МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

Новокузнецкий институт (филиал)

Факультет информационных технологий

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

(СД.ДС.Ф.6) Математические модели в геомеханике

для специальности

010501.65 Прикладная математика и информатика

Специализации 010202 Математическое моделирование Новокузнецк 2013 Сведения о разработке и утверждении рабочей программы дисциплины Рабочая программа дисциплины (СД.ДС.Ф.6) «Математические модели в геомеханике»

составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования второго поколения по специальности 010200 – Прикладная математика и информатика, утвержденному 23 марта 2000 г., номер государственной регистрации 199 ЕН / СП для специализаций «Системное программирование» и «Математическое моделирование».

Автор к.т.н., доцент Линдин Г.Л.

Рецензент(ы) Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры « » декабря 2012 г. Протокол № 10 Заведующий кафедрой Е. В. Решетникова Рабочая программа одобрена методической комиссией факультета информационных технологий « 15 » января 2013 г. Протокол № Председатель методической комиссии Н.Б. Ермак (подпись) Пояснительная записка Дисциплина «Математические модели в геомеханике» для студентов специальности 010501.65 «Прикладная математика и информатика» входит в состав Государственного Образовательного Стандарта Высшего Профессионального Образования (ГОС ВПО). Ее место – в ряду дисциплин специализации «Математическое моделирование».

Цель курса – подготовить студентов к использованию известных моделей сплошной среды для решения конкретных практических задач геомеханики. Она является составной частью общей цели ООП – подготовить высококвалифицированных специалистов – математиков, системных программистов для работы в отраслях народного хозяйства, научных и учебных заведениях соответствующего профиля. Для этого необходимо обеспечить уровень подготовки студентов по математическим дисциплинам таким, чтобы они умели:

математически ставить общие задачи и предлагать адекватные методы их решения;

конструировать математические модели процессов и явлений;

рассчитывать параметры конструкций и систем, обеспечивающих безопасность жизнедеятельности;

решать конкретные задачи предприятий с применением методов теории упругости;

давать математически обоснованные прогнозы;

обобщать и давать критический анализ результатов исследования, а также возможности их использования на практике.

Студенты должны знать:

– классические модели сплошной среды и их свойства;

– типы краевых задач теории упругости;

– методы их исследования;

знать и уметь использовать существующие точные решения задач теории упругости;

владеть методами решения плоских задач;

знать и уметь использовать основные понятия геомеханики;

уметь использовать возможности вычислительной техники.

Формы обучения включают в себя:

- лекции, на которых закладываются теоретическая база знаний по дисциплине «Математические модели в естествознании и методы их исследования»;

- практические занятия, где студенты приобретают навыки в решении задач по отдельным моделям сплошной среды;

- самостоятельная работа студентов, которая осуществляется в двух формах: индивидуального выполнения заданий и индивидуально-аудиторного – с частичной консультацией у преподавателя;

- разбор сложных задач на плановых консультациях.

Особенность курса «Математические модели в геомеханике» для будущих математиков, системных программистов является его прикладной характер: изучение большинства тем необходимо для подготовки и выполнения дипломной работы по специальности «Прикладная математика и информатика».

По дисциплине осуществляется текущий, промежуточный контроль и итоговый контроль в форме зачета (9 семестр).

1. Учебно–тематический план при обучении в сокращенные сроки (дисциплина в целом, разделы и темы) применяются общие требования к перезачету и переаттестации Опрос вопросов для теоретической подготовки и решение индивидуальных заданий на кажсе- местр дом практическом занятии.

2. Содержание дисциплины «Математические модели в геомеханике»

Содержание частей, разделов и тем курса Наимеп/п нование Содержание раздела дисциплины Основные Связные и несвязные грунты. Сыпучая среда.

определе- Основные характеристики рыхлой и плотной сыпучей среды. и способы их чей среды. 3. Дилатансия сыпучей среды и ее роль в практике.

ния и де- 5 Приближенное и истинное напряжение. Напряженное состояние сплошной формации среды в точке. Нормальные и касательные напряжения. Закон парности касасплошной тельных напряжений.

среды Простейшие типы напряженных состояний. Главные направления и главные Простейшие виды деформаций. Главные направления и главные компоненты Закон Гука Закон Гука упругого деформирования сплошной среды. Механический смысл и уравнения модуля Юнга, коэффициента Пуассона и модуля сдвига. Упругий потенциал и равновесия метод наложения напряжений.

среды. Уравнения равновесия Коши в геометрически линейной среде. Уравнения равновесия в деформациях и перемещениях.

Динамиче- Уравнения движения упругого тела. Уравнения Ламэ движения упругого тела нения упру- Продольные и поперечные волны: типы возмущений и скорости распрострагости нения.

Поверхностные волны Рэлея. Значение в связи с землетрясениями. Траектория Закон Ку- Предельное касательное напряжение. Пластический и остаточный сдвиг. Закон лона пре- Кулона для связных и несвязных грунтов. Угол внутреннего трения и угол дельного естественного откоса сыпучей среды.

напряжен- Окружность напряжений Мора при плоской деформации. Максимальное касаного состо- тельное напряжение. Линия разрушения и ориентация относительно главных Активное и пассивное ренкиновское состояние весомой сыпучей среды. Задача Ренкина. Коэффициент бокового отпора весомой сыпучей среды.

Арочный Арочный эффект в уплотненной сыпучей среде. Практическое значение арочэффект в ного эффекта. Две формы течения сыпучей среды из емкости. Значение дилагрунтах тансии.

Область влияния горной выработки. Значение наклона и кривизны для определения охранной зоны подработанной земной поверхности.

Задача Янсена и метод ее решения. Уравнение равновесия тонкого слоя сыпучей среды. Решение задачи и его свойства.

Основные Уравнения равновесия в матричной форме.

краевые Первая, вторая и смешанная краевые задачи статики упругого тела.

задачи ста- Единственность решения краевых задач.

тики упругости Интегралы 25. Представление Попковича-Нейбера. Решение задачи о сосредоточенной силе в уравнений упругом пространстве.

статики 26. Решение задачи о сосредоточенной силе в упругой плоскости.

упругости 27. Задача об однородном неупругом сдвиге прямоугольника в упругой плоскости.

Плоская 28. Плоская деформация и плоское напряженное состояние.

задача тео- 29. Функция напряжений. Комплексное представление напряжений и перемещерии упруго- ний. Представление бигармонической функции через две аналитические 30. Решение задачи о свободном эллиптическом отверстии в упругой плоскости, сжимаемой напряжениями на бесконечности. Концентрация напряжений в зависимости от формы отверстия.

31. Решение задачи о щели в упругой плоскости, сжимаемой напряжениями на бесконечности. Интенсивность концентрации напряжений в зависимости от Содержание практических занятий Практические занятия проводятся с помощью методического пособия: «Математические модели в геомеханике» по следующей схеме.

1. Вначале каждого занятия студенты отвечают на вопросы для теоретической подготовки.

Готовятся к ним заранее с помощью практикума и конспекта лекций, которые строятся как ответы на эти вопросы. Ответы обсуждаются студентами, которые дополняют ответы товарищей.

2. Затем преподаватель рассказывает демонстрационные примеры, закрепляющие разобранную теорию каждого вопроса в отдельности. Вопросы выбираются по очереди.

3. Затем студенты разбирают задания для самостоятельного решения, соответствующие рассмотренному вопросу. Если задание вызывает затруднения, то оно разбирается на доске либо студентом, либо преподавателем.

4. В таком порядке разбираются все демонстрационные примеры и соответствующие задания для самостоятельной подготовки.

Практическое занятие № 1. Теория напряженно-деформированного состояния. Инварианты тензоров напряжений и деформаций.

План работы.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

1. Напряженное состояние в любой точке сплошной среды в декартовой системе координат задано тензором Определить вектор напряжения в точке на площадке, касательной в этой точке к цилиндрической поверхности.

2. Дан закон движения сплошной среды Определить компоненты тензора малых деформаций.

Практическое занятие № 2. Полная система уравнений линейной теории упругости.

План работы.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

1. Проверить, удовлетворяет ли поле деформаций тела с компонентами вектора перемещений деформаций и тензора напряжений (модуль упругости Е, коэффициент Пуассона - заданы).

3. Записать граничные условия: а) на свободном краю тела; б) на поверхности, закрепленной от перемещений в направлении нормали; в) на полностью защемленной поверхности; г) на плоскости симметрии.

Практическое занятие № 3. Закон Кулона предельно напряженного состояния сплошной среды.

План работы.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

1. Построить окружность напряжений Кулона-Мора в случае двуосного сжатия среды главными напряжениями 1 < 2 < 0.

2. Определить ориентацию площадки с максимальным касательным напряжением.

3. Построить линии скольжения при заданном угле внутреннего трения среды.

Практическое занятие № 4. Арочный эффект в геомеханике.

План работы.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

1. Построить три этапа течения песка из отверстия в емкости.

2. Объяснить последовательность форм течения песка с помощью дилатансии.

3. Построить зону влияния отработанного угольного пласта.

Практическое занятие № 4. Задача Янсена.

План работы.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

1. Составить дифференциальное уравнение для вертикального давления в плоском вертикальном канале течения весомой сыпучей среды.

2. Найти решение этого уравнения в случае заданного давления на поверхности канала.

3. В чем отличие распределение давления в сыпучей среде от распределения Паскаля в жидкости?

Практическое занятие № 5. Основные краевые задачи статики упругого тела.

План работы.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

1. Поставить три основные задачи статики упругого тела.

2. Сформулировать закон Клапейрона.

3. Доказать единственность решения краевых задач статики упругого тела.

Практическое занятие № 6. Интегралы уравнений статики упругого тела.

План работы.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

1. Вывести представление смещений Папковича-Нейбера.

2. Построить решение задачи в случае равномерного радиального растяжения трехмерной среды.

3. Построить решение задачи в случае сосредоточенной силы в начале координат упругой плоскости.

Практическое занятие № 7. Плоская задача теории упругости..

План работы.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

1. Постановка задачи плоской деформации и обобщенного плоского напряженного состояния.

2. Построить формулу Гурса для бигармонической функции напряжений Эри.

3. Построить формулы Колосова-Мусхелишвили в плоской задаче.

Тематика рефератов, эссе, контрольных и самостоятельных работ Примерный перечень тем рефератов и эссе Математические модели и определяющие уравнения нелинейно упругих материалов.

Экспериментальные основания теории упругости.

Аналитические методы решения плоских задач теории упругости.

Развитие аналитических методов решения пространственных задач теории упругости.

Геометрическая нелинейность и способы е математического моделирования.

Метод гипотез в прикладных теориях деформирования упругих элементов конструкций.

Задачи линейной механики разрушения и их связь с теорией упругости.

Статистическая природа запаса прочности.

Равнонапряженные элементы конструкций.

12. Способы описания пластичности и ползучести.

13. Влияние пластичности и ползучести на напряженно-деформированное состояние твердых тел.

14. Физические законы механики неупругих тел 15. Линии тока и участки концентрации энергии в упругой сжимаемой плоскости, ослабленной эллиптическим отверстием.

16. Линии тока и участки концентрации энергии в упругой сжимаемой плоскости, усиленной эллиптической областью с равномерным давлением.

17. Линии тока и участки концентрации энергии в плоской задаче о гладком штампе.

18. Линии тока и участки концентрации энергии в жестко-пластической задаче о гладком штампе.

19. Линии тока и участки концентрации энергии в полосе, ослабленной поперечными тонкими надрезами.

3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины Основная литература 1. Линдин, Г.Л. Математические модели в геомеханике [Текст]: метод. пособие / Г.Л. Линдин, Л.И. Линдина, НФИ КемГУ – Новокузнецк, 2009. – 88с.

Дополнительная литература 2. Певзнер, М.Е. Геомеханика [Текст] / М.Е. Певзнер, М.А. Иофис, В.Н. Попов – М.: Горная книга, 2008. – 503 с.

4. Формы текущего, промежуточного и рубежного контроля 1. Формы и порядок проведения контроля. Критерии оценки знаний студентов Текущий Устные опросы в начале каждого практического занятия, Текущий контроль освоения программы оценивается по результатам выполнения студентами контрольных (самостоятельных) работ.

График выполнения самостоятельных работ соответствует учебно-тематическому плану и формируется исходя из следующих требований:

- к началу зачетной сессии каждый студент обязан выполнить все самостоятельные работы, предусмотренные программой курса;

- к началу аттестации студент обязан выполнить те самостоятельные работы, которые предусмотрены в уже пройденных темах по дисциплине.

Промежуточный контроль освоения программы осуществляется в форме устного опроса вначале каждого практического занятия.

Итоговый контроль осуществляется в форме зачета. Вопросы и задачи для зачета приведены в разделе 4. Из них формируются зачетные билеты. На зачет студентам предлагается по одному теоретическому вопросу и по две задачи.

2. График самостоятельной работы студентов.

Формы аудиторных учебных занясамостоятельной 5- 3. Вопросы и задания для индивидуальной и самостоятельной работы 1. Какие грунты называются связными? Привести примеры.

2. Какие среды называются сыпучими? Привести примеры.

3. Дать определение пористости и пустотности грунта.

4. Определить основные характеристики в модели рыхлой среды.

5. Определить основные характеристики в модели плотной среды.

6. Каким способом образуется рыхлая и плотная среда?

7. Дать определение дилатансии. Продемонстрировать это понятие в модели плотной среды. Значение дилатансии в практике.

1. Что называется гипотезой сплошности?

2. Дать определение приближенного и истинного напряжения. В каких единицах оно выражается?

3. Что называется напряженным состоянием сплошной среды в точке?

4. Дать определение компонент напряжений, нормальных и касательных напряжений. Что называется законом парности касательных напряжений?

5. Какие существуют простейшие типы напряженных состояний? Какое напряженное состояние называется однородным?

6. Что называется главными направлениями и компонентами напряжений?

7. Решением, какой задачи является формула Коши?

8. Какие существуют простейшие виды деформаций?

9. Какая деформация среды называется однородной?

10. Что называется относительными удлинениями в точке А в направлении координатных осей и относительными деформациями сдвига в точке А? Как они выражаются через компоненты перемещений?

11. Что называется компонентами деформаций и главными компонентами деформаций?

Какие три опыта определяют закон Гука?

Каков механический смысл модуля Юнга и коэффициента Пуассона?

Чем отличается упругое деформирование от неупругого?

Что называется методом наложения напряжений и законом Гука?

Какая среда называется изотропной и анизотропной?

Что называется модулем сдвига и законом Гука в общем случае?

Как выражаются напряжения через функции от деформаций?

Каков механический смысл модуля объемного расширения?

1. Как получаются двумерные и трехмерные уравнения равновесия?

2. Как получаются уравнения равновесия в деформациях и в перемещениях?

3. Что называется оператором Лапласа?

1. Рассказать об уравнениях Ламэ движения упругой среды.

2. Какие уравнения описывают распространение деформации сдвига или деформации объемного расширения?

3. Какие возмущения переносятся продольными и поперечными волнами, и с какими скоростями?

4. Какая волна называется плоской, и какой формулой выражается общее решение плоской волны?

В какой упругой среде, и с какой скоростью могут распространяться поверхностные волны? Какое значение они имеют в связи с землетрясениями и соударениями твердых тел?

1. Определить предельное значение касательного напряжения, пластический сдвиг и остаточный сдвиг.

2. Смысл закона Кулона. Формула закона Кулона.

3. Определить связность грунта с помощью сцепления.

4. От чего зависит угол внутреннего трения? Как он связан с углом естественного откоса?

5. Какое деформированное состояние называется плоской деформацией? Какое главное напряжение содействует пластическому сдвигу?

6. Каков смысл окружности Мора? Показать графически сопряженные линии скольжения и линию разрушения.

7. Определить активное и пассивное ренкиновское состояние весомой сплошной среды. Как расположены линии скольжения?

8. Как ставится задача Ренкина? Определить коэффициент бокового отпора несвязной весомой среды.

1. Дать определение арочного эффекта в уплотненной среде.

2. Каково практическое значение арочного эффекта?

3. Каков порядок течения сыпучей среды из емкости, и какую роль в этом играет дилатансия?

4. Как определяется область влияния горной выработки?

5. Наклон, кривизна и их значение в определении охранной зоны подработанной земной поверхности.

Какова цель задачи Янсена?

Какие основные предположения принимаются в задаче Янсена?

Вывести уравнение равновесия тонкого слоя сыпучей среды.

Поставить задачу Коши для напряжения z(z).

Найти решение задачи Коши и отметить его свойства.

1. Определить тензоры напряжений и деформаций, уравнения равновесия, формулу Коши и закон Гука в матричной форме.

2. Как ставятся основные краевые задачи статики упругого тела?

3. Определить внутреннюю потенциальную энергию деформирования упругого тела. Какими свойствами обладает плотность этой энергии?

4. Доказать единственность решения основных краевых задач статики упругого тела.

1. Какая функция называется гармонической (бигармонической)? Привести примеры гармонических функций.

2. Какая часть деформации (перемещения) является гармонической функцией?

3. Доказать представление перемещений в форме Папковича-Ней-бера.

4. Привести примеры интегралов уравнений статики типа «центр расширения (сжатия)».

5. Как получается интеграл уравнений в случае сосредоточенной силы?

6. Как используется решение для сосредоточенной силы при изучении дополнительных напряжений около линии скольжения?

7. Каков эффект распределения напряжений связан с тонкой линией скольжения и каковы приложения этого эффекта?

В каких случаях применяется плоское напряженное состояние и плоская деформация?

Каким уравнениям удовлетворяют напряжения в плоской задаче?

Какими свойствами обладает функция Эри?

В какой форме можно представить любую гармоническую и бигармоническую функцию?

1. Как получаются формулы Колосова-Мусхелишвили?

2. С какой целью и как применяется конформное отображение в плоской задаче?

3. Метод решения задачи об эллиптическом отверстии в упругой плоскости, равномерно растягиваемой на бесконечности.

4. Концентрация напряжений около кончика эллиптической трещины.

4. Примерный перечень вопросов к зачету Тема 1. Модель сыпучей среды 19. Связные и несвязные грунты. Сыпучая среда.

20. Основные характеристики рыхлой и плотной сыпучей среды. и способы их образования.

21. Дилатансия сыпучей среды и ее роль в практике.

Тема 2. Модель твердого деформируемого тела 22. Гипотезы сплошности.

23. Приближенное и истинное напряжение. Напряженное состояние сплошной среды в точке. Нормальные и касательные напряжения. Закон парности касательных напряжений.

24. Простейшие типы напряженных состояний. Главные направления и главные компоненты напряжений.

25. Формула Коши. Условие свободной границы тела.

26. Простейшие виды деформаций. Главные направления и главные компоненты деформаций.

27. Закон Гука упругого деформирования сплошной среды. Механический смысл модуля Юнга, коэффициента Пуассона и модуля сдвига. Упругий потенциал и метод наложения напряжений.

28. Общий вид закона Гука в форме Ламе.

Тема 3. Равновесие и движение упругой среды 29. Уравнения равновесия Коши в геометрически линейной среде. Уравнения равновесия в деформациях и перемещениях.

30. Уравнения движения упругого тела. Уравнения Ламэ движения упругого тела в перемещениях. Продольные и поперечные волны: типы возмущений и скорости распространения. Плоские волны. Общее решение плоской волны. Поверхностные волны Рэлея. Значение в связи с землетрясениями. Траектория движения частицы поверхности земли при подземном взрыве.

31. Основные краевые задачи статики упругого тела. Единственность решения задач.

Тема 4. Закон Кулона предельного состояния сыпучей среды 32. Предельное касательное напряжение. Пластический и остаточный сдвиг. Закон Кулона для связных и несвязных грунтов. Угол внутреннего трения и угол естественного откоса сыпучей среды.

33. Окружность напряжений Мора при плоской деформации. Максимальное касательное напряжение. Линия разрушения и ориентация относительно главных направлений.

34. Активное и пассивное ренкиновское состояние весомой сыпучей среды. Задача Ренкина. Коэффициент бокового отпора весомой сыпучей среды Тема 5. Арочный эффект в грунтах 35. Арочный эффект в уплотненной сыпучей среде. Практическое значение арочного эффекта. Две формы течения сыпучей среды из емкости. Значение дилатансии.

36. Область влияния горной выработки. Значение наклона и кривизны для определения охранной зоны подработанной земной поверхности.

37. Задача Янсена и метод ее решения. Уравнение равновесия тонкого слоя сыпучей среды. Решение задачи и его свойства.

Тема 6. Некоторые случаи интегралов статических уравнений упругой среды 38. Представление Попковича-Нейбера. Решение задачи о сосредоточенной силе в упругом пространстве.

39. Решение задачи о сосредоточенной силе в упругой плоскости.

40. Задача об однородном неупругом сдвиге прямоугольника в упругой плоскости.

Тема 7. Плоская задача теории упругости 41. Плоская деформация и плоское напряженное состояние.

42. Функция напряжений. Комплексное представление напряжений и перемещений. Представление бигармонической функции через две аналитические функции. Формулы Гурса.

43. Решение задачи о свободном эллиптическом отверстии в упругой плоскости, сжимаемой напряжениями на бесконечности. Концентрация напряжений в зависимости от формы отверстия.

44. Решение задачи о щели в упругой плоскости, сжимаемой напряжениями на бесконечности. Интенсивность концентрации напряжений в зависимости от длины щели.

6. Контрольно-измерительные материалы Материалы, определяющие порядок и содержание проведения промежуточных и итоговых аттестаций, соответствуют требованиям ГОС, приказам, распоряжениям и рекомендациям МО РФ, учебно-методического управления КемГУ и учебно-методического отдела НФИ КемГУ.

Материалы, определяющие порядок и содержание промежуточной и итоговой аттестаций, включают:

1. График самостоятельной работы, определяющий сроки и форму текущих и промежуточных аттестаций.

2. Расписание зачетов, определяющее сроки итоговой аттестации.

3. Материалы, определяющие содержание аттестации, включающие:

Вопросы на зачет.

Задания на аудиторные индивидуальные работы по блокам тем в семестре.

Домашние задания для индивидуальной и самостоятельной работы по темам.

4. Материалы для проведения самой аттестации, включающие:

Фонд тестовых заданий по блокам тем и по дисциплине в целом (в бумажном и электронном виде).

Экзаменационные билеты на зачет.