«Авторы: И. В. Левандовская, И. С. Дмитренко, О. Н. Кузнецова, Н. С. Грудкина. ЭКОНОМИКОМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Учебное пособие В печать экз. Утверждено Первый проректор на заседании А. Н. Фесенко ученого совета ...»

8.2 Системы массового обслуживания Системы массового обслуживания (СМО) это системы, которые используются много раз при решении задач одного типа. Такие системы являются типовыми для процессов обслуживания. Например, телефонные системы, магазины, билетные кассы, парикмахерские.

СМО состоят из какого-либо числа обслуживающих устройств (каналов): рабочие, приборы, компьютеры, продавцы. В зависимости от количества каналов СМО делятся на одно канальные и много канальные. СМО также классифицируются в зависимости от очереди на СМО с отказами (без очереди), СМО с ограниченной очередью, СМО с неограниченной очередью.

Заявки поступают на СМО в произвольном порядке. Это телефонные звонки, покупатели, сигналы об аварии и тому подобное. Они образуют случайный поток заявок (требований), которые обслуживаются случайное количество времени. Это ведет к неравномерной работе СМО, усложняет ее эксплуатацию.

Поэтому предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, которые связывают заданные условия роботы (число каналов, характер потока заявок и т. п.) с показателями эффективности СМО (среднее время пребывания заявки в СМО, вероятность отказа, среднее число заявок в очереди и т. п.).

Процесс работы СМО является случайным процессом с дискретными состояниями и непрерывным временем. Это значит, что состояние СМО изменяется прыжками в случайные моменты появления каких-то событий, например, пришла новая заявка, освободился канал. Математический анализ работы СМО упрощается, если процесс марковский.

Случайный процесс называется марковским или случайным процессом без последствий, если для любого момента времени t0 вероятности характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент времени t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

8.2.1 Поток событий Важнейшее понятие для математического описания марковского случайного процесса – поток событий. Под потоком событий понимается последовательность типичных событий, которые наступают одна за другой в любые случайные моменты времени (поток покупателей).

Поток событий характеризуется интенсивностью – частотой появления событий или средним числом событий, которые поступают в СМО за единицу времени.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени.

Поток событий называется потоком без последействий, если для любых двух непересекающихся отрезков времени t1 и t 2 – число событий, которые попадают на один из них, не зависит от числа событий, которые попадают на второй.

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый промежуток времени двух или больше событий очень мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарный, ординарный и не имеет последействий.

Рассмотрим, в качестве примера простейшего потока, поток покупателей магазина. Его плотность изменяется в течение дня, но средняя плотность в одно и тоже время постоянная, то он стационарный. Этот поток практически не имеет последействия. А вероятность того, что продавец начнет обслуживать абсолютно одновременно двух покупателей очень мала, поэтому можем считать поток ординарным. Выполняются все условия, итак поток покупателей действительно простейший.

При наложении (суперпозиции) достаточно большого числа n независимых, стационарных и ординарных потоков (близких между собой по интенсивности) получим поток, близкий к простейшему с интенсивностью, что равняется сумме всех интенсивностей:

Рассмотрим на оси времени Ot простейший поток событий как неограниченную последовательность случайных точек (рис.8.1).

Для простейшего потока число m событий (точек), попадающих на произвольный участок времени, распределено по закону Пуассона:

для которого математическое ожидание случайной величины равняется ее Вероятность того, что за время t не состоится ни одного события ( m = 0 ) равна:

Найдем распределение времени T между какими-либо двумя соседними событиями простейшего потока. Вероятность того, что на промежутке времени длиной t не появится ни одно из следующих событий, равняется:

Тогда вероятность противоположного события, функции распределения случайной величины T равна Плотность вероятности случайной величины:

Распределение, которое задает функция (t ), называется показательным. Интервал времени между двумя соседними событиями имеет показательное распределение, для которого математическое ожидание равно а = = 1 /.

Важным свойством показательного распределения есть следующее: если промежуток времени, распределенный по показательному закона уже длится некоторое время t 0, то это никак не влияет на закон распределения части промежутка, которая осталась (T t0 ) ; он будет таким же, как на всем интервале T.

Для простейшего потока с интенсивностью вероятность попадания на элементарный (малый) промежуток времени t хотя бы одного события потока равняется:

8.2.2 Уравнения Колмогорова Рассмотрим математическое описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем на примере технического прибора с двумя узлами и четырьмя состояниями: S 0 – оба узла работают;

S1 – первый в починке, второй работает; S 0 – второй в починке, первый работает; S 0 – оба в починке (рис.8.2).

Будем считать, что переход системы с одного состояния Si к другому S j осуществляется под действием простейших потоков событий с интенсивностью ij ( i, j = 0,1, 2, 3 ). Вероятностью i -го состояния называется вероятность pi (t ) того, что в момент t система находится в состоянии Si. Для любого момента t сумма вероятностей всех состояний равняется единице, т.е.

Рассмотрим систему в момент времени t и, задав малый промежуток t, найдем вероятность того, что система в момент времени t + t будет находиться в состоянии S 0.

Первая возможность. Система в момент t с вероятностью p0 (t ) находилась в состоянии S 0, а за время t не вышла из него. Перейти она может в состояние S1 или S 2, т. е. суммарным простейшим потоком с интенсивностью (01 + 02 ) согласно формулы (8.4). Вероятность перехода согласно формулы (8.10) – ( 01+ 02 ) t, а вероятность противоположного события – (1 ( 01+ 02 ) t ). Используя закон умножения вероятностей, получим нужную вероятность p0 (t )(1 (01 + 02 )t ).

Вторая возможность. Система в момент t с вероятностью p1 ( t ) или p2 (t ) находилась в состоянии S1 или S 2, а за время t перешла в состояние S 0. Потоком с интенсивностью 10 (или 20 ) система перейдет в состояние S 0 с вероятностью, приближенно равной 10 t (или 20 t ). Вероятность того, что система находится в состоянии S 0 равняется p1 (t ) 10 t (или p2 (t ) 20 t ). Используя закон сложения вероятностей, получим скобки, перенесем p0 (t ) на другую сторону уравнения и разделим уравнение на t, получим Получили дифференционное уравнение первого порядка для состояния S 0.

Аналогично рассматривая другие состояния системы, получим систему дифференционных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний системы:

Правило составления уравнений Колмогорова.

В левой части каждого из них стоит производная вероятности i -го состояния. В правой части сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых можно вернутся в i -е состояние (из которых идут стрелки в это состояние), на интенсивность соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков событий, которые выводят систему из i -го состояния, умноженная на вероятность этого состояния.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений Колмогорова в предельном стационарном режиме, при t 0. В этом случае pi (t ) называются предельными вероятностями состояний.

В теории случайных процессов доказано, что если количество состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное количество шагов) перейти к любому другому состоянию, то предельные вероятности существуют.

Предельная вероятность состояния Si показывает среднее относительное время, которое система находился в этом состоянии. Т. е. pi (t ) – постоянные, а их производные равняют 0.

Система дифференционных уравнений Колмогорова в предельном стационарном режиме имеет вид:

Правило составления системы по графу.

В левой части уравнения находится предельная вероятность данного состояния pi, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а в правой части – сумма произведений интенсивностей всех потоков, которые входят в i -е состояние, на вероятность тех состояний, из которых эти потоки выходят.

Полученная система однородная, поэтому неизвестные могут быть найдены только до произвольного множителя. Используем формулу (8.11) вместо одного из уравнений, например, последнего:

Для графа, изображенного на рисунке 8.2, зададим значения интенсивностей простейших потоков 01= 2, 02 = 1, 10 = 1, 20 = 3, 13 = 2, 23= 1, 31= 3, 32 = 2. Необходимо найти вероятность каждого состояния системы и оценить, выгодно ли использовать этот пример, если каждую единицу времени состояние S 0 приносит доход – 10 денежных единиц, S1 – денежные единицы, S 2 – 2 денежные единицы, S 3 – 6 денежных единиц.

Решение. Воспользовавшись правилом составления уравнений и графом, составим систему уравнений:

Это означает, что в предельном стационарном режиме система будет 29% времени находится в состоянии S 0, 37% – в состоянии S1, 16% – в состоянии S 2, 18% – в состоянии S 3.

П = 0, 3 10 + 0, 39 4 + 0,17 2 0,18 6 = 3, 82 условных единиц. Видим, что систему с заданными условиями эксплуатировать выгодно.

8.2.3 Процесс гибели и размножения Название этого процесса связано с биологической задачей, которая исследует математическую модель смены количества животных популяций. Граф состояний системы имеет вид (рис.8.3):

Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы S 0, S1, S 2,…, S n. Переход из одного состояния в другой возможен только для тех из них, которые стоят рядом.

Будем считать все потоки событий простейшими с соответствующими интенсивностями ij. По графу, в соответствии с правилом, составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова и найдем предельные вероятности состояний системы:

Подставим первое уравнение системы во второе и получим ( 10 + 12 ) p1 = 10 p1 + 21 p2. Упростим уравнение 12 p1 = 21 p2. Полученное уравнение можно использовать в третьем уравнении системы и так далее.

Система уравнений примет вид:

Используя полученный результат во втором уравнении системы (15), найдем:

Повторяя эти действия, найдем:

Значения всех pi (i = 1,..., n ) подставим в (8.16). Вынесем p0 за скобки и найдем его значение:

Формулы (8.19), (8.20) дают возможность вычислить предельные вероятности состояний системы.

Формулы Литтла.

Введем формулу, которая связывает среднее число заявок, которые находятся в СМО и среднее время нахождения заявки в системе.

Первое правило Литтла. Среднее время пребывания в системе равно среднему числу заявок в системе, разделенному на интенсивность потока заявок.

Второе правило Литтла. Среднее время пребывания заявки в очереди равно среднему числу заявок в очереди, разделенному на интенсивность потока заявок.

8.2.4 СМО с отказами В этом разделе мы рассмотрим работу таких СМО, которые не принимают заявки, если все каналы заняты. Это, например, работа многоканального телефона. Если все его каналы заняты, вызов выходит из системы, никак на нее не влияя.

Показатели эффективности СМО с отказами:

– абсолютная пропускная способность СМО, то есть число заявок, которые обслуживаются в единицу времени;

Q – относительная пропускная способность СМО, то есть средняя доля заявок, которые обслуживаются системой, от тех, которые пришли к ней;

Pb – вероятность отказа;

k – среднее число занятых каналов (для много канальной системы).

Одноканальная СМО с отказами.

СМО имеет один канал, поэтому может находиться в двух состояниях:

S 0 – канал свободен, S1 – канал занят.

Поток заявок, который поступает в систему, имеет интенсивность. Поток обслуживания имеет интенсивность µ. Составим граф этой системы (рис.8.4):

Используя правило составления системы уравнений графа, составим систему алгебраических уравнений состояний:

Присоединим к системе p0 + p1 = 1. Тогда предельные вероятности состояний системы равны Формулы (8.22) показывают среднее относительное время пребывания системы в состоянии S 0 – канал свободен, поэтому и вероятность пребывания системы в состоянии S1 – канал занят, значит, Вычислим по формуле:

Многоканальная СМО с отказами.

Имеем n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью. Поток обслуживания имеет интенсивность µ. Необходимо найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S может находиться в состояниях S 0, S1, …, S n, где S k – состояние системы, когда в ней находится k заявок. Граф состояний СМО будет таким же, как для процесса гибели и размножения (рис. 8.4). Действительно, поток заявок последовательно переводит систему из одного состояния в другое с постоянной интенсивностью, тогда как интенсивность потока обслуживания изменяется в зависимости от состояния.

Используя расчеты для процесса гибели и размножения, будем считать Величина = называется приведенной интенсивностью потока заявок. Она показывает среднее число заявок, которые приходят за среднее время обслуживания одной заявки. Имеем, Формулы (8.27), (8.28) называются формулами Эрланга.

Найдем характеристики многоканальной СМО с отказами. Вероятность отказа СМО будет предельная вероятность того, что все каналы будут заняты Pотк = p0. Относительная пропускная способность будет вероятность того, что заявка будет обслужена Q = 1 Pотк = 1 p0. Абсолютная пропускная способность 8.2.5 Системы с неограниченной очередью Для систем с неограниченной очередью, также как и для предыдущих систем, характеризующие формулы составляются по системе уравнений Колмогорова. В данном пособии приведем таблицу формул, не выводя их (таблица 8.4).

Таблица 8. способность Относительная пропускная способность Среднее число занятых Среднее число заявок в Известны результаты наблюдений за потоком требований на обслуживание t сред = 25 – среднее время ожидания следующего требования для всего объема выборки;

uсред = 56 – заданное среднее время обслуживания требования одним устройством;

C экспл = 20 – стоимость содержания одного устройства в единицу времени;

Cпотери = 1495 – цена потери требования на обслуживание.

Выполнить следующие расчеты и построения:

1. Вычислить вероятность потери требований, когда система имеет один, два, три или четыре обслуживающих устройства.

2. Вычислить математические ожидания количеств потерь требований в единицу времени в случаях, когда система состоит из одного, двух, трех или четырех обслуживающих устройств.

3. Найти полную стоимость потерь (стоимость потерь + стоимость содержания приборов) для систем из одного, двух, трех или четырех обслуживающих устройств.

4. Указать оптимальный состав обслуживающей системы, для которой полная стоимость потерь является минимальной.

Решение. Для расчета вероятности потери заявки найдем интенсивность потока заявок и коэффициент загрузки обслуживающего устройства:

Вычислим вероятность потери заявки для различного количества каналов а) для одноканальной системы n = 1 :

б) для n = 2 :

в) для n = 3 :

г) для n = 4 :

Найдем математическое ожидание потери заявки в единицу времени:

Вычислим стоимость обслуживания системы:

Наименьшая стоимость обслуживания будет в системе с двумя обслуживающими устройствами.

Вопросы для самоконтроля 1. Что такое поток событий?

2. Какой поток называется простейшим?

3. Сформулируйте правило составления системы уравнений Колмогорова.

4. Основные характеристики СМО без очереди с одним каналом. Приведите примеры таких СМО.

5. Основные характеристики СМО с бесконечной очередью с одним каналом. Приведите примеры таких СМО.

6. Основные характеристики СМО с бесконечной очередью с n каналами. Приведите примеры таких СМО.

7. Построить граф состояния следующего случайного процесса: система состоит из двух телефонов-автоматов, расположенных рядом, каждый из которых в случайный момент времени может быть либо занятым, либо свободным.

8. Построить граф состояния следующего случайного процесса: система состоит из приемника, который может быть включен, выключен, или сломан.

9. Междугородный переговорный пункт имеет один телефонный аппарат для переговоров. В среднем поступает 10 звонков в час. Средняя продолжительность переговоров составляет 5 мин. Если аппарат занят, то заявка не принимается. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания системы.

10.В офисе поставили два автомата, продающих кофе. Собираться возле них не разрешают правила. Время обслуживания одного клиента – 3 мин. В среднем за час к автоматам подходит 4 клиента. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания системы.

11.Решается вопрос о необходимом количестве операторовтелефонистов для проведения статистического опроса во время прямого эфира с главой администрации. По предыдущим опросам известно, что среднее количество вызовов –90 единиц в час, а длительность звонка –2 мин. Сколько операторов нужно для этой работы, если нужно ответить не менее чем на 90% звонков?

12.Касса с одним кассиром работает 7 часов без перерыва. Среднее время обслуживания одного клиента – 2 мин. Среднее количество желающих получить билет за это время – 150 человек. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания 13.Сравнить характеристики обслуживания системы из задачи 12, если работает1, 2, 3 кассира. Какое количество кассиров нужно, чтобы занятость их была не менее 90%?

14.Летчик-заправщик находится в воздухе 3 часа. Среднее время обслуживания 1 истребителя – 30 мин. Среднее количество заявок за время работы –4. Вычислить основные характеристики системы.

Литература для самостоятельной работы по данному разделу [7] – гл. 18, с. 335-352, [8] – раздел III, гл. 15, с. 333-369, [12] – часть 5, гл.

24, 25, с. 440-473, [13] – часть V, гл. 16, 17, с. 373-401.

9 КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задания 1.1-1.30.

Задания 1.1 – 1.9. Капитал V млн. грн. может быть вложен в банк под m % годовых или инвестирован в производство, причем эффективность вложения в производство ожидается в размере n % (в год). Издержx ки задаются квадратичной зависимостью. Прибыль облагается налогом в p %. Определить, при каких значениях p частичное размещение в производство выгоднее чистого размещения капитала в банке.

Данные представлены в таблице 9.1.

Задания 1.10 – 1.16. Предприятие выпускает и реализует продукцию в объеме Q усл. ед.. Функции затрат C (Q ) и цены P (Q ) имеют вид:

а) максимальную прибыль предприятия; объем и цену, соответствующие максимальной прибыли;

б) средние и предельные затраты, соответствующие максимальной прибыли;

в) участки роста и убывания прибыли на отрезке [m, n ] ;

г) наименьшее значение затрат на отрезке [m, n ].

Данные представлены в таблице 9.2.

Задания 1.17 – 1.22. Опытным путем установлены функции спроса вара; q и S – количество товара, покупаемого и предлагаемого на продажу. Найти:

а) равновесную цену;

б) эластичность спроса и предложения для этой цены;

в) изменение дохода при увеличении цены на m % от равновесной.

Сделать экономический анализ результатов.

Данные представлены в таблице 9.3.

Задания 1.23 – 1.30. Статистическим путем установлено, что объем продукции u(t ) усл. ед. цеха в течение рабочего дня описывается функциa а) производительность труда, скорость и темп ее изменения через m ч после начала работы;

б) в какой момент времени производительность труда будет наибольшей. Результат пояснить аналитически и графически.

Сделать экономический анализ результатов.

Данные представлены в таблице 9.4.

Задания 2.1 - 2. Набор данных варианта производится из таблицы 9.5 и таблицы 9.6.

Например, варианту 2.21 соответствует условие заданий 2.13 – 2.25 (тип II) P20 = 5.

Задания 2.1 – 2.30. Даны функции спроса на товары вида I и II соответственно:

где P1 и P2 - цены I и II товаров. Необходимо:

3) Определить, на сколько процентов изменится спрос на товар вида II при изменении на один процент цены на товар вида I при P1 = P10 ; P2 = P20.

4) При фиксированной цене P2 = P20 определить аналитически и графически, для 2.15–2. 3) Определить, на сколько процентов изменится спрос на товар вида I при изменении на один процент цены на товар вида II при P2 = P20 ; P1 = P10.

4) При фиксированной цене P1 = P10 определить аналитически и графически, для Таблица 9. Набор данных варианта производится из таблиц 9.7 и 9.8. Например, варианту 7 соответствует условие заданий 3.1 – 3.25 (тип I) с данными:

где P1 и P2 - цены I и II видов товара соответственно. Затраты на производство этих товаров C ( x, y ) Таблица 9. Задания 4.1-4.13. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = z (x, y ) в области D, ограниченной заданными линиями:

Задания 4.14 – 4.30. Исследовать на экстремум функцию:

Задания 5.1 - 5.12. Найти вектор национальных доходов трёх стран для сбалансированной торговли, если структурная матрица торговли имеет вид:

Задания 5. 13 - 5. 30. В таблице 9.9 приведены данные об исполнении баланса за отчётный период (условные единицы). Вычислить необходимый объём валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление первой отрасли увеличится в P раз, а второй - на q процентов.

Таблица 9. Производство Набор данных варианта производится из таблицы 9.10.

Таблица 9. Задания 6.1-6.30. Прикладные задачи.

1. Для изготовления изделий A и B фабрика расходует в качестве сырья сталь и цветные металлы, имеющиеся в ограниченном количестве.

Указанные изделия производятся с помощью токарных и фрезерных станков. Определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль. Исходные данные приведены в таблице 9.11.

Таблица 9. 2. При составлении суточного рациона кормления скота можно использовать свежее сено (не более 50 кг) и силос (не более 85 кг). Рацион должен обладать определенной питательностью (число кормовых единиц не менее 30) и содержать питательные вещества: белок (не менее 1 кг), кальций (не менее 100 г) и фосфор (не менее 80 г). Определить оптимальный рацион из условия минимума себестоимости.

Данные о содержании указанных компонентов в 1 кг каждого продукта питания и о себестоимости этих продуктов приведены в таблице 9.12.

Таблица 9. Продукт Количество Белок, Кальций, Фосфор, Себестоимость, 3. В пунктах A и B находятся соответственно 150 и 90 т горючего.

Пунктам 1, 2, 3 требуются соответственно 60, 70, 110 т горючего. Стоимость перевозки 1 т горючего из пункта A в пункты 1, 2, 3 равна 60, 10, тыс. руб. за 1 т соответственно, а из пункта B в пункты 1, 2, 3 – 120, 20, тыс. руб. за 1 т соответственно.

Составить план перевозок горючего, минимизирующий общую сумму транспортных расходов.

4. Три завода выпускают грузовые автомобили, которые отправляются четырем потребителям. Первый завод поставляет 90 платформ грузовиков, второй – 30 платформ, третий – 40 платформ. Требуется поставить платформы следующим потребителям: первому – 70 шт., второму – 30, третьему – 20, четвертому – 40 шт. Стоимость перевозки одной платформы от поставщика до потребителя указана в таблице 9.13.

Составить оптимальный план доставки грузовых автомобилей.

5. Строительство магистральной дороги включает задачу заполнения имеющихся на трассе выбоин до уровня основной дороги и срезания в некоторых местах дороги выступов. Срезанным грунтом заполняют выбоины. Перевозка грунта осуществляется грузовиками одинаковой грузоподъемности. Расстояние в километрах от срезов до выбоин и объемы работ указаны в таблице 9.14.

I II III

Составить план перевозок, минимизирующий общий пробег грузовиков.

6. Груз, хранящийся на трех складах и требующий для перевозки 60, 80, 106 автомашин соответственно, необходимо перевезти в четыре магазина. Первому магазину требуется 44 машины груза, второму – 70, третьему – 50 и четвертому – 82 машины. Стоимость пробега одной автомашины за 1 км составляет 10 д. е. Расстояния от складов до магазинов указаны в таблице 9.15.

Составить, оптимальный по стоимости план перевозки груза от складов до магазинов.

7. На складах A, B, C находится сортовое зерно 100, 150, 250 т, которое нужно доставить в четыре пункта. Пункту 1 необходимо поставить 50 т, пункту 2 – 100, пункту 3 – 200, пункту 4 – 150 т сортового зерна. Стоимость доставки 1 т зерна со склада A в указанные пункты соответственно равна 80, 30, 50, 20 д. е.; со склада B – 40, 10, 60, 70 д. е.; со склада C – 10, 90, 40, 30 д. е.

Составить оптимальный план перевозки зерна из условия минимума стоимости перевозки.

8. Завод имеет три цеха – A, B, C и четыре склада – 1; 2; 3; 4. Цех A производит 30 тыс. шт. изделий, цех B – 40 тыс. шт.; цех C – 20 тыс. шт.

изделий. Пропускная способность складов за то же время характеризуется следующими показателями: склад 1 – 20 тыс. шт. изделий; склад 2 – 30 тыс. шт.; склад 3 – 30 тыс. шт.; и склад 4 – 10 тыс. шт. изделий. Стоимость перевозки в денежных единицах 1 тыс. шт. изделий из цеха A на склады 1, 2, 3, 4 – соответственно 20, 30, 40, 40, из цеха B – соответственно 30, 20, 50, 10, а из цеха C – соответственно 40, 30, 20, 60.

Составить такой план перевозки изделий, при котором расходы на перевозку 90 тыс. шт. изделий были бы наименьшими.

9. На строительном полигоне имеется пять кирпичных заводов, объем производства, которых в сутки равен 600, 600, 500, 650, 700 т. Заводы удовлетворяют потребности семи строительных объектов соответственно в количестве 350, 450, 300, 450, 300, 200, 450 т. Оставшийся кирпич отправляют по железной дороге в другие районы. Кирпич на строительные объекты доставляется автомобильным транспортом. Расстояние в километрах от заводов до объектов указано в таблице 9.16.

Определить, с каких заводов и на какие объекты должен поставляться кирпич, а также какие заводы и в каком количестве должны отправлять кирпич в другие районы, чтобы транспортные издержки по доставке кирпича автотранспортом были минимальными. Стоимость перевозки 1 т кирпича автотранспортом удовлетворяет условию с = a + d ( x 1), где a = 25 д.е., d = 5 д.е., x – пробег, км.

10. Имеются две станции технического обслуживания (СТО), выполняющие ремонтные работы для трех автопредприятий. Производственные мощности СТО, стоимость ремонта в различных СТО, затраты на транспортировку от автопредприятий на СТО и обратно и прогнозируемое количество ремонтов в планируемом периоде на каждом автопредприятии приведены в таблице 9.17.

Требуется определить, какое количество автомашин из каждого автопредприятия необходимо отремонтировать на каждой СТО, чтобы суммарные расходы на ремонт и транспортировку были минимальными.

СТО Стоимость Затраты на транспортироку, Производственная количество, д. е.

11. Найти оптимальный план распределения заявок на ремонт для условий, приведенных в таблице 9.18.

кол-во ТО,ед.

12. Имеются два хранилища с однородным продуктом, в которых сосредоточено 200 и 120 т продукта соответственно. Продукты необходимо перевезти трем потребителям соответственно в количестве 80, 100 и 120 т.

Расстояния от хранилищ до потребителей (8 км) следующие, км (таблица 9.19):

Таблица 9. Затраты на перевозку 1 т продукта на 1 км постоянны и равны 5 д. е.

Определить план перевозок продукта от хранилищ до потребителей из условия минимизации транспортных расходов.

13. Промышленный концерн имеет два завода и пять складов в различных регионах страны. Каждый месяц первый завод производит 40, а второй – 70 ед. продукции. Вся продукция, производимая заводами, должна быть направлена на склады. Вместимость первого склада равна 20 ед.

продукции; второго – 30; третьего – 15; четвертого – 27; пятого – 28 ед.

Издержки транспортировки продукции от завода до склада следующие, ед.

(таблица 9.20):

Таблица 9. Распределить план перевозок из условия минимизации ежемесячных расходов на транспортировку.

14. Три нефтеперерабатывающих завода с суточной производительностью 10; 8 и 6 млн. галлонов бензина снабжают три бензохранилища, спрос которых составляет 6, 11, 7 галлонов. Бензин транспортируется в бензохранилища по трубопроводу. Стоимость перекачки бензина на 1км составляет 5 д. е. на 100 галлонов. Завод 1 не связан с хранилищем 3. Расстояние от заводов до бензохранилищ приведены в таблице 9.21:

Таблица 9. Сформулировать соответствующую транспортную задачу и решить на минимум транспортных затрат.

15. Пусть в задаче 12 производительность нефтеперерабатывающего завода 1 снизилась до 8 млн. галлонов. Кроме того, обязательно полное удовлетворение спроса бензохранилища 2. Недопоставки в хранилища 1 и 3 штрафуются на сумму 8 д. е. за каждый галлон.

Сформулировать соответствующую транспортную задачу и решить на минимум издержек.

16. Автомобили перевозят на трейлерах из трех центров распределения пяти продавцам. Стоимость перевозки в расчете на 1 км пути, пройденного трейлером, равна 60 д. е. Один трейлер может перевозить до автомобилей. Стоимость перевозок не зависит от того, насколько полно загружается трейлер. В приведенной ниже таблице 9.22 указаны расстояния между центрами распределения и продавцами, а также величины, характеризующие ежемесячный спрос и объемы поставок, исчисляемые количеством автомобилей.

Определить минимальные затраты на доставку автомобилей.

Таблица 9. распределения Спрос на автомобили, 17. Решить задачу распределения станков четырех различных типов по шести типам работ. Пусть имеются 30, 45, 25, и 20 станков соответствующих типов. Шесть типов работ характеризуются 30, 20, 10, 40, 10 и 10 операциями соответственно. На станке 3 не может выполняться работа 6. Исходя из коэффициентов стоимости операции, представленных в таблице 9.23, построить модель и выполнить оптимальное распределение станков по работам.

Таблица 9. 18. В данной транспортной задаче суммарный спрос превосходит суммарный объем производства. Пусть штрафы за недопоставку единицы продукции в пункты назначения 1, 2 и 3 равны соответственно 5, 3 и 2.

Исходные данные представлены в таблице 9.24.

Таблица 9. Найти оптимальное решение.

19. Пусть в задаче 16 не введены штрафы, а спрос пункта назначения 1 должен быть полностью удовлетворен. Сформулировать новую задачу и найти оптимальное решение.

20. В таблице 9.25 представлена несбалансированная транспортная задача, в которой назначается плата за хранение каждой единицы невывезенного из исходного пункта и груза. Пусть коэффициенты стоимости хранения груза в исходных пунктах 1; 2 и 3 соответственно равны 5; 6 и 2.

Таблица 9. Найти оптимальное решение, если весь объем груза исходного пункта 2 должен быть вывезен для того, чтобы освободить место для новой продукции.

21. Для производства двух видов изделий A и B используется три вида сырья. На производство единицы изделия A требуется затратить сырья первого вида 5 кг, сырья второго вида – 4 кг, третьего – 3 кг. На производство единицы изделия B требуется затратить сырья первого вида 3 кг, сырья второго вида – 3 кг, третьего – 4 кг. Производство обеспечено сырьем первого вида в количестве 750 кг, второго вида – в количестве 630 кг, третьего вида – 700 кг.

Прибыль от реализации единицы готового изделия A составляет денежных единиц, изделия B – 6 денежных единиц.

Составить план выпуска изделий, обеспечивающий максимальную прибыль.

22. Для изготовления определенного сплава из свинца, цинка и олова используется сырье в виде следующих пяти сплавов из тех же металлов, отличающихся составом и стоимостью 1 кг (таблица 9.26).

Таблица 9.

I II III IV V

Определить, сколько нужно взять сплава каждого вида, чтобы изготовить с минимальной себестоимостью сплав, содержащий 20% свинца, 30% цинка и 50% олова.

23. На судно грузоподъемностью 2000 т и емкостью 3080 м.куб нужно погрузить три товара: A, B, C. Объемные коэффициенты товара составляют соответственно 2,1, 1,2 и 2,3 м.куб/т. На портовом складе имеются 900 т товара A и одинаковое достаточно большое количество товара C и B. Товары B, C должны быть высланы в надлежащем отношении, а именно количество товара C не должно превышать половины количества товара B. Доход от перевозки одной тонны товара составляет соответственно 80, 75, 70 ен. ед. Какие количества отдельных товаров следует погрузить на судно, чтобы получить максимальный доход от перевозки.

24. Коммерческий магазин хочет закупить овощи A и B. Количество овощей, закупочные цены и цены, по которым магазин продает овощи, приведены в таблице 9.27.

Таблица 9. Как выгоднее вложить деньги, если общая сумма, которой располагает магазин в данное время, составляет 180 д.е., причем овощей A нужно приобрести не менее 10 тонн?

25. Составить план перевозок каменного угля с трех шахт на четыре теплостанции. План должен обеспечивать минимальные транспортные издержки. Суточная производительность шахт, потребность теплостанций и стоимость перевозки 1 тыс.т угля указаны в таблице 9.28.

Таблица 9. Шахты Стоимость перевозки Производительность 26. Составить математическую модель задачи и решить ее графическим методом.

Кондитерская фабрика освоила выпуск новых видов шоколада «Лунная начинка» и «Малиновый дождик», спрос на которые составляет соответственно не более 12 тонн и 7,7 тонны в месяц. По причине занятости трех цехов выпуском традиционных видов шоколада, каждый цех может выделить только ограниченный ресурс времени в месяц. В силу специфически технологического оборудования затраты времени на производство шоколада разные и представлены в таблице 9.29. Определите оптимальный объем выпуска шоколада, обеспечивающий максимальную выручку от продажи.

Таблица 9. Номер цеха Время на производство шоколада, ч Время, отведенное 27. Составить математическую модель задачи и решить ее графическим методом.

Фирма решила открыть на основе технологии производства чешского стекла, фарфора и хрусталя линию по изготовлению ваз и графинов и их декорирование. Затраты сырья на производство этой продукции представлены в таблице 9.30.

Сырье Расход сырья на производство Поставки сырья в неделю, каратное золото, г Определите оптимальный объем выпуска продукции, обеспечивающий максимальный доход от продаж, если спрос на вазы не превышает шт. в неделю.

28. Составить математическую модель задачи и решить ее графическим методом.

Для сохранения нормальной жизнедеятельности человек должен в сутки потреблять белков не менее 120 усл.ед., жиров не менее 70 и витаминов не менее 10 усл.ед. Содержание их в продуктах П1 и П2 равно соответственно (0.2; 0.075; 0) и (0.1; 0.1; 0.1). Стоимость 1 ед. продукта П1- ден.ед, П2- 3 ден.ед. Требуется так организовать питание, чтобы его стоимость была минимальной, а организм получил необходимое количество питательных веществ.

29. Составить математическую модель задачи и решить ее графическим методом.

Технологическому отделу завода нужно решить задачу о приготовлении не менее 5 т сплава для производства деталей. Сплав приготавливается из чистой стали и отходов цветных металлов. Расход чистой стали не должен превышать 4 т, а цветных металлов – 6 т. Отношение массы цветных металлов к массе стали в сплаве не должно быть больше, чем 7:8.

Производственно- технологические условия таковы, что на процессы плавки и литья не может быть отведено более 18 ч, при этом на 1 т стали уходит 4.5 ч, а на 1 т цветных металлов – 2 ч производственного времени.

Стоимость 1 т стали – 3 ден.ед., цветных металлов – 5 ден.ед. Найти оптимальный состав сплава при условии минимизации его стоимости.

30. Составить математическую модель задачи и решить ее графическим методом.

Сформируйте вариант приготовления бензина АИ-80 и АИ-95, который обеспечивает максимальный доход от продажи, если имеется 50т смеси 1-го сорта и 30 т смеси 2-го сорта. На изготовление бензина АИ-80 идет 60% смеси 1-го сорта и 40% смеси 2-го сорта, на изготовление бензина АИ-95 идет 80% смеси 1-го сорта и 20% смеси 2-го сорта. Реализуется 1т бензина АИ-80 за 5000 ден.ед, а АИ-95 – за 6000 ден.ед.

С помощью теоремы Кронекера - Капелли исследовать систему алгебраических уравнений (без непосредственного решения системы). При этом необходимо:

1 Найти ранги основной и расширенной матриц.

2 Обосновать аргументировано совместность или несовместность системы.

3 В случае совместности указать, сколько решений имеет система.

4 В результате исследования должна быть записана эквивалентная система алгебраических уравнений с минимальным числом уравнений.

Выбор данных варианта производится из таблицы 29 и уравнений.

Например, варианту 13 соответствует условие задания 7.13 в таблице. Для составления системы алгебраических уравнений необходимо взять 1, 6, 9 и 10-е уравнения в соответствии с набором, определенным в таблице 9.31.

Таблица 9.31.

Примечание. При вычислении ранга матриц каждое следующее эквивалентное преобразование должно сопровождаться пояснениями. Например, i - ю строку умножаем на число A и складываем с k - й строкой.

Задания 8.1-8.30. Найти максимум и минимум целевой функции F ( x, y ) на заданном множестве, ограниченном системой неравенств. Решить графическим методом. Варианты заданий приведены ниже в таблице 9.32.

Таблица 9. Задания 9.1-9.30. Решить графическим методом задачи с двумя переменными. Варианты заданий приведены ниже в таблице 9.33.

Таблица 9. Задания 10.1-10.30.

1) Найти все базисные и опорные решения системы уравнений:

2) Решить задачу симплекс-методом:

Варианты заданий приведены ниже в таблице 9.34.

Таблица 9. Задания 11.1-11.30. Решить симплексным методом задачу.

Варианты заданий приведены ниже в таблице 9.35.

Задание 12.1-12.30. Задачи линейного программирования:

а) решить симплекс-методом;

б) сформулировать двойственную задачу к исходной и решить её.

Варианты заданий приведены ниже в таблице 9.36.

Задания 13.1-13.30. Имеются три пункта поставки однородного груза – A1, A2, A3 и пять пунктов потребления этого груза – B1, B2, B3, B4, B5.

В пунктах A1, A2, A3 находится груз a1, a 2, a3 соответственно. Груз необходимо доставить в пункты B1, B2, B3, B4, B5 в количестве b1, b2, b3, b4, b соответственно. Расстояния между пунктами заданы следующей матрицей:

Требуется найти оптимальный план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации общего пробега автомобилей, используя параметры, представленные ниже (таблица 9.37).

A = (200;175;225);

B = (100;130;80;190;100); B = (100;125;325;250;100 );

B = (210;170;220;150;200 ); B = (210;170;220;150;200 ); B = (170;140;200;195;145);

B = (190;100;120;110;130 ); B = (140;90;160;110;150 ); B = (210;150;120;135;135);

B = (270;130;190;150;110); B = (100;70;130;110;90 ); B = (220;170;210;150;200 );

B = (90;150;75;60;75); B = (145;195;200;140;170);

B = (190;150;130;180;200); B = (130;130;150;190;250); B = (120;140;160;180;150 );

B = (190;210;200;230;220 ); B = (200;220;170;210;150 ); B = (100;70;130;110;90 );

B = (220;170;210;150;200 ); B = (90;150;75;60;75); B = (145;195;200;140;170);

B = (150;140;115;225;220 ); B = (170;140;200;195;145); B = (190;100;120;110;130 );

B = (140;90;160;110;150 );

Задача дана в виде таблицы, где мощности потребителей товара a1, a2, a3, а мощности производителей b1, b2, b3, b4. Для каждой пары производитель – потребитель указанная стоимость перевозок единицы товара cij (от i-го производителя к j-му потребителю). Найти план перевозок, который бы имел минимальную стоимость. Задание дано в виде таблицы 9.38:

Решить задачу целочисленного программирования:

Дать геометрическую интерпретацию процесса решения задачи.

В вариантах 1-21, 26 - 30 принять L(x ) max, а в вариантах 22-25:

L( x ) min. Варианты заданий приведены ниже в таблице 9.39.

Выполнить пять шагов минимизации методом целевой функции:

методом градиентного спуска с начальным шагом h = 4 и заданной начальной точкой M 0 (x 0 ; y 0 ). На переменные “ x ” и “ y ” никаких ограничений не накладывается. Если переход к очередной точке в направлении скорейшего спуска с текущим шагом “ h ” не уменьшает текущее значение целевой функции, то значение шага надо вдвое уменьшить. Значение величин приведены в таблице 9.40. Выполненные расчеты проиллюстрировать графиком в декартовой системе координат (рис. 9.1).

Таблица 9.40.

Задания 17.1-17.30. «Задача о загрузке».

Совет директоров фирмы рассматривает предложения относительно прироста производственных мощностей для увеличения выпуска однородной продукции на четырех предприятиях, принадлежащих фирме. Для модернизации предприятий совет директоров инвестирует средства в объеме W усл.ден.ед. с дискретностью W / 5 усл.ден.ед. Прирост выпуска продукции зависит от выделенной суммы, его значения даны предприятиями и содержатся в таблице. Найти распределение инвестиций между предприятиями, обеспечивающее фирме максимальный прирост продукции, при чем на одно предприятие можно осуществить только одну инвестицию. Решить задачу методом обратной прогонки динамического программирования.

Используя полученные результаты, найти оптимальное распределение инвестиций между предприятиями, если на модернизацию выделено W = W W / 5 ден.ед, а также найти оптимальное распределение инвестиций между тремя предприятиями средств в объеме W усл.ден.ед. (таблица 9.41).

инвестиции, Прирост выпуска продукции, усл.ден.ед.

Варианты заданий приведены ниже в таблице 9.42 и таблице 9.43.

Задания 18.1-18.30.

Инвестиционной фирме предлагается три проекта, имеющие разную степень риска, со следующими реализациями поступления денежных средств представленными в таблице 9.44. Набор номеров проектов согласно варианту дается в таблице 9.45. Найти средние значения ожидаемых поступлений, меры риска и изобразить количественные расчеты на плоскости «среднее поступление – риск». Указать, какой проект следует выбрать фирме (ответ обосновать).

Таблица 9. Вероятность (млн. грн..) Вероятность (млн. грн.) Вероятность (млн. грн.) Задания 19.1-19.30.

В таблице 9.46 представлены 10 видов ценных бумаг, их не коррелированная доходность ri и стандартные отклонения i. Номера ценных бумаг и их доли в инвестиционном портфеле для каждого варианта представлены в таблице 9.44. Нужно дополнить инвестиционный портфель банка, состоящий из пяти видов ценных бумаг, шестым видом, который можно выбрать из оставшихся. Обоснуйте свой выбор.

Таблица 9. Задания 20.1-20.30.

Найти оптимальную стратегию и цену игры, которая задана матрицей, элементы которой даны в таблице 9.48.

При этом с 1-го по 13-й вариант матрица имеет вид (1), а с 14-го по 30-й вариант – вид (2).

Таблица 9. Задания 21.1-21. Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продаж товаров на предстоящей ярмарке с учетом конъюнктуры рынка и спроса покупателей. Получающиеся от их возможных сочетаний показатели дохода представлены матрицей. Определить оптимальную стратегию фирмы в продаже на ярмарке.

Задания 21.7-21. Рассматривается фирма, администрация которой ведет переговоры с профсоюзом рабочих и служащих о заключении контракта. Платежная матрица, отражающая интересы договаривающихся сторон имеет вид:

Выплаты указаны в центах в час и представляют собой среднюю зарплату служащего фирмы вместе со всеми надбавками. Определить оптимальные стратегии в поведении фирмы и профсоюза Задания 21.13-21. Предприятие может выпускать три вида продукции, получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может быть в одном из трех состояний. Дана матрица, ее элементы характеризует прибыль, которую получит предприятие при выпуске i-ой продукции с j-ым состоянием спроса. Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса.

Задания 21.19-21. Магазин может завезти в различных пропорциях товары трех типов, их реализация и прибыль магазина зависят от вида товаров и состояния спроса. Предполагается, что спрос может иметь три состояния и не прогнозируется. Определить оптимальные пропорции в закупке товаров из условия максимизации средней гарантированной прибыли при следующей матрице прибыли.

Задания 21.25-21. Отрасли А и В осуществляют капитальные вложения в три объекта.

С учетом особенностей вкладов и местных условий прибыль отрасли А в зависимости от объема финансирования выражается элементами матрицы.

Для упрощения задачи принять, что убыток отрасли В равен прибыли отрасли А. Найти оптимальные стратегии отраслей.

Задания 22.1-22.30.

Известны результаты наблюдений за потоком требований на обслуживание, данные в таблице 9.49, где h – шаг таблицы наблюдений (в единицах времени);

ni – частота попадания времени ожидания следующего требования в интервал [(i-1)h; ih];

n = n1 + n2 + … +nm – объем выборки;

tсред – среднее время ожидания следующего требования для всего объема uсред – заданное среднее время обслуживания требования одним устройством;

Сэкспл – стоимость содержания одного устройства в единицу времени;

Спотери – цена потери требования на обслуживание.

Выполнить следующие расчеты и построения:

1. Построить гистограму потока требований. По виду гистограмы выдвинуть гипотезу про простейший поток требований.

2. Вычислить теоретические частоты n’i попадания времени ожидания в i-й интервал.

3. Нанести точки, которые отвечают теоретическим частотам, на гистограму, соединить их плавной кривой (теоретический закон 4. Проверить гипотезу о простейшем потоке требований по критерию Пирсона с уровнем значимости.

5. Вычислить вероятность потери требований, когда система имеет один, два, три или четыре обслуживающих устройства.

6. Вычислить математические ожидания количеств потерь требований в единицу времени в случаях, когда система состоит из одного, двух, трех или четырех обслуживающих устройств.

7. Найти полную стоимость потерь (стоимость потерь + стоимость содержания приборов) для систем из одного, двух, трех или четырех обслуживающих устройств.

8. Указать оптимальный состав обслуживающей системы, для которой полная стоимость потерь является минимальной.

Таблица 9. Задания 23.1-23.30.

В центр обслуживания поступает поток заявок с интенсивностью заявок в час. Средняя продолжительность обслуживания оператором одной заявки tоб минут. Вычислить:

1. Минимальное число операторов nmin, при котором очередь заявок не будет неограниченной.

2. Оптимальное количество операторов nопт, при котором величина затрат на обслуживание будет минимальным С затр = n + 3Tочереди.

При решении задачи составить таблицу значений величин, характеризующих обслуживание для количества операторов от nmin до (nопт+1).

Варианты заданий приведены ниже в таблице 9.50.

Таблица 9. Характеристики Число обслуживающих устройств Данные для решения задачи представлены в таблице 9.51.

Таблица 9. Задания 24.1-24.30. Решить текстовую задачу.

1. Касса с одним кассиром работает 5 часов без перерыва. Среднее время обслуживания одного пассажира 2 минуты. Среднее количество желающих приобрести билеты 100 человек за это время. Вычислить основные характеристики СМО.

2. Анализируется работа междугородного переговорного пункта в небольшом городке. Пункт имеет один телефонный аппарат для переговоров. В среднем за сутки поступает 240 заявок на переговоры. Средняя длительность переговоров ( с учетом вызова абонентов в другом городе) составляет 5 минут. Никаких ограничений на длину очереди нет. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания переговорного пункта в стационарном режиме 3. Автозаправочная станция представляет собой СМО с одним каналом обслуживания и одной колонкой. Площадка при АЗС допускает пребывание в очереди на заправку не более трех автомобилей одновременно.

Если в очереди уже находится три автомобиля, очередной автомобиль, прибывший к станции, в очередь не становится, а проезжает мимо. Поток автомобилей, прибывающих для заправки, имеет интенсивность =0.7 автомобиля в минуту. Процесс заправки продолжается в среднем 1.25 мин.

Определите вероятностные характеристики СМО.

4. В парикмахерскую приходят клиенты с интенсивностью =3 человека в час. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента 0.5 часа. Определить характеристики СМО, если работает два мастера и имеется три кресла для ожидания в очереди.

5. Конечная сборка электрических генераторов на электропредприятии проходит в соответствии с распределением Пуассона со средним значением 10 генераторов в час. Затем генераторы с помощью ленточного конвейера транспортируются в отдел технического контроля для испытаний. На конвейере может находиться максимум 7 генераторов. Электронный датчик автоматически останавливает конвейер, как только он заполнен, прекращая, таким образом, работу сборочного цеха до появления свободного места на конвейере. Время проверки генераторов имеет экспоненциальное распределение со средним значением 15 минут. Какова вероятность того, что сборочный цех прекратит сборку генераторов? Чему равняется среднее количество генераторов на конвейере?

6. Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения профилактического осмотра автомашин с одним каналом (одной группой проведения осмотра). На осмотр и выявление дефектов каждой машины затрачивается в среднем 0.5 часа. На осмотр поступает в среднем 36 машин в сутки. Машина, прибывшая в пункт осмотра, покидает пункт, если в очереди на осмотр стоят более 5 машин. Определить вероятности состояний и характеристики обслуживания профилактического пункта осмотра.

7. Пациенты прибывают в клинику в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью 20 пациентов в час. В комнате ожидания могут разместиться не более 14 человек. Время осмотра клиентов является экспоненциально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 8 минут. В клинике ведут прием 2 доктора. Какова вероятность того, что очередной пациент не будет ожидать? Какова вероятность того, что очередной пациент найдет свободный стул в комнате ожидания? Каково среднее время пребывания пациента в клинике?

8. Цех использует 10 одинаковых станков. Каждый станок выходит из строя в среднем один раз в 7 часов. Ремонт сломанного станка длится в среднем 4 часа. Как процесс выхода станков из строя, так и процесс ремонта подчиняются распределению Пуассона. Определите следующие показатели: необходимое число механиков для ремонта станков, при котором среднее количество неработающих станков будет меньше 4; такое число механиков для ремонта станков, чтобы ожидаемое время задержки, обусловленное ремонтом станка, было меньше четырех часов.

9. На складе находится 80 единиц продукции, которая изымается в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью 5 единиц в день. Требуется определить следующее: вероятность того, что за два дня из склада будет изъято 10 единиц продукции; вероятность того, что к концу четвертого дня на складе не останется ни одной единицы продукции;

среднее количество изъятых единиц продукции на протяжении четырех дней.

10. Парикмахерская в любой момент времени может обслужить только одного клиента. Имеется также три места для ожидающих клиентов.

Это значит, что в парикмахерской одновременно не могут находиться более четырех человек. Клиенты приходят в соответствии с распределением Пуассона со средним значением 4 человека в час. Время обслуживания является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 15 минут. Определите следующие величины: вероятности установившегося режима; ожидаемое число клиентов в парикмахерской; вероятность того, что клиент уйдет поисках другой парикмахерской, поскольку все места заняты.

11. На АЗС имеются две колонки для заправки автомобилей. Автомобили подъезжают на АЗС в соответствии с распределением Пуассона со средней частотой два автомобиля за 5 минут. Заправка автомобиля в среднем длится 3 минуты, и продолжительность заправки распределена по экспоненциальному закону. Требуется определить: вероятность того, что у АЗС не окажется ни одног автомобиля; вероятность того, что обе колонки будут заняты; среднюю длину очереди в ожидании заправки; среднее время ожидания автомобиля в очереди.

12. В офисе банка находится трое служащих. Если клиент заходит в офис и все служащие заняты, то он уходит. Среднее количество клиентов, обращающихся в офис за 1 час, равно 5 человек. Определить: вероятность того, что клиент получит отказ или будет обслужен; среднее число клиентов, обслуживаемых в течение часа; среднее число занятых служащих.

13. Оператор обслуживает 5 автоматических станков. После того, как каждый станок завершает выполнение пакета программ, оператор должен его перенастроить на выполнение нового пакета. Время выполнения пакета программ является экспоненциально распределенной случайной величиной со средним значением 45 минут. Время наладки также описывается экспоненциальным распределением с математическим ожиданием 8 минут.

Определить среднее количество станков, которые ожидают наладки. Вычислить вероятность того, что все станки работают. Определить среднее время простоя станка.

14. На оптовую базу прибывают автомашины с непродовольственными товарами. Поток простейший и поступает с интенсивностью 8 автомашин в час. На территории базы могут одновременно находиться не более 5 автомашин. На базе имеются 2 бригады грузчиков, которые разгружают автомашины. Среднее время разгрузки одной машины каждой бригадой составляет 1 час. Определить основные показатели СМО оптовой базы и дать рекомендации по улучшению ее работы.

15. Универсам получает ранние овощи и зелень из теплиц пригородного совхоза. В среднем прибывают с товаром 3 автомашины «Газель» в день. Подсобные помещения и оборудование для подготовки овощей к продаже позволяют обработать и хранить товар объемом не более 2 автомашин одновременно. В универсаме работают 5 групп фасовщиков, каждая из которых может обработать товар с одной автомашины в среднем в течение 0,5 дня. Определить вероятность обслуживания приходящей автомашины, какова должна быть емкость подсобных помещений, чтобы вероятность обслуживания была бы больше или равна заданной величины 0,97.

16. Мини-маркет с одним контролером-кассиром обслуживает покупателей, входящий поток которых подчиняется закону Пуассона с параметром 20 покупателей в час. Время обслуживания подчиняется показательному закону с параметром 25 покупателей в час. Определить вероятность простоя контролера-кассира, среднюю длину очереди, среднее число покупателей в мини-маркете, среднее время ожидания обслуживания, среднее время пребывания покупателей в мини-маркете и дать оценку его работы.

17. В магазине самообслуживания 6 контролеров-кассиров. Входящий поток покупателей подчиняется закону Пуассона с интенсивностью 120 человек в час. Один кассир может обслужить 40 человек в час. Определить вероятность простоя кассира, среднее число занятых кассиров, свободных от обслуживания; дайте оценку работы СМО.

18. В магазине самообслуживания планируется разместить расчетный узел с кассами сканирования для приема от покупателей денег за товары.

По прогнозам интенсивность потока покупателей будет составлять 8 человек в минуту. Интенсивность обслуживания составляет 15 человек в минуту. Допустимая длина очереди не должна превышать 7 человек. Определить какое минимальное количество кассовых аппаратов необходимо установить, чтобы выполнялось условие стационарного режима работы системы, и рассчитать основные показатели работы СМО.

19. Коммерческая фирма осуществляет отпуск вино-водочной продукции клиентам. Погрузку на машины осуществляют 3 бригады грузчиков, каждая из которых состоит из 4 человек. Дебаркадер и склад вмещают одновременно 6 машин. Если на площадке находятся 6 машин, то вновь прибывшая машина не обслуживается. Интенсивность входящего потока машин составляет 3 автомашины в час. Интенсивность погрузки составляет 1,5 машины в час. Рассчитать основные показатели работы СМО и предложить вариант ее реорганизации.

20. В аудиторскую фирму поступает простейший поток заявок на обслуживание с интенсивностью 1,5 заявки в день. Время обслуживания распределено по показательному закону и равно в среднем трем дням. Аудиторская фирма располагает пятью независимыми бухгалтерами, выполняющими аудиторские проверки (обслуживание заявок). Очередь заявок не ограничена. Определить вероятностные характеристики аудиторской фирмы как СМО, работающей в стационарном режиме.

21. На промышленном предприятии решается вопрос о том, сколько потребуется механиков для работы в ремонтном цехе. Пусть предприятие имеет 10 машин, требующих ремонта с учетом числа ремонтирующихся.

Отказы машин происходят с частотой 10 отказов в час. Для устранения неисправности механику требуется в среднем 3 минуты. Распределение моментов возникновения отказов является пуассоновским, а продолжительность выполнения ремонтных работ распределена экспоненциально. Возможно, организовать 4 или 6 рабочих мест в цехе для механиков предприятия. Необходимо выбрать наиболее эффективный вариант обеспечения ремонтного цеха рабочими местами для механиков.

22. В бухгалтерии предприятия имеются два кассира, каждый из которых может обслужить в среднем 30 сотрудников в час. Поток сотрудников, получающих заработную плату, - простейший, с интенсивностью, равной 40 сотрудников в час. Очередь в кассе не ограничена. Время обслуживания подчинено экспоненциальному закону распределения. Вычислить вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме и определить целесообразность приема третьего кассира на предприятие, работающего с такой же производительностью, как и первые два.

23. В инструментальном отделении сборочного цеха работают три кладовщика. В среднем за 1 минуту за инструментом приходят 0,8 рабочего. Обслуживание одного рабочего занимает у кладовщика 1 минуту. Очередь не имеет ограничения. Известно, что поток рабочих за инструментом – пуассоновский, а время обслуживания подчинено экспоненциальному закону распределения. Стоимость 1 минуты работы рабочего равна ден.ед., а кладовщика – 15 ден.ед.найдите средние потери цеха при данной организации обслуживания в инструментальном отделении (стоимость простоя) при стационарном режиме работы.

24. На железнодорожную сортировочную горку прибывают составы с интенсивностью 2 состава в час. Среднее время, в течение которого горка обслуживает состав, равно 0,4 часа. Составы, прибывающие в момент, когда горка занята, становятся в очередь и ожидают в парке прибытия, где имеется три запасных пути, на каждом из которых может ожидать один состав. Состав, прибывший в момент, когда все три запасных пути в парке прибытия заняты, становится в очередь на внешний путь. Все потоки событий простейшие. При установившемся режиме определить: среднее число составов, ожидающих в очереди (как в парке прибытия, так т вне его);

среднее время ожидания в парке прибытия и на внешних путях; среднее время ожидания в системе обслуживания; вероятность того, что прибывший состав займет место на внешних путях.

25. Рассматривается работа АЗС, на которой имеется три заправочные колонки. Заправка одной машины длится в среднем 3 мин. В среднем на АЗС каждую минуту прибывает машина, нуждающаяся в заправке бензином. Число мест в очереди не ограничено. Все потоки в системе простейшие. Определить вероятностные характеристики работы АЗС в стационарном режиме.

26. На станцию технического обслуживания (СТО) автомобилей каждые два часа подъезжает в среднем одна машина. Станция имеет 6 постов обслуживания. Очередь автомобилей, ожидающих обслуживания, не ограничена. Среднее время обслуживания одной машины – 2 часа. Все потоки в системе простейшие. Определите вероятностные характеристики станции технического обслуживания автомобилей.

27. Малое транспортное предприятие эксплуатирует десять моделей автомобилей одной марки. Простейший поток отказов автомобилей имеет интенсивность 0,25 отказа в день. Среднее время устранения одного отказа автомобиля одним механиком равно 2 часа. Все потоки событий простейшие. Возможны два варианта обслуживания: все автомобили обслуживают два или три механика с одинаковой производительностью. Необходимо выбрать наилучший вариант организации обслуживания автомобилей.

28. На вход телефонной станции, имеющей 9 каналов обслуживания, поступает в среднем 120 заявок в час. Заявка получает отказ, если все каналы заняты. Среднее время обслуживания в одном канале равно 4 минуты. Все потоки в системе простейшие. Определите вероятностные характеристики телефонной станции, выступающей в качестве СМО.

29. В магазине работает один продавец, который может обслужить в среднем 30 покупателей в час. Поток покупателей простейший с интенсивностью, равной 60 покупателей в час. Все покупатели «нетерпеливые» и уходят, если в очереди стоит 5 человек (помимо обслуживаемых). Все потоки событий простейшие. Определить следующие вероятностные характеристики магазина для стационарного режима работы: вероятность обслуживания покупателя; абсолютную пропускную способность магазина;

среднюю длину очереди; среднее время ожидания в очереди; среднее всего обслуживания; вероятность простоя продавца.

30. СМО - билетная касса с тремя окошками ( с тремя кассирами) и неограниченной очередью. Пассажиров, желающих купить билет, приходит в среднем 5 человек в 20 минут. Поток пассажиров можно считать простейшим. Кассир в среднем обслуживает трех пассажиров за 10 минут.

Время обслуживания подчинено показательному закону распределения.

Определить вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме.

10 ЗАДАНИЯ ДЛЯ РЕЙТИНГОВОЙ ОЦЕНКИ МОДУЛЕЙ

И СОСТАВЛЕНИЯ ТЕСТОВ

Задание 1.Дана система уравнений. Найти количество решений этой системы.

Задание 2.Дана система уравнений. Написать эквивалентную ей систему минимального размера.

Задание 3. Дана матрица. Найти:

а) ранг матрицы;

б) записать эквивалентную ей, меньшего размера, если она существует.

Задание 4. Обработка деталей А и В может производиться на трех станках. Причем каждая деталь при ее изготовлении должна последовательно обрабатываться на каждом из станков. Прибыль от реализации детали А – 100 ден. ед., детали В – 160 ден. ед. Исходные данные приведены в таблице 10.1.

Таблица 10. Станок Норма времени на обработку Время работы Составить математическую модель, максимизирующую прибыль при условии: спрос на деталь А не менее 300 шт., на деталь В – не более шт.

Задание 5.Дана система линейных уравнений. С помощью теоремы Кронекера-Капелли, проверить:

а) совместна или несовместна система;

б) сколько она имеет решений, в случае совместности.

Задание 6.Дана система уравнений. Выписать для нее основную и расширенную матрицы системы. Найти их ранги.

Задание 7.Построить область, ограниченную системой неравенств:

Задание 9. Функция z = x 2 + y 2 8x 4 y задана в области D, ограниченной линиями x = 0, y = 0, x + y = 2.

Необходимо:

2 Найти точки, в которых выполнены необходимые условия экстремума ( z x = 0, z /y = 0 ).

Задание 10. Найти наибольшее и маименьшее значение функции F в области, ограниченной системой неравенств, графическим методом.

Задание 11. Функция Z = x 2 + 4 y 2 3x + 5 задана в области D, ограниченной линиями х = 0, у = 0, х + у = 3. Найти значение функции в угловых точках области D.

Задание 12. Построить начальный базис симплекс-методом.

Задание 13. Найти критические точки для функции: Z = x 3 3xy + y 3.

Задание 14. Исследовать на экстремум функцию:

Задание 15. Найти условный екстремум функции Z = xy, при условии 2 x + 3 y = 5.

Задание 16. В таблице 10.2 приведены данные об исполнении баланса за отчётный период (условные единицы). Вычислить необходимый объм валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление первой отрасли увеличится в 2 раза, а второй на 10 процентов.

Производство Задание 16. Найти вектор национальных доходов двух стран для сбалансированной торговли, если структурная матрица торговли имеет вид:

Задание 17. В таблице 10.3 приведены данные об исполнении баланса за отчетный период. Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление первой отрасли увеличится в 1,5 раза, а второй – на 20%.

Задание 18. Построить начальный базис симплекс-методом:

Задание 19. Составить математическую модель двойственной задачи, решив одну из них, найти оптимальное решение другой:

Задание 20. В суточный рацион цыплят включают два продукта питания, П1 и П2, причем продукта П1 должно войти в дневной рацион не более 200 ед. Стоимость 1 ед. продукта П1 составляет 2 ден. ед., продукта П – 4 ден. ед.. Содержание питательных веществ в 1 ед. продукта, минимальные нормы потребления указаны в таблице 10.4.

Таблица 10. Питательные Минимальная Содержание питательных вещества норма потреб. веществ в 1ед. продукта Составить математическую модель задачи. Решить задачу симплексметодом.

Задание 21. Решить симплекс-методом:

Задание 1. Имеется достаточное количество бревен длиной 3 м.

Бревна нужно распилить на заготовки длиной 1,2 м и длиной 0,9 м. Заготовок первого вида нужно не менее50 шт., а второго вида – не менее 83 шт.

Бревна можно распилить на заготовки несколькими способами:

а) на 2 заготовки по 1,2 м;

б) на 1 заготовку по 1,2 м и на 1 заготовку по 0,9 м;

в) на 3 заготовки по 0,9 м;

Найти число бревен, распиливаемых каждым способом, с тем чтобы заготовок любого вида было получено из наименьшего числа бревен.

Задание 2. Решить задачу целочисленного программирования:

Задание 3. Составить начальный базис транспортной задачи и выполнить один шаг оптимизации распределительным методом. Данные представлены в таблице 10. Таблица 10. Задание 4. Составить начальный базис транспортной задачи и выполнить один шаг оптимизации методом потенциалов. Данные представлены в таблице 10.6.

Таблица 10. Задание 5. Дана открытая транспортная задача. Перевести ее в закрытую и составить начальный базис методом минимального элемента.

Данные представлены в таблице 10.7.

Таблица 10. Задание 6. Выполнить три шага градиентным методом в направлении антиградиента. Начальная точка М0(8,4), шаг h = 4.

Задание 7. Выполнить три шага градиентным методом в направлении антиградиента. Начальная точка М0(5,1), шаг h = 4.

Задание 8. Найти минимум функции у = 9-х2 –у2 в области:

Задание 9. Найти максимум функции у = 3+х2 +у2 в области:

Задание 10. Найти градиент функции F = 2 x 3 + 6 xy 2 30 x 24 y в общем виде.

Задание 12. Инвестиционной фирме предлагается три проекта, имеющие разную степень риска, со следующими реализациями поступления денежных средств, представленными в таблице 10.8. Найти средние значения ожидаемых поступлений, меры риска и изобразить количественные расчеты на плоскости «среднее поступление – риск». Указать, какой проект следует выбрать фирме (ответ обосновать).

Вероятность события Сумма поступлений Задание 13. Даны характеристики обслуживания потока заявок h=10, tср=12. uср=10. Вычислить интенсивность потока заявок, интенсивность обслуживания, коэффициент загрузки обслуживающего устройства. и сделать вывод об эффективности работы системы Задание 14. Даны характеристики обслуживания потока заявок h=10, tср=10. Вычислить теоретические частоты попадания времени ожидания в i - й интервал. Данные представлены в таблице 10.9.

Задание 15. Даны характеристики обслуживания потока заявок h=10, tср= 20. uср=14. Сравнить вероятности потери заявок для системы с одним и двумя обслуживающими устройствами Задание 16. Даны характеристики обслуживания потока заявок h=10.

Данные представлены в таблице 10.10.

Таблица 10. Нарисовать гистограмму Задание 17. Даны характеристики обслуживания потока заявок h=10, tср=8. uср=5. Вычислить интенсивность потока заявок, интенсивность обслуживания и сделать вывод об эффективности работы системы Задание 18. Найти оптимальную стратегию и цену игры, которая задана матрицей:

Задание 19. Найти оптимальную стратегию и цену игры, которая задана матрицей:

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Акулич, И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах : учебн. пособие для студентов эконом. спец. / И. Л. Акулич. – М. : Высшая школа, 1986. – 319 с.

Бережная, Е. В. Математические методы моделирования экономических систем : учеб. пособие / Е. В. Бережная, В. И. Бережной. – М. : Финансы и статистика, 2002. – 368 с. : ил. – ISBN 5-279-02291-8.

1974 – 160 с.

Высшая математика для экономистов : учебник для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман; под ред. проф.

Н. Ш. Кремера. –2-е изд., перераб. и доп. – М. : ЮНИТИ, 2002. – 471 с. – ISBN 5-238-00030-8.

Ермолаев, Ю. М. Методы стохастического программирования / Ю. М. Ермолаев. – М. : Наука, 1976. – 240 с.

Зайченко, Ю. П. Исследование операций / Ю. П. Зайченко. – К. : Вища школа, 1988. – 252 с. – ISBN 5-11-00226-6.

Замков О. О. Математические методы в экономике: учебник / О. О. Замков, Ю. А. Черемных, А. В. Толстопятенко. – 2-е изд. – М. : Дело и Сервис, 1999, – 368 с. – ISBN 5-86509-054- Исследование операций в экономике / Под ред.

Н. Ш. Кремера. – М. : ЮНИТИ, 2002. – 407 с. – ISBN 5-85173-092-7.

Каллихман, И. Л. Сборник задач по математическому программированию / И. Л. Каллихман. – М. : Высш. школа, 1975. – 270 с.

10. Капустин, В. Ф. Практические занятия по курсу математического программирования / В. Ф. Капустин. – Л. : ЛГУ, 1976. – 192 с.

11. Конюховский, П. В. Математические методы исследования операций / П. В. Конюховский. – СПб. : Питер, 2001. – 192 с. – ISBN 5-318Красс М. С. Математика для экономического бакалаврата:

учебник / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. – М. :Дело, 2005, – 576 с. – ISBN 5Красс М. С. Математика для экономистов / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. – СПб. : Питер, 2005, – 464 с. : ил. – ISBN 5-94723-672- 14. Кузнецов, А. В. Сборник задач и упражнений по высшей математике : Мат. программирование : учеб. пособие / А. В. Кузнецов, Н. И. Холод, В. А. Сакович и др.; под общ. ред. А. В. Кузнецова, Р. А. Рутковского. –2-е изд., перераб. и доп. – Мн. : Выcш. шк., 2002. – 447 с. : ил. – ISBN 985-06-0718-1.

15. Кузнецов, Ю. М. Математическое программирование / Ю. М. Кузнецов, В. И. Кузубов. – М. : Высш. школа, 1980. – 342 с.

16. Кулян, В. Р. Математическое программирование / В. Р. Кулян, Е. А Юнькова, А. Б. Жильцов. – К. : МАУП, 1999. – 205 с. – ISBN 966-608Лагуткин, В. М. Экономико-математические методы в снабжении / В. М. Лагуткин. – М. : Экономика, 1971. – 317 с.

18. Математическая статистика / Под ред. А. М. Длина. – М. :

Высшая школа, 1975. – 398 с.

19. Сборник задач по высшей математике для экономистов :

учебное пособие / Под ред. В. И. Ермакова. – М. : ИНФРА, 2002. – 575 с. – ISBN 5-16-000301-0.

20. Фомин, Г. Г. Математические методы и модели в коммерческой деятельности : учебник / Г. Г. Фомин. – М. : Финансы и статистика, 2001. – 544 с. : ил. – ISBN 5-279-02310-8.

ЛЕВАНДОВСЬКА Ірина Володимирівна, КУЗНЕЦОВА Оксана Миколаївна,

ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

(Російською мовою) 219/2007. Підп. до друку. Формат 60 х 84/16.

Папір офсетний. Ум. друк. арк. 3,95. Обл.-вид. арк. 3,13.

«Донбаська державна машинобудівна академія»

84313, м. Краматорськ, вул. Шкадінова, 72.

Свідоцтво про внесення суб’єкта видавничої справи