Г. П.Фомин

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

МЕТОДЫ

И МОДЕЛИ

В КОММЕРЧЕСКОЙ

ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Издание второе, переработанное и дополненное

Рекомендовано Министерством образования

Российской Федерации

в качестве учебника для студентов

высших учебных заведений,

обучающихся по экономическим специальностям Москва "Финансы и статистика" 2005 УДК 330.45:339(075.8) ББК 65.42в6я73 Ф76 Фомин г. П.

Ф76 Математические методы и модели в коммерческой дея­ тельности: Учебник. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финан­ сы и статистика, 2005. — 616 с: ил.

ISBN 5-279-02828- Рассмофено применение математических методов и моделей линейного, динамического и целочисленного профаммирования, теории массового об­ служивания, теории Иф, теории фафов, сетевого планирования в решении задач коммерческой деятельности: перевозки фузов, оптимизации плана продажи и покупки товаров, коммивояжера, назначения, распределения ре­ сурсов; анализа устойчивости коммерческой деятельности предприятия и др.

Приведены контрольные вопросы, задачи и ответы к ним.

Для ртудентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям, может быть полезен практическим работникам, а также слушателям школ бизнеса.

^ 0601000000-133,,, ^^^, УДК330.45:339(075.8) ^ 010(01)-2005 ^^^ ~ ^^^^ ББК 65.42в6я © Фомин г. П., ISBN 5-279-02828-2 © Фомин Г. П.,

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение Глава 1. Коммерческая деятельность и математика 1.1. Задачи коммерческой деятельности и методы их реше­ ния 1.2. Понятия о моделях и моделировании 1.3. Математическое моделирование задач коммерческой деятельности Контрольные вопросы Задачи Гл а Б а 2. Методы и модели линейного программирования.... 2.1. Общая задача линейного программирования Контрольные вопросы 2.2. Постановка задач коммерческой деятельности 2.2.1. Коммерческая деятельность предприятия 2.2.2. Планирование товарооборота 2.2.3. Производственная задача 2.2.4. Формирование рациональных смесей 2.2.5. Перевозка грузов 2.2.6. Задача о назначениях 2.2.7. Формирование торговой сети 2.2.8. Выбор портфеля ценных бумаг 2.2.9. Построение кольцевых маршрутов Контрольные вопросы Задачи 2.3. Методы решения задач коммерческой деятельности... 2.3.1. Геометрический метод Контрольные вопросы Задачи 2.3.2. Алгебраический симплексный метод 2.3.3. Метод искусственного базиса 2.3.4. Метод Гомори. Целочисленное решение Контрольные вопросы Задачи 2.4. Двойственные задачи линейного программирования.. 2.4.1. Построение двойственной задачи Оглавление 2.4.2. Теоремы двойственности 2.4.3. Анализ устойчивости двойственных оценок Контрольные вопросы Задачи 2.5. Двойственный симплексный метод Контрольные вопросы Задачи 2.6. Метод потенциалов 2.7. Анализ устойчивости коммерческой деятельности пред­ 3.3.5. Ифовые модели в условиях коммерческого риска 3.3.6. Игровые модели в условиях полной коммерческой 3.5.3. Оценка согласованности мнений игроков в деловой 3.5.4. Оценка компетентности игроков в деловой игре... Гл а в а 4. Методы и модели теории графов 4.2. Природа потоков в сетях и принцип их сохранения... 4.3. Теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе Оглавление 4.5. Постановка сетевых задач коммерческой деятельности 4.5.5. Распределение торговых агентов по городам 4.5.7. Планирование работ коммерческой деятельности.. 4.6.5. Параметры сетевых моделей и методы их расчета.. 4.6.8. Венгерский метод решения задач о назначениях... 5.2. Постановка задачи динамического программирования 5.3. Принцип оптимальности и математическое описание 5.5. Выбор оптимальной стратегии обновления оборудова­ 5.6. Выбор оптимального маршрута перевозки грузов 5.7. Построение оптимальной последовательности опера­ Гл а в а 6. Системы и модели массового обслуживания....... 6.1. Массовое обслуживание в коммерческой деятельности 6.2. Моделирование систем массового обслуживания 6.3. Системы массового обслуживания в коммерческой дея­ 6.4. Экономико-математическая постановка задач массово­ 6.5. Модели систем массового обслуживания в коммерчес­ 6.5.1. Одноканальная СМО с отказами в обслуживании.. 6.5.2. Многоканальная СМО с отказами в обслуживании 6.5.3. Одноканальная СМО с ограниченной длиной очере­ 6.5.4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью 6.5.5. Многоканальная СМО с ограниченной длиной оче­ 6.5.6. Многоканальная СМО с неофаниченной очередью 6.6. Алализ системы массового обслуживания коммерческо­ Гл а в а 7. Модели финансово-коммерческих операций 7.1. Модели развития операций по схеме простых процентов 7.2. Модели развития операций по схеме сложных процен­ 7.5. Модели инфляции в коммерческих операциях 7.6. Модели сравнения финансово-коммерческих операций

ВВЕДЕНИЕ

Коммерческие вычисления используются с появлением то­ варно-денежных отношений. В отдельную отрасль знаний они выделились в XIX в. под названием «Коммерческая арифметика», применение которой не только сопровождает, но и большей час­ тью обусловливает каждый торговый акт, каждую финансовую операцию. До начала XX в. «Коммерческая арифметика» включа­ ла процентные, вексельные вычисления, финансовые операции по вкладам и ссудам, операции с ценными бумагами.

К первым шагам использования математических методов в коммерческой деятельности относится работа итальянского ма­ тематика Луки Пачоли, который еще в 1494 г. предложил метод двойной записи регистрации данных взаимных расчетов между торговцами товарами, что является отличительной особенностью бухгалтерского учета. Затем появилась работа основателя класси­ ческой школы политэкономии Уильяма Петти (1623-1687) «По­ литическая арифметика», в которой он высказывал мнения на языке чисел, весов, мер.

Количественный аспект анализа экономических явлений и процессов всегда занимал большое место в работах классиков отечественной и зарубежной экономики. Французский ученый Ф. Кенэ создал «Экономическую таблицу», являющую собой по­ пытку представить в форме экономико-математической модели процесс воспроизводства общественного продукта как единого целого.

К. Маркс конструировал математические модели в известной работе «Капитал», которые описаны в книге «Математические методы анализа в торговле. Очерки теории и практики» (под ре­ дакцией М. И. Баранова и И. С. Бровикова, 1967 г). П. Лафарг в воспоминаниях о Марксе писал, что он считал, что наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается воспользоваться математикой.

Затем в процессе развития рыночных отношений, например, «Коммерческая арифметика» преобразовалась в «Коммерческую математику», а затем в «Финансовую математику» как одну из со­ ставляющих «Коммерческого дела» и «Финансового менеджмента».

Коммерческая деятельность в том или ином виде сводится к решению таких задач: как распорядиться имеющимися ресурса­ ми для достижения наибольшей выгоды или какое следует пред­ принять действие для получения возможно лучшего финансово­ го результата.

Практика подтверждает, что все созданное, построенное воз­ никает вначале в воображении человека в различных вариантах, потом из них выбирается один, который воплощается в жизнь.

Основываясь на своем опыте, интуиции и здравом смысле, люди полагали, что принятие х^ороших мудрых решений было и остает­ ся во многом искусством. Однако стало возможным часть этого искусства сделать наукой, базирующейся на математических ме­ тодах. Необходимость использования таких методов диктуется тем, что последствия принимаемых решений могут касаться большого числа людей и быть связаны с огромными затратами.

Поэтому степень ответственности за принимаемые решения зна­ чительно возрастает. Перевод реального мира коммерческой дея­ тельности на язык математики позволит получить наиболее точ­ ное представление о его существенных свойствах и предсказать будущие события.

Важно заметить, что содержательные и методологические ас­ пекты в решении задач ифают не меньшую роль, чем математиче­ ские. При этом непонимание самой природы практических задач или пренебрежение их качественным содержанием приводит к большим трудностям математического характера и, как следствие, объясняет основное количество отрицательных результатов.

Математическая культура специалистов требует приобрете­ ния практических навыков по переводу задач коммерческой дея­ тельности на математический язык. В этом и состоит одна из проблем овладения искусством математического моделирования.

Целью настоящего учебника является изложение основопо­ лагающих понятий и моделей финансово-коммерческих опера­ ций, необходимых для решения как учебных, так и практических задач коммерческой деятельности.

КОММЕРЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ

И МАТЕМАТИКА

Специалисты в области экономических исследований счита­ ют, что дальнейший професс тесно связан с более широким ис­ пользованием математических методов и моделей. Если раньше доминировал качественный анализ, то теперь выявлены количе­ ственные закономерности и построены математические модели многих экономических явлений и процессов. В результате на­ блюдается более глубокое проникновение в изучаемые процессы, в саму природу явлений. Смелые замыслы познания в макро- и микромире позволяют получить удивительные результаты.

Например, некоторые закономерности были найдены чисто ма­ тематическим путем, а непосредственное наблюдение не позво­ ляло установить даже их присутствие. Поэтому путь математи­ ческого моделирования экономических процессов и последова­ тельного установления логических причинно-следственных связей для обеспечения возможности наблюдения, контроля и управления ими есть наиболее эффективное средство для реше­ ния различных проблем. Предложенные суждения о математике как об орудии исследования в различных сферах человеческой деятельности являются результатом оценки потребителя с пози­ ций ее полезности и ценности для развития общества в будущем.

Вьщающийся итальянский физик и астроном, один из осно­ вателей точного естествознания Галилео Галилей (1564—1642) го­ ворил, что «книга природы написана на языке математики». Поч­ ти двести лет назад родоначальник немецкой классической фи­ лософии Иммануил Кант (1742—1804) утверждал, что «во всякой науке столько истины, сколько в ней математики». Наконец, еще через сто пятьдесят лет, практически уже в наше время, немецкий математик и логик Давид Гильберт (1862—1943) констатировал:

«Математика — основа всего точного естествознания».

Количественный аспект анализа экономических явлений и процессов всегда занимал большое место в работах классиков отечественной и зарубежной экономики. Например, еще в 1938 г французский математик Курно в работе «Исследование матема­ тических принципов теории богатства» сформулировал «закон спроса».

Приведенные высказывания великих ученых дают представ­ ление о роли и значении математики как в научно-теоретичес­ кой, так и предметно-практической деятельности специалистов.

Математическое моделирование - это теоретико-экспери­ ментальный метод познавательно-созидательной деятельности, метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых объектов — ма­ тематических моделей.

Математические методы исследования все больше проника­ ют в экономику, экологию, социологию, психологию, коммерче­ скую деятельность, маркетинг Сложность количественного описания процессов и явлений и построения математических за­ кономерностей сильно сдерживает стремление «проверить алгеб­ рой гармонию». Это стремление послужило поводом к появле­ нию междисциплинарных гибридов в виде математической эко­ номики, математической биологии, математической психологии, математической лингвистики.

Коммерческая деятельность связана с постоянным поиском наиболее выгодного варианта распределения различного вида ре­ сурсов: финансовых, трудовых, товарных, технических и др. В настоящее время усложнение взаимосвязей вне и внутри коммер­ ческих предприятий, наличие большого числа показателей, фак­ торов и ограничений, а также быстрый рост конкуренции не поз­ воляют сформировать оптимальный план без применения специ­ альных методов. Кроме того, время решения задач обычно ограничено, и поэтому не всегда составляется оптимальный план.

1.1. Задачи коммерческой деятельности и методы их решения Существующие математические методы и модели позволяют решать задачи большей размерности и учитывать широкий перечень показателей и факторов влияния, а время решения за­ дач значительно сокращается с применением компьютеров.

1.1. Задачи коммерческой деятельности Термин «коммерция» в переводе с латинского commercium означает торговля, торговые операции, торговые обороты. Это послужило поводом к появлению коммерсантов, лиц, осуществ­ ляющих коммерческую деятельность, а также таких терминов, как «коммерческий риск», «коммерческая тайна», «коммерчес­ кий кредит», «коммерческий банк».

Коммерческая деятельность является неотъемлемой частью функционирования современных предприятий в рыночных усло­ виях. Она представляет собой совокупность процессов и опера­ ций, направленных на совершение купли-продажи товаров и ус­ луг с целью удовлетворения покупательского спроса и получения прибыли. К основным коммерческим операциям относятся опе­ рации по обмену продукции в материально-вещественной фор­ ме; по обмену научно-техническими знаниями (патенты, лицен­ зии, ноу-хау); по обмену техническими услугами (строительный инжиниринг); арендные; по международному туризму; по предо­ ставлению консультационных услуг в области информации; по обмену кинофильмами и телепрограммами; а также операции то­ вародвижения — перевозка грузов; транспортно-экспедиторские операции; страхование грузов и их хранение; расчеты между кли­ ентами.

Коммерческая деятельность включает помимо торговли еще целый комплекс заготовительной, производственной, строитель­ ной, инвестиционной и другой предпринимательской деятельно­ сти, направленной в конечном итоге на ее реализацию через ак­ ты купли-продажи для получения прибыли. Коммерческая дея­ тельность осуществляется преимущественно в сфере товарного обращения и распределения среди специализированных коммер­ ческих организаций. Коммерческие подразделения производстГлава 1. Коммерческая деятельность и математика венных фирм, компаний обеспечивают движение товарно-де­ нежных потоков. При этом коммерческая деятельность на про­ мышленном предприятии подразделяется на закупочную, свя­ занную с материально-техническим снабжением, и сбытовую — продвижение готовой продукции потребителям. На входе пред­ приятия — обеспечение информацией, капиталом, ресурсами через отделы снабжения (запчастями, комплектующими издели­ ями) и на выходе — службы сбыта, готовой продукции, услуг, ин­ формации.

С целью повышения качества и конкурентоспособности коммерческую деятельность выделяют в отдельное подразделе­ ние с финансовой ответственностью перед компанией. Таким образом, появились специализированные торговые дистрибьюторские сети, созданные концернами и корпорациями. В России производственные компании ОАО «ГАЗ», «АвтоВАЗ», «КамАЗ», «ЛУКойл», «Газпром» создали торговые сбытовые системы с дистрибьюторской сетью как в нашей стране, так и за рубежом.

Таким образом, любые коммерческие службы всегда ориенти­ рованы на рынок для успешного решения социальных задач об­ щества. Коммерческая деятельность позволяет всем участникам коммерческого оборота успешно взаимодействовать на всех эта­ пах реализации торговых сделок с учетом взаимной выгоды.

При этом выделяют задачи предвидения коммерческих рис­ ков и просчет возможных исходов, последствий принимаемых решений. При принятии коммерческих решений широко ис­ пользуются принципы маркетинга.

Коммерческая деятельность торговых предприятий включает изучение спроса на товары, рынков сбыта, выявление и изучение источников поступлений и поставщиков товаров, организацию рациональных хозяйственных связей с поставщиками, разработ­ ку заявок по всему ассортименту товаров, заключение договоров на поставку товаров, организацию и ведение учета и контроля за выполнением договорных обязательств.

Коммерческая деятельность формирует организационную схему связи предприятий и оживляет операции взаимодействия по закупке, продвижению товаров от поставщика до потребителя и продаже конкретному покупателю. Она включает предприниЗадачи коммерческой деятельности и методы их решения мательство, поиск и закупку конкурентоспособного товара, обес­ печение его сохранности, транспортировку к месту продажи, продажу и гарантийное обслуживание. Таким образом, коммер­ ческая деятельность охватывает не только торговую деятель­ ность, но и разнообразные виды предпринимательства, связан­ ные со сбытом, перепродажей товаров и предоставлением соот­ ветствующих услуг.

В коммерческо-посреднической деятельности задачи-опера­ ции разделяются на производственные задачи, связанные с непо­ средственным движением грузов, хранением, погрузкой, разфузкой, транспортировкой, фасовкой, подсортировкой, упаковкой, и на коммерческие задачи, связанные со сменой форм собствен­ ности, определяемые куплей-продажей товаров, а также на зада­ чи, связанные с проведением рыночных исследований, оценкой инфраструктуры, конкурентов, с формированием рекламы. В на­ стоящее время выделяются задачи, связанные с выполнением до­ полнительных услуг предпродажного, продажного и послепро­ дажного сервиса, обеспечивающих достижение большего ком­ мерческого успеха.

Ключевой фигурой торгово-посреднического бизнеса являет­ ся посредник, человек, которому присущи такие качества, как компетентность, профессиональные знания, этика делового об­ щения, контактность, коммуникабельность, инициативность, эрудиция, хороший вкус и т.д.

в качестве посредников выступают юридические или физи­ ческие лица, оптовые предприниматели, агенты, дилеры, дис­ трибьюторы, которые выполняют функции объединения произ­ водителей товаров, оптовых и розничных потребителей для обме­ на товарами, услугами, информацией.

В целом можно выделить три основные группы задач коммер­ ческой деятельности: производство продукции, коммерческое посредничество и коммерция (торговля). Коммерческая деятель­ ность имеет особенную специфику в оптовой и розничной тор­ говле и посреднических структурах.

Следует заметить, что понятие «коммерция» могут характери­ зовать по-разному предприниматели, экономисты, финансисты, товароведы, маркетологи, специалисты по рекламе, бухгалтеры, менеджеры. Однако общим для всех является то, что предмет коммерции — акты купли-продажи товаров в сфере товарного об­ ращения, ориентированные на спрос потребителей, поступление их в собственность торгового предприятия для последующей ре­ ализации и получение прибыли с наименьшими издержками.

В процессе формулировки задач коммерческой деятельности следует учитывать особо форс-мажорные обстоятельства и реа­ лизм коммерческого беспокойства: штрафы, обман, угрозы, во­ ровство, фабежи, вымогательства, все что может отразиться на конечном результате. Это поможет более объективно изложить содержание задачи и осуществить ее конкретную постановку спе­ циалистами. Использование арсенала математических методов и моделей позволяет разработать оптимальные варианты решений задач коммерческой деятельности.

Например, для формирования плана прикрепления 30 роз­ ничных предприятий торговли — заказчиков, получающих по одной условной единице продукции, к двум оптовым поставщи­ кам мощностью 20 и 10 условных единиц существует около 5 млн вариантов прикрепления. Составляя планы со скоростью 1 вари­ ант в минуту, экономист за рабочий день разработает 480 вариан­ тов, за неделю - 2400, за месяц — 9600, за год — 124 800. Следо­ вательно, для решения задачи потребуется около 40 лет! При уве­ личении числа потребителей до 50, а мощностей поставщиков соответственно до 30 и 20 условных единиц на подобный пере­ бор ушло бы около 100 млн лет. Конечно, все варианты переби­ рать никто не будет, и, следовательно, план вряд ли будет опти­ мальным.

Специалисты в коммерции должны быть подготовлены к ре­ шению следующих профессиональных задач:

а) коммерческо-организационной деятельности: выбор това­ ров и формирование ассортимента, подбор покупателей и по­ ставщиков; планирование и организация процессов закупки и продаж товаров; организация коммерческих взаиморасчетов; ор­ ганизация товародвижения и создание системы стимулирования сбыта; управление товарными запасами;

б) научно-исследовательской деятельности: исследование и анализ товарных рынков; исследование ассортимента и конкуЗадачи коммерческой деятельности и методы их решения рентоспособности товара; исследование и моделирование бизнестехнологий; анализ и оценка эффективности коммерческой дея­ тельности; исследование информационно-методического обеспе­ чения коммерческой деятельности с целью ее оптимизации;

в) проектно-аналитическая деятельность: проектирование информационного обеспечения коммерческой деятельности;

прогнозирование конъюнктуры товарных рынков; прогнозиро­ вание и проектирование номенклатуры товаров; прогнозирова­ ние и разработка стратегии коммерческой деятельности пред­ приятия на товарном рынке; проектирование процессов продви­ жения и реализации товаров на рынке; прогнозирование результатов коммерческой деятельности предприятия коммерче­ ской службой.

В настоящее время множество задач планирования и управле­ ния в отраслях народного хозяйства, а также большой объем ча­ стных прикладных задач решаются методами математического программирования. Наиболее развитыми в области решения оп­ тимизационных задач являются методы линейного профаммирования. Эти методы позволяют описать с достаточной точнос­ тью широкий круг задач коммерческой деятельности, таких как:

планирование товарооборота; размещение розничной торговой сети города; планирование товароснабжения города, района;

прикрепление торговых предприятий к поставщикам; организа­ ция рациональных перевозок товаров (транспортная задача); рас­ пределение работников торговли по должностям (задача о назна­ чении); организация рациональных закупок продуктов питания (задача о диете); распределение товарных потоков; планирование капиталовложений; оптимизация межотраслевых связей торгов­ ли; замена торгового оборудования; определение ассортимента товаров для торговой базы в силу ограниченной площади хране­ ния; установление рационального режима работы. В задачах ли­ нейного программирования критерий эффективности и функции в системе ограничений линейны.

Если содержательный смысл требует получения решения в целых числах, то такая задача является задачей целочисленного профаммирования. В задачах параметрического профаммирования целевая функция или функции, определяющие область возГлава 1. Коммерческая деятельность и математика можных изменений переменных, зависят от некоторых парамет­ ров. Если эти функции носят случайный характер, то имеем зада­ чу стохастического программирования. Если в задаче математи­ ческого профаммирования имеется переменная времени, а кри­ терий эффективности выражается через уравнения, описывающие протекание операций во времени, то такая задача является задачей динамического программирования.

Использование математических методов в коммерческой дея­ тельности связано со сбором необходимой информации коммер­ сантом, экономистом, финансистом, затем постановкой задачи вместе с математиком. Поскольку многие математические мето­ ды уже реализованы на компьютере в виде пакета стандартных программ, то доступ к ним обычно прост, автоматизирован и не составляет особых трудностей. В этом случае время решения за­ дачи определяется в основном лишь временем ввода ее условий в компьютер.

В целом успешному решению задач коммерческой деятельно­ сти может способствовать большое разнообразие математических методов и моделей линейного, целочисленного и динамического программирования, теории игр, теории графов и сетевого моде­ лирования, теории массового обслуживания, теории вероятнос­ тей и математической статистики, корреляционного и регресси­ онного анализа.

1.2. Понятия о моделях и моделировании Базовым началом этого раздела является понятие существо­ вания аналогии между предметами или явлениями, которая оп­ ределяется как сходство функций или подобие отношений, на­ пример пропорциональности. Это понятие связано также с таки­ ми терминами, как копия, подобие, имитатор, тождество.

Создание аналогов, выполняюш[их роль заместителей, в той или иной степени копирующих или воспроизводящих оригинал, не­ обходимо для исследования, поскольку проведение непосредст­ венного эксперимента часто очень дорого или просто невозмож­ но. Поэтому создание каких-либо аналогов коммерческой дея­ тельности или составляющих ее элементов позволяет удешевить 1.2. Понятия о моделях и моделировании проведение исследования, а по полученным результатам судить об оригинале. Описанные процедуры связаны с умением созда­ вать так называемые модели, которые являются условным обра­ зом вещественным (физическим) или абстрактным (знаковым), чего-либо или кого-либо, выполняющих роль заместителей ори­ гиналов.

В простейшем варианте понятие «модель» можно связать с представлением какой-либо копии, повторяющей в уменьшен­ ном или увеличенном виде с сохранением пропорций, например, здания, моста, башни, склада, микрорайона, города, скульптуры.

Такие модели называют макетами. Макет может отобразить в уве­ личенной копии что-то микроскопическое, недоступное обыч­ ному восприятию человека, например строение атома, молекулы алмаза. Такие модели принято называть материальными, или ве­ щественными. Они предназначены для того, чтобы точнее изу­ чить, проанализировать, предвидеть то, что человек собирается создать, изготовить, построить или переделать. Это позволяет де­ шево реализовать замысел. В процессе работы над такой моделью можно легко изменять варианты будущего изделия и затем вы­ брать лучший, например, на конкурентной основе по каким-ли­ бо требованиям.

Обычно созданию таких моделей предшествуют рисунки, эс­ кизы, чертежи, схемы, т.е. различные варианты отображения ма­ териальных объектов, подлежащих анализу, которые множество раз воспроизводятся на бумаге. В это время интенсивно работает воображение, например, у архитектора, скульптора, кинорежис­ сера, актера, коммерсанта, бухгалтера, менеджера. Правда, каж­ дый из них на бумаге изображает сообразно своему профессио­ нальному уровню и принятой в этой профессиональной сфере символике варианты какого-либо замысла. Таким образом, фор­ мируются абстрактные или материальные модели. Но у человека и общества есть потребность в создании не только моделей за­ стывших или статических структур, но и процессов в экономике, политике, различных отраслях народного хозяйства. Создание таких моделей является сложной и интересной задачей.

В реальной жизни мы постоянно прибегаем к мысленным мо­ делям как к средству упрощения действительности в процессе принятия какого-либо решения, правда, иногда очень долго, да­ же несколько лет. Так, ахейцам, осаждавшим Трою, понадоби­ лось 10 лет, чтобы, наконец, додуматься до оригинального реше­ ния, связанного с уловкой на деревянного коня.

К физическим моделям относятся: скульптура, ифушечные автомобили, глобус, планетарий, модели самолетов и другие ма­ териальные объекты, заменяющие оригиналы; к абстрактным моделям — рисунок, схема, карта, путеводитель, план дома, фотофафия, математические и компьютерные модели.

Под математической моделью принято понимать совокуп­ ность соотношений - уравнений, неравенств, логических усло­ вий, операторов и т.п., определяющих характеристики состояний объекта моделирования, а через них и выходные значения пара­ метров реакции, в зависимости от значений параметров объектаоригинала, входных воздействий, начальных и граничных усло­ вий, а также времени.

Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свой­ ства (атрибуты) объекта-оригинала, которые отражают, определя­ ют и представляют интерес с точки зрения целей и задач конкрет­ ного исследования. Следовательно, в зависимости от целей моде­ лирования при рассмотрении одного и того же объекта-оригинала с различных точек зрения и в различных аспектах последний мо­ жет иметь различные математические описания и, как следствие, быть представлен различными математическими моделями.

Математическая модель — это формальная система, пред­ ставляющая собой конечное собрание символов и правил опери­ рования ими в совокупности с интерпретацией свойств опреде­ ленного объекта некоторыми отношениями, символами или кон­ стантами.

Как следует из приведенного определения, конечное собра­ ние символов (алфавит) и правил оперирования ими («граммати­ ка» и «синтаксис» математических выражений) приводят к фор­ мированию абстрактных объектов. Такая интерпретация делает этот абстрактный объект математической моделью.

Интерпретация (от лат. interpretation •- разъяснение, толкова­ ние, истолкование) определяется как совокупность значений 1.2. Понятия о моделях и моделировании (смыслов), придаваемых каким-либо образом элементам неко­ торой системы (теории), например формулам и отдельным символам.

Таким образом, можно утверждать, что интерпретация — это установление соответствия между формальной и содержательной системами.

Наши знания об объектах реальной действительности всегда относительны, так как они являются отражением тех или иных черт реальной действительности с определенной пофешностью, поэтому возникает необходимость заменить сам исследуемый объект-оригинал его изображением, называемым моделью. Это понятие связано с такими терминами, как копия, подобие, ими­ татор, тождество, аналог Создание аналогов, выполняющих роль заместителей, в той или иной степени копирующих или воспро­ изводящих оригинал, необходимо для исследования оригинала, поскольку проведение непосредственного эксперимента часто очень дорого или просто невозможно. Создание модели позволя­ ет удешевить проведение исследования, а затем по полученным результатам уже судить об оригинале. Таким образом, моделью называется материальный или идеальный объект, который созда­ ется для изучения исходного объекта (оригинала) и который от­ ражает наиболее важные качества и параметры оригинала. Моде­ ли в нашей жизни имеют офомное значение, оказывая сильное познавательное действие, и являются средством отражения свойств окружающего мира.

Так, например, образец какого-либо изделия для серийного производства или макет будущего здания, садового участка, скульптурные изображения (модель бюста, статуи) ускоряют и помогают выбрать лучшие решения по их физическому воплоще­ нию в жизнь.

К идеальным (абстрактным) моделям относятся графики (рисунок, фавюра, плакат, карикатура, литофафия), фотогра­ фия, схема, карта, план дома, математические модели, постро­ енные с помощью чисел, функций, уравнений, фафиков и т.д.

Модели широко применялись и применяются в различных сфе­ рах деятельности человека: в науке, технике, искусстве, эконо­ мике и т.д.

Например, из физики известная формула h = gt^/2, связыва­ ющая высоту h свободного падения тела, время / падения и уско­ рение свободного падения g, является математической моделью в виде уравнения.

Уже накопился значительный опыт в области моделирования в различных сферах деятельности человека. Например, сцена театра — модель жизни. В литературе писатель Л. Н. Толстой на бумаге мастерски смоделировал различные образы героев во вза­ имодействии в самых разных условиях жизни войны и мира. В качестве удачного и очень известного модельера в художествен­ ной литературе описан образ Шерлока Холмса, поскольку он до­ статочно точно воссоздавал и предугадывал поведение персона­ жей как в прошлом времени, так и в будущем. К создателям по­ добного рода моделей относятся также Нострадамус, Мессинг, Ванга. В физике — всемирно известная модель атома Н. Бора, а в химии — периодическая система Д. И. Менделеева являются ос­ новами для построения других моделей, позволяющих воспроиз­ вести и объяснить механизмы развития физико-химических про­ цессов в различных материальных конструкциях, например функционирование микросхем или взрыва бомб. Примерами современных модельеров-знаменитостей, мастерски занимаю­ щихся обслуживанием, являются российские и зарубежные кутюрье.

Вся совокупность действий, связанных с построением, ана­ лизом и другими операциями, проводимыми с моделями, назы­ вается моделированием, алгоритм которого представлен на рис. 1.2.1.

Последовательность моделирования представляет собой ите­ рационную процедуру, которая предусматривает и позволяет провести коррекцию после каждого этапа и вернуться к любому из предшествующих, а затем продолжить анализ.

Можно вьщелить несколько основных этапов алгоритма эко­ номико-математического моделирования. Все начинается с за­ мысла. Затем на первом этапе выявляется проблема, формулиру­ ются цели и задачи исследования, проводится качественное опи­ сание экономического процесса или объекта. На втором этапе определяются методы решения, строится математическая модель 1.2. Понятия о моделях и моделировании

ЗАМЫСЕЛ

ВЫЯВЛЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ

ФОРМУЛИРОВКА ЦЕЛИ

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ

ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ

ИССЛЕДОВАНИЕ ПО МОДЕЛИ

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ

ВЫПОЛНЕНИЕ РЕШЕНИЯ

РЕЗУЛЬТАТ

Рис. 1.2.1. Алгоритм моделирования задач коммерческой деятельности изучаемого объекта, выбираются или разрабатываются методы исследования, программируются модели на компьютере, подго­ тавливается исходная информация. Далее проверяется пригод­ ность машинной модели на основе правильности получаемых с ее помощью результатов и оценивается их устойчивость. На тре­ тьем, основном, этапе экономико-математического моделирова­ ния проводится исследование по модели, реализованной в виде компьютерных программ, проводятся расчеты, обрабатываются и анализируются полученные результаты и, наконец, принимает­ ся оптимальное решение.

Оптимальное планирование заключается в поиске наилучше­ го варианта плана из множества возможных. Наилучшее распре­ деление ресурсов осуществляется при сопоставлении вариантов плана по выбранному критерию оптимальности, который опре­ деляет степень достижения поставленной цели. Такими критери­ ями могут быть рентабельность, доход, издержки обращения, то­ варооборот и др. В связи с этим оптимальным считается такой план, который обеспечивает, например, максимальный доход (решение задачи на максимум) или минимум издержек обраще­ ния (решение задачи на минимум).

В целом поиск оптимальных решений можно свести к двум основным постановкам задач: получение заданного эффекта при минимуме затрат или получение максимального эффекта при за­ данных офаниченных ресурсах.

Механизм экономических отношений в задачах коммерчес­ кой деятельности описывается целым рядом взаимосвязанных показателей: товарооборот, рентабельность, издержки обраще­ ния, ассортимент товаров, площадь торговых залов и подсобных помещений, количество и квалификация работников, виды тор­ гового оборудования, товарные запасы, система обработки доку­ ментов, форма обслуживания покупателей и т.д. На величину этих показателей влияют такие факторы, как ритмичность, час­ тота и объемы поставок товаров, ассортимент и качество завози­ мых товаров, наличие и исправность торгового оборудования, количество работающих и др.

Математические модели в экономике разрабатываются для двух целей: лучшего понимания объективной реальности и выраПонятия о моделях и моделировании ботки рационального варианта действий и выбора оптимальных решений в практической деятельности.

Моделирование дает лицам, осуществляющим коммерчес­ кую деятельность, вспомогательный, удобный, простой, быст­ рый, дешевый и эффективный инструмент, особенно с исполь­ зованием компьютеров, позволяющий за секунды осуществить перебор и сравнение множества вариантов решения и принять из них лучшее.

В известном произведении Ли Якокка «Карьера менеджера»

автор предлагает следующую основополагающую модель бизнеса:

Для многих сфер деятельности, в том числе и коммерческой, может быть использована другая модель:

Информация => Деньги =» Товар =» Деньги.

Следует заметить, что эти модели вместе с известной форму­ лой Эйнштейна Е = тс^ успешно используются в рекламных це­ лях, в коммерческой деятельности.

Следующей интересной моделью является многоугольник конкурентоспособности (рис. 1.2.2), показывающий соотноше­ ние различных показателей на плоскости, иногда его называют радаром или полигоном по аналогии с экраном радиолокатора.

По каждой оси для отображения уровня значений каждого из исследуемых факторов используется определенный масштаб из­ мерений, часто в виде балльных оценок. Изображая на одном ри­ сунке многоугольники конкурентоспособности для разных пред­ приятий, можно провести анализ уровня их конкурентоспособ­ ности по разным факторам.

Для описания взаимосвязей между результатом, например до­ ходом и причинами, влияющими на коммерческую деятельность фирмы, и учета множества мнений и факторов, можно использо­ вать схемы причинно-следственных связей (рис. 1.2.3). Вариант формы построения такой схемы был предложен в 1950 г профес­ сором Токийского университета Исикава Каору. В связи с этим такие изображения, напоминающие «рыбий скелет», называют «схемы Исикава».

Мини-рынок Отношение продавцов к покупателям Рис. 1.2.2. Многоугольник конкурентоспособности Для выявления наиболее вероятных или проблемных задач, на которых следует сосредоточить усилия фирмы, необходимо сравнить несколько факторов, влияющих на интересующий по­ казатель коммерческой деятельности. Для этого можно исполь­ зовать диаграммы относительной важности, получаемые, напри­ мер, методами экспертных оценок. Графики такого вида (рис.

1.2.4) называют диаграммами Парето, по имени итальянского экономиста.

Различные экономико-математические методы создаются и изучаются еще и потому, что проводить непосредственные экспе­ рименты с экономикой очень сложно, дорого и часто просто не­ возможно, поскольку это может быть связано с большими ущер­ бами.

В современных условиях даже опытный руководитель не все­ гда оказывается в состоянии обнаружить и объективно сопостаПонятия о моделях и моделировании Факторы Скидки Реклама Обслуживание Срок службы / Сохранность Качество Рис, 1.2.3, Схема причинно-следственных связей дохода фирмы В Т преимущества и недостатки различных вариантов решений, поэтому управление с использованием моделей может снизить уровень вредных последствий.

Решение задач на моделях дешевле. Небольшие затраты на моделирование позволяют имитировать «экономические бури», экономить при этом миллионы и миллиарды рублей. Абстракт­ ные модели нашли широкое распространение в количественных методах анализа, что послужило поводом для применения разно­ образных математических методов и появления экономико-ма­ тематических моделей, отображающих экономические отноше­ ния в коммерческой сфере средствами математического описаГлава 1. Коммерческая деятельность и математика ния в виде уравнений, неравенств, систем уравнений и нера­ венств, матриц, фафиков, сетей, структур, схем и др.

Моделирование процессов коммерческой деятельности свя­ зано с построением специальных моделей, получивших название производственных функций, функций потребления и др. Произ­ водственной функцией является математическая модель вида У '^f(x\,X2, Хз,..., Х/,..., х„), описывающая зависимость, например, объема продажи продукции от величины ресурсов разного вида, в качестве которых выступают трудовые ресурсы, торговые пло­ щади, товарные запасы, рабочее время и др.

Наиболее типичными производственными функциями явля­ ются степенные модели вида одним из вариантов которой является производственная функ­ ция Кобба-Дугласа:

1.2. Понятия о моделях и моделировании Функцией производственных затрат является модель вида которая описывает зависимость затрат какого-либо ресурса Xj, например, от объема продажи товаров>'i, >'2' —У всего ассорти­ мента.

В общем виде функции потребления представляют собой многофакторную модель связи уровня потребления материаль­ ного блага iSи факторов влияния и^, «2, ^З' •••> "л •••' "л' определя­ ющих спрос и потребление, что можно записать так:

Шведский экономист Л. Торнквист предложил три вида однофакторных моделей связи объема потребления S (спроса) от уровня и - дохода:

для предметов первой необходимости — для менее необходимых предметов и-а] ДЛЯ предметов роскоши — Другим примером модели является связь математических символов в задаче (о диете или рациональных смесях) формиро­ вания экономного суточного набора продуктов питания, которые имеют следующие обозначения:

Cj - цена 1 кгу-го продукта, руб.;

Zj - запасу-го продукта, кг;

q. -« /-е питательное вещество;

bj - норма суточной потребности в /-м питательном веществе, г;

Qy - вес /-Г0 питательного вещества в 1 кг продукта, г;

Х: ~ весу-го продукта в общем наборе питания, кг;

С - общие затраты на питание, руб.;

т — количество питательных веществ;

п — количество продуктов питания.

Взаимосвязи между перечисленными показателями задачи формально можно записать в обобщенном виде таким образом:

или в виде математических уравнений, неравенств и систем урав­ нений, что в сочетании с содержательной частью задачи имеют следующий вариант постановки:

найти оптимальные величины веса каждого продукта пита­ ния в общем наборе при следующих ограничениях:

вес каждого питательного вещества в наборе должен быть бо­ лее или равен суточной норме потребления человека:

причем каждый продукт должен входить в диету и, кроме того, его вес не должен превышать величины имеющегося запаса:

а стоимость набора продуктов при этом должна быть наименьшей:

Записанные уравнения и неравенства — совокупность, кото­ рая представляет собой экономико-математическую модель зада­ чи. Решение этой задачи можно получить с помощью, например, методов линейного программирования.

1.2. Понятия о моделях и моделировании Экономико-математическую модель этой же задачи можно представить еще и в матричном виде. Например, для поддержа­ ния нормальной жизнедеятельности человеку ежедневно необхо­ димо потреблять белки, жиры, углеводы, минеральные соли. Ко­ личество питательных веществ, содержащихся в 1 кг имеющихся продуктов питания, а также их стоимость и нормы суточной по­ требности питательных веществ изображены в виде матрицы (табл. 1.2.1).

Содержание питательных веществ в 1 кг продуктов Норма Питательные Минераль­ Цена 1 кг продукта, руб., Cj Вес продукта Требуется составить дневной рацион продуктов питания, со­ держащий не менее суточной нормы потребности человека в не­ обходимых питательных веществах и обеспечивающий мини­ мальную общую стоимость продуктов.

Экономико-математическая формулировка и модель этой за­ дачи имеют следующий вид:

Найти оптимальный вес имеющихся продуктов питания при офаничениях, связанных с суточной нормой потребления, запи­ санных в виде системы неравенств:

180x1 +190x2 +30x3 +70x4+260x5 +130x5 +21x7 >118, 20x1 +3x2 +40хз +865x4 +310x5 +30хб +2x7 ^56, Oxi +0x2 +50хз +6x4 +20x5 +650x6 +200x7 ^500, 9x1 +10x2 +7x3 +12x4 +60x5 +20хб +70x7 ^8, решение которой позволяет определить минимум затрат на про­ дукты питания С= (l,9xi +Х2 + 0,28x3 + 3,4x4 + 2,9x5 + 0,50хб + 0,1x7) -^ ™п.

Дальнейшим развитием задачи о рациональном питании яв­ ляются постановки и решения задач, связанных с товароснабжением и управлением товарными запасами на коммерческих пред­ приятиях.

Задача управления товарными запасами связана с поиском ответов на следующие вопросы: кому, когда и в каком объеме за­ казывать товары; какой лучший маршрут перевозки товаров; ка­ ким транспортом перевозить: автомобильным, железнодорож­ ным или воздушным; какая частота и величина поставок товара?

Основными показателями систем управления товарными за­ пасами являются следующие:

С — издержки обращения;

Q — затраты на хранение запасов, Q = Ci ZT;

Ci — затраты на хранение единицы запаса в течение года;

Z - величина среднего запаса, Z = 0,5S;

S — размер одной партии поставки;

Т - плановый период;

Сз — затраты на завоз, С;^ = к • п;

к — затраты на завоз одной партии;

п — число поставок в планируемом периоде, п = Q/S;

Q — общий объем поставок за плановый период;

/ — интервал между поставками.

В качестве критерия эффективности можно принять издерж­ ки обращения.

1.2. Понятия о моделях и моделировании Логическую взаимосвязь перечисленных показателей можно выразить в виде сетевой модели, представляющей собой древо­ видную структуру (рис. 1.2.5), где показатели располагаются в соответствии с экономическими механизмами, взаимосвязями по уровням значимости на основе использования, например, ме­ тода парных сравнений и известных экономико-математических моделей.

Рис 1,2.5. Древовидная модель связи показателей товарных запасов На верхнем уровне выделяется критерий эффективности, на основании которого целевую функцию в общем виде можно за­ писать так:

где показатели Q, Г, С|, Л являются неуправляемыми, а остальные — управляемыми, оптимальные значения которых S^, Z^, л^, /^, С^ и необходимо определить в задаче. Перечисленные показатели коммерческой деятельности находятся в количественной взаи­ мосвязи.

Целевая функция управления однономенклатурными товар­ ными запасами может быть записана в виде экономико-матема­ тической модели следующим образом:

Решение этой модели заключается в поиске ее экстремума, который находится путем двойного дифференцирования по S, что позволяет найти модели определения оптимальных показате­ лей товарных запасов:

размера одной поставки — среднего текущего запаса — числа поставок на планируемый период — интервала между поставками — общей величины минимальных издержек • По приведенным уравнениям можно построить графичес­ кие модели этих показателей и по ним определить оптимальные решения в управлении запасами. Существуют и другие модели отображения различных сторон служб коммерческой деятель­ ности.

Все же любая, самая изощренная модель самого простейшего объекта есть всегда упрощение, что является известным методо­ логическим приемом. Поэтому построение моделей макросистем сопряжено с большими трудностями. Несмотря на трудности моПонятия о моделях и моделировании делирования сложнейших глобальных макросистем, все же уче­ ными были проведены работы по имитации мировых процессов, мировой динамики. Первое поколение компьютерных моделей, предназначенных для исследования долгосрочных тенденций ми­ рового развития, появилось в начале 1970 г. Эта модель состояла из более чем 40 нелинейных уравнений и связывала 5 основных переменных: население, промышленное производство, использо­ вание невозобновляемых ресурсов, загрязнение среды и произ­ водство продовольствия. Моделирование на компьютере, прове­ денное в Массачусетском технологическом институте, показало, что истощение природных ресурсов вызовет в первой половине XXI века замедление роста промышленности и сельского хозяйст­ ва, затем резкое падение численности населения и в конечном итоге экологическую катастрофу. При допущении в модели воз­ можности получения неограниченных ресурсов произойдет чрез­ мерное загрязнение окружающей среды и, как следствие, насту­ пит экологическая катастрофа. Если допустить, что общество сможет найти вариант эффективной охраны природы, то тогда рост населения, промышленной и сельскохозяйственной продук­ ции будет развиваться до тех пор, пока не исчерпаются резервы пахотной земли, что приведет опять к катастрофе. Вследствие та­ кого компьютерного моделирования авторы предложили вариант глобального равновесия на земле, связанный со стабилизацией численности населения планеты и производства на современном уровне. Человеческая деятельность в сфере искусства, науки, про­ свещения, спорта может развиваться неограниченно, поскольку не требует большого расхода невосполнимых ресурсов.

В современной коммерческой практике последствия прини­ маемых решений касаются большого числа людей и связаны со значительными затратами трудовых ресурсов, товарных, финан­ совых, транспортных, энергетических и других ресурсов. Поэто­ му степень ответственности за последствия принимаемых реше­ ний многократно возросла, что требует более широкого исполь­ зования формальных методов, изложенных в теории принятия решений.

Необходимость выбора действия обусловливается наличием противоречий, которыми наполнена коммерческая практика.

Противоречие проявляется в виде проблемы, имеющей два со­ стояния — существующее и желаемое, причем имеется более од­ ного способа достижения желаемого состояния (цели). У ком­ мерсантов в такой ситуации есть несколько альтернативных ва­ риантов решения и, следовательно, возникает задача выбора.

Варианты решения различаются своими конечными результата­ ми (последствиями, исходами). Последние характеризуют сте­ пень достижения поставленной цели. В таких случаях у лица, принимающего решение, есть свои представления о достоинст­ вах и недостатках отдельных исходов. В реальных условиях пред­ ставления о задаче обычно оказывается неполным и нечетким, отсутствует целостное восприятие и объективное отношение к последствиям.

Описание задачи выбора исключает, с одной стороны, альтер­ нативные варианты решений, а с другой ~ состояние среды, ко­ торая может влиять на исход активно, сознательно или пассивно, что характеризует своеобразное столкновение, поскольку конеч­ ный результат определяется совместными состояниями или дей­ ствиями. Такое положение является типичным для коммерчес­ кой сферы.

Вид связи средств и результатов определяет тип зависимости альтернатив и исходов от условий:

1) определенности, когда каждая альтернатива приводит к единственному исходу и, следовательно, имеется функциональ­ ная однозначная зависимость исходов от альтернатив;

2) риска (стохастические), когда каждая альтернатива может привести к одному из нескольких исходов, каждый из которых имеет определенную вероятность появления, т.е. имеется стохас­ тическая зависимость исходов от альтернатив;

3) неопределенности, когда каждая альтернатива может приве­ сти к одному из нескольких исходов, причем даже стохастическая зависимость исходов от альтернатив отсутствует.

Субъективная информированность лица, принимающего ре­ шение о типе связи, может не совпадать с объективной, что и влияет на конечный результат.

В следующем разделе рассмотрим применение алгоритма мо­ делирования к решению задач в коммерческой деятельности.

1.3. Математическое моделирование задач..

1.3. Математическое моделирование задач коммерческой деятельности Любая коммерческая ситуация складывается в результате вза­ имодействия (поведения) совокупности элементов, составляю­ щих организации, предприятия, объединения, концерны и т.д.

Поведение элементов коммерческих служб зависит от целого ря­ да факторов, состояние которых предвидеть не всегда представ­ ляется возможным, например конъюнктуры на рынке, спрос на­ селения на товары, поставки товаров из смежных отраслей народного хозяйства и т.д. Информированность о состоянии, действиях отдельных элементов систем влияет на эффективность принятых экономических решений, обусловливает необходи­ мость и целесообразность построения моделей. Такие модели помогают иллюстрировать экономический анализ. Они показы­ вают, что рекомендации этого анализа более соответствуют объек­ тивным условиям принятия решений, а математическая форму­ лировка является удачной базой поиска и принятия управленче­ ских решений в коммерческой сфере.

При выборе решения возможны различные варианты-альтер­ нативы, которых существует множество в любой коммерческой ситуации. Предпочтительность выбора лучше проводить по ко­ личественному критерию, позволяющему сравнивать решения.

Такой критерий называют показателем эффективности. Он фор­ мально отображает цель, которая преследуется в рассматривае­ мой ситуации. В соответствии с этим выбранное решение будет в наибольшей степени способствовать достижению цели. В качест­ ве таких критериев могут выступать показатели: товарооборот, прибыль, издержки, доход, рентабельность, производительность труда и др.

Характерными задачами для предпринимателей являются, например, выбор типа открываемого предприятия, банка, юри­ дического адреса, определение состава учредителей, величины уставного фонда, долей взноса учредителями в уставный фонд, видов деятельности создаваемого предприятия, выбор генераль­ ного директора, главного бухгалтера, поставщиков товаров, парт­ неров и др. Таким образом, необходимость заставляет постоянно решать задачи выбора. К сожалению, для правильного решения таких задач зачастую нет достаточно полного множества альтер­ натив для проведения выбора, что объясняет появление невер­ ных решений и, как следствие, приводит к значительному ущер­ бу. Например, для решения задачи приобретения автомобиля необходимо сформировать список потребительских характерис­ тик, выявить множество торгующих организаций, установить по­ казатели операции покупки автомобиля, группу людей, с кото­ рыми следует провести эту операцию, выбрать день покупки, за­ тем осуществить эту операцию на практике. После выполнения всей этой работы обнаруживается, что необходимо было еще учесть решение, например, задачи «рэкета». В дальнейшем обна­ руживается, что выпала из поля зрения задача своевременного выбора предприятия по антикоррозийной обработке автомоби­ ля и т.д.

Таким образом, возникающих в процессе работы задач боль­ ше, чем представляется вначале, и по каждой из них тоже необхо­ димо решать задачу выбора и устанавливать логическую очеред­ ность их решения. Другой особенностью при формировании ис­ ходной информации для решения задачи выбора является отсутствие в представленном множестве именно лучшего вариан­ та, который позже, в процессе практической деятельности, мо­ жет быть обнаружен. Именно тогда происходит фактическая оценка недостающей ранее информации, а проявившиеся ошиб­ ки оборачиваются ущербом и зачастую очень большим. Для ре­ шения такого класса задач существуют специальные математиче­ ские методы и модели.

Коммерсантам чаще приходится принимать решения в усло­ виях неопределенности, снижающих уверенность в действиях. В самом деле, трудно предвидеть сложности в работе, касающиеся капризов природы, объемов и времени завоза товаров в рознич­ ные и оптовые предприятия, работоспособности транспортных средств, наличия на местах продавцов, кассиров, товароведов, грузчиков, уборщиц, заведующих секциями и др. В таких случаях пытаются отыскать наиболее удачный вариант решения исходя из собственного опыта, интуиции или советов других лиц. По­ добный субъективный подход, когда принятое решение затрагиМатематическое моделирование задач...

вает интересы большого количества людей, может быть неэффек­ тивным даже ущербным. При этом совокупность реализации со­ стояний среды не обладает статистической устойчивостью, их нельзя отнести к категории случайных величин или функций, но принимаемые решения все же необходимо аргументировать и лучше обосновывать количественно.

Принятие решения — это процесс, итогом которого является выбор по критерию эффективности одной возможности из мно­ жества имеющихся в распоряжении. Качество решения задачи зависит от того, насколько полно известны лицу, ответственному за принятие решения, допустимые варианты управленческих воз­ действий. Поэтому формирование всего множества вариантов активного воздействия является важным этапом анализа.

При постановке задачи учитываются только существенные факторы. Они подразделяются на неуправляемые (офаничения) и управляемые, оптимальные значения которых необходимо найти в результате решения задачи. Поэтому вначале необходимо установить, значениями каких характеристик или переменных можно варьировать, не игнорируя при этом постоянные факто­ ры, поскольку без их учета решения могут быть ошибочны.

Важно заметить, что для количественного анализа приходит­ ся привлекать специалистов различного профиля, что обеспечи­ вает больший объем знаний и возможность выявления таких ре­ шений, которые не могли быть найдены при узкой профессио­ нальной ориентации исследователей. Взаимосвязь критерия эффективности F с управляемыми показателями Xj, ^2, Х3,..., х^,..., х„ и неуправляемыми, Ь^, bi, b^,..., bp..., 6^ записывается в обобщенном варианте в виде целевой функции:

F=f(x^, Х2, Хз,..., Xi,..., х„; bi, b2, *з> •••» */» •••» *«) -^ ^^tr.

В оптимизационной задаче оптимальные значения критерия соответствуют определению оптимальных значений управляе­ мых показателей:

При такой постановке решения задачи возникает вопрос о построении математической модели экономических показатеГлава 1. Коммерческая деятельность и математика лей, которые позволили бы определить значение критерия эф­ фективности. Этому служат математические методы дифферен­ цирования, интегрирования, теории игр и статистических реше­ ний, линейного и нелинейного программирования, сетевого пла­ нирования и управления, теории вероятностей, статистики, корреляционного анализа, теории массового обслуживания.

Рассмотрим общую постановку задач принятия решений в различных условиях.

Модель постановки задач выбора решений В теории принятия решений под задачей понимается такая задача, которая может быть сформулирована в терминах цели, средств достижения цели и результата. Принятие решения - это процесс, а итогом его является выбор одной возможности дости­ жения цели из имеющихся. Математическая модель этой задачи представляет собой формальное описание составляющих ее эле­ ментов: цели, средств, результатов, а также способа связи между средствами и результатами. Описание средств и результатов мож­ но представить в виде двух множеств: множество X, элементы ко­ торого X называют альтернативами (из чего выбираем), и множе­ ство А, элементы которого называются исходами (к чему прихо­ дим).

Вполне очевидно, что исход определяется двумя факторами:

выбором альтернативы и состоянием среды, определяемым мно­ жеством состояний Y. Тогда каждый исход а есть так называемая функция реализации двух аргументов: а = F{x, у),тлсхе Х,уе Y, Таким образом, эта функция сопоставляет исход для каждого со­ четания альтернативы и состояния среды. Если множества аль­ тернатив и состояний среды конечны, т.е.

Х= (xi, Х2, Хз,..., Xi,..., х,„), Г= (у,, У2, Уз,..., Ур..., л ), то функцию реализации /^удобно представить в матричном виде (табл. 1.3.1).

Таким образом представляют в форме функции реализации задачи принятия решений в условиях определенности, риска и неопределенности. Приведенная классификация задач целенаМатематическое моделирование задач..

правленно определяет подбор методов, моделей выбора управ­ ленческих решений в коммерческой деятельности.

Условия принятия решений определяются степенью инфор­ мированности лица, принимающего решение, о возможностях появления тех или иных состояний среды yeY. Лицо, принима­ ющее решение, может точно знать состояние среды, что свиде­ тельствует о наличии определенности, или знать вероятность по­ явления Pj каждого состояния среды ур что является условием ча­ стичной неопределенности. И наконец, если не располагает никакой информацией о возможностях появления состояний среды, кроме их конечного перечня состояний у^, У2,..., Ур..., у„, то это свидетельствует об условиях полной неопределенности (см. гл. 3).

Рассмотрим построение моделей и методы принятия реше­ ний в коммерческой деятельности при различных условиях.

Модели выбора решений в условиях определенности Принятие решений в условиях определенности характеризу­ ется детерминированной связью между принятым решением и его результатом. Задачи, возникающие в условиях определеннос­ ти, называют детерминированными. В таких случаях действуют так, как это может быть при совершенной уверенности в сведе­ ниях о точности значений факторов, воздействующих на реше­ ние. В условиях определенности каждая стратегия ведет к единст­ венному исходу, поэтому решение по ее выбору сводится к выбо­ ру исхода. Лучшая стратегия та, которая приведет к лучшему исходу, максимальной полезности, минимальным затратам, если описание исходов сведено к единственному критерию. В таких случаях при численной оценке исходов задача принятия решения сводится к нахождению экстремума целевой функции, что и ука­ зывает на оптимальность управленческого решения.

Например, в задаче планирования перевозки товаров из опто­ вых предприятий в торговую сеть в качестве альтернатив высту­ пают неотрицательные значения компонентов матриц, определя­ ющие количество товара, предназначенного для перевозки, при соответствующих ограничениях, где решением является план пе­ ревозок, а критерием выбора в целевой функции — общая стои­ мость перевозок. Задача принятия решений может носить одно или многошаговый характер. В таких задачах любой альтернати­ ве соответствует вполне определенный исход, полезность кото­ рого оценивается некоторым числом. Математической моделью задачи принятия решений в условиях определенности с числен­ ной оценкой исходов является функция, заданная на множестве альтернатив.

Рассмотрим пример распределения работников коммерчес­ кой сферы по операциям. Проведенный хронометраж по затра­ там времени t^j каждого из трех коммерсантов m = 3 на выполне­ ние трех операций представлен в виде матрицы (табл. 1.3.2).

Коммерсанты Допустим, если коммерсант / назначен на выполнение операцииу, то Xij = 1, иначе Xij = 0. Решением задачи является матрица распределения А" коммерсантов по операциям.

Для оценки исходов используем в качестве критерия общее число человеко-часов Г, необходимых для выполнения всех опеМатематическое моделирование задач...

раций. Из условия задачи следует, что каждой стратегии Sf^ соот­ ветствует альтернативное сочетание распределения по операци­ ям. Количество стратегий определяется числом возможных пере­ становок Р„ — п1 = 3\ = 6. Следовательно, мы имеем шесть альтер­ нативных стратегий, каждая из которых приводит к исходу, определяемому целевой функцией вида Проведенные вычисления исходов для каждой стратегии представлены в виде матрицы исходов (табл. 1.3.3), из которой оптимальную стратегию S^ находят по минимальной величине общих затрат Т5 = 5 чел.-ч на все операции.

*^2(^12^^23 ~^31 ~ ^) *^4(^13^-^21 "^^32" S^{Xi2-X2\ =^33= 1) 5*6 (Хц =Х2з=Хз2= 1) Результаты решения задачи занесены в матрицу распределе­ ния (табл. 1.3.3), где значения Xj 1 = Х 3 = ^32 = 1 указывают на рас­ пределение коммерсантов по операциям.

Сложности решения проблемы коммерческой сферы даже в таких условиях определенности могут быть значительно больши­ ми, чем кажется на первый взгляд. Они увеличиваются при рас­ ширении масштабов задачи, когда растет число альтернативных стратегий Sj^. Так, например, в задаче распределения для 10 работ­ ников по 10 операциям число стратегий увеличивается до Рю = 10! = 3 628 800. Очевидно, все стратегии и исходы в этом случае труднообозримы. Однако эту задачу можно легко решить с помощью специальных методов, для чего следует представить ее в виде задачи линейного программирования:

найти такие неотрицательные значения переменных x^y > О, которые бы обеспечили минимум функции цели при следующих условиях-ограничениях В такой формулировке решение задачи можно получить, ис­ пользуя метод целочисленного линейного программирования.

Следует заметить, что исход решения в некоторых задачах мо­ жет быть исчерпывающе описан двумя показателями, например затратами ресурсов и объемом выгоды — прибыли, дохода и т.д. В других задачах оценку и сравнение исходов необходимо прово­ дить по нескольким показателям, которые могут носить противо­ речивый характер, т.е. улучшение одних показателей приводит к ухудшению других. Такие задачи называют многокритериальны­ ми. В них, как правило, не существует исхода, наилучшего сразу по всем показателям, поэтому оптимальное решение чаще всего является компромиссным.

Рассмотрим другой интересный пример моделирования задач коммерческой деятельности при задании отношений предпочте­ ния на множестве альтернатив.

При выборе одного решения возможны различные вариантыальтернативы, которых существует множество в любой коммер­ ческой ситуации. Предпочтительность выбора проводят по коли­ чественному критерию, позволяющему сравнивать разные решеМатематическое моделирование задач...

ния. Такой критерий называют показателем эффективности. Он формально отображает цель, которая преследуется в рассматри­ ваемой ситуации. В качестве таких критериев могут выступать различные показатели: товарооборот, прибыль, издержки, доход, рентабельность, производительность труда и др.

В этом случае при формулировании цели необходимо опреде­ лить худший и лучший варианты ее реализации. Одной из харак­ теристик цели является связанное с ней предпочтение на множе­ стве возможных исходов. Тогда можно построить отношение предпочтения этого множества. Выявить предпочтение из мно­ жества/! значит указать множество всех пар, для которых а, пред­ почтительнее Gj, те. задать отношение предпочтения в явном ви­ де. Отношение предпочтения обозначают знаком >, полагая, что это есть отношение доминирования, тогда б^у = 2, при этом bji = О, = а отношение безразличия — знаком J.

для выявления предпочтения необходимо ввести систему ре­ шающих правил. Например, если по каждому показателю pjia^) можно вычислить его вес Мр определяющий его значимость, то взвешенную сумму этих показателей можно рассматривать как суммарную оценку объекта af Тогда можно ввести решающее правило: а^ предпочтительнее йр если F(ai) >F(aj). По указанной системе решающих правил от­ ношение, выражающее доминирование, определяется построе­ нием матрицы попарного сравнения В, элемент которой опреде­ ляется таким образом:

2, если Pi доминирует над /^2Рассмотрим решение задачи выбора легкового автомобиля марки ВАЗ. Прежде всего формируем множество автомобилей, которые выпускаются серийно и представлены в продаже:

ВАЗ-1111, 2110, 2111, 21043, 2115, 21051, 21053, 2106, 21061, 21063, 2107, 21072, 21074, 2108, 21081, 21083, 2109, 21093, 2199, 2121 — около 20 моделей. Для анализа ограничим это множество только базовыми моделями: ВАЗ-2104, 2105, 2106, 2107, 2108, 2109, 21099, 2121 (табл. 1.3.4).

Теперь необходимо сформировать множество показателей, по которым можно провести сравнение автомобилей. Выпишем из руководства по эксплуатации автомобилей наиболее существен­ ные показатели (табл. 1.3.5).

Сопоставим эти показатели с помощью метода парных срав­ нений, а результаты запишем в таблицу 1.3.6.

После заполнения матрицы элементами сравнения находим по строкам суммы баллов по каждому показателю:

где п — количество показателей, л = 11.

1.3. Математическое моделирование задач...

Модель 1 ВАЗ-2108 1, 1 ВАЗ-2109 1, ВАЗ-21099 1, ВАЗ-2121 1, Дорожный просвет Максимальная скорость Время разгона до 100 км/ч Расход топлива на 100 км Мощность Емкость топливного бака Число цилиндров /^(2105), следует покупать автомобиль ВАЗ-2106.

Можно воспользоваться и другой системой решающих пра­ вил. Считаем, что, например, автомобиль ^j доминирует над ^2»

если:

1) число показателей, по которым автомобиль а^ лучше aj больше, чем число показателей, по которым автомобиль а2 лучше автомобиля «i;

2) для автомобиля aj ни один из показателей не принимает наименьшего (наихудшего) значения.

При использовании этой системы решающих правил, учиты­ вая балльную оценку и попарно сравнивая указанный перечень характеристик, получим следующую матрицу:

В соответствии с этими правилами выбор приходится тоже на автомобиль ВАЗ-2106.

Следующим шагом можно ввести сравнение по критерию «цена/качество», для чего надо исключить показатель «цена» из метода парных сравнений, что позволит вычислить показатель «качество».

Если предположить, что интегральные оценки отображают качество автомобилей, то выбор можно проводить по отношению цена/качество:

= mm 1,832' 2,692 = min(3166; 2229) = 2229->ВАЗ-2106.

После обсуждения решения задачи на площадке предпродаж­ ной подготовки можно установить еще дополнительный пере­ чень характеристик операции приобретения автомобиля: про­ должительность операции, возможность страховки, обеспечен­ ность рынка запасными частями, ремонтопригодность, наличие оперативной ремонтной службы, затраты на доводку купленного 1.3. Математическое моделирование задач...

автомобиля, вероятность угона, наличие гаража, год начала вы­ пуска марки модели автомобиля, совокупные годовые затраты, затраты на выбор лучшего автомобиля в магазине, сезон, месяц года покупки, затраты на операцию, наличие модели хронологи­ ческой последовательности выполнения операции (предусмот­ рительность), цена, модель истории стоимостных и временных затрат по обслуживанию автомобиля на 100 км пробега, диагнос­ тика и советы в момент обращения. Используя метод парных сравнений, проводим ранжирование этих показателей:

1. By — вероятность угона;

3. н. — наличие гаража;

4. Сга — совокупность годовых затрат;

5. Опр — наличие оперативной ремонтной службы;

6.05 — обеспеченность рынка запасными частями;

— затраты на доводку купленного автомобиля;

1 >-Зоп — затраты на операцию;

11. С ^ — возможность страховки;

12. Мод - наличие модели выполнения операции;

13. Сдз — сезон, время года покупки;

14. Гз — год начала выпуска модели автомобиля;

15. Топ "" продолжительность операции.

На основе полученных результатов можно провести более ар­ гументированное обоснование выбора решения.

По аналогии можно моделировать и другие задачи выбора ре­ шений в коммерческой деятельности.

1. Что такое аналогия?

2. Каково определение терминов «модель» и «экономико-ма­ тематическая модель»?

3. Приведите примеры моделей из различных сфер деятельно­ сти человека.

4. Какие примеры видов изображения моделей вы можете привести?

5. Каких вы знаете модельеров?

6. Каково определение термина «моделирование»?

7. Каково определение терминов «цель», «критерий», «управ­ ление»?

8. Зачем нужен алгоритм моделирования?

9. Каковы этапы алгоритма моделирования?

Проведите моделирование процесса выбора товара на основе следующих данных:

1. Швейцарские механические мужские наручные часы Фирма 1.3. Математическое моделирование задач...

2. Микроволновые печи Фирма Panasonic 3. Холодильники изгото­ Модель витель Корея Южная Южная 4. Трубки сотового телефона бата­ ВхШхГ, разговоров, ния, русском строк в МТС, Ericson А Ericson Motorola V Motorola Nokia Nokia 5. Составьте матрицу оценки потребительских характеристик автомобилей, выпускаемых на Волжском автозаводе (ВАЗ).

6. Определите перечень потребительских характеристик авто­ мобилей ВАЗ, используя информацию о их продаже.

7. Составьте перечень потребительских характеристик фирм, торгующих автомобилями, и проведите операцию выбора одной из них.

8. Проведите сравнение предлагаемых к постройке или про­ даже вариантов деревянных бань на основе рекламных сообще­ ний, например из газеты «Экстра-М», по следующим характери­ стикам: пожаробезопасность, вентилируемость, время получения температуры 70°С воздуха, а затем воды, функциональные воз­ можности, стоимость, время постройки или установки бани «под ключ», штрафные санкции по пунктам договора, наличие удов­ летворенных покупателей фирмы.

9. Сформируйте перечень туристских фирм по наличию тура в какую-либо страну, например Египет, затем составьте перечень 1.3. Математическое моделирование задач..

характеристик этих фирм и тура, проведите операцию выбора фирмы по реализации поездки в Египет (см. п,,6.5).

10. Стиральные машины 1. Цена, руб.

4. Число оборотов при отжи­ 6. Потребляемая мощность, 8. Эксплуатационные затра­ ты на 1 стирку, руб.

10. Затраты на ремонт, руб.

11. Итого затраты на ремонт, 12. Сумма затрат на 1 стирку, 11. Фотоаппараты

PRACTICA

OLYMPUS YASHICA

Цена, у.е.

Страна-изготови­ тель Гарантийный Габариты: шири­ на X высота X тол­ 117x67x38 107x58x35 118x64,5x Масса без батареек, г Ресурс 1 комплек­ 24-кадр. пленки Фокусное расстоя­ Минимальная Диапазон вьщержки, с:

Диапазон диа­ Диа1пазон чувстви­

МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

В настоящее время множество задач планирования и управле­ ния в отраслях народного хозяйства, а также большой объем ча­ стных прикладных задач решаются методами математического программирования. Наиболее развитыми в области решения оп­ тимизационных задач являются методы линейного программи­ рования. Эти методы позволяют описать с достаточной точнос­ тью широкий круг задач коммерческой деятельности, таких, как:

планирование товарооборота; размещение розничной торговой сети города; планирование товароснабжения города, района;

прикрепление торговых предприятий к поставщикам; организа­ ция рациональных перевозок товаров (транспортная задача); рас­ пределение работников торговли по должностям (задача о назна­ чении); организация рациональных закупок продуктов питания (задача о диете); распределение ресурсов; планирование капита­ ловложений; оптимизация межотраслевых связей; замена торго­ вого оборудования; определение оптимального ассортимента то­ варов в условиях ограниченной площади; установление рацио­ нального режима работы.

В задачах линейного программирования критерий эффектив­ ности и функции в системе ограничений линейны.

Если содержательный смысл требует получения решения в целых числах, то такая задача является задачей целочисленного профаммирования.

Если в задаче математического программирования имеется переменная времени, а критерий эффективности выражается че­ рез уравнения, описывающие течение операций во времени, то такая задача является задачей динамического программирования.

Во многих экономических моделях зависимости между посто­ янными и переменными факторами можно считать линейными.

Использование методов математического программирования в коммерческой деятельности связано со сбором необходимой информации коммерсантом, экономистом, финансистом, затем постановкой задачи вместе с математиком. Поскольку методы ма­ тематического профаммирования уже реализованы на компьюте­ ре в виде пакета стандартных программ, то доступ к ним обычно прост, автоматизирован и не составляет особых трудностей.

2.1. Общая задача линейного программирования Постановка задачи коммерческой деятельности может быть представлена в виде математической модели линейного програм­ мирования, если целевая функция может быть представлена в ви­ де линейной формы, а связь с ограниченными ресурсами описы­ вается посредством линейных уравнений или неравенств. Кроме того, вводится дополнительное ограничение — значения пере­ менных должны быть неотрицательны, поскольку они представ­ ляют такие величины, как товарооборот, время работы, затраты и другие экономические показатели.

В целом экономико-математическая формулировка и модель общей задачи линейного программирования (ОЗЛП) имеют следу­ ющий вид:

найти максимальное (минимальное) значение линейной це­ левой функции при условиях-ограничениях:

min F{X) = —F^{X), тогда полученное решение целевой функции следует записать с обратным знаком.

1. Каковы особенности задач линейного программирования?

2. Какое решение системы линейных уравнений является планом?

3. Что называют планом ОЗЛП, опорным планом, оптималь­ ным планом?

4. Какой опорный план называется вырожденным, невырож­ денным?

5. Как привести к канонической форме ОЗЛП: а) если требует­ ся найти минимум линейной функции цели; б) если функциональ­