МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова

Математический факультет

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по развитию образования

_Е.В.Сапир "_"2012 г.

Рабочая программа дисциплины послевузовского профессионального образования (аспирантура) Теория нормальных и квазинормальных форм по специальности научных работников 01.01.02 Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Ярославль 1. Цели освоения дисциплины.

Целями освоения дисциплины «Теория нормальных и квазинормальных форм» в соответствии с общими целями основной профессиональной образовательной программы послевузовского профессионального образования (аспирантура) (далее - образовательная программа послевузовского профессионального образования) являются:

1) формирование у аспирантов представлений о методах исследования нелинейных динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством;

2) овладение современными методами нахождения асимптотических формул для инвариантных характеристик устойчивых режимов нелинейных динамических систем.

2. Место дисциплины в структуре образовательной программы послевузовского профессионального образования Данная дисциплина относится к разделу обязательные дисциплины (подраздел дисциплины по выбору аспиранта) образовательной составляющей образовательной программы послевузовского профессионального образования по специальности научных работников 01.01.02 Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.

Для ее успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин по программам специалитета или бакалавриата – магистратуры: математический анализ, функциональный анализ, линейная алгебра и дифференциальные уравнения.

Знания и умения, приобретенные аспирантами в результате изучения дисциплины, будут использоваться при написании диссертационной работы.

3. Требования к результатам освоения содержания дисциплины «Теория нормальных и квазинормальных форм»

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать - общие принципы построения нормальных форм обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений, - понятие коразмерности критических случаев, - утверждения о соответствии между решениями динамической системы и ее нормальной или квазинормальной формы;

Уметь - находить нормальную форму системы обыкновенных дифференциальных или разностных уравнений второго порядка, - исследовать квазимногочлены на устойчивость, - находить квазинормальную форму краевой задачи параболического типа, - находить квазинормальную форму сингулярно возмущенных уравнений с запаздыванием.

4. Структура и содержание дисциплины.

Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц, 216 часов.

Курс Раздел Виды учебной работы, Формы текущего Неделя Дисциплины включая самостоятельную ра- контроля успеваемости боту обучающихся, и трудоем- (по неделям) кость (в часах) Форма промежуточной аттестации Форма обуч.:

очная/заочная Лабораторных Сам. работа Практических Лекций работыКонтроль сам.

точек динамических систем с непрерывным и дискретным стем ОДУ. Нормализация Пуанкаре-Дюлака.

мы в простейших случаях Критические случаи коразмерности один.

окрестности критической точки коразмерности два. (Обзор бифуркаций коразмерности ской системы в случае двух резонансных пар собственных чисел (коразмерность три).

стем параболического типа.

Алгоритмическая часть.

критических переменных.

задачах гиперболического Свойства корней характеристического квазимногочлена.

систем с запаздыванием. Доказательство основной теоремы.

Тема 1. Устойчивость неподвижных точек динамических систем с непрерывным и дискретным временем Тема 2. Качественный анализ динамических систем.

Тема 3. Алгоритмы нормализации систем ОДУ. Нормализация Пуанкаре-Дюлака.

Тема 4. Теорема о центральном многообразии.

Тема 5. Описание основного алгоритма.

Тема 6. Структура нормальной формы в простейших случаях Критические случаи коразмерности один. Транскритическая и вилообразная бифуркации. Бифуркация Андронова-Хопфа.

Тема 7. Нормальная форма в окрестности критической точки коразмерности два. Обзор бифуркаций коразмерности два. Нулевое собственное число кратности два.

Нулевое и пара чисто мнимых собственных чисел. Две пары чисто мнимых собственных чисел без резонансов.

Тема 8. Нормальная форма динамической системы в случае двух резонансных пар собственных чисел (коразмерность три).

Тема 9. Алгоритмы нормализации отображений.

Тема 10. Квазинормальные формы систем параболического типа. Алгоритмическая часть. Формулировка основной теоремы. Общие свойства системы в вариациях на автомодельном цикле.

Тема 11. Разделение критических и некритических переменных в обыкновенной части, линеаризованной на приближенном цикле краевой задачи. Галеркинские аппроксимации в проблеме частичного разделения критических и некритических переменных при учете диффузии. Регулярность дифференциального оператора, связанного с уравнением в вариациях.

Тема 12. Пример уравнения Хатчинсона. Постановка задачи и формулировка основного результата. Лемма об отсутствии взрывной диффузионной неустойчивости.

Разделение критических и некритических переменных в обыкновенной части линеаризованной на приближенном периодическом решении краевой задачи. Явный вид проекторов. Критические и некритические переменные линеаризованной на приближенном периодическом решении краевой задачи. Доказательства основного результата.

Тема 13. Квазинормальные формы в задачах гиперболического типа. Высокомодовая буферность в RCLG-линии. Явление буферности в RCLG-линии с малыми искажениями. Автоколебания в системе Витта при резонансном спектре собственных частот.

Тема 14. Метод квазинормальных форм для сингулярно возмущенных систем с запаздыванием. Постановка проблемы. Свойства корней характеристического квазимногочлена.

Тема 15. Квазинормальные формы для систем с запаздыванием. Доказательство основной теоремы.

5. Образовательные технологии:

лекции, лабораторные работы.

6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы обучающихся В качестве средств текущего контроля используются 2 контрольные работы (контрольно-тестовые материалы в приложении) и 2 лабораторные работы.

Промежуточная аттестация (зачет) дает возможность выявить уровень профессиональной подготовки аспиранта по данной дисциплине.

1. На плоскости параметров, системы где – малый положительный параметр, построить область, для которой реализуется бифуркация Андронова – Хопфа.

2. Докажите, что корни квазиполинома лежат в левой комплексной полуплоскости 3. Численно определите первые 5 пар корней квазиполинома 1. Построить асимптотику корней квазиполинома лежащих в окрестности мнимой оси, при достаточно малом положительном.

2. Построить квазинормальную форму уравнения Хатчинсона с диффузией.

1. Алгоритмическая часть метода квазинормальных форм для систем параболического типа.

2. Найти значения параметра r, при которых корни квазиполинома лежат на мнимой оси.

3. Построить нормальную форму системы и выяснить при каких значениях и она имеет в окрестности нуля орбитально устойчивый предельный цикл.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Теория нормальных и квазинормальных форм»

а) основная литература:

1. Глызин, С.Д. Локальные методы анализа динамических систем: учебное пособие / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль: ЯрГУ, 2006.

2. Глызин, С.Д. Метод квазинормальных форм: учебное пособие / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль: ЯрГУ, 2011.

б) дополнительная литература:

1. Колесов, А. Ю. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений / А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. – М.: Физматлит, 2004.

2. Мищенко, Е.Ф. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией / Е.Ф. Мищенко, В.А. Садовничий, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. – М.: Физматлит, 3. Мищенко, Е.Ф. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах / Е.Ф. Мищенко, Ю.С. Колесов, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. – М.: Физматлит, 1995.

4. Гукенхеймер, Д. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Д. Гукенхеймер, Ф. Холмс. – Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002.

5. Шильников, Л. П. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Ч. 1. / Л. П. Шильников, А. Л. Шильников, Д. В. Тураев, Л. Чуа. – Москва - Ижевск:

Институт компьютерных исследований, 2004.

6. Малинецкий, Г.Г. Современные проблемы нелинейной динамики / Г.Г. Малинецкий, А.Б. Потапов. – М.: Едиториал УРСС, 2002.

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

1. САРАТОВСКАЯ ГРУППА «ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ»

учебные аудитории для проведения лекционных занятий, компьютерные классы с доступом к университетскому вычислительному кластеру.

Программа составлена в соответствии с федеральными государственными требованиями к структуре основной профессиональной образовательной программы послевузовского профессионального образования (аспирантура) (приказ Минобрнауки от 16.03.2011 г. № 1365) с учетом рекомендаций, изложенных в письме Минобрнауки от 22.06.2011 г. № ИБ – 733/12.

Программа одобрена на заседании кафедры компьютерных сетей 09.10.2012 (протокол № 2) Заведующий кафедрой Глызин С.Д., доктор физ.-мат. наук, профессор