Главная >> Методички

Pages: |

| 2 | 3 |

«С.И. Кузнецов КУРС ФИЗИКИ С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА 3-е издание, переработанное, дополненное Под редакцией профессора Ларионова В.В. Допущено Научно-методическим Советом по физике ...»

-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

С.И. Кузнецов

КУРС ФИЗИКИ

С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА.

ТЕРМОДИНАМИКА

3-е издание, переработанное, дополненное Под редакцией профессора Ларионова В.В.

Допущено Научно-методическим Советом по физике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по техническим направлениям подготовки и специальностям Издательство Томского политехнического университета УДК 53(075.8) ББК 22.3я Кузнецов С. И.

К 891 Курс физики с примерами решения задач. Молекулярная физика. Термодинамика: учебное пособие / С.И. Кузнецов; под ред. В.В. Ларионова. – 3 изд. перераб., доп. – Томск: Изд-во ТПУ, 2011. – 177 с.

В учебном пособии рассмотрены основные вопросы молекулярнокинетической теории вещества и термодинамики. Особое внимание уделено раскрытию физического смысла основных законов, явлений и понятий. Показано, что закономерности и соотношения между физическими величинами, к которым приводит молекулярная физика и термодинамика, имеют универсальный характер.

В пособии учитываются наиболее важные достижения в современной науке и технике, уделяется большое внимание физике различных природных явлений. Кроме того пособие ориентировано на организацию самостоятельной работы студентов. Анализируется решение многих физических задач и приводятся задачи для самостоятельного решения и ответы к ним.

Пособие подготовлено на кафедре общей физики ТПУ, по программе курса физики высших технических учебных заведений. Соответствует инновационной политике ТПУ и направлено на активизацию научного мышления и познавательной деятельности студентов.

Предназначено для межвузовского использования студентами технических специальностей очной и дистанционной форм обучения.

УДК 53(075.8) ББК 22.3я Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета Рецензенты Профессор, д.ф.-м.н. зав.кафедрой теоретической физики ТГУ А.В. Шаповалов Профессор, д.ф.-м.н. зав.кафедрой общей информатики ТГПУ А.Г. Парфенов © ГОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский политехнический университет», © Кузнецов С.И., © Оформление. Издательство Томского политехничсекого университета,

3.4. Вывод закона Ньютона для силы вязкого трения*.......... 3.5. Теплопроводность газов. Вывод закона Фурье* ............. 3.6. Коэффициенты переноса и их зависимость от давления 3.7. Понятие о вакууме

Контрольные вопросы. Упражнения

Примеры решения задач

Задачи для самостоятельного решения

Глава 4. Первое начало термодинамики. Внутренняя энергия.

Работа и теплота

4.1. Внутренняя энергия. Работа и теплота

4.2. Тепломкость идеального газа

4.3. Вывод уравнения Майера*

4.4. Закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы

4.5. Тепломкости одноатомных и многоатомных газов...... 4.6. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам идеальных газов

Контрольные вопросы. Упражнения

Примеры решения задач

Задачи для самостоятельного решения

Глава 5. Круговые процессы. Тепловые машины

5.1. Круговые обратимые и необратимые процессы.............. 5.2. Тепловые машины

5.3. Цикл Карно

5.4. Работа и КПД цикла Карно

5.5. Необратимый цикл. Холодильная машина

5.6. Циклы Отто, Дизеля и Стирлинга

Контрольные вопросы. Упражнения

Примеры решения задач

Задачи для самостоятельного решения

6.1. Приведенная теплота. Энтропия

6.2. Изменение энтропии в изопроцессах

6.3. Поведение энтропии в процессах изменения агрегатного состояния*

6.4. Второе начало термодинамики

6.5. Свободная и связанная энергии

6.6. Статистический смысл энтропии

6.7. Третье начало термодинамики

Контрольные вопросы

Примеры решения задач

Задачи для самостоятельного решения

Глава 7. Термодинамические свойства реальных газов............... 7.1. Реальные газы

7.2. Силы межмолекулярного взаимодействия

7.3. Качественный анализ уравнения Ван-дер-Ваальса*...... 7.4. Изотермы реальных газов. Фазовые переходы.............. 7.5. Внутренняя энергия газа Ван-дер-Ваальса

7.6. Процесс Джоуля – Томсона. Сжижение газов*.............. Контрольные вопросы. Упражнения

Примеры решения задач

Задачи для самостоятельного решения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ

ГЛОССАРИЙ

ПЕРСОНАЛИИ

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРЕДИСЛОВИЕ

В связи с повышением требований на рынке образовательных услуг и инновационным характером преобразований в российском высшем образовании особое значение приобретает научно-методическое обеспечение аудиторной и самостоятельной работы студентов с внедрением современных технологий в обучение. Возникает необходимость в создании учебников нового поколения. Эти учебники должны быть ориентированы на организацию самостоятельной работы и активизацию познавательной деятельности студентов.

Задачей общей физики является, не вдаваясь глубоко в подробности рассматриваемых теорий и не увлекаясь математикой, дать общее представление о физической картине мира, установить действующие в нем законы, изучить основные методы физических исследований и обозначить области применения этих законов и методов.

Цель книги – помочь студентам освоить материал программы, научиться активно применять теоретические основы физики как рабочий аппарат, позволяющий решать конкретные задачи и приобрести уверенность в самостоятельной работе.

В пособии рассмотрены классические формулировки законов идеальных газов, изложена кинетическая теория равновесного идеального газа, обсуждены явления переноса в газах. Далее, определены границы классических представлений и рассмотрены основные положения феноменологической термодинамики. Проанализированы круговые процессы, дано определение энтропии, е термодинамический и статистический смысл. Описано поведение энтропии в процессах изменения агрегатного состояния вещества. Приведена классическая теория тепломкостей и е трудности, заключающиеся в ограниченной пригодности закона равномерного распределения энергии по степеням свободы. Показано, что в квантовой теории теплоемкости все эти трудности преодолены. Рассмотрены свойства реальных газов и способы сжижения газов.

Показано, что закономерности и соотношения между физическими величинами, к которым приводит молекулярная физика и термодинамика, имеют универсальный характер. При этом:

содержание теоретического материала охватывает все темы раздела Молекулярная физика и термодинамика, изучаемые в технических учитываются наиболее важные достижения в развитии современной науки и техники;

уделяется большое внимание физике различных явлений природы;

анализируются решения большого количества физических задач, связанных с повышением ресурсоэффекутивности.

приводятся задачи для самостоятельного решения и ответы к ним.

По способу представления изучаемого материала предлагаемый курс физики можно назвать двухуровневым. Главы и разделы, содержащие материал повышенной сложности, отмечены звездочкой (*).

Студент, имеющий желание получить хорошую оценку на экзамене, должен освоить материал, как первого, так и второго уровня сложности.

Небольшой объем учебного пособия достигнут путем тщательного отбора и лаконичного изложения материала. Ввиду краткости курса устранены излишние разъяснения, повторения и промежуточные выкладки.

В пособии приведено большое количество рисунков, схем, графиков и гистограмм, способствующих лучшему восприятию прочитанного материала.

Пособие разработано в соответствии с действующей программой курса общей физики и предназначено для студентов, обучающихся по направлениям и специальностям технических наук, техники и технологии.

Подготовлено на кафедре общей физики ТПУ и соответствует программе курса физики высших технических учебных заведений.

Предназначено для межвузовского использования студентами технических специальностей, изучающими курс физики по очной и дистанционной программам образования в течение трех семестров.

За помощь в подготовке пособия и целый ряд полезных советов автор благодарен профессорам кафедры общей физики ТПУ: Ю.И. Тюрину, И.П. Чернову, Ю.Ю. Крючкову; доцентам Л.И. Семкиной, Н.Д.

Толмачевой, Э.В. Поздеевой. Особая признательность за редактирование пособия профессору В.А. Ларионову.

Ознакомиться с работами автора можно на сайте преподавателя http://portal.tpu.ru/SHARED/s/SMIT, в Web course tools ТПУ и в электронном читальном зале НТБ ТПУ http://www.lib.tpu.ru.

Автор с благодарностью примет все замечания и пожелания читателей, способствующие улучшению курса по адресу [email protected].

Заставить человека думать – это значит сделать для него значительно больше, чем снабдить его определенным количеством инструкций.

КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ КНИГОЙ

Порядок изложения в книге – систематический, но это не значит, что читатель обязан читать е подряд – страницу за страницей, главу за главой. Главы в значительной степени независимы одна от другой и представляют собой самостоятельные дидактические единицы. Часто начало раздела покажется легкодоступным, но потом дорога постепенно пойдет вверх, становясь круче в конце главы и в дополнениях к ней. Поэтому читатель, нуждающийся скорее в общей информации, чем в приобретении специальных знаний, поступит правильно, если удовлетворится таким отбором материала, который может быть осуществлен по принципу избегания более детализированных рассмотрений.

Курсивом выделены основные определения и теоремы, которые необходимо запомнить. Жирным курсивом отмечены законы, новые термины и основные понятия, на которые необходимо обратить особое внимание. Для обозначения векторных величин на рисунках и в тексте используется прямой шрифт со стрелкой.

Материал курса подобран и структурирован таким образом, чтобы облегчить самостоятельную работу студентов. Лучшему усвоению материала способствуют:

четкость и корректность определений и формулировок;

большое количество рисунков, дающих возможность наглядно представить физическую сущность процесса;

однотипность оформления задач;

проведение сопоставительного анализа различных процессов в рамках единого естественнонаучного представления.

Каждый из разделов начинается с изложения теоретическомго материала. Подача некоторых вопросов отличается от принятого в учебниках, чтобы избежать излишних математических выкладок при выводе формул. После прочтения теории следует проверить понимание и запоминание определений основных физических понятий и величин, понимания физического смысла формулировок и законов. Для этого в книге приведено большое количество вопросов и упражнений. Изучение каждого раздела курса физики рекомендуется завершить решением задач. В пособии рассмотрены примеры решения задач, после тщательной проработки которых можно приступать к самостоятельному решению задач. Все задачи, предлогаемые для самостоятельной работы, снабжены ответами, как в общем виде, так и в числовом.

Многие задачи предназначены, по существу, для углубления основного материала и даже порой частично заменяют длинные количественные выводы, не приводившиеся в тексте главы.

Большинство вопросов и задач не носит чисто формального характера; более трудные отмечены звездочкой. Не надо слишком огорчаться, если вы не сумеете выполнить некоторые из них. Дополнительное собрание задач могло бы облегчить использование пособия при самоподготовке и на практических занятиях.

Примеры решений не имеют цели научить решению задач: научить нельзя – можно только научиться. Но для этого существует единственный путь – самостоятельное решение большого числа задач. Примеры решения типовых задач выполняют другую роль: они показывают последовательность физических рассуждений, применимость того или иного физического закона к данной задаче. Решение задач приводится в общем виде. Вычисления и проверка единиц измерений ради экономии места в ряде примеров опускаются.

Для удобства работы с данным пособием в приложении приведены фундаментальные физические константы, таблицы физических величин, некоторые справочные данные и сведения о размерностях физических величин. Более точные значения физических постоянных и таблицы физических величин приведены в справочнике «Фундаментальные константы. Таблицы физических величин», размещенном в электронном читальном зале НТБ ТПУ http://www.lib.tpu.ru/fulltext2/m/2010/m99.pdf.

Для настоящего курса физики реализовано его мультимедийное сопровождение и создан электронный учебник, размещенный на сайте преподавателя, Web course tools ТПУ и в электронном читальном зале НТБ ТПУ http://www.lib.tpu.ru.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

1. Внимательно прочитайте условия задачи. Сделайте сокращенную запись данных и искомых физических величин, предварительно представив их в интернациональной системе единиц (СИ).

СИ состоит из основных, дополнительных и производных единиц.

Основными единицами являются: единица длины – метр (м); массы – килограммы (кг); времени – секунда (с); силы электрического тока – ампер (А); термодинамической температуры – кельвин (К); количества вещества – моль (моль); силы света – кандела (кд).

Дополнительные единицы: единица плоского угла – радиан (рад);

единица телесного угла – стерадиан (ср).

Производные единицы устанавливаются через другие единицы данной системы на основании физических законов, выражающих взаимосвязь между соответствующими величинами.

В условиях и при решении задач часто используются множители и приставки СИ для образования десятичных и дольных единиц (см. Приложение).

2. Вникните в смысл задачи. Представьте физическое явление, о котором идет речь; введите упрощающие предположения, которые можно сделать при решении. Для этого необходимо использовать такие абстракции, как материальная точка, абсолютно твердое тело, луч света.

3. Если позволяет условие задачи, выполните схематический чертеж.

4. С помощью физических законов установите количественные связи между заданными и искомыми величинами, то есть составьте замкнутую систему уравнений, в которой число уравнений равнялось бы числу неизвестных.

5. Найдите решение полученной системы уравнений в виде алгоритма, отвечающего на вопрос задачи.

6. Проверьте правильность полученного решения, используя правило размерностей.

7. Подставьте в полученную формулу численные значения физических величин и проведете вычисления. Обратите внимание на точность численного ответа, которая не может быть больше точности исходных величин.

ВВЕДЕНИЕ

Молекулярная физика – раздел физики, изучающий свойства тел в зависимости от характера движения и взаимодействия частиц, образующих тело.

Термодинамика анализирует условия и количественные соотношения превращения энергии.

Эти разделы физики взаимно дополняют друг друга и, как можно понять из определений, отличаются различным подходом к изучаемым явлениям.

Исторически раньше сложилась термодинамика, или общая теория теплоты, как теоретическая база для разработки тепловых машин. Термодинамика является феноменологической наукой. Она не вводит никаких конкретных представлений и специальных гипотез о строении вещества и физической природы теплоты. Ее выводы основаны на общих принципах, или началах, являющихся обобщением опытных фактов.

Термодинамика – термин, не совсем точно соответствующий сути.

Точнее было бы название термостатика, так как ни в одно уравнение термодинамически равновесных процессов не входит время.

Молекулярная физика, напротив, исходит из представления об атомно-молекулярном строении вещества и рассматривает теплоту как беспорядочное движение атомов и молекул. Гениальную догадку об атомном строении вещества высказал еще греческий философ Демокрит1 (460 – 370 до н. э.).

Молекулярная физика, или молекулярно-кинетическая теория строения вещества, как наука начала развиваться в XIX веке. Фундаментом для этой науки послужили работы Р. Клаузиуса2 и Дж. Максвелла3 Эта наука базируется на законах классической механики. Однако, число молекул в любом теле невероятно велико: в газах ~1025 м–3, в жидкостях и твердых телах ~1028 м–3. Понятно, что невозможно написать столько уравнений движения этих молекул. Поэтому приходится прибегать к помощи статистического метода, основанного на законах вероятности и математической статистики. Дело в том, что в совокупном движении огромного числа частиц, координаты и скорости которых в любой момент случайны, появляются определенные (статистические) закономерности. Таким образом, молекулярная физика рассматривает поведение частиц в совокупности (статистически).

Термодинамика возникла в XVIII веке как теоретическая основа начавшей развиваться теплотехники. Е первоначальная задача – изучение закономерностей превращения тепла в работу (в тепловых машинах). Важнейшее значение для термодинамики и всего естествознания имело открытие немецкими учеными Ю.Р. Майером4, Г. Гельмгольцем5 и английским физиком Дж. Джоулем6 закона сохранения энергии, связывавшего воедино все явления живой и неживой природы. В середине XIX века, опытным путем была доказана эквивалентность количества теплоты и работы и установлено, что теплота представляет особую форму энергии. Закон сохранения энергии стал основным законом теории тепловых явлений и получил название первого начала термодинамики. Очень большой вклад в термодинамику внес знаменитый французский физик Сади Карно7, который стремился построить наилучшую и наиболее экономичную тепловую машину. С. Карно открыл соотношение общего типа – второе начало термодинамики. Основным содержанием современной физической термодинамики является изучение закономерностей тепловой формы движения материи и связанных с ней физических явлений.

Тепловая форма движения материи – это хаотическое движение атомов и молекул в макроскопических телах.

О тепловом движении можно говорить только в тех случаях, когда рассматриваемая система является макроскопической, то есть состоит из огромного числа атомов и молекул. Не имеет смысла говорить о тепловом движении, когда система состоит из одного или нескольких атомов.

Особое положение термодинамики связано с тем, что любая форма энергии при ее превращениях в конце концов переходит в тепловую форму: электрическая, механическая, химическая энергии становятся в конце концов тепловыми энергиями.

Отсюда становится ясно видна практическая важность фундаментальных физических исследований и особенно исследований в области современной термодинамики. Достижение нового экспериментального и теоретического понимания физических процессов и явлений послужит основой создания новейших технических решений, технологий, приборов и устройств.

Изучать что-либо и не задумываться над выученным – абсолютно бесполезно. Задумываться над чемлибо, не изучив предмет раздумий, – опасно.

Глава 1. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 1.1. Основные понятия и определения молекулярной Совокупность тел, составляющих макроскопическую систему, называется термодинамической системой.

Система может находиться в различных состояниях. Величины, характеризующие состояние системы, называются параметрами состояния: давление P, температура T, объм V и так далее. Связь между P, T, V специфична для каждого тела и называется уравнением состояния.

Любой параметр, имеющий определнное значение для каждого равновесного состояния, является функцией состояния системы.

Равновесной называется такая система, параметры состояния которой одинаковы во всех точках системы и не изменяются со временем (при неизменных внешних условиях). При этом в равновесии находятся отдельные, макроскопические части системы.

Термодинамическое равновесие существенно отличается от механического тем, что, хотя параметры системы остаются неизменными, частицы, из которых состоит система, находятся в непрерывном движении.

Например, рассмотрим газ, равномерно распределенный по всему объему. При огромном числе молекул, некоторые из них отклоняются от равномерного распределения. Параметры состояния не остаются строго постоянными, а испытывают небольшие колебания внутри своих равновесных состояний. Такие колебания называются флуктуациями.

Процесс – переход из одного равновесного состояния в другое.

Релаксация – возвращение системы в равновесное состояние. Если система выведена из состояния равновесия и предоставлена самой себе, т.

е. не подвержена внешним воздействиям, то в течение достаточно большого промежутка времени самопроизвольно происходит процесс перехода к равновесному состоянию. Время перехода – время релаксации.

Если равновесие установилось, то система самопроизвольно не сможет выйти из него. Например, если опустить горячий камень в холодную воду, то через некоторое время наступит равновесное состояние: температуры выровняются. Но обратный процесс невозможен – температура камня самопроизвольно не увеличится.

Атомная единица массы (а. е. м.) – единица массы, равная 1/ массы изотопа углерода 12С – mC:

Атомная масса химического элемента (атомный вес) А есть отношение массы атома этого элемента mA к 1/12 массы изотопа углерода С12 (атомная масса – безразмерная величина).

Молекулярная масса (молекулярный вес) Отсюда можно найти массу атома и молекулы в килограммах:

Моль – это стандартизированное количество любого вещества, находящегося в газообразном, жидком или твердом состоянии.

1 моль – количество грамм вещества, равное его молекулярной массе.

Количество вещества, масса которого, выраженная в килограммах, равна его молекулярному весу, называется киломолем :

Авогадро Амедео (1776–1856) – итальянский физик и химик. Основные физические работы посвящены молекулярной физике. Уже первыми своими исследованиями в этой области заложил основы молекулярной теории, выдвинув молекулярную гипотезу. Открыл важный для химии и физики закон, по которому в равных объемах различных газов при одинаковых условиях содержится одинаковое количество молекул (закон Авогадро). Исходя из этого закона, разработал метод определения молекулярного и атомного веса.

В 1811 г. Авогадро высказал предположение, что число частиц в киломоле любого вещества постоянно и равно величине, названной впоследствии числом Авогадро:

Молярная масса – масса одного моля (µ): Amед N A.

При одинаковых температурах и давлениях все газы содержат в единице объма одинаковое число молекул. Число молекул идеального газа, содержащихся в 1 м3 при нормальных условиях, называется числом Лошмидта8:

Нормальные условия: P0 = 105 Па; Т0 = 273 К Под идеальным газом мы будем понимать газ, для которого:

радиус взаимодействия двух молекул много меньше среднего расстояния между ними (взаимодействуют только при столкновении);

столкновения молекул между собой и со стенками сосуда – абсолютно упругие (выполняются законы сохранения энергии и импульса);

объем всех молекул газа много меньше объема, занятого газом.

Следует помнить, что классические представления в молекулярнокинетической теории и термодинамике, как и вообще в микромире, не объясняют некоторые явления и свойства. Здесь, как и в механике, условием применимости классических законов является выполнение неравенства где m – масса, – скорость, R – размер пространства движения частицы,, h 6,63 10 34 Дж с – постоянная Планка9. В противном случае используются квантово-механические представления.

1.2. Давление. Основное уравнение молекулярнокинетической теории Рассмотрим подробнее, что представляет собой один из основных параметров состояния – давление P. Ещ в XVIII веке Даниил Бернулли10 предположил, что давление газа есть следствие столкновения газовых молекул со стенками сосуда. Именно давление чаще всего является единственным сигналом присутствия газа.

Итак, находящиеся под давлением газ или жидкость действуют с некоторой силой на любую поверхность, ограничивающую их объем. В этом случае сила F действует по нормали к ограничивающей объем поверхности S. Давление на поверхность равно Можно также говорить о давлении внутри газа или жидкости. Его можно измерить, помещая в газ или жидкость небольшой куб с тонкими стенками, наполненный той же средой.

Поскольку среда покоится, на каждую грань куба со стороны среды действует одна и та же сила F. В окрестности куба давление равно F/S, где S – площадь грани куба. Из этого следует, что внутреннее давление является одним и тем же во всех направлениях и во всем объеме, независимо от формы сосуда. Этот результат называется законом Паскаля11: если к некоторой части поверхности, ограничивающей газ или жидкость, приложено давление P, то оно одинаково передается любой части этой поверхности.

Одним из примеров использования закона Паскаля является гидравлический домкрат (рис. 1.1), принцип действия которого разобран в задаче 1.2.

Рис. 1.1. Гидравлический домкрат и его внешний вид Гидравлический пресс, создающий давление 160 МПа, сжимает металлический контейнер с мусором объемом 250 л в течение нескольких секунд в диск толщиной 20 см.

Вычислим давление, оказываемое газом на одну из стенок сосуда (рис. 1.2).

Обозначим: n – концентрация молекул в сосуде; m – масса одной молекулы. Движение молекул по всем осям равновероятно, поэтому к одной из стенок сосуда площадью S, подлетает в единицу времени (1/ 6)n x молекул, где x – проекция вектора скорости на направление, перпендикулярное стенке.

Каждая молекула обладает импульсом mx, но стенка получает импульс 2m x (при абсолютно-упругом ударе m x (m x ) 2m x ). За время dt о стенку площадью S успеет удариться число молекул, которое заключено в объме V: n S xdt.

Общий импульс, который получит стенка p Fdt. Тогда Разделив обе части равенства на S и dt, получим выражение для давления:

Таким образом, мы определили давление как силу, действующую в единицу времени на единицу площади:

Наивно полагать, что все молекулы подлетают к стенке S с одной и той же скоростью x (рис. 1.2). На самом деле молекулы имеют разные скорости, направленные в разные стороны, то есть скорости газовых молекул – случайные величины. Более точно случайную величину характеризует среднеквадратичная величина. Поэтому под скоростью 2 поN нимаем среднеквадратичную скорость кв Вектор скорости, направленный произвольно в пространстве, можно разделить на три составляющих:

Ни одной из этих проекций нельзя отдать предпочтение из-за хаотичного теплового движения молекул, то есть в среднем 2 2 2.

Следовательно, на другие стенки будет точно такое же давление. Тогда можно записать в общем случае:

Отсюда получим основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов где Eк – средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы.

Итак, давление газов определяется средней кинетической энергией поступательного движения молекул.

Уравнение (1.2.3) называют основным уравнением, потому что давление Р – макроскопический параметр системы здесь связан с основными характеристиками – массой и скоростью молекул.

Рассмотрим единицы измерения давления.

По определению, P F / S, поэтому размерность давления Н/м2.

1.3. Температура и средняя кинетическая энергия Из опыта известно, что если привести в соприкосновение два тела, горячее и холодное, то через некоторое время их температуры выравниваются. Что перешло от одного тела к другому? Раньше, во времена Ломоносова и Лавуазье, считали, что носителем тепла является некоторая жидкость – теплород. На самом деле – ничто не переходит, только изменяется средняя кинетическая энергия – энергия движения молекул, из которых состоят эти тела. Именно средняя кинетическая энергия атомов и молекул служит характеристикой системы в состоянии равновесия.

Это свойство позволяет определить параметр состояния, выравнивающийся у всех тел, контактирующих между собой, как величину, пропорциональную средней кинетической энергии частиц в сосуде.

Чтобы связать энергию с температурой, Больцман ввел коэффициент пропорциональности k, который впоследствии был назван его именем:

где k = 1,38·1023 Дж·К1– постоянная Больцмана.

Больцман Людвиг (1844–1906) – австрийский физик-теоретик, один из основоположников классической статистической физики.

Основные работы – в области кинетической теории газов, термодинамики и теории излучения. Вывел основное кинетическое уравнение газов, являющееся основой физической кинетики. Впервые применил к излучению принципы термодинамики.

Величину T называют абсолютной температурой и измеряют в градусах Кельвина12 (К). Она служит мерой кинетической энергии теплового движения частиц идеального газа.

Из (1.3.1) получим:

Формула (1.3.2) применима для расчетов средней кинетической энергии на одну молекулу идеального газа.

Можно записать:

Обозначим: kNA R – универсальная газовая постоянная, тогда:

– это формула для молярной массы газа.

Так как температура определяется средней энергией движения молекул, то она, как и давление, является статистической величиной, то есть параметром, проявляющимся в результате совокупного действия огромного числа молекул. Поэтому не говорят: «температура одной молекулы», нужно сказать: «энергия одной молекулы, но температура газа».

С учетом вышесказанного о температуре, основное уравнение молекулярно-кинетической теории можно записать по-другому. Так как из (1.2.3) P 2 / 3n Eк, где Eк 3 / 2kT. Отсюда В таком виде основное уравнение молекулярно-кинетической теории употребляется чаще.

Наиболее естественно было бы использовать для измерения темпеm кв гию поступательного движения молекул газа. Однако чрезвычайно трудно проследить за молекулой газа и еще сложнее за атомом. Поэтому для определения температуры идеального газа используется уравнение Действительно, величины P и V легко поддаются измерению.

В качестве примера рассмотрим изображенный на рис. 1.3 простейший газовый термометр с постоянным давлением. Объем газа в трубке как видно, пропорционален температуре, а поскольку высота подъема ртутной капли пропорциональна V, то она пропорциональна и Т.

Существенно то, что в газовом термометре необходимо использовать идеальный газ. Если же в трубку вместо идеального газа поместить фиксированное количество жидкой ртути, то мы получим обычный ртутный термометр. Хотя ртуть далеко не идеальный газ, вблизи комнатной температуры ее объем изменяется почти пропорционально температуре. Термометры, в которых вместо идеального газа используются какие-либо другие вещества, приходится калибровать по показаниям точных газовых термометров.

Рис. 1.3. Газовый термометр Рис. 1.4. Различные температурные шкалы В физике и технике за абсолютную шкалу температур принята шкала Кельвина, названная в честь знаменитого английского физика лорда Кельвина; 1 К – одна из основных единиц СИ.

Кроме того, используются и другие шкалы:

– шкала Цельсия13 – точка таяния льда – 0 С, точка кипения воды – 100 С;

– шкала Фаренгейта14 – точка таяния льда 32 F, точка кипения воды – 212 F. Соотношение между этими двумя шкалами:

Абсолютная температура Т связана с температурой t по шкале Цельсия соотношением Т(К) = 273,15+ t оС.

На рис. 1.4 приведено сравнение разных температурных шкал. На рис. 1.5 – шкала сравнения температур различных источников.

Так как кинетическая энергия m 2 2 0 всегда, то и Т не может быть отрицательной величиной.

Своеобразие температуры заключается в том, что она не аддитивна (аддитивный – получаемый сложением). Если мысленно разбить тело на части, то температура всего тела не равна сумме температур его частей (длина, объм, масса, сопротивление, и так далее – аддитивные величины). Поэтому температуру нельзя измерять, сравнивая е с эталоном.

Современная термометрия основана на шкале идеального газа, где в качестве термометрической величины используют давление. Шкала газового термометра – является абсолютной (Т = 0; Р = 0).

В XVII – XIX веках были сформулированы опытные законы идеальных газов. Кратко напомним их.

Изопроцессы идеального газа – процессы, при которых один из параметров остатся неизменным.

1. Изохорический процесс. Закон Шарля15. V = const.

Изохорическим процессом называется процесс, протекающий при постоянном объме V. Поведение газа при этом изохорическом процессе подчиняется закону Шарля: при постоянном объме и неизменных значениях массы газа и его молярной массы отношение давления газа к его абсолютной температуре остатся постоянным:

График изохорического процесса на РV-диаграмме называется изохорой. Полезно знать график изохорического процесса на РТ- и Vtдиаграммах (рис. 1.6).

Если температура газа выражена в градусах Цельсия, то уравнение изохорического процесса записывается в виде где Р0 – давление при 0 С, температурный коэффициент давления газа равный 1/273 град1.

Рис. 1.6. Графики изохорического процесса 2. Изобарический процесс. Закон Гей-Люссака16. Р = const.

Изобарическим процессом называется процесс, протекающий при постоянном давлении Р. Поведение газа при изобарическом процессе подчиняется закону Гей-Люссака: при постоянном давлении и неизменных значениях массы и газа, и его молярной массы отношение объма газа к его абсолютной температуре остатся постоянным:

График изобарического процесса на VT-диаграмме называется изобарой. Полезно знать графики изобарического процесса на РV- и Vtдиаграммах (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Графики изобарического процесса Если температура газа выражена в градусах Цельсия, то уравнение изобарического процесса записывается в виде где 1 / 273 град 1 температурный коэффициент расширения.

3. Изотермический процесс. Закон Бойля17– Мариотта18. T = const.

Изотермическим процессом называется процесс, протекающий при постоянной температуре Т.

Поведение идеального газа при изотермическом процессе подчиняется закону Бойля – Мариотта: при постоянной температуре и неизменных значениях массы газа и его молярной массы произведение объма газа на его давление остатся постоянным:

График изотермического процесса называется изотермой и изображается на PV-диаграмме в виде гиперболы (рис. 1.8). С повышением температуры газа изотерма удаляется от начала координат.

Рис. 1.8. Графики изотермического Рис. 1.9. Графики различных изопроцеспроцесса сов в PV-координатах 4. Адиабатический процесс (изоэнтропийный (S = 0, S = const)):

Адиабатический процесс – термодинамический процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой.

Уравнение адиабаты: V P const, где – показатель адиабаты.

На рис. 1.9 показаны графики различных изопроцессов в PVкоординатах. Как видно из рисунка, адиабата идет круче, чем изотерма.

5. Политропический процесс – процесс, при котором тепломкость газа остатся постоянной. Политропический процесс – общий случай всех перечисленных выше процессов.

6. Закон Авогадро: при одинаковых температурах и давлениях в равных объемах любого газа содержится одинаковое число молекул N A 6,022 1023 моль 1. Следствием этого закон является то, что моли любых газов, при одинаковых температуре и давлении, занимают одинаковые объемы. При нормальных условиях объем моля равен 7. Закон Дальтона19: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений Р, входящих в не газов:

Парциальное давление Pn – давление, которое оказывал бы данный газ, если бы он один занимал весь объем.

При Pсм P P2 ; см m1 1 m2 2, давление смеси газов:

8. Объединнный газовый закон (Закон Клапейрона19).

В соответствии с законами Бойля – Мариотта и Гей-Люссака, Клапейрон20 сделал заключение, что для данной массы газа 1.5. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева – Клапейрона) Уравнение, связывающее основные параметры состояния идеального газа, вывел великий русский ученый Д.И. Менделеев.

Менделеев Дмитрий Иванович (1834–1907) – русский ученый.

Работы – преимущественно в области химии, а также физики, метрологии, метеорологии. Открыл в 1869 году один из фундаментальных законов природы – периодический закон химических элементов и на его основе создал периодическую таблицу химических элементов. Исправил значения атомных весов многих элементов, предсказал существование и свойства новых. Предсказал существование критической температуры. В области метрологии разработал физическую теорию весов.

Менделеев объединил известные нам законы Бойля – Мариотта, Гей-Люссака и Шарля с законом Авогадро. Уравнение, связывающее все эти законы, называется уравнением Менделеева – Клапейрона и записывается так:

здесь m – число молей.

Уравнение Менделеева – Клапейрона для смеси газов:

Давление на поверхность – это отношение силы F к площади поверхности S: P = F/S.

Давление атмосферы на поверхности Земли Ратм= 1,01105 Н/м2.

Идеальный газ, заключенный в сосуд объемом V, оказывает на стенки сосуда давление Р, удовлетворяющее соотношению В кинетической теории дается связь абсолютной температуры Т идеального газа с кинетической энергией:

Из этих двух формул, можно получить уравнение состояния идеального газа (Менделеева Клапейрона):

Температуру можно измерять высотой столба идеального газа при постоянном давлении или давлением в постоянном объеме идеального газа.

Можно доказать, что температуры двух тел, находящихся достаточно долго в контакте друг с другом, являются одинаковыми. Это утверждение называется нулевым законом термодинамики.

Контрольные вопросы. Упражнения 1. Почему термодинамический и статистический (молекулярнокинетический) методы исследования макроскопических систем качественно различны и взаимно дополняют друг друга?

2. Что такое термодинамические параметры? Какие термодинамические параметры известны?

3. Как объяснить закон Бойля–Мариотта с точки зрения молекулярно-кинетической теории? Какими законами описываются изобарные и изохорные процессы? Перечислите основные законы идеальных газов.

4. Каков физический смысл числа Авогадро? числа Лошмидта?

5. При некоторых значениях температуры и давления азот количеством вещества занимает объем 20 л. Какой объем при этих же условиях займет водород количеством вещества 1 моль?

6. В чем заключается молекулярно-кинетическое толкование давления газа? термодинамической температуры?

7. В чем содержание и какова цель вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов?

8. Приведите уравнения состояния идеального газа.

9. Почему динамическое описание системы многих частиц неосуществимо с технической, непригодно с теоретической и бесполезно с практической точек зрения?

10. В чем (в общих чертах) состоит термодинамический метод описания системы многих частиц?

11. Как глубоко нужно нырнуть в озеро, чтобы давление на 50% превысило давление на поверхности?

12. Оцените давление и температуру в центре Юпитера. Его масса 1,91027 кг, радиус 7,2104 км.

13. Части массой т и скоростью падает на стенку под углом 30° как показано на рисунке. Она отскакивает с той же скоростью также под углом 30°. Насколько изменится импульс частицы? Какой импульс получит стенка?

14. В ящике объемом V имеется N частиц, причем средняя кинетическая энергия одной частицы равна Ек. Найдите следующие величины, записав ответ через V, N, Eк и k:

а) полную кинетическую энергию системы;

б) температуру системы;

в) давление системы;

г) что произойдет с давлением и температурой, если удвоить объем системы, соединив ящик с другим пустым ящиком такого же объема?

Задача 1.1. Температура солнца. Физические формулы обладают замечательным свойством. Иногда с их помощью можно сделать то, что невозможно сделать при помощи измерительных приборов. Например, формулы позволяют не вставая с мягкого кресла, взвесить Солнце, Землю и другие планеты (т.е. определить их массы), измерить давление в центре Земли и вычислить значения других физических величин, которые недоступны прямым измерениям. Покажем, как можно вычислить температуру Солнца.

Решение. Солнце – газовый шар, состоящий главным образом из атомов водорода и гелия. Средняя кинетическая энергия одного атома вещества, находящегося в газообразном состоянии, согласно закону Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы пропорциональна абсолютной температуре Т:

N есть число атомов в газе, следовательно его средняя кинетическая энергия будет равна Пусть m – средняя масса атома солнечного вещества. Тогда число атомов где М – масса Солнца.

Среднюю потенциальную энергию шарообразного скопления частиц, притягивающихся друг к другу гравитационными силами, можно оценить по формуле:

придем к уравнению, из которого найдем среднее значение абсолютной температуры Солнца Если смотреть на Солнце с Земли, то его радиус будет виден под некоторым углом, который нетрудно измерить. Так как расстояние до Солнца известно, его радиус можно вычислить по формуле R = sin. Вычисления дают значение R 7 108 м. Среднюю массу одного атома солнечного вещества принимают равной примерно удвоенной массе протона, т.е. m = 310–27 кг. Подстановка в формулу значений известных величин дает среднюю температуру Солнца T 107 К.

Приведенные оценки показывают, как много можно узнать о мире, наблюдая его из удобного кресла и понимая законы природы.

Задача 1.2. Домкрат. Пусть, автомобиль поднимается гидравлическим домкратом, состоящим из двух соединенных трубкой цилиндров с поршнями (рис. 1.1). Диаметр большого цилиндра равен м, а диаметр малого – 10 см. Автомобиль имеет вес F2. Найдем силу давления на поршень малого цилиндра, необходимую для подъема автомобиля.

Решение. Поскольку оба поршня являются стенками одного и того же сосуда, то в соответствии с законом Паскаля они испытывают одинаковое давление. Пусть P F1 / S1 – давление на малый поршень, а P2 F2 / S2 – давление на большой поршень. Тогда, т.к. P1 = P2, имеем:

F1/S1 = F2/S2. Отсюда F1 F2 S1 / S2 0,01F2.

Таким образом, для подъема автомобиля достаточно давить на малый поршень с силой, составляющей лишь 1 % веса автомобиля.

Задача 1.3. Определить размер молекулы воды. Масса одного моля воды т = 18·10–3 кг, объем – V = 18·10–6 м3/моль.

Решение. Допустим, что молекулы воды плотно прилегают друг к другу и образуют кубическую ячейку. Тогда объем, занимаемый молекулой V0 = d3, а линейный размер молекулы d 3 V0. Для это объем моля разделим на число Авогадро:

Отсюда линейный размер молекулы d 3 V0 0,3 нм.

Задача 1.4. Вы читали произведение Рэя Бредбери21 «451° по Фаренгейту»? Получите соответствующее значение температуры по шкале Цельсия. Что происходит при этой температуре? При какой температуре показания по шкалам Фаренгейта и Цельсия одинаковы?

Решение. Используя рис. 1.4 а так же соотношение (1.3.5), можно найти, что 451° F соответствует 233° С. При этой температуре происходит самовозгорание бумаги. Показания по шкалам Фаренгейта и Цельсия одинаковы при температуре – 40°: – 40 °С = – 40 °F.

Задача 1.5. В сообщающейся трубке с водой площадью сечения S = 1см долили: в левую – масла объемом V1 = 30 мл, а в правую – керосин, объемом V2 = 25 мл. Определить разность установившихся уровней воды в трубках, если плотность масла 1 = 0,9 г/см3, плотность керосина = 0,8 г/см3, плотность воды 3 = 1 г/см3.

S = 10 м V1 = 3010 м V2 = 2510 м 1 = 900 кг/м 2 = 800 кг/м 3 = 1000 кг/м3 Давление в правом сосуде:

х–?

В сообщающихся сосудах давление в точках на одной горизонтали одинаково. Следовательно:

откуда разность установившихся уровней воды:

Задача 1.6. Объем газа при адиабатическом расширении увеличился в два раза, а температура уменьшалась в 1,32 раза. Найти число степеней свободы молекулы этого газа.

Т1/Т2 = 1,32 пишем уравнение Пуассона:

i–?

Исходя из условий задачи, получим:

Из этого следует, что i = 5.

Задача 1.7. В баллоне емкостью 110 л помещено m1 0,8 г водорода и m2 1,6 г кислорода. Определить давление смеси на стенки сосуда, если температура окружающей среды t 27 С.

V=110 103 м m1 = 0,8 10 3 кг и Р2 – парциальное давление кислорода:

2 32 103. Используя уравнения (1) и (2), получим:

Произведем вычисления:

Задача 1.8. 12 г идеального газа занимают объем 4 10 3 м 3 при температуре 7 С. После нагревания газа при постоянном давлении его плотность стала равна 6 10 4 г/см3. До какой температуры нагрели газ?

Дано:

m = 0,8 10 3 кг плотность газа после нагревания С учетом уравнения (2) приведем систему уравнений (1) к виду Произведем вычисления и проверку размерности:

Задачи для самостоятельного решения Задача 1.1. Найти молярную массу смеси кислорода массой т1 = 25 г и азота массой т2 = 75 г.

Задача 1.2. В баллоне объемом V = 10 л находится гелий под давлением Р1 = 1 МПа при температуре Т1 = 300 К. После того как из баллона был израсходован гелий массой т = 10 г, температура в баллоне понизилась до Т2 = 290 К. Определить давление Р2 гелия, оставшегося в баллоне.

Задача 1.3. Найти молярную массу серной кислоты H2SO4.

Ответ: = rk = 9810–3 кг/моль (r – относительная молекулярная Задача 1.4. Определить массу т1 молекулы: 1) углекислого газа; 2) поваренной соли.

Ответ: т1 = rk/NA; 1) т1 = 7,3110–26 кг; 2) т1 = 9,710–26 кг.

Задача 1.5. В сосуде вместимостью V = 2 л находится кислород, количество вещества v которого равно 0,2 моль. Определить плотность газа.

Ответ: = Мrkv/V = 3,2 кг/м3 (Мr – относительная молекулярная Задача 1.6. Кислород при нормальных условиях заполняет сосуд вместимостью V = 11,2 л. Определить количество вещества v и его массу т.

Задача 1.7. Определить количество вещества v водорода, заполняющего сосуд вместимостью V = 3 л, если плотность газа = 6,6510– кг/моль.

Задача 1.8. Колба вместимостью V = 0,5 л содержит газ при нормальных условиях. Определить число N молекул газа, находящихся в колбе.

Ответ: N = NAV/Vm = 1,341022 (Vm = 22,410–3 м3/моль – молярный Задача 1.9. В сосуде вместимостью V = 5 л находится однородный газ количество вещества v = 0,2 моль. Определить, какой это газ, если его плотность = 1,12 кг/м3.

Задача 1.10*. Одна треть молекул азота массой т = 10 г распалась на атомы. Определить полное число N частиц, находящихся в газе.

Задача 1.11*. Определить среднее расстояние между центрами молекул водяных паров при нормальных условиях и сравнить его с диаметром d самих молекул (d = 0,311 нм).

Задача 1.12*. В цилиндре длиной l = 1,6 м, заполненный воздухом при нормальном атмосферном давлении Р0, начали медленно вдвигать поршень площадью S = 200 см2. Определить силу F, которая будет воздействовать на поршень, если его остановить на расстоянии l1 = 10 см от дна цилиндра.

Задача 1.13*. Колба вместимостью V = 300 см2, закрытая пробкой с краном, содержит разряженный воздух. Для измерения давления в колбе горлышко колбы погрузили в воду на незначительную глубину и открыли кран, в результате чего в колбу вошла вода массой т = 292 г. Определить первоначальное давление Р в колбе, если атмосферное давление Р0 = 100 кПа.

Задача 1.14. В баллоне содержится газ при температуре t1 = 100° С.

До какой температуры t2 нужно нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в два раза?

Задача 1.15. В оболочке сферического аэростата находится газ объемом V = 1500 м3, заполняющий оболочку лишь частично. На сколько измениться подъемная сила аэростата, если газ в аэростате нагреть от Т0 = 273 К до Т = 293 К? Давление газа в оболочке и окружающего воздуха постоянны и равны нормальному атмосферному давлению.

Задача 1.16. Какой объем V занимает идеальный газ, содержащий количество вещества v = 1 кмоль при давлении Р = 1 МПа и температуре Т = 400 К?

Задача 1.16. Котел вместимостью V = 2 м3 содержит перегретый водяной пар массой т = 10 кг при температуре Т = 500 К. Определить давление Р пара в котле.

Задача 1.17. Баллон вместимостью V = 20 л содержит углекислый газ массой т = 500 г под давлением Р = 1,3 МПа. Определить температуру Т газа.

Задача 1.18. Определить плотность насыщенного водяного пара в воздухе при температуре Т = 300 К. Давление Р насыщенного водяного пара при этой температуре равно 3,55 кПа.

Задача 1.19. В баллоне вместимостью V = 25 л находится водород при температуре Т = 290 К. После того как часть водорода израсходовали, давление в баллоне понизилось на Р = 0,4 МПА. Определить массу т израсходованного водорода.

Задача 1.20. Оболочка аэростата вместимостью V = 1600 м3, находящегося на поверхности Земли, на k = 7/8 наполнена водородом при давлении Р1 = 100 кПа и температуре Т1 = 290 К. Аэростат подняли на некоторую высоту, где давление Р2 = 80 кПа и температура Т2 = 280 К.

Определить массу т водорода, вышедшего из оболочки при его подъеме.

Глава 2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 2.1. Скорости газовых молекул. Опыт Штерна В середине XIX века была сформулирована молекулярнокинетическая теория, но тогда не было никаких доказательств существования самих молекул. Вся теория базировалась на предположении о движении молекул, но как измерить скорость их движения, если они невидимы? Размеры молекул и атомов очень малы, например, размер атома золота d = 0,26 нм. (1 нм = 10–9 м; приставка нано образовано от греческого nanos – карлик). С помощью современного электронного микроскопа с разрешением 0,12 нм при увеличении в 7 миллионов раз видны ряды атомов, находящихся друг от друга на расстоянии 0,24 нм.

Теоретики позапрошлого века первыми нашли выход. Из уравнения молекулярно-кинетической теории газов известно, что где m – масса молекулы. Отсюда среднеквадратичная скорость равна:

Получена формула для расчета среднеквадратичной скорости, но масса молекулы т неизвестна. Запишем по-другому значение кв:

Известно, что P RT, тогда где Р – давление; плотность. Это уже измеряемые величины.

Например, при плотности азота, равной 1,25 кг/м3, при t = 0 С и Р = 1 атм скорости молекул азота N2 500 м/с. Для водорода H2 2000 м/с.

При этом интересно отметить, что скорость звука в газе близка к скорости молекул в этом газе зв P, где – показатель адиабаты. Это объясняется тем, что звуковые волны переносятся молекулами газа.

Проверка того факта, что атомы и молекулы идеальных газов в термически равновесном пучке имеют различные скорости, была осуществлена немецким физиком Отто Штерном22 в 1920 г. Схема его установки приведена на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Схема установки О. Штерна для измерения скорости газовых молекул Платиновая нить А, покрытая снаружи серебром, располагается вдоль оси коаксиальных цилиндров S1, S3. Внутри цилиндров поддерживается низкое давление порядка 103 104 Па. При пропускании тока через платиновую нить она разогревается до температуры выше точки плавления серебра (961,9 С). Серебро испаряется, и его атомы через узкие щели в цилиндре S1 и диафрагме S2 летят к охлаждаемой поверхности цилиндра S3, на которой они осаждаются. Если цилиндры S1, S3 и диафрагма не вращаются, то пучок осаждается в виде узкой полоски D на поверхности цилиндра S3. Если же вся система приводится во вращение с угловой скоростью 250 рад/с, то изображение щели смещается в точку D' и становится расплывчатым.

Температура нити в опытах Штерна равнялась 1200 С, что соответствует среднеквадратичной скорости кв 584 м/с. В эксперименте для этой величины получилось значение от 560 до 640 м/с. Кроме того, изображение щели D всегда оказывалось размытым, что указывало на то, что атомы Ag движутся с различными скоростями.

В дальнейшем предложенная Штерном методика использовалась многими учеными для изучения распределения атомов по скоростям (например, опыт Ламмерта23 в 1929 г.).

Таким образом, опытным путем были не только измерены скорости газовых молекул, но и показано, что они имеют большой разброс по скоростям. Причина – в хаотичности теплового движения молекул. Ещ в XIX веке Дж. Максвелл утверждал, что молекулы, беспорядочно сталкиваясь друг с другом, как-то «распределяются» по скоростям, причм вполне определнным образом.

С точки зрения атомно-молекулярного строения вещества величины, встречающиеся в макроскопической физике, имеют смысл средних значений, которые принимают некоторые функции от микроскопических переменных системы. Величины такого рода называются статистическими. Примерами таких величин являются давление, температура, плотность и др. Большое число сталкивающихся атомов и молекул обуславливает важные закономерности в поведении статистических переменных, не свойственные отдельным атомам и молекулам. Такие закономерности называются вероятностными, или статистическими.

Пусть имеется совокупность очень большого числа n одинаковых молекул, находящаяся в равновесном состоянии. Предположим, что некоторая величина х, характеризующая молекулу, может принимать ряд дискретных значений:

Если бы удалось измерить одновременно значение величины х у всех n молекул, то оказалось бы, что у всех n1 молекул величина х имеет значение х1, у n2 молекул – значение х2, у ni молекул – значение хi и т.д.

Математическое определение вероятности: вероятность какоголибо события – это предел, к которому стремится отношение числа случаев, приводящих к осуществлению события, к общему числу случаев при бесконечном увеличении последних:

Здесь ni число случаев, когда событие произошло, а n общее число опытов. Отсюда следует, что W может принимать значения от нуля до единицы: 0 W 1.

Очевидно, что ni n, поэтому сумма вероятностей всех возможных значений величины ni равна единице (условие нормировки вероятности):

Теорема о сложении вероятностей: W Wi.

Среднее значение величины по результатам произведенных измерений, определяется как отношение суммы всех полученных значений хi к числу измерений п:

В пределе, когда n, среднее значение величины можно найти по формуле:

Если значения одной из величин х не зависит от того, какое значение другая у, то эти величины называются статистически независимыми.

Вероятность одновременного появления статистически независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Это теорема об умножении вероятностей.

Задача статистической физики заключается в отыскании функции распределения случайной величины и в вычисление е среднего значения. Совпадение экспериментальных и теоретических средних значений является критерием правильности теории исследуемого явления.

Определить распределение молекул по скоростям вовсе не значит, что нужно определить число молекул, обладающих той или иной заданной скоростью. Ибо число молекул, приходящихся на долю каждого значения скорости равно нулю. Вопрос нужно поставить так: сколько молекул обладает скоростями, лежащими в интервале, включающем заданную скорость? Так всегда ставятся статистические задачи.

Например: на переписи населения, когда указывается возраст лет – это не значит, что 18 лет, 0 часов, 0 минут. Эта цифра свидетельствует, что возраст лежит в интервале от 18 до 19 лет.

Итак, молекулы движутся хаотически. Среди них есть и очень быстрые, и очень медленные. Благодаря беспорядочному движению и случайному характеру их взаимных столкновений, молекулы определнным образом распределяются по скоростям. Это распределение оказывается однозначным и единственно возможным, и не только не противоречит хаотическому движению, но именно им и обусловлено.

Мы будем искать число частиц (n), скорости которых лежат в определнном интервале значения скорости (от до ). То есть n – число благоприятных молекул, попавших в этот интервал.

Очевидно, что в единице объма число таких благоприятных молекул тем больше, чем больше.

Ясно также, что n должно быть пропорционально концентрации молекул (n). Число n зависит и от самой скорости, так как в одинаковых по величине интервалах, но при разных абсолютных значениях скорости, число молекул будет различным. Смысл сказанного легко понять из простого примера: неодинаково число людей в возрасте от 20 до года и от 90 до 91 года. Таким образом где f() – функция распределения молекул по скоростям. Перейдя к пределу, получим, что число молекул, попавших в интервал скоростей Физический смысл f() в том, что это отношение числа молекул, скорости которых лежат в определенном интервале скоростей, к общему числу молекул в единичном интервале скоростей:

Таким образом, f() имеет смысл вероятности, то есть показывает, какова вероятность любой молекулы газа в единице объма иметь скорость, заключнную в единичном интервале, включающем заданную скорость. В данном случае f() называют плотностью вероятности.

2.3. Функция распределения Максвелла Пусть имеется n тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при определенной температуре. После каждого акта столкновения между молекулами их скорости меняются случайным образом. В результате невообразимо большого числа столкновений устанавливается стационарное равновесное состояние, когда число молекул в заданном интервале скоростей сохраняется постоянным.

В результате каждого столкновения проекции скорости молекулы испытывают случайное изменение на x, y, z, причем изменения каждой проекции скорости независимы друг от друга. Будем предполагать, что силовые поля на частицы не действуют. Найдем в этих условиях, каково число частиц dn из общего числа n имеет скорость в интервале от до d. При этом мы не можем ничего определенного сказать о точном значении скорости той или иной частицы i, поскольку за столкновениями и движениями каждой из молекул невозможно проследить ни в опыте, ни в теории. Такая детальная информация вряд ли имела бы практическую ценность.

Распределение молекул идеального газа по скоростям впервые было получено знаменитым английским ученым Дж. Максвеллом в 1860 году с помощью методов теории вероятностей.

Работы посвящены электродинамике, молекулярной физике, общей статике, оптике, механике, теории упругости. Установил статистический закон, описывающий распределение молекул газа по скоростям. Самым большим достижением Максвелла является теория электромагнитного поля, которую он сформулировал в виде системы нескольких уравнений, выражающих все основные закономерности электромагнитных явлений.

Подробное обсуждение и вывод формулы функции распределения молекул по скоростям есть в учебнике Б.В. Бондарева и др. (Кн. 3)**.

Смотри в библиографическом списке.

Воспользуемся результатами этого вывода.

Скорость – векторная величина. Для проекции скорости на ось х (x-й составляющей скорости) из (2.2.5) имеем Тогда из (2.2.6) где А1 – постоянная, равная Графическое изображение функции показано на рис. 2.2. Видно, что доля молекул со скоростью x 0 не равна нулю. При x 0, f ( x ) A1 (в этом физический смысл постоянной А1).

Приведнное выражение и график справедливы для распределения молекул газа по x-компонентам скорости. Очевидно, что и по y- и zкомпонентам скорости также можно получить:

Вероятность того, что скорость молекулы одновременно удовлетворяет трм условиям: x-компонента скорости лежит в интервале от х до x d x ; y-компонента, в интервале от y до y d y ; z-компонента, в интервале от z до z d z будет равна произведению вероятностей каждого из условий (событий) в отдельности (см. 2.2.4):

Формуле (2.3.2) можно дать геометрическое истолкование: dnxyz – это число молекул в параллелепипеде со сторонами dx, dy, dz, то есть в объме dV d x d y d z (рис. 2.3), находящемся на расстоянии от начала координат в пространстве скоростей.

Эта величина (dnxyz) не может зависеть от направления вектора скорости. Поэтому надо получить функцию распределения молекул по скоростям независимо от их направления, то есть по абсолютному значению скорости.

Если собрать вместе все молекулы в единице объма, скорости которых заключены в интервале от до d по всем направлениям, и выпустить их, то они окажутся через одну секунду в шаровом слое толщиной d и радиусом (рис. 2.4). Этот шаровой слой складывается из тех параллелепипедов, о которых говорилось выше.

Рис. 2.3. К определению числа мо- Рис. 2.4. Молекулы, оказавшейся в шалекул в объеме dV d x d y d z ровом слое радиусом и толщиной d Объм этого шарового слоя dV 42d.

Общее число молекул в слое, как следует из (2.3.2) Отсюда следует закон распределения молекул по абсолютным значениям скоростей, выведенный Максвеллом:

где dn/n – доля всех частиц в шаровом слое объема dV, скорости которых лежат в интервале от до d.

При dV 1 получаем плотность вероятности, или функцию распределения Максвелла, характеризующую распределение молекул по скоростям:

Эта функция обозначает долю молекул единичного объма газа, абсолютные скорости которых заключены в единичном интервале скоростей, включающем данную скорость.

ное выражение функции распределения Максвелла (рис. 2.5):

Из графика видно, что при «малых» скоростях от 0 до вер функция f ( ) ~ 2 монотонно возрастает. Затем при значении скорости вер, которую называют наиболее вероятной скоростью, функция достигает максимума А и далее экспоненциально спадает, стремясь к нулю при. Поэтому кривая несимметрична относительно максимума.

Функция f() удовлетворяет условию нормировки (2.2.1) Зависимость функции распределения Максвелла На рис. 2.6 показано, что при увеличении массы молекул (m1 m2 m3 ) и при уменьшении температуры ( T1 T2 T3 ) максимум функции распределения Максвелла смещается вправо, в сторону увеличения скоростей.

Площадь под кривой – величина постоянная, равная единице f () const 1, поэтому важно знать, как будет изменяться положение максимума кривой:

Вид распределения молекул газа по скоростям для каждого газа зависит от рода газа (m) и от параметра состояния (Т). Давление P и объм газа V на распределение молекул не влияют.

В показателе степени функции f() стоит отношение, т.е.

кинетической энергии, соответствующей данной скорости, к (kТ) – средней энергии теплового движения молекул при данной температуре, значит распределение Максвелла характеризует распределение молекул по значениям кинетической энергии (то есть показывает, какова вероятность при данной температуре иметь именно такое значение кинетической энергии).

Максвелловский закон распределения по скоростям и все вытекающие следствия справедливы только для газа в равновесной системе. Закон статистический, и выполняется тем лучше, чем больше число молекул.

Рассмотрим пределы применимости классического описания распределения частиц по скоростям. Для этого, так же как и в п. 1.1, воспользуемся соотношением неопределенностей Гейзенберга24. Согласно этому соотношению координаты и импульс частицы не могут одновременно иметь определенное значение. Классическое описание возможно, если выполнены условия:

Здесь постоянная Планка – фундаментальная константа, определяющая масштаб квантовых (микроскопических) процессов.

Т.о., если частица находится в объеме xyz 3 / р 3, то в этом случае возможно описание ее движения на основе законов классической механики.

2.4. Средние скорости распределения Максвелла Рассмотрим, как изменяется с абсолютной величиной скорости число частиц, приходящихся на единичный интервал скоростей, при единичной концентрации частиц.

Из графика функции распределения Максвелла, приведенного на рис. 2.7, видно, что наиболее вероятная скорость – скорость, на коm торую приходится максимум зависимости f ( ) A exp Найдем наиболее вероятную скорость одной молекулы из условия равенства нулю производной Значение скорости, при котором выражение в скобках равно нулю и есть наиболее вероятная скорость одной молекулы Для одного моля газа наиболее вероятная скорость Среднюю квадратичную скорость для одной молекулы и для одного моля газа найдем, используя соотношение m 2 кв 2 3 2 kT Среднюю арифметическую скорость найдем, используя (2.2.2) где nf ()d dn – число молекул со скоростью от до d. Если подставить сюда f() и вычислить, то получим:

Формула Максвелла для относительных скоростей Для решения многих задач удобно использовать формулу Максвелла, где скорость выражена в относительных единицах.

Относительную скорость обозначим через u вер.

Тогда из (2.3.4) получим распределение Максвелла в приведенном виде:

Это уравнение универсальное. В таком виде функция распределения не зависит ни от рода газа, ни от температуры.

Рассмотрим ещ один очень важный закон.

Атмосферное давление на какой-либо высоте h обусловлено весом слов газа, лежащих выше. Пусть P – давление на высоте h, а P dP – на высоте h dh (рис. 2.8).

Причм dh 0, а dР < 0, так как на большей высоте давление меньше. Разность давления P ( P dP) равна весу газа, заключнного в объме цилиндра с площадью основания, равной единице, и высотой dh.

Рис. 2.8. К выводу барометри- Рис. 2.9. Давление как функция высоты в ческой формулы гравитационном поле Земли при разных соте h, медленно убывающая с высотой, то можно записать:

P ( P dP) gdh. Отсюда Возьмем интеграл от полученного выражения:

В силу произвольности постоянной С, примем, что С = Р0 – давление на высоте h 0. Отсюда, после потенцирования, получаем барометрическую формулу, показывающую зависимость атмосферного давления от высоты:

В авиации эта формула используется для определения высоты полета:

Из барометрической формулы следует, что давление убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ (чем больше ) и чем ниже температура. Например, на больших высотах концентрация легких газов Не и Н2 гораздо больше, чем у поверхности Земли (рис. 2.9).

Распределение Больцмана определяет распределение частиц в силовом поле в условиях теплового равновесия.

Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил в условиях теплового равновесия. При этом концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия. Так, число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности Земли, и давление, в силу соотношения P nkT, падает.

Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот. Давление и плотность пропорциональны друг другу, поскольку температура в нашем случае постоянна. Давление с уменьшением высоты должно возрастать, потому что нижнему слою приходится выдерживать вес всех расположенных сверху атомов.

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории P nkT, заменим P и P0 в барометрической формуле (2.5.1) на n и n0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:

где n0 и n число молекул в единичном объме на высоте h = 0 и h.

Так как mN A, а R N Ak, то (2.6.1) можно представить в виде С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При T 0 тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, наоборот, молекулы оказываются распределнными по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой.

Так как mgh – это потенциальная энергия Еп, то на разных высотах Еп mgh – различна. Следовательно, (2.6.2) характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии:

– это закон распределения частиц по потенциальным энергиям.

На рис. 2.10 показана зависимость концентрации различных газов от высоты. Видно, что число более тяжелых молекул с высотой убывает быстрее, чем легких.

Из (2.6.3) можно получить, что отношение концентраций молекул в точках с Еп1 и Еп2 равно:

Больцман доказал, что соотношение (2.6.3) справедливо не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

2.7. Закон распределения Максвелла – Больцмана* В п. 2.3 мы получили выражение для распределения молекул по скоростям (распределение Максвелла):

Из этого выражения легко найти распределение молекул газа по значениям кинетической энергии Ек. Для этого перейдм от переменной где dn(Ек) – число молекул, имеющих кинетическую энергию поступательного движения, заключнную в интервале от Ек до Ек dЕк. Отсюда получим функцию распределения молекул по энергиям теплового движения:

Средняя кинетическая энергия Ек молекулы идеального газа в соответствии с формулой (2.2.4):

То есть, получаем результат, совпадающий с прежним результатом, полученным в п. 1.3.

Итак, закон Максвелла дат распределение частиц по значениям кинетической энергии, а закон Больцмана – распределение частиц по значениям потенциальной энергии. Оба распределения можно объединить в единый закон Максвелла – Больцмана:

Здесь E Еп Ек – полная энергия.

В последнем выражении, потенциальная и кинетическая энергии, а следовательно и полная энергия Е, могут принимать непрерывный ряд значений. Если же энергия частицы может принимать лишь дискретный ряд значений Е1, Е2…, то в этом случае распределение примет вид:

где Ni – число частиц, находящихся в состоянии с энергией Еi, а А – коэффициент пропорциональности, который должен удовлетворять условию где N – полное число частиц в рассматриваемой системе.

Многие микроскопические частицы (элементарные частицы, ядра, атомы, молекулы) обладают некоторым внутренним строением, которое может изменяться. Множество различных внутренних состояний любой микрочастицы является конечным. Внутреннее состояние таких частиц характеризуется спиновым квантовым числом s. Все частицы, изучаемые в квантовой механике, по величине квантового числа делятся на два класса – фермионы и бозоны.

Для бозонов величина s принимает целые значения (s = 1, 2, 3, …).

Например, фотоны, атом гелия и т.п.

Для фермионов спиновое число принимает полуцелые значения (s = 1/2, 3/2…). Например, электроны, протоны, нейтроны и т.п.

И так, если у нас имеется термодинамическая система состоящая из N частиц, энергии которых могут принимать дискретные значения E1, E2,... En, то говорят о системе квантовых чисел.

Поведение такой системы описывается квантовой статистикой, в основе которой лежит принцип неразличимости тождественных частиц.

Основная задача этой статистики состоит в определении среднего числа Ni частиц, находящихся в ячейке фазового пространства: «координаты – проекции импульса» (x, y, z и px, py, pz) частиц. При этом имеют место два закона распределения частиц по энергиям (две статистики: Ферми25 – Дирака26 и Бозе27 – Эйнштейна28).

Распределение Ферми – Дирака:

Функция Ферми – Дирака описывает квантовые частицы с целым спином (фермионы). График этой функции показан на рис. 2.11.

Температура Т и химический потенциал µ являются характеристикой всей макроскопической системы частиц, находящейся в состоянии термодинамического равновесия.

Распределение Бозе – Эйнштейна:

Функция Бозе – Эйнштейна описывает квантовые частицы с полуцелым спином (бозоны).

Из формул 2.9.1 и 2.9.2 видно, что среднее число частиц (фермионов или бозонов) в одном квантовом состоянии зависит от энергии частицы в этом состоянии.

Распределение Ферми – Дирака, так же как и распределение Бозе – Эйнштейна, переходит в распределение Максвелла – Больцмана (2.7.2) в случае, когда среднее число частиц, приходящееся на одно квантовое состояние достаточно мало.

Контрольные вопросы. Упражнения 1. Сравните скорости движения газовых молекул со скоростью звука.

2. Каковы результаты физический смысл опыта Штерна?

3. Понятие вероятности события.

4. Каков физический смыл функции распределения молекул по скоростям?

5. Каков физический смысл плотности вероятности распределения молекул по скоростям?

6. Проанализирует график функции распределения молекул по скоростям.

7. Как определяется наиболее вероятная скорость? Средняя скорость? Среднеарифметическая скорость?

8. Приведите формулу максвелла для относительных скоростей.

9. Приведите зависимость функции распределения Максвелла от массы молекул и температуры газа.

10. Каков физический смыл распределения молекул по энергиям?

11. Как, зная функцию распределения молекул по скоростям, перейти к функции распределения по энергиям?

12. Во сколько раз и как изменится средняя скорость движения молекул при переходе от кислорода к водороду?

13. Приведите барометрическую формулу.

14. В чем суть распределения Больцмана?

15. Каков физический смысл закона Максвелла–Больцмана?

16. Приведите распределение Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака.

17. Какие частицы называются бозоны и фермионы?

18. Найти среднюю квадратичную, среднюю арифметическую и наиболее вероятную в скорости молекул водорода. Вычисления выполнить для трех значений температуры: 1) Т = 20 К; 2) Т = 300 К; 3) Т = 5000 К.

19. Какова вероятность W того, что данная молекула идеального газа имеет скорость, отличную от 1/2в не более чем на 1%?

20. Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу т = 10–18 г. Во сколь раз уменьшится их концентрация п при увеличении высоты на h = 10 м? Температура воздуха Т = 300 К.

21. Определить силу F, действующую на частицу, находящуюся во внешнем однородном поле силы тяжести, если отношение п1/п2 концентрацией частиц на двух уровнях, отстоящих друг от друга на z = м, равное е. Температуру Т считать везде одинаковой и равной 300 К.

22. На какой высоте h над поверхностью Земли атмосферное давление вдвое меньше, чем на е поверхности? Считать, что температура Т воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой.

Задача 2.1. Азот находится под давлением Р = 1 атм при температуре Т = 300 К. Найти относительное число молекул азота, модули скоростей которых лежат в интервале скоростей от до + d, где d = 1 м/с. Внешние силы отсутствуют.

Дано:

300 К азот можно считать идеальным газом. В отсутствии Р = 105 Па внешних сил молекулы идеального газа подчиняются заТ = 300 К d = 1 м/с Таким образом, относительное число молекул азота, модули скоростей которых лежат в заданном интервале, можно определить по формуле Выражение (1) справедливо, если интервал скоростей d столь мал, что изменением функции распределения f() на этом интервале скоростей можно пренебречь, считая е приближенно постоянной. В нашем случае интервал d = 1 м/с мал по сравнению со значением средней арифметической скорости:

Подставив в уравнение (1) значение средней арифметической скорости (2) получаем решение задачи в общем виде:

Масса молекулы азота находится по формуле Произведя вычисления по формуле (3), получим Задача 2.2. Барометр в кабине летящего самолета все время показывает одинаковое давление Р = 80 кПа, благодаря чему летчик считает высоту полета h неизменной. Однако температура воздуха изменилась на Т = 1К. Какую ошибку h в определении высоты допустил летчик?

Считать, что температура не зависит от высоты и что у поверхности Земли давление Р0 = 100 кПа.

Дано:

= 29·10–3 кг/моль Барометр в самолете может показывать неизh – ? менное давление Р при различных температурах Т1 и Т2 за бортом только в том случае, если самолет находится на различных высотах h1 и h2. Запишем барометрическую формулу для этих двух случаев Найдем отношение давлений Р0/Р в уравнениях (1), и обе части полученных равенств прологарифмируем:

Из соотношений (2) выразим высоты h1 и h2 и найдем их разность:

Задача 2.3. Используя функцию распределения молекул по энергиям, определите наиболее вероятное значение энергии Ев.

Решение: Функция распределения молекул по энергиям или плотность вероятности При Е = Ев, F(E) = F(Emax) и Дифференцируем (1), подставляем Е = Ев и, приравняв полученное выражение нулю, определим Ев Задачи для самостоятельного решения Задача* 2.1. Ротор центрифуги вращается с угловой скоростью.

Используя функцию распределения Больцмана, установить распределение концентрации п частиц массой т, находящихся в роторе центрифуги, как функцию расстояния r от оси вращения.

Задача 2.2. Зная функцию распределение молекул по скоростям, вывести формулу наиболее вероятной скорости в.

Задача 2.3. Используя функцию распределения молекул по скоростям, получить функцию, выражающую распределение молекул по относительным скоростям u (u = /в).

Задача 2.4. Зная функцию распределение молекул по скоростям, вывести формулу, определяющую долю молекул, скорости которых много меньше наиболее вероятной скорости в.

Задача 2.5. Зная функцию распределение молекул по скоростям, определить среднюю арифметическую скорость молекул.

Задача 2.6. По функции распределения молекул по скоростям определить среднюю квадратичную скорость.

Задача 2.7. Распределение молекул по скоростям в молекулярных пучках при эффузивном истечении 8) отличается от максвелловского и имеет вид f()d = C3exp(–m2/(2kT))3d. Определить из условия нормировки коэффициент С.

Задача 2.8. Зная функцию распределения молекул по скоростям в некотором молекулярном пучке f 2 2 exp, найти выраkT жение для: 1)наиболее вероятной скорости в; 2) средней арифметической скорости.

Задача 2.9. Вывести формулу наиболее вероятного импульса рв молекул идеального газа.

Задача 2.10. Найти выражение для импульса молекул идеального газа, энергии которых равны наиболее вероятному значению энергии.

Задача 2.11. Найти выражение средней кинетической энергии поступательного движения молекул. Функцию распределения молекул по энергиям считать известной.

Задача 2.12. Используя функцию распределения молекул по энергиям, определить наиболее вероятное значение энергии в.

Задача 2.13. Барометр в кабине летящего вертолета показывает давление Р = 90 кПа. На какой высоте h летит вертолет, если на взлетной площадке барометр показывает давление Р0 = 100 кПа? Считайте, что температура Т воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой.

Задача 2.14. При каком значении скорости пересекаются кривые распределения Максвелла для температур Т1 и Т2 = 2Т1. Исследуйте, сколько точек пересечения имеют данные кривые?

Задача 2.15. Идеальный газ с молярной массой М находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно g. Найти давление газа как функцию высоты z, если при z = 0 давление Р = Р0, а температура изменяется с высотой как Т = Т0 (1 + z), где – положительная постоянная.

Задача 2.16. Во сколько раз надо сжать адиабатически газ, состоящий из одноатомных молекул, чтобы их средняя квадратичная скорость увеличилась в = 2 раза.

Задача* 2.16. Наиболее вероятные скорости молекул смеси водорода и гелия отличаются друг от друга на = 20 м/с. Какова при этом «температура» газов. Проанализировать ответ.

Задача 2.17. Определить температуру газа, для которой средняя квадратичная скорость молекул водорода больше их наиболее вероятной скорости на = 400 м/с.

Задача* 2.18. Идеальный газ с молярной массой М находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно g. Найти давление газа как функцию высоты h, если при h = 0, давление Р = Р0, а температура изменяется с высотой как Т = Т0 (1 – аh).

Задача* 2.19. В пучке частиц скорости имеют одно направление и лежат в интервале (, + ). Масса частицы m. Определите скорость частиц после прохождения области, где на расстоянии L, вдоль направления движения на частицы, действовала сила F.

Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ 3.1. Число столкновений и средняя длина свободного Из п. 2.1 известно, что молекулы в газе движутся со скоростью звука, примерно с такой же скоростью движется пуля. Однако, находясь в противоположном конце комнаты, запах разлитой пахучей жидкости мы почувствуем через сравнительно большой промежуток времени. Это происходит потому, что молекулы движутся хаотически, сталкиваются друг с другом, траектория движения у них ломаная.

Пусть i – длина свободного пробега молекулы (рис 3.1).

Расстояние, проходимое молекулой в среднем без столкновений, называется средней длиной свободного пробега.

Рис. 3.1. К нахождению средней длины Рис. 3.2. Эффективное сечение Средняя длина свободного пробега молекулы, где – средняя скорость теплового движения, – среднее время между двумя столкновениями.

Пусть – эффективное сечение молекулы, т.е. полное поперечное сечение рассеяния, характеризующее столкновение между двумя молекулами (рис. 3.2).

d 2 – площадь, в которую не может проникнуть центр любой другой молекулы. Здесь d 2r – диаметр молекулы.

За одну секунду молекула проходит путь, равный средней арифметической скорости. За ту же секунду молекула претерпевает столкновений. Следовательно, Подсчитаем среднее число столкновений.

Вероятность столкновения трех и более молекул бесконечно мала.

Предположим, что все молекулы застыли, кроме одной. Е траектория будет представлять собой ломаную линию. Столкновения будут только с теми молекулами, центры которых лежат внутри цилиндра радиусом d (рис. 3.3).

Путь, который пройдет молекула за одну секунду, равен длине цилиндра '. Умножим объм цилиндра ' на число молекул в единице объма n, получим среднее число столкновений в одну секунду:

На самом деле, все молекулы движутся (и в стороны, и навстречу друг другу), поэтому число соударений определяется средней скоростью движения молекул относительно друг друга.

По закону сложения случайных величин Из формулы для определения средней длины (3.2.1) получим:

Уравнение состояния идеального газа P nkT позволяет нам выразить n через давление P и термодинамическую температуру Т. Тогда Таким образом, при заданной температуре средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению Р:

Например, при d = 3 = 31010 м, Р = 1 атм, Т = 300 К, средняя длина свободного пробега 107 м, а т. к. 103 м/с, то среднее число столкновений 103 107 1010.

Особые необратимые процессы, возникающие в термодинамически неравновесных системах, называются явлениями переноса. К ним относятся диффузия (перенос массы); теплопроводность (перенос энергии) и вязкость, или внутреннее трение (перенос импульса).

Диффузия от латинского diffusio – распространение, растекание взаимное проникновение соприкасающихся веществ друг в друга вследствие теплового движения частиц вещества. Диффузия происходит в направлении уменьшения концентрации вещества и ведет к его равномерному распределению по занимаемому объему. Диффузия имеет место в газах, жидкостях и твердых телах. Наиболее быстро диффузия происходит в газах, медленнее – в жидкостях, еще медленнее – в твердых телах, что обусловлено характером движения частиц в этих средах.

Для газа диффузия – это распределение молекул примеси от источника (или взаимная диффузия газа).

Диффузионный поток пропорционален градиенту концентрации и подчиняется закону Фика29:

Знак минус в уравнении Фика показывает, что диффузионный поток направлен в сторону уменьшения концентрации. При этом коэффициент диффузии D численно равен диффузионному потоку через единицу площади в единицу времени при grad n 1.

Согласно кинетической теории газов коэффициент диффузии D равен диффузии D ~ T 3 2 P. Таким образом, с увеличением температуры диффузия в газах ускоряется, с ростом давления – замедляется. Диффузия в газах с тяжелыми молекулами протекает медленнее.

Измеряется коэффициент диффузии в м2/с.

Внутреннее трение (вязкость) возникает между слоями газа или жидкости, перемещающимися параллельно друг другу с разными по модулю скоростями. Если какое-либо тело движется в газе, то оно сталкивается с молекулами газа и сообщает им импульс. С другой стороны, тело тоже будет испытывать соударения со стороны молекул и получать собственный импульс, но направленный в противоположную сторону.

Газ ускоряется, тело тормозится, т. е. на тело действуют силы трения.

Такая же сила трения будет действовать и между двумя соседними слоями газа, движущимися с разными скоростями.

Таким образом, причиной внутреннего трения в газах является перенос импульса из одного слоя в другой. Сила трения пропорциональна градиенту скорости и подчиняется закону Ньютона30 для вязкого трения:

Здесь – коэффициент динамической вязкости, зависящей от плотности газа :

Коэффициент вязкости численно равен импульсу, переносимому в единицу времени через единицу площади при градиенте скорости равном единице.

Коэффициент вязкости газов растет с повышением температуры пропорционально Т. Измеряется коэффициент вязкости в Пас.

Теплопроводностью называется явление переноса внутренней энергии из одного слоя газа в другой. Если в соседних слоях газа создана и поддерживается разность температур, то между ними будет происходить обмен тепла. Благодаря хаотическому движению молекулы в соседних слоях будут перемешиваться и их средние энергии будут выравниваться. Происходит перенос энергии от более нагретых слоев к более холодным телам. Тепловой поток q пропорционален градиенту температуры и подчиняется закону Фурье31:

Кинетическая теория газов дает для коэффициента теплопроводности следующее выражение:

где CVуд – удельная теплоемкость при постоянном объеме.

Анализ данного выражения, показывает, что с увеличением температуры теплопроводность газа возрастает и не зависит от давления.

Измеряется коэффициент теплопроводности в Дж/мсК 3.3. Диффузия газов. Вывод закона Фика* И так, диффузия взаимное проникновение соприкасающихся веществ друг в друга. Для газа – это распределение молекул примеси от источника в направлении уменьшения концентрации вещества.

Решаем одномерную задачу. Пусть в газе присутствует примесь с концентрацией n в точке с координатой х. Концентрация примеси зависит от координаты х (рис. 3.4).

Градиент концентрации в общем случае равен:

Так как у нас одномерная задача, то grad n.

При наличии grad n, хаотическое движение будет более направленным и возникнет поток молекул примеси, направленный от мест с большей концентрацией к местам с меньшей концентрацией. Найдм этот поток.

Пусть в плоскости с координатой х находится единичная площадка dS, перпендикулярная оси х. Подсчитаем число молекул, проходящих через площадку в направлении слева направо dN и справа налево dN, за время dt (рис. 3.4):

где n1 концентрация молекул слева от площади, а n2 концентрация молекул справа от площадки dS. Тогда Результирующий диффузионный поток через единицу площади в единицу времени:

но n2 n 1 dn; 2 dx, из этого следует, что Обозначим: D – коэффициент диффузии. Тогда диффузионный поток будет равен:

Это выражение называется законом Фика и показывает, что диффузионный поток направлен в сторону уменьшения концентрации.

Следует отметить, что закон Фика справедлив не только для процесса взаимного проникновения одного газа в другой, но так же хорошо описывает диффузию частиц в жидкостях и твердых телах.

3.4. Вывод закона Ньютона для силы вязкого трения* Рассмотрим ещ одну систему координат: от х (рис. 3.5).

Пусть в покоящемся газе вверх, перпендикулярно оси х, движется пластинка со скоростью 0, причм 0 ( – скорость теплового движения молекул). Пластинка увлекает за собой прилегающий слой газа, тот слой – соседний и так далее. Весь газ делится как бы на тончайшие слои, скользящие вверх тем медленнее, чем дальше они от пластинки. Раз слои газа движутся с разными скоростями, возникает трение. Выясним причину трения в газе.

Каждая молекула газа в слое принимает участие в двух движениях:

тепловом и направленном.

Так как направление теплового движения хаотически меняется, то в среднем вектор тепловой скорости равен нулю 0. При направленном движении вся совокупность молекул будет дрейфовать с постоянной скоростью. Таким образом, средний импульс отдельной молекулы массой m в слое определяется только дрейфовой скоростью :

Но так как молекулы участвуют в тепловом движении, они будут переходить из слоя в слой. При этом они будут переносить с собой добавочный импульс, который будет определяться молекулами того слоя, куда перешла молекула. Перемешивание молекул разных слов приводит к выравниванию дрейфовых скоростей разных слов, что и проявляется макроскопически как действие сил трения между слоями.

Вернемся к рис. 3.5 и рассмотрим элементарную площадку dS перпендикулярно оси х. Через эту площадку за время dt влево и вправо переходят потоки молекул:

Но эти потоки переносят разный импульс: m0 1dN и m 2dN.

При переносе импульса от слоя к слою происходит изменение импульса этих слов. Это значит, что на каждый из этих слов действует сила, равная изменению импульса. Сила эта есть не что иное, как сила трения между слоями газа, движущимися с различными скоростями.

Отсюда и название – внутреннее трение (вязкость газов).

Закон вязкости был открыт И. Ньютоном в 1687 г.

Переносимый за время dt импульс d(m) равен:

Отсюда получим силу, действующую на единицу площади поверхности, разделяющей два соседних слоя газа:

Так как 2 – 1 = d, а 2 = dx, то сила трения будет равна:

Это выражение называется законом Ньютона для силы вязкого трения. Здесь – коэффициент вязкости, равный:

Физический смысл в том, что он численно равен импульсу, переносимому в единицу времени через единицу площади при градиенте скорости равном единице.

3.5. Теплопроводность газов. Вывод закона Фурье* Учение о теплопроводности начало развиваться в XVIII в. и получило свое завершение в работах французского ученого Ж. Фурье, опубликовавшего в 1822 г. книгу «Аналитическая теория теплоты».

Рис. 3.6. К выводу закона Фурье для теплопроводности газов. Тепловой поток направлен в сторону, противоположную градиенту температуры Рассмотрим газ, заключнный между двумя параллельными стенками, имеющими разную температуру Та и Тб (рис. 3.6). Итак, у нас имеdT ется градиент температуры х будет идти поток тепла. Хаотично двигаясь, молекулы будут переходить из одного слоя газа в другой, перенося с собой энергию. Это движение молекул приводит к перемешиванию молекул, имеющих различm 2 i ную кинетическую энергию Ек kT, здесь i – число степеней свободы молекулы.

При подсчте потока тепла введм следующие упрощения:

среднеарифметическая скорость теплового движения молекул концентрация молекул в соседних слоях одинакова (хотя на самом деле она различается, что дат ошибку 10 %).

Снова вернмся к рис. 3.6. Через площадку dS за время dt слева проходит dN ndSdt молекул. Средняя энергия этих молекул К соответствует значению энергии в том месте, где они испытывают последний раз столкновение. Для одной молекулы газа:

Соответственно, справа проходит dN n dSdt молекул.

Pages: |

| 2 | 3 |

Главная >> Методички

[ СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ ДОКУМЕНТА .pdf ]

Похожие работы:

«1 ЮРИДИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра теории и истории государства и права Епифанов А.Е. АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ИСТОРИИ ГОСУДАРСТВА И ПРАВА ЗАРУБЕЖНЫХ СТРАН Учебно-методический комплекс для подготовки магистра по направлению 03090 Юриспруденция Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры _ _ 2012 г. Протокол № Зав. кафедрой _ Д.Н.Вороненков Санкт-Петербург – СОДЕРЖАНИЕ Наименование раздела Стр. Раздел 1. Рабочая программа учебной дисциплины Актуальные проблемы истории государства и права зарубежных...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ С.Ф. Соболев Технология электромонтажа Санкт-Петербург 2007 УДК 65.015.13 Соболев С.Ф. Технология электромонтажа. Методические указания по разработке курсового проекта и подготовки к занятиям по технологии электромонтажа. –СПб СПбГУ ИТМО-2008-88с. Методические указания содержат описание видов электромонтажа...»

«ОАО Концерн Росэнергоатом Курская атомная станция ОТЧЕТ ПО ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ 2011 БЕЗОПАСНОСТИ по итогам 2011 года 1 Отчет по экологической безопасности по итогам 2011 года Отчет Филиала ОАО Концерн Росэнергоатом Курская атомная станция по экологической безопасности по итогам 2011 года подготовлен во исполнение приказа Госкорпорации Росатом от 04.02.2010 №90 О совершенствовании реализации Экологической политики Госкорпорации Росатом и Методических указаний по реализации Экологической политики...»

«1. Общие положения 1.1. Основная образовательная программа бакалавриата, реализуемая Тамбовским государственным университетом имени Г.Р. Державина по направлению подготовки бакалавра 072500 Дизайна и профилю подготовки средовой дизайн представляет собой систему документов, разработанную и утвержденную высшим учебным заведением с учетом требований дизайнерского рынка труда на основе Федерального государственного образовательного стандарта по соответствующему направлению подготовки высшего...»

«1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИВАНОВСКИЙ ФИЛИАЛ О ПРОХОЖДЕНИИ ПРЕДДИПЛОМНОЙ ПРАКТИКИ И ВЫПОЛНЕНИИ ДИПЛОМНОЙ РАБОТЫ Методические указания для студентов всех специальностей Иваново 2011 2 ОГЛАВЛЕНИЕ 1. О прохождении преддипломной практики и выполнении дипломной работы. 1.1. Цели и этапы преддипломной практики...»

«Общая сОциОлОгия Под редакцией доктора экономических наук, профессора М.М. Вышегородцева Рекомендовано ФГУ Федеральный институт развития образования в качестве учебного пособия для использования в учебном процессе образовательных учреждений, реализующих программы высшего профессионального образования УДК 316(075.8) ББК 60.5я73 О-28 Рецензенты: А. Л. Маршак, заведующий кафедрой социологии и гуманитарных дисциплин Российской академии предпринимательства, д-р филос. наук, проф., Э. В. Онищенко,...»

«Министерство здравоохранения Республики Беларусь Республиканский научно-практический центр Кардиология Белорусское научное общество кардиологов Национальные рекомендации РЕАБИЛИТАЦИЯ БОЛЬНЫХ КАРДИОЛОГИЧЕСКОГО И КАРДИОХИРУРГИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ (КАРДИОЛОГИЧЕСКАЯ РЕАБИЛИТАЦИЯ) Настоящие рекомендации подготовлены сотрудниками лаборатории реабилитации больных кардиологического и кардиохирургического профиля РНПЦ Кардиология МЗ Республики Беларусь доктором мед. наук, профессором С.Г. Суджаевой, канд....»

«Культурология: Учебник для вузов, 2005, Вадим Маркович Розин, 5829701340, 9785829701345, Гардарики, 2005 Опубликовано: 14th September 2009 Культурология: Учебник для вузов СКАЧАТЬ http://bit.ly/1cg0OKu Природа любви, Вадим Розин, Рина Шапинская, 1993, Love, 173 страниц.. Семиотические исследования, В. М Розин, 2001, Literary Criticism, 251 страниц.. История мировой культуры: учебное пособие, Volume 2 учебное пособие, Евгений Алексеевич Соловьев, 2007, History, 347 страниц.. Личность и ее...»

«УДК 620.9 ББК 31.27 С78 Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине Методы и средства энергои ресурсосбережения подготовлен в рамках инновационной образовательной программы Создание инновационного центра подготовки специалистов мирового уровня в области автоматизированных электротехнологических комплексов для цветной металлургии и машиностроения, реализованной в ФГОУ ВПО СФУ в 2007 г. Рецензенты: Красноярский краевой фонд науки; Экспертная комиссия СФУ по подготовке...»

«Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮРИДИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра гражданского права и процесса УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Учебная дисциплина ТРУДОВОЕ ПРАВО Направление 030900 Юриспруденция, квалификация Бакалавр юриспруденции Разработчики: к.ю.н., доц. Калашникова И.А., доц. Седов А.В. Санкт-Петербург 2012 Учебно-методический комплекс по дисциплине Трудовое право составлен в соответствии с требованиями федеральных государственных образовательных...»

«Уважаемые читатели! Кафедра математики и информатики МОУ ГПЛ предлагает вашему вниманию третий №3, 2012 номер информационно-методического бюллетеня. В этом году он посвящён обобщению опыта учителей кафедры. В рубрике Педагогический опыт представлены авторские меДата выпуска бюллетеня тодические фрагменты уроков, подготовленные учителями кафедры. Надеемся, что в дальнейшем наша копилка будет пополняться и другими материалами. На страницах бюллетеня опубликован сценарии ярких мероприятий декады....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ Н. А. БОНЮШКО, А. А. СЕМЧЕНКО СОВРЕМЕННЫЕ ТЕНДЕНЦИИ В ОБЛАСТИ ВНЕДРЕНИЯ ГОСТ Р ISO 9001-2011 Сборник кейсов ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА ББК 30. Б Рекомендовано научно-методическим советом...»

«КОНЦЕПЦИИ СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Проскурин Сергей Геннадьевич к.ф-м.н, доцент 2012 Проскурин С.Г. КСЕ АННОТАЦИЯ В данной работе рассматриваются вопросы современного естествознания, которые студентам гуманитарных специальностей понимать сложнее. Особое внимание уделяется расшифровке слов иностранного происхождения, часто используемых в качестве научной терминологии. В большинстве глав, наряду с общепринятыми концепциями традиционно излагаемыми в учебниках, рассматриваются и...»

«Федеральное агентство по образованию Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ Т.А. Пыжова, Г.В. Лупенко, И.А. Масленникова МАТЕМАТИКА Учебное пособие для углубленного изучения математики в 7-м классе Москва 2009 УДК 51(075) ББК 22.127 П 94 Пыжова Т.А., Лупенко Т.В., Масленникова И.А. Математика: Учебное пособие для углубленного изучения математики в 7-м классе. М.: МИФИ, 2009. – 76 с. Даны примеры задач по алгебре и геометрии для 7-го класса. Задачи систематизированы по темам и...»

«Школа менеджеров инвестиционных проектов Под общей редакцией Савельева Ю.В., Жирнель Е.В. Учебно-методическое пособие БИЗНЕС-ПЛАНИРОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ Петрозаводск 2007 Бизнес-планирование и разработка инвестиционных проектов СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 1. Тема Инвестиции и их виды 1.1. Сущность и классификация инвестиций 1.2. Принципы инвестирования, основные этапы инвестиционного проекта 2. Тема Структура и виды бизнес-плана 2.1. Сущность, роль и функции бизнес-планирования...»

«Методическое объединение вузовских библиотек Алтайского края Вузовские библиотеки Алтайского края Сборник Выпуск 11 Материалы научно-практической конференции Барнаул 2011 ББК 78.34 (253.7)657.1 В 883 Отв. за выпуск: М. А. Куверина Компьютерный набор: Е. А. Эдель Издано в авторской редакции Вузовские библиотеки Алтайского края: сборник : Вып. 11 : материалы науч.- практ. конф. / Метод. объединение вуз. библиотек Алт. края. – Барнаул : Типография АлтГТУ, 2011. – 81 с. В сборнике представлены...»

«М Р Ф М - ( ) О ЭВМ 2-е издание, переработанное и дополненное Рекомендовано Учебно-методическим объединением высших учебных заведений Российской Федерации по образованию в области прикладных математики и физики в качестве учебного пособия для студентов вузов по направлению подготовки Прикладная математика и физика М МФТИ 2013 УДК 004.42(075) ББК 32.973я73 075 А в т о р ы: Г. С. Речистов, Е. А. Юлюгин, А. А. Иванов, П. Л. Шишпор, Н. Н. Щелкунов, Д. А. Гаврилов Рецензенты: Кафедра информационных...»

«КАФЕДРА ТЕХНИКИ И ТЕХНОЛОГИИ НЕФТЕГАЗОВОГО ПРОИЗВОДСТВА ИНСТИТУТА (ФИЛИАЛА ) МАМИ В МАХАЧКАЛЕ История кафедры Кафедра была создана в 2003г. с целью подготовки квалифицированных специалистов нефтегазового комплекса, прежде всего для ведущих предприятий Республики Дагестан, а также для нефтегазодобывающих регионов России. У истоков организации и становления кафедры стояли известные ученые и педагоги, профессора, такие как: дтн, профессор Батдалов М.М., дтн, профессор Баламирзоев А.Г., ктн,...»

«Отчет кафедры Сравнительной экономики предпринимательства за 2011-2012 учебный год Оглавление 1 Выполнение Программы развития ГОУ ВПО РЭУ им. Г.В.Плеханова на 2010-2011 уч. г..2 2 Учебная деятельность 2.1 Характеристика НПР 2.2 Анализ выполнения педагогической нагрузки кафедрой 2.3 Объем нагрузки, выполненной с помощью современных технических средств.9 2.4 Использование инновационных образовательных технологий в учебной деятельности.9 2.5 Организация контроля самостоятельной работы студентов...»

«О.Д. ШАПОШНИК, Л.Ф. РЫБАЛОВА АНЕМИЯ У БЕРЕМЕННЫХ (ЭТИОЛОГИЯ, ПАТОГЕНЕЗ, КЛИНИКА,ДИАГНОСТИКА, ЛЕЧЕНИЕ) Учебно-методическое пособие для врачей-курсантов Челябинск, 2002 год В практике врача акушера-гинеколога анемия у беременных женщин встречается как наиболее частая патология, определяющая развитие множества осложнений гестационного периода. Пособие составлено на основе обобщения данных литературы. Представлены в краткой форме современные данные об этиологии, патогенезе, клинической картине,...»

наверх

<< ГЛАВНАЯ | КОНТАКТЫ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА (Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КУРС ФИЗИКИ

С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА.

ТЕРМОДИНАМИКА

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ КНИГОЙ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВВЕДЕНИЕ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)