«Математические методы финансового анализа Под научной редакцией д.ф.-м.н., профессора Мельникова А.В. Оглавление Предисловие научного редактора Часть I. Финансовый анализ в условиях определенности Введение. 1.1. Методы ...»

Реальные инвестиции - это вложение денежных средств в материальные ресурсы: землю, недвижимость, оборудование. Производственные инвестиции один из видов реальных инвестиций. Это вложения в создание, реконструкцию или перепрофилирование производственного предприятия.

Финансовые инвестиции - это вложение денежных средств в финансовые инструменты. Финансовый инструмент - это ценная бумага любого вида.

Ценная бумага - это документ, закрепляющий за ее держателем право на получение при определенных условиях доходов в будущем. Различают основные и производные финансовые инструменты. Основные - акции, облигации, векселя, сберегательные счета и депозиты. К производным финансовым инструментам относятся финансовые фьючерсы, опционы, варранты и др.

взаимодополняющими. Например, компании требуются средства для строительства завода. Эти реальные инвестиции можно профинансировать за счет продажи новых акций на первичном рынке ценных бумаг. В свою очередь, покупка акций представляет собой финансовые инвестиции для покупателей. В развитых экономиках финансовые инвестиции составляют большую часть всех инвестиций и играют важную роль в финансировании реальных инвестиций в экономику. В данном параграфе изучаются методы оценки эффективности производственных инвестиций.

Показатели эффективности инвестиционных проектов.

Для привлечения производственных инвестиций разрабатывается инвестиционный проект. Основная характеристика инвестиционного проекта – финансовый поток расходов и доходов. Этот поток представляет собой модель предполагаемого потока платежей по проекту и строится на основе совокупности прогнозных оценок на время реализации проекта.

Инвестиционный проект, рассматриваемый в условиях определенности, описывается своим чистым денежным потоком R0, R1, R2,…, Rn в моменты времени t = 0, t1, t2,…, tn соответственно, где 0 < t1 < t2 < …< tn = T. Начало проекта t = 0 - момент вложения исходной инвестиции в размере I, T - срок проекта. Как следует из определения чистого денежного потока (параграф 1.4), член потока Rk = ak – bk, k = 0,1, 2,…, n, где a0, a1, a2,…, an – доходы по проекту в моменты t = 0, t1, t2,…, tn и расходы b0 = I, b1, b2,…, bn в те же моменты времени (в большинстве случаев только одна из сумм ak и bk будет ненулевой). Член денежного потока R0 = – b0 = – I, так как очевидно, что a0 = 0.

Rk > 0 означает превышение поступления над расходом в момент tk,, при обратном соотношении Rk < 0. Очевидно, могут быть и нулевые члены денежного потока. Если финансовый поток проекта представляет собой непрерывно-дискретный поток платежей (см. параграф 1.4), то чистый денежный поток проекта содержит чистую интенсивность f(t) = f2(t) - f1(t), где f2(t) и f1(t) – интенсивности потоков доходов и расходов в момент t соответственно, t [ 1, 2 ] [0, T ]. Таким образом, инвестиционный проект описывается финансовым потоком вида или (R0, R1, R2,…,Rn в моменты t = 0, t1, t2,…, tn; f(t), t [1,2] [0, T] ), где Rk = ak – bk, k = 0,1, 2,…, n;

(a0, a1, a2,…, an в моменты t = 0, t1, t2,…, tn; f2(t), t [1,2] [0, T] ) - поток доходов от проекта;

(b0 = I, b1, b2,…, bn в моменты t = 0, t1, t2,…, tn; f1(t), t [1,2] [0, T] ) - поток инвестиций в проект.

Например, финансовый поток проекта в примере 4.2 (параграф 1.4) имеет вид:

а финансовый поток проекта в примере 4.4:

Если временные интервалы между членами денежного потока одинаковы, то период проекта - временной интервал между двумя соседними членами денежного потока. Поступления и расходы относят на конец периода. Если период проекта - год, то членам денежного потока R0, R1, R2,…,Rn соответствуют моменты времени, измеряемые в годах, t = 0, t1 = 1, t2 = 2,…, tn = n. Срок проекта T = n лет. Тогда проект описывается финансовым потоком вида или непрерывно-дискретным потоком платежей:

Проект классического характера – это проект, в котором денежный поток вида (6.1) или (6.2) меняет знак только один раз или расходы инвестора предшествуют доходам от проекта. Очевидно, что те проекты, для которых R f (t ) dt 0, неприемлемы. Следует рассматривать лишь те проекты, для которых эта сумма положительна (сумма доходов по проекту превышает сумму расходов).

Для оценки эффективности инвестиционного проекта используют четыре показателя, основанные на дисконтировании членов финансового потока проекта к моменту t = 0:

чистая современная стоимость проекта (net present value, NPV);

внутренняя норма доходности (internal rate of return, IRR);

срок окупаемости (discounted payback period, DPP);

индекс доходности (profitability index, PI).

Каждый из показателей – это результат сопоставления современных стоимостей инвестиций в проект и отдач от инвестиций. Для дисконтирования членов финансового потока проекта применяется процентная ставка i. Необходимо, чтобы процентная ставка и сроки платежей по проекту были согласованы между дисконтирования. Будем считать, что i – годовая процентная ставка, по которой инвестор мог бы дать взаймы или занять деньги. Рассмотрим определения и инвестирования (сначала вложения средств, затем отдача), денежный поток которых имеет вид (6.1) или (6.2). Единица измерения времени – год.

Определение. Чистая современная стоимость проекта NPV(i) при процентной ставке i - это современная стоимость чистого денежного потока проекта по процентной ставке i.

NPV(i) проекта с дискретным потоком платежей (6.1):

NPV(i) проекта с непрерывно - дискретным потоком платежей (6.2):

Пример 6.1. Вычислим значения показателя NPV(i) для следующих проектов.

A (-1000, -2000, -3000, 1500 в моменты t = 0, t1 = 1, t2 = 2, t3 = 4; f(t) = 1000, 6 t при ставке дисконтирования 5 % годовых:

Проект B(-1000,-300,500,500,500,500) при ставке дисконтирования 5 % годовых:

Проект С(-90,30,40,40) при ставке дисконтирования 12 % годовых:

Свойства и экономическое содержание NPV(i).

1) Если NPV(i) 0, то доходы от проекта окупают вложенные инвестиции.

При NPV(i) < 0 доходы не окупают инвестиций. Действительно, например для проекта с непрерывно - дискретным потоком платежей:

Как видим, NPV(i) – это разность между современной стоимостью доходов от проекта и современной стоимостью инвестиций в этот проект. Отсюда следует, что при NPV(i) > 0 проект является прибыльным. При NPV(i) < 0 проект является убыточным. При NPV(i) = 0 проект ни прибыльный, ни убыточный, но, согласно [5], скорее всего будет принят. В примере 6.1 проекты A и B являются прибыльными, проект С приводит к потерям.

2) Чистая современная стоимость проекта NPV(i) характеризует возможный прирост (убытки) капитала инвестора в результате реализации проекта по сравнению с альтернативными вложениями под ставку i.

Чтобы обосновать это свойство, рассмотрим величину NFV(i) (net future value), называемую чистой будущей стоимостью проекта:

Отсюда или Поясним экономический смысл полученного выражения. Предположим, что проект осуществляется за счет собственных средств инвестора, i – годовая банковская процентная ставка по срочному вкладу на T лет. Тогда первые два слагаемых можно рассматривать как результат реинвестирования к моменту T доходов от проекта. Выражение в скобках – потери инвестора при реализации инвестиционного проекта вследствие того, что он не разместил свои деньги на банковский счет, а вложил их в проект. Если NFV(i) > 0, то инвестору выгоднее финансировать проект, а не вкладывать деньги в банк под ставку i, а сама величина NFV(i) показывает насколько выгоднее. Если NFV(i) < 0, то вывод противоположный, а сама величина NFV(i) показывает в этом случае размер убытков инвестора в случае реализации проекта. При NFV(i) = 0 инвестор предпочтет тот способ вложения денег – в проект или на банковский счет – который является более надежным. Таким образом, NFV(i) – это показатель конечного состояния инвестора в случае реализации проекта по сравнению с альтернативным вложением средств. Так как показатели NFV(i) и NPV(i) связаны соотношением (6.6), то величина NPV(i) характеризует конечное состояние инвестора в результате реализации проекта следующим образом.

NPV(i) > 0 означает, что проект является выгодным, так как позволяет получить прибыль по сравнению с альтернативным вложением инвестиций. NPV(i) < означает, что инвестору выгоднее положить свой капитал в банк на T лет под ставку i, чем финансировать проект.

Пример 6.2. Является ли выгодным проект, по которому вложение 1 млн.

д.е. приносит ежегодно доход 100 тыс. д.е. в течение 15 лет? Банковская ставка по депозитам на этот срок 5 % годовых.

Чистый денежный поток проекта имеет вид:

(-1000000,100000,…,100000 в моменты t = 0, t1 = 1, …, t15 = 15).

Инвестиции – разовые в размере I = 1000000 д.е. в момент t = 0, поток доходов – годовая обычная рента. Современная стоимость потока доходов составляет Ran,i, где R = 100000, n = 15, i = 0,05. Чистая современная стоимость проекта равна NPV(i) = Ran,i - I = 100000 a15; 0,05 - 1000000 = 37965,80 д.е.

Так как NPV(i) > 0, то проект является выгодным. По окончании проекта прибыль инвестора по сравнению с размещением денег на депозит составит При этом на банковском счете инвестора будет накоплена сумма Rsn,i = 2157856,36 д.е. (доходы от проекта реинвестируются под ставку 5% годовых) против суммы 1000000(1 + i)15 = 2078928,18, которая была бы получена инвестором при вкладе 1000000 д.е. на депозит на 15 лет под ставку 5 %.

Разность Rsn,i - 1000000(1 + i)15 составляет величину NFV(i).

3) Если NPV(i) > 0, то NPV(i) – это максимальная величина, на которую можно увеличить инвестиции в проект при данных доходах и ставке дисконтирования i так, чтобы проект не стал убыточным.

Действительно, пусть в (6.5) NPV(i) > 0. Если увеличить инвестиции в проект в момент t = 0, сохраняя все остальные параметры проекта неизменными, то величина NPV(i) очевидно станет меньше. Если инвестиции в проект увеличить на величину = NPV(i) > 0, то чистая современная стоимость полученного проекта станет равной нулю:

Дальнейшее увеличение инвестиций в проект сделает его убыточным, так как приведет к отрицательному значению чистой современной стоимости проекта.

Из свойств показателя NPV(i) следует, что чем больше значение NPV(i), тем лучше. Один из критериев выбора инвестиционного проекта – критерий максимального значения NPV(i). Показатель NPV(i) является абсолютным, учитывает масштабы инвестиций и позволяет рассчитать прирост (убыток) капитала инвестора по сравнению с альтернативным вложением инвестиций. На этот показатель ориентируются при стремлении максимизировать массу дохода.

Показатель NPV(i) часто используют как основной измеритель эффективности инвестиций. Показатель чистой будущей стоимости проекта NFV(i) также используют при сравнении инвестиционных проектов. Для проектов с положительным значением NPV(i) рассчитывают NFV(i) на момент T, когда последний из альтернативных проектов закончится (см. пример 6.9).

Определение. Внутренняя норма доходности проекта (IRR) – это ставка дисконтирования r, при которой чистая современная стоимость проекта равна нулю:

Для проектов с непрерывно-дискретным и дискретным потоком платежей это уравнение имеет вид соответственно:

Эти выражения совпадают с уравнениями доходности денежного потока (4.11) и (4.13) в параграфе 1.4. Поэтому решение уравнения (6.7), если оно существует, называют доходностью проекта. Существование решения устанавливается теоремой 4.2. Согласно этой теореме, уравнение (6.7) для проекта классического проекта с дискретным потоком платежей), имеет единственное положительное решение. Это решение находят, используя приближенные методы, например метод линейной интерполяции (рассмотрен в параграфе 1.4, примеры 4.2, 4.4).

Таким образом, решение уравнения (6.7) – это значение показателя IRR проекта.

Величина IRR полностью определяется “внутренними” характеристиками самого проекта и не зависит, например, от ставки дисконтирования i. Расчет IRR часто применяют в качестве первого шага анализа инвестиций.

Пример 6.3. Значение показателя IRR проекта A(-1000, -2000, -3000, (параграф 1.4):

Значение показателя IRR проекта B(-1000,-300,500,500,500,500) находим из уравнения доходности:

Методом линейной интерполяции определяем Для проекта С(-90,30,40,40) уравнение доходности имеет вид:

Методом линейной интерполяции находим Свойства и экономическое содержание внутренней нормы доходности.

1) При ставке дисконтирования, равной IRR, инвестиционные вложения в точности окупаются доходами, но не приносят прибыль. Действительно, как следует из свойств чистой современной стоимости проекта, равенство NPV(r) = 0 означает, что при ставке дисконтирования, равной IRR, проект ни прибыльный, ни убыточный.

Уравнения (6.8) и (6.9) можно записать иначе:

Равенства (6.10) и (6.11) означают, что при ставке дисконтирования, равной IRR, современные стоимости потока инвестиций в проект и потока доходов совпадают.

2) Выясним, при каких условиях внутренняя норма доходности проекта r, т.е. значение показателя IRR, является среднегодовой доходностью этого проекта. Рассмотрим проект с дискретным потоком платежей, члены которого удовлетворяют условию Rk 0. Реализацию проекта будем рассматривать как финансовую операцию за счет собственных средств инвестора. При ставке дисконтирования, равной r, денежная оценка начального состояния инвестора имеет вид:

Если доходы от проекта реинвестируются по ставке r до окончания проекта, то денежная оценка момента окончания проекта T для инвестора имеет вид:

Тогда согласно формуле (2.2) где - среднегодовая доходность инвестиций в проект. Подставим в это равенство выражения (6.12) и (6.13):

Отсюда доходности проекта r является среднегодовой доходностью этого проекта, если в течение всего срока проекта ставка дисконтирования равна r и все доходы от проекта реинвестируются по ставке r до окончания проекта. Тогда для IRR справедлива формула:

IRR - это относительный показатель, показывает среднегодовой темп увеличения капитала инвестора. Чем выше IRR, тем больше эффективность максимизировать относительную отдачу от инвестиций.

Оценка проекта в значительной мере зависит от того, насколько отличаются ставка дисконтирования i и показатель IRR проекта. Установим связь между NPV(i) проекта и разностью (IRR – i). Рассмотрим проект NPV (i) = рассматривается, так как является заведомо убыточным. Пусть r – решение решение является положительным и единственным.

Так как NPV(i) = NPV(i) – NPV(r), то = (r – i) A(r, i). Таким образом, значение A(r, i = 0). Полагая i = 0, получим то окончательно получаем характера знаки показателя NPV(i) и разности (IRR – i) совпадают. Кроме того, можно показать, что с увеличением разности (IRR – i) значение NPV(i) возрастает и наоборот (см. рисунки 7.8 и 7.11, параграф 1.7). На основе полученного выражения (6.15) сформулируем следующие свойства показателя IRR.

3) Для проекта классического характера справедливы следующие утверждения:

NPV(i) > 0 тогда и только тогда, когда ставка дисконтирования i < IRR;

NPV(i) < 0 тогда и только тогда, когда ставка дисконтирования i > IRR;

NPV(i) = 0 тогда и только тогда, когда ставка дисконтирования i = IRR.

Эти утверждения следуют непосредственно из выражения (6.15).

Для проектов A и B в примерах 6.1 и 6.3 получено NPV(i) > 0 и i < IRR; для проекта C значение NPV(i) < 0, при этом ставка дисконтирования i > IRR.

Таким образом, оценка проекта по показателю IRR формулируется следующим образом: если ставка дисконтирования i < IRR, то проект является выгодным; если i > IRR, то проект является убыточным. i = IRR – это максимальная ставка дисконтирования, при которой проект не является убыточным.

Пример 6.4. Уравнение доходности для проекта примера 6.2 имеет вид:

Приближенное решение этого уравнения методом линейной интерполяции подтверждает оценку этого проекта по показателю NPV(i).

Рассмотрим проект классического характера вида (6.1) или (6.2), i – годовая ставка дисконтирования. В ходе реализации проекта ставка дисконтирования может измениться, как правило, в сторону увеличения. Тогда, если значения IRR и i близки, проект является рисковым. В результате увеличения ставки дисконтирования оценка проекта может измениться на противоположную.

Пример 6.5. Рассмотрим проект (-100,-20,20,20,80,50,10,20). Ставка дисконтирования 13 % годовых. Внутренняя норма доходности проекта 13,3 % годовых. Так как i < IRR, то проект является выгодным. Чистая современная стоимость проекта NPV(i) = 1,3 > 0. Если ставка дисконтирования увеличится до 14 % годовых, то проект окажется неприемлем, так как его NPV(i) = – 2,8 < 0.

Кроме того, в ходе реализации проекта может возникнуть необходимость увеличения инвестиций в проект, что также влечет изменение оценки проекта.

По свойству 3 NPV(i), максимальная величина, на которую можно увеличить инвестиции в проект при данных доходах и ставке дисконтирования i так, чтобы проект не стал убыточным – это значение показателя NPV(i) проекта, где NPV(i) > 0. Что влияет на величину NPV(i) > 0 и на сколько может увеличиться ставка дисконтирования, чтобы проект не стал убыточным? Рассмотрим следующее свойство IRR.

4) Чем больше разность (IRR – i), где i < IRR, тем больше резерв безопасности (или экономическая «прочность») проекта. Разность (IRR – i) определяет устойчивость проекта в отношении изменения ставки дисконтирования. Кроме того, разность (IRR – i) определяет предельную возможность увеличения инвестиций в проект, позволяющую избежать убытков при данных доходах и ставке дисконтирования i.

Действительно, из (6.15) следует, что разность (IRR – i), где i < IRR, представляет собой максимальную величину, на которую можно увеличить ставку дисконтирования: увеличение ставки дисконтирования до значения IRR проекта приводит к NPV(i = IRR) = 0, когда проект ни прибыльный, ни убыточный. Увеличение ставки дисконтирования на величину, превышающую (IRR – i), делает проект убыточным (пример 6.5). Таким образом, чем больше разность (IRR – i), тем больше устойчивость проекта в отношении процентного риска.

С другой стороны, как следует из (6.15), разность IRR – i > 0 определяет значение NPV(i) > 0, а следовательно, максимальную величину, на которую можно увеличить инвестиции в проект так, чтобы избежать убытков (см.

свойство 3 NPV(i)).

Инвестору важно знать срок возврата вложенных средств.

Определение. Срок окупаемости проекта (DPP) – это срок действия проекта n* T, за который современная стоимость потока доходов становится равной современной стоимости потока инвестиций в проект.

Таким образом, если n* – срок окупаемости проекта, то и для проекта с дискретным потоком платежей Так как не всегда существует целое равенства (6.16), (6.17), то приближенное значение срока окупаемости определяют следующим образом: n* - наименьшее целое, не превышающее срок проекта T = n лет, такое, что и для проекта с дискретным потоком платежей При сроке действия проекта (n*– 1) лет современная стоимость потока доходов меньше современной стоимости потока расходов:

Знак равенства в (6.18), (6.19) соответствует точному (как правило, не целому) значению срока окупаемости, удовлетворяющему определению. Точное значение срока окупаемости можно найти, если поток платежей в проекте рассматривается как непрерывный или если n* можно аналитически выразить через характеристики потока (см. параграф 1.7).

Свойства и экономическое содержание срока окупаемости.

1) Срок окупаемости – это время, необходимое для полной компенсации инвестиций в проект доходами от проекта. Это утверждение следует из определения срока окупаемости.

2) Если ставка дисконтирования равна внутренней норме доходности проекта IRR, то срок окупаемости проекта совпадает с его сроком, т.е. n* = T = n лет. Это утверждение следует из определения показателей IRR и DPP (см. также равенства (6.10), (6.11) и (6.16), (6.17)).

3) Срок окупаемости проекта n* - это срок действия проекта n* n, за который его чистая современная стоимость становится неотрицательной.

Для проекта с классической схемой инвестирования несложно убедиться, что с увеличением срока действия проекта, содержащего период отдачи, чистая современная стоимость проекта возрастает, начиная с отрицательных значений.

Из определения срока окупаемости, например, из (6.16) получаем Аналогично из (6.18) и (6.19) имеем:

что означает NPV(i) наименьшее целое, при котором чистая современная стоимость проекта неотрицательна. Таким образом, если существует такой срок действия проекта неотрицательной, то его называют сроком окупаемости проекта.

Срок окупаемости проекта n* находят на основе этого свойства, т.е. n* наименьшее целое, такое, что n* n, при котором выполняется неравенство (6.20).

Нижняя строка таблицы – чистая современная стоимость проекта для сроков его действия от 0 до 5 лет. Период отдачи – 4 года, начиная со 2-го года. Сроки действия проекта от 2-х до 5 лет содержат период отдачи. Чистая современная стоимость проекта возрастает, начиная с 2-хлетнего срока его действия, т.е. с началом периода отдачи. Из таблицы следует, что срок окупаемости проекта n*= 4 года. Действительно, так как NPV3(i) = – 400 < 0, NPV4(i) = 11,1 > 0, то это n* = 4 (точное значение срока окупаемости меньше 4).

Найдем срок окупаемости проекта A:

при ставке дисконтирования 5 % годовых. Наименьшее целое n* 16, при или - это n* = 13, так как NPV12(i) = – 510 < 0, NPV13(i) = 33 > 0 (точное значение срока окупаемости 12,96).

4) Проект классического характера имеет срок окупаемости тогда и только срока окупаемости.

Действительно, предположим, проект имеет срок окупаемости. Тогда утверждение является следствием первого и доказывается методом от противного.

5) Проект классического характера имеет срок окупаемости тогда и только тогда, когда его ставка дисконтирования i IRR. Если ставка дисконтирования проекта i > IRR, проект не имеет срока окупаемости. Это утверждение является следствием предыдущего свойства DPP проекта и свойства 3 показателя IRR.

Проекты A и B (пример 6.6) имеют срок окупаемости. Ранее для этих проектов в примерах 6.1 и 6.3 получено NPV(i) > 0 и i < IRR. Проект из примера 6.2 имеет срок окупаемости n* = 15 лет. Ранее для этого проекта установлено NPV(i) > 0 и i < IRR (примеры 6.2 и 6.4).

(примеры 6.1 и 6.3), не имеет срока окупаемости (i = 12 %):

Очевидно, что если не существует срок окупаемости, то проект не принимается. Один из критериев оценки проекта – минимизация срока окупаемости. Однако этот критерий не является самым важным при выборе инвестиционного проекта. Расчет срока окупаемости является целесообразным, если инвестиции сопряжены с высокой степенью риска. Тогда чем меньше срок окупаемости, тем менее рискованным является проект.

Недостатком показателя DPP является то, что этот показатель не учитывает доходов за весь срок проекта. Следствием этого недостатка может быть неверная оценка проекта.

Пример 6.7. Рассмотрим два инвестиционных проекта, сроки которых одинаковы: D(-100,-10,20,60,60,60,20,5) и E(-40,-50,-50,-20,90,90,80,70), ставка дисконтирования 13 % годовых. Сроки окупаемости проектов = 5 лет и 6 лет. NPV(i)D = 29,49 и NPV(i)E = 34,96. Оба проекта выгодны. Однако NPV(i)E > NPV(i)D. Сравним величины NFV(i) проектов. NFV(i)D = NPV(i)D(1+0,13)7 = 69,38; NFV(i)E = NPV(i)E(1+0,13)7 = 82,25. Несмотря на то, что, проект E выгоднее проекта D, так как на момент окончания проектов фактически получаемый доход по проекту E больше, чем по проекту D.

Определение. Индекс доходности (PI) проекта – это число d, равное отношению современных стоимостей доходов и инвестиций в проект:

Для проекта с дискретным потоком платежей Пример 6.8.

Индекс доходности проекта A i = 5 % годовых:

Индекс доходности проекта B (-1000,-300,500,500,500,500), i = 5 % годовых:

Индекс доходности проекта C (-90,30,40,40), i = 12 % годовых:

Свойства и экономическое содержание индекса доходности.

1) Показатель PI характеризует уровень доходов на единицу затрат, т.е.

эффективность вложений. d > 1 – доходы окупают вложенные инвестиции; d < 1 - инвестиции в проект не окупаются; d = 1 – проект ни прибыльный ни убыточный.

Проекты A и B примера 6.8 являются прибыльными, так как их PI > 1.

Проект C – убыточный, так как его PI < 1. Эти выводы подтверждают оценку этих проектов по показателям NPV(i) и IRR.

2) Если ставка дисконтирования равна внутренней норме доходности проекта IRR, то индекс доходности проекта d = 1. Это утверждение следует из определений показателей IRR и PI (см. также равенства (6.16), (6.17) и (6.21), (6.22)).

3) Если срок проекта совпадает с его сроком окупаемости, то индекс доходности проекта d = 1. Это утверждение следует из определений показателей DPP и PI (см. также равенства (6.10), (6.11) и (6.21), (6.22)).

4) Показатели PI и NPV(i) согласуются между собой в оценке проекта.

Действительно, преобразуем, например, выражение (6.22):

Тогда Из этого свойства следует эквивалентность оценки проекта по показателям NPV(i) и PI.

5) Показатели PI и IRR согласуются между собой в оценке проекта.

Подставим выражение (6.15) в (6.23):

d > 1 тогда и только тогда, когда ставка дисконтирования i < IRR;

d < 1 тогда и только тогда, когда ставка дисконтирования i > IRR;

d = 1 тогда и только тогда, когда ставка дисконтирования i = IRR.

6) Чем больше показатель PI превосходит единицу, тем больше резерв безопасности проекта. Действительно, чем больше d > 1, тем больше разность (IRR – i) > 0 (см. рис. 7.10 и 7.13, параграф 1.7), а следовательно, по свойству IRR, экономическая «прочность» проекта.

- относительный показатель. Если требуется сделать выбор из нескольких проектов по этому показателю, то выбирается проект с наибольшим индексом доходности среди всех проектов, для которых этот показатель больше либо равен единице.

Итак, рассмотрены показатели эффективности инвестиционного проекта, основанные на дисконтировании членов денежного потока проекта. Основной эффективности в оценке проекта. Действительно, из свойств показателей классического инвестиционного проекта имеем:

NPV(i) > 0 тогда и только тогда, когда ставка дисконтирования i < IRR, индекс доходности PI > 1, существует срок окупаемости проекта DPP;

NPV(i) = 0 тогда и только тогда, когда ставка дисконтирования i = IRR, индекс доходности PI = 1, срок окупаемости проекта DPP = T;

NPV(i) < 0 тогда и только тогда, когда ставка дисконтирования i > IRR, индекс доходности PI < 1, не существует срок окупаемости DPP проекта.

В первых двух случаях проект по всем показателям приемлем. В последнем случае проект не приемлем также по всем показателям. Расчеты показателей в примерах для проектов A, B, C подтверждают эти выводы:

проект A:

i = 5 % < IRR = 8,2 %, NPV(i) = 1513,16 > 0, DPP = 13 лет, PI = 1,27 > 1;

проект B:

i = 5 % < IRR = 14,43 %, NPV(i) = 402,8 > 0, DPP = 4 года, PI = 1,31 > 1;

проект C:

i = 12 % > IRR = 10,23 %, NPV(i) = - 2,86 < 0, нет DPP, PI = 0,97 < 1.

Отметим, что основными считаются показатели NPV(i), IRR и PI.

Замечание. Как установлено (свойство 2 IRR), среднегодовая доходность проекта совпадает с его IRR, если доходы от проекта реинвестируются под ставку r = IRR до окончания проекта. Практически эти доходы можно инвестировать под ставку дисконтирования i (i – ставка, по которой инвестор может одолжить или дать деньги взаймы). Тогда среднегодовая доходность проекта r* рассчитывается следующим образом. Согласно формуле (2.2):

ставку i к моменту T окончания проекта (будущая стоимость доходов по ставке i). r* называют модифицированной внутренней нормой доходности проекта (MIRR). Тогда где P(0) и P(T) рассчитываются по приведенным здесь формулам. По этому показателю проект принимается, если ставка дисконтирования проекта i < MIRR.

Сравнение двух инвестиционных проектов.

Если требуется сделать выбор из нескольких проектов, то согласованность между показателями эффективности уже отсутствует: один проект имеет большее значение NPV(i), другой – показателя IRR и т.д. Исследования показывают, что при сравнении проектов в случае противоречия между показателями чаще отдается предпочтение показателю NPV(i). По этому показателю проект 1 является более выгодным, чем проект 2, если NPV(i)1 > NPV(i)2.

Пример 6.9. Инвестор рассматривает возможность помещения денег в один из следующих проектов. Проект F, по которому инвестирование 11000 д.е.

обеспечивает годовой доход 600 д.е., выплачиваемых ежегодно на протяжении 15 лет, и возмещение расходов инвестора в конце этого срока. Проект G, по которому инвестирование 20000 д.е. обеспечивает годовой доход 2655 д.е., выплачиваемых ежегодно на протяжении 10 лет.

Инвестор может ссужать или занимать деньги под 5 % годовых. Какой проект является более выгодным для инвестора?

Денежный поток проекта F имеет вид: (-11000, 600,…, 600 + 11000). Поток доходов – годовая обычная рента в течение 15 лет плюс дополнительный платеж в конце этого срока. Тогда Показатель IRR находим из уравнения доходности проекта NPV(r)F = 0, откуда получаем IRRF = 5,45 % годовых.

Денежный поток проекта G имеет вид: (-20000, 2655, …, 2655). Поток доходов - годовая обычная рента в течение 10 лет.

Решение уравнения доходности NPV(r)G = 0 дает IRRG = 5,51 % годовых.

Так как IRRF, IRRG > i = 5 %, то оба проекта выгодны. При этом IRRF < IRRG, однако NPV(i)F > NPV(i)G. Хотя доходность по проекту F меньше, чем по проекту G, инвестор может извлечь большую выгоду из проекта F. Прибыль инвестора (по сравнению с размещением денег на банковский счет) в результате реализации проекта F составит а проекта G соответственно Таким образом, проект F является более выгодным с точки зрения максимизации прибыли.

1.7. Зависимость показателей эффективности от параметров Параметры проекта – это величины членов денежного потока, их распределение во времени и процентная ставка дисконтирования. Зависимость показателей эффективности от параметров проекта классического характера рассмотрим для проекта, в котором инвестиции - разовые в момент t = 0 в размере I, поток доходов – постоянная годовая обычная (неотложенная) рента в течение n лет. Годовой доход R. Ставка дисконтирования проекта – годовая процентная ставка i. Проект описывается финансовым потоком вида Показатели эффективности проекта (7.1) рассчитываются на основе современных стоимостей потока доходов Ran,i и инвестиций I.

Чистая современная стоимость проекта при процентной ставке i:

Значение показателя IRR - решение уравнения доходности NPV(r) = 0, которое для проекта (7.1) имеет вид:

Срок окупаемости n* определяется из уравнения:

Индекс доходности проекта (7.1) равен:

Зависимость показателей эффективности от срока проекта (периода отдачи) n рассмотрим, считая заданными размеры вложенных инвестиций I, поступающих платежей R и процентную ставку дисконтирования i. Срок проекта (7.1) совпадает с его периодом отдачи. Параметры I, R, i определяют окупаемость проекта. Действительно, при заданных I, R, i условие возврата инвестиции, или, что тоже самое, условие существования срока окупаемости проекта, - это условие разрешимости уравнения (7.4), т.е. задачи о сроке ренты (см. параграф 1.5). Условие существования срока окупаемости проекта запишем в виде:

заданных I, R, i. Чистая современная стоимость проекта (7.1) рассчитывается по формуле:

Следовательно, NPV(i) – возрастающая вогнутая функция n на множестве 0,, NPV(i) проекта, в котором поток доходов – вечная рента. Если считать, что параметры i, R, I проекта (7.1) таковы, что выполняется условие (7.6), то существует единственная точка n* > 0 такая, что окупаемости (DPP) проекта (7.1). Таким образом, неравенство (7.6) является не только условием существования срока окупаемости проекта (7.1), но и условием График зависимости показателя NPV(i) от срока проекта n показан на рисунке 1.7.1:

Чем больше срок проекта (7.1), тем больше его NPV(i). Найдем уравнения NPVn*(i) = 0, что равносильно уравнению (7.4), при условии (7.6):

Если n*, определенное по (7.7), удовлетворяет условию n* n, где n – срок проекта, то (7.7) - формула точного значения срока окупаемости проекта (7.1) (см. определение срока окупаемости, параграф 1.6). Если срок проекта n < n*, то проект не имеет срока окупаемости. При этом его NPV(i) < 0. Чтобы проект окупался при данных ставке i, инвестициях I и доходах R необходимо, чтобы продолжительность проекта была не меньше n*.

2) При заданных значениях I, R, i установим зависимость показателя IRR С увеличением срока проекта (7.1) его показатель IRR возрастает, приближаясь к значению IRR проекта, поток доходов которого – вечная рента. Заметим, что если срок проекта меньше, то доходность проекта отрицательна. И наоборот разрешимости задачи о процентной ставке ренты, параграф 1.5). При r = i срок проекта n совпадает с его сроком окупаемости n*, т.е. n = n* (свойство 2 срока окупаемости, параграф 1.6). Значениям r < i соответствует срок проекта n < n* проект является убыточным (свойство 3 показателя IRR, параграф 1.6) и не имеет срока окупаемости (см. свойство 5 срока окупаемости, параграф 1.6). При r > i срок проекта n > n* - проект прибыльный и имеет срок окупаемости.

3) Рассмотрим зависимость индекса доходности d от срока n проекта (7.1) при заданных i, R, I. Будем считать, что параметры i, R, I проекта таковы, что Согласно определению, индекс доходности проекта (7.1) рассчитывается по формуле (7.5). Тогда где n0. Отсюда Характер зависимости d(n) показан на рисунке:

С увеличением срока проекта (7.1) его показатель PI возрастает, приближаясь к значению PI проекта, поток доходов которого – вечная рента. Значению d = соответствует срок проекта n = n*, где n* - срок окупаемости проекта (свойство 3 PI, параграф 1.6). Если n > n*, то проект имеет срок окупаемости, при этом d > 1. При n < n* проект не имеет срока окупаемости, его индекс доходности d < 1.

Заметим, что условие (7.6) обеспечило существование проектов, индекс Итак, показатели NPV(i), IRR, PI возрастают при увеличении срока проекта (7.1). При этом срок окупаемости проекта существует, когда его NPV(i) 0, 1, а следовательно, IRR i (см свойство 5 PI, параграф 1.6), т.е. когда все остальные показатели указывают на приемлемость проекта. Заметим, что приемлемость проекта по всем показателям, что также подчеркивает согласованность показателей в оценке проекта.

Замечание. Чем более протяжен во времени проект, тем более тщательная оценка требуется для членов денежного потока последних лет реализации определенности, когда поступление платежей точно в срок и в полном объеме считается гарантированным.

Зависимость показателей эффективности от величины вложенных инвестиций I рассмотрим, считая заданными срок проекта n, размеры поступающих платежей R и ставку дисконтирования i.

1) Увеличение инвестиций в проект влечет уменьшение его IRR (формула 6.14). Рассмотрим подробнее зависимость показателя IRR проекта (7.1) от величины инвестиций I.

Уравнение NPV(r) = 0 для проекта (7.1) имеет вид: I = Ran,r, где Значит, r(I) – убывающая выпуклая функция на множестве значений I 0,.

зависимости r(I) показан на рисунке:

С увеличением инвестиций I доходность проекта r уменьшается. При I > nR доходность отрицательна, r < 0, проект заведомо убыточен. На этом рисунке значению r = i, где i – ставка дисконтирования проекта, соответствует максимальный уровень затрат Imax, при котором проект не является убыточным.

Действительно, NPV(r = i) = 0, откуда Imax = Ran,i. Если I > Imax, то r < i, что означает убыточность проекта (см. свойство 3 IRR, параграф 1.6). И наоборот, значениям I < Imax соответствуют r > i, при которых проект является прибыльным.

Замечание. Если исходить из того, что инвестиции в проект не могут превышать стоимости вечной ренты, т.е. выполняется условие (7.6): I, тогда анализ функции r(I) требует уточнения. Рекомендуется рассмотреть это самостоятельно.

2) Чистая современная стоимость проекта (7.1) рассчитывается по формуле:

Определим множество значений показателя. Если считать, что I 0, при Очевидно, что NPV(i) – линейная функция I при заданных R, n, i.

Зависимость NPV(i) проекта (7.1) от величины вложенных инвестиций имеет Рис. 1.7. Выколотая точка на вертикальной оси означает, что проект с нулевыми инвестициями и ненулевыми доходами не существует. С увеличением инвестиций I NPV(i) проекта уменьшается. На этом рисунке значению NPV(i) = 0 соответствует максимальный уровень затрат Imax = Ran,i, при котором проект не является убыточным. Если при некотором значении затрат I величина NPV(i) > современная стоимость полученного проекта станет равной нулю. На рисунке длины отрезков NPV(i) и равны между собой, как стороны прямоугольного NPV(i) > 0, позволяет избежать убытков. Увеличение инвестиций на величину, превышающую, приводит к отрицательному значению чистой современной стоимости проекта, т.е. к убыткам (см. свойство 3 NPV(i), параграф 1.6).

3) Очевидно, что чем меньше инвестиции, тем меньше срок окупаемости проекта. Уточним эту зависимость для проекта (7.1), считая заданными R, n, i.

Для существования срока окупаемости проекта (7.1) необходимо (но недостаточно), чтобы выполнялось условие (7.6). Значит, инвестиции I в проект которые удовлетворяют условию n* n, являются сроком окупаемости проекта.

Рассмотрим (7.7):

С увеличением инвестиций I срок окупаемости проекта увеличивается. На этом рисунке значению n* = n, где n – срок проекта, соответствует максимальный уровень затрат Ran,i, при котором проект не является убыточным.

Действительно, если I > Imax, то n* > n – проект не имеет срока окупаемости, следовательно, является убыточным. И наоборот, значениям I < Imax соответствуют n* < n. Проект имеет срок окупаемости и за время n позволит получить прибыль.

вложенных инвестиций при заданных R, n, i имеет вид:

С увеличением инвестиций в проект его индекс доходности уменьшается.

Значению d = 1 соответствует максимальный уровень затрат Imax = Ran,i, при котором проект не является убыточным. Действительно, если I > Imax, то d < 1 – проект является убыточным. И наоборот, значениям I < Imax соответствуют d > – проект является прибыльным.

Итак, показатели IRR, NPV(i), PI уменьшаются при увеличении инвестиций в проект, а показатель DPP увеличивается. Это означает, что в отношении увеличения инвестиций в проект все показатели ведут себя одинаково: каждый из них указывает на снижение эффективности проекта. Максимальный уровень затрат Imax = Ran,i, при котором проект не является убыточным, соответствует следующим значениям показателей: NPV(i) = 0, IRR = i, DPP = n, PI = 1.

Пример 7.1. Рассчитать, как изменится оценка проекта А(–100,– 20,20,20,80,50,10,20), ставка дисконтирования i = 11 % годовых, если увеличить инвестиции в этот проект в конце 2-го года до 25 д.е.

В результате увеличения инвестиций в проект в конце 2-го года будет получен новый проект В(–100,–25,20,20,80,50,10,20). Показатели эффективности проектов следующие:

Увеличение инвестиций в проект А привело к уменьшению его показателей NPV(i), IRR, PI и увеличению срока окупаемости. Для обоих проектов NPV(i) > 0, i < IRR, d > 1 - проект остался выгодным. Так как NPV(i)В < NPV(i)А и dB < dА, то проект стал менее прибыльным. Так как IRRВ < IRRА, то проект стал более рискованным (уменьшилась разность IRR – i ).

Замечание. Рассмотреть самостоятельно зависимость показателей эффективности проекта (7.1) от величины его доходов R.

Зависимость показателей эффективности от ставки дисконтирования i рассмотрим при заданных доходах R, сроке проекта n, инвестициях I.

Параметры R, n, I определяют значение показателя внутренней нормы доходности (IRR) проекта. Установим множество значений показателя IRR при заданных R, n, I. Значение показателя IRR при заданных R, n, I - решение r уравнения доходности (7.3). Покажем, что r > 0 тогда и только тогда, когда I < nR. Из уравнения доходности имеем:

. Отсюда I < nR. И наоборот. Пусть I < nR. Тогда согласно теореме 4. уравнение (7.3) имеет единственное положительное решение r > 0. Несложно убедиться, что отрицательное решение уравнения (7.3) r < 0 соответствует условию I > nR, что означает заведомую убыточность проекта. Этот случай образом, при заданных R, n, I показатель IRR проекта фиксирован и принимает одно из значений из указанного интервала.

1) Рассмотрим зависимость показателя NPV(i) от ставки дисконтирования i.

Будем считать, что параметры R, n, I таковы, что I < nR, что обеспечивает положительное значение показателя IRR проекта.

Имеем: NPV(i) = Ran,i – I, где коэффициент дисконтирования ренты выпуклая функция i на множестве 0,, причем NPV(i = 0) = nR – I > 0, уменьшается, причем в точке i = r, где r - значение IRR проекта, NPV(r) = 0. При 0 i < r, как и было установлено, NPV(i) > 0 и NPV(i) < 0 если i > r (см. свойство 3 показателя IRR, параграф 1.6). Увеличение ставки дисконтирования делает проект менее выгодным или вообще неприемлемым. И наоборот, чем меньше ставка дисконтирования i < IRR, тем более выгодным является проект. Таким образом, инвестор заинтересован в том, чтобы ставка дисконтирования была меньше.

2) Рассмотрим зависимость срока окупаемости n* проекта (7.1) от ставки дисконтирования i при заданных R, n, I. Здесь n* - точное значение срока окупаемости, удовлетворяющее определению.

Для существования срока окупаемости проекта (7.1) необходимо (но недостаточно), чтобы выполнялось условие (7.6). Тогда ставка дисконтирования удовлетворяют условию n* n, являются сроком окупаемости проекта.

a n,i ставки дисконтирования i показан на рисунке:

окупаемости, так как все значения n* > n. Если же R, n, I удовлетворяют условию I < nR, проект имеет срок окупаемости. В этом случае существуют значения n* n. Одновременно условие I < nR означает положительное значение показателя IRR проекта. С увеличением ставки дисконтирования i срок окупаемости проекта растет. При i = r, где r - значение показателя IRR проекта, срок окупаемости n* = n (см. свойство 2 срока окупаемости, параграф 1.6). Срок окупаемости имеют те проекты, для которых i r, так как для этих проектов n* n. Значениям ставки дисконтирования i > r соответствуют n* > n. Это означает то, что при i > r проект не имеет срока окупаемости. Этот результат соответствует свойству 5 DPP (параграф 1.6).

Как уже отмечалось, в ходе реализации проекта ставка дисконтирования может измениться. При увеличении i срок окупаемости проекта может превысить ограничение по этому показателю, если оно существует, и проект может оказаться неприемлем. В примере 6.5 уже рассматривалось влияние увеличения ставки дисконтирования на оценку проекта. Увеличение ставки дисконтирования на 1 % привело к тому, что проект стал убыточным и перестал иметь срок окупаемости.

3) Для проекта (7.1) рассмотрим зависимость показателя PI от ставки дисконтирования i при заданных R, n, I.

Согласно определению индекса доходности, для проекта (7.1) значение показателя PI равно:

При заданных значениях R, n, I зависимость показателя PI от ставки дисконтирования i определяется зависимостью коэффициента дисконтирования годовой ренты an,i от i (рассмотрена в параграфе 1.5). Имеем:

С увеличением ставки дисконтирования i индекс доходности проекта уменьшается. При i = r, где r - значение показателя IRR проекта, индекс доходности d = 1 (см. свойство 2 индекса доходности, параграф 1.6). Если i < r, то d > 1 – проект прибыльный; значениям i > r соответствуют d < 1, что означает убыточность проекта. Эта зависимость согласуется с ранее установленной зависимостью NPV(i) от i (рис. 22).

Пример 7.2. Рассмотрим влияние ставки дисконтирования на показатели эффективности проекта А(-100,-20,20,20,80,50,10,20) из примера 7.1. Его показатель IRR = 13,3%.

В скобках в третьей строке указаны точные значения срока окупаемости.

Получены из предположения о непрерывном и равномерном поступлении дохода в течение того года, когда сумма Rk/(1+i)k изменяет знак, с постоянной годовой интенсивностью, равной величине платежа за этот год. Например, во 2м - 4-м столбцах точное значение n* найдено из уравнения NPVn*(i) = 0 (см.

свойство 3 DPP), или Итак, зависимость показателей эффективности от ставки дисконтирования i следующая: NPV(i), PI – убывающие функции, DPP – возрастающая функция i.

Следовательно, при возрастании i все показатели указывают на снижение эффективности проекта. В отношении показателя IRR можно сказать, что при этом уменьшается резерв безопасности проекта, характеризуемый величиной IRR – i. Значит, ставку дисконтирования желательно минимизировать, особенно в случае, если проект финансируется за счет заемных средств.

Зависимость показателей эффективности от IRR проекта установим при заданных R, n, i.

1) Установим зависимость показателя NPV(i) от IRR. Изменяя инвестиции в проект I, тем самым изменяем показатель IRR проекта (см. зависимость IRR от I).

Имеем: NPV(i) = Ran,i – I, NPV(r) = Ran,r – I = 0. Тогда NPV(i) = Ran,i – Ran,r, NPV (i)r 0, NPV (i)rr 0. Значит, NPV(i) – возрастающая вогнутая функция r на lim NPV (i ) Ran,i Чем больше внутренняя норма доходности проекта r, тем больше его NPV(i).

Отрицательные значения r соответствуют тому, что условие I < nR не выполняется, т.е. проект заведомо убыточен. NPV(i) < 0 если r < i и NPV(i) > при r > i, что соответствует свойству 3 показателя IRR, параграф 1.6. Когда r принимает значение ставки дисконтирования i, тогда NPV(r = i) = = 0. Таким образом, чем больше IRR, тем более прибыльным является проект.

Замечание. Уточнить самостоятельно анализ зависимости NPV(i) от r и 2) Рассмотрим зависимость срока окупаемости n* проекта (7.1) от его внутренней нормы доходности r при заданных R, n, i. Изменяя инвестиции I в проект, тем самым изменяем показатель IRR проекта.

Для существования срока окупаемости проекта (7.1) необходимо (но недостаточно), чтобы выполнялось условие (7.6). Следовательно, инвестиции I в проект таковы, что. Отсюда, так как I = Ran,r, то 1 - ian,r > 0. Это неравенство справедливо для значений r таких, что an,r <. Это значит, что in < 1, то r0 < 0, а если in > 1, то r0 > 0, причем r0 < i. Найдем все решения уравнения (7.4) для являются сроком окупаемости проекта.

Согласно определению срока окупаемости проекта и внутренней нормы (an,r)//rr > 0. Тогда (n*)/r < 0, (n*)//rr > 0. Значит, n*(r) – убывающая выпуклая График зависимости Значения n* n являются сроком окупаемости проекта. С увеличением внутренней нормы доходности r срок окупаемости проекта уменьшается. При r = i, где i – ставка дисконтирования проекта, срок окупаемости n* = n, где n – срок проекта (см. свойство 2 срока окупаемости, параграф 1.6). При r < i проект не имеет срока окупаемости, так как этим значениям r соответствуют n* > n.

Пример 7.3. Расчет n*(r), где r > r0, приведен в таблицах для in < 1 и in > 3) Рассмотрим зависимость индекса доходности d от внутренней нормы доходности r проекта при заданных R, n, i. Изменяя инвестиции в проект I, тем самым изменяем показатель IRR проекта.

зависимости d(r) показан на рисунке:

Чем больше внутренняя норма доходности r проекта, тем больше его индекс доходности d, т.е. эффективность вложений. При r = i, где i – ставка дисконтирования проекта, d = 1. Если r < i, то d < 1 – проект не окупается. При r > i значения d > 1 – инвестиции эффективны.

Пример 7.4. Рассмотрим проекты проекта С выполняется условие I > nR, что означает заведомую убыточность проекта, rС < 0 и значение индекса доходности dС < dВ < 1.

Замечание. Уточнить самостоятельно анализ зависимости d(r) и рисунок, Итак, зависимость показателей эффективности от внутренней нормы доходности IRR проекта можно охарактеризовать следующим образом: NPV(i), PI – возрастающие функции r, срок окупаемости DPP – убывающая функция r.

Следовательно, при увеличении IRR проекта все показатели указывают на возрастание эффективности проекта, включая сам показатель IRR, что снова означает согласованность показателей в оценке проекта.

Зависимость показателей эффективности от NPV(i) проекта установим при заданных R, n, i.

1) Рассмотрим зависимость срока окупаемости n* проекта (7.1) от его NPV(i). Изменяя инвестиции I в проект, тем самым изменяем показатель NPV(i) проекта.

Для существования срока окупаемости проекта (7.1) необходимо (но недостаточно), чтобы выполнялось условие (7.6). Значит, инвестиции I в проект Отсюда несложно установить, что n*(NPV(i)) - убывающая выпуклая функция, характер зависимости которой имеет вид:

Значения n* n являются сроком окупаемости проекта. Заметим, что n* n когда 0, что соответствует свойству 4 DPP. С увеличением NPV(i) срок NPV(i) окупаемости проекта уменьшается. На этом рисунке значению n* = n, где n – срок проекта, соответствует NPV(i) = 0. Проекты с NPV(i) < 0 не имеют срока окупаемости, что подтверждает свойство 4 DPP, параграф 1.6.

2) Рассмотрим зависимость индекса доходности d проекта (7.1) от его NPV(i) при заданных R, n, i. Изменяя инвестиции I в проект, тем самым изменяем показатель NPV(i) проекта.

Характер зависимости d(NPV(i)) имеет вид:

С увеличением показателя NPV(i) проекта его индекс доходности растет.

Значения индекса доходности d > 1 имеют проекты с NPV(i) > 0, что подтверждает свойство 4 показателя PI, параграф 1.6.

Замечание. Уточнить самостоятельно анализ зависимости d(NPV(i)) и Таким образом, срок окупаемости уменьшается, а индекс доходности увеличивается при увеличении NPV(i) проекта. С учетом ранее рассмотренной зависимости показателей NPV(i) и IRR, можно утверждать, что с увеличением NPV(i) все показатели, включая сам показатель NPV(i), указывают на возрастание эффективности проекта.

Связь срока окупаемости n* и индекса доходности d установим при заданных R, n, i. Изменяя инвестиции в проект I, тем самым изменяем его срок окупаемости n* (см. зависимость DPP от I).

Согласно определению индекса доходности и срока окупаемости, имеем:

d(n*) показан на рисунке:

Значения n* n являются сроком окупаемости проекта. С увеличением срока окупаемости проекта n* его индекс доходности уменьшается, т.е. оба показателя указывают на снижение эффективности проекта (см. пример 7.1). При n* = n, где n – срок проекта, d = 1 (свойство 3 показателя PI). Индекс доходности d > 1 тех проектов, которые имеют срок окупаемости n*< n. И наоборот: проекты, не имеющие срока окупаемости (для этих проектов n*> n), имеют d < 1. Таким образом, анализ зависимости d(n*) приводит к ранее полученным выводам.

Рассмотренные в этом параграфе зависимости показателей эффективности от параметров проекта и связь показателей подтверждают согласованность показателей в оценке проекта, установленную в параграфе 1.6: если какой-либо эффективности проекта по этому показателю, то и остальные показатели при этом изменяются так, что проект оценивается как более эффективный и по всем остальным показателям. И наоборот: снижение эффективности проекта по одному из показателей означает точно такой же вывод в отношении остальных показателей. Очевидно, что снижение эффективности по разным показателям происходит в разной мере. Окончательная оценка проекта – за лицом, принимающим решение о финансировании проекта.

Заметим, что здесь рассматривались лишь проекты с классической схемой инвестирования – сначала расходы, затем отдача. Проекты с неординарными денежными потоками и проблемы выбора проектов для реализации среди альтернативных рассмотрены в специальной литературе, например [5, 10].

Временная структура процентных ставок.

Анализ финансовых инвестиций в условиях определенности будем изучать на примере ценных бумаг с фиксированным доходом. Наиболее распространенным видом таких ценных бумаг являются облигации.

Облигация – это обязательство выплатить в определенные моменты времени в будущем заранее установленные денежные суммы. Основные параметры облигации – номинальная цена (номинал), дата погашения, размеры и сроки платежей по облигации. С момента эмиссии и до погашения облигации продаются и покупаются на фондовом рынке. Рыночная цена облигации устанавливается на основе спроса и предложения и может быть равна ее номиналу, выше или ниже номинала.

Будем рассматривать облигации в условиях определенности: эмитент не может отозвать облигацию до установленной даты погашения, платежи по облигации задаются фиксированными значениями в определенные моменты времени. При этом поступление будущих доходов точно в указанные сроки и в полном объеме считается гарантированным. Про такие облигации говорят, что они не имеют кредитного риска. Основным фактором риска остается процентный риск – риск изменения рыночных процентных ставок.

Рассмотрим облигацию, по которой через t1, t2,…, tn лет от текущего момента времени t = 0, где 0 < t1 < t2 0, i = 1, 2,…, n. Пусть P – рыночная стоимость облигации в момент t = 0. Тогда естественно считать, что P < С1 + С2 +…+ Сn. Момент времени t = 0 – это момент, в который предполагается произвести инвестицию в облигацию или момент покупки облигации. Момент времени t = tn, когда выполняется последний платеж по облигации, называют моментом погашения облигации, а срок T = tn (в годах) – сроком до погашения. Два показателя в основном интересуют инвестора – доходность и цена облигации. Внутренняя доходность – самый важный и наиболее широко используемый показатель оценки облигации. Известен также как доходность к погашению.

Определение. Годовая внутренняя доходность облигации r – это годовая ставка сложных процентов, по которой современная стоимость потока платежей по облигации равна рыночной стоимости облигации в момент t = 0:

Здесь внутренняя доходность облигации определяется как годовая доходность денежного потока С1, С2,…,Сn, стоимость которого P (см. параграф 1.4).

В зарубежной практике существует рыночное соглашение, согласно которому если платежи по облигации выплачиваются через равные промежутки времени m раз в году, то для дисконтирования членов денежного потока применяется годовая номинальная ставка внутренней доходности j :

Свойства внутренней доходности облигации.

1. Ставка внутренней доходности облигации равна преобладающей рыночной процентной ставке для инвестиций в альтернативные финансовые инструменты с такой же степенью риска. Или короче – ставка внутренней доходности облигации равна доходности сравнимых с ней инструментов.

2. Годовая внутренняя доходность облигации – это ставка доходности, получаемая инвестором, если выполняются два условия:

1) инвестор владеет облигацией до момента ее погашения t = tn;

2) все платежи по облигации реинвестируются по ставке, равной внутренней доходности облигации r в момент ее покупки.

Покажем, что при выполнении этих условий среднегодовая доходность инвестиции в облигацию равна ее внутренней доходности. Покупку облигации, затем владение ею до момента погашения с реинвестированием поступающих доходов будем рассматривать как финансовую операцию (см. параграф 1.2).

Срок операции T = tn лет. Денежная оценка начала операции P(0) – это рыночная цена покупки облигации P в момент t = 0. Согласно (8.1), P =. Денежная оценка момента погашения облигации t = tn для инвестора определению доходности финансовой операции (2.2):

где - среднегодовая доходность инвестиции в облигацию на срок T = tn лет.

Подставим в это равенство выражения для P и P(tn):

Таким образом, среднегодовая доходность инвестиции в облигацию, равная r, реализуется в день погашения облигации при выполнении условий 1), 2).

Отсюда другое название внутренней доходности – доходность к погашению.

Если пункты 1) или 2) не выполняются, то реальная доходность, получаемая инвестором, может быть выше или ниже внутренней доходности облигации.

Риск, с которым сталкивается инвестор при покупке облигации, – это риск того, что будущие ставки реинвестирования будут ниже ставки внутренней доходности. Этот риск называется реинвестиционным риском, или риском ставки реинвестирования.

Внутренняя доходность облигации используется для оценки привлекательности альтернативных инструментов инвестирования. При прочих равных условиях, чем выше доходность к погашению облигаций данного выпуска, тем более привлекательным он является.

Рассмотрим задачу определения внутренней доходности облигации.

Внутренняя доходность облигации – это решение уравнения (8.1). Согласно теореме 4.1, это уравнение при выполнении условия P < С1 + С2 +…+ Сn имеет единственное положительное решение. Это решение находят, используя приближенные методы. Один из них – метод линейной интерполяции (изложен в параграфе 1.4, примеры 4.2, 4.4).

Пример 8.1. Определить годовую внутреннюю доходность r облигации, поток платежей по которой указан в таблице:

Приближенное значение внутренней доходности облигации найдем методом линейной интерполяции. Согласно определению годовой внутренней доходности облигации Необходимо найти решение уравнения F(r) = 0, где Так как 948 < 50 + 1050, то согласно теореме 4.1 существует единственное положительное решение этого уравнения. Так как F(0,07) = – 15,8396, F(0,08) = 1,4979, то искомая внутренняя доходность r (0,07; 0,08). По формуле (4.8) находим первое приближение При этом значение функции F(rл1) = 0,02567 > 0. Значит, решение r (0,07;

0,07914). Следующий шаг метода дает Поэтому можно считать, что r 0,07913 или 7,913 % с точностью до третьего знака после запятой.

Определение. Облигация называется чисто дисконтной, если по этой облигации производится только одна выплата.

Определение. Внутренняя доходность чисто дисконтной облигации без кредитного риска, срок до погашения которой t лет, называется годовой безрисковой процентной ставкой для инвестиций на t лет. Другое название – годовая спот-ставка.

Пусть А – погашаемая сумма по чисто дисконтной облигации, t лет - срок до погашения, Р – рыночная цена облигации в момент t = 0, r(t) – внутренняя доходность облигации. Тогда согласно определению внутренней доходности облигации, Отсюда – годовая безрисковая процентная ставка для инвестиций на t лет.

В качестве примера чисто дисконтных облигаций, не имеющих кредитного риска, можно привести бескупонные облигации Казначейства США.

Доходности казначейских бумаг служат эталоном при оценке всех видов облигаций.

Рассмотрим, как можно оценить любую облигацию, если на рынке имеются чисто дисконтные облигации. Пусть на рынке имеется облигация В без кредитного риска, по которой через t1, t2,…, tn лет обещают выплатить денежные суммы С1, С2,…, Сn соответственно. Облигацию В можно оценить, если рассматривать ее как портфель из чисто дисконтных облигаций В1, В2,…, Вn со сроками погашения через t1, t2,…, tn лет соответственно. Предположим, выполняются следующие условия:

1) известны годовые безрисковые процентные ставки r(t1), r(t2), …, r(tn) для инвестиций на t1, t2,…, tn лет, отсчитанных от момента t = 0;

2) чисто дисконтные облигации В1, В2,…, Вn можно приобрести на рынке в любом количестве без трансакционных расходов. Тогда для этих облигаций имеем i = 1, 2, …, n, где Pi – текущая рыночная цена одной облигации i – го вида, Ai – погашаемая сумма по этой облигации, r(ti) - ее внутренняя доходность. Платеж С1 от портфеля погашается облигациями В1, платеж С2 – облигациями В2, и т.д., каждого вида. Следовательно, стоимость портфеля в момент t = 0 равна Тогда рыночная стоимость облигации В в момент t = 0 составляет Каждый платеж по облигации В индивидуально дисконтируется по соответствующей безрисковой процентной ставке.

Определение. Набор годовых безрисковых процентных ставок r(t1), r(t2), …, r(tn) для инвестиций на t1, t2,…, tn лет, отсчитанных от момента t = 0, где Таким образом, если известна временная структура процентных ставок, то стоимость облигации, не имеющей кредитного риска, может быть рассчитана по формуле (8.3).

Определение. График функции r = r(t), где r(t) - годовая безрисковая процентная ставка для инвестиций на t лет, называется кривой доходностей (или кривой спот-ставок).

В условиях реального рынка всегда существует лишь конечный набор чисто дисконтных облигаций (например, не существует бескупонных долговых обязательств Казначейства США со сроком погашения больше одного года).

Поэтому кривую доходностей невозможно построить только по наблюдениям на рынке. В связи с этим строят теоретическую кривую доходностей. Для этого, используя доходности реально существующих чисто дисконтных облигаций, рассчитывают теоретические значения доходностей для различных сроков инвестирования. Существует несколько методов получения теоретических значений доходностей. Один из них называется «процедурой бутстреппа».

Рассмотрим этот метод на примере.

Пример 8.2. На рынке имеются государственные облигации А, В, С, D, Е, потоки платежей по которым и цены в момент t = 0 указаны в таблице:

А и В – чисто дисконтные облигации. Их внутренние доходности r(0,5) = 5, % и r(1) = 6,3 %, определенные по формуле (8.2), являются безрисковыми процентными ставками для инвестиций на 0,5 года и 1 год. Зная эти две ставки, можно вычислить теоретическую безрисковую процентную ставку для инвестиций на 1,5 года, используя облигацию С. Цена облигации С по формуле (8.3) равна где r(0,5) = 0,0525, r(1) = 0,063. Тогда Откуда получаем теоретическую годовую безрисковую процентную ставку для инвестиций на 1,5 года: r(1,5) = 6,9 %. Данная ставка – это та ставка, которую предлагал бы рынок по 1,5 - годовым чисто дисконтным облигациям, если бы такие ценные бумаги существовали на самом деле.

Зная теоретическую 1,5 – годовую безрисковую процентную ставку, можно вычислить теоретическую двухлетнюю безрисковую процентную ставку, используя облигацию D:

Откуда r(2) = 7,1 % - теоретическая двухлетняя безрисковая процентная ставка.

Применяя еще раз описанную процедуру для облигации E, определяем теоретическую 2,5 - летнюю безрисковую процентную ставку: r(2,5) = 7,9 %.

Безрисковые процентные ставки r(0,5), r(1), r(1,5), r(2), r(2,5), построенные с помощью такого процесса, задают временную структуру процентных ставок по 2,5 - летнему диапазону относительно момента времени, к которому относятся цены облигаций.

Зная временную структуру процентных ставок r(t1), r(t2), …, r(tn), можно построить кривую доходностей. Один из методов построения кривой – линейное интерполирование. Полагают Кривая доходностей для временной структуры, полученной в примере 8.2, при использовании линейного интерполирования имеет вид:

Пользуясь кривой доходностей, можно определить приближенное значение безрисковой процентной ставки для инвестиций на любой срок от t1 до tn лет.

Например, так как 1,25 [1;1,5], то Другой способ построения кривой доходностей – интерполирование (n – 1) – го порядка:

где t [t1, tn]. Тогда r(t) – многочлен степени (n – 1) относительно переменной t. При t = t1, t2, …, tn значения многочлена совпадают с r(t1), r(t2), …, r(tn) соответственно. Уравнение кривой доходностей для временной структуры, полученной в примере 8.2, имеет вид:

r(t) 0,00633 t4 - 0,031 t3 + 0,04442 t2 - 0,00325 t + 0,0465, где t [0,5; 2,5].

Пользуясь полученной кривой, вычислим стоимость облигации без кредитного риска, платежи по которой относительно момента t = 0 указаны в таблице:

Рыночная стоимость данной облигации в момент t = 0 составляет, согласно (8.3):

Приближенные значения годовых безрисковых процентных ставок для инвестиций на 0,7 года и 1,7 года равны соответственно:

r(0,7) 0,00633 (0,7)4 - 0,031 (0,7)3 + 0,04442 (0,7)2 - 0,00325 0,7 + 0,0465 = 0,0569, r(1,7) 0,00633 (1,7)4 - 0,031 (1,7)3 + 0,04442 (1,7)2 - 0,00325 1,7 + 0,0465 = 0,0699.

Тогда рыночная стоимость данной облигации Рассмотренная «процедура бутстреппа» получения теоретических значений безрисковых процентных ставок может быть использована, если на рынке имеются подходящие для этой процедуры облигации. Рассмотрим еще один метод получения теоретических значений процентных ставок.

Предположим, известна временная структура процентных ставок r(t1), r(t2), …, r(tk) для инвестиций на t1, t2,…, tk лет, а на рынке имеется облигация без кредитного риска стоимостью P, по которой через t1, t2,…, tk, tk + 1, …, tn лет обещаны выплаты С1, С2,…, Сk, Сk+1,…, Сn соответственно. Приближенные значения безрисковых процентных ставок r(tk+1), r(tk+2), …, r(tn) можно найти, используя линейную интерполяцию на отрезке [tk, tn]. Для этого полагают r(tn) = r. Безрисковая процентная ставка r(tk) известна. Тогда где tk + 1, tk + 2, …, tn – 1 [tk, tn].

Так как стоимость облигации P в момент t = 0 известна, то получим уравнение с одним неизвестным r. Решение этого уравнения находим методом линейной интерполяции. Зная r, по формулам (8.6) находим безрисковые процентные ставки r(tk+1), r(tk+ 2), …, r(tn). Таким образом, имеем временную структуру процентных ставок r(t1), r(t2), …, r(tk), r(tk+1),…, r(tn) по tn – летнему диапазону относительно момента t = 0.

Пример 8.3. Используя линейное интерполирование, построить кривую доходностей, если известны годовые безрисковые процентные ставки:

и дана облигация (без кредитного риска) со следующим потоком платежей:

Уравнение (8.7) для данной облигации имеет вид:

Используем линейное интерполирование на отрезке [1,5; 2,5]. Так как r(1,5) = решить уравнение Следовательно, r(2) 0,04 + 0,5 r = 0,09245, r(2,5) 0,10489. Таким образом, по заданным r(0,5) = 0,06; r(1) = 0,07; r(1,5) = 0,08 и вычисленным r(2,5) 0,105 значениям безрисковых процентных ставок можно r(2) построить кривую доходностей:

Кривая доходностей, полученная для облигаций, не имеющих кредитного риска, используется также для оценки рискованных инструментов на рынке.

Теоретические значения безрисковых процентных ставок с добавлением премии за риск используются для оценки всех видов облигаций. Кроме того, форма кривой доходностей рассматривается как отображение вероятного направления будущих изменений процентных ставок денежного рынка. На рис. 1.8. показаны четыре основные формы кривой доходностей: 1 – нормальная (возрастающая) кривая; 2 – обратная (убывающая) кривая; 3 – «горбатая»

кривая; 4 – плоская (горизонтальная) кривая.

Есть две основные теории, объясняющие форму кривых доходностей, – теория ожиданий и теория сегментации рынка [13, 14]. Возрастающая кривая чаще всего означает предполагаемый рост темпа инфляции. Убывающая кривая чаще всего свидетельствует об ожидаемом снижении темпа инфляции.

Горизонтальная кривая доходностей означает, что годовые безрисковые процентные ставки для инвестиций на все сроки одинаковы. Горизонтальная кривая используется при изучении ряда важнейших понятий теории финансовых инвестиций с фиксированным доходом. Например таких, как дюрация и показатель выпуклости облигации, стоимость инвестиции в облигацию, иммунизация портфеля облигаций.

1.9. Купонная облигация. Зависимость цены облигации от внутренней доходности, купонной ставки, срока до погашения.

Облигация называется купонной, если по этой облигации производятся регулярные выплаты фиксированного процента от номинала, называемые купонными, и выплата номинала при погашении облигации. Последний купонный платеж производится в день погашения облигации.

Будем использовать следующие обозначения:

A - номинал облигации;

f - годовая купонная ставка;

m - число купонных платежей в году;

q - сумма отдельного купонного платежа;

t = 0 – момент покупки облигации или момент, когда предполагается инвестирование в облигацию;

T (в годах) - срок до погашения облигации от момента t = 0;

- время, прошедшее от последней перед продажей облигации купонной выплаты до покупки облигации (до момента t = 0).

Период времени, измеряемый в годах, называется купонным периодом.

В конце каждого купонного периода производится купонный платеж. Так как облигация может быть куплена в любой момент между купонными выплатами, непосредственно перед купонным платежом. Так как покупка облигации производится только после оплаты очередного купона, то не принимает после купонной выплаты, а до погашения остается n купонных платежей, то срок до погашения облигации равен число. Следовательно, Пример 9.1. По облигации производятся купонные выплаты каждые три месяца. Срок до погашения облигации а) 10,5 месяцев; б) 6 месяцев. Определить число купонных платежей, оставшихся до погашения облигации, а также время, прошедшее от последней перед продажей облигации купонной выплаты до покупки облигации.

а) Число купонных платежей в году m = 4. Срок до погашения облигации (в годах) равен. Так как Tm = 3,5 – не является целым, то число купонных платежей, оставшихся до погашения облигации, n = [3,5] + 1 = 4. Время, прошедшее от последней перед продажей облигации купонной выплаты до куплена через 1,5 месяца после купонной выплаты.

б) Число купонных платежей в году m = 4. Срок до погашения облигации купонной выплаты.

Пусть P – рыночная стоимость облигации в момент t = 0, купоны по которой выплачиваются m раз в год. Предположим, облигация продается через время после купонной выплаты, когда до погашения остается n купонных выплат. Формула (8.1) для купонной облигации имеет вид:

или Годовая внутренняя доходность r купонной облигации может быть определена из равенства (9.1). Так как обычно величина r мала, то Тогда последнее равенство можно переписать в виде:

получим еще одну формулу для расчета внутренней доходности купонной облигации:

Для приблизительной оценки внутренней доходности купонной облигации пользуются «купеческой» формулой:

Пример 9.2. По 9 % - й купонной облигации номиналом 1000 д.е. обещают производить каждые полгода купонные выплаты. Требуется определить внутреннюю доходность облигации, если ее стоимость равна 1050 д.е., а до погашения остается 3,8 года.

Здесь значения параметров облигации следующие: A = 1000 д.е., f = 0,09, платежей n, оставшихся до погашения облигации, а также время, прошедшее от последней перед продажей облигации купонной выплаты до покупки облигации.

Так как произведение Tm = 7,6 – не является целым, то n = [7,6] + 1 = 8.

Для расчета внутренней доходности облигации по формуле (9.2) необходимо решить уравнение Методом линейной интерполяции находим r 8,004%.

Приблизительную оценку внутренней доходности облигации получим по «купеческой» формуле (9.3):

Рассмотрим факторы, влияющие на цену купонной облигации.

Зависимость цены купонной облигации от внутренной доходности.

Цену купонной облигации в момент t = 0 будем рассматривать как функцию ее внутренней доходности r. Используем обозначение P(r).

Теорема 9.1. Функция P(r) является убывающей и выпуклой.

Доказательство. Согласно (9.1), Функция P(r) непрерывна и дифференцируема на множестве 0,. Так как то P(r) – убывающая выпуклая функция на множестве 0,. Кроме того, P(r = Уменьшение внутренней доходности облигации вызывает рост ее цены. И наоборот: увеличение внутренней доходности облигации вызывает падение ее цены. В этом состоит фундаментальное свойство облигации – ее цена изменяется в направлении, противоположном направлению изменения ее доходности. Заметим, что зависимость P(r) устанавливается для заданного момента времени.

Зависимость цены купонной облигации от купонной ставки.

Рассмотрим облигацию номиналом A, купонные выплаты по которой производятся m раз в году по годовой купонной ставке f. Пусть P – цена облигации сразу после купонной выплаты ( = 0), r - ее годовая внутренняя доходность в этот момент времени. Цену облигации сразу после купонной выплаты называют котируемой.

Если P = A, то говорят, что облигация продается по номиналу.

Если P > A, то говорят, что облигация продается с премией П = P –A.

Если P < A, то говорят, что облигация продается с дисконтом Д = A– P.

Подчеркнем, что понятия премии и дисконта определены только для котируемой цены облигации, т.е. соответствуют значению = 0.

Теорема 9.2. Купонная облигация продается сразу после купонной выплаты по номиналу, с премией, с дисконтом тогда и только тогда, когда f = r, f > r, f < r соответственно.

Доказательство. По условию = 0. Тогда по формуле (9.2) котируемая цена облигации равна:

Рассмотрим разность доказана.

Обозначим через Pn, Пn, Дn котируемую цену облигации, размер премии и размер дисконта соответственно в момент сразу после очередной купонной выплаты, когда до погашения облигации остается n купонных платежей. Так как = 0, то При f > r облигация продается с премией:

При f < r облигация продается с дисконтом:

Пример 9.3. По 8% - ной купонной облигации номиналом 1000 д.е. и сроком до погашения 20 лет обещают ежегодно производить купонные выплаты. Определить размер премии (дисконта), если облигация продается с доходностью к погашению а) 9% годовых; б) 7% годовых.

Здесь значения параметров облигации следующие: A = 1000 д.е., f = 0,08, m = 1, T = 20 лет, n =20, а) r = 0,09; б) r = 0,07.

а) Так как f < r, то облигация продается с дисконтом. Согласно (9.6), б) Так как f > r, то облигация продается с премией. Согласно (9.5), Зависимость цены купонной облигации от срока до погашения.

Пусть дана облигация номиналом A, купонные выплаты по которой производятся m раз в году по годовой купонной ставке f. Предположим, годовая внутренняя доходность облигации остается неизменной и равной r до момента ее погашения. Будем считать = 0. Рассмотрим зависимость котируемой цены купонной облигации от срока до погашения. Пусть в момент t = 0 сразу после купонного платежа до погашения облигации осталось k купонных периодов (k Зависимость котируемой цены Pk купонной облигации от срока до погашения будем рассматривать как зависимость от числа оставшихся до погашения купонных выплат k. Из (9.4) получаем:

где k = 0, 1, 2, …, n,.... Котируемая цена облигации в день погашения сразу после выплаты последнего купона, когда k = 0, равна номиналу облигации, т.е.

стоимость вечной ренты, параграф 1.5).

Рассмотрим вспомогательную функцию определенную на множестве 0,. Значения этой функции F(0), F(1), F(2),, F(n),… в точках x = 0, 1, 2,…, n,..., т.е. в точках x = k, где k – неотрицательное целое, – это котируемые цены облигации Pk = 0, P1, P2, …, Pn, … соответственно в день погашения, за 1 купонный период до погашения, за 2,…, n купонных периодов до погашения и т.д. Таким образом, имеем равенство:

Докажем лемму.

Лемма 9.1. Справедливы следующие утверждения:

1) F(x) является возрастающей вогнутой функцией на множестве 0,, если f > r ;

2) F(x) является убывающей выпуклой функцией на множестве 0,, если f < r ;

3) F(x) является постоянной функцией на множестве 0,, если f = r.

Доказательство. Функция F(x) непрерывна и дифференцируема на множестве 0,. Тогда Отсюда следует утверждение леммы. Так как F(0) = A, то при f = r функция Теорема 9.3. Если внутренняя доходность облигации r не изменяется в течение срока ее обращения, то 1) котируемая цена облигации, продающейся с премией, уменьшается с уменьшением срока до погашения и равна номиналу облигации в день погашения;

2) котируемая цена облигации, продающейся с дисконтом, увеличивается с уменьшением срока до погашения и равна номиналу облигации в день погашения;

3) котируемая цена облигации, продающейся по номиналу, остается неизменной и равной номиналу облигации в течение всего срока ее обращения.

Доказательство. Пусть n1 < n2, где n1 и n2 - число купонных платежей, 1) По теореме 9.2 облигация продается с премией, если f > r. Тогда по лемме F(x) – возрастающая функция. Значит, если n1 < n2, то F(n1) < F(n2).

Используя равенство (9.7), для котируемых цен облигации получим Pn1 < Pn2.

Первое утверждение доказано.

2) По теореме 9.2 облигация продается сдисконтом, если f < r. Тогда по лемме F(x) – убывающая функция. Значит, если n1 < n2, то F(n1) > F(n2).

Используя равенство (9.7), для котируемых цен облигации получим Pn1 > Pn2.

Второе утверждение доказано.

3) По теореме 9.2 облигация продается по номиналу, если f = r. Согласно лемме, F(x) = A на множестве 0,. Используя равенство (9.7), для котируемых цен облигации получим Pk = A, где k = 0, 1, 2, …, n, ….

Следующая теорема является следствием предыдущей.

Теорема 9.4. Если внутренняя доходность купонной облигации r не изменяется в течение срока ее обращения, то размер премии или дисконта уменьшается при уменьшении срока до погашения.

Доказательство. Пусть n1 < n2, где n1 и n2 - число купонных платежей, Если облигация продается с премией, то по теореме 9.3 для котируемых цен облигации имеем Pn1 < Pn2. Размер премии при продаже облигации за n купонных платежей до погашения составляет Пn1 = Pn1 – A, а при продаже облигации за n2 купонных платежей до погашения Пn2 = Pn2 – A. Следовательно, Пn1 < Пn2 – величина премии уменьшается при уменьшении срока до погашения и равна нулю в день погашения облигации. Действительно, котируемая цена в день погашения (сразу после выплаты последнего купона) Pk = 0 = A. Тогда размер премии в день погашения облигации равен Пk = 0 = Pk = 0 – A = 0.

Если облигация продается с дисконтом, то для котируемых цен облигации имеем Pn1 > Pn2, где n1 < n2. Размер дисконта при продаже облигации за n1 и n купонных платежей до погашения равен Дn1 = A – Pn1 и Дn2 = A – Pn соответственно. Следовательно, Дn1 < Дn2 – величина дисконта уменьшается при уменьшении срока до погашения и равна нулю в день погашения облигации.

Пример 9.4. Рассчитаем размер премии (дисконта) для облигации из примера 9.3 за 20 и 10 лет до ее погашения при условии, что внутренняя доходность облигации r не изменяется в течение срока ее обращения.

а) Облигация продается с дисконтом (f = 0,08, r = 0,09):

Согласно формуле (9.4) Тогда б) Облигация продается с премией (f = 0,08, r = 0,07):

Если облигация продается через время после купонной выплаты, где 0,, а до погашения остается n купонных платежей, то ее цена в этот момент может быть определена по формуле (9.2):

Здесь Pn – котируемая цена облигации в момент сразу после купонной выплаты, когда до погашения облигации остается n купонных платежей(см.(9.4)). При показательному закону:

Добавка к котируемой цене, накопленная за время, называется накопленным купонным доходом. При торговле на бирже принято считать, что купонный купонной выплаты составит что несколько отличается от расчета цены по формуле (9.2).

1.10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при В предыдущем параграфе установлено основное свойство облигации - ее цена изменяется в направлении, противоположном направлению изменения ее внутренней доходности. Однако, изменение цены неодинаково при снижении и повышении доходности на одну и ту же величину. Справедлива следующая теорема.

Теорема 10.1. Уменьшение внутренней доходности облигации приводит к росту ее цены на величину большую, чем соответствующее падение цены при увеличении доходности на ту же величину.

Доказательство. Пусть r и P(r) – внутренняя доходность и цена облигации в текущий момент времени. Уменьшению внутренней доходности в этот момент на величину r > 0 соответствует рост цены облигации P(r–r) – P(r) = +P(r), а увеличению внутренней доходности на ту же величину r > 0 соответствует падение цены P(r) – P(r + r) = –P(r). Покажем, что +P(r) > –P(r).

Отсюда производная P/(r) – возрастающая функция. Так как r1 < r2, то P/(r1) < P/(r2). Отсюда где r > 0. Следовательно, Как следует из доказательства, данное свойство изменения цены облигации можно объяснить выпуклостью функции P(r).

Заметим, что аналогичное утверждение справедливо и для относительного изменения цены. Действительно, из доказанного неравенства сразу получаем или Пример 10.1. По 8% - ной купонной облигации номиналом 1000 д.е. и сроком до погашения 10,25 лет обещают производить каждые полгода купонные платежи. Внутренняя доходность облигации равна 8% годовых.

Найти изменения цены облигации при изменении ее внутренней доходности на величину r = 1%.

Значения параметров облигации: A = 1000 д.е., f = 0,08, r = 0,08; m = 2, T = 10,25 = 0,25 (года). По формуле (9.2) находим Следовательно, Для относительного изменения цены получаем Характер изменения цены облигации при изменении ее внутренней доходности одинаков для всех облигаций, однако степень этого процесса зависит и от уровня процентных ставок рынка.

Теорема 10.2. Чем выше уровень процентных ставок рынка, тем меньше изменение цены облигации при изменении ее внутренней доходности на заданную величину.

Доказательство. Рассмотрим облигацию, продающуюся при двух уровнях доходности рынка rн < rв. По свойству внутренней доходности, это означает продажу облигации при двух различных уровнях ее внутренней доходности.

Пусть в обоих случаях доходность увеличилась на одну и ту же величину r > при уровнях доходности rн и rв равно соответственно Покажем, что –P(rн) > –P(rв).

что Так как rH, rH r rB, rB r =, то r1 < r2. Следовательно, P/(r1) < P/(r2).

Отсюда где r > 0. Значит, Таким образом, абсолютное падение цены облигации тем меньше, чем выше уровень процентных ставок рынка.

Доказательство аналогично, если рассмотреть абсолютный рост цены облигации при уменьшении доходности на r > 0. Теорема доказана.

Замечание. Утверждение теоремы можно доказать и для относительного изменения цены облигации.

Пример 10.2. Рассмотрим облигацию с параметрами: A = 100 д.е., f = 0,09;

m = 1; T = 25 лет, продающуюся при двух уровнях доходности: rн = 0,07 и rв = 0,13. В обоих случаях доходность увеличилась на 1%.

По формуле (9.2) находим ( = 0) Увеличение доходности в каждом случае привело к снижению цены на величину Следовательно, –P(0,07) > –P(0,13).

Для относительных изменений цен получаем поскольку В следующих теоремах устанавливается зависимость величины изменения цены облигации от купонной ставки и срока до погашения.

Теорема 10.3. Пусть срок до погашения облигации больше одного купонного периода. Тогда относительное изменение цены облигации при изменении ее внутренней доходности тем больше, чем меньше купонная ставка.

Доказательство. Рассмотрим две купонные облигации, все параметры которых совпадают, кроме купонных ставок. Пусть r – внутренняя доходность облигаций в текущий момент времени. Предположим, внутренняя доходность облигаций в этот момент снизилась на величину r > 0. Сравним относительный рост стоимости этих облигаций. Пусть для определенности f1 < f2.

Так как f2 > f1, то знак этого выражения совпадает со знаком разности bc – ad.

где f1 < f2. Доказательство аналогично, если рассмотреть относительное падение цен облигаций. Теорема доказана.

Замечание. Утверждение теоремы справедливо только для относительного изменения цены облигации. Несложно убедиться, что чем меньше купонная ставка, тем меньше абсолютное изменение цены облигации при изменении ее внутренней доходности. Кроме того, предлагается самостоятельно доказать, что кривые зависимости P(r) для f1 < f2 имеют вид, показанный на рисунке 10.3.

Пример 10.3. По купонной облигации номиналом 1000 д.е. и сроком до погашения 9,25 лет обещают производить каждые полгода купонные платежи.

Внутренняя доходность облигации равна 9% годовых. Сравнить величины относительного роста и падения цены облигации при изменении ее внутренней доходности на величину r = 2% для купонных ставок 8 и 9% годовых.

Параметры облигации: A = 1000 д.е., r = 0,09; f1 = 0,08; f2 = 0,09; m = 2, T = 1) Сравним величины относительного роста цены при уменьшении внутренней доходности облигации на 2%. По формуле (9.2) находим Тогда 2) Сравним величины относительного падения цены при увеличении внутренней доходности облигации на 2%. По формуле (9.2) Тогда Замечание. Для абсолютных изменений цены имеем где f1 < f2.

Теорема 10.4. Если внутренняя доходность купонной облигации не изменяется в течение срока ее обращения, то изменение размера премии или дисконта тем больше, чем меньше срок до погашения.

Доказательство. Размер премии в момент, когда до погашения облигации остается n купонных платежей, равен где f > r. Пусть n1 < n2, где n1 и n2 – число купонных платежей, оставшихся до погашения облигации, и = 0. Рассмотрим разность (Пn1 – Пn1 – 1) – (Пn2 – Пn2 – 1) = Аналогично можно доказать утверждение и для изменения дисконта. Теорема доказана.

Пример 10.4. Для облигации, рассмотренной в примерах 9.3 и 9.4 с параметрами A = 1000 д.е., f = 0,08, m = 1 при условии, что ее внутренняя доходность r не изменяется в течение срока обращения, имеем:

а) облигация продается с дисконтом, r = 0,09:

Следовательно, Д10 – Д9 > Д20 – Д19.

б) облигация продается с премией, r = 0,07:

Следовательно, П10 – П9 > П20 – П19.

1.11. Дюрация и показатель выпуклости облигации.

Для облигации, не имеющей кредитного риска, всегда существует процентный риск. Это риск уменьшения цены облигации вследствие изменения процентных ставок на рынке. Чувствительность цены облигации к изменению доходности влияют уровень начальной доходности, купонная ставка, срок до погашения. Однако существует показатель, который позволяет оценить облигации до и после изменения процентных ставок.

Рассмотрим облигацию, по которой через t1, t2,…, tn лет от текущего момента времени t = 0 обещают выплатить денежные суммы С1, С2,…, Сn соответственно. Предположим, временная структура процентных ставок в этот момент такова, что безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Тогда рыночная стоимость облигации равна Предположим, временная структура процентных ставок мгновенно изменилась так, что безрисковые процентные ставки для всех сроков изменились на одну и ту же величину r. Тогда стоимость облигации станет r > 0 означает увеличение процентных ставок, r < 0 – уменьшение.

Приращение стоимости P(r) = P(r + r) - P(r) является положительной величиной при r < 0 и означает рост стоимости облигации при снижении процентных ставок на рынке. Отрицательное значение величины P(r) = P(r + r) - P(r) означает падение цены облигации при увеличении процентных ставок на величину r > 0. Такой же смысл имеет знак относительного приращения стоимости облигации. Относительное приращение стоимости облигации при изменении процентных ставок на величину r равно где P(r) и P(r + r) рассчитываются по формулам (11.1) и (11.2). Рассмотрим, формуле (11.3).

Считая r достаточно малым по абсолютной величине, получим по формуле Тейлора или с учетом членов разложения второго порядка Члены более высокого порядка считаются незначительными при определении чувствительности цены облигации к изменению процентных ставок на рынке.

Для относительных приращений цены облигации имеем или облигации. Тогда Определение. Число называется дюрацией облигации, или дюрацией Маколея.

Дюрация облигации представляет собой средневзвешенный срок выплат по облигации, где весами являются текущие стоимости выплат Сi(0), деленные на долю рыночной цены облигации, которая будет получена через ti лет, i = 1, 2, …, n. Сумма коэффициентов в формуле (11.6) равна единице:

Определение. Число называется показателем выпуклости облигации.

Таким образом, Тогда из формул (11.4) и (11.5) получаем или Проанализируем эти выражения. Так как чувствительность цены облигации к следует, что дюрация облигации оценивает чувствительность цены облигации к изменению временной структуры процентных ставок. Следовательно, дюрацию облигации можно рассматривать как меру процентного риска облигации – чем больше дюрация, тем больше процентный риск облигации.

вторым слагаемым нельзя пренебречь по сравнению с первым. Следовательно, чем больше показатель выпуклости, тем хуже дюрация облигации оценивает величину. И наоборот – чем меньше С, тем более верным является приближенное равенство (11.8). Следовательно, чем меньше С, тем лучше дюрация облигации оценивает чувствительность цены облигации к изменениям временной структуры процентных ставок. Таким образом, показатель выпуклости облигации можно интерпретировать как показатель того, насколько Таким образом, в момент t = 0 дюрация облигации является мерой ее процентного риска при следующих условиях:

1) в начальный момент времени безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r (кривая доходностей является горизонтальной);

2) процентные ставки для всех сроков изменились мгновенно в этот же момент на одну и ту же величину r (кривая доходностей переместилась параллельно самой себе);

4) показатель выпуклости облигации мал, т.е. справедлива формула (11.8).

На рис. 1.11.1 показана зависимость стоимости облигации P(r + r) от доходности (r + r). Кривая 1 построена по формуле (11.2) для точного поведения цены. Из формул (11.8) и (11.9) получим выражения для приближенного поведения цены:

Зависимость (11.10), описывающая изменение цены только с помощью дюрации облигации, является линейной относительно (r + r) (кривая 2). Зависимость (11.11), описывающая изменение цены облигации с помощью дюрации и показателя выпуклости, является квадратичной (кривая 3).

Пример 11.1. Дана 6% - ная купонная облигация номиналом 1000 д.е., по которой обещают производить купонные выплаты каждые полгода в течение лет. Безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и составляют 8% в год. Определить:

1. Дюрацию и показатель выпуклости облигации;

процентных ставок на величину r = 0,01; 0,02; – 0,01 по формулам: (11.3) – точное значение, (11.8) – приближенное с учетом только дюрации облигации, (11.9) - приближенное с учетом дюрации и показателя выпуклости облигации.

Здесь значения параметров облигации следующие: A = 1000 д.е., f = 0,06, m = 2, T = 3 года, r = 0,08.

1. Результаты расчета дюрации и показателя выпуклости облигации приведены в таблице:

Таким образом, цена облигации P(0,08) = 951,491 д.е., ее дюрация D = 2,784 года, показатель выпуклости C = 10,888 лет2.

2. Расчеты относительного изменения цены по формулам (11.3), (11.8), (11.9) для трех значений r приведены в таблице:

увеличении процентных ставок, положительные – ее росту при снижении процентных ставок. Из расчетов видно, что чем меньше величина r по абсолютной величине, тем ближе значения, получаемые по формулам (11.3) и (11.8). Значит, тем меньше ошибка в оценке изменения цены только с помощью дюрации облигации.

Свойства дюрации и показателя выпуклости облигации.

1. Дюрация облигации не превосходит срока до ее погашения Т.

Действительно, где P(r) – рыночная стоимость облигации в момент t = 0, r – ее внутренняя доходность.

2. Дюрация чисто дисконтной облигации равна сроку до ее погашения.

Действительно, для чисто дисконтной облигации имеем где A – номинал облигации. Тогда дюрация облигации равна 3. Если облигация не является чисто дисконтной, то чем больше внутренняя доходность облигации, тем меньше ее дюрация и показатель выпуклости.

Доказательство. Рассмотрим облигацию, по которой через t1, t2,…, tn лет от текущего момента времени t = 0 (0 < t1 < t2 < … < tn ) обещают выплатить денежные суммы С1, С2,…, Сn соответственно. Безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Покажем, что дюрация D и показатель выпуклости C облигации - это убывающие функции r. Согласно определению Рассмотрим производную Используем обозначения Покажем, что a2 – bc < 0 методом математической индукции по числу платежей Основание индукции n = 2.

Предположим, что утверждение верно для ( n – 1 ) платежей по облигации, т.е.

Пусть теперь число платежей по облигации равно n. Рассмотрим Согласно определению, показатель выпуклости равен Используем обозначения платежей n.

Если n = 2, то Для n платежей по облигации имеем Свойство доказано.

показатель выпуклости – на (t02 + 2 t0D + t0 ) лет2.

Доказательство. Дюрация исходной облигации Дюрация облигации с отсроченными платежами Таким образом, Показатель выпуклости исходной облигации Показатель выпуклости облигации с отсроченными платежами равен Таким образом, Свойство доказано.

5. Если до погашения облигации остается больше одного купонного периода, то при заданном значении внутренней доходности r дюрация облигации и показатель выпуклости тем больше, чем меньше купонная ставка.

выпуклости – убывающие функции купонной ставки f.

Формула (11.6) для дюрации купонной облигации, продающейся через время после купонной выплаты с доходностью к погашению r, когда до погашения остается n купонных выплат, имеет вид:

Цена облигации Используем обозначения Рассмотрим производную дюрации по купонной ставке f.