смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами, примеры ошибок, возникающих при идеализации.

Арифметика - выполнять устно арифметические действия: сложение и вычитание двузначных чисел и десятичных дробей с двумя знаками, умножение однозначных чисел, арифметические операции с обыкновенными дробями с однозначным знаменателем и числителем;

- переходить от одной формы записи чисел к другой, представлять десятичную дробь в виде обыкновенной и в простейших случаях обыкновенную в виде десятичной, проценты — в виде дроби и дробь — в виде процентов; записывать большие и малые числа с использованием целых степеней десятки;

- выполнять арифметические действия с рациональными числами, сравнивать рациональные и действительные числа; находить в несложных случаях значения степеней с целыми показателями и корней; находить значения числовых выражений;

- округлять целые числа и десятичные дроби, находить приближения чисел с недостатком и с избытком, выполнять оценку числовых выражений;

- пользоваться основными единицами длины, массы, времени, скорости, площади, объема; выражать более крупные единицы через более мелкие и наоборот;

- решать текстовые задачи, включая задачи, связанные с отношением и с пропорциональностью величин, дробями и процентами;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

- решения несложных практических расчетных задач, в том числе с использованием, при необходимости, справочных материалов, калькулятора, компьютера;

- устной прикидки и оценки результата вычислений; проверки результата вычисления, с использованием различных приемов;

- интерпретации результатов решения задач с учетом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и явлений.

- составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач;

осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления; осуществлять подстановку одного выражения в другое; выражать из формул одну переменную через остальные;

-выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и с алгебраическими дробями; выполнять разложение многочленов на множители; выполнять тождественные преобразования рациональных выражений;

- применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и преобразований числовых выражений, содержащих квадратные корни;

- решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы;

- решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной и их системы;

- решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи;

- изображать числа точками на координатной прямой;

- определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами;

- изображать множество решений линейного неравенства;

- распознавать арифметические и геометрические прогрессии;

- решать задачи с применением формулы общего члена и суммы нескольких первых членов;

- находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком по ее аргументу; находить значение аргумента по значению функции, заданной графиком или таблицей;

-определять свойства функции по ее графику; применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств;

- описывать свойства изученных функций, строить их графики;

- выполнять преобразования простейших тригонометрических выражений, используя основные тригонометрические формулы;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для :

-выполнения расчетов по формулам, составления формул, выражающих зависимости между реальными величинами; нахождения нужной формулы в справочных материалах;

-моделирования практических ситуаций и исследования построенных моделей с использованием аппарата алгебры;

-описания зависимостей между физическими величинами соответствующими формулами при исследовании несложных практических ситуаций;

-интерпретации графиков реальных зависимостей между величинами.

Геометрия - пользоваться геометрическим языком для описания предметов окружающего мира;

- распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;

- изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач; осуществлять преобразования фигур;

- распознавать на чертежах, моделях и в окружающей обстановке основные пространственные тела, изображать их;

- в простейших случаях строить сечения, и развертки пространственных тел;

- проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами;

- вычислять значения геометрических величин: длин, углов, площадей;

-определять значения тригонометрических функций по заданным значениям углов; находить значения тригонометрических функций по значению одной из них;

- находить стороны, углы и площади треугольников, длины ломаных, дуг окружностей, площади основных геометрических фигур и фигур, составленных из них;

- решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический и тригонометрический аппарат, соображения симметрии;

- проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования;

- решать простейшие планиметрические задачи в пространстве;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для :

- описания реальных ситуаций на языке геометрии;

- расчетов, включающих простейшие тригонометрические формулы;

- решения геометрических задач с использованием тригонометрии;

- решения практических задач, связанных с нахождением геометрических величин (используя при необходимости справочники и технические средства);

- построений геометрическими инструментами (линейка, угольник, циркуль, транспортир).

Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей проводить несложные доказательства, получать простейшие следствия из известных или ранее полученных утверждений, оценивать логическую правильность рассуждений, использовать примеры для иллюстрации и контрпримеры для опровержения утверждений;

извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики;

решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов и с использованием правила умножения;

вычислять средние значения результатов измерений; находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;

находить вероятности случайных событий в простейших случаях;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

-выстраивания аргументации при доказательстве и в диалоге;

-распознавания логически некорректных рассуждений;

-записи математических утверждений, доказательств;

-анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, таблиц;

-решения практических задач в повседневной и профессиональной деятельности с использованием действий с числами, процентов, длин, площадей, объемов, времени, скорости;

- решения учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов;

-сравнения шансов наступления случайных событий, для оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставления модели с реальной ситуацией;

-понимания статистических утверждений.

Особенности адаптированной программы по математике для специальной (коррекционной) общеобразовательной Традиционный курс математики основного общего образования и плотность его изучения рассчитаны на учащихся с широким кругозором, хорошей памятью и умением логически мыслить. Но, принимая во внимание контингент учащихся, в речевой школе он не может быть реализован в те же сроки и в том же объёме. В специальной (коррекционной) общеобразовательной школе V вида обучаются дети с наиболее стойкой формой речевой патологии: общим недоразвитием речи, обусловленным алалией, дизартрией, ринолалией, заиканием, все учащиеся данного учреждения имеют нарушение письма и чтения различной этиологии и степени тяжести.

Нарушения речи непосредственным образом связаны с умственным развитием ребенка, поэтому ученики школы, в основном, имеют ограниченные математические способности. У детей с тяжелыми нарушениями речи не сформированы такие операции мышления, как анализ и синтез;

они не могут выделить существенные признаки и провести обобщение;

у них нарушены предметно-следственные связи;

дети с ТНР обладают низким уровнем абстрактного мышления;

не могут сконцентрировать внимание на поставленной задаче;

они быстро утомляются, часто отвлекаются;

обладают низкой работоспособностью;

многие имеют плохую память;

к тому же, дети с ТНР плохо читают, не могут вникнуть в смысл прочитанного, правильно и грамотно излагать свои мысли.

За время обучения учащимся школы-интерната приходится овладевать государственной программой основного общего образования по математике для 5-9 классов. Чтобы это стало возможным программа адаптированна для обучения детей с тяжелыми нарушениями речи.

Содержание обучения, по сравнению с курсом основного общего образования, пересмотрено и за основу взят уровень обязательных результатов обученности учащихся. По времени курс растянут на один год.

Объем изучаемого материала позволяет принять заниженный, небыстрый темп обучения, где отводится достаточно времени на повторение и на отработку основных умений и навыков, отвечающих обязательным требованиям, большое внимание уделяется формированию вычислительных навыков, в том числе, устных. Изложение учебного материала ведется без сложных подробностей и излишнего многообразия. Методика преподавания математики в речевой школе позволяет без снижения уровня преподавания снизить уровень требований к знаниям и умениям учащихся, и этот уровень является достаточным для дальнейшего обучения и овладения смежными дисциплинами.

Целью обучения в школе для детей с тяжелыми нарушениями речи является не только овладение программным материалом, но и преодоление недостатков речевого развития учащихся. Поэтому при составлении программы некоторые формулы даются без вывода, уделяется большое внимание речевой работе, запоминанию математических терминов, уточнение семантики слов, расширению кругозора учащихся. Основное время идёт на выработку базовых математических умений, навыков и организации учебного труда.

Содержание обучения пересмотрено, и темы, которые подлежат изучению в основной школе, но не включаются в требования к уровню подготовки выпускников, рассматриваются обзорно:

математика представления о длине окружности и площади круга;

круговые диаграммы, столбчатые диаграммы;

вопрос о разложении числа на простые множители;

понятия «наибольший общий делитель» и «наименьшее общее кратное»;

шар;

изменение величин;

формула расстояния между точками координатной прямой;

абсолютная и относительная погрешности;

нахождение приближенных значений квадратного корня;

иррациональные числа;

арифметические действия над действительными числами;

формулы сокращенного умножения: куб суммы и куб разности;

формулы суммы кубов и разности кубов;

выделение полного квадрата в квадратном трехчлене;

примеры решения дробно-линейных неравенств;

доказательство числовых и алгебраических неравенств;

степенные функции с натуральным показателем, их графики;

числовые функции, описывающие реальные процессы: колебание, показательный рост;

параллельный перенос графиков вдоль осей координат и симметрия относительно осей;

действия над приближенными значениями;

понятие о корне n-й степени из числа;

уравнение окружности с центром в любой заданной точке;

сведения о бесконечно убывающей геометрической прогрессии;

вычисления на микрокалькуляторе;

тригонометрические выражения и их преобразования рассматриваются с целью ввести понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла, сформировать умения вычислять значения тригонометрических функций по известному значению одной из них, выполнять несложные преобразования тригонометрических выражений.

Это является необходимой мерой для облегчения социальной адаптации выпускников коррекционной школы V вида, продолжающих обучение в других образовательных учреждениях.

геометрия провешивание прямой на местности;

измерение углов на местности;

построение прямых углов на местности;

практические способы построения параллельных прямых;

уголковый отражатель;

осевая и центральная симметрии фигур;

основные задачи на построение: деление отрезка пополам, построение угла, равного данному, построение треугольника, построение перпендикуляра к прямой, построение биссектрисы, деление отрезка на n равных частей;

площадь квадрата;

о подобии произвольных фигур;

взаимное расположение двух окружностей;

метрические соотношения в окружности: свойства секущих, касательных, хорд;

формулы, выражающие площадь треугольника: через две стороны и угол между ними, через периметр и радиус вписанной окружности, формула Герона;

площадь четырехугольника;

разложение вектора по двум неколлинеарным векторам;

уравнение линии на плоскости;

измерительные работы;

вписанные и описанные окружности правильного многоугольника;

наглядные представления о пространственных телах: кубе, параллелепипеде, призме, пирамиде, шаре, сфере, конусе, цилиндре;

примеры движений фигур, симметрия фигур, осевая симметрия и параллельный перенос, поворот и центральная симметрия;

начальные сведения из стереометрии могут быть рассмотрены только за рамками основного курса;

теории вероятностей и статистика весь курс рассматривается обзорно одним блоком перед подготовкой к итоговой аттестации по алгебре в 10классе, что связанно с особенностями развития детей с нарушениями речи.

Темы курса, которые являются базовыми, и составляют основу математического образования, рассматриваются основательно, до выработки прочных навыков у большинства обучающихся, исключение составляют лишь задания повышенной трудности. На изучение этих тем выделяется такое количество часов, которое необходимо для полного усвоения с учетом особенностей развития детей с тяжелыми нарушениями речи.

К таким темам математики и алгебры можно отнести:

«Действия с десятичными дробями», «Проценты», «Действия с дробями с разными знаменателями», «Действия с числами с разными знаками», «Решение уравнений», «Формулы сокращенного умножения», «Решение систем линейных уравнений», «Решение задач с помощью уравнений», «Арифметический квадратный корень», «Решение квадратных уравнений», «Функции и их графики» и т. д.

Темы геометрии:

«Признаки равенства треугольников», «Параллельные прямые», «Четырехугольники», «Площади», «Теорема Пифагора», «Подобие», «Окружность», «Векторы» и т. д.

Адаптированно не только содержание обучения, но и календарнотематическое планирование. На пятилетний курс математики основной школы 5-9классов в школе V вида отводится шесть лет (5-10классы).

На изучение математики в 5-6классах выделяется 6часов в неделю и отставание от основной школы составляет в 5классе один месяц, а в 6классе два месяца. Со II четверти 7класса начинается изучение алгебры и геометрии. Распределение часов: 4часа на алгебру и 2часа на геометрию.

Учебник 8класса – только с III четверти 8класса, распределение часов такое же.

Изучение материала 9класса начинается с февраля в III четверти 9класса, на алгебру выделено 4часа, а на геометрию 3часа. Это позволяет изучать эти предметы, исходя из логического переплетения тем алгебры и геометрии, что достигается только благодаря тому, что в 9классе на геометрию отводится часа в неделю, в противном случае этот баланс будет нарушен. Оставшиеся темы учебного материала 9класса остаются на изучение в 10классе. Теперь на алгебру отводится 5часов, на геометрию 2часа, и изучение геометрии продолжается до конца учебного года, как и в основной школе. Изучение же алгебры заканчивается в начале III четверти 10класса, и после курса теории вероятности, начинается подготовка к итоговой аттестации.

На прдъэкзаменационную подготовку в школе V вида выделяется значительное количество часов, что опять же связанно с контингентом учащихся. Форма экзамена щадящая, но приходится повторять большой объем учебного материала, а для выработки навыка у детей, обладающих плохой памятью, требуется гораздо больше времени, по сравнению с учащимися основной школы.

Примерное планирование учебного материала к адаптированной программе по математике включает обязательное вводное повторение в начале учебного года и итоговое – в конце. Каждая тема курса математики и алгебры сопровождаются одним резервным, а в геометрии двумя резервными часами, которые можно использовать для подготовки к контрольным работам, для коррекции знаний учащихся, дидактических игр, для работы на компьютере и т.д. Это позволяет каждому учителю творчески подходить к планированию своей работы, тоже самое касается количества часов, отводимых на вводное и итоговое повторение, тем более что планирование примерное и составлено на весь учебный год.

Таким образом, наличие резервных учебных часов, может быть использовано для реализации авторских подходов, использования разнообразных форм организации учебного процесса, внедрения современных методов обучения и педагогических технологий.

Требования к уровню подготовки учащихся по алгебре в школе V вида соответствуют уровню учеников основной школы, поэтому для контроля знаний могут быть использованы дидактические материалы для основной школы. Основу контрольных работ составляют задания, соответствующие уровню обязательной подготовки. Например, один из вариантов:

Дидактические материалы по математике для 5класса/ А.С.Чесноков, Н.И.Нешков.—М.: Классикс стиль. Дидактические материалы по математике для 6класса/ А.С.Чесноков, Н.И.Нешков.—М.: Просвещение. Алгебра 7класс. Дидактические материалы/ Л.И.Звавич и др.—М.:

Просвещение.2008.

Алгебра 8класс. Дидактические материалы/ В.И. Жохов, Ю.Н, Макарычев, Н, Г, Миндюк.—М.: Просвещение.2008.

Алгебра 9класс. Дидактические материалы/ Ю.Н. Макарычев и др.—М.:

Просвещение.2009.

Труднее обстоят дела с геометрией, так как для детей с тяжелыми нарушениями речи геометрия является самым трудным предметом. Это связанно с тем, что у таких детей слабо развито словесно-логическое и образно - действенное мышление, необходимое для изучения геометрии.

Уровень требований к знаниям и умениям учащихся по геометрии снижен, по сравнению с основной школой, и проверка знаний осуществляется каждым учителем с учетом контингента учащихся.

Использование готовых контрольных работ, рекомендуемых для основной школы, не представляется возможным. Упор делается только на уровень обязательной подготовки, элемент творчества остается за учителем.

Опыт нескольких десятилетий обучения детей с ТНР в коррекционных школах – интернатах показал, что при соответствующей организации обучения, благодаря систематической коррекционной работе, большая часть детей с различными аномалиями в речевом развитии способна овладеть таким же объемом знаний, умений и навыков, что и учащиеся общеобразовательной школы, но за более длительный срок.

Представленные далее адаптированные программы по математике, алгебре и геометрии для обучения детей в школе V вида включают в себя содержание обучения и примерное планирование учебного материала.

1. Натуральные числа и шкалы Натуральные числа и их сравнение.

Геометрические фигуры: отрезок, прямая, луч, треугольник. Измерение и построение отрезков. Координатный луч.

Основная цель — систематизировать и обобщить сведения о натуральных числах, полученные в начальной школе; закрепить навыки построения и измерения отрезков.

Систематизация сведений о натуральных числах позволяет восстановить у учащихся навыки чтения и записи многозначных чисел, сравнения натуральных чисел, а также навыки их табличного сложения и умножения.

При изучении геометрического материала основное внимание уделяется формированию навыков измерения и построения отрезков при помощи линейки.

В ходе изучения темы вводятся понятия координатного луча, единичного отрезка и координаты точки. Здесь начинается формирование таких важных умений, как умения начертить координатный луч и отметить на нем заданные числа, назвать число, соответствующее данному делению на координатном луче.

2. Сложение и вычитание натуральных чисел.

Сложение и вычитание натуральных чисел, свойства сложения.

Решение текстовых задач. Числовое выражение. Буквенное выражение и его числовое значение. Решение линейных уравнений.

Основная цель – закрепить и развить навыки сложения и вычитания натуральных чисел.

Начиная с этой темы, основное внимание уделяется закреплению алгоритмов арифметических действий над многозначными числами, так как они не только имеют самостоятельное значение, но и являются базой для формирования умений проводить вычисления с десятичными дробями.

В этой теме начинается алгебраическая подготовка: составление буквенных выражений по условию задач, решение уравнений на основе зависимости между компонентами действий (сложение и вычитание).

3. Умножение и деление натуральных чисел.

Умножение и деление натуральных чисел, свойства умножения.

Квадрат и куб числа. Решение текстовых задач.

Основная цель — закрепить и развить навыки арифметических действий с натуральными числами.

В этой теме проводится целенаправленное развитие и закрепление навыков умножения и деления многозначных чисел. Вводятся понятия квадрата и куба числа.

Продолжается работа по формированию навыков решения уравнений на основе зависимости между компонентами действий.

Развиваются умения решать текстовые задачи, требующие понимания смысла отношений «больше на... (в...)», «меньше на... (в...)», а также задачи на известные учащимся зависимости между величинами (скоростью, временем и расстоянием; ценой, количеством и стоимостью товара и др.).

Задачи решаются арифметическим способом. При решении с помощью составления уравнений, так называемых задач на части, учащиеся впервые встречаются с уравнениями, в левую часть которых неизвестное входит дважды. Решению таких задач предшествуют преобразования соответствующих буквенных выражений.

4. Площади и объемы Вычисления по формулам. Прямоугольник. Квадрат. Площадь прямоугольника и квадрата. Единицы измерения площадей. Объем прямоугольного параллелепипеда и куба. Единицы измерения объемов.

Основная цель – расширить представления учащихся об измерении геометрических фигур на примере вычисления площадей и объемов и систематизировать известные им сведения о единицах измерения.

При изучении темы учащиеся встречаются с формулами. Навыки вычисления по формулам отрабатываются при решении геометрических задач. Значительное внимание уделяется формированию знаний основных единиц измерения и умению перейти от одних единиц к другим в соответствии с условием задачи.

5. Обыкновенные дроби.

Окружность и круг. Обыкновенная дробь. Основные задачи на дроби.

Сравнение обыкновенных дробей. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Основная цель — познакомить учащихся с понятием дроби в объеме, достаточном для введения десятичных дробей.

В данной теме изучаются сведения о дробных числах, необходимые для введения десятичных дробей. Среди формируемых умений основное внимание должно быть привлечено к сравнению, сложению и вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями, к выделению целой части числа из неправильной дроби, сложению и вычитанию смешанных чисел. С пониманием смысла дроби связаны три основные задачи на дроби, осознанного решения которых важно добиться от учащихся.

6. Десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей.

Десятичная дробь. Сравнение, сложение, вычитание и округление десятичных дробей. Решение текстовых задач.

Основная цель – выработать умения читать, записывать, сравнивать, округлять десятичные дроби, выполнять сложение и вычитание десятичных дробей, представлять обыкновенные дроби десятичными.

При введении десятичных дробей, важно добиться у учащихся четкого представления о десятичных разрядах рассматриваемых чисел, умений читать, записывать, сравнивать десятичные дроби. Учащиеся должны усвоить, что десятичную дробь всегда можно записать в виде обыкновенной, но не всякая обыкновенная дробь может быть представлена в виде десятичной, они должны знать критерий обращения обыкновенной дроби в десятичную.

Подчеркивая сходство действий над десятичными дробями с действиями над натуральными числами, отмечается, что сложение десятичных дробей подчиняется переместительному и сочетательному законам.

Определенное внимание уделяется решению текстовых задач на сложение и вычитание, данные в которых выражены десятичными дробями.

При изучении операции округления числа вводится новое понятие – «приближенное значение числа», отрабатываются навыки округления десятичных дробей до заданного десятичного разряда.

7. Умножение и деление десятичных дробей.

Умножение и деление десятичных дробей. Среднее арифметическое нескольких чисел. Решение текстовых задач.

Основная цель — выработать умения умножать десятичные дроби, выполнять задания на все действия с натуральными числами и десятичными дробями.

Основное внимание привлекается к алгоритмической стороне рассматриваемых вопросов. На несложных примерах отрабатывается правило постановки запятой в результате действия. Кроме того, продолжается решение текстовых задач с данными, выраженными десятичными дробями. Вводится понятие среднего арифметического нескольких чисел.

8. Повторение. Решение задач Примерное планирование учебного материала Учебник: Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд (М: МНЕМОЗИНА, ОАО «Московские учебники», 2006) Вводное повторение Обозначение натуральных чисел, п. Отрезок. Длина отрезка. Треугольник, п. Плоскость, прямая, луч, п. Сложение натуральных чисел и его свойства, п. Числовые и буквенные выражения, п. Буквенная запись свойств сложения и вычитания, п. Умножение натуральных чисел и его свойства, п. Упрощение выражений, п. Порядок выполнения действий, п. Площадь. Формула площади прямоугольника, п. Единицы измерения площадей, п. Прямоугольный параллелепипед, п. Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда, п. Доли. Обыкновенные дроби, п. Правильные и неправильные дроби, п. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми Сложение и вычитание смешанных чисел, п. Десятичная запись дробных чисел, п. Сравнение десятичных дробей, п. Сложение и вычитание десятичных дробей, п. Приближенное значение чисел. Округление чисел, п. Умножение десятичных дробей на натуральные числа, п. Деление десятичных дробей на натуральные числа, п. Умножение десятичных дробей, п. Деление на десятичную дробь, п. Среднее арифметическое, п. Итоговое повторение курса математики 5класса 1. Повторение (Учебник Математика 5класс).

Действия с десятичными дробями.

Основная цель: повторить действия с десятичными дробями, чтобы подготовить учащихся к восприятию темы: «Проценты».

2. Инструменты для вычислений и измерений.

Начальные сведения о вычислениях на калькуляторе. Проценты.

Основные задачи на проценты. Примеры таблиц и диаграмм. Угол, треугольник. Величина (градусная мера) угла. Единицы измерения углов.

Измерение углов. Построение угла заданной величины.

Основная цель — сформировать умения решать простейшие задачи на проценты, выполнять измерение и построение углов.

У учащихся важно выработать содержательное понимание смысла термина «процент». На этой основе они должны научиться решать три вида задач на проценты: находить несколько процентов от какой-либо величины;

находить число, если известно несколько его процентов; находить, сколько процентов одно число составляет от другого.

геометрических фигур. Необходимо уделить внимание формированию умений измерять и строить углы.

Круговые диаграммы дают представления учащимся о наглядном изображении распределения отдельных составных частей какой-нибудь величины.

В классе, обеспеченном калькуляторами, можно научить школьников использовать калькулятор при выполнении отдельных арифметических действий. Две последние темы рассматриваются обзорно.

3. Делимость чисел (Учебник Математика 6класс).

Делители и кратные числа. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Признаки делимости на 2, 3, 5, 10. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители.

Основная цель — завершить изучение натуральных чисел, подготовить основу для освоения действий с обыкновенными дробями с разными знаменателями.

В данной теме завершается изучение вопросов, связанных с натуральными числами. Основное внимание должно быть уделено знакомству с понятиями «делитель» и «кратное», которые находят применение при сокращении обыкновенных дробей и при их приведении к общему знаменателю. Упражнения полезно выполнять с опорой на таблицу умножения прямым подбором. Понятия «наибольший общий делитель» и «наименьшее общее кратное» вместе с алгоритмами их нахождения можно рассмотреть обзорно.

Определенное внимание уделяется знакомству с признаками делимости, понятиям простого и составного чисел. При их изучении целесообразно формировать умения проводить простейшие умозаключения, обосновывая свои действия ссылками на определение, правило.

Учащиеся должны уметь разложить число на множители. Например, они должны понимать, что 36 = 6 • 6 = 4 • 9. Вопрос о разложении числа на простые множители не относится к числу обязательных требований.

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Приведение дробей к общему знаменателю. Понятие о наименьшем общем знаменателе нескольких дробей. Сравнение дробей. Сложение и вычитание дробей.

Решение текстовых задач.

Основная цель – выработать прочные навыки преобразования дробей, сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

Одним из важнейших результатов обучения является усвоение основного свойства дроби, применяемого для преобразования дробей:

сокращения, приведения к новому знаменателю. При этом можно излагать материал без опоры на понятия НОД и НОК. Умение приводить дроби к общему знаменателю используется для сравнения дробей.

При рассмотрении действий с дробями используются правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, понятие смешанного числа. Важно обратить внимание на случай вычитания дроби из целого числа. Что касается сложения и вычитания смешанных чисел, то учащиеся должны иметь четкое представление о выполнения таких действий.

5. Умножение и деление обыкновенных дробей.

Умножение и деление обыкновенных дробей. Основные задачи на дроби.

Основная цель — выработать прочные навыки арифметических действий с обыкновенными дробями с разными знаменателями и решения основных задач на дроби.

В этой теме завершается работа над формированием навыков арифметических действий с обыкновенными дробями, отрабатываются алгоритмы выполнения умножения и деления обыкновенных дробей, смешанных чисел, приемы обращения смешанного числа в неправильную дробь. Необходимо выработать навыки выполнения примеров на совместные действия, на действия с обыкновенные и десятичные дроби. Навыки должны быть достаточно прочными, чтобы учащиеся не испытывали затруднений в вычислениях с рациональными числами, чтобы алгоритмы действий с обыкновенными дробями могли стать в дальнейшем опорой для формирования умений выполнять действия с алгебраическими дробями.

Расширение аппарата действий с дробями позволяет решать текстовые задачи, в которых требуется найти дробь от числа или число по данному значению его дроби, выполняя соответственно умножение или деление на дробь.

Необходимо дать учащимся понятие дробного выражения и показать возможности использования дробных выражений для упрощения вычислений в дальнейшем.

5. Отношения и пропорция.

Пропорция. Основное свойство пропорции. Решение задач с помощью пропорции.

Понятия о прямой и обратной пропорциональной зависимостях величин. Задачи на пропорции. Масштаб. Формулы длины окружности и площади круга. Шар.

Основная цель – сформировать понятия пропорции, прямой и обратной пропорциональностей величин.

Необходимо, чтобы учащиеся усвоили основное свойство пропорции, так как оно находит применение на уроках математики, химии, физики. В частности, достаточное внимание должно быть уделено решению с помощью пропорции задач на проценты.

Понятия о прямой и обратной пропорциональностях величин можно сформировать как обобщение нескольких конкретных примеров, подчеркнув при этом практическую значимость этих понятий, возможность их применения для упрощения решения соответствующих задач.

В данной теме даются представления о длине окружности и площади круга. Соответствующие формулы к обязательному материалу не относятся.

Рассмотрением геометрических фигур завершается знакомством с шаром.

6. Положительные и отрицательные числа.

Положительные и отрицательные числа. Противоположные числа.

Модуль числа и его геометрический смысл. Сравнение чисел. Целые числа.

Изображение чисел на координатной прямой. Координата точки.

Основная цель — расширить представления учащихся о числе путем введения отрицательных чисел.

Целесообразность введения отрицательных чисел показывается на содержательных примерах. Учащиеся должны научиться изображать положительные и отрицательные числа на координатной прямой с тем, чтобы она могла служить наглядной основой для правил сравнения чисел, сложения и вычитания чисел, рассматриваемых в следующей теме.

Специальное внимание должно быть уделено усвоению вводимого здесь понятия модуля числа, прочное знание которого необходимо для формирования умения сравнивать отрицательные числа, а в дальнейшем для овладения и алгоритмами арифметических действий с положительными и отрицательными числами.

7. Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел.

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел.

Основная цель — выработать прочные навыки сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел.

Действия с отрицательными числами вводятся на основе представлений об изменении величин: сложение и вычитание чисел иллюстрируется соответствующими перемещениями точек числовой оси.

При изучении данной темы целенаправленно отрабатываются алгоритмы сложения и вычитания при выполнении действий с целыми и дробными числами.

8. Умножение и деление положительных и отрицательных чисел.

Умножение и деление положительных и отрицательных чисел.

Понятие о рациональном числе. Десятичное приближение обыкновенной дроби. Применение законов арифметических действий для рационализации вычислений.

Основная цель – выработать прочные навыки арифметических действий с положительными и отрицательными числами.

Навыки умножения и деления положительных и отрицательных чисел отрабатываются сначала при выполнении отдельных действий, а затем в сочетании с навыками сложения и вычитания при вычислении значений числовых выражений.

При изучении данной темы учащиеся должны усвоить, что для обращения обыкновенной дроби в десятичную дробь достаточно разделить числитель на знаменатель, пользуясь критерием такой возможности. В каждом конкретном случае они должны знать, в какую десятичную дробь обращается данная обыкновенная дробь – конечную или бесконечную. При этом необязательно акцентировать внимание на том, что бесконечная десятичная дробь оказывается периодической.

9. Повторение. Решение задач.

Примерное планирование учебного материала Учебник: Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд Математика 5класс. Части 1 и 2. Математика 6класс. Части 1 и 2.

(М: МНЕМОЗИНА, ОАО «Московские учебники», 2006)

№ СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА Кол.

Сложение отрицательных чисел, п. Сложение чисел с разными знаками, п. Рациональные числа, п. Свойства действий с рациональными числами, п. 1. Повторение (Учебник Математика 6класс) Повторение правил действий с положительными и отрицательными числами.

Основная цель – подготовить учащихся к восприятию следующих тем 2. Решение уравнений.

Простейшие преобразования выражений: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых. Решение линейных уравнений. Примеры решения текстовых задач с помощью линейных уравнений.

Основная цель – подготовить учащихся к выполнению преобразований выражений, решению уравнений.

Преобразования буквенных выражений путем раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых отрабатываются в той степени, в которой они необходимы для решения несложных уравнений.

Введение арифметических действий над отрицательными числами позволяет ознакомить учащихся с общими приемами решения линейных уравнений с одним неизвестным.

3. Координаты на плоскости.

Построение перпендикуляра к прямой и параллельных прямых с помощью угольника и линейки. Прямоугольная система координат на плоскости, абсцисса и ордината точки. Примеры графиков, диаграмм.

Основная цель – познакомить учащихся с прямоугольной системой координат на плоскости.

Учащиеся должны научиться распознавать и изображать перпендикулярные и параллельные прямые. Основное внимание следует уделить отработке навыков их построения с помощью линейки и угольника, не требуя воспроизведения точных определений.

Основным результатом знакомства учащихся с координатной плоскостью должны явиться знания порядка записи координат точек плоскости и их названий, умения построить координатные оси, отметить точку по заданным ее координатам, определить координаты точки на координатной плоскости.

Формированию вычислительных и графических умений способствует построение столбчатых диаграмм. При выполнении соответствующих упражнений найдут применение изученные ранее сведения о масштабе и округлении чисел. Рассматривается обзорно.

Результатом выполнения упражнений на чтение графиков должны явиться умения свободно определять координаты отмеченных на координатной плоскости точек и изображать точки по заданным координатам.

4. Выражения, тождества, уравнения (Учебник Алгебра 7класс) Числовые выражения с переменными. Простейшие преобразования выражений. Уравнение, корень уравнения. Линейное уравнение с одной переменной. Решение текстовых задач методом составления уравнений.

Основная цель — систематизировать и обобщить сведения о преобразованиях алгебраических выражений и решении уравнений с одной переменной.

Первая тема курса 7 класса является связующим звеном между курсом математики 5—б классов и курсом алгебры. В ней закрепляются вычислительные навыки, систематизируются и обобщаются сведения о преобразованиях выражений и решении уравнений.

Нахождение значений числовых и буквенных выражений дает возможность повторить с учащимися правила действий с рациональными числами. Умения выполнять арифметические действия с рациональными числами являются опорными для всего курса алгебры. Следует выяснить, насколько прочно овладели ими учащиеся, и в случае необходимости организовать повторение с целью ликвидации выявленных пробелов.

Развитию навыков вычислений должно уделяться серьезное внимание и в дальнейшем при изучении других тем курса алгебры.

В связи с рассмотрением вопроса о сравнении значений выражений расширяются сведения о неравенствах: вводятся знаки и, дается понятие о двойных неравенствах.

При рассмотрении преобразований выражений формальнооперативные умения остаются на том же уровне, учащиеся поднимаются на новую ступень в овладении теорией. Вводятся понятия «тождественно равные выражения», «тождество», «тождественное преобразование выражений», содержание которых будет постоянно раскрываться и углубляться при изучении преобразований различных алгебраических выражений. Подчеркивается, что основу тождественных преобразований составляют свойства действий над числами.

Усиливается роль теоретических сведений при рассмотрении уравнений. С целью обеспечения осознанного восприятия учащимися алгоритмов решения уравнений вводится вспомогательное понятие равносильности уравнений, формулируются, и разъясняется на конкретных примерах свойства равносильности. Дается понятие линейного уравнения и исследуется вопрос о числе его корней. В системе упражнений особое внимание уделяется решению уравнений вида ах =b при различных значениях а и b. Продолжается работа по формированию у учащихся умения использовать аппарат уравнений как средство для решения текстовых задач.

Уровень сложности задач здесь остается таким же, как в 6 классе.

Функция, область определения функции. Вычисление значений функции по формуле. График функции. Линейная функция и ее график.

Прямая пропорциональность и ее график. Взаимное расположение графиков линейных функций.

Основная цель — ознакомить учащихся с важнейшими функциональными понятиями и с графиками прямой пропорциональности и линейной функции общего вида.

Данная тема является начальным этапом в систематической функциональной подготовке учащихся. Здесь вводятся такие понятия, как функция, аргумент, область определения функции, график функции.

Функция трактуется как зависимость одной переменной от другой. Учащиеся получают первое представление о способах задания функции. В данной теме начинается работа по формированию у учащихся умений находить по формуле значение функции по известному значению аргумента и наоборот, выполнять ту же задачу по графику и решать по графику обратную задачу.

Функциональные понятия получают свою конкретизацию при изучении линейной функции, и ее частного вида — прямой пропорциональности. Умения строить и читать графики этих функций широко используются как в самом курсе алгебры, так и в курсах геометрии и физики.

Учащиеся должны понимать, как влияет знак коэффициента на расположение в координатной плоскости графика функции у = кх, где к 0, как зависит от значений к и b взаимное расположение графиков двух функций вида Формирование всех функциональных понятий и выработка соответствующих навыков, а также изучение конкретных функций сопровождаются рассмотрением примеров реальных зависимостей между величинами, что способствует усилению прикладной направленности курса алгебры.

6. Степень с натуральным показателем Степень с натуральным показателем и ее свойства. Одночлен. Функции у = х, у = х3 и их графики.

О с н о в н а я цель — выработать умение выполнять действия над степенями с натуральными показателями.

В данной теме дается определение степени с натуральным показателем.

В курсе математики 6 класса учащиеся уже встречались с примерами возведения чисел в степень. В связи с вычислением значений степени в классе дается представление о нахождении значений степени с помощью калькулятора. Рассматриваются свойства степени с натуральным показателем. На примере доказательства свойств: ат ап = ат + п, ат : ап = а т- п, где т > п, (ат)п = атп, (аb)п = аnbn учащиеся впервые знакомятся с доказательствами, проводимыми на алгебраическом материале.

Указанные свойства степени с натуральным показателем находят применение при умножении одночленов и возведении одночленов в степень.

При нахождении значений выражений, содержащих степени, особое внимание следует обратить на порядок действий.

Рассмотрение функций у = х2, у = х3 позволяет продолжить работу по формированию умений строить и читать графики функций. Важно обратить внимание учащихся на особенности графика функции у = х2: график проходит через начало координат, ось Оy является его осью симметрии, график расположен в верхней полуплоскости.

Умение строить графики функций у = х2 и у = х3 используется для ознакомления учащихся с графическим способом решения уравнений.

7. Многочлены Многочлен. Сложение, вычитание и умножение многочленов.

Разложение многочленов на множители.

Основная цель — выработать умение выполнять сложение, вычитание, умножение многочленов и разложение многочленов на множители.

Данная тема играет фундаментальную роль в формировании умения выполнять тождественные преобразования алгебраических выражений.

Формируемые здесь формально-оперативные умения являются опорными при изучении действий с рациональными дробями, корнями, степенями с рациональными показателями.

Изучение темы начинается с введения понятий многочлена, стандартного вида многочлена, степени многочлена. Основное место в этой теме занимают алгоритмы действий с многочленами — сложение, вычитание и умножение. Учащиеся должны понимать, что сумму, разность, произведение многочленов всегда можно представить в виде многочлена.

Действия сложения, вычитания и умножения многочленов выступают как составной компонент в заданиях на преобразования целых выражений.

Серьезное внимание в этой теме уделяется разложению многочленов на множители с помощью вынесения за скобки общего множителя и с помощью группировки. Соответствующие преобразования находят широкое применение как в курсе 7 класса, так и в последующих курсах, особенно в действиях с рациональными дробями.

В данной теме учащиеся встречаются с примерами использования рассматриваемых преобразований при решении разнообразных задач, в частности при решении уравнений. Это позволяет в ходе изучения темы продолжить работу по формированию умения решать уравнения, а также решать задачи методом составления уравнений. В число упражнений включаются несложные задания на доказательство тождества.

8. Повторение. Решение задач Примерное планирование учебного материала Учебник: Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд (М: МНЕМОЗИНА, ОАО «Московские учебники», 2006) (М.: Просвещение, ОАО «Московские учебники», 2005) Тождества. Тождественные преобразования, п. 5, Линейное уравнение с одной переменной, п. Что такое функция. Вычисление значений функций Прямая пропорциональность, п. Взаимное расположение графиков линейных Определение степени с натуральным показателем, Возведение в степень произведения и степени, п. Умножение одночленов. Возведение одночленов в Абсолютная и относительная погрешности, п. 22, Сложение и вычитание многочленов, п. Умножение одночлена на многочлен, п. Вынесение общего множителя за скобки, п. Умножение многочлена на многочлен, п. Разложение многочлена на множители способом Доказательство тождеств, п. Итоговое повторение. Контрольная работа № 1. Повторение (Учебник Алгебра 7класс) Повторение алгоритмов действий с многочленами — сложения, вычитания и умножения.

О с н о в н а я цель — подготовить учащихся к дальнейшему изучению курса алгебры.

2. Формулы сокращенного умножения (a ±: b) (а2 ± аb + b2) = а3 ± b3. Применение формул сокращенного умножения в преобразованиях выражений.

О с н о в н а я цель — выработать умение применять формулы cокращенного умножения в преобразованиях целых выражений в многочлены и в разложении многочленов на множители.

В данной теме продолжается работа по формированию у учащихся умения выполнять тождественные преобразования целых выражений.

Основное внимание в теме уделяется формулам (a- b) (a + b) = а2 - b2, (а ± b) = а2 ± 2аb + b2. Учащиеся должны знать эти формулы и соответствующие словесные формулировки, уметь применять их как «слева направо», так и «справа налево».

Наряду с указанными рассматриваются также формулы а3 ± b3 = (а ± b) (а2 ± аb + b2). Однако они находят меньшее применение в курсе, поэтому не следует излишне увлекаться выполнением упражнений на их использование.

В заключительной части темы рассматривается применение различных приемов разложения многочленов на множители, а также использование преобразований целых выражений для решения широкого круга задач.

Система уравнений. Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными и его геометрическая интерпретация. Решение текстовых задач методом составления систем уравнений.

Основная цель — ознакомить учащихся со способом решения систем линейных уравнений с двумя переменными, выработать умение решать системы уравнений и применять их при решении текстовых задач.

Изучение систем уравнений распределяется между курсами 7 и классов. В 7 классе вводится понятие системы, и рассматриваются системы линейных уравнений.

Изложение начинается с введения понятия «линейное уравнение с двумя переменными». В систему упражнений включаются несложные задания на решение линейных уравнений с двумя переменными в целых числах.

Формируется умение строить график уравнения а x+ bу = с, где a или b 0, при различных значениях а, b, с. Введение графических образов дает возможность наглядно исследовать вопрос о числе решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Основное место в данной теме занимает изучение алгоритмов решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки и способом сложения. Введение систем позволяет значительно расширить круг текстовых задач, решаемых с помощью аппарата алгебры.

Применение систем упрощает процесс перевода данных задачи с обычного языка на язык уравнений.

Рациональная дробь. Основное свойство дроби, сокращение дробей.

Тождественные преобразования рациональных выражений.

Функция y = и ее график.

Основная цель — выработать умение выполнять тождественные преобразования рациональных выражений.

Так как действия с рациональными дробями существенным образом опираются на действия с многочленами, то в начале темы необходимо повторить с учащимися преобразования целых выражений.

Главное место в данной теме занимают алгоритмы действий с дробями.

Учащиеся должны понимать, что сумму, разность, произведение и частное дробей всегда можно представить в виде дроби. Приобретаемые в данной теме умения выполнять сложение, вычитание, умножение и деление дробей являются опорными в преобразованиях дробных выражений. Поэтому им следует уделить особое внимание. Нецелесообразно переходить к комбинированным заданиям на все действия с дробями прежде, чем будут усвоены основные алгоритмы. Задания на все действия с дробями не должны быть излишне громоздкими и трудоемкими.

При нахождении значений дробей даются задания на вычисления с помощью калькулятора. Изучение темы завершается рассмотрением свойств функции y =, ее графика.

4. Квадратные корни Понятие об иррациональных числах. Общие сведения о действительных числах. Квадратный корень. Понятие о нахождении приближенного значения квадратного корня. Свойства квадратных корней.

Преобразования выражений, содержащих квадратные корни. Функция О с н о в н а я цель — систематизировать сведения о рациональных числах и дать представление об иррациональных числах, расширив тем самым понятие о числе; выработать умение выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

В данной теме учащиеся получают начальное представление о понятии действительного числа. С этой целью обобщаются известные учащимся сведения о рациональных числах. Для введения понятия иррационального числа используется интуитивное представление о том, что каждый отрезок имеет длину и потому каждой точке координатной прямой соответствует некоторое число. Показывается, что существуют точки, не имеющие рациональных абсцисс.

При введении понятия корня полезно ознакомить учащихся с нахождением корней с помощью калькулятора.

квадратного корня и свойствам арифметических квадратных корней.

Доказываются теоремы о корне из произведения и дроби, а также тождество =а, которые получают применение в преобразованиях выражений, содержащих квадратные корни. Специальное внимание уделяется освобождению от иррациональности в знаменателе дроби. Умение преобразовывать выражения, содержащие корни, часто используется как в самом курсе алгебры, так и в курсах геометрии, алгебры и начал анализа.

Продолжается работа по развитию функциональных представлений учащихся. Рассматриваются функция у =, ее свойства и график. При изучении функции у = 5. Повторение. Решение задач Примерное планирование учебного материала (М.: Просвещение, ОАО «Московские учебники», 2005) Возведение в квадрат суммы и разности двух Разложение на множители с помощью формул суммы и разности двух выражений, п. Умножение разности двух выражений на их сумму, Разложение разности двух выражений на множители, Разложение на множители суммы и разности кубов, Преобразование целого выражения в многочлен, п. Применение различных способов для разложения на Применение преобразований целых выражений, п. Линейное уравнение с двумя переменными, п. График линейного уравнения с двумя переменными, Системы линейных уравнений с двумя Решение задач с помощью систем уравнений, п. Основное свойство дроби. Сокращение дробей, п. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми Сложение и вычитание дробей с разными Умножение дробей. Возведение дроби в степень, п. Преобразование рациональных выражений, п. Рациональные числа. Иррациональные числа, п. 9, Квадратные корни. Арифметический квадратный Уравнение х2 = a. Нахождение приближенных значений квадратного корня, п.12, Квадратный корень из произведения и дроби.

Квадратный корень из степени, п.15, Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня, п. Преобразование выражений, содержащих квадратные 1. Повторение (Учебник. Алгебра 8класс) Повторение понятий квадратный корень, арифметический квадратный корень, свойств арифметического квадратного корня, уравнения х2 = a.

Основная цель – подготовить учащихся к восприятию тем последующего курса алгебры.

2. Квадратные уравнения Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения.

Решение рациональных уравнений. Решение задач, приводящих к квадратным уравнениям и простейшим рациональным уравнениям.

Основная цель — выработать умения решать квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения и применять их к решению задач.

В начале темы приводятся примеры решения неполных квадратных уравнений. Этот материал систематизируется. Рассматриваются алгоритмы решения неполных квадратных уравнений различного вида.

Основное внимание следует уделить решению уравнений вида ах2 + bх + с = 0, где а 0, с использованием формулы корней. В данной теме учащиеся знакомятся с формулами Виета, выражающими связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Они используются в дальнейшем при доказательстве теоремы о разложении квадратного трехчлена на линейные множители.

Учащиеся овладевают способом решения дробных рациональных уравнений, который состоит в том, что решение таких уравнений сводится к решению соответствующих целых уравнений с последующим исключением посторонних корней.

Изучение данной темы позволяет существенно расширить аппарат уравнений, используемых для решения текстовых задач.

3. Неравенства Числовые неравенства и их свойства. Почленное сложение и умножение числовых неравенств. Погрешность и точность приближения.

Линейные неравенства с одной переменной и их системы.

неравенств для оценки значений выражений, выработать умение решать линейные неравенства с одной переменной и их системы.

Свойства числовых неравенств составляют ту базу, на которой основано решение линейных неравенств с одной переменной. Теоремы о почленном сложении и умножении неравенств находят применение при выполнении простейших упражнений на оценку выражений по методу границ. Вводятся понятия абсолютной погрешности и точности приближения, относительной погрешности. Умения проводить дедуктивные рассуждения получают развитие, как при доказательствах указанных теорем, так и при выполнении упражнений на доказательства неравенств.

В связи с решением линейных неравенств с одной переменной дается понятие о числовых промежутках, вводятся соответствующие названия и обозначения. Рассмотрению систем неравенств с одной переменной предшествует ознакомление учащихся с понятиями пересечения и объединения множеств.

При решении неравенств используются свойства равносильных неравенств, которые разъясняются на конкретных примерах. Особое внимание следует уделить отработке умения решать простейшие неравенства вида ах > b, ах < b, остановившись специально на случае, когда а < 0.

В этой теме рассматривается также решение систем двух линейных неравенств с одной переменной, в частности таких, которые записаны в виде двойных неравенств.

4. Степень с целым показателем.

Степень с целым показателем и ее свойства. Стандартный вид числа.

Основная цель — выработать умение применять свойства степени с целым показателем в вычислениях и преобразованиях.

В этой теме формулируются свойства степени с целым показателем.

Метод доказательства этих свойств показывается на примере умножения степеней с одинаковыми основаниями. Дается понятие о записи числа в стандартном виде. Приводятся примеры использования такой записи в физике, технике и других областях знаний.

5. Свойства функций. Квадратичная функция. (Учебник Алгебра Функция. Свойства функций. Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители. Функция у = ах2 +bх + с, ее свойства и график. Решение неравенств второй степени с одной переменной.

Основная цель — расширить сведения о свойствах функций, ознакомить учащихся со свойствами и графиком квадратичной функции, выработать умение применять графические представления для решения неравенств второй степени с одной переменной.

В начале темы систематизируются сведения о функциях. Повторяются основные понятия: функция, аргумент, область определения функции, график. Даются понятия о возрастании и убывании функции, промежутках знакопостоянства. Тем самым создается база для усвоения свойств квадратичной и степенной функций, а также для дальнейшего углубления функциональных представлений при изучении курса алгебры и начал анализа.

Подготовительным шагом к изучению свойств квадратичной функции является рассмотрение вопроса о квадратном трехчлене и его корнях, выделении квадрата двучлена из квадратного трехчлена, разложении квадратного трехчлена на множители.

Изучение квадратичной функции начинается с рассмотрения функции у = ах2, ее свойств и особенностей графика, а также других частных видов квадратичной функции — функций у = ах2 +n, у = а (х -m)2. Эти сведения используются при изучении свойств квадратичной функции общего вида.

Важно, чтобы учащиеся поняли, что график функции у = ах2 + bх + с может быть получен из графика функции у = ах2 с помощью двух параллельных переносов. Приемы построения графика функции у = ах2 + bх + с отрабатываются на конкретных примерах. При этом особое внимание следует уделить формированию у учащихся умения указывать координаты вершины параболы, ее ось симметрии, направление ветвей параболы.

При изучении этой темы дальнейшее развитие получает умение находить по графику промежутки возрастания и убывания функции, а также промежутки, в которых функция сохраняет знак.

Формирование умений решать неравенства вида ах2 + bх + с > 0 или ах2 + bх + с < 0, где а 0, осуществляется с опорой на сведения о графике квадратичной функции (направление ветвей параболы, ее расположение относительно оси Ох). Учащиеся знакомятся с методом интервалов, с помощью которого решаются несложные рациональные неравенства.

5. Повторение. Решение задач Примерное планирование учебного материала (М.: Просвещение, ОАО «Московские учебники», 2005) Определение квадратного уравнения. Неполные Решение квадратных уравнений выделением квадрата Решение квадратных уравнений по формуле, п. Решение задач с помощью квадратных уравнений, п.

Решение дробных рациональных уравнений, п. Решение задач с помощью рациональных уравнений, Графический способ решения уравнений, п. Числовые неравенства. Свойства числовых Сложение и умножение числовых неравенств, п. Решение неравенств с одной переменной, п. Решение систем неравенств с одной переменной, п. Определение степени с целым показателем, п. Свойства степени с целым показателем, п. Запись приближенных значений, п. Действия над приближенными значениями, п. Вычисления с приближенными данными на микрокалькуляторе (Учебник Алгебра 9класс) Функция. Область определения и область значений Квадратный трехчлен и его корни, п. Разложение квадратного трехчлена на множители, График функции у = ах2, ее график и свойства, п. Построение графика квадратичной функции, п. Решение неравенств второй степени с одной Решение неравенств методом интервалов, п. 1. Повторение.

Решение уравнений.

Основная цель – подготовить учащихся к обобщению сведений о решении целых и дробных рациональных уравнений с одной переменной.

2. Уравнения и системы уравнений.

Целые уравнения. Дробные рациональные уравнения. Уравнение с двумя переменными и его график. Системы уравнений второй степени.

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.

Неравенства с двумя переменными и их системы.

Основная цель — систематизировать и обобщить сведения о решении целых и дробных рациональных уравнений с одной переменной. Выработать умение решать простейшие системы, содержащие уравнение второй степени с двумя переменными, и текстовые задачи с помощью составления таких систем.

Завершается изучение рациональных уравнений с одной переменной. В связи с этим проводится некоторое обобщение и углубление сведений об уравнениях. Вводятся понятия целого рационального уравнения и его степени. Учащиеся знакомятся с решением уравнений третьей степени и четвертой степени с помощью разложения на множители и введения вспомогательной переменной. Метод решения уравнений путем введения вспомогательных переменных будет широко использоваться в дальнейшем при решении тригонометрических, логарифмических и других видов уравнений.

Расширяются сведения о решении дробных рациональных уравнений.

Учащиеся знакомятся с некоторыми специальными приемами решения таких уравнений.

В данной теме завершается изучение систем уравнений с двумя переменными. Основное внимание уделяется системам, в которых одно из уравнений первой степени, а другое второй. Известный учащимся способ подстановки находит здесь дальнейшее применение и позволяет сводить решение таких систем к решению квадратного уравнения.

Ознакомление учащихся с примерами систем уравнений с двумя переменными, в которых оба уравнения второй степени, должно осуществляться с достаточной осторожностью и ограничиваться простейшими примерами.

Привлечение известных учащимся графиков позволяет привести примеры графического решения систем уравнений. С помощью графических представлений можно наглядно показать учащимся, что системы двух уравнений с двумя переменными второй степени могут иметь одно, два, три, четыре решения или не иметь решений.

Разработанный математический аппарат позволяет существенно расширить класс содержательных текстовых задач, решаемых с помощью систем уравнений.

3. Прогрессии Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы n-го члена и суммы первых n членов прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

О с н о в н а я цель — дать понятия об арифметической и геометрической прогрессиях как числовых последовательностях особого вида.

При изучении темы вводится понятие последовательности, разъясняется смысл термина «n- й член последовательности», вырабатывается умение использовать индексное обозначение. Эти сведения носят вспомогательный характер и используются для изучения арифметической и геометрической прогрессий.

Работа с формулами n-го члена и суммы первых n членов прогрессий, помимо своего основного назначения, позволяет неоднократно возвращаться к вычислениям, тождественным преобразованиям, решению уравнений, неравенств, систем.

Рассматриваются характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий, что позволяет расширить круг предлагаемых задач.

Сведения о бесконечно убывающей геометрической прогрессии не являются обязательными и рассматриваются обзорно.

4. Степенная функция. Корень n- ой степени Четные и нечетные функции. Функция y = xn.. Определение корня n- ой степени.

О с н о в н а я цель – познакомить учащихся со свойствами степенной функции, дать понятие корня n-й степени.

В этой теме учащиеся знакомятся со свойствами степенной функции у = хп при четном и нечетном натуральном показателе п. Вводится понятие корня n-й степени. Учащиеся должны понимать смысл записей вида, Они получают представление о нахождении значений корня с помощью калькулятора, причем выработка соответствующих умений не требуется.

5. Тригонометрические выражения и их преобразования Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. Радианная мера угла. Применение основных тригонометрических формул в вычислениях и тождественных преобразованиях.

Основная цель – ввести понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла, сформировать умения вычислять значения тригонометрических функций по известному значению одной из них, выполнять несложные преобразования тригонометрических выражений.

В курсе геометрии были определены синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. В данной теме тригонометрические функции определяются для любого угла, вводится понятие котангенса угла.

Рассматриваются свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые находят непосредственное применение в преобразованиях тригонометрических выражений.

Специальное внимание уделяется переходу от радианной меры угла к градусной мере и наоборот.

Центральное место в данной теме занимают формулы, выражающие соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла. Основное внимание уделяется нахождению значений тригонометрических функций по заданному значению одного их них.

6. Теории вероятностей и статистика Таблицы и диаграммы. Описательная статистика. Случайные события и вероятность. Элементы комбинаторики. Случайные величины в статистике.

О с н о в н а я цель — познакомить учащихся с тем, как извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, составлять таблицы, строить диаграммы, вычислять средние значения результатов измерений, находить вероятности случайных событий в простейших случаях, решать комбинаторные задачи.

В данной теме учащиеся заканчивают знакомство с тем, как извлекать информацию, представленную в виде таблиц и диаграмм, составлять таблицы и диаграммы.

Учащиеся знакомятся с простейшими статистическими характеристиками: средним арифметическим, медианой, размахом, дисперсией. Учащиеся должны уметь использовать эти характеристики для анализа ряда данных в несложных ситуациях.

В данной теме учащиеся знакомятся с начальными сведениями из теории вероятностей. Вводятся понятия «случайное событие», «относительная частота», «вероятность случайного события».

Рассматриваются статистический и классический подходы к определению вероятности случайного события. Важно обратить внимание учащихся на то, что классическое определение вероятности можно применять только к таким моделям реальных событий, в которых все исходы являются равновозможными.

Изучение комбинаторики начинается с решения задач, в которых требуется составить те или иные комбинации элементов и подсчитать их число.

Разъясняется комбинаторное правило умножения, которое используется в дальнейшем при выводе формул для подсчета числа перестановок, размещений и сочетаний. При изучении данного материала необходимо обратить внимание учащихся на различие понятий «размещение» и «сочетание», сформировать у них умение определять, о каком виде комбинаций идет речь в задаче.

Заканчивается изучение темы знакомством с понятием случайной величины и числовыми характеристиками случайных величин.

6. Итоговое повторение курса алгебры 7-9классов Примерное тематическое планирование учебного материала Учебник: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др. Алгебра (М.: Просвещение, ОАО «Московские учебники», 2005) Учебник: Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко (М.: МЦНМО: АО «Московские учебники», 2004, 2008) Уравнения, приводимые к квадратным, п. Графический способ решения систем уравнений, п. Решение систем уравнений второй степени, п. Решение задач с помощью систем уравнений второй Глава 3.Арифметическая и геометрическая прогрессии Последовательности, п. Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии, п. Формула суммы n первых членов арифметической Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии, п. Формула суммы n первых членов геометрической