«ЭН ЕРГЕТИКА АТМОСФЕРЫ Перевод с английского под редакцией и с предисловием Л. Т. МАТВЕЕВА Ленинградский Гидрометеорологический ин-т БИБЛИОТЕКА Л-К 195196 Малоохтинский пр., SS | ГИДРОМЕТЕОИЗДАТ ЛЕНИНГРАД 1977 УДК ...»

Ж. Ван Мигем

ЭН ЕРГЕТИКА

АТМОСФЕРЫ

Перевод с английского

под редакцией

и с предисловием

Л. Т. МАТВЕЕВА

Ленинградский

Гидрометеорологический ин-т

БИБЛИОТЕКА

Л-К 195196 Малоохтинский пр., SS |

ГИДРОМЕТЕОИЗДАТ ЛЕНИНГРАД 1977

УДК 551_.5,1

Перевод с английского Ю. JI. Матвеева В монографии последовательно излагаются основы и современное состояние одного из наиболее важных разделов динамики атмосферы — учения об источниках и преобразовании энергии атмосферных процессов. В первой части монографии приведен вывод уравнений баланса различных видов энергии в жидкой среде вообще и в земной атмосфере в частности. Вторая часть посвящена анализу и упрощению уравнений баланса энергии применительно к конкретным системам движения. При этом наибольшее внимание уделено энергетике крупномасштабных процессов общей циркуляции атмосферы.

Книга представляет интерес для широкого круга специалистов — метеорологов, океанологов, гидромехаников, разрабатывающих проблемы динамики атмосферы и гидросферы Земли, а также для студентов и аспирантов университетов и гидрометеорологических институтов.

20807-151 © Oxford University Press, 069(02)-77 © Перевод на русский язык, Гидрометеоиздат, 1977 г.

Предисловие редактора Проблема источников и преобразования энергии в земной атмосфере, особенно если понимать ее достаточно широко, относится к числу наиболее важных проблем наук о Земле. Становится все более очевидным, что только на основе глубокого изучения энергетики атмосферных процессов можно наметить пути решения проблемы прогноза погоды, в том числе долгосрочного прогноза.

Предлагаемая вниманию читателя монография известного зарубежного ученого, крупного специалиста по динамике атмосферы Ж- Ван Мигема принадлежит к числу наиболее фундаментальных изданий последних лет. В ней последовательно излагается проблема переноса и преобразования различных видов энергии в земной атмосфере.

Основное внимание в монографии уделено обоснованию и анализу тех систем уравнений, с помощью которых описываются процессы преобразования энергии в жидкой среде вообще и в атмосфере Земли в частности. Общие вопросы этой проблемы рассматриваются в первой части монографии. Вторая, наиболее значительная по объему часть монографии посвящена анализу и упрощению уравнений баланса энергии применительно к конкретным системам движения атмосферы. При этом наибольшее внимание уделено энергетике крупномасштабных процессов, составляющих сущность общей циркуляции атмосферы.

Поскольку Ж- Ван Мигем понимает энергетику атмосферы достаточно широко, он рассматривает также движения малого и среднего масштаба, которые наиболее существенны для приземного и' пограничного слоев, а в случае развития конвекции и для свободной атмосферы.

Как указывает сам автор, в основе монографии лежит курс лекций, который он читал студентам университета, специализирующимся в области динамической метеорологии. Для систематического изучения одного из наиболее важных разделов динамики атмосферы — ее энергетики — и предназначается в первую очередь монография Ван Мигема. В этом смысле она выгодно отличается от некоторых монографий, которые перегружены многочисленными ссылками (нередко на работы третьестепенного характера), но лишены руководящей идеи и авторской оценки излагаемых вопросов.

6 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА

I Обобщению исследований по энергетике атмосферы уделялось внимание и в ряде работ, опубликованных до выхода в свет книги Ван Мигема. Однако это обобщение, как правило, сводилось к краткому изложению проблемы или же носило характер отступлений при рассмотрении основного вопроса.

Ближе других к монографии Ван Мигема стоит монография Э. Н. Лоренца «Природа и теория общей циркуляции атмосферы».

Более того, книгу Ван Мигема можно рассматривать как математическую основу для изучения богатой по содержанию монографии Лоренца, при чтении которой встречает затруднения даже подготовленный читатель.

В последние годы выполнено значительное, число исследований, в которых наряду с другими рассматривались и вопросы преобразования энергии. Это прежде всего численное моделирование общей циркуляции атмосферы, взаимодействия ее с океаном и формирования климата Земли, разрабатываемое в Советском Союзе и США. Большое внимание проблеме энергетики атмосферы уделяется в Программе исследований глобальных атмосферных процессов (ПИГАП) и в таких ее подпрограммах, как Комплексный энергетический (КЭНЭКС), Полярный (ПОЛЭКС) и Тропический (ТРОПЭКС) эксперименты. Проведение широких экспериментальных исследований поможет восполнить те пробелы в опытных данных, которые так необходимы для углубления теории общей циркуляции атмосферы, долгосрочных прогнозов погоды и колебаний климата.

Представляется, что монография Ван Мигема, в которой четко и последовательно обсуждены все основные вопросы сохранения и преобразования различных форм энергии в атмосфере, будет полезна не только для студентов и аспирантов, но и для исследователей, разрабатывающих наиболее актуальные проблемы физики и динамики атмосферы.

Л. Т„ Матвеев Предисловие к русскому изданию В монографии «Энергетика атмосферы» я стремился подчеркнуть большое значение энергетических процессов, связанных с полями скорости и температуры атмосферных систем движения.

В предисловии к монографии на английском языке я выразил надежду, что данный обзор современных знаний об энергетике атмосферы, будет полезен для студентов, активно изучающих динамическую метеорологию, и воодушевит многих из них на самостоятельные исследования в этой важной области атмосферных наук. В самом деле, мы нуждаемся в более глубоком понимании взаимосвязи динамики, термодинамики и энергетики процессов, происходящих в атмосфере.

Перевод монографии на русский язык расширяет сферу ее распространения и вселяет надежду на то, что значительно большее число молодых читателей приобщится к исследовательской работе в области атмосферной энергетики. По этой причине я • очень признателен проф. Л. Т. Матвееву, который взял на себя нелегкую задачу представить советскому читателю перевод монографии на русский язык.

Май 1976 г.

В предлагаемой вниманию читателей монографии предпринята попытка изложить современные представления об энергетике атмосферных движений.

Первая часть монографии содержит теоретические основы учения о процессах перехода энергии в атмосфере. На основе общих физических принципов уравнения энергии получены здесь в форме уравнений баланса.

Во второй части монографии рассмотрена энергетика атмосферных процессов различных пространственных и временных масштабов. Насколько позволяет современное состояние наших знаний, я попытался дать представление о взаимодействии систем движения различного масштаба.

В основу монографии положен курс лекций по механике атмосферы, который читался на протяжении последних десяти лет в Брюссельском университете и на семинаре отделения аэрологии Королевского метеорологического института Бельгии.

Чтобы избежать по возможности дублирования и пропусков, я переработал эти лекции, сохранив, однако, лекционный стиль и форму изложения.

Я надеюсь, что такого рода обзор энергетики атмосферных процессов будет полезен для хорошо успевающих студентов и побудит многих из них к самостоятельной исследовательской работе в этой фундаментальной области наук об атмосфере.

Большую помощь оказали мне профессора П. А. Шеппард, П. Дефризе и Ж- Ван Изакер. Их конструктивные предложения позволили существенно улучшить содержание книги. Приношу благодарность моим коллегам, которые были столь великодушны, что не пожалели времени и сил, чтобы прочесть первый вариант рукописи.

Я особенно благодарен всем авторам и издателям, которые разрешили мне процитировать их работы и воспроизвести иллюстрации. Особо следует указать, что некоторые из иллюстраций заимствованы из трудов Американского метеорологического общества (рис. 2а, 5, 9) и Чикагского университета (рис. 8).

Уккль Сентябрь 1971 г.

ЧАСТЬ I

Основные уравнения энергии Уравнения динамики и энергетики жидких систем можно привести к простому виду уравнения баланса. Этот вид позволяет наиболее прямо интерпретировать уравнения движения и cootветствующие энергетические процессы на основе понятий потока и скоростей образования и превращения энергии (см. главу 2).

Рассмотрим физические величины, которые входят в классические уравнения движения и энергии (см. главу 3) некоторого объема х атмосферного воздуха, а именно: плотность воздуха р, атмосферное давление р, абсолютную температуру воздуха Т, тензор Р вязких напряжений Навье-Стокса и скорость движения воздуха v по отношению к поверхности земли (скорость ветра). В действительности эти величины осреднены по пространственному и временному интервалам, которые несколько больше, чем средний путь пробега (Ю -5 см при нормальных условиях вблизи поверхности земли, 10~4 см на высоте 25 км, 10"а см на высоте 50 км и 10 см на высоте 100 км) молекул воздуха (линейный размер Ю -8 см) и среднее время между столкновениями молекул (10~10 с при нормальных условиях), но несколько меньше, чем линейные размеры и время существования наименьших из вихрей. Согласно Дридену [15], такие вихри имеют размер порядка 10~3 см и время существования порядка 10~3 с, однако по Хинце [30] при умеренных скоростях ( < 1 0 0 м-с - 1 ) минимальВВЕДЕНИЕ ные линейные размеры вихрей едва ли меньше 1 мм. На вихри такого размера преобладающее влияние оказывают молекулярные эффекты, поэтому движение в подобных вихрях не турбулентное, а вязкое. Кинетическая энергия еще более мелких вихрей столь мала, что ею можно пренебречь.

Другими словами, классические уравнения движения и энергии (см. главу 3) справедливы для масштабов, заключенных между молекулярным масштабом и размером наименьших вихрей.

Средние значения не зависят от размера пространственно-временной области, использованной при их определении, при условии, что размеры области заключены между молекулярным масштабом и размером наименьших вихрей. Физические величины, осредненные по такой области, входят в уравнения энергии, приведенные в главе 3. Эти уравнения описывают движение ламинарного вязкого потока (гладкие и квазипараллельные линии тока);

однако при осреднении физических величин по пространственному и временному интервалам,, которые больше, чем линейный размер и время существования наименьших вихрей, уравнения движения такого вида уже несправедливы. При отсутствии верхнего предела для размеров и времени существования вихрей средние значения перестают быть независимыми от масштабов осреднения.. При таких масштабах осреднения уравнения энергии,, приведенные в главе 3, уже несправедливы и не могут прямо использоваться при изучении энергетики атмосферы (см. главу 4), Пусть в момент времени t в жидкости- выделен объем г, масса которого М = | р dt. Обозначим через F произвольную велйх чину или свойство (масса, кинетическая энергия, внутренняя энергия и т. п.), характеризующие рассматриваемый объем в целом. Если dm — масса элементарного объема dx жидкости в момент времени t, то плотность р жидкости определяется с помощью соотношения dm = р dx, при этом р — функция времени и пространственных координат х1, хг, хя в системе координат, неподвижной относительно Земли. Аналогично, согласно определению, имеем: dF = f dm — fp dx, где dF — количество физической величины F, содержащееся в dx в момент t, a f — удельное (локальное) значение величины F\ f — функция t и эйлеровых переменных х1, х 2, х3. Непосредственно из определения следует интегральная форма величины F: F = j fp dx.

Ясно, что локальное изменение интегральной величины F за единицу времени равно разности между скоростью образования величины F в объеме т и скоростью оттока величины F через поверхность 0, ограничивающую объем т. Таким образом, интегральная форма уравнения баланса (сохранения) величины F имеет вид где C N (F) — составляющая потока С (F) величины F вдоль внешней нормали N к поверхности ст; 2 (F) — скорость образования ( 2 > 0) или уничтожения ( 2 < 0) величины F в единичном объеме. Величины С и 2 — функции эйлеровых переменных х1, х2, х3 и времени t. Поле вектора С характеризует переУРАВНЕНИЕ БАЛАНСА нос F в рассматриваемом объеме жидкости, а поле скалярной величины 2 (F) — пространственно-временное распределение источников и стоков величины F. Привлекая теорему Остроградского, уравнение (2.1) перепишем в виде [116, 117] Поскольку это уравнение справедливо для любого объема т, уравнению баланса можно придать также дифференциальную (локальную) форму Уравнение'баланса, подобное (2.2), можно установить также для векторной величины (количества движения, например; см.

п. 3.1) или тензора. В последнем случае поток представляет собой тензор на один порядок выше, а скорость образования — тензор того же порядка, что и рассматриваемая физическая величина.

Согласно уравнению баланса (2:2), скорость локального изменения величины р/ в неподвижной точке пространства определяется конвергенцией —div С (F) потока С (F) через поверхность единичного объема и скоростью 2 (F) образования F в том же единичном объеме. Поток С (F) перераспределяет по объему т величину F, образуемую со скоростью 2 (F)Во избежание недопонимания следует заметить, что если А — некоторый вектор и а = div А — скаляр, то замена потока С на С + А и интенсивности источника 2 н а 2 + а н е изменяет уравнения баланса (2.2). Таким образом, нельзя однозначно определить С (F) и 2 (F)- Если же, однако, выбор С (F) произведен, то 2 ' ( F ) определено однозначно. При выборе следует учитывать физический смысл F (см. главы 3 и 6).

В наиболее общем случае поток С (F) представляется в форме С (F) = p/v + С' (F), где p/v — конвективный поток и С' (F) — неконвективный поток величины F в жидкости. Вводя это выражение С (F) в уравнение (2.1), получаем Здесь два первых члена в правой части представляют количество физической величины F, переносимое через поверхность а объема т воздушным потоком (конвективный процесс) и процессами неконУ Р А В Н Е Н И Е БАЛАНСА вективного происхождения (радиационный перенос тепла; работа, совершаемая окружающей средой на границе механической системы, и др.). Много примеров уравнения баланса приводится в главах 3 и 6.

Интегральная физическая величина F консервативна в жидкой системе, если тождественно выполняется равенство где А — произвольный вектор. В самом деле, в этом случае количество р/ величины F в неподвижном единичном объеме изменяется только под влиянием втока и (или) оттока F через ограничивающую поверхность этого объема, причем поток через поверхность равен С + А, Следует заметить, что равенство 2 (F) =, есть достаточное, но не необходимое условие консервативности F (см. главу 18).

Классический пример уравнения баланса — хорошо известное уравнение неразрывности жидкости Для того чтобы можно было установить интегральную и дифференциальную формы (2.1) и (2.2) уравнения баланса физической величины F, объем т, занятый массой М, должен быть в момент времени t неподвижным по отношению к системе координат. Локальное изменение за единицу времени количества dF = = fp dx величины F, заключенного в элементарном объеме dx, в момент t выражается производной ( d / d t ) (dF) = ( d / d t ) ( f p ) dx;

здесь d/dt — оператор частного дифференцирования по времени t.

Теперь рассмотрим объем т, движущийся вместе с массой М жидкости и ограниченный поверхностью а. Индивидуальное изменение за единицу времени количества dF физической величины F, заключенного в элементарном объеме dx, который движется вместе с элементарной массой dm = р dx жидкости, выражается производной (d/dt) (dF) = (d/dt) (pf dx), где d/dt — оператор индивидуального дифференцирования по времени t. С учетом классиУРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ческого соотношения (d/dt) (dx) = (div v) dx уравнение неразрывности (2.4) можно записать в наиболее кратком виде Таким образом, или в развернутом виде где У — классический оператор набла или дельта-оператор (в декартовой системе координат проекциями символического вектора V служат д/дх1, д/дх2, д/дх3). Индивидуальная скорость изменения р (df/dt) величины F в единичном объеме складывается из локальной скорости изменения д (fp)/dt величины F в том же объеме и переноса величины F со скоростью p/v через ограничивающую единичный объем поверхность, которая в момент t предполагается неподвижной, так что р (df/dt) равно скорости образования F в единичном объеме при отсутствии неконвективных потоков.

Интегрируя (2.5) по объему т, получаем В частности, имеем dM/dt = dM/dt -f (j) puN do = 0. При взяc тии локальной производной dF/dt величина F — функция времени t в объеме т, неподвижном в момент t по отношению к системе координат; при определении индивидуальной производной dF/dt величина F — функция времени в объеме т, движущемся с жидкостью. Эти две производные равны между собой, если масса М составляет замкнутую систему (% = 0 всюду на поверхности а).

Энергетика ламинарного потока Основными уравнениями при изучении энергетических процессов в атмосфере, рассматриваемой как жидкая система, служат уравнение первого начала термодинамики, выражающее сохранение полной энергии замкнутой жидкой системы [см. уравнение (3.13)], и уравнение механической энергии [см. уравнение (3.4) или уравнение (3.12)], получаемое из уравнений движения жидкости (в форме Эйлера).

3.1. Уравнение механической энергии Используя введенные выше (см. главу,1) обозначения р, р, Р, v, обозначая через О угловую скорость вращения Земли и через ф геопотенциал (потенциальная энергия единичной массы воздуха), уравнение движения атмосферы в векторной форме можно записать в виде где d/dt = d/dt -f v-V — знак индивидуальной производной по времени. Атмосферные приливы исключены из рассмотрения, геопотенциал ф не зависит от времени. Преобразовав величину р (dv/dt) с учетом уравнения неразрывности (2.4), приведем уравнение (3.1) к виду уравнения баланса (2.2), а именно где 8 — тензор Кронекера. Локальную форму (3.2) уравнения баланса количества движения М = j pv dx жидкости, заключенной в объеме т, можно интерпретировать следующим образом.

Местное приращение количества движения за единицу времени в единичном объеме вызвано конвергенцией потока pvv pb — Р, втекающего через поверхность рассматриваемого единичного объема, и образованием количества движения в том же объеме

ЭНЕРГЕТИКА ЛАМИНАРНОГО ПОТОКА 3.4.

со скоростью —р Уф — 2ft X pv; здесь —р Уф и —2ft х pv — соответственно сила тяжести и кориолисова сила, действующие на единичный объем. В данном случае имеем f = v, / = М, С (М) = pvv + pb — Р и 2 (М) = —р Уф — 2ft х pv; тензор pvv определяет конвективный поток и тензор р8 — Р — неконвективный поток количества движения М. Следует заметить, что поток С (М) включает не только количество движения, переносимое движущейся жидкостью (конвективный поток pvv), но также внутренние напряжения в жидкости (неконвективный поток /?8 — Р ) и количество движения, производимое внешними силами (притяжение Земли) и инерционными силами (кориолисова и центробежная силы, порожденные вращением Земли).

В декартовой системе координат х1, х2, х3 тензор напряжений Р имеет компоненты Рц = Р}1 = 2р g- Ьиекк j, где бц — компоненты тензора Кронекера 8 (б г/ = 0 при i ф j и б fj = 1 при i = /), р, — коэффициент вязкости (порядка Ю - 4 г-см - 1 -с" 1 в нижней атмосфере), есть компоненты симметричной части тензора сдвига Vv; v1, v2, v3 — проекции скорости v; V — знак вектора, проекции которого равны д/дх1, д/дх2, д/дх3. Коэффициент кинематической вязкости г) = (х/р увеличивается с ростом среднего свободного пути молекул и средней скорости их движения. В атмосфере этот коэффициент имеет порядок 10"1 см 2 -с - 1 вблизи уровня моря, 10° в слое 15—20 км, 10 в слое 30—40 км и 104 в слое 80—90 км.

Легко доказывается, что В формуле (3.3) повторение индексов i и j обозначает суммирование по этому индексу.

Умножая скалярно уравнение (3.1) на скорость v, получаем хорошо известное уравнение механической энергии v2 — кинетическая энергия единичной массы воздуха.

где k = Из уравнения (3.4) следует, что скорость индивидуального увеЭНЕРГЕТИКА ЛАМИНАРНОГО ПОТОКА работе, совершаемой за единицу времени силой давления —Vp и силой вязкости div Р (все величины отнесены к единичному объему).

3.2. Поток механической энергии Путем добавления уравнения неразрывности (2.4) уравнению (3.4) можно придать вид уравнения баланса [см., например, уравнение (3.12)], но это уравнение может иметь различную математически эквивалентную форму [как следствие тождества (3.6), например, см. также конец п. 3.4]. Физические соображения позволяют, однако, выбрать ту или иную форму. Рассмотрим единичный объем воздуха. Работу, совершаемую за единицу времени окружающим воздухом на границе выделенного единичного объема, можно представить в хорошо известной дивергентной форме Эту работу можно, таким образом, интерпретировать как конвергенцию потока ^ механической энергии [117, 129].

Поверхностная работа (3.5) давления р и вязких напряжений Р представляет собой приток механической энергии к рассматриваемому единичному объему из окружающей среды.

Только часть механической энергии переходит в кинетическую энергию. Сравнивая тождество с уравнением (3.4), легко устанавливаем, что такой частью служит выражение т. е. работа, совершаемая за единицу времени градиентом давления —Vp и силой вязкости div Р. Оставшаяся часть представляет собой работу, затрачиваемую на расширение (div v > 0) или capma-i-div v V v. (3.8) Левая часть этого уравнения представляет собой разность между скоростью индивидуального изменения в единичном объеме механической энергии и притоком (3.5) механической энергии к рассматриваемому* единичному объему за единицу времени. На основе первого начала термодинамики эта разность должна быть равна количеству тепла рQ, получаемому единичным объемом за единицу времени,, за вычетом приращения внутренней энергии р (de/dt); здесь, как и всюду, е — внутренняя энергия единичной массы. Следуя [114], можно записать или Из этого уравнения следует, что выражение (3.7) представляет собой скорость, с которой механическая энергия К - \ - Ф переходит во внутреннюю энергию Е = j ре dx.

Следует отметить существенную разницу' между основными уравнениями энергии (3.4) и (3.9): скорость индивидуального изменения механической энергии k -f- ф зависит от скорости движения v и распределения в пространстве давления р и составляющих тензора вязких напряжений Р [см. уравнение (3.4)];

в то же время скорость индивидуального изменения внутренней энергии е зависит от давления р, составляющих тензора Р и распределения в пространстве скорости движения v (расширениеили сжатие, div v > 0 или div v < 0, и деформация воздушного потока, рассматриваемого как сплошная среда [см. уравнение (3.9)]. Скорость притока тепла к единичному объему можнопредставить в виде где W — поток тепла, обусловленный теплопроводностью и' радиацией. Второй из этих двух процессов играет более важную роль; исключение составляет очень тонкий слой вблизи земной поверхности, в котором значение теплопроводности больше, чем радиации (см. главу 9).

3.4. Уравнения баланса энергии Вставляя (3.10) в (3.9) и объединяя уравнение неразрывности (2.4) с уравнениями (3.8) и (3.9), получаем уравнение баланса внутренней энергии 1117, 129] н уравнение баланса механической энергии [117, 129] Поскольку правые части уравнений (3.11) и (3.12) отличаются лишь по знаку, полная энергия k + ф -j- е единичной массы воздуха удовлетворяет уравнению баланса такого же типа, как и классическое уравнение неразрывности (2.4), а именно Последнее уравнение показывает, что единственным процессом, под влиянием которого изменяется в неподвижном объеме полная энергия К + Ф + Е, служит вток или отток энергии через поверхность этого объема. Уравнение (3.13) выражает принцип •сохранения полной энергии К + Ф + Е в механически и термически изолированной системе.

Уравнения баланса (3.11) и (3.12) можно истолковать так.

1. Локальное изменение внутренней энергии за единицу времени в неподвижном единичном объеме обусловлено конвергенцией потока энергии втекающей через границу объема, и переходом механической энергии во внутреннюю со скоростью (3.7)

ЭНЕРГЕТИКА ЛАМИНАРНОГО ПОТОКА 3.4.

2. Локальное изменение механической энергии (k -j- ф) за единицу времени в неподвижном единичном объеме определяется конвергенцией потока энергии втекающей через границу объема, и переходом внутренней энергии в механическую со скоростью Член P-Vv всегда положителен. Интегрируя уравнения (3.11) и (3.12) по некоторому конечному объему т, получаем:

или с учетом (2.6) Здесь a — поверхность объема т; индекс N обозначает составляющую вектора вдоль внешней нормали к а. Уравнения (3.11') и (3.12') можно интерпретировать так:

1) скорость локального изменения внутренней энергии Е в неподвижном объеме т определяется потоком внутренней энергии из окружающей среды внутрь объема через поверхность сг, потоком тепла через ту же поверхность и процессами, протекающими внутри выделенного объема т;

2) скорость локального изменения механической энергии в неподвижном объеме т определяется потоком механической энергии через поверхность а из окружающей объем т среды, работой, совершаемой той же средой на поверхности а, и процессами, протекающими внутри объема т.

ЭНЕРГЕТИКА ЛАМИНАРНОГО ПОТОКА

Складывая уравнения (3.11') и (3.12'), находим уравнение баланса прлной энергии К -\-Ф Е в объеме % [20]:

или с учетом (2.6) Изменение полной энергии в объеме т складывается из: а) потока полной энергии через поверхность а, поступающей в объем т из окружающей среды; б) потока тепла через ту же поверхность а;

в) механической энергии, поступающей в объем т под влиянием работы, совершаемой средой на поверхности а.

Сравнивая уравнения баланса энергии (3.1Г), (3.12') и (3.13'), нетрудно установить, что энергетические процессы, происходящие внутри воздушной массы, представляют собой процессы перехода внутренней энергии Е в механическую энергию К + Ф и наоборот.

Воздушная масса, ограниченная поверхностью а, представляет замкнутую систему, если vN = 0 в каждой точке а в любой момент времени t. Однако и при выполнении этого условия масса взаимодействует со средой вследствие наличия молекулярной диффузии, выпадения осадков и турбулентности [20]. Влияниемолекулярной диффузии пренебрежимо мало в атмосфере ниже примерно 100 км. Эффектом выпадения осадков также пренебрегаем, хотя некоторые соображения о роли фазовых переходов, воды в атмосфере и будут приведены несколько позже (см. главу 7).

Энергетика же турбулентного потока детально рассматривается в нескольких главах книги (см. главу 6 и часть II).

Возвратимся к тождеству (3.6). Рассматривая один лишь вязкий член, имеем тождество где, согласно (3.3), (3.4), (3.8) и (3.9), произведение — v - d i v P представляет количество механической энергии, уничтожаемой вязкостью в единичном объеме за единицу времени; слагаемое Р-Vv ( > 0 ) — количество механической энергии, переходящей под влиянием вязкости в тепло; и слагаемое div ( — P - v ) —

ЭНЕРГЕТИКА ЛАМИНАРНОГО ПОТОКА

отток механической энергии из того же единичного объема за • единицу времени. Тождество (3.6') показывает, что уничтожаемая вязкостью механическая энергия, которая не успевает перейти в тепло, выносится наружу через границу объема, при этом поток.энергии равен — P - v. Следует заметить, что — v - d i v P > 0, если конвергенция {div (-P-v) < 0} потока энергии — P - v под влиянием вязкости не перекрывает скорости превращения -{P-Vv > 0} механической энергии в тепло. Такое особое состояние может наблюдаться только в некоторых местах жидкости.

Если теперь в соотношении (3.6) рассмотреть только те члены,.которые содержат давление, то получим тождество ;где p div v ( ^ 0 ) представляет собой количество внутренней энергии (тепла), переходящей в единичном объеме за единицу. времени в механическую энергию; —v • Vp — количество механической энергии, производимой в том же единичном объеме и за единицу времени силой давления —Vp, действующей на единичный объем; div pv — отток механической энергии из единичного объема за единичный интервал времени. Тождество •(3.6") показывает, что количество внутренней энергии, превращающееся в единичном объеме за единицу времени в механическую энергию вследствие расширения воздуха, но не способствующее индивидуальному приращению механической энергии воздуха, переносится наружу из единичного объема через его границу; этот перенос представлен потоком энергии pv.

С математической точки зрения в правых частях уравнений баланса (3.11) и (3.12) присутствует некоторая неопределенность.

В самом деле, добавление произвольного члена к каждой из •скоростей превращения р div v и P - V v не изменяет правых частей этих уравнений. Поэтому определение скоростей превращения должно опираться на физические аргументы, иначе говоря, -скорости превращения должны быть увязаны с хорошо определенными физическими процессами [41]. Физические процессы можно описать в общих чертах следующим образом.

1. Скорость р div v ( § 0 ) обратимого адиабатического превращения внутренней энергии в механическую представляет -собой работу, совершаемую за единицу времени и в единичном объеме против давления р расширяющегося воздуха (давление р направлено внутрь объема, на который оно оказывает воздействие). Знак скорости превращения р div v зависит от того, •будет ли поток воздуха расширяться (div v > 0) или сжиматься -(div v < 0).

ЭНЕРГЕТИКА ЛАМИНАРНОГО ПОТОКА

2. Скорость P - V v [ > 0, см. формулу (3.3) ] необратимогонеадиабатического превращения механической энергии во внутреннюю представляет собой работу (за ту же единицу времени и в единичном объеме) вязких напряжений в движущемся воздухе при наличии сдвига скорости Vv. В движущейся жидкости скорость превращения P - V v всегда положительна; это указывает на то, что потери механической энергии за счет трения всегда связаны с превращением механической энергии во внутреннюютепло) со скоростью P - V v. Привлекая уравнение баланса потенциальной энергии [117, 129] полученное из очевидного тождества р (dxp/dt) =gpw, уравнение (3.11) можем преобразовать в уравнение баланса так называемой полной потенциальной энергии е + ф [50] (см. п. 14.1)' а уравнение (3.12)—-в уравнение баланса кинетической энергии Здесь, как обычно, g — ускорение свободного падения; w — вертикальная составляющая скорости движения; gpw — работа, совершаемая за единицу времени против силы тяжести единичным объемом воздуха, или индивидуальная скорость возрастания потенциальной энергии в единичном объеме 'воздуха [см. уравнение (3.14)].

Движение вверх или вниз преобразует потенциальную энергию в кинетическую энергию k или кинетическую энергию в потенциальную. Эти процессы являются обратимыми и адиабатическими. Из уравнений (3.14) и (3.16) следует, что кинетическая энергия является единственным непосредственным источником или стоком потенциальной энергии.

Энергетические уравнения (3.15) и (3.16) можно проинтерпретировать так же, как уравнения (3.11) и (3.12).

1. Кинетическая энергия pk фиксированного единичного объема!

изменяется под влиянием конвергенции потока энергии

ЭНЕРГЕТИКА ЛАМИНАРНОГО ПОТОКА 3.4.

через границу этого объема и образования энергии в этом объеме со скоростью Таким образом, образование кинетической энергии складывается в действительности из двух процессов: а) превращения внутренней энергии е в кинетическую энергию k со скоростью р div v — — P - V w И б) превращения потенциальной энергий ф в кинетическую энергию со скоростью —gpw.

2. Полная потенциальная энергия р (ф -\-е) фиксированного единичного объема изменяется под влиянием конвергенции потока энергии через границу этого объема и образования энергии в этом объеме •со скоростью Выше было отмечено, что на основе уравнения энергии (3.4) можно получить различного вида уравнения баланса. В самом деле, подстановка тождества (3.6) в уравнения баланса (3.11) и (3.12) приводит эти уравнения к виду Система уравнений (3.11) и (3.12) эквивалентна системе уравнений (3.11") и (3.12''). Ясно, что добавление некоторого вектора, дивергенция которого равна нулю, к вектору потока в левой части уравнения баланса не изменяет этого уравнения. В более общем случае добавление произвольного вектора к вектору потока не изменит уравнения баланса при условии добавления дивергенции этого произвольного вектора к правой части того же уравнения (см. главу 2). Принятие уравнений (3.11) и (3.12) и отказ от (3.11") и (3.12") или любых других эквивалентных систем уравнений баланса основаны на том факте, что передача механической энергии от окружающей среды к рассматриваемому единичному объему воздуха происходит вследствие конвергенции потока механической энергии pv — P-v. Следовательно, этот поток энергии должен присутствовать в уравнении механической энергии и отсутствовать в уравнении баланса внутренней энергии.

ЭНЕРГЕТИКА ЛАМИНАРНОГО ПОТОКА

Правые части уравнений (3.11)—(3.16) представляют собой скорость образования соответственно внутренней энергии (е), механической энергии (k -\-ф), полной энергии (k -j- Ф + е)»

потенциальной энергии (ф), полной потенциальной энергии (ф + е) и кинетической энергии (к)- Члены gpw ( ^ 0 ), р div v ( ^ 0 ), P - V v ( > 0 ) входят в каждую из скоростей по одному разу и повторяются дважды с противоположными знаками. Из этого обстоятельства и того факта, что каждый член описывает хорошо известный процесс, следует, что эти три члена можно рассматривать как скорости превращения трех видов энергии (е, k и ф) друг в друга [51, 52, 117, 119, 121, 122, 129], при этом скорость образования полной энергии е + ф равна нулю [см. уравнение (3.13)].

3.5. Выбор системы координат В динамической метеорологии в качестве абсолютной системы координат принимается геоцентрическая система, начало координат которой совпадает с центром массы Земли и которая сориентирована таким образом, что видимые звезды неподвижны относительно нее. Относительная система координат движется по отношению к абсолютной; следовало бы специально [115] предположить, что это движение представляет собой вращение твердого тела с переменной угловой скоростью Q = Q (t) относительно оси а, неподвижно закрепленной в абсолютной системе координат. Д л я простоты в качестве абсолютной возьмем декартову систему координат X YZ, в качестве относительной -— другую декартову систему координат xyz. Д л я того чтобы описать движение жидкости в этих двух координатных системах, обозначим через V абсолютную скорость элемента жидкости в произвольной точке А в любой момент времени t, а через v относительную скорость в той же точке и в тот же момент времени. Хорошо известно, что Здесь R — А'А; А'—ортогональная проекция А на ось вращения a; Q = Q (t) — переменная угловая скорость вращения системы координат xyz относительно системы координат XYZ.

Теперь введем дифференциальные операторы

ЭНЕРГЕТИКА ЛАМИНАРНОГО П О Т О К А 3.4.

где Vx, Уу, Vz — проекции скорости V в абсолютной системе координат; vx, vy, vz — проекции скорости v в относительной -системе координат. Эти дифференциальные операторы позволяют оценить скорость индивидуального изменения любой величины вдоль абсолютной и относительной траектории движения соответственно. Во избежание недоразумений следует подчеркнуть, что локальные производные по времени в правых частях операторов DIDt и d/dt означают не одно и то же: локальная производная по времени d/dt в первом операторе представляет собой частную производную по времени при закрепленных пространственных координатах X, Y, Z; во втором же операторе пространственные переменные х, у, z предполагаются закрепленными, когда берется частная производная по времени. Применительно к скалярной и векторной величинам имеем соответственно Подстановка (3.17) в (3.19) дает соотношение где DV/Dt — абсолютное ускорение жидкого элемента в точке А з момент времени t; dv/dt — соответствующее относительное ускорение; О' — производная от Я по времени t.

Уравнение неразрывности в абсолютной и относительной •системах координат имеет форму уравнения (2.4), а именно тде р 1 — плотность жидкости, представленная как функция переменных X, Y, Z и t\ р — т а же самая плотность, выраженная как функция переменных х, у, zut. Поскольку div (ft X R) = = 0, то с учетом соотношений (3.17) и (3.18) можем заключить, что две формы уравнения неразрывности одинаковы.

ЭНЕРГЕТИКА ЛАМИНАРНОГО ПОТОКА

В абсолютной системе координат XYZ уравнение движения в векторной форме имеет вид

ЭНЕРГЕТИКА ЛАМИНАРНОГО ПОТОКА 3.4.

при этом считается справедливым (3.27). Вычитая левые и правые части уравнений (3.28) и (3.28') и принимая во вниманиесоотношения (3.17), (3.22) и (3.26), находим Из уравнений движения (3.23) и (3.23') и соответствующих механической энергии уравнений (3.28) и (3.28') следует, что кинетическая энергия и потенциальная энергия единичной массы имеют разные выражения в системах координат XYZ и xyz:

они равны W 2 и ф(0> в абсолютной и v 2 /2 и ф в относительной системе координат соответственно.

На основе первого начала термодинамики, записанного для единичного объема движущейся жидкости, получаем уравнение баланса энергии в системе координат XYZ:

Согласно этому уравнению, в абсолютном пространстве скорость индивидуального изменения полной энергии, заключенной в единичном объеме, равна притоку энергии к этому объему. Приток энергии к единичному объему складывается из притока тепла P l Q (Q — приток тепла к единице массы, выраженный как функция переменных X, Y, Z и t) и работы div (—PV + P - V ), совершаемой окружающей средой на границе того же единичного объема.

Привлекая соотношение (3.17) и учитывая равенства (3.25) и (3.26), а также тождества div (й X R) Е 0 и Р - V (Q X R) = (последнее тождество — следствие симметрии тензора Р ), можем записать div(— PV + P-V) = div(— pv + P - v ) + (—Vp + divP)-(Q x R).

Сравнивая теперь (3.31) и (3.29), находим Принимая во внимание (3.18), (3.22) и (3.32), уравнение (3.30) запишем в виде Главный вывод, вытекающий из первого начала термодинамики, состоит в том, что удельная внутренняя энергия в(а) зависит только от параметров состояния (давления, плотности,...). Поскольку эти параметры — скалярные величины, то где слева и справа мы имеем одинаковые функции давления Р или р, плотности P l или р,...

Если приток тепла Q (к единичной массе за единицу времени) обусловлен неконвективным потоком тепла W (под влиянием радиации или/и теплопроводности), то где q — приток тепла к единичной массе, выраженный как функция переменных х, у, z и t; поток W одинаков в системах координат XYZ и xyz.

С учетом соотношений (3.34), (3.35) и (3.36) уравнение (3.33), выражающее первое начало термодинамики для движущейся жидкости, в системе координат xyz принимает следующий окончательный вид:

равномерно распределяется между тремя составляющими скорости, а корреляция между ними практически отсутствует. Эти вихри вносят почти одинаковый вклад в кинетическую энергию турбулентного движения в вертикальном и в двух взаимно перпендикулярных горизонтальных направлениях; более того, они не способны переносить импульс, а также и тепло (поскольку отсутствует корреляция между температурой Т и вертикальной скоростью w).

Энергия поступает в атмосферу через посредство вихрей, принадлежащих к долгопериодному участку микромасштабной области, точнее, к той подобласти, в которой турбулентность уже неизотропна, а статическая устойчивость играет определяющую роль. Этот низкочастотный (долгопериодный) участок микромасштабной области называют микрометеорологической областью, в которой период турбулентных пульсаций изменяется на высоте 100 м над поверхностью земли от 4 с до 5 мин (0,01 < < / < 1). Вихри с локальным временем жизни, скажем, 30 с (—10~2 ч) на высотах не более 100 м, вероятно, имеют динамическое происхождение; другими словами, механическая турбулентность, кажется, преобладает при движениях с периодами менее 30 с [64, 65]. Для таких вихрей отношение кинетической энергии вертикального турбулентного движения к кинетической энергии среднего горизонтального движения со скоростью U постоянно и не зависит от притока солнечной радиации (т. е. условий устойчивости). На суше наблюдается четко выраженная корреляция между статической устойчивостью и притоком солнечной радиации: с увеличением притока (т. е. нагревания земной поверхности) вертикальный градиент температуры вблизи земли увеличивается, приводя к постепенному ослаблению статической устойчивости нижнего слоя тропосферы в дневное время (минимум устойчивости или даже неустойчивость наблюдается после полудня). Н а д морем суточные колебания температуры воздуха вблизи водной поверхности едва заметны. Суточные колебания температуры воздуха в верхней части нижнего (достаточно влажного) слоя тропосферы в основном контролируются радиацией, здесь воздух нагревается в течение дня и охлаждается ночью. По этой причине наибольшие значения вертикального градиента температуры вблизи поверхности моря наблюдаются в конце ночи или ранним утром.

На вихри с периодом колебаний больше 10"2 ч оказывает влияние плавучесть (определяющий фактор термической турбулентности), а отношение кинетической энергии вертикального турбулентного движения к кинетической энергии среднего движения (со скоростью U) на суше с увеличением притока солнечной радиации растет [64, 65]. Более того, при неустойчивом состоянии, когда особенно велик приток солнечной радиации, вертикальный размер вихрей становится больше их горизонтального размера [70]. В случае сильного притока солнечной радиации вихри высокие, а при слабом притоке они низкие и широкие.

Период колебаний вихрей при максимуме кинетической энергии вертикального движения не превышает нескольких секунд; это локальное время существования вихрей и соответствующий размер вихрей увеличиваются при ослаблении статической устойчивости и увеличении высоты. Отношение коэффициента корреляции между вертикальной и горизонтальной составляющими скорости ветра к кинетической энергии вертикального движения растет при увеличении вертикального сдвига ветра и падает при уменьшении периода [64]; это указывает на то, что перенос импульса по вертикали ослабевает при уменьшении масштаба (тенденция в сторону изотропности). Не наблюдается резких различий между двумя турбулентными режимами: вынужденная конвекция (механическая турбулентность) постепенно трансформируется в свободную конвекцию (термическую турбулентность) примерно при f 0,3 (см. рис. 1). В случае горизонтального движения, однако, переход осуществляется при больших значениях периода, чем в случае вертикального движения.

Наконец, следует заметить, что кинетическая энергия вертикального турбулентного движения резко падает при увеличении размера и времени существования вихрей, благодаря чему вихри микрометеорологической области вносят значительный вклад в общую турбулентную кинетическую энергию вертикального движения [11, 64, 65, 69]. Если на суше приток солнечной радиации незначителен ( < 0, 2 к а л - с м - 2 - м и н - 1 ), максимальное значение турбулентной кинетической энергии вертикального движения 4.3.

ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ

достигается при значении безразмерной частоты /, примерно равном 0,5 (см. рис. 1). Когда приток солнечной радиации на суше велик ( > 1 к а л - с м - 2 - м и н - 1 ), этот максимум больше и достигается при меньшем значении безразмерной частоты (0,1 < f < 0,2).

В случае горизонтального турбулентного движения, однако, кинетическая энергия вихрей микрометеорологической области составляет лишь малую часть общей турбулентной кинетической энергии горизонтального движения (табл. 1; см. рис. 2а и 26).

Вязкая подобласть Отношение турбулентной кинетической энергии к кинетической энергии среднего движения несколько больше в континентальном воздухе, чем в морском.

4.5. Макромасштабная область турбулентности Амплитуда вертикальной скорости w' турбулентного движения растет не только вследствие ослабления статической устойчивости и увеличения высоты над поверхностью земли, но также и в результате уменьшения размеров вихрей. Эффективное перемешивание — существенная черта лишь вихрей малого и среднего размера. Таким образом, вертикальная скорость малых вихрей, относящихся к микрометеорологической области, как правило, много больше вертикальной скорости вихрей, относящихся к макрометеорологинеской области (вихри с горизонтальными размерами от 106 до 107 м и временем существования от полусуток до нескольких дней). В то же время пульсации горизонтальной Аналогично, используя (5.21) вместе с (5.24), имеем откуда Вновь возвращаясь к соотношениям, определяющим X' и X ", находим 5.3.

СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ И ФЛУКТУАЦИИ

Наконец, легко показать, что Формула (5.28) получается в результате подстановки в соотношение (5.3) вместо X величины X с учетом (5.13); формула (5.29) может быть получена из соотношений (5.13), (5.28) и (5.2), а формула (5.30) — из (5.29) после подстановки Y - р Y" вместо Y в левую часть соотношения (5.30).

5.3. Осреднение по Рейнольдсу Среднее значение величины X (s) для интервала введено Рейнольдсом [76] с помощью классической формулы В более общем случае среднее значение величины X (х1, х 2, х3, t) для определенной области четырехмерного пространства (х1, х 2, х 3, t) представляет собой многократный интеграл от X, поделенный на размер области.

Средние значения, введенные Рейнольдсом, удовлетворяют постулатам (5.1) и (5.3) и не удовлетворяют постулату (5.2), если только X не является постоянной величиной, линейной или периодической функцией переменных, по которым проводится интегрирование (в последнем случае интервал интегрирования должен быть кратным -периоду). Если же, однако, среднее значение X изменяется в выбранной области почти линейно, то в первом приближении выполняется и постулат (5.2), и наиболее важное следствие (5.6), вытекающее из него. Следует обратить внимание на то, что если область интегрирования выбирается

5.3. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ И ФЛУКТУАЦИИ

так, как описано в п. 4.1, то изменение X в этой области стольмало, что, по крайней мере в первом приближении, постулат (5.2)' оказывается справедливым. В некоторых случаях X не зависиг от переменных интегрирования. Например, метеорологическиевеличины, как правило, практически не зависят от времени при условии, что период осреднения достаточно велик (но, конечно,, не слишком велик). Если осреднение проведено по кругу широты:

(зональные средние) или по всей горизонтальной поверхности (практически по сфере, концентрической с поверхностью земли),, то средние значения не зависят от долготы X в первом случае и от долготы X и широты ф во втором. Средние значения, не зависящие от переменных интегрирования, удовлетворяют постулатам (5.1)—(5.3); такие средние наиболее часто используются в динамической метеорологии.

В теории турбулентности при изучении процессов, временной масштаб которых порядка суток, средние значения метеорологических величин (температуры, влажности, ветра), измеряемых в приземном слое, определяют для периодов осреднения, колеблющихся между 5 мин на высоте 1 м и 1 ч на высоте 100 м над.

поверхностью земли [69]. В мелкомасштабной области спектраатмосферных движений турбулентные флуктуации в неподвижной точке так быстротечны, что период осреднения можно взять, очень коротким, вследствие чего времениьге средние можно считать не зависящими от времени.

При изучении общей Циркуляции систематически используются средние зональные значения. Общепланетарную циркуляциюатмосферы можно рассматривать как круговой вихрь, ось которого совпадает с осью вращения Земли; введение средних зональных значений при изучении такой циркуляции следует признать, совершенно естественным. Более того, в этих случаях рассматриваются контрасты метеорологических величин (например, температуры) на горизонтальных поверхностях. Поэтому необходимо ввести понятие о флуктуациях метеорологических величин по отношению к средним значениям их на горизонтальной:

поверхности.

Формулы при этом /ц г — dHJdmt.

Из закона Гиббса следует, что К = — Н должна быть однородной функцией первого порядка в отношении т, отсюда К = = mk, где k — величина, не зависящая от массы смеси. Поэтому Вставляя h% = h + k в рh^v", получаем поскольку pv" = 0.

В заключение остановимся еще раз на выборе среднего значения v. В п. 5.2 было показано, что v = v + v'; при этом pv' = = p'v' = p'v". Отсюда средний турбулентный поток воздуха через-, поверхность а, движущуюся со скоростью v, равен J p'u'n da.

Следует, однако, подчеркнуть, что скорость v не определяет движения жидкости по той причине, что она не удовлетворяет уравнению неразрывности. Отметим тождество v " + v' н 0. Если v = О (такое условие часто принимается в теории мелкомасштабной турбулентности, по крайней мере в отношении вертикальной скоростиw в пограничном слое), то среднее движение определяется v' = = p'v'Vp. В самом деле, согласно (5.49) и (5.20), состоит только из турбулентного движения: v = v'. В общем случае (v Ф 0) осредненная скорость v' представляет вклад турбулентного движения в среднее взвешенное движение v:

Эта формула показывает, что конвективный перенос массы pv можно разделить на две части: на не зависящую от плотности и флуктуаций скорости и на зависящую от корреляции между этими двумя величинами. Вклад турбулентных движений в средний 5.3.

СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ И ФЛУКТУАЦИИ

конвективный перенос массы определяется векторами p'v' или p'v" [12, 32, 89, 90]. Если же, однако, турбулентное движение настолько хаотичное, что корреляция между полями массы и скорости отсутствует (p'v" = 0), то среднее движение полностью независимо от турбулентного движения. В этом частном случае Ф 0 и отсюда, как правило, pv ф 0. Если v = 0, то Проиллюстрируем это соотношение двумя типичными примерами. Если путь смешения турбулентных вихрей так мал, что можно не считаться с влиянием силы тяжести на них, то p'w' = p'w" = = p'w > 0 при условии, что стратификация средней плотности удовлетворяет (как в атмосфере) неравенству (—1/р) (др/дг) > > 0, где г — вертикальная координата, направленная вверх.

В самом деле, в этом случае более легкие вихри (р' < 0) приходят сверху (w < 0), а более тяжелые (р' > 0 ) — снизу (w > 0), так что под влиянием корреляции между плотностью и вертикальной скоростью возникает конвективный поток массы, направленный вверх [см. п. 9.2, формула (9.6)]. Если же, с другой стороны, путь смешения вихрей становится настолько значительным, что пренебрегать эффектом плавучести нельзя, то p'w" = p'w < 0, поскольку более легкие вихри (р' < 0) имеют тенденцию подниматься (w > 0), а более тяжелые (р' > 0 ) — опускаться. В этом случае средний конвективный поток массы направлен вниз [см.

п. 10.1, формула (10.4)].

Энергетика турбулентного потока Следуя методу, впервые примененному Рейнольдсом (1895 г.) [76] для изучения однородной и несжимаемой жидкости, можно установить' два уравнения, аналогичные уравнению (3.4): одно — для кинетической энергии km — -g- (v) a среднего движения, другое — для среднего значения турбулентной кинетической энергии (v")2> а также уравнение, аналогичное (3.9), для средней внутренней энергии е [3, 4, 5, 10, 20, 23, 41, 51, 52, 116, 117, 119, 121, 122, 129]..

6.1. Уравнение баланса кинетической энергии среднего движения Уравнение для km можно получить из уравнений среднего движения Эйлера посредством умножения векторной формы этих уравнений на среднюю скорость движения. Для того чтобы получить уравнение Эйлера в векторной форме для среднего движения р, v, р, Р, необходимо осреднить обе части уравнения (3.2); в результате получаем уравнение среднего движения в форме баланса Объединяя (6.1) с уравнением неразрывности (5.49) для среднего движения (р, v, р, Р), получаем уравнение среднего движения в форме Эйлера Легко видеть, что, для того чтобы получить векторное уравнение среднего движения, необходимо подставить средние значения р, v, р и Р — pv"v" соответственно вместо р, v, р и Р в векторное уравнение (3.2) ламинарного движения. Таким образом, уравнения мгновенного движения (3.1) или (3.2) и уравнения среднего движения (6.2) или (6.1) имеют одинаковый вид при условии, что мгновенные величины заменены средними, а тензор напряжения —pv"v" Рейнольдса добавлен к осредненному тензору напряжения Р Навье—Стокса.

Теперь, скалярно умножая векторное уравнение (6.2) на v и привлекая уравнение неразрывности (5.49), получаем уравнениебаланса кинетической энергии среднего движения, аналогичное (3.16):

-Щ- (p 0 ), наблюдается диссипация этой же энергии под влиянием турбулентности со скоростью —pv"-(v"-Vv) ( ^ 0). Другими словами, div {P-v — — p v " ( v ' ' - v ) ( представляет собой скорость, с которой полное напряжение Р — pv"v" совершает работу в единичном объеме осредненной движущейся системы, а ( Р — pv"v")-Vv является полной скоростью превращения в том же единичном объеме кинетической энергии среднего движения в другие формы энергии.

Не представляет труда написать уравнение энергии среднего движения, аналогичное уравнению (3.4) для мгновенного движения.

Э Н Е Р Г Е Т И К А -ТУРБУЛЕНТНОГО: ПОТОКА

определяет работу, производимую за единицу времени результирующей всех сил (исключая силу Р е й н о л ь д с а — d i v p v ' V ), действующих на единичный объем, или работу, производимую в единицу времени турбулентными вихрями против инерционной с и л ы — р а, действующей на тот ж е единичный объем.

Член — p v " - ( v " - V v ) в правых частях уравнений (6.3) и (6.8) имеет противоположные знаки; поэтому при сложении этих уравнений этот член пропадает. Складывая левые и правые части уравнений (6.3) и (6.8), приходим к уравнению баланса средней кинетической энергии реального движения Это уравнение можно также получить путем осреднения уравнения (3.16). Таким образом, член—pv"-(v"-Vv) не изменяет кинетической энергии реального движения; его можно интерпретировать как скорость перехода кинетической энергии среднего движения в кинетическую энергию турбулентных пульсаций. Следует подчеркнуть, что этот переход энергии является исключительно кинематическим процессом, зависящим только от выбора операции осреднения и турбулентных движений, тогда как скорость превращения P-Vv ( > 0 ) кинетической энергии среднего движения в тепло зависит только от среднего движения.

Известно, что в случае мелкомасштабной турбулентности так что мелкомасштабная турбулентность всегда преобразует кинетическую энергию среднего движения в кинетическую энергию турбулентных пульсаций (диссипативный эффект мелкомасштабной турбулентности). Крупномасштабная турбулентность, однако, может превращать кинетическую энергию турбулентности в энергию среднего движения, если при этом в крупномасштабных вихрях потенциальная энергия преобразуется в вихревую кинетическую энергию (см. главу И ). Существование в атмосфере двух принципиально различных режимов турбулентного движения следует признать установленным фактом. Обычно допускается, что не наблюдается ни притока, ни оттока энергии в мелкомасштабной области спектра; турбулентные движения здесь сохраняются за счет передачи энергии от более крупных вихрей к более мелким; кинетическая энергия самых мелких вихрей превраЭ Н Е Р Г Е Т И К А - Т У Р Б У Л Е Н Т Н О Г О : ПОТОКА щается в беспорядочное молекулярное движение, 4 т. е. превращается в тепло под влиянием молекулярной вязкости (см. ш 4.4).

На другом конце спектра крупномасштабная турбулентность сохраняется под влиянием превращения потенциальной и внутренней энергии в кинетическую энергию крупномасштабных вихрей (см. главу 11), и в то же время кинетическая энергия вихрей непрерывно передается вверх по спектру, при этом кинетическая энергия самых больших вихрей трансформируется в энергию среднего движения. Таким образом, отток энергии происходит в тех частях спектра, где кинетическая энергия диссипирует под влиянием молекулярных и турбулентных процессов (см. главу 9), а приток энергии происходит в тех частях, где потенциальная и.

внутренняя энергия превращаются в кинетическую энергию.

Одновременно кинетическая энергия передается от одной части:

спектра движения к другой [20].

Когда работа (6.9), совершаемая вихрями против силы инерции —ра положительна, вихри освобождают за единицу времени количество энергии, равное p a - v " = p a " - v " > 0; в этом случае вихревое движение со временем усиливается и становится более неустойчивым. Когда же, напротив, работа (6.9) отрицательна, вихревое движение становится со временем более устойчивым.

Таким образом, мелкомасштабное турбулентное движение будет продолжать развиваться во всех случаях, когда p a " - v ' ' > 0 ;

если же pa">v" < 0, то в тех случаях, когда это неравенство обобщает критерий развития мелкомасштабной турбулентности, установленный Ричардсоном (см. главу 9), Вставляя теперь выражение (6.9) для величины pa"v" в правую часть уравнения (6.8) и принимая во внимание неравенство Р ' • Vv" > 6, получаем уравнение баланса средней турбулентной кинетической энергии Изменение средней кинетической энергии pke вихревого движения в фиксированном единичном объеме за единицу времени происходит под влиянием конвергенции потока энергии через

Э Н Е Р Г Е Т И К А - Т У Р Б У Л Е Н Т Н О Г О : ПОТОКА

и вследствие образования энергии внутри того же единичного объема со скоростью Заметим, что поток энергии pfeev является суммой конвективного потока рй е у и турбулентного потока pfeev" кинетической энергии вихревого движения, так что —div ^-g-p (v") 2 v " ) представляет собой среднюю скорость уменьшения вихревой кинетической энергии единичного объема за счет турбулентной диффузии. С другой стороны, div v." -Р' является средней скоростью увеличения вихревой кинетической энергии за счет работы, совершаемой вязким напряжением Р ' на границе единичного объема.

Наконец, подставляя второе из двух выражений (6.9) для величины p a " - v " в правую часть (6..8), получаем другую форму уравнения баланса средней турбулентной кинетической энергии, а именно Составляющие тензора вязких напряжений Р существенно зависят от градиента скорости Vv; их влияние на поток заметно только в том случае, когда эти градиенты велики, как, например, в случае очень малых размеров вихревых движений (см. п. 4.4).

В процессе осреднения градиенты скорости сглаживаются, так что | Р \ 0).

Второе упрощение справедливо только в случае приближения Бус синеска (см. главу 8), и в частности для атмосферы, в которой все члены, содержащие Р, могут быть опущены.

Э Н Е Р Г Е Т И К А - Т У Р Б У Л Е Н Т Н О Г О : ПОТОКА

6.3. Уравнение баланса средней внутренней энергии Применив оператор осреднения к (3.4) и вспомнив, что турбулентный поток энтальпии (теплосодержания) h = е + {pip), равНЫИ включает потоки явного и скрытого тепла (см. главу 7), получаем уравнение баланса средней внутренней энергии или после подстановки (6.9) в (6.14) где p a " * v " — скорость превращения внутренней энергии в вихревую кинетическую энергию, a div (P-v") — работа, совершаемая за единицу времени силами вязкости на границе рассматриваемого единичного объема жидкости. Следует заметить, что —div (P^v") = div ( — P ^ V ) + div ( P - v ' ), где — Р ^ Г — неконвективный поток вихревой кинетической энергии [см. уравнение (6.11)1 и pv' = p ' v " — в е л и ч и н а, пропорциональная составляющей вихревого потока тепла [см. главу 7, уравнение (6.18)].

Вводя среднюю скорость нагревания единичного объема уравнение баланса (6.15) можем переписать в виде это уравнение обобщает классическое уравнение (3.9) первого начала термодинамики для ламинарного вязкого потока.

Наконец, подставляя в (6.15) первое из двух выражений (6.9) для величины p a " - v ", получаем уравнение баланса средней внутренней энергии Изменение средней внутренней энергии рё неподвижного единичного объема за единицу времени происходит под влиянием конвергенции потока энергии через поверхность этого объема и вследствие образования энергии внутри того же объема со ско* ростью 6.4. Уравнение баланса полной энергии Складывая уравнения (6.3), (6.11) и (6.18) или (6.3), (6.12) и (6.14), или (6.3), (6.8) и (6.15), получаем уравнение баланса средней полной энергии При этом применен опёратор осреднения к уравнению (3.14), использована гипотеза ф ф (см. п. 6.1), т. е. уравнение баланса средней потенциальной энергии записано в виде Уравнение баланса (6.19) показывает, что средняя полная энергия не образуется и не уничтожается в любом неподвижном объеме.

Средняя полная энергия в неподвижном объеме изменяется только под влиянием конвергенции потока энергии. Этот поток может быть разделен: на конвективный поток р (km 4- ke -f- ф 4- h) v, обусловленный средним переносом массы pv = pv; на поток вихревой энергии p/zev" — P-v" как следствие турбулентной диффузии; на поток —(Р — pv"v")-v, обусловленный работой вязких и турбулентных напряжений масштаба среднего движения, а также на поток явного и скрытого тепла и поток лучистой энергии W4-p/i"v".

6.5. Скорости перехода энергии Выбор (6.11) в качестве формы уравнения баланса средней кинетической энергии вихревого движения основан на том факте, что вязкость всегда диссипирует кинетическую энергию Турбулентного движения (Р' 'Vv'' > 0 ), а в основе выбора (6.18) в качестве уравнения баланса средней внутренней энергии лежит Тот факт, что турбулентный поток теплосодержания phv" представляет потоки явного и скрытого тепла.

Правые части уравнений баланса (6.3), (6; 11) и (6.18), кроме скоростей перехода gptiy, р div v и P - V v ( > 0 ), рассмотренных в главе 3, также включают скорости превращения gp'w"; v"-Vp' и Р ' • v v ' ' ( > 0 ). В отличие от первых трех скоростей перехода энергии, последние зависят не от средних значений, а от корреляции между пульсациями физических величин, которые входят в первые три скорости перехода. Однако скорость кинематического обмена pv"-(v"-vv) между кинетической энергией среднего движения и кинетической энергией вихревого движения зависит как от корреляции между пульсациями составляющих скоростей, так и от сдвига средней скорости Vv. Эта четвертая скорость перехода, равно как и три предыдущие, связана с хорошо изученными механическими процессами [41]. _ Скорость перехода энергии v"-Vp' ( ^ 0 ) — э т о среднее значение работы, совершаемой вихрями против градиента —Vp' пульсаций давления р', а скорость перехода энергии P'.-Vv" ( > 0 ) — это среднее значение работы (также отнесенной к единице времени и объема), совершаемой пульсациями вязких напряжений над вихрями со сдвигом скорости (Vv" Ф 0). Последняя работа всегда положительна, поскольку Р'-Vv" представляет собой скорость диссипации турбулентной кинетической энергии в тепло под влиянием молекулярной вязкости. В случае мелкомасштабной турбулентности скорость превращения Р' • Vv" имеет тот же порядок величины, что и скорость преобразования —pv"-(v"-Vv) кинетической энергии Среднего движения в кинетическую энергию турбулентности (см. главу 9).

Наконец, рассмотрим скорость превращения gp'w" = gp'w.

Очевидно, что величина — g p ' w — —gp'w — gp'w" представляет мгновенную работу силы тяжести —gp' за единицу времени, действующей на единичный объем (эффект плавучести). В зависимости от знака (p'w > 0 или p'w < 0) работа эта вызывает рост или убывание потенциальной энергии и соответствующее убывание или рост кинетической энергии. Из уравнений (6.7)—(6.9) следует, что часть этой работы, а именно — g p ' w ", представляет собой мгновенную скорость генерирования кинетической энергии турбулентного движения; соответственно при масштабах среднего движения величина — g p ' w = —gp'w" является скоростью генерирования средней турбулентной кинетической энергии [см. уравнение баланса (6.11)], В п. 5.4 мы уже видели, что р'ю"/р представляет вклад турбулентного движения в средневзвешенное значение вертикальной скорости; следовательно, величину —gp'w" можно рассматривать как скорость, с которой потенциальная энергия единичного объема превращается в кинетическую энергию вихрей.

С другой стороны, вихри можно рассматривать как термодинамические системы, совершающие работу в гравитационном поле (см.. п. 9.2). Как следствие этой работы механическая энергия превращается во внутреннюю энергию (тепло), или наоборот 1см. уравнения баланса (6.11) и (6.18)].

Как мы уже отмечали (см. конец п. 5.4), возможны два различных случая.

1. В случае мелкомасштабной турбулентности величина gp'w = = gp'w" положительна, когда (—17р) (dp/dz)> 0. В этом случае gp'w" представляет скорость превращения в единичном объеме средней турбулентной кинетической энергии в среднюю внутреннюю энергию. Таким образом, мелкомасштабные вихри превращают турбулентную кинетическую энергию в тепло.

2. В случае более крупных вихрей под влиянием эффекта плавучести пульсация плотности р' определяет знак смещения вихря по вертикали. В этом случае величина —gp'w = —Lgp'w'r положительна и представляет собой скорость превращения средней внутренней энергии в среднюю турбулентную кинетическую энергию. Пульсации плотности рассматриваемых здесь масштабов в атмосфере имеют термическое происхождение: тяжелые и легкие вихри совпадают, как правило, с холодными и теплыми вихрями соответственно. Ясно, что поднимающиеся в гравитационном поле теплые вихри и опускающиеся холодные вихри должны преобразовывать тепловую энергию в кинетическую энергию турбулентного движения, скорость этого преобразования энергии равна —gp'w" ( > 0 ).

Турбулентный поток явного Турбулентный поток W e явного и скрытого тепла —• это турбулентный поток удельной энтальпии (теплосодержания) воздуха где h v, /iw — удельные энтальпии сухого воздуха, водяного пара и жидкой воды соответственно, а т а, t v, t w — соответствующие отношения смеси. Легко видеть, что где e v = т у /(т а + т у ) — удельная влажность и е = 1 — т а = = t v + t w. Подставляя (7.3) в (7.2) и привлекая классическое соотношение L v = hv — hw для удельной теплоты парообразования, получаем для к следующее выражение:

где есть скрытое теплосодержание. Из (7.2') сразу же следует, что при этом принято во внимание, что пульсации е" величины е столь малы, что ими можно пренебречь.

В атмосфере с приемлемым приближением можно пренебречь величинами е и e v по сравнению с единицей, а также считать постоянными удельные теплоемкости с ра, c pv и c w сухого воздуха,

72 ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОТОК ЯВНОГО И СКРЫТОГО ТЕПЛА

водяного пара и жидкой воды; отсюда вытекают приближенные соотношения:

где Т " — отклонение (пульсация) абсолютной температуры 7" от ее средневзвешенного значения Т = р77р; с р = с ра + ec w я»

с ра. Более того, отклонения &у и Lv величин s v и L v от их средневзвешенных значений s v и L v таковы, что Таким образом, справедлива приближенная формула в которой L v можно считать постоянным. Из формул (7.2'а) в (7.46) следует, что удельное теплосодержание (энтальпия) влажного воздуха представляет собой сумму двух величин: удельной энтальпии сухого воздуха (предполагая, что с р 0 1, благодаря чему турбулентные вихри, приходящие на данный уровень снизу (до> 0, > 0 ), вызывают положительные флуктуации плотности (р' > 0), а приходящие сверху (w < 0, t < 0) — отрицательные флуктуации (р' < 0); отсюда [ср. с (10.4)] В более общем случае с учетом соотношения (9.2) и того факта, что корреляция вертикального пути смешения 'С, и вертикальной •скорости w положительна, мы, как правило, имеем:

На основе этих неравенств, соотношения (9.2) и формулы (7.6), если в ней использовать приближение Буссинеска, можно легко получить выражение и оценить знак турбулентного потока явного тепла, в котором сохраняется только вертикальная составляющая ( t t ^ z = F H, а именно Таким образом, в случае преобладания вынужденной конвекции вертикальный турбулентный поток явного тепла — преимущественно следствие положительной корреляции между плотностью и вертикальной скоростью.

Предполагая вслед за Шмидтом [85, 86], что 0 ; = 0 ' + -f- (dQ/dz) = 0 и dQ/dz > 0, т. е. считая турбулентное движение адиабатическим (лагранжева флуктуация потенциальной температуры @ = 0), а распределение средней температуры устойчивым, находим Эти предположения приводят, таким образом, к нисходящему турбулентному потоку явного тепла. Здесь К н = t,w ( > 0 ) — коэффициент турбулентной температуропроводности по вертикали (рДн — коэффициент турбулентного теплообмена по вертикали).

Порядок величины Кн колеблется между 103 и 105 см 2 -с" 1.

Выражение для скорости перехода турбулентной кинетической энергии во внутреннюю энергию устанавливаем на основании (9.8). С учетом (9.6) находим Это неравенство указывает на то, что эффект силы тяжести сводится к тому, чтобы при устойчивом распределении плотности и температуры ограничивать развитие турбулентности. Скорость перехода (9.9) представляет собой работу (отнесенную к единице объема), которую совершают вихри против силы плавучести —gp' яа fep/©) в ' = —g (р/0) (dQ/dz) Эта работа_ отрицательна, при устойчивом распределении температуры [( 0 ] и положительна при неустойчивом [ 0 или < 0 зависит в атмосфере от неравенств Согласно Тейлору [108], скорости преобразования энергии (9.11) и (9.13) имеют одинаковый порядок величины.

Аналогичным образом можно показать, что Здесь коэффициент кинематической вязкости г] = (р./р) по меньшей мере в I0 4 раз меньше, чем коэффициент турбулентности /См.

Из этих оценок следует, что всюду в пограничном слое напряжение Рейнольдса р/См ( 0 ) — скорость перехода кинетической энергии среднего движения _в энергию турбулентного движения (эффектсдвига); /Сн (g/Q) (dQ/dz) ( > 0, если статическое состояние устойчивое) — скорость превращения кинетической энергии в теплопод влиянием турбулентности; А ( > 0 ) — скорость превращения кинетической энергии в тепло под влиянием молекулярных процессов (молекулярной вязкости). В случае вынужденной конвекции турбулентное движение получает кинетическую энергию отсреднего движения, а теряет ее при установившемся режиме с такой же скоростью в результате превращения турбулентной кинетической энергии в тепло под влиянием молекулярной и турбулентной диффузии.

Дйссипативный член рЛ [ > 0, см. формулу (9.11)1 в правых, частях уравнений баланса (9.15) и (9.16) достигает наибольших, значений в микромасштабной области турбулентности, в вязкой:

подобласти, где наиболее активна вязкая диссипация (см. п. 4.4).

В уравнении баланса (9.15) эффектом плавучести можно пренебречь по сравнению с эффектом сдвига, если или (в более общем случае) когда С учетом соотношений (9.12) и (9.9) критерий (9.17) состояния,., близкого к равновесному, принимает вид Если неравенства (9.17) или (9.17а) выполняются, то эффектсдвига ветра столь значителен, что плавучесть не оказываетсколько-нибудь существенного влияния на механизм передачи;

452 Э Н Е Р Г Е Т И К А ВЫНУЖДЕННОЙ ' КОНВЕКЦИИ

количества движения. Это режим полностью вынужденной конвекции.

Если необходимо принять во внимание влажность, то надо заменить W e на We = с ра (77©) p©'v' + L v pgyv' [см. формулу О, то можно сказать, что правая часть (9.18а) представляет скорость диссипации кинетической энергии среднего движения под влиянием поверхностного трения и турбулентного обмена.

9.4. Приземный слой В пограничном слое мелкомасштабные вихри переносят по вертикали значительное количество различных субстанций (водяной пар, пыль и др.), а также тепла и импульса. Линейные размеры этих вихрей или меньше, или сравнимы с высотой z над поверхностью земли. Верхняя граница слоя изменяется со временем.

Она обычно совпадает с верхней границей кучевых облаков хорошей погоды. Высота последних изменяется, но, как правило, не превышает высоты изобарической поверхности 750 мбар.

Выше пограничного слоя обычно располагается слой с устойчивой Стратификацией, который препятствует проникновению турбулентных вихрей из пограничного слоя в свободную атмосферу, исключая случай влажнонеустойчивой стратификации.

В пограничном слое скорость ветра, как правило, отличается от той, которая наблюдалась бы при отсутствии силы трения. Однако нельзя отождествлять (как это нередко утверждается) скорость ветра при отсутствии сил трения с приземным геострофическим ветром. Последнее определение слоя трения излишне ограничено.

Слой трения (см. п. 9.5) не обязательно совпадает со всем пограничным слоем.

В нижней части пограничного слоя расположен приземный слой, в котором вертикальные турбулентные потоки FM, FH и Fw почти постоянны с высотой и, следовательно, соответствующие средние величины заметно не изменяются во времени. Приземный слой распространяется от земной поверхности до высоты в несколько десятков метров, при этом его толщина увеличивается при возрастании шероховатости земной поверхности. Ниже приземного слоя расположен слой взаимодействия, содержащий элементы шероховатости земной поверхности. Очень скудны сведения о процессах, происходящих в этом тонком слое в непосредственной близости к земной поверхности. Тем не менее процессы эти очень важны, поскольку они формируют потоки импульса, тепла и водяного пара. Если поверхность гладкая, то перенос тепла и водяного пара в слое взаимодействия осуществляется путем молекулярной теплопроводности и молекулярной диффузии. Турбулентный поток импульса, однако, над аэродинамически шероховатой поверхностью не зависит от молекулярной вязкости. В этом слуЭНЕРГЕТИКА ВЫНУЖДЕННОЙ ' КОНВЕКЦИИ чае поток импульса на поверхности выступает как сила сопротивления, порождаемая силой давления, которая действует на элементы шероховатости.

Согласно некоторым данным, пограничный слой примерно в 50% случаев стратифицирован сухонеустойчиво (д@/дг < 0) и менее чем в 10% случаев — сухоустойчиво (д@/дг > 0). При сухоустойчивом состоянии турбулентные потоки в пограничном слое сильно ослаблены (см. ниже). В оставшихся случаях пограничный слой стратифицирован влажноустойчиво или влажнонеустойчиво, поскольку в этих случаях воздух вблизи земли находится в насыщенном состоянии. При влажнонеустойчивом состоянии (вероятность таких случаев меньше 10%) влажные конвективные элементы проникают через устойчивый слой над пограничным слоем в свободную атмосферу, порождая конвективные облака, распространяющиеся до очень больших высот и сопровождающиеся сильными ливнями [9 J.

Рассмотрим прежде всего вертикальный турбулентный поток F M количества движения (импульса) в приземном слое.

В развитом турбулентном потоке над макроскопически однородной земной поверхностью (море или плоская равнина), при однородных по горизонтали условиях, средняя горизонтальная скорость v h сильно изменяется с высотой, в то время как горизонтальное напряжение Рейнольдса t h (9Л2) очень мало изменяется (на несколько процентов от поверхностного значения) в пределах нескольких десятков метров. Можно, таким образом, с хорошим приближением предположить, что в этом интервале высот напряжение Рейнольдса t h равно поверхностному напряжению (т ь ) 0 :

т. е. рассматривать состояние как установившееся. Ясно, что в таком тонком слое плотность воздуха р можно считать постоянной во времени и пространстве. Более т О г о ; если на турбулентное движение Не влияет сйла плавучести [см. критерий (9.17) или (9.17а) полностью вынужденной конвекции!, то, следуя Прандтлю [67, 681, разумно предположить:

_ 1)^числовые значения скалярных величин и' 2, v'2, од''2 и С2 (dvjdz)2 примерно равны между собой;...

2) корреляционная связь флуктуаций Vh и w' такова, что на средний путь смешения (Z,2)1'/* растет линейно с высотой z над поверхностью земли:

Здесь k = 0,41 — универсальная постоянная Кармана.

Направляя ось х вдоль вектора (t h ) 0, можем записать где и + и', v', да' — составляющие мгновенной скорости; FM — вертикальный турбулентный поток импульса; —скорость трения. Последняя обычно на один порядок величины меньше средней скорости ветра и а на уровне анемометра (как правило, отношение u j u ^ заключено между 10 и 20). Из предыдущих соотношений следует [40, 1061:

где z 0 —- постоянная интегрирования, называемая параметром шероховатости (он зависит от высоты неровностей земной поверхности). Логарифмический профиль ветра нельзя продолжить до самой поверхности земли, поскольку он искажается элементами шероховатости (например, растительностью). Пространство ниже вершин элементов шероховатости неполностью занято воздухом;

поэтому в слое взаимодействия понятия средней скорости ветра и среднего напряжения теряют свой простой физический смысл [35 J. На некотором расстоянии от очень шероховатой поверхности (большие и острые неровности, порождающие вихри) понятие средней скорости восстанавливается, однако здесь средняя скорость отлична от нуля. Еще выше средняя скорость и увеличивается с высотой в согласии с логарифмическим законом (9.19) при том условии, что на режим движения не оказывает влияния плавучесть.

Логарифмический закон справедлив для полностью развитого турбулентного потока; он не описывает распределения скорости в ближайших к гладкой поверхности нескольких миллиметрах.

Если земная поверхность аэродинамически шероховатая (большие и крутые неровности, или, более точно, если u^zjг) > 5), то параметр шероховатости z 0, по определению, не зависит от вязЭНЕРГЕТИКА ВЫНУЖДЕННОЙ ' КОНВЕКЦИИ кости воздуха; z„ равно примерно 1/10 высоты растительности.

В случае взволнованной морской поверхности параметр шероховатости z 0 зависит от силы взаимодействия между воздушным и водным потоками.

В приземном слое F M < 0, т. е. поток- количества движения направлен от атмосферы к земной поверхности. Это заключение подтверждается существованием силы, с которой действует воздушный поток на различные объекты земной поверхности, а также тем, что в океанах наблюдаются поверхностные течения и волны [92, 1061.

Если движение в пограничном слое полностью турбулентное, начиная от самой земной поверхности, то вязкий подслой (см.

ниже и [92]), как он трактовался в конце п. 9.2, более не существует, а это значит, что приемлемо допущение г) = 0. Однако коэффициент турбулентности /С м н а земной поверхности не может обратиться в нуль; его конечное значение при z = 0, как мы уже отмечали, определяется работой силы давления, действующей на элементы шероховатости. Поэтому коэффициент /См должен быть несколько больше, чем величина ku^z вблизи шероховатой поверхности, т. е. при очень малых значениях z [92]. Следует вновь подчеркнуть, что если вблизи шероховатой поверхности коэффициентом кинематической вязкости т] можно пренебречь, то этого нельзя допустить в отношении коэффициентов молекулярной теплопроводности и диффузии.

Многочисленные измерения, выполненные над покрытой короткой растительностью (высота растительности не превышала нескольких сантиметров) и, тем более, над лишенной растительности землей, показали, что логарифмический профиль ветра {9.19) характерен для реальных условий. Однако в случае высокой растительности (густая трава, зерновые злаки, кусты, деревья) вместо (9.19) следует писать В этом случае элементы шероховатости имеют примерно такую же высоту, как и уровень d, выше которого наблюдается интенсивное перемешивание воздуха (рис. 3). При и а ^ 5 м-с" 1 в случае поверхности, покрытой короткой травой (1—3 см), характерные знасм-с" 1, z0 = 0,5 см, чения параметров в (9.19') таковы:

d = 0; в случае поверхности, покрытой высокой травой (60— 70 см), эти параметры принимают следующие значения: и^ = = 50 см-с" 1, z0 = 3 см, d = 30 см [106].

Когда земная поверхность аэродинамически гладкая (маленькие и довольно плоские неровности, например спокойная водная поверхность), уравнение нужно заменить соотношением Рис. 3. Профиль средней скорости ветра и над поверхностью, покрытой растительностью. Выше уровня d + z0 при безразличном состоянии (потенциальная температура © практически не зависит от высоты) преобладает логарифмический профиль и. Скорость ветра измеряется В вязком подслое; отсюда немедленно следует линейный профиль скорости ветра где б — толщина вязкого подслоя и и0 — скорость движения гладкой поверхности (и0 ф 0 в случае моря и и0 = 0 в случае суши). На расстоянии z = б = (tj/mJ ] / R e ^ от поверхности (z = 0), где число Рейнольдса Re = (и — и0) (z/ц) достигает своего критического значения Re*, вязкий поток становится Typiбулентным. Значение ] / R e * должно быть определено экспериментально; было установлено, что l / R e * = 11,6 [59, 60 J. Следовательно, на верхней границе вязкого подслоя и — и0 = 11,6м.,.

{z — б). На расстояниях, значительно превышающих б, примеЭНЕРГЕТИКА ВЫНУЖДЕННОЙ ' КОНВЕКЦИИ ним логарифмический профиль ветра; таким образом, находим [59, 60 J для z > 306. Толщина 6 вязкого подслоя уменьшается с ростом от б = 1,7 мм при их = 10 см-с" 1 до б = 0,34 мм при и,. = = 50 см-с" 1 в предположении, что т] = 0,15 см 2 -с - 1.

При z < 306 экспериментальный профиль ветра отличается:

от логарифмического; он переходит в линейный профиль на расстоянии z = 0,76 от земной поверхности. В интервале высот 0,76 < z < 306 можно найти теоретический профиль ветра, согласующийся с экспериментальным, если учесть в этом интервале молекулярную вязкость [112J. Однако невозможно полностью освободиться от вязкого подслоя, который всегда возникает, когда поверхность земли аэродинамически гладкая.

Следует отметить, что когда элементы шероховатости полностью находятся в вязком подслое толщиной 6, то поверхность будет аэродинамически гладкой (z 0 < б). В противном случае (z 0 > > 6) поверхность будет аэродинамически шероховатой. В последнем случае на поверхности земли непрерывный вязкий подслой не существует. Большая часть поверхности земли может рассматриваться как аэродинамически шероховатая.

Как уже отмечалось, турбулентное перемешивание не может распространяться до самой поверхности земли, где исчезают вертикальные скорости. Если в слое взаимодействия поток ламинарный (существует вязкий подслой), то значение (F M ) 0 вертикального потока импульса на поверхности земли находится с помощью классической формулы где г) — коэффициент кинематической вязкости. Однако в большинстве случаев поверхность земли аэродинамически шероховатая, так что F M не зависит от молекулярной вязкости и определяется силой сопротивления на поверхности земли (см. выше).

Но в любом случае перенос тепла и водяного пара по вертикали осуществляется вблизи поверхности земли молекулярными процессами (диффузия и теплопроводность как следствие столкновения молекул). Формулы для вертикальных потоков тепла и водяного пара на поверхности земли записываются в классическом виде при условии, что производные дТ/дг и dsjdz взяты как средние по слою взаимодействия. В этих формулах k H и k w — коэффициенты молекулярной диффузии водяного пара (few = 0,25 см2 • с"1) и молекулярной температуропроводности (kH = 0,20 см 2 -с" 1 ) 192].

Выше вязкого подслоя (когда он существует), а в более общем случае выше слоя взаимодействия интенсивность турбулентного перемешивания в слое толщиной в несколько сантиметров очень быстро растет, а вертикальные градиенты средней скорости ветра, температуры и удельной влажности соответственно очень быстро убывают с высотой, так что количество водяного пара, тепла и импульса, переносимое, например, через уровень 1 м, почти равно тем потокам этих величин, которые формируются на поверхности земли либо под влиянием молекулярных процессов переноса (для тепла и водяного пара), либо под влиянием силы сопротивления (для импульса).

Кроме масштаба скорости полезно ввести масштабы температуры и удельной влажности Масштабы и s j в приземном слое постоянны с высотой;

их значения в этом слое совпадают по порядку величины с флуктуациями скорости ветра, температуры и удельной влажности.

Вводя эти масштабы в формулы и предполагая, что в приземном слое ( Т / 6 ) ^ 1, получаем для градиентов средних значений и, © и e v следующие выражения:

из которых вытекает, что вертикальные профили и, © и e v логапиz Вставляя теперь | т ь | = ри\ и = kutz в критерий (9.17) равновесного состояния, устанавливаем, что в слое постоянного вертикального потока импульса критерий принимает очень простую форму, а именно z < | L |, при этом Здесь L — масштаб высоты (параметр устойчивости) Монина — Обухова [54 J; FH— вертикальный поток явного тепла; R i F — потоковое число Ричардсона. Логарифмический профиль ветра справедлив в слое полностью вынужденной конвекции (z 0 < z « С | L I). Абсолютное значение L в слое постоянного потока мен20 см - с - 1 ) няется от нескольких метров при слабом ветре и больших потоках тепла (0,3—0,5 кал-см" 2 -мин - 1 ) до нескольких Рис. 4. Вертикальные профили средних скорости ветра и и потенциальной температуры 0 при неустойчивом состоянии (безоблачный день), когда поток радиации направлен вниз, а турбулентный поток тепла' — вверх (а); при инверсионных условиях (безоблачная ночь), когда поток радиации направлен вверх, а турбулентный поток — вниз (б); при безразличном состоянии (плотная сплошная облачность), когда потоки декаметров при сильном ветре (и.% > 30 см-с" 1 ). Если влажностью не пренебрегать, то при определении L вместо (9.9) нужно использовать (9.9').

Статическая устойчивость приземного слоя зависит от знака масштаба L, а именно состояние устойчивое при L > 0 и неустойчивое при L < 0.

Очень большие значения | L [ (| L | — оо) соответствуют состоянию, близкому к равновесному распределению массы (почти безразличное гидростатическое равновесие, d©/dz 0, рис. 4, кривые в, и рис. 5 в) в гравитационном поле (большие значения и^ и малые значения TJ. Такие условия преобладают в приземном слое при очень сильном ветре, низкой сплошной облачности на суше или при равенстве температур поверхности моря и воздуха.

Летом равновесное состояние наблюдается утром и вечером в слое высотой в несколько метров над землей. В непосредственной близости к земной поверхности всегда преобладает почти равновесное состояние.

ЭНЕРГЕТИКА ВЫНУЖДЕННОЙ ' КОНВЕКЦИИ

Атмосфера, однако, в общем случае термически стратифицирована (dQ/dz =f 0). При устойчивом состоянии (dQ/dz > 0, L > 0, рис. 4, кривые б, и рис. 5 б) турбулентное движение представляет собой полностью вынужденную конвекцию, если отношение z/L достаточно мало по сравнению с единицей. Турбулентность ослабевает при возрастании отношения z/L и будет сохраняться только при наличии достаточно больших вертикальных сдвигов ветра ди/дг. Уменьшение интенсивности турбулентности 5n W b Рис. 5. Турбулентные флуктуации продольной и и вертикальной w составляющих скорости ветра и температуры воздуха Т на высоте около 2 м при неустойчивом состоянии (а), инверсионных условиях (б) и безразличном равновесии (в). Коэффициент корреляции между и и w отрицателен, знак ж е коэффициентов корреляции между я и Т и между и и Т существенно зависит от направления потока явноготеплa F h (по Уэббу [144]).

происходит, например, при радиационном выхолаживании в ясную ночь или при натекании теплого воздуха на холодную поверхность моря или суши. При очень больших значениях z/L 0) турбулентные вихри встречают при своем движении очень сильное сопротивление, благодаря чему средние профили контролируются при этих условиях физическими процессами, отличными от турбулентных, такими, как гравитационные волны и радиационные процессы. Обычно принято считать, что критерием отсутствия турбулентности служит неравенство 0,25 s i Ri (очень большие значения dQ/dz в ясные ночи с их сильными температурными инверсиями и слабыми ветрами).

Неустойчивое состояние (dQ/dz < 0, L < 0, рис. 4, кривые а, и рис. 5 а) наступает тогда, когда солнечная радиация нагревает землю в ясный день или когда происходит натекание холодного воздуха на теплую поверхность моря или суши. В теплые дни число Ричардсона Ri может легко достичь значения —1 на высоте в несколько метров над поверхностью суши. Вынужденная конЭНЕРГЕТИКА ВЫНУЖДЕННОЙ ' КОНВЕКЦИИ векция наблюдается тогда, когда zl\ L | 1; однако с увеличением высоты z ( < | L |) турбулентность постепенно усиливается, возрастает роль плавучести, способствующей усилению свободной конвекции (см. главу 10), которая в свою очередь приводит к значительному увеличению z/| L | ( > 1 ).

Если в нижнем слое атмосферы содержится достаточное количество водяного пара, то устойчивое состояние будет благоприятно для образования тумана, а неустойчивое состояние — для образования кучевых облаков. В обоих случаях нужно принимать во внимание тепло конденсации.

В слое толщиной в несколько дециметров (но не больше 1 м), где турбулентное перемешивание контролируется шероховатостью поверхности земли, можно считать, что Kw — Кн = -Км. каково бы ни было состояние устойчивости в этом слое. Но на более значительных высотах, где становится ощутимой роль плавучести, это предположение неприемлемо. Силы плавучести не одинаково действуют на турбулентный перенос водяного пара, тепла и импульса {Kw Дн > Км); более того, это действие при больших значениях z/\ L | совершенно различно при устойчивом (L > > 0) и неустойчивом (L < 0) состоянии (см. выше).

Не только увеличение высоты z над поверхностью земли оказывает все большее и большее влияние на механизм переноса импульса, тепла и водяного пара, но также и уменьшение масштаба | L | (уменьшение вертикального сдвига ветра du/dz и увеличение потока тепла В слое, расположенном вблизи поверхности земли, потоки F м, F H и Fw импульса, явного тепла и водяного пара можно измерить (F M = puw', FH = c p a p-7V, Fw =?= pevw'), так что классические формулы можно использовать для определения /(-коэффициентов. Из наблюдений известно, что слой постоянного (по высоте) потока FM совпадает со слоем постоянного потока Fw, а также и потока FH при одном условии: отсутствует радиационный приток тепла в этом слое. Значение /(-коэффициентов изменяется от 102 см 2 -с - 1 ночью (сильная инверсия температуры) до 105 см 2 -с" 1 около полудня (сильно нагретая поверхность земли). Классические формулы •(9.20) имеют единственное преимущество, состоящее в том, что турбулентные потоки FM, FH и Fw являются функциями только параметров среднего потока.

В слое постоянного потока три /(-коэффициента равны ku^z тогда, и только тогда, когда значение | L | велико (почти безразличное состояние) и когда, кроме того, z0 z < | L | (полностью вынужденная конвекция). Если эффектами плавучести уже нельзя пренебречь в слое постоянного потока, то на основе теории подобия можно установить, что К-коэффициенты имеют следующий вид [54, 92, 951:

в предположении, что где Ф м, Ф н, — функции Монина—Обухова соответственно для импульса, тепла и водяного пара. Вид этих функций устанавливается экспериментальным путем. Здесь следует отметить, что если z стремится к нулю, то /(-коэффициенты стремятся к ku^z, так что Ф м (0) = Ф н (0) = Ф № (0) = 1. Более того, вполне вероятно, что Ф н и — одинаковые функции. Для таких вертикальных профилей среднего ветра и потенциальной температуры число Ричардсона принимает простой вид: Ri = (Ф н /Фм) (z/L).

Используя американские (О'Нэйл, 1953 г.) и австралийские (Керанг, 1962—1964 гг., и Хэй, 1964—1965 гг.) данные, Уэбб [145J показал, что при устойчивом состоянии (L > 0, z/L =.,.-. 1) Число Ричардсона в этом случае, Ri = (z/L) (1 + 5,2 (z/L)) _ 1, достигает предельного критического значения (около 0,2) при сильно устойчивом состоянии.

На основе измерений Fm FH, F w и соответствующих вертикальных профилей Дайер и Хикс [181 установили, что с точностью до нескольких процентов при неустойчивом состоянии (—1,0 < z/L < — 0,01) В этом случае число Ричардсона имеет простой вид r(Ri = z/L) в области неустойчивости, характерной для первых нескольких метров приземного слоя.

Таким образом, /(-коэффициенты принимают большие значения при неустойчивом ( L < 0 ), чем при устойчивом (L > 0)

ЭНЕРГЕТИКА ВЫНУЖДЕННОЙ ' КОНВЕКЦИИ

состоянии, так что при заданных значениях потоков вертикальные градиенты средних величин (и, ©, e v ) при неустойчивом состоянии меньше, чем при устойчивом. Другими словами, при гидростатической устойчивости (L > 0) переносится тепла и импульса вниз, а водяного пара вверх меньше, чем в случае почти безразличного равновесия (L — -f- оо). При гидростатической неустойчивости (L < 0), напротив, большее, чем при почти безразличном равновесии (L — — оо), количество водяного пара и тепла переносится вверх, а импульсй — вниз.

Показательная зависимость К-коэффициентов от z/L была В слое постоянного потока средний ветер v h (и, 0, 0) дует в направлении вектора напряжения r h, и в случае безразличного равновесия модуль напряжения пропорционален квадрату средней скорости ветра « = | v h |, В самом деле, из формулы (9.19) можно легко получить выражение для модуля напряжения т 0 = = l( T h)ol н а поверхности земли (г = 0):