1. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Новосибирский государственный университет» (НГУ)

Факультет информационных технологий

УТВЕРЖДАЮ

_

« _» _ 20_г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Теория вероятностей и математическая статистика (наименование дисциплины)

НАПРАВЛЕНИЕ ПОДГОТОВКИ 230100 «ИНФОРМАТИКА И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА»

Квалификация (степень) выпускника Бакалавр Форма обучения очная Новосибирск Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»

составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО к структуре и результатам освоения основных образовательных программ бакалавриата по Математическому и естественнонаучному циклу по направлению подготовки «Информатика и вычислительная техника», а также задачами, стоящими перед Новосибирским государственным университетом по реализации Программы развития НГУ.

Автор (авторы) д.ф.-м.н., профессор Лотов Владимир Иванович Факультет информационных технологий Кафедра общей информатики 1. Цели освоения дисциплины (курса) Дисциплина (курс) «Теория вероятностей и математическая статистика» предназначена для построения и изучения математических моделей случайных явлений и экспериментов, для изучения способов статистической обработки данных.

Основной целью освоения дисциплины является овладение математическими методами моделирования случайных явлений, методами расчета их характеристик, выявления и учета статистических закономерностей, овладение навыками обработки статистических данных.

2. Место дисциплины в структуре образовательной программы Дисциплина (курс) «Теория вероятностей и математическая статистика» относится к вариативной части цикла профессиональных дисциплин ОП бакалавра.

Изучение дисциплины опирается на курсы «Математический анализ» (операции с множествами, числовые ряды, пределы, дифференцирование и интегрирование, кратные интегралы), «Алгебра и геометрия» (общие сведения из теории матриц).

Содержание дисциплины является обязательным минимум для последующих курсов: «Введение в теорию кодирования».

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины Дисциплина направлена на выработку следующих компетенций:

ОК-1 владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения ОК-2 умеет логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь ОК-6 стремится к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства ОК-10 использует основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применяет методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования ИК-2 умеет применять математические методы для решения практических задач, в частности, умеет вычислять вероятности разного сорта событий, находить числовые характеристики распределений, оценивать вероятности с помощью предельных теорем, владеет техникой проверки статистических гипотез, точечным и интервальным оцениванием параметров при обработке статистических наблюдений ИК-3 владеет методами построения и анализа формальных моделей предметных областей В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать содержание программы курса.

Уметь строить математические модели случайных явлений и экспериментов, в рамках этих моделей рассчитывать различные вероятностные характеристики изучаемых явлений, уметь анализировать основные статистические закономерности, знать и уметь пользоваться основными статистическими методами обработки данных.

Владеть методами расчета вероятностных характеристик случайных величин, методами использования основных предельных закономерностей теории вероятностей, основными методами статистической обработки данных.

4. Структура и содержание дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»

Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единицы, 144 часа.

Объем дисциплины и виды учебной работы – 4 зачетных единицы: 1 единица на семестровый курс лекций, 1 единица на семинарские занятия в течении семестра, единица – на самостоятельную работу и 1 единица – на экзамен.

1 Комбинаторика.

Классическое вероятностей.

Геометрические вероятности события. Схема ловные вероятности. Формула полной вероятности. Формула разования случайных величин случайных величин раметров оценивание Содержание разделов и тем курса.

Глава I. Теория вероятностей 1. Дискретное пространство элементарных исходов. События, операции над ними.

Вероятность и ее свойства. Классическое определение вероятности.

2. Элементы комбинаторики. Выборки с возвращением и без возвращения. Размещение частиц по ячейкам. Гипергеометрическое распределение.

3. Континуальные вероятностные пространства, примеры. Геометрические вероятности. Задача о встрече.

4. Понятие о вероятностном пространстве общего вида. Аксиоматическое задание вероятности, основные свойства вероятности.

5. Независимые события. Схема Бернулли.

6. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

7. Случайные величины. Функции распределения и их свойства.

8. Типы распределений: дискретный, абсолютно непрерывный, смешанный.

9. Основные семейства распределений.

10. Многомерные распределения и плотности, их основные свойства, примеры.

11. Независимые случайные величины. Функции случайных величин. Линейные преобразования случайных величин, применения к гауссовским распределениям.

12. Плотность суммы случайных величин. Распределение суммы случайных величин, имеющих а) распределение Пуассона; б) гамма распределение; в) нормальное распределение.

13. Математическое ожидание случайной величины и его свойства, примеры.

14. Моменты, вопросы их существования. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Примеры.

15. Коэффициент корреляции и его свойства.

16. Матрица ковариаций. Многомерное нормальное распределение и его свойства.

17. Сходимость по вероятности, ее свойства.

18. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Теорема Бернулли.

19. Центральная предельная теорема, ее следствия. Теорема Муавра-Лапласа. Примеры применения.

20. Приближение Пуассона для биномиального распределения.

Глава II. Математическая статистика.

21. Предмет и задачи математической статистики. Понятие выборки. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Теорема Гливенко-Кантелли. Гистограмма и полигон частот.

22. Задача оценивания неизвестных параметров. Несмещенность, состоятельность оценок. Выборочные моменты и их свойства.

23. Метод моментов, примеры. Состоятельность оценок, полученных методом моментов.

24. Метод максимального правдоподобия, примеры.

25. Сравнение оценок. Понятие эффективной оценки.

26. Распределения, связанные с нормальным (хи-квадрат, Стьюдента, Фишера).

27. Лемма Фишера. Теорема о свойствах выборочного среднего и выборочной дисперсии для выборок из нормальной совокупности.

28. Построение доверительных интервалов для параметров нормального распределения.

29. Построение доверительных интервалов с помощью центральной предельной теоремы.

30. Проверка гипотез, основные понятия. Критерии согласия Колмогорова, хиквадрат. Построение критерия с помощью доверительного интервала.

31. Проверка гипотез в случае нескольких выборок. Критерий КолмогороваСмирнова однородности двух выборок. Проверка гипотез о совпадении параметров двух нормальных совокупностей.

5. Образовательные технологии Рекомендуется перед посещением семинаров и лекций предварительно ознакомиться с программой курса и семинаров. Перед каждым семинаром желательно изучить материал последней лекции. Домашние задания выполняются в течение семестра после каждого семинара.

На семинарских занятиях используются технологии мониторинга качества образования студентов: опросные методы, анализ выполнения домашних заданий, тестирование.

Для закрепления знаний первой части курса (Теория вероятностей) проводится коллоквиум, сочетающий в себе проверку теоретических знаний и приобретенные навыки решения задач.

В заключительной части курса каждый студент выполняет и сдает индивидуальное расчетное задание, связанное с обработкой статистических данных (построение доверительных интервалов, проверка статистических гипотез).

6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов Типовые задачи для коллоквиума по теме "Теория вероятностей" 1. В купейный вагон (9 купе по 4 места) шести пассажирам продано шесть билетов.

Найти вероятность того, что занятыми оказались только два купе.

2. Какова вероятность, что в четырехзначном номере случайно выбранного в большом городе автомобиля только две одинаковые цифры?

3. Среди студентов группы 2 человека знают ответы на 20 экзаменационных вопросов (отличники), 10 человек знают ответы только на 15 экзаменационных вопросов из 20 (хорошисты), 5 человек – на 10 вопросов из 20 (троечники) и 5 человек – только на 5 вопросов из 20. Наугад выбранный студент смог ответить только на вопроса из трех. Какова вероятность, что он троечник?

4. На ММФ 15% отличников учебы среди первокурсников, на ФФ – 10% и на ФИТ – 20%. На первом курсе ММФ 275 студентов, на ФФ – 180 студентов и на ФИТ – студентов. Наугад выбранный с этих факультетов первокурсник оказался отличником. Какова вероятность, что он с ММФ?

5. Две точки произвольным образом независимо друг от друга бросаются в круг. Какова вероятность, что они расположатся на одинаковом расстоянии от центра?

6. Пусть X и Y – независимые случайные величины, X имеет стандартное нормальное распределение, а Y – распределение Пуассона. Найти P( X Y ).

7. Случайная величина X имеет показательное распределение с параметром. Найти плотность распределения случайной величины Y X.

8. Случайная величина X имеет показательное распределение с параметром. Найти плотность распределения случайной величины Y e X.

9. Для определения вероятности p изделия быть бракованным пользуются приближением p S n / n, где S n – число бракованных в партии из n изделий. Насколько большим должно быть число n, чтобы с вероятностью не менее 0.95 величина S n / n отличалась от p менее, чем на 0.001?

10. Сколько раз надо бросить игральную кость, чтобы с вероятностью 0.5 сумма выпавших очков превысила 100?

"Доверительные интервалы и проверка гипотез" 1. По числовой выборке из нормальной совокупности с параметрами, 2 построить доверительные интервалы для:

а), если 2 известно;

б), если 2 неизвестно;

в) 2, если известно;

г) 2, если неизвестно.

2. По данным числовым наблюдениям проверить основную гипотезу о равномерности распределения с помощью а) критерия Колмогорова;

б) критерия хи-квадрат.

3. По данным двум выборкам из нормальных совокупностей проверить гипотезу а) о совпадении дисперсий;

б) о совпадении средних, если известно, что дисперсии совпадают.

1. Дискретное пространство элементарных исходов. События, операции над ними.

Вероятность и ее свойства. Классическое определение вероятности.

2. Теорема о свойствах выборочного среднего и выборочной дисперсии для выборок из нормальной совокупности.

1. Элементы комбинаторики. Гипергеометрическое распределение.

2. Критерий хи-квадрат.

1. Континуальные вероятностные пространства, примеры. Геометрические вероятности.

Задача о встрече.

2. Проверка гипотез о совпадении дисперсий двух нормальных совокупностей.

1. Понятие о вероятностном пространстве общего вида. Аксиоматическое задание вероятности, основные свойства вероятности.

2. Проверка гипотез о совпадении средних двух нормальных совокупностей.

1. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

2. Метод максимального правдоподобия, примеры.

1. Независимые события. Схема Бернулли.

2. Построение критерия с помощью доверительного интервала 1. Случайные величины. Функции распределения и их свойства.

2. Критерий хи-квадрат.

1. Типы распределений, примеры.

2. Построение доверительных интервалов с помощью нормального приближения 1. Основные семейства распределений 2. Построение доверительных интервалов для среднего нормальной совокупности.

1. Многомерные распределения и плотности, их основные свойства, примеры.

2. Построение доверительных интервалов для дисперсии нормальной совокупности.

1. Теорема о независимости функций от независимых случайных величин. Линейные преобразования случайных величин, применения к гауссовским распределениям.

2. Лемма Фишера.

1. Распределение суммы случайных величин, имеющих пуассоновское распределение. Плотность суммы случайных величин.

2. Критерий Колмогорова-Смирнова однородности двух выборок.

1. Распределение суммы случайных величин, имеющих гамма распределение.

2. Метод максимального правдоподобия, примеры.

1. Математическое ожидание случайной величины и его свойства, примеры.

2. Сравнение оценок. Понятие эффективной оценки.

1. Моменты, вопросы их существования. Дисперсия случайной величины, ее свойства, примеры.

2. Распределения, связанные с нормальным (хи-квадрат, Стьюдента, Фишера).

1. Коэффициент корреляции и его свойства.

2. Метод моментов, примеры. Состоятельность оценок, полученных методом моментов.

1. Матрица ковариаций. Многомерное нормальное распределение и его свойства.

2. Задача оценивания неизвестных параметров. Несмещенность, состоятельность оценок.

Свойства выборочных моментов.

1. Сходимость по вероятности, ее свойства.

2. Критерий Колмогорова 1. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Теорема Бернулли.

2. Теорема о свойствах выборочного среднего и выборочной дисперсии для выборок из нормальной совокупности.

1. Центральная предельная теорема: формулировка, обсуждение, примеры применения. Теорема Муавра-Лапласа.

2. Теорема Гливенко-Кантелли.

1. Приближение Пуассона для биномиального распределения.

2. Дисперсионный анализ (однофакторная модель): постановка задачи, формулировка теоремы, построение критерия.

1. Распределение суммы случайных величин, имеющих нормальное распределение.

2. Предмет и задачи математической статистики. Понятие выборки. Вариационный ряд.

Эмпирическая функция распределения. Гистограмма и полигон частот.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины а) основная литература:

1. Лотов В.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Курс лекций.

128 с.

2. А.Н.Бородин. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. Изд-во "Лань", Санкт-Петербург, 1999, 224 с.

3. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. М., 1965, 512 с.

4. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М., 1965.

б) дополнительная литература:

1. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982, 256 с.

2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988, 448 с.

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

1. Лотов В.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Семестровый курс лекций для студентов факультета информационных технологий. Электронное учебное пособие. http://www.nsu.ru/mmf/tvims/index.html 8. Материально-техническое обеспечение дисциплины Лекционные и семинарские аудитории.

Рецензент (ы) _ Программа одобрена на заседании (Наименование уполномоченного органа вуза (УМК, НМС, Ученый совет) от _ года.