«В. М. Марченко, Н. П. Можей, Е. А. Шинкевич ЭКОНОМЕТРИКА И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов учреждений высшего ...»

Учреждение образования

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

В. М. Марченко, Н. П. Можей, Е. А. Шинкевич

ЭКОНОМЕТРИКА

И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

Допущено

Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов учреждений высшего образования по экономическим специальностям В 2-х частях Часть 1. Эконометрика Минск 2011 УДК 519.2:330.46(075.8) ББК 22.172 М30 Рецензенты:

доктор экономических наук, профессор, проректор по научной работе и инновациям Гродненского государственного университета им. Янки Купалы Г. А. Хацкевич;

кафедра высшей математики Белорусского государственного экономического университета (доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой М. П. Дымков) Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или ее части не может быть осуществлено без разрешения учреждения образования «Белорусский государственный технологический университет».

Марченко, В. М.

М30 Эконометрика и экономико-математические методы и модели. В 2 ч. Ч. 1. Эконометрика : учеб. пособие для студентов учреждений высшего образования по экономическим специальностям / В. М. Марченко, Н. П. Можей, Е. А. Шинкевич. – Минск : БГТУ, 2011. – 157 с.

ISBN 978-985-530-123-4.

Предлагаемое учебное пособие – первая часть учебно-методического комплекса по курсу «Эконометрика и экономико-математические методы и модели (ЭиЭММ)», написанного в соответствии с уровневой методологией преподавания математических дисциплин.

Содержит программу курса ЭиЭММ, конспект лекций, практикум, лабораторный практикум, теоретический и практический минимум с примерами решения типовых задач, задания для самоконтроля, образцы контрольных работ и тестов по эконометрике.

Предназначено для студентов экономических специальностей.

Будет полезно всем, кто интересуется ЭиЭММ.

УДК 519.2:330.46(075.8) ББК 22. ISBN 978-985-530-123-4 (Ч. 1) © УО «Белорусский государственный ISBN 978-985-530-122-7 технологический университет», © Марченко В. М., Можей Н. П., Шинкевич Е. А.,

ПРЕДИСЛОВИЕ

На современном этапе развития образовательных технологий одним из важнейших факторов повышения качества подготовки специалистов в высших учебных заведениях является рационализация учебного процесса посредством оптимальных учебных планов, программ нового поколения, новых форм и методов преподавания.

Предлагаемый учебно-методический комплекс написан в соответствии с уровневой технологией преподавания математических дисциплин.

Целью уровневой технологии организации учебного процесса является создание условий для включения каждого обучаемого в деятельность, соответствующую зоне его ближайшего развития, а также условий для самостоятельного (и/или под контролем преподавателя) усвоения программного материала в том размере и с той глубиной, которые позволяют индивидуальные особенности обучаемого.

Отметим некоторые принципиальные моменты уровневой технологии организации учебного процесса по математике в БГТУ. Материал классифицируется по трем уровням: А, Б, С.

Первый уровень А (базовый) – обязательное поле знаний по предмету, программа-минимум – уровень знаний, необходимый для успешного продолжения обучения. Второй уровень Б (или *) содержит задания, расширяющие представление студента об изучаемых темах, устанавливает связи между понятиями и методами различных разделов, дает их строгое математическое обоснование, а также примеры применения при решении прикладных задач. Материал А + Б (профильный) уровней А и Б охватывает всю стандартную программу – программу-максимум. Уровень С (или ** – необязательный) содержит материал повышенной трудности. Материал А + Б + С трех уровней – углубленная программа – открывает путь исследованиям в области ЭиЭММ и их приложений.

Структурно комплекс организован следующим образом: программа курса, конспект лекций, практикум, лабораторный практикум, теоретический и практический минимум с примерами решения типовых задач, задания для самоконтроля, образцы контрольных работ и тестов.

ВВЕДЕНИЕ

Постоянно усложняющиеся экономические процессы привели к необходимости создания и совершенствования методов их изучения и анализа. При этом широкое распространение получили моделирование и количественный анализ.

Изучение экономических процессов (взаимосвязей) в эконометрике осуществляется через математические (эконометрические) модели. В этом заключается ее родство с математической экономикой. Но если математическая экономика строит и анализирует эти модели без использования реальных числовых значений, то эконометрика концентрируется, главным образом, на изучении моделей на базе эмпирических данных.

Одной из основных задач экономической статистики является сбор, обработка и представление экономических данных в наглядной форме: в виде таблиц, графиков, диаграмм. Эконометрика активно пользуется этим инструментарием, применяя его для анализа экономических взаимосвязей и прогнозирования.

Развитие компьютерных систем и создание специальных прикладных программ, совершенствование методов анализа сделали эконометрику мощнейшим инструментом экономических исследований.

1. УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

1.1. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН КУРСА Курс «Эконометрика и экономико-математические методы и модели» базируется на программах курсов высшей математики, статистики, экономической теории. Весь материал классифицирован по трем уровням глубины – базовый (без звездочек), дополнительный * (одна звездочка) и углубленный ** (две звездочки). Материал, отмеченный **, является необязательным.

На изучение курса эконометрики и экономико-математических методов и моделей учебным планом специальностей 1-25 01 07 «Экономика и управление на предприятии», 1-25 01 08 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 1-26 02 03 «Маркетинг» предусмотрено 26 часов лекций, 17 часов практических и 8 часов лабораторных занятий.

В табл. 1 приводится примерный тематический план курса «Эконометрика и экономико-математические методы и модели» с распределением изучаемого материала по лекциям, практическим и лабораторным занятиям.

Примерный тематический план курса ЭиЭММ 1.3. Эконометрический анализ при Примечание. Лабораторные работы, выполняемые студентами разных специальностей, могут отличаться.

Примерная тематика практических занятий 1. Элементы корреляционно-регрессионного анализа.

2. Эконометрический анализ при нарушении классических предположений. Временные ряды.

3. Системы одновременных уравнений.

4. Модели межотраслевого баланса.

5. Методы и модели систем массового обслуживания.

6. Элементы теории игр.

7. Модели управления запасами.

8. Сетевое планирование и управление.

Примерная тематика лабораторных занятий 1. Построение и анализ уравнения парной линейной регрессии.

2. Построение и анализ уравнения множественной регрессии.

3. Выбор вида зависимости, построение уравнения регрессии, его анализ.

4. Модели оптимального планирования.

5. Модели межотраслевого баланса. Построение и анализ межотраслевого баланса.

6. Системы массового обслуживания. Расчет основных параметров.

7. Теория игр. Нахождение оптимальных стратегий.

8. Сетевое планирование и управление. Расчет временных параметров сетевого графика. Построение графика Ганта.

1.2. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Основные понятия, предмет и область применения эконометрики и экономико-математического моделирования. Теоретические основы экономико-математического моделирования.* Основные понятия эконометрики Предмет и методы эконометрики. Понятие эконометрической модели, классификация моделей. Основные этапы построения эконометрической модели.

Элементы корреляционно-регрессионного анализа Виды функциональной и корреляционной зависимости. Задачи построения качественного уравнения регрессии.* Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов. Основные положения регрессионного анализа.* Оценки параметров регрессионной модели и их свойства. Интервальная оценка функции регрессии.* Коэффициент детерминации. Модель множественной регрессии. Спецификация эконометрической модели.* Методы выбора экзогенных переменных.* Методы выбора вида зависимости, нелинейная регрессия. Модели с качественными переменными.** Эконометрический анализ при нарушении классических предположений. Временные ряды Эконометрический анализ при нарушении классических предположений. Мультиколлинеарность, ее обнаружение и устранение. Гетероскедастичность и автокорреляция остатков модели: обнаружение, устранение и анализ последствий. Модели и методы анализа стационарных* и нестационарных** временных рядов.

Автокорреляционная функция.* Системы одновременных уравнений Системы одновременных уравнений. Построение и анализ многомерных эконометрических моделей.* Раздел 2. Экономико-математические Модели оптимального планирования Экономико-математические методы и модели оптимального планирования в промышленности. Экономико-математические методы и модели оптимального планирования в АПК. Экономикоматематические методы и модели финансов и кредита. Экономико-математические методы и модели в коммерческой деятельности. Экономико-математические методы и модели в управлении социально-культурной сферой.

Модели межотраслевого баланса Модели межотраслевого баланса (МОБ), основные понятия, методы построения МОБ и их использование в анализе.* Методы и модели массового обслуживания Методы и модели массового обслуживания, основные понятия и классификация систем массового обслуживания (СМО), графическое представление СМО, расчет основных характеристик.

Уравнения Колмогорова. Финальные вероятности состояний СМО. СМО с отказами. СМО с неограниченной очередью.* Элементы теории игр Моделирование конфликтных ситуаций с помощью теории игр, основные понятия и классификация. Матричные игры с нулевой суммой. Решение матричных игр в чистых стратегиях. Игры с «природой». Критерии Байеса, Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица. Решение матричных игр в смешанных стратегиях.* Модели управления запасами Задачи и модели управления запасами и сбытом готовой продукции. Модель Уилсона. Модель производственных поставок.* Сетевое планирование и управление. Инвестиционные модели Математические методы сетевого планирования и управления (СПУ). Основные понятия СПУ. Правила построения сетевых графиков.* Расчет основных параметров сетевого графика.

Построение календарного графика. Инвестиционные модели.**

2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЭКОНОМЕТРИКИ

1А1 (Эконометрика). Эконометрика – наука, объединяющая совокупность математико-статистических методов, которые позволяют дать количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов.

Эконометрика позволяет найти количественное подтверждение (либо неподтверждение) того или иного экономического закона или гипотезы. Одним из важнейших направлений эконометрики является построение прогнозов по различным экономическим показателям.

Эконометрика как научная дисциплина возникла и получила развитие на основе экономической теории, математической экономики, экономической и математической статистики. Эконометрика делает упор на количественные, а не на качественные аспекты явлений.

1А2 (Цель эконометрики). Эконометрика занимается разработкой способов моделирования и количественного анализа реальных экономических объектов.

1А+Б3 (Задачи эконометрики). Задачами эконометрики являются:

3.1) спецификация модели – построение эконометрических моделей для эмпирического анализа;

3.2) параметризация модели – оценка параметров модели;

3.3) верификация модели – проверка качества параметров модели и самой модели в целом;

3.4) прогнозирование модели – составление прогноза и рекомендаций для конкретных экономических явлений по результатам моделирования.

1А4 (Эконометрическая модель). Эконометрическая модель – совокупность математических соотношений между входными (объясняющими, независимыми, экзогенными) и выходными (объясняемыми, зависимыми, эндогенными) переменными изучаемого экономического явления или процесса, основанная на реальных статистических данных. Эконометрическое моделирование – исследование экономических явлений и процессов посредством их эконометрических моделей.

Эконометрическая модель учитывает реальные условия существования объекта и не противоречит общим законам экономики.

1А+Б5 (Этапы эконометрического моделирования). Эконометрическое моделирование представляет собой комплексное решение целого ряда задач, поэтому весь процесс можно разделить на следующие этапы:

5.1) постановочный: формулировка цели исследования (анализ, прогноз, имитация развития, управленческое решение и т. д.), определение экономических переменных модели;

5.2) априорный: анализ изучаемого экономического явления, формирование и формализация информации, известной до начала моделирования;

5.3) параметризации: определение вида экономической модели, выражение в математической форме взаимосвязи между ее переменными, формулирование исходных предпосылок и ограничений модели;

5.4) информационный: сбор необходимой статистической информации;

5.5) идентификации модели: оценка параметров модели, проведение ее статистического анализа;

5.6) верификации модели: проверка истинности модели, определение степени соответствия построенной модели реальному экономическому явлению.

Обычно для построения работоспособной модели и сравнения ее с другими возможными моделями необходимо учитывать следующие свойства: модель должна быть максимально простой; для любого набора статистических данных определяемые коэффициенты должны вычисляться однозначно; уравнение тем лучше, чем большую часть разброса зависимой переменной оно может объяснить; уравнение должно удовлетворять известным теоретическим предпосылкам; модель может быть признана качественной, если полученные на ее основе прогнозы подтверждаются реальностью.

1А6 (Классы эконометрических моделей). Все эконометрические модели условно делят на три класса:

6.1) регрессионные модели с одним уравнением. Результативный признак представлен в виде функции от факторных признаков Y = f (X) + = f (X1, X2, …, Xk) +, где Y – наблюдаемое значение объясняемой (зависимой, эндогенной) переменной (результата);

f(X) – объясненная часть, которая зависит от значений объясняющих (независимых, экзогенных) переменных (факторов); – случайная составляющая (ошибка, возмущение).

Объясняемая переменная Y – случайная величина (СВ) при заданных значениях объясняющих переменных Xi, i = 1, k. Объясняющие переменные в модели могут иметь случайные или определенные значения.

Например, модель зависимости цены от объема поставки, модель зависимости спроса от цены на отдельный товар, модель зависимости спроса от реальных доходов потребителей, модель зависимости объема производства от производственных факторов;

6.2) системы одновременных уравнений. Они состоят из тождеств и регрессионных уравнений, в которые наряду с факторными признаками включены результативные признаки из других уравнений системы. Одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые переменные в одних уравнениях и независимые – в других. Например, модель спроса и предложения (см. 1А+Б7), кейнсианская модель формирования доходов;

6.3) модели временных рядов. Результативный признак является функцией переменной времени или переменных, относящихся к другим моментам времени.

1А+Б7 (Пример). Модель спроса и предложения представляет собой систему одновременных уравнений:

где QD – спрос на товар; QS – предложение товара; P – цена товара;

I – доход населения.

Цена товара P, спрос на товар QD и предложение товара QS являются зависимыми (объясняемыми, эндогенными) переменными и определяются из уравнений модели, а величина дохода I является независимой (объясняющей, экзогенной) переменной.

1А8 (Типы данных). В эконометрическом моделировании рассматриваются следующие типы данных:

8.1) пространственные данные – набор сведений по разным объектам, взятым за один и тот же период времени (объем производства предприятий региона, численность сотрудников институтов города);

8.2) временные данные – набор сведений, характеризующий один и тот же объект за разные периоды времени (индекс потребительских цен, численность занятых за последние годы).

КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

2.2.1. Основные понятия корреляционного анализа 1А9 (Определение). Корреляционный анализ – раздел математической статистики, изучающий тесноту связи между признаками (между двумя признаками при парной связи и между результативным и множеством факторных признаков при многофакторной связи). Регрессионный анализ – раздел математической статистики, изучающий форму связи между признаками.

1А10 (Типы зависимостей). Различают следующие типы зависимостей между явлениями и их признаками:

10.1) функциональная зависимость – связь, при которой каждому значению независимой переменной X соответствует точно определенное значение зависимой переменной Y (зависимость выработки продукции на одного рабочего от объема выпущенной продукции и численности рабочих);

10.2) статистическая зависимость – связь, при которой каждому значению независимой переменной X соответствует множество значений зависимой переменной Y и изменение которой происходит в условиях неопределенности, имеющей, как правило, случайный характер (зависимость всхожести семян некоторых культур от количества микроэлементов при их обработке, зависимость производительности труда на предприятии от его энерговооруженности и т. д.);

10.3) корреляционная зависимость – частный случай статистической зависимости – связь, при которой каждому значению независимой переменной X соответствует определенное математическое ожидание (среднее значение) зависимой переменной Y.

1А11 (Определение). Условным математическим ожиданием (условной средней) M x (Y ) = M (Y X = x ) = Yx называется математическое ожидание СВ Y, вычисленное в предположении, что СВ X приняла значение x.

1А12 (Виды корреляционной зависимости). Корреляционная зависимость бывает трех видов:

12.1) парная – связь между двумя признаками (результативным Y и факторным X или двумя факторными);

12.2) частная – зависимость между результативным и одним факторным признаком или между двумя факторными признаками при фиксированных значениях других факторных признаков;

12.3) множественная – зависимость между результативным признаком и двумя или более факторными признаками, включенными в исследование.

Теснота связи количественно выражается величиной коэффициента корреляции.

1А13 (Виды связей в зависимости от направления действия).

В зависимости от направления действия выделяют два вида функциональной и корреляционной связей:

13.1) прямая: с увеличением (уменьшением) значений факторного признака происходит увеличение (уменьшение) результативного признака;

13.2) обратная: с увеличением (уменьшением) значений факторного признака происходит уменьшение (увеличение) результативного признака.

1А14 (Виды связей в зависимости от количества признаков).

В зависимости от количества признаков, включенных в модель, связи подразделяются на два вида:

14.1) однофакторные – связи между одним признаком-фактором и результативным признаком (при абстрагировании от влияния других факторов);

14.2) многофакторные – связи между несколькими факторными признаками и результативным признаком (факторы действуют комплексно, т. е. одновременно и во взаимосвязи).

2.2.2. Понятие о регрессионной модели 1А15 (Определение). Теоретическим уравнением (или просто уравнением) регрессии Y на X называется уравнение Yx = f (x). Функция f (x) называется теоретической регрессией (или просто регрессией) Y на X, а ее график – линией регрессии СВ Y на СВ X. При этом X является независимой (объясняющей) переменной, Y – зависимой (объясняемой) переменной. При рассмотрении зависимости двух СВ говорят о парной регрессии.

Зависимость нескольких переменных, выражаемую функцией где M (Y | x1, x2,..., xk ) – условное математическое ожидание (математическое ожидание СВ Y при условии, что СВ X1, X2,..., Xk приняли значения x1, x2,..., xk соответственно), называют множественной регрессией.

Поскольку реальные значения зависимой переменной не всегда совпадают с ее условными математическими ожиданиями и могут быть различными при одном и том же значении объясняющей переменной (наборе объясняющих переменных), фактическая зависимость должна учитывать ошибку (погрешность), которая также является СВ. Таким образом, связи между зависимой и объясняющей(ими) переменными можно описать соотношениями:

1Б16 (Наличие случайного фактора). Наиболее существенные причины присутствия в регрессионных моделях случайного фактора (ошибки, отклонения):

16.1) невключение в модель всех объясняющих переменных. Любая регрессионная (в частности, эконометрическая) модель является упрощением реальной ситуации, которая всегда представляет собой сложнейшее переплетение различных факторов. Многие из этих факторов в модели не учитываются, что порождает отклонение реальных значений зависимой переменной от ее модельных значений;

16.2) неправильный выбор функциональной формы модели. Изза слабой изученности исследуемого процесса либо из-за его переменчивости может быть неверно подобрана функция, его моделирующая. Например, производственная функция (Y) одного фактора (X) может моделироваться функцией Y = a + bХ, хотя должна была использоваться другая модель: Y = aXb (0 < b < 1), учитывающая закон убывающей эффективности. Кроме того, неверным может быть подбор объясняющих переменных;

16.3) агрегирование переменных. Во многих моделях рассматриваются зависимости между факторами, которые сами представляют сложную комбинацию других, более простых переменных.

Например, при рассмотрении в качестве зависимой переменной совокупного спроса проводится анализ зависимости, в которой объясняемая переменная является сложной композицией индивидуальных спросов, оказывающих на нее определенное влияние помимо факторов, учитываемых в модели. Это также может оказаться причиной отклонения реальных значений от модельных;

16.4) ошибки измерений. Какой бы качественной ни была модель, ошибки измерений переменных могут привести к несоответствию модельных значений эмпирическим данным, что также отразится на величине случайной переменной;

16.5) ограниченность статистических данных. Как правило, модели, описываемые непрерывными функциями, строятся по данным, имеющим дискретную структуру. Данное несоответствие также находит свое выражение в случайном отклонении;

16.6) непредсказуемость человеческого фактора. Даже при правильном выборе формы модели и подборе объясняющих переменных невозможно спрогнозировать поведение каждого индивидуума.

корреляционно-регрессионного анализа 1А+Б17 (Основные задачи корреляционно-регрессионного анализа). Перед корреляционно-регрессионным анализом стоят следующие основные задачи:

17.1) установление формы корреляционной связи, т. е. установление вида функции регрессии (линейная, квадратичная, показательная и т. д.);

17.2) оценка тесноты корреляционной связи Y и X (степени рассеяния значений СВ Y около Yx ). Большое рассеяние означает слабую зависимость Y от X либо вообще ее отсутствие. Малое рассеяние указывает на существование достаточно сильной зависимости Y от X;

17.3) оценка неизвестных параметров регрессионной модели, проверка гипотез об их значимости и адекватности модели рассматриваемому экономическому объекту.

1А+Б18 (Этапы корреляционно-регрессионного анализа).

Корреляционно-регрессионный анализ проводится поэтапно в определенной логической последовательности:

18.1) предварительный анализ явлений и выяснение причин возникновения взаимосвязей между признаками, характеризующими эти явления, разделение признаков на факторные и результативные, выбор наиболее существенных признаков;

18.2) предварительная оценка формы уравнения регрессии и определение уравнения регрессии, расчет теоретически ожидаемых значений результативного признака, оценка тесноты связи между признаками, включенными в регрессионную модель;

18.3) общая оценка качества модели, отсев несущественных (или включение дополнительных) факторов, построение исправленной модели;

18.4) статистическая оценка достоверности параметров уравнения регрессии, построение доверительных границ для теоретически ожидаемых по уравнению регрессии значений функции и получение практических выводов из проведенного анализа.

Отметим, что в корреляционном анализе изучается в основном сила (теснота) корреляционной зависимости, а в регрессионном анализе – ее форма.

1А19 (Определение). Выбор формулы связи переменных называется спецификацией уравнения регрессии. В случае парной регрессии выбор формулы обычно осуществляется по графическому изображению реальных статистических данных.

1А+Б20 (Этапы спецификации модели). Стандартная схема анализа зависимостей включает следующие этапы:

20.1) подбор начальной модели. Осуществляется на основе экономической теории, предыдущих знаний об объекте исследования, опыта исследователя и его интуиции;

20.2) оценка параметров модели на основе имеющихся статистических данных;

20.3) осуществление тестов проверки качества модели (обычно используются t-статистики для коэффициентов регрессии, F-статистика для коэффициента детерминации, статистика Дарбина – Уотсона для анализа отклонений и ряд других тестов).

При наличии хотя бы одного неудовлетворительного ответа по какому-либо тесту модель совершенствуется с целью устранения выявленного недостатка. При положительных ответах по всем проведенным тестам модель считается качественной. Она используется для анализа и прогноза объясняемой переменной.

1Б21 (Типы ошибок спецификации). Правильная спецификация уравнения регрессии означает, что оно в целом верно отражает соотношение между экономическими показателями, участвующими в модели. Неправильный выбор функциональной формы или набора объясняющих переменных называется ошибкой спецификации. Выделяют следующие основные типы ошибок спецификации:

21.1) отбрасывание значимой переменной. Оценки, полученные по такому уравнению, могут быть смещенными и несостоятельными даже при большом числе испытаний. Возможные интервальные оценки и результаты проверки соответствующих гипотез будут ненадежными;

21.2) добавление незначимой переменной. В некоторых случаях в уравнения регрессии включают слишком много объясняющих переменных, причем не всегда обоснованно. Оценки коэффициентов, как правило, остаются несмещенными и состоятельными, однако их точность уменьшается, т. е. оценки становятся неэффективными, что отражается на их устойчивости. Увеличение дисперсии оценок может привести к ошибочным результатам проверки гипотез относительно значений коэффициентов регрессии, расширению интервальных оценок;

21.3) выбор неправильной функциональной формы. Обычно такая ошибка приводит либо к получению смещенных оценок, либо к ухудшению статистических свойств оценок коэффициентов регрессии и других показателей качества уравнения. Прогнозные качества модели в этом случае очень низки.

1С22 (Пути совершенствования моделей). Одно из главных направлений эконометрического анализа – постоянное совершенствование моделей. Какого-то общего подхода, заранее определяющего возможные пути совершенствования, не существует.

В силу постоянно изменяющихся условий протекания экономических процессов не может быть и постоянно качественных моделей. Распространены два пути совершенствования моделей:

22.1) начинать с самой простой модели и постоянно усложнять ее. Иногда приводит к обыкновенной подгонке модели под эмпирические данные;

22.2) начинать с максимально сложной модели и упрощать ее на основе проводимых исследований. Поиск возможных направлений совершенствования модели зачастую сводится к полному перебору, что делает проводимый анализ неэффективным. На этапах упрощения модели возможно также отбрасывание объясняющих переменных, которые были бы весьма полезны в упрощенной модели.

Построение модели является индивидуальным в каждой конкретной ситуации и опирается на знания экономической теории и статистического анализа. При всех недостатках моделей принятие решений на их основе приводит в целом к более точным результатам, чем при принятии решений лишь на основе интуиции и экономической теории.

1А23 (Теоретическое уравнение регрессии). Теоретическим уравнением (или просто уравнением) регрессии Y на X называется уравнение Yx = f (x). Функция f (x) называется теоретической регрессией (или просто регрессией) Y на X. При этом X является независимой (объясняющей) переменной, Y – зависимой (объясняемой) переменной.

1А24 (Эмпирическое уравнение линейной регрессии). По выборке ограниченного объема можно искать регрессионную зависимость в определенном виде, например в виде линейной зависимости (эмпирическое линейное уравнение регрессии):

где yi – оценка условного математического ожидания M (Y | X = xi );

b0 и b1 – оценки неизвестных параметров, называемые эмпирическими коэффициентами линейной регрессии; отклонение ei – оценка теоретического случайного отклонения i.

Модель линейной регрессии (линейное уравнение) является наиболее распространенным (и простым) видом зависимости между экономическими переменными. Кроме того, построенное линейное уравнение может служить начальным этапом эконометрического анализа.

1А25 (Задачи линейного регрессионного анализа). Выделяют следующие задачи линейного регрессионного анализа:

25.1) по имеющимся статистическим данным ( xi ; yi ), i = 1, n, получить наилучшие оценки неизвестных параметров;

25.2) проверить статистические гипотезы о параметрах модели;

25.3) проверить, достаточно ли хорошо модель согласуется со статистическими данными (адекватность модели данным наблюдений).

1А26 (Метод наименьших квадратов). Различные выборки из одной и той же генеральной совокупности обычно приводят к определению отличающихся друг от друга оценок. Требуется по конкретной выборке ( xi ; yi ), i = 1, n, найти оценки b0 и b1 неизвестных параметров уравнения (*) так, чтобы соответствующая линия регрессии (прямая) являлась бы наилучшей в некотором смысле среди всех других прямых. Другими словами, построенная прямая должна быть «ближайшей» к совокупности точек наблюдений. Мерами качества найденных оценок могут служить определенные функции отклонений (невязок) ei = yi yi, i = 1, n (рис. 1).

Самым распространенным методом нахождения коэффициентов (оценок) b0 и b1 уравнения эмпирической линейной регрессии является метод наименьших квадратов (МНК). Согласно МНК, эти коэффициенты выбираются таким образом, чтобы минимизировать функцию (сумму квадратов отклонений) Необходимым условием минимума данной функции является равенство нулю ее частных производных по параметрам b0 и b1, откуда после преобразований получается система уравнений для определения параметров линейной регрессии.

1А27 (Система уравнений для определения параметров линейной регрессии). Коэффициенты b0 и b1, обеспечивающие минимум функции s(b0; b1), удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений вида Коэффициент b1 называется выборочным коэффициентом регрессии Y на X. Он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная Y при увеличении переменной X на одну единицу.

1А+Б28 (Коэффициент эластичности). Коэффициент b нельзя непосредственно использовать для оценки влияния факторного признака x на результативный признак y из-за различия единиц измерения исследуемых показателей. Для этих целей применяется коэффициент эластичности. Для эмпирической линейной регрессии коэффициент эластичности где x = xi, y = yi – средние значения независимой и завиn i =1 n i = симой переменных.

Напомним, что в общем случае коэффициент эластичности определяется по формуле:

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак y при изменении факторного признака x на 1%.

1С29 (Замечание). Среди других методов определения оценок коэффициентов регрессии отметим метод наименьших модулей (МНМ), метод моментов (ММ) и метод максимального правдоподобия (ММП).

2.2.7. Основные положения регрессионного анализа.

Теорема Гаусса – Маркова. Оценки параметров регрессионной модели и их свойства МНК обеспечивает оптимальные свойства оценок лишь при выполнении следующих классических предположений.

1А+Б30 (Предпосылки МНК). Для получения по МНК наилучших в классе линейных несмещенных оценок результатов необходимо, чтобы выполнялся ряд предпосылок относительно случайного отклонения. Предпосылки МНК (условия Гаусса – Маркова) для парной линейной регрессии:

30.1) математическое ожидание случайного отклонения i равно нулю для всех наблюдений: M(i) = 0. Данное условие означает, что случайное отклонение в среднем не оказывает влияния на зависимую переменную;

30.2) дисперсия случайных отклонений i постоянна для любых i и j: D(i) = D(j) = 2. Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастичностью (постоянством дисперсий отклонений).

Так как D(i ) = M (i M (i )) 2 = M (i2 ), то данное условие можно записать в виде: M (i2 ) = 2 ;

30.3) отсутствие корреляции между случайными отклонениями i и j для i j. Если данное условие выполняется, то говорят об отсутствии автокорреляции;

30.4) случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных. Обычно это условие выполняется автоматически, если объясняющая переменная xi не является случайной в данной модели. Без этого требования нельзя решить задачу построения доверительных интервалов для оценки и проверки гипотез о численных значениях регрессионных коэффициентов;

30.5) случайное отклонение i есть нормально распределенная случайная величина.

1А+С31 (Теорема Гаусса – Маркова). Если предпосылки МНК выполнены, то оценки b0 и b1, полученные по этому методу, являются:

31.1) несмещенными, т. е. математические ожидания отклонений оценок равны нулю, что говорит об отсутствии систематической ошибки в определении положения линии регрессии;

31.2) состоятельными (т. е. дисперсии оценок параметров при возрастании числа п наблюдений стремятся к нулю), если n const при п. Другими словами, при увеличении объема выборки надежность оценок увеличивается (см. с. 95 пособия [16]);

31.3) эффективными, т. е. они имеют наименьшую дисперсию по сравнению с любыми другими оценками данных параметров, линейными относительно величин yi.

В англоязычной литературе такие оценки называются BLUE (Вest Linear Unbiased Estimators) – наилучшие линейные несмещенные оценки.

1Б+С32 (Замечания). Замечания:

32.1) если дисперсии отклонений i непостоянны и/или значения i и j связаны друг с другом, то свойства несмещенности и состоятельности сохраняются, а свойство эффективности – нет;

32.2) для получения уравнения регрессии достаточно выполнения предпосылок 30.1–30.4. Требование выполнения предпосылки 30.5 необходимо для оценки точности уравнения регрессии и его параметров;

32.3) эмпирическое уравнение регрессии определяется на основе конечного числа статистических данных. Поэтому коэффициенты эмпирического уравнения регрессии являются СВ, изменяющимися от выборки к выборке. Для сравнения эмпирических коэффициентов b и b1 регрессии с теоретически ожидаемыми значениями этих коэффициентов используется схема статистической проверки гипотез.

1А+Б33 (Критерий Стьюдента для проверки гипотез о статистической значимости коэффициентов регрессии). Для проверки гипотез о статистической значимости коэффициента регрессии, т. е. гипотез используется t-статистика:

которая, при выполнении исходных предпосылок модели, имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы = n – k – 1, где n – число наблюдений; k – число независимых переменных в уравнении регрессии (если речь идет о парной линейной регрессии, то k = 1); Sb1 стандартная ошибка коэффициента регрессии, т. е.

где Se – стандартная ошибка регрессии.

требуемый уровень значимости.

Если гипотеза Н0 принимается, то есть основания считать, что величина Y не зависит от X. В этом случае говорят, что коэффициент b1 статистически незначим. При отклонении гипотезы Н коэффициент b1 считается статистически значимым, что указывает на наличие линейной зависимости между Y и X.

Для парной регрессии более важным является анализ статистической значимости коэффициента b1, т. к. именно он позволяет оценить влияние объясняющей переменной X на зависимую переменную Y.

Воздействие неучтенных факторов и ошибок наблюдений определяется с помощью дисперсии случайных отклонений D(i).

Несмещенной оценкой этой дисперсии является выборочная остаточная дисперсия.

1А34 (Выборочная остаточная дисперсия). Выборочная остаточная дисперсия определяется по формуле:

1А35 (Стандартная ошибка регрессии). Корень квадратный из стандартной ошибкой регрессии (стандартной ошибкой оценки).

2.2.8. Интервальная оценка функции регрессии 1А36 (Точечный прогноз). Прогнозируемое значение переменной y вычисляется по формуле:

Данный прогноз называется точечным. Вероятность реализации точечного прогноза практически равна нулю, поэтому рассчитывается доверительный интервал прогнозируемого значения.

1А+Б37 (Доверительный интервал для функции регрессии).

Доверительный интервал для функции регрессии (т. е. для условного математического ожидания Мx(Y)), который с заданной надежностью (доверительной вероятностью) = 1 – накрывает неизвестное значение математического ожидания, определяется по формуле:

ределяется по таблице распределения Стьюдента; = k = n – 2 – число Доверительные интервалы прогноза зависят от стандартной ошибки регрессии, удаления x от своего среднего значения x, количества наблюдений n и уровня значимости прогноза.

Величина доверительного интервала зависит от значения объясняющей переменной х: при х = x она минимальна, а по мере удаления хпрогн от x величина доверительного интервала увеличивается. Использование уравнения регрессии вне пределов обследованного диапазона значений объясняющей переменной (даже если оно оправдано смыслом задачи) может привести к значительным погрешностям.

2.2.9. Модель множественной регрессии 1А38 (Уравнение множественной линейной регрессии).

Уравнение множественной эмпирической линейной регрессии имеет вид:

где yi – i-е наблюдение зависимой переменной; xi1, xi2,..., xik – i-е наблюдения независимых переменных x1, x2,..., xk; n – количество наблюдений (объем выборки); k – количество независимых переменных в уравнении. Случайные отклонения i, i = 1, n, удовлетворяют приведенным выше предпосылкам 30.1–30.3.

1А+Б39 (Оценка параметров регрессии). Оценка параметров b0, b1, b2,..., bk обычно осуществляется по методу наименьших квадратов:

Метод наименьших квадратов предусматривает нахождение параметров b0, b1, b2,..., bk из условия минимума суммы квадратов отклонений. Используя необходимое условие экстремума, получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов b0, b1, b2,..., bk:

1А+Б40 (Оценка параметров регрессии в матричной форме). Оценку параметров модели можно провести в матричной форме. Уравнение линейной множественной регрессии в матричной форме имеет вид:

где Y = (y1, y2,..., yn) – вектор значений зависимой переменной разx11 x12... x1k независимых переменных x1, x2,..., xk; B = (b0, b1,..., bk) – подлежащий оценке вектор неизвестных параметров; = (1, 2, …, n) – вектор случайных отклонений. Знаком «» обозначена операция транспонирования матрицы.

Тогда формула для вычисления параметров регрессионного уравнения по методу наименьших квадратов имеет вид:

где X' – транспонированная матрица X; (XX)–1 – обратная матрица (матрица XX является невырожденной, если матрица X имеет максимальный ранг).

1А41 (Матричное уравнение для двухфакторной модели).

В частном случае для двухфакторной модели получаем матричное уравнение Коэффициенты b1, b2,..., bk показывают количественное воздействие каждого фактора на результативный показатель при неизменности значений других факторов.

Проверка значимости коэффициентов регрессии осуществляется по критерию Стьюдента где Sbi = cii Se2 ; Se2 – остаточная дисперсия (выборочная); cii – соответствующий (i + 1)-й элемент диагонали матрицы (XX)–1.

Коэффициент bi при уровне значимости признается значимым, если 1А42 (Коэффициенты эластичности для множественной линейной регрессии). Коэффициенты эластичности рассчитываются по формуле:

Коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов в среднем изменяется функция с изменением аргумента на 1%.

2.2.10. Коэффициент корреляции.

1А+Б43 (Коэффициент парной корреляции). Коэффициент парной корреляции используется в качестве меры, характеризующей степень линейной связи двух переменных. Он представляет собой ковариацию двух наборов данных, деленную на произведение их стандартных отклонений:

Коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.

Если r > 0, то полагаем, что корреляционная связь между переменными является прямой, если r < 0 – обратной.

Если r = ±1, корреляционная связь представляется линейной функциональной зависимостью. При r = 0 линейная корреляционная связь отсутствует.

1А44 (Характеристики тесноты связи). Качественные характеристики связи приведены в табл. 2.

Множественная корреляция возникает от взаимодействия нескольких факторов с результативным показателем.

Значительный интерес представляют коэффициенты корреляции, характеризующие взаимосвязь факторов между собой.

В корреляционную модель следует подбирать независимые между собой факторы. Если коэффициент корреляции двух факторов выше 0,8, то один из этих факторов рекомендуется исключить из модели.

В случае парной линейной регрессии коэффициент корреляции также можно вычислить по формуле:

где x, y – средние квадратические отклонения случайных величин х и у:

1А45 (Матрица коэффициентов парной корреляции). Матрица коэффициентов парной корреляции (корреляционная матрица) имеет вид:

По данным этой матрицы можно примерно оценить, какие факторы существенно влияют на переменную у, а какие – несущественно, а также выявить взаимосвязь между факторами.

1А46 (Коэффициент множественной корреляции). Для линейной множественной регрессии коэффициент множественной корреляции определяется по формуле:

где detK – определитель корреляционной матрицы; K11 – алгебраическое дополнение элемента первой строки и первого столбца матрицы K. Коэффициент множественной корреляции принимает значения от 0 до 1. Чем ближе его значение к единице, тем в большей степени учтены факторы, влияющие на зависимую переменную, тем более точной является построенная на основе отобранных факторов модель.

1А47 (Индекс корреляции). Индекс корреляции (коэффициент множественной корреляции) вычисляется по формуле:

Чем выше значение R, тем вероятнее близость расчетных значений результативного признака к фактическим. Данный показатель используется при любой форме связи переменных.

1А48 (Коэффициент детерминации). Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака характеризует коэффициент детерминации D = R2, получаемый возведением в квадрат коэффициента множественной корреляции.

О полноте связи можно судить по величине коэффициентов множественной корреляции и детерминации. Например, если R = 0,92, a D = 0,85, то это значит, что вариация результативного признака на 85% зависит от изменения исследуемых факторов, а на долю других факторов приходится 15% вариации результативного показателя. Следовательно, в корреляционную модель удалось включить наиболее существенные факторы.

1А+Б49 (Критерий Стьюдента для проверки гипотез о статистической значимости коэффициентов корреляции).

Для проверки гипотез о статистической значимости коэффициента корреляции, т. е. гипотез при заданном уровне значимости и объеме выборки n используется t-статистика:

По таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы = n – находят tкр = tтабл = t;n–2. Если tрасч tкр, нет оснований отвергнуть гипотезу H0. Если tрасч > tкр, то гипотезу H0 о равенстве коэффициента корреляции нулю отвергают. Другими словами, r значительно отличается от нуля, т. е. СВ X и СВ Y коррелированны.

1А+Б50 (Критерий Фишера для проверки гипотез об адекватности модели). Значимость построенной модели проверяется следующим образом. Выдвигаем гипотезу Н0: модель незначима.

Конкурирующая гипотеза Н1: модель значима. Гипотеза проверяется по критерию Фишера. Фактическая величина сопоставляется с табличной и делается заключение о надежности связи. Здесь k – количество независимых переменных в уравнении связи. Если Fрасч Fтабл = F ;1 ; 2 со степенями свободы 1 = k;

2 = n k 1 при заданном уровне значимости, то линейную модель можно считать адекватной, гипотеза о случайной природе зависимости между оцениваемыми характеристиками (нулевая гипотеза) отклоняется и признается статистическая значимость и надежность модели.

Также фактическое значение критерия Фишера можно рассчитать по формуле:

где yi – фактические индивидуальные значения результативного показателя; y – среднее значение результативного показателя;

yi – индивидуальные значения результативного показателя, рассчитанные по уравнению регрессии; n – количество наблюдений (объем выборки); k – количество независимых переменных в уравнении связи.

1А+Б51 (Определение меры точности модели). Определение меры точности модели производится с помощью расчета точностных характеристик:

51.1) средней абсолютной ошибки где ei = yi yi.

Ошибка показывает, насколько в среднем отклоняются фактические значения от модели;

51.2) средней относительной ошибки аппроксимации Допустимый предел значений Еотн составляет не более 8–15%.

51.3) дисперсии ряда остатков.

Если какая-либо из описанных характеристик не является удовлетворительной, то есть основания сомневаться в качестве данной модели (неправильно выбрана функциональная форма уравнения; не учтена важная объясняющая переменная; имеется объясняющая переменная, не оказывающая значимого влияния на зависимую переменную).

1А+Б52 (Исследование остаточного члена модели). Графическое представление поведения остаточного члена е:

позволяет проанализировать наличие автокорреляции и гетероскедастичности (непостоянства дисперсий отклонений). С помощью графического представления отклонений может быть обнаружена неправильная спецификация уравнения. Для этого строится график зависимости величин отклонений е от номера наблюдения. Если зависимость, получившаяся на графике, имеет неслучайный характер, то исследуемое уравнение регрессии неверно специфицировано.

1Б+С53 (Обнаружение и корректировка ошибок спецификации). Ошибки спецификации допускаются из-за поверхностных знаний об исследуемых экономических процессах или из-за недостаточно глубоко проработанной теории, или из-за погрешностей сбора и обработки статистических данных при построении эмпирического уравнения регрессии. Сложность процедуры определяется типом ошибки и знаниями об исследуемом объекте.

Если в уравнении регрессии имеется несущественная переменная, то она обнаружит себя по низкой t-статистике. Следует построить другое уравнение регрессии без незначимых переменных. Затем необходимо сравнить коэффициенты детерминации для первоначального и дополнительного уравнений регрессии.

Существует ряд тестов обнаружения ошибок спецификации, среди которых можно выделить:

1. Тест Рамсея RESET (Regression specification error test).

2. Тест (критерий) максимального правдоподобия (The Likelihood ratio test).

3. Тест Валда (The Wald test).

4. Тест множителя Лагранжа (The Lagrange multiplier test).

5. Тест Хаусмана (The Hausman test).

6. Box-Сох преобразование (Box-Cox transformation).

Суть указанных тестов состоит либо в осуществлении преобразований случайных отклонений, либо в масштабировании зависимой переменной, с тем чтобы можно было сравнить начальное и преобразованное уравнения регрессии на основе известного критерия.

2.2.11. Нелинейная эмпирическая регрессия 1А+Б54 (Нелинейные модели, допускающие сведение их к линейным). Многие экономические зависимости не являются линейными по своей сути, и поэтому их моделирование линейными уравнениями регрессии не дает положительного результата. Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Нелинейность может проявляться как относительно переменных, так и относительно входящих в функцию коэффициентов.

Для оценки параметров нелинейных моделей используют два подхода. Первый подход основан на линеаризации модели и заключается в том, что с помощью подходящих преобразований исходных переменных исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными.

Второй подход обычно применяют в случаях, когда подобрать соответствующее линеаризующее преобразование не удается. Тогда используют методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.

Оценка параметров регрессии, нелинейной по переменным, включенным в анализ, но линейной по оцениваемым параметрам, проводится с помощью МНК путем решения системы линейных алгебраических уравнений. Рассмотрим следующие модели:

54.1) степенные модели вида y = bxa, где a, b – параметры модели.

Эта функция может отражать зависимость спроса y от цены x (в данном случае а < 0) или от дохода x (в данном случае а > 1). Эта функция может отражать также зависимость объема выпуска y от использования ресурса x (производственная функция), в которой 0 < a < 1 (рис. 2), а также ряд других зависимостей. Для упрощения выкладок случайное отклонение введем в соотношение позднее.

Прологарифмируем выражение y = bx a : ln y = ln b + a ln x. Выполним замену: Y = ln y; X = ln x; b0 = ln b; b1 = a. Тогда получим:

С целью статистической оценки коэффициентов добавим в модель случайную погрешность, получим уравнение:

Полученная модель является линейной моделью, подробно рассмотренной ранее (п. 2.2.5–2.2.8). Если все необходимые предпосылки классической линейной регрессионной модели выполнены, то по МНК можно определить наилучшие линейные несмещенные оценки коэффициентов.

Коэффициент b1 определяет эластичность переменной y по переменной x и является константой. Поэтому эта модель также называется моделью постоянной эластичности.

Данная модель легко обобщается на большее число переменных. Например, ln y = b0 + b1 ln x1 + b2 ln x2 +. Здесь коэффициенты b1 и b2 являются эластичноcтями переменной y по переменным x1 и x2 соответственно;

54.2) показательную модель y = beax, b > 0 (рис. 3). Наиболее важным ее приложением является ситуация, когда анализируется изменение переменной y с постоянным темпом прироста во времени.

Данная модель путем логарифмирования сводится к логлинейной модели.

Прологарифмируем выражение y = beax: ln y = ln b + ax. Выполним замену: Y = ln y; X = x; b0 = ln b; b1 = a. Получим линейную модель Y = b0 + b1 X ;

54.3) логарифмические модели вида y = a ln x + b (рис. 4). Они сводятся к линейной модели заменой Y = y; X = ln x. В данных моделях коэффициент а определяет изменение переменной y вследствие единичного относительного прироста x (например, на 1%), т. е. характеризует отношение абсолютного изменения y к относительному изменению x.

между объемом выпуска (x) и средними фиксированными издержками (y).

Если a > 0; b < 0, то функция может описывать зависимость между доходом x и спросом y (например, на товары первой необходимости либо товары относительной роскоши); это так называемые функции Торнквиста (в этом случае x – минимально необходимый уровень дохода).

Графиком функции y = a + b при a < 0; b > 0 является криx вая Филлипса, отражающая зависимость между уровнем безработицы (x) в процентах и процентным изменением заработной платы (y). При этом точка пересечения кривой с осью OX определяет естественный уровень безработицы.

2.3. ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ПРИ НАРУШЕНИИ КЛАССИЧЕСКИХ

ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

при нарушении классических предположений 1А+Б59 (Основные предпосылки регрессионного анализа).

Условия Гаусса – Маркова (сравните с 1А+Б30):

59.1) математическое ожидание i равно нулю: M (i ) = 0;

59.2) дисперсии i постоянны для всех i: D(i ) = 2 ;

59.3) отклонения i и j не коррелированны при i j: M(i j) = 0;

59.4) зависимая переменная yi есть величина случайная, а объясняющая переменная xi – величина неслучайная;

59.5) отклонение i – это нормально распределенная СВ.

Для получения уравнения линейной регрессии достаточно предпосылок 1–4. Выполнение требования 5 необходимо для оценки точности уравнения регрессии и его параметров. В этом случае оценки параметров, полученные по МНК, будут обладать свойствами несмещенности и эффективности.

1А+Б60 (Проблемы при нарушении классических предположений). При моделировании реальных экономических процессов возникают ситуации, в которых условия классической модели регрессии оказываются нарушенными, а при их нарушении МНК может давать оценки с плохими статистическими свойствами:

60.1) если имеется линейная связь экзогенных переменных, например х2 = b0 + b1x1, то МНК-оценки не будут существовать, т. к. матрица Х'Х становится вырожденной. Такая ситуация в эконометрике носит название проблемы мультиколлинеарности;

60.2) если нарушается гипотеза о взаимной независимости случайных отклонений: M (i j ) 0, то возникает проблема автокорреляции, в рамках которой МНК-оценки не обладают несмещенностью;

60.3) одной из ключевых предпосылок МНК является условие постоянства дисперсий случайных отклонений. Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастичностью. Невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностью (непостоянством дисперсий отклонений), при которой существуют i j, такие что i2 2j, где D(i ) = i2, i = 1, n.

Для исследования этих проблем необходимо проанализировать источники возникновения и последствия наличия проблем, провести диагностику и применить определенные методы для устранения проблем.

1А61 (Мультиколлинеарность). Если в модель включаются два или более тесно взаимосвязанных фактора, то наряду с уравнением изучаемой регрессии появляется и другая зависимость.

Мультиколлинеарность – тесная зависимость между факторными признаками, включенными в модель. Она искажает величину коэффициентов регрессии и затрудняет их экономическую интерпретацию. Мультиколлинеарность возникает лишь в случае множественной регрессии.

1Б62 (Последствия мультиколлинеарности). Обычно выделяются следующие последствия мультиколлинеарности:

62.1) большие дисперсии оценок. Это затрудняет нахождение истинных значений определяемых величин и расширяет интервальные оценки, ухудшая их точность;

62.2) уменьшаются t-статистики коэффициентов, что может привести к неоправданному выводу о существенности влияния соответствующей объясняющей переменной на зависимую переменную;

62.3) оценки коэффициентов по МНК и их стандартные ошибки становятся очень чувствительными к малейшим изменениям данных, т. е. они становятся неустойчивыми;

62.4) затрудняется определение вклада каждой из объясняющих переменных в объясняемую уравнением регрессии дисперсию зависимой переменной;

62.5) возможно получение неверного знака у коэффициента регрессии.

1А+Б63 (Этапы решения проблемы мультиколлинеарности). В решении проблемы мультиколлинеарности можно выделить несколько этапов:

63.1) установление наличия мультиколлинеарности;

63.2) определение причин возникновения мультиколлинеарности;

63.3) разработка мер по устранению мультиколлинеарности.

1Б64 (Частный коэффициент корреляции). Частный коэффициент корреляции характеризует тесноту связи между двумя переменными при фиксированных значениях остальных факторов.

Если парный коэффициент корреляции между двумя наблюдаемыми величинами оказался больше по модулю частного коэффициента корреляции между этими же факторами, то фиксированные факторы усиливают взаимосвязь между изучаемыми величинами.

Более низкое значение парного коэффициента корреляции в сравнении с соответствующим частным коэффициентом корреляции свидетельствует об ослаблении связи между изучаемыми величинами действиями фиксированных величин.

Частный коэффициент корреляции, например ryx1 ( x2 ), характеризует степень линейной зависимости между двумя величинами у и х1 при исключенном влиянии третьей величины х2, включенной в модель. Он определяется по формуле:

Можно рассчитать и взаимосвязь факторных признаков при устранении влияния результативного признака.

Частный коэффициент корреляции изменяется в пределах от –1 до +1.

Частные коэффициенты корреляции как статистические величины подвергаются в анализе оценке на достоверность. С этой целью используется t-критерий Стьюдента.

Если частные коэффициенты корреляции возвести в квадрат, то получатся частные коэффициенты детерминации. Частный коэффициент детерминации показывает долю вариации признака под действием одного фактора при неизменном значении другого фактора.

1А+Б65 (Причины возникновения мультиколлинеарности).

Причины возникновения мультиколлинеарности между признаками:

65.1) факторные признаки, характеризующие одну и ту же сторону явления или процесса (например, показатели объема произведенной продукции и среднегодовой стоимости основных фондов одновременно включать в модель не рекомендуется, т. к. оба признака характеризуют размер предприятия);

65.2) факторные признаки, суммарное значение которых представляет собой постоянную величину (например, коэффициент годности и коэффициент износа основных фондов);

65.3) факторные признаки, являющиеся элементами друг друга (например, затраты на производство продукции и себестоимость единицы продукции);

65.4) факторные признаки, по экономическому смыслу дублирующие друг друга (например, прибыль и рентабельность продукции).

1А+Б66 (Способы определения мультиколлинеарности).

Способы определения наличия мультиколлинеарности:

66.1) анализ матрицы коэффициентов парной корреляции. Факторы хi и хj могут быть признаны коллинеарными, если rxi x j > 0,8.

Данный признак будет надежным лишь в случае двух объясняющих переменных. При большем их количестве целесообразным является использование частных коэффициентов корреляции;

66.2) исследование матрицы XX. Если определитель матрицы XX близок к нулю, то это свидетельствует о возможности наличия мультиколлинеарности;

66.3) выявление статистически незначимых коэффициентов регрессии (т. е. имеющих низкие t-статистики) при достаточно высоком коэффициенте детерминации R2;

66.4) выявление высоких частных коэффициентов корреляции.

1А+Б67 (Методы устранения мультиколлинеарности). Единого метода устранения мультиколлинеарности не существует, т. к.

причины и последствия мультиколлинеарности неоднозначны и во многом зависят от выборочных данных. Выделяют следующие методы устранения или уменьшения мультиколлинеарности:

67.1) сравнение значений линейных коэффициентов корреляции.

При отборе факторов предпочтение отдается тому, который более тесно, чем другие факторы, связан с результативным признаком, причем желательно, чтобы связь данного факторного признака с результатом у была выше, чем его связь с другими факторными признаками;

67.2) метод включения факторов (метод пошаговой регрессии).

В модель включаются факторы по одному в определенной последовательности. На первом шаге в модель вводится тот фактор, который имеет наибольший коэффициент корреляции с зависимой переменной. На последующих шагах в модель включается фактор, который имеет наибольший коэффициент корреляции с остатками модели. После включения каждого фактора в модель рассчитывают ее характеристики и проверяют модель на достоверность;

67.3) метод исключения факторов.

В модель включаются все факторы. Затем после построения уравнения регрессии из модели исключают фактор, коэффициент при котором незначим и имеет наименьшее значение t-критерия.

Получают новое уравнение регрессии и снова проводят оценку значимости всех оставшихся коэффициентов регрессии. Процесс исключения факторов продолжается до тех пор, пока модель не станет удовлетворять определенным условиям и все коэффициенты регрессии не будут значимы;

67.4) получение дополнительных данных или новой выборки.

Поскольку мультиколлинеарность напрямую зависит от выборки, то, возможно, при другой выборке мультиколлинеарности не будет либо она не будет столь серьезной. Увеличение количества данных сокращает дисперсии коэффициентов регрессии и тем самым увеличивает их статистическую значимость;

67.5) изменение спецификации модели.

В ряде случаев проблема мультиколлинеарности может быть решена путем изменения спецификации модели: либо изменяется форма модели, либо добавляются объясняющие переменные, не учтенные в первоначальной модели, но существенно влияющие на зависимую переменную;

67.6) использование предварительной информации о некоторых параметрах.

Иногда при построении модели множественной регрессии можно воспользоваться предварительной информацией, в частности известными значениями некоторых коэффициентов регрессии. Вполне возможно, что значения коэффициентов, рассчитанные для какихлибо предварительных (обычно более простых) моделей или для аналогичной модели по ранее полученной выборке, могут быть использованы для разрабатываемой в данный момент модели.

1А68 (Суть и причины автокорреляции). Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений i от значений отклонений во всех других наблюдениях. Отсутствие зависимости гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями, и в частности между соседними отклонениями. Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные данные).

Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов, поэтому в дальнейшем вместо символа i номера наблюдения будем использовать символ t, отражающий момент наблюдения.

Объем выборки при этом можно обозначать символом Т вместо символа n. В экономических задачах так называемая положительная автокорреляция встречается значительно чаще, чем отрицательная автокорреляция. Отрицательная автокорреляция означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот.

1А+Б69 (Пример). Исследуется спрос Y на прохладительные напитки в зависимости от дохода X по ежемесячным данным.

Трендовая зависимость, отражающая увеличение спроса с ростом дохода, может быть представлена линейной функцией, изображенной на рис. 7. Однако фактические точки наблюдений обычно будут превышать трендовую линию в летние периоды и будут ниже ее зимой. Аналогичная картина может иметь место в макроэкономическом анализе с учетом циклов деловой активности.

1А+Б70 (Причины появления автокорреляции). Среди основных причин, вызывающих появление автокорреляции, можно выделить:

70.1) ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной или неправильный выбор формы зависимости обычно приводит к системным отклонениям точек наблюдений от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию;

70.2) инерция. Многие экономические показатели (например, инфляция, безработица, ВНП и т. п.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности.

Действительно, экономический подъем приводит к росту занятости, сокращению инфляции, увеличению ВНП и т. д. Этот рост продолжается до тех пор, пока изменение конъюнктуры рынка и ряда экономических характеристик не приведет к замедлению роста, затем остановке и движению вспять рассматриваемых показателей. В любом случае эта трансформация происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью;

70.3) эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом). Например, предложение сельскохозяйственной продукции реагирует на изменение цены с запаздыванием (равным периоду созревания урожая). Большая цена сельскохозяйственной продукции в прошедшем году, скорее всего, вызовет ее перепроизводство в текущем году, а следовательно, цена на нее снизится и т. д.;

70.4) сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его подынтервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может послужить причиной автокорреляции.

1А+Б71 (Пример). Анализируется зависимость предельных издержек МС от объема выпуска Q. Если для ее описания вместо реальной квадратичной модели выбрать линейную модель, то совершается ошибка спецификации. Ее можно рассматривать как неправильный выбор формы модели или как отбрасывание значимой переменной при линеаризации указанных моделей.

Последствия данной ошибки выразятся в системном отклонении точек наблюдений от прямой регрессии и существенном преобладании последовательных отклонений одинакового знака над соседними отклонениями противоположных знаков. Налицо типичная картина, характерная для положительной автокорреляции (рис. 8).

Рис. 8. Зависимость предельных издержек от объема выпуска 1Б72 (Последствия автокорреляции). Среди последствий автокорреляции при применении МНК обычно выделяются следующие:

72.1) оценки параметров, оставаясь линейными и несмещенными, перестают быть эффективными. Следовательно, они перестают обладать свойствами наилучших линейных несмещенных оценок;

72.2) дисперсии оценок являются смещенными. Часто дисперсии, вычисляемые по стандартным формулам, являются заниженными, что влечет за собой увеличение t-статистик. Это может привести к признанию статистически значимыми объясняющих переменных, которые в действительности таковыми могут и не являться;

72.3) оценка дисперсии регрессии является смещенной оценкой истинного значения и во многих случаях занижает его;

72.4) в силу вышесказанного выводы по t- и F-статистикам, определяющим значимость коэффициентов регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными. Вследствие этого ухудшаются прогнозные качества модели.

1А+C73 (Обнаружение автокорреляции). В силу неизвестности значений параметров уравнения регрессии неизвестны также и истинные значения отклонений t, t = 1, n. Поэтому выводы об их независимости делаются на основе оценок et, t = 1, n, полученных из эмпирического уравнения регрессии. Рассмотрим возможные методы определения автокорреляции:

73.1) графический метод. По оси абсцисс откладываются либо время (момент) получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения (или оценки отклонений). По графику предполагают, имеются ли определенные связи между отклонениями, т. е. автокорреляция.

Отсутствие зависимости, скорее всего, свидетельствует об отсутствии автокорреляции. Данный график можно также дополнить графиком зависимости et от et–1.

В современных компьютерных прикладных программах для решения задач по эконометрике аналитическое выражение регрессии дополняется графическим представлением результатов.

На график реальных колебаний зависимой переменной накладывается график колебаний переменной по уравнению регрессии.

Сопоставив эти два графика, можно выдвинуть гипотезу о наличии автокорреляции остатков. Если эти графики пересекаются редко, то можно предположить наличие положительной автокорреляции остатков;

73.2) тест Дарбина – Уотсона. Критерий оценки основан на решающей функции где ei = yi yi. Тест позволяет делать выводы о наличии либо отсутствии автокорреляции (подробнее о применении статистики Дарбина – Уотсона см. в учебнике [4]).

1Б+C74 (Устранение автокорреляции). Основной причиной наличия случайного члена в модели являются недостаточные знания о причинах и взаимосвязях, определяющих значение зависимой переменной. Автокорреляция чаще всего вызывается неправильной спецификацией модели, поэтому необходимо, прежде всего, скорректировать саму модель. Возможно, автокорреляция вызвана отсутствием в модели некоторой важной объясняющей переменной. Следует попытаться определить данный фактор и учесть его в уравнении регрессии. Также можно попробовать изменить формулу зависимости.

В качестве способов уменьшения (устранения) автокорреляции во временных рядах применяют следующие методы:

74.1) метод включения дополнительного фактора, например времени;

74.2) метод последовательных разностей;

74.3) метод авторегрессионных преобразований.

1А+Б75 (Причины возникновения проблемы гетероскедастичности). При рассмотрении выборочных данных мы имеем дело с конкретными реализациями зависимой переменной yi и соответственно с определенными случайными отклонениями i, i = 1, n. До осуществления выборки эти показатели могли принимать произвольные значения на основе некоторых вероятностных распределений. Одним из требований к этим распределениям является равенство дисперсий. Несмотря на то что при каждом конкретном наблюдении случайное отклонение может быть любым, не должно быть априорной причины, вызывающей большую ошибку (отклонение) при одних наблюдениях и меньшую – при других. На практике зачастую есть основания считать, что вероятностные распределения случайных отклонений i при различных наблюдениях будут различными.

Проблема гетероскедастичности характерна для перекрестных данных и довольно редко встречается при рассмотрении временных рядов. В перекрестных данных учитываются экономические субъекты (потребители, домохозяйства, фирмы, отрасли, страны), имеющие различные доходы, размеры, потребности и т. д. В этом случае возможны проблемы, связанные с эффектом масштаба. Во временных рядах обычно рассматриваются одни и те же показатели в различные моменты времени (ВНП, чистый экспорт, темпы инфляции в определенном регионе за определенный период времени). Однако при увеличении (уменьшении) рассматриваемых показателей с течением времени также может возникнуть проблема гетероскедастичности.

1А+Б76 (Пример). Рассмотрим зависимость потребления от дохода. С ростом дохода растет среднее значение потребления.

Субъекты с большим доходом в среднем потребляют больше, чем субъекты с меньшим доходом, причем люди с большим доходом имеют больший простор для его распределения, т. е. разброс в их потреблении более существен. Разброс значений потребления вызывает разброс точек наблюдения относительно линии регрессии, дисперсия потребления не остается постоянной, а увеличивается с ростом дохода, имеет место гетероскедастичность остатков.

1Б77 (Последствия гетероскедастичности). Последствия гетероскедастичности:

77.1) оценки коэффициентов по-прежнему останутся несмещенными и линейными;

77.2) оценки не будут эффективными (т. е. они не будут иметь наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками данного параметра). Они не будут даже асимптотически эффективными. Увеличение дисперсии оценок снижает вероятность получения максимально точных оценок;

77.3) дисперсии оценок будут рассчитываться со смещением;

77.4) вследствие вышесказанного все выводы, получаемые на основе соответствующих t- и F-статистик, а также интервальные оценки будут ненадежными. Следовательно, статистические выводы, получаемые при стандартных проверках качества оценок, могут быть ошибочными и приводить к неверным заключениям по построенной модели. Вполне вероятно, что стандартные ошибки коэффициентов будут занижены, а значит, t-статистики будут завышены. Это может привести к признанию статистически значимыми коэффициентов, которые на самом деле таковыми не являются.

1А+Б78 (Обнаружение гетероскедастичности). В ряде случаев, зная характер данных, можно предвидеть появление проблемы гетероскедастичности и попытаться устранить этот недостаток еще на этапе спецификации. Однако значительно чаще эту проблему приходится решать после построения уравнения регрессии.

Обнаружение гетероскедастичности в каждом конкретном случае является довольно сложной задачей, т. к. для знания дисперсий отклонений необходимо знать распределение СВ Y, соответствующее выбранному значению xi CB X. На практике часто для каждого конкретного значения xi определяется единственное значение yi, что не позволяет оценить дисперсию СВ Y для данного значения xi.

Не существует однозначного метода определения гетероскедастичности. Однако для проверки разработано много тестов и критериев. Наиболее популярные и наглядные: графический анализ отклонений, тест ранговой корреляции Спирмена, тест Парка, тест Глейзера, тест Голдфелда – Квандта.

1А+Б79 (Графический анализ остатков). Использование графического представления отклонений позволяет определиться с наличием гетероскедастичности. В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной X (либо линейной комбинации объясняющих переменных), а по оси ординат – либо отклонения, либо их квадраты.

Если все отклонения находятся внутри полосы постоянной ширины, параллельной оси абсцисс, то это говорит о независимости дисперсий от значений переменной X и их постоянстве, т. е. в этом случае выполняются условия гомоскедастичности.

Если наблюдаются некоторые систематические изменения в соотношениях между значениями переменной X и квадратами отклонений (линейная, квадратичная, гиперболическая и другие зависимости), то такие ситуации отражают большую вероятность наличия гетероскедастичности для рассматриваемых статистических данных.

Графический анализ отклонений является удобным и достаточно надежным в случае парной регрессии. При множественной регрессии графический анализ возможен для каждой из объясняющих переменных Xj, j = 1, m, отдельно. Чаще же вместо объясняющих переменных по оси абсцисс откладывают значения yi, получаемые из эмпирического уравнения регрессии. Поскольку по уравнению множественной линейной регрессии yi является линейной комбинацией xij, j = 1, m, то график может указать на наличие гетероскедастичности. Такой анализ наиболее целесообразен при большом количестве объясняющих переменных.

1А+Б80 (Методы смягчения проблемы гетероскедастичности). Гетероскедастичность приводит к неэффективности оценок, несмотря на их несмещенность. Это может обусловить необоснованные выводы по качеству модели. Поэтому при установлении гетероскедастичности возникает необходимость преобразования модели. Вид преобразования зависит от того, известны или нет дисперсии отклонений.

Метод взвешенных наименьших квадратов (МВНК) применяется при известных для каждого наблюдения значениях i2. В этом случае можно устранить гетероскедастичность, разделив каждое наблюдаемое значение на соответствующее ему значение среднего квадратического отклонения i; тогда при оценке коэффициентов регрессии наблюдения с меньшими дисперсиями отклонений будут более значимыми, чем наблюдения с большими дисперсиями. Далее по МНК для преобразованных данных строится уравнение регрессии (без свободного члена) с гарантированным качеством оценок.

Во многих случаях дисперсии отклонений зависят от не включенных в уравнение регрессии объясняющих переменных, играющих существенную роль в исследуемой зависимости.

В ряде случаев для устранения гетероскедастичности необходимо изменить спецификацию модели.

На практике имеет смысл применить несколько методов определения гетероскедастичности и способов ее корректировки.

1А81 (Временной ряд). Для характеристики и анализа различных социально-экономических явлений за определенный период применяют показатели и методы, характеризующие эти процессы во времени (динамике). Под временным рядом в экономике понимается последовательность наблюдений некоторого признака (случайной величины) Y в последовательные моменты времени.

Отдельные наблюдения, которые называются уровнями ряда, будем обозначать уt, t = 1, n (где п – число уровней). Последовательно расположенные во времени числовые показатели характеризуют уровень состояния и изменения явления или процесса.

1А+Б82 (Классификация временных рядов). Классификация временных рядов:

82.1) в зависимости от показателя времени временные ряды бывают моментные (на определенную дату) и интервальные (за определенный период);

82.2) по форме представления уровни во временном ряду могут быть представлены абсолютными, средними и относительными величинами;

82.3) по расстоянию между уровнями временные ряды подразделяются на ряды с равноотстоящими и неравноотстоящими уровнями по времени. В равноотстоящих рядах даты регистрации периода следуют друг за другом с равными интервалами, в неравноотстоящих рядах равные интервалы не соблюдаются;

82.4) по содержанию временные ряды подразделяют на состоящие из частных и агрегированных показателей. Частные показатели характеризуют явления изолированно, односторонне (например, динамика показателей среднесуточного объема потребленной воды).

Агрегированные показатели являются производными от частных показателей и характеризуют изучаемое явление комплексно (например, динамика показателей экономической конъюнктуры).

1Б83 (Несопоставимость уровней временного ряда). При построении временных рядов необходимо соблюдать определенные правила. Показатели уровня временного ряда должны подчиняться единому закону развития. При нарушении этих правил уровни ряда становятся несопоставимыми.

Несопоставимость уровней временного ряда:

83.1) по кругу охватываемых объектов (возникает в результате неодинаковой полноты охвата объектов);

83.2) по методологии расчета (расчет показателей должен проводиться по единой методологии расчета);

83.3) по единицам измерения (возникает, если показатель может быть представлен в различных единицах измерения. Например, производительность труда измеряется в трудовых и стоимостных единицах);

83.4) по достоверности (возникает вследствие неодинаковой репрезентативности выборки по различным периодам);

83.5) по территории (возникает в результате изменения границ регионов и т. д.);

83.6) по стоимостным показателям (возникает вследствие изменения цен);

83.7) по времени регистрации (возникает из-за сезонных явлений. Например, в разные времена года потребление электроэнергии различно, и, соответственно, сравнение возможно только с учетом определенной даты).

1А84 (Составляющие временного ряда). Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой, циклической, сезонной и случайной компонент. В случае относительно коротких временных рядов (например, 3–5 лет) циклическая компонента отдельно не выделяется, а происходит объединение циклической компоненты с трендом.

В общем виде модель экономического временного ряда может быть представлена следующим образом:

где ut – тренд, плавно меняющаяся компонента, описывающая чистое влияние долговременных факторов, т. е. длительную тенденцию изменения признака (например, рост населения, экономическое развитие, изменение структуры потребления и т. п.); vt – сезонная компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течение не очень длительного периода: года, иногда месяца, недели и т. д.

(например, объем продаж товаров или перевозок пассажиров в различные времена года); t – случайная компонента, отражающая влияние не поддающихся учету и регистрации случайных факторов.

Следует обратить внимание на то, что в отличие от компоненты t составляющие ut, vt являются закономерными, неслучайными.

1А+Б85 (Модели временного ряда). Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называются аддитивными; как произведение – мультипликативными моделями временного ряда.

Аддитивная модель имеет вид: yt = ut + vt + t.

Мультипликативная модель имеет вид: yt = ut · vt · t. Такую модель применяют в случае, если происходят существенные сезонные изменения.

1Б86 (Этапы анализа временных рядов). При исследовании экономических временных рядов основной задачей является выявление и статистическая оценка основной тенденции развития изучаемого процесса и отклонений от нее. Основные этапы анализа временных рядов:

86.1) графическое представление и описание поведения временного ряда;

86.2) выделение и удаление закономерных (неслучайных) составляющих временного ряда (тренда, сезонных и циклических составляющих);

86.3) сглаживание и фильтрация (удаление низко- или высокочастотных составляющих временного ряда);

86.4) исследование случайной составляющей временного ряда, построение и проверка адекватности математической модели для ее описания;

86.5) прогнозирование развития изучаемого процесса на основе имеющегося временного ряда;

86.6) исследование взаимосвязи между различными временными рядами.

Среди наиболее распространенных методов анализа временных рядов выделим корреляционный анализ, модели авторегрессии и скользящей средней.

1А+Б87 (Стационарные временные ряды и их характеристики). Важную роль в анализе временных рядов играют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Стационарные временные ряды применяются, в частности, при описании случайных составляющих анализируемых рядов. Временной ряд yt называется стационарным, если совместное распределение вероятностей p наблюдений y1, y2, …, yp такое же, как и распределение вероятностей p наблюдений y1+, y2+, …, yp+ при любых p и. Иначе говоря, свойства стационарных рядов yt не зависят от момента t, т. е. закон распределения и его числовые характеристики не зависят от t. Поэтому математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение могут быть оценены по наблюдениям yt, t = 1, n, по формулам:

1А+Б88 (Коэффициент автокорреляции). Степень тесноты связи между компонентами временного ряда yt (сдвинутых относительно друг друга на единиц, или, как говорят, с лагом ) может быть определена с помощью коэффициента корреляции Так как коэффициент r(, t) измеряет корреляцию между членами одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции. Для стационарного временного ряда коэффициент автокорреляции не зависит от t.

1А+Б89 (Автокорреляционная функция). Зависимость r(, t) – автокорреляционная функция. Для стационарного временного ряда yt, t = 1, n, автокорреляционная функция ryt yt + зависит только от лага, причем r(–) = r(+), т. е. при изучении r() можно ограничиться рассмотрением только положительных значений.

1А+Б90 (Выборочная автокорреляционная функция). Статистической оценкой r() является выборочный коэффициент автокорреляции rB(), определяемый по формуле коэффициента корреляции:

Функцию rB() называют выборочной автокорреляционной функцией, а ее график – коррелограммой, иными словами, коррелограмма – это ломаная линия, соединяющая точки с координатами (; rB()).

При расчете rB() следует помнить, что с увеличением число n – пар наблюдений yt, yt+ уменьшается, поэтому лаг должен быть таким, чтобы число n – было достаточным для определения выборочного коэффициента автокорреляции rB(). Обычно ориентируются на соотношение n / 4.

Для стационарного временного ряда с увеличением лага взаимосвязь членов временного ряда ослабевает, и автокорреляционная функция r() должна убывать (по абсолютной величине).

В то же время для ее выборочного (эмпирического) аналога rB(), особенно при небольшом числе n – пар наблюдений, свойство монотонного убывания (по абсолютной величине) при возрастании может нарушаться.

1А+Б91 (Основная компонента временного ряда). Одной из важнейших задач исследования экономического временного ряда является выявление основной тенденции изучаемого процесса, выраженной неслучайной составляющей f(t) (тренда либо тренда с циклической и/или сезонной компонентой). Основной компонентой временного ряда, как уже говорилось, является тренд. Тренд – это устойчивая тенденция во временном ряду, более или менее свободная от случайных колебаний.

1А+Б+С92 (Основные типы трендов). Тенденции изменения показателей сложных общественных явлений только приближенно можно выразить тем или иным уравнением, линией тренда. На практике чаще всего используют следующие основные типы трендов временных рядов: прямолинейный, параболический, экспоненциальный, гиперболический и др.

Для определения параметров функции тренда f(t) чаще всего используется метод наименьших квадратов. Значения временного ряда yt рассматриваются как зависимая переменная, а время t – как объясняющая:

где t – возмущения, удовлетворяющие основным предпосылкам регрессионного анализа, т. е. представляющие собой независимые и одинаково распределенные случайные величины, распределение которых предполагается нормальным.

Напомним, что, согласно методу наименьших квадратов, параметры зависимости f(t) = b0 + b1t находятся из системы нормальных уравнений Линейный тип тренда подходит для отображения тенденции примерно равномерного изменения уровней: равных в среднем величин абсолютного прироста или абсолютного сокращения уровней за равные промежутки времени.

Экспоненциальный и степенной тренды характерны для процессов, развивающихся в среде, не создающей никаких ограничений для роста уровней. На практике такие явления встречаются только в ограниченном промежутке времени, поскольку любая среда рано или поздно создает ограничения.

Методом выравнивания (сглаживания) временного ряда, т. е.

выделения неслучайной составляющей, является метод скользящих средних. Он основан на переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее.

1Б93 (Прогнозирование на основе моделей временных рядов). Одна из важнейших задач анализа временного ряда состоит в прогнозировании на его основе развития изучаемого процесса.

При этом исходят из того, что тенденция развития, установленная в прошлом, может быть распространена (экстраполирована) на будущий период.

Задача ставится следующим образом: имеется временной ряд yt, t = 1, n, требуется дать прогноз уровня этого ряда на момент n +.

Ранее были рассмотрены точечный и интервальный прогнозы значений зависимой переменной Y, т. е. определение точечных и интервальных оценок Y, полученных для парной и множественной регрессий для значений объясняющих переменных X, расположенных вне пределов обследованного диапазона значений X.

Если рассматривать временной ряд как регрессионную модель изучаемого признака по переменной «время», то к нему могут быть применены рассмотренные выше методы анализа. Следует, однако, вспомнить, что одна из основных предпосылок регрессионного анализа состоит в том, что возмущения t, t = 1, n, представляют собой независимые случайные величины с математическим ожиданием (средним значением), равным нулю. При работе с временными рядами такое допущение во многих случаях оказывается неверным.

Далее будем полагать, что возмущения t, t = 1, n, удовлетворяют предпосылкам регрессионного анализа, т. е. условиям нормальной классической регрессионной модели.

Прогноз развития изучаемого процесса на основе экстраполяции временных рядов может оказаться эффективным, как правило, в рамках краткосрочного, в крайнем случае, среднесрочного периода прогнозирования.

1А+Б94 (Понятие об авторегрессионных моделях). Для данного временного ряда далеко не всегда удается подобрать адекватную модель, для которой ряд возмущений t будет удовлетворять основным предпосылкам регрессионного анализа. До сих пор мы рассматривали модели, в которых в качестве регрессора выступала переменная t – «время». В эконометрике достаточно широкое распространение получили и другие регрессионные модели, в которых регрессорами выступают лаговые переменные. Лаговая переменная – это переменная, влияние которой в эконометрической модели характеризуется некоторым запаздыванием.

Авторегрессионная модель р-го порядка (или модель АR (р)) имеет вид:

где 0, 1, …, p – некоторые константы.

Данная модель описывает изучаемый процесс в момент t в зависимости от его значений в предыдущие моменты t – 1, t – 2,..., t – р.

Если исследуемый процесс yt в момент t определяется его значениями только в предшествующий период t – 1, то рассматривают авторегрессионную модель 1-го порядка (или модель АR (1) – марковский случайный процесс):

ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

1А95 (Системы уравнений в эконометрике). Для изучения комплексных экономических явлений средствами эконометрики, как правило, применяют не отдельные уравнения регрессии, а системы уравнений.

1А+Б96 (Виды систем эконометрических уравнений). Различают следующие виды систем эконометрических уравнений:

96.1) система независимых уравнений. Каждый результативный признак (объясняемая переменная) yj, j = 1, n, является функцией одной и той же совокупности факторов (объясняющих переменных) xi, i = 1, m. Набор факторов в каждом уравнении системы может варьироваться в зависимости от изучаемого явления;

96.2) система рекурсивных уравнений. Результативный признак yj, j = 1, n, одного уравнения системы в каждом последующем уравнении является фактором наряду с одной и той же совокупностью факторов xi, i = 1, m;

96.3) система одновременных уравнений. Результативный признак yj, j = 1, n, одного уравнения системы входит во все другие уравнения системы в качестве фактора наряду с одной и той же совокупностью факторов xi, i = 1, m. Такие системы эффективны в эконометрических исследованиях и наиболее широко применяются в макроэкономике.

Параметры системы независимых или рекурсивных уравнений определяют с помощью МНК. Для исследования системы одновременных уравнений требуются другие, отличные от МНК методы. Их применение обуславливается тем, что результативный признак одного уравнения системы в другом уравнении этой системы используется в качестве фактора и коррелирует с соответствующей ошибкой.

1А97 (Формы моделей систем эконометрических уравнений).

Система одновременных уравнений может быть представлена следующим образом:

97.1) в виде структурной формы модели;

97.2) в виде приведенной формы модели.

1А98 (Виды переменных). Основными составляющими обеих форм записи систем одновременных уравнений являются эндогенные и экзогенные переменные.

Эндогенные переменные (у) определяются внутри модели и являются зависимыми переменными. Экзогенные переменные (х) определяются вне системы и являются независимыми переменными. Предполагается, что экзогенные переменные не коррелируют с ошибкой в соответствующем уравнении. Под предопределенными переменными системы одновременных уравнений понимают экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные этой системы.

1А99 (Структурная форма модели). Структурная форма модели имеет вид:

где ci0, i = 1, n, – свободный член уравнения модели; bij, i = 1, n;

j = 1, m, – коэффициент при эндогенной переменной модели;

aij, i = 1, n; j = 1, m, – коэффициент при экзогенной переменной;

i, i = 1, n, – случайная составляющая (ошибка) i-го уравнения структурной формы модели.

1А100 (Классы структурных уравнений модели). Наряду с регрессионными уравнениями в модели могут быть записаны и тождества. Таким образом, структурные уравнения модели подразделяются на два класса:

100.1) поведенческие уравнения. Описывают взаимодействие между экзогенными и эндогенными переменными;

100.2) тождества. Устанавливают соотношения между эндогенными переменными, не содержат случайных составляющих и структурных коэффициентов модели.

1А+Б101 (Пример). Модели спроса и предложения – классические примеры систем одновременных уравнений. Выбор переменных, оценка параметров уравнений системы отображают степень взаимного влияния признаков модели. Рассмотрим модель 1:

где y1t – спрос на товар в момент времени t; y2t – предложение количества товара в момент t; y3t – цена, по которой заключаются сделки в момент t.

Все переменные системы (y1t, y2t, y3t) эндогенные в силу экономического содержания модели. Величины спрос-предложение и цена определяются одновременно. Так как y1t = y2t, то c10 + b13y3t + 1 = c20 + b23y3t + 2; (b13 – b23)y3t = c20 – c10 + 2 – 1;

y3t = 20 10 2 1. Последнее равенство подтверждает завиb13 b симый характер цены.

Для того чтобы модель 1 была эконометрически значимой, необходимо ввести предопределенные (экзогенные и лаговые эндогенные) переменные. Например, в уравнение спроса (1) ввести экзогенную переменную x1t – доход на душу населения в момент времени t, а в уравнение предложения (2) – лаговую эндогенную переменную y3,t–1 – цену товара в момент (t – 1).

В результате получим модель 2 спроса и предложения кейнсианского типа.