«В.П. ЗАКАРЮКИН, А.В. КРЮКОВ МЕТОДЫ СОВМЕСТНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ ТЯГОВОГО И ВНЕШНЕГО ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ ЖЕЛЕЗНЫХ ДОРОГ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА Иркутск 2011 УДК 621.311: 621.321 ББК 31.27-07 К 85 Представлено к изданию ...»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

В.П. ЗАКАРЮКИН, А.В. КРЮКОВ

МЕТОДЫ СОВМЕСТНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

ТЯГОВОГО И ВНЕШНЕГО ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ

ЖЕЛЕЗНЫХ ДОРОГ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Иркутск 2011 УДК 621.311: 621.321 ББК 31.27-07 К 85 Представлено к изданию Иркутским государственным университетом путей сообщения Рецензенты:

доктор технических наук, проф. Ю.М. Краковский кандидат технических наук, доц. О.В. Арсентьев Закарюкин В.П., Крюков А.В.

К 85 Методы совместного моделирования систем тягового и внешнего электроснабжения железных дорог переменного тока / под ред.

А.В. Крюкова. – Иркутск: ИрГУПС. – 2010. – 160 с.

ISBN 978-5-98710-191- В монографии рассмотрены вопросы компьютерного моделирования электроэнергетических систем и систем тягового электроснабжения железных дорог переменного тока. Показана связь проблем расчета режимов и анализа и электромагнитной совместимости.

На основе единого методологического подхода получены универсальные модели многопроводных воздушных линий различного конструктивного исполнения, включая контактные сети железных дорог переменного тока и технологические ЛЭП железнодорожного транспорта, использующие в качестве токоведущих частей тяговые рельсы. Разработаны модели однофазных и трехфазных трансформаторов с учетом конфигурации магнитной системы и замыканий магнитного потока через стенки бака. Предложена модель асинхронной нагрузки, применимая для расчета несимметричных установившихся режимов.

Полученные модели обеспечивают эффективное решение задачи расчета любых несимметричных, а также несинусоидальных режимов в фазных координатах.

Монография предназначена для инженерно-технических работников, занимающихся эксплуатацией электроэнергетических систем и систем тягового электроснабжения, а также для аспирантов и студентов электроэнергетических специальностей.

Библиогр.: 108 назв.

УДК 621.311: 621. ББК 31.27- В.П. Закарюкин, А.В.Крюков, © Иркутский государственный университет © путей сообщения, ISBN 978-5-98710-191-

СОДЕРЖАНИЕ

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

1. МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕСИММЕТРИЧНЫХ РЕЖИМОВ

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ПРОБЛЕМЫ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СОВМЕСТИМОСТИ

1.1. Уравнения установившегося режима

1.2. Метод симметричных составляющих

1.3. Фазные координаты в расчетах режимов электрических систем............... 1.4. Фазные координаты в расчетах режимов тягового электроснабжения..... 1.5. Взаимосвязь проблем режимных расчетов и электромагнитной совместимости

Выводы

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ В

ФАЗНЫХ КООРДИНАТАХ РЕШЕТЧАТЫМИ СХЕМАМИ

2.1. Общие принципы получения решетчатых схем замещения статических многопроводных систем

2.2. Моделирование многопроводной воздушной линии

2.3. Моделирование кабельных линий

2.4. Моделирование трансформаторов

2.5. Особенности моделирования автотрансформаторов

2.6. Моделирование асинхронной нагрузки

Выводы

3. УРАВНЕНИЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА В ФАЗНЫХ

КООРДИНАТАХ

3.1. Постановка задачи и основные предположения

3.2. Особенности уравнений узловых напряжений

3.3. Применение метода Гаусса

Выводы

4. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ ТЯГОВОГО

ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ

4.1. Вводные замечания

4.2. Исходные положения имитационного моделирования

4.3. Алгоритм расчетов температуры проводов

4.4. Моделирование СТЭ 125 и 225 кВ

4.5. Имитационное моделирование системы тягового электроснабжения 94 кВ с симметрирующими трансформаторами

4.6. Анализ влияния продольной емкостной компенсации на режимы системы тягового электроснабжения

4.7. Влияние устройств продольной и поперечной компенсации реактивной мощности на активные потери в системе тягового электроснабжения переменного тока

4.8. Токораспределение в тяговой сети с экранирующими и усиливающими проводами

4.9. Прогнозирование электропотребления на тяговых подстанциях............. 4.10. Токи обратной последовательности в системе внешнего электроснабжения

4.11. Проблемы электроснабжения БАМ

Выводы

5. ПРИМЕНЕНИЕ ФАЗНЫХ КООРДИНАТ ДЛЯ РАСЧЕТОВ РЕЖИМОВ

НА ГАРМОНИКАХ

5.1. Общие принципы применения решетчатых схем на гармониках........... 5.2. Экспериментальная проверка основных принципов имитационного моделирования несинусоидальных режимов

Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Библиографический список

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

АД – асинхронный двигатель БАМ – Байкало-Амурская железнодорожная магистраль ВНИИЖТ – Всероссийский научно-исследовательский институт железнодорожного транспорта ДвГУПС – Дальневосточный государственный университет путей сообщения ДПР – трехфазная линия «два провода – рельс»

ИрГУПС – Иркутский государственный университет путей сообщения ЛЭП – линия электропередачи КС – контактная сеть КУ – устройство поперечной емкостной компенсации МГУПС – Московский государственный университет путей сообщения МПЗ – межподстанционная зона ОмГУПС – Омский государственный университет путей сообщения ПК – программный комплекс ППС – пункт параллельного соединения ПР – однофазная линия «провод – рельс»

ПС – пост секционирования РГУПС – Ростовский государственный университет путей сообщения РЭС – район электрических сетей СВЭ – система внешнего электроснабжения СМЭ – статические многопроводные элементы СПГУПС – Санкт-Петербургский государственный университет путей сообщения СТЭ – система тягового электроснабжения СЭЖД – система электроснабжения железной дороги ТП – тяговая подстанция УП – усиливающий провод УПК – устройство продольной емкостной компенсации УР – установившийся режим УрГУПС – Уральский государственный университет путей сообщения ЭП – экранирующий провод ЭПС – электроподвижной состав ЭУП – экранирующий и усиливающий провода ЭЭ – электроэнергия ЭЭС – электроэнергетическая система

ВВЕДЕНИЕ

Расчеты режимов систем тягового электроснабжения относятся к той части научной, проектной и эксплуатационной деятельности, которая не может быть заменена инструментальными измерениями ввиду их большой трудоемкости и стоимости. Электроподвижной состав переменного тока создает во внешней сети резкопеременные несимметричные и несинусоидальные нагрузки, что существенно усложняет технологию расчета и анализа режимов. Адекватное моделирование систем электроснабжения железных дорог позволяет избежать ошибок при расчете режимов, а улучшение методов и средств анализа обеспечивает повышение эффективности использования энергетических ресурсов и дает эффект, равносильный эффекту от сооружения дополнительных генерирующих установок.

Методы и средства расчетов режимов СТЭ И СЭЖД разрабатываются в ряде научно-исследовательских и образовательных учреждений:

ВНИИЖТ, ДвГУПС, ИрГУПС, ОмГУПС, МГУПС, СПГУПС, РГУПС, УрГУПС и др. При этом в большинстве случаев питающая электроэнергетическая система представляется простейшими эквивалентами в виде однофазных реактансов короткого замыкания. В случае необходимости совместного расчета режимов однофазных СТЭ и трехфазных ЭЭС используется ряд упрощений. Вместе с тем при электрификации по системе 125 кВ на тяговых подстанциях устанавливают трансформаторы с соединением обмоток Y/ и с двухфазной нагрузкой, создаваемой смежными межподстанционными зонами. Адекватное моделирование режимов СЭЖД и ЭЭС в этом случае становится весьма затруднительным без корректных моделей таких трансформаторов. В случае применения нестандартных трансформаторов типа симметрирующих [32, 48, 256] расчет возможен только с большими упрощающими предположениями. Сложности расчета СТЭ 225 кВ [262] возникают из-за применения однофазных трансформаторов и автотрансформаторов с питанием межподстанционных зон напряжением 55 кВ.

Потребности расчетов несимметричных режимов не ограничиваются несимметричными системами, к которым относятся СЭЖД переменного тока. При проектировании и эксплуатации трехфазных сетей общего назначения возникает множество задач, связанных, к примеру, с расчетами режимов ЭЭС при обрывах проводов линий или возникновении коротких замыканий между токоведущими частями отдельных фаз или между фазными проводами и землей. Как правило, задачи этого типа решаются с применением метода симметричных составляющих, требующего индивидуального подхода в каждом конкретном случае. К таким же задачам относятся расчеты режимов ЭЭС, имеющих линии электропередачи с расщепленными проводами и грозозащитными тросами; сюда примыкают и задачи определения наводимых напряжений на смежные линии со стороны высоковольтных или сильноточных ЛЭП. Следует отметить, что расчеты режимов трехфазных ЛЭП напрямую связаны с учетом взаимовлияния проводов разных фаз, и при такой постановке требуется рассмотрение процессов в фазных координатах. При этом расчет режима многопроводной системы с учетом взаимных электрических и магнитных влияний позволяет определить наведенные напряжения на смежных проводах и решить проблему электромагнитной совместимости смежных линий.

Определение потерь мощности в различных элементах ЭЭС при несимметричных нагрузках1 также требует пофазного рассмотрения элементов; простое наложение потерь от симметричных составляющих иногда просто неприемлемо, например, в трансформаторах из-за несимметрии магнитопровода симметричное входное напряжение создает несимметричную систему токов.

Для расчетов сложнонесимметричных режимов трехфазных ЭЭС чаще всего применяют два метода: метод симметричных составляющих и метод пофазного представления элементов (метод фазных координат).

Метод симметричных составляющих [45, 311] основан на составлении трех однолинейных схем замещения для составляющих прямой, обратной и нулевой последовательностей с последующим расчетом режима каждой схемы и наложением трех решений. При этом требуется нетривиальный подход при решении каждой конкретной задачи, что существенно усложняет формализацию и затрудняет реализацию программных средств расчета режимов. Кроме того, метод реально применим только в случае простых однократных несимметрий, а при увеличении их числа сложности использования метода симметричных составляющих сильно возрастают.

Метод фазных координат развивается давно [30, 54, 85, 205, 251, 252, 272, 273, 276, 302, 324, 325, 338, 339, 343] и является естественным представлением трехфазной системы. Сложности его использования связаны с наличием взаимоиндуктивных влияний между токоведущими частями разных фаз в трансформаторах и ЛЭП. Известный метод развязки магнитосвязанных цепей [46] при практической реализации в программных средствах приводит к ряду затруднений, ограничивающих его применение при расчетах режимов. Обычно используется замена трехфазного трансформатора набором однофазных трансформаторов; в качестве примера можно указать на широко известный прикладной пакет Sim Power System вычислительной системы MatLab. Для линий электропередачи часто используются П-образные схемы замещения отдельных фаз без их взаимоиндуктивной связи. Эти модели удовлетворительно работают только при сравнительно небольших несимметриях.

Многочисленные измерения в электрических сетях общего назначения, особенно при наличии коммунально-бытовых потребителей, показывают, что нагрузки обычно являются несимметричными.

По изложенным причинам полнофункциональное моделирование ЛЭП и трансформаторов в фазных координатах2 является актуальным направлением, позволяющим решать целый ряд важных научных и практических задач, связанных с исследованием, проектированием и эксплуатацией СЭЖД, а также ЭЭС общего назначения. Практическая значимость указанных разработок определяется тем, что при решении задач проектирования и управления ЭЭС и СЭЖД все более важным становится адекватное моделирование их режимов, обеспечивающее повышение эффективности использования энергетических ресурсов. Современное состояние компьютерных технологий, кроме того, требует одновременной разработки алгоритмических приложений методик моделирования с созданием программных средств расчетов режимов в фазных координатах.

Решению этих задач и посвящена данная работа, доведенная в настоящее время до сертифицированных программных комплексов расчетов режимов электрических систем в фазных координатах. Работа выполнялась в соответствии с основными положениями энергетической стратегии России и энергетической стратегии железнодорожного транспорта на период до 2030 года.

Цель работы состоит в разработке методов, алгоритмов и программных средств, предназначенных для расчетов режимов объединенных систем тягового и внешнего электроснабжения, позволяющих повысить надежность и эффективность функционирования СЭЖД и ЭЭС общего назначения, снизить потери и нерациональные расходы энергии. Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:

• создание общих принципов моделирования в фазных координатах статических многопроводных элементов ЭЭС и СЭЖД со взаимоиндуктивными и емкостными связями;

• разработка методов моделирования многопроводных тяговых сетей, воздушных и кабельных ЛЭП различного конструктивного исполнения, включая линии новых типов повышенной пропускной способности;

• получение моделей однофазных и трехфазных силовых и измерительных трансформаторов с произвольным соединением обмоток и учетом конфигурации магнитной системы;

• реализация пофазного принципа моделирования асинхронной нагрузки, обеспечивающего адекватный учет симметрирующего эффекта;

• разработка алгоритмов объединения моделей элементов в расчетную схему и определения режимов в пофазной постановке;

• создание методов анализа электромагнитной совместимости и электромагнитной безопасности в СЭЖД и ЭЭС на базе разработанных моделей;

При полнофункциональном моделировании необходим учет взаимоиндуктивных и емкостных связей в ЛЭП и трансформаторах, а также учет конфигурации магнитной системы последних.

• разработка методов имитационного моделирования работы систем тягового и внешнего электроснабжения при движении поездов;

• разработка методов определения несинусоидальных режимов СЭЖД, создаваемых перемещающимися в пространстве тяговыми нагрузками;

• реализация разработанных моделей и методов в программных комплексах расчетов режимов и анализа электромагнитной совместимости в фазных координатах, обеспечивающая решение актуальных практических задач, возникающих при проектировании и эксплуатации СЭЖД и ЭЭС.

Методы решения рассмотренных в монографии задач разработаны на основе анализа и синтеза математических моделей сложных ЭЭС с применением аппарата линейной алгебры, функций комплексного переменного, теории электрических цепей, теории электромагнитного поля и методов объектно-ориентированного программирования.

Проверка адекватности предложенных методов и алгоритмов основывалась на вычислительных экспериментах, проводимых на базе специально разработанных программ для ЭВМ применительно к реальным и эквивалентным схемам ЭЭС и СЭЖД. Достоверность полученных результатов подтверждена сопоставлением с аналитическими расчетами, а также с расчетами по известным программам, прошедшим полномасштабную опытную проверку. Кроме того, проводилось сравнение с результатами натурных экспериментов в системах электроснабжения главного хода Восточно-Сибирской железной дороги и западного участка Байкало-Амурской железнодорожной магистрали. В частности, проведены сравнения с результатами, получаемыми в программных комплексах Nord и Kortes (ВНИИЖТ), TKZ LPI (Санкт-Петербургский государственный политехнический университет), СДО-6 (Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН), Mustang-95 по следующим направлениям:

• моделирование режимов работы ЭЭС и СЭЖД;

• расчеты однофазных и двухфазных коротких замыканий;

• расчеты симметричных и несимметричных нагрузочных режимов в ЭЭС.

Расхождения в результатах расчетов в сопоставимых случаях составили доли процента по уровням напряжений в узлах, а также величинам токов и потоков мощности. В экспериментальных исследованиях получено приемлемое для практических целей совпадение расчетных и измеренных параметров.

Практическая ценность работы заключается в разработке трех промышленно эксплуатируемых программных комплексов (ПК):

• ПК для расчетов режимов электрических систем в фазных координатах Flow3 с графическим интерфейсом и двумя базами данных по моделям элементов и по расчетным схемам; сертифицирован Госстандартом России, сертификат № РОСС RU.ME93.H00133 от 30.10.2003 г. [295];

• ПК имитационного моделирования систем тягового электроснабжения переменного тока «Fazonord – расчеты режимов и нагрузочной способности систем тягового электроснабжения в фазных координатах» [298];

• ПК расчетов показателей качества электрической энергии «Fazonord-Качество – расчеты показателей качества электроэнергии в системах электроснабжения в фазных координатах с учетом движения поездов»

[294].

Разработанные ПК позволяют рассчитывать синусоидальные установившиеся режимы систем тягового электроснабжения переменного тока 125 кВ, 225 кВ и новых типов с корректным моделированием внешней сети и систем электроснабжения нетяговых потребителей в пофазной постановке. При этом учитываются все виды несимметрий и электромагнитное влияние токоведущих частей друг на друга. Подобные расчеты необходимы при анализе режимов работы СТЭ, в том числе при определении пропускной способности и потерь электроэнергии, а также для целей сертификации качества электроэнергии в районах электроснабжения нетяговых потребителей, отпускающих ЭЭ сторонним абонентам.

Полнофункциональные версии ПК Flow3 и Fazonord-Качество с ограничением максимально допустимого числа узлов доступны на сайте кафедры электроснабжения ИрГУПС по адресу www.iriit.irk.ru/web-edu/~egt/.

Монография состоит из пяти глав, введения и заключения. В первой главе изложено текущее состояние проблемы и имеющиеся методы расчетов сложнонесимметричных режимов. Во второй главе рассмотрены разработанные авторами основы моделирования в фазных координатах воздушных и кабельных линий, однофазных и трехфазных трансформаторов и асинхронных нагрузок. В третьей главе описаны применяемые методы расчетов режимов. В четвертой главе представлены методики и разработанные программные средства имитационного моделирования работы объединенной системы электроснабжения при движении поездов, в том числе с несколькими примерами сопоставительных расчетов по результатам экспериментальных измерений. Пятая глава представляет методику расчетов несинусоидальных режимов в объединенных системах тягового и внешнего электроснабжения с учетом движения поездов.

1. МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕСИММЕТРИЧНЫХ РЕЖИМОВ

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ПРОБЛЕМЫ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СОВМЕСТИМОСТИ

1.1. Уравнения установившегося режима Установившийся режим работы ЭЭС характеризуется неизменными во времени модулями и фазами периодических напряжений и токов. Важнейшими из УР являются синусоидальные режимы, расчеты которых принадлежат к числу задач, имеющих большое значение при проектировании и эксплуатации ЭЭС и СТЭ. Применяемые методы расчетов зависят от конечных целей, которые можно разделить на следующие направления [208, 336]:

• оптимизация режимов ЭЭС, которая сводится к решению задач наивыгоднейшего распределения электрической нагрузки между источниками питания, отвечающего минимуму потерь ЭЭ в электрической сети, и определение мощностей и мест установки компенсирующих устройств для оптимального распределения реактивных потоков;

• расчеты статической апериодической устойчивости и предельных режимов;

• определение допустимых режимов, отвечающих нормативам по показателям качества ЭЭ, в том числе по допустимым уровням напряжений на токоприемниках ЭПС;

• расчеты переходных процессов, колебательной устойчивости, а также определение условий возникновения самовозбуждения и самораскачивания;

• оценивание состояния ЭЭС по данным телеизмерений.

В расчетах режимов СЭЖД часто используется представление нагрузки источником тока, значительно упрощающее расчетные выражения и алгоритмы и вполне приемлемое в ряде случаев.

При расчетах режимов энергетических систем обычно используются различные модификации метода узловых напряжений. При этом вводится базисный узел, от которого ведется отсчет фазовых углов напряжений остальных узлов, и балансирующий узел, соответствующий реальной станции, обеспечивающей баланс активной мощности в системе. По меньшей мере один узел, называемый узлом, балансирующим реактивную мощность, должен иметь фиксированный модуль напряжения.

Уравнения в форме баланса мощностей в полярных координатах при использовании формы записи полной проводимости ветви в виде y i j = gi j j bi j могут быть записаны так [336]:

где U i = U i e j – напряжение узла i; k т i j – коэффициент трансформации идеального трансформатора ветви между узлами i и j, определяемый отношением напряжений узлов i и j; Pi = Pi наг Pi ген, Qi = Qi наг Qi ген – разности мощностей нагрузки и генерации узла i.

При решении уравнений установившихся режимов чаще всего применяется метод Ньютона – Рафсона. Идея метода состоит в последовательной замене на каждой итерации системы нелинейных уравнений линейной системой вида решение которой дает значения неизвестных Х, более близких к решению нелинейной системы, чем исходное приближение. В полярных координатах итерационная формула метода Ньютона может быть представлена следующим образом:

где производные записываются следующим образом [336]:

При программной реализации метода целесообразно использование следующих обозначений:

Уравнения в форме баланса мощностей в декартовых координатах целесообразно использовать в ряде случаев, в частности, при наличии низкоомных ветвей в расчетной схеме. Эти уравнения для узлов с заданными значениями мощностей генераторов и нагрузок имеют вид [307, 336]:

Для узлов с фиксированным модулем напряжения (PU-узлов) уравнения принимают вид С выделением диагональных членов в суммах уравнения можно переписать следующим образом:

Итерационная формула в декартовых координатах может быть представлена в виде а производные записываются следующим образом:

Для PU-узлов выражения для соответствующих производных принимают вид При программной реализации целесообразны следующие сокращения:

Ветви представляют собой RL-элементы с идеальным трансформатором, коэффициент трансформации которого определяется отношением напряжения первого узла к напряжению второго.

При формировании уравнений чаще всего используется однолинейная схема замещения прямой последовательности, пригодная для расчетов симметричных режимов. В этой схеме линии обычно представляются в форме, соответствующей П-образной схеме замещения, трансформаторы замещаются Т-образной схемой, а генераторы и нагрузки представляются внешними потоками мощности.

При расчетах несимметричных режимов используется метод симметричных составляющих или его модификации, а также метод фазных координат. Последний является более универсальным и позволяет рассчитывать режимы совмещенных трехфазных и однофазных систем. Оба метода требуют составления соответствующих схем замещения и применения адекватных моделей элементов ЭЭС, причем решение этих вопросов для каждого из методов производится по-разному. При соответствующем подходе и тот, и другой методы могут быть сведены к уравнениям узловых напряжений с итерационным решением по (1.1), то есть с применением хорошо разработанных алгоритмов.

Основная трудность моделирования линий и трансформаторов заключается в существовании взаимоиндуктивных связей отдельных ветвей друг с другом. Частичное решение этой проблемы известно давно [46], однако оно не обладает универсальностью, требуя индивидуального подхода для каждого конкретного случая.

1.2. Метод симметричных составляющих Наиболее распространенная методика расчетов несимметричных режимов трехфазных ЭЭС основывается на методе симметричных составляющих, предложенном Фортескью и детально разработанном Вагнером и Эвансом [45]. Этот метод применим для линейных систем, в которых можно найти сопротивления элементов для разных последовательностей. Сущность метода заключается в представлении любой трехфазной несимметричной системы величин в виде суммы трех симметричных составляющих или в матричной форме U = S U S. Переход от сопротивлений в фазных координатах к системе симметричных координат производится с помощью той же матрицы преобразования Фортескью:

Проще всего метод реализуется для симметричных систем при несимметричных воздействиях. В этом случае матрица сопротивлений в симметричных координатах является диагональной, и каждое из уравнений является независимым. Таким образом, расчет режимов прямой, обратной и нулевой последовательностей можно проводить отдельно. Трехфазная система воздействующих напряжений или токов раскладывается на составляющие прямой, обратной и нулевой последовательностей, U S = S U. Для рассматриваемой системы составляются три схемы замещения для каждой из последовательностей и определяются их реакции на воздействие соответствующей входной последовательности.

После этого осуществляется наложение реакций каждой последовательности и обратный переход к фазным координатам.

Метод симметричных составляющих имеет ограниченное применение для несимметричных систем. Основной причиной, резко ограничивающей возможности применения этого метода, является сильное усложнение схем замещения при росте числа несимметрий в электрической сети.

По этой же причине затруднена формализация метода для его применения в расчетных алгоритмах. Фактически метод работает только при расчетах режимов в симметричных трехфазных системах при одной-двух несимметриях. Рассмотренные в работах С.Б. Лосева и А.Б. Чернина [252, 325] примеры применения метода симметричных составляющих хорошо иллюстрируют резкое усложнение схем замещения для разных последовательностей при росте числа несимметрий исходной схемы.

При применении метода симметричных составляющих возникает еще несколько затруднений. Так, например, сопротивление нулевой последовательности ЛЭП зависит от проводимости земли, учет которой усложняется при нетранспонированной линии. Для трансформаторов характерным является появление токов обратной последовательности при подаче строго симметричного напряжения из-за неодинаковости конструкции стержней разных фаз. Совершенно неясна возможность корректного применения метода для специальных трансформаторов с симметрирующим эффектом [32, 48, 256].

1.3. Фазные координаты в расчетах режимов электрических Наиболее эффективно задача расчета сложнонесимметричных режимов может быть решена на основе применения фазных координат. При их использовании ЭЭС может описываться трехлинейной схемой или представляться в виде компаунд-сети. В первом случае каждый трехфазный элемент задается тремя сопротивлениями с электромагнитными связями или соответствующими схемами замещения. Число узлов расчетной схемы по отношению к однолинейной сети при этом утраивается. Во втором случае трехфазная сеть рассматривается как однолинейная, в которой каждая ветвь представляется в виде матрицы размерности 33, а токи и напряжения – векторами размерности 3 [30]. Первый способ позволяет рассматривать любые многофазные элементы, например, линии электропередачи с тросами. При втором способе учет таких элементов существенно затрудняется.

Использование фазных координат целесообразно при необходимости учета различий в пофазных параметрах линии, для расчетов режимов комбинированных однофазных и трехфазных сетей, при наличии трансформаторов с особыми схемами соединений обмоток, а также при расчетах взаимных электромагнитных влияний ЛЭП. При использовании соответствующих моделей элементов расчеты можно выполнять с помощью имеющихся компьютерных программ расчетов режимов и коротких замыканий, рассматривая схему в фазных координатах в качестве фиктивной схемы прямой последовательности.

Базисом метода фазных координат является естественное трехлинейное представление трехфазных электрических схем, в котором весьма просто учитываются однофазные и несимметричные трехфазные элементы (если модели их разработаны). Имеющиеся алгоритмы и программные средства расчетов режимов в однолинейной постановке с некоторыми ограничениями и дополнениями могут быть применены и для фазных координат. Эта постановка позволяет достаточно легко учесть разнообразные несимметрии трехфазных линий (различные пофазные параметры и обрывы проводов), наличие грозозащитных тросов и расщепленных проводов фаз. В трехфазных схемах замещения можно учитывать несимметричные соединения трансформаторов и их групп, что характерно для тяговых подстанций электрифицированных железных дорог переменного тока.

Для эффективного использования метода фазных координат необходима разработка адекватных моделей элементов ЭЭС, таких как воздушные и кабельные линии электропередачи, однофазные и трехфазные трансформаторы различных модификаций, асинхронные и синхронные машины. Другим важным обстоятельством является формализация подхода к построению моделей отдельных элементов и ЭЭС в целом, позволяющая перейти к разработке алгоритмов при численной реализации и создании программных средств расчетов режимов, обладающих широкими возможностями и удобным пользовательским интерфейсом. Вообще говоря, матрица сопротивлений в системе симметричных составляющих однозначно связана с матрицей сопротивления в фазных координатах, Z = S Z S s, однако два обстоятельства затрудняют применение метода симметричных составляющих на равных правах с фазными координатами.

Во-первых, формирование Z начинается в фазных координатах, что требует адекватной исходной модели, а во-вторых, в сложных системах составление и стыковка схем замещения разных последовательностей чрезвычайно сложны. Кроме того, фазные координаты имеют существенное преимущество перед различными системами составляющих, давая возможности физической интерпретации моделей и их модификации.

Систематическое применение фазных координат для расчетов режимов ЭЭС начато в работах Лаутона [343], С.Б. Лосева, А.Б. Чернина [251, 252, 324, 325], А.П. Бермана [30]. Лаутоном предложено преобразование модели однофазного трансформатора без намагничивающей ветви, фактически сводящееся к синтезу решетчатой схемы замещения по уравнениям связи входных и выходных величин. Модели трехфазных трансформаторов получены путем соответствующего соединения нескольких однофазных моделей. С.Б. Лосевым и А.Б. Черниным использованы более совершенные полносвязные решетчатые схемы однофазных трансформаторов с учетом ветви намагничивания, а модели трехфазных трансформаторов организованы по тому же принципу соединения однофазных трансформаторов. Недостаток такого подхода очевиден: при соединении обмоток трехфазного трансформатора в звезду группа однофазных трансформаторов резко отличается от трехфазного способностью передавать нулевую последовательность напряжений. Кроме того, возникают сложности алгоритмического порядка при формировании моделей трехфазных трансформаторов сложных конструкций, например, фазоповоротных и симметрирующих.

В ряде последних работ для моделирования трансформаторов используется теория многополюсников [42, 264, 302] с сохранением указанных недостатков.

Линии электропередачи замещаются решетчатыми схемами или многополюсниками по аналогии с трансформаторами – путем преобразования уравнений связи падений напряжений с токами фаз. Так, в статье В.А. Солдатова и Н.М. Попова [302] предлагается моделирование линий многополюсниками, но только для частного случая трехфазной трехпроводной линии и с плохой формализуемостью для обобщенного случая; кроме того, нагрузки в примерах были заданы величинами сопротивлений.

Можно выделить две основные тенденции в моделировании линий и трансформаторов. Первая из них заключается в замене линии или трансформатора решетчатой схемой из RLC-элементов, то есть получения некой модели, имеющей физическую интерпретацию; вторая использует абстрактный матричный подход. При этом трансформаторы чаще моделируются в соответствии с первым направлением, а линии – со вторым. Применение решетчатых схем является более предпочтительным в связи с возможностью оперирования решетчатой схемой как с набором резистивных, индуктивных и емкостных элементов, для которых применимы разработанные алгоритмы и программы расчетов режимов трехфазных систем, представленных схемой замещения прямой последовательности.

Группы моделей однофазных трансформаторов для моделирования трехфазных используются в распространенном прикладном пакете Sim Power System системы MatLab. Там же применяются модели ЛЭП в виде отрезков длинных линий или в форме матриц Z s. Схожие принципы используются и в программных системах проектирования и расчетов режимов смешанных систем постоянного и переменного тока PSCAD-EMTDC, DigSILENT PowerFactory, ATP-EMTP.

Синхронные и асинхронные машины представляются сопротивлениями в симметричных составляющих с последующим преобразованием матрицы сопротивлений в фазные координаты [30, 54, 85, 252, 276]. Так, в частности, представлены модели работы [252], где для получения модели асинхронного двигателя в фазных координатах использовано представление сопротивлениями, получаемыми из матрицы Z s. Такое представление, однако, противоречит принятому в данной работе подходу с использованием только основных элементов электрических схем замещения, позволяющему без оговорок использовать наработанные методы и алгоритмы расчетов электрических цепей. По этой причине для асинхронной нагрузки разработана собственная модель в фазных координатах.

1.4. Фазные координаты в расчетах режимов тягового электроснабжения Используемые в настоящее время модели систем тягового электроснабжения электрифицированных железных дорог переменного тока можно отнести к моделям метода фазных координат, но задача совместного расчета режима трехфазной системы внешнего электроснабжения и однофазной СТЭ остается решенной лишь частично. Существующие проблемы представления несимметричных нагрузок СТЭ переменного тока привели к тому, что при расчетах режимов таких систем применяется в основном модели тяговых нагрузок в виде источников тока [257…260, 262, 306, 309], при которых токи ЭПС пересчитываются в токи, протекающие по связям питающих ЭЭС. Тем не менее, давно отмечалась необходимость представления тяговой нагрузки заданием потребляемой мощности, поскольку регулирование режима движения электровоза приводит к сохранению требуемой скорости движения, то есть потребляемой активной мощности [309]. Этот подход позволяет единообразно подходить к расчетам режимов совмещенных систем тягового и внешнего электроснабжения и к расчетам режимов трехфазных ЭЭС, если последние представлены исходной схемой замещения в фазных координатах.

Разработанные подходы совместного расчета режима трехфазной питающей ЭЭС и однофазной СТЭ базируются на теории многополюсников [15, 74…78], на прямых преобразованиях формул для составляющих сопротивлений тяговой сети [212, 254–257] или на упрощенном представлении трехфазных трансформаторов в виде групп однофазных трансформаторов [252, 325, 338]. В простейшем варианте внешнее электроснабжение заменяется эквивалентным реактансом.

Представление тяговой сети (ТС) многополюсником использовано в статье Т.К. Асанова и С.Ю. Петуховой [15], где получена схема замещения трехпроводной тяговой сети переменного тока шестиполюсником.

Схема замещения трехпроводной тяговой сети 225 кВ дана в работе В.Д. Бардушко, Г.Г. Марквардта [28]. Эти представления дают возможность расчетов режимов для однопутных участков переменного тока, но их сложно распространить на многопутные или многопроводные участки.

В.Т. Черемисиным [320–322] разработан метод совместного расчета систем тягового и внешнего электроснабжения путем декомпозиции системы на симметричную и несимметричную части с применением метода симметричных составляющих в итерационном цикле. Такой подход позволил задавать тяговые нагрузки величинами мощности, а также оказался применим и для расчетов на высших гармониках. Однако метод симметричных составляющих практически применим только при малом количестве несимметрий в рассчитываемой сети, что ограничивает возможность использования метода декомпозиции участками с небольшим количеством тяговых нагрузок.

В работах Ю.А. Чернова [326–329] представлена эффективная методика расчетов режима в системе 225 кВ, позволяющая также проводить расчеты токов короткого замыкания. Применимость методики ограничивается ее привязкой к конкретной конфигурации тяговой сети и переносом токов поездов в узловые точки контактной сети при имитационном моделировании.

Применение матричного метода расчета режимов многопроводных тяговых сетей развито в работах А.Л. Быкадорова [43, 44], что позволило распространить расчетные методы на любые электротяговые сети, однако без корректного учета тяговых трансформаторов и внешней сети.

Б.Е. Дынькиным [47, 101, 102] разработаны методы расчета режимов смежных с электрифицированной железной дорогой ЛЭП, необходимые для анализа работы релейных защит. Несмотря на эффективность этих методов для решения вопросов настройки защит, их сложно распространить на анализ сложных СЭЖД, включающих ЭЭС, СТЭ и РЭС.

Развернутый подход к получению совмещенной модели системы внешнего электроснабжения и тяговой сети электрифицированной железной дороги выполнен Л.А. Германом [67–78]. Предложенная им оригинальная лучевая схема замещения тягового трансформатора позволяет производить расчеты режимов совмещенной ЭЭС и СТЭ. Этот подход, однако, не может быть распространен на другие типы трансформаторов и на усложненные варианты многопроводной тяговой сети.

Во всех методах расчетов режимов СТЭ используется понятие сопротивления тяговой сети. Чаще всего применяется сопротивление тяговой сети без учета токораспределения по контактной сети и рельсам соседних путей; в более сложных случаях учитываются сопротивления взаимоиндуктивной связи между соседними контактными подвесками. Развитый в монографии подход позволяет обойтись без понятия сопротивления тяговой сети путем эквивалентирования многопроводной системы решетчатыми схемами замещения, в которых учитываются все индуктивные и емкостные связи между проводами и рельсами.

Одна из проблем в СТЭ переменного тока состоит в возникновении уравнительных токов при двухстороннем питании межподстанционных зон. Отсутствие адекватных моделей трансформаторов и многопроводных линий препятствует корректному анализу уравнительных токов, которые, в частности, могут возникать как токи в цепи, включенной параллельно ЛЭП внешнего электроснабжения.

С некоторой долей условности можно отнести к фазным координатам программные комплексы расчетов режимов в системах тягового электроснабжения. Наиболее распространены программные комплексы Nord и Кортес (ВНИИЖТ), в которых фактически представлена только тяговая сеть, а внешняя ЭЭС учтена мощностью трехфазного короткого замыкания на шинах питающего напряжения. Нагрузки представлены в виде задающих токов. Такая постановка в целом недостаточна, однако сама возможность расчетов с использованием источников токов в расчетной схеме, очевидно, должна быть сохранена наряду с возможностью задания нагрузок в виде потребляемых мощностей.

Совершенствование систем электрической тяги переменного тока [32, 48, 256] приводит к появлению новых типов трансформаторов и технология расчетов режимов с применением метода фазных координат должна обеспечивать создание моделей таких устройств.

1.5. Взаимосвязь проблем режимных расчетов и электромагнитной совместимости Под электромагнитной совместимостью понимается способность электротехнического оборудования удовлетворительно работать в электромагнитной среде, созданной другими электротехническими устройствами, не создавая недопустимого влияния на смежные системы. Источниками опасных влияний являются линии электропередачи переменного и постоянного тока, контактная сеть электрифицированных железных дорог, разряды молний. В последнем случае создаются импульсные перенапряжения, воздействующие как на воздушные, так и на кабельные линии, в том числе и подземные.

Задача моделирования многопроводных ЛЭП пересекается с проблемой электромагнитной совместимости в части расчетов наведенных напряжений, которые обычно решаются обособленно [17, 54, 249, 270, 272, 273]. В частности, таковы глубоко проработанные вопросы влияний тяговой сети на смежные линии в работах М.П. Бадера [17], Д.В. Ермоленко [107, 108, 270], А.Б. Косарева, А.В. Котельникова [221–223], М.И. Михайлова [275], М.П. Ратнера [287] и других.

В работе М.Ш. Мисриханова, В.А. Попова, Р.В. Медова, Д.Ю. Костюнина [273] обсуждается методика расчета наведенного напряжения, в которой учитывается реальное геометрическое расположение фаз и грозозащитных тросов на опорах линий, транспозиция фаз и тросов линий.

В этой работе для моделирования однородных участков составляются матрицы продольных индуктивных сопротивлений и поперечных емкостных проводимостей, на основе которых составляется общая матрица узловых проводимостей схемы и далее с помощью эквивалентов ЭЭС рассчитывается установившийся режим. Здесь совершенно справедливо объединяется определение наведенного напряжения с расчетом режима и используются подходы, ранее в более общем виде сформулированные в работе [204], но методика моделирования ЛЭП не доводится до обобщенного алгоритма, охватывающего любые многопроводные линии и не требующего «ручного» составления матрицы сопротивлений. Кроме того, не указываются пути решения проблемы объединения данных по разным моделям, а модели трансформаторов не представлены.

Получаемые таким путем схемы замещения не нашли систематического применения в расчетах наведенных напряжений, поскольку схема каждой конкретной линии рассматривалась обособленно, с нетривиальными решениями, а формализованного алгоритма, объединяющего все разновидности воздушных и кабельных линий, получено не было.

Итоги рассмотрения текущего состояния методов и средств расчетов режимов в ЭЭС, включающих в свой состав трехфазные и однофазные подсистемы, сводятся к следующему.

1. Метод симметричных составляющих пригоден только для трехфазных систем. В связи с большой сложностью учета многократных несимметрий и плохой формализуемостью метод не пригоден для создания алгоритмов и программных средств расчетов режимов в совмещенных ЭЭС, содержащих трехфазные и однофазные подсистемы.

2. Расчеты сложнонесимметричных режимов трехфазных ЭЭС, а также объединенных трехфазных и однофазных систем необходимо проводить в фазных координатах. Современное положение в этом направлении характеризуется частично разработанными моделями ЛЭП, трансформаторов и электрических машин. Разработанные модели сложно использовать в универсальных программных средствах, объединяющих возможности расчетов режимов в совмещенных ЭЭС и СТЭ и расчетов наведенных напряжений.

Таким образом, требуются разработки нерешенных проблем расчетов в фазных координатах по следующим направлениям:

• разработка полнофункциональных моделей многопроводных воздушных линий с любым числом проводов и любым их соединением между собой, с учетом взаимного электрического и магнитного влияния токоведущих частей;

• разработка моделей силовых кабельных линий;

• разработка полнофункциональных моделей однофазных и трехфазных трансформаторов с любым соединением обмоток;

• разработка моделей электрических машин в фазных координатах, практически пригодных для расчетов режимов;

• доработка методов расчетов режимов ЭЭС для специфики метода фазных координат;

• создание программных средств расчетов режимов в фазных координатах с графическим пользовательским интерфейсом;

• исследование направлений применения разработанных методов и средств расчетов режимов.

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ

СИСТЕМ В ФАЗНЫХ КООРДИНАТАХ РЕШЕТЧАТЫМИ

СХЕМАМИ

2.1. Общие принципы получения решетчатых схем замещения статических многопроводных систем Существующие подходы к решению проблемы моделирования в фазных координатах базируются на теории многополюсников [16, 30, 42, 85] или на упрощенном представлении трехфазных трансформаторов в виде групп однофазных трансформаторов [252, 325, 343]. Основная сложность моделирования заключается в развязке магнитосвязанных цепей, и если объединить подходы, первоначально сформулированные в статье [46], и направления синтеза схем замещения однофазных трансформаторов [54, 252, 343], то можно получить достаточно гибкий алгоритм формирования моделей различных ЛЭП и трансформаторов с помощью полносвязных решетчатых схем замещения, содержащих RLC-элементы.

Воздушные и кабельные линии электропередачи, а также трансформаторы разных типов представляют собой статические многопроводные элементы, токоведущие части которых обладающих взаимной электромагнитной связью. Если вынести соединения этих токоведущих частей за пределы рассматриваемой системы, то линии и трансформаторы отличаются друг от друга только характером взаимоиндуктивных связей. Для линий, кроме того, требуется учет емкостной связи проводов, что для большинства практически важных случаев можно сделать обычным образом, учтя собственные и взаимные емкости проводов в П-образной схеме замещения после обработки взаимоиндуктивных связей. Эти предположения приводят к тому, что ток, втекающий в начало провода, равен току, вытекающему из его конца.

Схема двухпроводной линии или двухобмоточного трансформатора показана на рис. 2.1а (для трансформатора узлы 1-3 соответствуют первой обмотке, 2-4 – второй). На этом рисунке Z11 и Z22 – собственные сопротивления, Z12 = Z21 – сопротивления взаимоиндуктивной связи, Ui – напряжения провод – земля.

Падения напряжений двухпроводной системы связаны с токами:

Двухпроводная линия представляет собой шестиполюсник, поскольку собственные сопротивления проводов определяются возвратом тока через землю, которую можно рассматривать как два узла: один – в начале линии-шестиполюсника, другой – в конце. Поскольку заземленные узлы имеют нулевой потенциал, то в системе (2.1) остается только два уравнения и два тока вместо трех.

Решение системы уравнений (2.1) относительно токов приводит к матрице проводимостей Y' = Z 1 :

Уравнения (2.2) с учетом равенства токов в начале и в конце каждого провода можно переписать в форме, которую можно интерпретировать по аналогии с работой [343] как уравнения падений напряжений на ветвях фиктивной схемы замещения:

При симметрии матрицы Y' (и, соответственно, симметрии исходной матрицы Z) коэффициенты системы (2.3) могут интерпретироваться как проводимости ветвей полносвязной решетчатой схемы (рис. 2.1б):

С такой схемой, содержащей RLC-элементы, можно работать как с обычной электрической схемой и использовать ее параметры в методах и алгоритмах расчетов режимов ЭЭС, разработанных для однолинейных схем трехфазных сетей. Матрица проводимостей этой решетчатой схемы с учетом ее симметрии, записанная по обычным правилам суммирования проводимостей ветвей узла для диагональных элементов и инверсии знака для недиагональных элементов, может быть представлена в виде Описанная методика может быть распространена на любое количество проводов в многопроводной системе (рис. 2.2). Для облегчения формирования расчетного алгоритма использованы соглашения о порядке нумерации концов проводов и направлении токов в них. Эта нумерация и направления приняты так, как показано на рис. 2.2: сначала нумеруются узлы в начале линии или начальные узлы А, В, С катушек трансформатора, затем узлы в конце линии или узлы X, Y, Z трансформатора.

Рис. 2.2. Обобщенная схема многопроводного элемента электрической сети В случае системы из n проводов с матрицей сопротивлений обращение матрицы сопротивлений и преобразование уравнений к виду, аналогичному (2.3), приводит к следующей системе коэффициенты которой Y ' ik и представляют собой проводимости ветвей полносвязной решетчатой схемы замещения (рис. 2.3) с матрицей проводимости следующего вида:

Рис. 2.3. Схемная интерпретация уравнения (4) Таким образом, многопроводная система из n проводов, в которой каждый из проводов имеет взаимоиндуктивные связи с остальными, может быть замещена полносвязной схемой, составленной RLC-ветвями. Число этих ветвей равно 2n(2n-1)/2, а их проводимости определяются из матрицы проводимостей многопроводной системы. Этот подход был впервые предложен в работе [204].

Учет емкостных связей проводов выполняется после обработки взаимоиндуктивных связей; на рис. 2.4 показано добавление емкостных шунтов, отвечающих собственным емкостям проводов. Взаимные емкости проводов в П-образной схеме замещения добавляются к соответствующим ветвям решетчатой схемы.

Получение модели линии или трансформатора из матрицы проводимостей многопроводной системы осуществляется в три этапа:

1) формирование решетчатой схемы замещения для системы проводов, гальванически не связанных друг с другом;

2) введение собственных и взаимных емкостей проводов, при необходимости также введение собственных и взаимных активных проводимостей;

3) обработка соединений проводов на сформированной схеме замещения с получением модели элемента (эта обработка связана с ликвидацией пропадающих при соединениях ветвей, запараллеливанием ветвей или с образованием шунтов при заземлении некоторых узлов элемента).

Рис. 2.4. Схема многопроводного элемента с добавлением емкостных шунтов Формализованное описание предложенной выше методики получения моделей ЛЭП и трансформаторов может быть представлено следующим образом. На первом этапе моделирования матрица проводимостей, используемая для получения решетчатой схемы СМЭ, формируется без учета фактического соединения отдельных проводов или обмоток на основе следующего матричного преобразования где Y PC – матрица размерностью m = 2n2n; Z – исходная матрица сопротивлений элемента размерностью nn, учитывающая взаимные индуктивные связи между проводами; z ik = z ki ; D = Z ; n – исходное число проводов элемента без учета их соединения; M 0 – топологическая матрица, опE ределяемая на основе соотношения M 0 = n, E n – единичная матрица размерностью nn.

Следует отметить, что, несмотря на вид, отличный от традиционно используемого в электротехнике, Y PC является именно матрицей проводимостей, так как обладает всеми необходимыми свойствами, присущими этой матрице.

В, частности, для матрицы проводимостей выполняется соотношение Выполнение этого свойства для Y PC можно показать на основе следующих преобразований:

Ввиду того, что построчные суммы элементов матрицы Y PC нулевые, вектор e размерностью 2n является собственным вектором матрицы Y PC, отвечающим нулевому собственному значению. Нуль-пространство матрицы Y PC образуют вектора вида s (0 ) = [e X e X ], где e X – n-мерный вектор e, в котором Х элементов заменены нулями, Х=0…n-1, поэтому Y PC e = 0. Тогда Элементы y k j матрицы Y PC отвечают взятым с обратным знаком проводимостям отдельных ветвей решетчатой схемы, соединяющих между собой узлы, номера которых соответствуют номерам строк и столбцов матрицы; y k j = y j k. Матрице Y PC соответствует полный граф с числом ребер, равным 2n(2n 1).

Полному графу отвечает матрица смежности вида При отсутствии в элементе связей с узлом нулевого потенциала (землей), т.е. z k 0 =, k =1…n, матрица Y PC является n-кратно вырожденной, что, однако, не препятствует использованию модели в расчетах. Действительно, после формирования расчетной схемы сети путем объединения моделей нескольких элементов и исключения уравнений, отвечающих базисным узлам, матрица проводимостей сети становится нормально обусловленной.

Для учета емкостных проводимостей необходимо дополнить полученную схему шунтами и ветвями, определяемыми величинами частичных емкостей. Последние можно найти из потенциальных коэффициентов первой группы формул Максвелла:

где U – n-мерный вектор напряжений провод-земля, T = [ 1 1... n ] – вектор зарядов проводов, A – матрица потенциальных коэффициентов размерностью nn.

На основе матрицы B = A 1 могут быть вычислены собственные и взаимные частичные емкости. В узлы решетчатой схемы добавляются шунты, сопротивления которых определяются половиной соответствующей собственной емкости. Кроме того, с каждой стороны системы проводов формируются дополнительные ветви с сопротивлениями, рассчитываемыми по половинным значениям соответствующих взаимных емкостей.

В результате матрица Y PC преобразуется к новому виду, который можно обозначить как Y C :

где CY = Следует отметить, что матрица Y C в отличие от Y PC является невырожденной и может непосредственно использоваться в расчетах режимов, например для схемы, состоящей из одного СМЭ.

На основе схемы соединений проводов конкретного элемента выполняется преобразование матрицы Y C путем объединения соответствующих узлов и сложения образующихся при этом параллельных ветвей решетчатой схемы. Указанное преобразование можно проиллюстрировать следующим образом. Предположив без потери общности, что объединяемые узлы имеют последние номера, можно разделить матрицу Y C на блоки:

где Y 2 – блок размерностью k k, отвечающий объединяемым узлам.

Тогда преобразованную матрицу Y S можно представить в виде где e k = [1 1... 1] – k-мерный вектор, состоящий из единиц.

Пример преобразований для двухпроводной системы. Двухпроводный элемент с собственными сопротивлениями проводов Z1 и Z2 и сопротивлением взаимоиндуктивной связи Z12 присоединен в начале к двум источникам ЭДС, а в конце – к нагрузке в виде источников тока (рис. 2.5а).

Можно показать, что преобразования к решетчатой схеме приводят к тем же напряжениям узлов, что и обычные соотношения, записанные через падения напряжений.

Уравнения для схемы рис. 2.5а, записанные через падения напряжений, таковы:

Матрица сопротивлений двухпроводной системы записывается просто:

Обратная матрица определяется соотношениями так что проводимости решетчатой схемы замещения по рис. 2.5б описываются следующими выражениями:

Поскольку потенциалы узлов 1 и 2 определены, уравнения метода узловых потенциалов для узлов 3 и 4 выглядят следующим образом:

или при записи через сопротивления откуда получаются уравнения, записанные выше через падения напряжений. Матрица проводимостей последней системы имеет следующий вид:

полностью совпадая с матрицей D.

2.2. Моделирование многопроводной воздушной линии Под многопроводной линией будет подразумеваться воздушная ЛЭП с возможным наличием грозозащитных тросов или тяговая сеть электрифицированной железной дороги, в состав которой входят заземленные провода в виде рельсов. В случае воздушной линии модель СМЭ, учитывающая взаимные индуктивности и емкости между проводами, может быть получена на основе уравнений, связывающих падения напряжений на отдельных проводах и протекающие в них токи. Для формирования решетчатой схемы необходимо получение собственных и взаимных сопротивлений проводов.

Собственные сопротивления проводов в системе уравнений (2.1) вычисляются из формул для модели замещения земли эквивалентным обратным проводом с добавлением внутреннего сопротивления проводов.

Внешнее сопротивление вычисляется в соответствии с формулами работ [212, 253, 269]:

или Z внеш = 0.001 f + j f 0.01148 0.001256 ln r 0.02 f, Ом/км, где f – частота, Гц; r – эквивалентный радиус провода (для сталеалюминиевых проводов принимаемый равным 0.95 внешнего радиуса поперечного сечения провода), в первой и второй формулах – в метрах, в третьей – в сантиметрах; – удельная проводимость однородной земли (или эквивалентная средневзвешенная проводимость), См/м; – круговая частота, 1/с; µ0 – магнитная постоянная.

Внутреннее сопротивление различно для различных типов проводов.

При сталеалюминиевых проводах используются аппроксимирующие зависимости [253]:

Rвнут = R0 (0.9+0.0063 f 0.755 ), Ом/км;

X внут = 0.001 (0.033 0.00107 f 0.83 )S + 1.07 f где R0 – сопротивление 1 км провода постоянному току; f – частота, Гц;

S – площадь сечения провода, мм2. Для 50 Гц и сечении провода 300 мм Xвнут = 0.016 Ом/км.

В сплошных алюминиевых и медных проводах цилиндрического сечения учитывается скин-эффект во внутреннем сопротивлении [31]:

по следующим приближенным формулам расчета отношений функций Бесселя, дающим погрешности в доли процента при условии qr 4 :

Rвнут = R0 (1 + 0.0049 x 4 0.000035 x 7 ), Ом/км;

X внут = R0 (0.125x 2 0.000613x 5 ), Ом/км, где x = 0.01 r, r – радиус провода, см; S – площадь сечения проR0 S вода, мм2. При x < 1 имеет место приближенное равенство а при больших значениях x используются выражения Для стальных проводов и рельсов использовано приближенное выражение следующего вида [212, 258]:

в предположении задания в качестве входных данных активного сопротивления R50 для частоты 50 Гц.

Сопротивление взаимоиндуктивной связи между парой проводов определяется по соотношению следующего вида:

Z M = 0.001 f + j f 0.005693 0.001256 ln d 0.02 f где d = ( xi xk ) + ( yi y k ) – расстояние между проводами i и k с координатами ( xi, yi ), ( xk, y k ), м; f – частота, Гц; – удельная проводимость земли, См/м.

Для реализации предложенного алгоритма при n проводах достаточно вычислить элементы исходной матрицы сопротивлений, обратить эту матрицу (что производится по алгоритму, представленному в работе [4]) и дополнить вычисленные проводимости решетчатой схемы величинами частичных емкостей, определяющих емкостную генерацию системы проводов. Частичные емкости можно найти из потенциальных коэффициентов первой группы формул Максвелла:

Формулы для вычисления потенциальных коэффициентов использованы в следующем виде [280]:

где 0 – электрическая постоянная; h – высота провода над землей с учетом стрелы провеса (на две трети стрелы провеса ниже высоты точки крепления у опоры), м; D, d – расстояния от провода i до изображения провода j и до самого провода j, м; r – радиус провода, м. Радиус провода удобнее выражать в сантиметрах, а параметры приводить к длине в 1 км, тогда Матрица потенциальных коэффициентов обращается, затем вычисляются собственные и взаимные частичные емкости, в узлы схемы добавляются шунты по половинке с каждой стороны и формируются дополнительные ветви с половинами взаимных емкостей. Кроме того, должна быть предусмотрена возможность наличия в узлах шунтов на землю для задания заземленных проводов.

Пример расчета модели ЛЭП. Трехфазная трехпроводная линия электропередачи 110 кВ имеет длину L = 50 км и выполнена проводами АС-240/56 с радиусом провода rпр=1.0 см. Координаты расположения проводов с учетом стрелы провеса в метрах равны (-2, 19), (2, 23), (4.1, 19).

Погонные сопротивления линии для аналитического расчета приняты равными R01 = 0.122 Ом/км, X01 = 0.41 Ом/км для прямой последовательности в соответствии с параметрами проводов и средним геометрическим расстоянием. Напряжение питающей системы в начале линии симметричное и равно 115 кВ, линия нагружена на линейную нагрузку сопротивлением 1323+j992 Ом.

Сопротивления прямой последовательности ЛЭП получаются равными XЛ1 = X01L = 20.5 Ом, RЛ1 = R01L = 6.25 Ом, XЛ0 = X00L = 69.0 Ом, RЛ0 = R00L = 13.7 Ом. Ток нагрузки равен Номера узлов 1, 2, 3 соответствуют началу линии, 4, 5, 6 – концу линии; провода соответствуют ветвям 1-4, 2-5, 3-6 (рис. 2.10). Расчеты погонных внутренних сопротивлений проводов по приведенным выше формулам дают значения X = 0.0153 Ом/км; R = 0.1745 Ом/км. Суммарные полные сопротивления отдельных проводов соответственно равны Z1 = 8.73 + j36.70 Ом; Z2 = 8.73 + j36.70 Ом; Z3 = 8.73 + j36.70 Ом. Взаимные полные сопротивления проводов равны Z21 = 2.50 + j16.02 Ом; Z31 = 2.50 + + j15.78 Ом; Z32 = 2.50 + j16.73 Ом; имеется небольшая несимметрия, так как линия нетранспонирована. Значения сопротивлений решетчатой схемы замещения вместе с токами рассчитанного режима приведены в табл. 2.1;

емкостные проводимости линии в расчете не учтены, так что проводимости шунтов всех узлов нулевые.

Параметры решетчатой схемы замещения ЛЭП и параметры режима между сопротивление сопротивление Ток нагрузки по фазам составляет 39.7 А с различием разных фаз не более 0.02 А (у источника и у нагрузки токи по фазам равны 39.73 А, -37. град.; 39.73 А, -157.3 град.; 39.75 А, 82.7 град.); напряжения на нагрузке составляют 65.7 кВ с различием не более 0.04 кВ. Ток нагрузки и ток источника можно получить суммированием токов разных ветвей решетчатой схемы (с частичной компенсацией больших токов ветвей).

2.3. Моделирование кабельных линий Трехфазные кабели. Сформулированный подход применим и при моделировании кабельной линии. Основная трудность, возникающая в этом случае, состоит в близости проводов друг к другу и в невозможности простого вычисления индуктивных и взаимоиндуктивных сопротивлений и частичных емкостей. Вместе с тем справочные характеристики трехфазных кабелей содержат сопротивления прямой последовательности и значения частичных емкостей кабеля, что значительно упрощает дело по сравнению с воздушной линией из тонких проводов.

Без особой потери общности можно рассмотреть только четырехпроводную систему по рис. 2.11, составленную тремя жилами и оболочкой.

Поскольку значения емкостей должны составлять входные параметры модели, то при двухпроводном кабеле (жила и экран) можно объединить все три жилы при моделировании элемента, соединив концы проводов, а для емкости жила – оболочка задать по одной трети емкости двухпроводного кабеля.

Рис. 2.11. Система проводов трехжильного кабеля В случае наличия нулевой жилы ее нельзя будет рассматривать отдельно от оболочки. Кроме того, придется задавать значения частичных емкостей по отдельности для каждой фазной жилы (что может быть довольно затруднительно, поскольку в большинстве справочников такие данные не приводятся). Разумеется, стоит включить в рассмотрение и емкость оболочка – земля в двух вариантах (кабель в воздухе как тонкий провод и изолированный кабель в земле как система коаксиальных цилиндров) и возможное наличие шунтов в узлах.

Уравнения для четырехпроводного кабеля могут быть записаны по аналогии с выражением (2.1) в следующем виде:

где Rж, Rоб – активные сопротивления 1 км жилы и оболочки; Lж, Lоб – индуктивности 1 км жилы (петли жила – земля) и оболочки (петли оболочка – земля); M, Mоб-ж – взаимные индуктивности жила – жила и оболочка – жила на 1 км длины; l – длина кабеля.

В частном случае симметричного короткого замыкания на конце кабеля длиной 1 км (для определения погонного сопротивления) I 2 = a I 1, & 2& I 3 = a I1, a – фазовый множитель, U5 = U6 = U7 = U8 = U4 = 0, и можно записать следующее:

Собственное индуктивное сопротивление жилы можно вычислить так же, как и для воздушной линии, затем из справочного значения индуктивного сопротивления для прямой последовательности определить взаимную индуктивность жила – жила. Несколько сложнее находится взаимная индуктивность оболочка – жила, однако из определения понятия взаимной индуктивности следует небольшое отличие взаимных индуктивностей цепей жила – жила и оболочка – жила, и с практически приемлемой точностью можно принять Mоб-ж = M.

Емкости системы проводов кабельной линии существенно больше, чем у воздушной линии, и играют более серьезную роль. Емкости жила – оболочка и жила – жила приведены в справочниках, а емкость оболочка – земля на 1 км длины можно определить для кабеля, расположенного над поверхностью земли, по формуле емкости цилиндрического проводника над плоской проводящей поверхностью:

где h – высота расположения кабеля над землей, R – внешний радиус оболочки. Если кабель находится в земле, то емкость оболочка – земля можно определить по формуле емкости двух коаксиальных цилиндров:

где a – диэлектрическая проницаемость защитных покровов, R1 – внешний радиус оболочки, R2 – внешний радиус кабеля.

Таким образом, собственные и взаимные сопротивления в системе (2.5) оказываются определенными и можно пользоваться предложенной методикой получения параметров решетчатой схемы замещения.

Системы одножильных экранированных кабелей. Для набора n одножильных экранированных кабелей необходимо учесть взаимоиндуктивные влияния кабелей, а также емкости экранов отдельных кабелей по отношению друг к другу и к земле (кабель в воздухе и кабель в земле при этом будут существенно отличаться) и емкости жила-экран каждого кабеля (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Система проводов одножильных экранированных кабелей Емкостями между жилами и экранами разных кабелей, очевидно, можно пренебречь ввиду их малости. Важную разность между индуктивностью 1 км длины петли жила – земля и взаимной индуктивностью между жилой кабеля и его экраном можно определить из справочных данных.

Вычисление собственных индуктивностей экранов необходимо проводить как для цилиндрического пустотелого проводника, то есть с корректировкой его внутренней индуктивности. При близком расположении кабелей друг к другу, когда расстояния между ними приблизительно равно их диаметру, для определения взаимных индуктивностей между экранами лучше воспользоваться сопротивлением прямой последовательности эквивалентной трехфазной линии. Нумерация узлов системы кабелей показана на рис.

2.12.

Уравнения для системы кабелей могут быть записаны в следующем виде:

где Z i, j = Z j,i – взаимоиндуктивные сопротивления на 1 км длины между жилами кабелей i и j, между жилами и экранами, а также между экранами кабелей; Z i,i = Ri + j Li – полное сопротивление 1 км петли жила – земля при i n или петли экран – земля в противном случае; l – длина кабеля. В системе уравнений (2.6) не учтены емкости, которые вводятся отдельно в соответствии с П-образной схемой замещения многопроводной системы.

В частном случае для одного кабеля и короткого замыкания на конце кабеля длиной 1 км (для определения погонного сопротивления) остаются два уравнения при равенствах n = 1, U 3 = U 4, Z 1, 2 = Z 2,1 :

После вычитания второго уравнения из первого получается равенство для определения полного сопротивления 1 км петли жила – экран:

Из равенства (2.7) после расчета сопротивлений Z 1,1 и Z 2,2 из справочного значения реактивного сопротивления 1 км кабеля (петли жила – экран) можно найти сопротивление взаимоиндуктивной связи Z 1, 2. При отсутствии справочного значения Z К можно воспользоваться формулой работы [210] для индуктивности коаксиального кабеля со сплошных внутренним проводом и полым наружным проводом малой толщины:

где f – частота, Гц, t – толщина экрана (диаметр проволок экрана), p – радиус внутреннего провода, q – внутренний радиус экрана (рис. 2.13).

Представленная методика имеет две особенности:

• вычисление собственного сопротивления Z i,i для экрана требует выражений для сопротивления полого проводящего цилиндра над поверхностью земли, которые отличаются от выражений для сплошного цилиндрического проводника значениями внутренних активного и индуктивного сопротивлений;

• малое расстояние между экранами соседних кабелей приводит к необходимости учета эффекта близости и определение взаимных сопротивлений Z i , j для экранов кабелей становится непростой задачей.

Рис. 2.13. Поперечное сечение одножильного кабеля Активное сопротивление экрана при его толщине не более 1 мм можно считать не зависящим от частоты вплоть до 41-й гармоники и равным омическому сопротивлению. Внутреннее индуктивное сопротивление полого проводящего цилиндра определяется по соотношению, взятому из работы [210] с учетом указанной малой толщины проволок экрана:

где t – толщина экрана (диаметр проволок экрана), r – внешний радиус экрана.

Емкости жила – оболочка приведены в справочниках, а емкости оболочек по отношению к земле определяются так же, как и для трехфазного кабеля.

Пример расчета режима. Расчет проведен для ЛЭП длиной 1 км, смонтированной на основе трех кабелей сечением 120 мм2, расположенных по сторонам треугольника (рис. 2.14). Расчетная схема программного комплекса Flow3, разработанного в ИрГУПСе и реализующего описанную методику, приведена на рис. 2.15.

Рис. 2.14. Поперечное сечение системы Рис. 2.15. Расчетная схема Для кабелей с собственной емкостью 0.31 мкФ/км реактивная мощность 1 км кабеля равна Q = CU 2 l = 314·0.31·10-6·62·1 = 3.504 квар/км.

Расчет по модели рис. 2.15 при холостом ходе без источников тока дает 3.506 квар/км, а режим с источниками тока приведен в табл. 2.2.

Справочное значение сопротивления прямой последовательности для трех кабелей сечением 120 мм2 по рис. 2.14 при заземленных с двух сторон экранах равно 0,253+j0,108 Ом/км. Результаты из табл. 2.7 дают следующее:

• фаза А 0,276e j25,68° = 0,249 + j0,120 Ом/км;

• фаза В 0,273e j22,02° = 0,253 + j0,102 Ом/км;

• фаза С 0,289e j23,06° = 0,266 + j0,113 Ом/км;

• среднее 0,256 + j0,112 Ом/км.

Различие от справочного сопротивления прямой последовательности составляет 3.5 %.

Проверочный расчет режима воздушной линии АС-120 с параметрами, аналогичными трем кабельным линиям, разнесенным на расстояния 20 см друг от друга по углам равнобедренного треугольника, показал совпадение параметров режима с точностью в десятые доли процента. Указанные малые расхождения получаются как за счет взаимных и собственных емкостей экранов, так и из-за взаимоиндуктивных связей экранов друг с другом.

2.4. Моделирование трансформаторов 2.4.1. Основные положения моделирования При моделировании трехфазного трансформатора с трехстержневым сердечником для синусоидальных процессов можно поступить следующим образом. Индуктивность рассеивания можно учесть путем последовательного включения индуктивного элемента, а сумму магнитных потоков по стержням трансформатора принять равной нулю.

Последнее предположение для напряжения нулевой последовательности приводит к ошибкам, поскольку суммарный магнитный поток трансформатора при этом замыкается по стенкам бака трансформатора.

Расчетами на моделях без учета этого магнитного потока было установлено, что при однофазном коротком замыкании расчетный ток короткого замыкания оказывается завышенным на 20..25 %. Для учета дополнительного магнитного потока без существенного усложнения алгоритма можно использовать модель пятистержневого трансформатора, изображенную на рис. 2.16 (на рисунке представлено три обмотки).

При моделировании трансформатора принято следующее:

• трансформатор считается линейной системой;

• два крайних стержня характеризуются комплексной относительной магнитной проницаемостью µ r1 ' j µ r1 " ; они могут быть приняты либо с такой же магнитной проницаемостью, как и средние стержни, либо с магнитной проницаемостью, равной единице (замыкание магнитного потока через изоляцию и бак трансформатора); площади сечения этих стержней одинаковы и равны S1, длины, сечения и магнитные проницаемости крайних стержней равны между собой; подобный подход позволит одновременно моделировать трансформаторы с броневыми сердечниками;

• три средних стержня магнитопровода характеризуются постоянной величиной комплексной магнитной проницаемости µ r 2 ' j µ r 2 ", определяемой из паспортных значений тока и активной мощности холостого хода; площади сечения этих стержней одинаковы и равны S2;

• каждая катушка обладает активным и реактивным сопротивлениями Rik+jLik (i – номер обмотки, который далее будет соотноситься с номером строки матрицы, k – номер стержня минус единица, то есть номер фазы, который далее будет соотноситься со столбцом матрицы), которые определяются параметрами короткого замыкания;

• числа витков wik определяются по значению рабочей индукции в сердечнике и номинальному напряжению катушки Uik (именно катушки, а не обмотки в целом, последнее может быть больше первого на 3 ), B2m – в тесла, S2 – м2; числа витков для разных катушек одной обмотки лучше оставить раздельным для расширения возможностей модели;

• максимальное число обмоток трансформатора принято равным пяти.

Предполагается симметрия конструкции трансформатора, то есть равны длины l1 = l5, l6 = l7 = l8 = l9, l 2 = l 4 ; кроме того, очевидно, равны магнитные потоки Ф6 = Ф8, Ф7 = Ф9.

2.4.2. Исходная модель трансформатора Из-за необходимости формирования схемы соединения катушек трансформатора их выводы приходится отличать от узлов (зажимов) уже сформированного трансформатора с определенным соединением выводов.

Кроме того, нумерация зажимов катушек начинается с выводов катушек высшего напряжения, фазы A, B, C, затем среднего и низшего напряжений, и продолжается для концов катушек в той же последовательности (нумерация рис. 2.6 показана для трехобмоточного трансформатора).

Уравнения электрического и магнитного состояний трансформатора [31, 52] с n обмотками и 3n катушками, позволяющие получить выражения для сопротивлений трансформатора, записываются следующим образом при симметричности сердечника относительно его средней линии и исключении магнитных потоков Ф8 и Ф9:

Система (2.8) составлена 3n уравнениями электрического состояния и семью уравнениями магнитного состояния при учете взаимосвязи магнитных потоков. Неизвестные величины представлены 3n токами и четырьмя независимыми друг от друга магнитными потоками, система уравнений имеет квадратную матрицу с комплексными коэффициентами. При пяти обмотках ее размерность 19х19. Первый индекс (i) обозначает номер обмотки, второй индекс (k) – номер фазы или номер стержня (последний на единицу больше номера фазы). Взаимосвязи напряженностей поля с потоками таковы:

где R mi = Rmi '+ jRmi " – магнитные сопротивления магнитных ветвей.

С учетом взаимозависимости магнитных потоков и напряженностей магнитного поля система уравнений (2.8) после подстановки магнитных сопротивлений может быть переписана так:

где I T = I11 I12 I13... I n,3 Ф1 Ф2 Ф3 Ф4 – вектор токов и магнитT ных потоков; UT = U11 U12 U13... U n,3 0 0 0 0 – вектор напряжений катушек трансформатора;

– матрица обобщенных сопротивлений.

После исключения из уравнений (2.10) магнитных потоков эти уравнения соответствуют форме записи (2.1) и позволяют определить собственные и взаимные сопротивления отдельных катушек с применением методики, представленной в разделе 2.1. Можно, однако, обойтись и без исключения магнитных потоков, разрешив уравнения (2.10) относительно токов где D = Z T – матрица проводимостей. Матрица Z T имеет симметричную подматрицу размером 3n3n, поэтому и матрица D имеет симметричную подматрицу такого же размера, которая и используется в матрице проводимостей решетчатой схемы замещения.

Всего в схеме замещения имеется 6n узлов (выводов катушек) и 6n(6n-1)/2 ветвей. Проводимости ветвей определяются элементами матрицы D по следующим правилам (имея в виду, что для двух номеров узлов i и j всегда можно выбрать j > i, так как в системе (2.11) используется симметричная часть матрицы D и Yij = Yji):

При формировании модели с определенной схемой соединения катушек необходимо произвести вычисления проводимостей новых ветвей, образующихся при параллельном соединении ветвей исходной схемы, и сложить проводимости объединяемых узлов:

Для пересчета проводимостей по формуле (2.12) в исходных данных необходима информация о номерах выводов катушек по рис. 2.5, объединяемых в каждом узле трансформатора.

В системе уравнений (2.8) не известны сопротивления катушек Rik+jLik и магнитные сопротивления Rmk. Очевидно, R m 2 = R m3 = R m 4, R m 6 = R m 7 = R m 2 7, R m1 = R m 5 ввиду принятого соотношения геометричеl ских размеров. Для катушек одной обмотки очевидно также равенство Ri,1 = Ri, 2 = Ri,3 = Ri, и с небольшими допущениями можно принять равенl ство Li,1 = Li,2 = Li,3 = Li. Далее будет использовано обозначение k 72 = 7.

2.4.3. Определение параметров модели Определение необходимых параметров трансформатора, используемых в системе (2.8), по его справочным данным производится следующим образом. Активные сопротивления катушек и индуктивности рассеивания определяются параметрами короткого замыкания. Паспортные данные холостого хода трансформатора позволяют получить значения комплексной магнитной проницаемости сердечника. При решении этой задачи могут иметь значение следующие варианты:

• пятистержневой сердечник с одинаковыми крайними стержнями, имеющими одинаковые площади сечения и одинаковые со средними сердечниками магнитные проницаемости µ r1 = µ r 2, определяемые через параметры холостого хода трансформатора при возможном произвольном задании магнитной проницаемости, сечения и длины, что позволяет в рамках данной модели получить модель трансформатора с сердечником броневого типа;

• пятистержневой сердечник с магнитной проницаемостью двух одинаковых крайних стержней, равной единице, с последующим подбором параметров крайних стержней для получения заданного сопротивления нулевой последовательности.

В качестве исходных данных для определения матрицы коэффициентов системы уравнений (2.8) используются паспортные характеристики холостого хода и короткого замыкания трансформатора. К ним добавляются длины стержней и участков ярма магнитопровода. По отношению к неизвестным параметрам (сопротивления катушек Ri+jLi и магнитные сопротивления магнитных ветвей) система (2.8) является неполной, а при добавлении необходимых уравнений для мощности становится нелинейной.

Очевидно, нет необходимости определять комплексную магнитную проницаемость стержней, поскольку это приведет к повышению нелинейности системы уравнений, и вполне можно оперировать с магнитными сопротивлениями без выделения из них магнитной проницаемости и геометрических размеров.

При холостом ходе на первичной обмотке имеется симметричная номинальное напряжение катушки. Первые три уравнения системы (2.8) дают следующие соотношения при пренебрежении падениями напряжений на активных сопротивлениях катушек первичной обмотки и принятии равными чисел их витков:

а последние четыре уравнения при этом принимают вид:

где R mk – магнитное сопротивление магнитной ветви. Суммирование этих уравнений приводит к возможности определения первого магнитного потока через второй:

Из этих же уравнений можно выразить значения токов:

Для получения комплексно сопряженных токов необходимо разделить вещественные и мнимые части:

При холостом ходе дополнительно можно записать где Pх – активная мощность холостого хода, Q х = х н Pх, Sн – номинальная мощность трансформатора, iх – ток холостого хода в процентах.

Уравнения (2.13) и (2.14) после разделения вещественных и мнимых частей и определения взаимосвязи двух магнитных сопротивлений Rm1, Rm позволяют найти величины Rm1, Rm2.

При коротком замыкании одной из вторичных обмоток на первичной обмотке имеется симметричная система напряжений где uк – напряжение короткого замыкания в процентах. Кроме того, В уравнениях нельзя считать токи равными по величине и сдвинутыми по фазе на 120 градусов.

В общем случае сопротивления Ri+jLi определяются из уравнений (2.8) для короткого замыкания для разных обмоток трансформатора. Однако эти уравнения ввиду их большой размерности и необходимости разделения вещественной и мнимой частей являются громоздкими и трудоемкими для анализа.

При подаче на трансформатор напряжения нулевой последовательности проще всего проводить анализ для ситуации короткого замыкания на вторичной обмотке; на первичной обмотке имеется симметричная система напряжений, определяемая соотношением реактивных сопротивлений нулевой и прямой последовательностей:

где X0, X1 – сопротивления обратной и прямой последовательностей трансформатора. Однако и в этом случае система (2.8) состоит из десяти уравнений, содержащих шесть неизвестных токов и четыре магнитных потока, и определение неизвестного Rm1 возможно только при наличии дополнительного соотношения. Это может быть связь токов с напряжениями с учетом кратности сопротивления нулевой последовательности, однако этот подход является недостаточно определенным. Отношение вида или нельзя использовать (в частности, ввиду возможного появления составляющих прямой последовательности, сопоставимых с составляющими нулевой). По этой причине приходится оставить параметры S1 и l1 при немагнитных крайних ветвях неизвестными и подбирать их в процессе формирования модели трансформатора в программном комплексе по величине сопротивления нулевой последовательности.

2.4.4. Параметры при немагнитных крайних ветвях Матрица коэффициентов системы уравнений (2.8) для немагнитl ных крайних ветвей с учетом соотношений Rm 1 = Rm 5 = 1, Li,1 = Li,2 = Li,3 = Li выглядит следующим образом:

Магнитные сопротивления магнитных ветвей при немагнитных крайних стержнях могут быть определены следующим образом. При немагнитных крайних стержнях Rm1>>Rm2 (не менее чем в 100 раз) величина k72 приблизительно равна единице, поэтому I11 = I12 = I13 = где k a = 1.732 + 0.866k 72.

Из уравнения для мощности холостого хода получаются следующие соотношения:

При необходимости можно пересчитать магнитное сопротивление к эффективной динамической комплексной магнитной проницаемости:

Параметры короткого замыкания трансформатора позволяют определиться с активными и реактивными сопротивлениями решетчатой модели. Активные сопротивления катушек без особых погрешностей можно определить через активные мощности короткого замыкания. В случае двухобмоточного трансформатора рассеиваемые на отдельных обмотках мощности равны:

где Iн – номинальный ток первичной катушки (не обмотки!) трансформатора; U1, U2 – номинальные напряжения первичной и вторичной катушек.

В случае пятиобмоточного трансформатора (рис. 2.17) можно записать :

если S3 н S 2 н, или Предполагаются номинальные токи в той обмотке, к которой подводится напряжение в опыте короткого замыкания (всего достаточно пяти опытов короткого замыкания).

где Sjн – номинальные мощности обмоток. Если номинальные мощности отдельных обмоток меньше номинальной мощности первичной обмотки, то в опыте короткого замыкания соответственно уменьшаются токи первичной обмотки и в формулах вместо мощности первичной обмотки в уравнения подставлены соответствующие мощности вторичных обмоток.

Для последнего уравнения выбирается меньшая из величин S2н, S3н.

Рис. 2.17. Схема замещения пятиобмоточного трансформатора При приведении сопротивлений к напряжению первичной обмотки и переобозначении правых частей уравнений можно записать Система уравнений (2.15) дает следующие решения для сопротивлений:

Аналогичным образом можно определить реактивные сопротивления катушек:

- для двухобмоточного трансформатора - для пятиобмоточного трансформатора или X 23 ' = 1 23 ;

Вычисления по формулам (2.17) приводят к заметным погрешностям (порядка 5 % в токе и мощности короткого замыкания при задании напряжения короткого замыкания) из-за пренебрежения падением напряжения на активном сопротивлении. Снизить эти погрешности до величин порядка 1 % можно корректировкой напряжения короткого замыкания на падение напряжения на активном сопротивлении после вычисления активных сопротивлений следующим образом.

Напряжение на первичной обмотке при коротком замыкании вторичной равно где u12 ' – доля напряжения короткого замыкания за счет индуктивного сопротивления, которое и надо использовать в соотношениях (2.17). Отсюда можно получить Для вычисления элементов матрицы из параметров короткого замыкания потребуются параметры короткого замыкания первичной обмотки со всеми вторичными и короткого замыкания второй обмотки с третьей. Чтобы ввести возможность расчета на частотах, отличных от 50 Гц, необходим пересчет реактивных сопротивлений: X i, f = X i f / 50.

При контроле вновь создаваемой модели следует определять на основе расчета режима параметры холостого хода и короткого замыкания, а также сопротивления прямой и нулевой последовательностей при подаче на входы напряжений этих последовательностей. При коротком замыкании на одной из вторичных обмоток соответствующее сопротивление вычисляется как среднее значение из трех отношений напряжения на фазе первичной обмотки к втекающему току.

Параметры крайних немагнитных ветвей могут быть определены в простейшем варианте принятием равенства µ r1 = 1 с априорным заданием величин S1 и l1. Ожидать при этом совпадения сопротивления нулевой последовательности с некоторыми эталонными значениями не приходится, но для практического применения это решение позволяет подбирать площадь сечения и длину для совпадения получаемого сопротивления нулевой последовательности с заданным значением.

2.4.5. Параметры модели пятистержневого трансформатора Матрица коэффициентов системы уравнений может быть получена в предположении изготовления крайних стержней из того же материала, что и средние, но с возможно другой площадью сечения. В этом случае существуют следующие соотношения между магнитными сопротивлениями магнитных ветвей:

Матрица коэффициентов исходной системы уравнений, аналогичных (2.1), для магнитных крайних ветвей с учетом соотношений Магнитные сопротивления магнитных ветвей получаются из уравнений холостого хода:

Из уравнения для мощности холостого хода можно получить соотношения Вычисление активных сопротивлений и индуктивностей рассеивания аналогично предыдущему варианту и производится по формулам (2.16)…(2.17).

2.5. Особенности моделирования автотрансформаторов 2.5.1. Общие соображения моделирования Применение описанного выше подхода к моделированию автотрансформаторов имеет ряд особенностей, обусловленных гальванической связью первичной и вторичной обмоток. В случае автотрансформаторов возможны два следующих подхода:

1) две последовательно соединенные обмотки с определением их параметров через справочные данные;

2) две раздельные обмотки с общей точкой и с параметрами, определяемыми через справочные данные.

Второй путь является более простым, поскольку не требует переформирования модели, но обладает следующими недостатками:

• не позволяет правильно определять токораспределение внутри автотрансформатора;

• включение элементов R2, X2 выполняется последовательно с нагрузкой, а не последовательно с катушкой АХ.

К реализации принят первый подход, в котором от обычного трансформатора отличается только то, что параметры определяются не для первичной обмотки, а для двух последовательно включенных обмоток. Матрицы сопротивлений для однофазных и трехфазных автотрансформаторов существенно отличаются, поэтому далее они рассмотрены раздельно.

2.5.2. Однофазный автотрансформатор Уравнения электрического и магнитного состояний однофазного трехобмоточного автотрансформатора по рис. 2.18 имеют следующий вид:

Рис. 2.18. Схематическое изображение однофазного автотрансформатора Матрица коэффициентов может быть записана так:

При холостом ходе на автотрансформаторной обмотке имеют место следующие соотношения:

Для автотрансформатора с третьей обмоткой обычно имеются все напряжения короткого замыкания, а плотности тока в разных катушках в номинальных режимах можно считать одинаковыми. Эти положения позволяют определить оставшиеся параметры модели.

Режимы коротких замыканий описываются следующими уравнениями:

Из первой системы уравнений можно получить При умножении на сопряженный комплекс тока можно записать Напряжение короткого замыкания должно быть скорректировано для учета падения напряжения на активном сопротивлении:

Вторая система приводит к следующему уравнению связи параметров короткого замыкания:

При умножении на сопряженный комплекс тока можно получить После коррекции напряжения короткого замыкания можно записать Третья система уравнений дает аналогичные соотношения:

В предположении определяющего значения мощности третьей обмотки (номинальная мощность третьей обмотки меньше номинальной мощности второй обмотки) можно получить следующие уравнения:

Аналогичны уравнения и для реактивных сопротивлений:

Для двухобмоточного автотрансформатора соотношения проще:

2.5.3. Трехфазный автотрансформатор Предполагается, что для трехфазного автотрансформатора по рис.

2.19 приняты те же соглашения, что и для трехфазного трансформатора.

С учетом взаимозависимости магнитных потоков и напряженностей магнитного поля система уравнений состояния может быть записана следующим образом:

Рис. 2.19. Схематическое изображение трехфазного автотрансформатора Матрица коэффициентов системы с учетом соотношений сывается так:

Эта матрица остается такой же, как и для обычного трансформатора, что и определяет возможность не выделять автотрансформатор в отдельную группу элементов, если определить все коэффициенты системы уравнений. Номинальные напряжения задаются для отдельных катушек.

Параметры короткого замыкания можно определить так же, как и для однофазного автотрансформатора, с принятием фазных напряжений и делением мощностей на три:

При холостом ходе на первичной обмотке имеется симметричная система напряжений U 11 = U н ; U 12 = a U н ; U 13 = a U н ; a = e j120 ; U н – ноo минальное напряжение катушки. Уравнения для холостого хода совпадают с уравнениями обычного трансформатора за исключением разности напряжений в первом уравнении. При пренебрежении падениями напряжений на сопротивлениях катушек можно записать а оставшиеся соотношения для холостого хода отличаются от уравнений трансформатора заменой w11 на сумму w11 + w21.

Таким образом, можно записать где Px – активная мощность холостого хода, ix – ток холостого хода в процентах.

2.6. Моделирование асинхронной нагрузки 2.6.1. Основные положения моделирования По сравнению со статическими элементами асинхронный двигатель представляет собою более сложный объект. Несимметрия матрицы сопротивлений в фазных координатах приводит к невозможности прямого моделирования решетчатой схемой с RLC-элементами. Сложности связаны с наличием двух вращающихся магнитных полей (в прямом и в обратном направлениях). При несимметрии питающих напряжений в асинхронном двигателе протекают синусоидальные процессы на трех частотах: на частоте 50 Гц, частоте скольжения и на частоте порядка 100 Гц.

Достаточно хорошо изучено поведение асинхронного двигателя при симметричном трехфазном напряжении, когда двигатель может быть представлен однолинейной схемой замещения [52, 60, 224, 305]. Параметры схем замещения АД зависят от режима его работы: пуск или работа с малыми скольжениями. Кроме того, существует несколько вариантов схем замещения. С точки зрения расчетов режима в фазных координатах, когда нужно учитывать параметры двигателя при малых скольжениях и при скольжении, близком к 2 (режим электромагнитного тормоза), целесообразно сделать следующие допущения.

Во-первых, удобно воспользоваться схемой замещения асинхронного двигателя с выносом намагничивающей цепи на первичные зажимы по рис. 2.20а. Будем полагать, что при пуске и при скольжении порядка 2 (для напряжения обратной последовательности) схема замещения выглядит одинаково, но имеет разные параметры цепи ротора, рис. 2.20б. На рис.

2.20 показаны элементы ветви намагничивания Rµ, Xµ, сопротивления статора R1, X1, эквивалентные сопротивления ротора R2/s, X2, учитывающие потери в роторе и механическую нагрузку на валу, эквивалентную рассеянию энергии в элементе сопротивлением R2(1-s)/s, а также соответствующие пусковые параметры R2p/s, X2p; s – скольжение ротора.

Рис. 2.20. Схемы замещения в симметричных составляющих Во-вторых, предполагается, что в режимах пуска и электромагнитного тормоза (для обратной последовательности напряжений) квадрат реактивного сопротивления много больше квадрата активного сопротивления.

В-третьих, в отношении ветви намагничивания принят двойной подход. При известных параметрах холостого хода двигателя (cos х и активная мощность Pх) определяются параметры ветви намагничивания, а при неизвестных параметрах холостого хода ветвь намагничивания будет игнорироваться.

В-четвертых, определение параметров элементов схем рис. 2.20 производится на основе номинальных значений КПД, тока Г-образной части схемы замещения Iгн и cos н.