Программа вступительных испытаний по специальности

01.01.03 – Математическая физика

Поступающие в аспирантуру должны продемонстрировать знание

следующих тем.

1. Теорема существования и единственности начальной задачи для систем

обыкновенных дифференциальных уравнений. Непрерывность и

дифференцируемость решений по параметрам и начальным данным.

2. Решения линейных уравнений и систем произвольного порядка с

постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных.

3. Автономные системы дифференциальных уравнений. Положения равновесия, предельные циклы. Устойчивость, теорема Ляпунова. Седло, узел, фокус, центр.

4. Преобразование Фурье и его основные свойства. Применение для решения дифференциальных уравнений.

5. Ряды Фурье и их основные свойства. Применение для решения дифференциальных уравнений.

6. Элементы вариационного исчисления, уравнения Эйлера. Системы уравнений Гамильтона.

7. Ограниченные и неограниченные операторы. Самосопряженные и унитарные операторы в гильбертовых пространствах.

8. Дискретный и непрерывный спектры, их свойства. Собственные функции.

Спектральное разложение оператора.

9. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Метод последовательных приближений. Теоремы Фредгольма. Эрмитовы ядра. Теорема Гилберта-Шмидта. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению с помощью функции Грина.

10. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных производных (колебательные процессы, теплопроводность и диффузия, электромагнитное поле, уравнения гидро- и газодинамики, уравнение Шредингера).

11. Понятие о характеристиках уравнений в частных производных. Теорема Ковалевской.

12. Решение нелинейных дифференциальных уравнений 1-ого порядка методом характеристик. Теория Гамильтона-Якоби.

13. Классификация и канонические формы уравнений в частных производных второго порядка. Постановка основных краевых задач: задача Коши, 1-ая, 2-ая, 3-я краевые задачи, смешанные задачи. Корректность постановки задач.

14. Обобщенные функции и их свойства. Построение фундаментального решения линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами.

15. Фундаментальное решение многомерного волнового уравнения. Метод спуска. Решение задачи Коши для волнового уравнения.

16. Уравнения параболического типа. Постановка основных краевых задач.

Принцип максимума и единственность. Метод Фурье для краевой задачи.

Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности (формула Пуассона).

17. Уравнение Лапласа. Основные свойства гармонических функций (формула Грина, теорема о среднем, принцип максимума, теорема о внутренней устранимой особенности). Решение задач Дирихле и Неймана (внутренней и внешней) методом потенциалов.

18. Функция Грина и ее применение к решению краевых задач. Формула Пуассона для шара и круга.

19. Уравнение Гельмгольца. Фундаментальное решение. Метод отражений для полуплоскости и шара.

20. Формула Кирхгофа для решения уравнения Гельмгольца. Условие излучения.

21. Пространства Соболева. Теоремы вложения.

22. Решение уравнения Шредингера для свободной частицы и для гармонического осциллятора. Спектр гармонического осциллятора.

23. Задача рассеяния. Безотражательные потенциалы. Туннельное расщепление спектра.

24. Теория возмущений для собственных значений оператора Шредингера.

25. Нелинейные уравнения. Уравнения газовой динамики (ударные волны, слабые разрывы, автомодельные решения).

26. Метод конечных разностей. Метод конечных разностей для решения задачи Дирихле. Разностные схемы для уравнения теплопроводности.

Устойчивость разностных схем. Итерационные методы решения сеточных уравнений.

27. Уравнения с малым параметром. Регулярное и сингулярное возмущения.

Метод Пуанкаре.

28. Метод ВКБ. Формула коммутации дифференциального оператора и быстро осциллирующей экспоненты.

29. Псевдодифференциальные операторы и их основные свойства.

Формулы коммутации.

30. Методы Лапласа и стационарной фазы для вычисления асимптотик интегралов. Связь преобразования Фурье с преобразованием Лежандра.

Литература 1. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский, Уравнения математической физики, М.

Наука, 2004.

2. В.С. Владимиров, Уравнения математической физики, М. Наука, 2003.

3. В.С. Владимиров, В.В. Жаринов,Уравнения математической физики, ФИЗМАТЛИТ, 2003.

4. Шубин М.А., Лекции об уравнениях математической физии, МЦНМО, М., 2001.

Программа вступительных испытаний по специальностям 01.02.01 – Теоретическая механика 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела Раздел Математическое моделирование физико-механических процессов 1. Понятие тензора и основные алгебраические операции с тензорами 2. Лагранжевы (материальные)и Эйлеровы (пространственные) координаты, тензоры деформаций Грина и Альманси.

3. Теория малых деформаций Коши. Физический смысл компонентов тензора деформаций.

4. Определение компонент вектора перемещений через компоненты поля малых деформаций. Условия совместности деформаций.

5. Напряженное состояние в точке. Тензор напряжений.

6. Главные значения и главные направления тензора напряжений Девиатор напряжений.

7. Уравнение неразрывности в Эйлеровых и Лагранжевых координатах.

8. Уравнение движения сплошной среды.

9. Полная система уравнений сплошной среды. Начальные и граничные условия 10. Закон Гука. Тензор упругих постоянных.

11. Постановка задачи теории упругости в перемещениях.

12. Постановка задач теории упругости в напряжениях.

13. Потенциальная энергия упругой деформации. Единственность решения задач теории упругости.

14. Плоское напряженное состояние. Плоское деформированное состояние.

15. Основные уравнения термоупругости.

16. Вариационная постановка задачи Дирихле (уравнение Пуассона) на примере задачи о деформировании пластины.

17. Ползучесть и релаксация, интегральные операторы вязкоупругости.

18. Теория малых упруго-пластических деформаций.

ЛИТЕРАТУРА к разделу 1:

1. Е.Н.Чумаченко, С.Д.Арутюнов, А.И.Воложин и др. Создание научных основ и внедрение в клиническую практику компьютерного моделирования лечебных технологий и прогнозов реабилитации больных с челюстно-лицевыми дефектами и стоматологическими заболеваниями.

Монография. М.: МГМСУ, 2010.

2. Чумаченко Е.Н., Смирнов О.М., Цепин М.А. Сверхпластичность:

материалы, теория, технологии (в серии: "Синергетика: от прошлого к будущему") – М:, Изд. 2-е, Книжный дом ЛИБРОКОМ", 2009.

3. Черняк В.Г., Суетин П.Е. Механика сплошных сред. – М.

ФИЗМАТЛИТ, 2006.

4. Седов Л. И. Механика сплошной среды. В 2-х томах. СанктПетербург: Изд-во «Лань», 2004.

5. Селиванов В. В. Прикладная механика сплошных сред. В 3 томах.

Том 2: Механика разрушения деформируемого тела. Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006.

Применение ЭВМ к решению задач МДТТ 1. Формулы Гаусса численного интегрирования.

2. Понятие сплайна, линейная интерполяция функций двух переменных на плоской области.

3. Решение нелинейных уравнений и систем: метод Ньютона и метод последовательных приближений.

4. Понятие обусловленности для решения систем линейных уравнений.

5. Метод квадратного корня для систем линейных уравнений.

6. Итерационные методы решения систем алгебраических уравнений 7. Численное решение интегральных уравнений.

8. Метод Ритца.

9. Формирование локального и глобального базисов в МКЭ.

10. Формирование матрицы жесткости в глобальной форме.

11. Вывод формулы рассылки локальных матриц в глобальную матрицу' жесткости.

12. Формирование глобальной матрицы жесткости через локальные.

13. Методы полуавтоматической генерации сетки конечных элементов.

14. Метод упругих решений.

15. Метод переменных параметров упругости.

ЛИТЕРАТУРА к разделу 2:

1. Е.Н.Чумаченко, И.В.Логашина Математическое моделирование и оптимизация процессов деформирования материалов при обработке давлением, М.: ЭКОМЕТ, 2008.-400с.

2. Присекин В.Л., Расторгуев Г.И. Основы метода конечных элементов в механике деформируемых тел. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 3. Бураго Н. Г. Вычислительная механика. М.: Изд-во МГТУ им Н. Э. Баумана, 2007.

4. Чумаченко Е.Н., Смирнов О.М., Цепин М.А. Сверхпластичность:

материалы, теория, технологии. - М., КомКнига, 2005. – 320 с.

5. Подураев Ю.В., Мехатроника: основы, методы, применение:

учебное пособие для студентов вузов. – М: Машиностроение, 2006.

Численно-аналитические методы в МДТТ 1. Основные краевые задачи для оператора Лапласа.

2. Формулы Грина для оператора Лапласа.

3. Теоремы единственности решений основных краевых задач для оператора Лапласа.

4. Фундаментальное и сингулярное решение оператора Лапласа.

5. Гармонические потенциалы простого и двойного слоя и их свойства.

6. Гармонический объемный потенциал и его свойства.

7. Интегральные уравнения основных краевых задач теории гармонического потенциала.

8. Формулы Грина-Бетти для оператора Ламе.

9. Теоремы единственности решений основных краевых задач для оператора Ламе.

10. Фундаментальное решение оператора Ламе.

11. Сингулярные решения оператора Ламе.

12. Упругий потенциал простого слоя и его свойства.

13. Упругий потенциал двойного слоя и его свойства 14. Упругий объемный потенциал и его свойства 15. Интегральные уравнения основных краевых задач статической теории упругости.

16. Постановка задачи оптимального управления в случае фиксированной начальной и конечной точки траектории.

17. Постановка задачи оптимального управления в случае подвижной правой точки траектории и фиксированной левой.

18. Постановка задачи оптимального быстродействия.

ЛИТЕРАТУРА к разделу 3:

1. A.H.-D. Cheng, D.T. Cheng, Heritage and early history of the boundary element method, Engineering Analysis with Boundary Elements. – 2005. – Vol.

29. – P. 268–302.

2. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В., Старовойтов Э.И., Теория упругости и пластичности: учебник, – М. ФИЗМАТЛИТ, 2011.

3. А.Н.Боголюбов, Н.Т.Левашова, И.Е.Могилевский, Ю.В.Мухартова, Н.Е.Шапкина. Фунция Гринв Оператора Лапласа. – М., Физический факультет МГУ, 2012.

4. Кондратьев Б.П. Теория потенциала. Новые методы и задачи с решениями. М.: Мир, Программа вступительных испытаний по специальности 01.02.06 – Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры Теория упругости 1. Тензоры напряжений и деформаций. Уравнения равновесия.

Определение перемещений по деформациям.

2. Уравнения совместности деформаций. Потенциальная энергия деформации. Закон Гука для изотропного и анизотропного тела.

3. Полная система уравнений теории упругости. Уравнения в перемещениях. Постановка основных задач теории упругости.

4. Вариационные принципы теории упругости. Принцип Лагранжа.

Вариационные методы решения задач теории упругости (Ритца, Бубнова— Галеркина, Треффца).

5. Основные задачи теории упругости. Плоская деформация и плоское напряженное состояние.

тригонометрических рядов, интегральных преобразований, конечных разностей.

7. Методы решения задач теории упругости методом конечных и граничных элементов).

Теория пластин и оболочек 8. Допущения классической теории пластин и оболочек и связанная с ними погрешность. Основное уравнение изгиба пластин. Граничные условия.

9. Изгиб пластин, имеющих в плане форму прямоугольника, круга, кругового кольца.

10. Криволинейные координаты на срединной поверхности оболочки.

Уравнения теории упругих оболочек. Внутренние усилия и моменты.

Соотношения упругости. Потенциальная энергия деформации. Граничные условия.

11. Безмоментная теория оболочек. Область применения.

Осесимметричный изгиб оболочек вращения.

12. Уравнения теории пологих оболочек и область их применения.

13. Слоистые пластины и оболочки.

Теория пластичности 14. Модели упругопластического тела. Критерии текучести. Поверхность текучести. Ассоциированный закон течения.

15. Деформационная теория пластичности.

16. Сравнение теорий пластичности.

17. Постановка задач в теории упругопластического материала без упрочнения. Остаточные напряжения. Предельное состояние и предельная нагрузка.

18. Определение верхней и нижней границ для предельной нагрузки.

Приспособляемость. Простейшие задачи теории пластичности.

Элементы теорий прочности и механики разрушения 19. Физические основы прочности материалов. Вязкий и хрупкий типы разрушения. Прочность при сложном напряженном состоянии. Усталостное разрушение, его физическая природа.

20. Малоцикловая усталость. Длительная прочность. Статистические аспекты разрушения и масштабный эффект. Влияние концентрации напряжений на прочность.

21. Теория квазихрупкого разрушения. Напряжения вблизи трещины в упругом теле. Условия разрушения тел с трещинами.Условия устойчивости трещин.

22. Критический коэффициент интенсивности напряжений. Учет пластических деформаций в конце трещины. Закономерности роста усталостных трещин.

Теория колебаний 23. Уравнения Лагранжа второго рода для голономных систем. Функция Гамильтона. Принцип Гамильтона—Остроградского.

24. Колебания линейных систем с конечным числом степеней свободы.

Малые собственные колебания консервативных систем.

25. Формула Релея. Свойства собственных частот и форм колебаний.

26. Вынужденные колебания линейных систем.

Динамика упругих систем 27. Принцип Гамильтона—Остроградского для упругих систем. Уравнения продольных, крутильных и изгибных колебаний упругих стержней.

28. Уравнения колебаний упругих пластин и оболочек.

29. Свойства собственных форм и частот колебаний упругих систем.

30. Вариационные принципы в теории свободных колебаний.

31. Методы определения собственных частот и форм колебаний упругих систем.

32. Вынужденные колебания упругих систем. Колебания диссипативных систем.

Динамика машин, приборов и аппаратуры 33. Усилия, действующие в машинах, и их передача на фундамент.

Колебания вращающихся валов с дисками.

34. Влияние различных факторов (податливость опор, форма сечения вала, гироскопические эффекты, сила тяжести, различные виды трения и др.) на критические скорости.

35. Методы снижения виброактивности.

36. Уравновешивание роторных машин. Методы статической и динамической балансировки роторов.

37. Виброизоляция машин, приборов и аппаратуры. Активные и пассивные системы виброзащиты. Каскадная виброизоляция.

38. Виброакустика машин. Методы виброакустической защиты машин.

39. Ударные нагрузки. Определение коэффициентов динамичности при ударе. Защита от ударных воздействий.

Экспериментальные методы исследований динамики и прочности 40. Определение механических свойств материалов. Назначение и основные типы механических испытаний. Испытательные машины, установки и стенды.

41. Методы анализа напряженно-деформированных состояний. Метод тензометрии. Поляризационно-оптический метод.

42. Применение фотоупругих и лаковых тензочувствительных покрытий.

Оптическая и голографическая интерферометрия.

2.Учебно-методическое и информационное обеспечение программы вступительного экзамена в аспирантуру по специальности 01.02.06 «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры»

а) Основная литература:

1. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний. М.: Высш.

школа, 2007.

2. Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. М.:

Машиностроение, 2002.

3. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности.

М.: Мир, 2006.