«ОСНОВЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ХИМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДСТВ МОСКВА ИЗДАТЕЛЬСТВО МАШИНОСТРОЕНИЕ-1 2005 С.И. Дворецкий, Г.С. Кормильцин, В.Ф. Калинин ОСНОВЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ХИМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДСТВ Допущено учебно-методическим объединением ...»

Идея А-задач стохастического программирования заключается в следующем: исходное ограничение задачи заменяется на ограничение вида g (u, ), где < 0, т.е. исходное ограничение как бы ужесточается (см. рис. 45, г). После этого решается детерминированная задача оптимизации с новыми ограничениями Рис. 45. Геометрическая иллюстрация идеи решения А-задачи При этом решение задачи u будет соответствовать тому, что технологические ограничения g (u, ) будет равным 1 (см. рис. 45, г). Соответственно, вероятность нарушения ограничения уменьшается по сравнению с 1, т.е. 2 < 1, а значение целевой функции возрастает (рис. 4.5, б). Таким образом, мы приблизились к оптимальному решению задачи, которое изображено на рис. 45, д. Отметим, что при выполнении этой процедуры мы не вычисляли вероятность выполнения (нарушения) ограничения на каждом шаге поиска u *. Вычисление Bep [ g (u, ) 0] производится в оптимальной точке u для того, чтобы проверить выполнение условия Bep [ g (u, ) 0] зад. В том случае, если эти условия не выполняются, выбирается новое число 2 < 1 < 0 и вновь решается детерминированная задача оптимизации с ограничением g (u, ) 2. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет найдено такое *, при котором технологическое ограничение g (u, ) 0 выполняется с заданной вероятностью т.е. Bep [ g (u, ) 0] зад Следует заметить, что возможность применения метода А-задач стохастического программирования должна всегда доказываться либо аналитическим доказательством выполнения достаточных условий, либо вычислительным экспериментом, подтверждающим выполнение достаточных условий.

В соответствии с методом А-задач стохастической оптимизации нами разработан следующий алгоритм решения задачи (4.25), (4.26).

Алгоритм Шаг 1. Задается начальное значение = 0 и вектора ( ) = (1 ), (2 ),..., (m ) ).

Шаг 2. Методом последовательного квадратичного программирования решается задача НЛП при связях и ограничениях Шаг 3. В точке ( d ( ), u ( ) ), которая является решением задачи (4.27)-(4.29), вычисляются вероятности выполнения ограничений с использованием имитационной модели и проверяется выполнение условий Шаг 4. Если вероятностные ограничения не выполняются, т.е. ( ), включается алгоритм входа в допустимую область. Простейшим алгоритмом такого типа является уменьшение (j ) для нарушенных ограничений. Далее число увеличивается на 1, т.е. := + 1 и следует переход к шагу 2.

Шаг 5. Если вероятностные ограничения выполняются, то вектор * находим из решения внешней А-задачи оптимизации В общем случае задача (4.30) может быть решена подходящим методом нелинейного программирования. Однако нами применялся простейший алгоритм коррекции вектора путем увеличения его компонентов на величину где ( ) – шаг коррекции на -й итерации, подбираемый опытным путем. Поиск * прекращается, если j для j становится меньше заранее заданного малого числа (точность поиска * ).

Вычисление вероятностных интегралов производится стандартными методами (Монте-Карло или на аппроксимирующей сетке).

З а д а ч а 2. Имеются конструктивные и управляющие переменные. На этапе эксплуатации неопределенные параметры могут быть определены в некоторый момент времени и управляющие переменные могут быть использованы для обеспечения выполнения ограничений.

Для этого случая использовать в качестве критерия выражение M {C * (d, ) }, где C * (d, ) = min C (d, u, ) g j (d, u, ) 0, j J, которое мы применяли для задачи с жесткими ограничениями, нельзя. Это связано с тем, что сам вид этого критерия предполагает выполнение всех ограничений при всех из заданной области, т.е. жестким образом. Построим для этого случая критерий оптимизации.

Обозначим через множество значений из заданной области, при которых могут быть выполнены ограничения задачи и Bep зад. Тогда в критерии оптимизации для исходного переменную зации функции, учитывающей величину C (d, u, ) и штраф за нарушение ограничений g j (d, u, ) 0. При этом будем использовать следующие обозначения:

где А – штрафной коэффициент; J * – множество индексов ограничений, за нарушение которых берется штраф.

В этом случае задача оптимального проектирования может быть записана следующим образом:

где C (•) определяется из (4.31) при j J * ;

Отметим, что если существует такое d, что max min max g j (d, u, ) 0 при зад 1, имеем и в пределе при зад = 1 задача (4.32) – (4.34) переходит в двухэтапную задачу с жесткими ограничениями.

Решение двухэтапной задачи оптимизации (4.32) – (4.34) гораздо сложнее одноэтапной задачи (4.32) – (4.34) и для ее решения также будем использовать метод дискретизации критерия для получения дискретного аналога задачи (4.32) – (4.34). С помощью квадратурной формулы функцию можно приближенно заменить на функцию где – аппроксимационные точки; I1 – множество индексов аппроксимационных точек.

Обозначим через u i значение вектора u, являющиеся решением задачи при =. Тогда Поскольку под знаком суммы задачи оптимизации зависят каждая от своих поисковых переменных, операции суммирования и минимизации можно поменять местами и задача (4.32) – (4.34) может быть представлена в виде или при ограничениях Решение сформулированной задачи возможно с использованием эффективных методов решения задач нелинейного программирования и имитационного моделирования.

Нами разработан алгоритм решения задачи (4.35) – (4.38), базирующийся на методе имитационного моделирования [41].

З а д а ч а 3. Имеются конструктивные и управляющие переменные. Вектор неопределенных параметров состоит из двух подвекторов 1 и 2 ( = (1, 2 ) ). В подвектор 1 входят параметры, которые могут быть только определены на стадии эксплуатации процесса, в подвектор 2 – параметры, имеющие неопределенности на этапе эксплуатации те же, что и на этапе проектирования. Пусть при этом 1 1 и Эта задача в большей степени соответствует реальным задачам проектирования, поскольку внешние случайные факторы всегда будут иметь место не только на стадии проектирования, но и на стадии эксплуатации производства. Математическая постановка задачи имеет вид:

';

где А – штрафной коэффициент; J * – множество индексов ограничений, за нарушение которых берется штраф.

Здесь также отметим, что если существует d D, при котором то существует { d }, при котором = и При этом сформулированная задача (4.39), (4.40) переходит в двухэтапную задачу с жесткими ограничениями.

З а д а ч а 4. Имеются конструктивные и управляющие переменные. На этапе эксплуатации ХТП область неопределенных параметров та же, что и на этапе проектирования. Этот случай соответствует задаче проектирования ХТП, когда на этапе эксплуатации область неопределенных параметров не может быть уточнена.

Эта задача может быть сформулирована (в отличие от задачи 1) следующим образом):

при условии или Упростим сформулированную задачу. Для этого заменим математическое ожидание с помощью квадратурной формулы некоторой суммой Совокупность точек (i ), i I1, будем обозначать через S1, а множество критических точек на -м Алгоритм Шаг 1. Положим = 0. Выбираем совокупность аппроксимационных точек S1 и начальную совокупность критических точек S 2 ).

Шаг 2. Решаем задачу и определяем d ( ), u ( ).

Шаг 3. Решаем т-задач и определяем т точек ( j )*, j = 1, m.

Шаг 4. Образуем множество Если это множество пустое, то решение задачи получено. В противном случае перейдем к шагу 5.

Шаг 5. Определим Положим := + 1 и переходим к шагу 2.

Характерной чертой алгоритма 3 является увеличение числа критических точек на каждом шаге, соответственно увеличивается число ограничений. Это является определенным недостатком, поскольку в некоторых случаях при большом числе критических точек число ограничений может стать слишком большим.

Остановимся подробнее на шаге 3. Как правило, характер функций g j неизвестен. В этом случае можно использовать такой подход. Предполагаем на первом этапе, что функции g j выпуклы. В этом случае решение задачи находится в одной из вершин параллелепипеда [28]. В начальное множество критических точек S 2 0 ) ( включается некоторое количество угловых точек куба, а на шаге 3 рассчитываются значения функций g j (d ( ), u ( ), k ), j = 1, m во всех угловых точках куба, не принадлежащих множествам S 2 ) и S1.

Среди этих точек выбираются m точек, в которых функции g j (d ( ), u ( ), k ), j = 1, m принимают наибольшие значения. Далее определим множество критических точек S 2 +1) = S 2 ) R ( ) и переходим к шагу 2 алгоритма 2.

З а д а ч а 5. Имеются конструктивные и управляющие переменные. На этапе эксплуатации неопределенные параметры могут быть определены в каждый момент времени. Для обеспечения выполнения ограничений g j (d, u, ) 0, j J могут быть использованы конструктивные и управляющие переменные.

Для этого случая условие гибкости (работоспособности) можно записать в виде или Изменение конструктивных переменных гибкого аппарата на стадии эксплуатации производства возможно за счет его модульно-блочной структуры. Тогда оптимизационная задача в условиях неопределенности на стадии проектирования будет иметь вид при условии (4.41).

Используя квадратурную формулу, функцию M {•} можно приближенно заменить выражением где i – весовые коэффициенты; i – аппроксимационные точки; I1 – множество индексов аппроксимационных точек.

Операции суммирования и минимизации можно поменять местами и задача может быть представлена в виде при выполнении условия гибкости и g j (d i, u i, i ) 0, i I1, j J.

Сформулированная задача также, как и задача 4, относится к одноэтапным задачам оптимизации и может быть решена с помощью алгоритма 3.

З а д а ч а 6. Формулировка этой задачи та же, что и задачи 2, за исключением того, что условие гибкости (работоспособности) проекта ХТП записывается в жесткой форме В задаче 6 существенно различаются роли конструктивных d и технологических переменных u на двух этапах. Переменные d, выбранные на этапе проектирования, естественно, остаются неизменными на всем этапе функционирования процесса. С другой стороны, технологические режимные (управляющие) переменные на этапе функционирования могут настраиваться в зависимости от того, какие значения принимают параметры. Фактически в данном случае решается задача выбора оптимальных коэффициентов запаса для конструктивных переменных, обеспечивающих выполнение технологических ограничений при любых значениях параметров.

Использование возможности изменять параметры u (с помощью системы управления) на этапе функционирования процесса "облегчает" переменным d удовлетворять ограничениям, что, в свою очередь, позволит уменьшить коэффициенты запаса.

Двухэтапную задачу оптимального проектирования можно записать в виде при ограничениях (4.42).

Используя прием дискретизации, перепишем последнюю задачу в виде Решение задачи (4.43) – (4.45) прямыми методами не представляется возможным, поскольку вычисление (d ) в каждой точке может привести к очень большим объемам вычислений. В связи с этим здесь будет рекомендована итерационная процедура, основанная на идеях метода "ветвей и границ" [44] и обеспечивающая приближение значений целевой функции (4.43). При этом не требуется непосредственно вычислять величину (d ).

В дальнейшем нам потребуются два соотношения:

где x, y – векторы дискретных или непрерывных переменных.

Последнее соотношение является очевидным.

Введем функцию Тогда величина имеет вид В соответствии с соотношением (4.46) имеем где U = min max max g j (d, u, ) = min max max g j (d, u, ).

Введем обозначение отсюда Известно, что задача вычисления U (d ) может быть сведена к следующей:

Из (4.48) следует, что если U (d ) 0, то (d ) 0. Поэтому условие является достаточным условием допустимости (работоспособности) проекта, определяемого вектором конструктивных параметров d. Для определения величины U (d ) необходимо решить задачу (4.49), тогда U (d ) = *, где * – оптимальное значение переменных.

Аналогично можно показать, что где Отсюда следует, что если то и (d ) 0. Поэтому это условие является достаточным условием недопустимости (неработоспособности) проекта с вектором d. Для определения (d ) необходимо решить т задач вида Каждая из этих задач эквивалентна следующей Таким образом, имеем Следовательно, вычислив значения L и U, получим оценки снизу и сверху величины – критерия гибкости (работоспособности) Гроссманна.

Проанализируем физический смысл условия Будем искать такой вектор u, который обеспечивает допустимость вектора d при любых :

Используя этот критерий, мы ищем единственный вектор u, который обеспечивает допустимость вектора d при любых значениях. Напомним, что в критерии гибкости Гроссманна (d ) каждому значению соответствует свой вектор u, обеспечивающий допустимость вектора d.

Если разность U L мала, то рассмотренный подход дает возможность оценить гибкость ХТП, в противном случае необходима какая-либо регулярная процедура, позволяющая изменить эту разность.

Рассмотрим одну из этих процедур [43, 44].

Разобьем область на N областей i, (i = 1, N ). Для каждой области определяем величину Для этого необходимо решить задачу Определим теперь величину U следующим образом:

Поскольку i, то имеет место неравенство откуда Далее можно показать, что Следовательно, получена уточненная верхняя оценка критерия гибкости Гроссманна. Заметим, что чем плотнее покрытие области, тем ближе будет U к. Однако такой путь может приводить к решению большого числа задач (4.51). В связи с этим рассмотрим другой путь вычисления (d ). Для этого представим критерий (d ) в виде где (d, ) = min max g j (d, u, ).

Здесь вычисление (d ) сводится к определению точки *, в которой функция (d, ) принимает максимальное значение. Для определения этой точки воспользуемся процедурой метода "ветвей и границ" [48]. Цель этой процедуры будет состоять в том, чтобы разбивая область на все большее число подобластей i, постараться локализовать точку *.

Пусть на -м шаге область разбита на N областей i( ), i = 1, N : = 1 ) (2 )... (N ). Далее выбирается одна из областей ( ), которая в свою очередь разбивается на некоторое число областей. Для простоты будем считать, что область ( ) делится на две области: (S +1) и (q +1) ( (k ) = (S +1) + (q +1) ). В качестве области ( ) берется та из областей i( ), (i = 1, N ), в которой с наибольшей вероятностью нахоk дится оптимальная точка *.

Вычислим для каждой области i( ) величину U :

является верхней оценкой для значения функции (d, ) внутри области i( ). Поэтому закономерно в качестве квазиоптимальной области выбрать область ( ), для которой величина U приi нимает наибольшее значение:

Для проведения процедуры метода ветвей и границ на каждой итерации необходимо также знать нижнюю границу значения величины (d ) = (d, * ). Будем вычислять ее следующим образом [45]. Обозначим через * решение задач (4.51) и найдем Для этого необходимо решить задачу Очевидно, что что и определяет R ( ) как нижнюю границу для максимального значения функции (d, ). Пусть для некоторой области выполняется соотношение R ( ) U ( ), тогда в соответствии с неравенством l( ) и в дальнейшем не рассматривается. Процедура прекращается при выполнении соотношения где – малая величина.

Если речь идет об оценке гибкости производства, а не о вычислении (d ), то описанная процедура может окончится раньше, чем выполнится последнее условие. Действительно, пусть на -й итерации выполнится условие тогда Далее, на каждом шаге необходимо найти два значения S и q, соответствующих областям (S +1) и (q +1), на которые разбивается квазиоптимальная область ( ). Для этого потребуется два раза решить задачу (4.51) и, кроме того, необходимо найти величины (d, * ) и (d, * ), дважды решив задачу (4.52) Вернемся теперь к решению задачи (4.43) – (4.45):

Используя полученные выше оценки L ( d ), U ( d ), можно получить оценки оптимального значения целевой функции [45]. Действительно, рассмотрим следующие вспомогательные задачи:

Задачи (Г) и (Д) отличаются от задачи (В) только тем, что в них ограничение (d ) 0 заменено соответственно на ограничения U (d ) 0 и L (d ) 0. Поскольку имеет место неравенство то можно записать где CВ, CГ, CД – оптимальные значения целевой функции задач (В), (Г) и (Д), соответственно. Следует отметить, что решение задачи (Г) и (Д) проще, чем решение задачи (В). Если разность CГ CД достаточно мала, то в качестве приближенных оптимальных значений конструктивных переменных могут быть приняты значения при условии Введем еще одну вспомогательную задачу, разбив область на N областей i (i = 1, N ) и определяя Поскольку имеет место неравенство ( d ) U U ( d ), то

CB CE CГ

Пусть величина r ( i ) характеризует размер подобласти i. При выполнении условия где – достаточно малое число, можно получить достаточно хорошее приближение к решению задачи (4.43) – (4.45).

Рассмотрим алгоритм решения задачи (4.43) – (4.45) с помощью задачи (Е), в которой разбиение на области i будет проводиться более "экономичным" способом. Обозначим через i( ), i = 1, N ( ) подобласти, на которые разбивается область на k-й итерации.

Алгоритм 4 [44] Шаг 1. Положим = 0. Выбрать начальное разбиение области на подобласти i( ), i = 1, N ( ) ) и начальное значение d ( ) вектора d.

Шаг 2. Решить задачу (Е). Пусть C E ) и d ( ) – оптимальные значения критерия и вектора d.

Шаг 3. Найти множество S ( ) номеров активных ограничений:

Очевидны соотношения Шаг 4. Если множество S ( ) – пустое, то решение задачи (4.43)-(4.45) получено. В противном случае перейти к шагу 5.

Шаг 5. Проверить условие где – заранее заданное малое число.

Если условие выполняется, то итерационную процедуру закончить, в противном случае перейти к шагу 6.

Шаг 6. Разбить каждую область i( ) (i S ( ) ) на две подобласти i(1 +1) и i(2 +1) и образовать новое разбиение, исключив из предыдущего разбиения подобласти i( ) (i S ( ) ) и добавив новые области Шаг 7. Положить := + 1 и перейти к шагу 2. Поскольку Приведенный алгоритм позволяет определить локальный минимум задачи (4.43) – (4.45).

Особенность этого алгоритма состоит в том, что на каждой итерации выполняется операция, которая приближает ограничение (Е) к ограничению (4.48) (шаги 5 и 6). Идея этой операции близка к идее метода "ветвей и границ" [48], поскольку на каждой итерации разбиению подвергаются те подобласти i( ), для которых верна оценка величины (d ) наибольшая. Фактически поиск можно прекратить при выполнении условия где – достаточно малое число.

З а д а ч а 7. Формулировка этой задачи та же, что и задачи 3, за исключением того, что условие гибкости (работоспособности) проекта записывается в виде Рассмотрим вопрос, связанный с представлением критерия оптимизации. Для фиксированного момента времени на этапе эксплуатации ХТП значение 1 известно, а 2 может принимать любое значение из области 2. Поэтому для фиксированного момента времени будем иметь следующую постановку оптимизационной задачи:

В качестве критерия оптимального проектирования должно быть взято математическое ожидание по 1 от величины C (d, 1 ).

В результате приходим к задаче при ограничении (4.53).

Используя метод дискретизации критерия, получим дискретный аналог задачи (4.54), (4.53):

при условиях (4.53) и где wil = wi vl, wi, vl – весовые коэффициенты ( vl = 1, wi = 1 ), I1, I 2 – множества индексов аппроксимационных точек.

Сформулированная задача (4.54), (4.53) представляет определенный интерес для практики и может быть решена при помощи модифицированного алгоритма 4.

4.4. СТРАТЕГИЯ ОПТИМИЗАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ И

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТАТИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ

ПРОЦЕССОВ

Задачи статической оптимизации технологических объектов традиционно формулируются в форме задачи нелинейного программирования (НЛП) с ограничениями типа равенств и неравенств. В работах [29 – 34] установлено, что в случае многих переменных квадратичная аппроксимация (например используемая в методе Ньютона) обычно дает хорошие оценки точек безусловного минимума. Более того, группа квазиньютоновских методов позволяет пользоваться преимуществами квадратичной аппроксимации, не строя в явном виде полную аппроксимирующую функцию второго порядка на каждой итерации. Квазиньютоновские методы способны ускорить вычислительный процесс при использовании их в рамках процедур определений направлений поиска для методов приведенного градиента и проекций градиента.

В методе последовательного квадратичного программирования решение общей задачи НЛП ищется путем замены каждой нелинейной функции локальной квадратичной аппроксимацией в точке приближенного решения d 0 и решения получаемой последовательности аппроксимирующих подзадач. При этом установлено [30], что для задач квадратичного программирования существуют специальные методы, дающие решение за конечное число итераций без одномерного поиска при использовании вместо него итерации симплексного типа.

В 1980 г. К. Шитковский опубликовал в работе [34] результаты обширного исследования программ НЛП. В экспериментах использовались более 20 программ и 180 тестовых задач, генерируемых случайным образом; при этом структура задач была заранее определена, и для каждой их них многократно задавались начальные приближения. Тесты были проведены для четырех программ методов штрафных функций, 11 программ методов множителей Лагранжа, трех программ метода обобщенного приведенного градиента (ОПГ) и четырех программ метода последовательного квадратичного программирования (ПКП).

Программы оценивались по следующим критериям: 1) робастность; 2) надежность; 3) глобальная сходимость; 4) способность решать вырожденные и плохо обусловленные задачи; 5) чувствительность к малому изменению условий задачи; 6) простота обращения с программой.

На основе многочисленных тестов К. Шитковский пришел к весьма интересным выводам относительно классов алгоритмов и дал рекомендации по разработке программного обеспечения. В соответствии с его исследованиями классы алгоритмов можно проранжировать следующим образом: 1) методы ПКП;

2) Методы ОПГ; 3) методы множителей; 4) методы штрафных функций, не вошедшие в первые три класса.

Теперь рассмотрим некоторые принципы проведения оптимизационного исследования. Известно, что задача, к которой можно применить оптимизационные методы, должны включать критерий эффективности, независимые переменные, ограничения в виде равенств и неравенств, которые и образуют модель рассматриваемой системы.

Описанные и построенные модели реального объекта – важнейший этап оптимизационного исследования, так как он определяет практическую ценность получаемого решения и возможность его реализации.

Процесс оптимизации с использованием модели можно рассматривать как метод отыскания оптимального решения для реального объекта без непосредственного экспериментирования с самим объектом. "Прямой" путь, ведущий к оптимальному решению, заменяется "обходным", включающим построение и оптимизацию модели, а также преобразование полученных результатов в практически реализуемую форму. Очевидно, что такой подход к оптимизации объекта обязательно требует использования некоторого упрощенного представления реального объекта. При формировании такого приближенного представления или модели следует учитывать только важнейшие характеристики объекта, которые должны быть отражены в модели, а менее существенные особенности в модель можно не включать. Необходимо также сформулировать логически обоснованные допущения, выбрать форму представления модели, уровень ее детализации и метод реализации на ЭВМ. Указанные соображения относятся к этапу построения модели и являются в той или иной мере произвольными. Модели можно упорядочить по степени адекватности описания поведения реального объекта в представляющей интерес области эксплуатации. Таким образом, качество модели нельзя оценивать ни по структуре, ни по форме. Единственным критерием такой оценки может служить лишь достоверность полученных на модели примеров поведения реального объекта.

В то же время адекватность модели часто невозможно строго оценить и поэтому выбор той или иной модели в значительной степени субъективен. Так, например, одна модель может оказаться более точной, чем другая, в определенном диапазоне изменения переменных, но менее точной в другом диапазоне.

Следует отметить, что соответствие модели реальному объекту носит в лучшем случае правдоподобный характер. Поскольку модель по своей сути не более чем упрощение реальных соотношений, то не существует абсолютных примеров, с помощью которых можно было бы ранжировать модели. Всегда есть ситуации, требующие субъективной оценки и предвидения того, как поведет себя реальный объект.

Как следствие очень важно, чтобы создатель модели детально знал моделируемую систему, понимал технические принципы, лежащие в основе модели, а в случае оптимизации проекта сам руководил вычислениями, необходимыми для получения практически реализуемого проекта.

Работа по созданию модели является самым дорогим этапом оптимизационного исследования, так как она требует привлечения компетентных специалистов, хорошо знающих предметную область и изучаемый объект. Поскольку стоимость создания моделей резко возрастает по мере их детализации, необходимо тщательно продумывать уровень детализации, чтобы он соответствовал целям исследования и отвечал качеству доступной информации об объекте.

В оптимизационных исследованиях обычно используются модели трех основных типов: 1) аналитические; 2) модели поверхности отклика (регрессионные); 3) имитационные.

Вычислительные трудности, связанные с решением задачи, обычно вызываются четырьмя основными причинами: плохим масштабированием, несоответствием программ для вычисления значений функции и программ для вычисления производных, недифференцируемостью входящих в модель функций, неправильным заданием области определения значений аргументов функций. Только при тщательном анализе модели можно выявить эти ситуации и исключить их путем простой модификации модели.

В результате масштабирования осуществляется переход к относительным значениям величин, используемых в модели. В идеальном случае все переменные модели масштабируются таким образом, чтобы их значения находились в интервале 0,1…10. Таким же образом по оценкам ограничений в приближенном решении исследуется чувствительность ограничений к изменениям значений переменных.

Для этого вычисляется матрица, составляемая из градиентов ограничений. Наилучший случай, когда все ограничения имеют почти одинаковую чувствительность к изменениям значений переменных и значения градиентов ограничений находятся внутри одного и того же интервала значений. Благодаря этому невязки ограничений получают одинаковые веса и матричные операции с якобианом ограничений не приводят к потере точности вычислений.

Для надежной оптимизации объектов, целевые функции которых могут иметь несколько локальных минимумов, следует воспользоваться несколькими методами решения задачи, чтобы найти глобальный минимум. Отыскать глобальный минимум желательно не только в связи с тем, что это лучшее возможное решение задачи, но также и потому, что локальный минимум может провести к неправильным оценкам результатов расчетов по определению влияния переменных модели. Методы поиска глобального оптимума являются в настоящее время предметом интенсивных исследований. Известные методы поиска делятся на детерминированные и стохастические, которые в свою очередь могут быть эвристическими и строго обоснованными. Простейший и наиболее широко используемый метод состоит в проведении ряда оптимизационных расчетов при различных начальных условиях. В этом методе начальные точки выбираются из определенной решетки или же генерируются случайным образом. В первом случае допустимая область разбивается на непересекающиеся области и оптимизация выполняется каждой такой области по отдельности. Во втором случае начальные точки выбираются случайным образом, считая, что они распределены равномерно. В обоих случаях в качестве глобального оптимума из всех найденных локальных минимумов принимается локальный минимум с минимальным значением целевой функции. Оба этих метода эвристические. Теоретически, обратные методы глобальной оптимизации разработаны только для задач со специальной структурой.

Оптимизационные исследования не заканчиваются получением решения задачи. Напротив, самая важная часть исследования заключается в обосновании правильности решения и анализе его чувствительности. Наиболее важным является информация о состоянии объекта в окрестности решения, что позволяет глубже понять его основные свойства. Важнейшими результатами исследования являются ответы на вопросы: 1) Какие ограничения активны в полученном решении? 2) Что составляет основную часть затрат (стоимости)? 3) Какова чувствительность решения к изменениям значений параметров?

Активные ограничения указывают на ограниченные возможности объекта или на то, что из-за проектных соображений объект усовершенствовать нельзя. По величине затрат (стоимости) находят тот блок объекта, параметры которого должны быть улучшены. Чувствительность решения к изменению значений параметров указывает на то, какие оценки параметров следует улучшить для того, чтобы безошибочно найти оптимально решение.

Рассмотренную выше стратегию оптимизационного исследования будем применять для решения задачи интегрированного проектирования технологических объектов и систем управления.

Далее остановимся на методах динамической оптимизации технологических объектов. Пусть функционирование управляемого технологического объекта (аппаратура, установки и т.п.) описывается на интервале [t1, t2 ] дифференциальным уравнением Будем считать, что область допустимых управлений есть множество всех ограниченных кусочнонепрерывных функций u (t ) на [t0, t1 ] таких, что u U для любого t [t0, t1 ], где u E r – заданное подмножество из r-мерного евклидова пространства E r.

Введем скалярный критерий качества где L ( x, u, t ) – действительная функция на E n E r [t0, t1 ] и V3 ( x (t1), t1) – действительная функция на E n [t0, t1 ].

Будем считать, что функции f ( x, u, t ) и L ( x, u, t ) непрерывны и дифференцируемы по совокупности переменных x, u, t. Пусть S – заданное множество из E n [t0, t1 ], назовем S множеством целей (множеством конечных состояний) и V3 ( x (t1 ), t1 ) – функцией конечных состояний.

Задачей оптимального управления для системы (4.55) при сделанных предположениях относительно начального состояния x(t0 ) E n, области u E r допустимых управлений u (t ) U и множества конечных состояний S является отыскание такого управления u (t ) U, что функционал (4.56) достигает минимального значения.

Конкретизация выражений f ( x, u, t ), L ( x, u, t ), V3 ( x (t1 ), t1 ) и множества целей S порождает различные типы задач оптимального управления.

Классическое вариационное исчисление (в случае непрерывности u (t ) ) и принцип максимума Л.С.

Понтрягина сводят задачу оптимального управления к решению двухточечной краевой задачи для системы нелинейных дифференциальных уравнений. Принцип максимума применим к задачам с управлением общего вида. В случае описания движения объекта линейными дифференциальными уравнениями общая теория задач оптимального управления, основанная на проблеме моментов, предложена и обоснована Н.Н. Красовским [35].

Характерным для задач оптимального управления является то, что точные аналитические решения удается получить лишь в редких случаях, к которым относятся задачи с линейными объектами и квадратичными функционалами.

Сложность или невозможность получения аналитических результатов для задач в более общей постановке привели к развитию вычислительных и приближенных методов построения оптимального управления [36].

Решение сформулированной выше задачи оптимального управления получают обычно в форме так называемого программного управления, т.е. u* u* (t ), которое реализуется в разомкнутой системе управления. Применение таких систем управления процессами химической технологии не дает желаемого результата ввиду больших затрат машинного времени для расчета программы управления из-за изменчивости начальных условий и неточности реализации программы в процессе его функционирования. В связи с этим более перспективным направлением в автоматизации и оптимизации динамических режимов процессов химической технологии является синтез систем управления с обратной связью.

Методы аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) позволяют синтезировать оптимальный закон управления (оператор обратной связи в виде u * = ( x)) [37 – 40].

Остановимся здесь на модифицированном А.А. Красовским [38] методе аналитического конструирования, который заключается в видоизменении минимизируемого функционала, позволяющим численно получить решение для достаточно сложных нелинейных задач динамической оптимизации. Пусть управляемый процесс описывается дифференциальным уравнением типа а минимизируемый функционал имеет вид где U 3, U 3 – заданные функции аргументов такие, что U 3 (u, t ) + U 3 (u *, t ) определенная функция относительно u, обращающаяся в нуль при u = u *. Заметим, что функция u* в (4.57) – пока неизвестное оптимальное управление.

В работе [38] показано, что оптимальное управление u = u * в данном случае определяется соотношением где V = V ( x, t ) есть решение уравнения Ляпунова для неуправляемого ( u 0 ) объекта при граничном условии Для случая функционала (4.64) с квадратичной функцией оптимальным управлением являются функции Таким образом, оптимальное управление при функционале "обобщенной работы" А.А. Красовского (4.57) имеет такой же внешний вид, как и при классическом функционале. Однако функция V = V ( x, t ) здесь есть решение линейного уравнения с частными производными при граничном условии в то время как при классическом функционале V = V ( x, t ) есть решение нелинейного уравнения Беллмана. Это принципиальное отличие, сохраняющееся для всех задач оптимального управления по функционалу обобщенной работы, обусловливает широкие возможности для синтеза систем оптимального управления периодическими процессами и пусковыми режимами непрерывных процессов химических производств.

4.5. ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САПР

Одним из условий успешного функционирования САПР является наличие необходимой информации и, в частности, данных, характеризующих сырье, целевые продукты, энергетику, экономику и т.д.

Причем точность этих данных имеет решающее значение для определения оптимальных параметров проектируемого химического производства. Совокупность данных, характеризующих проектируемое химическое производство (физико-химические, термодинамические свойства веществ, параметры оборудования и технологической схемы, показатели эффективности производства и т.д.) составляют информационную базу САПР.

Основными при решении задач технологического проектирования и оптимизации являются физикохимические и теплофизические данные. Они обычно представляются в трех формах – в виде таблиц, диаграмм и уравнений. Наиболее распространенным способом является аналитическое представление, допускающее непосредственный расчет соответствующих параметров при заданных входных условиях.

В химической технологии к наиболее распространенным данным обычно относятся: давление пара, теплота испарения, удельная теплоемкость, плотность, теплопроводность, вязкость, теплота реакций, поверхностное натяжение, фазовое равновесие (жидкость–пар, жидкость–жидкость, жидкость–жидкость– пар, жидкость–твердое вещество, твердое вещество–пар, растворимость), кинетические данные и т.д. Ясно, что эти данные необходимы в требуемом диапазоне по температуре и давлению.

Имеется два источника для создания информационной базы САПР. Это экспериментальные и расчетные данные. По степени достоверности предпочтение отдается экспериментальным данным, особенно, если эксперимент проводится целенаправленно, т.е. с учетом области применения результата. Использование литературных данных по свойствам не всегда представляется возможным из-за специфических условий проведения эксперимента и ограниченности интервала по температуре, давлению, составу и другим параметрам. К тому же часто отсутствует достоверная информация о точности публикуемых данных.

Расчет также не всегда обеспечивает требуемую точность, но часто является единственным способом пополнения данных. В настоящее время имеется большое число методов для определения отдельных свойств веществ, однако выбор соответствующего метода сопряжен с рядом трудностей, поскольку большинству из них свойственны следующие недостатки: а) низкая точность; б) ориентация на традиционный расчет и использование номограмм, таблиц и графиков для определения свойств веществ (номограммы и таблицы не только снижают точность методов, но и затрудняют компьютерную реализацию); в) узость области применения по классу веществ и диапазону изменения параметров (это приводит к тому, что одно и то же свойство нужно рассчитывать по различным формулам в зависимости от вещества и интервала изменения параметров; такие методы не только сложны в применении, но и не обеспечивают непрерывности зависимости свойств от параметров); г) невозможность экстраполяции функциональной зависимости за область определения параметров; д) термодинамическая несовместимость методов.

Определение физико-химических, теплофизических и других свойств веществ должно проводиться на единой методологической основе, включая экспериментальные и расчетные методы с учетом области применения данных. При разработке новых технологических процессов потребуются вещества, свойства которых в литературных источниках практически отсутствуют. Это относится к альтернативным сырьевым источникам, синтетическим топливам, продуктам биотехнологии и т.д., представляющим собой сложные гомогенные и гетерогенные системы. В методологическом аспекте определение свойств веществ и соединений должно базироваться на интеграции лабораторных измерений свойств тщательно отобранных систем, критической оценки получаемых данных и теоретических исследований для получения расчетных методов, обладающих прогнозирующими характеристиками. Прогнозирующие алгоритмы, оформленные в виде комплексов программ, становятся все более предпочтительным методом получения данных о свойствах. Интенсивное развитие также получают экспериментальные методы в рамках АСНИ. АСНИ, по существу, выполняют функции сбора, накопления и обработки экспериментальных данных для САПР. Тем более, что большинство зависимостей для определения свойств можно применять лишь при наличии определенного набора экспериментальных данных. Это, например, фазовое равновесие, транспортные свойства неньютоновских жидкостей при высоких температурах, полидисперсные системы, межфазный перенос и т.д.

Организационно получение и накопление данных включает: литературный поиск, разработку расчетных и экспериментальных методов их получения, оценку.

4.6. ПРИКЛАДНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САПР

Математическое моделирование как метод исследования в настоящее время получил достаточно широкое распространение. С достаточно общих позиций математическое моделирование можно рассматривать как один из самых мощных методов и инструментов познания, анализа и синтеза, которым располагают специалисты, ответственные за разработку и функционирование сложных технических устройств и технологических объектов (например, процессов, аппаратов и систем био- и химических технологий). Идея математического моделирования состоит в замене реального объекта его "образом" – математической моделью – и в дальнейшем изучении модели с целью получения новых знаний об этом объекте. При этом у исследователя появляется возможность экспериментировать с моделью объекта даже в тех случаях, когда делать это на реальном объекте практически невозможно или нецелесообразно. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его математической моделью дает возможность относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента) [49].

Основу современного кибернетического подхода к решению задач анализа и синтеза химикотехнологических объектов составляет системный анализ [2]. Сущность системного анализа определяется его стратегией, в основе которой лежат общие принципы, применимые к решению любой системной задачи. К ним можно отнести: 1) четкую формулировку цели исследования, постановку задачи по достижению заданной цели и определение критерия эффективности решения задачи; 2) разработку развернутой стратегии исследования с указанием основных этапов и направлений в решении задачи: последовательно-параллельное продвижение по всему комплексу взаимосвязанных этапов и возможных направлений; организацию последовательных приближений и повторных циклов исследований на отдельных этапах; принцип нисходящей иерархии анализа и восходящей иерархии синтеза при решении составных частных задач. При этом формализация системы осуществляется с помощью математической модели, отображающей связь между выходными переменными системы, ее внутренними параметрами и входными переменными, в том числе управляющими и возмущающими воздействиями.

Методология математического моделирования предусматривает тщательную отработку моделей.

Обычно, начав с очень простой модели, постепенно продвигаются к более совершенной ее форме, отражающей сложную природу изучаемого объекта более точно. Искусство моделирования состоит в способности анализировать проблему, выделять из нее путем абстракции наиболее существенные черты, выбирать и должным образом модифицировать предположения, характеризующие объект (систему), а затем отрабатывать и совершенствовать модель до тех пор, пока она не станет давать полезные для практики результаты. Таким образом, разработка и применение компьютерных моделей все еще в большей степени искусство, нежели наука. Следовательно, как и в других видах искусства, успех или неудача определяется не столько методом, сколько тем, как он применяется.

В складывавшейся десятилетиями последовательности основных этапов разработки и проектирования технических устройств в большинстве отраслей машиностроения и приборостроения, технологических процессов, аппаратов и систем био- и химической технологий некоторый начальный объем необходимой информации формировался путем так называемых проектировочных расчетов, степень достоверности которых должна была обеспечивать лишь довольно грубый отбор альтернатив. Основная часть необходимой для принятия окончательного решения количественной информации (как по степени подробности, так и по уровню достоверности) формировалась на стадии экспериментальной отработки технических устройств, технологических процессов, аппаратов и систем био- и химических технологий.

По мере их усложнения и удорожания, а также удлинения стадии их экспериментальной отработки значимость проектировочных расчетов стала расти. Возникла необходимость в повышении достоверности таких расчетов, обеспечивающей более обоснованный отбор альтернатив на начальной стадии проектирования и формулировку количественных критериев для структурной и параметрической оптимизации.

Развитие био- и химических технологий, гибких автоматизированных производственных систем и устройств, сверхзвуковой авиации, возникновение ракетно-космической техники, ядерной энергетики и ряда других быстро развивающихся наукоемких отраслей современного машиностроения и приборостроения привели к дальнейшему усложнению разрабатываемых и эксплуатируемых технических устройств, технологических процессов, аппаратов и систем био- и химических технологий. Их экспериментальная отработка стала требовать все больших затрат времени и материальных ресурсов, а в ряде случаев ее проведение в полном объеме превратилось в проблему, не имеющую приемлемого решения.

Существенно увеличилось значение расчетно-теоретического анализа характеристик таких устройств, технологий и систем. Этому способствовал и прорыв в совершенствовании вычислительной техники и численных методов, приведший к появлению современных ЭВМ с феноменальными объемом памяти и скоростью выполнения арифметических операций. В результате возникла материальная база для становления и быстрого развития компьютерного моделирования (математического моделирования и вычислительного эксперимента) не только в качестве расчетно-теоретического сопровождения на стадии отработки технических устройств, технологических процессов, аппаратов и систем био- и химических технологий, но и при их проектировании, подборе и оптимизации их эксплуатационных режимов, анализе надежности и прогнозировании отказов и аварийных ситуаций, а также при оценке возможностей форсирования характеристик и модернизации технических устройств, технологических процессов, аппаратов и систем био- и химических технологий.

Собственно компьютерное моделирование представляет собой процесс конструирования модели реального химико-технологического объекта (системы) и постановки вычислительных экспериментов на этой модели с целью либо понять (исследовать) поведение этой системы, либо оценить эффективность различных стратегий (алгоритмов) ее функционирования с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Таким образом, процесс компьютерного моделирования включает и конструирование модели, и ее применение для решения поставленной задачи: анализа, исследования, оптимизации или синтеза (проектирования) химико-технологических процессов, аппаратов и систем.

В настоящее время компьютерное моделирование стало составной частью общих подходов, характерных для современных информационных технологий. Принципиально важно то, что компьютерное моделирование позволило объединить формальное и неформальное мышление и естественным образом сочетать способность ЭВМ во много раз быстрее, точнее и лучше человека делать формальные арифметические операции, отслеживать логические цепочки с удивительными свойствами человеческого интеллекта – интуицией, способностью к ассоциациям и т.д. [50]. Не менее важно и то, что современные средства интерфейса дают возможность вести с ЭВМ диалог – анализировать альтернативы, проверять гипотезы, экспериментировать с математическими моделями.

Практическая реализация возможностей компьютерного моделирования существенно повышает эффективность инженерных разработок особенно при создании принципиально новых, не имеющих прототипов технологических машин и приборов, материалов и технологий, что позволяет сократить затраты времени и средств на использование в технике и технологиях передовых достижений физики, химии, механики и других фундаментальных наук. Отмеченные возможности компьютерного моделирования еще далеко не исчерпаны, представляются достаточно перспективными и поэтому заслуживают детального рассмотрения.

Изучая сложные химико-технологические процессы, аппараты и физико-химические явления, мы не можем учесть все факторы: какие-то оказываются существенными, а какими-то можно пренебречь. При этом выдвигается система допущений (гипотез), которая тщательно обосновывается и позволяет выявить и учесть при математическом описании наиболее характерные черты исследуемого объекта. В результате формируется математическая модель исследуемого химико-технологического объекта.

В процессе компьютерного моделирования исследователь имеет дело с тремя объектами: системой (реальной, проектируемой, воображаемой), математической моделью и программой ЭВМ, реализующей алгоритм решения уравнений модели. Традиционная схема компьютерного моделирования, как единого процесса построения и исследования модели, имеющего соответствующую программную поддержку, может быть представлена как на рис. 46.

Исходя из того, что компьютерное моделирование применяется для исследования, оптимизации и проектирования реальных химико-технологических объектов (систем), можно выделить следующие этапы этого процесса:

1) определение объекта – установление границ, ограничений и измерителей эффективности функционирования объекта;

2) формализацию объекта (построение модели) – переход от реального объекта к некоторой логической схеме (абстрагирование);

3) подготовку данных – отбор данных, необходимых для построения модели, и представление их в соответствующей форме;

4) разработку моделирующего алгоритма и программы ЭВМ;

5) оценку адекватности – повышение до приемлемого уровня степени уверенности, с которой можно судить относительно корректности выводов о реальном объекте, полученных на основании обращения к модели;

6) стратегическое планирование – планирование вычислительного эксперимента, который должен дать необходимую информацию;

7) тактическое планирование – определение способа проведения каждой серии испытаний, предусмотренных планом эксперимента;

8) экспериментирование – процесс осуществления имитации с целью получения желаемых данных и анализа чувствительности;

9) интерпретацию – построение выводов по данным, полученным путем имитации;

10) реализацию – практическое использование модели и результатов моделирования.

Перечисленные этапы компьютерного моделирования определены в предположении, что сформулированная задача может быть решена наилучшим образом именно этим методом. Однако это может быть не самый эффективный метод. В том случае, если задача может быть сведена к простой линейной модели и решена аналитически, нет никакой нужды в компьютерном моделировании. Следует изыскивать все возможные средства, подходящие для решения данной конкретной задачи, стремясь при этом к оптимальному сочетанию стоимости и желаемых результатов. Поэтому, прежде чем приступать к оценке возможностей компьютерного моделирования, следует самому убедиться, что простая аналитическая модель для данного случая не пригодна.

Сейчас математическое моделирование вступает в третий принципиально важный этап своего развития, встраиваясь в структуру так называемого информационного общества. Впечатляющий прогресс средств переработки, передачи и хранения информации отвечает мировым тенденциям к усложнению и взаимному проникновению различных сфер человеческой деятельности. Без владения информационными ресурсами нельзя и думать о решении все более укрупняющихся и все более разнообразных проблем, стоящих перед мировым сообществом. Однако информация как таковая зачастую мало что дает для анализа и прогноза, для принятия решений и контроля за их исполнением. Нужны надежные способы переработки информационного "сырья" в готовый "продукт", т.е. в точное знание. История методологии математического моделирования убеждает: она может и должна быть интеллектуальным ядром информационных технологий, всего процесса информатизации общества.

МОДЕЛИРОВАНИЯ

В настоящее время для решения практических задач анализа, оптимизации и синтеза химикотехнологических процессов и производств применяют современные системы компьютерной математики (MatLab, ChemCad и др.).

Одним из наиболее мощных и универсальных пакетов прикладных программ, обеспечивающих решение широкого спектра задач по расчету и оптимизации химико-технологических процессов и производств [51] является система MatLab (сокращение от Matrix Laboratory) фирмы MathWorks, Inc/ (США, штат Массачутес, г. Нейтик). MatLab является интерактивной системой для выполнения инженерных и научных расчетов, которая ориентирована на работу с массивами данных. Спектр задач, исследование которых может быть осуществлено при помощи MatLab, охватывает: матричный анализ, задачи математической физики, статистики, одно- и многомерной интерполяции, нечеткой логики, обработки и визуализации данных, аппроксимации с помощью нейронных сетей и др.

Система MatLab – это одновременно и операционная среда, и язык программирования. По способу трансляции MatLab является интерпретатором, что позволяет упростить процесс отладки программы.

Преимуществом MatLab по сравнению с другими пакетами является открытость кода, что дает возможность опытным пользователям разбираться в запрограммированных алгоритмах и, при необходимости, изменять их. В MatLab реализованы современные численные алгоритмы решения задач линейной алгебры, дифференциальных уравнений и систем, интерполяции и аппроксимации, вычисления определенных интегралов и др. Символические вычисления в MatLab основаны на библиотеке, являющейся ядром пакета Maple. Решение уравнений и систем, интегрирование и дифференцирование, вычисление пределов, разложение в ряд и суммирование рядов, поиск решения дифференциальных уравнений и систем – вот далеко не полный перечень возможностей MatLab для проведения аналитических выкладок и расчетов.

MatLab обладает хорошо развитыми возможностями визуализации двух- и трехмерных данных. Редактор графиков помогает оформить результат надлежащим образом.

Программный интерфейс приложения API реализует связь среды MatLab с программами, написанными на языках С или Fortran. Библиотеки программного интерфейса позволяют вызывать имеющиеся модули С или Fortran из среды или программы MatLab, а также обращаться к функциям MatLab из программ на С или Fortran, осуществлять обмен данными между приложениями MatLab и другими программами, создавать приложения типа клиент – сервер.

Программным продуктом, предоставляющим инструментальные средства моделирования ХТП и оборудования, является ChemCAD. Программный комплекс ChemCAD, разработанный американской фирмой "Хемстайшенс", предназначен для решения широкого круга задач, связанных с анализом, оптимизацией и синтезом химико-технологических процессов и оборудования, а также проведением технологических расчетов химических производств. Программное обеспечение комплекса позволяет:

• использовать для расчетов ХТП физико-химические свойства веществ (в базе данных содержится около 2000 химических веществ) и рассчитать термодинамические параметры смесей веществ по имеющимся методикам;

• осуществлять построение (конструирование) на экране дисплея принципиальной технологической схемы химического производства с использованием имеющихся в комплексе типовых модулей ХТП (включает порядка 40 пиктограмм технологических аппаратов);

• производить постадийный автоматизированный расчет материальных и тепловых балансов производства;

• выполнять технологические расчеты оборудования химических производств;

• осуществлять компьютерное моделирование и анализ статических и динамических режимов технологической схемы производства;

• включать собственные методики расчета и оптимизации ХТП и оборудования.

Пакет прикладных программ ChemCAD представляет собой достаточно развитые инструментальные средства компьютерного моделирования для решения задач исследования, расчета и проектирования химико-технологических процессов, аппаратов и производств.

В ChemCAD имеется графический реактор, позволяющий компоновать технологическую схему химического производства из имеющихся пиктограмм технологических аппаратов и вспомогательного оборудования. Построение технологической схемы при этом сводится к размещению изображений технологического оборудования производства в нужном порядке на экране и соединению их потоками. У каждого аппарата имеется множество пиктограмм, однако для решения практических задач их может оказаться недостаточно. Поэтому в ChemCAD предусмотрены возможности модификации пиктограмм.

После завершения компоновки аппаратов технологической схемы их необходимо соединить материальными потоками. Каждый аппарат имеет позиции входа и выхода, которые устанавливаются при создании пиктограмм. Пиктограмма ориентирует потоки по отношению к этим позициям.

Следующим этапом является задание параметров потоков питания и разрываемых потоков для схем с обратными связями (рециклами). ChemCAD содержит разнообразные методы (~ 50) расчета констант фазового равновесия и теплофизических характеристик веществ. По аналогии с назначением параметров потоков задаются конструктивные параметры технологического оборудования.

В ChemCAD широко представлены модули для осуществления проектного и поверочного расчетов кожухотрубчатых теплообменников, колонных аппаратов (тарельчатых и насадочных колонн ректификации и абсорбции нефтяных смесей, хемосорбции и др.), химических реакторов (идеального вытеснения (RFR) и смешения (CSTR)), аппаратов высокого давления, трубопроводов, нормально сужающих устройств (диафрагм) и регулирующих клапанов.

В ChemCAD имеются также средства для исследования и оптимизации статических и динамических режимов функционирования как отдельных химико-технологических аппаратов, так и всей химикотехнологической схемы; чувствительности выходных переменных этих аппаратов по отношению к входным переменным и возмущающим воздействиям.

4.6.2. ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПРОСТЕЙШИХ

ТИПОВЫХ ПРОЦЕССОВ БИО- И ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

1. Модель процесса смешения потоков (рис. 47). Пусть в смеситель поступают два потока веществ, характеризующихся расходом G j, вектором концентраций веществ c j,i и температурой t j.

c1,G1,t Рис. 47. Структурная схема математическую модель, ным данным рассчитывать концентрации ci веществ и температуру t потока на выходе из смесителя.

Примем следующие допущения: 1) внутри аппарата реализуется режим идеального смешения и отсутствуют источники (стоки) вещества и теплоты; 2) удельные теплоемкости компонентов j-го потока в зависимости от температуры t j рассчитываются по формуле где ai, bi, di, ei эмпирические коэффициенты, найденные для каждого i-го вещества.

Составим общее уравнение материального баланса при смешении двух потоков веществ в смесителе и уравнения покомпонентного материального баланса:

где c1,i, c2,i, ci массовые доли i-го вещества в потоках; m число веществ в потоке.

Из последнего балансового уравнения можно рассчитать концентрации ci веществ на выходе из смесителя Далее составим уравнение теплового баланса для смесителя:

где c p удельная теплоемкость потока рассчитывается по формуле Из последнего балансового уравнения можно рассчитать температуру выходного потока Обратим внимание на нелинейность последнего уравнения, поскольку удельная теплоемкость выходного потока нелинейным образом зависит от температуры. Для его решения можно воспользоваться методом простой итерации:

где = 0, 1, 2,... номер итерации.

В качестве условия окончания итерационного процесса (счета) можно использовать следующее условие t ( +1) t ( ), а в качестве начального приближения принять t (0) = (t1 + t 2 ) / 2.

2. Модель процесса теплообмена, осуществляемого в кожухотрубчатом теплообменнике (рис.

48). В трубном пространстве одноходового кожухотрубчатого теплообменника охлаждается жидкость от температуры tн до температуры t к. Охлаждающая жидкость (хладагент) проходит противотоком по межтрубному пространству с расходом Gх и начальной температурой t x.

Исходные данные: поверхность F теплообмена кожухотрубчатого теплообменника, коэффициенты теплоотдачи 1 и 2 в трубном и межтрубном пространствах, толщина i, теплопроводность i стенки и слоев загрязнений, i = 1, n ; расход G, начальная и конечные температуры tн и tк, удельные теплоемкости с p и c px охлаждаемой жидкости и хладагента, расход и начальная температура t x гхладагента.

Требуется построить математическую модель, позволяющую рассчитывать температуру хладагента t x на выходе изн, t н, c н Примем следующие допущения: 1) теплопередача не сопровождается изменением агрегатного состояния теплоносителей; 2) схема движения теплоносителей – противоток; 3) потери теплоты в окружающее пространство не учитываются.

Составим общее уравнение н, t н, c н Из последнего уравнения можно выразить величину tк :

Запишем теперь уравнение теплового баланса с учетом процесса теплопередачи через стенки труб теплообменника:

Коэффициент теплопередачи K т рассчитывают по формуле где 1, 2 коэффициенты теплоотдачи в трубном и межтрубном пространствах [ Вт/м 2 К ]; i и i – толщина и теплопроводность стенки и слоев загрязнений, i = 1, n ; ~ [Вт/м К ].

Значения коэффициентов теплоотдачи зависят от гидродинамической и тепловой обстановки около теплообменной поверхности и в общем случае определяются на основе экспериментальных исследований, обобщаемых в виде корреляционных соотношений между критериями подобия: Нуссельта, Пекле, Прандтля, Рейнольдса, Галилея, Грасгофа [52].

3. Модель периодического процесса растворения смеси полидисперсных частиц [53]. Предположим, что начальные значения массы непористых сферических частиц различны, растворение частиц не сопровождается тепловым эффектом, а кинетика растворения отдельной частицы описывается уравнением вида где m – масса частицы; k р эмпирический коэффициент растворения, kр = a1 [ D 2 / µ ] ; a1 эмпирическая константа; разность плотностей твердого материала и растворителя; D коэффициент диффузии; µ коэффициент динамической вязкости; c ун, c у – концентрация насыщения и фактическая концентрация основной массы раствора; – коэффициент формы частицы (для шарообразной частицы Исходные данные: плотность распределения Р(m0) массы m0 частиц в начальный момент времени, общая начальная масса М0 частиц, загруженных в аппарат, объем Vy растворителя в аппарате, концентрация су раствора в начальный момент времени, константа kр растворения и концентрация сун насыщения.

Требуется построить математическую модель, позволяющую по исходным данным рассчитывать зависимости концентраций су (t) раствора и общей массы М(t) нерастворившихся частиц от времени.

Запишем уравнение кинетики состояния среды, которое при сделанных выше допущениях сводится к уравнению материального баланса где P0 (m0 ) ненормированная плотность распределения массы m0 частиц в начальный момент времени, P 0 (m0 ) = N 0 P0 (m0 ), N 0 число частиц, поступивших в аппарат, N 0 = M 0 / При решении этого уравнения необходимо учитывать, что масса m частицы может быть отрицательной, что эквивалентно условию Поскольку масса вещества в растворе увеличивается только за счет уменьшения массы частиц при их растворении, то общая масса частиц, находящихся в аппарате в момент времени t, рассчитывается по формуле Приведенная модель (4.61) – (4.63) периодического процесса растворения относится к классу динамических нелинейных моделей с сосредоточенными координатами. Для определения зависимости су (t) необходимо вначале одним из численных способов, например, методом Рунге-Кутта четвертого порядка, решить нелинейное дифференциальное уравнение (4.62). При этом на каждом шаге интегрирования системы также численным способом, например, методом Симпсона, вычисляются значения определенных интегралов. После этого по соотношению (4.63) можно рассчитать М(t).

4. Модель непрерывного процесса растворения монодисперсных частиц [3]. Предположим, что на вход аппарата подаются частицы одинаковой массы m0, их растворение не сопровождается тепловым эффектом, а кинетика растворения частиц описывается уравнением (4.61).

Исходные данные: Gx, G y, m0, c вх – соответственно расходы твердой фазы и растворителя, масса отвх дельной частицы, концентрация раствора на входе в аппарат; kр – константа растворения; сун – концентрация насыщения и Vу – объем растворителя, находящегося в аппарате.

Требуется построить математическую модель, позволяющую по исходным данным рассчитывать концентрацию су раствора, плотность распределения массы P (m) и общую массу Gx частиц, выгружаемых из аппарата в единицу времени.

Запишем уравнение материального баланса, описывающее состояние среды:

где P ( ) – ненормированная плотность распределения возраста частиц в аппарате. Для режима идеального смешения имеем где = V y / G y – среднее время пребывания частиц в аппарате, n0 = Gx / m0 – число частиц, поступающих в аппарат в единицу времени.

Массовый расход частиц, покидающих аппарат, можно определить из соотношения Плотность распределения массы частиц на выходе из аппарата удовлетворяет при 0 < m < m0 соотношению Приведенная модель (4.61), (4.64) – (4.66) относится к классу статических нелинейных моделей с сосредоточенными координатами.

5. Модель химического процесса конверсии оксида углерода. В каталитическом трубчатом реакторе (рис. 49) осуществляется экзотермическая обратимая химическая реакция где h (T ) тепловой эффект реакции.

Скорость химической реакции W описывается выражением вида где cCO, cH 2 O, cH 2, cCO 2, cи. г концентрации оксида углерода, воды, водорода, двуокиси углерода и инертных газов, соответственно; k (T ), A(T ), k р 1 (T ) кинетические параметры, зависящие от температуры T :

для железохромового катализатора имеем:

для цинкохроммедного катализатора:

Температурные зависимости теплового эффекта реакции h (T ) и удельной теплоемкости c p (T ) описываются следующими уравнениями:

Исходные данные: концентрации cCO, cH 2 O, cH 2, cCO 2, cи. г оксида углерода, воды, водорода, двуокиси углерода и инертных газов на входе в реактор; плотность i и концентрация (объемные доли) ci i-го компонента; массовый расход G потока веществ; температура T (0) потока на входе в реактор; тепловой эффект реакции h, удельная теплоемкость cp потока веществ в реакторе, кинетические параметры k (T ), A(T ), k р 1 (T ).

Требуется построить модель химического процесса, осуществляемого в каталитическом реакторе конверсии оксида углерода (рис. 49), позволяющую рассчитывать температуру и концентрации веществ в каждой точке и на выходе реактора.

Примем следующие допущения: 1) химический процесс осуществляется в адиабатическом трубчатом каталитическом реакторе; 2) режим движения газовой смеси в слое катализатора соответствует режиму идеального вытеснения.

Выберем в качестве ключевого компонента оксид углерода CO и составим по этому компоненту уравнение материального баланса:

где г. с = i ci плотность парогазовой смеси; i плотность i-го компонента; сi концентрация (объi = емные доли) i-го компонента; G / г. с объемный расход потока; Vр объем реактора.

ный переход, получим Далее составим уравнение теплового баланса и, осуществляя предельный переход, получим Концентрации водяного пара, водорода, двуокиси углерода и инертных газов рассчитываются из уравнений материального баланса концентраций веществ по известной концентрации ключевого компонента:

Таким образом, математическая модель химического процесса конверсии оксида углерода предr ставляет собой статическую модель с распределенными по длине реактора концентрациями веществ с и температурой T и выражается системой нелинейных дифференциальных уравнений в обыкновенных производных с начальными условиями, решение которой можно получить, например, методом РунгеКутта четвертого порядка точности.

6. Математическая модель непрерывного процесса диазотирования ароматических аминов в производстве азопигментов. Перечень наиболее вероятных реакций, протекающих при диазотировании ароматических аминов нитритом натрия, и уравнения кинетики процесса диазотирования приведены ниже.

растворение твердой фазы амина в среде соляной кислоты образование диазотирующего агента (HNO2) целевая реакция диазотирования разложение азотистой кислоты образование диазосмол разложение диазосоединения с образованием диазосмол образование диазоаминосоединений k2(T)[ArNH2][HNO2] k4(T)[ArN2Cl][HNO2] W5 = k5(T)[ArN2Cl] Обозначения: А – ArNH2 (амин); АК – HNO2; СК – HCl; – NO; D – ArN2Cl (диазосоединение);

парциальное давление нитрозных газов; r – радиус частицы амина; l – текущая координата длины реактора; c* – равновесная концентрация амина; A, M A – плотность и молекулярная масса амина; (r, l ) – ненормированная плотность распределения числа N частиц амина по размеру, т.е.

= dN / dr ; Gl, GS, GN – расходы жидкой и твердой фаз суспензии амина и нитрита натрия; S тр – площадь поперечного сечения трубы реактора; c p – теплоемкость; – скорость потока; K – коэффициент теплопередачи; h – тепловой эффект реакции; индексы: (0) – вход в реактор; х – хладагент; (i) – точка распределенного по длине ввода реагентов в реактор.

На рис. 50 представлены трубчатые турбулентные аппараты, позволяющие осуществлять процессы тонкого органического синтеза с твердой фазой в высокотурбулентных потоках.

Схема материальных потоков в трубчатом реакторе приведена на рис. 51.

При составлении уравнений математической модели примем следующие допущения: 1) реакция диазотирования протекает в растворе и диазоаминосоединение в процессе диазотирования не образуется, т.е. W6 = 0; 2) гидродинамические режимы течения реакционной смеси и хладагента близки к режиму идеального вытеснения; 3) реактор является объектом с распределенными только по длине l координатами, скорость потока (l ) = const; 4) потери тепла в окружающую среду пренебрежимо малы;

5) теплофизические характеристики принимаются постоянными в рабочем диапазоне температур; 6) форма кристаллов амина близка к сферической.

dL – диаметр диффузора, d – диаметр конфузора; I, II, III, IV – потоки веществ cолянокислая суспензия водный раствор нитрита натрия С учетом принятых обозначений и допущений составим уравнения материального покомпонентного баланса на участке трубы ( l1, l2 ) за промежуток времени ( t1, t2 ) например, по растворенному амину:

Пользуясь теоремой о среднем, получим равенство которое при помощи теоремы о конечных приращениях можно преобразовать к виду Переходя к пределу при l1, l 2 l и t1, t 2 t, получим уравнение Аналогичным образом можно получить уравнения динамики трубчатого реактора и для других компонентов реакционной смеси:

• по азотистой кислоте (АК):

• по диазосоединению (D):

Составим теперь уравнение динамики для фракции частиц амина, характеризующихся размером от r до r + dr на участке трубы (l1, l2) за время (t1, t2):

которое с использованием приведенной выше техники можно преобразовать к уравнению вида:

Получим теперь уравнения динамики теплообмена в трубчатом реакторе:

по реакционной смеси:

Проводя рассуждения аналогичные предыдущим, получим уравнения динамики теплообмена в процессе диазотирования в трубчатом реакторе:

Таким образом, уравнения динамики непрерывного процесса диазотирования в трубчатом реакторе представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка, для решения которых можно использовать метод характеристик или конечно-разностные методы [54].

Уравнения статики легко получить из выведенной системы уравнений динамики приравниванием нулю производной по времени, т.е.

Математическая модель статики процесса диазотирования, осуществляемого в трубчатом реакторе, представляет собой систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (4.67) – (4.74).

Наибольшую сложность при решении системы дифференциальных уравнений, описывающих статические режимы диазотирования, представляет уравнение, описывающее гранулометрический состав твердой фазы амина в l-м сечении трубчатого реактора В случае линейного уравнения кинетики растворения частицы амина где A, – кинетические константы; c *, c A – равновесная и текущая концентрации амина; A – плотность амина.

Решение уравнения (4.75) может быть получено методом характеристик в аналитическом виде [54]. Решение уравнения (4.76) запишем в виде откуда можно рассчитать начальный радиус r0 частицы по формуле В этом случае решение уравнения (4.75) с начальным условием может быть записано в виде В случае нелинейного уравнения кинетики растворения частицы, например, в виде где – эффективный коэффициент массоотдачи; S – поверхность частицы, необходимо использовать численный алгоритм решения уравнения (4.75).

Аппроксимируя дифференциальные уравнения в частных производных (4.75) конечной системой дифференциальных уравнений в обыкновенных производных с использованием конечно-разностной схемы первого порядка, получим Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений (4.78) одновременно с другими уравнениями модели может быть решена каким-либо численным методом. При этом могут возникнуть сложности, поскольку в начальной фазе процесса диазотирования скорость растворения твердой фазы и скорость реакции диазотирования различаются на несколько порядков, т.е. система дифференциальных уравнений математической модели процесса диазотирования является жесткой. В этом случае явные методы Рунге-Кутта исключаются из рассмотрения.

Для решения системы дифференциальных уравнений модели статики процесса диазотирования можно рекомендовать два метода: неявный метод трапеций и метод Дормана-Принса пятого порядка точности с автоматическим выбором шага, которые дают вполне сопоставимые результаты и обеспечивают получение решения с заданной точностью.

Математическая модель динамики процесса диазотирования, осуществляемого в турбулентном трубчатом аппарате, включает нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными (4.67) – (4.74), для решения которых целесообразно использовать конечно-разностный метод [55].

Для математического описания процесса диазотирования, осуществляемого в турбулентном трубчатом реакторе комбинированного типа, необходимо к уравнениям (4.67) – (4.74) добавить уравнения, описывающие протекание процесса диазотирования в камере смешения.

В неустановившемся режиме текущий радиус частицы r кроме начального значения r0 зависит также от возраста частицы и текущего времени t. Кинетика растворения частицы описывается квазилинейными дифференциальным уравнением с частными производными первого порядка где W1 – скорость растворения частицы; cCK, c A – концентрации соляной кислоты и амина, соответственно; T – температура.

Начальные условия определим следующим образом:

Решение уравнения (4.79) при заданных начальных условиях (4.80) имеет вид где Плотность распределения массы частиц в каждый момент времени описывается дифференциальными уравнениями, получаемыми из материального баланса для фракции частиц где (t ) – среднее время пребывания частиц в модуле-реакторе.

Решением уравнения (4.81) при начальных условиях (4.80) будет где Подставляя зависимости (4.82) в уравнения покомпонентного материального и теплового балансов, получим:

Система нелинейных дифференциальных уравнений (4.82) – (4.89) представляет собой математическую модель динамики процесса диазотирования, осуществляемого в камере смешения.

7. Модель процесса бинарной ректификации [56, 57]. Ректификацией называется процесс переноса компонента (компонентов) между кипящей жидкой и насыщенной конденсирующейся паровой фазами при противотоке этих фаз. Ректификацию можно трактовать как совмещение процессов многократной дистилляции и многократной парциальной конденсации при противоточном контактировании потоков пара и жидкости. Дистилляция представляет собой частичное испарение (при температуре кипения) жидкой смеси. пар при этом в соответствии с первым законом Коновалова обогащается низкокипящим компонентом (или азеотропом с минимумом температуры кипения), а жидкий остаток – высококипящим компонентом (или азеотропом с максимумом температуры кипения). В этом и состоит эффект разделения.

Для определенности будем рассматривать тарельчатую ректификационную колонну, содержащую n тарелок, в которой происходит разделение бинарной смеси (рис. 52). Исходное питание в количестве Gp состава xp подается на f-ю тарелку. Сверху колонны отбирается дистиллят в количестве GD состава xD, а снизу колонны – кубовый продукт в количестве Gw состава xw.

Рис. 52. Схематическое изображение ректификационной установки Математическая модель может быть построена для ряда конструкций контактных устройств (тарелок) в зависимости от принятых допущений. Для характеристики интенсивности массообмена на контактном устройстве вводится понятие эффективности тарелки, которое определяется следующим образом:

где y j 1, y j составы паровой фазы, поступающей на тарелку и покидающей ее, соответственно;

y концентрацияв паре, равновесная с жидкостью, находящейся на j-й тарелке.

Исходные данные: известна зависимость равновесного состава пара от состава жидкости для заданного давления в колонне: y = y j ( x j ); количество питания Gp, его состав xp, величина отбора дистиллята и скорость пара v в колонне, определяемая количеством тепла, подводимым к кубу.

Требуется построить математическую модель, позволяющую по исходным данным рассчитывать составы жидкости x j и пара y j на всех n тарелках колонны, составы получаемых продуктов, т.е. дистиллята x D и кубового остатка xw (рис. 53), для заданных условий разделения.

ДЕФЛЕГМАТОР

где V расход пара; U унос жидкости; L расход жидкости; f номер тарелки питания; Ln +1 расход флегмы.

Уравнение для расчета состава пара, уходящего с тарелок имеет вид:

где K y коэффициент массопередачи; x коэффициент массоотдачи по жидкой фазе; y коэффициент массоотдачи по газовой фазе; эффективность контактного устройства; S эффективная площадь тарелки.

Уравнения теплового баланса на тарелках колонны где h, H энтальпии жидкости и пара.

Величина уноса U в (4.91) зависит от конструктивных особенностей контактного устройства, физико-химических свойств компонентов и может быть определена по уравнениям, приведенным, например, в [58.] Приведенная выше модель контактного устройства может быть использована для тарелки питания только при учете специфики энергетического состояния питания, подаваемого в колонну. Для данного случая уравнения модели тарелки питания имеют следующий вид:

В простейшем случае уравнение, описывающее систему дефлегматор-конденсатор емкость, может быть представлено в виде где D эффективность дефлегматора, 0 D 1.

Возможны частные случаи:

1) D = 0, что обычно справедливо для полного конденсатора, в этом случае xD = yn ;

2) D = 1, что справедливо для парциального конденсатора, тогда xD = y D.

В простейшем случае уравнение, описывающее куб колонны, может быть представлено в виде где 0 эффективность кипятильника, 0 0 1.

Частные случаи:

1) 0 = 0, что обычно справедливо для полного испарителя, т.е. y0 = x0 ;

2) 0 = 1, что справедливо для парциального испарителя, тогда y0 = y ( x0 ).

Для построения математической модели всей установки необходимо описание отдельных частей установки дополнить уравнениями связи. В качестве таких уравнений обычно используют общие уравнения материального и теплового балансов для всей установки. Специальный выбор вида уравнений, описывающих контактные устройства в рекуррентной форме, позволяет отказаться от записи уравнений связи между контактными устройствами, поэтому приводим только общие уравнения:

где QW, Qk расходы тепла в кипятильнике и конденсаторе, соответственно; Q пот потери тепла.

Приведенная система уравнений при сделанных выше предположениях полностью описывает стационарный режим работы колонны и может быть использована для решения различных задач компьютерного моделирования. Блок-схема расчета уравнений модели процесса ректификации (4.90) – (4.95) для i < f представлена на рис. 54.

yj- Vj- Моделирующий алгоритм в данном случае должен в принципе обеспечивать возможность решения представленной системы алгебраических уравнений математического описания при любых значениях задаваемых параметров. Наиболее просто эта система может быть решена с использованием итерационного метода расчета "от тарелки к тарелке". Задается состав кубового остатка x0 и далее по блок-схеме (см. рис. 54) рассчитывается состав жидкости x1 на первой тарелке колонны, состав пара, уходящего с тарелки, и состав жидкости на вышележащей тарелке. Эта расчетная процедура повторяется для всех тарелок колонны, включая и тарелку питания (4.92), в результате чего находится состав дистиллята по формуле (4.93) или xD = xn +1, Ln +1 = Vn GD по формулам (4.95). Затем проверяется выполнение уравнения общего материального баланса колонны (4.95) для заданного состава кубового остатка и полученного расчетным путем состава дистиллята. Если баланс не выполняется с заданной точностью, расчет повторятся с измененным соответствующим образом составом кубового остатка, начиная с первого этапа, до тех пор пока общий материальный баланс колонны не будет сведен с заданной точностью.

Заметим, что каждая итерация сопровождается расчетом по всем тарелкам колонны. Разумеется, что эффективность предложенного алгоритма существенно зависит от того, насколько эффективен способ уточнения кубового остатка.

8. Модель процесса сушки дисперсных материалов в неподвижном слое [59]. Анализ процесса сушки дисперсных материалов в неподвижном слое является основным элементом моделирования тепло- и массообмена в сушилках с перекрестным движением материала и сушильного агента.

Для описания кинетики сушки отдельной частицы принимается уравнение, соответствующее периоду постоянной скорости сушки при условии, что вся теплота, конвективно подводимая к поверхности влажной частицы, затрачивается на испарение влаги:

где F, V, T и u – площадь поверхности, объем, плотность и влагосодержание частицы; t температура сушильного агента; – коэффициент теплоотдачи от сушильного агента к поверхности влажной частицы;

rc – теплота испарения; tм – температура мокрого термометра.

Интегрирование уравнения (4.96) для сферической частицы диаметром d при начальном условии u |=0 = u0 дает текущее значение влагосодержания частицы с учетом возможного изменения температуры сушильного агента t у ее поверхности:

Распределение температуры сушильного агента по высоте слоя материала (для определенности здесь полагается, что сушильный агент фильтруется через слой снизу вверх) определяется из уравнения теплового баланса для элементарного слоя dh в предположении режима полного вытеснения при фильтрационном движении сушильного агента через слой:

где 6 (1 ) / d поверхность монодисперсных сферических частиц, приходящихся на единицу высоты слоя.

Интегрирование уравнения (4.98) дает экспоненциальный профиль температуры сушильного агента по высоте h слоя порозностью :

В этих уравнениях B = 6 (1 ) (cGd ), с, G и t0 – теплоемкость, расход и температура поступающего в слой сушильного агента.

С учетом стационарного распределения температуры (4.99) по формуле (4.97) получим значение влагосодержания материала на высоте слоя h:

Величина среднего влагосодержания всего слоя материала высотой Н находится интегрированием распределения (4.100) по высоте в пределах 0 h H :

Уравнения (4.100) и (4.101) описывают процесс сушки до момента времени *, когда нижний слой частиц достигает равновесного влагосодержания u*. Значение * находится из распределения (4.100) при Текущее положение координаты фронта равновесного влагосодержания оказывается линейной функцией времени сушки:

Тогда профиль влагосодержания в пределах верхней влажной зоны описывается выражением Среднее по высоте слоя влагосодержание материала находится интегрированием выражения для постоянного u* в диапазоне 0 h h* и распределения (4.104) в пределах от h до H :

Приведенная модель процесса сушки дисперсных материалов в неподвижном слое (4.96) – (4.105) относится к классу динамических моделей с распределенными координатами.

9. Математическая модель биосинтеза. Микробиологический синтез (биосинтез) – это процесс, который протекает с участием микроорганизмов и сопровождается образованием биомассы. Целевым продуктом биосинтеза является либо сама биомасса, либо различные вещества, продуцируемые микроорганизмами в процессе их жизнедеятельности. Основные стадии процесса биосинтеза – рост микроорганизмов и накопление биомассы – происходит в ферментаторах, работающих чаще всего периодически. В них загружают питательную среду и засевную дозу микроорганизмов. Образовавшуюся культуральную жидкость интенсивно перемешивают. Однако, несмотря на перемешивание, культуральная жидкость не является однородной. Во-первых, клетки микроорганизмов могут объединяться, образуя агломераты; вовторых, неоднородной является сама питательная среда: в ней могут содержаться диспергированные капли плохо растворимых углеводородов и пузырьки газа. Кроме того, неодинаковыми могут быть и размеры клеток.

При моделировании периодического процесса биосинтеза при неоднородной биомассе предположим, что лимитирующий субстрат находится в питательной среде в растворенном виде, а биомасса, загружаемая в аппарат, представляет собой совокупность отдельных агломератов различной массы. Кинетика роста агломерата описывается уравнением:

а скорость потребления субстрата агломератом клеток массы m равна где k1, k 2, k3 кинетические константы; c y концентрация субстрата в питательной среде.

Исходные данные: ненормированная плотность распределения массы P (m0 ) агломератов клеток в момент t = 0; объем среды V y (предполагается, что в ходе процесса он не изменяется); начальная концентрация субстрата c y (0), константы k1, k2, k3 ; коэффициент формы частиц.

Требуется построить модель и рассчитать зависимости, описывающие изменение во времени концентрации c y (t ) субстрата и общей массы М(t) микроорганизмов.

Аналитическое решение уравнения (4.106) при начальных условиях m (0) = m0 имеет вид При сделанных предположениях скорость потребления субстрата агломератом клеток начальной массой m0 равна Кинетика состояния среды описывается в этом случае уравнением материального баланса по лимитирующему субстрату Изменение общей массы микроорганизмов можно найти с учетом того, что при сделанных допущеdc y k3 dM (t ) Уравнения (4.106) – (4.109) представляют собой математическое описание процесса биосинтеза для рассматриваемого случая. Расчет по модели сводится к решению нелинейного дифференциального уравнения (4.108), которое может быть получено численно, например, методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Численные значения интегралов находят, например, по формулам прямоугольников или Симпсона.

Приведенная модель процесса биосинтеза (4.106) – (4.109) относится к классу динамических нелинейных моделей с сосредоточенными координатами.

4.7. ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САПР

Техническое обеспечение САПР включает в себя различные технические средства, используемых для выполнения автоматизированного проектирования, а именно: ЭВМ, периферийные устройства, сетевое оборудование, а также оборудование некоторых вспомогательных систем (например, измерительных), поддерживающих проектирование.

Используемые в САПР технические средства должны обеспечивать: 1) выполнение всех необходимых проектных процедур, для которых имеется соответствующее программное обеспечение; 2) взаимодействие между проектировщиками и ЭВМ, поддержку интерактивного режима работы; 3) взаимодействие между членами коллектива, выполняющими работу над общим проектом.

В результате общая структура технического обеспечения САПР представляет собой сеть узлов, связанных между собой средой передачи данных. Узлами (станциями данных) являются рабочие места проектировщиков, называемые автоматизированными рабочими местами (АРМ) или рабочими станциями, ими могут быть большие ЭВМ, отдельные периферийные или измерительные устройства.

Именно в АРМ должны быть средства для интерфейса проектировщика с ЭВМ.

Среда передачи данных представлена каналами передачи данных, состоящими из линий связи и коммутационного оборудования.

В САПР небольших проектных организаций, насчитывающих не более единиц-десятков компьютеров, которые размещены на малых расстояниях один от другого, объединяющая компьютеры сеть является локальной. Локальная вычислительная сеть имеет линию связи, к которой подключаются все узлы сети. При этом топология соединений узлов может быть шинная, кольцевая, звездная.

В более крупных по масштабам проектных организациях в сеть включены десятки-сотни и более компьютеров, относящихся к разным проектным и управленческим подразделениям и размещенных в помещениях одного или нескольких зданий. Такую сеть называют корпоративной. В ее структуре можно выделить ряд локальных вычислительных сетей, называемых подсетями, и средства связи между ними.

Для многих корпоративных сетей возможность выхода в Internet является желательной не только для обеспечения взаимосвязи удаленных сотрудников собственной организации, но и для получения других информационных услуг. Развитие виртуальных предприятий, работающих на основе CALSтехнологий, подразумевает информационные обмены через территориальные сети, как правило, через Internet.

Структура технического обеспечения САПР для крупной организации представлена на рис. 55 [60].

Здесь показана типичная структура крупных корпоративных сетей САПР, называемая клиент-сервер. В сетях клиент-сервер выделяется один или несколько узлов, называемых серверами, которые выполняют в сети управляющие или общие для многих пользователей проектные функции, а остальные узлы (рабочие места) являются терминальными, их называют клиентами, в них работают пользователи. В общем случае сервером называют совокупность программных средств, ориентированных на выполнение определенных функций, но если эти средства сосредоточены на конкретном узле вычислительной сети, то понятие сервер относится именно к узлу сети.

Сети клиент-сервер различают по характеру распределения функций между серверами, другими словами, их классифицируют по типам серверов. Различают файл-серверы для хранения файлов, разделяемых многими пользователями, серверы баз данных автоматизированной системы, серверы приложений для решения конкретных прикладных задач, коммутационные сервера для взаимосвязи сетей и подсетей, специализированные серверы для выполнения определенных телекоммуникационных услуг, например, серверы электронной почты.

4.7.1. АППАРАТУРА РАБОЧИХ МЕСТ В АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ

В качестве средств обработки данных в современных САПР широко используют рабочие станции, серверы, персональные компьютеры. Большие ЭВМ и в том числе суперЭВМ обычно не применяют, так как они дороги и их отношение производительность–цена существенно ниже подобного показателя серверов и многих рабочих станций.

На базе рабочих станций или персональных компьютеров создают АРМ. Типичный состав устройств АРМ: ЭВМ с одним или несколькими микропроцессорами, внешней, оперативной и кэшпамятью и шинами, служащими для взаимной связи устройств; устройств ввода-вывода, включающие в себя, как минимум, клавиатуру, мышь, дисплей; дополнительно в состав АРМ могут входить принтер, сканер, плоттер, дигитайзер и другие периферийные устройства.

Память ЭВМ обычно имеет иерархическую структуру. Поскольку в памяти большого объема трудно добиться высокой скорости записи и считывания данных, память делят на сверхбыстродействующую кэш-память малой емкости, основную оперативную память умеренного объема и сравнительно медленную память большой емкости, причем, в свою очередь, кэш-память часто разделяют на уровни. Например, в персональных компьютерах на процессорах Pentium III кэш первого уровня имеет по 16 Кбайт для данных и для адресов. Он и кэш второго уровня емкостью 256 Кбайт встроены в процессорный кристалл, емкость оперативной памяти составляет десятки-сотни Мбайт.

Для связи наиболее быстродействующих устройств (процессора, оперативной и кэш-памяти, видеокарты) используется системная шина пропускной способностью от одного – двух Гбайт/с. Кроме системной шины на материнской плате компьютера имеется шина расширения для подключения сетевого контроллера и быстрых внешних устройств и шина медленных внешних устройств, таких как клавиатура, мышь, принтер и т.п.

Рабочие станции по сравнению с персональными компьютерами представляют собой вычислительную систему, ориентированную на выполнение определенных функций. Специализация обеспечивается как набором программ, так и аппаратно за счет использования дополнительных специализированных процессоров. Так, в САПР для машиностроения преимущественно применяют графические рабочие станции для выполнения процедур геометрического моделирования и машинной графики, что требует мощного процессора, высокоскоростной шины, памяти достаточно большой емкости.

Высокая производительность процессора необходима по той причине, что графические операции (например, перемещение изображений, их повороты, удаление скрытых линий и др.) часто выполняются по отношению ко всем элементам изображения. Такими элементами в трехмерной (3D) графике при аппроксимации поверхностей полигональными сетками являются многоугольники, их число может превышать 104. С другой стороны, для удобства работы проектировщика в интерактивном режиме задержка при выполнении указанных выше операций не должна превышать нескольких секунд. Но поскольку каждая такая операция по отношению к каждому многоугольнику реализуется большим числом машинных команд, требуемое быстродействие составляет десятки миллионов машинных операций в секунду. Такое быстродействие при приемлемой цене достигается применением наряду с основным универсальным процессором также дополнительных специализированных (графических) процессоров, в которых определенные графические операции реализуются аппаратно.