МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Кемеровский государственный университет»

в г. Анжеро-Судженске

Факультет информатики, экономики и математики

«УТВЕРЖДАЮ»

декан факультета информатики, экономики и математики К. Ю. Войтиков «31» января 2013 г.

Рабочая программа дисциплины

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Направление подготовки 010500.62 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем Профиль подготовки Информационные системы и базы данных Квалификация (степень) выпускника Бакалавр Форма обучения Очная Анжеро-Судженск 1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины «Уравнения математической физики» являются: формирование у студентов теоретических знаний и представлений в области уравнений математической физики, практических навыков в исследовании и решении начально-краевых задач для основных типов уравнений математической физики, развитие навыков математического моделирования в прикладных областях математики.

2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата Дисциплина «Уравнения математической физики» входит в базовую часть профессионального цикла дисциплин по направлению подготовки «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», является базовой дисциплиной.

Для ее успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин: линейная алгебра, математический анализ, дифференциальные уравнения.

Освоение дисциплины «Уравнения математической физики» необходимо при последующем изучении следующих дисциплин: «Физика».

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины Освоение дисциплины способствует формированию следующих общекультурных (ОК) и профессиональных (ПК) компетенций:

– определение общих форм, закономерностей, инструментальных средств для данной дисциплины (ПК-1);

– умение на основе анализа увидеть и корректно сформулировать математически точный результат (ПК-5);

– знание корректных постановок классических задач (ПК-9);

– понимание корректности постановок задач (ПК-10).

В результате освоения дисциплины «Уравнения математической физики» обучающийся должен:

знать: основные типы уравнений с частными производными; понятие характеристической формы и характеристики; основные факты и положения теории начально-краевых задач; постановку и методы решения задач математической физики (ПК-1, ПК-5, ПК-9, ПК-10);

уметь: классифицировать уравнения с частными производными второго порядка; приводить уравнения к каноническому виду; использовать метод характеристик при отыскании решений уравнений; находить решения простейших краевых задач для уравнения Лапласа и Пуассона; применять метод разделения переменных для отыскания решения различных начальнокраевых задач (ПК-1, ПК-5, ПК-9, ПК-10);

владеть: навыками моделирования физических процессов уравнениями математической физики, методами исследования и анализа задач математической физики; навыками работы с литературой и современными информационными технологиями (ПК-1, ПК-5, ПК-9, ПК-10).

4. Структура и содержание дисциплины Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единицы, 144 часа.

4.1. Объём дисциплины и виды учебной работы (в часах) 4.1.1. Объем и виды учебной работы (в часах) по дисциплине в целом Вид учебной работы Всего часов Общая трудоемкость базового модуля дисциплины Аудиторные занятия (всего) В том числе:

Лекции Практические занятия Самостоятельная работа В том числе:

Творческая работа (реферат) – И (или) другие виды самостоятельной работы Вид промежуточного контроля контрольная работа, коллоквиум Вид итогового контроля экзамен 4.1.2. Разделы базового обязательного модуля дисциплины и трудоемкость по видам занятий (в часах) п/п дисциплины ний струны и волновое уравнение 4.2 Содержание дисциплины. Содержание разделов базового обязательного модуля дисциплины Уравнения с Общий вид и основные типы линейных диффе- Знает типы уравчастными про- ренциальных уравнений 2-го порядка с частными нений с частными изводными производными. Типичные примеры. производными 2го порядка Преобразование дифференциального уравнения 2- го порядка.

Уравнение ко- Постановка задачи Коши для уравнения колеба- Знает формулу лебаний стру- ний струны. Вывод формулы для общего решения Даламбера, принны и волновое однородного уравнения колебаний струны. Фор- цип Дюамеля уравнение мула Даламбера для решения задачи Коши для формулу Кирхгооднородного уравнения колебаний струны. Един- фа, формулу Пуственность решения задачи Коши. ассона.

колебаний струны. Полубесконечная и конечная решение задачи Решение задачи Коши для трехмерного волнового Владеет методом волнового уравнения. Формальное решение в виде ряда начально-краевых задач для однородного волнового уравнения. Формальное решение в виде ряда начально-краевых задач для неоднородного волнового уравнения с нулевыми начальными Уравнение те- Постановка задачи Коши для уравнения тепло- Знает понятие плопроводно- проводности. Решение задачи Коши для уравне- фундаментальности ния теплопроводности с помощью преобразова- го решения уравния Фурье. Фундаментальное решение уравнения нения теплопротеплопроводности. Интегральное представление водности;

Уравнения Ла- Радиально симметричные решения уравнения Ла- Знает понятие пласа и Пуас- пласа. Фундаментальное решение уравнения Лап- фундаментальносона ласа. Оценки его производных. Первая и вторая го решения уравформулы Грина. Интегральное представление нения т Лапласа, для уравнения Пуассона. Интегральное представ- в прямоугольниление решения этой задачи. Свойство симметрии ке.

для уравнения Пуассона в шаре. Формула Пуас- ПК-1, ПК-5, ПКсона для решения задачи Дирихле для уравнения 9, ПК- Решения с разделяющимися переменными уравнения Лапласа в полярных координатах.

5. Образовательные технологии Лекции, семинарские занятия, консультации, самостоятельная работа. Большинство лекций по дисциплине «Уравнения математической физики» проводятся как проблемные. Все семинарские занятия проводятся в активной форме: обсуждение задач по теме дисциплины, выступления и научные дискуссии студентов по отдельным проблемам уравнений математической физики.

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины Самостоятельная работа включает в себя:

– чтение и конспектирование рекомендованной литературы, – проработку учебного материала (по конспектам лекций, учебной и научной литературе), подготовку ответов на вопросы, предназначенных для самостоятельного изучения;

– решение задач, предлагаемых студентам на лекциях и практических занятиях, – подготовку к практическим занятиям, экзамену.

Руководство и контроль за самостоятельной работой студента осуществляется в форме индивидуальных консультаций.

Текущий контроль осуществляется в формах:

– проверка домашних заданий;

– самостоятельная работа студентов на практических занятиях.

Промежуточный контроль:

– контрольная работа.

Итоговый контроль:

В течение семестра студенты разбирают и решают задачи, указанные преподавателем к каждому семинару, разбирают и повторяют основные понятия и теоремы, доказанные на лекциях. Предусмотрены: контрольная работа, коллоквиум и экзамен.

Для получения допуска к экзамену требуется посещение занятий, выполнение домашних заданий, контрольной работы. В случае невыполнения одного из указанных выше требований студент имеет право получить допуск, выполнив индивидуальное задание.

Билеты коллоквиума и экзамена содержат 3 задания: один теоретический вопрос и две задачи. Каждый теоретический вопрос соответствует программе коллоквиума и экзамена. Теоретический вопрос, как правило, содержит доказательство теоремы. Задача дается средней сложности (сравнимая с теми, которые решались на практических занятиях). Коллоквиум сдается письменно, экзамен – устно. Возможна иная форма экзамена, так называемая «устнописьменная». Студент в течение часа готовит письменный ответ на билет, потом защищает его устно.

Положительная оценка по экзамену выставляется, если студент правильно выполнил более половины заданий. При этом ответ на теоретический вопрос считается правильным, если правильно сформулированы необходимые понятия и факты, относящиеся к данному вопросу, правильно сформулирована теорема и дано правильное доказательство, изложенное студентом устно и с пониманием. Задача считается решенной, если дано ее полное правильное поэтапное решение. Для уточнения знаний студента дополнительные вопросы. При проведении экзамена учитываются оценки контрольной работы и коллоквиума.

Ниже приведены: примерные вопросы коллоквиума и экзамена, варианты контрольной работы.

Уравнения математической физики, семестр 6, коллоквиум Канонический вид уравнений в частных производных второго порядка.

Уравнение колебаний струны. Общее решение.

Задача Коши для однородного уравнения колебаний струны. Формула Даламбера.

Смешанная задача для однородного уравнения колебаний струны. Полубесконечная струна. Метод отражений.

5. Смешанная задача для однородного уравнения колебаний струны. Конечная струна. Метод отражений.

6. Задача Коши для неоднородного уравнения колебаний струны. Принцип Дюамеля.

7. Задача Коши для трехмерного волнового уравнения. Формула Кирхгофа.

8. Задача Коши для двумерного волнового уравнения. Метод спуска. Формула Пуассона.

9. Смешанная задача для однородного уравнения колебаний струны. Метод Фурье.

10. Смешанная задача для неоднородного уравнения колебаний струны. Метод Фурье.

11. Смешанная задача для однородного волнового уравнения. Метод разделения переменных.

12. Смешанная задача для неоднородного волнового уравнения. Метод разделения переменных.

1. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Фундаментальное решение. Формула 2. Свойства фундаментального решения уравнения теплопроводности.

3. Смешанная задача для уравнения теплопроводности. Полубесконечный стержень. Метод 4. Смешанная задача для уравнения теплопроводности. Конечный стержень. Метод разделения переменных.

5. Первая и вторая формулы Грина.

6. Третья формула Грина.

7. Теорема о среднем для гармонических функций.

8. Принцип максимума для гармонических функций.

9. Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

10. Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

11. Задача Дирихле в круге. Метод Фурье.

12. Задача Дирихле в прямоугольнике. Метод Фурье.

Образцы вариантов контрольных работ Уравнения математической физики. Семестр 6. Контрольная работа 1. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду:

2. Решить задачу Коши 3. Решить смешанную задачу для волнового уравнения u tt = 9u xx на отрезке 0 < x < 3, 0 < t <, если 4. Найти решение смешанной задачи 5. Найти функцию, гармоническую в прямоугольнике 0 < x < p ; 0 < y < q и такую, что Уравнения математической физики. Семестр 6. Контрольная работа 1. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду:

б) 3u xx + 16u xy + 16u yy = 0.

2. Решить задачу Коши 3. Решить смешанную задачу для волнового уравнения u tt = 16u xx на отрезке 0 < x < 2, 4. Найти решение смешанной задачи 5. Найти решение уравнения Лапласа u = 0 в прямоугольнике 0 < x < p, 0 < y < q, если u (0, y) = A sin(y / q), u ( p, y) = 0, 7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины а) основная литература 1. Владимиров, В.С. Уравнения математической физики: учебник для вузов / В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008.

2. Захаров, Е.В. Уравнения математической физики: учебник для студ. высш. учеб. заведений / Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик. - М.: Академия, 2010.

3. Олейник, О.А. Лекции об уравнениях с частными производными: учебник для университетов / О.А. Олейник. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007.

4. Босс, В. Лекции по математике. Том 11: Уравнения математической физики: учебное пособие / В. Босс. - М.: Либроком, 2009.

5. Зайцев, В.Ф. Метод разделения переменных в математической физике: учебное пособие / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. - СПб: Книжный дом, 2009.

6. Полянин, А.Д. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики / А.Д. Полянин, В.Ф. Зайцев, А.И. Журов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

7. Капцов, О.В. Методы интегрирования уравнений с частными производными: монография / О.В. Капцов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.

8. Ветцель, Т.Д. Сборник задач по уравнениям с частными производными / Т.Д. Ветцель, А.Ю. Горицкий, Т.О. Капустина и др. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2005.

9. Емельянов, В.М. Уравнения математической физики. Практикум по решению задач:

учебное пособие / В.М. Емельянов, Е.А. Рыбакина. - СПб: Лань, 2008.

10. Блинова, И.В. Простейшие уравнения математической физики: учебное пособие / И.В.

Блинова, И.Ю. Попов. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2009.

б) дополнительная литература 1. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики: учеб. пособие / А. Н. Тихонов, А.

А. Самарский. - М.: Наука, 1999.

2. Бицадзе, А.В. Уравнения математической физики / А.В. Бицадзе. – М.: Наука, 1982.

3. Бицадзе, А.В. Сборник задач по уравнениям математической физики / А.В. Бицадзе, Д.Ф. Калиниченко. – М.: Наука, 1985.

4. Владимиров, В.С. Сборник задач по уравнениям математической физики / В.С. Владимиров. – М.: Наука, 2003.

5. Кошляков, Н.С. Уравнения в частных производных математической физики / Н.С.

Кошляков. – М.:Наука,1970.

6. Михайлов, В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В.П. Михайлов. – М.: Наука, 1983.

7. Трикоми, Ф. Лекции по уравнениям в частных производных / Ф. Трикоми. – М.: Наука, 8. Годунов, С.К. Сборник задач по уравнениям математической физики / С.К. Годунов, Е.В. Золотарева. – Новосибирск: Наука, 1974.

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы Сайт под редакцией А. Д. Полянина «Мир математических уравнений»

http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/pde.htm Электронная библиотека механико-математического факультета Московского государственного университета – www.lib.mexmat.ru/books/ Новая электронная библиотека – www.newlibrary.ru Математическое бюро: решение задач по высшей математике – www.matburo.ru Общероссийский математический портал – http://www.mathnet.ru 8. Материально-техническое обеспечение дисциплины Для дисциплины «Уравнения математической физики» необходимы учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, доска, мел.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учётом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению подготовки 010500 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем».

Автор: канд. техн. наук, доцент Е. В. Капустин Рецензент Рабочая программа дисциплины обсуждена на заседании кафедры математики Протокол №6 от «31» января 2013 г.

Одобрено методической комиссией факультета информатики, экономики и математики Протокол №5 от «31» января 2013 г.