«Направления подготовки бакалавров: 6.040106; 6.050202; 6.050502; 6.060101; 6.060103 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля „СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ” по курсу „ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА” для иностранных ...»

Министерство образования и науки Украины

ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

Направления подготовки бакалавров:

6.040106; 6.050202; 6.050502; 6.060101; 6.060103

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению заданий модуля

„СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ”

по курсу „ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА” для иностранных студентов Утверждено на заседании кафедры высшей математики.

Протокол № 6 от 17.01.2012 Харьков 2013 Методические указания к выполнению заданий модуля „Случайные события и случайные величины” по курсу „Высшая математика” для иностранных студентов направлений подготовки бакалавров 6.040106;

6.050202; 6.050502; 6.060101; 6.060103 / Составители: Е.А. Аршава, С.Г.

Измайлова, Л.И. Щелкунова. – Харьков, ХНУСА, 2013. – 77 с.

Рецензент А.П. Харченко Кафедра высшей математики

ВВЕДЕНИЕ

Данное издание предназначено для оказания помощи студентам в организации самостоятельной работы на тему “Случайные события и случайные величины”.

Результативность самостоятельной работы обеспечивается системой контроля, которая включает в себя следующие этапы:

выполнение индивидуальных домашних заданий;

выполнение контрольной работы на тему “Случайные события и случайные величины”;

выполнение и защита итогового задания по теме “Случайные события и случайные величины”;

выполнение модульной контрольной работы по всем темам модуля.

Методические указания содержат рабочую программу модуля, индивидуальные домашние задания, варианты итогового задания и пример его выполнения, а также ваоианты тестовых заданий, пример выполнения модульного контроля и вопросы для подготовки к его защите.

1 ПРОГРАММА МОДУЛЯ

1.1 Основные понятия теории вероятностей 1 Испытания и события.

2 Классификация случайных событий.

3 Классическое определение вероятности, ее свойства.

4 Относительная частота. Статистическая вероятность.

5 Геометрическая вероятность.

1.2 Теорема сложения вероятностей 1 Теорема сложения вероятностей несовместных события.

2 Полная группа событий.

3 Противоположные события.

1.3 Теорема умножения вероятностей 1 Независимые и зависимые события.

2 Теорема уможения вероятностей независимых события.

3 Вероятность появления хотя бы одного события.

4 Условная вероятность.

5 Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

1.4 Следствия теорем сложения и умножения 1 Теорема сложения вероятностей совместных событий.

2 Формула полной вероятности.

3 Вероятность гипотез. Формула Байеса.

1.5 Повторные испытания 1 Формула Бернулли.

2 Локальная теорема Лапласа.

3 Интегральная теорема Лапласа.

4 Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

5 Формула Пуассона.

1.6 Классификация случайных величин. Дискретная случайная величина 1 Определение случайной величины.

2 Дискретные и непрерывные случайные величины.

3 Закон распределения вероятностей дискретных случайных величин.

4 Биномиальный закон распеределения дискретной случайной величины.

5 Закон Пуассона.

1.7 Числовые характеристики дискретных случайных величин 1 Математическое ожидание дискретной случайной величины.

2 Вероятностный смысл математического ожидания.

3 Свойства математического ожидания.

4 Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях.

5 Дисперсия дискретной случайной величины. Формула для вычисления дисперсии.

6 Свойства дисперсии.

7 Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях.

8 Среднеквадратическое отклонение, его свойства.

1.8 Интегральная функция распределения вероятностей 1 Определение интегральной функции распеределения.

2 Свойства интегральной функции.

3 График интегральной функции.

1.9 Дифференциальная функция распределения вероятностей 1 Определение дифференциальной функции распределения.

2 Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.

3 Свойства дифференциальной функции.

1.10 Законы распределения и числовые характеристики непрерывных 1 Закон равномерного распределения, его интегральная и дифференциальная функции.

2 Числовые характеристики равномерного распределения.

3 Нормальное распределение, его параметры, нормальная кривая.

4 Числовые характеристики нормального распределения.

5 Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.

6 Вычисление вероятности заданного отклонения.

7 Правило трех сигм.

1 Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины.

2 Неравенство Чебышева.

3 Теорема Чебышева, ее суть.

4 Теорема Бернулли.

5 Понятие сходимости по вероятности.

2 ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ

1 В урне находится 30 черных, 24 красных, 32 синих та 14 белых шаров.

Наугад из урны берут 1 шар. Найдите вероятность того, что этот шар будет белым или черным.

2 Найдите вероятность того, что точка, которая поставлена наугад в круг радиуса R, будет находиться в середине вписанного в круг квадрата.

3 В ящике находятся карточки с номерами от 1 до 50. Какова вероятность того, что номер наугад взятой карточки не содержит цифры четыре?

1 Участники жеребьевки берут жетоны с номерами от 1 до 100. Найдите вероятность того, что номер наугад взятого жетона не содержит цифры 4.

2 Найдите вероятность того, что точка, которая поставлена наугад в квадрат со стороной а, будет находиться в круге, вписанном в этот квадрат.

3 Корoбка содержит 5 одинаковых, занумерованных кубиков. Наугад по одному достают все кубики. Найдите вероятность того, что номера всех кубиков появляются в возрастающем последовательности.

1 Абонент забыл две последние цифры телефонного номера и, помня, что они разные и образуют двузначное число, меньшее 40, наугад набрал две цифры. Найдите вероятность того, что набраны нужные цифры.

2 Найдите вероятность того, что точка, поставленная в равносторонний треугольник со стороной а, будет в середине кругу, вписанном в этот треугольник.

3 В ящике находится 20 деталей, среди которых 10 покрашены. Наугад берут 4 детали. Найдите вероятность того, что все детали будут покрашенными.

1 Среди 300 устройств, взятых на проверку, 20 – неисправных. Найдите вероятность того, что взятое на проверку устройство будет исправным.

2 Найдите вероятность того, что точка, поставленная в круг радиуса R, будет в середине равностороннего тругольника, вписанного в этот круг.

3 Устройство содержит 7 елементов, из которых 4 изношенные. При включении устройства случайным образом включаются 2 элемента. Найдите вероятность того, что включились неизношенные элементы.

1 Участники жеребьевки берут жетоны с номерами от 1 до 100. Найдите вероятность того, что номер наугад взятого жетона не содержит цифры 3.

2 На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5см и 10 см соответственно. Найдите вероятность того, что точка, брошенная в большой круг, попадет в кольцо, образованное этими окружностями.

3 В группе 20 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наугад выбраны 9 студентов. Найдите вероятность того, что среди выбранных студентов 5 отличников.

1 В процессе записи фамилий участников некоторых сборов, общее число которых равно 300, выяснилось, что начальной буквой в 10 фамилиях была А, в 6 – Е, в 9 – И, в 12 – О, в 5 – У и в 3 – Ю, а остальные фамилии начинаются с согласной. Найдите вероятность того, что фамилия участника этих сборов, которого вызвали наугад, начинается с гласной.

2 Круг радиуса R содержит малый круг радиуса r. Найдите вероятность того, что точка, наугад брошенная в большой круг, попадет также и в малый.

3 В ящике 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Найдите вероятность того, что 3 выбранные детали будут окрашенными.

1 Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 выбирают наугад одну цифру. Найдите вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра.

2 Найдите вероятность того, что точка, брошенная в шар радиуса R, попадет в середину куба, вписанного в этот шар.

3 Бросают 2 игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна 5, а их произведение – 4.

1 В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наугад берут 3 детали.

Найлите вероятность того, что все взятые детали бракованные.

2 Набирая номер телефона, абонент забыл 3 последние цифры и, помня, что эти цифры различные, набрал их наугад. Найдите вероятность того, что набраны необходимые цифры.

3 Бросили две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков.

1 В магазин пришла партия обуви одного фасона и размера, но разного цвета. Паpтия состоит из 40-ка пар черного цвета, 26 – коричневого, 22 – красного. Найдите веростность того, что взятая наугад пара обуви будет красного цвета.

2 Из шести карточек с буквами Т, Е, Р, М, О, С выбирают наугад по очереди 4. Найдите вероятность того, что получим слово «СОРТ».

3 Устройство содержит 9 элементов, из которых 3 – изношеные. При включении устройства случайно включаются 4 элемента. Найдите вероятность того, что включились неизношенные элементы.

1 Сборы, на которых присутствовали 30 человек, в том числе 7 женщин, выбирают делегацию из 4-х людей. Найдите вероятность того, что в делегацию войдут 3 женщины и 1 мужчина.

2 Бросили две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8.

3 В квадрат со стороной а бросили точку. Найдите вероятность попадания точки в круг, вписанный в этот квадрат.

1 Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После перемешивания карточек из урны берут 1 карточку.

Найдите вероятность того, что число на выбранной карточке будет кратным 5.

2 В партии из 15-ти стиральных машин 5 изготовлены на заводе А, 10 – на заводе В. Случайно отобрано 5 машин. Найдите вероятность того, что две из них изготовлены на заводе А.

3 Во время выстрела по мишени относительная частота попаданий равна 0,75. Найдите число попаданий во время 40 выстрелов.

1 Бросили две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна 9.

2 На станцию прибыли 10 вагонов разной продукции, которые помечены номерами от 1 до 10. Найдите вероятность того, что среди 5-ти отобранных для контроля вагонов будут вагоны с номерами 2 и 5.

3 Относительная частота нормального всхода семян равна 0,97. Из посеянных семян взошли 970 единиц. Сколько семян было посеяно?

1 Наугад выбрали натуральное число, которое меньше 10. Найдите вероятность того, что выбрано простое число.

2 Комиссия по качеству раз в месяц проверяет качество продуктов в 2-х из 30-ти магазинов, среди которых 2 являются известными. Найдите вероятность того, что в течение месяца известные магазины будут проверены.

3 На отрезке натурального ряда от 1 до 20 найдите относительную частоту простых чисел.

1 Бросили две монеты. Чему равна вероятность того, что на обеих монетах выпадут одинаковые цифры?

2 Изготовлена партия из 30-ти изделий, в которых выявлено бракованных. Наугад выбрано 5 изделий. Найдите вероятность того, что среди 5-ти отобранных изделий одно будет бракованным.

3 В куб вписан шар. Какова вероятность того, что точка, брошенная наугад в средину куба, оказалась в середине шара?

1 Какова вероятность того, что в наугад отобранном двузначном числе будут одинаковые цифры?

2 Из 100 изготовленных деталей 10 имеют дефект. Для проверки отобранны 5 деталей. Найдите вероятность того, что среди отобранных деталей две будут с дефектом.

3 Найдите относительную частоту появления надписи при 100 бросаниях монеты в случае, когда надпись появится 48 раз.

1 Из букв слова «дифференциал» наугад выбирается одна буква. Найдите вероятность того, что эта буква гласная.

2 Из 20-ти акционерных обществ (АО) 4 являются банкротами.

Гражданин приобрел по 1-й акции из 6-ти АО. Найдите вероятность того, что среди приобретенных акций будет две акции АО, являющихся банкротами.

3 Игральную кость бросают 90 раз. Шестерка появилась 12 раз. Найдите относительную частоту появления шестерки.

1 Бросили 2две игральные кости. Найдите вероятность того, что на гранях обеих костей випадет одинаковое число очков.

2 На склад привезли 50 ящиков комплектующих изделий, среди них было выявлено 4 ящика некомплектных. Наугад взяли 6 ящиков. Найдите вероятность того, что среди взятых ящиков 1 будет некомплектный.

3 Найдите относительную частоту появления простых чисел на отрезке натурального ряда от 41 до 50.

1 В книге 300 страниц. Найдите вероятность того, что наугад открыта страница будет иметь номер, кратный 5.

2 На 7-ми карточках написаны буквы О, В, А, К, Ь, Х, Р. Карточки наугад раскладывают в ряд. Чему равна вероятность того, что полученное слово – ХАРЬКОВ.

3 На плоскости нарисованы эллипсы образом, что их центры совпадают. Наугад бросают точку. Найдите вероятность того, что точка попадет в малый эллипс. (Площадь эллипса равна ав).

1 В партии из 10-ти деталей 7 – стандартных. Найдите вероятность того, что среди 6-ти взятых наугад деталей 4 – стандартные.

2 В партии из 20-ти холодильников 8 изготовлены на заводе А, 12 – на заводе В. Случайным образом отобрано 6 холодильников. Найдите вероятность того, что два из них изготовлены на заводе А.

3 Во время выстрела по мишени относительная частота попаданий равна 0,8. Найдите число попаданий при 60-ти выстрелах.

1 Среди 25 студентов группы 10 девочек. Розыгрывается 5 билетов.

Найдите вероятность того, что среди владельцев билетов будут две девочки.

2 В партии из 100 изделий 5 – нестандартные. Наугад выбирають изделий. Найдите вероятность того, что среди них не будет нестандартных.

3 Найдите относительную частоту появления простых чисел на отрезке натурального ряда от 51 до 70.

1 В ящике 15 шаров, из которых 5 голубых и 10 красных. Наугад выбирают 6 шаров. Найдите вероятность того, что среди выбранных шаров голубых.

2 Бросили две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8, а разность 4.

3 На полке – 25 учебников, из которых 5 по теории вероятностей. Студент наугад берет 2 учебника. Найдите вероятность того, что взятые учебники по теории вероятностей.

1 Из 50-ти изготовленных деталей 10 имеют дефект. Для проверки отобраны 5 деталей. Какова вероятность того, что среди отобранных деталей две будут бракованными?

2 В ящике 4 голубых и 5 красных шаров. Наугад берут 2 шара. Найдите вероятность того, что эти шары различных цветов.

3 Во время стрельбы относительная частота попаданий равна 0,65.

Найдите число попаданий во время 70-ти выстрелов.

1 В партии из 40-ка изделий выявлено 3 с дефектом. Наугад выбрано изделий. Найдите вероятность того, что среди выбранных издений нет бракованных.

2 Бросили две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8, а разность – 2.

3 В окружность радиуса R вписан квадрат. Какова вероятность того, что точка, брошенная наугад в окружность, попадет в квадрат?

1 В книге 200 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь номер, кратный 3?

2 Из 30-ти акционерных обществ (АО) 6 являются банкротами. Чему равна вероятность того, что среди 8-ми купленных акций будут 3 акции АО, являющиеся банкротами?

3 Сколькими способами можно выбрать 3 особы на 3 различные должности из 10-ти кандидатов?

1 В партии из 25-ти телевизоров 10 изготовлены на заводе А, а 15 – на заводе В. Найдите вероятность того, что среди случайно отобранных 6-ти телевизоров 2 изготовлены на заводе В.

2 Относительная частота всхода семян равна 0,95. Взошло 950 зерен.

Сколько семян было посеяно?

3 В ящике 15 шаров, из которых 5 голубых и 10 красных. Наугад выбирают 6 шаров. Найдите вероятность того, что среди отобранных шаров два будут красными.

1 В коробке 5 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашены. Найдите вероятность того, что среди 2-х полученных изделий 1 будет окрашеным.

2 В круг радиуса R = 5 см вписан квадрат. Найдите вероятность того, что точка, поставленная наугад в круг, попадет в квадрат.

3 Найдите относительную частоту появления простых чисел на отрезке натурального ряда от 81 до 100.

1 В коробке 5 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашены. Найдите вероятность того, среди двух выбранных издений 2 будут окрашенными.

2 На плоскости область G обграничена эллипсом – эллипсом того, что точка попадет в область g. (Площадь эллипса равна ав) 3 Во время выстрела по мишени относительная частота попаданий равна 0,88. Найдите число попаданий во время 50-ти выстрелов.

1 В партии из 15-ти деталей, 6 – стандартных. Наугад отобраны 4 детали.

Найдите вероятность того, что среди отобранных деталей 2 – стандартные.

2 На плоскости нарисованы две концентрические окружности, радиусы которых 9 см и 6 см. Найдите вероятность того, что точка, которую бросили в большой круг, попадет также в кольцо, образованное данными окружностями.

3 Для определения качества семян было отобрано и посеяно 100 семян. семян дали нормальные всходы. Найдите относительную частоту восхождения семян.

1 В партии из 15-ти деталей, 7 – стандартных. Наугад отобраны деталей. Найдите вероятность того, что среди отобранных деталей 3 – стандартные.

2 Относительная частота попаданий по мишени равна 0,85. Найдите число попаданий во время 20 выстрелов.

3 В шар радиуса R вписан куб. Найдите вероятность того, что точка, брошенная наугад в шар, попадет в куб. (Объем шара V 3 R, сторона куба 1 Бросили две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна 9.

2 В партии из 15-ти кинескопов 10 изготовлены Львовским заводом.

Найдите вероятность того, что среди 5 взятых наугад кинескопов 3 – Львовского завода.

3 В середину круга радиуса наугад брошена точка. Найдите вероятность того, что точка окажется в середине вписанного в круг правильного треугольника.

2.2 Основные теоремы теории вероятностей 1 Брошена игральная кость. Чему равна вероятность того, что выпадет четное число очков?

2 Два стрелка стреляют по мишени 1 раз. Вероятность попадания в мишень во время одного выстрела равна для 1-го стрелка 0,6, для 2-го – 0,7.

Найдите вероятность того, что будет поражена мишень: а) только одним стрелком; б) хотя бы одним стрелком.

3 В урне 5 белых, 6 черных и 4 синих шаров. Испытание состоит в том, что наугад из урны берут шар, не возвращая его в урну. Найдите вероятность того, что во время одного испытания появится белый шар, во время другого – черный, во время третьего – синий.

4 Первая коробка содержит 25 радиоламп, из которых 20 – стандартных, другая – 15 ламп, из которых 10 – стандартных. Из другой коробки наугад взята лампа и переложена в первую. Найдите вероятность того, что лампа, взятая наугад из первой коробки, будет стандартной.

5 Два автомата изготавливают одинаковые детали. Продуктивность 1-го автомата вдвое больше 2-го. Вероятности изготовление деталей отличного качества для 1-го и 2-го автоматов соответственно равны 0,65; 0,8. Взятая наугад деталь оказалась отличного качества. Найдите вероятность того, что эта деталь изготовлена 1-ым автоматом.

1 В урне 40 шаров: 15 голубых, 5 зеленых и 20 белых. Найдите вероятность того, что взятый наугад шар будет цветным.

2 Три студента сдают экзамен. Вероятность того, что 1-й студент сдаст экзамен равна 0,9, 2-й – 0,7, 3-й – 0,6. Найдите вероятность того, что: а) студента сдадут экзамен; б) хотя бы 1 студент сдаст экзамен.

3 В ящике 10 деталей, из которых 3– первого типа и 7 – второго. Для сборки агрегата необходимо взять сначала деталь первого типа, а потом – второго. Найдите вероятность того, что наугад взятые детали будут в необходимой последовательности.

4 В группе спортсменов: 25 лыжника, 10 велосипедистов, 5 бегунов.

Вероятность выполнения квалификационной нормы такова: для лыжника – 0,8, для велосипедиста – 0,85, для бегуна – 0,75. Найдите вероятность того, что выбранный наугад спортсмен выполнит норму.

5 Изделие проверяют на стандартность одним из контролеров.

Вероятности того, что изделие попадет к 1-му и 2-му контролерам, соответственно равны 0,6 и 0,4. Взятое наугад изделие было признано стандартным. Найдите вероятность того, что это изделие проверил 2-й контролер.

1 Бросили 2-е игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков будет не больше 4 ?

2 Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что на протяжении часа требует его внимание первый станок равна 0,8, второй – 0,7, третий – 0,6.

Найдите вероятность того, что на протяжении часа внимание рабочего: а) не потребует ни один станок; б) хотя бы один станок.

3 В ящике 10 деталей, из которых 5 – первого типа, 3 – второго, 2 – третьего. Найдите вероятность того, что наугад взятые по очереди 3 детали будут 1, 2, 3 типов.

4 Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных на заводе А, и коробки деталей завода Б. Вероятность того, что деталь завода А стандартная, равна 0,7, а завода Б – 0,8. Сборщик наугад взял деталь из наугад выбранной коробки. Найдите вероятность того, что взята стандартная деталь.

5 В 3-х партиях по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в 1-й, 2-й и 3-й партиях соответственно равно 5, 10, 15. Из наугад выбранной партии наугад берут деталь, которая оказалась стандартной. Найдите вероятность того, что деталь была взята из 3-й партии.

1 Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на 3 сектора. Вероятность попадания в 1-й сектор равна 0,4, во 2-й – 0,3. Найдите вероятность попадания в 1-й или во 2-й сектор, если считать, что стрелок обязательно попадает в мишень.

2 Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что на протяжении часа он будет обслуживать 1-й станок, равна 0,7, 2-й – 0,6, 3-й – 0,5. Найдите вероятность того, что на протяжении часа рабочий будет обслуживать: а) все станка; б) хотя бы один станок.

3 Студент знает 25 из 30 вопросов программы. Найдите вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором 3 вопроса.

4 Первый ящик содержит 20 деталей, из которых 8 – стандартных, второй – 30 деталей, из которых 25 – стандартных, третий – 10 деталей, из них 7 – стандартных. Найдите вероятность того, что взятая наугад деталь из наугад выбранного ящика – стандартная.

5 На складе находятся делали, которые изготовлены на двух заводах.

Продуктивность первого завода в 4 раза више второго. Вероятность бракованных деталей соответственно равна 0,05; 0,01. Наугад взятая деталь оказалась бракованой. Найдите вероятность того, что эта деталь изготовлена первым заводом.

1 На полке находится 10 книг, расставленных в произвольном порядке.

Из них 3 книги по теории вероятностей, 3 – по математическому анализу, 4 – по линейной алгебре. Студент случайным образом достает одну книгу. Найдите вероятность того, что студент взял книгу по теории вероятностей или по линейной алгебре.

2 Три студента сдают экзамен. Вероятность сдать экзамен первому студенту равна 0,8, второму – 0,6, третьему – 0,5. Найдите вероятность того, что: а) только два студента сдадут экзамен; б) хотя бы один студент сдаст экзамен.

3 В ящике 10 деталей, из которых 6 – окрашенные. Наугад выбирают детали. Найдите вероятность того, что все взятые детали будут окрашены.

4 В телевизионном ателье 4 кинескопа. Вероятности того, что 1-й, 2-й, 3-й и 4-й кинескоп выдержит гарантийный срок, соответственно равны: 0,9; 0,7;

0,6; 0,95. Найдите вероятность того, что взятый наугад кинескоп выдержит гарантийный срок.

5 На склад приходят изделия трех фабрик, причем изделия первой фабрики составляют 20 %, второй – 45 %, третьей – 35 %. Средний процент нестандартных изделий для фабрик соответственно равен 3 %, 2 %, 1 %.

Найдите вероятность того, что наугад взятое нестандартное изделие сделано третьей фабрикой.

1 В порт приходят корабли из 3-х пунктов отправления. Вероятность появления корабля из 1-го пункта равна 0,2, из 2-го пункта – 0,6. Найдите вероятность прибытия корабля из первого или третьего пунктов.

2 Из трех пушек сделали залп по цели. Вероятности попадания в цель 1-й, 2-й, 3-й пушками соответственно равны: 0,7; 0,6; 0,9. Найдите вероятность того, что попадут в цель: а) только 2 пушки; б) все 3 пушки.

3 Найдите вероятность того, что наугад взятое двузначное число будет кратным 2 или 7, или 2 и 7.

4 В коробке находятся 60 ламп, изготовленных на заводе А и 40 – на заводе Б. Вероятность того, что лампа, изготовленная на заводе А, стандартна, равна 0,9, для ламп, изготовленных на заводе Б – 0,75. Найдите вероятность того, что взятая наугад лампа, будет стандартной.

5 На фабрике три машины изготавливают соответственно 20 %, 35 %, 45% изделий. В их продукции брак составляет соответственно 3 %; 2 %; 1 %.

Найдите вероятность того, что наугад взятое нестандартное изделие сделано на второй фабрике.

1.Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на 3 сектора. Вероятность попадания в 1-й сектор равна 0,6, во 2-й – 0,2. Найдите вероятность попадания в 1-й или во 2-й сектор в предположении, что стрелок обязательно поразит мишень.

2 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что во время аварии сработает первое устройство, равна 0,6, второе – 0,9, третье – 0,8. Найдите вероятность того, что во время аварии сработает: а) только два устройства; б) хотя бы одно устройство.

3 На 30-ти карточках написано 30 двузначных чисел от 1 до 30. Наугад берут одну карточку. Найдите вероятность того, что число на карточке будет кратным 2, или 3.

4 В вычислительной лаборатории находится 10 клавишных автоматов и полуавтоматов. Вероятность того, что во время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,9, для полуавтомата – 0,85. Наугад выбирается машина. Найдите вероятность того, что во время расчета выбранная машина не выйдет из строя.

5 Некоторое изделие выпускается двумя заводами, причем 2-й завод выпускает изделий в 3 раза больше первого. Вероятности брака для 1-го и 2-го завода соответственно равны 2%, 1%. Найдите вероятность того, что приобретенное бракованное изделие изготовлено на 2-м заводе.

1 Заочный факультет университета принимает пакеты с контрольными работами из трех городов. Вероятность появления пакета из одного города равна 0,7, из другого – 0,2. Найдите вероятность того, что пакет будет получен из третьего города.

2 Три стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7.

Найдите вероятность того, что: а) только один из стрелков попадет в мишень;

б) хотя бы один попадет в мишень.

3 На шести карточках написаны буквы П, А, П, А, Х, О. Наугад берут по очереди четыре карточки и раскладывают в ряд. Найдите вероятность того, что получится слово ПАПА.

4 На фабрике изготавливают болты: первая машина изготавливает 35%, вторая – 25%, третья – 40% всех болтов. Брак продукции составляет соответственно 1%, 3%, 2%. Найдите вероятность того, что наугад выбранный болт будет дефектным.

5 На производстве изготавливают изделия на трех поточных линиях.

Количество изделий каждой линии соответственно составлет 30 %, 25 %, 45%.

Процент стандартных изделий для каждой линии соответственно равняется 96%, 97 %, 98 %. Найдите вероятность того, что взятое наугад стандартное изделие изготовлено на третьей линии.

1 Магазин получает продукцию с четырех оптовых складов: с первого – ящика, со второго – 5 ящиков, с третьего – 7 ящиков, с четвертого – 4 ящика.

Случайно выбран один ящик для продажи. Найдите вероятность того, что это будет ящик с первого или третьего склада.

2 Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Найдите вероятность того, что студент знает: а) только 2 вопроса; б) все три вопроса.

3 В ящике 10 деталей, из которых 4 – первого типа и 6 – второго. Для сборки агрегата необходимо взять сначала деталь первого типа, а потом – второго. Найти вероятность того, что наугад взятые детали будут в необходимой последовательности.

4 В партии электроламп 25 % изготовлены заводом А, 35% – заводом Б, 40% – заводом В. Вероятности выпуска бракованных ламп соответственно равны: 0,01; 0,004; 0,005. Найдите вероятность того, что наугад выбранная лампочка будет стандартной.

5 В цехе три типа автоматических станков. Продуктивность их одинаковая, а качество – разное. Отличное качество станков соответственно равно: 0,95; 0,9; 0,85. Количество станков разных типов соответственно 5, 3, 2.

Взятое наугад изделие оказалось отличного качества. Найдите вероятность того, что это изделие принадлежит станку первого типа.

1 Бросили игральную кость. Чему равна вероятность того, что выпадет нечетное число очков?

2 Для сигнализации про аварию установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что во время аварии сработает первое устройство, равна 0,8; второе – 0,9; третье – 0,7. Найдите вероятность того, что во время аварии сработает: а) только одно устройство; б) хотя бы одно устройство.

3 В мешке находится 10 занумерованных кубиков. Наугад берут по одному четыре кубика. Найдите вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, 4, если их берут не возвращая.

4 На склад попадают детали с трех автоматов. Брак соответственно составляет 0,2 % ; 0,3 % ; 0,4 %. Найдите вероятность попадания на склад бракованной детали, если с первого автомата поступило 1500, со второго – 2000, с третьего – 2500 деталей.

5 В группе 10 стрелков. Для пяти из них вероятность попадания равна 0,8;

для трех – 0,5; для других – 0,25. Выстрел, сделанный одним из стрелков, дал попадание. Найдите вероятность того, что этот выстрел сделал стрелок из второй группы.

1 В урне 40 шаров: 10 красных, 12 синих, 18 белых. Найдите вероятность появления цветного шара.

2 Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найдите вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросили три бомбы, вероятности попадания которых в цель соответственно равны 0,8; 0,9 и 0,85.

3 Вероятность того, что первый спортсмен попадет в мишень во время одного выстрела, равна 0,9, для другого спортсмена – 0,8. Выполнено по одному выстрелу. Найдите вероятность одного попадания в мишень.

4 На двух автоматических станках изготавливаются одинаковые изделия.

Продуктивность первого станка вдвое больше, чем второго. Вероятности изготовления изделия высшего качества для 1-го и 2-го станков соответственно равны 0,8 и 0,95. Найдите вероятность того, что взятое наугад изделие будет высшего качества.

5 Третья часть одной из трех партий изделий второсортна, другие изделия во всех партиях первого сорта. Изделие, взятое из одной партии, оказалось первосортным. Найдите вероятность того, что изделие было взято из партии, которая содержала второсортные изделия.

1 Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 части. Вероятность попадания в первую часть равна 0,4, во вторую – 0,25. Найдите вероятность того, что стрелок попадет в 1 или 3 части мишени в предположении, что стрелок обязательно поражает мишень.

2 Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что на протяжении часа он будет обслуживать первый станок, равна 0,2, второй – 0,3, третий – 0,4.

Найдите вероятность того, что на протяжении часа рабочий будет обслуживать:

а) только 2 станка; б) хотя бы один станок.

3 В контейнере содержится 10 изделий, из них 7 стандартных. Найдите вероятность того, что наугад выбранные по очереди из контейнера три изделия будут стандартными.

4 На производстве работают три поточные линии. На каждой линии изготавливают соответственно 35%, 25%, 40% всех изделий. Стандартность изделия для каждой линии соответственно равна 93%, 94%, 95%. Найдите вероятность того, что наугад взятое изделие будет бракованным.

5 В группе 20 человек, из них 12 мальчиков и 8 девочек. Из мальчиков к семинару подготовились 5 человек, а из девочек – 6. Кого-то вызвали к доске и ответ был дан. Найдите вероятность того, что вызвали девочку.

1 Заочный факультет университета получает пакеты с контрольными работами из 3-х городов: А, В, С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,6, из города В – 0,3. Найдите вероятность того, что очередной пакет будет получен из города А или С.

2 Из трех пушек сделали залп по цели. Вероятности попадания в цель 1-й, 2-й, 3-й пушками соответственно равны 0,9; 0,7; 0,6. Найдите вероятность того, что попадут в цель: а) только 2 пушки; б) все 3 пушки.

3 Три станка работают независимо один от другого. Вероятность бесперебойной работи на протяжении смены для первого станка равна 0,9; для второго – 0,8; для третьего – 0,7. Найдите вероятность того, что на протяжении смены хотя бы один станок будет работать бесперебойно.

4 В пирамиде 6 винтовок, 4 из которых оснащены оптическим прицелом.

Вероятность того, что стрелок попадет в мишень из винтовки с прицелом, равна 0,9; без прицела – 0,8. Найдите вероятность того, что в мишень попадут из наугад взятой винтовки.

5 Число пассажирских суден, которые проплывают по реке вдоль навигационного знака, относится к числу грузовых суден, как 2 : 3. Вероятность того, что знак будет сбит пассажирским судном, равна 0,01; а грузовым – 0,03.

Судно проплыло и знак был сбит. Найдите вероятность того, что знак был сбит грузовым судном.

1 Вероятность того, что день в июне будет ясным, равна 0,75. Найдите вероятность того, что 1-го и 2-го июня будет пасмурно.

2 Студент знает 50 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Найдите вероятность того, что студент знает: а) только 2 вопроса; б) хотя бы один вопрос.

3 В читальном зале библиотеки 6 учебников по теории вероятностей, из которых 3 – в обложке. Библиотекарь наугад взял 2 учебника. Найдите вероятность того, что оба учебника в обложке.

4 20 % партии электроламп изготовлено на заводе А, 30 % – на заводе Б, 50% – на заводе В. Вероятности выпуска бракованных ламп соответственно равны 0,01; 0,005; 0,006. Найдите вероятность того, что наугад выбранная лампочка будет стандартной.

5 Сигнальные лампы для радиоапаратуры изготавливают на двух заводах.

Количество их относится как 7:3. Вероятности стандарта для 1-го и 2-го заводов соответственно равны 0,6; 0,8. Найдите вероятность того, что взятая наугад лампа изготовлена вторым заводом.

1 В ящике 10 деталей, из которых 5 – стандартных. Найдите вероятность того, что среди трех наугад взятых деталей хотя бы одна была стандартной.

2 Три стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,4; вторым – 0,5; третьим – 0,6.

Найдите вероятность того, что: а) только один из стрелков попадет в мишень;

б) хотя бы один попадет в мишень.

3 В урне 6 белых, 4 черных и 5 синих шаров. Испытание состоит в том, что наугад из урны берут шар, не возвращая его в урну. Найдите вероятность того, что при первом испытании появится белый шар, при втором – черный, при третьем – синий.

4 На производстве работают три поточные линии. На каждой линии изготавливают соответственно 30%; 25%; 45% всех изделий. Стандартность изделия для каждой линии соответственно равна 95 %; 96 %; 97 %. Найдите вероятность того, что наугад взятое изделие будет бракованным.

5 Число грузовиков, проезжающих по шоссе, на котором находится бензоколонка, относится к числу легковых машин, как 5:3. На заправку подъехала машина. Найдите вероятность того, что подъехал грузовик.

1 Вероятность того, что стрелок во время одного выстрела выбьет 10-ти очков, равна 0,1; для 9-ти очков – 0,3; для 8-ми и меньше очков равна 0,6.

Найдите вероятность того, что во время одного выстрела стрелок выбьет не меньше 9-ти очков.

2 Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Найдите вероятность того, что студент знает: а) только 2 вопроса; б) хотя бы один вопрос.

3 В ящике 10 деталей, из которых 4 – первого типа и 6 – второго. Для сборки агрегата необходимо взять сначала деталь первого типа, а потом – второго. Найдите вероятность того, что наугад взятые детали будут в необходимой последовательности.

4 В пирамиде 5 винтовок, 3 из которых оснащены оптическим прицелом.

Вероятность того, что стрелок попадет в мишень из винтовки с прицелом, равна 0,95; без прицела – 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена из наугад взятой винтовки.

5 На автозавод поступило соответственно 10, 6 и 4 двигателей от трех моторных заводов. Вероятности бесперебойной работы этих двигателей на протяжении гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Найдите вероятность того, что двигатель, работающий без дефекта, изготовлен на втором заводе.

1 События А, В, С, D образуют полную группу. Вероятности этих событий: Р(А) = 0,1, Р(В) = 0,4, Р(С) = 0,3. Найдите вероятность события D.

2 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,7; второе – 0,8; третье – 0,6. Найдите вероятность того, что во время аварии сработает: а) только два устройства; б) хотя бы одно устройство.

3 В ящике 10 деталей, из которых 7 – окрашены. Наугад выбирают детали. Найдите вероятность того, что все взятые детали окрашены.

4 На фабрике изготавливают изделия на трех поточных линиях. Изделия из каждой линии соответственно составляют: 45 %; 35 %; 20 %. Стандартность изделий на каждой линии соответственно равна 98 %; 96 %; 94 %. Найдите вероятность того, что наугад взятое изделие будет бракованным.

5 На производстве в трех цехах изготавливают замки. Количество замков, изготовленных в цехах, составляет соответственно 25 %; 35%; 40% всех изделий, а брак – 5%, 4%, 2 %. Наугад взятый замок оказался дефектным.

Найдите вероятность того, что этот замок изготовлен в третьем цехе.

1 В ящике 10 деталей, среди которых 2-е – нестандартные. Найдите вероятность того, что среди наугад отобранных 6-ти деталей будет не больше 1й нестандартной.

2 Студент знает 35 из 50 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Найдите вероятность того, что студент знает: а) только 2 вопроса; б) хотя бы один вопрос.

3 В ящике 10 деталей, из которых 6 – первого типа и 4 – второго. Для сборки агрегата необходимо взять сначала деталь первого типа, а потом – второго. Найдите вероятность того, что наугад взятые детали будут в необходимой последовательности.

4 Ящик содержит одинаковые изделия, 40 % из которых изготовлены первым автоматом, другие – вторым. Брак продукции соответственно составляет 3 %, 2 %. Найдите вероятность того, что наугад взятое изделие будет бракованным.

5 Трое рабочих изготавливают типовые изделия. Соответственно каждый изготавливает: 45; 30; 25 изделий. Вероятности брака рабочих: 0,03; 0,02; 0,01.

Взятое наугад изделие оказалось бракованным. Найдите вероятность того, что взятое изделие изготовил второй рабочий.

1 Согласно статистическим данным ремонтной мастерской в среднем на 20 остановок токарного станка 10 приходится для смены резьбы, 3 – из-за поломки привода, 2 – из-за несвоевременной подачи заготовок, остальные остановки – по другим причинам. Найдите вероятность остановки станка по другим причинам.

2 Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что на протяжении часа он будет обслуживать первый станок, равна 0,5; второй – 0,3; третий – 0,8.

Найдите вероятность того, что на протяжении часа рабочий будет обслуживать:

а) только два станка; б) хотя бы один станок.

3 Найдите вероятность того, что наугад взятое двузначное число будет кратно 3 или 8, или 3 и 8.

4 На производстве работают три поточные линии. На каждой линии изготавливают соответственно 30%; 25%; 45% всех изделий. Стандартность изделия для каждой линии соответственно равна 97 %; 98 %; 96 %. Найдите вероятность того, что наугад взятое изделие будет бракованным.

5 В две мастерские по ремонту обуви приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. Вероятности качественного ремонта для 1-й и 2-й мастерской соответственно равны 0,9; 0,85. Наугад взята пара обуви, которая отремонтирована качественно. Найдите вероятность того, что взятыми были туфли.

1 В ящике 10 деталей, из которых 5 – стандартных. Найдите вероятность того, что среди четырех наугад взятых деталей, хотя бы одна будет стандартной.

2 Для сигнализации про аварию установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что во время аварии сработает первое устройство, равна 0,7; второе – 0,9; третье – 0,6. Найдите вероятность того, что во время аварии сработает: а) только два устройства; б) хотя бы одно устройство.

3 На 30-ти карточках написаны 30 двузначных чисел от 1 до 30. Наугад берут одну карточку. Найдите вероятность того, что число на карточке будет кратным 3 или 4.

4 На двух автоматических станках изготавливают одинаковые изделия.

Продуктивность первого станка вдвое больше, чем второго. Вероятности изготавления изделия высшего качества для 1-го и 2-го станков соответственно равны 0,9 и 0,81. Найдите вероятность того, что взятое наугад изделие будет высшего качества.

5 На производстве работают 2 бригады рабочих: первая выпускает 0, продукции с процентом брака 4 %, вторая – 0,25 продукции с процентом брака 6%. Найдите вероятность того, что взятое наугад бракованное изделие было изготовлено второй бригадой.

1 В классе 25 учеников. Из них 10 мальчиков, а остальные – девочки.

Наугад по списку журнала выбирают 5 учеников. Какова вероятность того, что все они являются мальчиками или девочками?

2 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими производствами соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7. Найдите вероятность своевременного выполнения задания: а) только двумя производствами; б) хотя бы одним производством?

3 На 6-ти карточках написаны буквы М, А, М, А, Л, А. Наугад берут по очереди 4 карточки и раскладывают в ряд. Найдите вероятность того, что получится слово МАМА.

4 На склад поступают детали из трех автоматов. Брак соответственно составляет 0,1%; 0,2%; 0,3%. Найдите вероятность попадания на склад бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго – 2000, с третьего – 3000 деталей.

5 В стройотряде 70 % первокурсников и 30 % студентов второго курса.

Среди первокурсников 10 % девочек, а среди второкурсников – 5% девочек.

Все девочки по очереди дежурят на кухне. Найдите вероятность того, что в наугад выбранный день на кухне дежурит девочка.

1 Среди 14-ти электролампочек: 8 штук мощностью на 220В, а остальные по 127В. Наугад выбирают 4 лампочки. Какова вероятность того, что они все окажутся по 220В или по 127В?

2 Вероятность правильного оформления счета на производстве составляет 0,95. Во время аудиторской проверки были взяты 3 счета. Найдите вероятность того, что: а) только два из них оформлены правильно; б) хотя бы один из взятых счетов оформлен правильно.

3 В мешке находятся 10 пронумерованных кубиков. Наугад берут по одному три кубика. Найдите вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если их берут не возращая.

4 20 % партии электроламп изготовлено на заводе А, 30 % – на заводе Б, 50 % – В. Вероятности выпуска бракованных ламп соответственно равны 0,01;

0,005; 0,006. Найдите вероятность того, что наугад выбранная лампочка будет стандартной.

5 Ящик содержит 5 изделий завода А, среди которых одно бракованное, 10 изделий завода Б, среди которых два бракованных, 5 изделий завода В, среди которых два бракованных. Наугад взятое изделие оказалось бракованным.

Найдите вероятность того, что это изделие завода В.

1 Среди 16-ти однотипних телевизоров: 10 изготовлены на заводе А, а остальные – на заводе Б. Наугад из них выбирают 5 штук. Какова вероятность того, что они окажутся изготовленными на заводе А или на заводе Б?

2 В районе 100 сел. В 5-ти из них находятся пункты проката сельхозтехники. Случайным образом выбирают 3 села. Найдите вероятность того, что: а) только в двух из них находятся пункты проката; б) хотя бы в одном селе находится пункт проката.

3 Вероятность того, что первый спортсмен попадет в мишень во время одного выстрела, равна 0,7; для второго спортсмена – 0,8. Сделано по одному выстрелу. Найдите вероятность того, что мишень поражена один раз.

4 На фабрике изготавливают болты: первая машина выпускает 30%, вторая – 25%, третья – 45% всех болтов. Брак продукции составляет соответственно 2%; 1%; 3%. Найдите вероятность того, что наугад выбранный болт будет дефектным.

5 По команде выстрел может быть сделан любой из трех пушек.

Вероятности попадания пушек в цель соответственно равны 0,7; 0,8; 0,9. После выстрела мишень была поражена. Найдите вероятность того, что выстрел был сделан второй пушкой.

1 На четырех карточках написаны буквы А, Т, Е, М. Какова вероятность того, что после перемешивания карточек получится слово ТЕМА?

2 В городе находятся 15 продовольственных и 5 непродовольственных магазинов. Случайным образом для приватизации были отобраны 3 магазина.

Найдите вероятность того, что: а) все отобранные магазины являются непродовольственными; б) хотя бы один из отобранных магазинов является продовольственным?

3 В контейнере содержится 10 изделий, из них 6 стандартных. Найдите вероятность того, что наугад отобранные по очереди из контейнера четыре изделия, будут стандартными.

4 В вычислительной лаборатории находится 4 клавишных автомата и полу-автоматов. Вероятность того, что во время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95, для полуавтомата – 0,8. Наугад выбирается машина. Найдите вероятность того, что во время расчета выбранная машина не выйдет из строя.

5 Четыре станка изготавливают детали. Брак каждого станка соответственно составляет: 0,25%; 0,3%; 0,25%; 0,4%. Продуктивности станков относятся как 9: 3: 2: 1. На сборку поступила стандартная деталь. Найдите вероятность того, что эта деталь сделана на четвертом станке.

1 Задано множество целых чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из этого множества берут 4 числа по одному и раскладывают в ряд. Какова вероятность того, что при этом получено число 1945 или 1965?

2 Контролер проверяет изделия на соответствие стандарту. Вероятность того, что изделие является стандартным, равна 0,9. Найдите вероятность того, что из двух проверенных изделий: а)только одно является стандартным; б) хотя бы одно является стандартным.

3 В читальном зале библиотеки 8 учебников по теории вероятностей, из которых 5 – в обложке. Библиотекарь наугад взял 3 учебника. Найдите вероятность того, что все выбранные учебники являются учебниками в обложке.

4 В коробке находятся 60 ламп, изготовленные на заводе А и 40 – на заводе Б. Вероятность того, что лампа изготовлена на заводе А является стандартной, равна 0,95, для ламп, изготовленных на заводе Б – 0,85. Найдите вероятность того, что взятая наугад лампа будет стандартной.

5 Третья часть изделий одной из трех партий второсортна, другие изделия во всех партиях первосортные. Наугад взятые изделия из одной партии оказались первосортными. Найдите вероятность того, что изделие было взято из партии, которая содержала второсорные изделия.

1 На 10-ти карточках написаны буквы Т, Р, А, Н, С, Л, Я, Ц, И, Я. Наугад по одной берут 5 карточек и раскладывают в ряд. Какова вероятность того, что при этом получены слова РАЦИЯ или ТРАНС ?

2 Для сигнализации про аварию установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что во время аварии сработает первое устройство, равна 0,7, второе – 0,5, третье – 0,8. Найдите вероятность того, что во время аварии сработает: а) только два устройства; б) хотя бы одно устройство.

3 В урне 7 белых, 5 черных и 3 синих шара. Испытание состоит в том, что наугад из урны берут шар, не возвращая его в урну. Найдите вероятность того, что при первом испытании появится белый шар, при втором – черный, при третьем – синий.

4 В телевизийнном ателье 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок, соответственно равны: 0,8; 0,85; 0,9; 0,95.

Найдите вероятность того, что взятый наугад кинескоп выдержит гарантийный 5 На трех фабриках выпускают соответственно: 10%; 50%; 40% всех изделий. Брак среди фабрик составляет соответственно: 4%; 5%; 3%.

Выбранное наугад изделие оказалось бракованным. Найдите вероятность того, что это изделие изготовлено на второй фабрике.

1 Среди 10-ти однотипних электромоторов, которые поступили на склад, 7 соответствуют требованиям стандарта, а остальные – с погрешностями.

Наугад выбирают 3 электромотора. Какова вероятность того, что все они окажутся соответствующими или все несоответствующими требованиям стандарта во время эксплуатации?

2 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найдите вероятность своевременного выполнения задания: а) только двумя предприятиями; б) хотя бы одним предприятием.

3 В ящике 10 деталей, из которых 3 – первого типа и 7 – второго. Для сборки агрегата необходимо взять сначала деталь первого типа, а потом – второго. Найдите вероятность того, что наугад взятые детали будут в необходимой последовательности.

4 Первый ящик содержит 20 деталей, из которых 15 стандартных, второй – 30 деталей, из которых 24 стандартных, третий – 10 деталей, из которых — стандартных. Найдите вероятность того, что взятая наугад деталь из наугад выбранного ящика – стандартная.

5 С первого станка на сборку поступает 45%, со второго – 25%, с третьего – 5%, с четвертого – 25% всех деталей. Брак деталей среди станков соответственно составляет: 0,2%; 0,3%; 0,4%; 0,5%. На сборку поступила бракованная деталь. Найдите вероятность того, что она изготовлена третьим станком.

1 Три игральные кости бросают по одному разу. Какова вероятность того, что на трех гранях выпадут все одинаковые или все разные числа?

2 Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что на протяжении часа он будет обслуживать первый станок, равна 0,6; второй – 0,9; третий – 0,8.

Найдите вероятность того, что на протяжении часа рабочий будет обслуживать:

а) только два станка; б) хотя бы один станок.

3 В ящике 10 деталей, из которых 8 – окрашены. Наугад выбирают детали. Найдите вероятность того, что все взятые детали окрашены.

4 Сбощик получил 3 коробки деталей, изготовленных на заводе А и коробки деталей, изготовленных на заводе Б. Вероятность того, что деталь завода А стандартная, равна 0,8, а для завода Б – 0,9. Сбощик наугад взял деталь из наугад выбранной коробки. Найдите вероятность того, что взята стандартная деталь.

5 Имеем 10 урн, в девяти из которых находятся по два черных и два белых шара, а в одной – пять белых и один черный шар. Из наугад взятой урны достают белый шар. Найдите вероятность того, что шар взят из урны, которая содержит 5 белых и 1 черный шар.

1 Среди 13-ти деталей, которые содержатся в ящике, 8 – стандартных, а остальные – бракованные. Наугад берут 4 детали. Какова вероятность того, что взяты все стандартные детали или 2 стандартные и 2 бракованные?

2 Вероятность правильного оформления счета на предприятии составляет 0,9. Во время аудиторской проверки были взяты 3 счета. Найдите вероятность того, что: а) только 2 из них оформлены правильно; б) хотя бы один из взятых счетов оформлен правильно?

3 В ящике 10 деталей, из которых 3 – первого типа и 7 – второго. Для сборки агрегата необходимо взять сначала деталь первого типа, а потом – второго. Найдите вероятность того, что наугад взятые детали будут в необходимой последовательности.

4 В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна.

Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0,9, для велосипедиста – 0,8, для бегуна – 0,75. Найдите вероятность того, что спортсмен, выбранный наугад, выполнит норму.

5 Два автомата изготавливают детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятности получить бракованную деталь от 1-го и 2-го автоматов соответственно равны: 0,05; 0,08. Продуктивность первого автомата вдвое меньше продуктивности второго. Наугад взятая с конвейера деталь оказалась стандартной. Найдите вероятность того, что она изготовлена вторым автоматом.

1 Среди 10-ти водных насосов 3 имеют дефект. Наугад выбирают насоса. Какова вероятность того, что среди выбранных насосов 2 без дефекта и 2 – с дефектом, или 3 без дефекта и 1 – с дефектом.

2 Вероятность правильного оформления счета на предприятии составляет 0,95. Во время аудиторской проверки были взяты 3 счета. Найдите вероятность того, что: а) только 2 из них оформлены правильно; б) хотя бы один из взятых счетов оформлен правильно?

3 Найдите вероятность того, что наугад взятое двузначное число будет кратным 4 или 8, или 4 и 8.

4 Первая коробка содержит 20 радиоламп, из которых 18 – стандартных, вторая – 10 ламп, из которых 9 – стандартных. Из второй коробки наугад взята лампа и переложена в первую. Найдите вероятность того, что лампа, взятая наугад из первой коробки, будет стандартной.

5 Устройство состоит из двух узлов. Вероятность отказа узла соответственно равна 0,2; 0,3. При испытании устройство вышло из строя.

Найдите вероятность того, что отказал первый узел.

1 На каждые 20 изделий в среднем приходится 4 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 5-ти изделий 2 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 70 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

3 Вероятность появления события в каждом из 100 испытаниях равна 0,6.

Найдите вероятность того, что это событие появится от 55 до 70 раз.

1 На каждые 50 изделий в среднем приходится 5 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 5 изделий 3 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 80 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,3.

3 Вероятность появления события в каждом из 600 испытаниях равна 0,8.

Найдите вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не больше, чем на 0,04.

1 На каждые 20 изделий в среднем приходится 5 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 4-х изделий 2 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 160 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,35.

3 Завод отправил на базу 10000 качественных изделий. Вероятность повреждения каждого изделия в дороге равна 0,0001. Найдите вероятность того, что в дороге будет повреждено 2 изделия.

1 На каждые 25 изделий в среднем приходится 6 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 5-ти изделий 3 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 160 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,4.

3 Вероятность появления события в каждом из 500 испытаниях равна 0,7.

Найдите вероятность того, что это событие появится от 320 до 360 раз.

1 На каждые 15 изделий в среднем приходится 4 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 3-х изделий 2 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 120 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,35.

3 Вероятность появления события в каждом из 700 испытаниях равна 0,7.

Найдите вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не больше, чем на 0,03.

1 На каждые 20 изделий в среднем приходится 6 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 4-х изделий 1 – будет бракованным?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 220 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,4.

3 В автобусном парке 100 автобусов. Вероятность быть поломанным для каждого автобуса на протяжении дня равна 0,1. Найдите вероятность того, что на протяжении дня выйдут из строя 12 автобусов.

1 На каждые 30 изделий в среднем приходится 2 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 3-х изделий 2 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 270 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,45.

3 Вероятность появления события в каждом из 600 испытаниях равна 0,75. Найдите вероятность того, что это событие появится от 420 до 470 раз.

1 На каждые 16 изделий в среднем приходится 4 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 3-х изделий 2 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 85 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,4.

3 Вероятность появления события в каждом из 800 испытаниях равна 0,9.

Найдите вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не больше, чем на 0,02.

1 На каждые 18 изделий в среднем приходится 6 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 5-ти изделий 3 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 45 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.

3 В автобусном парке 200 автобусов. Вероятность быть поломанным на протяжении дня равна 0,03. Найдите вероятность того, что на протяжении дня выйдут из строя 2 автобуса.

1 На каждые 12 изделий в среднем приходится 5 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 4-х изделий 2 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 70 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,8.

3 Вероятность появления события в каждом из 1000 испытаний равна 0,85. Найдите вероятность того, что это событие появится от 820 до 880 раз.

1 На каждые 30 изделий в среднем приходится 10 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 5-ти изделий 3 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 570 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.

3 Вероятность появления события в каждом из 1000 испытаниях равна 0,8. Найдите вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не больше, чем на 0,04.

1 На каждые 20 изделий в среднем приходится 8 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 6 изделий 4 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 550 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,7.

3 Вероятность того, что какой-нибудь из 1000 абонентов позвонит на коммутатор, равна 0,01. Найдите вероятность того, что на протяжении часа позвонят 3 абонента.

1 На каждые 24 изделия в среднем приходится 8 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 5-ти изделий 3 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 700 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,7.

3 Вероятность появления события в каждом из 2000 испытаний равна 0,4.

Найдите вероятность того, что это событие появится от 770 до 820 раз.

1 На каждые 22 изделия в среднем приходится 6 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 4-х изделий 2 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 820 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,8.

3 Вероятность появления события в каждом из 1000 испытаниях равна 0,6. Найдите вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не больше, чем на 0,02.

1 На каждые 20 изделий в среднем приходится 5 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 3-х изделий 2 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 650 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,75.

3 Вероятность того, что какой-нибудь из 1000 абонентов позвонит на коммутатор, равна 0,02. Найдите вероятность того, что на протяжении часа позвонят 4 абонента.

1 На каждые 20 изделий в среднем приходится 5 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 4-х изделий 1 – будет бракованным?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 800 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,8.

3 Вероятность появления события в каждом из 1500 испытаний равна 0,6.

Найдите вероятность того, что это событие появится от 880 до 910 раз.

1 На каждые 16 изделий в среднем приходится 6 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 5-ти изделий 3 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 76 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,7.

3 Вероятность появления события в каждом из 1400 испытаниях равна 0,62. Найдите вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не больше, чем на 0,03.

1 На каждые 18 изделий в среднем приходится 5 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 4-х изделий 2 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 600 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,85.

3 Вероятность того, что какой-нибудь из 1000 абонентов позвонит на коммутатор, равна 0,04. Найдите вероятность того, что на протяжении часа позвонят 2 абонента.

1 На каждые 14 изделий в среднем приходится 4 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 3-х изделий 1 – будет бракованным?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 80 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,85.

3 Вероятность появления события в каждом из 1500 испытаний равна 0,8.

Найдите вероятность того, что это событие появится от 1180 до 1230 раз.

1 На каждые 10 изделий в среднем приходится 4 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 3-х изделий 2 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 620 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.

3 Вероятность появления события в каждом из 1300 испытаниях равна 0,64. Найдите вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не больше, чем на 0,02.

1 На каждые 16 изделий в среднем приходится 5 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 3-х изделий 2 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 580 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,75.

3 Вероятность того, что какой-нибудь из 2000 абонентов позвонит на коммутатор, равна 0,002. Найдите вероятность того, что на протяжении часа позвонят 3 абонента.

1 На каждые 20 изделий в среднем приходится 6 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 4-х изделий 3 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 87 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,1.

3 Вероятность появления события в каждом из 170 испытаний равна 0,4.

Найдите вероятность того, что это событие появится от 75 до 85 раз.

1 На каждые 26 изделий в среднем приходится 5 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 4-х изделий 2 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 1150 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,7.

3 Вероятность появления события в каждом из 1300 испытаниях равна 0,53. Найдите вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не больше, чем на 0,01.

1 На каждые 32 изделия в среднем приходится 8 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 5-ти изделий 3 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 560 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,65.

3 Вероятность того, что какой-нибудь из 1700 абонентов позвонит на коммутатор, равна 0,003. Найдите вероятность того, что на протяжении часа позвонят 2 абонента.

1 На каждые 34 изделия в среднем приходится 10 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 6-ти изделий 4 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 1250 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,65.

3 Вероятность появления события в каждом из 1000 испытаний равна 0,86. Найдите вероятность того, что это событие появится от 850 до 900 раз.

1 На каждые 30 изделий в среднем приходится 6 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 5-ти изделий 3 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 1250 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,73.

3 Вероятность появления события в каждом из 1400 испытаниях равна 0,63. Найдите вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не больше, чем на 0,02.

1 На каждые 25 изделий в среднем приходится 5 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 3-х изделий 2 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 750 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,85.

3 Вероятность того, что какой-нибудь из 2000 абонентов позвонит на коммутатор, равна 0,002. Найдите вероятность того, что на протяжении часа позвонят 3 абонента.

1 На каждые 24 изделий в среднем приходится 6 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 4-х изделий 3 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 850 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,85.

3 Вероятность появления события в каждом из 1750 испытаний равна 0,82. Найдите вероятность того, что это событие появится от 1400 до 1450 раз.

1 На каждые 28 изделий в среднем приходится 8 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 5-ти изделий 2 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 950 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,75.

3 Вероятность появления события в каждом из 1500 испытаниях равна 0,58. Найдите вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не больше, чем на 0,02.

1 На каждые 24 изделия в среднем приходится 6 – бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 3-х изделий 2 – будут бракованными?

2 Найдите вероятность того, що событие А произойдет 1450 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,75.

3 Вероятность того, что какой-нибудь из 1800 абонентов позвонит на коммутатор, равна 0,002. Найдите вероятность того, что на протяжении часа позвонят 3 абонента.

В партии 20% нестандартных деталей. Наугад берут 3 детали.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа появлений нестандартных деталей среди отобранных.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

В трех урнах содержится по 8 черных и 2 белых шара. Из каждой урны наугад берут по одному шару.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа появлений белых шаров среди отобранных.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

Вероятность того, что баскетболист попадет в корзину во время одного броска, равна 0,9. По корзине было сделано 3 броска:

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа попаданий баскетболистом по корзине.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

Вероятность того, что покупатель, который наведался в обувный магазин, совершит покупку, равна 0,7. В магазин пришло три покупателя.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа покупателей, которые сделали покупку в магазине.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

В партии из 7-ми деталей 4 – стандартные. Наугад отобраны 3 детали.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа появлений стандартных деталей среди выбранных.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

Устройство состоит из трех независимо работающих элементов.

Вероятность отказа каждого элемента в данном эксперименте равна 0,8.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа элементов, отказавших в данном эсперименте.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

Проведено 3 независимых испытания. Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,6.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа появлений события в трех испытаниях.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

Проверкой качества установлено, что из каждой сотни деталей 75 не имеют дефекта. Наугад берут 3 детали.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа пригодных деталей среди трех взятых.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

Проводится 3 независимых испытания, вероятность появления события в каждом испытании равна 2/3.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа возможных исходов появления события.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

В городе 3 оптовые базы. Вероятность того, что необходимый товар отсутствует на этих базах равна 0,2.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа баз, на которых товар отсутствует.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

Вероятность того, что в данный день рабочей недели на заводе не будет потрачено электроенергии выше нормы, равна 0,8.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа дней в неделю при 5 рабочих днях недели, в которых электроэнергия потрачена выше нормы.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Сделано выстрела.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа попаданий в цель.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

Вероятность приобретения в магазине необходимой студенту книги равна 0,3. В городе 3 магазина.

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа магазинов, которые посетил студент.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

Игральная кость брошена 3 раза.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выпавших шестерок.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

Вероятность рождения мальчика равна 0,515.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа мальчиков в семье, в которой трое детей.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

В денежной лотерее 50 билетов. Разыгрываются 2 выигрыша по гривень и один – 30 гривень.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца 1 билета.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

В партии 25 изделий, среди которых 6 – бракованных, наугад отобраны изделия.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа бракованных изделий среди выбранных.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

Вероятность попадания мяча в корзину при одном бросании равна 0,6.

Произведено 3 броска.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа попаданий мяча в корзину.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

На базу поступило 1000 приборов. Вероятность повреждения прибора в дороге равна 0,003.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа поврежденных приборов в дороге.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

Вероятность попадания в самолет при каждом выстреле из пушки равна 0,8. Сделано 3 выстрела.

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа попаданий в самолет.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

Среди 10-ти часов 6-ти – необходим ремонт. Наугад выбирают 3-е часов:

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа часов, которым необходим ремонт, среди отобранных.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

В партии из 10-ти изделий 8 – стандартных. Наугад выбирают 3 изделия.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа стандартных изделий среди отобранных.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

Вероятность попаданий в цель при одном выстреле из пушки равна 0,4.

Сделано 3 выстрела.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа попаданий из пушки при 3 выстрелах.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую десятую единицу товара приз размером в 1000 гривень. Сделано 3 покупки.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – размер выигрыша в результате сделанных покупок.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

Двум танкам необходимо преодолеть минное поле. Вероятность того, что первый танк преодолеет минное поле, равна 0,6, второй – 0,7.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа танков, преодолевших поле.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

На пути следования автомобиля 3 светофора, каждый из которых разрешает или запрещает дальнейшее движение с вероятностью 0,5.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

В некотором цехе брак составляет 10 % от всех изделий. Наугад берут изделия.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа бракованных изделий среди выбранных.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

На 20-ти приборах выпадает 6 – неточных. Наугад берут 3 прибора.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа точных приборов среди выбранных.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

Из 10-ти телевизоров, представленных на виставке, 4 оказались фирмы “Soni”. Наугад для осмотра взято 3 телевизора.

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа телевизоров фирмы “Soni” среди отобранных.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

Радиолокационная станция осуществляет наблюдение за тремя объектами, каждый из которых может быть утраченым с вероятностью 0,1.

Задание:

1 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа объектов, которые могут быть утраченными.

2 Постройте многоугольник распределения.

3 Найдите числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х).

4 Найдите интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

Задана плотность f(x) распределения случайной величины Х.

Найдите:

1 Коэффициент с.

2 Интегральную функцию распределения F(x).

3 Постройте графики функций f(x) и F(x).

4 Числовые характеристики M(X); D(X); (X).

2.6 Равномерное и нормальное распределения случайных величин 1 Дана плотность f(x) равномерно распределенной случайной величины Х (табл. 1).

Найдите:

а) интегральную функцию распределения F(x);

б) построить графики функций F(x), f(x);

в) числовые характеристики равномерного распределения M(X), D(X), (X).

Таблица 2 Непрерывная случайная величина распределена нормально. Ее математическое ожидание равно а, среднее квадратическое отклонение (табл. 2).

а) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (; );

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания не превысит ;

в) вероятность того, что X M ( X ), если известна дисперсия D(X).

Таблица Вариант

3 ВАРИАНТЫ ИТОГОВОГО ЗАДАНИЯ

3.1 Решить задачи, используя теорию случайных событий.

1 В конверте среди 100 фотографий находится одна, которую разыскивают. Из конверта наугад берут 10 фотографий. Найдите вероятность того, что среди них находится разыскиваемая.

2 Первая коробка содержит 30 радиоламп, из которых 12 стандартных, вторая – 20 ламп, из которых 15 – стандартных. Из второй коробки наугад взята лампа и переложена в первую. Найдите вероятность того, что лампа, взятая наугад из первой коробки, будет стандартной.

3 Найдите вероятность того, что событие А наступит 240 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,65.

4 Вероятность появления события в каждом из 200 испытаниях равна 0,7.

Найдите вероятность того, что это событие появится от 130 до 150 раз.

1 В партии из 15-ти деталей 8 – стандартных. Найдите вероятность того, что среди 6-ти взятых наугад деталей 4 будут стандартными.

2 В группе спортсменов: 25 лыжников, 10 велосипедистов, 15 бегунов.

Вероятность выполнения квалификационной нормы такова: для лыжника – 0,9;

для велосипедиста – 0,85; для бегуна – 0,7. Найдите вероятность того, что спортсмен, выбранный наугад, выполнит норму.

3 Найдите вероятность того, что событие А наступит 320 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.

4 Вероятность появления события в каждом из 800 независимых испытаний равна 0,9. Найдите вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от ее вероятности по абсолютной величине не больше, чем на 0,03.

1 В певенстве по футболу принимали участие 18 команд, из которых 5 – лидируют. Команды распределяются на 2-е группы по 9 команд. Какова вероятность попадания всех команд, которые лидируют, в одну группу?

2 Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных на заводе А и коробки деталей на заводе Б. Вероятность того, что деталь завода А стандартная равна 0,7; а завода Б – 0,9. Сборщик наугад взял деталь из наугад выбранной коробки. Найдите вероятность того, что взята стандартная деталь.

3 Найдите вероятность того, что событие А наступит 250 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,55.

4 Завод отправил на базу 1500 качественных изделий. Вероятность повреждения каждого изделия в дороге равна 0,001. Найдите вероятность того, что в дороге будет повреждено 3 изделия.

1 Наугад взятый телефонный номер состоит из 5-ти цифр. Какова вероятность того, что в номере все цифры разные?

2 Два автомата изготавливают одинаковые детали. Продуктивность первого автомата вдвое больше второго. Вероятности изготовления деталей отличного качества для 1-го и 2-го автоматов соответственно равны 0,7; 0,8.

Взятая наугад деталь оказалась отличного качества. Найдите вероятность того, что эта деталь сделана первым автоматом.

3 Найдите вероятность того, что событие А наступит 220 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,7.

4 Вероятность появления события в каждом из 400 испытаниях равна 0,8.

Найдите вероятность того, что это событие появится от 300 до 310 раз.

1 На полке 25 учебников, из которых 5 по теории вероятностей. Студент наугад берет 2 учебника. Найдите вероятность того, что они по теории вероятностей.

2 В телевизионном ателье 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок, соответственно равны: 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найдите вероятность того, что взятый наугад кинескоп выдержит гарантийный срок.

3 Найдите вероятность того, що событие А наступит 470 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,75.

4 Вероятность появления события в каждом из 750 независимых испытаниях равна 0,8. Найдите вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от ее вероятности по абсолютной величине не больше, чем на 0,02.

1 Трехзначное число образовано неповторяющимися цифрами из цифр 1, 2, 3, 4, 5. Найдите вероятность того, що это число четное.

2 Найдите вероятность того, что наугад взятое двузначное число будет кратным 3 или 7, или 3 и 7.

3 На каждые 24 изделия партии приходится 6 бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 4 изделий 2 будут бракованными?

4 Найдите вероятность того, что событие А наступит 300 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.

1 Задумано двузначное число, цифры которого разные. Найдите вероятность того, что задуманным числом окажется случайно названное двузначное число.

2 Некоторое изделие выпускается двумя заводами, причем второй завод выпускает изделий в 4 раза больше первого. Вероятности брака для 1-го и 2-го заводов соответсвенно равны 0,02; 0,01. Найдите вероятность того, что приобретенное бракованное изделие изготовлено на втором заводе.

3 На каждые 30 изделий партии приходится 6 бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 5 изделий 2 будут бракованными.

4 Найдите вероятность того, что событие А наступит 500 раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,65.

1 При перевозке ящика, в котором находились 21 стандартное и нестандартных изделий, потеряли одно изделие, причем неизвестно какое.

Наугад взятое из ящика изделие оказалось стандартным. Найдите вероятность того, что потеряли стандартное изделие.

2 На производстве изготавливают изделия на трех поточных линиях.

Количество изделий каждой линии соответственно составляет 35 %, 20 %, 45%.

Процент стандартных изделий для каждой линии соответственно равен 0,96;

0,97; 0,98. Найдите вероятность того, что взятое наугад стандартное изделие изготовлено на третьей линии.

3 Найдите вероятность того, что событие А наступит 1100 раз в испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,7.

4 Вероятность появления события в каждом из 1000 независимых испытаниях равна 0,8. Найдите вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от ее вероятности по абсолютной величине не больше, чем на 0,03.

1 В ящике находится 100 деталей, среди них 10 – бракованных. Наугад берут 4 детали. Найдите вероятность того, что среди взятых деталей будут стандартные.

2 В цехе три типа автоматических станков. Продуктивность их одинаковая, а качество разное. Вероятности изготовления изделий отличного качества станками 1-г, 2-го и 3-го типов соответственно равны 0,8; 0,9; 0,85.

Количество станков каждого типа соответсвенно равно: 5, 3, 2. Взятое наугад изделие оказалось отличного качества. Найдите вероятность того, что это изделие выпущено со станка 1-го типа.

3 На каждые 30 изделий партии приходится 6 бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 10-ти изделий 4 будут бракованными?

4 Найдите вероятность того, что событие А наступит 550 раз в испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,7.

1 Игральная кость брошена дважды. Найдите вероятность того, что оба раза появится одинаковое число очков.

2 На сборку попадают детали с трех автоматов. Брак соответственно составляет 0,2%, 0,3%, 0,4%. Найдите вероятность попадания на сборку бракованной детали, если из 1-го автомата поступило 1600, со 2-го – 2000, с 3-го – 2400 деталей.

3 На каждые 20 изделий партии приходится 5 бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 4 изделий 3 будут бракованными?

4 Найдите вероятность того, что событие А наступит 700 раз в испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,8.

1 В группе 25 студентов, среди которых 6 отличников. Наугад отбирают 10 студентов. Найдите вероятность того, что среди них будут 5 отличников.

2 На двух автоматических станках изготавливаются одинаковые изделия.

Продуктивность первого станка вдвое больше, чем второго. Вероятности изготовления изделия высшего качества для 1-го и 2-го станков соответственно равны 0,75 и 0,9. Найдите вероятность того, что взятое наугад изделие будет высшего качества.

3 На каждые 30 изделий партии приходится 6 бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 4 изделий 3 будут бракованными?

4 Найдите вероятность того, что событие А наступит 1350 раз в испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,7.

1 В коробке 10 одинаковых изделий, среди которых 7 окрашенных.

Наугад берут 5 изделий. Найдите вероятность того, что среди них окрашенные.

2 В группе 30 человек, из них 12 мальчиков и 18 девочек. Из мальчиков к семинару подготовились 8 человек, а из девочек – 12. Кого-то вызвали к доске и ответ был дан. Найдите вероятность того, что была вызвана девочка.

3 На каждые 20 изделий партии приходится 4 бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 3 изделий 2 будут бракованными?

4 Найдите вероятность того, что событие А наступит 450 раз в испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,7.

1 Сборы, на которых присутствовали 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирают делегацию из 3 человек. Найдите вероятность того, что в делегацию ввойдут 2 женщины и 1 мужчина.

2 Три станка работают независимо один от другого. Вероятность бесперебойной работы на протяжении смены для первого станка равна 0,6, для второго – 0,8, для третьего – 0,7. Найдите вероятность того, что на протяжении смены только один станок работает бесперебойно.

3 На каждые 32 изделия партии приходится 8 бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 5 изделий 2 будут бракованными?

4 Найдите вероятность того, что событие А наступит 820 раз в испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,8.

1 В лотерее 100 билетов, из которых 25 выигрышных. Найдите вероятность того, что каждый из двух полученных билетов будет выигрышным.

2 Студент знает 40 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Найдите вероятность того, что студент знает хотя бы один вопрос.

3 Найдите вероятность того, что событие А наступит 720 раз в испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,7.

4 Вероятность появления события в каждом из 1000 независимых испытаниях равна 0,8. Найдите вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от ее вероятности по абсолютной величине не больше, чем на 0,03.

1 На тепловой электростанции 15 сменных инженеров, из которых женщины. В смену занято 3 инженера. Найдите вероятность того, что в наугад отобранную смену попадут 2-е мужчин.

2 В урне 6 белых, 4 черных и 10 синих шаров. Испытание состоит в том, що наугад из урны берут шар, не возвращая его в урну. Найдите вероятность того, что при первом испытании появился белый шар, при втором – черный, при третьем – синий.

3 На каждые 25 изделий партии приходится 5 бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 4 изделий 2 будут бракованными?

4 Найдите вероятность того, что событие А наступит 770 раз в испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,85.

1 На пяти карточках написаны буквы А, З, Е, Т, Ч. После перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Найдите вероятность того, что будет получено слово ЗАЧЕТ.

2 В пирамиде 15 винтовок, 5 из которых оснащены оптическим прицелом.