1. Цели освоения дисциплины

Целью освоения дисциплины «Геометрия» является формирование и развитие у

студентов общекультурных, профессиональных и специальных компетенций, формирование

систематизированных знаний, умений и навыков в области геометрии и е основных методов,

позволяющих подготовить конкурентноспособного выпускника для сферы образования,

готового к инновационной творческой реализации в образовательных учреждениях различного

уровня и профиля.

Задачи изучаемой дисциплины:

Исходя из общих целей подготовки бакалавра педагогического образования по профилю «Математика»:

содействовать средствами дисциплина «Геометрия» развитию у студентов мотивации к педагогической деятельности, профессионального мышления, коммуникативной готовности, общей культуры;

научить студентов ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.

Исходя из конкретного содержания дисциплины:

сформировать систему геометрических знаний и умений, необходимых для применения в будущей профессиональной деятельности, изучения смежных дисциплин, проведения научных исследований;

познакомить студентов с примами аналитико-синтетической деятельности при доказательстве теории и решении задач;

научить студентов доказательно рассуждать, выдвигать гипотезы и их обоснования;

научить поиску, систематизации и анализу информации, используя разнообразные информационные источники, включая учебную и справочную литературу;

научить использовать информационные технологии в будущей профессиональной деятельности.

2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата Дисциплина «Геометрия» относится к вариативной части профессионального цикла.

Изучение данной дисциплины базируется на знаниях общеобразовательных программ по следующим дисциплинам: математика, геометрия, алгебра и начала анализа.

Для освоения дисциплины обучающиеся используют знания, умения и виды деятельности, сформированные в процессе изучения дисциплин базовой части математического и естественнонаучного цикла, а также дисциплин вариативной части профессионального цикла:

«Математический анализ», «Алгебра».

В результате изучения данных дисциплин обучающийся должен:

знать основные понятия и строгие доказательства фактов основных разделов курса геометрии;

уметь применять теоретические знания к решению геометрических задач по курсу;

владеть:

различными приемами использования идеологии курса геометрии к доказательству теорем и решению задач школьного курса;

техникой применения векторной алгебры к решению геометрических задач;

теорией и практикой аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, в частности, решением задач на прямую и плоскость в пространстве, линии второго порядка, на поверхности второго порядка, на преобразования плоскости и движения пространства;

теорией и практикой элементов n-мерных аффинной и евклидовой геометрии;

теорией и практикой элементов топологии и дифференциальной геометрии;

теорией и практикой оснований геометрии, т.е. основ аксиоматического метода построения геометрии.

Освоение данной дисциплины является основой для последующего изучения дисциплин базовой части профессионального цикла: «Методика обучения и воспитания (математика)», дисциплин вариативной части профессионального цикла: «Алгебра», «Математический анализ», «Практикум решения задач по геометрии», а также дисциплин по выбору вариативной части профессионального цикла: «Неевклидовы геометрии», «Группы преобразований», «Дополнительные главы общей топологии и дифференциальной геометрии», «Различные варианты аксиоматического построения евклидовой геометрии», учебной практики, производственной (педагогической) практики, подготовки к итоговой государственной аттестации.

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Геометрия»

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих компетенций в соответствии с ФГОС ВПО по данному направлению:

Структурные элементы компетенции Коды Наименование компетенции (в результате освоения дисциплины компетенции обучающийся должен знать, уметь, владеть) 1 2 Способен реализовывать ПК-1 Знать:

учебные программы базовых и фактический материал для разработки элективных курсов в различных элективных курсов.

образовательных учреждениях Уметь:

решать задачи и доказывать утверждения и теоремы в объме, необходимом для разработки и реализации элективных курсов.

Владеть:

Методами решения задач и доказательства теорем в объме, необходимом для разработки и реализации элективных курсов Владеет основными СК-1 Знать:

положениями классических различные приемы использования идеологии разделов математической науки, курса геометрии при доказательстве теорем базовыми идеями и методами и решении задач школьного курса;

математики, системой основных технику применения векторной алгебры и математических структур и аналитической геометрии на плоскости и в аксиоматическим методом. пространстве к решению геометрических задач, в частности, задач школьного курса геометрии;

основные понятия и строгое доказательство фактов многомерной аффинной и евклидовой геометрии;

основные понятия и строгое доказательство фактов оснований геометрии, т.е. основ аксиоматического метода, включая системы СК-2 Владеет культурой математи- Знать:

ческого мышления, логической и строгое доказательство фактов многомерной алгоритмической культурой, аффинной и евклидовой геометрии;

способен понимать общую строгое доказательство фактов оснований структуру математического геометрии, т.е. основ аксиоматического знания, взаимосвязь между метода, включая системы аксиом евклидовой различными математическими геометрии Д. Гильберта, Г. Вейля и другие дисциплинами, реализовывать аксиоматики, используемые при изложении основные методы математи- школьного курса геометрии;

ческих рассуждений на основе строгое доказательство фактов общей исследования и опыта решения, строгое доказательство фактов учебных и научных проблем, дифференциальной геометрии кривых и пользоваться языком математи- поверхностей в евклидовом пространстве.

аргументировано обосновывать корректно выражать и аргументировано универсальный характер законов законы логики математических рассуждений, логики математических доказательство математических утверждерассуждений, их применимость ний, методы решения геометрических задач, в различных областях в том числе с практическим содержанием, человеческой деятельности, роль общекультурное значение математики.

и место математики в системе Уметь:

наук, значение математической строго доказывать математические науки для решения практических утверждения; применять геометрические задач, возникающих в теории и знания к решению практических задач Владеть:

законами математической логики, методами практических задач с применением геометрической теории и логического построения утверждений и высказываний..

Общая трудоемкость дисциплины составляет _18_ зачетных единиц, _648_ часов.

п/п 1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

геометрия пространства.

2.1.

Тема 2.2. Системы координат в 2.2.

пространстве.

Тема 2.3. Плоскости и прямые в 2.3.

пространстве.

Раздел 3. Векторные, аффинные и Тема 3.1. Конечномерные 3.1.

векторные пространства.

Тема 3.2. Конечномерные 3.2.

евклидовы пространства.

Тема 3.3. Аффинные и евклидовы nмерные пространства.

Раздел 4. Основания геометрии.

Тема 4.2. Системы аксиом 4.2.

евклидовой геометрии.

Тема 4.3. Теория длин, площадей и 4.3.

объемов.

Раздел 5. Общая топология и дифференциальная геометрия.

Тема 5.1. Топологические 5.1.

пространства.

Тема 5.2. Отображения 5.2.

топологических пространств.

Тема 1.1. Векторы на плоскости.

Понятие вектора. Длина и направление вектора. Операции над векторами: сложение, вычитание, умножение вектора на число. Коллинеарные векторы. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Понятие базиса. Координаты вектора относительно данного базиса.

Формулы преобразования координат вектора при замене базиса. Скалярное произведение векторов.

Тема 1.2. Системы координат.

Аффинная система координат на плоскости. Деление отрезка в данном отношении.

Формулы преобразования координат точки при замене системы координат. Прямоугольная декартова система координат на плоскости. Расстояние между точками. Понятие об ориентации плоскости. Формулы преобразования координат точек относительно прямоугольной декартовой системы координат. Полярная система координат на плоскости и ее связь с прямоугольной декартовой системой координат.

Тема 1.3. Прямая на плоскости.

Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой.

Взаимное расположение прямой, заданной общим уравнением, с осями координат. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми. Геометрический смысл знака многочлена P( x, y) Ax By C.

Тема 1.4. Линии 2-го порядка.

Эллипс. Каноническое уравнение. Свойства. Гипербола. Каноническое уравнение.

Свойства.

Парабола. Каноническое уравнение. Свойства. Общее уравнение кривой второго порядка.

Задача приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

Классификация кривых 2-го порядка (без доказательства).

Тема 1.5. Преобразования плоскости.

Отображение и преобразование множеств. Преобразование плоскости. Группа преобразований. Подгруппы группы преобразований. Определение движения. Простейшие свойства движений. Виды движений. Аналитическое выражение движений. Классификация движений плоскости. Группа движений плоскости и ее подгруппы. Теорема Шаля. Группа симметрий геометрической фигуры. Подобные преобразования плоскости. Гомотетия.

Свойства гомотетии. Теорема о разложении подобия в произведение гомотетии и движения.

Группа подобных преобразований и ее подгруппы.

Раздел 2. Аналитическая геометрия пространства.

Тема 2.1. Векторы в пространстве.

Векторы в пространстве. Компланарность векторов. Линейная зависимость и независимость векторов в пространстве. Понятие базиса и координат вектора относительно данного базиса. Преобразование координат вектора. Векторное произведение векторов.

Свойства. Геометрический смысл векторного произведения. Смешанное произведение векторов. Свойства. Геометрический смысл смешанного произведения. Применение векторного и смешанного произведения векторов при решении задач школьного типа.

Тема 2.2. Системы координат в пространстве.

Аффинная система координат в пространстве. Деление отрезка в данном отношении.

Формулы преобразования координат точки. Прямоугольная декартова система координат.

Расстояние между точками. Понятие об ориентации пространства. Формулы преобразования координат точек. Цилиндрические и сферические координаты и их связь с декартовыми.

Тема 2.3 Плоскости и прямые в пространстве.

Различные способы задания плоскости в пространстве. Общее уравнение плоскости.

Условие параллельности вектора плоскости. Исследование общего уравнения плоскости.

Уравнение плоскости в ПДСК. Геометрический смысл знака многочлена Ax By Cz D.

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости.

Угол между двумя плоскостями. Различные способы задания прямой в пространстве.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Тема 2.4. Движения в пространстве.

Движения в пространстве. Свойства движений. Аналитическое выражение движения.

Виды движений. Группа движений. Групповой поход к геометрии.

Тема 2.5. Поверхности 2-го порядка.

Поверхности вращения. Цилиндрические поверхности. Цилиндры второго порядка.

Конические поверхности. Круговой конус. Сечения кругового конуса. Эллипсоид.

Исследование поверхности эллипсоида методом сечений. Гиперболоиды: однополостный и двуполостный гиперболоиды. Параболоиды.

Раздел 3. Векторные, аффинные и евклидовы n – мерные пространства.

Тема 3.1. Конечномерные векторные пространства.

Конечномерные векторные пространства. Примеры. Формулы преобразования координат. Подпространства, прямая сумма. Линейные билинейные и квадратичные формы.

Задача приведения квадратичной формы к каноническому виду линейными преобразованиями. Нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции. Положительно определенные квадратичные формы.

Тема 3.2. Конечномерные векторные евклидовы пространства.

Евклидово векторное пространство. Задача приведения квадратичной формы ортогональными преобразованиями. Симметрические линейные операторы. Приведение матрицы симметрического линейного оператора и квадратичной формы ортогональными преобразованиями.

Тема 3.3. Аффинные и евклидовы n-мерные пространства.

Понятие n-мерного аффинного пространства. Аффинный репер. Аффинные преобразования. Евклидово n-мерное пространство. Ортонормированный репер. Квадрики.

Приведение уравнения квадрики к каноническому виду. Классификация.

Тема 4.1. Аксиоматический метод.

Аксиоматический метод. Математические структуры. Понятие модели и изоморфизма математических структур. Требования, предъявляемые к системе аксиом:

непротиворечивость, независимость, полнота.

Тема 4.2. Системы аксиом евклидовой геометрии.

Система аксиом Гильберта. Теория длин отрезков в системе аксиом Гильберта.

Система аксиом Вейля и ее непротиворечивость. Системы аксиом школьного курса геометрии.

Тема 4.3. Теория длин, площадей и объемов.

Теория длин отрезков. Теорема существования и единственности. Многоугольники.

Различные определения многоугольника. Теория площадей. Теорема о площади прямоугольника. Теорема существования и единственности площади. Равновеликость и равносоставленность. Теория объемов (обзор).

Раздел 5. Общая топология и дифференциальная геометрия.

Тема 5.1. Топологические пространства.

Топологические структуры, топологические пространства. Открытые множества.

Окрестности. Внутренние, внешние и граничные точки. Топология, индуцированная метрикой. Замкнутые множества. Операция замыкания. База топологии. Подпространства топологического пространства. Отделимость, связность, компактность.

Тема 5.2. Отображения топологических пространств.

Непрерывные отображения и гомеоморфизмы. Понятие многообразия. Многообразие с краем. Операция склеивания. Эйлерова характеристика. Теорема Эйлера. Классификация топологически правильных многогранников.

Тема 5.3. Теория кривых.

Введение. Понятие гладкой кривой. Естественная параметризация. Плоские кривые.

Репер Френе. Формулы Френе. Кривизна кривой. Пространственные кривые. Формулы Френе. Кривизна и кручение кривой.

Тема 5.4. Теория поверхностей.

Гладкие поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна кривой на поверхности. Нормальная кривизна поверхности. Главные направления. Главные кривизны. Теорема Родрига. Полная и средняя кривизна поверхности. Поверхности постоянной кривизны. Основные уравнения поверхности (деривационные формулы).

Теорема Бонне. Геодезическая кривизна кривой. Геодезические линии. Полугеодезическая система координат. Экстремальные свойства геодезических.

В ходе освоения дисциплины «Геометрия», при проведении аудиторных занятий, используются технологии традиционных и нетрадиционных учебных занятий.

Технология традиционного обучения предусматривает такие методы и формы изучения материала как лекция, лабораторные занятия, практические занятия:

информационная лекция (тема 1.1 Векторы на плоскости; тема 1.5 Преобразования плоскости; тема 5.1 Топологические пространства);

проблемная лекция (тема 1.3 Прямая на плоскости; тема 2.3 Плоскости и прямые в пространстве; тема 4.1 Аксиоматический метод; тема 4.2 Системы аксиом евклидовой геометрии);

лекция-визуализация (тема 1.4 Линии второго порядка на плоскости; тема 2. Поверхности второго порядка).

Практические занятия направлены на формирование у студентов умений и навыков решения задач, в том числе с практическим содержанием и исследовательских задач. В ходе проведения практических занятий используются задания учебно-тренировочного характера и задания творческого характера (тема 1.5 Преобразования плоскости; тема 2.4 Движения пространства; тема 4.2 Система аксиом евклидовой геометрии).

Лабораторные занятия проводятся на первом курсе и предполагают работу в малых группах по решению задач с использованием теоретических знаний.

При изучении дисциплины «Геометрия» используются активные и интерактивные технологии обучения, такие как:

технология сотрудничества, включающая работу в малых группах (тема 1. Векторы на плоскости; тема 2.2 Система координат в пространстве; тема 2.3 Плоскости и прямые в пространстве) и коллективную мыслительную деятельность (тема 3. Конечномерные векторные пространства; тема 3.3 Аффинные и евклидовы n-мерные пространства; тема 5.1 Топологические пространства);

медиатехнология (подготовка и демонстрация презентаций);

кейс-технология (проблемный метод, работа в парах и группах).

Нетрадиционные учебные занятия проводятся в форме тренинга, занятий-соревнований (заключительные практические занятия по изучаемым темам).

Занятия, проводимые в интерактивной форме, в том числе с использованием интерактивных технологий составляют 25% от общего количества аудиторных занятий.

Самостоятельная работа студентов подразумевает работу под руководством преподавателя (консультации, коллоквиумы) и индивидуальную работу студента, выполняемую, в том числе, в компьютерном классе с выходом в сеть «Интернет» на физикоматематическом факультете университета.

При реализации образовательных технологий используются следующие виды самостоятельной работы:

работа с конспектом лекции;

работа с учебником;

решение задач и упражнений по образцу;

решение вариативных задач и упражнений;

подготовка доклада по заданной теме с компьютерной презентацией;

поиск информации в сети «Интернет» и дополнительной и справочной литературе;

мини-исследование;

подготовка к сдаче зачета;

подготовка к сдаче экзамена.

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.

Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.

семестр доказательство свойств операций над векторами;

достаточном условии линейной зависимости и независимость системы двух векторов», «Свойства операции скалярного произведения векторов»

изучение свойств гиперболы по каноническому уравнению; оптическое свойство гиперболы;

изучение тем: «Парабола. Каноническое уравнение параболы. Свойства параболы.», «Касательные к кривым второго порядка. Свойства касательных»;

«Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Классификация кривых доказательство свойств движений, примеры движений, классификация движений второго рода.

симметрий геометрической фигуры», «Подобные преобразования плоскости. Гомотетия, свойства гомотетии», «Инверсия. Свойства инверсии».

семестр доказательство свойств операций над векторами в достаточном условии линейной зависимости и пространстве; необходимое и достаточное условие независимость системы трех векторов», «Свойства операций векторного и смешанного произведения векторов», «Применение векторного и смешанного вывод формулы для нахождения расстояния между точками; вывод формул деления отрезка в преобразование координат точек в ПДСК;

изучение тем: «Цилиндрическая и сферическая расстояния между скрещивающимися прямыми в пространстве, между параллельными плоскостями условие перпендикулярности двух плоскостей, перпендикулярности прямой и плоскости.

изучение тем: «Расстояние от точки до прямой в пространстве», «Взаимное расположение двух и трех плоскостей в пространстве», «Взаимное доказательство свойств движений, примеры Свойства подобных преобразований».

изучение свойств двуполостного гиперболоида и параболоидов по каноническому уравнению;

общее уравнение поверхности второго порядка.

изучение тем: «Цилиндры второго порядка», независимости системы векторов; понятие базиса, координат вектора относительно данного базиса.

пространства; прямой суммы; доказать закон изучить понятие ортонормированного базиса, операцию скалярного произведения векторов в векторами в ортонормированном репере; доказать положительной определенности квадратичной рассмотреть свойства операции внешней суммы и операции разности точек; изучить операцию аффинного преобразования; изучить понятие вывести аналитическое выражение аффинных аффинных преобразований образует группу;

вывести аналитическое выражение движения и доказать, что множество всех движений образует группу; получить классификацию квадрик в E 2 и требования, предъявляемые к системе аксиом Классификация математических структур, род дополнительной и справочной литературе Примеры топологических и алгебраических ближайшие следствия системы аксиом Гильберта;

независимости системы аксиом Вейля.

Доказательство основных геометрических фактов дополнительной и справочной литературе Система аксиом Александрова. Ближайшие следствия системы аксиом Александрова.

Доказать признаки равенства треугольников используя систему аксиом А.Д. Александрова построение теории длин отрезков в различных единственности площади; теория объемов.

счетных и несчетных множеств; доказать, что пространства; необходимое и достаточное условие изучение определения непрерывного отображения пространств, в случае метрических пространств и в случае вещественной функции вещественного доказать критерий непрерывности отображения;

ввести понятие операции склеивания, привести дополнительной и справочной литературе выяснить топологическое строение бутылки доказать гомеоморфность любых двух числовых интервалов и гомеоморфность открытого круга и прямоугольника получить лист Мебиуса.

изучить понятия элементарной кривой, простой кривой, гладкой кривой; способы задания кривой;

кривой; процесс перехода к естественной параметризации кривой, свойства естественной дополнительной и справочной литературе изучить понятие гладкой поверхности и способы задания поверхности; изучить первую и вторую квадратичные формы поверхности; понятие нормальной кривизны, главной кривизны, полной доказать теорему Гаусса; получить условие дополнительной и справочной литературе найти геодезические линии на цилиндре и конусе;

установить локальную изометричность цилиндра и 1. Операции над векторами. Линейная зависимость и независимость векторов. Деление отрезка в данном отношении. Расстояние между точками на плоскости. Преобразование координат точек на плоскости.

2. Линии первого и второго порядка на плоскости.

3. Векторное и смешанное произведение векторов. Компланарность векторов. Системы координат в пространстве. Преобразование координат точек в пространстве.

4. Прямая и плоскость в пространстве. Поверхности второго порядка.

5. Квадратичные формы и квадрики в многомерном пространстве.

6. Системы аксиом школьного курса геометрии. Ближайшие следствия одной из систем аксиом школьного курса.

7. Топологические структуры. Непрерывность и гомеоморфизм.

8. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей.

1. Задача классификации кривых второго порядка.

2. Группа подобных преобразований и е подгруппы.

3. Применение векторного и смешанного произведения векторов к решению задач школьного типа.

4. Классификация движений евклидова пространства.

5. Конические сечения.

6. Геометрия до Евклида.

7. «Начала» Евклида. Сущность аксиоматического метода.

8. Проблема пятого постулата Евклида и е решение.

9. Математические структуры. Требования, предъявляемые к системе аксиом.

10. Различные системы аксиом школьного курса геометрии.

1. Внешние формы. Внешнее умножение.

2. Симплектические векторные пространства.

3. Линейные операторы. Примеры.

4. Линейные преобразования. Группа GL (n,R).

5. Билинейные формы и полилинейные формы.

6. Понятие тензора. Примеры.

7. Римановы и псевдоримановы пространства.

8. Алгебры Ли.

9. Кривые 2-го порядка на проективной плоскости.

10. Элементы сферической геометрии.

11. Основные уравнения теории поверхностей.

12. Римановы пространства.

13. Элементы вариационного исчисления.

14. Ковариантное дифференцирование.

15. Линейные алгебры.

16. Решение геометрических задач на оптимизацию.

17. Геометрия на сфере.

18. Использование движений при решении геометрических задач.

19. Решение конструктивных задач алгебраическим методом.

20. Метод геометрических мест при решении конструктивных задач.

21. Системы координат.

22. Векторные поля.

23.Поверхности вращения.

24. Линейчатые и развертывающиеся поверхности.

25. Изгибание поверхностей.

26. Огибающая семейства поверхностей. Развертывающиеся поверхности.

27. Риманова метрика на поверхности. Наложимость поверхностей.

28. Ортогональные траектории и сети.

29. Сопряженные направления и сети на поверхности.

30. Решение стереометрических задач аналитическими методами.

31. Применение проективных методов к решению задач на расширенной евклидовой плоскости.

32. Различные модели плоскости Лобачевского.

33. Асимптотические линии на поверхности.

34. Винтовые поверхности.

35. Параллельное перенесение векторов на поверхности.

36.Тензорное произведение.

37.Евклидовы и симплектические векторные пространства.

38. Комплексные векторные пространства.

39. Эрмитовы пространства.

Итоговый тест по аналитической геометрии в пространстве (2 семестр) Угол, который образуют единичные векторы a и b, при условии, что векторы m 3a b и n 2a 2b взаимно перпендикулярны равен Найти вектор x, зная, что он перпендикулярен к векторам a 2;3; 1 и b 1; 2;3 и удовлетворяет условию x (2i j k ) Вычислить, какую работу производит сила f 3; 2; 5, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается на вектор AB 1;5; 6.

Координаты новых базисных векторов и нового начала в старой системе координат, если формулы преобразования координат точек имеют вид y x y 3z 2, равны Сила P 3; 2;1 приложена к точке N (1; 2;1). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат.

Ответ:

Даны три некомпланарных вектора m, n и p. Компланарны ли векторы a 3m n p, b Уравнение плоскости, проходящей через точку N (2; 1;1) перпендикулярно к двум плоскостям: 2x 3 y 5z 4 0, x z 2 0 имеет вид:

При каких значениях m и l уравнения будут определять параллельные плоскости:

Через точку L(2, 3,5) провести прямую, параллельную прямой 10.

Ответ:

Найти канонические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости x y z 1 0.

Ответ:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку F ( 2;3;5) перпендикулярно 12.

прямой y 4 3t, Ответ:

Эллипсоид проходит через точку М(3,2,5) и пересекает плоскость Оху по эллипсоиду 13.

1, тогда уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями координат имеет вид:

Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида, вещественная ось которого 14.

совпадает с осью Оу, вещественная полуось равна 3, а мнимые полуоси равны 5 и 7 имеет вид:

Параболоид с центром в начале координат, ось которого совпадает с осью Oу и 15.

(3,-3,-2) задается уравнением:

1. Вектор. Длина и направление вектора. Равенство векторов, свойства, операция откладывания вектора от точки.

2. Сложение векторов. Свойства.

3. Умножение вектора на число. Свойства.

4. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов.

5. Понятие базиса. Координаты вектора в данном базисе.

6. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. Свойства. Проекция вектора на ось. Ортогональная проекция вектора на ось.

7. Выражение скалярного произведения векторов через их координаты относительно ортонормированного базиса.

8. Метод координат на плоскости. Аффинная система координат. Деление отрезка в данном отношении.

9. Формулы преобразования координат в АСК.

10. Понятие ориентации плоскости.

11. Формулы преобразования координат в ПДСК.

12. Полярная система координат. Связь между полярными координатами и прямоугольными декартовыми. Обобщенные полярные координаты.

13. Различные способы задания прямой на плоскости.

14. Общее уравнение прямой. Исследование общего уравнения прямой.

15. Геометрический смысл знака трехчлена Ax+By+C.

16. Взаимное расположение прямых на плоскости. Необходимые и достаточные условия.

17. Расстояние от точки до прямой.

18. Угол между двумя прямыми.

19. Пучок прямых на плоскости.

20. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Свойства.

21. Гипербола. Каноническое уравнение. Свойства.

22. Парабола. Каноническое уравнение. Свойства.

23. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.

24. Директрисы кривых второго порядка. Свойство директрис. Оптическое свойство эллипса, гиперболы, параболы.

25. Понятие движения плоскости, свойства. Аналитическое задание движения.

26. Виды движений плоскости.

27. Подобные преобразования плоскости. Примеры. Гомотетия. Свойства гомотетии.

28. Теорема о разложении подобия. Аналитическое выражение подобных преобразований плоскости.

29. Инверсия на плоскости. Свойства инверсии.

1. Векторы в пространстве. Понятие базиса. Координаты вектора в данном базисе.

Компланарные векторы. Критерий компланарности.

2. Аффинная система координат в пространстве. Деление отрезка в данном отношении.

3. Формулы преобразования аффинных координат.

4. Прямоугольная декартов система координат в пространстве. Расстояние между точками.

5. Формулы преобразования ПДСК.

6. Ориентация пространства. Левые и правые реперы. Условие компланарности трех векторов.

7. Векторное произведение векторов и его свойства.

8. Смешанное произведение векторов и его свойства.

9. Различные способы задания плоскости в пространстве.

10. Общее уравнение плоскости. Исследование общего уравнения плоскости.

11. Уравнение плоскости в ПДСК. Геометрический смысл знака многочлена Ax+By+Cz+D.

12. Расстояние от точки до плоскости.

13. Различные способы задания прямой в пространстве.

14. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Угол между двумя плоскостями.

15. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми.

16. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.

17. Общее уравнение поверхности второго порядка. Исследование поверхностей методом сечений.

18. Поверхности вращения.

19. Цилиндрические поверхности; цилиндрические поверхности второго порядка.

20. Конические поверхности. Конус второго порядка.

21. Эллипсоид и его свойства.

22. Двуполостный гиперболоид; свойства, исследование методом параллельных сечений.

23. Эллиптический параболоид; свойства, исследование методом параллельных сечений.

24. Гиперболический параболоид; свойства, исследование методом параллельных сечений.

25. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.

26. Движение в пространстве. Свойства движений. Примеры движений.

27. Задание движения в пространстве с помощью пары реперов (теорема).

28. Аналитическое выражение движения в пространстве. Классификация движений в пространстве (без доказательства).

1.Понятие векторного пространства. Примеры.

2. Конечномерные векторные пространства. Примеры.

3.Формулы преобразования координат вектора.

4. Подпространства векторного пространства. Прямая сумма векторных подпространств.

5.Линейные отображения.

6. Линейные операторы.

7. Линейные преобразования векторного пространства. Полная линейная группа.

8. Линейные формы.

9. Билинейные формы.

10.Векторные пространства со скалярным произведением.

11.Евклидовы векторные пространства.

12.Квадратичные формы. Задача приведения квадратичной формы к каноническому виду.

13.Положительно определенные квадратичные формы.

14.Задача приведения квадpатичной формы к каноническому виду ортогональными преобразованиями.

15. Аффинные n – мерные пространства. Аффинные преобразования.

16.Евклидовы n – мерные пространства. Движения.

17. K – мерные плоскости.

18.Квадрики в n – мерном евклидовом пространстве.

19. Классификация квадрик в Е2 и ЕЗ.

20. Возникновение аксиоматического метода и его развитие. Схема построения аксиоматической теории. Понятие о математической структуре. Примеры.

21. Классификация математических структур. Род структур. Теория структур данного рода.

Примеры. Структуры рода структур группы.

22. Изоморфизмы математических структур. Понятие модели (интерпретация системы аксиом).

23. Требования, предъявляемые к системе аксиом. Непротиворечивость системы аксиом.

Примеры.

24. Требования, предъявляемые к системе аксиом. Независимость системы аксиом.

Примеры.

25. Требования, предъявляемые к системе аксиом. Полнота системы аксиом. Примеры.

Эквивалентные системы аксиом.

26. Система аксиом Гильберта евклидовой геометрии (общая характеристика, аксиомы инцидентности и порядка. Геометрия I-II групп аксиом).

27. Система аксиом Гильберта евклидовой геометрии (общая характеристика, аксиомы конгруэнтности. Геометрия I-III групп.).

28. Система аксиом Гильберта евклидовой геометрии (общая характеристика). Аксиомы IV-V групп (аксиомы Архимеда, Кантора, аксиома параллельности Евклида). Теория измерения отрезков.

29. Система аксиом Вейля евклидовой геометрии (общая харак-ка, аксиомы I-III групп), следствия из аксиом I-III групп.

30. Система аксиом Вейля евклидовой геометрии (общая харак-ка, аксиомы IV,V групп), следствия.

31. Определение прямой, луча, отрезка, плоскости, параллелограмма по Вейлю.

Доказательство некоторых теорем на основе аксиом Вейля (теорема косинусов, синусов, Пифагора, теоремы о трех перпендикулярах).

32. Доказательство непротиворечивости и полноты системы аксиом Вейля.

33. Система аксиом Александрова (общая харак-ка, аксиомы I-III групп).

34. Система аксиом Александрова (общая харак-ка, аксиомы IV,V групп).

35. Ближайшие следствия из системы аксиом Александрова (признаки равенства треугольников, понятие прямой, луча).

36. Возникновение и развитие геометрии. «Начала» Евклида. Общая характеристика.

Достоинства и недостатки «Начал».

37. Проблема пятого постулата Евклида Различные попытки доказательств постулата.

Решение проблемы V постулата Н.И.Лобачевским.

38. Длина отрезка.Теорема существования и единственности.

39. Аксиоматическое определение площади многоугольника. Теорема существования и единственности.

40. Доказательство теоремы о площади прямоугольника. Вывод формул площадей параллелограмма, треугольника, трапеции.

41. Равновеликость и равносоставленность. Квадрируемые фигуры.

42. Объем многогранника. Теорема существования и единственности объема многогранника.

Топологические структуры, топологические пространства. Открытые множества.

Окрестности и их свойства Внутренние, внешние и граничные точки. Свойства. Примеры. Теорема об открытом множестве.

Метрические пространства. Примеры. Топология, индуцированная метрикой.

Замкнутые множества. Свойства. Операция замыкания. Свойства. Теорема о замкнутом множестве.

База топологии. Теорема о базе. Пространства со счетной базой. Примеры.

Подпространства топологического пространства. Примеры.

Отделимое топологическое пространство. Понятие предельной точки и предела.

Теорема о единственности предела.

Связные и несвязные топологические пространства. Критерий. Примеры.

Компактность. Теорема о замкнутости компакта.

Непрерывные отображения. Критерий непрерывности. Гомеоморфизмы. Примеры.

10.

Предмет топологии.

Понятие многообразия. Примеры.

11.

Многообразие с краем. Операция склеивания. Примеры.

12.

Клеточное разложение двумерного многообразия. Эйлерова характеристика.

13.

Понятия многоугольника и многогранника. Теорема Эйлера.

14.

Классификация топологически правильных многогранников.

15.

Понятие гладкой кривой. Элементарная кривая. Простая кривая. Примеры. Различные 16.

способы задания кривой.

Длина дуги, естественная параметризация кривой.

17.

Плоские кривые. Репер Френе, формулы Френе, кривизна кривой.

18.

Эволюта плоской кривой.

19.

Пространственные кривые. Репер Френе, формулы Френе, кривизна и кручение кривой.

20.

Гладкие поверхности. Различные способы задания поверхности.

21.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

22.

Первая квадратичная форма поверхности и е применение.

23.

Вторая квадратичная форма поверхности.

24.

Кривизна кривой на поверхности. Нормальная кривизна поверхности.

25.

Главные направления и главные кривизны. Теорема Родрига.

26.

Полная и средняя кривизна поверхности. Поверхности постоянной кривизны.

27.

Деривационные формулы. Теорема Бонне.

28.

Геодезическая кривизна кривой. Геодезические линии. Дифференциальные уравнения 29.

геодезических.

Полугеодезическая система координат. Экстремальное свойство геодезических.

30.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение 1. Александров А.Д. Геометрия. - М.: Наука, 2009.

2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. – Проспект, КноРус, 2011. - Ч.I.

3. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. - Проспект, КноРус, 2011. - Ч.II.

4. Атанасян Л.С., Глизбург В.И. Сборник задач по геометрии. -Эксмо, 2007. - Ч.I.

5. Атанасян Л.С., Глизбург В.И. Сборник задач по геометрии. -Эксмо, 2007. - Ч.II.

6. Сборник задач по геометрии / Под ред. В.Т. Базылева. - Лань, 2008.

7. Горшкова Л.С., Сорокина М.В. Основания геометрии.- ПГПУ, 2009.

8. Паньженский В.И. Введение в дифференциальную геометрию. – ПГПУ, 2008.

9.Сорокина М.В. Основы топологии и дифференциальной геометрии в упражнениях и задачах. - ПГПУ, 2008.

10. Сорокина М.В. Топология и дифференциальная геометрия.- ПГПУ, 2008.

11.Аналитическая геометрия на плоскости. Сурина О.П.

12. Аналитическая геометрия в пространстве. Сурина О.П., Сорокина М.В.

13. Методические рекомендации по выполнению контрольной работы студентами заочной формы обучения «Аналитическая геометрия в пространстве». Шакирзянова О.Г., Сорокина 14. Горшкова Л.С., Сорокина М.В. Основания геометрии.- ПГПУ, 2009.

15. Горшкова Л.С., Титова Н.В. Неевклидова геометрия. Пенза – 2005.

16. Горшкова Л.С., Сергеечев М.В. Методы изображений. - Пенза, 2005 г.

17. Горшкова Л.С., Марина Е.В. Геометрические построения. Методические рекомендации: Пенза, 2008.

18. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии. Лань, 2010.

19.Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. Лань, 2008.

1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. - М.: Наука,2001.

2. Горшкова Л.С., Титова Н.В. Неевклидова геометрия. Пенза – 2005.

3. Паньженский В.И. Топология и дифференциальная геометрия. Методические рекомендации.: Пенза – 1993.

4. Паньженский В.И., Сурина О.П. Тензоры. Пенза – 2001.

5. Сурина О.П. Введение в тензорное исчисление. Пенза – 2003.

6. Школьные учебники по геометрии.

7. Франгулов С.А. Сборник задач по геометрии. – М.: «Просвещение», 2002.

8. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1998.

Exponenta.ru Математика www.mathematics.ru Geometry.ru образование.

Математика www.xplusy.isnet.ru 8. Материально-техническое обеспечение дисциплины «Геометрия»

Для освоения данной дисциплины необходимы:

– мультимедийные средства обучения геометрии (компьютер и проектор; интерактивная доска; Интернет - ресурсы);

– геометрические инструменты (циркуль, линейка, треугольник);