МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет механико-математический_

Кафедра математического моделирования в механике_

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе В.П. Гарькин «_»_2011 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Асимптотические методы и теория возмущений Профессиональная образовательная программа направления 010800 МЕХАНИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ цикл Б3 «Профессиональный цикл», вариативная часть Профиль подготовки Механика жидкости, газа и плазмы Квалификация (степень) выпускника Магистр Форма обучения Очная Курс 5, семестр Самара Рабочая программа составлена на основании федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования направления 010800 МЕХАНИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 21 декабря 2009 г.

№ 771. Зарегистрировано в Минюсте РФ 4 февраля 2010 г. № 16263.

Составитель рабочей программы:

Степанова Л.В., доцент кафедры математического моделирования в механике, к. ф.-м. н.

Рецензент:

Астафьев В.И., профессор кафедры безопасности информационных систем, д.ф.-м.н.

«»2010 г. В.И Астафьев.

Рабочая программа утверждена на заседании кафедры математического моделирования в механике (протокол № от «»2010 г.) Заведующий кафедрой «»2010 г. Н.И.Клюев

СОГЛАСОВАНО

Председатель методической комиссии факультета «» 2010 г. _ Е.Я.Горелова

СОГЛАСОВАНО

Декан факультета «» 2010 г. _ _С.Я. Новиков_

СОГЛАСОВАНО

Начальник методического отдела «» 2010 г. _ _Н.В.Соловова 1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе, требования к уровню освоения содержания дисциплины.

1.1.Цели и задачи изучения дисциплины.

Цель дисциплины – изучение и освоение асимптотической теории и методов возмущений, приложений асимптотической теории к задачам механики деформируемого твердого тела и механики жидкости и газа; формирование навыков самостоятельного использования слушателями математического аппарата асимптотической теории и методов возмущений на всех стадиях научной и практической деятельности, включая этапы постановки задачи (включающей малый параметр), выбора адекватного асимптотического метода, анализа получаемой асимптотической модели.

Задачи дисциплины:

ознакомить слушателей с методологией применения асимптотических методов для получения приближенных решений краевых задач механики деформируемого ознакомить слушателей с современными асимптотическими методами построения решений краевых задач механики деформируемого твердого тела и механики дать строгое изложение асимптотических методов решения сингулярно возмущенных краевых задач математической физики;

продемонстрировать основные методы и техники построения асимптотических разложений на примерах решения краевых задач.

1.2. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля).

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен:

Иметь представление:

об асимптотических методах и теории возмущений, о современном состоянии асимптотического анализа, о регулярной и сингулярной асимптотиках;

о внешней и внутренней асимптотике, о методе сращивании асимптотик, расширении области действия асимптотик;

об основных методах теории возмущений в уравнениях колебаний (методика Линдштедта-Пуанкаре, метод усреднения, метод многих масштабов).

основные понятия, определения и терминологию асимптотической теории и методов возмущений;

асимптотические модели нелинейных колебаний, теории теплопроводности, теории упругих мембран и оболочек, упругости и механики разрушения, физики полимеров, механики композиционных материалов, инженерного дела, математическом моделировании, биологии, климатологии и экологии;

основные результаты применения методов возмущений в механике.

применять методы теории возмущений на практике;

владеть базовыми приемами современных асимптотических методов, самостоятельно формулировать асимптотические модели в задачах механики показать в "работе" методы и подходы асимптотической теории;

привести краткий анализ полученных результатов;

ориентироваться в современных алгоритмах компьютерной математики, совершенствовать, углублять и развивать математическую теорию и физикоматематические модели, лежащие в их основе;

самостоятельно работать со специальной математической литературой, посвященной асимптотическим методам.

Быть способным:

к интенсивной научно-исследовательской и научно-изыскательской деятельности;

к самостоятельному использованию асимптотической теории и методов возмущений в механике деформируемого твердого тела;

к собственному видению прикладного аспекта в теоретических результатах исследования актуальных проблем механики с помощью методов возмущений;

к самостоятельному освоению специальной научной литературы по асимптотической теории;

ориентироваться в современных алгоритмах компьютерной математики, совершенствовать, углублять и развивать математическую теорию и физикоматематические модели, лежащие в их основе.

Владеть компетенциями:

ОК - 10 Умение находить, анализировать и контекстно обрабатывать информацию, в том числе относящуюся к новым областям знаний, непосредственно не связанным со сферой профессиональной ПК – 1 Владение методами математического моделирования при анализе глобальных проблем на основе глубоких знаний фундаментальных математических дисциплин и компьютерных наук ПК – 2 Владение методами математического и алгоритмического моделирования при анализе проблем техники и естествознания ПК - 3 Способность к интенсивной научно-исследовательской и научноизыскательской деятельности ПК – 6 Способность к нахождению из определяющих экспериментов материальных функций (функционалов, постоянных) в моделях ПК – 8 Умение публично представлять собственные научные результаты ПК – 10 Способность к собственному видению прикладного аспекта в строгих ПК – 15 Способность различным образом представлять и адаптировать математические знания с учетом уровня аудитории 1.3. Место дисциплины в структуре ООП.

Дисциплина «Асимптотические методы и теория возмущений» входит в цикл профессиональных дисциплин в вариативной части. Для ее успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин: обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения математической физики, механика сплошных сред, теория упругости, математическая теория пластичности.

Освоение дисциплины «Асимптотические методы и теория возмущений»

необходимо при подготовке магистерских диссертаций.

2. Содержание дисциплины.

2.1. Объем дисциплины и виды учебной работы.

10 семестр – экзамен.

Обязательная аудиторная учебная нагрузка 2.2. Тематический план учебной дисциплины. Асимптотические методы в механике.

Наименование разделов и Содержание учебного материала, лабораторные и практические Объем часов/ Образовательн Формируемые Формы текущего тем занятия, самостоятельная работа обучающихся, курсовая работа зачетных ые технологии компетенции/ контроля Раздел 1. Основы асимптотической теории.

Тема 1.1. 1 Анализ размерностей. Разложения по степеням параметра или Введение. независимой переменной. Функции сравнения (калибровочные Асимптотическая теория и функции). Символы порядка. Асимптотические ряды.

методы возмущения. Асимптотические разложения и последовательности.

Тема 1.2. 1 Бесконечные области. Уравнение Дюффинга. Малый параметр Прямые разложения при старшей производной. Пример уравнения второго (разложения типа порядка. Изменение типа дифференциального уравнения в Пуанкаре) и источники частных производных. Наличие особенностей.

неравномерностей.

Асимптотические методы в теории нелинейных Тема 2.1. 1 Уравнение Дюффинга: прямое разложение Пуанкаре, точное Асимптотические методы решение, методика Линдштедта – Пуанкаре, метод многих в теории нелинейных масштабов, метод усреднения.

колебаний. 2 Колебательные системы с самовозбуждением: прямое усреднения, обобщенный метод усреднения, метод КрыловаБоголюбова-Митропольского. Уравнение Дюффинга. Случай усреднения, обобщенный метод усреднения, метод КрыловаБоголюбова-Митропольского. Уравнение Дюффинга. Случай Метод сращивания асимптотических разложений.

Задачи с пограничным 1 Метод Прандтля. Внешнее и внутреннее разложения. Высшие слоем. Асимптотические приближения и усовершенствованные процедуры сращивания.

разложения в краевых 2 Метод составных разложений. Уравнения с постоянными задачах. Метод коэффициентами.

сращивания 3 Уравнения с переменными коэффициентами. Задачи с двумя асимптотических пограничными слоями.

разложений и составные разложения.

Условия разрешимости.

Тема 4.1. 1 Нелинейные колебания в системах с двумя степенями свободы.

Условия разрешимости. Системы с параметрическим возбуждением. Краевые задачи Тема 4.2. 1 Звуковые волны в канале с волнистыми стенками. Колебания Применение условия мембраны, близкой по форме к кругу.

разрешимости.

Асимптотические методы в механике.

Асимптотическое Метод разделения переменных. Регулярное возмущение моделирование в теории границы. Метод разделения переменных в случае границы, теплопроводности. отличной от круговой. Осреднение процесса теплопроводности Тема 5.2. 1 Асимптотическое моделирование реальных трещин в плоской Асимптотическое теории упругости.

моделирование в задачах теории упругости.

Асимптотические модели Контактная задача для упругой мембраны. Метод ВишикаПК – деформации упругих Люстерника. Деформация упругой мембраны, армированной мембран и оболочек. нитями. Защемление упругой пластины во внутренней точке.

2.3. Содержание учебного курса.

Раздел 1. Основы асимптотической теории.

Тема 1.1. Введение.

Анализ размерностей. Разложения по степеням параметра или независимой переменной.

Функции сравнения (калибровочные функции). Символы порядка. Асимптотические ряды. Асимптотические разложения и последовательности. Единственность асимптотических разложений. Сравнение сходящихся и асимптотических рядов.

Простейшие действия над асимптотическими разложениями. Неравномерные разложения.

Тема 1.2. Прямые разложения (разложения типа Пуанкаре) и источники неравномерностей.

Бесконечные области. Уравнение Дюффинга. Малый параметр при старшей производной.

Пример уравнения второго порядка. Изменение типа дифференциального уравнения в частных производных. Наличие особенностей.

Раздел 2. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.

Тема 2.1. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.

Уравнение Дюффинга: прямое разложение Пуанкаре, точное решение, методика Линдштедта – Пуанкаре, метод многих масштабов, метод усреднения. Колебательные системы с самовозбуждением: прямое разложение, метод перенормировки, метод многих масштабов, метод усреднения. Системы с квадратичными и кубическим нелинейностями:

прямое разложение, метод многих масштабов, метод усреднения, обобщенный метод усреднения, метод Крылова-Боголюбова-Митропольского. Уравнение Дюффинга. Случай вынужденных колебаний.

Раздел 3. Метод сращивания асимптотических разложений.

Тема 3.1. Задачи с пограничным слоем. Асимптотические разложения в краевых задачах. Метод сращивания асимптотических разложений и составные разложения.

Метод Прандтля. Внешнее и внутреннее разложения. Высшие приближения и усовершенствованные процедуры сращивания. Метод составных разложений. Уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с переменными коэффициентами. Задачи с двумя пограничными слоями.

Раздел 4. Условия разрешимости.

Тема 4.1. Представление об условии разрешимости.

Нелинейные колебания в системах с двумя степенями свободы. Системы с параметрическим возбуждением. Краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка. Задачи на собственные значения. Краевая задача для дифференциального уравнения четвертого порядка. Задача на собственные значения для дифференциального уравнения четвертого порядка.

Тема 4.2. Применение условия разрешимости.

Звуковые волны в канале с волнистыми стенками. Колебания мембраны, близкой по форме к кругу.

Раздел 5. Асимптотические методы в механике.

Тема 5.1. Асимптотическое моделирование в теории теплопроводности.

Задачи теплопроводности. Уравнение теплопроводности. Метод разделения переменных.

Регулярное возмущение границы. Метод разделения переменных в случае границы, отличной от круговой. Осреднение процесса теплопроводности в слоистых средах.

Применение метода многих масштабов. Метод осреднения. Эффективный коэффициент теплопроводности. Метод Бахвалова. Осреднение процесса теплопроводности в композиционном материале. Постановка задачи. Асимптотика решения. Осредненная задача. Осреднение процесса теплопроводности в периодической пористой среде.

Симметрия эффективных коэффициентов теплопроводности. Осреднение границы в теории теплопроводности. Асимптотическое моделирование теплопроводности в тонком стержне. Асимптотическое моделирование теплопроводности в тонкой пластине:

квазидвумерная теплопроводность в тонкой пластине, анизотропный случай. Метод сращивания асимптотических разложений. Постановка задачи теплопроводности в области с малым включением. Определение калибровочных последовательностей.

Асимптотическая модель теплопроводности в плоской области с высокотеплопроводными включениями малого диаметра.

Тема 5.2. Асимптотическое моделирование в задачах теории упругости.

Асимптотическое моделирование реальных трещин в плоской теории упругости.

Асимптотические методы в механике разрушения. Метод малого параметра в нелинейной задаче на собственные значения, следующей из проблемы определения напряженнодеформированного состояния у вершины трещины в материале со степенными определяющими уравнениями.

Тема 5.3. Асимптотические модели деформации упругих мембран и оболочек.

Задача о деформировании упругой мембраны. Контактная задача для упругой мембраны.

Метод Вишика-Люстерника. Деформация упругой мембраны, армированной нитями.

Защемление упругой пластины во внутренней точке.

3. Организация текущего и промежуточного контроля обучения.

3.1. Организация контроля.

Текущий контроль – использование бально-рейтинговой системы.

В течение семестра студенты решают задачи, указанные преподавателем, к каждому семинару. В семестре проводится 1 контрольная работа (на семинаре). Студенты допускаются к зачету после решения всех задач контрольной работы и индивидуальных заданий.

3.2. Тематика рефератов, проектов и т.п.

Тематика проектов:

1. Задачи особых возмущений в теории профиля (решение задачи обтекания тонкого профиля).

2. Течение вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса.

3. Течение вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса.

4. Некоторые задачи особых возмущений для невязких течений.

5. Гиперзвуковое обтекание тонкого затупленного клина.

3.3.Курсовая работа.

Курсовая работа по курсу не предусмотрена.

3.4. Бально-рейтинговая ситема.

Максимальная сумма баллов, набираемая студентами по дисциплине «Асимптотические методы и теория возмущений» в семестре, равна 100.

На основе набранных баллов, успеваемость студентов в семестре определяется следующими оценками:

- «Отлично» - 86-100 баллов - теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов, необходимые практические навыки работы с освоенным материалом сформированы, все предусмотренные программой обучения учебные задания выполнены (работа на практических занятиях, выполнение домашних работ, контрольных и индивидуальной работ), качество их выполнения оценено числом баллов, близким к максимальному.

- «Хорошо» - 74-85 баллов - теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов, некоторые практические навыки работы с освоенным материалом сформированы недостаточно, все предусмотренные программой обучения учебные задания выполнены, качество выполнения ни одного из них не оценено числом баллов, близким к максимальному, некоторые виды заданий выполнены с ошибками.

- «Удовлетворительно» - 61-73 балла - теоретическое содержание курса освоено частично, но пробелы не носят существенного характера, необходимые практические навыки работы с освоенным материалом в основном сформированы, большенство предусмотренных программой обучения учебных заданий выполнено, некоторые из выполненных заданий, возможно, содержат ошибки.

- «Неудовлетворительно» - менее 60 баллов - теоретическое содержание курса не освоено, необходимые практические навыки работы с освоенным материалом не сформированы, выполненные учебные задания содержат грубые ошибки, дополнительная самостоятельная работа над материалом курса не приведет к существенному повышению качества выполнения учебных заданий.

Распределение баллов, составляющих основу оценки работы студента по изучению дисциплины «Асимптотические методы и теория возмущений» в течение семестра.

2. Работа на практических занятиях (1 балл за успешный ответ) до 22 баллов 3. Выполнение индивидуальной работы (4 балла за каждую из двух) 8 баллов 4. Выполнение домашней работы (по 3 балла за работу) до 33 баллов 3.5 Сведения о материально-техническом обеспечении дисциплины.

5. Литература.

5.1.Основная.

1. Ильин А.М., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. М.: Физматлит. 2009.

248 с.

2. Видилина О.В., Щетинина Е.В. Асимптотические методы в анализе: методические указания. СамГУ. Самара: Универс-групп. 2010. 31 с.

3. Бауэр С.М., Смирнов А.Л., Товстик П.Е., Филиппов С.Б. Асимптотические методы в механике твердого тела. М.: РХД. 2007. 356 с. (Рекомендовано УМО).

4. Кожевников Е.Н., Степанова Л.В. Асимптотические методы. Основные теоремы, методы и задачи. Самара. Изд-во "Самарский университет". 2003. 98 с.

5. Аргатов И.И. Введение в асимптотическое моделирование в механике. СанктПетербург: Политехника, 2004. 302 с.

6. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды. М.: Наука. 2009. 546 с.

5.2. Дополнительная.

1. Найфе А.Х. Введение в методы возмущений. М.: Мир. 1984. 536 с.

2. Найфе А.Х. Методы возмущений. М.: Мир. 1976. 456 с.

3. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Мир. 1990. 528 с.

4. Андрианов И.В., Баранцев Р.Г., Маневич Л.И. Асимптотическая математика и синергетика. М.: Едиториал УРСС, 2004. 304 с.

5. Бауэр С.М., Смирнов А.Л., Товстик П.Е., Филиппов С.Б. Асимптотические методы в примерах и задачах. С.-Петербург.: Изд - во С.-Петербургского Университета. 1997. 276 с.

6. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1968. 464 с.

7. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М. 1982.

464 с.

8. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости М.: Мир. 1967. 310 с.

9. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М. Наука. 1973. 272 с.

10. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука. 1979. 320 с.

11. Коул Дж. методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир. 1972. 274 с.

12. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука.

1978. 376 с.

13. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами. Под ред. Абрамовича М., Стиган И. М.: Наука. 1979. 830 с.

14. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.:

Наука. 2005. 256 с. (Гриф УМО, 20 экз.) 15. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Либроком, 2009. 354 с. (6 экз.) 16. Федорюк М.В. Метод перевала.. М.: Либроком, 2010. 368 с.

5.3. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины для организации самостоятельной работы студентов.

1. Кожевников Е.Н., Степанова Л.В. Асимптотические методы. Основные теоремы, методы и задачи. Самара. Изд-во "Самарский университет". 2003. 98 с. (100 экз.).

2. Видилина О.В., Щетинина Е.В. Асимптотические методы в анализе: методические указания. СамГУ. Самара: Универс-групп. 2010. 31 с. (90 экз.).

http://eqworld.ipmnet.ru 4. www.mati.ru/education/facult5/kafedral/site - сайт кафедры «Механика материалов и конструкций» Российского государственного технологического университета им.

К.Э. Циолковского (МАТИ). Кафедра ведет преподавание курсов «Сопротивление «Экспериментальная механика», «Вероятностные методы расчета прочности конструкций», «Использование ЭВМ в задачах механики», «Малоцикловая усталость», «Нелинейная механика разрушения».

5. http://www.ipmnet.ru/lab_12_ru.html - сайт лаборатории моделирования в механике деформируемого твердого тела Института проблем механики РАН. Заведующий лабораторией – А.В. Манжиров. В лаборатории сформировано и активно развивается новое научное направление – механика растущих тел. Обширные исследования проводятся в области механики контактных взаимодействий и теории концентраций напряжений под руководством В.М. Александрова. Еще одно направление лаборатории связано с разработкой моделей сплошной среды, описывающих деформацию и разрушение неупругих материалов, которое возглавляет проф. В.Н. Кукуджанов.

6. http://pent.sopro.susu.ac.ru/W/ej/index.html - электронный журнал «Динамика, прочность и изностойкость машин». Журнал публикует результаты экспериментальных и расчетных исследований в области прочности и надежности машин и конструкций различных типов.

7. http://www/mysopromat.ru/cgi-bin/index.cgi -сайт «Мой сопромат», на сайте размещены учебные курсы, статьи, полнотекстовые версии книг по механике, научные статьи.

8. http://cde.tsogu.ru/&par=lab&id=222 – Центр Дистанционного образования Тюменского государственного нефтегазового университета. На сайте имеется виртуальный лабораторный практикум, который может быть использован для проведения виртуальной лабораторной работы «Испытание образцов на усталость (растяжение/сжатие)».

9. http://library.krasn.ru – Библиотека Института вычислительного моделирования СО РАН. В библиотеке содержатся полнотекстовые журналы и реферативные базы данных.

10. www.ruscommech.ru/history.html - Российский Национальный комитет по теоретической и прикладной механике.

11. Пестриков В.М., Морозов Е.М. Механика разрушения на базе компьютерных технологий. Практикум. Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2007. 464 с. Приведены лабораторные работы по механике разрушения твердых тел.

12. www.math.rsu.ru/mexmat/elasticity/index.php сайт кафедры теории упругости Ростовского государственного университета. Основатель кафедры – доктор физико-математических наук, академик РАН профессор Ворович И.И. Основные направления: общая теория и методы решения задач деформирования и устойчивости тонкостенных конструкций; нелинейные среды сложной структуры.