МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

Новокузнецкий институт (филиал)

Факультет информационных технологий

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

(ОПД.Ф.9) «Численные методы»

для специальности

010501.65 Прикладная математика и информатика

Специализаций 010211 «Системное программирование», 010202 «Математическое моделирование»

Новокузнецк 2013 1 Сведения о разработке и утверждении рабочей программы дисциплины Рабочая программа дисциплины (ОПД.Ф.9) «Численные методы» федерального компонента цикла ОПД составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования второго поколения по специальности 010200 – Прикладная математика и информатика, утвержденному 23 марта 2000 г., номер государственной регистрации 199 ЕН / СП для специализаций «Системное программирование» и «Математическое моделирование»

Автор к.т.н. Бурнышева Т.В.

Рецензент (ы) Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры математики и математического моделирования « 10 » декабря Протокол № 2012.

Заведующий кафедрой Е. В. Решетникова (подпись) Рабочая программа одобрена методической комиссией факультета информационных технологий « 15 » января Протокол № 2013.

Председатель методической комиссии Н.Б. Ермак (подпись) Пояснительная записка Место курса в системе дисциплин Дисциплина «Численные методы» является одной из дисциплин основной образовательной программы (ООП), необходимой для подготовки специалистов по специальности 010501.65 Прикладная математика и информатика; входит в цикл общеобразовательных дисциплин.

В соответствии с основной образовательной программой будущий специалист прикладной математики и информатики должен обладать знаниями и умениями, позволяющими применять современные математические методы и программное обеспечение для решения задач науки, техники, экономики и управления и использования информационных технологий в проектно-конструкторской, управленческой и финансовой деятельности.

Эти знания и умения приобретаются в ходе изучения таких дисциплин, как: «Математический анализ», «Геометрия и алгебра», «Дифференциальные уравнения», «Функциональный анализ», «Уравнения математической физики», «Языки программирования и методы трансляции».

Выписка из ГОС ВПО Данный курс относится к общепрофессиональным дисциплинам и входит в состав Государственного Образовательного Стандарта Высшего Профессионального Образования (ГОС ВПО) по специальности 010501.65 Прикладная математика и информатика.

Выписка из ГОС ВПО специальности «Прикладная математика и информатика»

ОПД.Ф.09 Численные методы: Численные методы решения задач математического анализа, алгебры и обыкновенных дифференциальных уравнений; численные методы решения задач математической физики; методы решения сеточных уравнений.

Цели изучения дисциплины Формирование у студентов представления об использовании численных 1.

методов при решении основных задач алгебры, математического анализа, дифференц иальных уравнений, задач математической физики;

Формирование представления об идее каждого метода и алгоритме его реализации;

выработать навыки практического использования численных методов при решении прикладных математических задач.

Задачами дисциплины являются:

Приобретение студентами знаний о возможностях применения численных методов при решении основных задач алгебры, математического анализа, дифференциальных уравнений, задач математической физики.

Приобретение навыков практического использования численных методов при решении прикладных математических задач.

Структура курса Занятия включают теоретическую и практическую часть. Теоретические основы дисциплины даются в форме лекций. Закрепление теоретических знаний осуществляется в форме практических занятий по основным разделам лекционного курса. Самостоятельная работа студентов организована в форме освоения теоретического материала, закрепления теоретических знаний путем решения практических заданий.

Лабораторные работы по дисциплине «Численные методы» проводятся в рамках дисциплины «Практикум на ЭВМ».

Для достижения необходимого уровня усвоения учебного материала изучение дисциплины должно сопровождаться самостоятельной работой студентов по написанию алгоритмов и компьютерных программ по реализации изученных численных методов. С этой целью рекомендуется инновационная структура преподавания учебного материала: дисциплина «Численные методы» совмещена по времени изучения в единый модуль с дисциплиной «Практикум на ЭВМ». В рамках компьютерного практикума выполняются лабораторные работы по реализации алгоритмов решения задач. Содержание лабораторных работ позволяет студенту закрепить изученные методы, самостоятельно изучить и реализовать их модификации, провести сравнительный анализ решения поставленной задачи разными методами, включая по возможности аналитический.

Особенности освоения дисциплины Для успешного освоения дисциплины студент должен знать:

курс математического анализа (ЕН.Ф.1) – 1по 4 семестр;

курс линейной алгебры и аналитической геометрии (ЕН.Ф.1) – 1, 2 семестры;

курс дифференциальных уравнений (ОПД.Ф.1) – 3, 4 семестры;

курс функционального анализа (ЕН.Р.1) – 5 семестр;

курс уравнений математической физики (ОПД.Ф.4) – 5 семестр;

курс языки программирования и методы трансляции (ОПД.Ф.5) – 4 семестр.

Объем часов по видам занятий и формам обучения Курс «Численные методы» для студентов специальности 010501.65 Прикладная математика и информатика изучается в течение двух семестров.

Формы обучения включают себя:

- лекции, на которых закладывается теоретическая база знаний по дисциплине «Численные методы»;

- практические занятия, где студенты приобретают навыки в решении задач по отдельным разделам дисциплины;

- самостоятельная работа студентов, которая осуществляется в двух формах: индивидуального выполнения заданий по вариантам и индивидуально-аудиторного – с консультацией у преподавателя, а также составлении студентами тестов и задач по блокам тем;

- разбор сложных задач на плановых консультациях.

По дисциплине осуществляется текущий и промежуточный контроль и Итоговый контроль в форме экзамена.

Требования к уровню освоения программы дисциплины В результате изучения дисциплины студенты должны:

численные методы для решения основных задач алгебры, математического анализа, дифференциальных уравнений, задач математической физики.

Идею каждого метода и алгоритм его реализации.

Основные возможности численных методов с целью их наиболее эффективного применения при решении прикладных математических задач.

решать системы линейных алгебраических уравнений прямыми и итерационными методами;

применять численные методы для решения нелинейных уравнений и систем;

строить интерполяционные сплайны;

численно интегрировать и дифференцировать функции;

применять численные методы для определения собственных значений и собственных векторов матриц;

численно определять экстремумы функций;

применять численные методы для решения обыкновенных дифференциальных уравнений;

применять численные методы для решения задач математической физики и сеточных уравнений.

1. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

Форма контроля –экзамен Текущий контроль:

проверка результатов аудиторной работы;

проверка самостоятельной работы (решение практических задач).

Итоговый контроль:

экзамен – 5 семестр;

экзамен – 6 семестр.

2. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

2.1 Содержание тем лекционного курса

РАЗДЕЛ 1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

АНЛИЗА, АЛГЕБРЫ И ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ТЕМА 1. Погрешность приближенных вычислений.

Виды погрешностей.

Правила приближенных вычислений и оценка погрешностей при вычислении.

Погрешность представления числа.

ТЕМА 2. Интерполирование алгебраическими многочленами. Сплайн-интерполирование.

Аппроксимация опытных данных.

Аппроксимирующая функция.

Метод наименьших квадратов.

Интерполяция.

Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Погрешность интерполяционной формулы.

Сплайны.

ТЕМА 3. Оценка производной. Конечные разности.

Конечные разности.

Первая и вторая интерполяционные формулы Ньютона.

Оценка производной.

ТЕМА 4. Интерполяционные квадратурные формулы.

Квадратурные формулы Котеса.

Метод прямоугольников.

Метод трапеции.

Метод Симпсона.

ТЕМА 5. Численное решение нелинейных уравнений. Сходимость итерационных методов.

Метод половинного деления.

Метод хорд.

Метод касательных.

Смешанный метод.

Метод простой итерации.

ТЕМА 6. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Постановка задачи. Прямые методы решения СЛАУ.

Метод Гаусса.

Метод Жордана-Гаусса.

Метод Холецкого.

ТЕМА 7.Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Постановка задачи. Итерационные методы решения СЛАУ.

Метод Зейделя.

Метод простой итерации.

ТЕМА 8. Собственные числа. Обобщённая задача собственных чисел и векторов.

Постановка задачи. Метод развертывания.

Степенной метод.

Метод вращения Якоби.

ТЕМА 9. Решение систем нелинейных уравнений.

Постановка задачи.

Метод простых итераций.

Метод покоординатной итерации.

Метод Ньютона.

ТЕМА 10. Поиск экстремумов функций одной и многих переменных.

Постановка задачи.

Определение минимума функции одной действительной переменной. Метод золотого сечения. Метод парабол.

Определение минимума функции многих действительных переменных. Метод спуска по координатам. Метод оврагов. Метод штрафных функций.

Определение минимума функционала. Градиентный метод. Метод сопряженных градиентов.

ТЕМА 11. Методы решения задачи Коши.

Постановка задачи. Классификация методов.

Метод Пикара.

Метод Эйлера.

Метод Рунге-Кутты.

Метод Адамса.

Метод Милна.

ТЕМА 12. Методы решения краевых задач дифференциальных уравнений.

Постановка задачи. Классификация методов.

Метод сведения краевых задач к начальным..

Метод конечных разностей.

Метод стрельбы.

Метод конечных элементов.

РАЗДЕЛ 2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

ФИЗИКИ

ТЕМА 13. Разностные схемы.

Разностные уравнения 1 и 2 порядка.

Построение разностных схем для уравнений в частных производных.

ТЕМА 14. Вариационные задачи.

Метод прогонки.

Метод коллокаций.

Метод Галёркина.

РАЗДЕЛ 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ

ТЕМА 15. Методы решения сеточных уравнений.

Численные методы решения.

Аналитические методы решения.

2.2. Содержание практических занятий 1. Погрешность приближенных вычислений.

Интерполирование алгебраическими многочленами. Сплайн-интерполирование.

Конечные разности. Численное дифференцирование.

Численное интегрирование.

Численное решение нелинейных уравнений методом половинного деления, методом хорд, методом касательных.

6. Численное решение нелинейных уравнений методом простой итерации.

7. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

8. Интерполяционные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Сходимость итерационных методов решения СЛАУ.

1. Определение собственной пары степенным методом.

2. Решение обобщённой задачи собственных чисел и векторов.

3. Решение систем нелинейных уравнений. Метод простой итерации. Метод покоординатной итерации.

4. Решение систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона. Оценка сходимости метода 5. Определение минимума функции одной действительной переменной. Метод золотого сечения. Метод парабол.

6. Определение минимума функции многих действительных переменных. Метод спуска по координатам. Метод штрафных функций.

7. Определение минимума функционала. Градиентный метод. Метод сопряженных градиентов.

8. Методы решения задачи Коши. Метод Пикара. Метод Эйлера.

9. Методы решения задачи Коши. Методы Рунге-Кутта.

10. Методы решения задачи Коши. Многошаговые методы Адамса.

11. Методы решения краевых задач дифференциальных уравнений. Метод конечных 12. Методы решения краевых задач дифференциальных уравнений. Метод стрельбы.

13. Методы решения краевых задач дифференциальных уравнений. Метод прогонки.

14. Построение разностных схем для уравнений в частных производных.

15. Методы решения вариационных задач.

16. Методы решения сеточных уравнений.

3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Основная литература:

Численные методы: Учебное пособие / Н.Н. Калиткин. - 2-e изд., исправленное. - СПб.: БХВ Петербург, 2011. 592 с.: ил. ISBN 978-5-9775-0500-0 Режим доступа:

http://znanium.com/bookread.php?book= Дополнительная литература:

Бахвалов, Н. С. Численные методы [Текст] : учебное пособие для ВУЗов. - 6-е издание. - М. :

БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. - 636с. - (Классический университетский учебник). - Гриф МО "Рекомендовано". - ISBN 978-5-94774-815-4.

Вержбицкий, В. М. Численные методы: Линейная алгебра и нелинейные уравнения [Текст] :

учебное пособие для вузов. - 2-е издание, исправленное. - М. : Оникс 21 век, 2005. - 432 с. - Гриф МО "Рекомендовано". - ISBN 5-329-01110- Вержбицкий, В. М. Основы численных методов [Текст] : учебник для вузов. - М. : Высшая школа, 2002. - 840 с. - Гриф МО "Допущено". - ISBN 5-06-004020-8.

Волков, Е. А. Численные методы [Текст] : учебное пособие. - Издание 4-е, стереотипное. СПб. [и др.] : Лань, 2007. - 256 с. - ISBN 978-5-8114-0538-1.

Гавришина, О. Н. Численные методы [Текст] : учебное пособие / ФГБОУ ВПО "КемГУ". Кемерово, 2011. - 238 с. - Дар КемГУ. - ISBN 978-5-8353-1126-2.

Киреев, В. И. Численные методы в примерах и задачах [Текст] : учебное пособие для вузов. Издание 2-е, стереотипное. - М. : Высшая школа, 2006. - 480 с. - (Прикладная математика для ВТУЗов). - Гриф УМО "Рекомендовано". - ISBN 5-06-004763-6.

Пирумов, У. Г. Численные методы: теория и практика [Текст] : учебное пособие для бакалавров. - 5-е издание, переработанное и дополненное. - М. : Юрайт, 2012. - 421 с. - Гриф МО "Допущено". - Дар издательства "Юрайт". - ISBN 978-5-9916-1867-0.

Численные методы: Учебное пособие / Н.Н. Калиткин. - 2-e изд., исправленное. СПб.: БХВ - Петербург, 2011. - 592 с.: ил. ISBN 978-5-9775-0500-0 Режим доступа:

http://znanium.com/bookread.php?book= Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. - 7-e изд. (эл.). М.: БИНОМ Лаборатория знаний, 2012. - 636 с. ISBN 978-5-9963-0802-6 Режим доступа:

http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=

4. ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО И РУБЕЖНОГО

КОНТРОЛЯ

Формы и порядок проведения контроля. Критерии оценки знаний студента.

Контроль знаний студентов проводится по следующей схеме:

- текущий контроль знаний и умений в течение семестра;

- аттестация по итогам семестра в форме экзамена.

Материалы, определяющие порядок и содержание текущего контроля, включают:

- графики организации самостоятельной работы студентов;

- фонд заданий для самостоятельного освоения курса (вопросы для самостоятельного освоения дисциплины и практические задачи).

Материалы, определяющие порядок и содержание итоговой аттестации, включают - вопросы на экзамен по темам дисциплины.

Форма текущего контроля Проверка выполнения аудиторных практических работ, а также заданий, отведенных Форма итогового контроля Сдача экзамена в конце семестра Для успешного использования численных методов в практической деятельности студент должен усвоить дисциплину в объеме тематического плана и получить практические навыки решения поставленных физических задач численными методами с написанием блоксхем и компьютерных программ.

Удовлетворительным является уровень освоения дисциплины, при котором студент усваивает:

- теоретические сведения: аксиоматический подход к построению методов аппроксимации и интерполяции количественных данных; численные методы дифференцирования и интегрирования; методы решения систем линейных алгебраических уравнений; методы решения нелинейных уравнений и систем; численные методы определения минимума функций и функционалов; методы решения краевых задач и задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений;

- практические навыки: применение известных численных методов и способность использования типовых вычислительных алгоритмов для решения практических задач.

Хорошим является уровень освоения дисциплины, при котором студент дополнительно усваивает:

- теоретические сведения: численные методы решения поставленных задач с оценкой погрешности найденного решения, с оценкой скорости сходимости итерационных процессов;

- практические навыки: применение алгоритмов, построения блок-схем и написание компьютерных программ для решения поставленных физических задач.

Отличным является уровень освоения дисциплины, при котором студент показывает знакомство с дополнительной литературой, способность студента применять численные методы и их модификации к объекту своей научно-исследовательской работы или будущей дипломной работы.

Итоговый контроль.

Настоящая рабочая программа предусматривает экзамен в 5-м и 6-м семестрах.

Критерий оценки на экзамене складывается из следующих показателей:

- уровень усвоения теоретических знаний, показанный при ответе на вопросы по билету (применяются критерии, указанные выше);

- уровень практических навыков, показанный при решении практических задач по билету;

уровень практических навыков при работе в течение семестра.

Оценка «Отлично» на экзамене ставится при отличном ответе на теоретические вопросы при отличных практических навыках.

Оценка «Хорошо» ставится, если студент показывает хорошие теоретические знания при отличных или хороших практических навыках.

Оценка «Удовлетворительно» ставится, если теоретическая либо практическая подготовка студента соответствует удовлетворительному уровню.

Оценка «Неудовлетворительно» ставится, если теоретическая либо практическая составляющая ниже удовлетворительного уровня.

4.2. График организации самостоятельной работы Формы аудиторных учебных занятий (час.)

РАЗДЕЛ 1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНЛИЗА, АЛГЕБРЫ И ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Введение. Погрешность приближенных вычислений 2. Интерполирование алгебраическими многочленами. Сплайнинтерполирование.

3. Оценка производной. Конечные разности.

4. Интерполяционные квадратурные формулы.

5. Численное решение нелинейных уравнений.

6. Прямые методы решения систем линейных алгебраических 7. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

8. Собственные числа. Обобщённая задача собственных чисел и векторов.

9. Решение систем нелинейных 10. Поиск экстремумов функций одной и многих переменных.

11. Методы решения задачи 12. Методы решения краевых

РАЗДЕЛ 2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

РАЗДЕЛ 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ

15.Методы решения сеточных Пояснения:

* см. раздел 2.2 «Вопросы для подготовки к занятиям»

** см. раздел 2.2 «Задачи для решения»

4.3. Вопросы и задания для самостоятельной работы

Раздел 1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

АНЛИЗА, АЛГЕБРЫ И ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 1. Введение. Погрешность приближенных вычислений.

Задачи для самостоятельного решения (1 час СРС):

Все цифры исходных данных верные. Требуется вычислить U ac 2 c / b.

Результаты округлить, оставив верные и одну сомнительную цифры.

Темы 2. Интерполирование алгебраическими многочленами. Сплайнинтерполирование.

(4 часов ауд., 3 час. СРС).

Изучение теоретического материала (1 час. СРС) –лекция № 2, учебник [1], глава II § 1.

Вопросы для подготовки.

1. Смысл метода наименьших квадратов.

2. Задачи и способы аппроксимации линейной, степенной, показательной, логарифмической функциями.

3. Полиномиальная интерполяция функции.

4. Геометрический смысл интерполирования.

5. Интерполяция многочленом Лагранжа.

6. Интерполяция сплайнами.

7. Как сравнить качество зависимостей, аппроксимирующих опытные данные?

8. Какая аппроксимация считается наилучшей при использовании метода наименьших квадратов?

9. Как определить параметры аппроксимирующей прямой?

10. Как "выпрямить" опытные данные при подборе нелинейной аппроксимации?

Задачи для самостоятельного решения (2 часа СРС):

Для заданной таблицы опытных данных методом наименьших квадратов найти линейную аппроксимацию. Построить заданные точки и найденную прямую.

Для заданной таблицы определить наилучшую аппроксимацию из набора: y=ax+b, y=axb, y=aebx. Построить заданные точки и аппроксимирующую кривую.

Для функции, заданной таблично в точках x0, x1, x2, x3, построить интерполяционный многочлен S 3 ( x), используя кубические Тема 3. Оценка производной. Конечные разности.

Изучение теоретического материала (1 час. СРС) – лекция № 3, учебник [1], глава III.

Вопросы для подготовки.

1. Конечные разности.

2. Численное дифференцирование и оценка погрешности на основе интерполяционной формулы Лагранжа.

3. Численное дифференцирование и оценка погрешности на основе интерполяционной формулы Ньютона.

Задачи для самостоятельного решения (2 часа СРС):

1. Для функции, заданной таблично в точках x0, x1, x2, x3, построить интерполяционный многочлен Лагранжа Для заданной табличной функции найти приближенное значение функции в точках x1 =1,411, x 2 =2,88 и значение производной в точке x3 =1,411.

Тема 4. Интерполяционные квадратурные формулы Изучение теоретического материала (1 час. СРС) – лекция № 4, учебник [1], глава IV, § 1.

Вопросы для подготовки.

1. Постановка задачи численного интегрирования.

2. Формула трапеции.

3. Формула Симпсона.

Задачи для самостоятельного решения (2 часа СРС):

при n =12. Оценить погрешность полученных результатов.

Тема 5. Численное решение нелинейных уравнений Изучение теоретического материала (2 час. СРС) – лекция № 5, учебник [1], глава V, § 2.

Вопросы для подготовки:

1. Этапы решения нелинейных уравнений.

2. Метод половинного деления.

5. Комбинированный метод.

6. Метод простой итерации.

7. Сходимость метода простой итерации.

Задачи для самостоятельного решения (2 часа СРС):

Найти наименьший положительный корень уравнения f ( x) 0, где f ( x) tgax bx (а=0,6319; b=0,9217).

Найти больший корень уравнения f ( x) 0, где f ( x) ln(ax) bx c (a=0,3049;

b=0,34365; c=0,5).

f ( x) a sin bx cx (a=0,33; b=2,3; c=0,5).

Тема 6. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Изучение теоретического материала (2 час. СРС) – лекция № 6, учебник [1], глава V, § 1.

Вопросы для подготовки.

1. Постановка задачи.

3. Метод Жордана-Гаусса.

4. Метод Холецкого.

Задачи для самостоятельного решения (4 часа СРС):

1. Используя метод Гаусса и Жордана-Гаусса, решить систему линейных уравнений:

2. Используя метод Холецкого, решить приведенную выше систему линейных уравнений.

Тема 7. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Изучение теоретического материала (2 час. СРС) – лекция № 7, учебник [1], глава V, § 3.

Вопросы для подготовки.

1. Метод простой итерации для решения СЛАУ. Оценка сходимости метода.

2. Метод Зейделя для решения СЛАУ.

3. Метод сопряженных градиентов для решения СЛАУ.

Задачи для самостоятельного решения (3 часа СРС):

Используя метод простых итераций, найти корень уравнения f ( x) 0 при заданных значениях коэффициентов:

- f ( x) a sin bx cx, a=9,33; b=6,977; c=7,25;

- f ( x) aebx x, a=0,9737; b=0,5067.

Тема 8. Собственные числа. Обобщённая задача собственных чисел и векторов.

Изучение теоретического материала (2 час. СРС) – лекция № 8, учебник [1], глава VI, § 2, 4.

Вопросы для подготовки:

1. Что такое собственный вектор матрицы? Что такое собственное число матрицы?

2. Какой вид принимает матрица в базисе из собственных векторов?

3. В чем смысл метода непосредственного развертывания?

4. На чем основан степенной метод? Что он позволяет найти?

5. От чего зависит точность степенного метода?

6. Что позволяет найти метод вращен6ия Якоби?

Задачи для самостоятельного решения (4 часа СРС):

Определить собственную пару степенным методом для матрицы Решить полную задачу собственных значений и собственных векторов для матрицы Тема 9. Решение систем нелинейных уравнений.

Изучение теоретического материала (2 час. СРС) – лекция № 9, учебник [1], глава V, § 3.

Вопросы для подготовки:

1. Всегда ли возможно численное решение систем нелинейных уравнений?

2. Какой вид имеет рекуррентная формула в методе простых итераций?

3. При каком условии метод простых итераций сходится?

4. Чем отличается метод покоординатной итерации от метода простых итераций?

5. Кокой из методов (простых итераций или покоординатной итерации) сходится 6. В чем состоит идея метода Ньютона?

Задачи для самостоятельного решения (4 часа СРС):

Решить систему нелинейных уравнений методом простых итераций с погрешностью 0, Решить обозначенную выше систему нелинейных уравнений методом покоординатной итерации с погрешностью 0, Тема 10. Поиск экстремумов функций одной и многих переменных.

Изучение теоретического материала (2 час. СРС) – лекция № 10, учебник [1], глава VII, § 1-4.

Вопросы для подготовки:

1. В чем геометрический смысл градиентного метода?

2. Какие условия накладываются на функцию при определении глобального минимума?

3. Как влияет начальное приближение на определение минимума функции?

4. Как влияет длина шага на определение минимума функции?

5. Каким образом задается длина шага?

6. Как определяется длина шага на каждой итерации?

Задачи для самостоятельного решения (4 часа СРС):

Определить минимум функции одной переменной f ( x) x 4 x 2 на интервале a, b методом золотого сечения с точностью до 0,1.

Определить минимум функции одной переменной f ( x) x 4 x 2 на интервале a, b методом парабол с точностью до 0,1.

Оценить, как влияет выбор начального приближения в методе парабол.

Определить минимум функции двух переменных z ( x, y) 3x 2 2 y 2 5xy градиентным методом с точностью до 0,1 и начальным приближением x (0) 1, y (0) 2.

Тема 11. Методы решения задачи Коши.

Изучение теоретического материала (2 час. СРС) – лекция № 11, учебник [1], глава VIII, § 1.

Вопросы для подготовки:

1. Постановка задачи. Классификация приближенных методов.

2. Метод Эйлера.

3. Методы Рунге-Кутта.

Задачи для самостоятельного решения (4 часа СРС):

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения методом Эйлера Решить задачу Коши для дифференциального уравнения методом Рунге-Кутты Тема 12. Методы решения краевых задач дифференциальных уравнений.

Изучение теоретического материала (2 час. СРС) – лекция № 12, учебник [1], глава VIII, § 2.

Вопросы для подготовки:

1. Постановка краевой задачи дифференциальных уравнений.

2. Классификация методов решения краевых задач.

3. Метод сведения краевых задач к начальным.

4. Метод конечных разностей.

5. Метод стрельбы.

6. Метод конечных элементов.

Задачи для самостоятельного решения (4 часа СРС):

Решить краевую задачу методом стрельбы:

Решить краевую задачу методом прогонки:

Раздел 2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Тема 13 Разностные схемы.

Изучение теоретического материала (2 час. СРС) – лекция № 13, учебник [1], глава IX, § 2-4.

Вопросы для подготовки:

1. Построение сеточных уравнений 1 порядка.

2. Построение сеточных уравнений 2 порядка.

3. Порядок аппроксимации разностных схем.

Задачи для самостоятельного решения (4 часа СРС):

Составить разностную схему для дифференциального уравнения 1-го порядка 2. Составить разностную схему для дифференциального уравнения 2-го порядка Тема 14. Вариационные задачи.

Изучение теоретического материала (2 час. СРС) – лекция № 14, учебник [1], глава X/ Вопросы для подготовки:

1. Постановка задач для уравнений математической физики.

2. Некоторые разностные схемы решения уравнений теплопроводности.

3. Аппроксимация, устойчивость, сходимость разностных схем для уравнений теплопроводности.

Задачи для самостоятельного решения (4 часа СРС).

Раздел 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 17. Методы решения сеточных уравнений.

Изучение теоретического материала (2 час. СРС) – лекция № 15, учебник [1], глава XII, § 2.

Вопросы для подготовки:

1. Метод прогонки.

2. Метод коллокаций.

3. Метод Галёркина.

Задачи для самостоятельного решения (4 часа СРС):

Найти приближенное решение краевой задачи методом коллокаций 4.4. Примерный перечень вопросов к экзамену ТЕМА 1. Погрешность приближенных вычислений.

1. Погрешность приближенных вычислений. Абсолютная и относительная погрешность.

2. Погрешность вычисления функции, при известной погрешности аргументов.

3. Погрешность суммы, разности, произведения, частного.

4. Погрешность представления числа. Значащая, верная и сомнительная цифра.

5. Правило округления чисел.

ТЕМА 2. Интерполирование алгебраическими многочленами. Сплайн-интерполирование.

6. Смысл аппроксимации данных.

7. Суть метода наименьших квадратов, его геометрическая интерпретация.

8. Аппроксимация данных линейной, степенной, показательной и логарифмической 9. Задача и способы аппроксимации функции.

10. Постановка задачи интерполяции. Геометрический смысл интерполирования.

11. Способы решения задачи полиномиальной интерполяции.

12. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

13. Погрешность интерполяции по формуле Лагранжа.

14. Смысл экстраполяции.

15. Определение интерполяционного сплайна.

16. Локальные и глобальные базисные функции.

17. Интерполяционные формулы Ньютона для равноотстоящих узлов.

ТЕМА 3. Оценка производной. Конечные разности.

18. Конечные разности.

19. Простейшие аналоги первой производной для системы равноотстоящих узлов.

20. Вычисление производной в крайних и внутренних точках интервала.

21. Оценка погрешности f (k ) ( x) при приближении интерполяционным многочленом 22. Оценка точности численного дифференцирования.

ТЕМА 4. Интерполяционные квадратурные формулы.

23. Постановка задачи численного интегрирования.

24. Интерполяционные формулы прямоугольников, трапеций.

25. Интерполяционная формула Симпсона и оценку погрешности для нее.

ТЕМА 5. Численное решение нелинейных уравнений. Сходимость итерационных методов.

26. Постановка задачи решения нелинейных уравнений. Этапы решение нелинейных 27. Метод половинного деления. Его геометрический смысл.

28. Метод хорд. Его геометрический смысл.

29. Метод касательных. Его геометрический смысл.

30. Комбинированный метод. Его геометрический смысл.

31. Метод простой итерации.

32. Определение скорости сходимости итерационного метода.

ТЕМА 6. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

33. Постановка задачи решения СЛАУ прямыми методами.

34. Метод Гаусса. Этапы метода. Способ контроля ошибок вычисления.

35. Метод Жордана-Гаусса.

36. Метод Холецкого.

ТЕМА 7.Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

37. Постановка задачи решения СЛАУ итерационными методами.

38. Метода Зейделя.

39. Достаточное условие сходимости метода Зейделя.

40. Метод простой итерации.

41. Смысл сжимающих отображений. Его графическое представление.

42. Достаточное условие сходимости метода простой итерации.

ТЕМА 8. Собственные числа. Обобщённая задача собственных чисел и векторов.

1. Собственное число и собственный вектор матрицы.

2. Геометрический смысл задачи об определении собственного числа и собственного 3. Частичная и полная задачи на определение собственных значений и собственных векторов матрицы.

4. Степенной метод определения собственных значений и собственных векторов матрицы.

5. Метод Якоби для решения полной задачи собственных чисел и собственных векторов матрицы.

ТЕМА 9. Решение систем нелинейных уравнений.

6. Постановка задачи решения СНУ.

7. Метод простой итерации.

8. Метод покоординатной итерации.

9. Метод Ньютона.

10. Градиентный метод.

ТЕМА 10. Поиск экстремумов функций одной и многих переменных.

11. Постановка задачи определения экстремума функции.

12. Типы рельефов и линий уровня..

13. Определение минимума функции одной действительной переменной. Метод золотого сечения. Метод парабол.

14. Определение минимума функции многих переменных. Метод спуска по координатам. Метод оврагов.

15. Определение минимума функции многих переменных в ограниченной области. Метод штрафных функций.

ТЕМА 11. Методы решения задачи Коши.

16. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Постановка задачи Коши для дифференциальных уравнений.

17. Аналитические методы решения. Метод Пикара.

18. Графический метод решения. Метод Эйлера. Применение формулы Тейлора для оценки погрешности метода Эйлера.

19. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Метод РунгеКутта.

20. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Многошаговый метод Адамса и Милна.

ТЕМА 12. Методы решения краевых задач дифференциальных уравнений.

21. Методы приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Постановка задачи.

22. Метод стрельбы.

23. Метод конечных разностей.

ТЕМА 13. Разностные схемы.

24. Разностные уравнения 1 и 2 порядка.

25. Построение разностных схем для уравнений в частных производных.

ТЕМА 14. Вариационные задачи.

26. Метод коллокаций.

27. Метод прогонки.

28. Метод Галеркина.