«ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Кафедра электронных приборов (ЭП) П.П. Гейко Взаимодействие оптического излучения с веществом Учебное пособие Томск 2007 Оглавление ...»

Федеральное агентство по образованию

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ

УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра электронных приборов (ЭП)

П.П. Гейко

Взаимодействие оптического

излучения с веществом

Учебное пособие

Томск 2007

Оглавление

Введение

Рис.2.1. Поглощение и дисперсия в линейной изотропной среде

Здесь мы ограничились линейным членом разложения, предполагая, что импульс является узкополосным, т.е. 0), а действительная часть — фазовую скорость распространения света в среде.

Пусть плоская световая волна падает нормально на границу среды. В среде ее можно записать в виде E=1/2E0exp[i(tkz)], (2.13) где E0— амплитуда поля на границе среды z = 0. Учитывая, что k = k’ik’’ получаем E=1/2E0ek’’zexp[i(tk’z)]. (2.14) Вычисляя интенсивность, получаем I=I0exp(z), где I0 - интенсивность волны на границе среды, =2k’’ = 2n’’/c показатель поглощения среды. Эта формула называется законом Бугера и представляет собой закон поглощения света в среде. Таким образом, амплитуда волны по мере распространения в среде уменьшается по экспоненциальному закону - световая волна затухает. Потеря энергии связана с затуханием осцилляторов.

За счет поглощения, в частности, в солнечном спектре возникают темные линии. Свет, излучаемый поверхностью Солнца, проходит через солнечную атмосферу и атмосферу Земли. Часть света на частотах, совпадающих с резонансными частотами атомов в атмосфере Солнца, сильно поглощается. Наблюдение подобных спектральных линий солнечного света позволило установить резонансные частоты атомов, и, следовательно, химический состав солнечной атмосферы. С помощью этих методов обнаружили, что химические элементы на Солнце и звездах идентичны земным, кстати, так был открыт второй элемент таблицы Менделеева – гелий.

Перепишем формулу (2.14), подставив в нее выражение для k’ =k0(1+n), (k0=/c— волновое число в вакууме) E=1/2E0ek’’zexp[ink0z]exp[i(tk0z)]. (2.15) Отсюда следует, что среда приводит не только к затуханию амплитуды света, но и к задержке по фазе падающего на нее светового поля. Фаза запаздывает на величину nk0z, поскольку в экспоненте стоит знак минус.

Такой же вывод вытекает и из того факта, что поляризованость среды является комплексной величиной. Это означает, что колебания поляризованности происходят со задержкой фазы, зависящей от частоты. Колеблющиеся диполи вещества сами становятся источниками излучения на той же частоте, но со сдвигом фазы. Переизлученные волны, интерферируя с первичной волной, образуют волну, распространяющуюся в среде. Отставание по фазе вторичных волн по отношению к первичной волне (зависящее от частоты), приводит к тому, что фазовая скорость волны в среде отличается от скорости света в вакууме и становится зависящей от частоты.

Bблизи резонанса, при 0 – 0, и, следовательно, 02 _ 2 2 0(0 - ), выражения для n’, n’’ упрощаются p n ( ) ' (2.16) 4 0 ( 0 2 ) 2 Г 2 / p Г n ( ) '' (2.17) 4 0 ( 02 2 ) 2 Г 2 / Формулы (2.11), (2.12), (2.16), (2.17), полученные с помощью модели Лоренца, описывают дисперсию и поглощение света в разреженной линейной изотропной среде. В оптике как правило затухание мало, т.е. Г 0.

Типичные зависимости n()и () показаны на рис.2.1. Зависимость показателя поглощения от частоты называют спектральным контуром линии поглощения.

В рассматриваемой модели среды, состоящей из неподвижных затухающих атомных осцилляторов, она имеет лоренцеву форму с максимумом при =0.

Нетрудно убедится, что спектральная линия поглощения имеет ширину (на полувысоте), равную Г. Зависимости показателя преломления от частоты называют дисперсионной кривой.

Рис.2.1. Поглощение и дисперсия в линейной изотропной среде Показатель преломления n’ заметно отличается от единицы лишь вблизи полосы поглощения, причем максимальное и минимальное значения он достигает на частоте = 0 Г/2, соответственно. В зависимости от знака производной n/ выделяют две области частот: область нормальной дисперсии, где показатель преломления возрастает с ростом частоты света (n/ > 0), и область аномальной дисперсии, где показатель преломления уменьшается с ростом частоты (n/ < 0). Как видно из рис. 2.1, область нормальной дисперсии расположена за пределами полосы поглощения, т.е. в в области прозрачности вещества. Здесь 0 – Г, и для показателя преломления, как это следует из (2.11), можно записать Значительно более узкая область аномальной дисперсии расположена вблизи центра линии поглощение света. Обратим внимание, что при >0 показатель преломления больше единицы, и в этом случае vp0 показатель преломления становится меньше единицы (n0 смещение заряда находится в противофазе с внешней силой eE(t), а поле, образованное смещением заряда, усиливает внешнее поле E(t), что в свою очередь приводит к увеличению возвращающей силы, и фазовая скорость будет больше скорости света в вакууме.

Изложенные результаты справедливы не только для электронов, но и для ионов. В последнем случае под m, e и N следует понимать массу, заряд и концентрацию ионов. Отметим, что заряд и масса ионов могут существенно отличаться от заряда и массы электрона (особенно масса иона), поэтому резонансные частот также могут сильно отличаться от резонансных частот атомов.

Опыт показывает, что обычно наблюдается не одна, а несколько линий поглощения даже для одноэлектронных атомов. Чтобы это учесть, в классической модели принимается, что вещество построено из частиц различного типа - электронов и ионов, которые ведут себя как затухающие осцилляторы с различными собственными частотами. В газах их взаимодействием можно пренебречь и формула (2.9) принимает вид Величины fk, называют силами осцилляторов, они характеризуют относительные интенсивности различных спектральных линий и удовлетворяют правилу сумм fk=1.

2.3. Распространение светового импульса в диспергирующей среде До сих пор, рассматривая распространение света в среде, мы обсуждали плоские монохроматические волны с определенной частотой и волновым вектором. Однако в реальности излучение не является монохроматическим и часто имеет вид импульсов. Ограниченная длительность импульса приводит к существованию некоторой конечной полосы частот или длин волн. Всякая среда обычно характеризуется дисперсией, т.е. монохроматические волны распространяются с различными фазовыми скоростями, зависящими от частоты. В результате различные спектральные компоненты при распространении через среду приобретают разные фазовые набеги. Так как результат суммирования колебаний зависит от распределения фаз, то, очевидно, что форма импульса на выходе из среды, вообще говоря, отличается от формы импульса на входе. Другим словами, в процессе распространения в диспергирующей среде световой импульс деформируется. Кроме того, скорость переноса энергии световым импульсом, распространяющимся в диспергирующей среде, существенно может отличаться от фазовой скорости.

Если дисперсия не велика, то деформация формы импульса происходит медленно, и мы можем следить за перемещением отдельной амплитуды поля в импульсе, например, максимальной амплитуды поля, и определить скорость, с которой она переносится. Определенную таким образом скорость, согласно Рэлею, называют скоростью перемещения импульса или групповой скоростью.

Таким образом, групповая скорость - это скорость движения огибающей волнового пакета или группы волн в диспергирующей среде. В общем случае она отличается от фазовой скорости любой из составляющих его монохроматических спектральных компонент.

Рассмотрим понятие групповой скорости на примере двух близких по частоте плоских монохроматических волн, распространяющихся в диспергирующей среде вдоль оси z Здесь 1,2и k1,2=k1,2(1,2) - частоты и соответствующие им волновые векторы;

Суммарное колебание имеет вид где 0=(2+1)/2; k0=(k1+k2)/2; k=(k1-k2)/2; =(2 - 1)/2; |k| 0 и, следовательно, при отражении вектор H сохраняет свое направление, а вектор E меняет направление на противоположное. т.е. его фаза меняется на. При отражении от от менее плотной среды (n2 < n1) все происходит наоборот, т.е. фаза E - волны сохраняется, а H - волны меняется на. Об этом обычно говорят как о потере полуволны при отражении. Для преломленной волны фазы обеих волн не меняются.

Отношение потока энергии отраженной волны к потоку падающей называют энергетическим коэффициентом отражения. Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то, очевидно, что он связан с амплитудными коэффициентами R = r2. Тогда, Если падающий пучок света линейно поляризован, а вектор E составляет угол с плоскостью падения, коэффициент отражения будет равен Для неполяризованного света (4.32) следует усреднить по всем углам, R = (R + R)/2.

4.4 Отражение света от поверхности металла.

Формулы Френеля, описывающие отражение и преломление света от диэлектриков, справедливы и для металлов. Однако имеются существенные отличия при отражении света от поверхности металлов по сравнению с диэлектриками. Они обусловлены дисперсионными свойствами диэлектрической проницаемости металлов.

В металлах некоторые из электронов не связаны с каким-либо определенным атомом. Такие электроны называют "свободными". Они ответственны за электрическую проводимость металла. В отличие от оптических электронов в атомах диэлектрика на свободные электроны не действует “квазиупругая” сила, удерживающая их около какого-то атома, но сила трения характеризующая сопротивление движению электрона, остается. Следовательно уравнение классической теории дисперсии и все следствия из него можно применить к свободным электронам, положив обусловленную квазиупругой силой собственную частоту о равной нулю. Поэтому формула для диэлектрической проницаемости применима и для металлов, но в ней необходимо положить о = 0:

Здесь плазменная частота p=(4Ne2/m)1/2 имеет обычный вид, но под N понимают концентрацию свободных электронов. Формула (4.32) для показателя преломления в металлах предсказывает совершенно разный характер распространения волн в металлах в областях низких и высоких частот. В случае высоких частот, удовлетворяющих неравенству » Г, в формуле (4.32) можно пренебречь мнимым слагаемым iГ, и для диэлектрической проницаемости получается вещественное выражение Из этой формулы видно, что плазменная частота p, имеет смысл своего рода критической частоты. При < p диэлектрическая проницаемость отрицательна, а показатель преломления чисто мнимый. Это значит, что волны с < p (но > Г) не могут распространяться в металле из-за сильного затухания, причем это затухание не связано с поглощением (т.е. диссипацией) энергии. Физически это означает, что происходит полное отражение падающей волны от среды. При нормальном падении где n = n2/n1 = n' - in" - относительный показатель преломления. Для энергетического коэффициента отражения получаем Отсюда видно, что при чисто мнимом показателе преломления (n' = 0) коэффициент отражения равен единице. При > p показатель преломления становится вещественным, а металл — прозрачным для излучения. Обычно плазменная частота у металлов попадает в область рентгеновских лучей, но для некоторых металлов область прозрачности начинается с ультрафиолетовых лучей. Например, у натрия длина волны, соответствующая граничной частоте p, составляет 210 нм. Прозрачность щелочных металлов в ультрафиолетовой области спектра была обнаружена Вудом в 1933 г. При низких частотах, когда, поэтому p2/2Г >>p2 /2Г2 >>1, т.е. мнимая часть много больше действительной. Для показателя преломления получаем Отсюда следует, что показатель преломления является комплексным с одинаковыми вещественной и мнимой частями n' = n" = p /(2)1/2 >> 1.

Таким образом, амплитуда волны уменьшается по мере проникновения в металл. Глубина проникновения z ~ 1/, где коэффициент поглощения. Такие волны проникают вглубь металла на расстояние, которое много меньше длины волны в вакууме (скин-эффект). При нормальном падении коэффициент отражения R, определяемый действительной частью показателя преломления для них близок к единице: R = [( n' - 1)/(n' + 1)]2 >> 1 и волна практически полностью отражается от поверхности.

Для промежуточных частот p нужно пользоваться полным выражением (4.32), а не его предельными формами. В этом случае у показателя преломления отличны от нуля зависящие от частоты вещественная и мнимая части.

Это значит, что волны разных частот при распространении в металле по-разному затухают. Очень тонкие слои металла прозрачны даже для видимого света.

Например, тонкий слой золота, полученный напылением в вакууме на стеклянную подложку, пропускает видимый свет, но сильно поглощает инфракрасное излучение.

Отметим, что в общем случае при отражении света от металла коэффициенты отражения вообще говоря, комплексны, т.е. имеют место скачки фаз. Если падающий свет поляризован под углом к плоскости падения, то отраженный свет будет поляризован эллиптически. Исследуя эллиптическую поляризацию отраженного света, можно определять оптические постоянные металла n' и n".

Уравнения (4.32) или (4.33) применимы также и к свободным электронам в плазме, например в ионосферной плазме. Их можно использовать для объяснения характера распространения радиоволн в ионосфере Земли. Граничная частота здесь попадает в радиодиапазон, поэтому волны длиной порядка 10 м и более отражаются ионосферой, что широко используется для радиосвязи, тогда как ультракороткие (УКВ) свободно проходят сквозь нее. Это обстоятельство открывает возможность радиолокации Луны и планет и важно для радиоастрономии, использующей технику ультракоротких волн. Исследование частотной зависимости отражения радиоволн дает хороший метод изучения ионосферы.

5. НЕЛИНЕЙНО- ОПТИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СВЕТА С

КРИСТАЛЛАМИ

5.1. Симметрия кристаллов. Квадратично- и кубично- нелинейные кристаллы Нелинейные свойства кристаллов описываются тензорами нелинейных восприимчивостей. Свяжем с кристаллом декартову систему координат. Подвергнем координатную систему какому-либо ортогональному преобразованию.

Компоненты тензора относительно новой системы координат, вообще говоря, не равны одноименным его компонентам относительно старой системы. Однако, если данное преобразование входит в точечную группу симметрии кристалла, то компоненты тензора нелинейной восприимчивости относительно новой системы координат совпадут с его компонентами относительно старой. Действительно, если две системы координат связаны между собой преобразованием симметрии кристалла, их расположение относительно кристалла, в сущности, одинаково. Следовательно, тензор нелинейной восприимчивости кристалла должен быть инвариантен относительно всех преобразований симметрии этого кристалла.

Отсюда следует, что тензор нелинейной восприимчивости кристалла, обладающего определенной симметрией, не может быть произвольным, а должен подчиняться определенным требованиям. Очевидно, что для кристаллов, обладающих центральной симметрией, все компоненты тензора ijk равны нулю. На практике очень часто вместо тензора ijk используют тензор dijk, определяемый равенством Ранее было отмечено, что в случае симметрии по перестановке индексов число компонент тензора ijk и, следовательно, dijk сводится к 18 независимым компонентам. С учетом симметрии кристалла таких компонент становится еще меньше. Наличие только 18 независимых элементов позволяет упростить форму записи индексов. В случае сокращенной записи используют следующие обозначения Фойгта (dijk dikj):

Таким образом, тензор нелинейной восприимчивости 2-го порядка можно представить в виде матрицы, состоящей из 3 строк и 6 столбцов. Однако не следует забывать, что в действительности этот тензор является тензором третьего ранга и преобразуется по соответствующим правилам для тензоров такого ранга. Для ряда кристаллографических классов компоненты dij приведены в табл.

5.1.

Кристаллы с ikl 0 называются квадратично-нелинейными. В них возможны нелинейные оптические эффекты низшего порядка. Взаимодействие волн в квадратично-нелинейных кристаллах приводит к их смешению. В результате генерируются волны на суммарных и разностных частотах.

Физическая интерпретация явления генерации суммарной частоты заключается в следующем. Лазерные пучки с частотами и, взаимодействуя в нелинейном кристалле, генерируют нелинейную поляризацию P( ). Она служит источником излучения волны на частоте. В общем случае излучение суммарной частоты может происходить во всех направлениях. Поле излучения зависит от коррелированного по фазе пространственного распределения нелинейной поляризации P(. Выбором геометрии эксперимента можно сформировать острый пик излучения в определенном направлении. Это направление определяется условием фазового синхронизма.

Для эффективной перекачки энергии из волн накачки на частотах и в генерируемую в процессе сложения частот волну с должны быть одновременно выполнены условия сохранения энергии и импульса. Закон сохранения энергии требует, чтобы, а из закона сохранения импульса следует, что k k k. Излучение на суммарной частоте наиболее эффективно генерируется в так называемом направлении синхронизма, определяемом из условия k k k. Если длина взаимодействия волн L конечна, то достаточно потребовать выполнения условия сохранения импульса с неопределенностью порядка 1/L.

Процесс генерации разностной частоты с теоретической точки зрения не сильно отличается от генерации суммарной частоты. Интерес к генерации разностной частоты в прикладной нелинейной оптике связан с возможностью генерации мощного когерентного излучения в дальнем ИК диапазоне спектра.

Трехволновое взаимодействие в квадратично-нелинейных кристаллах сопровождается передачей энергии от двух полей с меньшими частотами к полю суммарной частоты, и наоборот, например, при генерации разностной частоты.

Процесс генерации разностной частоты может происходить и при наличии лишь одного поля накачки на суммарной частоте. В этом случае он называется параметрическим преобразованием. Параметрическое усиление и генерация позволяют создать перестраиваемые в широком диапазоне источники когерентного ИК излучения, принцип действия которых основан на управляемом расщеплении частоты накачки.

Оптические свойства кристаллов могут меняться во внешнем электрическом или магнитном поле. Изменение показателя преломления приводит ко многим электрооптическим или магнитооптическим эффектам. Хотя эти эффекты были известны задолго до появления лазера, их относят к нелинейным эффектам оптического смешения, когда одна из волн имеет нулевую или близкую к нулевой частоту. В нецентросимметричном кристалле в электрооптическом эффекте доминирует вклад, связанный с нелинейной восприимчивостью. Это явление называется эффектом Поккельса, а явление, обусловленное, эффектом Керра в постоянном поле. Индуцированные полем добавки к показателю преломления вызывают линейное двулучепреломление.

С физической точки зрения электрооптические эффекты обусловлены искажением электронного облака, вызванным приложенным электрическим полем.

Если наведенное изменение показателя преломления составляет порядка 10, то кристалл длиной 1 см уже сможет внести для видимого света фазовый сдвиг, превышающий /2. Поэтому электрооптические эффекты получили широкое распространение при создании модуляторов света.

Генерация постоянной электрической поляризации интенсивным световым пучком, распространяющимся в кристалле, называется процессом оптического выпрямления. Величину эффекта определяет нелинейная восприимчивость В кубично-нелинейных кристаллах отлична от нуля нелинейная восприимчивость третьего порядка iklm. В отличие от процессов второго порядка процесс третьего порядка разрешен во всех кристаллах, как обладающих, так и не обладающих центром симметрии. Однако процессы третьего порядка обычно во много раз слабее, чем разрешенные процессы второго порядка из-за убывания величины нелинейной восприимчивости с ростом порядка (/ 1/Eat), но их перечень большой. В кристаллах, обладающих центром симметрии по отношению к операции инверсии, нелинейность третьего порядка является нелинейностью низшего порядка, разрешенной в электродипольном приближении.

5.2. Эффективные нелинейные коэффициенты, волновая расстройка Обсудим классификацию процессов 2-го порядка для одноосных кристаллов, которые могут быть как оптически положительными (no ne), так и отрицательными (no ne). Для обыкновенной волны, поляризация которой перпендикулярна плоскости главного сечения, показатель преломления no не зависит от направления распространения. На рис.5.1. изображены сечения показателей преломления для обыкновенной и необыкновенной волны в одноосном отрицательном кристалле на частоте и 2. Теперь можно найти направления (конус направлений), вдоль которых n0()=ne(2) Для необыкновенной волны, поляризованной в плоскости главного сечения, показатель преломления ne(q) зависит от угла q между волновой нормалью и оптической осью При q /2 ne(/2) nе называется главным значением показателя преломления необыкновенной волны.

В общем случае для процессов смешения частот 2-го порядка имеем Рис. 5.1. Поверхности показателей преломления для обыкновенного и необыкновенного лучей в отрицательном одноосном кристалле (no>ne) Величину k называют волновой или фазовой расстройкой. Эффективность любого процесса смешения частот оптического излучения зависит от степени рассогласования фазы между волной поляризации и генерируемой электромагнитной волной. Для получения значительной мощности в экспериментах по смешению частот нужно каким-либо способом создать условия, при которых фазы этих двух волн были бы синхронизированы. Это достигается выполнением условия k 0, получившим название условия фазового синхронизма. Это условие играет важную роль во многих нелинейных оптических процессах.

Если все три пучка коллинеарны (скалярный синхронизм), то вместо векторного равенства можно использовать скалярное соотношение или Очевидно, что для изотропных сред или кристаллов с кубической симметрией, обладающих нормальной дисперсией (n() n(), n()), условие (5.6) не может быть выполнено никогда; для его выполнения численные значения в квадратных скобках должны быть разного знака. В случае же одноосных кристаллов путем выбора направления с углом qс и ne(qс) условие синхронизма можно осуществить для двух типов взаимодействий: если обе основные волны ( и ) имеют одинаковую поляризацию, то имеет место синхронизм 1-го типа; если же их поляризации взаимно перпендикулярны, то имеет место синхронизм 2-го типа. Поэтому в одноосных отрицательных кристаллах возможны два синхронных процесса о о е и о е е, а в положительных кристаллах процессы Процессы смешения волн в нелинейном кристалле описываются системой укороченных уравнений для скалярных комплексных амплитуд взаимодействующих волн. Подробный вывод и анализ этой системы рассматривается далее на примере частного случая смешения волн генерации второй гармоники. Энергетическая эффективность генерации волны на комбинационной частоте ( ) в существенной мере зависит от так называемых нелинейных коэффициентов. Поэтому кратко обсудим их для одноосных нелинейных кристаллов.

Пусть взаимодействующие волны распространяются под углом q к оси Z в плоскости, составляющей угол с осью Х. Тогда проекции напряженности поля обыкновенной волны с частотой на координатные оси можно записать с помощью единичного вектора e(sin, cos, 0) в виде Аналогичное соотношение можно записать для напряженности необыкновенной волны с частотой E Ae, e(coscosq, sincosq, sinq), A Aeexp[i(t nz/c)]. (5.8) Поле E в кристалле, которое обуславливает его поляризацию во втором порядке, будет суммой трех полей E E E E.

При этом вектор поляризации определяется по формуле (5.28); верхний индекс порядка поляризации в дальнейшем использовать не будем Зная компоненты Pi, можно вычислить эффективные амплитуды волны поляризации, распространяющейся в направлении (q, ) Выражения Pэф для четырех возможных процессов 2-го порядка в отрицательных кристаллах имеют вид:

Определим эффективный нелинейный коэффициент dэф соответствующего процесса в одноосном кристалле без поглощения как свертку тензора dijk с единичными векторами поляризации волн dэф e : d : ee.

Здесь перед тензором d стоит единичный вектор поляризации волны на комбинированной частоте (о или еполяризация), а после единичные вектора поляризаций основных взаимодействующих о и еволн. Вычисленные свертки (dэф) для различных кристаллографических классов приведены в табл. 5.2. Аналогичные результаты для положительных одноосных кристаллов приведены в табл. 5.3. Если в кристалле можно пренебречь дисперсией, то тензор симметричен по всем трем индексам dijk (симметрия Клейнмана). В этом случае dэф приведены в табл.5.4.

Таблица 5.2. Выражения для dэф для отрицательных кристаллов фический класс Таблица 5.3. Выражения для dэф для положительных кристаллов фический класс Таблица 5.4 Выражения для dэф с учетом симметрии Клейнмана фический класс 5.3. Уравнения для амплитуд связанных волн Нелинейно-оптические процессы взаимодействия волн в нелинейных кристаллах (ГВГ, смешение волн и т. д.) описываются обычно системой так называемых «укороченных» уравнений для амплитуд взаимодействующих волн. Далее мы будем использовать укороченные уравнения и обозначения различных физических величин, следуя 1. Однако прежде чем привести вид системы укороченных уравнений, укажем на основные предположения, при выполнении которых эти уравнения справедливы.

Первое. Процесс генерации второй гармоники будем рассматривать в квазиплосковолновом приближении и без учета дифракционных эффектов, которые обычно исследуются в квазиоптическом приближении. Это допущение понижает порядок уравнений системы со второго до первого (в частных производных).

Второе. Полагаем, что в процессе нелинейного взаимодействия волн их состояния поляризации не изменяются и соответствуют состояниям поляризации плоских монохроматических волн в линейной среде. Это предположение позволяет свести систему укороченных уравнений к скалярному виду, тем самым значительно упрощая ее.

Третье. Нелинейная среда считается слабо анизотропной. При этом в системе укороченных уравнений можно опустить члены, описывающие эффект сноса необыкновенных волн; анизотропия учитывается лишь в фазовых соотношениях взаимодействующих волн. Данное предположение приводит к замене системы укороченных уравнений первого порядка в частных производных на систему укороченных обыкновенных дифференциальных уравнений, что значительно упрощает аналитическое, если это возможно, и численное исследование данной системы уравнений.

Четвертое. Нелинейная среда предполагается слабо поглощающей векторы состояний поляризации еi, векторы ki взаимодействующих волн, тензор нелинейной восприимчивости ijk, а значит, и коэффициенты нелинейной связи волн i в укороченных уравнениях считаются действительными величинами.

Сами же еi соответствуют линейно поляризованным волнам линейной непоглощающей среды. Учет поглощения в этом случае сводится к наличию в уравнениях укороченной системы только аддитивных линейных членов, которые в отсутствие нелинейности приводят к решениям, описывающим хорошо известный закон Бугера.

Первое предположение, как правило, в условиях реальных экспериментов по генерации вторых оптических гармоник выполняется с высокой степенью точности. Второе и третье предположения будут также хорошо выполняться, если использовать слабо расходящиеся лазерные пучки накачки и нелинейнооптические элементы, длина которых не превосходит так называемой апертурной длины кристалла, при достижении которой на процесс ГВГ может существенное влияние оказывать апертурный эффект (снос еволн). Четвертое условие хорошо реализуется, если длины волн накачки и второй гармоники / попадают в область прозрачности данного кристалла. Поглощение в этой области для многих используемых в нелинейной оптике кристаллов незначительно (коэффициент поглощения 0.01 см) и практически не сказывается на процессе генерации второй гармоники при реальных длинах используемых нелинейно-оптических элементов.

Таким образом, при соблюдении указанных ранее предположений скалярные амплитуды квазиплоских волн, участвующих в процессе ГВГ, будем считать зависящими только от продольной координаты z: Ai Ai (z) (ось координат Z ортогональна входной и выходной граням нелинейного кристалла, ось Y лежит в главной плоскости кристалла).

Для одноосных немагнитных однородных кристаллов без центра симметрии и пространственной дисперсии нелинейную поляризацию запишем в виде Поглощение можно учесть посредством введения комплексных линейной и нелинейной восприимчивостей кристалла. Во многих случаях это можно сделать путем введения коэффициентов поглощения для взаимодействующих волн. В выражении (5.59) нелинейная поляризация, функция отклика и напряженности полей являются действительными величинами. Однако для теоретического описания взаимодействующих волн удобно использовать комплексное представление векторов напряженностей полей, сохраняя для них то же самое обозначение.

Вывод «укороченных» уравнений проведем для процесса ГВГ типа о е е в отрицательных кристаллах. В соответствии с первым упрощающим предположением вектор напряженности поля в кристалле запишем в виде суперпозиции трех квазиплоских монохроматических волн E(r, t) (1/2){E(r)exp(it) E(r)exp(it) E(r)exp(i2t) + к. с.}. (5.14) Кроме того, каждый вектор в (5.14) будем представлять согласно второму предположению в виде:

E(r) еA(r)exp(kr), E(r) еA(r)exp(kr), E(r) еA(r)exp(kr), (5.15) где еi единичные действительные векторы напряженностей полей соответствующих волн в линейной среде, ki волновые векторы. По сути (5.15) означает, что мы используем приближение плоских монохроматических волн собственных волн в неограниченной линейной анизотропной среде. Это позволяет выделить быстро осциллирующую во времени и пространстве часть в функции E. Предположение об отсутствии преобразования состояния поляризации позволит придать исходному волновому уравнению скалярную форму, а действительность единичных векторов поляризации говорит об отсутствии влияния поглощения на структуру векторов поля. При необходимости поглощение будем учитывать только через комплексность величин и. Запись (5.14) соответствует случаю широких волновых пучков (характерный масштаб пространственной модуляции волны a, где длина волны) и протяженных волновых пакетов (v, где временной масштаб модуляции, v скорость света в веществе).

Волновое уравнение (1.12) описывает все нелинейные процессы. Сначала в нем надо выразить D и PNL через вектор напряженности электрического поля.

Подставляя (5.14) и (5.15) в (1.9), получаем выражение для вектора линейной электрической индукции D (1/2){A(r)()eexp[i(t kr)] A(r)()eexp[i(t kr)] A(r)(2)eexp[i(2tkr)]}, (5.16) где тензор диэлектрической проницаемости кристалла () ()exp(i)d.

Теперь рассмотрим нелинейную поляризацию (5.13) при взаимодействии трех волн. Подставим (5.14) в (5.13). При перемножении E(r, t t) на E(r, t t) и выполнении интегрирования по времени в выражении для нелинейной поляризации формально появляются девять членов (без комплексно сопряженных), из которых не все ответственны за генерацию второй гармоники. Для упрощения вычислений введем следующие обозначения:

A еA(r)exp(kr) еA(r)exp(kr), B еA(r)exp(kr), В этих обозначениях нелинейную поляризацию можно записать так Остальные спектральные компоненты нелинейной поляризации на частотах 0,, 4 опущены как не имеющие никакого отношения к рассматриваемому процессу о е е при его синхронизации. Спектральная компонента (2, ) определяет нелинейный источник на частоте второй гармоники, (, 2) и (, ) нелинейный источник на основной частоте.

Рассмотрим более подробно свертки, входящие в выражение (5.18). Используя явный вид A и B, находим свертки, выраженные через единичные вектора:

(, ) : eeA*Aexp[i(k k)r].

Полученные выражения для линейной электрической индукции и нелинейной поляризации подставим в исходное волновое уравнение (1.12). В этом уравнении дифференциальная операция rotrot действует в принятом приближении на квазиплоские волны типа eA(r)exp(ikr). С помощью формул векторного анализа запишем это действие в виде [[,eAe-ikr]] e-ikr{[[,eA]] i[k[A,e]] i[A[ke]] [k[ke]]A}. (5.20) Используя (5.20), волновое уравнение для трех взаимодействующих квазиплоских волн можно переписать так exp[i(t kr)]{[[, eA]] i[k[A, e]] i[A[ke]] [k[ke]]A (/c)()eA} exp[i(t kr)]{[[, eA]] i[k[A, e]] i[A[ke]] [k[ke]]A (/c)()eA} exp[i(2t kr)] {[[, eA]] i[k[A, e]] i[A[ke]] [k[ke]]A (5/c)()eA} (2/c){4(2, ) : (5.21) : AAexp(i2t) (, 2) : A*Bexp(it) (, ) : A*Bexp(it)}.

Приведенное уравнение в случае одноосных отрицательных кристаллов может описывать либо процесс о о е, либо о е е в зависимости от того, какой процесс подлежит пространственной синхронизации, приводящей к резкому повышению эффективности нелинейного взаимодействия.

Отметим, что векторы ei и ki соответствуют собственным состояниям поляризации и волновым векторам монохроматических волн линейной среды и удовлетворяют линейному уравнению где k 2/ /c. Уравнение взаимодействующих волн (5.21) можно рассматривать как систему трех уравнений для каждой медленной амплитуды поля.

Умножим (5.21) на eiexp[i(it kir)] и проведем усреднение получившегося выражения по объемам с размерами, значительно большими всех величин 2|kix ki kj|, то после усреднения в левой части уравнения (5.68) останутся члены с i j. В случае процесса о о е в уравнении (5.21) надо положить A 0 и считать кристалл вырезанным и ориентированным по отношению к падающей волне так, чтобы A(0) 0. В результате для этого процесса получаем систему двух уравнений e{[[, eA]] i[k[A, e]] i[A[ke]] [k[ke]]A (/c)()eA} (2/c){[e: (, 2) : ee + e: (, ) : ee] A*Aexp[i(2k k)r]}, e{[[, eA]] i[k[A, e]] i[A[ke]] [k[ke]]A (/c)()eA} (8/c){[e: (2, ) : eeAexp[i(2k k)r]}.

Из (5.23) следует, что волновая расстройка равна k k 2k.

Для процесса о е е система состоит уже из трех нелинейных уравнений и волновая расстройка для этого процесса имеет вид k k k k.

Каждое уравнение для взаимодействующих волн описывает изменение с расстоянием амплитуды поля на одной частоте в зависимости от амплитуд на других частотах и от разности фаз между волной нелинейной поляризации и волной второй гармоники.

Коэффициенты нелинейной связи волн в (5.23) определяются посредством сверток тензоров (, 2), (, ) и (2, ) с единичными векторами напряженностей полей. Причем свертки тензоров (, 2) и (, ) присутствуют только в виде сверток суммы тензоров (, 2) (, ). Поэтому экспериментально невозможно отличить коэффициенты нелинейной связи, обусловленные одиночными свертками (, 2) и (, ).

Спектральные компоненты (, 2) и (, ) функции отклика ответственны за нелинейную поляризацию на частоте. Сами отклики связаны с взаимодействием волн на частотах и 2. Если дисперсия нелинейной восприимчивости невелика, то естественно считать (, 2) (, ) ().

Это соотношение используется только в определении соответствующего коэффициента нелинейной связи и ни на что другое не влияет. Аналогично можно переобозначить (2, ) (2).

Система уравнений (5.23) достаточна сложна. Она учитывает дифракцию волн и анизотропию среды. Мы же считаем, что в процессе нелинейного взаимодействия волн векторы ei не изменяются. Это позволяет получить систему трех уравнений для скалярных амплитуд A, A и A. В противном случае система состояла бы из девяти уравнений для трех компонент векторных амплитуд E (r), E(r) и E(r). Для дальнейшего упрощения системы уравнений (5.23) рассмотрим вектор Умова-Пойнтинга S(c/8)Re[EH*] квазиплоской волны E(r, t) eA(r)exp[i(t kr)]. В свою очередь вектор H определяется из уравнения Максвелла (1/c)H/t rotE как Подставив (5.24) выражение для вектора Умова-Пойнтинга получаем S (ic/16){[e[Ae]]A* [e[A*e]]A} (c/8)[e[ke]]|A|. (5.25) Предположим, что вклады членов с A (медленно меняющаяся амплитуда) в вектор S малы, т.е. |[e[Ae]]A*| |[e[ke]]||A|.

В этом случае S выражается через скалярную амплитуду вектора электрического поля волны а магнитное поле волны обладает поляризацией, соответствующей плоской волне H(r, t) (c/)[ke]A(r)exp[i(t kr)].

Теперь обратимся к уравнению (5.23) с целью его дальнейшего упрощения.

Первый член во всех трех уравнениях [[,eiAi]], содержащий двойную операцию с, описывает дифракцию соответствующей волны в среде. Если в силу каких-то причин дифракционными явлениями можно пренебречь, например, взаимодействующие пучки слаборасходящиеся (слабо сфокусированные), или характерные длины, на которых проявляется дифракция, значительно превосходят длину нелинейного кристалла, то первыми членами во всех трех уравнениях можно пренебречь. Кроме того, в каждом уравнении сумма двух последних членов перед знаком равенства в силу (5.20) обращается в нуль, а оставшуюся комбинацию двух слагаемых, очевидно, можно записать в виде ei[ki[Ai, ei]] ei[Ai[kiei]] 2[ei[kiei]]Ai.

Таким образом, для процесса о о е в данном приближении система двух уравнений становится Уравнения (5.27) являются системамой уравнений первого порядка в частных производных. Если пренебречь сносом e-волн (апертурным эффектом), то амплитуды волн можно считать зависящами только от координаты z (третье предположение вывода укороченных уравнений).

Введем следующее обозначение для z-компоненты векторов [ei[kiei]] В (5.28) ni показатели преломления соответствующих волн. С учетом этого обозначения и предположения A(r) A(z) уравнения (5.27) перепишутся в виде dA/dz i(k/bn)Aexp[i(k)z].

При отсутствии поглощения из уравнений Максвелла следует, что изменение энергии поля, обусловленное нелинейной поляризацией, дается выражением dU/dt PNLE/t. Сохранение энергии подразумевает отсутствие систематического изменения энергии поля, т.е. усреднение по времени равно нулю При наличии поглощения т.е. при () *() в полученных уравнениях заменим амплитуды волн без поглощения на амплитуды с поглощением, а производную dA/dz на dA/dz A в соответствии с линейным законом Бугера. Коэффициент равен половине энергетического коэффициента поглощения.

Следовательно, уравнения (5.30) в слабо поглощающих кристаллах приобретают вид В общем случае необходимо еще учесть углы анизотропии волн i между векторами Ei и D (bi = cosi), а также углы i между вектором Умова-Пойнтинга iй волны и осью Z(Ai(z) exp(iz/cosi)). В этом случае окончательные выражения укороченных уравнений примут вид А для процесса о е е где коэффициенты нелинейной связи для процесса о е е равны 2k/(ncoscos), 2k/(ncoscos), 2k/(ncoscos), а для процесса о о е - 2k/[ncoscos], 3 k3/[ncos3cos3].

6. ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ

6.1. Интегралы движения для генерации второй гармоники Используем приближение плоских волн для описания процесса генерации второй гармоники. Это означает, что скалярные амплитуды квазиплоских волн считаются зависимыми только от продольной координаты z (ось координат z ортогональна входной и выходной граням нелинейнооптического элемента):

Ai Ai(z). Данное предположение приводит к отсутствию в укороченных уравнениях поперечного лапласиана, который в квазиоптическом приближении описывает дифракционные эффекты.

Приведенный ранее вывод укороченных уравнений дает следующую систему уравнений для скалярных амплитуд Ai(z), описывающих в плосковолновом приближении процесс ГВГ типа o o e с учетом линейного поглощения на частотах и 2:

Здесь A A(z), A Ae(z) амплитуды первой и второй гармоник;

k k 2k, k ke(2), k ko(), o()/2, e(2)/2; o и e коэффициенты линейного поглощения на частотах и 2;, коэффициенты нелинейной связи волн, которые даются формулами:

2k/[n()coscos], 2k/[ne(2, k)coscos], (6.2) где k 2/ /c волновое число для вакуума; i угол, который составляет соответствующий волновой вектор ki с осью z; i угол анизотропии для iй волны (для обыкновенной волны 0); e():ee, e(2):ee эффективные нелинейные коэффициенты.

В том случае, когда частоты и 2 попадают в область прозрачности кристалла, в силу пространственно-частотных перестановочных соотношений выполняется условие Клейнмана.

Очевидно, что для однозначного решения система уравнений (6.1) должна быть дополнена граничными условиями:

В случае процессов ГВГ обычно полагается (реальная экспериментальная ситуация), что амплитуда 2й гармоники на входе равна нулю: А 0. Поэтому для ГВГ будем считать, что граничные условия имеют вид:

Таким образом, процесс ГВГ в одноосных нелинейных кристаллах типа о о е описывается системой двух связанных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с граничными условиями (6.4).

Для численного решения и аналитического анализа удобно от комплексных амплитуд перейти к действительным амплитудам аi(z) и фазам i(z), определив их соотношениями Подстановка (6.5) в (6.1) приводит к следующей системе уже трех уравнений, эквивалентной (6.1):

где а(z), a(z) соответственно действительные амплитуды волн накачки и ВГ;

(z) обобщенная фаза, определяемая выражением Система уравнений (6.6) дополняется граничными условиями:

Далее рассмотрение различных аспектов процессов ГВГ типа о о е будет проводиться на основе системы уравнений (6.6). Заметим, что, если, то система уравнений (6.6) не имеет аналитического решения. Однако, если дисперсией коэффициентов поглощения на интервале частот (, 2) можно пренебречь, что обычно соответствует реально используемым на практике нелинейным кристаллам для получения ГВГ, то система уравнений (6.6) может быть решена аналитически. Поэтому далее будем полагать:

При выполнении условия (6.9) систему уравнений (6.6) можно преобразовать к виду, который имеет место в случае отсутствия поглощения. Для этого используем следующее преобразование:

Как видно из (6.10), новые амплитуды имеют ту же размерность, что и а i(z);

независимая переменная имеет также размерность координаты z. Очевидно, что функция (z) осуществляет отображение полупрямой z [0, ) в отрезок [0, 1/). Учитывая, что получаем систему уравнений для преобразованных амплитуд:

Граничные условия принимают вид:

При исследовании системы уравнений (6.6) или эквивалентной ей (6.13) следует выделить два случая: когда волновая расстройка k 0 и k 0.

При выполнении условия фазового синхронизма (k 0) система уравнений (6.13) имеет два интеграла движения. Первый интеграл следует из первых двух уравнений системы: умножая первое уравнение на u, а второе на u и складывая их, находим первый интеграл движения:

Этот интеграл можно переписать в виде:

Из вида (6.15) (либо (6.16)) следует, что первый интеграл движения носит энергетический характер. Очевидно, что интеграл I существует и в случае k 0, так как он обусловлен только видом первых двух уравнений и никоим образом не связан с видом третьего уравнения для обобщенной фазы (z).

Второй интеграл движения обусловлен видом уже всех уравнений системы.

Подставляя в третье уравнение системы (6.13) выражения для u() и u() соответственно из первого и второго уравнений, получаем d/d [(2/u) du/d (1/u) du/d)]ctg d[ln(u u)]/dctg.

Так как tgd/d dlncos/d, то находим (d/d)ln(uucos) 0, откуда и следует второй интеграл системы (6.33) при выполнении условия фазового синхронизма Таким образом, система уравнений (6.6) при и k 0 имеет два интеграла движения:

Интегралы движения I и I могут служить критерием точности численных расчетов. Из вида интеграла I следуют некоторые важные выводы. Если на границе z 0 хотя бы одна из амплитуд а(0), а(0) обращается в нуль (обычно это амплитуда 2й гармоники), то I(z) 0, но так как амплитуды а(z) и а(z) не могут быть тождественно равны нулю на всей длине кристалла, то cos(z) 0, т. е. (z) /2.

Итак, при специальном выборе граничных условий имеем 2) а(0) 0, a(0) 0, (0) /2; (z) /2, т. е. обобщенная фаза (z) в этих случаях сама является интегралом движения.

В случае отсутствия фазового синхронизма k 0, также существует интеграл движения I(z), в который входят лишь амплитудные функции. Получение интеграла движения, зависящего также и от обобщенной фазы (z), требует громоздких выкладок, которые приводить не будем. Окончательное выражение для интеграла I(a(z),a(z), (z)) при наличии поглощения имеет следующий вид Вопрос о существовании интегралов движения укороченных уравнений (6.6) при наличии дисперсии поглощения ( ) и волновой расстройки k 0 требует отдельного исследования и здесь не рассматривается.

6.2. Аналитические решения системы укороченных уравнений Рассмотрим некоторые случаи аналитического решения системы укороченных уравнений (6.6). Как уже указывалось, аналитические решения существуют при отсутствии поглощения ( 0) или его дисперсии. Поэтому положим Кроме того, поскольку решения (6.6) в существенной мере зависят от параметров, k и граничных условий ao, ao и (0), выделим отдельно случаи, когда волновая расстройка k 0 и k 0.

В случае k 0 вместо (6.6) удобно использовать систему уравнений (6.13) при k Система уравнений (6.21) формально совпадает с системой уравнений, описывающей ГВГ в отсутствие потерь, связанных с линейным поглощением ( 0). Следовательно, решая эту систему и производя затем обратную замену переменных (6.10) в конечном результате, можно точно учесть линейное поглощение без дисперсии.

Сначала обсудим качественное поведение решений системы уравнений (6.21). Ранее было показано, что система уравнений (6.21) имеет два интеграла движения (6.15) и (6.17). Значения этих интегралов движения выражаются через граничные значения для амплитуд u(0), u(0) и обобщенной фазы (0) на входной грани нелинейного кристалла. Первый интеграл движения (6.15) удобно переписать в виде где константа U определяется из выражения Исключая с помощью (6.22) из (6.21) амплитуду u(), получаем:

Качественный анализ процесса ГВГ при различных граничных условиях на входной грани нелинейного кристалла очень удобно проводить с помощью понятия фазового портрета. Для этой цели введем фазовую плоскость, точки которой в полярной системе координат задаются полярным радиусом амплитудой второй гармоники u() и азимутальным углом обобщенной фазой (). При этом прямоугольные декартовы координаты, очевидно, выражаются через u и следующим образом: y usin, x ucos. В кристалле на расстоянии z() от входной грани амплитуда ВГ имеет значение u(), а обобщенная фаза процесса есть (). Следовательно, каждой точке фазовой плоскости ставятся в соответствие определенные значения амплитуды ВГ и обобщенной фазы. Точка A называется изображающей точкой процесса ГВГ на фазовой плоскости (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Фазовая плоскость для процесса генерации второй гармоники Распространению взаимодействующих волн в нелинейном кристалле соответствует перемещение изображающей точки по некоторой кривой на фазовой плоскости. Эту кривую называют фазовой траекторией. Множество фазовых траекторий образует фазовый портрет процесса ГВГ.

Рассмотрим фазовый портрет процесса ГВГ при точном соблюдении синхронизма для полубесконечного непоглощающего кристалла (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Фазовый портрет процесса ГВГ в при точном синхронизме Пусть граничные условия соответствуют точке 0 (u(0) 0). Это означает, что ВГ на входе нелинейного кристалла отсутствует. Тогда согласно (6.22) имеем u(0) U(/), а из выражения (6.17) для второго интеграла движения получаем Очевидно, что в данном случае амплитуды u и u не могут быть равными тождественно нулю (u(0) максимальна, а u равна нулю только в точке 0 фазовой плоскости). Поэтому из (6.25) следует, что фазовая траектория, проходящая через точку 0, описывается уравнением cos 0.

Значение /2 соответствует отрезку 0A, а 3/2 0Aна рис. 6.2.

Таким образом, фазовая траектория, проходящая через точку 0 фазовой плоскости, есть отрезок прямой AA. На концах отрезка (в точках A и A) амплитуда ВГ достигает своего максимального значения u U, а следовательно, u 0. Предположим теперь, что граничные условия соответствуют точке B и равны: u U, (0) 0. Тогда из (6.23) следует u 0; на входе нелинейного кристалла присутствует только вторая гармоника. Поскольку при u 0 и I 0, то выполняется соотношение (6.25). При этом ни u, ни cos не могут тождественно обращаться в нуль. Следовательно, u() 0, а из (6.22) получаем u() U.

Тогда фазовая траектория, проходящая через точку B, есть окружность радиуса U. В силу того, что U u(), данная фазовая траектория является в определенном смысле граничной, т.е. все остальные фазовые траектории при заданном значении U могут находиться только внутри указанной окружности.

Далее рассмотрим так называемые пространственно стационарные волны, которые соответствуют решению системы (6.24) при выполнении условий du/d 0, d/d 0. При этих условиях (6.22) распадается на два соотношения sin () 0, u() U/.

На фазовой плоскости этому решению отвечают две точки: u U/, и u U/, (на рис. 6.2 они обозначены как точки C). Эти точки называются фазовыми центрами. Если на входе нелинейного кристалла вторая гармоника оказывается в точке C фазовой плоскости, то она будет оставаться в этой точке и в дальнейшем. При этом u и u, а также фаза постоянны по всей длине нелинейного кристалла. Из (6.22) следует, что u u(2/).

Отметим, что рассмотренные пространственно стационарные волны часто характеризуются стационарным профилем, распространяющимся в нелинейной среде без изменения (так называемые солитонные волны или солитоны).

Кроме рассмотренных траекторий все остальные являются замкнутыми, обходящими соответствующий фазовый центр. Эти фазовые траектории отвечают общим граничным условиям: на входе нелинейного кристалла одновременно присутствуют и волна накачки, и волна ВГ (u(0) 0, u(0) 0, /2, 3/2). На рис. 6.2 они обозначены тонкими линиями (траектории 1, 2, 3). Эти траектории описывают пространственные пульсации амплитуд u и u.

Толстыми линиями на рис.6.2 показаны фазовые траектории, которые выделяют области фазовой плоскости с разными центрами. Совокупность таких линий (в нашем случае это отрезок AA и окружность радиуса U) называют сепаратрисой (разграничивающей фазовой траекторией), а точки A и Aсепаратрисы седловыми точками.

Таким образом, анализ фазового портрета процесса ГВГ позволяет понять качественное поведение решений системы укороченных уравнений даже без знания для нее точных аналитических или численных решений.

Теперь рассмотрим случаи, когда существуют аналитические решения системы укороченных уравнений.

В случае отсутствия второй гармоники на входе нелинейного непоглощающего кристалла u(0) 0 и, следовательно, cos 0. Пусть изображающая точка "движется" по участку 0A сепаратрисы, тогда и система уравнений (6.22) сводится к одному уравнению для амплитуды второй гармоники с граничным условием u(0) 0.

Решение (6.21), удовлетворяющее (6.22), выражается через гиперболический тангенс Учитывая U u(0)(/), перепишем (6.27) в более удобном виде Очевидно, для амплитуды накачки в этом случае справедливо выражение Поведение решений (6.28) и (6.29) показано на рис. 6.3.

Рис. 6.3. Зависимость нормированных амплитуд накачки и ВГ от относительной Как видно на рис.6.3, эффективная перекачка энергии от волны накачки к волне ВГ происходит на длине порядка Lнл [()u(0)], которая называется длиной нелинейного взаимодействия. В рассматриваемом случае процесс перекачки энергии к ВГ происходит систематически и поэтому необратим. Полная перекачка энергии наступает лишь при. Но, практически это происходит при длинах кристалла, равных нескольким Lнл.

На фазовом портрете необратимый характер процесса перекачки энергии от волны накачки к волне ВГ подразумевает движение изображающей точки строго по сепаратрисе 0A. Однако в действительности это движение неустойчиво в силу различных случайных факторов. Поэтому движение изображающей точки сбивается с сепаритрисы 0A на одну из близко расположенных к ней замкнутых фазовых траекторий, помеченных на рис. 6.2 пунктирной линией. Сбивание происходит уже из-за того, что амплитуда ВГ на входной грани нелинейного кристалла даже при отсутствии падающей волны ВГ практически никогда не равна нулю. Данное обстоятельство имеет теоретическое обоснование и подтверждено экспериментально присутствием перед входной границей нелинейного кристалла так называемой отраженной волны, которая возникает за счет излучения ВГ из приграничного слоя нелинейного кристалла. Однако на практике амплитуду ВГ u(0) обычно полагают равной нулю, поскольку она намного меньше значения амплитуды волны накачки u(0).

Заметим, что если длина кристалла Lнл, то (6.28) можно разложить в ряд по безразмерному параметру /Lнл Первый член этого разложения дает решение для амплитуды ВГ в приближении заданного поля u() u(0).

Из (6.30) следует критерий применимости заданного поля: длина кристалла должна быть значительно меньше длины нелинейного взаимодействия Lнл.

Для получения аналитического решения при произвольных граничных условиях u(0), u(0) и (0) обратимся ко второму уравнению в системе уравнений (6.24):

Учитывая d dcos/sin, перепишем (6.31) в виде Это уравнение является линейным и однородным уравнением относительно функции cos. Его решение можно представить так cos C/[u(U u)], где C постоянная интегрирования, которая выражается через граничные значения для cos() и u(). Подставляя (6.32) в первое уравнение (6.24), находим Здесь знак плюс или минус выбирается в соответствии со знаком sin в (6.24).

Далее вводя обозначения: y (u/U), x U, C C/U и используя их в (6.33), имеем Интегрируя это выражение по y в интервале [0, x], получаем Выражение (6.35) в неявном виде определяет амплитуду второй гармоники.

Рассмотрим более подробно подынтегральное выражение. Можно убедиться, что корни кубического уравнения при 0 C 4/27 вещественны и положительны. При таких значениях константы C кубический многочлен можно записать в виде где y, y и y корни уравнения (6.36), причем y y y. В этом случае интеграл (6.35) запишем так Теперь в этом интеграле введем новую переменную (x) (y y)/(y y) и параметр f (y y)/(y y); в результате получаем Амплитуда ВГ u(), определяемая интегралом (6.39), выражается через эллиптическую функцию Якоби эллиптический синус где константа определяется граничными условиями. В рассмотренном ранее частном случае u0 0 имеем 0 (C 0, y 0, y y 1) и выражение (6.40) переходит в (6.28). С помощью первого интеграла движения (6.22) и (6.40) определяется амплитуда волны накачки u().

Отметим, что на фазовой плоскости решениям (6.40) соответствуют замкнутые траектории, обходящие тот или иной фазовый центр. Пульсации амплитуд волн накачки и ВГ носят периодический характер по длине кристалла и обусловлены общими граничными условиями (u(0) 0, u(0) 0 и (0) /2, 3/2). Это непосредственно видно из (6.40), так как эллиптический синус является периодической функцией по длине кристалла с периодом, определяемым эллиптическим интегралом 1-го рода.

Получим выражение для эффективности (КПД) процесса ГВГ, пригодное как при численном решении системы укороченных уравнений (6.6) с учетом линейного поглощения, так и в случаях существования аналитических решений.

Рассмотрим нормальное падение волны накачки. Будем считать, что коллинеарный фазовый синхронизм типа о o е также реализуется при нормальном падении накачки. Это означает, что угол среза кристалла равен углу синхронизма qc.

В общем случае КПД преобразования определяется как отношение мощности волны 2й гармоники Р(2) на выходе нелинейного кристалла к мощности Р() волны накачки на входе кристалла P(2)/P().

Поскольку процесс генерации ВГ рассматривается в плосковолновом приближении, т. е. амплитуды волн считаются одинаковыми в поперечном сечении пучков на частотах и 2, а сами пучки неограниченными, поэтому в этом случае КПД процесса ГВГ можно определить как отношение плотностей мощностей волн ВГ и накачки:

В формуле (6.41) плотность мощности определяется как модуль вектора УмоваПойнтинга:

где ', 2, индекс поляризации волны.

Отметим также, что в (6.41) S(l0, 2) обозначает плотность мощности волны ВГ непосредственно за выходной гранью кристалла, а S(0, ) плотность мощности волны накачки перед входной гранью кристалла. Эти обозначения обусловлены тем, что обычно (при отсутствии просветляющих покрытий на частотах и 2) плотность мощности терпит разрыв при переходе через границу раздела сред. Подставляя в (6.41) соответствующие плотности мощности из (6.42), получаем для КПД:

т. е. КПД выражается через внешние амплитуды волн ВГ и накачки.

Однако при численном интегрировании системы укороченных уравнений (6.6) вычисляются внутренние амплитуды волн, поэтому удобнее (6.43) выразить через эти значения амплитуд. С учетом влияния реальных границ кристалла для плотности мощности ВГ можно записать а для волны накачки соответственно: S(0, ) T()S(0, ).

Тогда для КПД преобразования получаем формулу где а(0) амплитуда оволны на частоте накачки, понимаемая как предел справа. Амплитуда а(0) связана с реально измеряемой плотностью мощности накачки S(0, ) соотношением Подчеркнем, что значение амплитуды а(0) является как раз граничным условием для амплитуды оволны а(z) при численном интегрировании системы уравнений (6.6). Коэффициенты пропускания Т() и Тe(2) определяются по формулам для нормального падения Показатель преломления ne(2, q) определяется по формуле ne(2, q ) n(2)ne(2)/{n(2) [ne(2) n(2)]cos}. (6.48) Следует также отметить, что КПД преобразования, определяемый по (6.45), нужно понимать как КПД преобразования нелинейнооптического элемента.

Если КПД определять по соответствующим внутренним плотностям мощности, т. е. согласно выражению:

то в этом случае нужно говорить о КПД преобразования собственно нелинейно оптического процесса, протекающего только внутри кристалла. Сравнение (6.92) и (6.88) дает связь:

из которой вытекает, что и ' совпадают лишь при идеальном просветлении торцов кристалла (Т() Тe(2) 1).

При проведении конкретных расчетов показатель преломления ne(2, q) можно заменить на главное значение показателя ne(2) ввиду малого двулучепреломления реальных нелинейных кристаллов. Формула (6.48) может использоваться при малых углах падения i, так как в этом случае коэффициенты пропускания мало отличаются от коэффициентов для нормального падения. В этом случае на КПД значительное влияние оказывает появление волновой расстройки k за счет отклонения падающего пучка от нормали q, если считать, что синхронизм выполняется для нормального падения волны накачки.

Сделаем также замечание об использовании формулы (6.42). При написании (6.42) предполагается, что кристалл является слабо анизотропным, и поэтому выражение для вектора УмоваПойнтинга необыкновенной волны ВГ берется в таком же виде, что и для обыкновенной волны накачки. Это означает, что волновой вектор ke(2) параллелен вектору УмоваПойнтинга Sе(2), т. е. фактически пренебрегают эффектом сноса пучка второй гармоники, что допустимо при условии, когда апертурная длина кристалла больше геометрической длины кристалла l l, (l a/), где l длина кристалла, l апертурная длина, а апертура кристаллического элемента, угол анизотропии для необыкновенной волны ВГ.

6.4. Приближения заданной интенсивности и заданного поля Ввиду широкого распространения компьютеров, получение решений уравнений в аналитическом виде перестало быть актуальной задачей. Вместе с тем, всегда полезно иметь замкнутые аналитические выражения, получаемые в рамках определенных приближений. В связи с этим обсудим приближения заданной интенсивности и заданного поля, позволяющие написать достаточно простые формулы для КПД генерации второй гармоники. Эти формулы могут использоваться для сравнения с численными расчетами.

Для получения формул в приближении заданной интенсивности для волны накачки на частоте будем исходить из системы укороченных уравнений (6.1).

Дифференцируя их по z и вновь используя исходные уравнения (6.1), получим dA/dz (2 ik)dA/dz {(2 ik) 2 |A|}A 0. (6.51) Таким образом, исходная система уравнений (6.1) преобразуется в систему связанных нелинейных обыкновенных уравнений, но уже 2го порядка.

Уравнения системы (6.51) легко поддаются линеаризации, если предположить, что |A| является либо константой, либо заданной функцией:

1) |A| a(0) const, но const, A(z) a(z)exp[i(z)];

2) |A| f(z) const и const.

Обычно под приближением заданной интенсивности накачки понимают следующую ситуацию:

С учетом (6.52) уравнение для комплексной амплитуды второй гармоники перепишется в виде однородного уравнения с постоянными коэффициентами:

Уравнение (6.53) легко решается, например, с помощью метода характеристик и при граничных условиях A(0) 0, dA/dz(0) i A(0) для интенсивности 2й гармоники получаем I(z) |A(z)| 2I exp[(2 )z]{ch(uz) cos(vz)}/(u v). (6.54) Здесь u и v выражаются через дискриминант D характеристического уравнения и его фазу :

Решение (6.54) справедливо, когда |D| 0. Если же X Y 0, то выражение (6.54) становится таким:

В результате простых преобразований получаем выражения для КПД При |D| 0 в формуле (6.57) надо сделать предельный переход и в результате заменить {ch(uz) cos(vz)}/ |D| на z/2.

Теперь обсудим приближение заданного поля накачки: A(z) A(0) const.

В этом случае вместо системы укороченных уравнений рассматривается только уравнение для второй гармоники, которое в данном приближении принимает следующий вид Путем замены функции A(z) Q(z)exp(z) в (6.58) получаем уравнение которое при начальных условиях Q(0) A(0) 0 имеет простое решение Используя (6.60), выражение для амплитуды второй гармоники можно записать в таком виде Формулу для КПД в приближении заданного поля накачки легко получить с учетом выражения для амплитуды (6.61) Если же k 0, то в выражении (6.62) надо сделать замену {ch( z) cos(k z)}/[ (k)] на z/2.

7. ДРУГИЕ НЕЛИНЕЙНО-ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В КРИСТАЛЛАХ

Продолжаем рассматривать нелинейные эффекты, связанные с взаимодействием трех волн в среде с квадратичной нелинейностью. Мы рассмотрели случай, когда две взаимодействующие падающие волны имели одинаковую частоту, а в качестве среды мы брали отрицательный одноосный кристалл и на выходе получали волну на удвоенной частоте. Но, генерация второй гармоники представляет собой лишь частный случай более общего нелинейного процесса взаимодействия волн – генерации суммарных и разностных частотах (смешение волн). Возможны два типа взаимодействия: оо-е, и ое-е, различие этих режимов и условия генерации для обоих случаев были рассмотрены выше.

Рис.7.1. Схема генерации суммарной или разностной частоты Теперь рассмотрим оо-е взаимодействие в одноосном кристалле, когда падающие волны имеют различные частоты 1 и 2, а на выходе стремимся получить генерацию на суммарной частоте 3 2 1. При решение этой задачи будем пользоваться некоторыми результатами полученными при рассмотрении эффекта генерации второй гармоники, модифицируя их для этой более общей задачи. Условиями эффективного взаимодействия в данном случае будут:

Если рассматривать коллинеарное взаимодействие то условие на показатели преломления на различных частотах будет иметь вид:

В случае взаимодействия трех волн плоских волн выражение для нелинейной Оставим только слагаемые отвечающие за эффект генерации суммарной частоты, и воспользовавшись приближениями плоских, монохроматических, медленно меняющихся при распространении волн, получим укороченные уравнения:

Найдем интегралы движения, то есть получим законы сохранения аналогичные тем, которые были получены при рассмотрении генерации второй гармоники:

Переходя от интенсивности к плотности потока квантов получаем:

Из этого соотношения, используя условие 3 2 1 и условие независимости изменения частот легко получить следующие законы сохранения:

Причем только два из них являются независимыми. Эти соотношения называются соотношениями Мэнли-Роу. Они отражают тот факт, что на один фотон на частоте 3 приходятся по одному фотону на частоте 1 и 2.

Сделаем следующие замены переменных:

В новых переменных укороченные уравнения перепишутся, как:

Из последнего уравнения сразу видно: U 1U 2U 3 const 0, так как на входе U 3 0 это достигается, когда cos 0, т. е. / Тогда используя то, что sin 1, получаем решение в виде эллиптического интеграла Якоби:

Видно, что решение зависит от соотношения U (0) В том случае, если U (0) Pкр) лучи отклоняются к оси пучка происходит самофокусировка. В этом случае нелинейная среда действует как положительная линза. Ее фокусное расстояние нетрудно оценить, пользуясь формулой (7.29). Вводя дифракционную длину Rд ka/2 a/qд, из (7.29) получаем, что условие q qд эквивалентно условию Величина Rн, имеющая размерность длины, называется эффективной длиной самофокусировки, поскольку дифракционную расходимость можно трактовать как результат действия расфокусирующей линзы с фокусным расстоянием Rд. В этом случае равенство Rд Rн соответствует обращению фокусного расстояния системы двух линз в бесконечность (Rф Rн Rд). В пучках большой "сверхкритичной" мощности с достаточной степенью точности Rф Rн (Rд >> Rн); поведение пучка хорошо описывается приближением геометрической оптики, а дифракционные эффекты почти не проявляются.

В целом картина самофокусировки выглядит следующим образом. При вхождении пучка в среду, например жидкость, лавинный процесс нелинейного искажения волнового фронта и рост концентрации поля приводят к тому, что пучок резко схлопывается и появляется одна или несколько нитей (движение фокуса). Положение фокуса и фокусное расстояние Rн (рис. 7.4) при этом четко определены. Пучок будет самофокусироваться до тех пор, пока не начнется какой-либо конкурирующий нелинейный процесс. Таким процессом может быть вынужденное комбинационное рассеяние (ВКР), вынужденное рассеяние МандельштамаБриллюэна (ВРМБ), двухфотонное поглощение и оптический пробой. Как следует из приведенных рассуждений, при теоретическом описании самовоздействия пучка с самого начала нельзя пренебрегать дифракционными эффектами.

Для решения нелинейного волнового уравнения вновь воспользуемся методом медленно меняющихся амплитуд и приближением квазимонохроматических волн:

где малый параметр, характеризующий отличие пучка от плоской волны E (1/2)Eexp[i(t kz)], которое появляется у него вследствие нелинейности среды и дифракции. В (7.31) учтены изменения комплексной амплитуды A как вдоль, так и поперек луча. Изменения поперек луча более быстрые, поскольку здесь происходит переход в область тени.

Используя n n n|A| и считая, что нелинейная поляризация имеет порядок, и ограничиваясь членами первого порядка по, приходим к упрощенному уравнению, описывающему эффект самовоздействия гармонической волны в кубично-нелинейной среде:

Здесь двумерный оператор Лапласа в плоскости, перпендикулярной оси Z.

При n 0 уравнение (7.32) переходит в параболическое уравнение, используемое в приближенной теории дифракции. Следовательно, уравнение (7.32) соответствует так называемому квазиоптическому приближению. Важно подчеркнуть, что (7.32) может описывать самовоздействие волны и в изотропной, и в анизотропной среде.

Существенно, что исходное нелинейное волновое уравнение (1.12) допускает точное решение в виде монохроматической плоской волны с линейной или круговой поляризацией. Подстановка (7.32) в (1.12) приводит к дисперсионному соотношению Фазовая скорость /k в нелинейной среде с самовоздействием зависит не только от частоты, но и от амплитуды волны. Если n > 0, фазовая скорость убывает с увеличением амплитуды. Такую среду называют фокусирующей.

Если же n < 0, то фазовая скорость растет при увеличении амплитуды, и среду называют дефокусирующей. Самофокусировка возникает и в твердом теле. Ее результатом может быть трек оптического пробоя. Трек пробоя имеет вид цилиндрического канала с измененным показателем преломления диаметром в несколько микрон и длиной в несколько сантиметров. Он начинается с характерной звезды пробоя и может прерваться, не доходя до конца образца. Формирование трека сопровождается вспышкой белого света из области канала, увеличением расходимости прошедшего лазерного луча и появлением короткого импульса ВРМБ назад.

8. ТЕПЛОВОЕ ДЕЙСТВИЕ ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ НА ВЕЩЕСТВО.

8.1. Оптический нагрев поглощающей среды.

Из повседневного опыта хорошо известно тепловое воздействие оптического излучения на вещество, сопровождающееся превращением энергии светового поля в тепло. Так, например, с помощью линз или зеркал концентрируя солнечное излучение можно нагреть поглощающее свет тело до высоких температур.

В современных "солнечных печах" металлы удается нагреть до температур в несколько тысяч градусов, но при этом, предельно достижимая температура ограничена законами термодинамики. Тепловое действие солнечного излучения вполне успешно используется в энергетике. Регистрация теплового воздействия также может быть положена в основу прямых измерений энергии и мощности света.

Физика теплового воздействия света на вещество довольно проста. Световая волна возбуждает движение свободных и связанных зарядов в среде. Кинетическая энергия зарядов частично рассеивается при столкновениях зарядов с другими частицами, при взаимодействии с колебаниями решетки в кристалле и т. п., превращаясь, в конечном счете, в тепловую энергию. В результате этого процесса температура среды повышается.

В соответствии с законом сохранения энергии интенсивность световой волны уменьшается по мере увеличения расстояния, пройденного волною в среде, т. е. распространение света сопровождается его поглощением. В простейшем случае процесс поглощения бегущей волны описывается законом Бугера-Ламберта.

Величина, имеющая размерность см-1, называется коэффициентом поглощения.

На расстоянии L0=-1, называемом глубиной поглощения, интенсивность света уменьшается в е раз. Тепловые процессы в поглощающей свет среде описываются уравнением теплопроводности, которое подробно рассматривается в курсах математической физики. Согласно трехмерному уравнению теплопроводности величина приращения температуры в некоторой точке среды T(t, х,у,z) может быть описана следующим образом:

где - плотность, Ср — теплоемкость, - коэффициент теплопроводности, R — коэффициент отражения от поверхности вещества.

Поглощение света вызывает появление в веществе распределенных источников тепла. Выделение энергии в некоторой точке пространства приводит к росту температуры среды со скоростью, пропорциональной I0/(Cр). Однако, с этим процессом, конкурирует процесс термодиффузии (растекания тепла), скорость которого пропорциональна где L0 - характерней размер нагреваемой области.

При распространении мощных лазерных пучков возникающие тепловые эффекты оказываются существенными даже в слабо поглощающих средах с коэффициентами поглощения не превышающими величины 102 103 см-1. Уникальные возможности, открываются при использовании теплового действия коротких и ультракоротких лазерных импульсов на сильно поглощающие среды.

Так, для металлов и полупроводников, коэффициенты поглощения велики и имеют порядок 104-106 см1. Если сфокусировать лазерное излучение на поверхность таких материалов, за время существенно меньшее времени термодиффузии можно, на дистанции порядка размера фокального пятна (10-2-10-8 см) расплавить и даже испарить поверхностный слой, получив огромные скорости нагрева и охлаждения вещества, лежащие в диапазоне 109-1010 К/с.

Такого рода воздействие на поверхностный слой вещества находит разнообразные технологические применения.

8.2 Импульсный нагрев поверхности металла лазерным излучением.

Рассмотрим тепловые процессы в поверхностном слое металла, подвергаемого воздействию сфокусированного короткого лазерного импульса, обладающего полной энергией W0 (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Схема облучения поверхности металла сфокусированным лазерным пучком. Показаны характерные распределения интенсивности света I и температуры Для металлов величина коэффициента поглощения слабо зависит от длины волны и обычно изменяется в пределах 104-106 см-1, следовательно, глубина проникновения света в металл составляет L0-1 10-5 СМ.

По сути дела мы имеем дело с известной из электродинамики глубиной скин-слоя L0(С/)1/2, определяемого, однако, для оптических частот. В этих условиях трехмерное уравнение теплопроводности существенно упрощается и сводится к одномерному уравнению.

Поскольку радиус фокального пятна d0 значительно превышает глубину проникновения света L0, можно пренебречь переносом тепла в плоскости металла (х,у). Поэтому реальное распределение интенсивности света по слою L0 можно приближенно заменить прямоугольным. Доля интенсивности падающей волны I, перешедшая в тепло, Iпогл = I0 (1 - R). Тогда вместо (2) можно записать На границе нагретый металл-воздух действуют различные механизмы тепловых потерь, которые приближенно можно описать с помощью формулы Ньютона.

где qc - поток тепла, Т0 - температура окружающего воздуха, T - коэффициент тепловых потерь. Для этой величины можно воспользоваться значением T Дж/(см2сК). Поток тепла внутрь металла для величины в металле можно взять значение 0,5 Дж/(смсК). Подставляя характерные значения параметров в (2.8), легко убедиться, что qM qc. Проанализируем относительную роль процессов локального нагрева и переноса тепла. Для этого в уравнении (8.6) введем безразмерную координату = zL и время q = t/и, где и — длительность лазерного импульса. После замены переменных (Д2.6) преобразуется к виду где Т = рсpL02/ - характерное время теплопроводности. Если и < Т, переносом тепла внутрь металла можно пренебречь. Тогда, пренебрегая процессами термодиффузии, можно вычислить приращение температуры металла к моменту окончания лазерного импульса просто поделив поглощенную энергию на теплоемкость освещаемой массы металла Подставляя в формулу (8.8) характерные значения параметров р = 8 г/см3, сp= 0,4 Дж/(г К), d0 = 103 см, L0 = 10 К. Полученная цифра, однако, непосредственного физического смысла не имеет.

В действительности, еще на более ранних этапах процесса, когда будут достигнуты температуры 103-104 К, начнут меняться теплофизические параметры металла, затем начнется плавление металла, его испарение и т. д. Проведенная оценка, однако, убедительно показывает, что с помощью лазерного излучения можно локально и очень эффективно воздействовать на металлы.

Одно из перспективных направлений применения теплового действия лазерного излучения - это поверхностная термообработка металлов, использующая возможность локального теплового воздействия на участке, подвергаемом износу. При поверхностном лазерном нагреве не возникают нежелательные тепловые деформации деталей, а твердость чугуна и сталей возрастает в 3-5 раз.

Второе направление технологического применения лазеров - это лазерная сварка различных металлов. Мощные технологические лазеры позволяют сваривать стальной лист толщиной около 20 мм со скоростью порядка 100 м/ч; при этом достигается высокое качество сварного шва. Дополнительные удобства предоставляет возможность вести обработку в труднодоступных местах и на больших расстояниях от источника излучения.

Лазерная резка происходит за счет испарения металла или его плавления с последующим удалением расплава струей инертного газа. Она особенно целесообразна, когда требуется малая зона термического воздействия и узкий рез. С помощью лазеров разрезают твердые керамические материалы, сплавы и металлы с защитными покрытиями.

Выполненный выше расчет теплового действия света на поверхность металла иллюстрирует возможности быстрого локального нагрева вещества со скоростью 108 - 1014 К/с. Оказывается, что эта особенность лазерного нагрева позволяет не только резать или плавить металл, но и индуцировать фазовые переходы в веществе. В частности, с помощью лазера можно осуществлять импульсный отжиг ионно-имплантированных полупроводников.

Как мы уже убедились, характерной чертой лазерного нагрева вещества является то, что сравнительно большое количество энергии может поглотиться в течение очень короткого интервала времени. Поверхность поглощающего материала может быть доведена до точки плавления за время лазерного импульса, длящегося доли микросекунд. После окончания импульса происходит быстрая рекристаллизация расплавленного слоя. Временной и пространственный масштабы нагрева таковы, что диффузия вещества не играет заметной роли в фазе расплава, поэтому концентрация примесей, внедренных в кристаллическую решетку, в процессе кратковременного расплава может превышать равновесную. В результате облученный участок поверхности приобретает новые свойства.

Пусть прямоугольный лазерный импульс длительностью и и интенсивностью I0 падает на поверхность твердого тела по нормали. Коэффициент температуропроводности =pcp) определяет характерный масштаб LT=(и)1/2, показывающий, на сколько расплывается первоначальный температурный профиль за время действия импульса. Если глубина L0, на которую проникает световая энергия, мала по сравнению с характерной длиной температуропроводности, т.

е. L0 LT, то поглощенная энергия Wп = (1 R)I0иd20 полностью пойдет на нагрев слоя вещества толщиной LT, и рост его температуры составит Характерное время остывания в этом случае равно длительности импульса и, т.

е. времени, необходимому для диффузии тепла на расстояние LT = ( и)1/2. Скорости нагрева и охлаждения в этом случае совпадают и равны Напротив, если глубина проникновения L 0= много больше длины термодиффузии, т. е. L 0 LT, то при поглощении света формируется характерный спадающий по экспоненте вглубь вещества температурный профиль с масштабом L0, И рост температуры составит Скорость нагрева выражается следующим образом: Tи. Поскольку при охлаждении тепло должно продиффундировать на глубину L0 =, характерное время остывания равно 0 = L20, а скорость остывания есть Практически в большинстве случаев выполняется неравенство LT > L0, и реализуется локальный нагрев. Приведем оценки типичных параметров для кремния при длине волны излучения = 0,5 мкм: = 104 см 1, R = 0,35, pcp = 0, Дж/(см3К), = 0,7 см2/с, температура плавления Тпл, = 1420°С. Типичные характеристики лазерного импульса, необходимого для нагрева поверхностного слоя кремния до температуры ~ 103 °С, приведены ниже: и = 30 нс, I0 = 1,1*107 Вт/см2, I и = 0,33 Дж/см2, LT = и1/2= 1.5 *104 см. При этом скорость нагрева и охлаждения составляет 1011 К/с. Для пикосекундных импульсов длина термодиффузии будет уже меньше глубины поглощения и для получения больших скоростей нагрева и охлаждения следует использовать лазерные импульсы ультрафиолетового диапазона частот.

Быстрое плавление и последующая рекристаллизация полупроводников при поглощении лазерных импульсов нашли применение для лазерного отжига ионно-имплантированных полупроводников. Полупроводниковые материалы, используемые в настоящее время в электронике, получают путем внедрения ионов в кристаллическую решетку чистого полупроводника. При этом ионы имплантируются в толщу полупроводника с помощью ускорителя (характерные энергии ионов составляют 105 эВ, дозы имплантации 1013 - 1016 ионов/см2, глубина внедрения ионов до 10 см). Ионная бомбардировка вызывает разупорядочение кристаллической решетки в приповерхностном слое. Ее восстановление обычно осуществляется с помощью длительного термического отжига в течение десятков минут при температурах в несколько сотен градусов Цельсия. При этом, однако, первоначальный профиль распределения примеси по глубине неизбежно расплывается вследствие диффузии.

Оказывается, что с помощью лазерных импульсов микросекундной или наносекундной длительности также можно произвести отжиг ионно-импланти-рованного слоя полупроводника, причем полученная при эпитаксиальной рекристаллизации решетка характеризуется меньшим количеством дефектов, отсутствием расплывания профиля концентрации внедренной примеси в глубину.

Концентрация примесных ионов, внедренных в решетку, для некоторых режимов оказывается значительно выше достигаемой при термическом отжиге. Импульсный отжиг сделал возможным получение сверхмелких р-п переходов, позволил формировать нужные профили примеси путем изменения энергии, дозы и вида имплантированных ионов.

Большой научный интерес связан с выявлением роли термических и атермических факторов при лазерном отжиге, в частности, роли плотной (до 1021 смэлектронно-дырочной плазмы, образующейся в толще полупроводника при поглощении лазерного импульса с интенсивностью до 109 Вт/см2. Динамика процесса рекристаллизации поверхности изучается обычно с применением линейных оптических методов путем регистрации с высоким временным разрешением изменения коэффициентов отражения и пропускания пробного лазерного луча при поглощении на поверхности полупроводника мощного отжигающего импульса. Помимо этого используют регистрацию динамики появления и пространственного распределения по отжигаемому участку спектров спонтанного комбинационного рассеяния, а также картину дифракции быстрых электронов на восстановленной решетке. Началось применение нелинейных оптических методов диагностики состояния поверхности полупроводников при мощном импульсном воздействии, например путем регистрации оптических гармоник пробного излучения, генерируемых при отражении от отжигаемого участка поверхности полупроводника.

Большинство полученных к настоящему времени экспериментальных данных свидетельствуют в пользу тепловой модели лазерного отжига: при межзонном поглощении излучения в полупроводнике генерируется плотная электроннодырочная плазма, затем вследствие электрон-фононного взаимодействия за время ~ 1012 с энергия от электронной подсистемы передается решетке и происходит ее плавление. Фаза расплава длится 108 10 с и легко регистрируется в эксперименте по появлению высокого уровня отражения пробного луча. Если поглощенной энергии достаточно для того, чтобы расплавить на всю глубину аморфизованный ионной бомбардировкой слой полупроводника, то при охлаждении происходит эпитаксиальная рекристаллизация поверхностного слоя:

восстановленная кристаллическая структура повторяет структуру решетки подложки, т. ё. исходного монокристалла полупроводника, служащего затравкой при рекристаллизации. Скорость рекристаллизации по разным данным лежит в пределах 10-105 см/с. Если энергии импульса недостаточно для расплава всего аморфизованного слоя, то возникает поликристаллическая структура поверхностного слоя.

В эксперименте, выполненном Говорковым, Шумаем, Рудольфом и Шредером, исследовались начальные стадии плавления поверхности монокристалла арсенида галлия под действием лазерных импульсов длительностью 100 фс ( фс = 10-15 с) с помощью регистрации зависимости интенсивности отраженного пробного импульса и его второй гармоники от времени, прошедшего после возбуждения образца более мощным импульсом накачки.

Поскольку при плавлении материал становится изотропной жидкостью, эффективность генерации второй гармоники при наступлении лазерно-индуцированного фазового перехода должна падать. Это действительно наблюдается в эксперименте. Однако спад интенсивности второй гармоники происходит неожиданно быстро — с характерным временем порядка 100 фс. В то же время коэффициент линейного отражения возрастает до значения, характерного для расплава данного материала, гораздо медленнее — с характерным временем порядка 1 пс (1 пс = 10 с). Результаты эксперимента показывают, что потеря решеткой дальнего порядка, проявляющаяся в падении интенсивности второй гармоники, происходит значительно быстрее, чем изменение линейных оптических свойств арсенида галлия. Характерное время ВГ= 100 фс оказывается меньшим, чем время передачи энергии от электронной подсистемы к решетке, в то время как характерное время нарастания линейного отражения согласуется с представлением о тепловом плавлении. Эти результаты позволяют предположить наличие короткоживущей промежуточной неравновесной фазы кристалла с нарушенным дальним порядком, предшествующей плавлению и существующей при относительно холодной решетке.

8.4. Физические принципы лазерного термоядерного синтеза.

Нагрев мишени, подвергающейся воздействию лазерного излучения, сопровождается возникновением сил теплового происхождения. В мощных лазерных пучках они на много порядков превышают световое давление. Условно их можно разделить на три группы: конвективные, радиометрические и светореактивные. Конвективные силы связаны с нагревом среды, окружающей облучаемое тело, и последующим возникновением потоков газа или жидкости, которые, в свою очередь, воздействуют на тело. Радиометрические силы возникают на молекулярном уровне и наиболее ярко проявляются в разреженных газах. Скорость молекулы после соударения с нагретой поверхностью больше, чем начальная, что и приводит к появлению дополнительного давления, пропорционального разности квадратных корней из температур поверхности и среды.

Светореактнвное давление рcp возникает в процессе испарения вещества с поверхности облучаемого тела. По величине оно пропорционально скорости истечения ист испаренного вещества и скорости изменения массы единицы поверхности тП :

Скорость изменения массы можно грубо оценить, разделив интенсивность поглощенного света I на удельную теплоту парообразования Qп. При этом не учитывается энергия, затраченная на разогрев вещества до температуры плавления и само плавление, так как она обычно почти на порядок меньше Qп. С учетом этого замечания запишем формулу (8.13) в виде С помощью мощных световых импульсов можно получить рср ~ 1012 атм. Обсуждаются возможности использования светореактивного давления для ускорения микрочастиц и даже для изменения траектории искусственных спутников Земли.

Возможности получения с помощью фокусировки излучения мощных лазерных систем интенсивностей света порядка 1016 Вт/см2, приводящих к быстрому разогреву вещества и его чрезвычайно сильному сжатию за счет светореактивного давления, стимулировали работы в области лазерного термоядерного синтеза. В основе термоядерного синтеза лежит реакция между ядрами дейтерия и трития D + Т 4Не + n, в результате которой выделяется энергия около МэВ (1 МэВ = 1,6 *106 эрг). Расчет показывает, что для преодоления кулоновских сил отталкивания необходимо нагреть смесь дейтерия и трития (термоядерную плазму) до температуры порядка 108 К. Кроме того, нужно, чтобы за время существования плазмы в ней произошло достаточно большое число единичных актов взаимодействия, и выделившаяся энергия превысила затраченную на разогрев. Это приводит к критерию Лоусона связывающему концентрацию частиц n и время удержания плазмы. Физический смысл этого критерия достаточно ясен: чем больше частиц в единице объема, тем скорее ион дейтерия встретит ион трития. С другой стороны, чем дольше удерживается плазма, тем больше времени для поисков партнера по реакции.

В 1962 г. Н. Г. Басов и О. Н. Крохин выдвинули идею быстрого нагрева плазмы я инициального удержания с помощью мощных лазерных импульсов. В современных установках лазерного термоядерного синтеза используются сферические мишени диаметром около 100 мкм, симметрично облучаемые со всех сторон (рис. 8.2). Под действием света происходит быстрый разогрев вещества, сопровождаемый испарением поверхности мишени. Возникающее при этом светореактивное давление порождает волну сжатия, распространяющуюся к центру мишени. В свою очередь, кинетическая энергия ударной волны превращается в тепло. Все эти процессы разыгрываются за время ~ 10-9 с и носят характер микровзрыва. Плотность плазмы в центре мишени по теоретическим оценкам возрастает почти в 104 раз относительно исходной.

Рис. 8.2. Схема лазерного термоядерного синтеза Уже проведены успешные эксперименты по сверхсжатию вещества при всестороннем облучении. Достигнута плотность плазмы около 30 г/см3 при температуре Т ~ 107 К. В России и США созданы сверхмощные лазерные системы на неодимовом стекле ( = 1,06 мкм) с энергией в импульсе 103-105 Дж. Принципиальная возможность создания опытной термоядерной электростанции возникнет скорее всего после создания мощных импульсных лазеров с КПД около 10-20%.

На пути к решению проблемы лазерного термоядерного синтеза достигнуты значительные успехи, но задача в полной мере еще не решена.

9. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕРХКОРОТКИХ СВЕТОВЫХ ИМПУЛЬСОВ С ВЕЩЕСТВОМ

Применение сверхкоротких лазерных импульсов для воздействия на вещество, исследования быстропротекающих процессов, в системах передачи информации является одним из магистральных направлений развития современной лазерной физики и техники. Генерация все более коротких импульсов света, предельная концентрация световой энергии во времени позволяет исследовать принципиально новые физические явления.

К настоящему времени долгий путь сокращения временных масштабов световых импульсов пройден практически до конца: получены импульсы длительностью и = 4,5 фс в видимом диапазоне (всего два периода световых колебаний) и и = 40 фс на длине волны СО2 лазера (10 мкм) - световой импульс всего лишь в один период колебаний. Стоит вопрос и о генерации импульсов аттосекундного (1 ас = 10-18с) диапазона длительностей в ультрафиолетоврм диапазоне спектра. Освоение фемтосекундного масштаба времени (1 фс = 10 с) означает фактически полную реализацию возможностей оптики в изучении быстропротекающих процессов в веществе. Один период оптического колебания - это предельная длительность светового импульса, но одновременно и предельная "скорость" оптического отклика материальной среды.

С помощью интенсивных фемтосекундных импульсов можно создавать сильно неравновесные состояния для быстро релаксирующих возбуждений (время релаксации 10-13 - 10-14 с), в частности электронных возбуждений в многоатомных молекулах, полупроводниках и металлах, наблюдать новые типы оптически индуцируемых фазовых переходов в веществе. Фемтосекундная оптическая техника позволяет разработать прямые экспериментальные методы изучения молекулярной динамики сложных (в том числе биологически активных) молекул и конденсированных сред.

С прикладной точки зрения главный итог разработки эффективных источников коротких световых импульсов связан с возможностями реализации предельных скоростей оптической обработки и передачи информации. В последние годы выполнены эксперименты, ярко их демонстрирующие: созданы оптические бистабильные устройства, переключаемые за времена порядка 10-12 с, элементы волоконно-оптических линий связи, информация в которых переносится с помощью оптических солитонов с длительностью, достигающей 10-13 с.

С другой стороны, переход к фемтосекундным импульсам — это и очередной скачок по шкале интенсивности света. При длительности импульса и = 100 фс сравнительно небольшой энергии W = 0,1 Дж соответствует мощность уже Р = 1012 Вт. Таким образом, в сравнительно скромных по масштабам системах удается перейти к уровням мощности, которые еще совсем недавно удавалось получать только в мультикилоджоульных установках, предназначенных для управляемого термоядерного синтеза.

Благодаря этому совершенно новые экспериментальные средства получила в свое распоряжение нелинейная оптика. В поле сфокусированных фемтосекундных импульсов получены интенсивности света 1021 Вт/см2 и, следовательно, напряженности светового поля достигают 5*1011 В/см. Речь идет, таким образом, о полях, превышающих внутриатомные (Еа = 5*109 В/см для атома водорода). В столь сильных световых полях на первый план выходят новые проблемы нелинейной электронной физики, становятся реальностью прямые эксперименты, в которых можно наблюдать эффекты, предсказываемые нелинейной квантовой электродинамикой (нелинейное рассеяние света на релятивистских электронах, рассеяние света на свете в вакууме и т. п.).

На рис 9.1 приведена диаграмма энергия-время. По оси абсцисс отложена длительность импульсов и, по оси ординат - энергия импульса W, здесь же нанесены уровни равной мощности. Выделенные области параметров сверхкоротких световых импульсов соответствуют новым направлениям в исследовании сверхбыстрых процессов и в нелинейной оптике сверхсильных световых полей. Перечисленные новые направления физических и прикладных исследований формируют две области на карте энергия-время - спектроскопию сверхбыстрых процессов и нелинейную оптику сверхсильных световых полей 9.2 Новые технологии базирующиеся на фемтосекундных импульсах В середине 90-х годов прошлого века произошел прорыв в технике генерации сверхкоротких импульсов света. Были созданы новые лазерные кристаллы, способные генерировать лазерное излучение и обладающие сверхширокой полосой усиления: титан-сапфир (ширина полосы усиления 3500 см-1), хромфорстерит и другие. Было открыто явление самосинхронизации мод.

В лазере на титан-сапфире удалось реализовать внутрирезонаторную компрессию, при которой фазовая самомодуляция импульса осуществляется непосредственно в активном элементе лазера (за счет керровской нелинейности), а сжатие с помощью пары стеклянных призм или многослойного диэлектрического зеркала, обладающего отрицательной дисперсией групповой задержки (глубина проникновения света в такое зеркало зависит от длины волны). Лазеры подобного типа накачиваются непрерывным излучением аргонового лазера или второй гармоникой лазера на гранате с неодимом. Титан-сапфировый лазер очень компактен (длина кристалла порядка миллиметра), легко переводится в режим самосинхронизации мод и генерирует импульсы длительностью 10 фс с энергией порядка нДж на длине волны 800 нм. Разработаны методы усиления и преобразования частоты таких импульсов. Рассмотрим теперь некоторые применения фемтосекундных световых импульсов.