить конкретными знаниями, умениями, навыками, дающими ему возможность преподавать геометрию в средних учебных заведениях разных профилей и квалифицированно вести факультативные курсы и спецсеминары по геометрии.Курс геометрии – составная часть общего математического образования, дающая математическую культуру и фундаментальные знания, позволяющие студентам в будущем овладеть самостоятельно дополнительными знаниями, необходимыми в их дальнейшей работе. Другими словами, изучение этого курса должно способствовать развитию мышления студентов средствами геометрии, их пространственного воображения, представления.
В результате изучения дисциплины «Геометрия» студент должен овладеть:
системой основных геометрических структур;
теоретико-групповым подходом построения геометрии относительно соответствующих групп преобразований;
аксиоматическим методом построения геометрических теорий.
Вместе с тем, студенты должны различать вопросы аффинного и метрического, проективного и топологического характера, использовать системы координат для решения различных задач; глубоко понимать проективную точку зрения на евклидову и неевклидовы геометрии, их модели, уметь пользоваться теоретико-множественной и логической символикой, владеть различными методами решения геометрических задач.
Программа дисциплины «Геометрия» включает шесть разделов, которые связаны теоретико-групповой идеей.
Изучение дисциплины направлено на подготовку студентов к выполнению следующих видов профессиональной деятельности:
учебно-воспитательную;
научно-методическую;
культурно-просветительскую.
В рамках этих видов деятельности студенты должны быть готовы к решению следующих профессиональных задач:
учебно-воспитательная:
– проводить уроки математики с учащимися различного возраста с учётом особенностей учебных программ;
– использовать в процессе обучения математики современные информационные, компьютерные и педагогические технологии, различные формы и методы обучения;
– обучать учащихся приёмам учебной и познавательной деятельности;
– использовать различные формы контроля за результатами усвоения научно-методическая:
– уметь организовывать научно-исследовательскую деятельность учащихся;
– участвовать в работе методических объединений учителей;
– уметь организовать учебно-методическую работу в школе и т.д.
культурно-просветительская:
– владеть основными понятиями математики, уметь использовать математический аппарат при изучении и количественном описании реальных процессов и явлений, иметь целостное представление о математике как науке, её месте в современном мире и в системе наук;
– уметь анализировать собственную деятельность с целью её совершенствования и повышения своей квалификации;
– уметь стимулировать развитие внеурочной деятельности учащихся.
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В результате изучения каждого раздела дисциплины студенты должны приобрести следующие знания и умения:Раздел I: Аналитическая геометрия плоскости Знать определения вектора и алгебраических операций с векторами.
Владеть векторным методом решения геометрических задач.
Уметь использовать метод координат для изучения теории прямых и кривых второго порядка на плоскости.
Знать основные свойства линий второго порядка и их классификацию.
Владеть теорией преобразований плоскости и уметь применять её для решения задач геометрии.
Раздел II: Аналитическая геометрия пространства Знать основные факты теории прямых, плоскостей и поверхностей второго порядка.
Уметь работать с уравнениями прямых, плоскостей и поверхностей второго порядка.
Знать элементы многомерной аффинной и евклидовой геометрий.
Геометрические построения на плоскости Иметь представления о математической структуре и её модели.
Владеть аксиоматикой Гильберта и Вейля для построения чертежей.
Знать основные факты геометрии Лобачевского, уметь обосновывать её непротиворечивость.
Владеть основными методами решения задач на построение циркулем и линейкой.
Владеть основными фактами, идеями и методами проективной геометрии.
Знать свойства линий второго порядка на проективной плоскости.
Уметь применять факты проективной геометрии для решения задач элементарной геометрии.
Понимать связь проективной геометрии с аффинной и евклидовой геометриями.
Раздел V: Дифференциальная геометрия Знать основные факты теории пространственных и плоских линий и их уравнений.
Уметь вычислять длину линии, её кривизну и кручение.
Владеть теорией поверхностей, иметь представление о внутренней геометрии поверхности.
Уметь решать задачи, связанные с касательной плоскостью к поверхности.
Иметь представление о геометрии поверхностей постоянной полной кривизны.
Приводимая ниже (в приложении I К УП) примерная тематика контрольных работ по курсу геометрии позволяет более предметно судить о приобретаемых в процессе обучения знаниях, умениях и навыках.
3. ОБЪЁМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ
Общая трудоёмкость дисциплины Аудиторные занятия Практические занятия (в том числе по 2 аудиторные контрольные работы) – темы, выносимые на самостоятельное изучение – подготовка к практическим занятиям – выполнение заданий творческого4. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
4.1. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ ЗАНЯТИЙ
Основания геометрии. Геометрические построения4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
Тема: Понятие вектора. Сонаправленные и противоположно направленные векторы II Тема: Общее уравнение прямой и расположение прямой относительно координатных осей Тема: Преобразования плоскости. Группа всех преобразований плоскости – конспект лекций по дисциплине дан в приложении I к УМК Семестр Раздел, тема, содержание лекции Раздел II: Аналитическая геометрия пространства.Тема: Общие уравнения кривых и поверхностей IIго порядка Раздел II: Аналитическая геометрия пространства.
Тема: Уравнение касательной к линии второго порядка Раздел II: Аналитическая геометрия пространства.
Тема: Классификация поверхностей второго порядка Тема: Эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, конусы, цилиндры Тема: Прямолинейные образующие поверхностей IIго порядка Раздел II: Аналитическая геометрия пространства.
Тема: Различные виды уравнений прямой в пространстве Тема: Различные виды уравнений плоскости в пространстве Раздел II: Аналитическая геометрия пространства.
Тема: Общее уравнение плоскости и расположение Раздел II: Аналитическая геометрия пространства.
Тема: Взаимное расположение двух прямых в пространстве Раздел II: Аналитическая геометрия пространства.
Раздел II: Аналитическая геометрия пространства.
Раздел II: Аналитическая геометрия пространства.
Раздел III: Основания геометрии. Геометрические построения на плоскости.
Тема: Математическая структура и непротиворечивость Раздел III: Основания геометрии. Геометрические построения на плоскости.
Тема: Пятый постулат Евклида и аксиома параллельности.
Тема: Аксиоматика Вейля евклидовой геометрии и непротиворечивость евклидовой геометрии Раздел III: Основания геометрии. Геометрические построения на плоскости.
Тема: Параллельность по Лобачевскому и функция Лобачевского Тема: Основные теоремы геометрии Лобачевского Раздел III: Основания геометрии. Геометрические построения на плоскости.
Тема: Длины отрезков и площади многоугольников в геометриях Евклида и Лобачевского Тема: Модель плоскости Лобачевского. Непротиворечивость геометрии Лобачевского Раздел III: Основания геометрии. Геометрические построения на плоскости.
Тема: Элементы стереометрии в геометрии Лобачевского Тема: Элементарные линии и поверхности в геометрии Тема: Принцип двойственности проективной плоскости Тема: Двойное отношение четверки точек на проективной Тема: Группа проективных преобразований плоскости.
Тема: Классификация линий второго порядка на проективной плоскости Тема: Геометрии аффинная, евклидова и Лобачевского с Семестр Раздел, тема, содержание лекции Тема: Касательная плоскость и нормаль к поверхности Тема: Главные направления и главные кривизны поверхности Тема: Классификация точек поверхности. Индикатриса Дюпена Тема: Изгибание поверхности. Внутренняя геометрия Тема: Связь первой и второй квадратичных форм поверхности Тема: Коэффициенты связности. Теорема Гаусса о Тема: Геодезическая и нормальная кривизны линии Тема: Поверхности постоянной полной кривизны Тема: Геометрия Лобачевского как внутренняя геометрия псевдосферы Тема: Понятие вектора. Сонаправленные и противоположно направленные векторы Тема: Алгебраические операции над векторами Тема: Применение векторов к решению геометрических задач Тема: Угол между векторами. Длина вектора Тема: Скалярное произведение векторов Тема: Деление отрезка в данном отношении Тема: Симметрия относительно точки Тема: Применение векторов к решению геометрических задач Тема: Различные виды уравнений прямой на Тема: Метод координат и его применение к решению геометрических задач Тема: Гомотетии плоскости. Группа гомотетий Тема: Движения плоскости. Группа движений Тема: Подобия плоскости. Группа подобий Тема: Применение групп преобразований плоскости к решению геометрических задач Тема: Эллипс, его свойства и характеристики Тема: Гипербола и парабола: свойства и характеристики Тема: Приведение уравнения кривой второго Тема: Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду Тема: Прямолинейные образующие поверхностей II-го порядка Тема: Смешанное произведение векторов и его применение при решении геометрических Тема: Различные виды уравнений прямой в пространстве Тема: Различные виды уравнений плоскости в – содержание практических занятий и методические указания к их выполнению даны в прилжении II к Тема: Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Тема: Взаимное расположение двух плоскостей Тема: Взаимное расположение двух прямых в Тема: Угол между двумя прямыми Тема: Угол между двумя плоскостями Тема: Угол между прямой и плоскостью Тема: Расстояние от точки до плоскости Тема: Расстояние между двумя плоскостями Тема: Расстояние от точки до прямой Тема: Расстояние между двумя прямыми Тема: Векторный метод решения задач на плоскости и в пространстве Тема: Применение скалярного произведения для решения задач элементарной геометрии Тема: Аксиомы циркуля и линейки. Основные задачи на построение циркулем и линейРаздел III:
Тема: Метод геометрических мест точек (метод геометрии.
пересечений) решения задач на построеГеометрические Тема: Метод преобразований плоскости (дви- плоскости.
жений, гомотетий) решения задач на построение Тема: Алгебраический метод решения задач на Тема: Задачи на построение, не разрешимые Тема: Построение правильных многоугольников Тема: Проективные координаты на проективной прямой и проективной плоскости. Однородные координаты Тема: Прямая на проективной плоскости.
Тема: Принцип двойственности проективной Тема: Применение теоремы Дезарга к решению Тема: Двойное отношение четвёрки точек и Тема: Свойства полного четырёхвершинника Тема: Классификация линий второго порядка на Тема: Взаимное расположение прямой и плоскости Тема: Касательная к линии второго порядка Тема: Способы задания линий Тема: Касательная к линии и угол между линиями Тема: Длина плоской линии в декартовых и полярных координатах Тема: Кривизна и кручение линии. Подвижной Тема: Способы задания поверхностей. Виды поверхностей Тема: Поверхности вращения Тема: Криволинейные координаты на поверхности. Линия на поверхности Тема: Первая квадратичная форма поверхности Тема: Вычисление длины линии, угла между линиями на поверхности, площади поверхности Тема: Вторая квадратичная форма поверхности Тема: Вычисление полной и средней кривизн
4.2.3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
ДЛЯ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
Темы, вынесенные на самостоятельное изучекаждого Выполнение заданий творческого характера – содержание и методические указания для СРС приведены в приложении III к УМК Не предусмотрен.
5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
А) ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА:
Базылев В.Т. и др. Сборник задач по геометрии. – СПб: Издательство Ефимов Н.В. Высшая геометрия. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Физматлит, Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Б) ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. – М.: Наука, 1990.Атанасян Л.С. Геометрия. ч.ч. 1, 2. – М.: Просвещение, 1973.
Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. Ч. 1, 2. – М.:
Просвещение, 1973, 1975.
Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. Геометрия. ч.2. – М.: Просвещение, 1976.
Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями. – М.: Учпедгиз, 1954.
Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения плоскости. – М.: Учпедгиз, 1957.
Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, Абрамов А.А. Введение в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2004.
Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1968.
10.
Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10, 11. – М.: Просвещение, 1991.
11.
Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7-9. – М.: Просвещение, 1991.
12.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. ч.1. – М.: Просвещение, 1986.
13.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. ч.2. – М.: Просвещение, 1987.
14.
Базылев В.Т. и др. Геометрия. ч.1. – М.: Просвещение, 1970.
15.
Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия. ч.2. – М.: Просвещение, 1975.
16.
Бакельман М.Я. Высшая геометрия. – М.: Просвещение, 1978.
17.
Бакельман М.Я. Аналитическая геометрия. – М.: Просвещение, 1976.
18.
Бахвалов С.В. и др. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.:
19.
Бахвалов С.В., Бабушкин Л.И. Аналитическая геометрия. – М.: Просвещение, 1965.
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – 21.
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
Беклемишева Л.А. и др. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. – М.: Мир, 1986.
23.
Болтянский В.Т. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1985.
24.
Болтянский В.Т. Третья проблема Гильберта. – М.: Наука, 1984.
25.
Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. – Библиотечка 26.
“Квант”. Вып.1. – М.: Наука, Борисович Ю.Г. Введение в топологию. – М.: Наука, 1995.
27.
Бородин А.И., Бугай А.С. Биографический словарь деятелей в области математики. – Киев: Радянська школа, 1979.
Васильев А.В. Николай Иванович Лобачевский. – М.: Наука, 1992.
29.
Васильева М.В. Геометрия на плоскости. – М.: Издательство МГПИ, 1979.
30.
Васильева М.В. Геометрия в пространстве. – М.: Издательство МГПИ, 31.
Васильева М.В. Конструктивная геометрия. – М.: Издательство МГПИ, 32.
Васильева М.В. Методы изображений. – М.: Издательство МГПИ, 1980.
33.
Васильева М.В. Основание геометрии. – М.: Издательство МГПИ, 1984.
34.
Васильева М.В. Проективная геометрия. – М.: Издательство МГПИ, 1980.
35.
Васильева М.В. Учебное пособие по дифференциальной геометрии. – М.:
36.
Издательство МГПИ, 1978.
Воеводин В.В. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1980.
37.
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1964.
38.
Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.:
39.
Высшая школа, 2001.
Дубровин В.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. – М.:
40.
Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия.
41.
–М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. – М.: Наука, 1967.
42.
Жафяров А.Ж. Геометрические построения на плоскости. – Новосибирск, 43.
Жафяров А.Ж. Геометрия. В 2 ч.: Учеб. пособие. – Новосибирск: Сиб.
44.
унив. изд-во, 2002.
45. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.
46. Каган В.Ф. Очерки по геометрии. – М.: Издательство МГУ, 1965.
47. Кадомцев С.Б. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2007.
48. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2010.
49. Коксетер Г.С.М. Введение в геометрию. – М.: Наука, 1978.
50. Коксетер Г.С.М., Грейцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука, 51. Костин В.И. Основания геометрия. – М.-Л.: Учпедгиз, 1946.
52. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. – СПб.:
Лань, 2005.
53. Линёв В.С. Дифференциальная геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
54. Майоров В.М., Скопец З.А. Векторное решение задач. – М.: Просвещение, 55. Математический энциклопедический словарь. – М.: Советская энциклопедия, 1988.
56. Математическая энциклопедия. Т.1-5. – М.: Советская энциклопедия, 1977Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2010.
58. Мищенко А.С., Соловьёв Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Изд-во МГУ, 1981.
59. Моденов П.С. Аналитическая геометрия. – М.: Издательство МГУ, 1975.
60. Моденов П.С. Задачи по геометрии. – М.: Наука, 1979.
61. Новиков С.П., Тайманов А.Д. Современные геометрические структуры и поля. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
62. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. – М.: Издательство МГУ, 1990.
63. Подран В.Е. Элементы топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2008.
64. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. – СПб.: Лань, 2008.
65. Петрова В.Т. Лекции по алгебре и геометрии. ч. 1., ч. 2. – М.: Владос, 66. Погорелов А.В. Геометрия. – М.: Наука, 1983.
67. Погорелов А.В., Геометрия 6-10. – М.: Просвещение, 1984.
68. Постников М.М. Лекции по геометрии: семестр I. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1979.
69. Постников М.М. Аналитическая геометрия. – СПб.: Издательство “Лань”, 70. Потоцкий М.В. Что изучает проективная геометрия ? – М.: Просвещение, 71. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. – М.-Л.: Физматлит, 72. Розендорн Э.Р. Теория поверхностей. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
73. Сизый С.В. Лекции по дифференциальной геометрии. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2007.
74. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.:
Изд-во НЦ ЭНАС, 2003.
75. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
76. Шаров Г.С., Шелехов А.С. Задачи по курсу дифференциальной геометрии и топологии. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
77. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учеб. пособие для вузов/ Ред.: Ю.М. Смирнов; МГУ им. М.В.Ломоносова. - Изд. 2е, перераб. и доп. - М.: ЛОГОС, 2005.
78. Такая разная геометрия. – Приложение к журналу “Квант”, №2, 2001.
5.2 СРЕДСТВА ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Мультимедийные самоучители по математике на CD “Геометрия”, “Решение уравнений и неравенств”, Мультимедийные учебники-справочники на CD “Математика, Ч.I (для абитуриентов, старшеклассников и учителей)”, “Алгебра 7-11”, Электронное учебно-методическое пособие “Поверхности второго порядка” (кафедра информатики и МПИ), Виртуальная лаборатория “Живая геометрия” на CD, Три видеофильма по геометрии на CD, Тестовая программа контроля знаний студентов по темам “Определители” и “Системы линейных уравнений”6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Компьютерный класс.
7. СОДЕРЖАНИЕ ТЕКУЩЕГО И ПРОМЕЖУТОЧНОГО
КОНТРОЛЯ
7.1. ПЕРЕЧЕНЬ ПРИМЕРНЫХ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ И
ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
– содержание текущего и промежуточного контроля, а также методические указания к выполнению контрольных заданий даны в прилоожении V к УМК Примерная тематика контрольных работ по дисциплине приведена вПРИЛОЖЕНИИ I К УП.
7.2. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЗАЧЁТАМ И
ЭКЗАМЕНАМ
Примерный вариант заданий к зачётам и вопросов к экзаменам по алгебре приведён в ПРИЛОЖЕНИИ II К УП.
7.3. ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА РЕФЕРАТОВ И
КУРСОВЫХ РАБОТ
Примерные темы курсовых работ и их методическое обеспечение приведены в ПРИЛОЖЕНИИ III К УП.
7.4. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ МЕРОПРИЯТИЙ
Дисциплина “Геометрия” относится к циклу специальных дисциплин и изучается в II-м, III-м, IV-м, V-м и VI-м семестрах I-го, II-го и III-го курсов. На её изучение отведено 558 часов, из них аудиторных – 304 часа: 152 часа лекций и 152 часа практических занятий.На самостоятельную работу студентов выделено 254 часа. Формы итогового контроля: зачёты в III-м и V-м семестрах, экзамены – во II-м, IV-м и VI-м семестрах.
В каждом семестре предусмотрены следующие основные формы контроля:
контрольные работы (две аудиторные и, как правило, одна срезовая) и коллоквиум, на котором оценивается изучение студентом тем, вынесенных на самостоятельное изучение и текущих тем, изучаемых аудиторно.
Примерные варианты аудиторных и домашних контрольных работ по дисциплине приведены в ПРИЛОЖЕНИИ I К УП. Задания, приведены по каждому изучаемому разделу, но контрольные работы можно формировать более комплексно, включая задания из разных разделов.
8. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ
ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина “Геометрия” относится к циклу специальных дисциплин и изучается в II-м, III-м, IV-м, V-м и VI-м семестрах I-го, II-го и III-го курсов. Лекционные и практические занятия распределены следующим образом:На самостоятельную работу студентов выделено 254 часа. Формы итогового контроля: зачёты в III-м и V-м семестрах, экзамены – во II-м, IV-м и VI-м семестрах.
В каждом семестре изучается один раздел дисциплины:
Эти разделы тесно связаны с алгеброй и математическим анализом. Поэтому необходимо в лекциях и на практических занятиях пропагандировать мысль о единстве математики, привлекая для решения геометрических задач методы смежных областей математики, и наоборот, показывать применимость и полезность геометрических идей при решении различных задач.
Методические рекомендации по организации изучения дисциплины приведены в приложении VI к УМК
9. УЧЕБНАЯ ПРАКТИКА ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Не предусмотрена.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ
РАБОТ ПО ГЕОМЕТРИИ
Раздел I. “Аналитическая геометрия плоскости” 1. В параллелограмме ABCD известны вершины A(–2; 3), B(4; 0), C(5; –1). Определить координаты вершины D и найти площадь параллелограмма ABCD.2. Определить, имеет ли ABC с вершинами A(3; 1), B(4; 2), C(4; –3) тупой угол и найти координаты центра тяжести треугольника.
3. Доказать, что в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон.
1. Написать все виды уравнений прямой (AB), где A(–3; 7), B(2; 1). Сделать чертёж.
2. Написать уравнение биссектрисы (AM), высоты (BN) и медианы (CK) треугольника ABC с вершинами A(2; –1), B(4; 0), C(3; –4).
3. Написать канонические уравнения кривых и сделать чертежи:
Раздел II. “Аналитическая геометрия пространства” 1. Проверить компланарны ли векторы a(–3; 2; 1), b(5; 7; –8), c(–8; –5; 7).
2. Найти длину векторного произведения векторов a(–4; 7; 1), b(2; –1; 3).
3. Найти объём тетраэдра ABCD и длину его высоты (AH), если A(–3; 2; 1), B(4; 0; 2), C(5; 1; 0), D(1; –1; 2).
1. Найти точку пересечения прямой (AB) и плоскости (MNK), если A(–3; 2; 1), B(2; 0; 4), M(–4; 0; 2), N(5; 1; 7), K(5; 2; 6).
2. Определить вид поверхности и найти координаты её центра (если он существует):
3. Написать уравнения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида 2 x2 + 3 y2 – 4 z2 = 1 в точке M(–1; 1; –1).
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Геометрические построения на плоскости” 1. Построить треугольник по стороне a = 4 см., высоте h(A) = 2, 5 см. и углу 2. Построить трапецию по четырём её сторонам.3. Построить отрезки: 21 см., 26 см., 29 см.
1. Для данной окружности построить хорду, равную и параллельную заданному отрезку.
2. В данный треугольник вписать квадрат.
3. Построить отрезок x = 1. На плоскости даны параллелограмм, точка P и прямая l. Пользуясь одной линейкой, построить прямую, проходящую через P параллельно l.
2. Проверить, являются ли треугольники ABC и A B C дезарговыми: A(–3; 1; 0), B(1; 4;
1), C( ; 2; 3), A ( ; 1; –1), B (2; 4; 0), C (0; 1; –2).
1. Привести уравнения линий второго порядка к каноническому виду:
2. Найти сложное отношение четвёрки точек A(–3 : 1), B(4: 0), C(2 : 7), D(–5 : 1).
3. Сформулировать одно из свойств полного четырёхвершинника.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Раздел V. “Дифференциальная геометрия” 1. Написать уравнение касательной и нормали к линии x = t3 + 2 t, y = –t2 + 2 t – 1 в точке, для которой t = –1.2. Найти углы между параболами y = x2 и x = –y2.
3. Вычислить длину дуги параболы y = x2 от точки O(0; 0) до точки P(2; 4).
4. Найти кривизну винтовой линии.
1. Составить уравнение однополостного гиперболоида вращения и вычислить его первую квадратичную форму.
2. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности x = 2 u3 – u v,
ПРИЛОЖЕНИЕ II
ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНАМ ПО ГЕОМЕТРИИ
1. Направленные отрезки и векторы. Отношения эквиполлентности направленных отрезков и сонаправленности векторов. Вырожденные параллелограммы и их классификация.2. Откладывание вектора от точки. Операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр. Примеры. Основные свойства операций. Векторные пространства V3 и V2.
3. Линейная зависимость векторов. Коллинеарные векторы. Характеризация коллинеарности двух векторов. Примеры.
4. Линейная зависимость векторов. Компланарные векторы. Характеризация компланарности трёх векторов. Примеры.
5. Базисы в векторном пространстве. Теорема о базисах в V2 и V3. Примеры.
6. Координаты вектора в базисе. Свойства координат. Определение коллинеарности и компланарности векторов по их координатам. Примеры.
7. Аффинный репер и аффинная система координат на плоскости и в пространстве. Симметрия относительно точки. Деление отрезка в данном отношении. Примеры.
8. Ортонормированный репер и декартова система координат на плоскости и в пространстве. Длина вектора и расстояние между двумя точками. Примеры.
9. Скалярное произведение векторов и его свойства. Угол между векторами.
Примеры. Критерий перпендикулярности векторов.
10. Площадь треугольника на плоскости. Угол между двумя прямыми на плоскости. Примеры.
11. Преобразование координат точки при переходе от одной аффинной системы координат к другой. Инвариантность прямых при аффинной замене координат.
12. Различные виды уравнений прямой на плоскости (каноническое, параметрическое, с угловым коэффициентом, в отрезках, нормальное). Уравнение прямой, проходящей через две точки. Примеры.
13. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно координатных осей. Примеры.
14. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Примеры.
15. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Расстояние между двумя прямыми на плоскости. Примеры.
16. Задание полуплоскостей с помощью неравенств в аффинных координатах.
17. Подобия плоскости. Группа подобий плоскости. Применение подобий при решении геометрических задач. Примеры.
18. Движения плоскости. Группа движений плоскости. Применение движений при решении геометрических задач. Примеры.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
19. Гомотетии плоскости. Группа гомотетий плоскости. Применение гомотетий при решении геометрических задач. Примеры.20. Эллипс: каноническое уравнение, свойства и характеристики.
21. Гипербола: каноническое уравнение, свойства и характеристики.
22. Парабола: каноническое уравнение, свойства и характеристики.
23. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.
24. Общее уравнение кривой второго порядка. Аффинная классификация кривых второго порядка: невырожденный случай.
25. Общее уравнение кривой второго порядка. Аффинная классификация кривых второго порядка: вырожденный случай.
1. Математическая структуры и её модели. Примеры.
2. Аксиоматика Гильберта (обзор).
3. Абсолютная геометрия и ее теоремы.
4. Пятый постулат и предложения, ему эквивалентные.
5. Аксиома Лобачевского и следствия из неё. Угол параллельности.
6. Геометрия Лобачевского. Некоторые ее теоремы.
7. Элементарные линии в плоскости Лобачевского.
8. Элементы стереометрии Лобачевского.
9. Геометрия эквидистантной поверхности.
10. Геометрия орисферы.
11. Аксиоматика Вейля. Непротиворечивость евклидовой геометрии.
12. Площадь многоугольника в евклидовой геометрии.
13. Элементы сферической геометрии.
14. Задачи не разрешимые циркулем и линейкой (задача об удвоении куба и о квадратуре круга).
15. Задача о трисекции угла.
16. Построение правильных многоугольников.
ЭКЗАМЕН НА III КУРСЕ (VI-й СЕМЕСТР)
Вектор-функция скалярных аргументов.Понятие гладкой линии. Примеры.
Касательная к линии. Плоские линии.
Длина дуги линии. Натуральный параметр.
Кривизна и кручение линии. Вычисления.
Понятие гладкой поверхности. Примеры.
Линия на поверхности. Касательная плоскость и нормаль поверхности.
Первая квадратичная форма поверхности и ее применение.
9. Вторая квадратичная форма поверхности. Различные ее записи.
10. Применение второй квадратичной формы. Нормальные сечения поверхности.
11. Главные направления и главные кривизны поверхности. Формула Родрига.
12. Вычисление главных кривизн. Полная и средняя кривизны поверхности.
13. Внутренняя геометрия поверхности. Теорема Гаусса.
14. Теорема (формула Эйлера).
15. Классификация точек поверхности.
16. Поверхности полной постоянной кривизны.
17. Уравнение псевдосферы.
ПРИМЕРНЫЕ ЗАДАНИЯ К ЗАЧЁТАМ ПО ГЕОМЕТРИИ
Привести к каноническому виду уравнение поверхности: x2 – 2 x z + y2 – x = 0.Вычислить: (a+2 b) (b–3 a), где a = (1; 0; 1), b = (0; 1; 1).
Вычислить: (2 a–3 b) c (2 b+a), где a = (1; 0; 1), b = (0; 1; 1), c = (0; –1; 1).
Найти площадь АВС: A(1; 1; –2), B(0; 1; 0), C(2; 1; –1).
Найти высоту BH тетраэдра АВСD: А(1; 1; –2), B(0; 1; 0), C(2; 1; –1), D(1; 3; 5).
Написать все виды уравнений прямой (AB) : А(1; –1; 0), B(1; 0; 1).
Написать все виды уравнений прямой l:
Написать общее уравнение плоскости (ABС): А(1; –1; 0), B(1; 0; 1), C(–1; 1; 2).
Исследуйте взаимное расположение прямых:
10.
Исследуйте взаимное расположение прямой l: x + 1 = y – 1 = z – 1 и плоскости:
11.
Исследуйте взаимное расположение плоскостей 12.
Найдите ((АВ),(BCD)): A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; 1).
13.
Найдите ((АВ),(BCD)): A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; 1).
14.
Найдите ((АВ),(CD)): A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; 1).
15.
Найдите (M, (АВ)), где А(–1; 1; 0), B(0; –1; 1).
16.
Найти ((АВ), ), где А(1; 1; 0), B(1; 2; 2), Найти уравнение прямой, проходящей через А(1; –1; 1), параллельно плоскости 19.
Найти уравнение прямой, проходящей через А(1; –1; 1), параллельно плоскостям 20.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Назвать две модели проективной прямой.Назвать две модели проективной плоскости.
Сформулировать теорему Дезарга.
Написать уравнение проективной прямой (АВ), где А(–3: 2: 4), В(1: 5: 3).
Найти координаты точки пересечения прямых a(–3: 1: 4), b(2: 5: 7).
Дать определение полного четырёхвершинника.
Сформулировать свойства полного четырёхвершинника.
На прямой даны точки A, B, C. Построить четвёртую гармоническую точку D.
На плоскости дан отрезок (АВ) на прямой а, и прямая b, параллельная a. Одной линейкой построить середину (AB).
Сформулировать теорему Паскаля.
10.
Сформулировать теорему Брианшона.
11.
Сформулировать теорему Штейнера.
12.
Сформулировать классификационную теорему о линиях второго порядка.
13.
ПРИЛОЖЕНИЕ III
ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА КУРСОВЫХ РАБОТ ПО ГЕОМЕТРИИ
1. Различные методы решения задач на построение.Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями. – М.: Учпедгиз, 1954.
Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения плоскости. – М.: Учпедгиз, 1957.
Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1965.
Васильева М.В. Конструктивная геометрия. – М.: Издательство МГПИ, 1988.
2. Построение правильных многогранников. Теорема Гаусса.
Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями. – М.: Учпедгиз, 1954.
Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения плоскости. – М.: Учпедгиз, 1957.
Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1965.
Васильева М.В. Конструктивная геометрия. – М.: Издательство МГПИ, 1988.
3. Теорема Дезарга и ее применение к решению задач.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. ч.2. – М.: Просвещение, 1987.
Ефимов Н.В. Высшая геометрия. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
Погорелов А.В. Геометрия. – М.: Наука, 1983.
Потоцкий М.В. Что изучает проективная геометрия ? – М.: Просвещение, 1982.
4. Элементы многомерной геометрии. Квадрики в евклидовом пространстве.
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2007.
5. Элементы внутренней геометрии поверхности.
Линёв В.С. Дифференциальная геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Мищенко А.С., Соловьёв Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Изд-во МГУ, 1981.
Васильева М.В. Учебное пособие по дифференциальной геометрии. – М.: Издательство МГПИ, 1978.
Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. – М.: Издательство МГУ, 1990.
6. Линейчатые и развертывающиеся поверхности.
Линёв В.С. Дифференциальная геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Мищенко А.С., Соловьёв Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Изд-во МГУ, 1981.
Васильева М.В. Учебное пособие по дифференциальной геометрии. – М.: Издательство МГПИ, 1978.
Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. – М.: Издательство МГУ, 1990.
7. Элементы геометрии Лобачевского в пространстве.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. ч.2. – М.: Просвещение, 1987.
Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. Геометрия. ч.2. – М.: Просвещение, 1976.
Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия. ч.2. – М.: Просвещение, 1975.
Ефимов Н.В. Высшая геометрия. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
Костин В.И. Основания геометрия. – М.-Л.: Учпедгиз, 1946.
Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
8. Компактность топологических пространств.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. ч.2. – М.: Просвещение, 1987.
Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия. ч.2. – М.: Просвещение, 1975.
Подран В.Е. Элементы топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. – Библиотечка “Квант”. Вып.1. – М.: Наука, Борисович Ю.Г. Введение в топологию. – М.: Наука, 1995.
9. Классификация двумерных поверхностей.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. ч.2. – М.: Просвещение, 1987.
Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия. ч.2. – М.: Просвещение, 1975.
Подран В.Е. Элементы топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. – Библиотечка “Квант”. Вып.1. – М.: Наука, Борисович Ю.Г. Введение в топологию. – М.: Наука, 1995.
10. Различные модели плоскости Лобачевского.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. ч.2. – М.: Просвещение, 1987.
Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. Геометрия. ч.2. – М.: Просвещение, 1976.
Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия. ч.2. – М.: Просвещение, 1975.
Ефимов Н.В. Высшая геометрия. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
Костин В.И. Основания геометрия. – М.-Л.: Учпедгиз, 1946.
Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
11. Орнаменты на плоскости.
Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. – М.: Мир, 1986.
12. Некоторые замечательные линии на поверхности.
Линёв В.С. Дифференциальная геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Мищенко А.С., Соловьёв Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Изд-во МГУ, 1981.
Васильева М.В. Учебное пособие по дифференциальной геометрии. – М.: Издательство МГПИ, 1978.
Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. – М.: Издательство МГУ, 1990.
Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. – М.-Л.: Физматлит, 1956.
Розендорн Э.Р. Теория поверхностей. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
13. Равновеликие и равносоставленные многоугольники и многогранники.
Каган В.Ф. Очерки по геометрии. – М.: МГУ, 1965.
Болтянский В.Т. Третья проблема Гильберта. – М.: Наука, 1984.
14. Геометрия Лобачевского и её модели.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. ч.2. – М.: Просвещение, 1987.
Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. Геометрия. ч.2. – М.: Просвещение, 1976.
Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия. ч.2. – М.: Просвещение, 1975.
Ефимов Н.В. Высшая геометрия. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
Костин В.И. Основания геометрия. – М.-Л.: Учпедгиз, 1946.
Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
15. Элементы сферической геометрии.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. ч.2. – М.: Просвещение, 1987.
Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия. ч.2. – М.: Просвещение, 1975.
16. Элементы римановой геометрии.
Абрамов А.А. Введение в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2004.
Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
Дубровин В.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. – М.: Наука, 1979.
Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
17. Теорема Эйлера для сетей и графов.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. ч.2. – М.: Просвещение, 1987.
Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. – Библиотечка “Квант”. Вып.1. – М.: Наука, 1982.
18. Геометрия и искусство.
Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. – М.: Мир, 1986.
19. Аффинные и метрические свойства эллипсоидов.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. – М.: Наука, 1990.
Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1989.
Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – М.: ТК Велби, Издво Проспект, 2007.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Физматлит, 2004.
20. Аффинные и метрические свойства гиперболоидов.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. – М.: Наука, 1990.
Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1989.
Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – М.: ТК Велби, Издво Проспект, 2007.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Физматлит, 2004.
21. Аффинные и метрические свойства параболоидов.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. – М.: Наука, 1990.
Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1989.
Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – М.: ТК Велби, Издво Проспект, 2007.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Физматлит, 2004.
22. Диаметры линий второго порядка как поляры несобственных точек.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. – М.: Наука, 1990.
Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1989.
Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – М.: ТК Велби, Издво Проспект, 2007.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Физматлит, 2004.
23. Плоские кривые.
Линёв В.С. Дифференциальная геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Мищенко А.С., Соловьёв Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Изд-во МГУ, 1981.
Васильева М.В. Учебное пособие по дифференциальной геометрии. – М.: Издательство МГПИ, 1978.
Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. – М.: Издательство МГУ, 1990.
Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. – М.-Л.: Физматлит, 1956.
Розендорн Э.Р. Теория поверхностей. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
24. Формула Гаусса-Бонне.
Линёв В.С. Дифференциальная геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Мищенко А.С., Соловьёв Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Изд-во МГУ, 1981.
Васильева М.В. Учебное пособие по дифференциальной геометрии. – М.: Издательство МГПИ, 1978.
Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. – М.: Издательство МГУ, 1990.
Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. – М.-Л.: Физматлит, 1956.
Розендорн Э.Р. Теория поверхностей. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
25. Различные геометрии в проективной схеме.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. ч.2. – М.: Просвещение, 1987.
Ефимов Н.В. Высшая геометрия. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
Погорелов А.В. Геометрия. – М.: Наука, 1983.
Потоцкий М.В. Что изучает проективная геометрия ? – М.: Просвещение, 1982.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Конспект лекций содержится в файле GEOMETRY.RARПРИЛОЖЕНИЕ II
СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
РАЗДЕЛ I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПЛОСКОСТИ
Тема: Понятие вектора. Сонаправленные и противоположно направленные векторы Тема: Алгебраические операции над векторами Тема: Применение векторов к решению геометрических задач Знать определение вектора в геометрии.Напомнить определения сонаправленности векторов и операций над векторами.
Понимать суть векторного метода решения задач.
Решить: [14] № № 98, 99, 100(а), 104.
Решить: [14] № № 55(1, 2), 57, 56(1, 2), 66, 67.
Домашние задания № № 1-
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №
1. Знать определения угла между векторами, длины вектора, скалярного произведения векторов.2. Напомнить свойства длины и скалярного произведения.
3. Решить: [14] № № 101, 104, 97, 91, 93.
4. Домашнее задание № Тема: Применение векторов к решению геометрических задач Знать формулы деления отрезка в заданном отношении.
Знать формулы нахождения координат симметричной точки.
Решить: [14] № № 71, 72, 76, 77, 82, 86.
Решить: [14] № № 140, 142, 143, 147, 149.
Домашние задания № № 5- Приложение II: Содержание практических занятий
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №
Тема: Различные виды уравнений прямой на плоскости 1. Знать основные виды уравнений прямой на плоскости (каноническое, параметрическое, общее, в отрезках, нормальное).2. Уметь составлять уравнения прямой.
3. Решить: [14] № № 164, 165, 167(а, б, в), 168, 169.
4. Домашнее задание № ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №
Уметь характеризовать вышеименованные случаи аналитически.
Решить: [14] № № 192, 193(1, 2, 3, 4), 194, 202, 203.
Домашнее задание №
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №
Тема: Расстояние от точки до прямой и расстояние между прямыми Знать формулу расстояния от точки до прямой.Уметь находить расстояние между параллельными прямыми.
Решить: [14] № № 207, 209, 211, 224, 227(1, 2).
Домашнее задание № Тема: Метод координат и его применение к решению геометрических задач Знать определение координат точки в геометрическом пространстве.
Понимать связь координат точки с координатами радиус-вектора.
Решить: [14] № № 263, 265, 271, 272, 280.
Решить: [14] № № 307, 309, 314, 316, 323.
Домашние задания № № 10- Тема: Гомотетии плоскости. Группа гомотетий Тема: Применение групп преобразований плоскости к решению Знать виды движений плоскости.
Знать задание основных движений координатными формулами.
Решить: [14] № № 804, 806, 808, 811, 813.
Решить: [14] № № 814, 816, 819, 820, 228.
Решить: [22] № № 301, 303, 308, 312, 318.
Домашние задания № № 12- Приложение II: Содержание практических занятий Тема: Гипербола и парабола: свойства и характеристики Знать определения эллипса и его основные характеристики.
Знать определения гиперболы и её основные характеристики.
Знать определения параболы и её основные характеристики.
Решить: [14] № № 464, 466, 470, 472, 476, 492.
Решить: [14] № № 531, 532, 539, 630, 632, 639, 640.
Домашние задания № № 15- Тема: Приведение уравнения кривой второго порядка к 1. Знать метод выделения полного квадрата.
2. Уметь с помощью поворота и сдвига осей координат приводить уравнение линии второго порядка к каноническому виду.
3. Решить: [14] № № 688(1, 2), 698, 699(1, 2), 719(1, 2).
4. Решить: [14] № № 721(1, 2, 3), 722, 723, 727, 729.
5. Домашние задания № № 17- РАЗДЕЛ II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ПРОСТРАНСТВА
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №
Тема: Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду 1. Знать общее уравнение поверхности второго порядка.2. Знать канонические виды уравнений поверхностей второго порядка.
3. Уметь с помощью поворота и сдвига осей координат приводить уравнение линии второго порядка к каноническому виду.
4. Решить: [14] № № 1613, 1616, 1619, 1642, 1645.
5. Домашнее задание № ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №
2. Понимать какие из поверхностей второго порядка могут иметь прямолинейные образующие.
3. Уметь находить прямолинейные образующие поверхности II-го порядка, проходящие через заданную её точку.
4. Решить: [14] № № 1751(1, 2), 1752(1, 2), 1753(1, 2), 1754.
5. Домашнее задание № ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №
Уметь вычислять векторное произведение векторов.
Решить: [14] № № 1224, 1226, 1232(1, 2), 1230, 1235(1, 2).
Домашнее задание №
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №
Тема: Смешанное произведение векторов и его применение Знать определение смешанного произведения векторов.Уметь вычислять смешанное произведение векторов.
Решить: [14] № № 1236, 1228, 1237, 1271, 1234(1).
Домашнее задание №
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №
Тема: Различные виды уравнений прямой в пространстве Знать различные виды уравнений прямой в пространстве.Уметь переходить от одного вида уравнения к другому.
Решить: [14] № № 1307(1-4), 1311, 1313, 1321, 1325.
Домашнее задание №
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №
Тема: Различные виды уравнений плоскости в пространстве Тема: Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве 1. Знать различные виды уравнений плоскости в пространстве.2. Уметь переходить от одного вида уравнения к другому.
3. Понимать возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.
4. Решить: [14] № № 1332, 1333(1-5), 1337, 1335.
5. Домашнее задание № ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №
Уметь переходить от одного вида уравнения к другому.
Понимать возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве.
Понимать возможные случаи взаимного расположения двух плоскостей в пространстве.
5. Решить: [14] № № 1342, 1344, 1348, 1355(1, 2, 3).
6. Домашнее задание № Приложение II: Содержание практических занятий
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №
2. Понимать возможные случаи взаимного расположения двух прямых, двух плоскостей, а также прямой и плоскости в пространстве.
3. Решить: [14] № № 1407(1, 2), 1408(1, 2), 1411(1, 2), 1412(1, 2).
4. Домашнее задание № ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №
2. Понимать возможные случаи взаимного расположения двух прямых, двух плоскостей, а также прямой и плоскости в пространстве.
3. Решить: [14] № № 1418, 1428, 1430, 1434, 1436.
4. Домашнее задание № РАЗДЕЛ III. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Тема: Векторный метод решения задач на плоскости и в пространстве Тема: Применение скалярного произведения для решения задач Знать аксиоматику Вейля евклидовой геометрии.Уметь решать геометрические задачи векторным методом.
Решить: [14] № № 1199, 1201, 1211, 1215, 1217, 1219.
Решить: [14] № № 142, 141, 144, 158, 160, 150.
Решить: [14] № № 155, 162, 161, 149, 152.
Домашние задания № № 1- Приложение II: Содержание практических занятий Основные задачи на построение циркулем и линейкой на плоскости Знать аксиомы циркуля и линейки.
Уметь решать основные задачи на построение в евклидовой плоскости.
Решить: [17] № № 1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 15.
Решить: [17] № № 11, 13, 14, 15, 17, 19.
Домашние задания № № 4- Тема: Метод геометрических мест точек (метод пересечений) решения Знать сущность метода пересечений.
Решить: [17] № № 27, 29, 31, 33.
Решить: [17] № № 36, 38, 39, 40, 17, 19.
Решить: [17] № № 42, 44, 46, 48, 17, 19.
Решить: [17] № № 50, 52, 54, 56.
Домашние задания № № 6- Тема: Метод преобразований плоскости (движений, гомотетий) решения Знать основные виды преобразований плоскости (движения, гомотетии, подобия).
Знать свойства движений, гомотетий и подобий.
Решить: [17] № № 58, 60, 62, 64.
Решить: [17] № № 66, 68, 70, 72.
Решить: [17] № № 80, 82, 84, 86.
Решить: [17] № № 111, 113, 115, 117.
Домашние задания № № 10- Тема: Алгебраический метод решения задач на построение Тема: Задачи на построение, не разрешимые циркулем и линейкой Тема: Построение правильных многоугольников 1. Владеть координатным методом решения геометрических задач.
2. Иметь представление о некоторых задачах на построение, не разрешимых циркулем и линейкой.
3. Решить: [17] № № 120, 122, 124, 126.
4. Решить: [17] № № 127, 129, 130.
5. Решить: [17] № № 132, 133, 134.
6. Домашние задания № № 14- Приложение II: Содержание практических занятий РАЗДЕЛ IV.
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
2. Знать определение однородных координат на прямой и плоскости и их связь с проективными координатами расширенных прямой и плоскости.
3. Решить: [14] № № 912, 914, 916, 918, 920.
4. Решить: [14] № № 921, 923, 925, 927.
5. Решить: [7] № № 23, 31, 35, 36, 40.
6. Домашние задания № № 1- Тема: Принцип двойственности проективной плоскости Уметь составлять уравнение прямой на проективной плоскости.
Понимать принцип двойственности.
Решить: [14] № № 940, 942, 944, 946, 948.
Решить: [14] № № 962, 964, 966, 970, 971.
Решить: [14] № № 949, 950; [7] № № 41, 43.
Домашние задания № № 4- Тема: Применение теоремы Дезарга к решению задач элементарной геометрии Знать формулировку теоремы Дезарга.
Понимать место теоремы Дезарга в евклидовой геометрии.
Уметь применять теорему Дезарга при решении задач на проективной плоскости.
Решить: [14] № № 972, 974, 976; [7] № № 13, 14.
Решить: [7] № № 30, 32, 34, 41.
Решить: [14] № № 972, 974, 976, 978.
Решить: [7] № № 112, 114, 116, 120, 122.
Домашние задания № № 7- Тема: Двойное отношение четвёрки точек и прямых. Гармоничность Тема: Свойства полного четырёхвершинника Знать определения сложного (двойного) отношения и гармоничности.
Знать свойства полного четырёхвершинника.
Уметь строить гармонические четвёрки точек.
Решить: [14] № № 986, 991, 993, 994.
Решить: [14] № № 998, 999, 1000, 1003.
Домашние задания № № 12- Тема: Классификация линий второго порядка на проективной плоскости Тема: Взаимное расположение прямой и плоскости 1. Знать общее уравнение линии второго порядка на проективной плоскости.
2. Знать основные канонические уравнения линий второго порядка на проективной плоскости.
3. Уметь приводить заданное уравнение линии второго порядка на проективной плоскости к каноническому виду.
4. Иметь представление о взаимном расположении прямой и плоскости в проективном пространстве.
5. Знать определения касательной к линии второго порядка, поляры и полюса.
6. Решить: [14] № № 1042(1, 2, 3), 1044(1, 3), 1046.
7. Решить: [7] № № 165, 166, 168, 170, 173.
8. Решить: [7] № № 189, 190, 195, 196, 197.
9. Домашние задания № № 14- РАЗДЕЛ V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Знать определение касательной к линии и угла между линиями.
Уметь находить уравнение касательной к линии и вычислять угол между линиями.
Решить: [7] № № 934(а-г), 935, 937, 939(а, б).
Решить: [7] № № 940(а-в), 941, 943, 947.
Домашние задания № № 1- Тема: Длина плоской линии в декартовых и полярных координатах Знать определение длины линий на плоскости и в пространстве.
Уметь находить длину линии в декартовых и полярных координатах.
Решить: [7] № № 953, 955, 957, 959.
Решить: [7] № № 961, 964, 966, 969.
Домашние задания № № 3- Тема: Кривизна и кручение линии. Подвижной репер линии Знать определения кривизны и кручения линии.
Уметь находить кривизну и кручение линии.
Решить: [7] № № 972, 974, 976, 978, 980.
Решить: [7] № № 998, 999, 1002, 1003, 1112, 1107.
Домашние задания № № 5- Приложение II: Содержание практических занятий Тема: Способы задания поверхностей. Виды поверхностей Знать основные способы задания поверхностей в пространстве.
Знать основные виды поверхностей.
Решить: [7] № № 1038, 1040, 1042, 1044.
Решить: [7] № № 1045, 1047, 1049, 1050.
Домашние задания № № 7- Тема: Касательная плоскость и нормаль к поверхности Тема: Криволинейные координаты на поверхности. Линия на поверхности 1. Знать определения касательной плоскости и нормали к поверхности.
2. Уметь находить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.
3. Иметь представление о криволинейных координатах на поверхности и о задании линий на поверхностях.
4. Решить: [7] № № 1056, 1058, 1060, 1062.
5. Решить: [7] № № 1064, 1066, 1068, 1070.
6. Домашние задания № № 9- Тема: Первая квадратичная форма поверхности Тема: Вычисление длины линии, угла между линиями на поверхности, 1. Знать определение первой квадратичной формы поверхности.
2. Уметь вычислять с помощью первой квадратичной формы поверхности длину линии, угол между линиями на поверхности и площадь поверхности.
3. Решить: [7] № № 1083(а-г), 1084, 1086, 1088.
4. Решить: [7] № № 1090, 1092, 1094, 1096, 1098.
5. Решить: [7] № № 1100, 1002, 1004, 1006, 1108.
6. Домашние задания № № 11- Тема: Вторая квадратичная форма поверхности Тема: Вычисление полной и средней кривизн поверхности 1. Знать определение второй квадратичной формы поверхности.
2. Уметь вычислять с помощью второй квадратичной формы полную и среднюю кривизны поверхности.
3. Решить: [7] № № 1119, 1121, 1123, 1125, 1127.
4. Решить: [7] № № 1137, 1138, 1142, 1143, 1144.
5. Домашние задания № № 14- Приложение III: Содержание самостоятельной работы
ПРИЛОЖЕНИЕ III
СОДЕРЖАНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
СТУДЕНТОВ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЕЁ
ВЫПОЛНЕНИЮ
1. ПРИМЕРНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
РАЗДЕЛ I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПЛОСКОСТИ
Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.Решить: [14] № № 2(3, 4), 3(3), 4(5, 6), 8(3).
Решить: [14] № № 100(б), 102, 103.
Решить: [14] № № 56(2, 3), 60, 62, 67.
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [14] № № 87, 88, 92, 96.
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [14] № № 73, 74, 79, 80, 93.
3. Решить: [14] № № 141, 145, 148, 150, 151.
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [14] № № 167(в, г, д), 166, 172, 173, 174.
Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
Решить: [14] № № 193(4, 5, 6), 194, 195, 201, 204.
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [14] № № 212, 219, 220, 227(3, 4), 229.
Приложение III: Содержание самостоятельной работы 1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [14] № № 264, 266, 273, 274, 282.
3. Решить: [14] № № 308, 310, 315, 322, 327.
Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
Решить: [14] № № 805, 807, 810, 812, 803.
Решить: [14] № № 815, 817, 821, 818, 830.
Решить: [22] № № 302, 304, 307, 310, 319.
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [14] № № 465, 467, 469, 475, 491, 495.
3. Решить: [14] № № 633, 635, 640, 533, 540, 542.
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [14] № № 688(3, 4), 687, 699(3, 4), 719(3, 4).
3. Решить: [14] № № 721(4, 5, 6), 724, 725, 726, 728.
РАЗДЕЛ II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ПРОСТРАНСТВА
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.2. Решить: [14] № № 1614, 1617, 1620, 1643, 1646.
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [14] № № 1751(3, 4), 1752(3, 4), 1753(3, 4), 1755.
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [14] № № 1225, 1227, 1228, 1229, 1235(3, 4).
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [14] № № 1234(2, 3), 1235(5), 1238, 1239.
Приложение III: Содержание самостоятельной работы 1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [14] № № 1307(5-9), 1309, 1312, 1314, 1326.
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [14] № № 1333(4-5), 1336, 1338, 1340.
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [14] № № 1341, 1343, 1347, 1355(4, 5).
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [14] № № 1407(3, 4), 1408(3, 4), 1410, 1411(3, 4), 1414.
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [14] № № 1420, 1426, 1433, 1435, 1440.
РАЗДЕЛ III. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.Решить: [14] № № 139, 140, 142, 143, 145, 146.
Решить: [14] № № 148, 156, 157, 159, 163.
Решить: [14] № № 1202, 1203, 1206, 1213, 1218, 1220.
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [17] № № 3, 5, 7, 9, 16, 18, 21, 22.
3. Решить: [17] № № 20, 23, 24, 25, 26, 27.
Приложение III: Содержание самостоятельной работы Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
Решить: [17] № № 28, 32, 34, 35.
Решить: [17] № № 37, 41, 43, 45.
Решить: [17] № № 47, 49, 51.
Решить: [17] № № 53, 55, 57.
Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
Решить: [17] № № 112, 114, 116, 118.
Решить: [17] № № 67, 69, 71, 90.
Решить: [17] № № 81, 83, 85, 91.
Решить: [17] № № 87, 88, 89, 93.
Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
Решить: [17] № № 119, 121, 123, 118.
Решить: [17] № № 125, 128, 131.
Решить: [17] № № 135, 136, 137, 138.
РАЗДЕЛ IV. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.Решить: [14] № № 913, 915, 917, 919.
Решить: [14] № № 922, 924, 926, 928.
Решить: [7] № № 22, 24, 29, 37, 38.
Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
Решить: [14] № № 941, 943, 945, 947.
Решить: [14] № № 963, 965, 967, 969, 980.
Решить: [14] № № 953, 954; [7] № № 42, 44.
Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
Решить: [7] № № 15, 16; [14] № № 973, 975.
Решить: [7] № № 26, 27, 33, 39.
Решить: [14] № № 977, 979, 981, Решить: [7] № № 56, 58, 60, 62, 64.
Решить: [7] № № 113, 115, 117, 119, 121.
Приложение III: Содержание самостоятельной работы 1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [14] № № 983, 984, 987.
3. Решить: [14] № № 997, 1001, 1002, 1004.
Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
Решить: [14] № № 1042(4, 5), 1044(2, 4), 1047.
Решить: [7] № № 167, 169, 172, 175.
Решить: [7] № № 191, 192, 193, 194.
РАЗДЕЛ V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.2. Решить: [7] № № 934(д, е), 936, 938, 939(в, г).
3. Решить: [7] № № 940(г, д), 942, 944.
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [7] № № 954, 956, 958, 960.
3. Решить: [7] № № 962, 963, 965, 970.
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [7] № № 973, 975, 977, 981, 983.
3. Решить: [7] № № 1000, 1001, 1004, 1006, 1020.
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [7] № № 1039, 1041, 1043, 1054.
3. Решить: [7] № № 1044, 1046, 1048, 1051.
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [7] № № 1057, 1059, 1061, 1063.
3. Решить: [7] № № 1065, 1067, 1069, 1071.
Приложение III: Содержание самостоятельной работы Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
Решить: [7] № № 1083(д, е), 1085, 1087, 1089.
Решить: [7] № № 1099, 1103, 1095, 1097, 1099.
Решить: [7] № № 1101, 1105, 1109, 1110, 1112.
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [7] № № 1120, 1122, 1124, 1126, 1128.
3. Решить: [7] № № 1140, 1145, 1146, 1147.
2. ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ “ГЕОМЕТРИЯ”
Раздел I. “Аналитическая геометрия плоскости” 4. В параллелограмме ABCD известны вершины A(–2; 3), B(4; 0), C(5; –1). Определить координаты вершины D и найти площадь параллелограмма ABCD.5. Определить, имеет ли ABC с вершинами A(3; 1), B(4; 2), C(4; –3) тупой угол и найти координаты центра тяжести треугольника.
6. Доказать, что в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон.
4. Написать все виды уравнений прямой (AB), где A(–3; 7), B(2; 1). Сделать чертёж.
5. Написать уравнение биссектрисы (AM), высоты (BN) и медианы (CK) треугольника ABC с вершинами A(2; –1), B(4; 0), C(3; –4).
6. Написать канонические уравнения кривых и сделать чертежи:
Раздел II. “Аналитическая геометрия пространства” 4. Проверить компланарны ли векторы a(–3; 2; 1), b(5; 7; –8), c(–8; –5; 7).
5. Найти длину векторного произведения векторов a(–4; 7; 1), b(2; –1; 3).
6. Найти объём тетраэдра ABCD и длину его высоты (AH), если A(–3; 2; 1), B(4; 0; 2), C(5; 1; 0), D(1; –1; 2).
4. Найти точку пересечения прямой (AB) и плоскости (MNK), если A(–3; 2; 1), B(2; 0; 4), M(–4; 0; 2), N(5; 1; 7), K(5; 2; 6).
5. Определить вид поверхности и найти координаты её центра (если он существует):
6. Написать уравнения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида 2 x2 + 3 y2 – 4 z2 = 1 в точке M(–1; 1; –1).
Геометрические построения на плоскости” 4. Построить треугольник по стороне a = 4 см., высоте h(A) = 2, 5 см. и углу 5. Построить трапецию по четырём её сторонам.
6. Построить отрезки: 21 см., 26 см., 29 см.
4. Для данной окружности построить хорду, равную и параллельную заданному отрезку.
5. В данный треугольник вписать квадрат.
6. Построить отрезок x = 3. На плоскости даны параллелограмм, точка P и прямая l. Пользуясь одной линейкой, построить прямую, проходящую через P параллельно l.
4. Проверить, являются ли треугольники ABC и A B C дезарговыми: A(–3; 1; 0), B(1; 4;
1), C( ; 2; 3), A ( ; 1; –1), B (2; 4; 0), C (0; 1; –2).
4. Привести уравнения линий второго порядка к каноническому виду:
5. Найти сложное отношение четвёрки точек A(–3 : 1), B(4: 0), C(2 : 7), D(–5 : 1).
6. Сформулировать одно из свойств полного четырёхвершинника.
Приложение III: Содержание самостоятельной работы Раздел V. “Дифференциальная геометрия” 5. Написать уравнение касательной и нормали к линии x = t3 + 2 t, y = –t2 + 2 t – 1 в точке, для которой t = –1.
6. Найти углы между параболами y = x2 и x = –y2.
7. Вычислить длину дуги параболы y = x2 от точки O(0; 0) до точки P(2; 4).
8. Найти кривизну винтовой линии.
3. Составить уравнение однополостного гиперболоида вращения и вычислить его первую квадратичную форму.
4. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности x = 2 u3 – u v, Приложение III: Содержание самостоятельной работы
3. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ “ГЕОМЕТРИЯ”
УПРАЖНЕНИЯ ПО ГЕОМЕТРИИ
для студентов I-го курса математического факультета Пусть ОС = ОА + ОВ. Найдите необходимые и достаточные условия для чисел,, гарантирующие принадлежность т. С Докажите, что параллельные, но не лежащие на одной прямой лучи [A, B> и [C, D> сонаправлены тогда и только тогда, когда они лежат в одной полуплоскости относительно прямой (AC).Докажите, что направленные отрезки AB и CD эквиполлентны тогда и только тогда, когда середины отрезков [A, D] и [B, C] совпадают. Запишите это условие с помощью операций над направленными отрезками.
При каких значениях параметра a R направленные отрезки AB и CD сонаправлены ? Тот же вопрос об эквиполлентности отрезков AB и CD.
Пусть ABCD – трапеция и ВC : АD =. Выразите АВ, ВС, СD и DA через АC и Выразите через векторы ОА, ОВ, ОС тетраэдра OABC отрезки (c) DF, где F – точка пересечения медиан грани (BOC); (d) АE ;
(e) ОM, где M – точка пересечения медиан грани (ABC); (f) MF ;
7. На сторонах АВ, ВС, СА треугольника АВС выбраны точки С1, А1, В1 соответственно. Докажите векторным методом, что прямые (АА1), (ВВ1), (СС1) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда 8. Вывести из теоремы Чевы известные факты о пересечении в одной точке медиан, биссектрис и высот произвольного треугольника.
9. На сторонах или продолжениях сторон АВ, ВС, СА треугольника АВС выбраны точки С1, А1, В1 соответственно. Докажите векторным методом, что эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда 10. В плоскости АВС найти все точки M со свойством АМ + ВМ + СМ = 0.
11. В плоскости четырёхугольника АВСD найти все точки M со свойством 12. Пусть AP = PB, AQ = QB, AR = RB. Найти PR : RQ.
Приложение III: Содержание самостоятельной работы 13. В прямоугольной системе координат заданы точки А(–1, –2), В(1, 3), С(9, 9), являющиеся последовательными вершинами трапеции АВСD с основанием AD = 15. Найдите координаты т. D, точки пересечения диагоналей трапеции и точки пересечения её боковых сторон.
14. Вершины АВС имеют аффинные координаты А(1, 1), В(2, 5), С(3, 3). При каком угле между координатными осями площадь АВС будет наибольшей ? А наименьшей ?
15. Даны полярные координаты точек А(4, –2 /3), В(6, / 3). Найдите полярные координаты середины отрезка АВ.
16. Даны полярные координаты точек А(4, – /3), В(8, / 3), С(12, ). Найдите полярные координаты точки пересечения медиан АВС.
17. Напишите наиболее простые полярные уравнения следующих плоских линий:
(f) x2+2y2+3x y–x–y = 0, выбрав правильно систему координат.
18. В равносторонний АВС вписана окружность. Докажите, что величина МА2+МВ2+МС2 не зависит от выбора точки М на этой окружности.
19. Известно, что четырёхугольник АВСD – ромб. Найдите в пространстве все точки М со свойством АМ2+МD2 = MB2+MC2. Изменится ли ответ, если эти точки искать в плоскости ромба ?
20. Докажите, что для любых точек пространства A, B, C, D справедливо равенство 21. Пусть а, b – заданные векторы. Найдите все действительные числа t, для которых 22. Какова может быть сумма двугранных углов прямоугольной пирамиды, в основании которой лежит равнобедренный треугольник ?
23. Стороны ABC заданы уравнениями 5x+6y–6=0, 6x+5y–6=0, x+2y–1 = 0 в декартовой системе координат. Напишите уравнения медиан, высот и биссектрис этого треугольника.
24. Стороны ABC заданы уравнениями x+3y–6=0, 3x+y–6=0, x+y–5 = 0 в аффинной системе координат. Докажите, что прямая, не содержащая ни одной из сторон ABC, не может пересечь все три стороны.
25. На прямой, проходящей через точки С(–5; 7), D(7; 5), найдите все точки X, для которых угол AXB максимален, где А(1; 0) и В(0; 1). Система координат декартова.
26. Напишите уравнение эллипса, проходящего через вершины прямоугольника ABCD, где A(–5; –2), B(–5; 2), D(5; –2). Система координат декартова.
27. Докажите, что геометрическим местом точек M, расстояния от которых до двух заданных точек плоскости A и В связаны равенством MA = k MB, где k 1 – заданное фиксированное число, является окружность (окружность Аполлония).
28. Напишите уравнение эллипса или гиперболы, зная а) координаты фокусов и большую ось, б) уравнения асимптот и точку на кривой, в) уравнения директрис и координаты фокуса, г) координаты вершины, ближайшего к ней фокуса и точки пересечения фокальной оси с одной из директрис.
Приложение III: Содержание самостоятельной работы
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ
1. В параллелограмме ABCD на сторонах AB и CD выбраны точки X и Y, причём ресечения с отрезком [XY] ? 2. В параллелограмме ABCD на сторонах AB и ВC выбраны точки X и Y, причём АХ ВY MA
3. В АВС проведены прямые (АА1), (ВВ1), (СС1), пересекающиеся в одной точке (точки А1, В1, С1 лежат на сторонах, противолежащих вершинам А, В, С соответственно).
АС АВ ВС
4. Пусть АВС – треугольник и а, b, c – точки на его сторонах, противолежащих вершинам А, В, С соответственно. Прямые Аа, Bb, Cc пересекаются в одной точке тогда и только 5. Пусть АВС – треугольник и а, b, c – точки на его сторонах (или их продолжениях), проСВ тиволежащих вершинам А, В, С соответственно. Найдите, если известно, что точки 6. Пусть АВС – треугольник и а, b, c – точки на его сторонах (или их продолжениях), противолежащих вершинам А, В, С соответственно. Точки a, b, c лежат на одной прямой 7. Докажите, что четырёхугольник ABCD в пространстве является параллелограммом тогда и только тогда, когда для некоторых точек М и О пространства выполнено равенство МА МВ МС МD = 4 МО. Каков геометрический смысл точки О ?8. Докажите, что если точки K, L, M, N лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, DA параллелограмма ABCD и делят эти стороны в одном и том же отношении, то четырёхугольник KLMN – параллелограмм.
9. Пусть О – точка пересечения биссектрис треугольник правильный.
10. Докажите, что точка О является точкой пересечения медиан АВС тогда и только тогда, 11. Докажите, что для правильного n-угольника A1A2…An–1An справедливо равенство 12. Найдите все такие,,, R, что векторы 0 а– b– c, а–0 b– c, a– b–0 c коллинеарны, где а, b, c – произвольные попарно неколлинеарные векторы.
13. Найдите все такие,,, R, что векторы 0 а– b– c, а–0 b– c, a– b–0 c компланарны, где а, b, c – произвольные попарно неколлинеарные векторы. Как изменится ответ, если а, b, c не компланарны ?
Приложение III: Содержание самостоятельной работы 14. Пусть M и В – точки пересечения медиан и биссектрис АВС. Выразите вектор МВ 15. Выразите векторы-медианы, векторы-биссектрисы и векторы-высоты треугольника через известные векторы-стороны.
ТЕМА 2: АФФИННАЯ, ДЕКАРТОВА И ПОЛЯРНАЯ
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
1. На плоскости задана декартова система координат XOY с базисными векторами a, b. В качестве аффинного репера взяли точки A(2; 1), О(0; 0) и точку В, симметричную точке А относительно биссектрисы первого координатного угла. Выразите векторы а, b через базисные векторы полученной аффинной системы координат.2. В качестве аффинного репера взяты вершины равнобедренного АВС (АВ = ВС), а векторы ВА и ВС – базисные. Найдите координаты точек, лежащих на высоте (BH).
3. Пусть А(2; –3), В(3; 5), С(–8; 12). Найдите координаты центров и радиусы вписанной и описанной окружностей АВС. Система координат декартова.
4. Центр О правильного шестиугольника ABCDEF взят за начало аффинной системы координат с базисными векторами ОА и ОВ найдите координаты всех вершин в этой системе координат.
5. Решите предыдущую задачу для правильного n-угольника.
6. Какова наибольшая возможная длина отрезка АВ, где А(2; –1), В(–1; 2) в аффинной системе координат. А наименьшая длина этого отрезка ?
7. В условиях предыдущей задачи найдите на прямой (АВ) все точки М, для которых 8. Точка М является точкой пересечения диагонали АС прямоугольного параллелепипеда ABCDA B C D и плоскости (A BD). Введя естественную декартову систему координат с началом А, найдите координаты точки М.
9. При каком условии на координаты точки М параллелепипед ABCDA B C D из предыдущей задачи будет кубом ?
10. В прямоугольной системе координат заданы три вершины трапеции ABCD: B(1; 2;3), A(–3; –2; –1), C(9; 6; 4), причём AD = 15. Найдите координаты вершины D и точки пересечения диагоналей.
«