«ТЕМЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ ПО ГЕОМЕТРИИ Учебно-методическое пособие Казань 2009 ПЕЧАТАЕТСЯ ПО РЕШЕНИЮ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ КОМИССИИ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА КГУ ...»

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕМЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ НАУЧНЫХ

ИССЛЕДОВАНИЙ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ

РАБОТ ПО ГЕОМЕТРИИ

Учебно-методическое пособие

Казань 2009

ПЕЧАТАЕТСЯ ПО РЕШЕНИЮ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ КОМИССИИ

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА КГУ

Составители: д-р физ.-мат. наук Шурыгин В.В., канд. физ.-мат.

наук Игудесман К.Б., канд. физ.-мат. наук Малахальцев М.А., канд.

физ.-мат. наук Сосов Е.Н., канд. физ.-мат. наук Фомин В.Е.

Научный редактор: канд. физ.-мат. наук Игудесман К.Б.

Рецензент: канд. физ.-мат. наук Подковырин А.С.

Практика показывает, что студенты мехмата обычно испытывают определенные затруднения с выбором тем курсовых и дипломных работ. Для того, чтобы облегчить им эту задачу и написано настоящее пособие. Оно подготовлено преподавателями кафедры геометрии Казанского государственного университета и содержит широкий диапазон тем курсовых и дипломных работ по геометрии.

Пособие предназначено в основном для студентов старших курсов по специальности математика.

Темы курсовых и дипломных работ объединены по научным руководителям и разделам. Это позволяет нескольким студентам работать по одной тематике, а руководитель имеет возможность прочесть по этой тематике вводную лекцию.

Выполнение курсовой или дипломной работы предполагает изучение рекомендуемой литературы и самостоятельную работу по данной теме.

Оформление титульного листа курсовой или дипломной работы осуществляется согласно образцам, приведенным в конце настоящего пособия. В конце работы приводится список использованной литературы, оформленный в соответствии с ГОСТом (см. оформление списка литературы, использованной в данном пособии).

Приведенные ниже темы работ и конкретные задания могут быть изменены по желанию студента и с согласия научного руководителя. План работы обсуждается с руководителем. Руководитель также определяет конкретное задание по выбранной теме.

1 Темы, предложенные Игудесманом К.Б.

1.1 Фрактальная геометрия Появление фракталов (еще не получивших этого имени) в математической литературе около ста лет назад было встречено с прискорбной неприязнью, как это бывало в истории развития многих других математических идей. Один известный математик, Шарль Эрмит, даже окрестил их монстрами. По крайней мере, общее мнение признало их патологией, представляющей интерес только для исследователей, злоупотребляющих математическими причудами, а не для настоящих ученых.

В результате усилий Бенуа Мандельброта такое отношение изменилось, и фрактальная геометрия стала уважаемой прикладной наукой. Мандельброт ввел в употребление термин фрактал, основываясь на теории фрактальной (дробной) размерности Хаусдорфа, предложенной в 1919 году. За много лет до появления его первой книги по фрактальной геометрии, Мандельброт приступил к исследованию появления монстров и других патологий в природе. Он отыскал нишу для имевших дурную репутацию множеств Кантора, кривых Пеано, функций Вейерштрасса и их многочисленных разновидностей, которые считались нонсенсом. Он и его ученики открыли много новых фракталов, например, фрактальное броуновское движение для моделирования горного и лесного ландшафтов, флуктуаций уровня рек и биения сердца. С выходом в свет его книг приложения фрактальной геометрии стали появляться как грибы после дождя. Это коснулось как многих прикладных наук, так и чистой математики. Даже киноиндустрия не осталась в стороне. Миллионы людей любовались горным ландшафтом в фильме Звездное переселение II: гнев хана, сконструированным с помощью фракталов.

K0 K K2 K Рисунок 1. Триадная кривая Коха Тема 1. Множества дробной размерности Разделим отрезок прямой на N равных частей. Тогда каждую часть можно считать копией всего отрезка, уменьшенной в 1/r раз. Очевидно r и N связаны соотношением N r = 1. Если квадрат разбить на N равных квадратов (с площадью, в 1/r2 раз меньше площади исходного), то соотношение запишется как N r2 = 1. Если куб разбить на N равных кубов (с объемом, в 1/r3 раз меньше объема исходного), то соотношение запишется как N r3 = 1. Заметим, что размерность d объекта, будь то одномерный отрезок, двумерный квадрат или трехмерный куб, появляется как степень r в соотношении между N, числом равных подобъектов, и коэффициентом подобия r. А именно:

Отрезок, квадрат и куб обладают целой размерностью. Зададимся вопросом, возможно ли такое построение, при котором показатель d не является целым. Ответ, как мы убедимся решительное да! Такое множество называется самоподобным фракталом. Величину d называют фрактальной (дробной) размерностью или размерностью подобия.

Рассмотрим триадную кривую Коха. Ее построение начинается с отрезка единичной длины K0. Уберем среднюю часть и добавим два новых отрезка такой же длины, как показано на рис. 1. Назовем полученное множество K1. Повторим данную процедуру многократно, Рисунок 2. Построение ковра Серпинского на каждом шаге заменяя среднюю треть двумя новыми отрезками.

Обозначим через Kn фигуру, получившуюся после n-го шага. Можно доказать, что последовательность {Kn } сходится к некоторой преn= дельной кривой K, которая и называется триадной кривой Коха. Если взять копию K, уменьшенную в три раза (r = 1/3), то все множество K можно составить из N = 4 таких копий. Следовательно, отношение самоподобия выполняется при указанных N и r, а размерность фрактала будет:

Задание.

1) Определите размерность подобия ковра Серпинского, который строится как указано на рис. 2. Докажите, что сумма площадей треугольников, выкинутых при построении ковра Серпинского, равняется площади исходного треугольника.

2) Пусть > 0. Постройте множество, размерность подобия которого равна.

3) Пусть N () минимальное число шаров радиуса, необходимых для покрытия компактного множества A Rn. Предел (если он существует) определяет размерность Минковского множества A.

Используя пакет программ Mathematica, составьте программу для вычисления размерности Минковского.

4) По книге [74] разберите определение размерности Хаусдорфа и восстановите пропущенные детали. Как связаны между собой размерности подобия, Минковского и Хаусдорфа? Какие из них инвариантны относительно аффинных преобразований?

Тема 2. L-системы Понятие L-систем, тесно связанное с самоподобными фракталами, появилось в 1968 году благодаря Аристриду Линденмайеру. С их помощью можно строить многие известные самоподобные фракталы.

Для графической реализации L-систем используется так называемая тертл-графика (turtle черепашка). При этом точка (черепашка) движется по экрану дискретными шагами, прочерчивая свой след.

В нашем распоряжении имеется три параметра (x, y, ), где (x, y) координаты черепашки, направление, в котором она смотрит. Черепашка обучена интерпретировать и выполнять последовательность команд, задаваемых кодовым словом. Кодовое слово представляет собой результат работы L-системы и в простейшем случае может включать в себя следующие буквы:

F – переместиться вперед на один шаг, прорисовывая след;

+ – увеличить угол на величину ;

- – уменьшить угол на величину.

Размер шага и величина приращения по углу остаются неизменными для всех перемещений черепашки.

Формально, детерминированная L-система состоит из алфавита, слова инициализации, называемого аксиомой или инициатором, и набора порождающих правил, указывающих, как следует преобразовыРисунок 3. Построение снежинки Коха вать слово при переходе от уровня к уровню (от итерации к итерации).

L-система, соответствующая снежинке Коха (рис. 3), задается следующим образом:

= /3.

Аксиома: F++F++F (равносторонний треугольник).

Порождающее правило: newf = F-F++F-F.

На первом шаге каждая буква F в слове-инициаторе F++F++F заменяется на F-F++F-F:

F-F++F-F++F-F++F-F++F-F++F-F.

Повторяя этот процесс, на втором шаге получим:

F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++F-F-F-F++ F-F++ F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++FF-F-F++F-F и т. д.

Задание.

1) Используя пакет программ Mathematica, реализовать на компьютере L-системы, результатом работы которых были бы следующие Рисунок 4. Построение снежинки Коха внутрь и наружу множества: снежинка Коха, кривая Пеано и др.

2) Дополнить алфавит L-систем следующими буквами b – переместиться вперед на один шаг, не прорисовывая след.

[ – открыть ветвь.

] – закрыть ветвь.

Используя новые буквы, построить на компьютере разрывные и ветвящиеся множества. Предложить собственные варианты дополнения алфавита.

3) Тем или иным способом внести элемент случайности в L-системы.

Например, при построении снежинки Коха направление внутрь или наружу выбирается случайным образом (рис. 4), или случайной является длина прочерчиваемого отрезка и т. п.

4) Разработайте подходы к решению обратной задачи: по заданному изображению или достаточно длинному слову восстановить аксиому, порождающее правило и угол. Решение обратной задачи имеет большое значение для такой области прикладных исследований, как сжатие изображений, широко использующееся при передаче изображений в реальном времени.

Тема 3. Канторово множество Классическое множество Кантора, или пыль Кантора, названо по Рисунок 5. Построение канторова множества имени Георга Кантора, который описал его в 1883 году. Фрактальные свойства пыли Кантора имеют огромное значение, особенно учитывая тот факт, что многие известные фракталы являются близкими родственниками этого множества.

Построение классической пыли Кантора начинается с выбрасывания средней трети (не включая концы) единичного отрезка. На следующем и всех остальных шагах мы выкидываем среднюю треть (не включая концы) всех отрезков текущего уровня. Таким образом, мы получаем (рис. 5) последовательность множеств:

Предельное множество C = Cn называется классическим кантороn= вым множеством.

Задание.

1) Удивительно, но факт, что существует инъективное отображение C на отрезок [0, 1], при том, что лебегова мера (длина) канторова множества равна нулю. Постройте это отображение, является ли оно биекцией?

2) Проверьте, что точка попадает в классическое множество Кантора тогда и только тогда, когда в некотором ее троичном представлении отсутствуют единицы.

3) Пусть 0 < < 1. Постройте множество типа канторова, размерность подобия которого равна. Для каких это возможно?

4) Иногда канторовым множеством называют любое компактное, совершенное и вполне разрывное множество. Докажите, что C удовлетворяет этим свойствам. Сохраняются ли они при гомеоморфизме?

Проиллюстрируйте на примере, что размерность подобия не является топологическим инвариантом.

5) Определим сумму канторовых множеств:

Докажите, что C + C = [0, 2].

Тема 4. Системы итерированных функций Одно из наиболее глубоких достижений в построении фракталов теория систем итерированных функций (СИФ). Математические аспекты этой теории были разработаны Джоном Хатчинсоном в 1981 г., а сам метод стал широко известен благодаря Майклу Барнсли и другим. Подход на основе СИФ предоставляет хорошую теоретическую базу для математического исследования многих классических фракталов, а также их обобщений.

Пусть (X, d) полное метрическое пространство и K множество всех непустых компактов из X. Известно, что K, снабженное метрикой Хаусдорфа, является полным метрическим пространством.

Напомним, что преобразование T : X X называется сжимающим отображением (или сжатием), если существует такое число s < 1, что Для того чтобы построить СИФ, введем в рассмотрение совокупность сжимающих отображений T1, T2,... Tm действующих на X. Эти m отображений используют для построения одного отображения (преобразование Хатчинсона) T : K K Таким образом, СИФ называют совокупность введенных выше отображений вместе с итерационной схемой:

E0 = компактное множество (произвольное), Несложно показать, что T : K K является сжимающим отображением, следовательно, по теореме о сжимающих отображениях, существует единственная неподвижная точка E K, которая является непустым компактным множеством и называется аттрактором СИФ. Более того, из теоремы о сжимающих отображениях следует, что для любого E0 K в смысле сходимости в метрике Хаусдорфа. Аттрактор часто (но не всегда!) оказывается фрактальным множеством.

Задание.

1) Постройте СИФ для канторова множества (рис. 5 на с. 9), триадной кривой Коха (рис. 1 на с. 4) и ковра Серпинского (рис. 2 на с. 5). Вычислите размерности подобия этих множеств. Как связана размерность подобия с коэффициентами сжатий?

2) Детерминированный алгоритм построения СИФ состоит в непосредственном применении совокупности сжимающих отображений к Рисунок 6. Рандомизированный ковер Серпинского произвольному компактному множеству (возможно даже к единственной точке). Используя пакет программ Mathematica, запрограммируйте детерминированный алгоритм для СИФ и постройте различные фрактальные множества.

3) Тем или иным способом введите элемент случайности в СИФ. Например, в случае ковра Серпинского, при построении которого обычно удаляется средняя из четырех треугольных областей (рис. 2 на с. 5), мы можем случайно удалять любой из четырех треугольников (рис. 6) и т. п.

4) Рандомизированный алгоритм построения СИФ заключается в следующем. Пусть T1, T2,... Tm совокупность сжимающих отображений. Зафиксируем произвольную точку x0, затем, случайным образом, из данных сжимающих отбражений выберем одно и применим к x0, полученную точку обозначим x1. Повторяя описанную процедуру снова и снова, получим последовательность точек x0, x1, x2,... на плоскости. Отбросим несколько начальных точек последовательности.

Оказывается, расстояние от любой из оставшихся точек до аттрактора исходной СИФ тем меньше, чем больше начальных точек мы отбросили. Используя пакет программ Mathematica, запрограммируйте рандомизированный алгоритм для СИФ и постройте различные фрактальные множества.

5) Пусть C K. Сгущающим преобразованием, или просто сгущением, называется отображение TC : K K Множество C мы будем называть подмножеством сгущения. Пусть в нашем распоряжении имеется СИФ, заданная сжимающими отображениями Ti, i = 1, m. Добавим к ним сгущение TC. Полученную СИФ будем называть системой итерированных функций со сгущением (ССИФ).

В чем преимущество компьютерной реализации ССИФ по сравнению с СИФ? Используя пакет программ Mathematica, построить ССИФ.

6) Предположим, что сжатия Ti являются преобразованиями подобия с коэффициентами si и, кроме того, выполнено условие открытого множества, т. е. существует открытое множество V Rn, такое, что T(V ) V и Ti (V ) Tj (V ) = при i = j. Докажите, что хаусдорфова Тема 5. Дискретные динамические системы Простейшая дискретная динамическая система состоит из начальной точки x0 и итерируемой функции f :

Последовательность {xn } = {f n (x0 )} называют орбитой точn=0 n= ки x0. Будем полагать x0 действительным числом, а функцию f элементарной, например: x2 + c, cx(1 x), cos x.

Определим неподвижную точку отображения f как точку x, удовлетворяющую условию f (x) = x. Неподвижная точка называется притягивающей в том случае, если орбиты всех точек из некоторой ее окрестности (возможно очень малой) сходятся к ней. Неподвижная точка называется отталкивающей, если орбиты всех достаточно близких к ней точек удаляются от нее. Орбита называется периодической с периодом p, если xn+p = xn для n = 1, 2,....

Задание.

1) Проведите компьютерное исследование динамики итерирования функций с модулем. Сравните динамику для приведенных ниже случаев:

2) Исследуйте неподвижные точки функции f (x) = x2 + c при различных c. Какие из них являются притягивающими, а какие отталкивающими? При каких значениях x0 и c орбита точки x0 ограничена?

3) Рассмотрим функцию f (x) = x2 + c при 3/4 < c < 1/4. У нее существует две неподвижные точки отталкивающая и притягивающая. По мере того как c убывает и становится меньше 3/ притягивающая неподвижная точка становится отталкивающей. В то же время функция f 2 доставляет пару притягивающих неподвижных точек, которые приводят к появлению цикла с периодом 2 для f. Говорят, что система претерпевает бифуркацию удвоения периода, когда c проходит через значение 3/4. Используя компьютер, найдите другие значения c, при которых происходит удвоение периода. На основании полученных данных вычислите константу Фейгенбаума.

4) Покажите, что точки бифуркации для функций 1 µx2 и x2 + c совпадают. Можно ли то же самое сказать о функции c sin(x), или о cx(1 x)? Для каждой из указанных функций вычислите константу Фейгенбаума.

Тема 6. Хаос В 1979 году Эдвард Лоренц из Массачусетского технологического института опубликовал статью Предсказуемость: может ли взмах крылышек бабочки в Бразилии привести к образованию торнадо в Техасе?. В этом названии образно выражена основополагающая черта хаоса существенная зависимость от начальных условий. Иными словами, могут ли незначительные изменения начальных условий привести к существенным изменениям окончательного результата?

Рассмотрим метрическое пространство (X, d). Будем называть отображение f : X X хаотическим, если выполнены следующие условия:

1. f обладает существенной зависимостью от начальных условий.

2. f транзитивно.

3. Периодические точки f плотны в X.

Строгая формулировка первого условия такова. Пусть x X, а U открытое множество, содержащее x. Отображение f обладает существенной зависимостью от начальных условий, если для некоторого > 0 существуют такое целое число n > 0 и такая точка y U, что d(f n (x), f n (y)) >.

Отображение f называется транзитивным, если для любой пары U, V непустых открытых множеств существует целое неотрицательное n, такое, что f n (U ) V =.

Наконец, свойство плотности периодических точек означает, что в любой окрестности любой точки из X существует по крайней мере одна периодическая точка.

Задание.

1) Докажите, что квадратичная функция f (z) = z 2 хаотична на окружности S 1 C. Приведите другие примеры хаотичных функций.

2) Функция иногда называется тентообразным отображением. Рассмотрим его xn = f (xn1 ) или, что равносильно, xn = f n (x0 ). Обозначим через множество начальных точек, которым соответствуют ограниченные орбиты {xn }. Докажите, что совпадает с классическим кантороn= вым множеством C. Является ли тентообразное отображение хаотичным на C?

3) Пусть C классическое канторово множество. Напомним, что каждому x C соответствует единственное троичное представление в котором каждая цифра xi либо 0, либо 2. Докажите, что функция хаотична на C.

4) Символьное пространство на N элементах определяется как множество всех последовательностей Рисунок 7. Множество Жюлиа для z 2 0, 7382 + 0, 0827i Если то расстояние между ними определяется как Докажите, что символьное пространство (, d) есть метрическое пространство, а оператор обратного сдвига хаотичен.

Тема 7. Множества Жюлиа Вероятно, нельзя привести пример такого компьютерного эксперимента, который впечатлением от результатов превосходил бы то чувство удивления и восхищения, которое вызывает графическое построение множеств Жюлиа (рис. 7) и множества Мандельброта на комплексной плоскости (рис. 8).

Множество Жюлиа функции f, обозначаемое J(f ), определяется как Таким образом, множество Жюлиа функции f есть граница множества точек z, стремящихся к бесконечности при итерировании f (z).

Множество названо в честь французского математика Гастона Жюлиа (1893–1975), который одновременно с Пьером Фату (1878–1929) в 1917– 1919 гг. написал основополагающие статьи по итерированию функций комплексного переменного.

Иногда для построения множества Жюлиа удобнее использовать другие эквивалентные определения. Например, множество Жюлиа J(f ) есть граница области притяжения всех притягивающих неподвижных точек полинома f, включая. Или J(f ) является замыканием множества всех отталкивающих периодических точек f. Наконец, если J(f ), то J(f ) есть замыкание f n ().

Задание.

1) Что является множеством Жюлиа для f (z) = z 2 ? Используя пакет программ Mathematica, получите изображения множеств Жюлиа для f (z) = z 2 + c.

2) Используйте компьютер для получения изображений множеств Жюлиа для какого-нибудь полинома от z.

3) Рассмотрите квадратичные отображения алгебры дуальных чисел в себя. Какие множества Жюлиа они порождают? Используя компьютер, получите изображения этих множеств.

Тема 8. Множество Мандельброта Множества Жюлиа функции f (z) = z 2 + c обладают большим разнообразием. Тем не менее, на самом деле существуют всего два типа множеств Жюлиа. Каждое множество Жюлиа функции f (z) = z 2 + c либо связно, либо вполне несвязно.

Множество Мандельброта (см. рис. 8) служит индикатором для двух типов множеств Жюлиа функции f (z) = z 2 + c. Каждая точРисунок 8. Множество Мандельброта для z 2 + c ка в множестве Мандельброта представляет значение c, для которого множество Жюлиа J(fc ) связно. Каждая точка из дополнения к множеству Мандельброта представляет значение c, для которого J(fc ) вполне несвязно.

На практике для построения множества Мандельброта используют другое эквивалентное определение. Множество Мандельброта M для полинома f (z) = z 2 + c определяется как множество всех c C, для которых орбита точки 0 ограничена, то есть Задание.

1) Используя пакет программ Mathematica, постройте множество Мандельброта и приближенно определите центр (значение c) какоголибо элемента обрамления, например одной из окружностей, касающихся главной кардиоиды. Затем вычислите определенный участок орбиты {fcn (0)} и постарайтесь по ее асимптотическому поведению определить период. Проделайте это для нескольких окружностей, отмеченных на рис. 9.

2) Используйте компьютер для получения изображения множества Мандельброта для f (z) = z 3 +c. Покажите, что если |c| > 2, то орбита z стремится к.

Тема 9. Проблема Кэли В 1879 году сэр Артур Кэли поставил задачу итерирования комплексных функций. Проблема Кэли заключается в исследовании сходимости классического алгоритма Ньютона нахождения кубических корней, но при условии, что вещественные числа заменяются на комплексные. Для f (z) = z 3 1 нули равны кубическим корням из 1, и итерации Ньютона принимают вид:

Имеются три кубических корня из единицы: 1 = 1, 2 = +i 2, 3 = 1 i 2. Область притяжения для корня j есть множество Кэли поставил задачу описания областей A(1 ), A(2 ), A(3 ).

Задание.

1) Используя пакет программ Mathematica, постройте графическое изображение областей притяжения кубических корней из единицы, раскрасив каждую область в свой цвет.

2) Для схемы итерирования соответствующей применению метода Ньютона к f (z) = z 2 1, покажите, что если z0 лежит в правой полуплоскости, то zn +1 при n, а если z0 лежит в левой полуплоскости, то zn 1 при n. Если же z0 лежит на мнимой оси, то процесс итерирования не сходится.

3) Используя компьютер, постройте графическое изображение области притяжения A(1) для функций Рекомендуемая литература: [32], [60], [66], [71], [74].

1.2 Приложения фракталов Когда-то большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, коническое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная поверхность, а также их комбинациями. Однако многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта или береговой линии в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной.

Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных систем. Как подступиться к моделированию каскадных водопадов или турбулентных процессов, определяющих погоду?

Какая математика отвечает за ритмы сердца и головного мозга, наблюдаемые на электрокардиограмме и энцефалограмме, в особенности за те внезапные приступы аритмии, которые могут вызвать сбой в работе сердца? Можно ли математически описать внезапное возникновение волны паники на финансовых рынках или даже построить математическую модель социального поведения?

Фракталы и математический хаос подходящие средства для исследования поставленных вопросов.

Тема 1. Сжатие изображений Рассмотрим задачу, обратную к нахождению аттрактора СИФ.

Пусть в нашем распоряжении имеется некоторое изображение или его часть, например, лист дерева (рис. 10). Необходимо найти совокупность сжимающих аффинных отображений, для которых данное множество является аттрактором. Решение обратной задачи имеет большое значение для такой области прикладных исследований, как сжатие изображений, широко использующееся при передаче изображений в реальном времени. Проиллюстрируем сказанное на примере передачи телевизионного сигнала высокой четкости (HDTV). Из-за того что стандартные кабели, подводящие сигнал к пользовательским телеприемникам, не могут передавать данные достаточно быстро, частота обновления экрана не удовлетворяет стандарту HDTV она ниже требуемой. По некоторым оценкам, для достижения приемлемой частоты регенерации требуется сжатие данных порядка 1000:1.

Было опробовано множество алгоритмов, некоторые из которых претендуют на успешное решение проблемы.

Один привлекательный способ сжатия изображения заключается в том, чтобы разбить исходное изображение на компоненты и считать их аттракторами некоторых СИФ. Так как каждое аффинное преобразование определяется всего лишь шестью коэффициентами, то полное изображение, в принципе, может быть закодировано достаточно малым числом аффинных коэффициентов. Тогда по кабелю можно передавать коэффициенты, а изображение (совокупность аттракторов) восстанавливать по ним, выполняя алгоритм СИФ.

Рассмотрим гипотетический пример. Пусть нам требуется передать изображение ковра Серпинского (рис. 2 на с. 5) размером 512 512.

Не применяя сжатия, придется послать 262144 бит информации, нуль или единицу для каждого пиксела. С другой стороны, если бы мы передали всего лишь 18 аффинных коэффициентов трех аффинных преобразований, связанных с ковром Серпинского, мы смогли бы полностью восстановить оригинал в приемной части. Можно сказать, что в этом случае мы достигли бы сжатия 262144 : 18 = 14563 : 1. Таким образом, вопрос заключается в том, как найти совокупность сжимающих аффинных отображений для данного аттрактора.

Задание.

Разработайте подходы к решению следующей задачи: по заданному изображению восстановить СИФ. Полученные результаты примените к изображению на рис. 10.

Тема 2. Моделирование роста кристаллов Удивительной красоты структуры, порождаемые процессом ограниченной диффузией агрегации (ОДА), наблюдались во многих системах различного типа, в которых динамика роста описывается уравнением Лапласа. Мы рассмотрим пример подобной структуры, возникающий при искусственном выращивании кристаллов путем электроосаждения.

Частица, совершающая случайные блуждания, движется из выбранной наугад точки на большой окружности, проведенной вокруг кластера. Кластер растет из зародыша в центре. Соприкасаясь с кластером, блуждающая частица прилипает к нему, после чего из новой наугад выбранной точки на окружности начинает двигаться следующая частица, совершая случайные блуждания. Одно из полученных таким образом множеств изображено на рис. 11.

Задание.

Напишите компьютерную программу, моделирующую процесс ОДА.

Рисунок 11. Кластер, возникающий в результате двумерной ОДА Исследуйте геометрические и физические свойства полученного фрактала: зависимость массы от диаметра, скорость роста, вероятность роста в различных областях и др.

Тема 3. Образование вязких пальцев в пористых средах Проблема образования так называемых вязких пальцев в пористых средах имеет первостепенное значение для добычи нефти. Она представляет интерес и для гидродинамики, и для физики пористых сред.

Недавно было показано, что вязкие пальцы в пористых средах имеют фрактальную природу.

При вытеснении жидкостью с малой вязкостью другой жидкости, с большой вязкостью, первоначально плоская поверхность фронта вытеснения переходит в поверхность, напоминающую пальцы перчатки (рис. 12). Такие структуры получили название вязких пальцев. Последовательное дробление кончиков пальцев приводит к возникновению фрактальных кластеров, то есть поведение более протяженного участка оказывается подобным поведению менее протяженного. ИнаРисунок 12. Образование вязких пальцев при вытеснении глицерина воздухом (черный цвет) в двумерной модели пористой среды.

че говоря, для таких систем выполняется условие самоподобия. Анализ этого явления и способов борьбы с ним очень важен для практики. Вязкие пальцы наблюдаются при закачке воды под давлением в нефтеносный пласт для повышения нефтеотдачи. Но из-за описанного эффекта вода опережает нефть и проникает значительно дальше, чем хотелось бы, и на поверхность выкачивается смесь, содержащая в основном воду. Концепция фрактала (самоподобие) проявляется не только в движении пластовых флюидов по однородному коллектору, но и на структурном уровне состава нефти и вмещающего коллектора, что невероятно усложняет процесс вытеснения.

Рассмотрим простейшую двумерную модель, состоящую из стеклянных бусин диаметром 1 мм, образующих плотнейшую упаковку в один слой между двумя прозрачными пластинами. Модель расположена горизонтально. Воздух инжектируется вдоль нижнего края ячейки, вытесняемый глицерин выходит из ячейки вдоль ее верхнего края (рис. 12).

Задание.

Постройте численную модель ОДА при которой диффундирующие частицы испускаются с верхнего обреза рамки. Соприкасаясь с нижним обрезом рамки, частица становится корнем нового дерева. Частица, которая касается любого из уже существующих деревьев, прилипает к нему в месте соприкосновения. Очередная частица начинает случайное блуждание из наугад выбранной точки на верхнем обрезе рамки, как только предыдущая частица поглощается. От вертикальных стенок диффундирующие частицы отражаются (рис. 13). Исследуйте полученную численную модель, используя методы мультифрактального анализа [60]. Что можно сделать для ослабления эффекта образования вязких пальцев?

Тема 4. Протекание Рассмотрим распространение заболевания деревьев, при котором те сбрасывают листву и перестают расти, в саду, где деревья посажены в узлах квадратной решетки. Если расстояния между деревьями возрастают настолько, что вероятность заражения соседнего дерева падает ниже критического значения pc, то заболевание по саду не распространяется. Порогом распространения заболевания для этой задачи служит вероятность pc = 0, 59275 для протекания от узла к узлу квадратной решетки. Другой пример просачивание воды или радиоактивных отходов в трещины и разломы горной породы. Вопрос заключается в том, останется ли вода локализованной в каком-то объеме или будет распространяться все дальше и дальше. И в этой задаче можно ожидать, что существует критический порог концентрации трещин. Величину порога протекания можно определить с помощью численного моделирования. Аналогичной проблемой, имеющей огромный практический интерес, является распространение воды, вытесняющей нефть в пористых породах. В этом случае распространяющийся фронт жидкости (воды) может запереть нефть в некоторой области ( ловушке ), что приводит к инвазивной перколяции. Случайность, связанная с инвазией (вторжением) вытесняющей жидкости, зависит, помимо прочего, от динамики образования ловушек. Идеи и понятия теории протекания применимы и к распространению и взаимосвязи трещин и разломов в горных породах и в материалах, используемых в технике.

Задача о протекании допускает очень простое описание и приводит к множеству интереснейших фрактальных структур. Основные понятия теории протекания мы проиллюстрируем на примере двумерного протекания на квадратной решетке.

Заполним случайным образом некоторую долю (равную p) узлов квадратной решетки какими-нибудь объектами. Эти объекты соответствуют порам в матрице. Соседние поры соединены между собой небольшими капиллярными каналами. Жидкость, инжектированная в любую пору, может вторгнуться только в пору, непосредственно соединенную с данной капиллярным каналом, или связью. Поры, или узлы, связанные с выбранным центром инжекции, образуют так называемый кластер.

Задание.

Постройте численную модель протекания на решетках различной конфигурации. Найдите наименьшее значение вероятности pc, при котором образуется перколяционный кластер, т.е. кластер, соединяющий все края решетки. В приложениях отсутствие такого кластера соответствует прекращению эпидемии, остановке распространения пожара и т.п.

Тема 5. Фрактальные временные ряды Многие наблюдения природных процессов приводят к временным зависимостям или рядам измерений. Например, имеются длинные ряды измерений температуры воздуха. В них ясно прослеживаются годичные вариации. Длительное измерение температуры обнаруживает ее беспорядочное поведение как на коротких, так и на длинных временных интервалах. Временные последовательности измерений таких величин, как температура, сток рек, количество осадков или толщина колец деревьев, можно исследовать с помощью метода нормированного размаха, или метода Херста.

В качестве введения в этот метод рассмотрим пример, приведенный Херстом. Пусть ежегодно из водохранилища мы забираем некоторое количество воды на хозяйственные нужды, при этом само водохранилище пополняется естественным образом, например, в результате стока воды из озера. Сток воды из озера в отличие от забора на хозяйственные нужды не постоянен. Поэтому количество воды в водохранилище постоянно изменяется. Задача заключается в том, чтобы найти оптимальный объем водохранилища по заданному набору измерений стока воды из озера. Оптимален тот объем, при котором водохранилище никогда не переполняется и не пустеет. Метод нормированного размаха [60] позволяет решить поставленную задачу.

Задание.

Используя метод Херста, исследуйте поведение реальных временных рядов, таких как стоки рек, запасы продуктов и энергоресурсов, изменение курсов валют и др.

Тема 6. Случайное блуждание и фракталы Случайность присуща всем природным явлениям. Даже в самых правильных кристаллах есть множество случайно разбросанных включений и других дефектов. По сути дела, даже если бы кристалл был идеальным и каждый атом занимал в нем строго определенное место, то и это состояние поддерживалось бы лишь в среднем, поскольку атомы совершают постоянное тепловое движение. Поэтому даже системы, наиболее близкие к идеальным, в реальном состоянии содержат элементы случайности. Имеются веские основания считать, что многие природные явления описываются наилучшим образом как фракталы.

На рис. 14 (A) показано как выглядит под микроскопом типичная траектория частицы пыльцы, совершающей броуновское движение. Однако наблюдаемая картина способна ввести в заблуждение. В самом ли деле частица между вершинами ломаной движется по прямой? Нет! Может быть, она движется по кривым? Снова нет! Как же тогда в действительности движется частица из точки A в точку B на рис. 14 (A)? Сфотографируем движение частицы, увеличив скорость затвора камеры в 100 раз. Это позволит нам получить в раз больше промежуточных положений частицы между точками A и B. Результаты такой съемки, увеличенные в 10 раз, представлены на рис. 14 (B): прямая, соединяющая точку A с точкой B, превратилась в 100 прямолинейных отрезков, каждый из которых имеет (в среднем) такую же длину, как прямолинейные звенья ломаной на рис. 14 (A) (хотя в действительности они в 10 раз короче, так как траектория на рис. 14 (B) показана при 10-кратном увеличении). Движется ли частица между точками С и D на рис. 14 (B) по прямой? И на этот вопрос мы снова вынуждены ответить отрицательно. Если увеличить частоту наблюдения за движением частицы из точки C в точку D еще в 100 раз, а затем подвергнуть полученные снимки 10-кратному увеличению, то полученная картина окажется статистически подобна той, которую мы видим на рис. 14 (B).

Задание.

Смоделируйте одно-, двух- и трехмерное броуновское движение.

Исследуйте самоподобные свойства получающихся траекторий. Сравните полученные результаты с реальными процессами. Сделайте выводы о применимости построенных моделей.

Тема 7. Фрактальные поверхности В последние годы было опубликовано много исследований фрактальной структуры поверхностей. Фрактальным объявлялось все от молекулярных поверхностей белков до взлетных полос аэродромов.

Для построения и исследования фрактальных поверхностей мы рассмотрим метод случайного срединного смещения. Приведем алгоритм для двумерного случая. Под двумерной поверхностью мы будем понимать функцию Z(x, y), определенную, например, на квадрате. Пусть заданы значения Z в вершинах квадрата. На первом шаге построения в качестве значения Z в середине квадрата берется среднее по его вершинам плюс случайное смещение r1, где нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, а r1 коэффициент смещения. На втором шаге мы получим значения функции Z на серединах сторон, как среднее по ближайшим вершинам и середине плюс случайное смещение r2, где r2 = r1 / 2.

На n-ом шаге присваивания осуществляются в два этапа: квадраты со сторонами, параллельными осям координат, чередуются с квадратами, образованными диагоналями. Это поясняет рис. 15, где величины Z(A), Z(B), Z(C), Z(D), Z(E) и Z(F ) предполагаются уже заданными. На первом этапе мы определяем Z(G) и Z(H) по формулам где rn = rn1 / 2.

После этого приступаем ко второму этапу:

Рисунок 15. Построение фрактальной поверхности В граничных точках формулы изменяются: производится усреднение по имеющимся граничным точкам с добавлением соответствующих случайных смещений.

Задание.

Используя приведенный алгоритм, постройте фрактальную поверхность. Попробуйте раскрасить ее, используя линии уровня. Как изменится вид поверхности, если при построении использовать другие значения rn ? Сравните полученные поверхности с реальными.

Тема 8. Фрактальный взгляд на скопление галактик Распределения звезд, галактики, скопления галактик и тому подобные материи издавна завораживают как любителей, так и специалистов, однако кластеризация до сих пор остается на периферии астрономии, да и всей астрофизики в целом. Главная причина заключается в том, что никто так и не в состоянии объяснить, почему распределение материи подчиняется иррегулярным иерархическим законам по крайней мере в определенном диапазоне масштабов. Во многих трудах, посвященных этой теме, можно встретить упоминание о феномене кластеризации, однако в серьезных теоретических исследованиях ее, как правило, заметают под ковер, утверждая что галактики распределены вполне однородно в масштабе, превышающем некий большой, но неопределенный порог.

Начнем с рассмотрения концепции глобальной плотности материи.

Для определения и измерения плотности начинают с массы M (R), сосредоточенной внутри сферы радиуса R с центром, совпадающим с центром Земли. Приблизительная плотность оценивается соотношением После этого величину R устремляют к бесконечности, а глобальная плотность определяется как предел, к которому сходится в этом случае приблизительная плотность.

Однако, обязательно ли глобальная плотность сходится к положительному и конечному пределу? Если так, то скорость такого схождения оставляет желать лучшего. Более того, оценки предельной плотности ведут себя довольно странно. С увеличением R масса изменяется пропорционально RD, где D 1, 23, что существенно отличается от значения показателя D = 3, который мы наблюдали бы в случае равномерного распределения материи.

Задание.

На основании доступных данных вычислите показатель D. Постройте модель распределения материи во Вселенной с произвольным показателем D.

Тема 9. Колебания цен и масштабная инвариантность в экономике Следующее утверждение уже давно стало для экономистов фольклором: если из графиков цен для разных промежутков времени убрать все свидетельства о масштабе, то невозможно будет определить, говорят они о днях, месяцах или годах (см. рис. 16).

Задание.

Рисунок 16. Минутный и часовой графики цены EUR/USD 1) Проверьте это скейлинговое свойство статистически: пусть функция Z(t) описывает изменение цены; тогда ln Z(t) обладает следующим свойством: распределение ее приращения за произвольный временной интервал d (т.е. ln Z(t + d) ln Z(t)) не зависит от d, если не считать масштабного коэффициента.

2) Покажите, что распределение Леви удовлетворяет тому же скейлинговому свойству, что и распределение скачков цены.

Тема 10. Клеточные автоматы Впервые идея клеточных автоматов была предложена Конрадом Цузе и Станиславом Уламом и воплощена практически Джоном фон Нейманом с целью воспроизвести поведение сложных пространственно протяженных систем.

Одномерный клеточный автомат состоит из выстроенных в ряд клеток, в каждой из которых хранятся некоторые начальные числа, и набора правил, определяющих характер изменения этих чисел в каждый заданный момент времени. Предположим, что в начальном состоянии автомата все клетки заняты нулями, кроме одной, в которой хранится единица:... 01000000... Предположим также существование правила, согласно которому число в каждой клетке заменяется на сумму его самого и его соседа слева. Тогда через единицу времени состояние автомата будет следующим:... 01100000... Еще через один шаг состояние автомата будет таким:... 01210000..., затем... 01331000... и т. д. Такие клеточные автоматы в действительности являются компьютерами, и надо сказать, что клеточные компьютеры находят все более широкое применение при вычислении сложнейших функций, потому что клеточные автоматы изначально приспособлены для параллельной обработки данных. В приведенном только что примере клеточный компьютер вычисляет биномиальные коэффициенты.

Клеточные автоматы могут быть одно-, двух- или многомерными.

Чтобы рассчитать, например, поведение двумерного потока жидкости, используют клеточные автоматы, представляющие собой двумерные массивы клеток, в каждой из которых хранится некоторое число (представляющее, скажем, плотность жидкости), которое изменяется с ходом времени по определенным правилам, действующим на некоторую совокупность клеток. Правила эти, по существу, моделируют локальные взаимодействия между соседними клетками, отражая динамику исследуемой системы.

Задание.

1) Следуя работе [79], напишите программу, моделирующую гидродинамический поток, изображенный на рис. 17.

2) Исследуйте работу знаменитого клеточного автомата, придуманного Джоном Хортоном Конуэем и названного им игра Жизнь. В этой игре по замыслу Конуэя, каждая клетка либо мертва (0), либо жива (1) и изменяет свое состояние в зависимости от состояний соседних клеток и своего собственного следующим образом: по проРисунок 17. Поток за движущимся цилиндром шествии единицы времени живая клетка остается живой, если среди восьми соседних с ней клеток на квадратной решетке имеется две или три живых клетки. Если число живых соседей больше трех, то клетка чувствует себя стесненной и погибает от удушья. Если число живых соседей меньше двух, то клетка погибает от одиночества.

С другой стороны, мертвая клетка оживает, если ее окружают ровно три живых соседа (родители и повивальная бабка, так сказать).

Рекомендуемая литература: [32], [34], [66], [60], [79].

1.3 Наглядная компьютерная геометрия в теории чисел В такой сложной теории, какой является теория чисел, иногда трудно даже сформулировать правдоподобную гипотезу. Современные вычислительные средства позволяют правильно выбрать гипотезу в результате обработки большого экспериментального материала и его изображения в наглядном виде. Многое зависит от способа изображения информации. Нужно так удачно закодировать ее наглядными образами, чтобы возникающие на экране компьютера картины помогали исследователю угадывать правильное направление исследования.

Рассмотрим задачу о представлении натуральных чисел n 1 в виде сумм где все числа ni, 1 i s, неотрицательные целые.

Фиксируем произвольные значения r 2 и s 1. В таком случае все натуральные числа разбиваются на два класса. К одному классу относятся все те натуральные числа, которые представляются в виде (*), а ко второму классу числа, которые нельзя при данных параметрах r и s представить в виде (*). Возникает общая задача (обобщенная проблема Варинга): как описать каждый из указанных выше классов?

Возьмем бесконечную ленту и разметим ее на одинаковые квадратики, в которые последовательно впишем натуральные числа. Фиксируем целое число d и разобьем эту бесконечную ленту на куски длины d. Это число назовем модулем изображения. Первый отрезок длины d укладываем на первую строку экрана, второй отрезок ленты на вторую строку и т. д. Тогда экран заполнится натуральными числами от 1 до некоторого N, определяемого размером экрана.

Отмечая черным непредставимые в виде (*) числа (при заданных r, s, d), а белым представимые, мы получаем на экране компьютера некоторый пятнистый черно-белый ковер, состоящий из черных и белых квадратиков.

Фиксируем r = 2 и начнем увеличивать параметр s = 1, 2, 3,....

Величину d фиксируем. Итак, мы изучаем вопрос о представимости чисел в виде: а) квадрата некоторого числа, б) суммы двух квадратов, в) суммы трех квадратов и т.д.

Посмотрим на характер изменения картины на экране (рис. 18).

Сначала (при s = 1) почти весь экран черный. Кое-где видны белые квадратики. Видно, насколько мало чисел, являющихся квадратами.

При увеличении s экран начинает белеть. Наконец, при s = 4 весь экран вспыхивает белым цветом. Черные квадратики исчезли. При s = 5 картина уже не меняется: экран остается белым.

Рисунок 18. Представимость чисел в виде суммы квадратов Компьютерная гипотеза: суммы четырех квадратов достаточно, чтобы представить в виде (*) любое натуральное число.

Оказывается, мы увидели на экране известную теорему Лагранжа, доказанную им в 1740 г.

Теорема Лагранжа. Любое натуральное число представимо в виде суммы четырех квадратов.

Задание.

1) Напишите программу, которая по заданным r, s и d строит чернобелый ковер, подобный изображенным на рис. 18.

2) Варьируя параметры, найдите закономерности в изображениях и предложите гипотезы, объясняющие эти закономерности.

Рекомендуемая литература: [63].

2 Темы, предложенные Малахальцевым М.А.

2.1 Особенности гладких отображений Теория особенностей дифференцируемых отображений появилась как самостоятельная математическая дисциплина в 60х-70х годах прошлого века и получила широкую известность под названием теория катастроф, так как позволила описать скачкообразные изменения и качественные переходы поведения физических систем, в частности, потерю устойчивости.

Рассмотрим простой пример физической системы параболическую качалку. Ее легко сделать самостоятельно. Из плотного картона вырежем два одинаковых куска параболы и скрепим между собой (см.

рис. 19).

Прикрепим к параболической качалке грузик. Качалка наклонится и займет некоторое положение равновесия. Если мы ее толкнем, то она либо займет новое положение равновесия, либо вернется в исходное.

Возникают следующие вопросы: 1) Сколько всего положений равновесия имеет параболическая качалка при различных положениях грузика? 2) Как будет изменяться положение равновесия, если непрерывно менять положение грузика?

Параболическая качалка имеет один внутренний параметр (угол между осью параболы и плоскостью стола) и два управляющих параметра a и b, задающих положение грузика. При фиксированных значениях управляющих параметров положения равновесия системы соответствуют критическим точкам потенциальной энергии Va,b (). Таким образом, получаем двупараметрическое семейство функций Va,b (x), и задача состоит в описании деформации множества критических точек = {x | Va,b (x) = 0} функций семейства при изменении параметров (a, b).

Рисунок 19. Параболическая качалка Оказывается, что к задаче описания деформации множества критических точек функции из n-параметрического семейства при изменении параметров семейства сводится целый класс проблем, начиная от описания зависимости решений алгебраических уравнений от коэффициентов и локального вида огибающей семейства кривых до теории остойчивости судов и фазовых переходов между различными состояниями вещества.

Рекомендуемая литература: [17], [7], [46].

Тема 1. Качалки Во введении описана параболическая качалка. Таким же образом можно сделать эллиптическую и гиперболическую качалки.

Задание.

1) Сделать модели эллиптической, гиперболической и параболической качалок. Провести эксперимент по определению положений равновесия при различных положениях центра тяжести.

2) Сколько положений равновесия может иметь качалка при различных положениях центра тяжести?

3) Как ведут себя положения равновесия при изменении центра тяжести качалки?

Рекомендуемая литература: [17], Гл. 1; [46], Гл. 1.

Тема 2. Параллели плоских кривых Параллелью плоской кривой называется кривая, полученная сдвигом точек кривой вдоль ее нормалей на одинаковое расстояние.

Задание.

1) Найти параллели для кривых второго порядка.

2) Найти особые точки полученных параллелей и определить их тип.

3) Написать программу построения параллелей кривой на любом языке программирования.

Рекомендуемая литература: [17], Главы 5, 7.

Тема 3. Видимые контуры поверхностей Изобразить видимый контур поверхности такая задача стоит не только перед художниками, но и перед конструкторами, дизайнерами, создателями компьютерных игр. Особенно актуально решение этой задачи для разработки систем автоматизированного проектирования.

Оказывается, что даже если поверхность гладкая, ее видимый контур содержит особые точки, которые необходимо учитывать при построении этого контура.

Задание.

1) Выяснить, имеются ли особые точки на видимом контуре а) поверхности второго порядка;

б) поверхности вращения;

в) поверхности, заданной уравнением x3 +yx+z = 0 (сборки Уитни) (рис. 20).

Рисунок 21. Тор в двух видах: сверху и сбоку 2) Если смотреть на тор сверху, то видимый контур представляет собой кольцо, если сбоку то закругленный прямоугольник (рис. 21). Как происходит деформация несвязной кривой (рис. 21, слева) в связную кривую (рис. 21, справа), если поворачивать направление, вдоль которого мы смотрим, из вертикального положения в горизонтальное?

Рекомендуемая литература: [17], Гл. 5, п. 7; [7], п. Тема 4. Каустики системы лучей, отраженных от кривой второго порядка Как известно, если в один из фокусов эллипса поместить источник света S, то отраженные лучи соберутся в другом фокусе (там будет наблюдаться ярко светящаяся точка). Расположим теперь источник S в другой точке. Тогда мы будем наблюдать ярко светящуюся линию каустику (в переводе с греческого каустика значит жгучая ). Эта линия есть огибающая семейства отраженных лучей.

Задание.

1) Найти каустики лучей, отраженных от кривой второго порядка (при различных расположениях источника S). Описать расположение особых точек каустики.

2) Написать программу нахождения каустики лучей, отраженных от кривой второго порядка.

3) Описать изменение каустики лучей, отраженных от кривой второго порядка, при движении источника S.

Рекомендуемая литература: [17], Гл. 5, 7; [7], п. 8.

Тема 5. Отображение Монжа-Тейлора Пусть : [a, b] R2 есть гладкая регулярная кривая, то есть касательный вектор d/dt не обращается в нуль. Фиксируем t0 [a, b] и возьмем систему прямоугольных координат на плоскости, оси которой суть касательная и нормаль к кривой в точке (t0 ). Тогда в окрестности этой точки кривая есть график некоторой функции y = f (x), причем f (0) = 0, f (0) = 0. Отображение Монжа-Тейлора есть отображение µ : [a, b] Rk, сопоставляющее точке t0 набор производных (f (0),..., f (k+1) (0)) функции y = f (x) в точке x = 0.

Задание.

1) Найти отображение Монжа-Тейлора для кривых второго порядка, для спирали, для лемнискаты Бернулли.

2) Выполнить упражнение 9.4 из [17].

3) Построить обобщение отображения Монжа-Тейлора для поверхности, взяв за оси координат в точке поверхности главные направления и нормаль. Исследовать его свойства.

Рекомендуемая литература: [17], Глава 9.

Тема 6. Функции квадрата расстояния на плоских и пространственных кривых Рассмотрим гладкую кривую в Rn, заданную параметрическим уравнением r = r(t), t [a, b]. Для любой точки с радиус-вектором u определена функция F (t, u) = ||r(t) u||2. Таким образом, для каждой кривой определено n-параметрическое семейство функций Задание.

1) Найти геометрический смысл критических точек функций семейства F (t, u) для n = 2, 3.

2) Найти бифуркационное множество семейства F (t, u) для n = 2, 3.

3) Выполнить упражнения 7.4, 7.6 из [17].

Рекомендуемая литература: [17], Глава 7.

Тема 7. Особенности сети линий кривизны Известно, что если в точке p поверхности R3 главные кривизны различны, то в этой точке есть два ортогональных главных направления. Если же главные кривизны в точке p совпадают (в этом случае точка p называется омбилической), то любое направление является главным.

Пусть p омбилическая точка. В случае общего положения, в некоторой окрестности U (p) нет других омбилических точек, поэтому в области U (p) \ {p} определена сеть линий кривизны, то есть два однопараметрических семейства линий, касающихся главных направлений.

Надо выяснить, как выглядит эта сеть в малой окрестности омбилической точки.

Рекомендуемая литература: [38], [26].

Тема 8. Особенности сети асимптотических линий Известно, что если в точке p поверхности R3 полная кривизна Kp () отрицательна, то в этой точке есть два асимптотических направления. Таким образом, в области, где кривизна отрицательна, имеется сеть асимптотических линий. Надо выяснить, как выглядит эта сеть в малой окрестности границы области.

Рекомендуемая литература: [38].

Тема 9. Особенности гауссова отображения Пусть R3 поверхность, заданная параметризацией r = r(u, v), (u, v) R2. Пусть n = n(u, v) есть единичная нормаль к поверхности в точке r(u, v). Отображение (u, v) n(u, v) из области в двумерную сферу S 2 называется гауссовым отображением.

Если ввести на сфере координаты (, ), то гауссово отображение в координатах можно записать как отображение F плоскости в плоскость, = (u, v), = (u, v).

Задание.

1) Доказать, что матрица Якоби DF отображения F невырождена в точке (u0, v0 ) тогда и только тогда, когда кривизна поверхности в этой точке не равна нулю.

2) Согласно теореме Уитни, если матрица DF в точке (u0, v0 ) вырождена (точка называется особой точкой отображения F ), но отлична от нулевой матрицы, с помощью замены координат можно привести F к одному из двух видов: а) (u, v) (u2, v), б) (u, v) (u3 + uv, v). Найти условия в терминах геометрии поверхности, позволяющие определить, к какому из двух видов приводится гауссово отображение в окрестности особой точки.

Рекомендуемая литература: [17], [38], [7].

2.2 Топология поверхностей Мир поверхностей в евклидовом пространстве необычайно разнообразен: сферы, цилиндры, конусы, эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, выпуклые и невыпуклые многогранники. С точки зрения евклидовой геометрии все эти поверхности различны, то есть мы не можем совместить, например, эллипсоид и додекаэдр как твердые тела с помощью движения. Однако, если предположить, что они сделаны из резины, то оказывается, что тетраэдр, сфера и додекаэдр одна и та же поверхность. С другой стороны, сфера и тор (бублик) это разные поверхности.

Свойства поверхностей, не меняющиеся при непрерывной деформации, называются топологическими инвариантами. В настоящее время известен целый ряд топологических инвариантов, в частности, с их помощью проводится классифиция замкнутых поверхностей.

Рекомендуемая литература: [15], [37].

Тема 1. Примеры ориентируемых и неориентируемых поверхностей Задание.

1) Решить задачи из параграфа 10 книги [15].

2) Доказать, что сфера ориентируемая поверхность, а проективная плоскость неориентируемая поверхность.

3) Построить в явном виде вложение бутылки Клейна и проективной плоскости в четырехмерное пространство.

4) Построить в явном виде погружение бутылки Клейна и проективной плоскости в трехмерное пространство и построить соответствующие поверхности с помощью компьютера.

Рекомендуемая литература: [15], 10; [37], Гл. 4, 5.

Тема 2. Эйлерова характеристика поверхности и векторные поля Возьмем на поверхности конечное множество точек и соединим их дугами так, что вся поверхность разбивается на криволинейные трегольники. Число V E + F, где V число точек, E число дуг, F число треугольников, не зависит от разбиения и называется эйлеровой характеристикой поверхности.

Задание.

1) Найти эйлерову характеристику сферы, проективной плоскости, тора, бутылки Клейна.

2) Решить задачи из параграфа 11 книги [15].

3) Решить задачи из параграфа 14 книги [15].

Рекомендуемая литература: [15], § 11, § 14.

Тема 3. Классификация замкнутых поверхностей Задание.

1) Разобрать доказательство классификационной теоремы для поверхностей из книги [15].

2) Решить задачи из параграфов 12, 13 книги [15].

3) Составить компьютерную программу, которая определяет тип поверхности, если дана ее развертка.

Рекомендуемая литература: [15] § 12, § 13; [37], Гл. 4, 5.

2.3 Симплектическая геометрия Векторное пространство V, на котором задана симплектическая форма, то есть кососимметрическая невырожденная билинейная форма, называется симплектическим пространством. Примером симплектической формы служит косое произведение на плоскости. Симплектическое пространство является аналогом евклидова пространства, если рассматривать псевдо-скалярное произведение (v, w) = (v, w), но, конечно, симплектическая геометрия совершенно непохожа на евклидову (к примеру, любой вектор ортогонален сам себе).

Тема 1. Геометрия симплектического пространства Рекомендуемая литература: [31], §13; [61], Глава 1, §2.

Задание.

1) Доказать, что размерность симплектического пространства четна.

2) Симплектическое преобразование есть линейное отображение A :

V V такое, что (Av, Aw) = (v, w) для любых v, w V.

а) Доказать, что множество симплектических преобразований с операцией композиции есть группа.

б) Доказать, что определитель матрицы симплектического преобразования равен единице.

3) Подпространство W симплектического пространства V называется изотропным, если (w1, w2 ) = 0 для любых двух векторов w1, w2 W. Изотропное подпространство максимальной размерности называется лагранжевым.

а) Доказать, что если W лагранжево подпространство симплектического пространства V, то dim V = 2 dim W.

б) Доказать, что для любых двух лагранжевых подпространств существует симплектическое преобразование, переводящее одно в другое.

2.4 Кватернионы, трехмерная сфера и вращения трехмерного евклидова пространства Кватернион это четырехмерное число вида a+bi+cj+dk, где мнимые единицы i, j, k удовлетворяют соотношениям i2 = j 2 = k 2 = 1, ij = ji = k, ki = ik = j, jk = kj = i. Оказывается, что операции сложения и умножения кватернионов обладают теми же свойствами, что и операции сложения и умножения вещественных и комплексных чисел, за исключением свойства коммутативности умножения. Кватернионы находят применение во многих задачах математики и физики, в частности, они используются для описания вращений трехмерного пространства.

Вращением n-мерного ориентированного евклидова векторного пространства En называется изометрия A : En En, сохраняющая ориентацию. Множество вращений En с операцией композиции образует группу, обозначаемую SO(n). Изучение групп SO(n) при разных n представляет интерес не только с точки зрения евклидовой геометрии, но и механики. Например, свойства группы SO(3) используются при описании вращения твердого тела вокруг неподвижной точки.

Любой элемент группы SO(2) вращений плоскости задается углом поворота, поэтому SO(2) одномерна и с топологической точки зрения представляет собой окружность. Группа SO(3) устроена значительно сложнее, но оказывается, что она тесно связана с трехмерной сферой S3 поверхностью, задаваемой уравнением x2 + x2 + x2 + x2 = 1 в четырехмерном пространстве.

Тема 1. Трехмерная сфера и группа вращений При выполнении данной курсовой работы предполагается доказать с использованием кватернионов, что на трехмерной сфере S 3 существует операция умножения, превращающая S 3 в группу, и существует сюръективный гомоморфизм : S 3 SO(3), ядро которого есть группа Z2 = {1, 1}. Также предполагается найти интерпретацию кривых и поверхностей, расположенных на трехмерной сфере, с помощью вращений трехмерного евклидова пространства.

Рекомендуемая литература: [31], §11.

2.5 Группы замощений С древнейших времен архитекторы украшают здания повторяющимися узорами орнаментами. Их можно видеть всюду на наружных стенах домов, во внутренних помещениях: на полу, на потолке, на стенах. Орнаментами украшают посуду и одежду, повторяющиеся мотивы часто используются в живописи (впечатляющий пример гравюры М.К. Эшера). Кажется, что разнообразие орнаментов бесконечно, но это не совсем так.

Допустим, мастер-паркетчик, создающий орнамент, заполняет данный участок плоскости стандартными плитками, с одной стороны которых нанесен узор. Оказывается, что существует только пять различных способов замостить плоскость плитками (два из них изображены на рис. 22). Строгое математическое доказательство этого факта опирается на теорию дискретных групп изометрических преобразований евклидовой плоскости ([12], Гл. 1). Теория дискретных групп преобразований исключительно содержательна с математической точки зрения и имеет многочисленные приложения в самой математике (например, при описании топологии поверхностей, в комплексном анализе и т.д.) и в естествознании (например, в кристаллографии).

Рекомендуемая литература: [12].

Тема 1. Замощения поверхностей Задание.

1) Разобрать доказательство утверждения о том, что существует только пять замощений плоскости односторонними плитками, приведенное в [12] (Глава I, п. 1.7), и восстановить пропущенные детали.

2) Найти все замощения плоскости двусторонними плитками.

3) Найти все замощения двумерной сферы.

4) Найти замощения тора и бутылки Клейна.

5) Доказать, что существует бесконечное число типов замощения плоскости Лобачевского.

Рекомендуемая литература: [12].

2.6 Неголономная геометрия Пусть для любой точки p пространства R3 задана плоскость (p), проходящая через p, причем (p) гладким образом зависит от p. В этом случае говорят, что на R3 задано распределение. Если распределение состоит из плоскостей, касательных к семейству поверхностей, расслаивающих R3, то распределение называется голономным, в противном случае оно называется неголономным. Например, распределение плоскостей (x, y, z), заданных уравнением xX + yY + zZ = 0, голономно (оно касается семейства концентрических сфер с центром в начале координат), а распределение плоскостей, заданных уравнением Y zX = 0, неголономно. Неголономное распределение назовем неголономной поверхностью.

Для неголономной поверхности можно определить первую и вторую фундаментальные формы, главные кривизны, среднюю и полную кривизну. Неголономные поверхности применяются, в частности, при описании механических систем с неголономными связями (то есть условиями на скорости, которые нельзя получить дифференцированием условий на координаты). Механические задачи с неголономными связями возникают, например, в математических моделях роботов.

Тема 1. Геометрический смысл неголономности поля плоскостей в трехмерном пространстве Предполагается рассмотреть различные геометрические интерпретации неголономности поля плоскостей в трехмерном пространстве ([4], Гл. 1, §1) и провести вычисления для различных примеров полей плоскостей.

Тема 2. Кривизна неголономных поверхностей Полная кривизна поверхности в трехмерном евклидовом пространстве может быть определена разными способами, в том числе, как произведение главных кривизн и как предел отношения площади образа области при гауссовом отображении к площади самой, когда область стягивается в точку. Для неголономной поверхности эти определения неэквивалентны и определяют полные кривизны первого и второго родов. При выполнении данной курсовой работы предполагается привести примеры неголономных поверхностей, у которых полные кривизны первого и второго родов различны. Также предполагается изучить поверхности нулевой полной кривизны первого (второго) рода.

Рекомендуемая литература: [4], Гл. 1, §§1–9.

Тема 3. Геодезические неголономных поверхностей Геодезическая линия на поверхности может быть определена различными способами: как кратчайшая линия или как прямейшая линия (то есть касательный вектор переносится вдоль геодезической абсолютно параллельно). Эти два определения для неголономных поверхностей неэквивалентны. При выполнении данной курсовой работы предполагается показать, что кратчайшие и прямейшие на неголономных поверхностях различны, исследовать свойства этих кривых для различных классов неголономных поверхностей.

Рекомендуемая литература: [4], Гл. 1, §4.

Тема 4. Классы неголономных поверхностей Предполагается построить примеры различных классов неголономных поверхностей (поверхности вращения, поверхности переноса, поверхности нулевой кривизны и т.п.). Сравнить свойства неголономных и голономных поверхностей из одинаковых классов.

Рекомендуемая литература: [4], Гл. 1.

Тема 5. Параллельное перенесение на неголономных поверхностях В начале XX века Леви-Чивита определил операцию абсолютного параллельного переноса вектора вдоль кривой на поверхности трехмерного пространства и изучил свойства этой операции. Оказалось, что абсолютный параллельный перенос вектора вдоль стягиваемых петель является тождественным отображением тогда и только тогда, когда поверхность имеет нулевую кривизну. Для неголономных поверхностей абсолютно параллельный перенос был определен В. Вагнером в 30-х годах XX века. В. Вагнер нашел условие, обобщающее указанное свойство абсолютно параллельного переноса. Предполагается изучить параллельный перенос на различных классах неголономных поверхностей и выяснить, в каком случае параллельный перенос не зависит от пути.

Рекомендуемая литература: [4], Гл. 1.

Тема 6. Расслоение Хопфа и неголономные поверхности Расслоение Хопфа : S3 S2 было построено в 30-х годах XX века и явилось одним из первых примеров нетривиального расслоения.

Если в каждой точке S3 задать плоскость, ортогональную слою относительно стандартной метрики, получим распределение на S3, или неголономную поверхность. Для этой поверхности надо описать прямейшие и кратчайшие кривые, а также описать образы этих кривых при проекции. Также предполагается рассмотреть примеры применения этой поверхности к физическим задачам.

Рекомендуемая литература: [78], Гл. 11.

Тема 7. Параллельный перенос вектора по поверхности вдоль кратчайшего пути На поверхности в трехмерном евклидовом пространстве определен абсолютно параллельный перенос (см., например, [38], [37]). Зафиксируем на точки A и B и векторы vA и vB в этих точках. При выполнении этой работы предполагается выяснить, всегда ли можно получить вектор vB параллельным переносом из вектора vA вдоль некоторой кривой, соединяющей точки A и B. В тех случаях, когда указанная кривая существует, как найти кривую минимальной длины, параллельный перенос вдоль которой переводит vA в vB ? Для решения этих задач предполагается применить методы субримановой геометрии (см. [78]).

Рекомендуемая литература: [78], Гл. 11.

Тема 8. Проблема парковки и неголономная геометрия Проблема парковки, хорошо знакомая водителям автомобилей, состоит в том, чтобы на ограниченной площадке развернуть свой автомобиль под нужным углом и занять определенное место (и при этом затратить минимальное количество горючего, времени и нервов). Подобные задачи возникают и в робототехнике при разработке алгоритмов оптимального управления роботами. Оказывается, что эти задачи могут решаться методами неголономной геометрии [78]. При выполнении этой работы предполагается построение алгоритма оптимального управления для простейших роботов с одним, двумя и четырьмя колесами.

Рекомендуемая литература: [78], Гл. 1.

2.7 Геометрия дифференциальных уравнений Рассмотрим в пространстве R3 с координатами (x, y, p) распределение Картана поле плоскостей (x, y, p), заданных уравнением Y pX = 0. С помощью распределения Картана можно описать решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка следующим образом.

Пусть задано дифференциальное уравнение F (x, y, y ) = 0. Рассмотрим в пространстве R3 с координатами (x, y, p) поверхность, заданную уравнением F (x, y, p) = 0. Назовем обобщенным решением данного дифференциального уравнения кривую, лежащую на поверхности и касающуюся распределения Картана. Обобщенные решения тесно связаны с решениями в классическом смысле, так как проекция обобщенного решения на плоскость xOy есть график решения в классическом смысле, и более того, в случае, когда уравнение F (x, y, p) = 0 разрешимо относительно p, решение однозначно определяет обобщенное решение. Тем не менее, в общем случае, обобщенное решение содержит больше информации.

Указанный геометрический подход к описанию дифференциальных уравнений без труда распространяется на обыкновенные дифференциальные уравнения любого порядка и на дифференциальные уравнения в частных производных. Геометрическое описание позволяет, в частности, дать простое определение симметрии дифференциального уравнения и указать эффективные методы нахождения группы симметрий. Именно, симметрия дифференциального уравнения F (x, y, p) = 0 есть диффеоморфизм : R3 R3, сохраняющий распределение Картана и поверхность (т.е. d((x, y, p)) = ((x, y, p)) и () = ). Умение находить симметрии дифференциальных уравнений важно при решении прикладных задач. Дело в том, что дифференциальные уравнения, описывающие различные физические, химические, биологические процессы, достаточно часто имеют группу симметрий, а наличие симметрий позволяет сводить дифференциальные уравнения к более простым и в некоторых случаях находить решения.

Рекомендуемая литература: [9], [8], [19].

Тема 1. Классические и обобщенные решения дифференциальных уравнений В этой курсовой работе предполагается изучить связь между решениями обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка F (x, y, y ) = 0 и его обобщенными решениями. В частности, предполагается исследовать единственность решения задачи Коши для классических и обобщенных решений.

Рекомендуемая литература: [19], Гл. I, §1; [8], Гл. I, §3.

Тема 2. Симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений Предполагается изучить методы нахождения симметрий дифференциальных уравнений первого порядка и привести примеры, в частности, найти группы симметрий квазиоднородных дифференциальных уравнений.

Рекомендуемая литература: [19], Гл. I; [8], Гл. I, §1.

Тема 3. Приложения теорий симметрий к интегрируемости распределений Предполагается изучить изучить методы интегрирования дифференциальных уравнений с помощью методов теории симметрий и рассмотреть примеры.

Рекомендуемая литература: [19], Гл. I, §4.

Тема 4. Геометрическая теория дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка Предполагается изучить геометрический подход к теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, основанный на рассмотрении пространства струй с распределением Картана на нем, в частности, рассмотреть понятия первого интеграла и симметрий таких уравнений.Также предполагается привести примеры использования симметрий для нахождения первых интегралов.

Рекомендуемая литература: [19], Гл. II.

Тема 5. Геометрия дифференциального уравнения второго порядка Прямые линии на плоскости являются графиками решений обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка y (x) = 0.

Оказывается, что семейство решений линейного однородного уравнения второго порядка локально устроено так же как и семейство прямых и, в частности, удовлетворяет конфигурационным теоремам проективной геометрии (например, теореме Дезарга). При выполнении данной курсовой работы предполагается изучить подобные свойства для семейства решений произвольного дифференциального уравнения второго порядка.

Рекомендуемая литература: [8], Гл. I, §6.

3 Темы, предложенные Сосовым Е.Н.

Операции над множествами в Rn 3. Рассмотрим вещественное число и непустые множества M, W Rn.

Напомним определения следующих операций над множествами в Rn.

(разность Минковского) множеств M, W Rn ([41], c. 22).

Пусть |uv| |M W | = inf{|xy| : x M, y W } для непустых подмножеств M, W X. Для заданных 0, x Rn, M Rn, M = определим метрическую -проекцию x (метрическую проекцию xM = x0 ) точки x на множество M [35]:

M Rn. Ведем обозначение Задание.

Пусть даны гиперплоскость (или прямая) Rn, вещественные числа, 0, точка x Rn и непустые конечные множества M, W Rn. Требуется, используя пакет Maxima (который достаточно прост в применении и будет представлен), написать программу для нахождения следующих множеств:

3.2 Некоторые функции от компактных множеств. Отклонение множеств и расстояние между множествами по Рассмотрим метрическое пространство (X, ) и примем следующие обозначения. Пусть K(X) множество всех компактных подмножеств пространства X.

|xy| = (x, y) для x, y X, |M W | = inf{|xy| : x M, y W } для непустых подмножеств M, W X.

D(M, W ) = sup{|xy| : x M, y W } для M, W K(X). D(M ) = D(M, M ) диаметр множества M.

(M, W ) = sup{|xW | : x M } отклонение Хаусдорфа от непустого множества M K(X) до непустого множества W X.

: K(X) K(X) R+, (M, W ) = max{(M, W ), (W, M )} метрика Хаусдорфа на множестве K(X) ([33], с. 223).

H(M ) = {x M : (M, x) = D(M )} множество диаметральных точек множества M K(X).

Задание.

Пусть даны непустые конечные множества M, W Rn. Требуется, используя пакет Maxima, написать программу для нахождения следующих чисел и множества:

|M W |, D(M, W ), D(M ), (M, W ), (M, W ), H(M ).

3.3 Некоторые функции и операторы на множестве всех N сетей в Rn Рассмотрим метрическое пространство (X, ) и примем следующие обозначения.

N (X) множество всех непустых подмножеств в X, состоящих не более чем из N точек. Элементы множества N (X) называются N сетями [21].

m(S) = min{|xy| : x, y S, x = y} для S N (X).

Пусть S N (X), x S. Если S = {x}, то S(x) = S\{x}. Если S = {x}, то S(x) = x.

m1 (S) = max{|xS(x)| : x S}, h(S) = {x S : |xS(x)| = m(S)}, h1 (S) = {x S : |xS(x)| = m1 (S)}.

Задание.

Пусть X = Rn и дана N -сеть S N (X). Требуется, используя пакет Maxima, написать программу для нахождения следующих чисел и множеств: m(S), m1 (S), h(S), h1 (S).

3.4 Относительные чебышевский центр и чебышевский радиус компактного множества в Rn Рассмотрим метрическое пространство (X, ) и примем следующие обозначения.

Пусть M K(X), W непустое подмножество в X.

RW (M ) = inf{(M, x) : x W } относительный чебышевский радиус множества M [21].

ZW (M ) = {x W : (M, x) = RW (M )} множество всех относительных чебышевских центров множества M [21].

R(M ) = RX (M ) (Z(M ) = ZX (M )) чебышевский радиус (множество всех чебышевских центров) множества M.

Задание.

1) Пусть X = Rn и даны N -сети M, W N (X). Требуется, используя пакет Maxima, написать программу для нахождения следующих чисел и множеств: RW (M ), R0 (M ), ZW (M ), Z0 (M ), Q0 (M ).

2) Пусть X = Rn и дана N -сеть M N (X). Требуется, используя пакет Maxima, написать программу для нахождения чебышевского радиуса R(M ), чебышевского центра Z(M ) и множества Q0 (M ) для N -сети M N (X).

4 Темы, предложенные Фоминым В.Е.

4.1 Плоские кривые Плоские кривые один из объектов, при изучении которых используются результаты, полученные в лекционных курсах по аналитической и дифференциальной геометриям. Одни из этих кривых интересны в теоретическом отношении, другие находят практическое применение, третьи обладают оригинальными особенностями формы, четвёртые играли ту или иную роль в истории математики.

Курсовая работа по данной теме будет состоять из ознакомления с соответствующей кривой, решения задач на свойства рассматриваемой кривой и оформлении реферата. Данная тема доступна как студентам I (с применением методов аналитической геометрии), так и II курсов (с применением результатов из дифференциальной геометрии).

Тема 1. Улитка Паскаля, её свойства и применение Рекомендуемая литература: [54], глава VI, §2.

Тема 2. Спираль Архимеда Рекомендуемая литература: [54], глава VII, §§1, 2.

Тема 3. Логарифмическая спираль Рекомендуемая литература: [54], глава VII, §4.

Тема 4. Цепная линия Рекомендуемая литература: [54], глава VII, §5.

Тема 5. Трактриса Рекомендуемая литература: [54], глава VII, §6.

Тема 6. Циклоида Рекомендуемая литература: [54], глава VII, §11, [14].

Тема 7. Погонная кривая Рекомендуемая литература: [54], глава VII, §14.

Тема 8. Эвольвента окружности Рекомендуемая литература: [54], глава VII, §13.

Тема 9. Эпициклоиды и гипоциклоиды Рекомендуемая литература: [54], глава VII, §3, пп. 1-3.

Тема 10. Кривые Штурма Рекомендуемая литература: [54], глава VII, §12.

4.2 Кватернионы и другие гиперкомплексные числа Ещё в школьном курсе алгебры мы обнаружили, какие удобства и преимущества представляет переход от вещественных чисел к комплексным. Кватернионы представляют собой обобщение понятия комплексного числа и находят широкое применение в алгебре и геометрии. Курсовая работа на эту тему будет представлять из себя ознакомление со свойствами кватернионов, их применением в геометрии трёхмерного евклидова пространства и решение задач.

Рекомендуемая литература: [6], [27], [52].

4.3 Геометрия псевдоевклидовой плоскости Псевдоевклидова плоскость отличается от евклидовой тем, что квадрат длины вектора может быть отрицательным или равным нулю, хотя сам вектор ненулевой. Примером такого пространства, правда, не двумерного, а четырёхмерного, является пространство-время в теории относительности Эйнштейна. У евклидовой и псевдоевклидовой плоскостей есть общие свойства, но есть и резкие различия. Ознакомление со свойствами этих плоскостей и решение задач будет составлять содержание курсовой работы.

Рекомендуемая литература: [49].

4.4 Линейная алгебра и элементарная геометрия Предлагаемые для самостоятельного изучения темы курсовой работы представляют собой отдельные параграфы книги Жана Дьедонне Линейная алгебра и элементарная геометрия [25]. Автор книги, один из основателей знаменитой группы математиков Н. Бурбаки, полностью порвал с традиционным изложением геометрии в средней школе и приноравливается исключительно к программам университетов и политехнических институтов. То, что к этим программам отношения не имеет, было изъято из текста и даже из упражнений. В этой книге вы не встретите ни чертежей, ни задач на треугольники, на построение циркулем и линейкой. Напротив, автор старается как можно раньше ввести понятия, которые будут основными на первом курсе ВУЗа: линейное и полилинейное отображения, собственные значения оператора, группа или кольцо операторов. Более глубокие результаты отнесены в упражнения. Решение некоторых из этих упражнений будет составлять самостоятельную часть курсовой работы.

Тема 1. Линейные отображения векторных пространств.

Полная линейная группа векторного пространства Рекомендуемая литература: [25], пп. 3.2.1, 3.2.3-3.2.10, 4.1.13, 4.1. а, с. 62, упр. 2-4, 9, 10.

Тема 2. Проектирования и инволюции векторного пространства Рекомендуемая литература: [25], пп. 3.2.2, 3.2.11, с. 62, упр. 1, 5, 14.

Тема 3. Полилинейные отображения векторных пространств Рекомендуемая литература: [25], пп. 3.2.12- 3.2.16, с. 63, упр. 6-8.

Тема 4. Аффинные отображения векторных пространств Рекомендуемая литература: [25], пп. 3.2.17-3.2.20, с. 64, упр. 11-13.

Тема 5. Прямые и гиперплоскости векторного пространства Рекомендуемая литература: [25], пп. 3.3.1, 3.3.2, 3.3.5, 3.3.6, 3.3.8, 3.3.9, 4.1.15, 4.1.16, с. 71, упр. 1-5.

Тема 6. Матрицы и эндоморфизмы векторного пространства. Подгруппы полной линейной группы векторной плоскости Рекомендуемая литература: [25], глава 4, §1, с. 88, упр. 1-4, 6(А).

Тема 7. Определители эндоморфизмов векторной плоскости Рекомендуемая литература: [25], с. 103, упр. 1, 3-5, 10.

4.5 Дополнительные главы дифференциальной геометрии Курсовые работы по этой тематике предназначены для студентов II и III курсов.

Тема 1. Сферическое отображение поверхности и третья квадратичная форма поверхности Сферическое отображение каждой точке поверхности ставит в соответствие точку на сфере с радиус-вектором, равным орту нормали поверхности. Это отображение порождает некоторые объекты (оператор Вейнгартена, третью квадратичную форму), которые характеризуют свойства самой поверхности. Самостоятельная часть курсовой работы будет представлять решение задач на данную тему из задачников по дифференциальной геометрии.

Рекомендуемая литература: [39], [40], с. 151, зад. 19; [50], [59], зад.

838, 839; [56].

Тема 2. Кривые Бертрана Две пространственные кривые называются кривыми Бертрана, если они имеют общие главные нормали. Изучение свойств таких кривых и решение задач будет составлять содержание курсовой работы.

Рекомендуемая литература: [39], §§57-60; [40], с. 71-72, зад. 8-10.

Тема 3. Поверхности вращения и их обобщения Огибающая однопараметрического семейства сфер называется каналовой поверхностью. Если центры сфер лежат на прямой, то получаем поверхность вращения, а если радиусы сфер постоянны, то каналовую поверхность. Изучение свойств таких поверхностей и решение задач будет составлять содержание курсовой работы.

Рекомендуемая литература: [39], [38] §§30-33; [40], с. 107, зад. 15, с. 151, зад. 23.

Тема 4. Асимптоты пространственной кривой Асимптоты плоской и пространственной кривых одна из характеристик формы кривой. Методы нахождения асимптот и решение задач составляют содержание курсовой работы.

Рекомендуемая литература: [39], [40], с. 28, зад. 5, 6.

Тема 5. Поверхности переноса Если в пространстве даны две кривые L1, L2, пересекающиеся в точке M0, и точка M0 вместе с кривой L1 параллельно переносится вдоль кривой L2, то при таком движении кривая L1 описывает поверхность, называемую поверхностью переноса. Изучение свойств таких поверхностей и решение задач будут составлять содержание курсовой работы.

Рекомендуемая литература: [38] §68; [40], с. 88, зад. 7, 8, с. 106, зад. 2, с. 124, зад.14, с. 148, зад. 8.

Тема 6. Триортогональные системы поверхностей Если в трёхмерном евклидовом пространстве заданы криволинейные координаты и координатные поверхности пересекаются под прямым углом, то говорят, что эти поверхности образуют триортогональную систему. Рассмотрение примеров таких триортогональных систем и решение задач будут составлять содержание курсовой работы.

Рекомендуемая литература: [38], [40], с. 149-150, зад. 10, 11, 13.

4.6 Дополнительные главы топологии Курсовые работы по этой тематике предназначены для студентов II и III курсов.

Тема 1. Полуоткрытые множества топологического пространства Определение. Подмножество A топологического пространства (X, ) называется полуоткрытым, если A A. Множество всех полуоткрытых множеств топологического пространства X обозначим SO(X).

Вопросы для разогрева :

1) Показать, что SO(X).

2) Привести примеры, показывающие, что, вообще говоря, = SO(X).

3) Определить полузамкнутые множества, как дополнения полуоткрытых. Какому условию включения будут удовлетворять полузамкнутые множества?

4) Определить полувнутренность произвольного множества B X как объединение всех полуоткрытых множеств, содержащихся в B, а полузамыкание как пересечение всех полузамкнутых множеств, содержащих B. Проверить, какие свойства открытых и замкнутых множеств верны и для полуоткрытых, полузамкнутых множеств соответственно, а какие нет. Привести контрпримеры.

5) Отображение f : X Y топологичсеких пространств называется полунепрерывным, если прообраз любого открытого множества в Y будет полуоткрыт в X. Показать, что всякое непрерывное отображение полунепрерывно, а обратное, вообще говоря, неверно. Привести примеры. Какие определения, эквивалентные определению непрерывности отображения, можно перенести на случай полунепрерывности?

Рекомендуемая литература: [16].

Тема 2. Преоткрытые множества топологического пространства Определение. Подмножество A топологического пространства (X, ) называется преоткрытым, если A A. Множество всех преоткрытых множеств топологического пространства X обозначим P O(X).

Вопросы для разогрева :

1) Показать, что P O(X).

2) Привести примеры, показывающие, что, вообще говоря, = P O(X).

3) Определить презамкнутые множества, как дополнения преоткрытых. Какому условию включения будут удовлетворять презамкнутые множества?

4) Определить превнутренность произвольного множества B X как объединение всех преоткрытых множеств, содержащихся в B, а презамыкание как пересечение всех презамкнутых множеств, содержащих B. Проверить, какие свойства открытых и замкнутых множеств верны и для преоткрытых, презамкнутых множеств соответственно, а какие нет. Привести контрпримеры.

5) Отображение f : X Y топологичсеких пространств называется пренепрерывным, если прообраз любого открытого множества в Y будет преоткрыт в X. Показать, что всякое непрерывное отображение пренепрерывно, а обратное, вообще говоря, неверно. Привести примеры. Какие определения, эквивалентные определению непрерывности отображения, можно перенести на случай пренепрерывности?

Рекомендуемая литература: [16].

Тема 3. -открытые множества топологического пространства Определение. Подмножество A топологического пространства (X, ) называется -открытым, если A A. Множество всех открытых множеств топологического пространства X обозначим (X).

Вопросы для разогрева :

1) Показать, что (X).

2) Привести примеры, показывающие, что, вообще говоря, = (X).

3) Определить -замкнутые множества, как дополнения -открытых. Какому условию включения будут удовлетворять -замкнутые множества?

4) Определить -внутренность произвольного множества B X как объединение всех -открытых множеств, содержащихся в B, а замыкание как пересечение всех -замкнутых множеств, содержащих B. Проверить, какие свойства открытых и замкнутых множеств верны и для -открытых, -замкнутых множеств соответственно, а какие нет. Привести контрпримеры.

5) Отображение f : X Y топологичеcких пространств называется -непрерывным, если прообраз любого открытого множества в Y будет -открыт в X. Показать, что всякое непрерывное отображение -непрерывно, а обратное, вообще говоря, неверно. Привести примеры. Какие определения, эквивалентные определению непрерывности отображения, можно перенести на случай -непрерывности?

Рекомендуемая литература: [16].

Тема 4. -открытые множества топологического пространства Определение. Подмножество A топологического пространства (X, ) называется -открытым, если A A. Множество всех -открытых множеств топологического пространства X обозначим (X).

Вопросы для разогрева :

1) Показать, что (X).

2) Привести примеры, показывающие, что, вообще говоря, = (X).

3) Определить -замкнутые множества, как дополнения -открытых. Какому условию включения будут удовлетворять -замкнутые множества?

4) Определить -внутренность произвольного множества B X как объединение всех -открытых множеств, содержащихся в B, а замыкание как пересечение всех -замкнутых множеств, содержащих B. Проверить, какие свойства открытых и замкнутых множеств верны и для -открытых, -замкнутых множеств соответственно, а какие нет. Привести контрпримеры.

5) Отображение f : X Y топологичеcких пространств называется -непрерывным, если прообраз любого открытого множества в Y будет -открыт в X. Показать, что всякое непрерывное отображение -непрерывно, а обратное, вообще говоря, неверно. Привести примеры. Какие определения, эквивалентные определению непрерывности отображения, можно перенести на случай -непрерывности?

Рекомендуемая литература: [16].

Тема 5. Регулярно открытые множества топологического пространства Определение. Подмножество A топологического пространства (X, ) называется регулярно открытым, если A =A. Множество всех регулярно открытых множеств топологического пространства X обозначим RO(X).

Вопросы для разогрева :

1) Показать, что RO(X).

2) Привести примеры, показывающие, что, вообще говоря, = RO(X).

3) Определить регулярно замкнутые множества, как дополнения регулярно открытых. Какому условию включения будут удовлетворять регулярно замкнутые множества?

4) Определить регулярную внутренность произвольного множества B X как объединение всех регулярно открытых множеств, содержащихся в B, а регулярное замыкание как пересечение всех регулярно замкнутых множеств, содержащих B. Проверить, какие свойства открытых и замкнутых множеств верны и для регулярно открытых, регулярно замкнутых множеств соответственно, а какие нет.

Привести контрпримеры.

5) Отображение f : X Y топологичеcких пространств называется регулярно непрерывным, если прообраз любого регулярно открытого множества в Y будет открыт в X. Показать, что всякое непрерывное отображение регулярно непрерывно, а обратное, вообще говоря, неверно. Привести примеры. Какие определения, эквивалентные определению непрерывности отображения, можно перенести на случай регулярной непрерывности?

Рекомендуемая литература: [16].

Тема 6. Топологии на упорядоченном множестве Пусть (X, ) упорядоченное множество, т.е. на X задано отношение порядка, удовлетворяющее аксиомам:

Будем называть интервалом с началом в x множество Показать, что:

1) Множество = {[x, ) | x X} всех интервалов есть базис некоторой топологии на (X, ), называемой правой топологией. Множество (X, ), наделённое этой топологией, будем обозначать (X,, ).

4) Топологическое пространство называется колмогоровским, если для любых двух различных точек x, y X существует окрестность одной точки, не содержащая другую точку. Показать, что (X,, ) колмогоровское пространство.

5) Верно и обратное: Если (X, ) колмогоровское пространство, в котором выполняется свойство 2), то отношение x {y} есть отношение порядка между x и y в X. Если записывать это отношение в виде x y, то правая топология, определяемая этим отношением, совпадёт с.

Рекомендуемая литература: [16], [29].

Тема 7. Различные способы задания топологических структур на множестве Задача для разогрева :

Пусть X множество, (X) множество всех подмножеств множества X, а f : (X) (X) отображение, удовлетворяющее аксиомам: