«Математические методы финансового анализа Под научной редакцией д.ф.-м.н., профессора Мельникова А.В. Оглавление Предисловие научного редактора Часть I. Финансовый анализ в условиях определенности Введение. 1.1. Методы ...»

Мельников А.В., Попова Н.В., Скорнякова В.С.

Математические методы финансового анализа

Под научной редакцией д.ф.-м.н., профессора

Мельникова А.В.

Оглавление

Предисловие научного редактора

Часть I. Финансовый анализ в условиях определенности

Введение.

1.1. Методы наращения и дисконтирования денежных сумм. Основные

определения и формулы.

1.2. Доходность финансовой операции.

1.3. Эквивалентные серии платежей.

1.4. Потоки платежей. Основные характеристики потока платежей.

1.5. Финансовая рента. Свойства коэффициентов наращения и дисконтирования ренты.

1.6. Оценка эффективности инвестиционных проектов. Инвестиции и их виды.

1.7. Зависимость показателей эффективности от параметров инвестиционного проекта.

1.8. Внутренняя доходность облигации. Временная структура процентных ставок.

1.9. Купонная облигация. Зависимость цены облигации от внутренней доходности, купонной ставки, срока до погашения.

1.10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при изменении ее внутренней доходности.

1.11. Дюрация и показатель выпуклости облигации.

1.12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию.

Иммунизирующее свойство дюрации облигации.

1.13. Инвестиции в портфель облигаций. Дюрация и показатель выпуклости портфеля.

1.14. Управления портфелем облигаций в стратегии иммунизации.

1.15. Простейшие активные и пассивные стратегии управления портфелем облигаций.

1.16. Задачи.

Рекомендуемая литература Часть II. Финансовый анализ в условиях неопределенности.

Введение.

2.1. Финансовый рынок и вероятностные основы моделирования финансового рынка и расчета рисков платежных обязательств.

2.Биномиальная модель финансового рынка. Безарбитражность, 2.

единственность риск-нейтральной вероятности, мартингальное представление.

2.3. Хеджирование платежных обязательств на биномиальном финансовом рынке. Формула Кокса-Росса-Рубинштейна. Форвардные и фьючерсные контракты.

2.4. Портфели платежных обязательств и расчет цен опционов американского типа.

2.5 Функции полезности и Санкт-Петербургский парадокс. Расчет оптимального инвестиционного портфеля.

2.6. Структура цен хеджирующих и инвестиционных стратегий в модели ХоЛи рынка облигаций.

2.7 Фундаментальные теоремы арбитража и полноты. Схемы расчетов платежных обязательств на полных и неполных рынках.

2.8. Структура цен опционов на неполных рынках и рынках с ограничениями. Инвестиционные стратегии, основанные на опционах.

2.9. Хеджирование платежных обязательств в среднем квадратическом.

2.10. Гауссовская модель рынка и расчет финансовых контрактов в схемах "гибкого" страхования. Дискретная формула Блэка-Шоулса.

2.11. Переход от биномиальной к непрерывной модели рынка. Формула и уравнение Блэка-Шоулса.

2.12. Модель Блэка-Шоулса. "Греческие" параметры риск-менеджмента, хеджирование при бюджетных ограничениях и с учетом дивидендов.

Оптимальное инвестирование.

2.13. Количественный анализ долгосрочного инвестицирования.

2.14. Финансовый анализ в экономике страхования.

2.15. Задачи - case studies.

Рекомендуемая литература Часть III. Моделирование и прогнозирование на финансовом рынке.

Введение.

3.1. Основы портфельного анализа в условиях неопределенности. Модель Марковитца.

3.2. Модель ценообразования финансовых активов (Capital Asset Pricing Model, САРМ) 3.3. Рыночные индексы.

3.4. Многофакторная модель.

3.5. Линейные временные ряды.

3.6. Нелинейные временные ряды.

3.7. VаR методология (Value at Risk).

3.8. Прогнозирование эволюции финансовых активов с помощью современных методов технического анализа.

3.9. Моделирование финансовых активов с фиксированным доходом.

Рекомендуемая литература.

Приложения.

Неотъемлемыми атрибутами экономического образования являются знания в области микро- и макроэкономики, бухгалтерского учета, теории финансов, экономики фирмы. Такие знания оказываются востребованными и будут оставаться востребованными практически в любой экономической структуре, стремящейся быть конкурентоспособной. Однако деятельность экономических субъектов не должна рассматриваться изолированно, поскольку все они фирмы, компании, банки, люди вовлечены в общую финансовую систему, сердцевиной которой является финансовый рынок. Эта система, весьма динамична в своем развитии, отражает воздействие общих технологических достижений (информационно-компьютерные технологии и др.) и своих внутренних источников. К последним относятся плавающие курсы валют и процентных ставок и целый спектр финансовых инновационных инструментов, характерной чертой которых являются отложенные в будущее платежи. В результате существенно усложняется характер финансовой информации и анализ инвестиционной активности любой фирмы, вовлеченной в современную финансовую систему.

Этим в первую очередь объясняется содержание дисциплин по финансовому анализу, которое все больше наполняется количественными методами финансовой математики. Именно они позволяют моделировать будущие потоки платежей, учитывать неопределенности финансовых контрактов, связанные с развитием финансового рынка в контрактный период, рассчитывать цены таких контрактов с минимизацией риска.

Настоящая книга «Математические методы финансового анализа»

(авторы Мельников А.В., Попова Н.В., Скорнякова В.С.) посвящена именно этому актуальному направлению финансового анализа.

В первой части, написанной Поповой Н.В., приводятся различные формулы и операции финансового анализа в условиях нестохастичности окружающей среды. Базу таких расчетов составляет так называемая финансовая арифметика, без которой не обходится ни одна книга по данной тематике.

Во второй части книги, написанной Мельниковым А.В., излагаются методы стохастической финансовой математики, составляющие методологическую основу финансовых расчетов в условиях рисковой финансовой среды.

Третья часть, написанная Скорняковой В.С., посвящена в основном вопросам моделирования и прогнозирования финансовых данных и оптимизации инвестиций, что также является безусловным атрибутом финансового анализа.

Книга снабжена адаптированным к тексту пакетом прикладных программ, содержит объемный материал по заявленной тематике и может быть использована в качестве учебника для студентов экономикоматематических специальностей.

Часть I. Финансовый анализ в условиях определенности.

Содержание Введение.

1.17. Методы наращения и дисконтирования денежных сумм. Основные определения и формулы.

Методы наращения по ставке i.

Методы дисконтирования.

Наращение по учетной ставке.

Свойства наращенной суммы долга.

Сравнение методов дисконтирования.

Свойства современной величины суммы погашаемого долга.

Эквивалентность процентных ставок.

Номинальные и эффективные процентные ставки.

Переменные процентные ставки.

1.18. Доходность финансовой операции.

Учет налогов и инфляции.

1.19. Эквивалентные серии платежей.

1.20. Потоки платежей. Основные характеристики потока платежей.

1.21. Финансовая рента. Свойства коэффициентов наращения и дисконтирования ренты.

Свойства коэффициентов наращения и дисконтирования ренты.

Определение параметров ренты.

1.22. Оценка эффективности инвестиционных проектов. Инвестиции и их Показатели эффективности инвестиционных проектов.

Свойства и экономическое содержание NPV(i).

доходности.

Свойства и экономическое содержание срока окупаемости.

Свойства и экономическое содержание индекса доходности.

Сравнение двух инвестиционных проектов.

1.23. Зависимость показателей эффективности от параметров инвестиционного проекта.

Зависимость показателей эффективности от величины вложенных инвестиций.

дисконтирования.

Взаимосвязь показателей эффективности.

Зависимость показателей эффективности от NPV(i) проекта.

Связь срока окупаемости n* и индекса доходности d.

1.24. Внутренняя доходность облигации. Временная структура процентных ставок.

Свойства внутренней доходности облигации.

1.25. Купонная облигация. Зависимость цены облигации от внутренней доходности, купонной ставки, срока до погашения.

Зависимость цены купонной облигации от срока до погашения.

1.26. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при изменении ее внутренней доходности.

1.27. Дюрация и показатель выпуклости облигации.

Свойства дюрации и показателя выпуклости облигации.

1.28. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию.

Иммунизирующее свойство дюрации облигации.

Свойства планируемой и фактической стоимостей инвестиции.

1.29. Инвестиции в портфель облигаций. Дюрация и показатель выпуклости портфеля.

Меры доходности портфеля.

Дюрация и показатель выпуклости портфеля облигаций.

Свойства дюрации и показателя выпуклости портфеля облигаций.

Иммунизирующее свойство дюрации портфеля.

1.30. Управления портфелем облигаций в стратегии иммунизации.

Формирование иммунизированного портфеля облигаций.

Иммунизация портфеля облигаций при наличии трансакционных расходов.

1.31. Простейшие активные и пассивные стратегии управления портфелем облигаций.

1.32. Задачи.

Рекомендуемая литература.

Введение.

Первая часть учебника посвящена применению математических методов к изучению специальных разделов финансового анализа в условиях определенности - производственных и финансовых инвестиций.

Эта часть учебника написана на основе материалов учебного курса «Математические методы финансового анализа», подготовленного для студентов старших курсов экономико-математического факультета РЭА им. Г.В. Плеханова, уже изучивших ряд разделов высшей математики и только приступающих к изучению финансовых расчетов. Курс и первая часть учебника подготовлены доцентом кафедры высшей математики РЭА Поповой Н.В. Задачами данной части учебника являются приобретение учащимися фундаментальных знаний в области финансовых расчетов и овладение на этой основе практическими навыками анализа инвестиций.

Значительная часть материала излагается на основе таких разделов высшей математики, как «Математический анализ», «Исследование операций».

При подготовке учебника использована современная отечественная и иностранная литература.

Финансовый анализ в условиях определенности предполагает, что данные для анализа заранее известны и фиксированы. Получение будущих доходов в точно указанные сроки и в полном объеме считается гарантированным, т.е. отсутствует риск неплатежа. Содержание параграфов 1–5 представляет собой математическую основу финансового анализа в условиях определенности. В связи с этим основное внимание в этих параграфах уделено определению основополагающих понятий и выводу формул. Уметь выводить формулы наращения и дисконтирования денежных сумм необходимо для понимания их механизмов. Необходимо также представлять себе результат применения того или иного метода наращения (дисконтирования) денежной суммы по сравнению с другими методами, а также сферу применения методов. В связи с этим проводится подробный сравнительный анализ методов наращения и дисконтирования.

Рассмотрены некоторые важные понятия теории процентных ставок и их приложения, а также потоки платежей, что создает основу для анализа производственных и финансовых инвестиций в условиях определенности.

В параграфах 6, 7 излагаются методы оценки инвестиционных эффективности от параметров инвестиционного проекта. Последнее представляется особенно важным, поскольку правильная оценка проекта определяется не только значениями показателей эффективности, но и их представлять себе взаимосвязь показателей эффективности. Кроме того, рассмотрены проблемы сравнения инвестиционных проектов.

оценку инвестиции в облигацию, такие как временная структура процентных ставок, внутренняя доходность, купонная ставка, дюрация и показатель выпуклости облигации, иммунизирующее свойство дюрации. В этой же части учебника изучаются характеристики портфеля облигаций без кредитного риска, стратегии управления портфелем облигаций. Особое внимание уделяется стратегии иммунизации.

теоретическому материалу первой части учебника.

Результатом изучения первой части должно стать не только умение произвести простейшие финансовые расчеты, но и знание математических методов анализа инвестиций в условиях определенности.

1.1. Методы наращения и дисконтирования денежных сумм.

Большая часть финансовых сделок связана с предоставлением денег в долг.

При этом как правило заемщик платит кредитору проценты за пользование ссудой. Величина процентной ставки определяется балансом спроса и предложения, степенью риска и величиной инфляции. Кроме того, процентная ставка учитывает фактор времени, так как деньги, относящиеся к разным моментам времени, неравноценны. Согласно принципу неравноценности денег во времени, современные деньги ценнее будущих. В данном параграфе рассматриваются методы наращения и дисконтирования денежных сумм при однократном предоставлении денег в долг.

Будем использовать следующие обозначения:

t = 0 - момент предоставления денег в долг (настоящий момент времени);

T или n - срок долга;

Pt - сумма, предоставленная в долг в момент времени t ;

P0 - сумма, предоставленная в долг в момент времени t = 0;

St - сумма погашаемого долга в момент t ;

i - процентная ставка (наращения);

d - учетная ставка.

Предоставление денег в долг как правило связано с одной из двух операций наращения или дисконтирования денежной суммы.

первоначального долга P0, процентная ставка и срок долга T. Требуется найти сумму погашаемого долга ST.

Определение. Процесс увеличения суммы долга в связи с присоединением первоначального долга.

Найденную наращением сумму погашаемого долга называют наращенной суммой долга.

Операция дисконтирования применяется тогда, когда заданы сумма погашаемого долга ST, которую следует уплатить через время T, а также процентная ставка. Требуется найти сумму первоначального долга P0. В этом случае говорят, что сумма ST дисконтируется или учитывается.

Определение. Процесс уменьшения суммы погашаемого долга в связи с начислением и удержанием процентов называется дисконтированием или учетом погашаемого долга, а сами начисленные и удержанные проценты называются дисконтом.

Найденную дисконтированием сумму первоначального долга P0 называют современной или приведенной к моменту t = 0 величиной погашаемого долга ST.

Таким образом, современная величина суммы ST, подлежащей выплате через время T, это сумма денег P0, которая, будучи вложенной в момент t = 0, через время T даст сумму ST.

Определение. Проценты, или процентные деньги, - это абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг на время T.

Если доход определяется операцией наращения, то проценты вычисляют по формуле Если доход определяется операцией дисконтирования, то проценты называют дисконтом и вычисляют по формуле В финансовой математике различают два вида ставок начисления процентов:

процентная ставка и учетная ставка. Пусть t* - фиксированный отрезок времени (например: 1 месяц, 6 месяцев, 1 год), P0 - сумма, предоставленная в долг в момент t = 0 на время t*, S t - сумма погашаемого долга в момент t* Определение. Процентная ставка i за период t* - это отношение дохода за время t* к сумме вложенных средств:

Определение. Учетная ставка d за период t* - это отношение дохода за время t* к сумме погашаемого долга:

Обе ставки выражаются в процентах или десятичных дробях.

Определение. Отрезок времени t*, к которому приурочена процентная ставка, называется периодом начисления процентов.

В операции наращения период начисления процентов называют также периодом наращения. В операции дисконтирования период начисления процентов называют также периодом дисконтирования.

В зависимости от выбранного отрезка t* процентную ставку называют ежемесячной, полугодовой, годовой и т.д. При этом подразумевается однократное начисление процентов по этой ставке за период. Чаще всего применяется годовая процентная ставка.

Определение. Число n = называется числом периодов начисления процентов в сроке долга T.

Если срок долга измеряется в числе периодов начисления процентов n, то отрезок t*, т.е. один период начисления процентов, принимается за единицу измерения времени, а ставки i и d называют процентными ставками за единицу времени. При этом сумма погашаемого долга обозначается через Sn. В этих обозначениях Формулы (1.5), (1.6) (как и (1.3), (1.4)) означают существование двух принципов расчета процентов. Рассмотрим инвестирование суммы P0 в момент t = 0 на один период. Как следует из (1.5), в момент t = 1, т.е. в конце периода, инвестору будет возвращена сумма S1 = P0 + iP0. При этом сумма iP0, выплачиваемая в момент t = 1, это проценты I(1) = S1 – P0 = iP0 за время [0, 1] на заем величиной P0 в момент t = 0. Таким образом, проценты по ставке i начисляются на сумму первоначального долга P0 в момент t = 1.

Согласно (1.6), в обмен на возврат суммы S1 в момент t = 1 инвестор даст взаймы сумму P0 = S1 – dS1. В этом случае проценты по ставке d начисляются в начальный момент времени t = 0 на сумму погашаемого долга S1. Сумма P может рассматриваться как заем суммы S1, возвращаемой через единицу времени, при котором проценты величиной dS1 выплачиваются заранее, в момент t = 0, и составляют доход кредитора D(1) = S1 – P0 = dS1 за время [0, 1].

Таким образом, проценты по ставке i начисляются в конце периода начисления процентов, а проценты по учетной ставке d - в начале периода начисления процентов.

Проценты различают по базе для их начисления.

Определение. Процентная ставка называется простой, если на каждом периоде база для начисления процентов является постоянной.

Определение. Процентная ставка называется сложной, если на каждом периоде базой для начисления процентов является сумма, полученная на предыдущем периоде наращения или дисконтирования.

Рассмотрим задачу. На банковский счет размещена сумма P0 под годовую ставку i без промежуточных выплат на счет или со счета. Какова будет сумма вклада через n лет?

1) Наращение по простой ставке i.

Здесь t 0 - момент размещения суммы P0 на банковский счет.

Единица измерения времени - 1 год. Как следует из (1.5), проценты за первый год вклада равны I1 = iP0. Согласно определению простой процентной ставки, проценты за каждый год вклада одинаковы и равны Накопленные проценты за весь срок вклада n лет составят Тогда наращенная сумма вклада через n лет станет равной Отсюда Таким образом, если через n лет счет закрывается, то инвестору выплачивается сумма P0(1 + in). Этот платеж состоит из возврата исходного вложения P0 и процентов I(n) = niP0. (1.9) - формула наращенной суммы долга по простой процентной ставке i в течение n периодов. I1, I2,…, In – проценты за каждый период (единицу времени). В формуле (1.9) n необязательно целое. Нормальная коммерческая практика по отношению к дробным периодам года заключается в платеже процентов на пропорциональной основе. Это позволяет рассматривать выражения (1.8) и (1.9) как применимые ко всем неотрицательным значениям n. Формулой (1.9) обычно пользуются, если срок долга меньше года. Если i - годовая ставка, t t (временная база). Правила выбора временной базы и подсчета числа дней в сроке долга подробно рассмотрены в литературе, например [1,2,5].

Как следует из равенств (1.7), особенностью простых процентов является то, что проценты, будучи зачисленными на счет, сами по себе не зарабатывают дальнейших процентов.

Пример 1.1. В конце третьего квартала сумма вклада стала равной 180 д.е.

Найти величину годовой процентной ставки, по которой начислялись проценты в сумме 5 д.е. за каждый квартал.

Так как проценты начисляются в конце каждого квартала, то за единицу измерения времени можно принять 1 квартал. Тогда в конце каждого квартала проценты начисляются по квартальной процентной ставке, где i - годовая процентная ставка. Срок вклада n = 3 квартала (единицы времени). Наращенная сумма вклада Sn = 180 д.е. Проценты за каждый квартал (единицу времени) применяется простая процентная ставка. Проценты за весь срок вклада I(n) = nI = 15 д.е. Так как Sn = P0 + I(n), то сумма первоначального вклада P0 = Sn – I(n) = Замечание. Пользуясь только условиями задачи, найти сумму вклада в конце второго квартала. Полученный ответ проверить по формуле (1.9).

2) Наращение по сложной ставке i.

Будем считать, что в момент t = 0 сумма P0 размещена на банковский счет под сложную годовую процентную ставку. Согласно определению сложной процентной ставки, базой для начисления процентов на каждом периоде Следовательно, проценты за каждый год вклада составляют: I1 = iP0, I2 = iS1, …, In–1 = iSn–2, In = соответствующего периода наращения. Очевидно, что Рассмотрим выражения для процентов:

Следовательно, I1, I2, …, In - члены геометрической прогрессии с первым членом I1 и знаменателем (1 + i). Проценты за весь срок вклада составляют I(n) = I1 + I2 + … + In. По формуле суммы n членов геометрической прогрессии находим Наращенная сумма вклада через n лет станет равной Sn = P0 + I(n). Отсюда Если инвестор закроет свой счет через n лет, он получит сумму P0(1 + i)n. Этот платеж состоит из возврата исходного вклада P0 вместе с накопленными процентами (1.12). (1.13) - формула наращенной суммы долга при начислении сложных процентов по ставке i в течение n периодов. I1, I2,…, In - проценты за каждый период (единицу времени). Выражение (1.13) остается верным для всех неотрицательных значений n.

Как видим из (1.11), особенностью сложных процентов является то, что проценты сами зарабатывают проценты. Вследствие этого влияние сложных процентов на накопление на счете может быть очень значительным, особенно если длительность счета или процентная ставка велики.

Пример 1.2. Какова сумма первоначального вклада, размещенного под сложную процентную ставку, если проценты за первый и второй годы соответственно составили 20 и 21,6 д.е.?

Используем полученные соотношения для сложных процентов. Если то сумма первоначального вклада P0 = 250 д.е.

Замечание. Сделать проверку, вычислив I2 по определению. Найти I5, I7, S5, S7. Как они называются?

3) Наращение суммы вклада по номинальной ставке.

Если сложные проценты начисляются не один, а m раз в году, то годовую процентную ставку называют номинальной и обозначают через i(m). Общее определениие номинальной процентной ставки будет рассмотрено позже. В случае начисления процентов m раз в году годовую номинальную процентную ставку можно определить следующим образом.

Определение. Годовая процентная ставка i(m) называется номинальной, i ( m) Таким образом, если сложные проценты начисляются через равные промежутки времени m раз в году, то в конце каждого периода длиной периодов применения ставки в сроке долга. Из формулы (1.13) получаем где m 1. Если m = 1, то i(1) = i, т.е. номинальная ставка совпадает с годовой ставкой сложных процентов, применяемой раз в году. (1.14) – формула наращенной суммы долга по номинальной ставке i(m) при начислении сложных процентов m раз в году в течение n лет.

Непрерывное начисление процентов - это начисление процентов за непрерывном начислении сложных процентов, когда m, годовую номинальную процентную ставку обозначают через и называют силой роста или интенсивностью процентов, а также непрерывной процентной ставкой.

Таким образом, процентная ставка при непрерывном начислении процентов это годовая номинальная процентная ставка при начислении процентов за бесконечно малые отрезки времени.

Перейдем к пределу при m в выражении (1.14), учитывая, что при m годовую номинальную процентную ставку обозначают через Таким образом, интенсивности процентов в единицу времени в течение n периодов.

Хотя это математическая идеализация реальности, процессы начисления процентов часто бывает удобно рассматривать как непрерывные.

Пример 1.3. Сравнить сроки удвоения суммы 1000 д.е. при начислении сложных процентов по годовой номинальной процентной ставке 0,1 а) по полугодиям; б) ежеквартально; в) непрерывно.

Согласно условию, P0 = 1000 д.е., 4, i(4) = 0,1; в) m, = 0,1. Из формул (1.14) и (1.15) получаем Отсюда находим, что первоначальная сумма 1000 д.е. вырастет до 2000 д.е. за а) 7,103 года или 7 лет и 38 дней; б) 7,018 года или 7 лет и дней; в) 6,931 года или 6 лет и 340 дней. Как видим, с увеличением уменьшается.

Итак, в зависимости от способа применения процентной ставки i имеем четыре метода наращения суммы долга по этой ставке: по простой (1.9), сложной (1.13), номинальной (1.14), при постоянной интенсивности процентов в единицу времени (или по постоянной силе роста) (1.15). Методы наращения по учетной ставке d будут рассмотрены позже.

В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования.

Математическое дисконтирование – формальное решение задачи, обратной задаче о наращении суммы долга. Сформулируем эту задачу в общем виде. Какую сумму P0 необходимо выдать в долг в момент t = 0, чтобы при начислении на эту сумму процентов по ставке i за единицу времени в течение n периодов получить подлежащую выплате в конце срок долга n сумму Sn ? В зависимости от способа применения процентной ставки i из формул (1.9), (1.13), (1.14), (1.15) получаем (1.16) – (1.19) – формулы современной величины суммы Sn при математическом ее учете по ставке i простыми процентами (1.16), сложными (1.17), по номинальной ставке (1.18), по постоянной силе роста (1.19) в течение n периодов.

банковского дисконтирования. По заданной сумме Sn, которая будет выплачена через время n, требуется определить сумму займа P0 в настоящий момент, при котором проценты за пользование ссудой выплачиваются заранее, в момент предоставления денег в долг t = 0. Для начисления и удержания процентов применяется учетная ставка d.

1) Простая ставка дисконтирования d.

Имеем: t = n – момент погашения суммы Sn. Согласно определению учетной ставки (1.6), сумма, которую необходимо выдать в долг в момент t = n – 1, за единицу времени до погашения суммы Sn, есть Тогда величина дисконта за последний, n – й, период дисконтирования равна Dn = dSn. Так как d - простая учетная ставка, то суммы дисконта за каждый период дисконтирования одинаковы и равны Величина дисконта за весь срок долга n составляет Согласно (1.2), Тогда (1.20) – формула современной величины суммы Sn при банковском ее учете простыми дисконтами по ставке в течение n периодов.

времени). Выражение (1.20) означает, что в обмен на выплату суммы Sn через время n кредитор даст взаймы сумму Sn(1– nd) в начале этого срока. Заметим, что формула (1.20) справедлива, если срок долга n и учетная ставка d удовлетворяют условию nd < 1. Дисконтирование по Пример 1.4. Вексель, погашаемый 1 января 2002 года, учтен за месяцев до его погашения на сумму 180 д.е. Какова величина годовой учетной ставки, если ежемесячный дисконт составляет 2 д.е.?

Так как проценты удерживаются за каждый месяц, то за единицу измерения времени можно принять 1 месяц. Тогда в начале каждого - годовая учетная ставка. Срок погашения векселя n = 10 единиц времени. Сумма P0 = 180 – приведенная (к моменту учета векселя t = 0) величина суммы Sn, погашаемой по векселю. Дисконты за каждый период (единицу времени) составляют D10 = D9 = … = D1 = 2 = D.

Следовательно, вексель учтен по простой учетной ставке. Размер дисконта за весь срок D(n) = nD. Так как P0 = Sn – nD, то сумма, учетная ставка d = 0,12.

Замечание. Найти P9, P7, P3, D(3), D(7). Как они называются? Каков смысл этих сумм ?

2) Сложная ставка дисконтирования d.

Согласно определению сложной процентной ставки, базой для начисления процентов на каждом периоде является сумма, полученная на предыдущем периоде дисконтирования. Так как для начисления процентов применяется учетная ставка d, то проценты начисляются в начале каждого периода. Рассмотрим процесс дисконтирования суммы Sn по периодам, начиная с n - го. Такой порядок рассмотрения периодов означает, что n - й период дисконтирования является предыдущим по отношению к (n – 1) - му, (n – 1) - й период является предыдущим по отношению к (n – 2) - му и т. д.

Сумма, которую необходимо выдать в долг в момент t = n – 1, т.е. за единицу времени до погашения суммы Sn, есть - приведенная к моменту t = n – 1 величина суммы Sn. D(1) Pn– величина дисконта за один, n – й, период, D(1) = Dn = dSn. Так как Pn – 1 это сумма, полученная на n - м периоде дисконтирования, то величина дисконта на (n – 1) - м периоде дисконтирования равна Dn - 1 = dPn – 1.

Сумма, которую необходимо выдать в долг в момент t = n – 2, за два периода до погашения суммы Sn, есть:

Pn–2 - приведенная к моменту t = n – 2 величина суммы Sn. D(2) величина дисконта за 2 периода, n - й и (n – 1) - й, D(2) = Dn + Dn – 1. Так как Pn–2 это сумма, полученная на (n – 1) - м периоде дисконтирования, то величина дисконта на (n – 2) - м периоде составляет Dn - 2 = dPn – 2. И так далее.

Приведенная к моменту t = 0 величина суммы Sn - это сумма P0, которую необходимо выдать в долг в момент t = 0 за n периодов до погашения суммы Sn:

где D(n) - величина дисконта за весь срок долга. Найдем D(n). Имеем:

Dn - 1 = dPn – 1 = d(Sn – Dn) = dSn – dDn = Dn – dDn = Dn(1 – d), Таким образом, Следовательно, Dn, Dn–1, …,D1 - члены геометрической прогрессии с первым членом Dn и знаменателем (1 – d). Величина дисконта за весь срок долга n составляет По формуле суммы n членов геометрической прогрессии получаем Так как P0 = Sn – D(n), то (1.21) – формула современной величины суммы Sn при банковском ее учете сложными процентами по учетной ставке d в течение n периодов.

Пример 1.5. Государственная облигация учтена за пять лет до погашения.

Какова сумма, погашаемая по облигации, если дисконты за последний и предпоследний годы до погашения составили соответственно 2000 и 1600 д.е. ?

Используем полученные соотношения для сложных дисконтов. Если единицей измерения времени является 1 год, то срок долга n = 5 лет, D4 = 1600 д.е., D5 = 2000 д.е., D4 = D5(1 – d), где d - годовая учетная ставка. Отсюда d = 0,2. Так как D5 = dS5, то погашаемая сумма S5 = 10000 д.е.

Замечание. Проверить этот ответ, вычислив D4 по определению. Найти P4, P3, P2, D(2), D(3), D(4). Каков смысл этих сумм? За какую сумму облигация была продана за пять лет до погашения?

3) Дисконтирование по номинальной учетной ставке.

Если дисконтирование по сложной учетной ставке производится не один, а m раз в году, то годовую учетную ставку называют номинальной и обозначают через d(m).

Определение. Годовая учетная ставка d(m) называется номинальной, если для дисконтирования в течение части года применяется сложная учетная Таким образом, если дисконтирование по сложной учетной ставке производится через равные промежутки времени m раз в году, то в начале каждого периода длиной начисляются и удерживаются проценты по ставке сроке долга. Из формулы (1.21) получаем где m 1. Если m = 1, то d(1) = d, т.е. номинальная учетная ставка совпадает с годовой учетной ставкой сложных процентов, применяемой раз в году. (1.22) – формула учета суммы Sn при m-разовом дисконтировании в году по номинальной учетной ставке d(m) в течение n лет.

Так как при непрерывном начислении процентов начало и конец периода начисления процентов совпадают, то номинальные процентные пользуются одной процентной ставкой - силой роста. Тогда при непрерывном дисконтировании справедлива формула (1.19):

Пример 1.6. 10 тыс. д.е. должны быть возвращены через 5 лет.

Сравнить современные величины этого долга при его дисконтировании по годовой номинальной учетной ставке 0,12 а) по полугодиям;

б) ежеквартально; в) непрерывно.

d(4) = 0,12; в) m, = 0,12. Из формул (1.22) и (1.19) получаем:

Отсюда современная величина суммы 10 тыс. д.е., срок погашения которой через 5 лет, при ее дисконтировании по годовой номинальной учетной ставке в зависимости от m составляет а) 5386,15 д.е.; б) 5437, д.е.; в) 5488,12 д.е. Как видим, с увеличением m современная стоимость суммы 10 000 д.е. увеличивается.

Итак, в зависимости от способа применения учетной ставки d имеем четыре метода дисконтирования суммы долга Sn по этой ставке: по простой (1.20),сложной (1.21), номинальной (1.22), по постоянной силе роста (1.19).

Если решается задача, обратная банковскому дисконтированию, то для нахождения суммы погашаемого долга пользуются учетной ставкой. Например, в этом возникает необходимость при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга. Из формул (1.20), (1.21), (1.22), находим При непрерывном наращении по сложной учетной ставке справедлива формула (1.15) (при m номинальные процентные ставки i(m) и d(m) перестают различаться).

Все рассмотренные методы наращения приведены в таблице.

Определение. Число, показывающее во сколько раз наращенная сумма долга больше первоначальной, называется множителем наращения (или множителем накопления).

Экономический смысл множителя наращения заключается в следующем.

Если срок долга n единиц времени, то множитель наращения показывает накопленную к моменту n будующую стоимость 1 д.е., вложенной в момент t = 0 на срок n. Очевидно, что множитель наращения больше 1. Интенсивность процесса наращения определяется множителем наращения. Сравнивая эти множители для каждого значения срока n, считая равными процентные ставки за 1 времени, можно сравнить темпы наращения по различным ставкам. Для этого рассмотрим отношения множителей наращения. Используем формулу разложения в степенной ряд функции Сравним темпы наращения по номинальной и простой процентным ставкам:

Отсюда сразу получаем отношение множителей наращения по сложной (m = 1) и простой процентным ставкам:

Сравним темпы наращения по номинальной процентной ставке в зависимости от m. Пусть 1 m1 < m2. Тогда для любого срока n. Следовательно, чем больше m, тем быстрее наращение по номинальной процентной ставке i(m). Самое быстрое наращение по номинальной процентной ставке производится по постоянной силе роста, когда m, а самое медленное наращение соответствует значению m = 1 (наращение по сложной процентной ставке).

Таким образом, имеем следующие соотношения множителей наращения по ставке i в зависимости от срока n:

На рис. 1.1.1 показаны кривые наращения, соответствующие четырем методам наращения суммы долга по ставке i.

Рассмотрим сравнение темпов наращения по учетной ставке. Сравним множители наращения по простой и номинальной учетным ставкам :

Отсюда получаем отношение множителей наращения по простой и сложной (m = 1) учетным ставкам:

Сравним темпы наращения по номинальной учетной ставке в зависимости от m.

Пусть 1 m1 < m2. Тогда для любого срока n. Следовательно, чем больше m, тем медленнее наращение по номинальной учетной ставке d(m). Самое медленное наращение по номинальной учетной ставке производится по постоянной силе роста, когда m, а самое быстрое наращение соответствует значению m = 1 (наращение по сложной учетной ставке).

Таким образом, имеем следующие соотношения множителей наращения по учетной ставке в зависимости от срока n:

На рис.1.1.2 показаны кривые наращения, соответствующие четырем методам наращения суммы долга по учетной ставке.

Из неравенств (1.29) и (1.33) следует, что при заданном значении срока долга n наращение суммы долга по любой учетной ставке происходит быстрее наращения долга по любой из ставок i.

1. Чем больше срок долга, тем больше наращенная сумма долга Sn.

Действительно, (Sn)/n > 0 для любой процентной ставки.

2. Чем больше процентная ставка, тем быстрее идт процесс наращения.

Действительно, (Sn)/процентная ставка > 0 для любого метода наращения.

3. С увеличением m процесс наращения по номинальной процентной ставке i(m) ускоряется, а по номинальной учетной ставке d(m) замедляется.

Все полученные методы дисконтирования показаны в таблице.

Определение. Число, показывающее какую долю от суммы погашаемого множителем.

Экономический смысл дисконтного множителя заключается в следующем.

Если срок долга n единиц времени, то дисконтный множитель - это современная дисконтный множитель меньше 1. Интенсивность процесса дисконтирования определяется дисконтным множителем. Сравнивая эти множители для каждого значения срока n, считая равными процентные ставки за 1 времени, можно сравнить темпы дисконтирования по различным процентным ставкам. При дисконтных множителей обратно отношению множителей наращения. Это значит, что неравенства (1.26) – (1.28), (1.30) – (1.32) можно рассматривать как отношения соответствующих дисконтных множителей. Если неравенство (1.28) рассматривать как отношение дисконтных множителей для различных значений m при дисконтировании по номинальной процентной ставке i(m), то приходим к следующему выводу. Чем больше m, тем меньше современная величина суммы погашаемого долга, т.е. тем быстрее дисконтирование по номинальной процентной ставке i(m). Самое быстрое дисконтирование соответствует m (дисконтирование при постоянной интенсивности процентов в единицу времени ), самое медленное - дисконтирование по сложной процентной ставке (m = 1).

Из неравенств (1.29) получаем соотношения дисконтных множителей при математическом дисконтировании:

На рис. 1.1.3 показаны дисконтные кривые, соответствующие четырем методам математического дисконтирования:

Если неравенство (1.32) рассматривать как отношение дисконтных множителей для различных значений m при дисконтировании по номинальной учетной ставке d(m), то приходим к следующему выводу. Чем больше m, тем больше современная величина суммы погашаемого долга, т.е. тем медленнее дисконтирование по номинальной учетной ставке d(m). Самое медленное дисконтирование по номинальной учетной ставке соответствует m (дисконтирование при постоянной интенсивности процентов ), самое быстрое (дисконтирование по сложной учетной ставке).

Из неравенств (1.33) получаем соотношения дисконтных множителей при банковском учете:

На рис. 1.1.4 показаны дисконтные кривые, соответствующие четырем методам банковского дисконтирования:

Из неравенств (1.34) и (1.35) следует, что при любом сроке долга n дисконтирования по любой из ставок i. Это означает, что метод банковского учета для заданного срока долга даст меньшее значение современной стоимости суммы погашаемого долга, чем любой из методов математического дисконтирования.

Свойства современной величины суммы погашаемого долга.

1. Чем больше срок долга n, тем меньше современная величина P0 суммы погашаемого долга Sn.

Действительно, (P0)/n < 0 для любого метода дисконтирования.

2. Чем больше процентная ставка, тем сильнее дисконтирование.

Действительно, (P0)/процентная ставка < 0 для любого метода дисконтирования.

3. С увеличением m процесс дисконтирования по номинальной процентной ставке i(m) ускоряется, а по номинальной учетной ставке d(m) замедляется.

Из свойств наращенной суммы долга и современной величины суммы погашаемого долга следует, что кредитору выгоднее работать с учетной ставкой, а заемщику – с процентной ставкой i.

Рассмотрим некоторые важные понятия, связанные с операциями наращения и дисконтирования суммы долга.

Определение. Процентные ставки различного вида, приводящие к одному и тому же финансовому результату за один и тот же срок, называются эквивалентными.

Равенство финансовых результатов означает то, что три величины - сумма первоначального долга P0, погашаемого долга Sn и срок долга n являются постоянными и безразлично, какой метод наращения (или дисконтирования) будет использован в операции. При этом замена одного вида процентной ставки на другой не изменяет финансовых отношений сторон в операции.

Соотношения эквивалентности можно получить для любых процентных ставок, множители.

Пример 1.7. Какой простой процентной ставкой можно заменить годовую учетную ставку 15 % при учете векселя за 100 дней до погашения (временная база для процентной ставки 365 дней, для учетной - 360 дней)?

Если P0 - сумма, выданная при учете векселя, а Sn - сумма, погашаемая по векселю, то Sn можно рассматривать, как результат наращения суммы P0 в течение 100 дней как по ставке i, так и по ставке d = 0,15. Тогда откуда находим i = 0,158696 или 15,87 % годовых.

Замечание. Объяснить, почему i > d.

Интенсивность процентов в единицу времени удобно использовать в теоретических расчетах и обоснованиях финансовых решений. Используя соотношения эквивалентности, можно перейти от непрерывного начисления процентов к дискретному, что более приемлемо на практике. Чаще возникает необходимость в соотношениях эквивалентности непрерывной и сложной процентных ставок. Для эквивалентных сложных процентных ставок, i и d имеем:

Отсюда Пример 1.8. Определить: а) эквивалентную сложную процентную ставку по банковскому вкладу сроком на 5 лет, если банк рассчитывает ее, исходя из постоянной годовой интенсивности процентов 0,07; б) эквивалентную сложную учетную ставку при учете в банке долгового обязательства за 3 года до погашения, если банк исходит из постоянной интенсивности процентов год 0,07.

Замечание. Объяснить, почему i > > d.

Равенство (1.36), кроме соотношений (1.37) и (1.38), позволяет сделать еще один полезный вывод об эквивалентных сложных процентных ставках, i и d.

Из (1.36) имеем :

а также Если сумму d отнести к моменту t = 0, сумму i – к моменту t = 1, а сумма выплачивается непрерывно с постоянной скоростью на временном отрезке [0,1] (каждую из этих сумм можно рассматривать как проценты за время [0,1] на заем интерпретировать следующим образом. Наращение суммы d по любой из трех эквивалентных ставок в течение 1 единицы времени даст сумму i. В свою очередь, дисконтирование суммы i по любой из трех эквивалентных ставок в течение 1 единицы времени даст сумму d.

Рассмотрим эквивалентность непрерывной и номинальных процентных ставок i(m) и d(m).

Составим таблицу значений эквивалентных номинальных процентных ставок:

Составим таблицу значений эквивалентных номинальных учетных ставок:

Из таблиц видим, что с увеличением m значения i(m) приближаются к значению сверху, а значения d(m) приближаются к значению снизу.

Так как номинальные процентные ставки i(m), d(p), эквивалентны, то:

Отсюда Тогда Отсюда получаем Значит, последовательность является убывающей, а последовательность d - возрастающей. Таким образом, эквивалентные номинальные процентные ставки i(m), d(p), обладают следующим свойством: последовательность снизу.

В соотношениях эквивалентности часто пользуются приближенными формулами, если одна из процентных ставок мала. Для этого применяют следующие разложения:

Тогда, например Если i мало, то Аналогично, если мало, то Оценить погрешность приближенных равенств можно, оценивая сумму отброшенных членов соответствующего ряда. Это показано в следующем примере.

Пример 1.10. Оценить погрешность приближенного равенства Так как то задача сводится к оценке суммы остатка ряда:

Просуммировав бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в равенство является приближенным с точностью до 0,00017. Если = 0,2, то R < 0,0014. Погрешность возросла.

Номинальные и эффективные процентные ставки.

номинальной процентной ставки. Оно связано с понятием эффективной процентной ставки.

времени, начинающийся в момент времени t - это отношение дохода за время h к сумме вложенных средств в начале этого периода.

получена сумма St + h, то согласно определению, Отсюда совпадает с процентной ставкой i(t) за единицу времени в момент t.

Например, сложные проценты начисляются ежемесячно по ставке 1% на сумму вклада на 3 месяца. Тогда 1 месяц - единица времени, процентная ставка за единицу времени равна 1%, а эффективная процентная ставка за 3 месяца равна (1,013 – 1).

Пусть N - целое число периодов длиной h в сроке долга. Тогда моменты t = 0, 1, 2,..., N – 1 можно рассматривать как моменты вложения средств. Применяя формулу (1.39) последовательно на каждом периоде длиной h в течение всего срока T, получим где P0 - сумма, вложенная в момент t = 0. (1.40) можно рассматривать как формулу наращения суммы P0 по переменной эффективной ставке.

Если эффективная ставка за период h не зависит от момента времени t, вырученная к концу срока долга, составит Формула (1.41) представляет собой наращение по сложной процентной ставке за период h. При h = 1 постоянная эффективная процентная ставка за единицу времени совпадает с обычной ставкой сложных процентов i за единицу времени. Постоянную эффективную процентную ставку за единицу времени обозначают через ief. Таким образом, ief = i. Как и (1.13), (1.41) остается верной для нецелых значений N. Формула (1.14), полученная ранее для наращенной суммы долга по годовой номинальной процентной ставке, является частным случаем (1.41). Действительно, если сложные проценты начисляются m раз в ставка. Если срок долга n лет, то N = mn и формула (1.41) приобретает вид (1.14).

В отличие от эффективной, номинальную процентную ставку как правило относят к единице времени.

Определение. Процентная ставка jh(t) называется номинальной процентной ставкой за единицу времени по сделке на срок h > 0, начинающейся в момент времени t, если эффективной процентной ставкой за период длины h, начинающийся в тот же момент времени t, является величина h jh (t).

Например, определим годовую номинальную ставку, если эффективная ставка за три месяца составляет 3%. Здесь единица измерения времени 1 год, h = 0,25 года, t - момент начала трехмесячной сделки. Тогда по определению 0,03 = 0,25jh(t). Отсюда годовая номинальная процентная ставка jh (t) = 0,12.

процентная ставка совпадает с эффективной за единицу времени, т.е. ief (t) = j1(t).

Если номинальная процентная ставка по сделке на срок h является постоянной и (1.39) - (1.41) для расчетов с использованием номинальных процентных ставок имеют вид:

Пример 1.11. В августе 2001 года номинальные годовые процентные ставки привлечения на депозит Центрального Банка РФ рублевых вкладов составляли в зависимости от срока:

Вклады сроком на 1 день называют овернайт ( “overnight money”).

Здесь единицей измерения времени является один год, а рассматриваемый момент времени, когда производится вложение средств, обозначим через t0.

Составим следующую таблицу:

Накопление по вкладу 1000 д.е. на срок, например, 7 дней согласно формуле (1.42) равно Накопление по вкладу на срок 3 дня можно рассчитать двумя способами - по формуле (1.42):

инвестиций на один день постоянной:

Как видим, два последних результата не совпадают. Это можно объяснить тем, что Центральный Банк предпочитает принимать вклады на более длительный срок.

Определение. Значение предела (t) номинальной процентной ставки jh (t), когда срок сделки h стремится к нулю, называется интенсивностью процентов в единицу времени в момент t. Таким образом, согласно определению, На практике интенсивность процентов в данный момент времени полагают приблизительно равной годовой номинальной процентной ставке по «overnight money». Понятие интенсивности процентов в данный момент времени означает непрерывное начисление сложных процентов. Поэтому (t) называют также процентной ставкой за единицу времени при непрерывном начислении процентов (силой роста). В случае, когда интенсивность процентов является постоянной величиной, т.е. (t) = для всех t, проценты по постоянной силе роста начисляются непрерывно с постоянной скоростью (см. вывод формулы 1.15).

Получим формулу наращенной суммы долга при непрерывном начислении процентов, когда интенсивность процентов (t) является функцией времени. Из формул (1.42) и (1.45) имеем:

Таким образом, требуется найти решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию St(t=0) = P0. Получаем В частном случае, когда (t) = для всех t, эта формула имеет вид:

что совпадает с выражением (1.15), полученным раньше другим На практике большое значение имеет понятие годовой эффективной процентной ставки при начислении процентов m раз в году. В этом случае годовая эффективная процентная ставка определяется следующим образом.

Определение. Годовая эффективная процентная ставка при начислении ставке i (m).

сложных процентов, начисляемых один раз в конце года, и обеспечивающая тот же финансовый результат, что и m – разовое начисление сложных процентов процентных ставок следует равенство множителей наращения:

Отсюда реальный относительный доход, получаемый в целом за год от начисления процентов. Покажем это. Рассмотрим процесс накопления процентов за 1 год.

Сложные проценты начисляются через равные промежутки времени m раз в По формуле суммы m членов геометрической прогрессии получаем Следовательно, реальный относительный доход, получаемый в целом за год от начисления процентов, составляет процентная ставка i рассматривается инвесторами как показатель реальной эффективности финансовой сделки.

Сравним i и i (m). Из формулы (1.48) имеем:

Так как m 1, то i i(m). Последнее неравенство можно объяснить, используя свойства наращенной суммы долга. Действительно, чем больше m, тем быстрее процесс наращения по номинальной процентной ставке i(m). С другой стороны, чем больше процентная ставка, тем быстрее процесс наращения. Так как ставки i и i(m) эквивалентны, то для достижения одинакового результата наращения ставка i должна быть больше.

Пример 1.12. Какой эффективной процентной ставке соответствует ежеквартальное начисление сложных процентов по номинальной годовой процентной ставке 13 %?

Здесь i(4) = 0,13. По формуле (1.48) находим Значит, реальный относительный доход за год для инвестора больше 13 % и составляет примерно 13,65 %.

Если в контракте указаны требуемая годовая эффективная процентная ставка i и число начислений процентов в году m, то из формулы (1.48) можно найти соответствующую годовую номинальную процентную ставку:

Пример 1.13. В контракте указана годовая эффективная процентная ставка 20 %. Банк начисляет проценты два раза в год. Какую номинальную годовую процентную ставку должен назначить банк?

По условию i = 0,2; m = 2. По формуле (1.49) находим Определим годовую эффективную учетную ставку def при начислении процентов m раз в году.

Определение. Годовая эффективная учетная ставка при начислении процентов m раз в году def - это годовая учетная ставка сложных процентов, начисляемых и удерживаемых один раз в году, эквивалентная годовой номинальной учетной ставке d(m).

Таким образом, согласно определению, def = d, где d - годовая учетная ставка сложных процентов, удерживаемых один раз в начале года, обеспечивающая тот же финансовый результат, что и m – разовое эквивалентности процентных ставок следует равенство дисконтных Отсюда Годовая эффективная учетная ставка d измеряет реальный относительный доход, получаемый в целом за год при m – разовом дисконтировании в году. В этом можно убедиться, рассматривая процесс дисконтирования в течение одного года и учитывая свойства сложных дисконтов.

Сравним d и d (m). Из формулы (1.50) имеем m 1, то d d(m). Последнее неравенство можно объяснить, используя свойства современной величины суммы долга. Действительно, чем больше m, тем медленнее процесс дисконтирования по номинальной учетной ставке d(m). С другой стороны, c уменьшением процентной ставки процесс дисконтирования замедляется. Так как ставки d и d(m) эквивалентны, то для достижения одинакового результата дисконтирования ставка d должна быть меньше.

Пример 1.14. Какой годовой эффективной учетной ставкой можно заменить в контракте годовую номинальную учетную ставку 5 % при поквартальном учете суммы погашаемого долга ?

Здесь m = 4, d(4) = 0,05. По формуле (1.50) находим Для участников сделки безразлично, производить дисконтирование 4 раза в года по ставке 0,04907. Финансовые обязательства сторон сохраняются.

Если требуется определить годовую номинальную учетную ставку при заданных d и m, то из формулы (1.50) получаем В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. В инвестиционных расчетах понятие переменной процентной ставки является одним из важнейших.

Определение. Процентная ставка называется переменной, если она изменяет свое значение в течение срока долга.

Рассмотрим дискретные переменные процентные ставки. Пусть n - срок применяется процентная ставка ij или учетная ставка dj, j = 1,2,…, k.

1) Наращение и дисконтирование по простой переменной процентной ставке.

Согласно формуле (1.8), проценты за каждый период nj в сроке долга составляют Проценты за весь срок долга Тогда наращенная сумма к концу срока долга n составит:

современной величины суммы Sn при математическом ее учете по простой переменной процентной ставке имеет вид:

получим формулу современной величины суммы Sn при банковском ее учете по простой переменной учетной ставке:

Соответственно, формула наращенной суммы долга по простой переменной учетной ставке имеет вид:

2) Наращение и дисконтирование по сложной переменной процентной ставке.

наращения n1, n2, …, nk, получаем формулу наращенной суммы долга по переменной сложной процентной ставке:

Если известна сумма погашаемого долга Sn, то, применяя формулу (1.17) или (1.21) последовательно для каждого периода дисконтирования nk, nk – 1, …, n2, n1, получим формулы приведенной к моменту t = 0 величины суммы Sn при математическом и банковском ее учете по сложной переменной процентной ставке:

Формулы (1.40) и (1.43) можно рассматривать как формулы наращения суммы долга по переменным эффективным и номинальным процентным ставкам.

Пример 1.15. Ожидаемая эффективная процентная ставка на первый год – 10 %, на второй – 12 %, на третий и четвертый – 14 %. В конце четвертого года заемщик обязуется погасить долг в размере 2000 д.е. Какова может быть сумма кредита?

Примем за единицу измерения времени 1 год. Тогда по формуле (1.57) получаем процентным ставкам. Переменную непрерывную процентную ставку (t) называют интенсивностью процентов или силой роста в единицу времени в момент t. Формула наращенной суммы долга при непрерывном начислении процентов, когда интенсивность процентов (t) является функцией времени, имеет вид (1.46):

используемые формулы для (t). Для этого введем обозначения. Обозначим через F(t) и (t) множитель наращения и дисконтный множитель соответственно (стоимость) в момент t единичного вклада, сделанного в момент t = 0. (t) - это современная стоимость 1 д.е., подлежащей выплате в момент t. Для вклада, сделанного в момент t = 0, множитель наращения в момент t имеет вид:

Тогда дисконтный множитель в момент t равен Если (t) интегрируема, то F(t) и (t) являются непрерывными функциями времени t. В случае, когда интенсивность процентов является постоянной величиной, т.е. (t) = для всех t, множитель наращения и дисконтный множитель имеют вид F(t) = et и (t) = e–t. Наращенная сумма долга в момент t может быть найдена по формуле где P0 - первоначальная сумма долга в момент t = 0. Современная стоимость суммы St, подлежащей выплате в момент t, равна 1. (t) - линейная функция времени, т.е. (t) = 0 + at.

Здесь 0 – начальное значение силы роста, a - годовой прирост силы роста. Так как a = (t + 1) – (t), то a может быть положительным, отрицательным или соответствует постоянной силе роста 0. График зависимости интенсивности процентов от времени имеет вид, показанный на рис. 1.1.5.

“–“, а функция F(t) в этой точке достигает своего максимального значения, причем Из этого в частности следует, что задача об увеличении суммы долга в число построении графика функции F(t) учтем, что при a < 0 множитель наращения множителя наращения F(t) от времени при a < 0, приведен на рис. 1.1.6.

Поведение множителя наращения в этом случае показывает, что процесс сделанный вывод о сроке долга для a < 0.

a = 1 соответствует постоянной силе роста 0. График зависимости интенсивности процентов от времени имеет вид, показанный на рис. 1.1.7.

интенсивность процентов в единицу времени возрастает, и a – 1 < 0, если интенсивность процентов уменьшается.

Рассмотрим поведение множителя наращения для всех трех случаев a 1 имеем Тогда построить кривые наращения, преобразуем выражение (1.64). Разложим at в степенной ряд:

Так как частности, следует, что задача об увеличении суммы долга в число раз, Характер зависимости множителя наращения F(t) от времени показан на рис.

1.1.8.

относительно n:

Тогда в случае а) n = 5,322 или 5 лет и 117 дней; в случае б) n = 12,438 или лет и 160 дней; в случае в) n = 6,931 или 6 лет и 340 дней. Полученные значения сроков долга соответствуют характеру кривых наращения на рис. 1.1.8.

Замечание. Убедиться самостоятельно, что если F(n) = 3, то в случае б) задача не имеет решения.

Пример 1.19. Предполагается, что годовая интенсивность процентов показательная функция (t) = 0,09(0,9)t. Найти современную стоимость д.е., подлежащих выплате через 3 года.

По формуле (1.60) дисконтный множитель, соответствующий данному закону изменения интенсивности процентов, имеет вид Тогда по формуле (1.62) находим современную стоимость 1000 д.е., подлежащих выплате через 3 года:

3. (t ) - кусочно – постоянная функция.

Этот случай удобнее рассмотреть на конкретном примере. Предположим, что Кусочно-постоянная функция является интегрируемой. Найдем множитель Таким образом, Предположим, время измеряется в годах. Найдем наращенную сумму вклада 100 д.е., произведенного в момент t = 0, через 4 года и через 12 лет. По формуле S12 100 e1,08 294, 4) Формула Студли.

Еще один пример формулы для (t) является формула Студли, которая может быть записана следующим образом:

Параметры p, r и s выбираются так, чтобы моделировать плавное убывание или плавное возрастание интенсивности процентов. Подробнее об этой формуле можно посмотреть в [3].

Определение. Финансовой называется операция, начало и конец которой характеризуются денежными суммами P(0) и P(T ) соответственно, а цель которой - наращение суммы вложенных средств P(0).

В определении под P(0) понимают реально вложенные средства в момент t = 0, под P(T ) – реально вырученные денежные средства в результате операции, срок которой T единиц времени. Эффект от вложения естественно измерять в виде процентной ставки наращения, которую в этом случае называют доходностью.

Определение. Ставка простых или сложных процентов, с помощью которой измеряют эффективность финансовой операции, называется доходностью финансовой операции за единицу времени.

Согласно определению, доходность финансовой операции за единицу времени - это положительное число r, удовлетворяющее равенству:

или Если время измеряется в годах, то - среднегодовая доходность операции.

эквивалентная операция наращения суммы P(0) по ставке в течение времени T. Такой подход позволяет сравнить полученное значение доходности с доходностями по альтернативным вложениям средств.

Кроме того, можно говорить о доходности за весь срок операции [0, T], определяемой как положительное число r, удовлетворяющее равенству Отсюда Здесь r показывает эффект от вложения, приходящийся на 1 единицу вложенных средств. Этот вид доходности применяется, например, при оценке инвестиций в ценные бумаги.

Налоги и инфляция заметно влияют на эффективность финансовой операции. Рассмотрим учет налогов. Налог начисляется, как правило, на проценты, получаемые при размещении денежной суммы в рост. Предположим, на сумму P0 в течение времени n начислялись проценты по ставке i, g - ставка налога на проценты. Тогда величина процентов а сумма налога Gn = g I(n). Наращенная сумма после выплаты налога составляет Так как P(n) < Sn, то учет налогов фактически сокращает ставку наращения.

Итак, Если i - простая процентная ставка, то Sn = P0(1 + in). Тогда Видим, что фактически наращение производится по ставке i(1 – g) < i.

Если i – сложная процентная ставка, то Sn = P0(1 + i)n. Тогда Пример 2.1. При выдаче кредита на 2 года под годовую сложную процентную ставку 0,08 кредитор удерживает комиссионные в размере 0,5% от суммы кредита. Ставка налога на проценты 10%. Какова доходность операции для кредитора?

= P0(1 + i)n, где i = 0,08, n = 2. Сумма комиссионных cP0, где c = 0,005. Тогда сумма, фактически выданная в долг, составит P(0) = P0(1 – c). После выплаты это уравнение относительно r, получим Заметим, что без учета налога (g = 0) доходность операции составила бы 0,08271.

Инфляция – обесценение денег, проявляющееся в росте цен на товары и услуги, что влечет за собой снижение покупательной способности денег.

Инфляцию характеризуют два количественных показателя – индекс цен и темп инфляции. Предположим, выбрана единица времени. Рассмотрим отрезок времени [0, t], длина которого t единиц времени от начального момента t = 0.

Индекс цен за время [0, t] - число показывающее во сколько раз выросла стоимость потребительской корзины за период времени [0, t].

Темп инфляции за время [0, t] - число показывающее на сколько процентов выросла стоимость потребительской темпом инфляции и индексом цен имеют вид:

для любого периода времени[0, t].

[0, t] (t0 = 0, tn = t ), длины которых t1, (t2 – t1),…,(tn – tn – 1) единиц времени.

j(0, t1),…, j(tn – 1, tn) и h(0, t1),…, h(tn – 1, tn) – индексы цен и темпы инфляции за периоды [0, t1], …, [tn–1, tn] соответственно. Согласно (2.5), h(tk – 1, tk) - темп инфляции за (tk – tk – 1) единиц времени за период [tk–1, tk].

Индекс цен j(tk–1, tk) за период [tk–1, tk] показывает, во сколько раз увеличились цены за этот период по отношению к уровню цен предыдущего периода. Тогда получаем следующие соотношения для индекса цен и темпа инфляции за время [0, t]:

Пусть jk и hk - индекс цен и темп инфляции за 1 единицу времени на временном отрезке [tk–1, tk]. Тогда а индекс цен за период [tk–1, tk] равен Согласно (2.6) Тогда Если h1 = h2 = …. = hn = h, то Здесь h - темп инфляции за 1 единицу времени на временном отрезке [0, t], J(t) и H (t) - индекс цен и темп инфляции за за период времени [0, t].

Предположим, за n единиц времени получена наращенная сумма вклада Sn. Индекс цен за период [0, n] вырос до значения J(n). Тогда реальная сумма вклада вследствие снижения покупательной способности денег составит Индекс цен J(n) рассчитывается по одной из приведенных выше формул в зависимости от исходных данных. Так как J(n) > 1, то P(n) < Sn, что означает фактическое снижение ставки наращения.

Пример 2.2. Ожидаемый годовой темп инфляции первых двух лет вклада составляет 3%, а следующих трех - 4%. Какую минимальную годовую ставку сложных процентов должен предложить банк клиенту, чтобы реальная годовая доходность вклада была не меньше 8% ?

Здесь t = 0 - момент размещения вклада, 1 год - единица измерения времени, срок вклада n = 5 лет. h1 = 0,03 и h2 = 0,04 – среднегодовые темпы должно быть выполнено условие: 0,8. Пусть i - годовая сложная процентная ставка, под которую размещена сумма P0. Тогда наращенная сумма вклада через n лет Sn = P0(1 + i)n. С учетом инфляции реальная сумма вклада составит P(n) =, где индекс цен согласно (2.9) равен J ( n) относительно и учитывая требуемое условие для доходности, получим:

Отсюда i 0,11887. Значит, минимальная процентная ставка размещения вклада составляет 0,11887 против 0,08 без учета инфляции.

Рассмотрим моменты времени t1 и t2, где t2 не обязательно больше чем t1. Пусть сумма C подлежит выплате в момент времени t2. Ценность (или стоимость) этой суммы в момент t1 определяется как:

а) результат дисконтирования суммы C к моменту t1 в течение времени (t2 – t1 ), если t2 > t1;

б) результат наращения суммы C к моменту t1 в течение времени (t1 – t2) если t1 > t2.

Для наращения и дисконтирования применяется принятая процентная используются, называют приведением денежной суммы к данному моменту времени. Таким образом, ценность (стоимость) платежа в момент t - это его приведенная величина к моменту t.

На основе сформулированного утверждения определяется эквивалентность денежных сумм во времени.

называются эквивалентными по принятой процентной ставке, если одна из них является результатом наращения или дисконтирования другой по данной эквивалентные во времени денежные суммы по соответствующим процентным ставкам.

Обычно участники сделки исходят из того, что имеет место транзитивное t3.

эквивалентных по простой процентной ставке, этого утверждать нельзя.

Покажем это. Пусть t1 < t2 < t3.

данной процентной ставке.

не следует равенство Таким образом, транзитивное свойство эквивалентности денежных сумм не имеет места для простых процентных ставок, в связи с чем понятие эквивалентности сумм для этих ставок применяется реже.

Можно показать, что если суммы эквивалентны по сложной процентной ставке, то равны их приведенные стоимости к любому моменту времени, в частности, равны их современные стоимости.

заданной процентной ставке, достаточно эти суммы привести к одному моменту времени или проверить для них определение эквивалентности денежных сумм.

Если суммы не эквивалентны, более предпочтительной из них является та, современная ценность которой больше.

Пример 3.1. По первому обязательству сумма погашаемого долга 500 д.е.

через 4 месяца. По второму – 550 д.е. через 10 месяцев. Можно ли счтать обязательства эквивалентными, если используется сложная годовая процентная ставка 8%? Если нет, то какое из них является более выгодным?

Результат наращения суммы 500 д.е. в течение 6 месяцев по ставке 0, составляет 500 1,080,5 519,62 550. Следовательно, обязательства не эквивалентны.

Чтобы выяснить, какое из них является более выгодным, найдем современные стоимости этих обязательств:

Значит, второе обязательство является более выгодным.

Перейдем к определению эквивалентности серий платежей. В общем случае серия платежей может состоять из одного платежа.

моменты 1, 2,..., m, если сумма платежей одной серии, приведенных по принятой процентной ставке к одному моменту времени, равна сумме платежей другой серии, приведенных к тому же моменту времени по той же процентной ставке.

эквивалентности - уравнение ценности, поскольку оно выражает равенство стоимостей (ценностей) обеих серий платежей в заданный момент времени.

Для приведения платежей может быть выбран любой момент времени.

Однако более естесственным является выбор настоящего момента времени, когда сведения о процентных ставках на различные сроки являются наиболее достоверными, а денежные суммы реальными. Если серии платежей, указанные приведения выбран настоящий момент времени t = 0, то уравнение эквивалентности имеет вид:

Если одна серия платежей - расходы, а другая - доходы, то уравнение эквивалентности (3.1) выражает то, что при данной процентной ставке серия расходов в момент t = 0 имеет ту же ценность, что и серия доходов.

Если обе серии платежей - выплаты денежных сумм, например в счет погашения одного и того же долга, и серии эквивалентны, то одна серия платежей может заменить другую. В этом случае говорят о безубыточном эквивалентности серий платежей, также как и уравнение эквивалентности, выражают принцип финансовой эквивалентности, в соответствии с которым другое (новое) b1, b 2,..., b m. Если серии эквивалентны по принятой участниками сделки процентной ставке, то обязательства финансово эквивалентны и одно обязательство можно заменить другим без ущерба для сторон.

Один из распространенных случаев изменений контракта - консолидация заменяются одним платежом в момент t0. При заданной процентной ставке возможна одна из двух задач:

1) Задан момент t0. Требуется найти сумму консолидированного платежа Для решения задачи уравнение эквивалентности составляется относительно bt0.

момента t0.

2) Задана сумма Требуется найти срок консолидированного платежа t0.

Уравнение эквивалентности составляется относительно момента t = 0 и выражает равенство современных стоимостей старого и нового обязательств.

Пример 3.2. Существующее обязательство о выплате через 5 лет первоначального долга 90000 д.е. с начисленными на него сложными процентами по годовой ставке 0,08 пересмотрено. По новому обязательству первая выплата размером в 30000 д.е. будет произведена через 2 года, а оставшаяся сумма будет выплачена через 4 года после этой даты. Предполагая, что вычисления делаются на основе исходной процентной ставки, найти величину второго платежа в новом обязательстве.

обязательстве. Если 90000 д.е. рассматривать как серию расходов кредитора, а 30000 д.е. и X д.е. - серию доходов, то уравнение эквивалентности, составленное относительно момента выдачи долга t = 0, имеет вид Отсюда X = 102004,02. Таким образом, сумма 90000, предоставленная в долг в момент t = 0 при заданной процентной ставке эквивалентна серии из двух погасительных платежей: 30000 д.е. через 2 года и 102004,02 д.е. через 6 лет.

Этот же результат будет получен, если для составления уравнения приведя все суммы по старому и новому обязательствам на момент поступления искомого платежа t = 6:

Находим X = 102004,02.

Пример 3.3. Платежи 1000 д.е., 2000 д.е. и 3000 д.е., которые должны выплачиваться соответственно через 60, 90 и 120 дней после некоторой даты, решено заменить на один платеж величиной 6500 д.е. Определить срок выплаты консолидированного платежа при годовой интенсивности процентов 0,1.

0,1 - постоянная годовая сила роста, t0 – искомый срок.

Примем за момент t = 0 дату, от которой отсчитаны все сроки. Уравнение эквивалентности, составленное относительно момента t = 0, имеет вид Разрешая это уравнение относительно t0, находим старому обязательству. Очевидно, что сделка имеет смысл, если a0 < 6500.

Подставляя значения для t1, t2, t3, в полученные выражения, находим a0 = 5837,957 (д.е.). Срок платежа по новому обязательству равен t0 = 1, (года).

рассматривать как уравнение эквивалентности относительно момента t = 0 для одного заменяющего платежа размером a0 в момент t = 0. Этот платеж по эквивалентна сумме 6500 д.е. в момент t0. Тогда по транзитивному свойству эквивалентности сумма a0 в момент t = 0 по ставке эквивалентна сумме д.е. в момент t0. Следовательно, сумма 6500 - это результат наращения суммы a по ставке в течение срока t0, т.е. a 0 e t0 6500. Проверим это равенство для найденных значений a0 и t0. Получаем: 5837,957 e1,0740,1 = 6500. Следовательно, срок консолидированного платежа равен t0 = 1,074 (года), или 1 год и 15 дней.

1.4. Потоки платежей. Основные характеристики потока платежей.

Определение. Поток платежей - это распределенная во времени последовательность платежей.

Сумма отдельного платежа называется членом потока. Платеж со знаком “+” означает поступление денег, платеж со знаком “ – “ - расход денег.

Процентная ставка потока платежей - сложная процентная ставка, используемая для наращения и дисконтирования членов потока.

Поток платежей называется конечным, если число платежей в нем конечно, и бесконечным, если срок действия потока неограничен.

Потоки платежей могут быть как регулярными, так и нерегулярными.

Члены регулярного потока поступают через одинаковые промежутки времени, имеют одно и то же назначение (одинаковый знак) и изменяются во времени в соответствии с некоторым временным законом. Регулярные финансовые потоки называют также финансовыми рентами. Члены нерегулярного потока могут быть как положительными, так и отрицательными, временные интервалы между членами потока неодинаковы, а размеры платежей не подчиняются какому-либо временному закону.

t1 < t2 tk, где k = 1, 2, …, m) по процентной ставке потока, (t, tk) - дисконтный множитель k - го платежа на отрезке [t, tk] (t < tk, k = m + 1,…, n) по процентной ставке потока. Вид множителя наращения и дисконтного множителя определяется процентной ставкой потока (см. параграф 1.1).

Определение. Современная стоимость потока платежей A - это сумма всех членов потока, приведенных к моменту t = 0.

Согласно определению, где (tk) - дисконтный множитель k - го платежа на отрезке [0, tk] по процентной ставке потока. Вид дисконтного множителя определяется процентной ставкой потока (см. параграф 1.1). Выражение (4.2) - это уравнение эквивалентности относительно момента t = 0 для двух серий платежей: суммы A в момент t = 0 и R1, R2,…, Rn в моменты t1, t2,…, tn. Отсюда следует, что сумма A в момент t = по процентной ставке потока эквивалентна всей совокупности платежей этого потока.

Определение. Наращенная сумма потока платежей S - это сумма всех членов потока с начисленными на них процентами к концу срока потока T.

Согласно определению, где F(tk,T ) - множитель наращения k - го платежа на отрезке [tk,T ] по процентной ставке потока. Вид множителя наращения определяется процентной ставкой потока (см. параграф 1.1). Выражение (4.3) - это уравнение эквивалентности относительно момента t = T для двух серий платежей: суммы S в момент t = T и R1, R2,…,Rn в моменты t1, t2,…, tn. Отсюда следует, что сумма S в момент t = T по процентной ставке потока эквивалентна всей совокупности платежей этого потока.

Полагая в (4.1) t = 0, получим P(0) = A. Если в (4.1) t = T, то P(T) = S. Таким образом, при заданной ставке потока стоимость потока платежей в момент t = 0 - это современная стоимость потока, а стоимость потока в момент его окончания T - это наращенная сумма потока.

Пусть t [0,T] - произвольный момент времени. Стоимость потока в момент t можно представить в виде:

множитель наращения на временном отрезке [0, t]. Выражение (4.4) можно переписать в виде:

где t [0,T]. Согласно (4.5), стоимость потока платежей P(t) в момент t - это результат наращения его современной стоимости A к моменту t по процентной ставке потока. Из (4.5) при t = T получаем связь между наращенной суммой S и современной стоимостью A потока платежей:

Формулы (4.1) - (4.6) можно прокомментировать следующим образом.

Чтобы получить сумму S через время T можно поступить двумя способами:

разместить сумму A на время T под заданную процентную ставку на банковский счет или вносить платежи R1, R2,…,Rn в моменты t1, t2,…, tn для начисления на них процентов по этой же процентной ставке до окончания срока T.

Соотношения (4.1) - (4.6) для стоимости потока в различные моменты времени являются основными и используются при решении практических задач.

Пример 4.1. Предприниматель должен выплатить денежные суммы: д.е. 1 января 2001 года, 5000 д.е. 1 июля 2003 года и 10000 д.е. 1 января года. Кредит выдан под 20% годовых, начисляемых сложными процентами раз в год. Найти стоимость этих платежей на 1 января 2000 года и на 1 июня 2002 года.

Пусть время измеряется в годах, начиная с 1 января 2000 года. Стоимость долгов в этот день согласно формуле (4.2) есть:

где ставка дисконтирования i = 0,2. Стоимость на 1 июня 2002 года этих же долгов согласно формуле (4.5) есть:

Этот результат можно проверить, получив его непосредственно по определению по формуле (4.1):

Рассмотрим поток платежей R1, R2,…, Rn, члены которого - платежи, поступающие соответственно в моменты t1, t2,…, tn, где 0 t1 < t r* и F(rл) > F(r*) = 0. Поэтому на следующем шаге можно взять отрезок r1, r1, и F(rл1) > F(rл2) > F(r*) = 0. Получаем последовательность приближенных значений rл1, rл2,… r*, для которой соответствующая последовательность сходящейся к нулю, так как F(r) непрерывна.

Замечание. Рассмотреть самостоятельно метод линейной интерполяции для убывающей выпуклой функции.

Пример 4.2. Отдача от 400000 д.е., инвестированных в проект, составляет в первый год 30000 д.е., затем через полгода – 70000 д.е., еще через год д.е., затем через 1,5 года – 200000 д.е. Определить доходность инвестиции.

заведомо убыточным (400000 < 30000 + 70000 + 150000 + 200000 = 450000).

Пусть 1 год - единица измерения времени. Функция F(r) имеет вид:

Согласно доказанной теореме, существует единственный положительный корень уравнения F(r) = 0. Так как F(0,04) = – 1797,908 < 0, F(0,05) = = 9052, > 0, то доходность заключена между 4% и 5% годовых. По формуле (4.8) находим или 4,1657 % годовых. Если требуется найти доходность с большей степенью точности, надо выполнить еще один шаг согласно изложенному методу. С точностью до четвертого знака после запятой доходность составляет 4,1629 % годовых.

Определения основных характеристик потока платежей справедливы не только для дискретных, но и для непрерывных потоков платежей. Понятие непрерывно выплачиваемого потока платежей хотя и является теоретическим, инвестиций). Предположим, что в течение времени [0,T] непрерывно выплачиваются деньги с интенсивностью выплат в единицу времени f(t) в момент t. Тогда современная стоимость и наращенная сумма такого потока платежей определяются по формулам:

где (t ) - дисконтный множитель на отрезке [0, t], F(t,T ) - множитель наращения на отрезке [t, T].

Пример 4.3. На непрерывно и равномерно поступающие в течение 20 лет платежи с постоянной интенсивностью 100 д.е. в год непрерывно начисляются проценты по силе роста, изменяющейся по закону Найти современную стоимость такого потока платежей.

Отсюда Согласно формуле (4.9), современная стоимость потока платежей равна Замечание. Найти самостоятельно современную стоимость такого потока для 10 и 15 лет поступления платежей.

непрерывные, положительны. Если имеется серия поступающих платежей a1, a2,…, an в моменты t1, t2,…, tn и серия расходов b1, b2,…, bn в те же моменты = 1,2,…, n, так как положительный платеж соответствует поступлению денег, отрицательный - их расходу (в большинстве случаев только одна из сумм ak и bk будет ненулевой). Тогда R1, R2,…,Rn - это чистый денежный поток. Этот поток охватывает два встречных потока - расходов и поступлений. Доходность за единицу времени такого потока определяется как ставка сложных процентов r, по которой современная стоимость потока расходов равна современной стоимости потока доходов:

Это уравнение можно переписать в виде:

Выражение (4.11) называется уравнением доходности денежного потока.

Применительно к непрерывным потокам платежей, если f1(t) и f2(t) интенсивности расходов и получения денег в момент t соответственно, то чистую интенсивность f(t) такого потока в момент t можно представить в виде разности f(t) = f2(t) – f1(t). Для непрерывного денежного потока, поступающего в течение времени [0,T ], уравнение доходности имеет вид:

Из (4.11) и (4.12) получаем уравнение доходности для непрерывно-дискретного потока платежей:

Решение этого уравнения, если оно существует, является доходностью за единицу времени такого потока. Имеется важный класс сделок, для которых Справедлива следующая теорема.

Теорема 4.2.

Если все отрицательные платежи предшествуют всем положительным (или дискретного потока платежей), то уравнение доходности имеет единственное положительное решение.

Тогда уравнение доходности имеет вид (4.11). Пусть для определенности R1< 0, записать в виде:

- приведенная к моменту tm стоимость доходов. Составим функцию Тогда F(r) (1 r ) t = g(r) = 0. Очевидно, что корень уравнения g(r) = 0 является решением уравнения доходности F(r) = 0. Так как g/(r) < 0 при r 0, то функция положительное решение. Теорема доказана. Для непрерывного потока платежей доказательство аналогично.

Пример 4.4. В обмен на инвестиции в начале 1997, 1998 и 1999 годов в размере 1000 д.е., 2000 д.е. и 3000 д.е. соответственно инвестор ожидает получить доход в виде единичного платежа в размере 1500 д.е. в начале интенсивностью 1000 д.е. в год в течение 10 лет, начиная с 2003 года. Найти доходность инвестиций.

время измеряется в годах, начиная с 1 января 1997 года. Уравнение доходности (4.13) имеет вид:

Так как F(0,08) = 74,136 > 0, F(0,09) = – 300,899 < 0, то доходность заключена между 8% и 9% годовых. Методом линейной интерполяции находим 8,1884 % с точностью до четвертого знака после запятой.

1.5. Финансовая рента. Свойства коэффициентов наращения и Определение. Поток платежей, все члены которого положительны, а временные интервалы между платежами одинаковы, называется финансовой рентой.

Основные параметры ренты:

член ренты - сумма отдельного платежа;

период ренты - временной интервал между двумя соседними платежами;

срок ренты - время от начала первого периода ренты до конца последнего;

процентная ставка ренты - сложная процентная ставка, используемая для наращения и дисконтирования членов ренты;

m - число начислений процентов в году на члены ренты;

p - число платежей в году.

Если члены ренты выплачиваются раз в год, то рента называется годовой.

называется p - срочной.

называют непрерывной.

Рента называется постоянной, если члены ренты одинаковы и не изменяются во времени.

Рента называется переменной, если члены ренты изменяются во времени в соответствии с некоторым временным законом.

Если платежи производятся в конце каждого периода ренты, то рента называется обычной или постнумерандо.

Рента с платежами в начале каждого периода называется рентой пренумерандо.

постоянной обычной (постнумерандо) p - срочной ренты. Ежегодно сумма R вносится равными долями p раз в году на банковский счет в течение n лет.

Примем за единицу измерения времени 1 год. Пусть i - годовая эффективная процентная ставка начисления сложных процентов на поступающие платежи.

Согласно определению современной стоимости потока платежей (формула (4.2)), получаем Вычисляя сумму np членов геометрической прогрессии, знаменатель которой начислении процентов на члены ренты 1 раз в году в течение n лет. Отсюда современная стоимость годовой обычной ренты (p = 1) при начислении процентов на члены ренты 1 раз в году:

Используя соотношения эквивалентности для эффективной процентной ставки обычной p - срочной ренты при начислении на члены ренты сложных непрерывном начислении процентов при постоянной интенсивности процентов в год:

Формулы для наращенной суммы ренты можно получить непосредственно по определению согласно формуле (4.3). Например, для постоянной обычной p срочной ренты при начислении процентов на члены ренты 1 раз в году в течение n лет получаем:

Наращенную сумму ренты можно рассчитать, используя формулу связи современной стоимости и наращенной суммы потока платежей (4.6). Например, для годовой ренты при начислении процентов 1 раз в год:

Для других видов обычной ренты из (5.3) и (5.4), используя множители В частности, при m = p (период начисления процентов равен периоду ренты) из (5.3) и (5.7) получаем Если единицей измерения времени является 1 год, а R - это выплата за год (единицу времени), то множитель в формулах современной стоимости ренты, равный, называется коэффициентом дисконтирования ренты. Множитель наращения ренты. Из (5.1)-(5.10) можно получить коэффициенты наращения и дисконтирования всех рассмотренных видов обычной ренты. Рассмотрим некоторые соотношения между этими коэффициентами.

Согласно (5.1) и (5.5), коэффициенты дисконтирования и наращения обычной p – срочной ренты с начислением процентов 1 раз в году в течение n лет равны соответственно a n,pi) постоянной обычной p – срочной ренты с ежегодной выплатой 1 д.е. равными соотношением (4.6):

Аналогичный смысл имеют коэффициенты дисконтирования и наращения других рассмотренных видов обычной ренты. Для этих рент имеем соотношения:

sn,pi)( m) ( sn,p) e n a n,p) Коэффициенты дисконтирования и наращения годовой ренты при начислении процентов 1 раз в год затабулированы и приводятся в приложениях финансовой литературы. Если применяется p – срочная рента с начислением процентов p раз в год (m = p) по годовой номинальной ставке i(p), то за единицу измерения времени можно i ( p) - процентная ставка за 1 единицу времени, срок ренты - np единиц времени.

что позволяет для этой ренты использовать те же таблицы коэффициентов.

Заметим, что если единицей измерения времени является 1 год, то коэффициенты дисконтирования и наращения этой ренты определяются как (5.10):

Тогда инвестируется 200 д.е. На поступающие платежи ежемесячно начисляют сложные проценты по годовой ставке 12 %. Какова величина вклада через года? Какую сумму мог бы разместить инвестор на депозитный счет для получения такой же величины вклада через 2 года?

Взносы на сберегательный счет поступают в виде обычной p - срочной = 0,12. Если за единицу измерения времени принять 1 месяц, то единицу времени, срок ренты np = 24 единицы времени. По таблице 5394,69 (д.е.).

Сумма, которую мог бы разместить инвестор на депозитный счет для получения такой же величины вклада через 2 года - это современная стоимость дисконтирования a24,0.01 = 21,2433873 определен по таблице коэффициентов. Так 4248,68 д.е. на депозитный счет для начисления на нее ежемесячно сложных процентов по годовой ставке 12 % позволит инвестору через два года получить ту же сумму вклада.

sn,pi)( p ), пользуясь приведенными формулами, и проверить соотношения (5.11).

a n,pi)( p ) дисконтирования и наращения рент пренумерандо и постнумерандо следует из их определения. Срок дисконтирования каждого платежа ренты пренумерандо уменьшается, а срок наращения увеличивается на один период ренты по сравнению с обычной рентой. По - прежнему единицей измерения времени p - срочной ренты пренумерандо (платежи поступают в начале каждого периода длиной ) при начислении на члены ренты процентов 1 раз в год, то справедливы соотношения:

Отсюда при p = 1 получаем соотношения для годовых рент:

соотношения:

Рассмотрим непрерывную ренту. Коэффициенты дисконтирования и наращения постоянной непрерывной ренты можно получить из формул для p срочной ренты при или по определению (формулы (4.9), (4.10)) для непрерывного равномерно выплачиваемого потока платежей с постоянной годовой интенсивностью f(t) = 1. Например, для постоянной непрерывной ренты при непрерывном начислении процентов по постоянной силе роста получаем:

где - коэффициент дисконтирования обычной p - срочной ренты при срочной ренты пренумерандо при непрерывном начислении процентов, то рентами пренумерандо и постнумерандо исчезает.

Коэффициент дисконтирования постоянной непрерывной ренты при начислении процентов 1 раз в год получим по определению:

Коэффициенты наращения непрерывных рент можно найти из равенств вида (4.6):

Соотношения между коэффициентами дисконтирования рассмотренных трех видов рент - обычной, пренумерандо и непрерывной - можно установить из годовая номинальная процентная ставка, то С другой стороны, Следовательно начислением процентов 1 раз в год и постоянной непрерывной ренты при непрерывном начислении процентов. Равенства (5.12) можно продолжить для дисконтирования обеих рент:

Тогда где - эквивалентная учетная ставка. Из (5.12), (5.13) получаем различными способами выплаты процентов.

Аналогичные соотношения можно получить и для коэффициентов наращения рент.

Если полагают, что срок ренты n =, то ренту называют вечной.

Наращенная сумма вечной ренты бесконечна. Однако современную величину такой ренты можно найти. Для обычной вечной p - срочной ренты с начислением процентов 1 раз в год получаем при n :

Для такой же ренты пренумерандо Кроме того, Таким образом, Если вечная рента является годовой (p = 1), то имеем Если начало ренты, т.е. начало ее первого периода, переносится в будущее на t единиц времени относительно текущего момента t = 0, то такую ренту называют отсроченной. Современная стоимость отсроченной ренты At определяется следующим образом. Согласно определению современной стоимости потока платежей, где (t k ), (t, t k ), (t ) - дисконтные множители k - го платежа на временных стоимость ренты, рассчитанная на момент начала ее первого периода, т.е. на момент начала неотсроченной ренты. Следовательно, A - это современная стоимость неотсроченной ренты. Таким образом, современная стоимость отсроченной ренты определяется путем дисконтирования по процентной ставке ренты в течение времени t современной стоимости A неотсроченной ренты:

Пример 5.2. По контракту произведенная продукция стоимостью 2 млн.

д.е. оплачивается в рассрочку в конце каждого квартала в течение пяти лет с начислением сложных процентов раз в год по ставке 10% годовых. Найти величину отдельного взноса, если начало оплаты продукции перенесено на полгода после подписания контракта.

Если начало отсчета времени t = 0 – это момент подписания контракта, а единица измерения времени – 1 год, то здесь n = 5, p = 4, i = 0,1, t = 0,5.

Согласно формуле (5.17), стоимость потока платежей по оплате продукции на начислением процентов 1 раз в году в течение n лет. Согласно (5.1), оплаты продукции не откладывалось.

m – целое положительное число. Известно, что всякое положительное положительные числа, а всякое иррациональное число можно с любой степенью n не является целым, то всегда можно (точно или с любой степенью точности) представить n в виде целого числа периодов некоторой p – срочной ренты и использовать связь коэффициентов дисконтирования и наращения рент:

Таким образом, все полученные формулы для коэффициентов дисконтирования значений n, не только целых.

Свойства коэффициентов наращения и дисконтирования ренты.

Рассмотрим зависимость коэффициентов дисконтирования и наращения ренты от срока ренты и процентной ставки. Поскольку характер зависимости не должен зависеть от числа платежей в году, рассмотрим годовую обычную ренту с начислением процентов 1 раз в год.

Ситуацию можно рассматривать как беспроцентный долг, выданный в сумме n и возвращаемый равными долями в течение n лет.

то - возрастающая выпуклая функция аргумента i (рис. 1.5.1).

3) Установим зависимость от i коэффициента дисконтирования ренты a n,i Очевидно, a n,i - убывающая функция i, что следует из свойств современной lim a n,i 0, то a n,i - убывающая выпуклая функция аргумента i (рис. 1.5.2).

аргумента n (рис. 1.5.3).

5) Установим зависимость от n коэффициента дисконтирования ренты a n,i.

вогнутая функция аргумента n (рис. 1.5.4).

Эти свойства используются в задачах на определение параметров ренты.

Параметры ренты R, n, i рассматриваются как основные, p и m – как вспомогательные. При разработке контрактов возможны случаи, когда задается современная стоимость A или наращенная сумма ренты S и два основных параметра. Требуется найти третий.

Определение члена ренты.

Рассматриваются задачи типа: заданы S, n, i или A, n, i. Найти R (годовая рента). Значения годового взноса R находят из равенств:

Определение срока ренты.

n (вечная рента). Отсюда получаем условие разрешимости задачи о сроке ренты:

вид:

Заметим, что если современную стоимость ренты рассматривать как сумму, выданную в долг и погашаемую в соответствии с условиями ренты, то полученные неравенства можно рассматривать как условие возврата долга.

Если заданы S, R, i, то задача определения срока ренты n всегда разрешима.

Для нахождения n выражения современной стоимости и наращенной суммы разрешают относительно n.

Определение процентной ставки ренты.

Заданы A, R, n. Найти i.

Так как если i > 0, то условие разрешимости задачи имеет вид:

Заданы S, R, n. Так как при i > то условие разрешимости задачи в этом случае имеет вид:

При выполнении условия разрешимости процентная ставка ренты находится на основании теорем 4.1, 4.2 (см. примеры 4.2 и 4.4) методом линейной интерполяции (или другим приближенным методом).

1.6. Оценка эффективности инвестиционных проектов.

В соответствии с законом РФ инвестиции определяются как вложение денежных средств (или иных ценностей, имеющих денежную оценку) для получения доходов в будущем. Будем рассматривать только такие инвестиции, цели которых выражаются в денежной форме (максимизация дохода, состояния, прибыли и др.). Инвестиции осуществляются, как правило, для достижения долгосрочных целей, не связанных с текущим потреблением. Различают реальные и финансовые инвестиции.