Министерство образования и науки РФ

Новокузнецкий институт (филиал)

федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Кемеровский государственный университет»

Факультет информационных технологий

Кафедра математики и математического моделирования

УТВЕРЖДАЮ

Декан факультета информационных технологий Каледин В.О.

_ "_"20_ г.

Рабочая программа дисциплины Б3.Б.2, Дифференциальные уравнения Направление подготовки 010400.62 Прикладная математика и информатика Профиль подготовки Прикладная математика и информатика (общий профиль) Квалификация (степень) выпускника Бакалавр Форма обучения очная Новокузнецк Рабочая программа учебной дисциплины составлена на основании требований федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» (квалификация (степень) "бакалавр"), утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации № 538 от 20 мая 2010 г.

Рабочая программа учебной дисциплины обсуждена на заседании кафедры математики и математического моделирования факультета информационных технологий Протокол №_ от «_» _201 г.

Зав. кафедрой _ Решетникова Е.В.

(подпись) Одобрено методической комиссией факультета информационных технологий Протокол № от «_» _ 201 г.

Председатель методической комиссии _ Ермак Н.Б (подпись) Лист – вкладка рабочей программы учебной дисциплины Дифференциальные уравнения, Б3.Б. название дисциплины, цикл, компонент Список основной учебной литературы Количество *Указания о контроле на Соответствие ГОС момент переутверждения Сведения об учебниках (для федеральных экземпляров в дисциплин) или библиотеке на программы соответствия требованиям момент 1.09. Дополнения и изменения в рабочей программе учебной дисциплины Сведения о переутверждении РП на очередной учебный год и регистрация изменений № учебный год содержание преподаватель- РП одобрена на РП утверждена 1 2012- Целями освоения дисциплины «Основы информатики» по направлению «Прикладная математика и информатика» являются: формирование базовых профессиональных компетенций в области прикладной математики для решения задач в избранной сфере деятельности; развитие у студентов личностных качеств, способствующих их творческой активности, общекультурному росту и социальной мобильности: целеустремленности, организованности, трудолюбия, ответственности, самостоятельности, настойчивости в достижении цели (ПК-3).

В целом в результате освоения дисциплины у студента должны - классические методы теории дифференциальных уравнений и современные идеи качественных, численных и асимптотических методов.

- строить для реального объекта его математическую идеализацию, - видеть разницу между «хорошими» и «плохими» моделями.

Владеть:

- начальными навыками математического моделирования, - навыками синтеза классических методов теории дифференциальных уравнений с современными идеями качественных, численных и асимптотических методов Дисциплина «Дифференциальные уравнения» относится к базовой части профессионального цикла учебного плана.

К учебным дисциплинам, так или иначе влияющим на качество получаемых знаний по данной дисциплине, относятся:

· Геометрия и алгебра – позволяющая отработать навыки геометрического и оперативного представления аналитических задач (и наоборот), а также навыки матричных вычислений. Изучающая методы решения систем линейных уравнений и задач на собственные значения и векторы оператора.

дифференциального и интегрального исчисления функций.

· Комплексный анализ – развивающий навыки работы с комплексными числами.

Освоение данной дисциплины необходимо для последующего изучения дисциплин:

«Уравнения математической физики», «Методы оптимизации», «Численные методы», «Численные методы решения краевых задач», «Вариационное исчисление», «Теория R-функций», «Математические модели в естествознании и методы их исследования».

Знания, умения и навыки, формируемые для освоения этих дисциплин, представлены в таблице.

Дифференциал ьные уравнения 3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Дифференциальные уравнения».

Код, содержание и дескрипторные характеристики компетенции ПК-3 – Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат.

- методы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии, дискретной математики, теории вероятностей и математической статистики и - применять математические методы для решения практических задач;

- работать с современными системами программирования;

Владеть:

- навыками использования в исследовательской и прикладной деятельности современного математического аппарата 4. Структура и содержание дисциплины «Дифференциальные уравнения»

Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единицы, 216 часа.

4.1. Объём дисциплины и виды учебной работы (в часах) 4.1.1. Объём и виды учебной работы (в часах) по дисциплине в целом дисциплины В том числе:

В том числе:

Вид текущего контроля собеседование (УО-1) коллоквиум (УО-2) тест (ПР-1) контрольная работа (ПР-2) зачет (УО 3) экзамен (УО 4) 4.1.2. Разделы базового обязательного модуля дисциплины и трудоемкость по видам занятий (в часах) п/п порядка.

дифференц уравнения порядка.

линейных дифференц уравнений уравнений решения.

Содержание разделов базового обязательного модуля дисциплины 4.2.1 Содержание лекционного курса дифференциальные дифференциальных уравнений. Знать Обыкновенные 2.1. Основные определения уравнений дифференциальные высшего порядка. Задача Коши.

уравнения высшего Дифференциальные уравнения физические линейных уравнения. Свойства частных решений.

дифференциальных Фундаментальная система решений. физические Системы 4.1. Каноническая система уравнений. ПК- аналитические решений дифференциальных уравнений. Знать 4.2.2 Содержание практических занятий № Наименование Содержание раздела дисциплины Результат дифференциальные разделяющимися переменными и Уметь Обыкновенные 2.1. Уравнения высшего порядка, ПК- дифференциальные допускающие интегрирование. Уметь уравнения высшего 2.2. Неполные уравнения. - Решать основные дифференциальных коэффициентами. Нахождение уравнений фундаментальной системы.

Системы дифференциальных Краевые задачи 6.1. Решение задачи Штурма-Лиувилля. ПК- Численно- 7.1. Построение приближенных решений ПК- аналитические дифференциальных уравнений методом Уметь методы решения. степенных рядов и последовательного Находить 5. Образовательные технологии При изучении данной дисциплины применяется технология проблемного обучения.

Схема проблемного обучения, представляется как последовательность процедур, включающих: постановку преподавателем учебно-проблемной задачи, создание для учащихся проблемной ситуации; осознание, принятие и разрешение возникшей проблемы, в процессе которого они овладевают обобщенными способами приобретения новых знаний; применение данных способов для решения конкретных систем задач.

При реализации данной технологии, используются следующие формы обучения, позволяющие активизировать деятельность студента.

Наименование раздела и Вид занятия Используемые активные и 1. Обыкновенные Лекция уравнения первого порядка. Задача Коши.

1.1 Примеры возникновения дифференциальных уравнений.

1. Обыкновенные Практическая работа Дидактическая игра.

дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.

1.3. Линейные уравнения, уравнения Бернулли и Риккати, методы их решения, наличие особых решений.

дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.

1.3. Постановка задачи Коши, геометрический и механический смысл.

Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.

Обыкновенные Практическая работа Работа в малых группах дифференциальные уравнения высшего порядка.

2.1. Уравнения высшего порядка, допускающие интегрирование.

дифференциальные уравнения высшего порядка.

2.4.

существовании и единственности решения задачи Коши Общая теория Практическая работа Имитационная игра линейных дифференциальных уравнений 3.5.

неопределенных коэффициентов.

Системы Практическое занятие Тренинг в активном режиме дифференциальных уравнений 4.5. Операторный метод решения систем.

положений равновесия автономной динамической системы двух уравнений первого порядка.

6. Краевые задачи Практическое занятие Работа в малых группах 6.2. Построение функции решения.

параметра.

аналитические методы решения.

7.3. Метод малого параметра.

Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, составляет 20% ( часов). Занятия лекционного типа составляют 30% (36 часов), из них 100% проводятся с использованием компьютерных презентаций и демонстраций.

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.

Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.

Самостоятельная работа студентов включает:

- выполнение письменных домашних заданий;

- подготовка к практическому занятию;

- подготовка к тестированию.

Таблица 6.1. График СРС с указанием форм контроля.

Общее кол-во часов по учебному плану - 216 час, 36 часов экзамен Формы аудиторных учебных занятий (час.) кнов возникновения 1- енн уравнений высшего 10нени понижение порядка.

теор уравнения. Свойства лине Фундаментальная диф дифференциальные урав фундаментальной Сист Каноническая емы система уравнений.

8- усто Теоремы Ляпунова об йчив устойчивости, ости асимптотической Крае Постановка краевой 12вые задачи. Устойчивость 6.1. Уровни освоения дисциплины и критерии оценки на экзамене В задачи курса входит формирование у студента представления о дифференциальных уравнениях, как математических моделях явлений и процессов различной природы; выработка навыков использования классических методов «Дифференциальных уравнений»; освоение студентами синтеза классических методов теории дифференциальных уравнений с современными идеями качественных, численных и асимптотических методов.

Для успешного использования теории дифференциальных уравнений в практической деятельности студент должен усвоить дисциплину в объеме тематического плана и получить практические навыки решения дифференциальных уравнений и их исследования.

Удовлетворительным является уровень освоения дисциплины, при котором студент усваивает:

- теоретические сведения: виды и методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1 и 2 порядка и систем, методы исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений; методы построения приближенных решений дифференциальных уравнений; понятие краевых задач и задач Коши.

- практические навыки решения дифференциальных уравнений и систем;

исследования на устойчивость с применением первого и второго методов Ляпунова;

построения приближенного решения задачи Коши; решения краевых задач, в том числе и с разрывными коэффициентами.

Хорошим является уровень освоения дисциплины, при котором студент дополнительно усваивает:

- теоретические сведения: методы решения уравнений высшего порядка, основные теоремы теории обыкновенных дифференциальных уравнений; построения математических моделей на основе феноменологических теорий механики деформируемого тела, теплопроводности, фильтрации и потенциального течения;

- практические навыки: построения моделей сопряженных механических, химических и физических процессов в естественных и технических объектах.

Отличным является уровень освоения дисциплины, при котором студент показывает знакомство с дополнительной литературой и способность применять методы моделирования при помощи обыкновенных дифференциальных уравнений к исследованию объекта будущей дипломной работы.

Настоящая рабочая программа предусматривает межсессионную аттестацию на неделе 3-го и 4-го семестров, зачет в 3-м и экзамен в 4-м семестре.

Критерием оценки в межсессионную аттестацию 3-го семестра является выполнение аттестационной контрольной работы: решение дифференциальных уравнений Критерием оценки на зачете в 3 семестре является написание теста.

Критерием оценки в межсессионную аттестацию 4-го семестра является выполнение аттестационной контрольной работы: исследование устойчивости решений дифференциальных уравнений.

Критерий оценки на экзамене складывается из следующих показателей:

- уровень усвоения теоретических знаний, показанный при ответе на вопросы по билету (применяются критерии, указанные выше);

- уровень практических навыков, контролируемый качеством решения предложенных задач.

Оценка «Отлично» на экзамене ставится при отличном ответе на теоретические вопросы при условии отличной оценки, полученной за решение предложенной задачи.

Оценка «Хорошо» ставится, если студент показывает хорошие теоретические знания при отличных или хороших практических навыках.

Оценка «Удовлетворительно» ставится, если теоретическая или практическая подготовка студента соответствует удовлетворительному уровню.

Оценка «Неудовлетворительно» ставится, если теоретическая или практическая составляющая ниже удовлетворительного уровня.

6.2 Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины Примерные задания для контрольных работ и практической части 1. С помощью изоклин изобразить схематически решения данных уравнений (определив области убывания и возрастания, линии экстремумов, установить направление вогнутости, найти линии точек перегибов): а)y\=2x, б)y\=1/y, в) y\=ycosx, г) y\=(yx)/(x+3y).

2. Составить дифференциальное уравнение данного семейства линий: а)y=eCx, б)(xa)2+by2 =1.

3. Составить дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих линии данного семейства под данным углом j: y=Cx4, j=90°.

4. Проинтегрировать дифференциальные уравнения и выделить интегральные кривые, проходящие через заданные точки. Предварительно выяснить вопрос об их существовании и единственности. (сделать рисунок):

а) y = 2 y, М1(0,0), М2(-1,1), б) y =, М1(0,1), М2(,0), в) x + t = 1, М1(0,1), М2(1,0).

5. В коническую воронку с отверстием площадью w см2 и углом при вершине конуса 2a налита вода до уровня H см над отверстием. Определить время полного истечения воды. Вычислить его при w=0,1 см2, a=45о, H=20 см. Скорость v м/с истечения жидкости из отверстия равна v=m(2gh)1/2, где m=0,6 – коэффициент вязкости воды; h- высота столба жидкости над отверстием.

6. Нагрузка на канат висячего моста от каждой единицы длины горизонтальной балки равна p Н. Пренебрегая весом каната, найти его форму, если натяжение каната в низшей точке принять за h Н.(На часть каната OM будут действовать три силы: горизонтальная Н (влево от точки М), вертикальная – вес px и тангенциальная сила натяжения Т (вправо от М).Для равновесия сумма проекций сил на каждую из осей Ox и Oy должна равняться 0).

7. Масса ракеты с полным запасом топлива равна М, без топлива m, скорость истечения продуктов горения из ракеты равна с, начальная скорость ракеты равна 0.

Найти скорость ракеты после сгорания топлива, пренебрегая силой тяжести и сопротивлением воздуха (формула Циолковского). Сила, действующая на ракету, равна произведению секундного расхода топлива на скорость его истечения.

8. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (-1,-1) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый от оси Оx касательной, проведенной в любой точке кривой, равен квадрату абсциссы точки касания.

9. Найти кривые, обладающие следующим свойством: если через любую точку кривой провести прямые, параллельные осям координат, до встречи с этими осями, то площадь полученного прямоугольника делится кривой в отношении 1:2.

10. Найти кривые, у которых отрезок, отсекаемый касательной на оси Oy, равен квадрату ординаты точки касания.

11. Решить методом Бернулли и методом вариации произвольной постоянной а) 14. Точка массой m движется прямолинейно. На нее действует сила, пропорциональная кубу времени, протекшего с момента, когда скорость была v (коэффициент пропорциональности k). Кроме того, точка испытывает противодействие среды, пропорциональное произведению скорости и времени (коэффициент пропорциональности k1). Найти зависимость скорости от времени.

15. Решить методом интегрирующего множителя:

16. Найти общее решение уравнения. Найти дискриминантную кривую. Выделить те ее ветви, которые являются особым решением. Сделать чертеж. Найти огибающую по виду общего интеграла. 8 y 3 = 27 y.

17. Решить уравнения. Выделить, если они есть, особые решения. а) x = y 3 + y ;

18. Построить классификационную таблицу дифференциальных уравнений первого порядка, включающую следующие пункты:

название уравнения, общий вид, методы интегрирования, общее решение, решение в форме Коши, особые решения и т.д.(по желанию).

19. Решить, воспользовавшись формулой, сводящей многократное интегрирование к однократному:

23. Построить функцию Грина и записать с ее помощью решение уравнения.

25. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным краевым условиям.

27. Являются ли данные функции линейно-независимыми? Если да, составить линейное однородное дифференциальное уравнение возможно меньшего порядка, имеющего данные частные решения 28. Найти общее решение, зная одно частное (если не дано, подобрать его в виде 30. Решить методом неопределенных коэффициентов а) y - 2 y - 3 y = -4e x + 3 ; б) 32. Решить.

34. Выяснить при каких значениях вещественного параметра а нулевое решение является:

а) асимптотически устойчивым;

б) неустойчивым.

35. Для данной системы найти все положения равновесия и исследовать их на устойчивость.

36. Исследовать при каких значениях параметров a и b нулевое решение асимптотически устойчиво.

37. Найти в виде степенного ряда решение, задачи Коши. Вычислить коэффициенты ряда до коэффициента при x4 включительно.

38. Найти два члена разложения решения по степеням малого параметра m.

39. Методом Пикара решить задачу Коши. Найти два последовательных приближения и оценить погрешность.

РАЗДЕЛ 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.

1. Основные понятия и определения. Дифференциальное уравнение, порядок, общее, частное, особое решения, интегральная кривая, поле направлений, изоклины.

2. Начальные условия. Задача Коши. Геометрический смысл задачи Коши.

3. Задача об изогональных траекториях.

4. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для ДУ – 1.

5. ДУ – 1, разрешенные относительно y. Метод разделения переменных.

6. Однородные ДУ-1 и приводящиеся к ним.

7. Линейные ДУ– 1. Их свойства. Методы решения: метод Бернулли, метод вариации постоянной. Уравнение Бернулли.

8. Обобщенные однородные ДУ, уравнение Риккати, уравнение Дарбу.

9. Уравнения в полных дифференциалах.

10. Метод интегрирующего множителя.

11. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Общий метод введения параметра. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения неразрешенного относительно производной.

12. Уравнения, не содержащие явно одной из переменных.

13. Уравнения Лагранжа и Клеро.

14. Особые решения уравнений, не разрешенных относительно производных.

Дискриминантная кривая. Огибающая.

РАЗДЕЛ 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков.

15. ДУ – n. Приведение к нормальной системе ДУ Задача Коши для ДУ -n. и для системы.

Геометрический и механический смысл задачи Коши для ДУ-n.

16. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ДУ- n.

17. ДУ –n, допускающие интегрирование и понижение порядка.

РАЗДЕЛ 3. Общая теория линейных дифференциальных уравнений 18. ЛДУ – n. Общие свойства. Структура общего решения.

19. ЛОДУ – n. Свойства частных решений. Фундаментальная система решений.

20. Линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Его обращение. Формула Хевисайда.

21. Характеристическое уравнение. Построение фундаментальной системы решений для ЛОДУ-n.

22. Отыскание уравнения по фундаментальной системе решений.

23. Понижение порядка ЛОДУ –n с переменными коэффициентами.

24. ЛНДУ – n. Общие свойства. Структура общего решения.

25. Понижение порядка ЛНДУ-n с переменными коэффициентами.

26. Метод вариации постоянных для ЛНДУ –n с постоянными коэффициентами.

27. Метод неопределенных коэффициентов для ЛНДУ –n с постоянными коэффициентами и специальными правыми частями.

28. Уравнения порядка n, с переменными коэффициентами, допускающие интегрирование. (Эйлера, Лагранжа, Бесселя, Чебышева).

29. Приведение линейных ДУ к простейшим формам.

РАЗДЕЛ 4. Системы дифференциальных уравнений 30. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши для систем ДУ.

Теорема Коши.

31. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Структура общего решения.

32. Метод Эйлера для автономных систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

33. Метод исключения.

34. Первые интегралы системы. Решение нелинейных систем.

РАЗДЕЛ 5. Теория устойчивости.

35. Механический смысл системы дифференциальных уравнений. Особые точки. Фазовые траектории в окрестности точки покоя.

36. Устойчивость решения. Критерии устойчивости по собственным числам однородной линейной системы с постоянными коэффициентами.

37. Функция Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Теорема Четаева.

38. Теоремы об исследовании устойчивости и неустойчивости по первому приближению.

РАЗДЕЛ 6. Краевые задачи.

39. Задача Штурма-Лиувилля.

40. Устойчивость по Эйлеру.

41. Бифуркации.

42. Обобщенные функции. Дельта-функция Дирака.

43. Слабые решения дифференциальных уравнений.

44. Функция Грина.

45. Интеграл Дюамеля.

РАЗДЕЛ 7. Численно-аналитические методы решения.

46. Теорема о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши.

Метод последовательного дифференцирования.

47. Метод Пикара.

48. Лемма о дифференциальных неравенствах.

49. Лемма Адамара.

50. Теорема о непрерывности решения по параметру. Теорема о дифференцируемости решения по параметру. Непрерывность и дифференцируемость решения по начальным данным.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля) а) основная литература:

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения [Текст]: учеб. пособие / С.А.

Агафонов, Т.В. Муратова. – М.: Издательский центр «Академия», 2008. – 240 с.

Гриф МО РФ «Допущено».

2. Обыкновенные дифференциальные уравнения [Текст]: учебник / М.В. Федорюк. – М.: Издательство «Либроком», 2009. – 448 с.

3. Сборник задач по дифференциальным уравнениям [Текст]/А.Ф.Филиппов. – М.:

Издательство «ЛКИ», 2008. – 240 с.

б) дополнительная литература:

4. Курс дифференциальных уравнений [Текст]/В.В. Степанов. - М.: Издательство 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения и их приложения [Текст]/ Л.С.

Понтрягин. – М.: Издательство «Эдиториал УРСС», 2009. -208 с.

6. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление [Текст]/ Л.Э.

Эльсгольц. – М.: Издательство «Эдиториал УРСС», 2002. – 320 с.

7. Дифференциальные уравнения [Текст]/ А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г.

Свешников. – М.: «Физматлит», 2002. – 256 с.

8. Обыкновенные дифференциальные уравнения [Текст]/В.И. Арнольд. – Ижевск.:

Издательство Удм.ГУ, 2000. -368 с.

9. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст]/И.Г.

Петровский. - М.: Издательство «Эдиториал УРСС», 2003. – 272 с.

10. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления [Текст]/В.К.

Романко. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 344 с. Гриф МО РФ «Рекомендовано».

11. Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению [Текст]/В.К. Романко, Н.Х. Агаханов, В.В. Власов, Л.И. Коваленко. – М.:

ЮНИМЕДИАСТАЙЛ, 2002. – 256 с.

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля) 1. Аудитории, оснащенные мультимедиапроекторами и экранами (100/4, 509/4, 401/4, 29а/1, малый зал, большой зал);

2. Компьютерные презентации.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению подготовки 010400 «Прикладная математика и информатика».

Автор (ы) к.т.н., доцент Решетникова Е.В.

Рецензент (ы) _ Рабочая программа дисциплины обсуждена на заседании кафедры математики и математического моделирования Зав. кафедрой Решетникова Е.В.

Одобрено методической комиссией факультета информационных технологий Председатель Ермак Н.Б.