«Б.А. Федосенков, А.В. Шебуков ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (линейные системы) Учебное пособие для студентов специальности 210200 Автоматизация технологических процессов и производств Кемерово – 2005 Содержание ...»

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

Кемеровский технологический институт пищевой

промышленности

Б.А. Федосенков, А.В. Шебуков

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ

(линейные системы)

Учебное пособие для студентов специальности 210200 «Автоматизация технологических процессов и производств»

Кемерово – 2005 Содержание Введение

1. Исторические аспекты развития ТАУ (имена, события, факты)............... 6 2. Принципы автоматического регулирования

3. Основные понятия и определения курса ТАУ

3.1. Общая схема САР

3.2. Развернутая структурная схема САР по отклонению

3.3. Сведения об измерительных устройствах. Энтропия. Информация. 3.3.1. Энтропия для дискретных систем

3.3.2. Энтропия для непрерывных систем

3.3.2.1. Расчет энтропии для непрерывной системы с нормальным распределением технологического параметра

3.3.2.2. Расчет энтропии для непрерывной системы с равновероятным законом распределения технологического параметра............ 4. Динамика элементов автоматики

4.1. Основные теоремы преобразования Лапласа

4.2. Типовые входные воздействия

4.3. Типовые выходные воздействия (реакции)

5. Дифференциальное уравнение динамики звеньев

6. Связь между передаточной функцией и временными выходными характеристиками

7. Передаточные функции и частотные характеристики

7.1. Частотные характеристики

7.2. Типовые логарифмические характеристики

8. Звенья автоматики

8.1. Алгоритм анализа функционирования динамических звеньев.......... 8.2. Инерционное звено нулевого порядка

8.3. Апериодическое звено первого порядка

8.4. Звенья второго порядка

8.5. Дифференцирующие звенья

8.6. Реальное интегрирующее звено (объект)

8.7. Объект с чистым или транспортным запаздыванием

8.8. Неминимально-фазовые звенья

8.9. Звенья, формирующие законы регулирования

8.9.1. Пропорционально-интегрирующее звено

8.9.1.1. Идеальное ПИ-звено (идеальный изодром)

8.9.1.2. Реальное ПИ-звено (реальный изодром)

8.9.2. Пропорционально-интегро-дифференцирующее звено................ 8.9.2.1. Идеальное ПИД-звено

8.9.2.2. Реальное ПИД-звено

9. Топологический метод анализа

9.1. Основные положения теории сигнальных графов

9.2. Особенности топологического метода анализа

10. Преобразование структурных схем и сигнальных графов

11. Анализ динамических систем в пространстве состояний

12. Метод определения переходной функции по вещественной частотной характеристике

13. Анализ устойчивости линейных систем

13.1. Критерии устойчивости

13.1.1. Критерий Гурвица

13.1.2. Критерий Рауса

13.1.3. Критерий Михайлова

13.1.4. Критерий Найквиста

13.1.5. Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам

13.2. Запас устойчивости

13.3. Выделение областей устойчивости

13.3.1. D-разбиение плоскости одного параметра

14. Оценка качества регулирования

14.1. Понятие и показатели качества регулирования

14.2. Влияние расположения нулей и полюсов передаточной функции на переходную характеристику

14.3. О взаимном расположении нулей и полюсов передаточной функции и изображения внешнего воздействия

14.4. Оценка качества переходной характеристики по частотным характеристикам

14.5. Интегральные показатели качества

Список основных аббревиатур

Список литературы

–4– Теория автоматического управления (ТАУ) – научная дисциплина, предметом изучения которой являются информационные процессы, протекающие в автоматических системах управления. ТАУ выявляет общие закономерности функционирования, присущие автоматическим системам различной физической природы, и на основе этих закономерностей разрабатывает принципы построения высококачественных систем управления.

При изучении процессов управления в ТАУ абстрагируются от физических и конструктивных особенностей систем и вместо реальных систем рассматривают их адекватные математические модели, поэтому основным методом исследования в ТАУ является математическое моделирование.

Кроме того, методологическую основу ТАУ образуют теория обыкновенных дифференциальных уравнений, операционное исчисление (преобразование Лапласа), гармонический анализ (преобразование Фурье), теория функций комплексного переменного, векторно-матричный анализ.

ТАУ вместе с теорией функционирования элементов систем управления (датчиков, регуляторов, исполнительных механизмов) образует более широкую отрасль науки - автоматику. Автоматика в свою очередь является одним из разделов технической кибернетики. Техническая кибернетика изучает сложные автоматизированные системы управления технологическими процессами (АСУТП) и предприятиями (АСУП), построенные с использованием управляющих вычислительных машин.

В настоящее время ТАУ наряду с новейшими разделами так называемой общей теории управления (исследование операций, системотехника, теория игр, теория массового обслуживания, теория информации) играет важную роль в совершенствовании и автоматизации управления производством.

Автоматизация является одним из главных направлений научнотехнического прогресса и важным средством повышения эффективности общественного производства. Современное промышленное производство характеризуется ростом масштабов и усложнением технологических процессов, увеличением единичной мощности отдельных агрегатов и установок, применением интенсивных, высокоскоростных режимов, близких к критическим, повышением требований к качеству продукции, безопасности персонала, сохранности оборудования и окружающей среды. Экономичное, надёжное и безопасное функционирование сложных промышленных объектов может быть обеспечено с помощью лишь самых совершенных принципов и технических средств управления.

Современными тенденциями в автоматизации производства является широкое применение ЭВМ для управления, создание машин и оборудования со встроенными микропроцессорными средствами измерения, контроля и регулирования, переход на децентрализированные (распределённые) структуры управления с микроЭВМ, внедрение человеко-машинных систем, использование высоконадёжных технических средств, автоматизированное проектирование систем управления.

1. Исторические аспекты развития ТАУ (имена, события, факты) Ползунов Иван Иванович (1765 г.) – автор первого в мире автоматического регулятора уровня воды в котле паровой машины.

Джеймс Уатт (1784 г.) – автор первого автоматического регулятора (АР) скорости вращения паровой турбины.

Принцип Ползунова-Уатта лежит в основе автоматического регулирования по отклонению (один из базовых принципов регулирования в автоматике).

Жан-Виктор Понселе (19 век) – автор принципа регулирования по возмущению.

Стодола А. (Словакия, конец 19 века) развил идею Понселе о системах регулирования по возмущению, применительно к вопросам регулирования турбин.

Вышнеградский И.А. (1877 г.) – основатель теории автоматического регулирования. Впервые описал решение дифференциального уравнения четвертой степени при анализе единой динамической системы, включающей паровую машину и регулятор.

Попов А.С. (Россия, 1895-1900 гг.) – совместно с учениками (Чиколев В. и др.) создал дифференциальный регулятор накаливания ртутных осветительных ламп.

Раус Э.Дж. (Англия, 1877 г.) – автор алгебраического способа оценки устойчивости систем автоматического управления (САУ).

Гурвиц А. (Австрия, 1895 г.) – автор другого алгебраического способа оценки устойчивости динамических систем. В дальнейшем работы Рауса и Гурвица были обобщены их последователями.

Оливер Хевисайд (Англия, 1915-1924 гг.) – электротехник, специалист в области теории и практики фильтрации; разрабатывал электротехнические фильтры с цепями регулирования по току и напряжению; автор прикладной теории операционного исчисления (преобразования Лапласа), являющейся математическим фундаментом теории (автоматического) управления; сформулировал процедуру определения оригиналов по их изображениям (формула Хевисайда-Меллина); открыл «k-слой» в ионосфере, позволивший впоследствии обосновать вопросы геоглобальной передачи радио- и телевизионных сигналов.

Максвелл Дж.К. (Англия конец 19 века) – впервые ввел термин «кибернетика» как понятие, обозначающее науку об управлении, передаче информации и связи в животном организме и в машине (технической системе). По сути, автоматика представляет собой техническую кибернетику.

Найквист Х. (США, 1932 год) – автор частотного критерия устойчивости САУ, специалист в области электронных фильтров и усилительных устройств.

Михайлов А.В. (СССР, 1936 г.) – автор другого частотного метода оценки устойчивости САУ, изложенного в научной работе «Гармонический метод в теории регулирования».

Неймарк Ю.И., Соколов А.А. (СССР – 1948 г.) – разработали так называемый метод D-разбиения пространства параметров динамической системы, позволяющий выделять области ее устойчивости.

Теодорчик (1948 г.) – предложил основы метода корневых годографов, дающего возможность рассматривать влияние параметров исследуемой системы на ее устойчивость путем анализа перемещения полюсов ПФ на комплексной плоскости. Метод разработан, теоретически обоснован и развит Удерманом Э.Г. в 1949 году и Эвансом (США) в 1950 году.

Клод Элвуд Шеннон (США – 1950 гг.) – основоположник математической теории информации и связи; автор теоремы отсчетов из теории выборочных временных рядов (так называемой теоремы УиттекераКотельникова-Шеннона).

Академики Кулебакин В.С, Лузин Н.Н., Петров Б.Н. (СССР – 1950- гг.) – специалисты, разработавшие теорию инвариантности комбинированных систем управления, в которой изучаются математические условия компенсации внешних воздействий средствами управления по возмущению.

Норберт Винер (США, 1948-1960 гг.) – лауреат Нобелевской премии, «отец» кибернетики; совместно с Хинчиным А.Я. (СССР), в частности, показал, что такие характеристики стационарного случайного сигнала, как автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности сигнала, связаны между собой посредством преобразования Фурье (прямого и обратного).

Академики Колмогоров А.Н. и Пугачев В.С. (СССР – 1950 гг.) – внесли большой вклад в развитие одного из разделов общей теории управления – статистической динамики (теории стохастических процессов).

Академики Андронов А.А., Воронов А.А., Поспелов Г.С., Емельянов С.В., члены – корреспонденты Красовский А.А., Петров Е.П., проф.

Гольдфарб Л.С., Фельдбаум А.А., Солодовников В.В. (СССР – 1950-90 гг.) – внесли большой вклад в процесс становления отечественной школы теории автоматического управления (ТАУ) и ее развития на современном этапе.

Профессор Гольдфарб Л.С. (СССР – 1950 гг.) – один из авторов гипотезы низкочастотной фильтрации, используемой при исследовании нелинейных систем управления методом гармонической линеаризации.

Профессор Солодовников В.В. и академик Воронов А.А. (СССР – конец 1950 гг.) – авторы графо-аналитических методов определения временных характеристик по известным вещественным частотным передаточным функциям (соответственно методов аппроксимирующих трапеций и треугольников); авторы монографий и учебников по ТАУ.

Люенбергер (Швеция), Калман Р.(США) – в конце 1950-60 гг. создали теорию формальных наблюдателей (устройств для оценки стационарных случайных сигналов) и теорию оптимальной фильтрации (фильтр Калмана Р.) стохастических процессов.

Риккатти (Италия – 1960-70 гг.) – автор подхода к исследованию систем оптимального управления, основанного на методе пространства состояний (векторно-матричное уравнение Риккатти).

Ляпунов А.М. (Россия – 1892 г.) – публикация работы «Общая задача об устойчивости движения»; выдающийся русский математик; впервые сформулировал ряд правил, с помощью которых стало возможным на обобщенном формальном уровне оценивать устойчивость динамических систем.

Мэйсон С. (США – 1950 гг.) – опубликовал ряд статей по теории систем автоматического управления с обратной связью, в которых обосновал правомерность ряда топологических процедур, позволяющих без преобразования исходной сложной динамической структуры определить в количественной форме ее произвольные скалярные передаточные функции. Работы Мейсона С. получили свое новое развитие в 1970-80 гг., когда начали интенсивно внедряться цифровые электронно-вычислительные машины в промышленные и научно–исследовательские автоматизированные комплексы.

Летов А.М. (СССР – 1950-60 гг.) – совместно с Калманом Р. (США) разработал методику синтеза замкнутых линейных систем управления, оптимальных по квадратичным критериям качества (аналитическое конструирование оптимальных регуляторов – АКОР).

Крылов Н.М, Ляпунов А.М., Боголюбов Н.Н., Андронов А.А. – выдающиеся российские ученые, заложившие в период с 1892 по 1940 гг.

математические основы теории нелинейных систем управления.

Булгаков Б.В., Гольдфарб Л.С., Попов Е.П. (СССР – 1950 гг.) – разработали ряд методов для исследования нелинейных автоматических систем.

Цыпкин Я.З. (СССР – 1950-70 гг.) – академик Российской Академии Наук (РАН РФ), крупнейший из современных специалистов в области автоматики ученый, сотрудник Института проблем управления (г. Москва), внесший большой вклад в различные области современной теории (автоматического) управления; один из авторов аналитической теории описания дискретных сигналов и систем управления (релейных, импульсных, цифровых). В настоящее время ведет большую методическую и научную работу; автор многих монографий и учебных пособий по различным вопросам теории управления.

С начала 1950 гг. в США и Англии появляются первые ЭВМ (Атанасов, Дж. фон Нейман и другие), в СССР – с середины 1950 гг. (МЭСМ, «Стрела» и другие). ЭВМ стали применяться в исследовательских целях (моделирование устройств различной физической природы; использование в качестве устройств управления), позже – в промышленных.

1960 гг. – первые мини- и микроЭВМ в США и Англии, прототипы первых профессиональных персональных ЭВМ (ППЭВМ, компьютеров), ставшие исполнять роль универсальных цифровых устройств управления (УУ) в составе САУ; с внедрением подобных УУ эффективность САУ выросла на порядки.

С начала 1970 гг. в США и Западной Европе активно внедряются цифровые системы автоматизации технологических (и в целом, – производственных) процессов, где в качестве автоматических регуляторов (АР) используются ЦВМ и гибридные ЭВМ (ГВМ), что дает увеличение надежности, быстродействия, снижение габаритов, улучшение эргономических параметров, а также повышение функциональности, технологичности и экономичности при их использовании.

Начало 1980 гг. – возникновение универсальных быстродействующих персональных компьютеров фирм США (IBM, Apple, Dec и др.), которые стали стремительно внедряться во все сферы автоматизации процессов на промышленных предприятиях, в научно–исследовательских организациях и учебных заведениях. Специализированные типы этих ПК позволили перевести автоматизацию технических объектов и производственных систем на качественно новый, полномасштабный, уровень.

С конца 1970 гг. – внедрение международной (наднациональной) сети Internet; первые примеры использования глобальных информационных сетей для целей автоматического и автоматизированного управления распределенными, удаленными и сверхудаленными учебными, научными и производственными объектами и системами.

1980-90 гг. – ведется работа по созданию обобщенной математической теории анализа и синтеза систем управления различных типов и назначения, в основе которой лежат векторно-матричные методы исследования дифференциальных уравнений динамики и системные концепции реализации быстродействующих компьютерных алгоритмов, моделирующих поведение исследуемых систем управления.

2. Принципы автоматического регулирования Задача управления заключается в следующем. Имеется объект управления (управляемый объект), т.е. некий механизм, агрегат или устройство, некий технологический, энергетический или транспортный процесс, желаемое поведение или протекание которого должно быть обеспечено.

Поведение объекта управления, результат его действия определяется некоторыми показателями. Чаще всего ими являются значения каких-то физических величин, которые называют выходными величинами объекта управления. Чем сложнее объект, тем большее число показателей характеризует его действие и тем труднее следить за всей их совокупностью. Поэтому к выходным величинам относят лишь наиболее важные для оценки поведения объекта и его практического использования.

В реальных условиях каждое техническое устройство, каждый технический процесс оказывается под влиянием многочисленных воздействий со стороны внешней среды. Все эти воздействия практически невозможно учесть, поэтому в поле зрения оставляют лишь те, которые оказывают наибольшее влияние на выходные величины, и называют их входными воздействиями.

Изменение во времени входных воздействий и выходных величин объекта управления характеризуют его поведение, его функционирование.

Входные воздействия, с точки зрения их влияния на действие объекта, на его выходные величины, разделяются на две основные группы. Некоторые из входных воздействий обеспечивают, как уже отмечалось, желаемое изменение поведения объекта, достижение поставленных целей. Такие входные воздействия называются управляющими, и при их отсутствии задача управления вообще не имеет решения. При ручном управлении такие воздействия на объект осуществляет оператор, при автоматическом управляющее устройство. Другие входные воздействия, напротив, мешают достижению цели, и изменить их, как правило, невозможно. Такие воздействия называют возмущающими (возмущениями) или помехами (рис.

2.1).

Рис. 2.1. Схематическое изображение объекта управления Задача управления, по существу, заключается в формировании такого закона изменения управляющих воздействий, при котором достигается желаемое поведение объекта независимо от наличия возмущений.

Сложная и разносторонняя задача управления в подавляющем большинстве случаев включает более узкую задачу регулирования, которую и будем рассматривать в дальнейшем, так как автоматическое регулирование в настоящее время имеет наибольшее практическое значение.

Задача регулирования заключается в поддержании выходных величин объекта равными (или пропорциональными) некоторым эталонным функциям времени – задающим воздействия. Последние могут быть постоянными или изменяющимися как по заданному, так и по ранее неизвестному закону.

Методы решения задачи регулирования и принципы автоматического регулирования используются различные. Самый простой принцип, основывается на предположении, что влиянием всех возмущений можно пренебречь, и воздействовать на объект необходимо лишь в том случае, когда нужно изменить работу объекта, т.е. значение регулируемой величины.

Разомкнутая система регулирования (рис. 2.2) действует следующим образом. При изменении задающего воздействия g формирующий элемент 3 выбирает необходимое «указание» исполнительному механизму 2. Последний создает регулирующее воздействие z на объект регулирования 1.

В результате регулируемая величина у приближается с той или иной точностью к требуемому значению.

Формирующий элемент и исполнительный механизм составляют регулятор. Регулятор и объект в совокупности образуют систему регулирования.

Заметим, что при конструировании регулятора рассмотренной системы необходимо знать все свойства объекта регулирования. Только при выполнении этого условия и отсутствия возмущений можно правильно предвидеть влияние задающего воздействия на регулируемую величину.

Область применения описанной простейшей системы регулирования ограничена тем, что нельзя пренебречь влиянием возмущений. При определенном задающем воздействии и различных возмущениях выходная величина объекта (регулируемая величина) будет иметь разные значения и, следовательно, задача регулирования не будет решена. В связи с этим возникает необходимость контроля возмущений или хотя бы основного из них – возмущения f. Это возмущение нужно измерять, и при его изменениях создавать дополнительное воздействие на объект, компенсирующее влияние возмущения. Таким образом, в состав регулятора необходимо включить элемент 4 (рис. 2.3), который через формирующий элемент создает компенсирующее воздействие исполнительного механизма 2 на объект 1.

Рис.2.3. Функциональная схема разомкнутой системы регулирования с измерением основного возмущения Рассмотренные системы являются разомкнутыми: в них регулируемая величина у не влияет на действие регулятора. Это означает, что характер регулирующих воздействий зависит от свойств объекта лишь в той степени, в какой это учтено при конструировании регулятора. Из-за изменений свойств объекта (и влияния второстепенных возмущений) действительное значение регулируемой величины может значительно отличаться от требуемого значения, при этом регулятор при создании регулирующего воздействия напоминает стрелка, который теряет возможность влиять на результат выстрела после наведения оружия и спуска курка. Разница между двумя системами (см. рис. 2.2 и 2.3) лишь в том, что в последней учитывается влияние возмущения подобно тому, как стрелок делает поправку на ветер. В реальных условиях часто отсутствует исчерпывающая и достоверная информация о свойствах объекта регулирования и о характере возмущений, и поэтому разомкнутые системы регулирования оказываются неэффективными. В связи с этим прибегают к созданию более сложных, но и значительно более совершенных замкнутых систем автоматического регулирования.

В замкнутой системе используется принцип обратной связи, возможно, самый мощный принцип автоматического регулирования и управления. Такая система в простейшем случае (рис. 2.4) состоит из объекта регулирования 1 и регулятора, который, кроме исполнительного элемента 2 и формирующего (или усилительно-преобразующего) элемента 3, имеет еще измерительный элемент 4 и элемент сравнения (сумматор) 5.

Рис.2.4. Функциональная схема замкнутой CAP Измерительный элемент 4 осуществляет обратную связь в системе обеспечивает влияние регулируемой величины у на вход системы. Сигнал уо, пропорциональный регулируемой величине, сравнивается с задающим воздействием g. Если регулируемая величина отклонилась от требуемого значения, то изменяется сигнал рассогласования (сигнал ошибки) х = g-уо, который воздействует на элемент 3. Затем воздействие передается на исполнительный элемент 2 и на объект 1, в итоге отклонение регулируемой величины от требуемого значения устраняется (с определенной степенью точности).

Таким образом, в замкнутой системе воздействие на объект формируется не только в зависимости от задающего воздействия, как в замкнутой системе (рис. 2.2), но и от состояния объекта и наличия возмущения. Точнее, регулирующее воздействие определяется отклонением регулируемой величины от заданного значения. Поэтому принцип обратной связи позволяет успешно решать задачу регулирования, несмотря на некоторую неопределенность или неточность в характеристиках объекта регулирования и исполнительного механизма, а также сведениях о возмущениях.

Можно видеть, что в замкнутой системе автоматического регулирования по отклонению нет необходимости получать информацию непосредственно о задающем воздействии, которое используется лишь для сравнения с сигналом обратной связи, и о возмущениях, однако это допустимо не всегда. В некоторых случаях качество такого регулирования оказывается неприемлемо низким. Тогда обеспечивается комбинированное регулирование при котором сочетаются принципы замкнутой и разомкнутой систем.

Рис. 2.5. Функциональная схема замкнутой CAP с дополнительной связью При комбинированном регулировании создается дополнительная связь 6 по возмущению (рис. 2.5, а), которая компенсирует влияние возмущения «в основном», а замкнутый контур устраняет рассогласование, возникающее при изменениях задающего воздействия и вследствие неточности действия дополнительной связи 6. Используются также комбинированные системы с дополнительной связью 7 по задающему воздействию (рис. 2.5, б), которая и обеспечивает «в основном» его воспроизведение регулируемой величиной. Замкнутый контур в этом случае устраняет рассогласование, возникшее из-за неточности действия дополнительной связи и вследствие воздействия возмущений.

3. Основные понятия и определения курса ТАУ ТАУ изучает вопросы, связанные с управлением техническими системами, включающими объект и устройства управления, другие функциональные элементы, в результате которого выходной сигнал объекта изменяется по определенному закону, задаваемому устройством управления.

Изменение выходного сигнала определяется функцией цели (целевой функцией).

Система автоматического управления (САУ) отличается от САР тем, что в последней осуществляется процесс регулирования, но не управления, т.е. выходной сигнал хвых в САР должен соответствовать (в идеале быть равным) заданному значению этого хвых(t).

Существуют три основных принципа регулирования:

1. принцип регулирования по отклонению (принцип ПолзуноваУатта);

2. принцип регулирования по возмущению (принцип Понселе).

3. принцип комбинированного регулирования.

Первый метод отличается наличием в системе обратной связи (ОС), следовательно, при этом система (система автоматического регулирования) (САР) является замкнутой. Второй метод отличается наличием устройства компенсации возмущения, ОС отсутствует, т.е. система является разомкнутой. При третьем методе одновременно используются оба основных принципа регулирования – по отклонению и возмущению.

С целью анализа и синтеза систем (САР и САУ) используются так называемые структурные схемы (СС). СС – это условное графическое изображение реальной САУ, показывающее тип звеньев, а также наличие и характер взаимосвязей элементов автоматики (ЭА). На СС показывается вход и выход САУ (рис. 3.1).

прямоугольниками (блоками), а сигналы (воздействия), отражающие связи между ЭА, обозначаются стрелками.

2. Графовые СС (ГСС) или сигнальные графы, просто «графы», или графы Мэйсона. В них ЭА обозначаются дугами (стрелками), а сигналы воздействия – точками, называемыми узлами графа или вершинами дуг графа.

На БСС и ГСС рядом с обозначением каждого ЭА указывается: передаточная функция (ПФ) для БСС и оператор дуги графа для ГСС.

Рассмотрим следующую СС (рис. 3.2).

На рис. 3.2 используются следующие обозначения: Wi(s) – передаточная функция i-го звена; i = 1,3 – номер звена. Индекс i – это вектор целых чисел (рис. 3.3).

i(x3)= i(x2)= В памяти компьютера можно зафиксировать вектор размерности Rn, где n>4; Rn – гиперпространство.

Соответственно поверхность в нем называется гиперповерхностью.

Гиперповерхность с линейными координатами является гиперплоскостью.

При этом в уравнении этой поверхности все координаты xi (где i=1,n) являются переменными в первой степени.

Уравнение гиперплоскости:

Понятие гиперплоскости используется в теории оптимальных систем.

Структурная схема, имеющая один вход и один выход, называется скалярной СС. Соответственно такая САУ называется скалярной. СС, имеющая более одного входа и/или более одного выхода, называется векторной СС, а САУ – векторной САУ.

Изобразим приведенную на рис. 3.2 БСС в виде сигнального графа (рис. 3.4).

Путь на графе от узла 3 к узлу 1 через узел 5 является отрицательной обратной связью (ООС). ООС – цепь, по которой сигнал с выхода САУ подается через элемент обратной связи на вход САУ со знаком «минус» относительно хвх(t). Входной / выходной сигналы принято обозначать либо в виде двойной стрелки (рис. 3.5, а), либо через единичную дугу (рис. 3.5, б):

Рис. 3.5. Обозначение входного / выходного сигналов:

Оператор дуги графа (т.е. ПФ звена, представленного дугой) обычно указывается в угловых скобках.

Изобразим схему САР в свернутом (обобщенном) виде (рис. 3.6).

Объект I управления ОУ (объект регулирования ОР) – это машина, аппарат или технологический процесс, который необходимо автоматизировать, т.е. заставить выходной сигнал xвых измениться определенным образом под действием управляющего устройства (УУ) или автоматического регулятора (АР) II.

РО (регулирующий орган) – это вентиль, задвижка, заслонка, дверь и т.д., т.е. определенный запорно-регулирующий элемент. F(t) – внешнее возмущающее воздействие; мешающий фактор; сигнал, стремящийся вывести ОР из нормального режима, т.е. исказить изменение xвых(t). Например, f(t) – температура окружающей среды (цеха, отделения) для холодильника, величина нагрузки. Это также может быть величина загрузочной порции в электрическую мясорубку, нагрузка на валу асинхронного двигателя, расход насоса охлаждающего агента – рассола. F(t) – это также разные шумы и помехи. Хзад – сигнал задания (задающее воздействие), т.е.

сигнал от специального устройства – задатчика, который устанавливает (задает) в системе САР требуемое значение выходного сигнала xвых. Здесь xзад является полезным сигналом; получив его, САР должна установить в системе xвых=xзад. Сигнал задания должен быть отработан системой и на выходе САР должна установиться выходная координата xвых=xзад. Поэтому канал, по которому происходит эта отработка, называется каналом управления (регулирования) или каналом задающего воздействия. Внешнее возмущающее воздействие f(t) создает искажение режима регулирования в САР, и, в конечном счете, его действие на ОР должно быть устранено; поэтому канал, по которому возмущение влияет на ОР, называется каналом возмущения.

Вывод: в каждой реальной САР есть как минимум 2 канала:

Xу – сигнал управления (управляющий сигнал); формируется посредством АР с целью воздействия на ОР; xрас – сигнал рассогласования или ошибка [(t)] рассогласования (ошибка отклонения):

3.2. Развернутая структурная схема САР по отклонению Развернутая СС САУ (рис. 3.7), в которой реализуется принцип регулирования по отклонению, состоит из 7 обязательных элементов – звеньев автоматики.

ИМ УФЗР ЗУ

ЗУ – задающее устройство (задатчик); задает сигнал, равный требуемому значению хвых(t).

УФЗР – устройство формирования закона регулирования; формирует управляющий сигнал ху (на выходе); на вход УФЗР поступает сигнал ошибки (t) с выхода сумматора 2.

ИМ – исполнительный механизм (серводвигатель), управляющий регулирующим органом (РО) 5, который перераспределяет поток энергии или вещества, поступающий в объект управления (ОУ) 6.

ИУ – измерительное устройство; служит для непрерывного снятия информации о состоянии ОР; является элементом цепи отрицательной обратной связи (ООС).

3.3. Сведения об измерительных устройствах. Энтропия. Информация Нормальная работа САУ обеспечивается текущим контролем за режимом ее работы, и сводится к своевременному и качественному управлению технологическими параметрами объекта управления.

Существует 4 уровня автоматизации:

1. Регулирование;

3. сигнализация, защита, блокировка;

4. полуавтоматическое (ручное) управление силовыми механизмами и РО.

Регулирование в САУ невозможно без контроля выходной координаты (xвых), т.к. для поддержания xвых в рамках изменения xзад(t) необходимо иметь т.е. ошибка рассогласования между xос и xзад должна быть равна нулю. Однако в силу инерционности элементов САУ условие =0 не сохраняется долгое время. Реальная зависимость xвых представлена на рис. 3.8.

xвых(t) xвых.доп(t) вается xвых=xзад (в соответствии с технологичеРис. 3.8. Зависимость ским регламентом), т.е. на выходе САУ уставыходного сигнала САУ навливается заданное значение технологического параметра (например, t°, давление, уровень, расход, влажность, pH и т.д.).

Существует три разновидности систем автоматики:

1. Системы стабилизации (xвых=xзад=const);

2. Следящие САУ (xзад(t) – функции времени);

3. Системы программного типа;

В состав систем последнего класса входит программный регулятор, который по заданной («зашитой» в него) программе (алгоритму) реализует изменение во времени xвых; без знания информации о выходной координате нельзя выполнить точное регулирование; чем больше информации будет получать система о регулируемом технологическом параметре, тем эффективнее будет осуществляться регулирование в системе. Иными словами, ОУ будет становиться более определенным. С более определенного объекта ИУ снимает более точную информацию и подает ее в систему. Из этого следует, что процесс управления способствует накоплению информации, а последняя – уточняет процесс управления.

Информацию можно выразить в количественной форме. Интегральной оценкой неопределенности системы (хаотичности) является энтропия;

которая для дискретных систем рассчитывается по формуле Шеннона К.Э.:

где: pk – вероятность k-го состояния системы; а – 2; 10; е – основание логарифма; определяет единицы измерения энтропии (соответственно, бит – двоичная единица; дит – десятичная единица; нит – натуральная единица);

n – общее число возможных состояний в системе.

Энтропия (неопределенность системы) с 2-мя равновероятными состояниями (в этом случае для снятия неопределенности в системе необходимо в нее ввести информацию, равную 1 биту, т.е. задать 1 вопрос, ответ на который сделает систему полностью определенной, детерминированной) равна Если система имеет n равновероятных состояний, т.е. вероятность k-го состояния Рк= 1/n, где k = 1, n, то энтропия такой системы:

где а=2.

Реальная система непрерывного типа всегда может быть сведена к системе дискретного типа. Для этого надо весь диапазон ТП разбить на ряд поддиапазонов и каждый поддиапазон рассматривать в качестве некоторого дискретного состояния. Если число n велико и номер состояния можно выразить двоичным числом вида n=2m; то H ( x) = log 2 2m = m, бит.

Следовательно, в дискретной системе энтропия определяется числом состояний: чем больше n, тем больше Н(х) и наоборот, т.е. система становится более определенной, если число n мало.

Реальные системы в основном – непрерывны, поэтому для оценки Н(х) в формуле Шеннона К.Э. вместо Рк нужно использовать плотность распределения вероятностей f (t ) технологического параметра x.

технологического параметра Тогда при подстановке в формулу Шеннона К.Э. вместо pk выражения f k ( x)x получим:

или:

где H(x)* – приведенная энтропия (энтропия непрерывной системы); logx =const.

3.3.2.1. Расчет энтропии для непрерывной системы с нормальным При нормальном законе где M(x)= x = 0.

Здесь «нит» – единица измерения энтропии (натуральная цифровая единица) при основании логарифма а = е = 2,718.

Вывод: Энтропия Н(х)* тем больше, чем больше (среднеквадратичное отклонение ТП).

равновероятным законом распределения технологического Рис. 3.10. Плотность распределения ТП Вывод: Энтропия тем больше, чем больше диапазон возможного изменения ТП (х).

Задачи анализа и синтеза систем управления решаются с помощью такого мощного математического аппарата, каким является операционное исчисление (преобразование) Лапласа.

В соответствии с основной концепцией преобразования Лапласа, любой временной зависимости (внешним воздействиям, выходным координатам, промежуточным внутренним сигналам, виртуальным ненаблюдаемым переменным) ставится в соответствии так называемое изображение по Лапласу этой временной зависимости.

Таким образом, формально задаются два пространства (области): пространство оригиналов, к которому условно относят все временные зависимости-оригиналы, и пространство изображений (по Лапласу), в котором формируются соответствующие этим оригиналам изображения (рис. 4.1).

3. функция f(t) в явном Рис. 4.1. Пространство оригиналов и изображений ДУД – дифференциальное уравнение динамики системы; АУД – алгебраическое уравнение динамики в изображениях; ППЛ – прямое преобразование Лапласа; ОПЛ – обратное преобразование Лапласа.

Здесь изображение F(s) для соответствующего оригинала, f(t) находится по интегральной формуле Эйлера:

Данное выражение описывает так называемое прямое преобразование Лапласа, т.е. операцию перехода от оригинала к изображению. Обратный переход от изображения к оригиналу, соответствующий обратному преобразованию Лапласа, совершается несколькими способами, эффективность которых при решении конкретных задач – различна. Наиболее универсальным способом отыскания оригинала по заданному изображению является использование предельной формулы Хевисайда-Меллина:

где [.....] s; s – переменная Лапласа; sk, k = 1, n – полюсы с номером k;

Корни полинома D(s) знаменателя изображения L{f(t)} являются полюсами этого изображения; k – номер полюса; n – общее число полюсов; nk – количество одинаковых полюсов с номером k; q – число разных полюсов изображения.

Корни полиномов могут быть: нулевыми; вещественными (отрицательными, положительными); мнимыми (всегда парными, сопряженными) и комплексными сопряженными.

4.1. Основные теоремы преобразования Лапласа 1. Теорема линейности где А, В, С – постоянные; F1(s) = L{f1(t)} и т.д.

3. Теорема масштабирования где – коэффициент масштабирования аргумента t оригинала; – вещественная константа.

4. Теорема о дифференцировании оригинала где f(0) – начальное значение оригинала f(t);

f (0) – начальное значение первой производной оригинала;

…………………………… где – f (0)( i 1) начальное значение (i-1)-й производной оригинала.

5. Теорема об интегрировании оригинала 6. Теорема о смещении оригинала (по аргументу t) где – вещественная постоянная (положительная или отрицательная).

7. Теорема о смещении изображения (по переменной Лапласа s) где а – комплексное число.

8. Теорема о свертке двух оригиналов где x(t) – входное воздействие; W(s) – передаточная функция; y(t) – реакция системы на воздействие вида x(t); w(t) – импульсная переходная функция.

САУ систем используются стандартные (типовые) испытательные входные воздействия xвх(t). xвых(t) – реакция САУ на входной сигнал.

Рассмотрим пять основных входных воздействий.

Единичное ступенt ) = [1] = (функция Хевисайда) f – линейная частота (Гц); T – период (с); – угловая частота (рад/с);

– фаза (град); xвх m(t) – амплитуда сигнала.

Из графика волновых функций видно, что xвх2(t) отстает по фазе от xвх1(t) циальное воздействие T – постоянная времени (постоянная экспоненты) – время, за которое экспонента достигнет max при изменении с постоянной скоростью, равной начальной в точке ничное экспонен- циальное воздействие т.к. xвх ( t = T ) = exp ( T T ) = exp(1) = 1 e = xвх e, то T – время, за которое экспонента уменьшается в 2,718 раз 4.3. Типовые выходные воздействия (реакции) 1. Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие называется переходной функцией и обозначается h(t).

2. Реакция системы на единичное импульсное воздействие (t) называется импульсной переходной функцией (функцией веса, весовой функцией) и обозначается w(t).

САУ САУ

Временные выходные характеристики зависят от типа САУ. Они изучаются во временном анализе. Временной анализ изучает динамику звеньев и систем, т.е. изменение их реакций во времени.

5. Дифференциальное уравнение динамики звеньев Общий вид ДУД в классической форме записи в пространстве оригиналов:

В левой части уравнения записываются выходной сигнал и его производные до n-го порядка включительно, справа – входной сигнал и его производные до m-го порядка.

В свернутой форме ДУД имеет вид:

где dj и gi – постоянные коэффициенты полиномов выходного и входного воздействий. Коэффициенты dj и gi являются функциями реальных параметров всех составляющих систему звеньев. Этими параметрами могут быть, например, коэффициенты передачи отдельных звеньев, их постоянные времени, запаздывания и так далее. Здесь j и i – номер слагаемых соответственно полиномов выходного и входного воздействий; j = 0, n, i = 0, m, n – порядок (степень) системы, определяющий ее сложность.

При m n система с подобным ДУД может быть технически реализована. Другими словами, в такой системе выходной сигнал всегда отстает по фазе от входного воздействия (условие технической реализуемости).

ДУД в операторной форме имеет такую запись:

где p = d dt – оператор дифференцирования (оператор Лапласа).

При нулевых начальных условиях (т.е. при p при p или с помощь рядов:

где s – переменная Лапласа; d j s n j = D ( s n ) – характеристический поj =0 лином системы в виде изображения; gi s mi = G ( s m ) – полином при входном воздействии.

6. Связь между передаточной функцией и временными Установим связь между ПФ W(s) звена (системы) и типовыми выходными характеристиками – переходной h(t) и весовой w(t) (импульсной переходной) функциями.

значит:

Отсюда, зная переходную функцию в аналитической форме, можно определить структуру звена (системы) в виде ПФ W ( s ) = f1 ( s ) = f1{h(t )} (в кибернетике такая задача именуется задачей «выбеливания» черного ящика).

Обратно, при известной ПФ задача определения h(t) решается с помощью обратного преобразования Лапласа (например, с использованием формулы Хевисайда-Меллина):

Поэтому искомая связь W ( s ) = f 2 ( s ) = f 2 {w(t )} запишется так:

откуда видно, что ПФ является изображением (лапласианом) весовой (импульсной переходной) функции.

Иными словами, W ( s ) = L {w(t )}, т.е. W ( s ).

Задача определения импульсной переходной функции w(t) при известной ПФ W(s) решается просто:

откуда любыми методами обратного преобразования определяется искомая функция.

7. Передаточные функции и частотные характеристики Прохождение (передача) сигнала через линейную динамическую систему (ЛДС) характеризуется передаточными функциями (ПФ):

временной ПФ:

передаточной функцией (ПФ):

частотной передаточной функцией (ЧПФ):

где s = j, j = 1 – мнимая единица; – частота сигнала, проходящего через звено ЛДС; следует учитывать, что при прохождении сигнала через линейную систему частота сигнала не меняется, т.е. =idem.

ЧПФ иначе именуется комплексным коэффициентом передачи или амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) или амплитудно-фазочастотной характеристикой (АФЧХ) (рис. 7.1).

Здесь вектор на комплексной плоскости определяет частотную ПФ при частоте, равной 1:

где Re(1 ) – вещественная составляющая ЧПФ при =1; Im(1 ) – мнимая составляющая ЧПФ при =1.

Кривая, соединяющая концы векторов ЧПФ, изображенных на комплексной плоскости при =i, где = i = var = 0..., называется годографом ЧПФ (годографом системы):

где A() – АЧХ системы; () – ФЧХ системы.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) системы определяет ее усилительные свойства. Физически А(1) равна отношению амплитуды выходного синусоидального сигнала хвых.m к амплитуде входного синусоидального сигнала на определенной частоте 1:

Фазо-частотная характеристика () (ФЧХ) системы определяет ее инерционные свойства. Физически (1) равна разности начальных фаз выходного и входного синусоидальных сигналов на частоте 1:

Проиллюстрируем усиление и инерционность системы, выраженные посредством АЧХ и ФЧХ (рис. 7.2).

xвых m xвх m 0 вых Частотная передаточная функция (ЧПФ/АФХ) ЧПФ (рис. 7.3) – W(j) – является параметрической комплексной функцией, т.к.

где: – угловая частота сигнала, параметр годографа (рад/с, с-1); Re() и Im() – частотные функции, проекции вектора ЧПФ на вещественную и мнимую оси соответственно.

На годографе показаны:

1) Амплитуда (относительная) выходного сигнала А(1) при частоте 1>0;

2) Фаза (как разность начальных фаз выходного и входного сигналов) выходного сигнала (1) при частоте 1;

3) Re(1) – вещественная составляющая ЧПФ на частоте 1;

4) Im(1) – мнимая составляющая ЧПФ на частоте 1;

5) Характерные частоты:

•1 – некоторая текущая частота >0;

•/2 – частота сигнала, на которой выходной сигнал отстает от • и 3/2 – то же, но углы сдвига хвых(t) относительно хвх(t) в сторону отставания составляют соответственно –180° и –270° (здесь знак «–»

указывает на отставание хвых(t) от хвх(t));

•2 – частота сигнала, при которой в диапазоне = 3 2.... вещественная ЧПФ (ВЧПФ) Re( = 2 ) = max.

ЧПФ является основной и всеобъемлющей ЧХ системы. Она характеризует одновременно и усилительные, и инерционные свойства САУ. Как уже было сказано, усилительные свойства – это изменение амплитуды выходного сигнала по сравнению с амплитудой входного:

Инерционные свойства – это изменение сдвига фаз выходного сигнала относительно входного, а именно ( ) = 0вых 0 вх.

ЧПФ не является функцией, а является совокупностью 2-х функций одного и того же аргумента, т.е. либо совокупностью Re() и Im(), либо А() и ().

ВЧПФ (рис. 7.4) – Re() – является функцией частоты. Характер ее изменения легко усматривается из формы годографа ЧПФ.

МЧПФ (рис. 7.5) – Im() – также функция частоты.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) АЧХ (рис. 7.6) – A() – частотная функция, характеризующая усилительные свойства системы.

ФЧХ (рис. 7.7) – () – частотная функция, характеризует инерционные свойства системы.

ЛАЧХ (рис. 7.8) – L() – частотная функция; также как и АЧХ характеризует усилительные свойства.

L ( ) = 20lg A( ).

Здесь ср, – частота среза, т.е. частота, на которой L()=0, т.е.

A(ср ) = 1,0.

Единица измерения ЛАЧХ (т.е. уровня сигнала) – децибел (дБ). Поскольку: 1дБ = 20lg A( ), то:

Другими словами, 1дБ соответствует изменению сигнала (увеличению или уменьшению) в 1,12 раза; 20дБ – в 10 раз; 40дБ – в 100 раз; 60дБ – в 103 и так далее.

Следует заметить, что ось L() – нефиксированная; для практических расчетов эта ось располагается всегда левее минимальной рассматриваемой в решаемой задаче частоты.

7.2. Типовые логарифмические характеристики Рассмотрим четыре типовые АЧХ:

1. А1()=k 2. А2(2)=k2/ 3. A3()=k3/ 4. A4()=k где k1,…,k4 – коэффициент передачи системы; характеризует усиление выходного сигнала при подаче на вход САУ ступенчатого сигнала при t.

• Для АЧХ А1() усиление инвариантно (не меняется) относительно частоты и всегда равно k1.

• Для АЧХ А2() усиление синусоидального сигнала с ростом • Для АЧХ А3() усиление падает по гиперболе второго порядка.

• Для АЧХ А4() усиление возрастает линейно.

Построим соответствующие ЛАЧХ систем (рис. 7.9).

усиления ослабления сигнала, Рис. 7.9. Типовые логарифмические характеристики 1) А1()=k L1 ( ) = 20lg A1 ( ) = 20lg k1 ; пусть k1=100, тогда L1 ( ) f1 ( ) ;

L1 ( ) = 20lg100 = 40 дБ.

Отсюда видно, что ЛАЧХ представляет собой прямую, падающую при увеличении, причем коэффициент наклона прямой составляет -20дБ на диапазоне частот в 1 декаду (единичный отрицательный наклон ЛАЧХ).

Декада представляет собой диапазон частот, границы которого отличаются в 10 раз. Построим ЛАЧХ L2() по двум точкам: при =0,1 с-1 и =1,0 с-1; k2=100 о.е.

L2 ( ) = L2 ( = 0,1) = 20lg k2 20lg 0,1 = 40 + 20 = 60 дБ.

L2 ( = 1) = 40 дБ.

Наклон ЛАЧХ равен -20 дБ/дек. Определим частоту среза ср2:

L2 ( ) = 0 = 20lg k2 20lg, ср 2 = k2 = 100 рад/с.

3) A3 ( ) = L3 ( ) = 20lg k3 20lg 2 = 20lg k3 40lg.

Видно, что ЛАЧХ – прямая с наклоном -40дБ/дек (двойной отрицательный наклон). Построим ее по двум точкам.

L3 ( = 0,1) = 80 дБ; L3 ( = 1) = 40 дБ.

Наклон равен -40 дБ/дек. Найдем частоту среза ср3:

ср 3 = k3 ; ср 3 = k3 = 10 рад/с.

4) A4 ( ) = k4.

L4 ( ) = 20lg k4 + 20lg.

ЛАЧХ – прямая с наклоном +20дБ/дек (положительный единичный наклон).

k4 = 10 ; L4 ( = 0,1) = 0 дБ; L4 ( = 1) = 20 дБ; ср 4 = k4 1 = 0,1 рад/с.

Динамические звенья могут быть разделены на четыре группы:

1) Позиционные звенья.

2) Дифференцирующие звенья.

3) Интегрирующие звенья.

4) Специальные звенья.

Первая группа объединяет звенья, у которых между входным воздействием и выходной координатой существует функциональная связь. В этих звеньях после окончания переходного процесса, вызванного действием на звено ступенчатого сигнала, выходная координата становится равной постоянному значению.

У звеньев второй и третей группы отсутствует такая связь, и выходная координата связана с входной либо интегральной зависимостью, либо через производные.

К звеньям четвертой группы можно отнести те, передаточные функции которых имеют вид трансцендентных функций (экспоненциальных, логарифмических, специальных и прочих).

Выделим звенья, имеющие первоочередное значение в курсе ТАУ.

1. Идеальное статическое звено (иначе – инерционное звено нулевого порядка; безынерционное звено; идеальное усилительное звено; Пзвено).

2. Апериодическое звено первого порядка (инерционное звено первого порядка; реальное усилительное звено; реальное статическое звено;

минимально-фазовое звено первого порядка).

3. Апериодическое звено второго порядка.

4. Колебательное звено.

1. Идеальное дифференцирующее звено.

2. Реальное дифференцирующее звено.

1. Идеальное интегрирующее звено.

2. Реальное интегрирующее звено.

3. Идеальный изодром (идеальное ПИ-звено).

4. Реальный изодром.

5. Идеальное пропорционально-интегро-дифференцирующее звено (ПИД-звено).

6. Реальное ПИД-звено.

1. Звено чистого (транспортного) запаздывания.

2. Инерционное звено 1-го порядка с чистым запаздыванием.

3. Идеальный интегратор с чистым запаздыванием.

8.1. Алгоритм анализа функционирования динамических звеньев 1. Записывается дифференциальное уравнение динамики звена – в виде оригинала или изображения.

2. По ДУД записывается ПФ звена.

3. Временной анализ (ВА):

Расчет переходной характеристики h(t) Расчет весовой функции w(t) Определение реакции звена на задающее входное воздействие произвольной формы (при расчетах ВХ используется формула Хевисайда или другие выражения обратного преобразования Лапласа).

4. Частотный анализ:

Определение частотной передаточной функции (комплексного коэффициента передачи; амплитудно-фазовой характеристики), Расчет вещественной ЧПФ, Re() Расчет мнимой ЧПФ, Im() Определение логарифмической АЧХ, L().

1. ДУД звена: xвых(t)=kxвх(t), где k – коэффициент передачи звена.

3. Временной анализ:

Рис. 8.1. Временные характеристики безынерционного звена:

а – переходная характеристика; б – весовая функция 4. Частотный анализ:

Рис. 8.2. Частотные характеристики безынерционного звена:

1. T ( dxвых (t ) dt ) + xвых (t ) = kxвх (t ) – ДУД в классической форме;

(Ts + 1) xвых (s) = kxвх ( s) – ДУД в изображениях при нулевых начальных условиях по xвх(t) и xвых(t).

чи соответственно.

3. Временной анализ:

4. Частотный анализ:

АФХ при изменении частоты в интервале =0… представляет собой полуокружность с центром в точке (k/2;0) и радиусом, равным k/2 (рис. 8.4, а).

0.707k Рис. 8.4. Частотные характеристики инерционного звена:

Найдем приближенные характеристики в виде двух линейных аппроксимант, построенных в зонах низких (НЧ) и высоких (ВЧ) частот:

Здесь 0 и 1 – наклоны аппроксимант, соответствующие 0 дБ/дек и - дБ/дек; max – максимальное значение ошибки аппроксимации ЛАЧХ. Найдем max как разность между аппроксимантой ЛАЧХ в зоне НЧ и реальной точной ЛАЧХ на частоте сигнала =с=1/Т.

max = 20lg k 20lg k + 20lg 1 + c 2T 2 = 20lg 2 3 дБ.

Динамику звеньев апериодического 2-го порядка и колебательного рассмотрим на единой математической основе.

Поведение обоих звеньев описывается неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка в операторной форме:

где p = – оператор Лапласа; T1 и T2 – постоянные времени; имеющие особый физический смысл для того и другого звена; k – коэффициент передачи; k, T1, T2 – параметры звеньев.

ДУД можно записать в иной форме:

откуда, раскрывая скобки, можно видеть, что:

T22 = T3T4 ; T1 = T3 + T4.

Корни характеристического полинома D(p):

Разница между звеньями устанавливается на основании так называеT ношению постоянных времени. При этом, если 1, т.е. при Т1 >2T2, то данное ДУД описывает апериодическое звено 2-го порядка; если < (Т1T4 (индексация постоянных устанавливается экспериментально).

• для колебательного звена:

(колебаний, которые возникают на выходе – частота колебаний, развивающихся в звене (точнее, на его выходе) при наличии демпфирования; m =, где m – декремент затухания.

Таким образом, демпфирование (гашение) рами, и m. Из них и m – безразмерные, а имеет размерность частоты.

Информация о полюсах апериодического ляет рассчитать временные выходные характеРис. 8.5. Временные ристики h(t) и w(t). Так, для АП-2 по формуле Анализ уравнения переходной характеристики показывает, что последняя описывает монотонно изменяющийся во времени процесс выходной координаты, стремящийся к новому устойчивому состоянию, которое достигается в новом установившемся режиме (рис. 8.5, а).

Координату tB точки перегиба А переходной функции h(t) определим из условия анализа функции на наличие экстремума:

т.е. в явном виде имеем однородное уравнение:

решая которое относительно t=tВ, получим:

Анализ графика h(t) показывает, что при наличии экспериментально полученной переходной функции все 3 параметра (k, T1, T2 или k, T3, T4) определяются графо-аналитическим способом:

Для КЗ, используя данные о полюсах изображения H(s), найдем переходную характеристику:

Здесь динамика характеризуется тремя независимыми параметрами: k,,.

Так как частота демпфированных колебаний = q 1 2, то 1 > 2, при этом < q для обоих звеньев. Оба этих обстоятельства (гашение по амплитуде и разные частоты) хорошо показаны на рис. 8.6.

В расчетах часто используется еще один показатель затухания колебаний (степень затухания). Он равен относительной разности двух смежных по времени амплитуд переменной составляющей (амплитуд перерегулирования) а1 и а2:

Параметры КЗ в виде набора k,, можно легко найти, если имеется снятая экспериментально переходная функция h(t) (рис. 8.6).

Рис. 8.6. Переходные функции двух колебательных звеньев:

т.к. 1< 2, то колебания 1-го звена гасятся по амплитуде меньше, чем 2-го где µh – масштаб h(t).

Частотный анализ апериодического звена производится на основе записи ПФ в частотной форме:

Полученную таким образом в аналитическом виде ЧПФ строим на комплексной плоскости (рис. 8.7, а) при условии = var =0…. Годограф ЧПФ представляет собой кривую, расположенную в 4-м и 3-м квадрантах (местоположение годографа и его характерных точек легко устанавливается из анализа знаков Re() и Im() и их аналитических записей; в частности, из условия 1-2T3T4=0 определяется частота перехода годографа из 4й четверти в 3-ю; пер = = ). Проекции годографа на вещественную и мнимую оси в функциональном виде представлены на рис. 8.7, б,в.

Рис. 8.7. Частотные характеристики апериодического звена 2-го порядка:

По виду годографа (в англоязычной литературе используется понятие «локус») можно заключить, что при увеличении вектор W(j) поворачивается по часовой стрелке до максимального угла –180° (такое изменение угла определяет ФЧХ звена), при этом его модуль (АЧХ) плавно уменьшается от k до 0 (при ).

Изменения относительной амплитуды выходного синусоидального сигнала (т.е.А()) и сдвига фазы xвых(t) относительно xвх(t) (т.е. ()) при = var показаны на рис. 8.7, г,д.

АЧХ говорит о том, что апериодическое звено 2-го (также как и 1-го) порядка обладает свойствами низкочастотного фильтра, т.к. хорошо пропускает низкие частоты и плохо – высокие (эффективно их гасит).

На весьма высоких частотах (рис. 8.7, д) звено сдвигает выходной сигнал относительно входного примерно на полпериода (–180°), таким образом, звено на этих частотах работает в режиме инвертора (в режиме смены знака сигнала, в режиме противофазы).

Точная логарифмическая АЧХ (ЛАЧХ) звена имеет выражение:

Аппроксимируем ЛАЧХ, т.е. найдем характеристики – аппроксиманты в виде прямых линий с типовыми наклонами (0, –20 и –40 дБ/дек) в зонах низких, средних и высоких частот (в зонах НЧ, СЧ и ВЧ):

Здесь входом каждого последующего звена является выход предыдущего.

Запишем связи между звеньями в виде изображений.

Отсюда:

где k – номер звена.

Следовательно, ПФ системы равна произведению ПФ последовательно соединенных звеньев.

В этой схеме на вход каждого k-го звена ( k = 1, N ) подается один и тот же сигнал (хвх). На выходе схемы выходные сигналы всех звеньев суммируются сумматором СЭ, в результате формируется выходной сигнал хвых.

_ L{xвых (t )} = L{xвх (t )} Wk (s).

Значит, ПФ системы равна сумме ПФ параллельно соединенных звеньев.

В этой схеме в прямой цепи находится звено с ПФ W1(s), во встречно – параллельной (в цепи обратной связи) – звено с ПФ Woc(s), т.е. звено с ПФ W1(s) охвачено обратной связью со звеном с ПФ Woc(s).

Подставив (3*) в (2*) и далее в (1*), получим:

т.е. ПФ такой системы равна ПФ прямой цепи W1(s), делённой на единицу плюс произведение ПФ-й прямой цепи и цепи обратной связи Woc(s) – для случая отрицательной обратной связи (минус – для случая положительной обратной связи).

г) Соединения с перекрестными обратными связями Рис. 10.4. Соединение звеньев с перекрестными связями В такой схеме общую ПФ W(S)=L{xвых } / L{хвх} можно найти, выразив через изображения сигнал х2(t), определенный двумя способами: при подходе к точке х2 слева и справа. Решив полученное таким образом уравнение относительно L{xвых } / L{хвх}, получим:

Часто для упрощения исходной СС требуется перенести точку ветвления или сумматор вперед или назад по направлению прохождения сигнала через звено, стоящее на пути переноса. Для эквивалентирования исходной и модифицированной схем в модифицированную схему необходимо включить звено коррекции (эквивалентности) с ПФ Wk(s). Условием эквивалентности является равенство сигналов в исходной и модифицированной схемах.

I. Перенос точки ветвления вперед через звено с ПФ W1(s) Условие эквивалентности СС1 и СС2: равенство сигналов x и y в обоих схемах.

Из СС2:

Подставив в (2*) y(s) из (1*), получим Wk ( s ) = где W1(s)-1 – Обратная ПФ звена, через которое совершается перенос точки Ветвления.

По аналогии рассуждений изобразим эквивалентные схемы для следующих случаев.

II. Перенос точки Ветвления Назад через звено с ПФ W1(s) III. Перенос Сумматора с двумя входными сигналами х1 и х2 Вперед Для простоты запоминания типа ПФ коррекции Wk(s) можно воспользоваться таким мнемоническим правилом (на алфавитной основе):

Перенос (точки) Ветвления через W(s): Вперед Обратная ПФ W-1.

Итоговое правило: В-В-О.

Перенос (точки) Ветвления через W(s): Назад Прямая ПФ W. Итоговое правило: В-Н-П.

Аналогично для Сумматора: Вперед С-В-П. Назад С-Н-О.

Заметим, что сумматоры, так же, как и точки ветвления, можно менять местами – без утраты эквивалентности схем.

С помощью приведенных выше правил любую сложную СС можно преобразовать в одноконтурную схему (рис. 10.5):

Схема замкнутой САР называется одноконтурной, если при её размыкании в какой-либо точке (например, на входе звена с ПФ W3) образуется цепь, не содержащая параллельных ветвей и обратных связей. Цепь последовательно соединенных звеньев, находившихся в составе замкнутого контура, называется разомкнутым контуром системы (рис. 10.6).

Поэтому ПФ разомкнутого контура Wp(s) одноконтурной системы равна произведению ПФ звеньев, стоящих в составе замкнутого контура.

При этом ПФ звеньев, стоящих за пределами замкнутого контура, не входят в произведение Wp(s): W p ( s ) = W2 ( s )W3 ( s )W4 ( s )W5 ( s ).

ПФ разомкнутого контура (цепи) входит в выражение ПФ замкнутой системы. Например, для канала (прямой цепи) «x1 – y4» ПФ Ф(s)41 равна:

Знак «±» в числителе соответствует знаку сигнала y3 на сумматоре СЭ3. В рассматриваемой схеме четыре внешних воздействия (х1, х3, х6, х5 ) и четыре выходных переменных (y2, y3, y4, y5 ), поэтому для каждого канала «вход-выход» замкнутой системы может быть определена своя ПФ. Если i = 1, m – номер входного воздействия, а k = 1, r – номер выходной переменной (координаты), то ПФ W(s)ki равна:

т.е. ПФ одноконтурной системы Ф(s)ki по выходу yk относительно входа xi равна ПФ прямой цепи W(s)ki, деленной на единицу плюс ПФ разомкнутого контура Wp(s).

После определения ПФ между всеми m входами и одним из r выходов yk можно на основании принципа суперпозиции для линейных систем записать уравнение динамики замкнутой системы для выхода yk:

где yki(s) – изображение составляющей выходного сигнала yk(s) от действия i-го входного сигнала.

изображениях для выхода yk будет выглядеть так:

где [1+Wp(s)] – собственный (системный) оператор.

Уравнение 1+Wp(s)=0 называется характеристическим уравнением одноконтурной системы в общей форме.

Отсюда следует, что характеристическое уравнение замкнутой одноконтурной системы выглядит как приравненное нулю выражение «единица плюс ПФ разомкнутой цепи (контура)».

одноконтурной системы где D p ( s ) + G p ( s ) – характеристический полином замкнутой одноконтурной системы.

При использовании формулы Мейсона для определения ПФ по какому-либо каналу в многоконтурной системе характеристическое уравнение получается приравниванием нулю выражения определителя Ф(s) многоконтурной схемы.

11. Анализ динамических систем в пространстве состояний Помимо методов расчета систем управления, оперирующих моделями «вход-выход» (или точнее «вход-система-выход»), основу которых составляет аппарат передаточных функций и дифференциальных уравнений динамики в пространстве изображений, в настоящее время получили большое развитие методы машинного решения моделей, составленных на основе обобщенного подхода к исследованию динамических систем с использованием векторно-матричного исчисления.

Одним из таких методов является метод пространства состояний (переменных состояния). В его основе – представление реальной исследуемой системы в виде многомерного (векторного) объекта. В отличие от скалярного (имеющего один вход и один выход) у векторного объекта (или системы) может быть несколько входных и несколько выходных переменных (сигналов, координат) Например, электрогенератор переменного тока (ЭГПТ) имеет две входные переменные (два входа) в виде напряжения обмотки возбуждения Uв(t) и скорости (частоты) вращения ротора p(t), а также две выходные – в виде напряжения статора Uc(t) и частоты электрического тока f(t):

Примером более сложного векторного (многомерного) элемента является такой объект управления, как технологический процесс смесеприготовления на основе сыпучих материалов, характеризующийся целым рядом входных и выходных переменных.

К входным переменным, например, относятся материальные потоки, поступающие от блока дозирующих устройств, режимные параметры дозаторов, от которых зависит структура этих потоков, динамика подачи материалов от дозаторов к смесительному устройству и т.д. К выходным управляемым переменным относятся показатели качества результирующей смеси (содержания основного компонента и сопутствующих добавок), а также большое число режимно-контруктивных и расходовых параметров в разных точках смесительного устройства (в каналах прямой и обратной подачи материалопоков).

В качестве выходных переменных могут использоваться как реальные, поддающиеся измерению, физические переменные, так и абстрактные, на поддающиеся измерению, переменные, например, производные (скорости, ускорения, импульсы и т.д.) от наблюдаемых выходных переменных. На такой основе любой скалярный динамический элемент, описываемый дифференциальным уравнением n-го порядка (при n >1), может рассматриваться как многомерный (векторный).

Таким образом, с помощью определенного набора переменных (входных, выходных, внутренних) можно полностью охарактеризовать состояние любой динамической (векторной или скалярной) системы.

Математическая модель динамики системы, оперирующая переменными состояния, является моделью, сформированной в так называемом пространстве состояний. Данная модель при этом записывается через функции-оригиналы, и не использует изображения по Лапласу. Модель записывается частично в виде дифференциальных уравнений 1-го порядка в векторно-матричной форме (ВМФ); частично – в виде алгебраических уравнений; в структурном отношении дифференциальные уравнения должны иметь так называемую форму Коши.

Полная математическая модель линейной векторной (многомерной) динамической системы n-го порядка состоит из 2-х векторно-матричных уравнений:

1. дифференциального уравнения состояния 1-го порядка (в нормальной форме Коши);

2. алгебраического уравнения выхода (наблюдения).

В скалярной форме матричное уравнение состояния записывается в виде n обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Для одномерного объекта (системы) n-го порядка переменными состояния могут служить выходная координата и её (n-1) производных. В этом случае, т.е. когда переменные состояния связаны соотношением переменные состояния называются фазовыми переменными. При этом n – мерное пространство, координаты которого – переменные состояния, именуется пространством состояния, а способ описания систем посредством таких переменных, называется методом пространства состояний (методом переменных состояния).

Таким образом, состояние системы описывается вектором переменных состояния (ПС) где n – порядок характеристического полинома.

Вектор хj(t) ПС, изменяясь во времени в гиперпространстве Rn состояния системы, образует в нем гиперповерхность состояния. Помимо ПС, на выходе фиксируется вектор yk (t ) выходных координат (или иначе – вектор наблюдения), а на входе действует вектор ui (t ) управляющих воздействий (вектор управления):

Математическая модель ДС в терминах пространства состояний запишется так:

где А – матрица состояния системы; размерность dim A=[nn]; В – матрица управления; dim В=[nm]; C, D – соответственно матрицы выхода по состоянию и управлению; dim C=[rn]; dim D=[rm]; m, n, r – размерности векторов входа, ПС и выхода; i, j, k – порядковые номера скалярных входных воздействий, ПС-я и выходных координат (реакций).

Блок – схема реализации математической модели имеет вид:

ВППС ВПС

Рис. 11.3. Блок-схема структурной реализации векторно-матричной Здесь ВПС – вектор переменных состояния; ВППС – вектор производных переменных состояния; p-1 – интегратор.

Рассмотрим пример составления математической модели в векторноматематической форме для скалярных систем.

Пример 11.1.: Система состоит из двух соединенных последовательно звеньев апериодического типа.

ДУД в операторной форме для первого звена:

y1 (t )(Tp + 1) = k1u (t ).

Отсюда одно из двух скалярных уравнений состояния равно:

y1 (t ) = x2 (t ) = T11 x2 (t ) + k1T11u (t ) Аналогично получим второе скалярное уравнение состояния:

Составим блок-схему реализации модели системы в скалярном виде:

ВППС ВПС

Рис. 11.4. Блок-схема реализации модели системы в скалярном виде В соответствии с данной схемой уравнение состояния в матричной форме запишется так:

Альтернативная модель, соответствующая другому набору переменных состояния x1 (t ) = y1 (t ) записывается следующим образом:

Отметим, что конечная модель не содержит уравнения выхода, поскольку выходная координата выражена через одну из переменных состояния.

12. Метод определения переходной функции по вещественной В различных источниках данный метод называют по-разному: метод h-функций, метод трапеций, метод В.В. Солодовникова. Основой метода является зависимость между переходной характеристикой h устойчивой САР и ее вещественной характеристикой Re() относительно одного из внешних воздействий:

Суть метода заключается в следующем. Интеграл (12.1) вычислен при различных значениях параметров ВЧПФ простейшей формы (трапеция или треугольник) и результаты сведены в таблицу. Реальную характеристику Re() разбивают на несколько простейших Re()i:

Для каждой простейшей характеристики Re()i с помощью таблицы определяют соответствующую ей характеристику hi. Тогда переходная характеристика h, соответствующая ВЧПФ, определяется суммированием составляющих hi:

Рис. 12.1 Единичная трапецеидальная ВЧПФ которое называется коэффициентом наклона. Частоты 1 и 2 называют частотами равномерного и неравномерного пропускания соответственно.

По равенству (12.1) вычислены значения h, соответствующие единичной трапеции с различным коэффициентом наклона от 0 до 1, при различных значениях условного времени = t2. Эти значения h называются h-функциями и приведены в таблице 12.

Построение переходной характеристики h методом трапеций по ВЧПФ состоит из нескольких этапов.

1. Вещественную частотную характеристику разбивают на трапеции (рис. 12.2). Для этого действительную кривую характеристики заменяют приближенно прямолинейными отрезками и концы каждого отрезка соединяют с осью ординат прямыми, параллельными оси абсцисс.

Первый отрезок должен начинаться из точки Re(0), так как эта точка определяет конечное значение переходной характеристики. Более тщательно необходимо аппроксимировать начальную часть ВЧПФ. Ее «хвост», т.е. конечную часть с ординатами, меньшими по абсолютному значению, чем 0,1Re(0), можно не принимать во внимание.

2. Определяют параметры трапеций. Для каждой из i-й трапеции по графику находят частоты 1i и 2i и высоту Reш)i. Частоты отсчитывают от начала осей координат. По значениям 1i и 2i вычисляют коэффициент наклона i и округляют его до ближайшего из значений 0;

0,05; … 0,95; 1. Величину Re()i считают положительной, если меньшая параллельная сторона трапеции расположена выше большей, и отрицательной – в противоположном случае. Сумма высот всех трапеций равна Re(0).

Таблица 12 – Таблица h-функций 1, 1, 0, 0, 0, 0, Рис.12.2. Аппроксимация ВЧПФ трапециями и составляющей hi переходной характеристики:

Иногда можно брать лишь часть значений. Чем больше 2i, тем меньше точек можно брать. При этом следует выбирать точки, равномерно отстоящие одна от другой и определяющие максимумы и минимумы h().

4. Строят график составляющих переходной характеристики (рис.

12.3). Все составляющие располагают на одном графике; знак каждой из них определяется знаком высоты Re()i соответствующей трапеции.

Обычно оказывается, что некоторые составляющие определены на меньших отрезках времени, чем другие. Это означает, что указанные составляющие раньше других достигли установившихся значений и в дальнейшем остаются неизменными.

5. Строят график переходной характеристики. Ординаты ПХ определяют суммированием ординат всех составляющих в выбранные моменты времени. Целесообразно сначала определить дополнительные точки там, где вероятны максимумы или минимумы характеристики и имеются максимумы или минимумы составляющих. После построения достаточного числа точек их соединяют плавной кривой.

Рис. 12.3. Составляющие hi(t) переходной характеристики 6. Следует отметить, что погрешности определения ПХ тем больше, чем сложнее форма кривой ВЧПФ. Значительное увеличение числа аппроксимирующих ее прямолинейных отрезков (и трапеций) может не уменьшить погрешностей, так как для каждой трапеции округляется значение, возникают также погрешности при построении и суммировании составляющих ПХ.

13. Анализ устойчивости линейных систем Проектируемая САУ обязательно проверяется на устойчивость. Устойчивость – одно из основных свойств САУ или объекта. Устойчивость (как понятие) любой динамической системы определяется ее поведением после снятия внешнего воздействия, т.е. ее свободным движением под влиянием начальных условий. Система является устойчивой, если она возвращается в исходное состояние равновесия после прекращения действия на систему сигнала (возмущения), выведшего ее из этого состояния. Неустойчивая система не возвращается в исходное состояние, а непрерывно со временем удаляется от него. Если на систему не действует никаких внешних возмущений, то ее динамика (т.е. движение системы во времени) – есть динамика под действием свободной составляющей, т.е. только под влиянием начальных условий. Начальные условия – это значение выходной переменной и ее производных в момент прекращения возмущения (т.е.

в нулевой момент времени).

Для оценки устойчивости системы необходимо исследовать свободную составляющую решения уравнения динамики, т.е. решение однородного уравнения где y(t) – выходной сигнал; y (0), y (0),... y ( n1) (0) – начальные значения производных выходного сигнала (вспомните теорему дифференцирования оригинала); p – оператор Лапласа.

Общее решение этого операторного уравнения представляет собой сумму слагаемых, определяемых значениями корней характеристического полинома (ХП):

Вынужденная составляющая выходного сигнала, определяемая видом внешнего воздействия, стоящего в правой части ДУД, и формой записи правой части, на устойчивость системы не влияет.

Итак, общее решение уравнения (13.1) имеет вид:

где хс – свободная составляющая переходного процесса в системе; ск – постоянные (интегрирования), зависящие от начальных условий; sк – корни полинома (13.2).

Заметим, что коэффициенты dj характеристического полинома D(s), следовательно, и его корни, зависят только от свойств и параметров звеньев системы, способа их соединения, и не зависят, естественно, от внешних воздействий.

Математическое определение понятия «устойчивость» сводится к следующему. Система является устойчивой, если свободная составляющая хс(t) переходного процесса с течением времени стремиться к нулю, т.е. затухает:

Это означает, что для устойчивости системы необходимо, чтобы все n корней ХП sк, k = 1, n имели отрицательные вещественные части (так называемые «левые» корни, т.е. расположенные слева от мнимой оси комплексной плоскости корней – плоскости Гауса).* При этом выходная переменная системы будет стремиться к вынужденной составляющей, определяемой внешним воздействием и правой частью ДУД системы (т.е. полиномом G(s)).

Условия устойчивости с точки зрения исследования решений ДУД системы были рассмотрены в теоремах Ляпунова А.М.(Россия, 1892 г.).

то система неустойчива.

система находится на границе устойчивости (система – нейтральна).

Условию (13.5) соответствует наличие среди корней ХП sk хотя бы одного «правого» вещественного корня (т.е. расположенного справа от мнимой оси jIm sk=jk) или хотя бы одной пары «правых» комплексных корней. В первом случае соответствующее «правому» корню слагаемое в (13.3) неограниченно возрастало (); при ск0 слагаемое ск e Sкt ±.

Во втором случае, когда sk,k+1=k+jk, k>0, в числе слагаемых выражения (13.3) оказывается составляющая гармонического типа хсk (t ), получающаяся из двух составляющих сkехр(k+jk) и сkехр(k – jk):

т.е. амплитуда этой составляющей хсk(t), равная 2сkехр(kt)±. Колебания являются возрастающими по амплитуде, а переходный процесс – расходящимся – система в обоих случаях оказывается неустойчивой.

Условие (13.6) объясняется так. Если среди корней sk есть хотя бы один корень sk=Re sk=k=0 или хотя бы одна пара мнимых корней sk,k+1=±jIm sk=±jk, а остальные корни – «левые», то среди слагаемых xc(t) в уравнении (13.3) будет:

• постоянное слагаемое (при k=0):

• или гармоническое слагаемое с постоянной амплитудой Проиллюстрируем характер свободной составляющей хck(t) переходного процесса системы в зависимости от расположения корней ее характеристического полинома sk на комплексной плоскости (при n=9) (рис. 13.1).

Рис. 13.1. Характер свободной составляющей переходного процесса в зависимости от расположения корней характеристического На рис. 13.1 мнимая ось jk штрихуется слева; это говорит о том, что левая (заштрихованная) полуплоскость является областью устойчивости – с точки зрения корней ХП системы. Правая полуплоскость соответствует корням ХП, которые вносят в состав свободной составляющей хс(t) (13.3) компоненты хck(t), вызывающие неустойчивость в системе. Таким образом, мнимая ось jIm sk=jk является границей устойчивости.

На практике с целью упрощения расчетов устойчивость САУ определяют с помощью специальных методов (правил) – критериев устойчивости, позволяющих оценить устойчивость системы без расчета корней ХП.

При этом рассчитываются либо коэффициенты ХП, либо определенные функции от этих коэффициентов. По своей сути критерии устойчивости эквивалентны упомянутому выше условию устойчивости (т.е. Re sk0, j = 0, n. Для системы более высокого порядка (n>2) условие dj>0 – необходимое, но недостаточное. Если все коэффициенты dj>0, то все вещественные корни ХП – отрицательные («левые»), но среди комплексных корней могут быть и корни, имеющие Re sk>0 («правые»). Если хотя бы один из dj – отрицателен, то САУ – a priori неустойчива. При dn= система – на границе устойчивости. При dj=0, jn, система – или на границе устойчивости, или – неустойчива.

Если хотя бы один корень sk – нулевой, а остальные корни – «левые», то система находится на апериодической границе устойчивости.

Если хотя бы одна пара комплексных корней – мнимые сопряженные корни sk,к+1=±jk, а остальные корни – «левые», то система находится на колебательной границе устойчивости.

Если ХП имеет 2 нулевых корня, то система – неустойчива.

Критерии устойчивости делятся на алгебраические и частотные.

В алгебраических критериях устанавливаются необходимые и достаточные условия отрицательности вещественных частей корней ХП в виде определенных ограничений. Эти ограничения накладываются на различные комбинации коэффициентов dj ХП D(s). В частотных критериях устанавливается связь между типом корней sk ХП D(s) системы и формой ее частотных характеристик.

При анализе устойчивости обычно решают следующие задачи:

1. оценивают устойчивость системы при заданных (исходных) параметрах звеньев, образующих систему;

7. определяют допустимый по условию устойчивости диапазон возможного изменения одного или нескольких параметров системы.

Первая задача решается с помощью алгебраических критериев Гурвица, Рауса, Льенара-Шипара, частотных критериев Михайлова и Найквиста, вторая – выделением областей устойчивости (в частности, методом Dразбиения).

При оценке устойчивости системы n-го порядка по критерию Гурвица на основании ХП вида:

формируется матрица из коэффициентов d j, j = 0, n, следующего типа:

По главной диагонали матрицы записываются n коэффициентов dj,начиная с d1 и кончая dn, т.е. размерность матрицы Hn dim Hn=[nn]. Далее каждый столбец матрицы Hn над главной диагональю заполняют коэффициентами ХП с последовательно возрастающими индексами, а под главной диагональю – с последовательно убывающими. Вместо коэффициентов с индексами, большими n и меньшими нуля, записываются нули.

Критерий формулируется так: система – устойчива, т.е. не имеет «правых» корней, если при d0>0 все диагональные определители (получаемые из матрицы Hn) i > 0, i = 1, n, т.е. положительны:

Если хотя бы один из определителей i (определителей Гурвица) отрицателен, то система – неустойчива.

Так как в последнем столбце матрицы Hn (т.е. и главного определителя Гурвица n) находится только один ненулевой (если dn0) элемент (dn), то в соответствии со свойствами определителей n=dnn-1. Если dn>0, то n>0 при n-1>0. Система находится на границе устойчивости, если главный определитель n=0, а все остальные определители положительны. Это условие распадается на два:

1. dn=0, а n-1>0 система находится на апериодической границе устойчивости, так как при этом ХП запишется как:

отсюда видно, что ХП имеет один нулевой корень.

8. n-1=0, а dn>0 система находится на колебательной границе устойчивости, иными словами, среди корней ХП имеется пара сопряженных мнимых корней.

Чтобы рассчитать определитель n-го порядка, целесообразно использовать его разложение по i-й строке:

где dij – элемент определителя, стоящий в i-й строке и j-м столбце; Аij – алгебраическое дополнение элемента аij (определитель, получающийся из исходного путем вычеркивания из него i-й строки и j-го столбца);

где Mij – минор элемента aij, т.е. определитель (n-1)-го порядка, отличающийся от алгебраического дополнения только знаком – если (i+j) – нечетное число.

В итоге вместо расчета n рассчитывают определители (n-1) – порядка; последние также можно разложить по элементам какой-либо строки или столбца, т.е. их вычисление сводится уже к расчету определителей (nпорядка и т.д. С помощью повтора этой процедуры расчет определителя n-го порядка сводят к расчету определителей 2-го порядка 2:

Анализ определителей Гурвица систем до четвертого порядка включительно показывает, что для устойчивости систем (т.е. для того, чтобы выполнялось условие Re sk0, то для устойчивости системы необходимо, чтобы все остальные элементы 1-го столбца были положительными: ri1 > 0, i = 2,(n + 1).

При наличии хотя бы одного элемента ri1 0 и при 1 < < Im < Полученные данные определяют приблизительную форму АФХ разомкнутой системы (рис. 13.14). Она охватывает точку с координатами [-1, j0] 1/2 раза. Следовательно, замкнутая система будет устойчивой.

При сложной форме АФХ разомкнутой системы удобнее применять другую формулировку критерия Найквиста, которая использует так называемое правило переходов. Переход годографа ЧПФ при увеличении через отрезок вещественной оси от -1 до - сверху вниз считают положительным и снизу вверх – отрицательным (рис. 13.15). АФХ может начинаться на указанном отрезке при =0 или заканчиваться при =. Тогда считается, что она совершает полперехода.

отрезок вещественной оси от -1 до оси от -1 до - равна:

здесь r – число правых корней характеристического полинома разомкнутой системы.

Пример 13.5. Выяснить устойчивость CAP, у которой передаточная функция разомкнутого контура Характеристический полином разомкнутой системы имеет один нулевой корень (s1=0)и один положительный вещественный корень (s2=2). Составим частотную передаточную функцию разомкнутой системы:

в) при 1 = 8 Re = 10 Im = г) при 2 = 2440 Re = 1, 4 Im = Теперь определен характер АФХ разомкнутой системы (рис. 13.16). При = АФЧХ имеет разрыв, и поэтому ее нужно дополнить дугой бесконечно большого радиуса от отрицательной вещественной полуоси.

На участке от -1 до - имеется один положительный переход (n+ = 1) и полтора отрицательных(n = 1,5). Разность между положительными и отрицательными переходами равна nN =1-1,5= -1/2. Для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы эта разность равнялась +1/2, так как характеристический полином разомкнутой системы имеет один положительный корень(r = 1). Следовательно, рассматриваемая система в замкнутом состоянии будет неустойчивой.

Применяя критерий Найквиста к передаточной функции разомкнутой системы, члены знаменателя, кроме старшего, можно переносить в числитель W. Тогда построение АФХ системы высокого порядка упрощается.

Однако при исследовании таких систем целесообразнее строить обратную АФХ, т. е. годограф вектора W 1.

В этом случае критерий Найквиста формулируется так: замкнутая система устойчива, если разность между числом отрицательных n– и числом положительных n+ и переходов обратной АФХ отрезка действительной оси от 0 до -1 равна r/2, где r – число правых корней ХП разомкнутой системы. Знаки переходов нужно принимать обратными по сравнению с указанными на рис. 13.15.

Пример 13.6. Определить устойчивость CAP, если передаточная функция ее разомкнутой цепи По этому выражению заключаем, что W имеет один положительный вещественный полюс и что для применения критерия Найквиста удобнее построить обратную АФЧХ.

В данном случае W = 0,5[0, 00001( j )4 + 0, 00125( j )3 + 0, 0255( j ) 2 + 0, 04( j ) 1] = Re( )1 + j Im( ) Re( )1 = 0, 5(1 + 0, 0255 2 0, 00001 4 ) Im( )1 = 0,5 (0, 04 0, 00125 2 ) Характер обратной АФХ показан на рис. 13.15. На участке вещественной оси от - до 0 имеются один положительный полупереход и один отрицательный переход. Следовательно, разность между отрицательными и положительными переходами будет равна n+-n–=1/2=r/2 и система в замкнутом состоянии будет устойчива.

13.1.5. Определение устойчивости по логарифмическим частотным Критерий Найквиста позволяет выяснить устойчивость замкнутой системы не только по АФХ, но и по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы. Эту возможность используют весьма широко вследствие простоты построения таких характеристик и определения по ним запаса устойчивости.

Если разомкнутая система устойчива или нейтральна, то для ее устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы число переходов ФЧХ через уровень -180° при положительных значениях ЛАЧХ было четным (в частном случае равным нулю). Пересечение ФЧХ линии снизу вверх считается положительным, а сверху вниз – отрицательным. На рис. 13.18 показаны наиболее характерные ФЧХ.

Рис. 13.18. ЛАЧХ разомкнутой системы:

1 – замкнутая система абсолютно устойапериодических звеньев чивая; 2 – условно устойчивая; 3 – на границе устойчивости; 4 – неустойчивая Пример 13.7. Выяснить устойчивость CAP, у которой разомкнутая цепь описывается передаточной функцией где k=20; Т1=1,25 с; Т2=0,6 с; Т3=0,02 с; Т4=0,01 с.

По характеристическому полиному разомкнутой системы D(s) заключаем, что все его корни – вещественные отрицательные.

Затем строим логарифмические частотные характеристики по следующим данным: 20lgk=26дБ; сопрягающие частоты 1=l/T1=0,8 c-1; 2=1/Т2=1,67 c-1; 3=1/Т3=50 с- и 4=1/Т4=100 c-1. Характеристики La и a показаны на рис. 13.19.

На участке частот, при которых асимптотическая ЛАЧХ La – положительна (до частоты среза c), ФЧХ не пересекает линии –180°. Поэтому делаем вывод, что замкнутая система – устойчива.

Для суждения об устойчивости обычно сначала строят асимптотическую ЛАЧХ. Затем к ней нужно сделать поправки около тех частот, которые ограничивают положительные участки и расположены достаточно близко от сопрягающих частот (особенно от сопрягающих частот, соответствующих колебательным звеньям).

В примере 13.7 поправки к асимптотической ЛАЧХ не сделаны, так как частота среза с достаточно удалена от сопрягающих частот 2 и 3. Поправки мало повлияют на значение с и не изменят вывода об устойчивости системы.

ФЧХ нейтральной разомкнутой системы при 0 стремится к -90°, где – число нулевых корней характеристического полинома. Поэтому ФЧХ такой системы нужно дополнить монотонным участком, приводящим ее к =0 при L. Это соответствует дополнению АФХ бесконечно большим радиусом.

Пусть характеристический полином разомкнутой системы имеет r корней с положительной вещественной частью. В этом, самом общем, случае критерий формулируется так: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при положительных значениях ЛАЧХ разность между числом положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ через линии -180°, -3·180°,... равнялась r/2. При наличии в характеристическом полиноме D(s) нулевых корней начальную часть ФЧХ следует приводить к =0 (рис. 13.20).

Рис. 13.20. ЛАЧХ разомкнутой нейтральной системы: Рис. 13.21. ЛАЧХ к примеру 13. Пример 13.8. Выяснить устойчивость системы с передаточной функцией разомкнутой цепи Характеристический полином разомкнутой системы имеет два нулевых корня (=2) и один вещественный положительный корень, равный 4 (s =1/T).

Для построения логарифмических частотных характеристик имеем 20lgk=49,5 дБ;

сопрягающие частоты =1/Т=4 с-1; 2=1/1=5 с-1;3=1/2=10 с-1;

= 180° + arctg 1 + arctg 2 arctg T 1.

Характеристики показаны на рис. 13.21. Вследствие положительного корня начальный (при =0) скачок ФЧХ на -90° нужно отсчитывать не от нуля, а от -180°. Это показано штриховой линией со стрелками.

На участке частот, при которых ЛАЧХ положительна, ФЧХ делает полперехода через линию -180° сверху вниз и один переход снизу вверх. Следовательно, разность между числом положительных и отрицательных переходов составляет =r/2, и можно сделать вывод об устойчивости системы в замкнутом состоянии. Поправки к асимптотической ЛАЧХ на вывод об устойчивости не повлияют.

Переходы ФЧХ через линию -180°, а возможно и через линии -3·180°,при высоком порядке характеристического полинома подсчитывают переходы не только на начальном положительном, но и на последующих положительных участках ЛАЧХ. На рис. 13.22 показан один из возможных случаев: разность между числом положительных n+ и числом отрицательных n– переходов составляет nN = n+–n– и равна 1=r/2, и замкнутая система устойчива.

Рис. 13.22. ЛАЧХ разомкнутой неустойчивой (r=2) разомкнутой системы Рис. 13.23. ЛАЧХ условной разомкнутой Знаменатель передаточной функции разомкнутой многоконтурной системы n-го порядка обычно представляет собой полином n-го порядка, и для построения ЛАЧХ его разлагают на элементарные сомножители. Эти вычисления можно существенно упростить, если воспользоваться тем, что критерий Найквиста позволяет переносить часть членов знаменателя передаточной функции разомкнутой системы, кроме старшего, в числитель.

Пример 13.9. Исследовать устойчивость CAP, если передаточная функция ее разомкнутой цепи где k=80; =0,2 с, d0=0,0002 с5; d1=0,008 с4; d2=0,075 с3; d3=0,3 с2; d4=0,8 с.

Перенесем выражение d3s2+d4s+1 из знаменателя в числитель как дополнительное слагаемое к G(s), и полученную таким образом условную передаточную функцию разомкнутой системы W* разложим на элементарные сомножители:

1080(0,185s + 1)(0, 02 s + 1) Строим логарифмические частотные характеристики условной разомкнутой системы по следующим данным: 2lgk=60,6дБ; 1=1/0,185=5,3 c-1; 2=1/0,0668=15 с-1;

3=1/0,04=25 с-1; 4=-1/0,02=50 с-1.

Условная разомкнутая система имеет три нулевых корня, и поэтому ФЧХ нужно дополнить начальным монотонным участком, сводящим ее к нулю при L. Следовательно, на этом участке ФЧХ имеет один отрицательный переход через линию –180° (n– =1) – см. ФЧХ в виде сплошной линии.

Поскольку положительных переходов ФЧХ через уровень –180° нет (n+=0), а число корней r=0, то при замыкании исследуемая система становится неустойчивой. Для устойчивости замкнутой системы ФЧХ разомкнутой цепи следует модифицировать так, как, например, показано на рис. 13.23 (штрихпунктирная кривая), потому что эта кривая имеет один положительный переход (n+=1).

Для нормального функционирования всякая САР должна быть достаточно удалена от границы устойчивости и иметь достаточный запас устойчивости. Необходимость этого обусловлена прежде всею следующими причинами:

1) уравнения элементов САР, как правило, идеализированы, при их составлении не учитывают второстепенные факторы;

2) при линеаризации уравнений погрешности приближения дополнительно увеличиваются;

3) параметры элементов определяют с некоторой погрешностью;

4) параметры однотипных элементов имеют технологический разброс;

5) при эксплуатации параметры элементов изменяются вследствие старения.

Следовательно, устойчивая по расчету САР в действительности может оказаться неустойчивой. В следящих системах запас устойчивости необходим еще и для хорошего качества регулирования (см. п.14).