МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет естественнонаучного и математического образования
«Утверждаю»
Декан Факультета
профессор Е.И. Белякова _ 02 апреля 2014 года
ПРОГРАММА
ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА В МАГИСТРАТУРУ
По направлению подготовки 44.04.01 ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ Магистерская программа Математическое образование Ростов-на-ДонуПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Программа вступительного экзамена в магистратуру по направлению 44.04. Педагогическое образования, магистерская программа «Математическое образование»интегрирует программы фундаментальных математических курсов «Основы дискретной математики», «Математические модели, методы и теории», «Алгебра и теория чисел», «Математическая логика», «Геометрия», «Математический анализ» и курса «Технология и методика обучения математики».
Название вступительного экзамена «МАТЕМАТИКА С МЕТОДИКОЙ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ».
Программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению 050200 «Физикоматематическое образование», профессионально-образовательный профиль «Математика».
Основная цель вступительного экзамена в магистратуру – выявить уровень общей математической культуры абитуриентов, поступающих в магистратуру, проконтролировать их знания по всем фундаментальным математическим дисциплинам и теории и методики обучения математике, которые обеспечивают содержательный компонент подготовки выпускника к продолжению обучения в магистратуре по направлению 44.04. Педагогическое образование, магистерская программа «Математическое образование».
Экзамен осуществляется в устной форме.
Поступающий получает билет с двумя вопросами и время на подготовку 30-40 минут.
Продолжительность ответа составляет около 10-15 минут на оба вопроса. Комиссия может задать дополнительные вопросы по билету уточняющего характера, а также вопросы по уточнению области научных интересов поступающего, о мотивах выбора магистерской программы и т.п.
Поступающий, выбравший магистерскую программу «Математическое образование», должен быть готов:
осуществлять обучение учащихся в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов;
использовать современные технологии обучения в практической деятельности;
участвовать в разработке образовательных программ (школьный компонент), нести ответственность за реализацию их в полном объеме в соответствии с учебным планом и графиком учебного процесса;
организовывать контроль знаний, умений и навыков учащихся по математике;
создавать учебно-методического базу по предмету;
поддерживать учебную дисциплину, контролировать режим посещения занятий;
соблюдать права и свободы учащихся;
повышать свою профессиональную квалификацию.
должен знать:
содержание и методику преподавания математики в общеобразовательных школах;
теоретические основы школьного курса математики;
современные технологии обучения математике;
научные основы организации учебного процесса в общеобразовательных учреждениях.
должен уметь применять:
прогрессивные методы преподавания математических дисциплин;
современные формы контроля знаний, умений и навыков учащихся;
различные формы организации внеклассных занятий по математике.
В ходе подготовки к вступительному экзамену по разделу «Математика» необходимо усвоить основные понятия алгебры, теории чисел, математической логики, геометрии, математического анализа, о которых нужно знать:
определение понятия;
символическую запись;
условие существования;
наличие модели понятия (если она существует);
свойства понятия, примеры.
Содержание понятия должно быть наполнено знанием аксиом, основных теорем, уравнений, формул и правил. При этом требуется знать:
формулировку аксиомы, теоремы, правила;
символическую запись аксиомы, теоремы, формулы, уравнения, правила;
доказательство теоремы, вывод формулы или уравнения, его решение;
условия, при которых данная формула, уравнение или теорема имеет данный вид;
смысл всех величин и символов, входящих в формулу (уравнение);
примеры применения аксиомы, теоремы, формулы, уравнения, правила.
Оценивание вступительных испытаний осуществляется по стобалльной шкале.
Раздел 1. Алгебра, теория чисел, основы дискретной математики, математическая логика Элементы математической логики, теории множеств, комбинаторики.
Понятие высказывания. Высказывательная переменная. Основные логические связки и логические операции над высказываниями. Формулы алгебры высказываний и их логические возможности. Равносильные формулы. Тавтологии и противоречия. Законы логики. Предикаты. Тождественно истинные, тождественно ложные предикаты. Область истинности предиката. Логические операции над предикатами. Область истинности отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции двух предикатов.
Кванторные операции над предикатами.
Множество. Отношения между множествами, их свойства. Операции над множествами и их свойства. Декартово произведение множеств. Соответствия, свойства соответствий. Суперпозиция соответствий. Функции, отображения.
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение множества на классы.
Фактор-множество. Теорема о связи отношения эквивалентности и разбиения множества Различные виды соединений элементов и их количества.
Алгебраические операции и алгебры. Бинарные операции и их свойства. Определение, примеры и простейшие свойства групп. Группы преобразований. Подстановки. Подгруппы группы, смежные классы группы по подгруппе. Нормальные делители. Примеры. Конечные группы Морфизмы полугрупп, групп. Основные теоремы об изоморфизмах полугрупп, групп.
Определение, примеры и простейшие свойства колец и полей. Подкольца и идеалы.
Числовые кольца и поля. Наименьшее числовое поле. Морфизмы колец, полей. Основные теоремы об изоморфизмах колец, полей.
Векторные пространства. Евклидовы пространства Определение, примеры и простейшие свойства линейных (векторных) пространств.
Арифметическое n-мерное векторное пространство над данным полем и его свойства.
Линейная зависимость векторов. Свойства линейной зависимости, базис и размерность конечномерного векторного пространства.
Определение и свойства подпространства линейного пространства. Линейная оболочка и ее свойства. Базис и размерность конечномерных линейных пространств.
Матрица перехода от одного базиса к другому. Изоморфизм линейных пространств.
Определение и свойства евклидова пространства. Изоморфизм евклидовых пространств.
Системы линейных уравнений. Матрицы и определители Системы линейных уравнений. Элементарные преобразования уравнений системы.
Равносильные системы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений, фундаментальная система решений. Связь между решениями неоднородной СЛУ и соответствующей однородной СЛУ. Ранг матрицы. Различные способы вычисления ранга матрицы. Критерий совместности СЛУ (теорема Кронекера-Капелли).
Действия над матрицами и их свойства. Определитель квадратной матрицы и его свойства.
Вычисление определителей. Обратная матрица и ее вычисление. Критерий обратимости квадратной матрицы. Различные методы решения СЛУ с квадратной матрицей (метод Гаусса, матричный метод, метод Крамера).
Определение линейного преобразования (линейного оператора). Линейные операторы конечномерных линейных пространств. Ранг и дефект, ядро и образ линейного оператора.
Связь между матрицами линейного оператора относительно различных базисов.
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Области целостности. Примеры. Обратимые и ассоциированные элементы области целостности. Делимость в области целостности и ее свойства. НОД и НОК двух элементов области целостности и их свойства. Евклидовы кольца. Алгоритм Евклида для вычисления НОД в евклидовом кольце. Основная теорема арифметики.
Сравнения и их свойства. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма. Линейные сравнения и методы их решения. Диофантовы уравнения 1-ой степени с двумя неизвестными и их целочисленные решения. Арифметические приложения теории сравнений: вывод признаков делимости, определение длины периода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.
Теория многочленов от одной и нескольких переменных.
Многочлены от одной переменной. Корни многочлена. Теорема Безу. Схема Горнера.
Разложение многочлена по степеням линейного двучлена. Делимость многочлена и ее свойства. НОД, НОК многочленов и их свойства. Алгоритм Евклида. Многочлены над полем комплексных чисел. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена над полем комплексных чисел на линейные множители. Теорема Виета. Многочлены над полем действительных чисел. Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.
Разложение многочлена над полем действительных чисел на неприводимые линейные множители и множители второй степени с отрицательным дискриминантом. Многочлены над полем рациональных чисел. Теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Достаточное условие неприводимости многочлена с целыми коэффициентами над кольцом целых чисел (над полем рациональных чисел) (критерий Эйзенштейна).
Простые алгебраические расширения полей и их строения. Алгебраические числа.
Минимальный многочлен. Освобождение от иррациональности в знаменателе. Поле алгебраических чисел.
Многочлены от нескольких переменных. Симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах.
Аксиомы Пеано. Аксиоматическое определение системы натуральных чисел.
Принцип полной математической индукции. Сложение и умножение на множестве натуральных чисел и их свойства. Отношение порядка на множестве натуральных чисел и его свойства.
Алгебраическая мотивировка расширения множества натуральных чисел. Принцип минимального расширения. Определение, существование и единственность кольца целых чисел. Действия на множестве целых чисел и их свойства. Отношение порядка на множестве целых чисел и его свойства.
Алгебраическая мотивировка расширения кольца целых чисел. Определение, существование и единственность поля рациональных чисел. Свойства поля рациональных чисел. Действия на множестве рациональных чисел и их свойства. Отношение порядка на множестве рациональных чисел и его свойства.
Алгебраическая мотивировка расширения поля рациональных чисел.
Фундаментальные последовательности и их свойства. Метод Кантора построения поля действительных чисел. Сечения Дедекинда. Свойства сечений. Метод Дедекинда построения поля действительных чисел. Свойства поля действительных чисел. Действия на множестве действительных чисел их свойства. Отношение порядка на множестве действительных чисел и его свойств.
Алгебраическая мотивировка расширения поля действительных чисел. Определение, существование и единственность поля комплексных чисел. Свойства поля комплексных чисел.
Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме (умножение, деление, возведение в натуральную степень (формула Муавра), извлечение корня натуральной степени из комплексного числа). Первообразные корни. Геометрическая интерпретация корня натуральной степени из единицы и из произвольного комплексного числа.
Примерный перечень экзаменационных вопросов по разделу «Алгебра, теория чисел, основы дискретной математики, математическая логика»
Бинарные операции на множестве и их свойства. Полугруппы и группы. Изоморфизм полугрупп и групп.
Кольцо. Определение. Примеры. Простейшие свойства колец. Гомоморфизм и изоморфизм колец.
Система натуральных чисел. Аксиоматика Пеано. Аксиомы сложения и умножения.
Принцип полной математической индукции.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.
Формулы Муавра и извлечения корня натуральной степени из комплексного числа.
Делимость в кольце целых чисел и ее свойства.
Простые и составные числа. Бесконечность множества простых чисел. Основная теорема арифметики.
Сравнения в кольце целых чисел и их свойства.
Классы вычетов по данному модулю. Полная и приведенная системы вычетов.
Сравнения первой степени с одним неизвестным. Теоремы о решении сравнений первой 10.
степени и методы их решений.
Линейное векторное пространство над данным полем. Линейная зависимость векторов.
11.
Свойства линейно зависимых систем векторов.
Системы линейных уравнений с квадратной матрицей. Матричный метод. Метод 12.
Линейные операторы в линейном пространстве: определение, примеры, свойства.
13.
Действия над линейными операторами.
Кольцо многочленов от одной переменной. Корни многочлена. Теорема Безу. Схема 14.
Многочлены над полем комплексных чисел. Основная теорема алгебры и следствия из 15.
16. Многочлены над полем действительных чисел. Свойство комплексно-сопряженных корней многочлена с действительными коэффициентами. Разложение многочлена над полем действительных чисел на неприводимые множители.
17. Многочлены над полем рациональных чисел. Теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Следствие.
Алгебра и теория чисел 1.Курош А.Г. Курс высшей алгебры – М.: Просвещение, 1977.
2.Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел – М.: Высшая школа, 1978.
3.Куликов Л.Е. Алгебра и теория чисел – М.: Высшая школа, 1979.
4.Кострикин А.И. Введение в алгебру – М.: Наука, 1979.
5.Лысенко Ф.Ф. Алгебра и теория чисел. Конспект лекций – РГПУ, 2000.
6.Завало С.Т. и др. Алгебра и теория чисел – Киев: Высшая школа, 1980.
7.Виндебг Э.Б. Алгебра многочленов – М.: Просвещение, 1980.
8.Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебры – М.: Наука, 1979.
9.Куликов А.Я. и др. Сборник задач по линейной алгебре – М.: Наука, 1993.
10. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре – М.: Наука, 1974.
11. Солодовников А.С., Родина М.А. Задачник – практикум по алгебре – М.:
Просвещение, 1985.
12. Нечаев В.А. Задачник – практикум по алгебре – М.: Просвещение, 1983.
13. Михелович Ш. Теория чисел.
14. Виноградов И.М. Основы теории чисел – М.: Наука, 1976.
Основы дискретной математики 1.Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М., «Просвещение», 2.Эдельман С.Л. Математическая логика. М.: Наука, 1975.
3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. М., «Высшая школа», 2001г.
4.Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. М., «Высшая школа», 5.Курош А.Г. Курс общей алгебры. М., «Высшая школа», 2000.
6.Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М., «Мир», 7.Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. М., «Мир», Математическая логика и теория алгоритмов 1. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов. Саратов: Изд. Сарат. унта, 1991.
2. Игошин В.И. Задачник-практикум по математической логике М.: Просвещение, 1986.
3. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. М.: Наука, 1972.
4. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1976.
5. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973.
6. Эдельман С.Л. Математическая логика. М.: Наука, 1975.
7. Лихтарников Л.М., Сукачёва Т.Г. Математическая логика. Курс лекций, задачникпрактикум. С.-Пб, Изд-во «Лань», 1998.
8. Гетманова А.Д. Логика. М.: Новая школа, 1995.
Численные методы 1. Демидович Б.Н., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М., 1978.
2. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы. - М., 1992.
3. Самарский А.А. Введение в численные методы. - М., 1987.
4. Абросимов Л.И. Конспект лекций по курсу моделирования систем. Модели с элементами алгебры логики. - М., 1978.
5. Колесников Г.С., Прохоров А.Г. Иммитационное моделирование систем. - М., 1990.
6. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. - М.: Наука, 1987.
7. Амелькин В.В., Садовский А.Л. Математические модели и дифференциальные уравнения. - Минск: ВШ,1982.
8. Игнатенко В.Н., Краскевич В.Е., Юрченко Ю.П. Моделирование систем. Текст лекций. - Киев, 1978.
Исследование операций 1. Алманов С.А., Тихонов А.В. Теория оптимизации в задачах и упражнениях – М.:
Наука, 1991.
2. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование, теория, методы и приложения – М.: Наука, 1969.
3. Карманов В.Г. Математическое программирование – М.: Наука, 1975.
4. Сухарев А.Г., Тихонов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации – М.: Гл. ред.
ф.-м. лит., 1986.
5. Вентцель Е.С. Исследование опрераций – М.: Советское радио, 1972.
6. Гермейер Ю.Б., Введение в теорию исследования операций, М.: Наука, 1971.
7. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика: Математическое программирование: Учеб.- Под общ. ред. А.В.Кузнецова. – Мн.:Выш.шк., 2001.
8. Кузнецов А.В., Костевич Раздел 2. Геометрия Векторное пространство. Умножение 2 и 3 и большего числа векторов, скалярное, векторное, векторно-скалярное и векторно-векторное произведения векторов. Роль, значимость векторов при изучении геометрии, в аксиоматическом построении научного знания.
Преобразование плоскости. Группы и подгруппы преобразований. Преобразование движения плоскости. Подобие. Групповой подход к построению геометрии.
Метод координат на плоскости и в пространстве. Уравнения, их геометрическое истолкование. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Кривые и поверхности второго порядка.
Моделирование проективной плоскости и проективного пространства. Группа проективных преобразований. Коллинеации и корреляции.
Центральное и параллельное проектирование. Метод Монжа. Проекционный чертеж. Требования к нему. Понятие полноты и метрической определенности чертежа.
Позиционные и метрические задачи. Задачи на построение сечений геометрических тел.
Геометрия плоских и пространственных кривых. Сопровождающий трехгранник кривой. Уравнения касательной, главной нормали, бинормали, спрямляющей, соприкасающейся и нормальной плоскостей. Формулы Френе. Кривизна и кручение кривой.
Поверхности. Параметризация. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Первая квадратичная форма и ее приложения. (Длина линий на поверхности, угол между линиями на поверхности, площадь поверхности.). Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна линий на поверхности. Кривизна поверхности. Замечательные линии на поверхности. Внутренняя геометрия поверхности.
Топологические пространства. Гомеоморфизм. Топологические свойства проективной плоскости. Топологическая классификация замкнутых поверхностей.
Аксиоматический метод построения геометрии. Требования к системе аксиом.
Системы аксиом Гильберта, Вейля. Аксиоматика школьного курса геометрии.
Геометрия Лобачевского. Историческая значимость. Непротиворечивость геометрии Лобачевского. Общее и различное в теории параллельных на плоскостях Евклида, Лобачевского и Римана.
Метрические задачи на плоскости. Вычисление расстояний между точками, от точки до прямой, величины угла между прямыми.
Метрические задачи в пространстве. Вычисление расстояний от точки до плоскости, между скрещивающимися прямыми, величины угла между прямой и плоскостью.
Линии второго порядка. Изучение кривых второго порядка в канонической форме на примере одной из них.
Способы задания прямой на плоскости. Каноническое, общее и параметрические уравнения прямой.
Способы задания плоскости: точкой и двумя неколлинеарными векторами; тремя точками; уравнение в отрезках на осях.
Поверхности вращения второго порядка. Определение, вывод уравнения, примеры.
Изучение поверхностей методом сечений. Сущность метода, изучение формы поверхности (на примере конкретной поверхности второго порядка).
Взаимное расположение прямых в пространстве. Условие принадлежности прямых плоскости. Условия параллельности, пересечения, перпендикулярности и совпадения Преобразование движения плоскости. Определение, частные виды, группа движений и ее подгруппы.
Преобразование подобия плоскости. Определение, гомотетия как частный вид подобия, 10.
группа подобий и ее подгруппы.
Аксиоматический метод построения научного знания. Сущность метода, требования к 11.
системе аксиом.
Аксиоматика Гильберта евклидовой геометрии. Характеристика. Проверка на 12.
непротиворечивость.
Проективное пространство. Проективная прямая, проективная плоскость. Модели 13.
«