ИССЛЕДОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ СТРУКТУР СЛОЖНЫХ

ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ФРАКТАЛЬНЫМИ МЕТОДАМИ

Ярмоленко И.С., студент

Международный независимый эколого-политологический университет

(МНЭПУ)

Введение

Актуальность темы статьи заключается в том, что количественное

описание пространственной структуры сложных динамических систем с

использованием фрактального подхода позволяет выделять иерархические уровни структурной организации этих систем, строить модели, воспроизводящие иерархическую структуру пространственной организации динамических объектов. С помощью фракталов эти структуры можно создавать и использовать в компьютерных программах.

Широкий круг актуальных проблем современной наук

и и техники, включая связан с разработкой все усложняющихся методов исследования объектов со сверхсложной структурой.

Задача описания связи структуры со свойствами требует привлечения нетрадиционных методов исследования и обработки информации.

Традиционные количественные методы описания структур используют статистический подход. Большинство структур, поддающихся статистическому описанию "в среднем", тем не менее, являются неоднородными, и этой неоднородностью в большинстве случаев определяется пригодность конкретных изделий для тех или иных целей.

Привлечение концепции фракталов, основанной на использовании общего понятия меры, позволяет одновременно описывать универсальным образом как самоподобие вместе с его границами, так и неоднородность структур объектов самой различной природы, причем неоднородность даже стабильных структур может нести информацию о динамике их формирования или изменения.

Использование концепции фракталов позволяет давать адекватную количественную оценку не только конфигурации исследуемой структуры в целом, но так же неоднородности распределения на ней геометрических, физических, химических и др. характеристик, соответственно природе изучаемой структуры, что невозможно достигнуть обычными методами.

Имеющийся опыт в области численного фрактального описания изображений структур самой различной природы показывает его эффективность при анализе скрытых процессов, т.е. таких процессов, которые нельзя наблюдать непосредственно, но при этом они существенно влияют на характеристики изучаемых систем.

В теории фрактальных систем выполнено большое количество работ отечественными учеными. Особенно интересные работы связаны с мультифрактальным анализом изображений динамических систем выполненных Учаевым Д.В., Малиниковым В.А., Никольским А.Е.1.

В настоящее время широкий круг актуальных проблем географии, картографии, геоморфологии и других наук о Земле связан с анализом по данным дистанционного зондирования Земли пространственной структуры сложных природных систем. Используемые при этом методы, в большинстве своем, базируются на приближенном представлении структур геометрическими объектами с целыми размерностями (точками, линиями, поверхностями). Основным недостатком такого рода методов является то, что они характеризуют структуру на одном либо нескольких масштабных уровнях, не позволяя получить масштабно-инвариантного описания Мультифрактальный математический анализ синергетических структур // Труды Международной научнопрактической интернет-конференции «Перспектива и развитие». – М.: МФТИ, 2004. (соавторы Малинников В. А., Никольский А. Е., Учаев Д. В.).

Мультифрактальная параметризация геопространственных структур // Труды Международной научнотехнической конференции, посвященной 225-летию МИИГАиК. – М.: МИИГАиК, 2004. С. 163- (соавторы Малинников В. А., Никольский А. Е., Учаев Д. В.).

Современные математические методы параметризации изображений синергетических объектов. Учебное пособие. – М.: МГГИИ, 2005. – 98 с., ил. 20. (соавтор Никольский А. Е.).

Мультифрактальные методы исследования речных систем // Труды 7-го международного научнопромышленного форума «Великие реки 2005». (соавторы Савиных В. П., Малинников В. А.).

Методика получения канонических спектров при мультифрактальном анализе цифровых изображений.

Обозрение прикладной и промышленной математики, 2006, т.13, в. 3, с. 516-517. (соавторы Малинников В.

А., Учаев Д. В.).

Мультифрактальные методы исследования речных систем // Рациональное природопользование, промышленная экология и дистанционные методы: Сб. науч. Трудов. – М.: ГУЗ, 2006. – С. 98-104.

природных структур. Таким образом, все эти методы не учитывают одного из важнейших качеств систем – целостности, выражающейся в принципиальной несводимости свойств системы к сумме свойств составляющих ее элементов и не выводимости из последних свойств системы.

Преодолеть указанные трудности позволяет фрактальный подход, уже нашедший применение при описании пространственной структуры таких сложных природных систем, как ландшафты речных долин, лесные экосистемы, горные ландшафты. Количественное описание пространственной структуры природных систем с использованием фрактального подхода позволяет выделять иерархические уровни структурной организации природных систем, строить модели, воспроизводящие иерархическую структуру пространственной организации природных систем, а также формулировать гипотезы о возможных механизмах их генезиса.

Классификации фракталов В основном фракталы делят на геометрические, алгебраические и стохастические.

Геометрические фракталы В двухмерном случае фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора.

Примерами таких кривых служат:

кривая дракона;

кривая Коха;

К геометрическим фракталам также относят фракталы, получаемые похожими процедурами, например:

множество Кантора;

треугольник Серпиньского;

коврик Серпиньского;

Алгебраические фракталы Для построения алгебраических фракталов используются итерации нелинейных отображений, задаваемых простыми алгебраическими формулами.

Наиболее изучен двухмерный случай. Нелинейные динамические системы могут обладать несколькими устойчивыми состояниями. Каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, при которых система обязательно в него перейдет. Таким образом, фазовое пространство разбивается на области притяжения аттракторов.

Если фазовым является двухмерное пространство, то, окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Алгоритм построения достаточно прост и основан на итеративном выражении:

где F(z) — какая-либо функция комплексной переменной.

Для всех точек прямоугольной или квадратной области на комплексной плоскости вычисляем достаточно большое количество раз zi + 1 = F(zi), каждый раз находя абсолютное значение z. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости могут иметь разное поведение:

С течением времени | z | стремится к бесконечности;

| z | принимает несколько фиксированных значений и не выходит за Поведение | z | хаотично, без каких-либо тенденций.

Одним из самых распространённых способов раскрашивания точек будет сравнение | z | с заранее выбранным числом, которое считается «бесконечным», т. е. цвет точки равен номеру итерации, на которой | z | достиг «бесконечности», или чёрному в противном случае.

Также можно изменить вид фрактала, если контроль значения z вести другим образом, например:

Действительная часть z меньше определённого числа;

Мнимая часть z меньше определённого числа;

И мнимая и действительная части z меньше какого-либо числа;

Другие способы.

И, наконец, ещё один интересный эффект — изменение палитры. После того, как изображение построено, можно циклически изменять цвета закрашенных областей, и тогда и без того удивительное изображение «оживёт» на экране.

Примеры алгебраических фракталов:

множество Мандельброта;

множество Жюлиа;

бассейны Ньютона;

Стохастические фракталы Все природные объекты создаются по капризу природы, в этом процессе всегда есть случайность. Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими. Эти фракталы наиболее интересны для физиков, так как находят свое отражение в физических процессах.

Соотношение случайности и закономерности может быть разным.

Топологическая размерность Топологическая размерность отрезка линии равна 1, квадрата - 2, куба В простых явлениях она характеризует зачастую (но не всегда!) количество степеней свободы или количество параметров, необходимых для однозначного задания любой точки множества.

математики. Строгое математическое определение для метрических и топологических пространств пренадлежит Лебегу и иногда этот вид размерности называется размерность Лебега. Так же свой вклад внесли Урысон и Брауэр.

Топологическая размерность определяется индуктивным способом, поэтому её еще иногда нызавют индуктивной размерностью.

обладающее тем свойством, что при любом существует конечное При этом -покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр, а кратностью конечного покрытия пространства X называется наибольшее такое целое число k, что существует точка пространства X, содержащаяся в k элементах данного покрытия.

салфетка Серпиньского, коврик Серпиньского, губка Менгера.

Обобщение формул для объема n-мерных тел.

Одной из предпосылок для введения дробных размерностей служат формулы объемов n-мерных тел, которые плавным образом зависят от n.

Например объем n-мерного куба Vкуба = Ln, nN. Для евклидовых пространств n принимает только неотрицательные целые значения. Формула легко обобщается. Для пространств, задаваемых фрактальными множествами n может принимать вещественные неотрицательные значения. Vкуба = LD где D R+.

Соответствующее обобщение можно сделать для шара [6] Точный объем шара Vшара = rD (D) где (D) = Г(1/2)D / Г(1+D/2) где Г – непрерывная функция. Для целых чисел Г(n+1)=n!

Для рациональных - Г(x) = o exp(-t) tx-1dt, Размерность Минковского Предыдущее обобщение служит поводом для обобщение рамерности для компактного множества Аn. Приведем краткое определение. Для этого аппроксимируем А объединением шаров и просуммируем их объемы (или меры в общем случае).

Пусть N() — минимальное число шаров радиса, необходимых для пропорционален N()D. При 0, N()const / D. Логарифмируем и получаем ln N()ln const - D ln().

ln const - ln N() При 0 значение ln(const) пренебрежимо мало по сравнению с ln(N()) Таким образом приходим к определению размерности Минковского:

Путем подмены метрики доказывается, что вместо шаров могут быть использованы кубы.

Следует отметить, что нахождение минимального числа шаров - не тривиальная задача.

Рассмотрим пример: пусть А есть единичный отрезок в пространстве n. Его можно покрыть N шарами радиуса 0.5/N.

Компютерные модели фракталов Для большинства физических приложений исследуются одно, двух и трехмерные множества. Наиболее удобными являются покрытия с помощью отрезков, квадратов или кубов в виде ломанной линии, сетки или решетки соответственно. С помощью ЭВМ невозможно представить фрактал полностью во всех его деталях. Обычно точность вычислений не превышает несколько десятков знаков после запятой, что не позволяет представить мелкие или очень крупные части. Фрактал в ЭВМ можно представить как минимум тремя способами. Приведенное ниже описание легко обобщается на случаи большей размерности.

Клеточный, решетчатый или растровый способ. В этом способе пространство представлено в виде програмного массива чисел.

Например: var space : array [1..L,1..L] of boolean; Если space[i,j] = true значит элемент принадлежит фракталу и наоборот. i,j – целые числа.

Векторный способ. Это более точный способ. Элементы фрактала представлены в виде элементарных фигур, которые задаются векторно.

В этом случае для того, что бы определить, принадлежит ли точка (x,y) необходимо перебрать элементы фрактала и вычислить, попадает эта точка хоть в один элемент. x и y – числа с плавающей точкой.

Функциональный способ. В данном способе что бы определить принадлежит ли точка (x,y) необходимо вычислить функцию F(x,y) и проанализировать полученное значение. На самом деле все способы сводятся к функциональному способу. Просто, некоторые функции могут вычислятся аналитически, а некоторые обращаться к массивам данных для получения результата. Мы будем ссылаться на этот метод имея ввиду, что исползуются аналитические функции.

Для моделирования 3х-мерных физических стохастических фракталов применим векторный метод. Растровый метод вообще мало применим для 3х мерного моделирования. А аналитические функции, описывающие что-либо физическое стохастическое достаточно редки. Можно придумать пример, основанный на алгоритмах генерации случайных чисей, которые при одних и тех же (х,у,z) возвращают одинаковые значения. Например: F(x,y,z) = f(x,y,z) + MD5(x,y,z, r), где f – аналитическая функция, r – константый случайный параметр, MD5 – функция вычисления MD5 суммы. Но этот способ требует тщательного вероятностного анализа получаемых значений что бы результат был близок к какой-нибудь физической задаче.

Таблица 1. Применимость методов моделирования.

Так же кратко стоит упомянуть о методах построения фрактала. Для постоения геометрических фракталов используется Система Итерируемых Функций. Для алгебраических используются итерации нелинейных отображений, задаваемых простыми алгебраическими формулами. Для стохастических, все зависит от природы фрактала и сотношения закономерности и случайностей.

Фрактальные модели динамических объектов Основными строительными блоками для создания математических моделей динамических систем по наблюдениям являются оценки плотности распределения и функции регрессии. Классические параметрические оценки этих функций гораздо проще для человеческого восприятия и лучше приспособлены для анализа, чем непараметрические оценки. Поэтому постоянно предпринимаются попытки построения оценок параметрического вида в условиях непараметрической неопределенности. Это направление можно назвать оценкой параметризации моделей. Бенуа Мандельброт ввел понятие фрактала и фрактальной геометрии для описания реальных объектов геометрических объектов, известный под названием кривой Коха. Возьмем отрезок прямой единичной длины, назовем его инициатором (Ко) и разделим на три равные части. Теперь среднюю часть выкинем и заменим ее двумя такими же отрезками, равными 1/3 от первоначального и соединенными друг с другом и оставшимися отрезками, получив, таким образом, второе приближение - ломаную линию, составленную из четырех отрезков равной длины и назовем ее генератором (К,). Далее каждый прямой отрезок получившейся ломаной линии будем преобразовывать согласно этому алгоритму. Будем повторять эту операцию до бесконечности, поскольку в математике нет понятия предела делимости материи. Каждый раз мы делим отрезок на 3 части, среднюю выбрасываем и добавляем ломаную линию, в результате чего первоначально прямой инициатор постепенно превращается во все более длинную изощренного характера ломаную линию, как показано на рис. 1.

Поскольку на каждом шаге каждый отрезок разбивался на три части (а мог бы и на четыре и более), то в итоге получаем фигуру, названную Мандельбротом триадный терагон (от греческого слова терос - чудовище, странное создание) Коха, длина стороны которого е при каждом шаге уменьшается, стремясь в пределе к бесконечно малой величине, но число таких сторон адекватно увеличивается, стремясь к бесконечно большой величине.

При этом при каждом шаге длина кривой Коха L(е) увеличивается на треть и при бесконечном числе шагов длина линии бесконечна. На первом шаге алгоритма длина отрезка 8 составляет 1/3 от первоначальной. Тогда длина кривой Коха вычисляется просто:

L= 4*1/3=4/3=1, На втором шагу алгоритма длина элементарного отрезка е = 1/9, соответственно длина кривой:

На третьем шагу алгоритма е = 1/27. И длина кривой:

L=64* 1/27=64/27=2, Процесс этот можно продолжить до бесконечности, заметив, что с увеличением числа шагов n длина элементарного отрезка е стремится к 0, а длина кривой L стремится к бесконечности:

где:

и из этих выражений получаем:

n = (1/1nЗ)*ln(1/е).

Подставляя n получим:

L= exp[n*ln(4/3)]=exp[(ln(4/3)/ln3]*ln(l/e) Обозначив D=ln4/ln3, получаем:

Из последнего соотношения видно, что постоянным показателем при любом шаге остается только величина D, поскольку она не зависит от масштаба измерения и является характеристикой линии "кривая Коха". Она называется фрактальной размерностью. С геометрической точки зрения фрактальная размерность является показателем того, насколько плотно эта линия заполняет плоскость или пространство. Аналогичным образом можно рассчитать фрактальную размерность других регулярных фракталов, например, плоского регулярного фрактала - салфетки Серпинского и множества других, измышленных математиками.

Логарифмируя, получим D=ln(4)/ln(3) = 1,2618. Получается, что фрактальная размерность кривой Коха больше, чем у линии, но меньше, чем у плоскости. На самом деле мы имеем дело с особым физическим (или математическим) объектом, относящимся к классу множеств. В зависимости от того, как мы его измеряем, он меняет свои параметры, а, возможно, и свойства. Это уже не линия, но еще и не полноценная плоскость. Кривую Коха можно растянуть в прямую линию, поэтому ее топологическая размерность равна единице. Фрактальная размерность, равная 1,2618 больше топологической, что и говорит о том, что кривая является структурой, отличной от линии, но еще не ставшей плоскостью.

исследование изображений динамических объектов Методика фрактального анализа изображений взволнованной морской поверхности. Функция изображения взволнованной морской поверхности, играет важную роль в физике моря. С одной стороны, она представляет спектр фрактальных поверхность. А с другой, представляет статистику значений уклонов Действительно, примем для простоты размер ячейки покрытия 1. Тогда вероятность нахождения частицы в ячейки с номером i определяется формулой pi ~ (1 / L), где L — размер образца в единицах. В случае вероятности pi можно рассматривать как значения квадрата модуля уклона морской поверхности (ri ) учитывая, что ln p / ln L, и принимая во внимание, что вблизи своего определяемой параметрами 0 и D f (0 ), получаем, что функция плотности величину получаем, что квадрат модуля уклона также распределен поверхности. Полученные результаты с одной стороны подтверждают фрактальность взволнованной морской поверхности, а с другой, позволяют предложить новый фрактальный метод оценки плотности распределения значений квадрата модуля уклона морской поверхности.

Данная методика включает в себя следующие три вычислительных этапа:

1. Предварительная обработка аэрокосмических снимков.

2. Выделение на снимках участков с характерным типом волнений.

3. Фрактальный анализ выделенного фрагмента изображения.

4. Структурно-статистическое описание фрагментов изображений взволнованной морской поверхности при помощи полученных фрактальных характеристик.

Методика оценки эффективности мероприятий по тушению лесных пожаров на основе анализа результатов обработки данных спутниковых наблюдений. Основу предлагаемой методики оценки эффективности проведенных мероприятий по тушению лесных пожаров составляют сведения о площадях, пройденных огнем, содержащиеся в базе данных Информационной Системы Дистанционного Мониторинга лесных пожаров (ИСДМ «Рослесхоз»).

В основу методики положены следующие положения:

При беспрепятственном распространении пожара имеет место линейная зависимость площади, пройденной огнем, от времени в логарифмических осях. При этом угол наклона регрессионной прямой может значительно превосходить значение фрактальной размерности Dмод перколирующего кластера лесного пожара и, как правило, не опускается ниже некоторого критического значения Dкр.

распространения пожара линейная зависимость между площадью, пройденной огнем, и временем в логарифмических осях сохраняется, однако угол наклона регрессионной прямой не превосходит Dмод. В данной методике эффективным считается систематическое вмешательство человека на всех этапах развития пожара, при котором принятых мер по тушению оказывается достаточно, чтобы минимизировать скорость вовлечения новых территорий в пожар.

В ходе экспериментальных исследований было обнаружено, что величину Dкр можно принять равной 1,8. В свою очередь, зависимость площади, пройденной огнем, от времени в логарифмических осях можно считать линейной, если значения коэффициента корреляции R, лежат в диапазоне от 0,85 до 1. На основе всего вышесказанного можно заключить, что в совокупности величины R и D могут использоваться для оценки эффективности проведенных мероприятий по тушению лесных пожаров (см.

табл. 2).

Таблица 2. Оценка эффективности принятых мер по тушению лесных Общая оценка принятых мер Эффективные 0,85 – 1 < 0, Неэффективные 0,85 – 1 вмешательство человека в процесс тушения Таким образом, методика оценки эффективности принятых мер по тушению лесных пожаров будет включать в себя следующие этапы: