«Москва Просвещение Институт новых технологий 2007 УДК 372.8:004 ББК 74.263.2 C30 В подготовке методического пособия принимали участие: Е. С. Архипова, М. А. Ройтберг Дизайн обложки Р. Е. Самолюбовой Семенов А. Л. ...»

5

А. Л. Семёнов Т. А. Рудченко

информатика

информатика

5 класс

Книга для учителя

Москва

«Просвещение»

Институт новых технологий

2007

УДК 372.8:004

ББК 74.263.2

C30

В подготовке методического пособия принимали участие:

Е. С. Архипова, М. А. Ройтберг Дизайн обложки Р. Е. Самолюбовой Семенов А. Л.

Информатика: 5 кл.: кн. для учителя / А. Л. Семенов, С30 Т. А. Рудченко. – М. : Просвещение: Институт новых технологий, 2007. – 192 с. – ISBN 978-5-09-016360-6.

Учебно-методический комплект для 5 класса состоит из учебника, тетради проектов c приложением раздаточного материала и книги для учителя.

В методическом пособии авторы комментируют решение задач, обращают внимание учителя на наиболее важные и сложные понятия, на связь курса с разными дисциплинами в среднем звене и старших классах.

Пособие содержит и некоторые общие комментарии, не связанные с конкретным заданием, но важные для всего курса.

Электронная версия книги для учителя размещена на сайтах:

www.int-edu.ru; www.prosv.ru.

УДК 372.8: ББК 74.263. Учебное издание Семёнов Алексей Львович Рудченко Татьяна Александровна

ИНФОРМАТИКА

5 класс Книга для учителя Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор А. В. Желонкин Художественный редактор О. П. Богомолова Дизайн обложки Р. Е. Самолюбова Технический корректор Г. В. Субочева Верстка выполнена Институтом новых технологий.

Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93–953000.

Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать с оригинал-макета 22.12.2006. Формат 60 901/16. Бумага офсетная. Гарнитура Прагматика. Печать офсетная. Уч.-изд. л. Тираж экз. Заказ №.

Институт новых технологий. 115162, Москва, Мытная, 50.

Тел.: (095) 926-49-65, e-mail: [email protected].

Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение».

127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

© Институт новых технологий, ISBN 978-5-09-016360- © Художественное оформление.

Институт новых технологий, Все права защищены Введение Курс «Информатика 5» является составной частью курса информатики для начальной и средней школы. При этом курс 5 класса подходит как детям, которые уже занимались информатикой в начальной школе, так и детям, которые только начинают изучение этой дисциплины.

Как и другие составляющие общего курса информатики для начальной и средней школы А. Л. Семенова и др., курс 5 класса следует главным идеям, положенным в основу общего курса:

•явное и ясное введение правил игры – общих для всех учащихся и учителя договоренностей, полностью определяющих работу учащихся в рамках курса;

•активное использование языка, как наиболее естественного для учащихся информационного поля;

•интерпретация всего спектра понятий современной информатики в графических и телесных моделях.

Основной формой работы на уроке в 5 классе, как и в курсе начальной школы, авторы предлагают сделать самостоятельную работу учащегося. Такая модель поддерживается спецификой учебника, который содержит всю информацию, необходимую для однозначного понимания учащимися поставленной учебной задачи и четкой ориентации в правилах игры. При этом учитель на уроке играет роль не только консультанта, но и катализатора интеллектуальной и творческой активности учащегося. Именно учитель организует деятельность ребят на уроке так, чтобы работа с материалами курса каждого из учеников находилась всегда в зоне его ближайшего развития.

Важную роль в изучении курса играют проектные уроки. Это уроки решения практических информационных задач, часто выполняемых силами группы учащихся. Все материалы для проведения таких уроков собраны в специальной рабочей тетради – тетради проектов и ее приложении – раздаточных материалов.

Описание работы в проектах дано в этой книге.

Центральной научной идеей курса «Информатика 5» является идея дискретности – знакомство школьников с дискретными структурами и дискретными процессами. В этом курсе дети познакомятся с примерами различных дискретных структур – структур, состоящих из отдельных элементов (множество, последовательность, дерево), а также с примерами процессов, разложимых на отдельные этапы и шаги (игра, перебор, шифрование и др.). Ребята познакомятся с дискретными информационными процессами не только в информатике, но и в математике, лингвистике, биологии и других науках. Теоретический материал и блоки соответствующих задач подробно обсуждаются далее.

Курс 5 класса имеет важные особенности в отличие от курса начальной школы. Все они продиктованы переходом детей на новую ступень обучения – в среднее звено.

Первая из этих особенностей – переход на новый формат учебника. Учебник содержит листы определений, где имеются вся необходимая информация для решения задач и блоки различных задач. Но в отличие от учебника-тетради, в котором дети решали задачи в начальной школе, учебник 5 класса содержит только условия задач, а решать их учащиеся будут в обычных тетрадях. Ребенок оформляет теперь решение полностью сам, не опираясь на заготовленные графические шаблоны, в частности, решает, что и как писать, а также как разместить объекты на странице. Чтобы обеспечить ясное и явное введение правил игры, в том числе и правил оформления решения, в условия задач включены указания и образцы написания ответов, на листах определений показана грамотная запись.

При решении задач первых нескольких уроков правила оформления предельно просты. Со временем, когда ребята осваиваются с оформлением основных типов заданий, формулировки задач становятся более разнообразными и за счет возможности ответов на вопросы в свободной форме.

Вторая особенность курса 5 класса – введение основ теории множеств. Эта важная часть современной математики по разным причинам выпала из объема стандартных математических курсов средней школы. По мнению авторов, основные понятия теории множеств методически важно ввести именно в 5 классе, так как многие из них используются в курсах математики уже начиная с 6 класса. При этом авторам пришлось пожертвовать понятием мультимножества (мешка), введенного в курсе начальной школы, которое более удобно для работы с конечными дискретными объектами. Стремясь поддержать и другие общепринятые в курсах математики термины, в курсе 5 класса авторы заменили термин «цепочка»

равноценным термином «последовательность», одновременно была изменена и вся сопутствующая терминология.

Еще одна особенность курса – больший объем учебных текстов. В начальной школе ведущую роль играло наглядно-образное мышление, поэтому все новые понятия вводились на графических примерах, да и работали дети в основном в «графическом и телесном режиме» – раскрашивали, обводили, вырезали, клеили и т. п. При изучении курса 5 класса все более серьезную роль начинают играть учебные тексты. Если в курсе 2–4 классов текст в основном служил пояснением к картинкам, то теперь назначение текста становится более разнообразным. В тех случаях, когда понятие можно определить словами кратко и ясно, появляются формальные определения. Появляются также краткие описательные тексты, поясняющие новое понятие или содержащие примеры. При этом везде, где это возможно, тексты по-прежнему сопровождаются графическими иллюстрациями. При решении задач дети все чаще работают в «текстовом режиме» – письменно отвечают на вопросы по заданному образцу или в свободной форме.

Как мы уже говорили, курс 5 класса построен так, чтобы по нему могли обучаться дети, совсем не изучавшие информатику в начальной школе. В то же время материал учебника не дублирует то, что там изучалось. Все темы, которые могли изучаться детьми в начальной школе, преподносятся в учебнике 5 класса на более глубоком уровне, с более серьезными обобщениями. Даже известные объекты изучаются под новым углом зрения. Курс 5 класса содержит также ряд совершенно новых тем, которые в курсе начальной школы не затрагивались. Данное методическое пособие содержит комментарии и советы по проведению уроков для обеих категорий учащихся: и тех, кто продолжает изучение курса, и тех, кто его только начинает.

Обратите внимание на условные обозначения, принятые в учебнике. В классах, изучавших информатику по комплекту тех же авторов, обязательно следует обращать внимание на места, помеченные колокольчиком. Это поможет не растерять знания, полученные в начальной школе, интегрировать их с новыми знаниями, организовать интересное обсуждение в классе, ускорить процесс усвоения новых знаний. В классах новичков стоит сразу попросить детей просто не читать такие места текста (благо их в учебнике не так много).

В конце этой книги мы приводим два варианта почасового планирования курса. В классах первого года обучения лучше всего взять за основу стандартное планирование. В классах, знакомых с курсом, учитель в зависимости от уровня класса и степени усвоенности курса начальной школы может работать по приведенному ориентировочному планированию или по собственному планированию.

Класс, изучавший информатику в начальной школе, может пройти знакомые темы быстрее новичков, сэкономив время для более глубокого изучения новых и сложных вопросов, для проектной деятельности или решения необязательных и трудных задач. Однако даже в том случае, когда учитель работает по собственному планированию, он должен быть уверен, что все ребята справляются с задачами обязательного уровня.

Авторы выражают особую признательность за критическое обсуждение наших материалов профессору, доктору физико-математических наук Алексею Всеволодовичу Гладкому. По книгам и работам Алексея Всеволодовича учились авторы и другие участники данной работы. Профессор А.В. Гладкий много внимания уделяет средней школе. В частности, для педагогов будет полезным знакомство с его книгами «Числа: натуральные, рациональные, действительные, комплексные» (М.:

Вербум–М, 2000) и «Введение в современную логику» (М: МЦНМО, 2001).

Учебные материалы курса В комплект учебных материалов входит:

•учебник;

•тетрадь проектов с приложением раздаточного материала;

•книга для учителя.

Учебник содержит все необходимые теоретические сведения (на листах определений), справочный материал (в частности, на форзацах) и блоки задач.

Тетрадь проектов содержит: материал для организации работы в проектах, заготовки для оформления задач из учебника, дополнительные проектные задачи (c которыми можно работать и не на проектных уроках), тексты контрольных работ.

В число материалов для работы в проектах входят: краткие описания проектов для учителя (дополнительные комментарии к проектам приводятся в этой книге), необходимая теоретическая информация и описания проектов для ученика, условия проектных задач, заготовки для оформления проектных задач, в том числе карта-схема одного из районов Москвы для проекта «Арбатские переулки».

Приложение к тетради проектов содержит только раздаточный материал – лист вырезания к проекту «Забавное стихотворение» и карточки для сортировки к проекту «Сортировки».

Чтобы правильно организовать работу с тетрадями проектов, рекомендуем вам перед началом года внимательно просмотреть тетрадь проектов и приложение к ней, разобраться, как и когда используются те или иные ее страницы, и решить, как лучше с ними работать. Один из вариантов – не раздавать тетради проектов сразу, а хранить их в классе и раздавать детям по мере необходимости.

Перед началом года из тетрадей проектов необходимо вынуть вкладыши – тексты контрольных работ (страницы I–VIII). Материалы проектов понадобятся детям только собственно при их проведении. Но так как тетрадь содержит различные материалы для оформления решения задач из учебника, она может понадобиться на различных уроках информатики, поэтому удобно, чтобы все тетради хранились в классе и были всегда под рукой. Раздаточный материал (приложение к тетради проектов) в любом случае лучше хранить в классе.

Кроме учебника и тетради проектов, каждому учащемуся для работы понадобится рабочая тетрадь – обычная тетрадь в клетку, поскольку задачи на сетке необходимо решать именно на клетчатой основе. Также понадобятся ручка, простой карандаш и набор цветных карандашей пяти цветов – красного, синего, черного, зеленого и желтого (как можно более контрастных). Фломастерами мы пользоваться не рекомендуем, так как бумага обычной школьной тетради промокает под фломастером и пачкает даже следующий лист. Кроме того, на некоторых уроках детям понадобятся ножницы и клей.

Дискретность Как мы уже писали, центральной научной идеей курса является идея дискретности – дискретные структуры и дискретные процессы. Что же такое дискретность? Словарь определяет это понятие так:

Дискретность (от лат. discretus – разделенный, прерывистый) – прерывность;

противопоставляется непрерывности.

В математике дискретными называют структуры, составленные из конечного числа элементов, а также некоторые бесконечные структуры, элементы которых можно пересчитать, например, множество целых чисел.

Соответственно дискретизацией называется приближение какого-то недискретного объекта или процесса дискретными частями. Например, имеется геометрическая фигура, изображение или звук, а мы хотим его описать более или менее точно с помощью цепочки знаков. Делать это можно по-разному. Можно сказать: «Вот тут, в углу, квадрат, а рядом что-то похожее на ухо». А можно разбить изображение на квадратики и перечислить подряд цвета квадратиков. Конечно, на границе цветов возникнет проблема: какого цвета там квадратик? Придется тем не менее выбрать какой-нибудь один цвет. Поэтому описание становится дискретным, но приближенным. Любое изображение на экране компьютера именно такое – дискретное, составленное из мелких элементов. Эти элементы могут быть настолько мелкими, что человеческий глаз их не различит. Посмотрите примеры компьютерных картинок на предыдующей странице – слева с совсем маленькими, а справа с довольно большими элементами. Посмотрите теперь на правую картинку с расстояния трех метров – дискретизация «исчезает»!

В жизни мы сталкиваемся с такими ситуациями довольно часто. Мы вышиваем крестиком картинку, переведенную по клеткам, – это дискретизация, и картинка получается дискретной. Дискретное (иногда говорят: оцифрованное, цифровое) представление информации становится все более и более распространенным.

Элементы. Одинаковые элементы Мы начинаем курс информатики с того, что знакомим детей с самыми простыми объектами, из которых впоследствии будут строиться более сложные структуры. Такие объекты мы будем называть элементами.

Самые простые элементы – бусины. Они обладают всего двумя свойствами – формой и цветом. Поскольку бусины у нас бывают только трех форм и шести цветов, набор видов этих элементов конечен – всего 18 различных бусин. Все остальные свойства бусин, например ориентация на листе или размер, для нас не важны и полностью игнорируются. В учебнике бусины всегда одинаковые, но если ребенок нарисовал одну желтую круглую бусину в тетради побольше, а другую – поменьше, их все равно следует считать одинаковыми, так как они одинаковы по форме и по цвету. Понятие «бусина» не общенаучное, а специфическое для нашего курса. Тем не менее бусины оказываются очень удобными в процессе обучения как элементы, которым можно дать полное и исчерпывающее описание.

Наиболее сложным элементом по внутренней организации и одновременно самым естественным для восприятия детей является фигурка, т. е. любое изображение одного предмета, животного, человека, фрукта, знака и др. Фигурки обладают широким набором характеризующих их свойств: форма, размер, цвет или раскраска. Ориентация на листе для фигурок также оказывается значимой. Это иллюстрирует приведенный на листе определений пример со знаками дорожного движения.

Определение характеристических свойств букв и цифр невозможно дать формально, так как оно имеет целый ряд тонкостей. Например, мы можем сравнивать буквы и цифры как фигурки, но при этом должны понимать, что из всех свойств фигурок для букв и цифр важна лишь форма (написание) и ориентация на листе.

Именно они позволяют отличить и узнать данную букву или цифру, например определить элемент как цифру 6. Ясно, что цвет и размер в этом процессе не играют никакой роли – красная маленькая буква Щ несет ту же информацию, что и зеленая большая буква Щ. Чаще всего для нас оказывается важным лишь то, что «Это русская буква – буква Щ». Объяснить все это детям на листе определений оказывается затруднительно. Поэтому во всех задачах достаточно рассматривать буквы и цифры как фигурки – задач на различение букв и цифр по цвету и размеру в курсе нет. По той же самой причине все буквы в курсе только заглавные. Естественно, что в курсе русского языка различаются заглавные и строчные буквы, но для наших информатических целей и задач заглавных букв оказывается вполне достаточно.

После знакомства с листом определений полезно вспомнить названия русских и латинских букв. Можно также обсудить проблему различения русских и латинских букв, тем более что она не настолько проста, как может показаться на первый взгляд. Действительно, в некоторых случаях внешний вид букв позволяет определить принадлежность букв к определенному алфавиту (например, буквы Ы, Щ, З, R, J, G), а в других случаях мы не можем это понять, глядя на написание буквы. Чтобы это не вызывало неопределенностей, часто приходится вводить дополнительные договоренности. Например, в школьном курсе геометрии принято использовать для обозначения точек только заглавные латинские буквы, а для обозначения плоскостей – строчные греческие. В нашем курсе нет задач, в которых сходство написания русских и латинских букв влекло бы за собой неоднозначность в решении. В пределах одной задачи обычно все буквы для имен берутся из одного алфавита. Исключения составляют лишь задачи с однобуквенными именами, где элементов больше, чем букв в выбранном алфавите.

Как видите, на листе определений мы знакомим ребят только с русскими и латинскими буквами – именно с ними детям чаще всего придется иметь дело. Однако в задачах будут встречаться и буквы других алфавитов. Поскольку эти объекты будут почти всем детям незнакомы, их можно считать (и называть) просто фигурками и сравнивать как фигурки.

Имена На первом же уроке мы учимся давать элементам имена. Возможность именования объектов очень важна для нас в плане договоренностей об общих правилах игры. В каждой задаче учащийся должен понимать, о каком элементе идет речь, а в решении – точно указывать нужный элемент. Используя имена объектов, можно с самого начала учить детей оформлять утверждение об одинаковости объектов кратко и грамотно, используя знак равенства.

Довольно быстро ребята столкнутся с тем, что одинаковые объекты могут иметь разные имена. Иначе невозможно будет указать, какие именно два элемента в наборе являются одинаковыми. Аналогично стоит обратить внимание ребят на то, что нельзя давать разным объектам одинаковые имена – тогда указать конкретный объект будет невозможно.

Имена можно давать не только элементам, но и другим более сложным объектам, с которыми ребята познакомятся на следующих уроках. По сути, имя – это последовательность букв и цифр, но пока не введено понятие «последовательность», мы вводим понятие «имя» лишь на примерах.

Задача 1. Во всех парах элементы почти не различаются ни формой, ни цветом, ни размером. Однако в двух парах элементы имеют разную ориентацию относительно страницы. Поскольку эти элементы фигурки, а фигурки нельзя поворачивать и переворачивать, в таких случаях элементы разные. Кроме того, грузинские буквы разные.

Задача 3. Ответ: N.

Задача 4. В этой задаче использованы грузинские буквы.

Первые дошедшие до нас образцы грузинского письма относятся к V в.

К началу XVII в. грузинское письмо приобрело современный вид, а с появлением в Грузии книгопечатания (1629 г.) оно окончательно стабилизировалось. В современном грузинском алфавите нет прописных (заглавных) букв. Направление письма – слева направо. В настоящее время грузинский язык (в котором используется грузинское письмо) является государственным языком Республики Грузии.

Мы приводим грузинский алфавит и показываем, как называются и как читаются (в квадратных скобках) его буквы. Знак апострофа обозначает глоттализованное произношение этого согласного (как если бы произносился русский согласный, а вслед за ним то, что произносится между гласными в русском просторечном отрицании не-а, только несколько отчетливее). Черточка (в виде ударения или штриха) над согласным означает специальное произнесение согласного, для которого аналогов в русском языке нет (эти звуки произносятся при помощи маленького язычка, являющегося продолжением верхнего нёба). Согласные, не отмеченные специальными знаками, произносятся с придыханием (похоже на произнесение букв p, t, k в английском языке). Буквы h и j обозначают звуки, похожие соответственно на английские буквы h и j.

Зачем мы приводим в учебнике буквы грузинского алфавита? Конечно, речь не идет о том, чтобы дети выучили грузинский алфавит. Но есть замечательное детское (и взрослое) качество – любознательность, любопытство, интерес к миру, к новому.

Кому-то из детей может быть интересно, как называется та буква, которую он обвел, или захочется больше узнать о грузинском алфавите – будет прекрасно, если вы удовлетворите на первых порах это любопытство, а дальше есть разные пути, которые могут привести ребенка к профессии лингвиста или переводчика.

В этой задаче у некоторых ребят может не получиться найти одинаковые буквы хаотичным просматриванием. Если кто-то из ребят не найдет решение сразу, можно помочь ему, предложив метод систематического перебора. Для этого сначала необходимо договориться, в каком порядке он будет перебирать буквы.

Например, можно решить перебирать по строкам слева направо и сверху вниз.

Тогда берем самую левую букву верхнего ряда и пытаемся найти такую же букву среди оставшихся. Просматриваем буквы до конца, не находим такую букву.

Дальше берем вторую букву верхнего ряда и пытаемся найти такую же букву среди оставшихся. Первую букву мы при этом уже не рассматриваем, поскольку убедились, что для нее такой же буквы не нашлось. Так нужно двигаться до тех пор, пока не дойдем до той буквы, для которой найдется такая же. Одинаковые буквы в данном случае отыскиваются во второй строке.

Ответ:

Задача 5. Необязательная. На первый взгляд эта задача выглядит совсем простой, но она помечена как необязательная, поскольку касается довольно тонкого вопроса – сходного написания букв русского и латинского алфавитов. Так, кто-то из детей может дать одинаковые ответы к обоим вопросам задачи – пара букв В и Р. Такое решение можно признать правильным, если ребенок сможет аргументированно доказать свое мнение, например, так: «В пункте (а) две разные русские буквы «вэ» и «эр». В пункте (б) две разные латинские буквы «бэ» и «пэ».

Стоит напомнить детям, что латинский алфавит и правильные названия букв этого алфавита приведены на форзаце в начале учебника.

О необязательных задачах Необязательные задачи по составу неоднородны и отличаются не только по тематике, но и по степени сложности. Условно все необязательные задачи можно разделить на три группы: задачи на повторение – стандартного и сложного уровня и дополнительные задачи.

Стандартные задачи на повторение удобно предлагать в качестве домашней работы, а также с целью текущего повторения изученных тем.

Сложными задачами на повторение можно занять сильного ученика, быстро справившегося с объемом урока. Как правило такие задачи интегрируют в себе сразу несколько вопросов и ориентированы на глубокий анализ материала.

Дополнительные задачи также неоднородны. Среди них встречаются задачи на сообразительность и смекалку, арифметические, логические задачи. Но у них есть общие черты: это задачи информационного характера, которые при изучении курса математики считаются нестандартными (олимпиадными, кружковыми и т. д.). В такой задаче ребенок находит путь к решению после того, как правильно поймет и интерпретирует содержащуюся в задаче информацию. Эти дополнительные задачи можно использовать, чтобы занять сильного ребенка, а также для повышения уровня мотивации и интереса к курсу всего класса в целом.

Задача 6. Чтобы не провоцировать вопросы со стороны детей, мы выбрали в качестве одинаковых пары русских и латинских букв, принадлежность которых к тому или иному алфавиту однозначно устанавливается по внешнему виду.

Задача 7. В этой задаче фигурки – это изображения знаков дорожного движения. Поэтому по окончании решения полезно обратить внимание всех ребят на знаки, которые различаются лишь ориентацией на странице. Это пары знаков: N и W, D и P, R и Э. В общем обсуждении обязательно должно прозвучать, что это не просто разные фигурки, а действительно разные знаки – они дают водителю разную информацию о дороге.

Эта задача – хороший материал для начала разговора о правилах или о знаках дорожного движения. Ответ на последний вопрос задачи дети пишут в свободной форме, и принимаются любые аргументированные ответы. Тем не менее многие дети предпочтут найти общепринятый ответ, т. е. использовать дополнительные информационные источники. Поэтому есть смысл предложить задачу на дом, чтобы желающие могли покопаться в правилах дорожного движения или хотя бы проконсультироваться у знакомых автомобилистов. Если вы на следующем уроке запланировали разговор о знаках дорожного движения, поручите ребятам выяснить, что означают все знаки, использованные в задаче, разделив знаки по числу учащихся или по рядам.

Ответ: фигурки G и Z – одинаковые. Это предупреждающий дорожный знак «Дети»: участок дороги вблизи детского учреждения (школы, оздоровительного лагеря и т. п., на проезжей части которого возможно появление детей).

Многоугольники на сетке Еще один вид элементов в нашем курсе – это многоугольники на сетке. Появление таких традиционно геометрических объектов в курсе может показаться неожиданным. Тем не менее эти объекты являются правомерными элементами нашего курса. Действительно, из всего многообразия плоских фигур мы отобрали только те многоугольники, вершины которых лежат в узлах дискретной сетки. Как мы увидим в дальнейшем, такие фигуры обладают некоторыми важными свойствами, изучение которых даст нам возможность коснуться в нашем курсе геометрических информационных объектов.

Одно из свойств, выделяющих многоугольники на сетке из всего многообразия плоских фигур, – легкое определение одинаковых фигур. Давайте рассмотрим отрезки числовой прямой. Ясно, что сравнивать отрезки с целочисленными длинами гораздо проще, чем отрезки произвольной длины. Вряд ли вы без специальных инструментов сможете различить отрезки длиной 4,00 см и 4,05 см.

А отрезки длиной 4 см и 5 см различаются легко, на глаз. Точно так же про два отрезка длиной примерно 4 см мы сможем точно сказать, что они одинаковые, если будем знать, что возможны только целые длины отрезков. Похожая ситуация с многоугольниками на сетке: о двух таких многоугольниках можно всегда сказать, одинаковы они или нет, не может быть двух разных многоугольников на сетке, плохо различимых на глаз, близких, примерно одинаковых. В этом смысле множество многоугольников на сетке дискретно – оно не конечно, но устроено подобно множеству натуральных чисел.

Введение многоугольников на сетке позволит нам использовать широкий класс геометрических задач – задач на нахождение площади многоугольника, на поиск равновеликих и равносоставленных фигур, на разрезание и др.

Итак, многоугольники на сетке мы считаем равными, если они при наложении совпадают (это точно такое определение, как общепринятое определение в геометрии на плоскости). С геометрической точки зрения под наложениями понимаются все преобразования на плоскости, которые не меняют формы и размера фигур (движения на плоскости): параллельный перенос, поворот, симметрия относительно прямой и точки и их комбинации. В нашем случае мы должны ограничиваться только такими движениями, которые переводят вершины сетки в другие вершины той же сетки: в случае параллельного переноса мы переносим фигуру на целое число клеток сетки по вертикали и горизонтали, в случае поворота – поворачиваем только на углы, кратные 90°, в случае зеркальной симметрии – переворачиваем только относительно вертикальных или горизонтальных прямых или прямых, наклоненных на 45° относительно сетки.

Примеры пар одинаковых фигур на сетке приведены на последнем рисунке с. 10 учебника. В каждой паре один многоугольник можно получить из другого параллельным переносом, поворотом и зеркальной симметрией. Конечно, сейчас еще не время обсуждать с детьми движения на плоскости, это они будут изучать позже на уроках геометрии. Тем не менее для многоугольников на сетке движения выглядят достаточно наглядно: как будто мы вырезали многоугольник из листа и расположили его на той же сетке по-другому. Можно дать детям более наглядный и очевидный способ убедиться в том, что два многоугольника одинаковые. Для этого нужно взять прозрачную пленку и перенести на нее изображение одного из многоугольников. Затем следует наложить пленку на второй многоугольник. В некоторых случаях пленку придется перевернуть лицевой стороной вниз.

При определении равенства многоугольников цвет и расположение многоугольника на сетке не имеют значения, поэтому в пределах одной задачи все многоугольники у нас всегда будут одного цвета.

Как и другим элементам, мы будем давать многоугольникам на сетке имена и использовать их для записи равенства многоугольников.

Задача 8. В качестве линий сетки при рисовании многоугольников учащиеся используют линии клетчатой основы своих тетрадей, в качестве узлов – точки пересечения этих линий (в углах клеток). Поскольку на листе определений мы договорились, что цвет многоугольников на сетке для нас не важен, многоугольники, которые дети рисуют в своих тетрадях, можно не раскрашивать.

Задача 9. Как и в предыдущей задаче, здесь мы закрепляем понятие «одинаковые многоугольники на сетке». На листе определений не вводились такие понятия, как «треугольник», «прямоугольник», «квадрат» – дети должны их знать из курса математики. Важно, чтобы они понимали, что нужно рисовать многоугольники на сетке (по клеткам тетради).

Задача 10. Многие ребята заметят, что каждый многоугольник в этой задаче – прямоугольный треугольник, длина одной стороны которого (короткого катета) равна 1. Поэтому треугольники можно сравнивать, просто находя длину второй стороны, прилежащей к прямому углу (длинного катета).

Задача 11. Необязательная. В качестве фигурок в этой задаче использованы армянские буквы.

Армянское письмо было создано армянским просветителем епископом Месропом Маштоцем приблизительно в 406 г. Возникновение армянского письма (как и некоторых других письменностей) было связано с распространением христианства, принятого армянами в 301 г., и необходимостью создания богослужебной литературы на армянском письме. С небольшими дополнениями месроповский алфавит употребляется и в современном армянском языке. Направление письма – слева направо. В настоящее время армянский язык (в котором используется армянское письмо) является государственным языком Республики Мы приводим армянский алфавит и показываем, как называются и как читаются его буквы. Знак («шва») обозначает ы-образный звук, который в русском литературном произношении присутствует в первом слоге слова молоко, но в армянском он возможен и под ударением. Армянский звук х более глухой, чем русский х, раскатисто-хриплый звук. Знак g обозначает звонкую пару к армянскому звуку х, тоже раскатисто-хриплый. Буква h обозначает звук, похожий на украинское произношение буквы г. Значок h при согласной обозначает придыхательное произнесение.

Ответ:

Задача 12. Необязательная. Чтобы решить данную задачу, нужно правильно извлечь из условия необходимую информацию. Поскольку оба будильника дают одинаковые звуковые сигналы, то важно понять, что в случае, если будильники звонят одновременно, Вася услышит не два, а лишь один (может быть более громкий) сигнал. Дальше дело техники – сосчитать, сколько звонков даст каждый будильник, и вычесть из этой суммы те звонки, которые сосчитаны дважды (за счет того, что два одновременных звонка Вася слышит как один). Ниже дано время всех звонков каждого будильника от 7.00 до 7.17. Полужирным шрифтом помечены совпадающие сигналы.

Первый будильник: 7.00, 7.03, 7.06, 7.09, 7.12, 7.15 (всего 6 звонков).

Второй будильник: 7.00, 7.04, 7.08, 7.12, 7.16 (всего 5 звонков).

Ответ: Вася услышит 9 звонков.

Задача 13. В этой задаче некоторые многоугольники могут показаться одинаковыми, хотя таковыми не являются. В таких ситуациях может помочь наложение многоугольников с помощью прозрачной пленки.

Ответ: В = Н.

Множество Первая структура, с которой знакомятся ребята в курсе, – это конечное множество. Как мы уже говорили, множество – базовое понятие математики, введение которого по недоразумению выпало из основных традиционных курсов математики для средней школы. При этом, как ни парадоксально, сам термин «множество» в этих курсах используется, как используются и понятия объединения и пересечения множеств.

В курсе информатики для начальной школы было введено понятие мультимножества (мешка). В мешке в отличие от конечного множества может быть несколько одинаковых элементов, например, три буквы В или 10 красных треугольных бусин. На первый взгляд может показаться, что разница между конечным множеством и мультимножеством (мешком) невелика, но на самом деле это не так.

Такие структуры имеют разные свойства, и их «поведение» в задачах тоже различно, что будет видно в дальнейшем.

В учебнике не вводятся различные формы записи и обозначения, связанные с множествами и операциями над ними. Авторы считают, что при дефиците урочного времени важно разобраться с существом вопроса, а ввести обозначения потом будет уже несложно.

О понятии множества Множеством в математике называют любую совокупность «предметов», конкретная природа и свойства которых могут быть какими угодно. Можно говорить, например, о множестве всех коров в каком-нибудь стаде, о множестве всех целых чисел, о множестве всех положительных чисел, о множестве всех точек плоскости, о множестве всех букв русского алфавита, о множестве рек, впадающих в Волгу. «Предметы», из которых состоит множество, называются его элементами. О них говорят, что они принадлежат данному множеству, или, иначе, входят в него.

Понятие множества лежит в основе всей математики, поэтому ему невозможно дать строгое определение, как другим математическим понятиям, можно только пояснить его смысл примерами и «приблизительным переводом» на какойнибудь естественный язык, например на русский. (Определить понятие – значит выразить его через другие понятия, более простые; поэтому первоначальные понятия всякой науки неопределяемые.) При первом знакомстве с понятием множества такие пояснения совершенно необходимы. Между тем в ряде современных учебников математики для основной и старшей школы понятие множества, как мы уже говорили, используется без каких бы то ни было пояснений. Что же касается широко распространенной рекомендации понимать слово «множество»

в школе «просто как слово русского языка», то ее нельзя назвать иначе как нелепой: значение этого слова в обиходном русском языке («очень много чего-то») не имеет ничего общего с его значением в математике, так что понимать «множество» в математическом контексте «просто как слово русского языка» – примерно то же самое, что объяснять фразу «Индеец выстрелил из лука» как фразу «Индеец сделал из луковицы ружье и выстрелил». (На английский язык математический термин множество переводится как set, на французский – как ensemble; ни то, ни другое слово никак не связано с понятием «много».) Понятие множества появилось в 70-х гг. XIX столетия в трудах немецкого математика Георга Кантора (1845–1918). Идеи Кантора, впоследствии изменившие лицо математики, долгое время оставались непризнанными и находили противников даже среди очень крупных ученых. Созданная им теория множеств ныне образует фундамент здания математики. Цель Кантора состояла в том, чтобы найти способы работы с бесконечными совокупностями (в частности, научиться сравнивать их «по числу элементов»), и все его замечательные результаты относятся к бесконечным множествам. Позднее, на рубеже XIX и XX столетий, выяснилось, что на способы образования множеств необходимо наложить некоторые ограничения, чтобы избежать возникновения противоречий («парадоксов»).

Однако при работе с конечными множествами противоречия не возникают, так что к нашему курсу, в котором рассматриваются только конечные множества, вопрос о «парадоксах» отношения не имеет.

При ознакомлении учеников с понятием множества необходимо обратить их внимание, во-первых, на то, что в множестве все элементы разные, иначе говоря, каждый элемент имеется «в единственном экземпляре» (это отличает множество от мешка), и, во-вторых, на то, что множество никак не упорядочено, так что перечислять его элементы можно в любом порядке (это отличает множество от последовательности). В сильном классе полезно обсудить и такой вопрос: правильно ли было бы сказать, что, например, «множество учеников 5 класса» то же самое, что «5 класс»? (Когда, допустим, учителя говорят о 5 классе своей школы, они обычно имеют в виду не только совокупность его учеников, но и многое другое – отношения между учениками, отношение учеников к учебе и т. п. Можно, конечно, сказать, что какой-то класс состоит из одних мальчиков, но точно так же можно сказать, что какая-то последовательность состоит из четных чисел, хотя у термина «последовательность» нет особого значения «множество членов последовательности». Это в принципе то же явление, которое имеет место, например, когда говорят «Франция недовольна», подразумевая правительство Франции.) Если ваши ребята изучали наш курс в начальной школе, обязательно следует обратить их внимание на различие между понятиями «мешок» и «множество». Если же ваш класс только начинает изучать информатику, обратите внимание детей на знак «колокольчик», и объясните, что текст, отмеченный этим знаком, им читать необязательно.

После того, как дети познакомятся с листом определений, можно провести устное обсуждение: попросить учащихся привести различные примеры наборов, которые являются или не являются множествами. Детей, знакомых с понятием «мешок», нужно попросить привести примеры наборов, которые являются мешками, но не являются множествами. Так, ученики класса образуют множество, а набор имен всех детей класса, скорее всего, множеством не является, потому что имена в классе обычно повторяются. При этом и то, и другое можно назвать мешком. Или, например, набор букв, из которых составлено слово КОТ, является множеством, а набор букв, из которых составлено слово МАМА, множеством не является, поскольку в наборе есть одинаковые элементы. Зато о слове МАМА можно сказать, что все его буквы есть в множестве {М, А} (такое общепринятое обозначение множества путем перечисления его элементов в фигурных скобках в учебнике не встречается, но в методическом пособии мы будем им пользоваться).

Задача 14. Для большинства ребят эта задача окажется совсем простой, в ней отрабатывается лексика, введенная на листе определений.

Ответ: а) цифра 6 есть в множестве Q; б) множество U – пустое; в) в множестве Z всего 3 элемента.

Задача 15. В этой задаче ребятам впервые придется оформить решение в тетради самостоятельно. Советуем сразу обратить внимание на правильность оформления решения. Так, к каждому пункту задания должен относиться свой рисунок, отделенный от других. На рисунке обязательно должна стоять буква, соответствующая пункту задачи. Рядом должно быть нарисовано множество и записано имя множества. Оболочку (границу) множества можно рисовать в виде овала, круга или любой замкнутой линии. Имя множества нужно писать рядом с его границей, но не внутри оболочки, а снаружи. Размер оболочки множества должен быть таким, чтобы внутри помещались все элементы множества. Поэтому часто бывает удобнее сначала нарисовать все элементы множества, а затем провести границу.

а) Подходящих множеств имеется много. Правильное решение будет отличаться тем, что в нем есть (одна!) красная квадратная бусина, есть (одна!) красная круглая бусина и нет красной треугольной бусины. При этом число бусин других цветов (не красных) в множестве Р может быть любым. Кроме того, учащиеся могут поместить в множество Р любые другие элементы (буквы, цифры, фигурки).

б) Здесь решение единственно – множество всех букв русского алфавита.

в) Здесь подходящих решений 10 – это множества, состоящие из одной из цифр.

Задача 16. При решении этой задачи главное не забыть, что в множестве не может быть двух одинаковых элементов. Поэтому, если множество должно состоять из двух квадратных бусин, эти бусины должны быть разными по цвету. Если множество состоит из латинских букв – то все они должны быть разными. Если все элементы – красные треугольные бусины, значит, в этом множестве всего одна красная треугольная бусина (по нашей договоренности не может быть двух разных красных треугольных бусин).

Задача 17. Необязательная. Эта задача продолжает серию математических задач. Полезно представить почти непрерывный процесс поедания плюшек в виде дискретного. Дискретный процесс будет представлять собой как бы отдельные кадры этого процесса, снятые с промежутком в 1 мин (точнее, это будут фотографии блюда с плюшками, сделанные с периодом 1 мин). На первом кадре – несколько плюшек, которые испекла фрекен Бок, через минуту – меньшее число плюшек, через 2 минуты плюшек осталось еще меньше, а через 3 минуты не осталось ничего (в кадре пустое блюдо). Этот дискретный процесс легче всего восстановить с конца, так как нам известно, сколько плюшек осталось в конце, и известно, что происходило на каждом шаге. Итак, за последнюю минуту Малыш съел 1 плюшку – это была половина всех плюшек, оставшихся после предпоследней минуты, поскольку вторую половину всех плюшек съел Карлсон. Значит, за 1 минуту до конца трапезы на тарелке было 2 плюшки. Вернемся еще на одну минуту назад. За предпоследнюю минуту Малыш также съел 1 плюшку и осталось 2 – это и была половина всех плюшек, так как вторую половину опять съел Карлсон. Таким образом, за предпоследнюю минуту Карлсон съел 3 плюшки, значит, за 2 минуты до конца трапезы на тарелке оставалось 6 плюшек. Аналогично анализируем первую минуту трапезы (она будет третьей с конца) и получаем ответ.

Ответ: фрекен Бок испекла 14 плюшек.

Задача 18. Здесь ребята должны ответить на вопросы и самостоятельно (без образца) сформулировать свой ответ. Если кому-то из ребят это будет трудно, можно посоветовать ему вернуться к ближайшей задаче, где дан образец (это задача 14). Но, скорее всего, детям будет достаточно напомнить, что ответ всегда должен по форме соответствовать вопросу.

С точки зрения логики интерес представляют два последних вопроса. Много ли ребят заметят, что после ответа на предпоследний вопрос ответ на последний вопрос становится очевидным? Раз в множестве нет никаких круглых бусин, то ясно, что нет и желтых.

Ответ: а) красная треугольная бусина есть в множестве Б;

г) нет круглых желтых бусин в множестве А.

Одинаковые (равные) множества Множество полностью определяется (характеризуется) набором элементов, которые в него входят. Из этого следует, что множества, состоящие из одного и того же набора элементов, одинаковые. Если хотя бы в одном из двух данных множеств есть хотя бы один элемент, которого нет в другом, то множества разные. Для записи равенства множеств мы будем использовать обычный знак равенства.

Подмножество В курсе начальной школы не было введено никаких действий над мешками.

Поэтому подмножество – понятие одинаково новое для детей, изучавших курс, и для новичков. Телесно проиллюстрировать это понятие очень просто. Возьмем несколько разных (одинаковых быть не должно!) деталей Лего и сложим их в кучку. Пусть это будет исходное множество А. Теперь любой набор деталей, который мы возьмем из этой кучки, будет представлять собой подмножество множества А.

Подмножество – некоторая часть исходного множества. Из любого подмножества всегда можно получить исходное множество, добавив в него элементы. Поэтому пустое множество является подмножеством любого множества. Само множество тоже является своим подмножеством.

Как мы уже говорили, специальные обозначения действий над множествами в курсе не вводятся. Поэтому в задачах дети везде, где это нужно, будут использовать словесные формулировки, например: «А – это подмножество В».

Задача 19. Для решения этой задачи необходимо просто понимание того, что такое подмножество данного множества. Исходное множество Щ имеет 8 разных подмножеств. Детям же достаточно указать любые два подмножества, поэтому возможных решений здесь много.

Задача 20. Необязательная. Наиболее важным в этой задаче оказывается понимание употребления понятия «все». Анализ утверждения о конечном множестве со словом «все» всегда подразумевает полный перебор объектов, относящихся к этому слову. В данном случае мы видим следующее: задания пунктов (а) и (б) похожи, но понятие «все» относится в них к разным множествам. В первом случае мы должны сделать полный перебор букв алфавита и выделить из него все буквы, которые являются гласными. Из этих букв и будет состоять искомое множество Г. Таким образом, в первом задании существует только одно решение – это множество {А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я}. Во втором случае понятие «все» относится не к буквам алфавита, а к буквам, входящим в искомое множество. Иначе говоря, все буквы множества Д должны обладать определенным свойством – быть гласными. Поэтому множество Д может состоять даже из одной гласной буквы, например, {А}. Вообще-то с точки зрения формальной логики в качестве решения здесь подойдет даже пустое множество.

Интересно, догадается ли кто-нибудь из детей, что любое решение пункта (б) будет подмножеством решения пункта (а)?

Задача 21. Как и при поиске одинаковых фигурок, здесь может помочь систематический перебор. При таком способе мы выбираем порядок перебора, берем первое по порядку множество, например множество А, и сравниваем его со всеми остальными множествами. Если множества, равного А, не нашлось, берем множество Б и сравниваем его со всеми оставшимися, не считая А, и т. д. Однако этот способ можно упростить, используя особенности элементов множеств. Например, можно заметить, что во всех множествах по 4 элемента и один из них – лампочка. Остальные элементы есть не во всех множествах. Например, чашка есть лишь в четырех множествах, а в остальных пяти ее нет. Ясно, что множества из первой группы (А, Г, З, И) нет смысла сравнивать с множествами второй группы. Сравниваем 4 множества первой группы. Двух одинаковых среди них нет. Теперь сравниваем множества, в которых нет чашки (Б, В, Д, Е, Ж). В каждом из них есть лампочка, ложка и ножик. Значит, чтобы найти одинаковые множества, остается только сравнить оставшиеся предметы.

Задача 22. Эта задача гораздо сложнее, чем задача 19. Поскольку множество А имеет всего 8 подмножеств, 6 из которых даны, чтобы найти оставшиеся два, нужно все-таки сделать перебор всех подмножеств. Логика рассуждения при этом может быть такой. Если в множестве 3 элемента, то во всех его подмножествах элементов не больше трех. Значит, должно быть одно трехэлементное множество (это данное подмножество В). Двухэлементных подмножеств столько, сколько существует наборов по 2 из данных элементов. Такие наборы получаются, если вынуть из множества один элемент. Вынуть можно любой из трех элементов, значит, двухэлементных множеств должно быть 3. В условии таких множеств лишь 2, значит, одного подмножества не хватает. Кроме того, подмножеством любого множества является пустое множество (которое мы обозначаем, а дети нарисуют просто пустой овал).

Ответ: {K, L},.

Задача 23. Необязательная. Для решения этой задачи необходимы простейшие знания о календаре. Например, ребенок должен понимать, что среди подряд идущих дней (не обязательно начиная с понедельника) встречается ровно один понедельник, ровно один вторник и т. д. Похожей будет ситуация с любым числом дней, которое делится на 7 – среди них всегда будет одинаковое число каждо го из дней недели. Так, среди 14 подряд идущих дней всех дней недели будет по два. В нашей задаче речь идет о феврале, в котором может быть либо 28, либо дней. Если дней в феврале будет 28, то всех дней недели в этом месяце будет по 4, в том числе в нем будет 4 воскресенья. У нас в задаче воскресений 5, значит, в феврале того года было 29 дней, и двадцать девятого числа было как раз воскресенье. Теперь совсем нетрудно выяснить, какой день недели был 23 февраля.

Впрочем, решать эту задачу можно и простым перебором – перебирая разные возможности распределения дней недели в феврале.

Ответ: 23 февраля был понедельник.

Задача 24. Данная задача полезна для закрепления понятия «подмножество». В ней впервые встречается формулировка «выдели подмножество», которую удобно употреблять в том случае, когда необходимо построить подмножество, все элементы которого обладают заданным свойством. Кроме того, для решения этой задачи необходимо понимание отношения включения различных множеств четырехугольников. Так, ребенок должен понимать, что прямоугольник является также и четырехугольником, а квадрат является прямоугольником и четырехугольником. Если вы видите, что ребенок допускает ошибки именно такого рода, тогда вспомните вместе определения. Необязательно добиваться гладкой формулировки, надо вспомнить саму суть понятия, например то, что четырехугольник имеет 4 вершины (и 4 стороны). На основании этого совершенно точно можно судить о том, что прямоугольник и квадрат так же являются четырехугольниками. Нужно напомнить также, что прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые. Из этого следует, что квадрат является прямоугольником. В сильном классе следует подытожить решение этой задачи общим обсуждением, в ходе которого прозвучит, что множество квадратов – это подмножество множества прямоугольников, а множество прямоугольников – подмножество множества четырехугольников.

Ответ: а) множество всех треугольников: {М1, М6, М7, М9, М10};

б) множество всех прямоугольников: {М2, М4, М5, М8, М11};

в) множество всех квадратов: {М5, М11};

г) множество всех четырехугольников: {М2, М3, М4, М5, М8, М11}.

Последовательность Еще одна структура, с которой дети знакомятся в курсе – конечная последовательность. В отличие от понятия «множество», понятие «последовательность» в принципе может быть определено, но в школьном курсе информатики (и в школьном курсе математики) его лучше рассматривать как неопределяемое и вводить на примерах. Приведенные на листе определений примеры позволят ребятам выделить основные отличительные особенности последовательности. Конечная последовательность – это упорядоченная дискретная структура. Это оз начает, что последовательность состоит из отдельных членов, которые выстроены друг за другом и их можно пронумеровать: 1-й, 2-й, 3-й и т. д. В отличие от множества в последовательности может быть несколько одинаковых членов. От метим, что члены конечной последовательности можно считать и относительно конца (первый с конца, второй с конца…), и относительно любого члена последовательности (предыдущий, второй перед, третий перед, следующий, второй после и т. д.). Длина конечной последовательности – ее важная характеристика.

Кроме того, на листе определений вводится формальное определение слова как любой последовательности букв. Отметим, что это определение слова отли чается от того, которое используется в науках о языке. Тем не менее именно оно соответствует нашим информатическим целям, поскольку в большинстве случаев мы будем анализировать слова только как последовательности букв, и нам важно иметь однозначные договоренности относительно каждого понятия.

Одинаковые последовательности Последовательность определяется составляющими ее объектами и их поряд ком, поэтому одинаковыми являются те последовательности, в которых одни и те же объекты стоят в одном и том же порядке, что и иллюстрируют примеры на листе определений.

Все разные Когда говорят, что в каком-нибудь слове все буквы разные, это означает, что в нем нет двух (и тем более трех, четырех и т. д.) одинаковых букв. То же относится к выражению «в последовательности все члены разные». То и другое очевидно, но поскольку понятие «все разные» является для нашего курса очень важным, мы во избежание недоразумений посвятили ему особый лист определений.

Для тех классов, которые работали с нашим комплектом в начальной школе, материал будет знакомым, так как последовательность и цепочка – одно и то же.

В таком классе можно пройти эту тему быстрее, обратив внимание детей на новые термины («последовательность», «члены последовательности», «все разные») и правила оформления (запись утверждений об одинаковых и разных последовательностях с использованием знаков равенства и неравенства).

Задача 25. В этой задаче дети впервые самостоятельно рисуют последовательности. Образцом оформления при этом являются последовательности, данные на листах определений. В частности, в каждой последовательности обязательно должны быть знаки начала и конца последовательности. Желательно, чтобы ребята отделяли члены последовательности друг от друга горизонтальными черточками. Впоследствии для слов и чисел можно будет употреблять другую, упрощенную форму записи, но на первом уроке по теме лучше все последовательности оформлять одинаково и достаточно полно, потому что каждая деталь оформления в данном случае несет еще и содержательную нагрузку, важную для правильного формирования понятия. Как и множествам, последовательностям можно давать имена. В данной задаче это желательно, но необязательно. А вот помечать рисунки буквами, соответствующими пункту задания, обязательно, иначе решение будет трудно проверять.

Ответ: а) Возможных решений здесь много, подойдут и последовательности из двух одинаковых круглых бусин.

б) Задание на понимание договоренности об употреблении выражения «все разные».

в) Все последовательности длины 0 одинаковы, так как они пустые. Если вам интересно, понимают ли это дети, попросите их попробовать нарисовать две раз ные пустые последовательности.

Задача 26. Для решения этой задачи необходимо правильное понимание выражения «все разные». Двухэлементное множество имеет всего 4 разных под множества, поэтому в результате дети должны выписать все возможные разные подмножества множества В – пустое множество, множество, равное В, и два од ноэлементных множества.

Задача 27. Необязательная. Эта задача на первый взгляд кажется совсем простой, но в ней есть тонкость, с которой вы, возможно, столкнетесь, отвечая на вопросы. Эта тонкость связана с употреблением понятия «слово», отличного от того, которое используется в грамматике. В большинстве случаев эти два понятия не противоречат друг другу. Но иногда у ребенка может появиться соблазн привнести в курс информатики знания, полученные на уроках русского языка. Так, в русской грамматике различают «слово» и «словоформу». Например, к слову «слон» относятся словоформы: «слона», «слону», «слоном». У нас же в курсе слова сравниваются только как последовательности букв и больше никак. Поэтому «множество» и «множества» у нас просто разные слова – все тонкости определения понятия «слова», связанные с его значением, остаются за пределами курса.

В соответствии с введенным нами определением разных последовательностей (в том числе и слов) на данной странице имеется только два одинаковых слова, длина которых больше 8 – два слова одинаковые. Все остальные слова, длина которых больше 8, встречаются на этой странице не больше одного раза.

Возможно, в вашем классе есть сильные и любознательные дети, которые любят задавать вопросы. Такой ребенок может спросить, как быть со знаком переноса: является ли он частью слова и считается ли перенесенное слово целым или разделенным на две части. Дело в том, что знак переноса не входит в само слово – он относится только к оформлению этого слова на странице. Точно так же мы считали бы последовательностью очень длинный ряд фигурок, который не уместился на одной строке и его пришлось перенести на другую строку. Таким образом, знак переноса частью слова не является и перенесенное с одной строки на другую слово мы считаем одним целым словом.

Ответ: для удобства проверки решения приведем здесь все слова на странице 23, длина которых больше 8:

Задача 28. Цель данной задачи – отработка лексики, относящейся к последовательностям (первый, второй, последний, предпоследний, длина последовательности). Единственная ее сложность состоит в необходимости полного пере бора всех последовательностей при выполнении каждого пункта задания. Если хоть одна последовательность, соответствующая условию, не выписана, то задание выполнено неверно: так как оно состояло именно в том, чтобы найти все та кие последовательности. Выполняя задание пункта (в) нетрудно догадаться, что условию соответствуют все последовательности длины 2, так как в них первый и предпоследний элемент – один и тот же. Таким образом, решение пункта (г) яв ляется подмножеством множества – решения пункта (в). В данном случае эти два множества совпадают.

Ответ: а) {F4, F6};

Задача 29. Это первая задача в курсе 5 класса, где дети работают по инструкции. Если ваши ребята изучают информатику первый год, то с ними имеет смысл поговорить об особенностях работы по инструкции. Важно понять, что инструкция – это последовательность действий, которые нужно выполнить. Таким обра зом, выполнять команды можно только друг за другом по порядку. Чаще всего результат выполнения команды зависит от того, какие команды выполнялись до этого. Так обстоит дело и в данной задаче.

В результате выполнения инструкции ребята получат периодическую последовательность – последовательность, элементы которой повторяются с некоторым периодом. В данном случае бусины последовательности повторяются через две. Можно после решения задачи поговорить с ребятами о периодических последовательностях, встречающихся в жизни: смена дней недели, времен года, месяцев – вот несколько обычных периодических процессов, которые можно описать периодическими последовательностями. Ежедневно повторяется движение поездов по расписанию, еженедельно повторяется расписание уроков и т. д. Примеры периодических процессов и периодических последовательностей можно предложить придумать самим ребятам.

Ответ:

W К С К К К

Задача 30. Довольно затейливая задача, в которой дети повторяют понятие «подмножество» и попутно учатся строить объект по описанию, состоящему из нескольких условий. В каждом пункте задания условия должны выполняться одновременно, что требует от ребят некоторой логической культуры. Так, выполняя задание пункта (а), ребенок может провести следующие рассуждения: «Множество Д – это подмножество множества Ц; значит, все элементы множества Д есть и в множестве Ц. Множество Д является также подмножеством Х; значит, все элементы множества Д есть и в множестве Х. Значит, нам необходимо включить в множество Д только те числа, которые есть и в множестве Ц и в множестве Х. Перебирая все элементы множеств Ц и Х, видим, что таких чисел всего 5». Поэтому решение в данном случае единственно: {15, 17, 25, 35, 78}.

Решение пункта (б) задания не единственно. Подойдут любые подмножества И и Т соответствующих множеств (Ц и Х) в том случае, если в множество И будет входить число 13 (которого нет в множестве Х), либо если в множество Т будет входить число 17 (которого нет в множестве Ц). В таком случае множества И и Т будут разными.

Решения пункта (в) задания могут отличаться друг от друга одним элементом, поэтому в множество Е должны по одному разу входить все элементы, которые есть хотя бы в одном из данных множеств: 13, 15, 17, 25, 35, 58, 78. Оставшийся элемент множества Е может быть любым числом (и даже не только числом).

Задача 31. Задача на закрепление понятия «все разные» на материале мно гоугольников на сетке. Хотя о сетке в условии речь не идет, но в рамках наших договоренностей объектами курса являются именно многоугольники на сетке, поэтому ребята рисуют все фигуры, используя клетки в качестве сетки и размещая вершины многоугольников только в узлах этой сетки. Каждый из рисунков должен быть помечен соответствующей буквой и подписан.

Задача 32. Необязательная. Задача логически сложная, поэтому советуем вам предлагать ее сильным ребятам либо детям, которые любят порассуждать.

Эта задача касается новой темы, поскольку ребята в ходе решения составляют расписание, т. е. последовательность уроков. Кроме того, эта задача и пропедевтическая, поскольку в ней используется лексика, которую ребята еще не учились употреблять для последовательностей в нашем курсе, но с успехом используют в жизни (раньше, позже, второй перед и т. д.). Заметим также, что это первая задача, где требуется составить последовательность по описанию. А это, в отличие от работы по инструкции, дело довольно сложное.

Во-первых, необходимо решить, какие пункты описания можно использовать сначала, а какие потом. Во-вторых, нужно состыковать пункты описания между собой. Начинать стоит с наиболее простых утверждений о расписании. Например, сразу можно использовать то, что Русский язык и Литература должны стоять подряд. Значит, в нашей последовательности имеется кусочек: Русский язык– Литература или Литература–Русский язык. Если присоединить к этому последнее условие, то получается более длинный кусочек: Русский язык–Литература– Информатика или Литература–Русский язык– … –Информатика. Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.

Первый случай. Заметим, что Информатика не может стоять ни третьей (по скольку на третьем уроке нет свободных кабинетов информатики), ни последней (поскольку Труд должен идти позже Информатики). Значит, перед Русским языком должны стоять один или два урока. Математика не может быть предыдущей перед (как два письменных предмета), значит, перед Русским языком стоит Физкульту ра. Тогда перед Физкультурой стоит Математика (она по условию раньше). Теперь у нас получается такое расписание на понедельник:

Второй случай. Попробуем для начала определить тот урок, который стоит между Русским языком и Информатикой (он помечен многоточием). Это не Математика, потому что Математика и Русский язык не могут идти подряд. Это не Труд, так как Труд должен идти позже Математики. Значит, это Физкультура. Получаем новый кусочек расписания: Литература–Русский язык–Физкультура –Информатика. Кроме того, Труд должен идти позже Информатики, а Математика – раньше Физкультуры. Значит, получаем следующее расписание по понедельник:

Как видите, эта задача имеет два решения. Конечно, для пятиклассника будет достаточно найти хотя бы одно решение такой задачи. Но если кто-то из сильных ребят справился с задачей быстро, можно, вместо того чтобы предлагать ему новую задачу, попросить найти второе решение.

Задача 33. В данной задаче мы повторяем понятия: «одинаковые многоугольники на сетке» и «одинаковые множества». Здесь можно использовать стратегии поиска одинаковых множеств, которые мы уже предлагали в подобных ситуациях.

Одна из них – перебор множеств и сравнение каждого множества с каждым. Другая стратегия заключается в том, чтобы разбить все множества на группы по не которому признаку, а затем сравнивать множества только внутри каждой группы.

Так, в данной задаче в некоторых множествах лежат треугольник и четырехуголь ник, а в других – треугольник и пятиугольник. Ясно, что множества из этих двух групп сравнивать между собой смысла нет.

Задача 34. а) Последовательности Е, З, И, К – одинаковые.

б) Найти 4 разные последовательности среди данных оказывается не так уж легко. Поскольку здесь много одинаковых последовательностей, в этой задаче могут допустить ошибку те ребята, которые недостаточно хорошо усвоили понятие «все разные». Все данные последовательности можно разделить на 4 группы, внутри каждой из которых все последовательности одинаковые. Поэтому при всем разнообразии возможных правильных ответов разных последовательностей здесь имеется всего 4 вида – последовательность, равная А (А, Г, Б), последовательность, равная В (В, Д, М), последовательность, равная Е (Е, З, И, К) и после довательность равная Ж (Ж, Л, Н).

Задача 35. Необязательная. В этой задаче можно продолжить разговор о знаках дорожного движения, начатый в задаче 7, – дать ребятам задание выяснить значение каждого из знаков, приведенных в этой задаче, и обсудить, почему водителям и пешеходам важно выполнять требования запрещающих знаков.

Ответ: Е = Р = V. Это знак «Поворот налево запрещен».

Истинные и ложные утверждения На этом листе определений мы рассматриваем два тесно связанных между собой вопроса – знакомим детей с утверждениями и учим определять истинност ные значения утверждений. Тем не менее мы не даем никакого описательного текста, касающегося утверждений как таковых, поскольку вопрос этот довольно сложный. Действительно, далеко не все предложения русского языка являются утверждениями. Утверждениями можно считать лишь те предложения, в которых «что-то утверждается», и эту информацию можно анализировать с точки зрения ее соответствия действительности (истинности или ложности). Поэтому вопросительные и побудительные предложения не являются утверждениями. С повествовательными предложениями все оказывается тоже не так просто. Дело в том, что обычно предложение в языке находится в некотором контексте (письменной или устной речи). Определить истинность или ложность одного предложения, вырван ного из контекста, в большинстве случаев оказывается невозможно. Например, «Надя умеет готовить». В языковом или внеязыковом окружении этого предложения, конечно, содержится информация, которая указывает, о какой Наде идет речь, и позволяет определить истинность этого утверждения, но в отрыве от контекста предложение становится непонятным. Кроме того, предложения в языке содержат много дополнительных смыслов, затрудняющих анализ утверждения с точки зрения логики, например отражающих эмоциональные оценки или слишком общих. Поэтому мы будем рассматривать только те утверждения, которые полностью находятся в рамках нашего курса. Утверждения будут относиться к элементам, структурам и процессам, рассматриваемым в курсе, представлен ным явно или описываемым однозначно. Такие утверждения можно анализировать с точки зрения их истинности, потому что они не требуют для понимания никакой дополнительной информации и воспринимаются однозначно.

Почти все утверждения, находящиеся в рамках нашего курса, являются истинными или ложными. Тем не менее мы считаем методически важным дать ребятам еще одно истинностное значение – «неизвестно». Вы скорее всего заметили, что все примеры утверждений со значением «неизвестно» либо частично выходят за рамки курса (относятся к вопросам, объектам и понятиям, которые в курсе не обсуждались), либо относятся к материалу курса, который еще не пройден. Иначе и быть не может, так как мы сами построили работу так, чтобы в рамках оговоренных правил игры в любой момент все было определено. Но мы считаем необходимым дать ребенку понять, что такая простая ситуация является достаточно искусственной. В жизни и в науке все по-другому – всегда существует масса неразрешенных вопросов, ответы на которые пока никому не известны. Да и для каждого отдельного человека всегда есть вопросы, ответы на которые ему пока не известны. Признаться в этом ни взрослому, ни ребенку не должно быть стыдно, так как всего не знает никто.

Определение истинностных значений утверждений – важный вопрос как в математике, так и в информатике. В математике истинностные значения утверждений – важные понятия математической логики. В информатике определение истинности и ложности утверждений лежит в основе перевода информации в двоичное представление: истина-ложь, ноль-единица, отсутствие-наличие сигнала – это разные формы одного и того же процесса, где на входе имеется объект определенного типа, а на выходе – ответ типа «да» или «нет». Отметим, что данный вопрос важен не только с точки зрения науки, но и с точки зрения вводимых нами правил игры. Действительно, задание «Определи истинностные значения утверждений» понимается всеми однозначно и может быть выполнено по формальным правилам в отличие от привычного «Ответь на вопросы». Кроме того, с этого урока начинается обширная серия задач на построение объекта по описанию. Действительно, воспринять описание объекта в виде набора утверждений и их истинностных значений оказывается гораздо проще, чем понять описание в виде текста из одного или двух предложений, откуда все те же условия приходится вычленять.

Задача 36. Для быстрого оформления решения этой задачи детям впервые понадобятся заготовки из тетради проектов.

Задача 37. В этой задаче ребятам впервые предстоит строить объект по описанию, включающему истинностное значение утверждения.

С решением первой части задания, где утверждение К истинно, особых трудностей быть не должно. Здесь есть три различных варианта ответа – два од ноэлементных множества, содержащих один из четырехугольников множества Р, и одно двухэлементное множество, содержащее оба четырехугольника множества Р.

В случае ложности утверждения К у кого-то из ребят могут возникнуть труд ности. В таких случаях полезно явно сформулировать утверждение, истинное в тех случаях, когда ложно утверждение, данное в задаче. Например, ложность ут верждения К означает, что в искомом множестве есть треугольники. Таких подмножеств Р оказывается довольно много, включая и подмножество, равное мно жеству Р. Чтобы в решениях ребят проще было разобраться, лучше попросить их подписать каждое из множеств, например, так: «Утверждение К истинно» и «Утверждение К ложно».

Задача 38. Ответ: истинные утверждения: L, M, O, Q; ложные утверждения: K, N, P.

Задача 39. В этой задаче проверяется степень усвоения понятия «подмножество» и взаимосвязи множества и его подмножества. В частности, на данный момент дети должны понимать, что каждый элемент подмножества есть в исходном множестве (а не наоборот!), что равные множества являются подмножествами друг друга, что множество с большим число элементов не может быть подмножеством для множества с меньшим числом элементов и пр. Если вы видите, что кто-то допускает ошибки в решении, стоит посоветовать ему вернуться к соответствующему листу определений.

Ответ: истинные утверждения: V, U, X, Y; ложные утверждения: T, W, Z.

Задача 40. После того, как ребята познакомились с понятием «последовательность», появилась возможность использовать в задачах два новых вида объ ектов – слова (последовательности букв) и натуральные числа (последовательности цифр). Поскольку натуральные числа – объекты, хорошо знакомые учащимся из курса математики, мы не всегда представляем множества натуральных чисел явно (как, например, множества бусин или фигурок), а часто задаем их описанием, как в данной задаче. Отметим так же, что мы используем конечные множества чисел, что соответствует объему введенного в курсе понятия «множество». Вся терминология, используемая в утверждениях, должна быть ребятам хорошо знакома из курса математики. Однако возможны исключения, поэтому в случае неправильного решения есть смысл сначала убедиться, что ребенок владеет соответствующей терминологией.

Ответ: истинные утверждения: У1, У5; ложные утверждения: У2, У3, У4, У6.

Задача 41. Здесь требуется построить сразу два объекта по описанию. Проще построить подмножество В, поскольку последнее утверждение задает его однозначно – множество В состоит из одной синей треугольной бусины. В подмножестве А тоже должен быть ровно один элемент, и этот элемент не красная круглая бусина. Значит, чтобы подмножества были разными, в подмножестве А должна быть желтая квадратная бусина.

Задача 42. Правильных ответов здесь много. Подойдет любая последова тельность из 5 треугольных бусин, такая, чтобы все бусины в ней были разного цвета.

Задача 43. Необязательная. Одна из основных задач курса – научить ребят пользоваться различными источниками информации. Главным источником ин формации для решения задач является учебник. Но очень полезно время от времени обращаться вместе с ребятами к различным информационным источникам, т. е., по сути, решать практические информационные задачи, используя «насто ящие» источники информации. Чаще других в нашем курсе мы будем использо вать информационные источники двух видов: текстовые и графические. К первому виду относятся словари, справочники, другие книги и пр. Ко второму виду можно отнести фотографии, рисунки, схемы, знаки дорожного движения – все источники, где информация представлена в основном при помощи рисунков и знаков. Часто источник содержит информацию смешанного типа. Например, карта Европы, необходимая для решения этой задачи, содержит как текстовую информацию, так и графическую.

Ответ: истинные утверждения: А, В, С, G; ложные утверждения: E, F, H. Об утверждении D неизвестно, истинно оно или ложно.

Задача 44. Необязательная. Для решения этой задачи учащимся достаточно помнить, что в русском алфавите, кроме гласных букв (А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я) и согласных букв (Б, В, Г, Д, Ж, З, Й, К, Л, М, Н, П, Р, С, Т, Ф, Х, Ц, Ч, Ш, Щ), имеются и другие буквы (Ъ и Ь).

Задача 45. Это первая задача, в которой необходимо построить объект по таблице, в которой есть как истинные, так и ложные утверждения. Поэтому не для всех ребят задача будет легкой, возможно, кому-то придется помочь. Для решения задачи пригодится умение переформулировать утверждения, например ложное утверждение заменить истинным с тем же смыслом. Так, ложное значение утверждения А означает, что в искомом множестве есть четные числа, истинность утверждения В означает, что все числа в искомом множестве двузначные, ложное значение утверждения D означает, что в искомом множестве нет чисел, которые делятся на 3. После такого содержательного анализа утверждений таблицы нетрудно понять, что нам нужно найти 5 двузначных чисел, делящихся на 11 и не делящихся на 3, среди которых есть хотя бы одно четное. Всех подходящих чисел шесть: 11, 22, 44, 55, 77, 88. Выбрав любые 5 из них, получаем множество, соответствующее данной таблице истинности.

Задача 46. Необязательная. Если у вас есть возможность провести урок (или хотя бы пол-урока), интегрированный с географией, данная задача и задача 43 могут стать для него отправной точкой. Действительно, если вы хотите предложить эти задачи всем ребятам, а не узкому кругу наиболее сильных детей, то вначале нужно будет вспомнить необходимые географические сведения. Во-первых, нужно вспомнить вместе с ребятами, где находится Европа, и показать ее границы на большой карте на доске. Во-вторых, необходимо вспомнить, как найти название государства, его столицу и границы. В-третьих, хорошо бы напомнить ребятам, что в некоторых случаях (когда государство очень маленькое) название его помещают не на самой карте, а в сноске (на карте его помечают числом). Такой общеразвивающий разговор может провести и учитель информатики, но в сотрудничестве с учителем географии беседа получится более интересной.

Обратите внимание ребят, что в этой задаче равенство фигурок нужно записы вать с помощью слова «одинаковые», а не знака равенства, иначе запись (7 = 15) будет выглядеть некорректно.

Ответ: фигурки 7 и 15 одинаковые.

Члены последовательности На этом листе определений вводятся понятия, связанные с относительным порядком членов последовательности: следующий и предыдущий, раньше и поз же, третий перед и второй после и т. д. Все эти понятия должны быть знакомы пятиклассникам из обычной жизни (или из курса информатики в начальной школе).

Однако полезно обратить внимание ребят на то, что в обычной речи они иногда употребляются не совсем так, как в нашем курсе. Например, в обычной речи допустимо сказать «Первые три дня после болезни…», или «Следующие три месяца…». У нас же все понятия употребляются в одном, строго определенном значении, не допускающем неоднозначности. Поэтому у нас может быть только один первый член последовательности, как и один член, следующий после другого.

Кроме того, важно, что истинность любого утверждения определяется для некоторой явно указанной последовательности. Это соответствует идее ясного и явно го введения правил игры.

Когда утверждения не имеют смысла Итак, ребята уже знают, что утверждения бывают истинными и ложными, и что бывают ситуации, когда мы не можем сказать, истинно утверждение или ложно, потому что не имеем нужной для этого информации. Конечно, в жизни такие ситуации встречаются гораздо чаще, чем в курсе информатики. Заметим, что объективно эти утверждения, как правило, являются истинными или ложными, но человек (или даже все человечество) может этого просто не знать.

На листе определений дети сталкиваются с новой ситуацией – когда утверждение объективно не является ни истинным, ни ложным, поскольку сформулировано некорректно. И дело тут в отличие от ситуации неизвестности вовсе не в недостатке наших знаний. Например, если в утверждении речь идет о порядке членов последовательности, которая представлена явно, мы обладаем всей необходимой информацией. Однако утверждение может быть сформулировано так, что его невозможно понять однозначно или вообще невозможно понять как бы то ни было. Такое утверждение бессмысленно с точки зрения введенных нами договоренностей, поэтому его истинностное значение определить невозможно.

По сути дела, это «неправильные» утверждения, и кто-то, возможно, сочтет, что лучше их просто не рассматривать. Однако мы считаем обсуждение таких ситуаций очень важным по целому ряду причин. Главная из них в том, что невозможно оградить ребят от столкновения с такими ситуациями ни в жизни, ни в информатике. Особенно часто подобные проблемы возникают при работе с техникой (в частности, с компьютером). Некорректная команда или запрос часто приводят к отказу техники (зависанию компьютера). Дело в том, что когда мы некорректно даем команду человеку, то он, как правило, пытается уточнить задачу, выполнить команду по своему усмотрению или правильно понимает команду на интуитивном уровне. В искусственной среде ни одно из этих действий невозможно, так как исполнитель выполняет все действия механически, по общим правилам. Поэтому в искусственной среде нельзя формулировать утверждения (команды, запросы) как попало, в надежде, что исполнитель как-нибудь их поймет. Это одна из общих идей, которая должна сформироваться у учащихся после изучения курса информатики.

Кроме того, есть и методические причины для обсуждения вопроса о бессмысленности утверждений. Чтобы иметь возможность дать такие задачи, в которых детям предлагается самим построить утверждение с тем или иным истинностным значением, нужно заранее предупредить их о возможных «подводных камнях».

Задача 47. В этой задаче особое внимание стоит обратить на утверждения, которые не имеют смысла. Желательно по окончании решения послушать объяснения ребят по поводу того, почему то или иное утверждение в задаче не имеет смысла.

В издании 2006 г. утверждение П1 по ошибке сформулировано не точно.

Чтобы это исправить, нужно добавить слова «с конца» после слова «Второй».

Утверждение П2 не имеет смысла, потому что квадратной синей бусины в последовательности С нет. Отметим, что не всегда, когда указанного элемента нет, утверждение не имеет смысла. Например, рассмотрим утверждение «Пред последняя фигурка последовательности – банан» для последовательности, в которой банана нет. Если в последовательности есть предпоследняя фигурка, то утверждение о последней фигурке всегда будет иметь смысл.

Утверждение П5 не имеет смысла, потому что в последовательности С не одна квадратная желтая бусина.

Утверждение П7 не имеет смысла, потому что двенадцатой бусины в последовательности С нет.

Ответ: утверждения П2, П5 и П7 не имеют смысла для последовательности С, утверждения П1 и П3 истинны для последовательности С, утверждение П4 ложно для последовательности С, об утверждении П6 неизвестно, истинно или ложно оно для последовательности С.

Задача 48. Надеемся, что учащиеся к этому моменту уже научились воспринимать слова как последовательности букв. В частности, они должны понимать, что слово состоит из отдельных букв, что слово определяется не только набором, но и порядком букв, что слово имеет начало и конец. Теперь можно перейти и в нашем курсе к общепринятой «сокращенной» записи слов, которая позволит значительно уменьшить время оформления решения задач со словами, а также упростить форму записи при построении последовательностей из слов.

Задача 48 – типичная задача на построение объекта по описанию. В подобных задачах часто бывает полезно подумать, в каком порядке проще использо вать утверждения, данные в задаче, чтобы быстрее найти решение. В этой задаче можно поступить и по-другому – посмотреть на все утверждения сразу и сделать довольно несложные выводы, которые помогут сразу составить ясное представление об искомом слове.

Хотя в этой задаче не идет речь об утверждениях, не имеющих смысла, тем не менее принятые на соответствующем листе определений договоренности играют здесь важную роль. Например, детям должно быть теперь понятно, что утверждение может быть истинным только в том случае, если оно имеет смысл. Это озна чает, в частности, что все буквы, о которых говорится в утверждениях, должны присутствовать в искомом слове.

Итак, какие же выводы мы можем сделать, прочитав все утверждения в задаче? В искомой последовательности пять букв, причем среди них есть буквы Р, Ц, П, Е. Букв Е в этой последовательности две, поскольку четвертая буква гласная, а вторая и четвертая буквы одинаковые. Среди букв, о которых идет речь в утверждениях, гласная всего одна, а если предположить, что в слове есть еще другая гласная (не Е), то длины слова нам уже не хватит. Значит, искомое слово состоит из букв Р, Ц, П, Е, Е, причем буквы Е стоят на втором и четвертом местах. Теперь совсем не сложно найти место для оставшихся букв и получить слово ПЕРЕЦ.

Кто-то из сообразительных ребят может сразу придумать слово по буквам, данным в утверждении. В таком случае важно убедиться, что учащийся действительно проверил истинность всех заданных утверждений. В силу сложившейся в школе практики и методики роль догадки, смекалки и интуиции очень незначительна. Между тем решение сложных задач и проблем, как правило, начинается на уровне догадки и опирается на интуитивное понимание. Поэтому мы приветствуем всевозможные догадки, но при этом очень важно, чтобы ребенок впоследствии мог свои догадки грамотно и исчерпывающе обосновать.

Задача 49. В этой задаче дети будут работать с натуральными числами, записанными обычным способом – с помощью цифр. Любое натуральное число можно представить в виде последовательности цифр, но не всякая последовательность цифр является записью натурального числа. Пятиклассники должны уже хорошо это понимать, но полезно перед решением задачи спросить их, какие последовательности цифр являются записями натуральных чисел, и подвести их к точной формулировке: те и только те, которые не начинаются с нуля. Поэтому вполне естественно, если ваши дети будут писать натуральные числа так, как они пишут их всегда, – слева направо без обозначений начала и конца последовательности и без черточек между цифрами. Строя первую последовательность этой задачи, все дети, видимо, так и поступят. Затем для написанного числа учащиеся будут определять истинностные значения утверждений, имея в виду, что натуральное число – это последовательность цифр. Тогда, как минимум, одно утверж дение (утверждение А) не будет для этого числа иметь смысла. Ясно, что, чем меньше будет длина этой последовательности, тем больше утверждений будут бессмысленными. Так, для любого однозначного числа ни одно из данных в задаче утверждений не будет иметь смысла.

Решение второго задания лучше оформлять так, как мы обычно оформляем последовательности, – помечая начало, конец и разделяя элементы. Впрочем, если кто-то запишет и эту последовательность просто подряд как число, ничего страшного. Главное, чтобы эта последовательность действительно являлась таковой. Например, запись 0284536719 можно считать записью последовательности цифр, но записью натурального числа она не является.

Во втором задании подходящих последовательностей-ответов много и все они состоят не менее чем из 10 цифр.

Задача 50. В условии этой задачи не упоминаются утверждения, не имеющие смысла. Однако для ее решения необходимо содержательное понимание именно этого вопроса. В частности, нужно иметь в виду, что для истинности утверждения необходимо, чтобы оно имело смысл, а в условии задачи имеются последовательности, для которых утверждение Y смысла не имеет. Так, для последовательностей Б и Ж утверждение не имеет смысла, потому что в них нет синих квадратных бусин. Для последовательности З утверждение не имеет смысла, потому что в ней нет красной бусины, а для последовательности И – потому что красных бусин в ней две.

Ответ: {А, В, Е, К}.

Задача 51. Каждый объект курса может быть элементом для более сложного объекта. Так, в нашем курсе ребята встретятся с множествами последовательностей, последовательностями множеств и т. п. В этой задаче ребята впервые рабо тают с последовательностью последовательностей, а именно с последователь ностью слов. Слова в таких случаях мы всегда пишем упрощенно, чтобы последовательность слов не выглядела слишком громоздко. Такие последова тельности мы чаще будем писать сверху вниз – так нагляднее.

Поскольку дана последовательность названий месяцев года, эта задача может стать поводом для очень интересного разговора о словоупотреблении в нашем курсе и в обычной речи. Действительно, в обычной речи утверждения о месяцах имеют свою специфику, обоснованную интуитивными договоренностями, которые и позволяют людям почти всегда понимать смысл сказанного. Например, чаще всего подразумевается, что в утверждении идет речь о последовательности месяцев, идущих подряд. Кроме того, подразумевается, что чередование месяцев – процесс циклический, поэтому цепочку из 12 месяцев можно начинать с любого месяца, хотя чаще начинают с января.

У нашем курсе же такие договоренности недопустимы, так как с точки зрения информатики цепочку из названий месяцев можно составить произвольно. Поэтому мы в каждой задаче всегда четко указываем, о какой именно последовательности идет речь.

Ответ: для последовательности П утверждения В и D не имеют смысла, истинны утверждения А, С, F, G, H, ложны утверждения E и J.

Задача 52. В данной задаче ребята встретятся с ситуацией, когда выполнение одного из условий автоматически влечет за собой выполнение другого, т. е.

одно из условий лишнее. Ясно, например, что все числа, большие 10 и меньшие 21, являются двузначными, поэтому пятое условие ничего нового по сравнению с четвертым и шестым не добавляет. Обычно в учебных ситуациях задач с избыточными условиями избегают. Однако в нашем курсе они важны, равно как и ситуации, когда условия противоречат друг другу (и множество решений пусто). Дело в том, что в реальных информационных задачах и то, и другое встречается довольно часто, нередки ситуации, когда постановку задачи (совокупность условий) приходится изменять по ходу решения, сообразуясь с возможностями ее решения.

Как видите, условия здесь в основном описывают члены последовательности, и нет ни одного условия, относящегося к порядку этих членов. Поэтому решений здесь будет много – подойдет любая последовательность, состоящая из чисел: 11, 13, 15, 17, 19, взятых по одному разу.

Задача 53. Необязательная. Все, что было сказано в комментарии к задаче 51 об утверждениях, касающихся последовательностей месяцев (в обычной речи и в нашем курсе), полностью относится и к последовательностям дней недели.

Интуитивные и контекстные договоренности, принятые относительно таких утверждений в обычной речи, не отражаются в курсе информатики – мы можем строить любые последовательности из названий дней недели, в том числе и такие, где дни недели идут не в «естественном» порядке, поскольку для нас последовательность названий дней недели является только последовательностью слов.

Анализ утверждений в этой задаче – дело не легкое. Поэтому важно выбрать порядок, в котором проще всего использовать данные утверждения. Начать при этом, как всегда, лучше с таких утверждений, которые дают однозначную и опре деленную информацию. Длина последовательности и условие, что все слова в этой последовательности разные, дают возможность утверждать, что в этой последовательности каждое название дня недели встречается ровно по одному разу. Из первого утверждения ясно, что первое слово последовательности – ВОС КРЕСЕНЬЕ. Из оставшихся утверждений наиболее определенную информацию дают пятое и шестое утверждения. Действительно, название дня недели из пяти букв одно: СРЕ ДА. А название дня недели, состоящее из стольких же букв, что и слово ВОСКРЕСЕНЬЕ, тоже одно: ПОНЕ ДЕЛЬНИК. Значит, третье слово последовательности – СРЕ ДА, а четвертое – ПОНЕ ДЕЛЬНИК. Дальше можно исполь зовать четвертое и последнее утверждения, так как слов с согласной на конце у нас осталось два: ВТОРНИК и ЧЕТВЕРГ – и из них лишь в одном есть две одинаковые гласные. Значит, второе слово последовательности – ВТОРНИК, а пятое – ЧЕТВЕРГ. Теперь используем второе утверждение задачи и получаем единственную возможную последовательность.

Ответ: ВОСКРЕСЕНЬЕ

ВТОРНИК

ПОНЕ ДЕЛЬНИК

ЧЕТВЕРГ

СУББОТА

ПЯТНИЦА

Задача 54. В этой задаче ребятам придется строить множества чисел по описаниям. Пока описания довольно просты и включают в себя не больше двух условий. Обратите внимание на задание пункта (г). Это как раз тот случай, когда два условия описания противоречат друг другу: трехзначных чисел, которые меньше 98, не существует. Поэтому решением в этом задании будет пустое множество.

Ответ: а) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

Задача 55. Необязательная. Эта задача открывает серию логических задач.

Она перекликается с текущими задачами учебника, поскольку здесь тоже необходимо сопоставить несколько условий. Такие задачи очень удобно решать с применением таблицы, куда можно заносить собранную информацию. Нарисуем таблицу (см. ниже), в пустых клетках которой будем ставить минус, если какая-то фраза условия позволяет сказать, что человек с некоторой фамилией не увлекается данным занятием, и будем ставить плюс, если увлекается.

Читаем первое условие (третью фразу текста задачи); пока мы не можем сказать ничего определенного, но будем иметь в виду эту информацию в дальнейшем. Читаем следующую фразу – Николаев старше биолога; значит, Николаев не биолог. Ставим на пересечении строки «Биолог» и столбца «Николаев» минус.

Отсюда же следует, что Николаев не футболист – так как футболист самый младший из друзей. Ставим минус. Поскольку Николаев учится в одном классе с сестрой Шарова, то Шаров не футболист, так как у футболиста нет ни братьев, ни сестер. Ставим минус. Теперь из таблицы ясно (методом исключения), что Николаев – художник. Ставим плюс. Сразу же можно поставить минусы во все оставшиеся клетки последней строки, так как художник из троих один, и мы его уже нашли.

Так же, методом исключения, продолжаем заполнять таблицу дальше и находим единственный правильный ответ.

Ответ: Николаев – художник, Шаров – любитель биологии, Смирнов – любитель футбола.

Задача 56. Ответ: картинка с номером 4 такая же, как картинка с номером 17.

Утверждения о каждом элементе Те из вас, кто работал по нашему комплекту в начальной школе, помнят, что понятиям «все», «каждый» посвящен отдельный лист определений во 2 классе.

Эти понятия относятся в курсе информатики к числу основных. В курсе же 5 класса понятия все, каж дый используются в задачах, начиная с самых первых уроков, и не вводятся предварительно на листе определений. Дело в том, что эти слова в информатике (и математике) имеют по существу те же значения, что и в обычной речи, и пятиклассники с ними хорошо знакомы.

Нахождение истинностного значения утверждения, содержащего понятие каж дый, имеет особенности, на которые мы хотим обратить внимание. В информатике слово каждый в отличие от обычной речи употребляется и в тех случаях, когда имеется только один элемент с нужным свойством или даже таких элементов нет совсем. Поскольку пятиклассникам ситуацию с отсутствием элементов понять было бы очень трудно, таких задач в курсе нет. А ситуация с единственным элементом продемонстрирована на листе определений.

Кроме того, употребление слова каждый в информатике всегда связано с полным перебором. На примере утверждений о последовательностях, содержащих конструкции перед каж дой, после каж дой, идея перебора становится действи тельно осязаемой и легко реализуемой. Например, нам нужно определить для некоторой последовательности истинность утверждения «Следующая бусина после каждой желтой – красная». Двигаемся от начала последовательности, ищем каж дый элемент с заданным свойством (желтую бусину) и проверяем следующую за ней. Если после каждой желтой бусины идет красная, то утверждение истинно, если следующей за одной из желтых бусин нет, то утверждение не имеет смысла, если же у каждой желтой бусины имеется следующая и хотя бы за одной из желтых бусин идет не красная, тогда утверждение ложно.