«Математические методы финансового анализа Под научной редакцией д.ф.-м.н., профессора Мельникова А.В. Оглавление Предисловие научного редактора Часть I. Финансовый анализ в условиях определенности Введение. 1.1. Методы ...»

Показатель выпуклости купонной облигации равен Используем те же обозначения (11.15). Тогда 6. Зависимость дюрации облигации от срока до погашения при неизменных и r, где f и r – купонная ставка и внутренняя доходность облигации соответственно, сформулируем в виде следующих утверждений. Пусть Dn – дюрация облигации, платежи по которой выплачиваются m раз в год и до погашения которой остается n купонных периодов. Тогда 6b. Если f r, то последовательность {Dn} является возрастающей.

6с. Если f < r, то можно указать число n0 такое, что для облигаций с числом возрастающей.

Доказательство. 6а. Согласно (11.14), дюрация облигации при = 0, когда до погашения остается n купонных периодов, равна Так как Так как обычно r мало, то Тогда Заметим, что значение предела не зависит от купонной ставки облигации.

выплачиваются раз в год (m = 1) и до ее погашения остается n лет ( = 0). Тогда дюрация купонной облигации равна Рассмотрим разность Покажем, что B > 0. Используем метод математической индукции по числу оставшихся до погашения облигации купонных платежей.

Основание индукции n = 0. Тогда Заметим, что при n = 0 разность D1 – D0 = 1, т.к. D1 = 1 - дюрация облигации за год до погашения, когда она уже является чисто дисконтной, D0 = 0 - дюрация облигации в день погашения сразу после купонной выплаты.

Предположим, что B > 0 при n = k, т.е.

Пусть теперь n = k + 1. Рассмотрим По предположению индукции Bk > 0.

Следовательно, Bk+1 > 0. Отсюда B > 0 для любого целого неотрицательного n.

Значит, Dn+1 – Dn > 0. Утверждение доказано.

На рис. 1.11.2 показана зависимость дюрации облигации от срока до Рис. 1.11. 6с. Пусть f r. Дюрация купонной облигации, платежи по которой выплачиваются раз в год (m = 1) и до погашения остается n лет ( = 0), равна Рассмотрим разность Преобразуем это выражение к виду:

0 (следовательно, Dn1 Dn 0 ). Действительно, выражение в квадратных скобках в (11.19) равно нулю. Равенство является Из выражения для n0 следует, что чем ближе значения r и f, тем больше срок n0. Кроме того, несложно убедиться, что чем больше купонная ставка f, тем больше n0. Эти выводы подтверждаются приведенными расчетами.

Элементы последнего столбца в этой таблице получены из непосредственных вычислений дюрации облигации для различных значений n по формуле (11.17).

Пример таких вычислений для купонных ставок f1 = 5% и f2 = 10% показан в следующей таблице:

Df1 1 1,94 2,82 3,60 4,29 4,87 5,34 5,70 5,96 6,13 6,21 6,24 6,22 6,16 6, Df2 1 1,90 2,68 3,35 3,90 4,34 4,68 4,93 5,11 5,23 5,30 5,34 5,36 5,35 5, Имеем где облигаций с числом периодов до погашения n < n0 последовательность {Dn} продаются с дисконтом и число периодов до их погашения n1 < n2 < …< nk < n0, P(r) (см. зависимость цена – доходность, теорема 9.1), или Рассмотрим теперь момент погашения облигации t = tn. Тогда Из неравенств (12.7) и (12.8) следует, что существует такой момент времени t*, когда P( r, t*) = P(r, t*). Покажем, что момент t* является единственным. Предположим, что равенство стоимостей достигается в точках 1 и 2. Следовательно Тогда Отсюда 1 = 2 = t*.

Случай, когда r, доказывается аналогично. Найдем t*.

Отсюда 3. Теорема 12.1 (об иммунизирующем свойстве дюрации облигации).

Пусть D = D(r) – дюрация облигации в момент t = 0, когда безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Тогда в момент времени, равный дюрации облигации, t = D, фактическая стоимость инвестиции в облигацию не меньше планируемой, т.е.

для любых значений ~ Доказательство. Если после покупки облигации временная структура Если сразу после покупки облигации безрисковые процентные ставки стоимость инвестиции в облигацию P( r, D) является функцией Согласно (12.6), Пусть r. Тогда по свойству 3 дюрации облигации D( r ) < D(r) = D.

Отсюда P( r, D)/ > 0. Значит, P( r, D) – возрастающая функция Следовательно, (12.10). Заметим, что при r r неравенство является строгим, т.е. имеет вид (12.11). Теорема доказана.

Замечание. На основании доказанной теоремы можно сформулировать иммунизирующее свойство дюрации облигации. Пусть в момент инвестирования t = 0 безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы. Тогда в момент времени, равный дюрации облигации, изменений безрисковых процентных ставок сразу после t = 0 на одну и ту же величину (или до момента t1 – первого платежа по облигации, в чем несложно убедиться). Таким образом, иммунизирующее свойство дюрации облигации имеет место при условии горизонтальности кривой доходностей и параллельности ее сдвигов.

Следствие. Пусть D = D(r) – дюрация облигации в момент t = 0, когда безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r, а r1 и r2 – безрисковые процентные ставки сразу после t = 0. Тогда если r < r < r2, то Доказательство. Рассмотрим r1 < r. Согласно теореме Так как P(r1, D) = P(r1)(1 + r1)D и P(r, D) = P(r)(1 + r)D, то Отсюда Аналогично доказывается вторая часть неравенства (12.12).

Пример 12.2. Дана 10% - ная купонная облигация номиналом 100 д.е., по которой ежегодно обещают производить купонные выплаты в течение трех лет. Безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 10% годовых. Сразу после покупки облигации процентные ставки а) снизились до 9% годовых; б) увеличились до 11 % годовых. Найти:

1) планируемую и фактическую стоимость инвестиции в облигацию в момент времени, равный дюрации облигации;

2) моменты времени, когда планируемая и фактическая стоимости инвестиции совпадают.

В таблице приведены расчеты цены P(r) и дюрации облигации D = D(r) на момент покупки облигации, где r = 10% годовых, а также величин P(r1) и P(r2), где r1 = 9%, r2 = 11% годовых.

платежа платежа платежа Таким образом, дюрация облигации в момент ее покупки D = 2, лет. Цена покупки P(0,1) = 100,00 д.е. Величины P(0,09) = 102,5313 д.е. и P(0,11) = 97,5563 д.е. – оценки облигации на момент t = 0, соответствующие новой временной структуре процентных ставок после t = 0. Тогда планируемая стоимость инвестиции в облигацию на момент времени t = D равна Фактические стоимости В обоих случаях фактическая стоимость инвестиции в момент t = D больше планируемой. В первом случае в момент t = D снижение ставки реинвестирования компенсировано ростом рыночной цены облигации в момент t = D по сравнению с планируемой. Во втором случае снижение рыночной цены в момент t = D вследствие роста процентных ставок компенсировано возросшей ставкой реинвестирования по сравнению с планируемой.

2) Моменты времени, когда планируемая и фактическая стоимости инвестиции совпадают, равны соответственно Таким образом, t*(0,11) < D < t*(0,09).

1.13. Инвестиции в портфель облигаций.

Дюрация и показатель выпуклости портфеля.

Рассмотрим портфель из облигаций, не имеющих кредитного риска.

Риск неплатежа от портфеля отсутствует. Однако в условиях рынка остается процентный риск. Изменение процентных ставок на рынке вызывает изменение рыночных цен облигаций, входящих в портфель, а следовательно, изменение стоимости всего портфеля.

Предположим, на рынке имеются облигации без кредитного риска m видов, Предположим также, что на рынке можно купить любое количество облигаций, сформирован портфель облигаций П(1, 2,…, m), стоимость которого равна – го вида в портфеле, j = 1, 2,…, m. Следовательно, j 1. Пусть через t1, t2,…, tn лет от момента t = 0 производится платеж хотя бы по одному виду облигаций, момент ti, где i = 1, 2, …, n. Тогда R1, R2, …, Rn в моменты t1, t2,…, tn – ожидаемый поток платежей от портфеля, где Таким образом, портфель П(1, 2,…, m) в момент t = 0 можно рассматривать как одну облигацию без кредитного риска стоимостью с потоком платежей R1, R2, …, Rn в моменты времени t1, t2,…, tn. По своим инвестиционным качествам портфель эквивалентен такой облигации.

Пример 13.1. Сформирован портфель П(2000, 3000, 2000) из облигаций трех видов, потоки платежей по которым указаны в таблице.

Определить поток платежей от этого портфеля.

3 = 2000. Члены потока платежей от портфеля рассчитаем по (13.1):

Таким образом, поток платежей от портфеля П(2000, 3000, 2000) имеет вид, показанный в таблице:

Меры доходности портфеля.

Для вычисления доходности портфеля П(1, 2,…, m) приняты две характеристики:

доходности rP.

Средневзвешенная доходность портфеля определяется путем усреднения внутренняя доходность. Недостатком этой характеристики является то, что она несет мало информации о потенциальной доходности портфеля.

Внутренняя ставка доходности rP – это процентная ставка, по которой приведенная стоимость потока платежей по портфелю R1, R2, …, Внутренняя ставка доходности портфеля, хотя и лучше, чем средневзвешенная доходность портфеля, но имеет те же недостатки, что и внутренняя доходность облигации. Она предполагает, что платежи по портфелю реинвестируются по ставке, равной rP, а сам портфель держится до погашения. Например, если одна из облигаций в порфеле погашается через 30 лет, то предполагается, что портфель держится 30 лет и все промежуточные платежи (купонные выплаты и погашаемые номиналы) реинвестируются.

Пример 13.2. Для портфеля облигаций П(2000, 3000, 2000) из примера 13. рассчитать rср. и rP.

Внутренние доходности облигаций В1, В2, В3 равны соответственно: r1 = 0,10347; r2 = 0,13798; r2 = 0,10053. Тогда согласно (13.2):

Внутреннюю ставку доходности rP найдем из уравнения:

Методом линейной интерполяции с точностью до пятого знака после запятой получаем rP = 0,11497.

Дюрация и показатель выпуклости портфеля облигаций.

Определение. Дюрацией DP и показателем выпуклости СP портфеля облигаций П(1,2,…,m) называется дюрация и показатель выпуклости облигации, эквивалентной портфелю.

где r – значения годовых безрисковых процентных ставок в момент t = 0, одинаковые для всех сроков.

Свойства дюрации и показателя выпуклости портфеля облигаций.

1. Для дюрации и показателя выпуклости портфеля облигаций П(1, 2,…, m) справедливы равенства:

показатель выпуклости облигаций j – го вида.

Доказательство. Согласно определению, где использовано выражение (13.1) для членов потока платежей от портфеля.

Аналогично для показателя выпуклости:

2. Если DP и СP – дюрация и показатель выпуклости портфеля П(1, 2,…, m), то min D j min C j устанавливается точно также.

сформировать портфель, дюрация которого равна D (портфель с заранее заданным значением дюрации).

Доказательство. Составим систему:

решением системы является следующий набор значений:

1 = 0, …, k = 1,…, m = 0.

набор значений:

4. Пусть в момент формирования портфеля t = 0 безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Если сразу после формирования портфеля процентные ставки для всех сроков мгновенно изменились на одну и ту же величину r, то относительное изменение цены портфеля приблизительно равно:

или Возможность оценить изменение цены портфеля по формулам (13.9) и (13.10) следует из того, что портфель можно рассматривать как одну облигацию, дюрация которой равна DP, а показатель выпуклости СP (см.

формулы (11.8), (11.9) для облигации).

Из равенств (13.9) и (13.10) следует, что дюрацию портфеля облигаций DP можно рассматривать как меру процентного риска портфеля, а показатель выпуклости СP показывает, насколько точно дюрация оценивает этот риск. Чем меньше СP, тем лучше DP оценивает чувствительность цены портфеля к изменению рыночных процентных ставок. В связи с этим можно сформулировать следующую задачу:

сформировать портфель облигаций с заданным значением дюрации D и наименьшим показателем выпуклости. Эта задача сводится к следующей задаче линейного программирования:

условию min D j разрешима.

Действительно, для разрешимости задачи линейного программирования необходимо и достаточно, чтобы множество допустимых решений задачи было не пусто, а целевая функция ограничена снизу на множестве допустимых решений задачи. Согласно свойству 3, если множество допустимых решений задачи (13.11) не пусто. Так как допустимых решений задачи. Свойство доказано.

Пусть T лет – срок, на который сформирован портфель облигаций (инвестиционный горизонт). Для оценки портфеля через t лет после покупки, где t [0, T], используем понятие стоимости инвестиции в портфель в момент t.

Если в момент формирования портфеля t = 0 безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r и после покупки портфеля временная структура процентных ставок остается неизменной до окончания срока T, то (r, t) – планируемая стоимость инвестиции в портфель в момент t [0, T]. Если сразу после формирования портфеля процентные ставки для всех течение всего инвестиционного периода, то ( r, t) – фактическая стоимость рассчитываются, исходя из тех же принципов, что и в случае облигации. Тогда где R1, R2, …, Rn в моменты t1, t2,…, tn – ожидаемый поток платежей от где Rt(r) и Rt( r ) – результат реинвестирования к моменту t доходов от планируемая и фактическая рыночная стоимость портфеля в момент t.

(r, t) и ( r, t) обладают теми же свойствами, что и планируемая и фактическая стоимости инвестиции в облигацию. Тогда где (r) = – цена покупки портфеля, ( r ) – оценка портфеля на момент t = 0, соответствующая новой временной структуре процентных ставок сразу после t = 0.

6. Иммунизирующее свойство дюрации портфеля.

Пусть DP = DP(r) – дюрация портфеля облигаций в момент t = 0, когда безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r.

Тогда в момент времени, равный дюрации портфеля, t = DP, фактическая стоимость инвестиции в портфель не меньше планируемой, т.е.

для любых значений ~ Действительно, если портфель П(1, 2,…, m) эквивалентен одной облигации без кредитного риска, то иммунизирующее свойство дюрации облигации (теорема 12.1) переходит в иммунизирующее свойство дюрации портфеля.

На этом свойстве дюрации портфеля облигаций основан принцип Реддингтон, один из основателей стратегии иммунизации, впервые ввел понятие иммунизации портфеля облигаций и сформулировал условие иммунизации: для защиты стоимости портфеля от изменений рыночной процентной ставки необходимо, чтобы дюрация портфеля совпадала с его инвестиционным горизонтом. Таким образом, чтобы сформировать иммунизированный портфель с инвестиционным горизонтом T лет, необходимо решить систему:

по свойству 3 дюрации портфеля система (13.17) разрешима. Тогда дюрация портфеля, сформированного в соответствии с решением системы (13.17), совпадает с его инвестиционным горизонтом, DP = T, и по свойству Пример 13.3. Портфель формируется из купонных облигаций двух видов, характеристики которых на момент покупки портфеля (t = 0) приведены в таблице:

В облигации первого вида инвестировано 4000 д.е., в облигации второго вида – 6000 д.е. В момент покупки портфеля безрисковые процентные ставки для инвестиций на все сроки одинаковы и равны 9% годовых.

Сразу после формирования портфеля процентные ставки снизились до 8% годовых, и затем уже не изменялись. Определить:

1) поток платежей от портфеля, его дюрацию и показатель выпуклости;

2) относительное изменение цены портфеля при изменении процентных ставок на рынке с 9 до 8% годовых;

3) планируемую и фактическую стоимости инвестиции в портфель в момент времени t = 2 года (момент погашения всех облигаций из портфеля);

4) планируемую и фактическую стоимости инвестиции в портфель в момент времени, равный дюрации портфеля (t = DP).

Решение.

1) Рассчитаем характеристики облигаций, из которых формируется портфель. В момент формирования портфеля процентные ставки для всех сроков r = 0,09 годовых.

Расчет цен облигаций, их дюраций и показателей выпуклости в момент t = 0 приведен в таблицах:

Облигация А1.

платежа платежа платежа Облигация А2.

платежа платежа платежа соответственно P1 = 93,157 д.е. и P2 = 98,241 д.е., их дюрации D1 = 1,925032 лет и D2 = 1,925291 лет, показатели выпуклости C1 = 5, лет2 и C2 = 5,70117 лет2.

Из облигаций вида А1 и А2 сформирован портфель П(4000, 6000), стоимость которого равна = 10000 д.е. Инвестиции в облигации каждого вида 1 = 4000 д.е., 2 = 6000 д.е.

Члены потока платежей от портфеля П(4000, 6000) рассчитываются по формуле (13.1). Поток платежей от портфеля показан в таблице:

В следующей таблице показан расчет дюрации и показателя выпуклости этого портфеля по определению (формулы (13.4), (13.5)):

платежа платежа платежа Ri Таким образом, дюрация портфеля в момент его покупки DP = 1, лет, показатель выпуклости CP = 5,70610 лет2.

Рассчитаем дюрацию и показатель выпуклости портфеля П(4000, 6000) по формулам (13.6) и (13.7). Определим доли облигаций в портфеле:

= 10000 д.е. Тогда 2) Рассчитаем относительное изменение цены портфеля при изменении процентных ставок на рынке сразу после формирования портфеля с 9 до 8% годовых. Так как r = 9%, r = – 0,01, DP = 1,925187, CP = 5,70610, то согласно (13.10) где = (0,08) – (0,09), = (0,09) = 10000 (д.е.).

В результате снижения процентной ставки цена портфеля увеличилась и приблизительно стала равной 3) Рассчитаем планируемую и фактическую стоимости инвестиции в портфель П(4000, 6000) в момент времени t = 2 (момент погашения всех облигаций из портфеля). В момент формирования портфеля безрисковые процентные ставки для всех сроков составляли r = 9% годовых. Сразу после формирования портфеля процентные ставки снизились до ~ = 8% годовых.

Цена покупки портфеля согласно условию задачи = (0,09) = д.е. Планируемая стоимость инвестиции в портфель на момент t = согласно (13.14) составляет Фактическую стоимость (0,08;2) рассчитаем по формуле (13.13), используя поток платежей от портфеля П(4000, 6000):

(0,08;2) = 107,345(1 0,08)1,5 595,940(1 0,08) 107,345(1 0,08)0,5 10997,195 = 11872,85.

Расчеты показывают, что (0,08;2) < (0,09;2), т.е. на момент погашения всех облигаций из портфеля t = 2 фактическая стоимость инвестиции в портфель меньше планируемой. Следовательно, на момент t = 2 портфель не иммунизирован против изменения процентных ставок на рынке.

4) Рассчитаем планируемую (0,09; DP) и фактическую (0,08; DP) стоимости инвестиции в портфель в момент времени, равный дюрации портфеля, t = DP = 1,925187. По формулам (13.14) и (13.13) находим 107,345(1 0,08)1, 925187 0,5 595,940(1 0,08)1,925187 1 107,345(1 0,08)1,925187 1, Так как (0,08; DP) > (0,09; DP), то в момент времени, равный дюрации портфеля, t = DP, портфель иммунизирован против изменения процентных ставок на рынке.

1.14. Управление портфелем облигаций в стратегии иммунизации.

Предположим, рынок облигаций удовлетворяет следующим условиям.

1. Можно купить и продать любое количество облигаций, в том числе нецелое.

2. Трансакционные расходы при покупке и продаже облигаций отсутствуют.

3. В начальный момент времени t = 0 безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r.

4. Процентные ставки могут измениться мгновенно на одну и ту же величину для всех сроков.

Пусть – сумма, которую в момент t = 0 инвестор вкладывает в покупку облигаций без кредитного риска для формирования портфеля.

Срок инвестиции (инвестиционный горизонт) – T лет. От этой инвестиции он рассчитывает получить сумму, не меньшую (1 + r)T. Очевидно, что после формирования портфеля процентные ставки на рынке могут измениться. Цель инвестора состоит в том, чтобы при любых изменениях на рынке обеспечить на заданный момент времени T стоимость своей инвестиции, не меньшую (1 + r)T. Стратегия иммунизации – способ управления портфелем облигаций, обеспечивающий защиту стоимости портфеля от изменений процентных ставок на рынке. В основе этой стратегии – принцип иммунизации Ф. Реддингтона (см. параграф 1.13).

Схема управления портфелем облигаций в стратегии иммунизации выглядит следующим образом.

t = 0. Формирование иммунизированного портфеля облигаций.

Портфель формируется из m видов облигаций без кредитного риска.

Чтобы портфель был иммунизирован от изменений процентной ставки сразу после t = 0 необходимо, чтобы дюрация портфеля совпадала с его инвестиционным горизонтом T лет (принцип Реддингтона). Следовательно, в момент t = 0 портфель должен быть сформирован в соответствии с решением системы:

то система (14.1) разрешима. Пусть 10, 20,..., m – решение этой системы.

Тогда в момент t = 0 сформирован портфель облигаций стоимость которого равна. Сумма инвестиций в облигации j – го вида портфель П0 на момент T равна (см. (13.14)):

Дюрация портфеля П0 равна его сроку T лет.

времени t1, t2,…, tn.

Если сразу после формирования портфеля (или до момента t1, первого платежа от портфеля) процентные ставки изменились до значений r1 и предполагается, что в дальнейшем они изменяться не будут, то фактическая стоимость инвестиции в П0 в момент t = T равна (формула 13.13):

Согласно иммунизирующему свойству дюрации портфеля процентных ставок на рынке до момента t1.

где 0(r1) – оценка портфеля П0 на момент t = 0 согласно новой временной структуре процентных ставок после t = 0 (см. формулу (13.15)).

t = t1. Переформирование портфеля облигаций.

Стоимость инвестиции в портфель П0 в момент t1 равна Таким образом, в момент времени t1 инвестор располагает денежной Инвестиционный горизонт портфеля составляет (T - t1) лет. Чтобы портфель был иммунизирован от изменений процентных ставок после t1, необходимо, чтобы дюрация портфеля в момент t1 совпадала с его инвестиционным горизонтом (T - t1) лет. Однако дюрация портфеля П0 в момент t1 скорее всего отличается от этого значения. Действительно, дюрация облигаций зависит от времени, оставшегося до погашения, и нового уровня доходности, и не существует причин, по которым изменения этих двух факторов обязательно снизят дюрацию портфеля ровно на t1 лет.

Поэтому в момент t1 портфель должен быть сбалансирован заново так, Опишем условия, в которых происходит переформирование портфеля П0 в момент t1:

отсутствуют;

рыночный уровень доходности r1;

цены и дюрации облигаций, из которых сформирован портфель, Чтобы сформировать портфель, дюрация которого равна (T – t1) годам, необходимо решить систему Пусть 1, 2,..., m – решение этой системы. Тогда в момент t = t сформирован портфель П1 = П( 1, 1,..., 1 ).

Для переформирования портфеля часть облигаций придется купить, часть облигации. Так как при покупке и продаже облигаций трансакционные расходы отсутствуют, то стоимость портфеля П1 равна 1 = 0(r1, t1) (см.

1 (r1, t1), j = 1, 2,…, m. Дюрация этого портфеля равна его сроку (T – t1) лет. Планируемая стоимость инвестиции в портфель П1 на момент T равна 1(r1, T) = 0(r1, t1) (1 r1 ) T t = 0(r1)(1 + r1)T = 0(r1, T) (см. (14.5)). Таким образом, – планируемая стоимость инвестиции в портфель П1 на момент T равна фактической стоимости инвестиции в портфель П0 на момент T.

моменты времени t2,…, tn.

Если сразу после t1 (или до момента t2) процентные ставки на рынке изменились до значения r2 и предполагается, что в дальнейшем они изменяться не будут, то фактическая стоимость инвестиции в П1 в момент t = T равна Согласно иммунизирующему свойству дюрации портфеля процентных ставок сразу после t1 (или до момента t2).

Итак, имеем Таким образом, в отсутствие трансакционных расходов сумма (1 + r)T иммунизирована от изменения процентных ставок на рынке, если инвестор придерживается стратегии иммунизации. Процедуру переформирования портфеля можно повторить в момент t2, когда поступит платеж от портфеля. Если в какой-то момент времени нельзя сформировать портфель с требуемой дюрацией, то имеющийся портфель продается, а все вырученные средства инвестируются под действующую на данный момент процентную ставку до окончания срока T.

Замечание. Теория иммунизации основана на предположении о горизонтальности кривой доходностей и параллельности ее сдвигов. В реальных условиях иммунизация, основанная на этих предположениях, не всегда приводит к желаемым результатам. Однако в целом исследования показывают, что дюрация Маколея портфеля облигаций приводит к столь же хорошим результатам, что и более сложные стратегии [13].

Пример 14.1. В начальный момент времени безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 8% годовых. На рынке имеются два вида купонных облигаций со следующими параметрами:

Вид Номинал Купонная Число платежей Срок до погашения Инвестор формирует портфель облигаций стоимостью 1000 д.е. с инвестиционным горизонтом 3 года. Рассчитать стратегию иммунизации этого портфеля для следующего изменения процентных ставок: 9% непосредственно после момента t = 1.

Решение.

t = 0. Формирование иммунизированного портфеля облигаций.

r = 8 % годовых - действующая процентная ставка в момент инвестирования. Значения цен и дюраций облигаций А1 и А2 в момент t = Чтобы сформировать портфель, дюрация которого равна 3 годам, необходимо решить систему:

процентных ставок сразу после t = 0.

t = 1. Переформирование портфеля облигаций.

94,663391.

Стоимость инвестиции в портфель П0 в момент t = 1 равна Таким образом, в момент времени t = 1 инвестор располагает денежной суммой и портфелем облигаций стоимостью:

400, Инвестиционный горизонт 2 года. Так как дюрация портфеля не совпадает переформировать.

Переформирование портфеля производится в момент действия ставки r1 = 0,09.

Цены и дюрации облигаций в момент t = 1:

Чтобы в момент t = 1 сформировать новый портфель облигаций, дюрация которого равна 2 годам, необходимо решить систему:

1(r1; 3), портфель П1 иммунизирован против изменения процентных ставок сразу после t = 1.

облигаций в момент t = 1. Обозначим через xj и yj, где j = 1, 2, денежные суммы, затраченные на покупку, и вырученные от продажи облигаций соответственно при переформировании портфеля. Тогда в момент t = облигации А1 куплены в количестве на сумму 1,409817 P11 = 1,409819 ·100,917431 = 142,2753 = x1.

Облигации А2 проданы в количестве на сумму 0,464365 P21 = 0,464365·102,531295 = 47,611945 = y2.

– затраты равны поступлениям. Следовательно, переформирование портфеля облигаций в момент t =1 происходит следующим образом. На вида покупаются облигации другого вида. Купля, продажа производятся по погашена. На рынке действует ставка r2 = 0,08. Дюрация портфеля П1 в портфеле. Инвестиционный горизонт портфеля П1 в момент t = 2 равен году. Так как дюрация портфеля не совпадает с его инвестиционным горизонтом, портфель необходимо переформировать. Однако из облигаций А2 нельзя сформировать портфель с дюрацией, равной 1 году. Портфель продается.

Стоимость инвестиции в портфель П1 в момент t = 2:

В момент t = 2 инвестор располагает суммой 550,599607 д.е. и облигациями облигаций вся вырученная сумма 1(r2; 2) = 1166,507344 д.е. инвестируется на 1 год (например, вкладывается на банковский счет) под действующую ставку 8% годовых. Через год можно получить сумму 1166,507344(1 + 0,08) = 1259,827931.

Таким образом, в результате осуществления стратегии иммунизации инвестор через 3 года получит сумму 1259,827931 д.е., которая больше планируемой с самого начала суммы, равной 1259,712000 д.е.

Иммунизация портфеля облигаций при наличии трансакционных расходов.

Предположим, рынок облигаций удовлетворяет перечисленным в начале параграфа условиям, кроме наличия трансакционных расходов.

При покупке и продаже облигаций удерживаются комиссионные в размере Cb и Cа соответственно.

Рассмотрим схему управления портфелем облигаций в стратегии иммунизации при наличии трансакционных расходов.

t = 0. Формирование иммунизированного портфеля облигаций.

Предположим, в начальный момент времени t = 0 инвестор формирует портфель облигаций стоимостью на срок T лет. Тогда на формирование этого портфеля инвестору потребуется сумма (1 + Cb). Портфель формируется из m видов облигаций без кредитного риска, цены и дюрации Безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r.

Портфель, защищенный от изменения процентных ставок сразу после покупки облигаций, формируется в соответствии с решением системы:

Пусть 10, 20,..., m – решение этой системы. Тогда в момент t = формируется портфель облигаций стоимость инвестиции в портфель П0 на момент T равна Дюрация этого портфеля равна его сроку T. Ожидаемый поток платежей от Если сразу после формирования портфеля (или до момента t1, первого платежа от портфеля) процентные ставки изменились до значений r1 и предполагается, что в дальнейшем они изменяться не будут, то фактическая стоимость инвестиции в П0 в момент t = T равна (формула 13.13):

Согласно иммунизирующему свойству дюрации портфеля процентных ставок на рынке до момента t1.

t = t1. Переформирование портфеля облигаций.

Стоимость инвестиции в портфель П0 в момент t1 равна Таким образом, в момент времени t1 инвестор располагает денежной обеспечить равенство дюрации портфеля (T - t1) годам, портфель необходимо переформировать.

Опишем условия, в которых происходит переформирование портфеля П0 в момент t1:

переформирование портфеля потребует от инвестора трансакционных расходов;

рыночный уровень доходности r1;

цены и дюрации облигаций, из которых сформирован портфель, Чтобы сформировать портфель, дюрация которого равна (T – t1) годам, необходимо решить систему Пусть 1, 2,..., m – решение этой системы. Для переформирования портфеля часть облигаций придется купить, часть – продать. Так как при покупке и продаже облигаций удерживаются комиссионные, то часть стоимости 0(r1,t1) (см.(14.17)) пойдет на трансакционные расходы при переформировании портфеля. Обозначим величину трансакционных расходов на переформирование портфеля через C. Пусть xj и yj, где j = 1, 2, …, m, – денежные суммы, затраченные на покупку, и вырученные от Чтобы минимизировать трансакционные расходы необходимо решить задачу линейного программирования:

min C Здесь Pj0, Pj1 – цена облигации j – го вида в моменты t = 0 и t = t соответственно.

Множество допустимых решений задачи ограничено и замкнуто. Задача разрешима. Пусть x1, x2,..., xm, y1, y2,..., ym, C1 – решение задачи (14.19). Тогда в момент t1 сформирован портфель облигаций П1 = П( 1, 1,..., 1 ).

Стоимость портфеля равна 1 = 0(r1, t1) – C1. Инвестиции в облигации инвестиции в портфель П1 на момент T равна моменты времени t2,…, tn.

Если сразу после t1 (или до момента t2) процентные ставки на рынке изменились до значения r2 и предполагается, что в дальнейшем они изменяться не будут, то фактическая стоимость инвестиции в П1 в момент t = T равна Согласно иммунизирующему свойству дюрации портфеля процентных ставок сразу после t1 (или до момента t2).

Если нельзя сформировать портфель с требуемой дюрацией, то имеющийся портфель продается, что снова потребует трансакционных расходов. Все вырученные средства размещаются на счет в банк под действующую на данный момент процентную ставку до окончания срока T.

Вследствие наличия трансакционных расходов полученная в результате сумма будет несколько меньше той, которая была бы в их отсутствие. При наличии трансакционных расходов инвестор сталкивается с проблемой выбора частоты пересмотра портфеля.

Пример 14.2. В начальный момент времени безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 10 % годовых. На рынке имеются два вида купонных облигаций со следующими параметрами:

Инвестор, располагая суммой 10050 д.е., желает сформировать портфель из указанных облигаций на 3 года. При покупке и продаже облигаций берутся комиссионные в размере 0,5 %. Рассчитать стратегию иммунизации этого портфеля для следующего изменения процентных ставок: 9% годовых сразу после формирования портфеля, 8 % годовых – непосредственно после момента t = 1.

Решение.

t = 0. Формирование иммунизированного портфеля облигаций.

r = 10% годовых - действующая процентная ставка в момент инвестирования. Значения цен и дюраций облигаций А1 и А2 в момент t = Чтобы сформировать портфель, дюрация которого равна 3 годам, необходимо решить систему:

начальный момент формируется портфель облигаций стоимость которого равна = 10000 д.е. Сумма инвестиций в облигации портфеля совпадает с его инвестиционным горизонтом 3 года. Поток платежей от этого портфеля приведен в таблице:

Проверка иммунизации портфеля П0.

Сразу после t = 0 процентные ставки изменились с r = 0,1 на r1 = 0,09 и предполагается, что в дальнейшем они изменяться не будут. Необходимо проверить иммунизацию портфеля П0.

Планируемая стоимость инвестиции в портфель на момент Т = 3 года равна:

0(r ; 3) = 10000(1 + 0,1)3 = 13 310,00.

Фактическая стоимость инвестиции в портфель на момент Т = 3 года равна:

0(r1; 3) = 845,441287(1 + 0,09)2 + 4399,986575(1 + 0,09) + Так как 0(r1;3) > 0(r; 3), портфель П0 иммунизирован против изменения процентных ставок сразу после t = 0.

t = 1. Переформирование портфеля облигаций.

инвестиции в портфель П0 в момент t = 1 равна Часть этой суммы будет затрачена на выплату комиссионных при переформировании портфеля. Переформирование портфеля производится в момент действия ставки r1 = 0,09. Цены и дюрации облигаций в момент t Чтобы в момент t = 1 сформировать новый иммунизированный портфель облигаций, дюрация которого равна 2 годам, необходимо решить систему:

Решение системы: 11 = 0,438302; 2 = 0,561698.

При переформировании портфеля в соответствии с найденным решением 11, 2 необходимо минимизировать трансакционные расходы.

Задача минимизации трансакционных расходов (14.19) имеет вид:

min C Здесь xj и yj, j = 1, 2, – денежные суммы, затраченные на покупку, и вырученные от продажи облигаций соответственно при переформировании портфеля. C – величина трансакционных расходов на переформирование портфеля. Cb = Cа = 0,005 – комиссионные при покупке и продаже облигаций соответственно. Тогда 3431, 96,528926 99,082569 x1 y1 0,43830211203,31525 C, 6568, 93, C = 0,005 ( x1 + x2 ) + 0,005 (y1 + y2).

min C Решение этой задачи симплекс – методом приводится в таблице:

Оптимальное решение задачи имеет вид:

После выплаты трансакционных расходов стоимость портфеля в момент t = станет равной Таким образом, в момент t = 1 сформирован портфель П1 = П( 1 ; 1 ), стоимость которого 1 = 11193,651503 д.е. Инвестиции в облигации каждого этого портфеля совпадает с его инвестиционным горизонтом 2 года. Поток платежей от портфеля П1 приведен в таблице:

где i = 1, 2, 3 – номер платежа от портфеля П1.

Проверка иммунизации портфеля П1.

Сразу после t = 1 процентные ставки снизились с r1 = 0,09 до r2 = 0,08 и предполагается, что в дальнейшем они изменяться не будут. Необходимо проверить иммунизацию портфеля.

Планируемая стоимость инвестиции в портфель П1 на момент Т = года равна:

1(r1; 3) = 11193,651503 (1 + 0,09)2 = 13299,177350.

Фактическая стоимость инвестиции в портфель на момент Т = 3 года равна:

Так как 1(r2; 3) > 1(r1; 3), портфель П1 иммунизирован против изменения процентных ставок сразу после t = 1.

облигаций в момент t = 1. В момент t = 1 облигации А1 куплены в количестве на сумму 13,970811 P11 = 13,970810·99,082569 = 1384,263793 = x1.

Облигации А2 проданы в количестве на сумму 5,627306 P21 = 5,627306·97,468705 = 548,486256 = y2.

Трансакционные расходы 0,005(x1 + y2) = 9,66375 = C продажи части облигаций одного вида покупаются облигации другого вида и выплачиваются комиссионные на переформирование портфеля. Купля, погашена. Рыночная ставка r2 = 0,08. Дюрация портфеля П1 в момент t = равна = 1,925926 – дюрации облигаций А2, оставшихся в портфеле.

Инвестиционный горизонт портфеля П1 в момент t = 2 равен 1 году. Так как дюрация портфеля не совпадает с его инвестиционным горизонтом, портфель необходимо переформировать. Однако из облигаций А2 нельзя сформировать портфель с дюрацией, равной 1 году. Портфель продается.

Стоимость инвестиции в портфель П1 в момент t = 2:

Портфель продается за вкладывается сумма под 8 % годовых. Через 1 год можно получить сумму 1.15. Простейшие активные и пассивные стратегии управления Стратегии управления портфелем облигаций разделяют на активные и пассивные. Активная стратегия предполагает изменение структуры портфеля в соответствии с изменениями условий на рынке. Стратегия иммунизации – активная стратегия управления портфелем облигаций.

Другой пример активной стратегии – стратегия управления дюрацией портфеля в соответствии с прогнозом изменения рыночных процентных ставок.

Если ожидается снижение процентных ставок, то дюрация портфеля увеличивается. И наоборот – если ожидается рост процентных ставок, то дюрация портфеля уменьшается. Изменение дюрации портфеля осуществляется с помощью обмена (свопа) облигаций из портфеля на новые. Выполняется так называемый упреждающий своп.

Пример 15.1. Имеется портфель П0 = П(1000, 1500, 2500, 4000) из облигаций четырех видов. Дюрации облигаций соответственно равны D1 = 1, года, D2 = 2 года, D3 = 3,5 года, D4 = 5 лет. В данный момент безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 8% годовых. Выполнить упреждающий своп для следующего прогноза процентных ставок: а) ставки увеличатся на 1%; б) ставки снизятся на 1%. Рынок облигаций удовлетворяет тем же условиям, что и в параграфе 1.14. Трансакционные расходы при покупке и продаже облигаций отсутствуют.

Дюрация портфеля П0 согласно формуле (13.6) равна стоимость портфеля = 9000 д.е. Относительное изменение стоимости портфеля П0 при изменении процентных ставок на рынке на величину r согласно формуле (13.9) приблизительно равно ставок на 1 % стоимость портфеля П0 снизится и станет равной Чтобы падение цены портфеля было менее резким, дюрацию портфеля следует уменьшить. Для этого долгосрочные облигации надо заменить на краткосрочные. Облигации с дюрацией D4 = 5 лет – продать и на вырученную сумму 4000 д.е. приобрести облигации с дюрацией D1 = 1, Стоимость портфеля не изменилась. Его дюрация равна Тогда относительное изменение стоимости портфеля П1 при увеличении процентных ставок на 1 % приблизительно равно а новая стоимость П1 в результате увеличения процентных ставок на 1 % составит При снижении процентных ставок на 1 % стоимость портфеля П0 станет Чтобы еще больше увеличить цену портфеля, его дюрацию следует увеличить. Для этого краткосрочные облигации надо заменить на долгосрочные. Облигации с дюрацией D1 = 1,5 года – продать и на вырученную сумму 1000 д.е. приобрести облигации с дюрацией D4 = лет. Новый портфель имеет вид П1 = П(0,1500, 2500, 5000). Стоимость портфеля не изменилась. Его дюрация равна Тогда относительное изменение стоимости портфеля П1 при снижении процентных ставок на 1 % составит а новая стоимость П1 равна Заметим, что исследования не подтверждают возможность прогнозирования процентных ставок, позволяющую постоянно получать доходность выше рыночной.

Пассивная стратегия управления портфелем облигаций предполагает, что структура портфеля, сформированного в начальный момент времени, остается неизменной в течение всего срока существования портфеля независимо от ситуации на рынке. Один из примеров пассивной стратегии управления портфелем – портфель с согласованными денежными потоками, или предназначенный портфель. Согласно этой стратегии, облигации приобретаются таким образом, что финансовый поток, получаемый в каждый период, в точности равен оттоку средств за этот период. Рассмотрим формирование такого портфеля. Предположим, инвестор через t1, t2,…, tn лет от текущего момента времени t = 0 должен выплатить денежные суммы S1, S2,…, Sn соответственно. На рынке имеются m видов облигаций без кредитного риска, из которых можно сформировать портфель с потоком платежей в моменты t1, t2,…, tn. Цены облигаций в момент t = 0 равны соответственно P1, P2,…, Pm.

Требуется сформировать портфель наименьшей стоимости, поток платежей от которого достаточен для выполнения обязательств инвестора. Предположим, на рынке можно купить любое количество облигаций, в том числе нецелое. Пусть xj – количество облигаций j – го вида в портфеле, j = 1, 2,…, m. Тогда портфель формируется в соответствии с решением задачи:

Здесь платеж по облигации j – го вида в момент ti, i = 1, 2, …, n. Решением задачи (15.1) является портфель, позволяющий выполнить обязательства инвестора и имеющий наименьшую стоимость. Для такого портфеля нет необходимости реинвестировать поступающие платежи. Следовательно, отсутствует реинвестиционный риск. Кроме того, портфель не продается до погашения. Значит, отсутствует процентный риск.

Пример 15.2. Через 1, 2 и 3 года инвестору предстоят выплаты в размерах 260 д.е., 660 д.е., 440 д.е. соответственно. На рынке имеются облигации двух видов А1 и А2 с параметрами Сформировать из этих облигаций портфель наименьшей стоимости, платежи от которого позволяют выполнить обязательства инвестора.

Задача (15.1) имеет вид:

Это задача линейного программирования, которую можно решить графическим методом.

При решении задачи используем две теоремы из линейного программирования.

Теорема о разрешимости задачи линейного программирования: задача (минимизации) линейного программирования разрешима тогда и только тогда, когда множество допустимых решений задачи не пусто, а целевая функция ограничена снизу на множестве допустимых решений задачи. Теорема об оптимальном решении задачи линейного программирования: если задача линейного программирования разрешима, то по крайней мере одна из угловых точек множества ее допустимых решений является оптимальным решением этой задачи.

Несложно убедиться, что задача разрешима. А(4;4,4), В(6,4), С(66,0) – угловые точки множества ее допустимых решений. Значения целевой функции в этих точках f(А) = 1060, f(В) = 1200, f(С) = 6600. Следовательно, точка А(4;4,4) – оптимальное решение задачи. Предназначенный портфель П(400, 660) содержит 4 облигации вида А1 и 4,4 облигации вида А2. Стоимость портфеля 1060 д.е. Сделаем проверку. Платежи от портфеля в конце 1 – го, 2 – го и 3 – го годов равны соответственно:

Как видим, портфель позволяет выполнить обязательства инвестора. В конце – го года от портфеля поступают избыточные средства.

Недостатком этой стратегии является то, что согласование потока платежей и потока обязательств является трудным и дорогостоящим. Это объясняется тем, что на рынке существует лишь конечный набор чисто дисконтных облигаций и для формирования нужного потока платежей от портфеля инвестор вынужден приобретать купонные облигации. Вследствие этого в моменты t1, t2,…, tn от портфеля могут поступать избыточные средства. Уменьшить стоимость портфеля позволяет использование следующей разновидности стратегии предназначенного портфеля. Избыточная часть Gi поступающего платежа от портфеля в момент ti, i = 1, 2,…, n – 1, используется для выполнения обязательства инвестора в следующий момент ti+1. Эта часть платежа реинвестируется на срок (ti+1 – ti) лет под действующую в момент ti годовую безрисковую процентную ставку ri. Тогда портфель формируется в соответствии с решением следующей задачи:

Чтобы решить эту задачу, необходимо знать годовые безрисковые процентные ставки ri для инвестиций в момент ti на срок (ti+1 – ti) лет, i = 1, 2,…, n – 1.

Пример 15.3. В условиях примера 15.2 избыточная часть платежей от портфеля реинвестируется для выполнения обязательства инвестора через год.

Безрисковые процентные ставки на весь период 5 % годовых.

Задача (15.2) имеет вид:

Решим эту задачу симплекс – методом.

Оптимальное решение задачи = 0, = 6,676778, G1 = 73,838918, G2 = 419,047619. Значение функции f( x10, x 2 ) = 1001,5168. Следовательно, предназначенный портфель П(0; 1001,5168) не содержит облигации вида А1 и содержит 6,676778 облигаций вида А2. Стоимость портфеля снизилась по сравнению с его стоимостью в предыдущем примере и составляет 1001,5168 д.е.

Сделаем проверку.

В конце 1 – го года платеж от портфеля составит 506,676778 = 333, д.е. Из них 260 д.е. выплачиваются по обязательствам инвестора, а оставшиеся G1 = 73,838918 д.е. реинвестируются на 1 год по ставке 5% годовых.

В конце 2 – го года инвестор получит сумму: 1506,676778 + 73,838918(1 + 0,05) = 1079,04756 д.е. Из них 660 д.е. выплачиваются по обязательствам инвестора, а оставшаяся сумма G2 = 419,047619 д.е. реинвестируется на 1 год по ставке 5% годовых.

В конце 3 – го года платеж от портфеля не поступает. Результат наращения суммы G2 за год составит 419,047619(1 + 0,05) = 440 д.е. – сумма, необходимая инвестору для выполнения его обязательства в конце 3 – го года. Таким образом, предназначенный портфель составлен только из облигаций вида А2 и позволяет выполнить обязательства инвестора. Стоимость портфеля 1506,676778 = 1001,5168 д.е., что заметно ниже суммы, необходимой инвестору для выполнения его обязательств согласно первому варианту стратегии (пример 15.2).

1. Срок погашения долга – 10 лет. При выдаче кредита была использована сложная учетная ставка 4 % годовых. Величина дисконта за 6-й год срока долга составила 339,738624 д.е. Какова величина дисконта за 3-й и 8-й годы в сроке долга? Какова сумма кредита? Ответ получить двумя способами.

2. На вклад начисляются сложные проценты 8 % годовых. Проценты за 6й год вклада составили 117,546246 д.е. Какова величина процентов за 3-й и 8-й годы вклада? Какова сумма вклада к концу 8-го года? Ответ получить двумя способами.

3. Сравнить темпы наращения суммы долга по простым процентным ставкам i и d, полагая их равными. Результат сравнения показать на рисунке в виде кривых наращения. Покажите на рисунке величину дохода кредитора, считая заданным срок долга. Для каждой из процентных ставок i и d сделать расчеты суммы погашаемого долга в следующей кредитной операции: ссуда в 10 тыс. д.е. выдана под ставку 12 % годовых с ежемесячным начислением простых процентов. Срок долга 0,5 года, 1 год, 1,5 года. Сравнить для ставок i и d доход кредитора за каждый месяц и весь срок долга. Соответствуют ли результаты расчетов построенным кривым ? Какой можно сделать вывод?

4. Используя выкладки из предыдущей задачи, сравнить скорости дисконтирования по простым ставкам i и d. Нарисовать дисконтные кривые. На рисунке показать величину дисконта, считая заданным срок долга. Сравнить результаты учета векселя на сумму 300 тыс. д.е. методами математического и банковского дисконтирования простыми процентами 6 % годовых за три месяца до погашения. Каков ежемесячный доход кредитора в каждом случае и доход за весь срок? На какую сумму был бы учтен вексель каждым из методов за 0,5 года и 9 месяцев до погашения? Соответствуют ли результаты расчетов построенным кривым?

процентным ставкам i(m) и d(m), полагая их равными. Результат сравнения показать на рисунке в виде кривых наращения. Рассчитать сумму погашаемого долга, полученную каждым из методов, для ссуды в 1000 д.е. при ежемесячном начислении процентов по номинальной ставке 6% годовых в течение 0,5 года, года, 2 лет, 3 лет. Проверьте соответствие результатов расчетов построенным кривым.

6. В условиях предыдущей задачи рассчитать соответствующие эффективные процентные ставки. Как объяснить неравенство ief > def ?

7. Доказать, что эффективная процентная ставка измеряет реальный относительный доход, получаемый в целом за год от начисления процентов.

8. Сравнить скорости дисконтирования по номинальным процентным ставкам i(m) и d(m). Показать на рисунке дисконтные кривые. Для заданного срока долга показать на этом рисунке величину дисконта. Используя данные методы дисконтирования, сделать расчеты современной стоимости и величины дисконта для следующей финансовой операции. Финансовый инструмент на сумму 8000 д.е. продан за 5 лет до погашения. Дисконтирование долга осуществляется ежеквартально по номинальной ставке 5 % годовых.

Соответствуют ли результаты расчетов построенным кривым ?

9. Сумма 1000 д.е. размещена на депозит. Определить величину вклада через 1 год и через 3 года, если для наращения применяется номинальная процентная ставка 8 % годовых при начислении процентов а) ежемесячно б) каждые полгода. Сформулировать зависимость от m наращенной суммы долга при наращении по номинальной процентной ставке. Для случаев а) и б) рассчитать соответствующие эффективные процентные ставки. Объяснить полученное соотношение между эффективными ставками.

10. Известно, что эффективная процентная ставка составляет 15 % годовых. Найти соответствующие номинальные процентные ставки i i(52), i(365). Объяснить поведение процентных ставок.

11. Известно, что эффективная учетная ставка составляет 12 % годовых.

Найти соответствующие номинальные учетные ставки d Объяснить поведение процентных ставок.

12. 5000 д.е. должны быть возвращены через 4 года. Определить современную величину погашаемого долга и величину дисконта, если дисконтирование долга осуществляется по номинальной учетной ставке 6 % годовых а) ежеквартально б) каждые полгода. Сформулировать зависимость от m современной величины погашаемого долга, если для дисконтирования применяется номинальная учетная ставка. Для случаев а) и б) рассчитать соответствующие эффективные учетные ставки. Объяснить полученное соотношение между эффективными ставками.

13. Определить результат наращения суммы 100 д.е. по ставкам простых и сложных процентов iпр. = iсл. = i(m) = = d(m) = dсл. = dпр. = 10 % годовых для следующих сроков: 90 дней, 180 дней, 1 год, 2 года и m = 2. Финансовый год равен 360 дням. Какие свойства наращенной суммы долга можно установить по этим расчетам? Какая схема начисления процентов и для каких сроков применяется наращение по процентной ставке i, по учетной ставке d, по непрерывной ставке.

14. Определить современную величину 1000 д.е., если дисконтирование долга производится по ставкам простых и сложных процентов iпр. = iсл. = i(m) = = d(m) = dсл. = dпр. = 13 % годовых для следующих сроков долга: 90 дней, дней, 1 год, 2 года и m = 2. Финансовый год равен 360 дням. Какие свойства современной стоимости долга можно установить по этим расчетам? Какая схема начисления процентов и для каких сроков выгоднее кредитору (заемщику)?

Привести пример операции, когда для учета долга применяется математическое дисконтирование, банковское дисконтирование.

15. Определить срок долга, за который сумма 5000 д.е. вырастет до i(12) = d = d (4) = d(12) = = 0,15. Результат проиллюстрировать на рисунке. Какое свойство наращенной суммы долга можно установить по этим расчетам?

16. При условии, что = 0,1, найти значения эквивалентных процентных ставок: а) i, i (4), i(12), i(52), i(365) ; б) d, d (4), d(12), d(52) , d(365).

Сделать вывод.

17. Определить величину силы роста при непрерывном начислении процентов в течение 3 лет, которая эквивалентна: а) учету в банке долгового обязательства за 3 года до погашения по годовой учетной ставке 15 %; б) сложной процентной ставке 14 % годовых с ежемесячным начислением процентов; в) сложной процентной ставке 8,5 % годовых с начислением процентов каждые 3 месяца.

18. В условиях предыдущей задачи срок долга 9 месяцев.

19. Определить сложную процентную ставку с ежемесячным начислением процентов, эквивалентную силе роста 8 % при непрерывном начислении процентов в течение 9 месяцев.

20. Предполагается, что годовая интенсивность процентов является кусочно-непрерывной функцией времени:

величину 500 д.е., подлежащих выплате через: а) 3 года; б) 10 лет.

21. Долг в размере 1000 д.е. должен быть погашен через 1,5 года. При выдаче кредита использовалась переменная годовая процентная ставка: в первые три месяца срока долга 8 %, в следующие три месяца 8,5 %, затем полгода 9 % и последние полгода 10 %. Какова сумма кредита? Рассмотреть математическое и банковское дисконтирование по простым и сложным процентным ставкам, включая непрерывную.

22. Необходимо учесть долговое обязательство на сумму 50000 д.е. за года до погашения. Банк для учета обязательств применяет сложную процентную ставку 5 - 7% годовых. Проценты могут начисляться 1, 2 или раза в год. Указать условия договора, по которому это обязательство может быть учтено.

23. При выдаче кредита на 200 дней под 10% годовых кредитор удерживает комиссионные в размере 0,5% от суммы кредита. Ставка налога на проценты 10%. Какова доходность операции для кредитора?

24. Обязательство об уплате 8000 д.е. 01.03 и 12000 д.е. 30. пересмотрено так, что первая выплата в сумме 6000 д.е. будет произведена 01.02, а остальная часть долга гасится 15.11. Для замены обязательства применялась сложная процентная ставка 6% годовых. В финансовом году дней.

1) Определить сумму погашаемого остатка. Уравнение эквивалентности составить относительно 01.03 и относительно 01.02. Что выражает уравнение эквивалентности в каждом случае? Зависит ли ответ от выбранного момента времени для составления уравнения эквивалентности?

2) Какой суммой, выплачиваемой сегодня, можно было бы заменить старое обязательство?

25. Реструктуризация государственного долга была произведена следующим образом. Долг в сумме 1,4 млрд. д.е., который должен быть выплачен 1 января 1995 года, преобразован в облигации, выпущенные под гарантии правительства. По этим облигациям государство, начиная с 1 января 1995 года дважды в год выплачивает равные суммы до 2007 года. Для реструктуризации долга использовалась ставка (сложная) 3 % годовых. Какова сумма отдельного погасительного платежа ?

26. Предполагается, что годовая интенсивность процентов – показательная функция времени. Начальное значение интенсивности процентов 0.1, а годовой темп изменения интенсивности процентов установлен на уровне 1,1; 1; 0,9.

Рассчитать значения множителя наращения для следующих сроков долга: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 лет. Сделать рисунок.

27. Годовая интенсивность процентов – показательная функция времени = 0at. Получить зависимость от времени дисконтных множителей для (t) возможных значений a. Сделать рисунок.

28. Предполагается, что годовая интенсивность процентов - показательная функция времени (t) = 0,12 at. Найти современную стоимость 500 д.е., подлежащих выплате через 2 года, если годовой темп изменения интенсивности процентов установлен на уровне 0,8; 1,1; 1. Объяснить соотношение между полученными суммами. Проверьте соответствие результатов расчетов рисунку, полученному в предыдущей задаче.

29. Предполагается, что годовая интенсивность процентов – линейная функция времени. Определить срок удвоения суммы долга, если начальное значение интенсивности процентов 0.1, а годовой прирост интенсивности процентов составляет 0.05, – 0.05 и 0. Результат показать на рисунке.

30. Годовая интенсивность процентов - линейная функция времени (t) = + at. Получить зависимость от времени дисконтных множителей для возможных значений a. Сделать рисунок.

31. Предполагается, что годовая интенсивность процентов - линейная функция времени (t) = 0,13 + at. Найти современную стоимость 2000 д.е., подлежащих выплате через 3 года, если годовой прирост интенсивности процентов составляет 0.04, – 0.04 и 0. Объяснить соотношение между полученными суммами. Проверьте соответствие результатов расчетов рисунку, полученному в предыдущей задаче.

32. Заем величиной 10000 д.е. должен быть оплачен в течение 10 лет постоянной обычной рентой, выплачиваемой ежемесячно. Сумма ежемесячного платежа рассчитывается на основе ежемесячной процентной ставки 1%. Найти:

а) сумму ежемесячного взноса;

б) величину погашенного основного долга и выплаченных процентов к концу первого года;

в) номер платежа, после которого невыплаченный долг становится меньше 5000 д.е.

33. Четырехгодичный контракт предусматривает взносы в два этапа с начислением на них сложных процентов по годовой процентной ставке 0,08 на первом этапе в течение первых 1,5 лет и по годовой процентной ставке 0,1 на втором этапе в последующие 2,5 года. На первом этапе взносы по 5000 д.е.

производятся в конце каждого полугодия. На втором этапе взносы по 8000 д.е.

производятся в конце каждого квартала. Найти величину вклада к концу четвертого года контракта.

34. Должник согласен оплатить заем величиной 3000 д.е. пятнадцатью годовыми выплатами величиной 500 д.е. с первой выплатой через 5 лет. Найти доходность этой сделки.

35. Заем величиной 5000 д.е. погашается одинаковыми ежемесячными взносами. На долг ежемесячно начисляются сложные проценты по ставке 12% годовых. За какой срок долг будет погашен, если ежемесячный взнос составляет: а) 50 д.е.; б) 100 д.е.?

36. Для покупки через 12 лет оборудования за 200 000 д.е. фирма каждый год вкладывает деньги в резервный фонд для начисления сложных процентов по годовой процентной ставке 0,06. Первоначальные взносы были по 11855,41 д.е.

После 8 лет банк увеличил годовую процентную ставку до 0,08. Какой величины были взносы в оставшийся период?

37. Определите ставку внутренней нормы доходности инвестиционного проекта со следующим потоком платежей: (-20, -35, -25, 25, 45, 45, 20). Ставка банковского процента равна 20 %. Следует ли осуществлять проект?

38. Рассчитать показатели эффективности инвестиционного проекта с начальными инвестициями 10000 д.е. и постоянными доходами 4000 д.е. в год.

Ставка процента 8% годовых.

39. Сравнить проекты (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20) и (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110) по критерию максимального NPV и по критерию максимального IRR. Указать преимущество выбранного проекта в каждом случае. Ставка процента 15 % годовых.

40. Инвестор рассматривает возможность помещения денег в один из следующих займов. Заем А: за цену покупки 10000 д.е. инвестор будет получать 1000 д.е. в год, выплачиваемых ежеквартально на протяжении 15 лет. Заем В: за цену покупки 11000 д.е. инвестор будет получать годовой доход 605 д.е., выплачиваемых ежегодно на протяжении 18 лет, и возмещение его расходов в конце этого срока.

Инвестор может ссужать или занимать деньги под 4 % годовых. Какой проект является более выгодным для инвестора?

41. Определить годовую внутреннюю доходность облигации А со следующим потоком платежей:

42. Известны безрисковые процентные ставки r(1) = 0,05; r(1,5) = 0,06; r(2) интерполирование. Зная кривую доходностей, определить рыночную цену облигации со следующим потоком платежей:

43. Купонные 10%-ные облигации, каждая номиналом 1000 д.е. и годовой внутренней доходностью 8%, имеют сроки до погашения 10 и 20 лет соответственно. Определить размер премии для каждой облигации в данный момент и через год при условии, что внутренняя доходность облигаций остается постоянной до их погашения. Сравнить изменения премий. Купонные платежи производятся ежегодно. Решение задачи показать на рисунке.

44. Купонные 10%-ные облигации, каждая номиналом 1000 д.е. и годовой внутренней доходностью 12%, имеют сроки до погашения 8 и 15 лет соответственно. Определить размер дисконта для каждой облигации в данный момент и через год при условии, что внутренняя доходность облигаций остается постоянной до их погашения. Сравнить изменения дисконтов. Купонные платежи производятся ежегодно. Решение задачи показать на рисунке.

45. По 6% купонной облигации номиналом 200 д.е. обещают производить каждый квартал купонные платежи. Определить цену облигации в момент, когда до погашения облигации остается: а) 16 месяцев; б) 15 месяцев.

46. По 10% - ной купонной облигации номиналом 1000 д.е. в конце каждого квартала обещают производить купонные выплаты в течение 5,2 лет.

Внутренняя доходность облигации составляет 8% годовых. Определить котируемую цену облигации и величину накопленного купонного дохода, который должен оплатить покупатель облигации.

47. Дана 10%-ная купонная облигация номиналом 1000 д.е., по которой обещают производить купонные выплаты дважды в году течение 4-х лет.

Определите величину дюрации и показателя выпуклости облигации, если безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны: а) 10%; б) 9%; в) 8% годовых.

48. Дана купонная облигация номиналом 1000 д.е., по которой обещают производить купонные выплаты дважды в году в течение 4-х лет. Безрисковые процентные ставки одинаковы для всех сроков и составляют 10% годовых.

Определите величину дюрации и показателя выпуклости облигации, если купонная ставка составляет:

а) 7%; б) 8% ; в) 10% годовых.

49. Даны две облигации с 10%-ными купонными ставками и номиналом 1000. Одна из них имеет срок до погашения 4 года, а другая - 15 лет. По обеим облигациям производятся ежегодные процентные платежи. Предположив, что доходность облигаций возрастает с 10% до 14%, рассчитайте цену облигаций до и после изменения процентных ставок. Объясните различия в процентных изменениях цен облигаций.

50. Не производя вычислений, ранжируйте следующие облигации по дюрации:

51. Можно ли сказать, не производя вычислений, какая из трех облигаций будет иметь большее процентное изменение цены при изменении безрисковых процентных ставок на одну и ту же величину? Предполагается, что облигации продаются с одной и той же внутренней доходностью.

52. Даны две облигации, потоки платежей по которым заданы в таблицах Внутренняя доходность облигаций составляет 8% годовых. Определите дюрацию и показатель выпуклости этих облигаций.

53. Дана облигация, поток платежей по которой задан в таблице Безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 6% годовых. Все платежи по облигации отсрочили на 0,5 года. Оцените процентное изменение цены облигации с отсроченными платежами, если безрисковые процентные ставки для всех сроков увеличились на 1%.

54. Дана 10%-ная купонная облигация с полугодовыми купонами.

Внутренняя доходность облигации равна 6%. Определите дюрацию облигации, когда до ее погашения остается лет, если n = 1,2,…,10. Зависимость дюрации от срока до погашения показать на рисунке.

55. Дана 6%-ная купонная облигация с ежегодными купонами. Внутренняя доходность облигации равна 15%. Определите дюрацию облигации, когда до ее погашения остается n лет, если n = 1,2,…,20. Зависимость дюрации от срока до погашения показать на рисунке.

56. Дана 6%-ная купонная облигация с полугодовыми купонами.

Внутренняя доходность облигации равна 15%. Определите дюрацию облигации, когда до ее погашения остается лет, если n = 1,2,…,30. Зависимость дюрации от срока до погашения показать на рисунке.

57. Дана купонная облигация со следующими характеристиками: номинал 1000 д.е., срок до погашения 9,25 лет, купонные платежи каждые полгода.

Внутренняя доходность облигации 9% годовых. Сравнить относительные изменения цены облигации при изменении ее внутренней доходности на величину ± 2% для купонных ставок 8% и 9% годовых.

58. Рассматривается 8% купонная облигация номиналом 1000 д.е., по которой обещают производить купонные выплаты дважды в году в течение 3-х лет. Безрисковые процентные ставки одинаковы для всех сроков и равны 10% годовых.

1) Вычислить дюрацию и показатель выпуклости облигации;

2) оценить относительное изменение цены облигации при изменении процентных ставок на ± 1%, используя а) только дюрацию облигации; б) дюрацию и показатель выпуклости облигации. Указать роль каждого из показателей в оценке изменения цены облигации. Сделать рисунок.

59. На рынке имеется 9% купонная облигация номиналом 1000 д.е., по которой обещают каждый год производить купонные выплаты в течение 5 лет.

Безрисковые процентные ставки одинаковы и равны 9% годовых. Найти планируемую фактическую стоимость инвестиции в облигацию в момент времени, равный дюрации облигации, если через полгода после покупки облигации процентные ставки снизились до 8,5 %, а через 1,5 года после покупки снова установились на уровне 9 % годовых.

60. Инвестор со сроком инвестиции 3 года рассматривает покупку 20летней облигации, купонные платежи по которой выплачиваются каждые полгода. Номинал облигации 1000 д.е., годовая купонная ставка 8 %, доходность к погашению 10 % годовых. Инвестор ожидает, что он сможет реинвестировать купонные выплаты по годовой ставке 6 % и в конце планируемого срока инвестиции 17-летняя облигация будет продаваться с доходностью к погашению 7 % годовых. Определить годовую доходность инвестиции в эту облигацию на 3 года при этих условиях.

61. Имеются облигации трех видов:

показатель выпуклости портфеля (рыночную процентную ставку определить из условия задачи).

62. Дюрации пяти видов облигаций соответственно равны: 3; 3.5; 3.75; 4.2;

4.5 лет, а их показатели выпуклости – 10, 12, 15, 20 и 25 лет2. Сформировать портфель из этих облигаций с дюрацией, равной 4 годам и наименьшим значения показателя выпуклости портфеля оценить относительное изменение цены портфеля при изменении рыночной процентной ставки с 9% до 8% годовых.

63. Портфель составлен из облигаций трех видов. Купонные платежи по облигациям производятся раз в год.

Определить средневзвешенную доходность портфеля и внутреннюю ставку доходности.

64. Инвестор через два года должен осуществить за счет своего портфеля платеж 1 млн. д.е. Инвестор рассматривает возможности инвестирования в облигации двух видов В 1 и В 2, параметры которых приведены в таблице:

Процентные ставки на рынке одинаковы для всех сроков и составляют 10 % годовых. Предполагается, что процентные ставки на рынке могут измениться на одну и ту же величину для всех сроков. Считая, что сразу после формирования портфеля процентные ставки а) поднялись до 11 % ; б) снизились до 9 %, 1) рассмотреть возможные альтернативы инвестора;

2) сформировать иммунизированный портфель, позволяющий инвестору через два года выполнить его обязательство.

65. В начальный момент времени безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 8% годовых. На рынке имеются купонные облигации со следующими параметрами: A1 = A2 = 100 д.е., f1 = f2 = 10%, T1 = 2 года, T = 4 года. Рассчитать стратегию иммунизации портфеля при инвестировании 10000 д.е. в данные облигации сроком на 3 года, если через год после инвестирования безрисковые процентные ставки увеличились до 9% годовых.

66. В условиях предыдущей задачи учесть, что при покупке и продаже облигаций берутся комиссионные в размере 0,5 %.

67. Через 1, 2 и 3 года инвестору предстоят выплаты соответственно в размерах 400, 600 и 1000 д.е. На рынке имеются облигации А и В со следующими параметрами:

Рыночная ставка для всех сроков 5% годовых. Сформировать портфель наименьшей стоимости, позволяющий инвестору:

1) выполнить его обязательства;

2) выполнить его обязательства при условии, что часть платежа, поступающего от портфеля, используется для выполнения обязательства Рекомендуемая литература Четыркин Е.М. Финансовая математика. Учебник. М.: Изд-во “Дело”, 2000.

Чуйко А.С., Шершнев В.Г. Математические основы финансового обслуживания. М.: Изд-во РЭА, 2000.

МакКачион Дж.Дж., Скотт У.Ф. Введение в математику финансов. – М.:

Ковалев В.В., Уланов В.А. Курс финансовых вычислений. – М.: “Финансы и статистика”, 1999.

Ковалев В.В. Методы оценки инвестиционных проектов. – М.: “Финансы и статистика”, 1999.

Четыркин Е.М. Финансовый анализ производственных инвестиций. М.:

Изд-во “Дело”, 1998.

Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложения. Учебн.-практ.

пособие для вузов. – М.: Изд-во “ПРИОР”, 1999.

Барбаумов В.Е., Гладких И.М., Чуйко А.С. Финансовые инвестиции. Ч.1.

Инвестиции с фиксированными доходами. Учебное пособие. М.: Изд-во Воронцовский А.В. Методы обоснования инвестиционных проектов в условиях определенности. Учебное пособие. Изд-во Санкт-Петербургского университета, 1999.

10. Аньшин В.М. Инвестиционный анализ. Учебное пособие. М.: Изд-во “Дело”, 2000.

11. Лоренс Дж. Гитман, Майкл Д. Джонк. Основы инвестирования. – М.: Издво Дело, 1999.

12. МакЛафлин Д.Дж. Ценные бумаги: как добиться высоких доходов. М.:

Изд-во «ДЕЛО», 1999.

13. Фрэнк Дж. Фабоцци Управление инвестициями. – М.: Изд-во «ИНФРАМ», 2000.

14. Шарп У.Ф., Александер Г.Дж., Бэйли Дж.В. Инвестиции. - М.: ИНФРА-М, 15. Benninga S. Financial Modeling. MIT, 2000.

16. Broverman S.A. Mathematics of investment and credit. Winsted, ACTEX Publ.

17. Zima P., Brown R.L. Mathematics of Finance. McGraw-Hill, 1993.