– скорость производства и перемещения компонент физической массы (dm/dt), скорость и адекватность обработки информации(dI/dt).

Все указанные показатели целесообразно оценивать в унифицированных единицах – деньгах. Таким образом, денежная единица является единицей измерения в многомерном пространстве с пучками координат m, I, dm/dt, dI/dt.

Такой подход позволяет более наглядно, в сжатом виде представлять информацию о социальных структурах и, соответственно, быстро принимать адекватные решения. Например, поражение СССР в холодной войне и его развал можно интерпретировать следующим образом: стремление централизованно контролировать все информационное пространство страны (планирование производства и потребления, идеологию, искусство, науку) привело к малой скорости информационных потоков и неадекватности принимаемых решений, то есть произошел сбой в блоке (пространстве) dI/dt, затем – нарушение структуры dm/dt (производство, распределение) и распад идеологии. Государство развалилось, несмотря на высокие m, I и dm/dt. Развал экономики России в эпоху либеральных реформ можно объяснить использованием в масштабах страны сравнительно простых (линейных) экономических моделей, работоспособных в частных случаях и в локальных масштабах, и недоучетом более сложных закономерностей, которые надо моделировать нелинейными дифференциальными уравнениями в многомерном пространстве.

4. Динамический хаос и фундаментальные ограничения в области прогноза Разделы 4, 5, 6 основаны на работах С.П.Курдюмова и Г.Г.Малинецкого / 8, 9 / и И.В.Прангишвили / 1 /.

До 60-х годов ХХ века предполагалось, что есть два класса процессов в природе и обществе и, соответственно, два вида экономико-математических моделей – детерминированные и статистические. В первом случае уравнения обратимы, т.е. будущее однозначно определяется прошлым, а по налогу можно вычислить зарплату. Во втором случае будущее не зависит от прошлого:

результат бросания игральной кости или монеты не зависит от того, что выпадало раньше. Мы можем идеально знать статистические законы распределения результатов эксперимента (бросания кости), но не можем предсказать результат следующего эксперимента.

В 70-е годы было понято, что есть третий, очень важный класс процессов, которые формально описываются в рамках детерминированных моделей (например, законов Ньютона), но поведение которых может быть предсказано только на небольшой промежуток времени. Примеры таких систем в механике:

игрушка – физический маятник из нескольких взаимосвязанных шариков, бильярд с движущимися без трения и сталкивающимися шарами, санки, движущиеся по гребню горы и съезжающие на левый или правый склон от незначительного воздействия. Небольшие различия начальных условий через некоторое время приводят к существенным различиям траекторий. Математики называют это свойство чувствительностью к начальным данным.

В 1963 году американский метеоролог Эдвард Лоренц задался вопросом:

почему совершенствование замеров, компьютеров, математических моделей и алгоритмов не привело к созданию методики получения достоверных среднесрочных (на 2 – 3 недели вперед) прогнозов погоды? Он предложил простейшую модель, описывающую движение воздуха с помощью системы нелинейных дифференциальных уравнений:

где переменная x характеризует поле скоростей, а y и z- поле температур, r и s константы, b – постоянная, связанная с геометрией задачи.

Компьютерный анализ системы Лоренца привел к принципиальному результату: в детерминированных системах может возникать непериодическое движение и динамический хаос, т.е. на некотором промежутке времени поведение системы предсказуемо, а затем – нет, и к ней можно применять только вероятностные модели; горизонт прогноза ограничен. Как правило, точка в многомерном фазовом пространстве, характеризующая систему, движется вдоль достаточно устойчивой траектории, называемой аттрактором, и при небольших возмущениях возвращается обратно к аттрактору т.е. неустойчивость динамических систем обладает замечательным свойством устойчивости по отношению к малым возмущениям.

Для установившихся колебаний, соответствующих динамическому хаосу, т.е.

непериодической смене аттракторов на резко отличающиеся, Д.Рюэль и Ф.Таккенс предложили название странный аттрактор.

Было показано, что система может сменить аттрактор при воздействии, превышающем пороговое значение или при небольшом воздействии в критических точках. Резкую смену аттрактора называют бифуркацией или катастрофой. Описание систем вблизи точек бифуркаций позволяет изучать реальные природные и социально-экономические катастрофы, причем оказалось, что математические модели различных видов катастроф (например турбулизация жидкости, лесной пожар, возникновение мафий, революция) достаточно близки. В окрестности любого аттрактора происходит сжатие фазового пространства, т.е. уменьшается число переменных, описывающих систему, и ее энтропия, что способствует процессу самоорганизации системы.

Выше были рассмотрены примеры событий и процессов в природе и обществе, при которых возникают и некоторое время существуют объекты с высоким содержанием энергии и информации. Эти объекты могут существовать только за счет использования вещества и энергии из окружающей среды и повышения ее энтропии, т.е. они являются открытыми. Простейший пример таких объектов – конвективные ячейки в подогреваемой снизу кастрюле с маслом: нагретое вещество всплывает не по всему объему масла, а в определенных зонах, а в других зонах более холодное масло опускается вниз.

Движение масла можно описать небольшим количеством параметров и предсказать на небольшой отрезок времени. Иногда может происходить изменение ячеек – бифуркация. Аналогичный процесс идет в мантии Земли и проявляется в виде движения дна океанов и материков, землетрясений, а раз в 600 млн. лет происходит раскол материков и появление новых океанов.

В таких объектах снижение энтропии проявляется в виде появления упорядоченных структур, т.е. имеет место самоорганизация (или организация, навязанная извне, за счет воздействия внешних сил). При этом имеет место рассеяние, диссипация энергии, и такие системы называют диссипативными.

Устойчивые структуры могут возникать в средах, состоящих из элементов с нелинейными связями, которые описываются нелинейными уравнениями.

Диссипативные системы – это открытые нелинейные неравновесные системы, в которых могут возникать, благодаря потоку энергии, вещества и информации новые структуры.

В то же время нелинейная динамика позволяет установить универсальные сценарии возникновения хаоса из упорядоченного состояния. В ряде случаев можно говорить об универсальных сценариях возникновения катастроф. В частности, благодаря нелинейности имеет силу принцип “разрастания малого”, или возрастания флуктуации; некоторые классы нелинейных систем обладают пороговой чувствительностью; нелинейность порождает дискретность путей эволюции и точки бифуркации.

Наука о диссипативных самоорганизующихся системах называется синергетика (по гречески согласование, сотрудничество, кооперация, совместное действие). Важной особенностью синергетических систем является то, что в процессе упорядочивания происходит резкое уменьшение системной информации за счет ее свертывания, т.к. при описании общих или коллективных состояний (свойств) системы нет необходимости описывать каждый элемент в отдельности, достаточно описания общих (коллективных) свойств. Свертывание информации без существенного снижения качества описания системы является главной ценностью синергетических систем, так как при этом играют роль только жизненно важные для системы параметры.

Когерентность, или согласованное упорядоченное поведение элементов динамической системы также связано с их нелинейным взаимодействием.

Пример – армия. Командующий не обязан знать всех солдат и вникать в проблемы каждого, он посылает в бой уже упорядоченные структуры – полки и дивизии, а при планировании и контроле оперирует сравнительно небольшим числом параметров.

Для понимания сложных процессов и явлений, а также для управления ими надо уметь выделять небольшое число параметров, определяющих их ход, и выявить взаимосвязи между ними, т. е. нужен системный синтез в дополнение к системному анализу, необходимому для выделения и изучения отдельных свойств системы. Описание системы небольшим количеством параметров возможно при движении системы вблизи аттрактора, где энтропия системы минимальна, в этом случае говорят о сокращении размерности пространства, и выделенные подпространства параметров в фазовом пространстве достаточно полно отражают все происходящее в огромном пространстве переменных. Эти подпространства называют руслами. Наиболее важные переменные, характеризующие русло, называют параметрами порядка.

Простое описание системы становится невозможным вблизи точек бифуркации, катастрофы (невозможно управлять разгромленной и разбежавшейся армией). Когда русло кончается, число переменных, описывающих систему, быстро растет, горизонт прогноза уменьшается, появляется возможность резких изменений. Такие области в фазовом пространстве названы областями джокеров, а сами правила, по которым начинает вести себя система – джокерами. Название связано с игральной картой – джокером, которая может заменить любую карту, при этом увеличивается неопределенность и усложняется ситуация.

При изучении экономических систем в области русла можно опираться на простые детерминированные модели, на несложные закономерности.

Используемые в экономике модели обычно просты (деньги – товар – деньги, законы равновесия цены и спроса, эконометрика, линейное программирование, модели Р.Солоу и В.Леонтьева). Но высококвалифицированные и знакомые с практической деятельностью экономисты считают, что наибольшую прибыль фирма получает именно на не пришедших в равновесие рынках, поэтому надо делать ставку на неравновесные ситуации, несмотря на то, что в этих ситуациях имеет место неточность и ненадежность информации, риск, неопределенность / 12 /, характерные для области джокера, где приходится описывать реальность совершенно иначе. Огромное значение приобретают случайности, личные интересы, субъективные факторы, подача информации или дезинформации. В области джокера система может остаться в старом русле (на старом аттракторе) или под влиянием незначительных факторов резко сменить его, изменив даже параметры порядка, законы движения и структуру системы (бифуркация, катастрофа).

Ошибки Правительства РФ при проведении реформ связаны с попытками применить экономические модели, справедливые для некоторых русел, к области джокера и бифуркации (буржуазной революции, повторяющей Великую французскую революцию с интервалом ровно 200 лет), в которую Россия вступила в конце 80-х годов и из которой пока не вышла.

6. Технология “организованного хаоса” Джорджа Сороса Одной из моделей, показавшей свою работоспособность в условиях джокера, является модель рефлексивного управления Дж. Сороса (по / 1 /).

Рефлексия – способность человека встать на чужую позицию или подняться над позициями других и своей собственной. Рефлексивное управление – это передача воздействия на всю систему ценностей, целей и образа мышления тех, кем приходится управлять, навязывание противнику (или партнеру) ложного образа, подталкивающего к определенным действиям.

Рефлексивное управление эффективно работает в предвыборных кампаниях, маркетинге, PR-акциях.

Принципы рефлексивного управления: реальная ситуация влияет на мышление и поведение участников, а их мышление и поведение воздействуют на развитие ситуации, участниками которой они являются. Превалирующие представления участников, которые в силу своей природы несовершенны, во многом определяют ход событий и его принципиальную неопределенность.

Эволюцию цен на финансовых рынках можно рассматривать как рефлексивный процесс; биржа с ценами акций и ожидания других биржевых игроков является внешней средой, объектом управления субъекта, играющего на бирже.

В математическом аппарате модели используются две рекурсивные, т.е.

взаимозависимые на каждом шаге функции:

Первая функция описывает зависимость мышления от ситуации, втораязависимость ситуации от мышления. На Рисунке 3 эти функции представлены кривыми Гу и Гх. Рефлексивный процесс начинается с точки х1, по когнитивной функции вычисляют у1, затем по рефлексивной функции вычисляют х2 и т.д.

На Рисунке 3А траектория рефлексивного процесса образует “лестницу Лемаррея”, которая сначала ускоряясь, а потом замедляясь, устремляется к точке устойчивого равновесия. На Рисунке 3Б имеется критическая точка пересечения кривых ( х1*, у1*). Слева от нее процесс характеризуется спадом со стабилизацией в окрестности нуля, а справа от нее процесс характеризуется сперва ростом, а затем стабилизацией в окрестности точки ( х2*, у2*).

На Рисунке 3В изображена рефлексивная система “трагического” содержания. Начавшись с безудержного роста, процесс, дойдя до своего экстремального состояния, неожиданно срывается в результате структурной катастрофы и затем медленно угасает под своими обломками. Это как раз тот процесс, когда происходит крах на фондовых и валютных рынках: сначала самоусиление, потом самоподавление и крах. Если в самом начале такого рефлексивного процесса войти в игру с максимумом вложений, а затем, перед самым пиком, выйти из игры, то можно сорвать прибыльный куш, что не раз удавалось сделать Джорджу Соросу. Все дело в том, чтобы уловить (отрефлексировать) этот момент.

На Рисунке 3Г приведен другой тип рефлексивной системы – соотношение графиков когнитивной Гу и воздействующей Гх функций таково, что до срыва дело не доходит, но рефлексивный процесс квазислучайным образом мечется вокруг точки неподвижности (х*,у*): ситуация то на грани краха, то неожиданно меняется в лучшую сторону. Рефлексивные системы и процессы такого рода являются раем для удачливых игроков на финансовых рынках, головной болью для менеджеров национальных экономик и головоломкой для ученых-экономистов.

7. Статистические характеристики диссипативных систем Экспериментальные исследования параметров различных природных и социально-экономических объектов и процессов показало отличие законов распределения частот событий от используемого в технике закона нормального распределения, установленного К.Гауссом. Гауссово распределение лежит в основе множества инженерных расчетов и технических норм. Например, по закону Гаусса распределено количество деталей, попадающих в последовательные интервалы их размеров. График распределения Гаусса имеет вид симметричной колоколообразной кривой, основные параметры которой – среднее значение и стандартное отклонение, т.е. полуширина на половине высоты (сигма). Гауссиана приведена Рисунке 5. Все инженеры знают “правило трех сигм”: вероятность отклонения случайной величины (размера детали) от среднего значения более чем на 3 составляет менее 0,001, т.е.

ничтожно мала. А в природе и обществе действуют “распределения с тяжелыми хвостами” – логнормальное и степенное, у которых “за тремя сигмами” событий достаточно много, т.е. вероятность события с аномальными параметрами (тяжелой аварии или катастрофы) существенно, в десятки и сотни раз выше, чем для нормального распределения.

Статистические исследования, проведенные в США, позволили установить, что распределение количества жертв природных катастрофических событий соответствует степенному закону (Рисунок 4, по / 9 /).

Рис. 4 Распределение бедствий по количеству погибших в США в ХХ веке.

По оси абсцисс отложена фатальность F стихийного бедствия, измеряемая логарифмом числа погибших в его результате. Логарифм числа бедствий (log N), имеющих фатальность не меньше данной, отложен по оси ординат.

Идеальным степенным законам соответствуют прямые. Видно, что эти законы являются хорошим приближением для реальной статистики бедствий и катастроф. Приведены данные для торнадо (ромбы), наводнений (квадратики), ураганов (кружки), землетрясений (треугольники).

В геохимии давно известен закон распределения содержаний микроэлементов в пробах горных пород – логнормальный. Если по оси абсцисс откладывать содержания элементов в пробах, а по оси ординат – количество соответствующих проб, то получится график с “тяжелым хвостом”, т.е.

довольно много проб с высокими содержаниями микроэлементов (относительно среднего содержания). Если по оси абсцисс откладывать логарифмы содержаний элементов, то получится симметричная колоколообразная кривая, похожая на гауссиану. Поэтому закон и назывется логнормальным. По логнормальному закону распределен в пробах чернобыльский 137Cs, а также количество покупок в магазине в зависимости от их стоимости (данные автора), что позволяет спланировать запасы товаров на складе.

Автор не располагает данными о количестве льготников – пассажиров на городском и пригородном транспорте, но предполагает, что именно незнание законов частотных распределений в социальной сфере привело к бунтам и блокированию трасс при монетизации льгот. Предположим, что количество льготников N в зависимости от стоимости проезда распределено по степенному закону (Рис.5). По оси абсцисс указано количество поездок на городском транспорте в день.

Рис.5. Количество льготников N в зависимости от стоимости проезда.

Видимо, при расчетах компенсаций был использован закон нормального распределения (плавная кривая), компенсировали средние затраты, но больше половины льготников были недовольны. Даже когда добавили, потом 2, может быть 3, то осталось много недовольных: бывшие военные, полярники, милиционеры, которые ездят из пригородов в Москву на заработки. В результате – огромные траты из казны, а льготный проезд из пригородов пришлось оставить.

8. Модели экономических и социальных процессов Дифференциальные явления позволяют связать скорости изменения параметров системы со значениями параметров, и таким образом построить модель развития процесса во времени. Поэтому они давно, со времен Исаака Ньютона используются в естественных науках. Классическое дифференциальное уравнение описывает колебание маятника:

где x – отклонение от положения равновесия, k – жесткость пружины, деленная на массу. В данном случае вторая производная отклонения пропорциональна отклонению и имеет обратный знак. Решение такого линейного уравнения, полученное аналитически где А – амплитуда колебаний, w - угловая частота, j - начальный угол (фаза) колебаний. А, w, j зависят от начальных условий – отклонения и скорости.

График, описывающий такой процесс – бесконечная синусоида. Если дифференциальное уравнение сделать нелинейным, например то решить его в аналитическом виде будет сложно или нереально. Нелинейные дифференциальные уравнения и их системы обычно решают с использованием компьютеров. Для обучения и изучения простых моделей удобен Excel, можно использовать MatCad, MatLab, другие специализированные пакеты программ. В особо сложных случаях, например для прогноза погоды, используются самые мощные суперкомпьютеры. Нелинейные уравнения решают методом конечных разностей, который дает приближенное решение в виде таблицы и графика. На рисунке приведен пример численного решения этого уравнения в среде Excel.

В строке 2 заданы начальные значения х и скорости V, в ячейке С3 вычислено начальное ускорение, скорость в В3 равна В2+С3, Рис.6. Численное решение дифференциального уравнения.

значение х в А3 равно А2+В3. Временной интервал равен 1. Формулы строки копируем вниз, получаем решение в виде таблицы. В отличие от линейного уравнения, здесь через некоторое количество шагов происходит резкий рост отклонения х, т.е. “катастрофа”. Изменяя параметр k и начальные значения x и V можно исследовать процесс при различных начальных условиях. Даже простые примеры показывают существенную зависимость решения от начальных условий.

На рисунке 7 приведены графики, полученные при численном решении уравнения Г.Хатчинсона, которое описывает количество N членов популяции животных, у которых имеется заданное количество пищи:

где r – относительный коэффициент роста (Мальтуса), К – средний размер популяции, h – время запаздывания, связанное с возрастной структурой популяции. Очевидна зависимость вида функции N от параметра r, а при небольшом изменении r с 0,554 до 0,555 N стремится к -, т.е. происходит катастрофа.

Рис.7 Результаты численного решения уравнения Г.Хатчинсона В таблице и на рисунке 8 приведен пример численного исследования известной системы дифференциальных уравнений Лотки-Вольтерра, которая описывает взаимодействие популяций хищников и жертв Видно, что при малом коэффициенте k хищники медленно размножаются, но в конечном итоге съедают жертв (A), а при k=0,002 процесс срывается в колебательный режим (Б).

На рисунке 9 приведен пример с другими законами взаимодействия. Если понимать термин “капуста” в жаргонном смысле, то задача из экологической становится экономической. Здесь Вначале было 1000 кочанов капусты и 10 зайцев, каждый день вырастает кочанов и ked* zпред кочанов съедают; к предыдущему количеству зайцев добавляется zпред*kr, пропорциональное их количеству, что ведет к экспоненциальному росту, а их смертность ks*( zпред /y)2 пропорциональна квадрату соотношения зайцев и капусты; rz – прирост зайцев, sz – их смертность. В данном случае процесс заканчивается стабилизацией количества капусты и зайцев. При изменении коэффициентов или законов, например функции смертности зайцев, процесс может принять колебательный характер или закончиться катастрофой, когда вся капуста будет съедена, а затем вымрут зайцы. Можно добавить в систему волков, которые будут размножаться, поедать зайцев и вымирать при недостатке зайцев. Попробуйте, это интересно.

Капуста у Зайцы z rz sz Системы дифференциальных уравнений были использованы Д.Медоузом в начале 70-х годов для исследования пределов роста человеческой цивилизации. В результате получилось, что население, производство и загрязнение на Земле достигнут максимума примерно в 2030 году, ресурсов останется 1/3 от разведанных к 1970 году, затем спад производства и населения до 1 млрд. человек. При сохранении нынешних тенденций спад будет быстрым (десятки лет), при воздействии на систему управлением – медленным. Графики Д.Медоуза приведены во многих публикациях, например в / 1 / В Физическом институте им. П.Н.Лебедева РАН разработана математическая модель экономики России / 13 /. В основе модели лежат предположения о рыночном механизме формирования цен (за счет баланса спроса и предложения) и рыночном характере производства за счет использования оборотных средств их владельцами. Государственное регулирование учтено в модели в виде налогов и отчислений во внебюджетные фонды, тарифов на транспорт и электроэнергию, пошлин и квот реализации сырья за рубежом. Учтено, что обрабатывающая промышленность вынуждена фактически “импортировать” российское сырье, т.е. покупать его по мировым ценам. Учтены финансовые спекуляции; криминал, т.е. рэкет и коррупция учтены как дополнительный налог на производство. Общество разбито на категорий по уровню доходов и участию в экономической деятельности.

Модель состоит из 8 основных уравнений и ряда дополнительных, например, для расчета издержек производства и накоплений.

В результате проведенных расчетов было показано, что система имеет три устойчивых состояния: высокопродуктивное, низкопродуктивное (производство в 5 раз меньше) и с нулевой продуктивностью (в этом случае государство исчезает). Сейчас Россия находится в низкопродуктивном состоянии. Показано, что при изменении динамических переменных, например оборотных средств, возможен переход в высокопродуктивное состояние (экономическое чудо), но в фазовом пространстве имеется барьер, и небольшие изменения переменных не приведут к его преодолению и система вернется в прежнее состояние. Для переброса необходимо, чтобы изменение было больше некоторого критического значения. После этого система сама сравнительно быстро переходит в другое стационарное состояние. В синергетике такой результат внешнего воздействия называется силовым переключением.

Исследование модели показало ее чувствительность к управляющим параметрам. Показано, что область существования современного низкопродуктивного состояния не очень широка, и сравнительно небольшое изменение управляющих параметров (налогов, тарифов и т.д.) может привести как к “экономическому чуду”, так и к срыву в состояние с нулевой продуктивностью, т.е. к катастрофе. Сделан вывод, что слабая структурная устойчивость низкопродуктивного состояния интуитивно ощущается людьми, что создает в обществе нервозность, неуверенность и растерянность.

Физиками были изучены уравнения, описывающие диффузию со стоками, истоками и размножением, в частности – диффузию нейтронов и распределение энергии во взрывающемся ядерном боеприпасе или в термоядерном реакторе (уравнение Гинзбурга-Ландау). Было установлено, что при некоторых параметрах наблюдается так называемая жесткая турбулентность – хаотический режим с редкими, но исключительно высокими выбросами, отражающими концентрирование энергии в малом объеме / 14, стр. 179 /. Затем пик распадается, после чего может возникнуть новый пик в другом месте. Для плотности вероятности амплитуд гигантских пиков в зависимости от их энергии была получена степенная зависимость, упоминавшаяся в разделе 7. В этом видно внутреннее единство целого класса различных нелинейных процессов, связанных с катастрофами. В частности, можно рассматривать диффузию в социальной среде денег и информации и их накопление в локальных структурах (образование вихря – турбулизацию), в том числе мафиозных. При этом происходит смена русла, и система начинает развиваться по другим законам.

1. И.В.Прангишвили. Энтропийные и другие системные закономерности.

Москва, Наука,2003.

2. В.И.Вернадский. Химическое строение биосферы Земли и ее окружения.

Москва, "Наука", 1987.

3. Д.С.Чернавский, Ю.И.Хургин, С.Э.Шноль. Концепция "белок–машина" и ее последствия. Биофизика, т.32, N 5, 1987.

4. А.П.Левич. Экстремальный принцип в теории систем и видовая структура сообществ. В сборнике "Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем", т.1, стр.164–183. Ленинград, Гидрометеоиздат, 1978.

5. А.С.Михайлов. Физики задумываются над механизмом работы мозга.

Природа N 3, 1987.

6. А.В.Лукашин, А.А.Веденов, М.Д,Франк–Каменецкий. Физические модели нейронных сетей. Биофизика, т.35 N 5, 1987.

7. Н.В.Катаргин. Возможный подход к моделированию биологических и социальных систем с использованием многомерных пространств В.И.Вернадского. Философские исследования № 3-4, 2002, стр.182 – 186.

8. С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий. Синергетика и системный анализ. В сборнике “Новое в синергетике: Взгляд в третье тысячелетие”. М. – Наука, 2002, стр.3 – 29.

9. С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий. Синергетика и прогноз. Настоящее и будущее. В сборнике “Новое в синергетике: Взгляд в третье тысячелетие”. М. – Наука, 2002, стр. 29 – 58.

10. Г.Николис, И.Пригожин. Самоорганизация в неравновесных системах.

Москва, "Мир", 1979.

11. Х.Хакен. Синергетика. Москва, "Мир", 1980.

12. Грязнова А.Г. Экономическая теория, Болонское соглашение и нужды практики. Сайт http://www.fa.ru, Публикации.

13. Д.С.Чернавский, Н.И.Старков, А.В.Щербаков. Динамическая модель поведения общества. Синергетический подход к макроэкономике. В сборнике “Новое в синергетике: Взгляд в третье тысячелетие”. М. – Наука, 2002, стр. – 291.

14. В.А.Владимиров и др. Управление риском: риск, устойчивое развитие, синергетика. Редактор И.М.Макаров. М. : Наука, 2000.

СОДЕРЖАНИЕ