«ИССЛЕДОВАНИЕ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ И ТОЧНОСТИ АЛГОРИТМОВ АКТИВНОЙ МАГНИТНОЙ СИСТЕМЫ ОРИЕНТАЦИИ МАЛОГО СПУТНИКА ...»

ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

им. М.В. КЕЛДЫША РАН

На правах рукописи

Ролдугин Дмитрий Сергеевич

ИССЛЕДОВАНИЕ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ И ТОЧНОСТИ

АЛГОРИТМОВ АКТИВНОЙ МАГНИТНОЙ СИСТЕМЫ ОРИЕНТАЦИИ

МАЛОГО СПУТНИКА

Специальность 01.02.01 – теоретическая механика Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

профессор, д.ф.-м.н.

М.Ю. Овчинников Москва – 2013 Оглавление Введение

Глава 1. Постановка задачи. Модели геомагнитного поля, системы координат, уравнения движения, метод исследования

1.1. Описание задачи

1.2. Модели геомагнитного поля

1.3. Уравнения движения

1.4. Асимптотические методы

Глава 2. Исследование алгоритма демпфирования «-Bdot»

2.1. Переходный процесс

2.2. Установившееся движение

Глава 3. Исследование алгоритмов ориентации спутника, стабилизированного собственным вращением

3.1. Алгоритм гашения нутационных колебаний

3.2. Алгоритм раскрутки вокруг оси симметрии

3.3. Алгоритм точной переориентации

3.4. Первый алгоритм предварительной переориентации

3.5. Второй алгоритм предварительной переориентации

Глава 4. Трехосная магнитная ориентация спутника в инерциальном пространстве

4.1. Конструирование алгоритма ориентации

4.2. Исследование переходных процессов

4.3. Исследование устойчивости

4.4. Численное моделирование

Глава 5. Численные, полунатурные и летные испытания алгоритмов................ 5.1. Численное исследование динамики спутника при использовании различных моделей геомагнитного поля

5.2. Стендовые испытания

5.3. Летные испытания на борту малого спутника «Чибис-М»................. Заключение

Литература

Приложение I. Асимптотические методы

Приложение II. Краткое описание лабораторного стенда

Введение В последние два десятилетия наблюдается существенный рост интереса к малым спутникам (далее под малыми спутниками будем понимать спутники массой до нескольких десятков килограмм – наноспутники и микроспутники).

Благодаря существующему уровню развития электроники и вычислительной техники были разработаны и выведены на орбиту десятки малых спутников.

Напомним, что аппараты массой до 10 килограмм принято относить к наноспутникам, а аппараты массой до 100 килограмм – к микроспутникам.

Далее речь пойдет в основном о наноспутниках. Интерес к малым спутникам и бурное развитие этого направления объясняется короткими сроками разработки и изготовления, относительно низкой стоимостью самого аппарата и его вывода на орбиту. Немаловажным фактором, обусловленным развитием техники, является способность малых спутников выполнять некоторые задачи, которые ранее были подвластны только большим и дорогостоящим аппаратам. Кроме того, на базе нескольких миниатюрных спутников возможно создание формаций и группировок спутников, предоставляющих возможность проведения одновременных экспериментов в различных, но близких точках пространства. Последнее направление, в англоязычной литературе носящее название «formation flying», в течение нескольких последних лет приобрело особенный интерес для исследователей и разработчиков.

Рассматриваемые в диссертации алгоритмы управления ориентацией спутника были предложены для реализации на борту малого аппарата «ЧибисМ» (разработка Института космических исследований РАН), семейства малых спутников ТНС (технологический наноспутник, разработка ОАО «Российские космические системы»), малых спутников TabletSat, разрабатываемых ООО «Спутникс» и аппарата UniSat-5, разрабатываемого в GAUSS Srl. В диссертации детально исследуются алгоритмы управления этими аппаратами, так как необходимость (заметим, что для малых аппаратов магнитная система применяется с необходимостью) применения их на борту приводит к необходимости заранее понять, как будут влиять на их работу отдельные параметры – как аппарата (моменты инерции), так и его орбиты (наклонение).

Общность проблем ориентации малых аппаратов при помощи магнитной системы управления и задачи, стоящие в рамках трех указанных спутников или их серий, подтверждают актуальность диссертационной работы. Возникающие в каждой миссии требования по точности и быстродействию (время переходных процессов) системы ориентации привели к необходимости получения простых, наглядных формул, позволяющих оценить, насколько система ориентации удовлетворяет требованиям, предъявляемым к ней научной аппаратурой. Таким образом, цель диссертации – получение простых и эффективных методов анализа работоспособности системы ориентации и выбора параметров управления для каждой конкретной миссии. Основные решаемые при этом задачи – показать возможность реализации требуемой ориентации спутника при помощи известных алгоритмов с учетом ограничений, накладываемых малыми аппаратами, при необходимости разработать новые, исследовать эти алгоритмы, доведя результат до уровня конечных формул или первых интегралов, что позволит оперативно выбирать параметры системы ориентации, которые затем уточняются при помощи численного и полунатурного моделирования. При этом, несмотря на популярность магнитных систем ориентации, аналитическое исследование, позволяющее удовлетворить обозначенным выше целям, встречается редко. В частности, для рассмотренных в диссертационной работе алгоритмов удовлетворительных общих результатов найти не удалось, что указывает на новизну работы. Опишем сначала проекты, в рамках работы над которыми возникла необходимость представленной диссертации.

Микроспутник «Чибис-М» (запущен с борта космического аппарата Прогресс в ночь с 24 на 25 января 2012 года) предназначен для исследования атмосферных грозовых разрядов. Научная аппаратура спутника требует его трехосной ориентации относительно орбитальной системы координат. Для этого используется магнитно-маховичная система ориентации, состоящая из трех пар маховиков и трех магнитных катушек. Демпфирование начальной угловой скорости спутника после отделения от носителя производится с помощью электромагнитных катушек, взаимодействующих с геомагнитным полем. После этого осуществляется стабилизация аппарата в требуемом положении с помощью маховиков. В качестве датчиков определения ориентации используются магнитометр, набор датчиков Солнца и три одноосных датчика угловой скорости. Несмотря на то, что основными исполнительными элементами системы являются маховики, обеспечивающие точную (минимальное требование научной аппаратуры по точности – градусов, маховики же обеспечивают точность лучше 1 градуса) ориентацию в орбитальной системе координат, магнитные катушки являются необходимым элементом системы управления. Они позволяют демпфировать начальную скорость и осуществлять разгрузку маховиков, необходимые для работы маховичной системы. Система ориентации аппарата была реализована в ИТЦ «СканЭкс», облик системы ориентации был проработан в ИПМ им.

М.В. Келдыша РАН. Отметим, что, несмотря на традиционный облик системы ориентации, возникла необходимость провести анализ ее работы. Возникший в последнее время разрыв преемственности опыта запуска малых спутников и разработки их систем ориентации, связанный с проблемами в ракетнокосмической отрасли, побудил провести разносторонний анализ работы алгоритмов ориентации там, где в литературе традиционно приводятся лишь результаты летных и численных испытаний постоянно используемых алгоритмов (например, в отношении алгоритма демпфирования [1]). Только после проведения такой работы, включая верификацию на лабораторных стендах, было решено использовать алгоритмы на борту микроспутника «Чибис-М».

Рассматриваемый в первой главе диссертации алгоритм гашения угловой скорости планируется также использовать на аппаратах серии ТНС. С 2003 года в ОАО «Российские космические системы» (бывшее РНИИ космического приборостроения) проводится разработка серии технологических наноспутников ТНС-0, ТНС-1 и ТНС-2, предназначенных для ускоренной летной отработки новых технологий и бортовых подсистем малых аппаратов.

Как показали результаты летных испытаний ТНС-0 №1, запущенного вручную экспериментальной отработки обеспечивает надежность, простоту, регулярность запусков, малые стоимости и сроки работ. Пассивная магнитная система ориентации наноспутника ТНС-0 №1 была разработана в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. В настоящее время Институт разрабатывает магнитные системы ориентации, пассивные и активные, для новых спутников этой серии.

Следующий аппарат, ТНС-0 №2, будет также оснащен пассивной магнитной системой ориентации, однако третий аппарат планируется оснастить активной системой с использованием токовых катушек [2]. ТНС-0 №3/GRESAT (совместная разработка ОАО «РКС» и Центра космических технологий и микрогравитации ZARM Бременского университета) представляет собой наноспутник с двумя системами управления ориентацией, двумя бортовыми компьютерами и двумя бортовыми средствами связи с наземным Центром управления полетом [3]. Основная цель проекта – получить новые знания, накопить практический опыт в разработке и создании малогабаритных спутников с использованием современных средств миниатюризации, включая COTS-компоненты, верифицировать новые технологии и инженерные решения, в том числе относящиеся к системе ориентации.

К системе ориентации спутника GRESAT не предъявляются жестких требований по обеспечению его углового движения [4]. Будут апробированы различные как по режимам, так и по способам реализации алгоритмы ориентации. Планируется использовать трехосный магнитометр, солнечные датчики, три взаимно перпендикулярные токовые катушки, систему определения положения центра масс спутника на орбите. Оснащенный таким образом спутник предполагается стабилизировать в инерциальном пространстве собственным вращением. Отдельно стоит проблема выбора заданного направления в инерциальном пространстве для оси вращения спутника. Самым привлекательным является режим ориентации оси вращения по нормали к плоскости орбиты. Этот режим не требует затрат энергии для поддержания заданного направления оси вращения. Удержание положения этой оси будет осуществляться за счет комбинации гравитационного момента и момента центробежных сил инерции [5]. Алгоритмы управления магнитными катушками, которые будут использованы на наноспутнике GRESAT, рассматриваются во второй главе. Они же могут быть использованы на спутнике ТНС-1, следующем в серии и предназначенном для дистанционного зондирования Земли. Спутник будет стабилизирован собственным вращением, «катясь» по орбите так, что его камеры постоянно была направлена на Землю.

ООО «Спутникс» является инициатором создания Российского специализированного инновационного Центра в Сколково по разработке, изготовлению и наземным испытаниям перспективных элементов и служебных систем для малых спутников массой 10-50 кг. Основное новшество Центра для российской космонавтики – модульная структура аппаратов, заложенная в проекте «TabletSat». За рубежом такая схема уже получила признание и активно используется на аппаратах типа CubeSat. Для них создан Открытый стандарт на архитектуру космических систем, обеспечивающий быстрое определение и конфигурирование подключаемых устройств. Стандарт разработан Американским институтом аэронавтики и астронавтики. При этом даже каждый полностью собранный аппарат может стать модулем для большей конструкции, а больший аппарат с требуемыми характеристиками собирается из базовых функционально обособленных блоков, каждый из которых должен весить не более 1 кг и иметь определенный форм-фактор (1U-блок). В частности, ключевые служебные системы спутника должны уместиться в одном из таких базовых блоков. При необходимости к блоку служебных систем стыкуются другие функционально обособленные блоки – всего до 4 штук.

Базовый блок типа 1U имеет название ТаблетСат (TabletSat). Для запуска и последовательного отделения от ракеты-носителя от 1 до 4 ТаблетСатов, созданных как 1U, 2U, 3U или 4U-блоки, предлагается использовать универсальный транспортно-пусковой контейнер. Его габариты (диаметр, длина) и определяют форм-фактор базового 1U-блока. Использование Plug-andPlay-архитектуры бортовых систем, а также стандартного контейнера потребует от разработчиков соблюдать единые требования к информационным, физическим интерфейсам спутника, что в итоге должно сократить стоимость, время разработки и подготовки к запуску малых спутников. Однако, чтобы требования по стоимости и массе такого аппарата были выполнены, необходимо особенно тщательно относится к любой служебной системе, в частности, к системе ориентации.

Система ориентации имеет решающее значение для успеха всей миссии.

Большинство первых спутников либо не имело систему ориентации, либо имело пассивную систему. Развитие активных систем ориентации началось в основном благодаря запускам телекоммуникационных спутников, имеющих ограничение на направление антенны. Магнитные системы ориентации (МСО) широко применяются в контуре управления угловым движением искусственных спутников Земли в тех случаях, когда предпочтительно использовать недорогую элементную базу и простые, реализуемые на бортовых компьютерах с ограниченными ресурсами алгоритмы. В качестве основной МСО используется, как правило, на небольших спутниках. С одной стороны, к их системе ориентации обычно не предъявляют высоких требований по точности и быстродействию, с другой – МСО могут явиться единственно возможным вариантом для установки на борту спутника в силу имеющихся ограничений по его массе и энерговооруженности. МСО могут использоваться как самостоятельно, так и совместно с системами ориентации другого типа.

Это, прежде всего, пассивные системы: например, гравитационные и аэродинамические, а также системы с использованием маховиков [6].

МСО, как правило, в качестве исполнительных элементов используют три взаимно перпендикулярные магнитные катушки. Магнитная катушка представляет собой ряд компланарных витков проводника (обычно меди или алюминия) вокруг сердечника. При приложении напряжения возникает ток, создающий магнитный дипольный момент. Модуль и направление дипольного момента зависят от силы тока, его направления, числа витков и площади витка.

Взаимодействие дипольного момента катушки m с геомагнитным полем с соотношением Возвращаясь к основным параметрам катушки, момент можно записать в виде [7] M NISm0 B, где N – число витков, I – сила тока, S – площадь витка, m0 – единичный вектор в направлении дипольного момента. Таким образом, создаваемый механический момент линейно зависит от числа витков и их размера. Поэтому использование более крупных катушек позволяет добиться большего механического момента. Но при этом возрастает масса катушки. На самом деле, бортовая система питания создает не заданный ток, а заданное напряжение на сопротивление провода, а значит, его удельное сопротивление и площадь напряжения, получаем следующее выражения для дипольного момента где d – диаметр витка, P – потребляемая мощность, M – масса, g – плотность, – сопротивление. Последнее выражение содержит два основных параметра, на которые накладываются ограничения при разработке любой системы ориентации, в особенности, системы ориентации малого аппарата, – массу и потребляемую мощность. Соотношением параметров, g можно добиться изменения P, M. При фиксированных размере и дипольном моменте катушки потребляемая мощность для алюминиевого провода в два раза ниже, чем для медного. Перейдем теперь к изложению основных рассматриваемых в диссертации вопросов.

В первой главе диссертации приводятся системы координат и уравнения движения спутника; рассматриваются модели геомагнитного поля и анализируется осредненная модель, выбранная в данной работе для асимптотического анализа.

Во второй главе рассматривается движение спутника на начальном этапе, после его отделения от ракеты-носителя. Рассматривается работа МСО, реализующей алгоритм демпфирования угловой скорости “-Bdot” (принятое и ставшее уже традиционным в англоязычной литературе обозначение алгоритма отражает зависимость дипольного момента исполнительных магнитных элементов от производной вектора B геомагнитной индукции). Алгоритм был впервые опубликован в 1976 году К.Т. Алфрендом (Alfriend) [8]. Автором алгоритма, однако, является Сеймор Кант, инженер Центра космических полетов имени Годдарда. Первое упоминание алгоритма относится к 1972 году в отчете [1]. Ни эта работа, ни статья [8], однако, не содержит аналитического исследования динамики спутника под действием алгоритма “-Bdot”. Для него и ряда других алгоритмов приводится логика формирования и результаты численного исследования. В статье [9] автор алгоритма Алфренд исследует алгоритм, представленный в [8] при помощи методов асимптотического анализа. Исследуемый алгоритм реализуется одной магнитной катушкой, при этом демпфирующая часть дополняется позиционной компонентой. Важным результатом, полученным в статье, является зависимость скорости демпфирования и переориентации алгоритма от величины проекции вектора геомагнитной индукции на орбитальную плоскость. Показано, что алгоритм быстрее работает на приполярных орбитах, тогда как на околоэкваториальных орбитах его эффективность резко падает. Начиная с этих двух пионерских исследований, в большинстве работ, где рассматривается движение спутника с МСО, которая реализует алгоритм “-Bdot”, основное внимание уделяется либо проблеме использования алгоритма для спутников с заданными параметрами [10], либо численному моделированию динамики [7]. Отдельно выделим моделирования гашения начальных колебаний спутника массой несколько килограмм, оснащенного слабыми магнитными катушками. Время гашения начальных колебаний составляет порядка 1000с. Интерес данной работы заключается исключительно в том, что рассматривался малый спутник, на борту которого установлены небольшие катушки. Численно показано, что время демпфирования начальной угловой скорости приемлемо для подавляющего широкого спектра миссий, для которых проводилось моделирование. В работе [13] показано демпфирование угловой скорости в случае быстро вращающегося спутника, а также приведены результаты численного моделирования для наклонений орбиты 30° и 85°, во втором случае демпфирование происходит несколько быстрее. Таким образом, повторен результат [9], но теперь уже для алгоритма “-Bdot” без дополнительных компонент управляющего дипольного момента. Авторы, однако, не делают выводов из полученного результата, и он не может рассматриваться как обоснованная закономерность. В [14] рассматривается модельная задача.

Спутник закручен вокруг оси симметрии, вектор геомагнитной индукции лежит в плоскости, ей перпендикулярной. В этом случае уменьшение угловой скорости происходит в зависимости от времени экспоненциально. В случае произвольного трехосного спутника показано уменьшение модуля вектора кинетического момента. Хотя рассматриваемая модельная задача во многом искусственна, это одно из немногих аналитических исследований, в котором был получен важный результат – экспоненциальный закон затухания кинетического момента.

Схожая по сути задача, но с иной физической интерпретацией, исследовалась ранее В.В. Белецким в [11], [12], где рассматривалось воздействие вихревых токов на спутник. Воздействие аппроксимировалось моментом, по форме, как позже оказалось, совпадающим с создаваемым МСО при использовании алгоритма “-Bdot” и упрощенного для случая быстрых вращений. Анализируя динамику спутника, автор пришел к выводу об уменьшении модуля вектора кинетического момента и стремлении его к определенному фиксированному в инерциальном пространстве направлению.

Для движения по экваториальной орбите это направление было найдено.

Выводы, однако, были получены на основе анализа уравнений, которые в в рамках принятой им модели геомагнитного поля не удалось проинтегрировать.

В работах [17], [18] проведено исследование зависимости кинетического момента от времени для спутника под воздействием вихревых токов. Опираясь на уравнения движения, полученные в [11], авторы нашли выражения, ограничивающие значения модуля кинетического момента в течение всего времени движения.

Третья глава посвящена анализу динамики спутника, стабилизированного собственным вращением и оснащенного МСО. Стабилизация собственным вращением является одним из часто используемых способов поддержания ориентации спутника [19]. Спутник, быстро закрученный вокруг оси симметрии, приобретает свойства гироскопа и в течение длительного времени сохраняет ориентацию этой оси в инерциальном пространстве. В [20] показано, что если на спутник не действуют внешние моменты, но имеется механизм диссипации энергии, устойчивым является только вращение вокруг оси наибольшего момента инерции. Механизм диссипации энергии необходим для правильного функционирования любой системы ориентации спутника, в том числе, стабилизируемого собственным вращением. Обычно работу системы ориентации разбивают на три этапа: гашение нутационных колебаний, закрутка спутника вокруг оси симметрии, переориентация оси симметрии в заданное направление в инерциальном пространстве. Этапы могут совмещаться. Такая схема предложена, в частности, в [21]. Алгоритмы, предложенные в работе [21], исследуются в настоящей диссертации. В диссертации рассматриваются также дополнительные алгоритмы или их режимы работы, позволяющие начать процесс переориентации без предварительного успокоения и закрутки, за счет чего значительно увеличивается быстродействие системы. Для этого используется либо один из алгоритмов, предложенных в [21], либо алгоритм, предложенный в [22]. Основные принципы активного магнитного управления спутника, стабилизированного вращением, изложены в [23] и [24]. Эти работы легли в основу методики и алгоритмов, рассматриваемых в [21]. Также как и в случае алгоритма “-Bdot”, основной фокус работ лежит в области летных испытаний и численного моделирования динамики спутника. В работе [25] представлены алгоритмы для первого бразильского спутника SCD-1, стабилизированного вращением и оснащенного МСО, реализующей алгоритмы, построенные на основе [23]. Аналогичные принципы использовались при разработке спутника LionSat [26], где показано, что использование МСО на аппарате, оборудованном магнитометром и солнечными панелями для определения ориентации, можно достичь точности ориентации 5. В работе [27] предложен оптимальный по быстродействию алгоритм переориентации аппарата для случая большого угла поворота, результаты подтверждаются численным моделированием. Несмотря на привлекательность предложенного подхода, его реализация сопряжена с вычислительными трудностями, включающими решение оптимизационной задачи на каждом шаге управления.

В этом свете простые и надежные алгоритмы, рассматриваемые в [21], представляются предпочтительными для использования на малом спутнике, стабилизированном вращением. Общие вопросы динамики стабилизированных вращением аппаратов, а также проблемы, связанные с технической реализацией систем ориентации стабилизированных собственным вращением аппаратов можно найти в [28]. Там же приведено описание их систем ориентации.

Работа [29] содержит детальный обзор литературы по вопросам ориентации спутников, в том числе, стабилизированных собственным вращением.

В четвертой главе рассматривается алгоритм, обеспечивающий трехосную ориентацию в инерциальном пространстве, реализуемую при помощи только токовых катушек. Специфика этих исполнительных элементов такова, что возникает проблема неуправляемости – невозможно в каждый момент времени реализовать произвольный механический момент. Попытки преодоления этого ограничения предпринимались неоднократно. Среди работ, имеющих большой интерес с точки зрения теории, можно выделить только [30], в которой показана возможность обеспечения трехосной ориентации аппарата при помощи токовых катушек. Однако, в работе рассматривается малая окрестность требуемой ориентации спутника, сам спутник – сферически симметричный, а полученные в рамках теории дифференциальных игр фундаментальные результаты с трудом переносятся на реальные аппараты. Отметим также работу [31], в которой бегло рассматривается задача стабилизации аппарата при помощи токовых катушек, но основное внимание уделено задаче определения ориентации, а решение задачи управления не обосновано должным образом и содержит лишь несколько результатов численного моделирования. Интересный подход представлен в [32], где на основе функций Ляпунова и теоремы Барбашина-Красовского доказывается асимптотическая устойчивость трехосной ориентации. Однако в работе сделано важное допущение о сферической симметричности аппарата, что позволяет авторам в функции Ляпунова отбросить один из членов. В случае же произвольного тензора инерции это условие не выполняется, в результате работа не удовлетворяет критерию применимости разработанного подхода. Работ, посвященных численному моделированию динамики спутника с трехосной магнитной системой ориентации, заметно больше. Например, в [33] рассматриваются линеаризованные уравнения движения, а работа предложенного закона управления исследуется численно. Аналогично в [34] рассматривается удержание аппарата в окрестности требуемой ориентации при помощи только токовых катушек. Особняком стоит статья [35], в которой показана работа токовых катушек, установленных на борту аппарата Gurwin-Techsat. В работе приведены данные летных испытаний с использованием только магнитных катушек, но для специфического случая – после отключения основных исполнительных элементов – маховиков. Таким образом, была решена лишь задача поддержания требуемой ориентации после ее достижения, а также в статье не приводится никаких аналитических результатов, которые позволили бы обобщить этот успех. В настоящей диссертации предлагается алгоритм управления, который, как и в рассмотренных выше работах, конструируется «по мотивам» ПД-регулятора [31]. Однако вместо того, чтобы просто отбросить нереализуемую часть требуемого механического момента (параллельную локальному вектору геомагнитной индукции), здесь предлагается другой путь, который вначале обосновывается при решении плоской модельной задачи, а затем обобщается на трехмерное движение аппарата. При помощи методов осреднения исследуется работа предложенного алгоритма, доказывается асимптотическая устойчивость требуемой ориентации при некоторых (особенно важных с практической точки зрения) параметрах управления.

В пятой главе приводятся результаты численного моделирования динамики спутника при использовании различных моделей геомагнитного поля. Для алгоритма “-Bdot” приводятся результаты стендовых и летных испытаний на борту микроспутника «Чибис-М».

Глава 1. Постановка задачи. Модели геомагнитного поля, системы координат, уравнения движения, метод исследования В этой главе описываются основные предположения и упрощения, в рамках которых анализируется динамика спутника, вводятся системы геомагнитного поля и кратко обсуждаются асимптотические методы, используемые в диссертации для исследования движения.

1.1. Описание решаемых задач перпендикулярные токовые катушки. Предполагается, что МСО создает произвольный по направлению в теле спутника, но ограниченный по величине дипольный магнитный момент. Для аппроксимации геомагнитного поля уравнений Эйлера. Орбита спутника круговая.

Рассматриваются три разных режима работы системы ориентации. Для первого режима (глава 2) исследуется движение спутника на начальном этапе полета после отделения от ракеты носителя. Исследуется гашение начальной угловой скорости спутника при помощи алгоритма “-Bdot”. Рассматривается осесимметричный спутник. В переходных процессах учитывается действие на спутник только механического момента, создаваемого в результате взаимодействия МСО с геомагнитным полем, спутник считается быстро вращающимся. В установившемся режиме рассматривается движение в окрестности устойчивого положения равновесия спутника в гравитационном поле.

Во втором режиме (глава 3) МСО реализует одноосную ориентацию спутника, стабилизированного собственным вращением. Рассматриваются следующие алгоритмы.

1. Гашение нутационных колебаний. Используется одна катушка, расположенная на оси симметрии спутника и реализующая алгоритм “-Bdot”.

Спутник считается быстро вращающимся.

2. Предварительная переориентация оси симметрии в инерциальном пространстве. Используется одна катушка, расположенная на оси симметрии спутника. Спутник при этом не предполагается закрученным вокруг оси симметрии.

3. Раскрутка спутника вокруг оси симметрии до заданной угловой скорости. Используются две катушки, расположенные в экваториальной компонента угловой скорости на этом этапе мала в результате действия алгоритма гашения нутационных колебаний.

4. Приведение оси симметрии спутника в заданное положение в инерциальном пространстве. Спутник считается быстро вращающимся вокруг оси симметрии телом.

На всех этапах механический момент мал, спутник – осесимметричный.

Третий режим (глава 4) – трехосная ориентация в инерциальном пространстве.

В рамках описанных допущений динамика спутника аналитически исследуется для каждого режима ориентации.

1.2. Модели геомагнитного поля Опишем используемую в диссертации модель геомагнитного поля.

Обычно вектор напряженности геомагнитного поля вычисляется при помощи разложения потенциала поля в ряд Гаусса [15] где 0 долгота точки, в которой определяется вектор напряженности, 0 90 0, 0 ее широта, r расстояние от центра Земли, R средний радиус Земли, g n и hn коэффициенты Шмидта, определяемые из таблицы [4], 0 – магнитная постоянная (или магнитная проницаемость вакуума), Pnm квазинормализованные по Шмидту присоединенные функции Лежандра.

затруднительно, поэтому вводятся упрощенные модели. Модель наклонного диполя, получающаяся из гауссовой модели при учете первых трех слагаемых, описывает поле диполя, наклоненного под углом 168°26' к оси вращения Земли.

Хотя эта модель допускает достаточно простую запись, с ее использованием не удается провести наглядное аналитическое исследование получающихся уравнений. Широко используется дальнейшее упрощение этой модели – модель прямого диполя, согласно которой геомагнитное поле аппроксимируется полем диполя, лежащего на оси вращения Земли в ее центре и антипараллельного ей.

При движении спутника по орбите вектор индукции движется практически равномерно по почти круговому конусу в системе координат, начало которой лежит в центре масс спутника, а оси параллельны осям инерциальной системы OaY1Y2Y3, где Оa – центр масс Земли, ось OaY3 направлена по оси вращения Земли, OaY1 лежит в плоскости земного экватора и направлена в восходящий узел орбиты спутника, OaY2 дополняет систему до правой. Но и при использовании этой модели еще не удается получить решение уравнений движения спутника хотя бы в квадратурах. Поэтому логично провести дальнейшее упрощение, моделируя геомагнитное поле вектором, равномерно движущимся по прямому круговому конусу. Если перенести вектор индукции в центр масс Земли, то конус касается оси OaY3 системы OaY1Y2Y3, его ось лежит в плоскости OaY2Y3 (рис. 1.1.1). Угол полураствора конуса вычисляется [37] из соотношения Вектор геомагнитной индукции в рамках этой модели движется по конусу равномерно с удвоенной орбитальной скоростью, 20t 0 2u 0, где орбитальная угловая скорость, u – аргумент широты. Без ограничения общности можно считать, что 0 0.

Рис. 1.2.1. Осредненная модель геомагнитного поля Описанную модель геомагнитного поля, иногда называемую осредненной, будем использовать в настоящей работе при проведении аналитических исследований. Хотя эта модель не позволяет учесть неравномерность вращения местного вектора геомагнитной индукции при движении спутника по орбите (как это учитывает, например, модель прямого диполя) и его суточное изменение (как учитывает модель наклонного диполя), тем не менее, она позволяет достаточно достоверно описать основные свойства магнитного поля, влияющие на динамику спутника. Детальное сравнение моделей выполнено в [15]. Приведем здесь график зависимости максимального угла отклонения вектора геомагнитной индукции в рамках модели прямого диполя от конуса осредненной модели в зависимости от наклонения (рис. 1.2.2).

Максимальное значение отклонения достигается при наклонении 52°. Для этого наклонения приведем график угла отклонения вектора геомагнитной индукции в модели прямого диполя от конуса в зависимости от аргумента широты (рис. 1.2.3). Отклонение вектора индукции в модели наклонного диполя от вектора индукции в осредненной модели не превышает 111'.

Рис. 1.2.2. Максимальное отклонение вектора геомагнитной индукции в дипольной модели от конуса осредненной модели Рис. 1.2.3. Отклонение вектора геомагнитной индукции в дипольной модели от конуса осредненной модели при движении по орбите Представленные графики позволяют заключить, что осредненная модель близка к модели прямого диполя по направлению вектора индукции, хотя по его величине наблюдается отличие (в модели прямого диполя максимальное и минимальное значение индукции отличаются в два раза). Краткое сравнение динамики спутника при использовании разных моделей приведено в главе 5.

Угол имеет важное значение в представленной работе. Выражение (1.2.1) задает связь между наклонением орбиты и углом. Рис. 1.2.4 и рис.

1.2.5 показывают, что эти два угла близки. Рис. 1.2.4 отражает соотношение (1.2.1). На рис. 1.2.5 представлена разница между и наклонением орбиты в зависимости от последнего.

Из рис. 1.2.3 и рис. 1.2.4 видно, что можно считать i при качественном анализе поведения спутника, так как разница между ними не превышает 10. В разделе 4.1 рассматривается динамика спутника при его движении в магнитном поле с использованием моделей наклонного диполя, прямого диполя и осредненной.

1.3. Уравнения движения ортогональные системы координат.

OaZ1Z2Z3 – инерциальная система, полученная из системы OaY1Y2Y поворотом на угол вокруг оси OaY1.

OL1L2L3 – система, связанная с кинетическим моментом спутника. О – центр масс спутника, ось OL3 направлена по вектору кинетического момента спутника, ось OL2 – перпендикулярно OL3 и лежит в плоскости, параллельной OaZ1Z2 и проходящей через O, ось OL1 дополняет систему до правой.

Ox1x2x3 – связанная система, ее оси совпадают с главными центральными осями инерции спутника.

OX1X2X3 – орбитальная система координат, ось OX1 лежит в плоскости орбиты и направлена по нормали к радиус-вектору в сторону движения спутника, составляя острый угол с вектором скорости его центра масс, ось OX – по радиус-вектору центра масс спутника относительно центра масс Земли, OX2 дополняет систему до правой.

Ориентацию систем друг относительно друга будем определять тремя матрицами направляющих косинусов Q, A, D, записанными в виде таблиц соответственно соответственно, в системах OaZ1Z2Z3, OL1L2L3, OX1X2X3 и Ox1x2x3.

Для описания движения спутника будем использовать уравнения в переменных Белецкого-Черноусько L,,,,, [38], где L – модуль вектора кинетического момента, углы, определяют его ориентацию относительно инерциальной системы OaZ1Z2Z3 (рис. 1.3.1). Ориентация осей системы Ox1x2x относительно системы OL1L2L3 задается углами Эйлера,,. Подобные переменные были впервые введены Булгаковым [39] применительно к задаче движения гироскопа. Система уравнений для осесимметричного спутника была предложена В.В. Белецким [40], для спутника с трехосным эллипсоидом инерции – Ф.Л. Черноусько [41]. Уравнения невозмущенного движения твердого тела в переменных,, были впервые получены Уиттекером [42], эволюционные уравнения им не рассматривались.

Рис. 1.3.1. Ориентация вектора кинетического момента в инерциальном Матрицы Q и A направляющих косинусов имеют соответственно вид Рассмотрим спутник с произвольными моментами инерции и введем его тензор инерции J x diag ( A, B, C ). Считаем, что его центр масс движется по круговой орбите. Движение такого спутника относительно центра масс описывается [41] системой уравнений где M1L, M 2 L, M 3 L компоненты вектора суммарного внешнего момента.

осесимметричного спутника с тензором инерции J x diag ( A, A, C ). В этом случае уравнения принимают вид Переменные Белецкого-Черноусько удобно использовать для анализа переходных процессов, когда основной интерес представляет величина угловой Установившееся движение удобнее рассматривать при помощи уравнений Эйлера. В этом случае для описания динамики спутника рассматриваются переменные 1,2,3,,,. Здесь i компоненты вектора абсолютной угловой скорости спутника в системе Ox1x2x3 (i=1,2,3), самолетные углы,, направляющих косинусов D имеет вид Уравнения движения спутника, с учетом гравитационного момента и момента, создаваемого взаимодействием МСО с геомагнитным полем, имеют вид dt cos где M1x, M 2 x, M 3 x компоненты вектора момента в системе Ox1x2x3. Углы выбираются таким образом, чтобы исключить вырождение уравнений движения при их малых значениях.

1.4. Асимптотические методы В диссертации в основном применяются два метода асимптотического анализа. При рассмотрении переходных процессов используется метод усреднения [38], при этом интерес представляют уравнения первого приближения. В этом случае для описания динамики аппарата удобно использовать переменные Белецкого-Черноусько. Предположим, что момент, создаваемый взаимодействием МСО с геомагнитным полем, мал в смысле малого изменения кинетического момента аппарата за один его оборот вокруг центра масс и за один виток по орбите по сравнению со значением соответствующих разделах) и представить уравнения (1.3.3) в виде где y,,u – быстрые переменные, а x l,,, – медленные переменные. Эти уравнения позволяют использовать метод осреднения для порождающего решения – движения Эйлера-Пуансо – приводит к громоздким осесимметричного спутника. Уравнения (1.3.4) тогда могут быть представлены в виде Порождающим решением для уравнений (1.4.2) является регулярная прецессия.

В этом случае среднее по времени совпадает с пространственным средним и для получения осредненных уравнений для медленных переменных достаточно независимо усреднить правые части уравнений по быстрым переменным при условии отсутствия резонанса. В результате на временном интервале порядка 1 / решение может быть найдено с точностью порядка. Рассмотрение геомагнитного поля позволило в большинстве случаев получить достаточно простые эволюционные уравнения, решения которых могут быть найдены в квадратурах.

При анализе установившихся движений используется метод Пуанкаре [44] в предположении малого магнитного момента в смысле превалирования над гироскопических сил. Это позволяет найти отклонение от стационарного решения, зачастую соответствующего требуемой ориентации спутника (например, гравитационная ориентация), вызванное действием МСО.

Оба метода кратко описываются в Приложении I.

Глава 2. Исследование алгоритма демпфирования «-Bdot»

В данной главе рассматривается алгоритм “-Bdot”, часто применяющийся на начальном этапе движения спутника. Этот алгоритм реализован на борту микроспутника «Чибис-М» и будет также использован на наноспутнике ТНС- №3/GRESAT.

2.1. Переходный процесс Рассмотрим сначала переходный процесс – демпфирование кинетического момента спутника после отделения от ракеты-носителя. Алгоритм “-Bdot” часто используется для этой цели, даже если МСО не включена в контур управления на следующих этапах движения спутника. Это связано с простотой и надежностью алгоритма, большими точностью и быстродействием по сравнению с пассивными системами [45], а также использованием измерений всего одного датчика – магнитометра. Возможна модификация алгоритма, при которой используется информация других датчиков ориентации [46], [47].

Механический момент описывается выражением дипольный магнитный момент спутника. Управление формируется алгоритмом “-Bdot”, согласно которому дипольный магнитный момент спутника задается [8] выражением где k1 постоянный положительный коэффициент.

Вычислим производную вектора геомагнитной индукции в системе Ox1x2x через его производную в инерциальной системе OaZ1Z2Z3 по следующей формуле [48]:

Рассмотрим теперь быстрые вращения спутника, при которых первым слагаемым, описывающим вращение вектора B относительно инерциального пространства, в правой части (2.1.2) можно пренебречь, то есть считаем, что угловая скорость спутника намного больше его орбитальной скорости ( L / A 0, L / C 0 ). Такой режим может иметь место на начальном этапе движения спутника, когда он имеет большую угловую скорость, полученную при отделении от носителя. В этом случае использование магнитной системы позволяет демпфировать начальную угловую скорость, после чего управление движением спутника может быть организовано с использованием другого алгоритма или даже другой системы ориентации. Итак, будем рассматривать движение спутника под действием момента Выразим угловую скорость спутника через его кинетический момент:

x J x L x. Поскольку известен вид кинетического момента L L 0,0, L системе OL1L2L3, то можем пересчитать его в систему Ox1x2x3 по формуле L x AT L L, откуда L x L a31, a32, a33. Это позволяет записать выражение для угловой скорости в системе Ox1x2x3 так: x L a31, a32, a33.

Будем рассматривать осесимметричный спутник, опираясь на уравнения (1.3.4). В уравнениях (1.3.4) присутствуют компоненты внешнего момента, которые необходимо задать в системе OL1L2L3. Запишем его в этой системе, учитывая, что L A x и B L QT BZ, Вектор геомагнитной индукции, перенесенный в точку Oa, в системе OaZ1Z2Z3 имеет вид переменных. Для этого введем безразмерный момент M L, определяемый выражением Перейдем в (1.3.3) к дифференцированию по аргументу широты u 0 (t t0 ), где t0 – некоторый начальный момент времени. Введем безразмерный кинетический момент l по формуле L L0l, где L0 – начальный кинетический момент спутника. Все это позволяет записать уравнения движения (1.3.4) в виде имеет смысл отношения изменения вектора кинетического момента за виток вокруг Земли к его значению. В случае слабого магнитного момента параметр симметричному, не является вытянутым стержнем или диском). Эти отношения имеют смысл отношения изменения вектора кинетического момента за оборот спутника вокруг центра масс к его значению. В этом случае, как следует из вида уравнений (2.1.6), переменные,,u можно считать быстрыми по сравнению с переменными l,,,.

Разделение переменных на медленные и быстрые позволяет использовать известные методы асимптотического анализа [43]. Поскольку нас интересует, в первую очередь, эволюция медленных переменных, к которым относится приближение по степеням параметра. Для этого необходимо провести Порождающим решением является регулярная прецессия вокруг вектора кинетического момента. Поскольку при 0 быстрые переменные изменяются совпадают, поэтому достаточно усреднить правую часть уравнений для медленных переменных независимо по всем быстрым переменным. Для этого также будем считать, что моменты инерции A и C выбраны так, что 1, 2 и (скорость изменения u ) рационально несоизмеримы. Чтобы получить вычислить выражения где Bi - компоненты безразмерного геомагнитного поля в системе OaZ1Z2Z3, Усредняя, получаем уравнения, описывающие эволюцию переменных 1. Учитывая (1.3.1) и выражения для окончательно Решение полученной системы уравнений удается найти в квадратурах.

Рассмотрим сначала два частных случая.

1. Сферически-симметричный спутник [49], то есть A B C J 0. Тогда все рассуждения о разделении переменных остаются в силе ( становится медленной переменной, но усреднение по ней не требуется), а усредненная система первого приближения для медленных переменных принимает вид Интегрируя эту систему и учитывая, что l 0 1, получаем где c0 ln tg 0. В результате имеем зависимость модуля вектора кинетического момента спутника от наклонения орбиты i. На рисунке 2.1.1 представлено уменьшение модуля кинетического момента для разных наклонений орбиты.

Рис. 2.1.1. Демпфирование в случае сферически-симметричного спутника геомагнитной индукции на ось OaZ3 больше, чем на плоскость OaZ1Z2, при больших наклонениях – меньше. Уравнения движения принимают вид Интегрируя последнее выражение в (2.1.12), получаем уравнение откуда Рассмотрим теперь общий случай. Разделим в (2.1.9) первое уравнение на второе и сгруппируем одноименные переменные. Тогда получим уравнение Знаменатель в правой части не равен нулю (иначе, см выше случай 2).

Интегрируя это уравнение, получаем системы (2.1.9) Этот интеграл можно представить в виде Тогда при 3 p 1 0 получаем 0 (случай 2).

Разделим теперь второе уравнение на третье из (2.1.9) и получим Знаменатели в выражениях слева и справа не равны нулю (иначе, см.

случаи 2 и 1 соответственно). Интегрирование уравнения (2.1.15) дает еще один первый интеграл Аналогично интеграл представим в виде и при 3 p 1 0 получаем 0 (случай 2).

Интеграл I 2, задает как неявную функцию. Из (2.1.16) видно, что I 2, на некоторых интервалах (например, 0, 2 ) удовлетворяет условиям теоремы о неявной функции [50] (существует производная по и первый интеграл непрерывен) и можно определить как функцию.

Аналогичные рассуждения можно применить к (2.1.14) и записать как функцию l. Тем самым, решение уравнений (2.1.9) может быть найдено в квадратурах.

Кинетический момент является функцией трех параметров: l l i, 0,0.

Таким образом, на быстродействие алгоритма могут оказать влияние наклонение орбиты и начальные условия – угол между вектором кинетического момента и осью конуса осредненной модели и угол между осью симметрии спутника и вектором кинетического момента. На рис. 2.1.2 и рис. 2.1.3 показано влияние наклонения орбиты и 0.

Рис. 2.1.2. Значение кинетического момента через 2 витка Рис. 2.1.3. Значение кинетического момента через 10 витков На рис. 2.1.2 и рис. 2.1.3 представлены изолинии, соответствующие значению кинетического момента через 2 (рис. 2.1.2) и через 10 (рис. 2.1.3) витков в зависимости от наклонения орбиты и 0 (на изолиниях нанесены значения безразмерного кинетического момента). При этом учтено, что уравнения (2.1.9) симметричны относительно 0 и / 2. Рис. 2.1.2 и рис.

2.1.3 практически не изменяются при изменении 0. Как видно из рис. 2.1.2, при 0, близких к 90 (отметим, что при 2 уравнения (1.3.4) не имеют смысла, так как не имеет смысла угол ), кинетический момент демпфируется быстрее при меньших наклонениях. Однако рис. 2.1.3 позволяет заключить, что быстродействие алгоритма растет с увеличением наклонения. Для объяснения этого расхождения обратимся к соотношениям (2.1.11). При 0, близких к 90, в течение некоторого небольшого времени (это время увеличивается с уменьшением наклонения) в показателе экспоненты превалирует второе слагаемое, зависящее от 0. Через некоторое время превалировать начинает первое слагаемое, которое монотонно убывает, тогда как второе либо ограничено (при 3 p 1 0 ), либо возрастает медленнее. Анализ уравнений показал, что влияние 0 аналогично влиянию 0. В течение некоторого времени также может наблюдаться большее быстродействие при меньшем наклонении орбиты (влияние первого слагаемого в (2.1.13)). В [16] было показано, что кинетический момент спутника под действием момента (2.1.3) стремится к определенному положению в инерциальном пространстве.

Полученное решение позволяет найти это направление. Действительно, найдем наклонение i0, определяющее ориентацию вектора кинетического момента в инерциальном пространстве. Значение i0, как следует из (2.1.11), определяется из знака выражения 3 p 1 u, то есть i0 46. При наклонении меньшем, чем i0, кинетический момент спутника стремится ориентироваться вдоль оси конуса осредненной модели геомагнитного поля, при наклонении более i перпендикулярно ей. При i i0 направление вектора кинетического момента в инерциальном пространстве не изменяется (см. случай 2). Анализ общего случая подтверждает существование полученного “пограничного” значения i0.

Рис. 2.1.4. Сравнение решения исходных и усредненных уравнений На рис. 2.1.4 приведено сравнения результатов интегрирования системы (2.1.9) с контролем точности и интегрирования исходной системы (2.1.6) при 0.1, 1 10, 2 5 (при таких параметрах 1,2, моментах инерции спутника A 3 кгм2, C 2 кгм2, орбитальной скорости 0 103 c 1, угловая скорость спутника в начальный момент времени на порядок больше его орбитальной скорости), 0 1, 0 1, i 80. Сплошная линия соответствует решению исходной системы, штриховая – решению усредненной. Как видно из рис. 2.1.4, решения исходных и усредненных уравнений совпадают с точностью порядка.

2.2. Установившееся движение Рассмотрим, как влияет на движение осесимметричного спутника магнитный момент совместно с восстанавливающим гравитационным моментом в предположении, что гравитационный момент является определяющим в движении спутника, а магнитный момент – слабым [48].

Воспользуемся уравнениями движения спутника в форме (1.3.6) и перепишем их, перейдя к дифференцированию по аргументу широты, du cos предположению магнитный момент мал. Заметим, что 1, так как рассматривается устойчивая гравитационная ориентация спутника, для которой A C [38].

Введем полусвязанные оси Резаля, не участвующие в собственном вращении спутника. Обозначая проекции абсолютной угловой скорости на эти оси запишем уравнения движения в полусвязанных осях в виде Если на спутник действует только гравитационный момент ( 0 ), то 1 3 0, 2 1. Будем искать периодические решения, рождающиеся из него при действии слабого магнитного момента, используя метод Пуанкаре [44]. Представим уравнения движения (2.1.17) в виде x0 0,1,0,0, 0,0 стационарное решение, x1 w1, w2, w3,1, 1, 1 добавка с искомыми компонентами. Тогда подставляем его в уравнение движения системы Определим g x0. Заметим, что стационарное решение x0 соответствует нулевой относительной скорости систем Ox1x2x3 и OX1X2X3 и повернутой на угол 0 связанной системе относительно орбитальной. Полусвязанная система, не участвующая в собственном вращении спутника, совпадает с системой OX1X2X3, а значит, совпадают и производные вектора геомагнитной индукции в этих системах. Используем снова осредненную модель геомагнитного поля. В Приложении I показано, что хотя это не позволяет отследить колебания скорости спутника, тем не менее, можно достаточно точно оценить возникающее из-за использования МСО их отклонение от стационарного решения. Одновременно, использование осредненной модели позволяет найти решение системы для x1 за счет значительного упрощения уравнений в силу постоянной величины вектора геомагнитной индукции.

Для осредненной модели вектор геомагнитной индукции в системе OX1X2X3 имеет вид Алгоритм “-Bdot”, как видно из (2.1.2), позволяет демпфировать угловую скорость до значения порядка орбитальной. Это значит, что ни одним из слагаемых нельзя пренебречь. Однако поскольку порождающее решение соответствует нулевой скорости вращения аппарата, необходимо учитывать только первое слагаемое в (2.1.2). Это слагаемое вынуждает спутник вращаться с орбитальной угловой скоростью, что и приводит к неточной ориентации.

Заметим, что в случае использования алгоритма управления m k1 B достигается точная гравитационная ориентация аппарата (при рассмотрении только гравитационного и магнитного моментов). После этих рассуждений получаем g x0 sin i cos i cos u, tg i,sin u,0,0,0.

Для определения компонент вектора x1 получаем систему dw dw dw с нулевыми начальными условиями. Уравнение для w3 сразу интегрируется Система для определения 1, w1 отделяется:

dw Подставляя в нее полученное выражение для w3 и представляя систему в виде одного уравнения, получаем Запишем его общее решение в виде С учетом нулевых начальных условий Для определения 1 аналогично получаем следующее уравнение:

Его решение с учетом начальных условий имеет вид Для определения 1 получаем уравнение имеющее решение Таким образом, получено движение, рождающееся из стационарного решения x0, в полусвязанной системе координат:

Получены выражения для малых колебаний оси симметрии спутника по углам,, выражение для угла, линейно возрастающего по времени, и выражения для угловой скорости под действием гравитационного и магнитного моментов. Наибольший интерес вызывает постоянное смещение по углам и. Если орбита спутника – не приэкваториальная, то смещение в плоскости орбиты имеет величину Отклонение зависит от моментов инерции, и чем больше их разница, тем меньше влияние МСО, так как 1. С возрастанием наклонения орбиты отклонение также возрастает, что соответствует повышению эффективности работы МСО на высоких наклонениях. При 0.5, 0.1 и наклонении отклонение составляет около 2.3.

Исследование алгоритма “-Bdot” опубликовано в [51].

стабилизированного собственным вращением В этой главе исследуется набор алгоритмов, предназначенных для обеспечения одноосной ориентации в инерциальном пространстве спутника, стабилизируемого собственным вращением и планируемых к реализации на борту спутников ТНС-0 №3/GRESAT и ТНС-1 [52]. При этом сначала обсуждаются алгоритмы стандартной схемы последовательного управления скоростью вращения и положением оси симметрии (то есть с предварительным успокоением), а затем – два алгоритма переориентации, используемые без предварительного успокоения спутника.

3.1. Алгоритм гашения нутационных колебаний Для реализации режима стабилизации собственным вращением необходимо иметь алгоритм, предназначенный для гашения нутационных колебаний. Использовать для этого “-Bdot” нецелесообразно, так как при этом происходит гашение всех компонент угловой скорости, в том числе – скорости закрутки вокруг оси симметрии. Тем не менее, поскольку алгоритм “-Bdot” обеспечивает падение кинетической энергии спутника, его можно использовать для гашения нутационных колебаний, активируя только катушку, расположенную на оси симметрии [21]. Очевидно, скорость закрутки при этом останется неизменной. Покажем, что такой подход обеспечивает гашение нутационных колебаний [53]. Дипольный магнитный момент спутника mx в этом случае имеет вид где k 2 положительный коэффициент, e3 орт оси симметрии спутника.

Будем снова рассматривать быстрые вращения спутника, при которых, как было показано в первой главе, первым слагаемым, описывающим вращение вектора B относительно инерциального пространства, в правой части (2.1.2) можно пренебречь. Такое предположение оправдывается тем, что гашение нутационных колебаний в первую очередь используется сразу после отделения от ракеты-носителя.

Угловая скорость в системе Ox1x2x3 может быть записана так:

Третья компонента дипольного магнитного момента в связанной системе координат есть m3 x k2 1x B2 x 2 x B1x.

Это позволяет записать ее через компоненты векторов в системе OL1L2L Дипольный момент в системе OL1L2L3 имеет вид Тогда механический момент Снова будем использовать безразмерные уравнения Белецкого-Черноусько рассуждения о разделении переменных, получаем осредненную систему где p sin 2. Уравнения (3.1.3) допускают замену, и,. Решение уравнений (3.1.3) удается найти в квадратурах.

Остановимся сначала на двух частных случаях. Тривиальное уравнение для, имеющее решение const, отделяется и далее исследоваться не будет.

Рассмотрим два стационарных решения для.

1. Начальное значение 0 близко к нулю (в нуле уравнения (1.3.4) не имеют смысла). Тогда при наклонении менее 46° уравнения (3.1.3) принимают вид (здесь и далее тривиальные уравнения опускаем) Их решение где c0 ln tg0. Из этих выражений видно, что чем больше наклонение орбиты (а значит, и p ), тем больше быстродействие алгоритма. Заметим, что при интегрировании (3.1.4) в выражении ln tg можно раскрыть модуль, так как монотонно стремится к нулю или. Будем далее считать, что 0, / 2, что не приведет к потере общности в силу возможности замены, в уравнениях (3.1.3), так же поступим с переменной. Границы интервала не рассматриваются, так как соответствуют частным случаям, не представляющим интереса (в частности, тривиальные уравнения при 0 ).

2. При 0 / 2. Уравнения аналогичны (3.1.4), их решение В этом случае, напротив, быстродействие падает с ростом наклонения орбиты.

Рассмотрим общий случай. Разделим первое уравнение (3.1.3) на третье, получим Интегрирование этого выражения приводит к откуда l cos cos0.

Получен первый интеграл I1 l, l cos, выражающий сохранение третьей компоненты угловой скорости в связанной системе координат (см. (3.1.2)).

Разделим второе уравнение (3.1.3) на третье, получим откуда определяем первый интеграл Заметим, что случай 3 p 1 0 может быть рассмотрен аналогично случаям 1 и 2. Найденные первые интегралы, удовлетворяющие условиям теоремы о неявной функции, позволяют получить решение системы (3.1.3) в квадратурах.

Для анализа системы (3.1.3) применялось численное интегрирование с контролем точности по первым интегралам [54]. На быстродействие системы оказывают влияние три параметра: i, 0, 0. Как и следовало ожидать, с ростом 0 быстродействие системы (время уменьшения угла, а значит, и экваториальной компоненты угловой скорости спутника l sin / A ) падает.

Влияние i и 0 отражено на рис. 3.1.1 и рис. 3.1.2.

На рис. 3.1.1 и рис. 3.1.2 представлено значение угла через 2 и 15 витков соответственно (приведено на изолиниях). Как видно из рис. 3.1.1, при величинах 0, меньших приблизительно 50, быстродействие растет с ростом наклонения орбиты, при больших – падает (см. частные случаи 1 и 2). Рис. 3.1. показывает, что при увеличении времени работы алгоритма появляется область, в которой большее быстродействие достигается при наклонении около 45.

Однако, как видно из рис. 3.1.2, при выборе большого наклонения угол в худшем случае не превысит 14, тогда как при выборе малого наклонения он может практически не измениться. Таким образом, для работы алгоритма гашения нутационных колебаний представляется предпочтительной орбита с большим наклонением.

Рассмотренный алгоритм имеет более общее применение. Фактически, было показано, что использование одной токовой катушки позволяет демпфировать компоненту угловой скорости, перпендикулярную ей.

Использование двух взаимно перпендикулярных катушек, таким образом, позволяет полностью демпфировать угловую скорость (в рамках осредненной модели магнитного поля – кроме экваториальной орбиты). Для использования алгоритма “-Bdot” достаточно иметь две, а не три токовые катушки. Этот вывод для спутника с произвольным тензором инерции подтверждается результатами численного моделирования. На рис. 3.1.3 представлено демпфирование угловой скорости спутника с тензором инерции J diag 1.02,1.51,1.73 кг·м2. Орбита спутника – круговая с радиусом 6850 километров и наклонение 51.7.

Дипольный момент катушек – 3.2 Ам2 (параметры микроспутника «ЧибисМ»), катушка, расположенная на третьей оси, не используется.

Рис. 3.1.3. Отключена третья катушка, дипольный момент катушек 3.2 Ам2.

Результаты численного моделирования показывают, что быстродействие алгоритма может снизиться (одна из компонент угловой скорости демпфируется медленнее). Тем не менее, в случае отказа одной из токовых катушек демпфирование угловой скорости все еще возможно [42].

3.2. Алгоритм раскрутки вокруг оси симметрии Несмотря на то, что алгоритм гашения нутационных колебаний не изменяет скорости закрутки спутника вокруг оси симметрии, необходимо иметь алгоритм, позволяющий закрутить спутник. Для этого используется закон управления [56] Момент, действующий на спутник, в этом случае задается выражением Таким образом, третья компонента угловой скорости, направленная по оси симметрии, заведомо возрастает, так как соответствующая компонента механического момента положительна. Другие две компоненты могут принимать разные знаки.

Проведем исследование динамики спутника при помощи переменных Белецкого-Черноусько, как это было сделано в предыдущем разделе. Для этого перепишем дипольный момент (3.2.1) в виде где e3 – орт оси симметрии спутника. Тогда механический момент в связанной системе задается выражением Учитывая, что B x AT B L, получаем выражение для момента в системе OL1L2L Предположим опять, что механический момент, создаваемый при помощи магнитной системы ориентации, мал. Тогда сохраняются в силе рассуждения о разделении переменных, приведенные в предыдущем разделе. Усредненные уравнения имеют вид где – новый малый параметр. Поскольку алгоритм гашения нутационных колебаний не затрагивает скорости вращения вокруг оси симметрии, кинетический момент в уравнениях (3.2.2) не мал и правые части не оказываются большими величинами (в этом случае переменные, не будут медленными). Заметим, что при выводе уравнений (3.2.2) не использовалось предположение малости угла. Предположим теперь, что в результате работы алгоритма гашения нутационных колебаний угол мал. Тогда уравнения (3.2.2) можно переписать так:

Если же в результате работы алгоритма гашения нутационных колебаний угол близок к, то необходимо проводить раскрутку в другую сторону, так как 3 0 0. В этом случае правые части уравнений (3.2.2) поменяют знак, первые два уравнения (3.2.3) останутся в силе. Уравнение для отделяется.

Разделив первое уравнение (3.2.3) на второе, получим откуда находим первый интеграл Заметим, что в случае 3 p 1 0 последнее дифференциальное уравнение легко интегрируется и дает l u, 0. Аналогично предыдущему разделу считаем, что 0, 2. Рассмотрим также два частных случая.

1. Если 0 близко к нулю, то на всем движении l 2 pu при наклонении орбиты более 46° и быстродействие алгоритма растет с увеличением наклонения орбиты.

2. Если 0 / 2, то аналогично l 1 p u и быстродействие алгоритма падает с увеличением наклонения орбиты.

Первый интеграл позволяет найти решение первых двух уравнений (3.2.3) в квадратурах, после чего третье уравнение также интегрируется.

Влияние 0 и i на быстродействие алгоритма раскрутки аналогично их влиянию на быстродействие алгоритма гашения нутаций (рис. 3.2.1).

Рис. 3.2.1. Увеличение кинетического момента в результате раскрутки спутника На рис. 3.2.1 представлено значение кинетического момента спутника через 5 витков при 0.1, 0 1. При небольших 0 увеличение наклонения приводит к увеличению быстродействия (частный случай 1), при 0, близких к 90, быстродействие падает с увеличением наклонения (частный случай 2).

Однако, при больших наклонениях орбиты низкое быстродействие наблюдается при большом отклонении вектора кинетического момента от требуемого направления в инерциальном пространстве. Поскольку в результате работы одного из алгоритмов грубой переориентации этот угол на самом деле мал, такой режим нереализуем. Напротив, в случае малого наклонения орбиты спутник попадает в область с низким быстродействием. При малых быстродействие растет с ростом наклонения орбиты.

производная имеет вид Поскольку угол близок к нулю, в ходе раскрутки экваториальная компонента скорости уменьшается. Заметим, что одновременно с алгоритмом раскрутки может работать алгоритм гашения нутационных колебаний.

3.3. Алгоритм точной переориентации Дипольный магнитный момент m x 0,0, m, создаваемый катушками, имеет вид где L L f L, L f – требуемое конечное значение кинетического момента (зачастую это – направление на Солнце [57]), k 4 – положительная размерная постоянная [23]. В данном случае спутник считается быстро вращающимся вокруг оси симметрии.

Динамику спутника опишем при помощи переменных БелецкогоЧерноусько. Для этого необходимо задать механический момент в системе OL1L2L3. Определим в этой системе все необходимые выражения. Требуемое значение кинетического момента L f QT L1, L2, L3, где компоненты Li задают конечное положение вектора кинетического момента в инерциальном пространстве; e3 L 0,0,1, так как спутник закручен вдоль оси симметрии, то есть A i C 3, ( i 1,2 ); L L L0 0,0, l, где L0 модуль кинетического момента в начальный момент времени, l безразмерный кинетический момент, определяемый по формуле L L0l ; B L B0 B1L, B2 L, B3L.

Поскольку спутник закручен вокруг оси симметрии и дипольный момент в практически тот же вид. Отсюда Проведя разделение переменных, запишем снова уравнения, описывающие эволюцию медленных переменных, в предположении слабого механического момента где – малый параметр. Уравнения (3.3.2) удается проинтегрировать, если L 1 L2 0, то есть ось симметрии спутника требуется выставить вдоль оси конуса осредненной модели геомагнитного поля. В этом случае уравнения принимают вид (тривиальные уравнения для l, и опускаем) где L3 sin 2, так как из первого уравнения (3.3.2) следует, что l 1.

Решение этого уравнения получается в виде конечной формулы где c0 tg различных наклонений орбиты в диапазоне от 0 до / 2.

Видно, что быстродействие алгоритма, то есть скорость переориентации спутника в необходимом направлении, возрастает с ростом наклонения орбиты.

Таким образом, угол стремится к нулю, что асимптотически соответствует требуемой ориентации L f 0,0, L3. График построен для 0.1.

sin 2 i, и тогда скорость изменения углов растет с увеличением наклонения, значит, и быстродействие алгоритма переориентации оси симметрии растет с увеличением наклонения.

В случае L2 0, L3 0 то есть когда требуемое направление совпадает с направлением в восходящий узел орбиты, удается найти первый интеграл системы (3.3.2). Разделим второе уравнение (3.3.2) на третье Для выбранного направления в инерциальном пространстве откуда, после интегрирования, имеем Окончательно получаем первый интеграл Наличие этого первого интеграла позволяет проинтегрировать систему (3.3.2). Обозначая f, I 0 1 I 0 ctg 2, из (3.3.2) получаем что совместно с (3.3.3) позволяет найти решение системы (3.3.2) в квадратурах.

Приведем здесь результаты численного моделирования динамики спутника с последовательным использованием трех рассмотренных алгоритмов.

Численное моделирование проводилось при учете влияния на спутник как магнитного, так и гравитационного моментов. Управление дипольным магнитным моментом катушек формировалось на основе моделирования показаний датчиков спутника, имеющих определенную погрешность. Вместо непрерывного закона управления током катушек использовался дискретный, который зачастую и реализуется на борту. То есть, вместо закона вида m использовался закон m0 sign m. При численном моделировании были приняты следующие предположения:

спутник оснащен магнитометром и солнечным датчиком. Максимальная ошибка определения направления на Солнце составляет 1°, ошибка определения 0.5;

тензор инерции спутника J diag 0.011,0.011,0.02 кг·м2;

дипольные моменты катушек, применяемых для гашения нутаций – 0. А·м2, для раскрутки – 0.1 А·м2, для ориентации оси симметрии – 0.8 А·м2, для гашения нутаций во время раскрутки – 0.2 А·м2;

требуемое положение оси симметрии в системе OaY1Y2Y3 – 1,1,0 ;

вектор начальной угловой скорости спутника имеет компоненты 0.1,0.1,0. наклонение орбиты – 60°;

модель геомагнитного поля – прямой диполь.

Рис. 3.3.2. Гашение нутационных колебаний Рис. 3.3.3. Раскрутка вокруг оси симметрии Рис. 3.3.4. Переориентация оси симметрии в инерциальном пространстве Результаты численного моделирования (три этапа движения представлены соответственно на рис. 3.3.2, рис. 3.3.3 и рис. 3.3.4) показывают, что при выбранных параметрах гашение нутационных колебаний происходит примерно за 1500с, раскрутка за 1000с и переориентация оси симметрии за 1000с.

Приведем результаты расчетов в теми же параметрами и начальными данными, но при наклонении орбиты 10.

Рис. 3.3.5. Гашение нутационных колебаний Рис. 3.3.6. Раскрутка вокруг оси симметрии Рис. 3.3.7. Переориентация оси симметрии в инерциальном пространстве Из рис. 3.3.5, рис. 3.3.6 и рис. 3.3.7) видно, что гашение нутационных колебаний происходит примерно за 5000с, раскрутка – практически полностью за 1000с, переориентация оси симметрии происходит очень медленно.

Результаты численного моделирования полностью согласуются со сделанными ранее выводами о том, что алгоритм раскрутки мало чувствителен к наклонению орбиты (хотя лучше работает на орбитах с высоким наклонением), алгоритм гашения нутационных колебаний имеет заметно большее переориентации практически не работает на приэкваториальных орбитах.

Исследование алгоритмов (3.1.1), (3.2.1) и (3.3.1) опубликовано в [58] и [59].

3.4. Первый алгоритм предварительной переориентации Обычно одноосная ориентация осуществляется последовательно. Вначале происходит гашение нутационных колебаний (при необходимости – гашение всех компонент угловой скорости), затем раскрутка спутника (если требуется) и только после этого – переориентация оси симметрии в инерциальном пространстве. Эта схема была рассмотрена в трех предыдущих разделах.

Теперь рассмотрим два алгоритма предварительной переориентации, которые могут использоваться сразу после отделения от ракеты-носителя [60]. Несмотря на то, что спутник еще не является быстро закрученным вокруг оси симметрии, их использование позволяет перевести ее в необходимое направление одновременно с гашением нутационных колебаний.

задаваемый соотношением [22] Как и при гашении нутационных колебаний, используется одна катушка, установленная на оси симметрии. Это позволяет сохранить неизменной скорость закрутки спутника вокруг этой оси. Анализ динамики спутника под управлением алгоритма (3.4.1) аналитически удается провести лишь для одного выделенного направления в инерциальном пространстве, L f Z 0, 0, 1. Это осредненной модели геомагнитного поля. В системе OL1L2L3 этот вектор имеет вид L f L q31, q32, q33. Вектор геомагнитной индукции – ось симметрии – e3L a31, a32, a33.

Введем вектор p B L f для упрощения записи. Тогда механический момент задается выражением M L k5 B02 p1B1Z a13a33 p3 B1Z a33 p2 B1Z a33a23 p2 B3Z a13a23 p3 B3Z a13a33 p1B3Z a13 (3.4.2) (3.4.2) только выражения aij akl содержат, тогда как выражения Bi B j содержат u. Таким образом, только aij akl должны быть усреднены по, а B33 cos2 q. После усреднения получаем уравнения где. Уравнения (3.4.3) сразу дают первый интеграл const (уравнение для далее не рассматриваем). Разделив первое уравнение (3.4.3) на последнее, получим, dl sin l cos Отсюда получаем первый интеграл I1 l, l cos, выражающий постоянство скорости закрутки вокруг оси симметрии. Таким образом, при использовании алгоритма (3.4.1) не возникает опасности гашения закрутки или, наоборот, ее возрастания выше необходимого значения. О нутационных колебаниях при этом ничего сказать нельзя и они требуют рассмотрения. Для того чтобы получить еще один первый интеграл, разделим второе уравнение в (3.4.3) на последнее, d cos sin cos В результате получаем Два первых интеграл дают решения уравнения (3.4.3) в квадратурах.

Уравнения (3.4.3) имеют два положения равновесия, 0, 0 или и / 2, 0 or, уравнение для величины кинетического момента / 2, 0, то есть угол стремится к нулю. Величина модуля экваториальной компоненты угловой скорости, так как полярная компонента сохраняется. Поведение угла может быть использовано для определения быстродействия алгоритма. Обратимся в виду дипольного магнитного момента (3.4.1). Действие МСО, реализующей такой момент, приводит спутник в одно из двух положений, определяемых выраженим e3 B 0, что соответствует ориентации оси симметрии по вектору индукции геомагнитного поля, или e3 B L f 0, что соответствует приведению оси симметрии в плоскость положения оси симметрии в плоскости ( B, L f ). В рассматриваемом случае вектор L f совпадает с осью конуса в осредненной модели геомагнитного поля.

Поскольку применение алгоритма (3.4.1), а также поскольку он используется при произвольной начальной скорости аппарата, сопровождается гашением нутационных колебаний. Подбирая токи в катушках так, чтобы гашение нутаций превалировало над «разбалтыванием», вызываемым алгоритмом (3.4.1), можно добиться выхода на требуемый режим ориентации, когда нутационные колебания малы, а ось симметрии близка к требуемому направлению.

Фактически, чтобы не допустить уменьшения быстродействия системы, алгоритм грубой переориентации должен реализовываться меньшими токами в катушках, так как главная задача на начальном этапе движения – обеспечение стабилизации собственным вращением. Применение алгоритма гашения нутационных колебаний приводит к совпадению кинетического момента и оси симметрии спутника. Поэтому совпадение вектора кинетического момента с осью конуса, что соответствует 0, означает совпадение оси симметрии аппарата с требуемым направлением. Таким образом, скорость уменьшения угла может рассматриваться как мера эффективности работы алгоритма.

На рис. 3.4.1 представлено влияние на быстродействие наклонения орбиты и угла 0.

Из рис. 3.4.1 видно, что повышение наклонения увеличивает быстродействие алгоритма. На околоэкваториальной орбите алгоритм практически не работает.

Рис. 3.4.1 также показывает, что чем меньше угол 0 (спутник “ближе” к состоянию вращения вокруг оси симметрии), тем лучше работает алгоритм.

Тем не менее, даже если спутник практически не имеет закрутки, но характеризуется значительными нутационными колебаниями, алгоритм позволяет «приблизить» аппарат к требуемой ориентации в случае не околоэкваториальной орбиты. На рис. 3.4.2 представлен график изменения угла для нескольких наклонений орбиты.

Рис. 3.4.2. Изменение угла при разных наклонениях Численное моделирование общего случая подтверждает справедливость сделанных выводов.

На рис. 3.4.3 и 3.4.4 представлены результаты численного моделирования совместной работы алгоритмов (3.4.1) и (3.1.1).

Рис. 3.4.3. Эволюция угла между осью симметрии спутника и требуемым Рис. 3.4.4. Гашение нутационных колебаний совместно с переориентацией При построении рис. 3.4.3 и рис. 3.4.4 использовалась модель IGRF (разложение потенциала поля в ряд Гаусса, эмпирические коэффициенты года на период 2010-2015), начальное отклонение от требуемой ориентации коэффициенты усиления k2 5 106 kg m2 / T 2 s, k5 106 kg m2 / T 2 s 2.

3.5. Второй алгоритм предварительной переориентации Раздел 3.3 содержит исследование динамики закрученного вокруг оси симметрии спутника под управлением МСО, реализующей дипольный момент В разделе 3.3 спутник считается быстро вращающимся вокруг оси симметрии.

Если кинетический момент спутника и его ось симметрии практически совпадают, (3.3.1) можно переписать так:

Принимая во внимание e3 e3 B 0, получаем закон управления (3.4.1).

Таким образом, для закрученного вокруг оси симметрии спутника оба алгоритма предварительной переориентации становятся идентичный алгоритму точной переориентации. Поэтому полученные для него результаты верны для любого алгоритма.

предварительной алгоритма переориентации, применяемого для произвольно вращающегося аппарата [61]. Дипольный момент третьей катушки задается выражением где Li – компоненты вектора требуемой ориентации оси симметрии в системе OL1L2L3. При этом снова рассматривается частный случай L f Z 0, 0, 1.

Механический момент, действующий на аппарат, задается выражением M k4 B0 L1 a23a33 B1B3 a33 B1B2 a13a33 B2 B3 a23a13B3 L3 1 a33a13B2 B1 a13B2 B3 a13a23B3B1 a33a23B Момент снова не зависит от. Усредняя aij akl по, а Bi B j – по u, получаем усредненные уравнения первых интегралов найти не удается. Тем не менее, уравнения (3.5.2) удобнее для численного решения, чем исходные уравнения, так как все переменные имеют скорость изменения одного порядка. Это значительно ускоряет численное моделирование, а первый интеграл может использоваться для контроля точности. Скорость уменьшения угла будем снова рассматривать как меру быстродействия алгоритма. Рис. 3.5.1 показывает падение величины этого угла для различных наклонений и начальных значений угла.

Время расчета и начальное значение угла те же, что были выбраны при анализе первого алгоритма грубой переориентации. Это позволяет сравнить их работу. Как видно из рис. 3.5.1, при 0 45 низкое наклонение орбиты предпочтительно. Все другие алгоритмы показывают большее быстродействие при высоких наклонениях, так что высокое быстродействие этого алгоритма на приэкваториальной орбите при значительной величине нутационных колебаний не представляет интереса. В случае высокого наклонения для работы алгоритма предпочтительна ситуация 0 45, при этом быстродействие оказывается выше, чем у первого алгоритма грубой переориентации. Поэтому если спутник изначально “далек” от вращающегося вокруг оси симметрии ( 0 45 ), желательно использовать алгоритм (3.4.1). По мере гашения нутационных колебаний следует переключиться на алгоритм (3.5.1).

В отличие от первого алгоритма грубой переориентации, алгоритм (3.5.1) приводит к гашению нутационных колебаний. Это отражено на рис. 3.5.2.

На рис. 3.5.2 представлена величина угла через 10 витков. Видно, что для высоких наклонений эффект гашения нутационных колебаний пренебрежимо мал. Гашение нутационных колебаний алгоритмом (3.5.1) следует принимать во внимание только на околоэкваториальных орбитах при большом угле между вектором кинетического момента и требуемым направлением в инерциальном пространстве. Этот выделенный случай обычно не представляет интереса, так как конечное положение вектора кинетического момента соответствует его совпадению с требуемым направлением в инерциальном пространстве. На основе рассмотренных алгоритмов можно предложить схему управления как для приэкваториальной орбиты, так и для орбиты с умеренным и высоким наклонением (Таблица 3.5.1).

Низкое наклонение Второй алгоритм предварительной переориентации + Умеренное, Первый алгоритм предварительной переориентации + высокое наклонение гашение нутационных колебаний гашение Рассмотренная схема переориентации спутника без начального гашения нутационных колебаний и закрутки опубликована в [62].

3.6. Численное моделирование Проведем численное моделирование, позволяющее сравнить работу стандартной (гашение нутационных колебаний – раскрутка – переориентация) и предложенной в работе (гашение нутационных колебаний и предварительная переориентация – раскрутка – переориентация) схемы переориентации, а также оценить достижимую точность ориентации. При моделировании учитывались следующие факторы.

Несимметричность тензора инерции. Использовался тензор 1.49 0.054 0. J 0.054 1. Относящийся к аппарату UniSat-5, разрабатываемому в GAUSS Srl. Чтобы подчеркнуть малый вклад недиагональности, тензор инерции можно переписать в виде где 0.01. Масса аппарата – около 30 кг.

Орбита спутника – эллиптическая (перицентр около 300 км, апоцентр – 450 км), наклонение – 50, модель геомагнитного поля – IGRF. В этом случае все возмущения создают механический момент примерно на порядок меньше, чем управляющий (дипольный момент катушек – 1 Ам2). Начальные данные:

угловые скорости 1 2 3 6 / с, требуемая скорость закрутки На рис. 3.5.3 и рис. 3.5.4 представлены результаты моделирования для стандартной и предложенной в работе схем управления.

Рис. 3.5.3. Стандартная схема переориентации Рис. 3.5.4. Схема переориентации с предварительным алгоритмом Из рис. 3.5.3 и рис. 3.5.4 видно, что в предложенной схеме переориентации время, требуемое для ее достижения с некоторой точностью, меньше, чем в стандартной схеме. После завершения работы алгоритмов гашения нутационных колебаний и раскрутки вокруг оси симметрии, начальная ошибка ориентации без предварительного успокоения составляет около 106, тогда как при использовании предварительного алгоритма переориентации эта ошибка составляет около 85. Фактически, на последнем этапе необходимо парировать меньшее рассогласование по углу ориентации, за счет чего возникает выигрыш в быстродействии всей схемы. Достижимая точность ориентации – несколько градусов.

Таким образом, получена зависимость быстродействия пяти алгоритмов ориентации спутника, стабилизируемого собственным вращением, от наклонения орбиты. В некоторых случаях может быть выгоднее иметь орбиту с низким наклонением. Однако, представляются предпочтительными орбиты с высоким наклонением, так как для них нет опасности необоснованно низкого быстродействия, а для части алгоритмов быстродействие заведомо выше, чем для орбит с низким наклонением. Показан выигрыш предложенной схемы управления по сравнению со стандартной.

Исследование алгоритмов (3.4.1) и (3.5.1) опубликовано в [62] и [63].

Глава 4. Трехосная магнитная ориентация спутника в инерциальном пространстве В главе рассматривается задача обеспечения трехосной ориентации спутника в инерциальном пространстве. Предложенный алгоритм планируется использовать на аппаратах «TabletSat».

4.1. Конструирование алгоритма ориентации неподвижной оси под действием механического момента. Поворот тела относительного некоторого заданного положения описывается углом, уравнения движения такого тела используем следующую цепь рассуждений. Используем невязку описывающую отклонение тела от требуемого положения и его скорость.

Будем искать управление, обеспечивающее стремление этой невязки к нулю, что будет соответствовать требуемой ориентации. Выделим в ней позиционную и дифференциальную части 2 и 1 и найдем их вариации:

Дифференциальная часть невязки может быть минимизирована, так как ее вариация содержит. Фактически, это означает, что ее величиной можно управлять. Для второй невязки это неверно. Поэтому выпишем разложение невязки в ряд по степеням приращения времени, Заметим теперь, что за счет минимизации невязки 1 первая вариация невязки 2 стремится к нулю, что позволяет переписать последнее выражение в виде Поэтому для учета второй части невязки приходится рассматривать ее вторую вариацию, Первое слагаемой второй невязки снова мало. В результате на поведение невязки 2 начиная с какого-то момента, когда уже мало, влияние оказывает в основном выражение sin, которым можно управлять:

В результате для минимизации невязки механический момент должен подбираться, исходя из одновременно выполняемых условий Момент выберем как сумму моментов, удовлетворяющих каждый одному из этих условий, где ka и k – положительные коэффициенты. Тогда уравнения движения принимают вид и представляют собой уравнения затухающих колебаний.

вращающегося вокруг центра масс. Для компонент невязки имеем Нетрудно показать, что Уравнения движения будем использовать в виде D DW, где Первая часть невязки снова оказывается управляемой. Для второй позиционной - части невязки, имеем выражение в виде 2 S t.

Вторая часть невязки не может быть минимизирована напрямую, однако мы можем воспользоваться рассуждениями, примененными для модельной задачи и считать, что за счет минимизации 1 угловая скорость падает, а потому следует рассмотреть вторую вариацию второй компоненты невязки, Снова отбрасываем слагаемое, содержащее угловую скорость, и для минимизации невязки получаем условия аналогичные (4.1.1). Опять обращаемся к возможности демпфирования угловой скорости и в механическом моменте M отбрасываем гироскопическую компоненту, опускаем также «весовую» матрицу J 1. Наконец, принимая во внимание, что M упр m B и делая циклическую перестановку в (4.1.4), получаем что приводит, по аналогии с модельной задачей, к дипольному управляющему моменту Отметим, что построение закона управления (4.1.5) имеет аналогии с построением ПД-регулятора. В этом случае управление можно построить следующим образом. Используем функцию кандидат в функцию Ляпунова Очевидно, положению равновесия соответствует 0, D diag (1,1,1), то есть совпадение осей инерциальной и связанной систем. Найдем производную этой функции Несложно видеть, что производная V в силу уравнений движения (4.1.3) имеет вид Потребуем отрицательность производной функции везде кроме положения равновесия, так как M гир 0. В результате получаем выражение для управляющего момента Выражение (4.1.7) имеет ту же структуру, что и (4.1.5), однако задает механический, а не дипольный момент. Стандартная схема получения дипольного момента на основе (4.1.7) – реализация только перпендикулярной локальному вектору геомагнитной индукции компоненты. То есть, вместо управляющего момента, определяемого выражением (4.1.7), используется момент где вектор геомагнитной индукции имеет единичную длину (направление вектора геомагнитной индукции). Подставляя дипольный момент (4.1.5) в выражение для производной кандидата в функцию Ляпунова, можно получить выражение которое можно использовать для определения, когда следует применять управление – второе слагаемое должно быть отрицательным. Численное моделирование, однако, показало, что при таком подходе не наблюдается выигрыша в быстродействии алгоритма по сравнению с его непрерывной реализацией, поэтому введение дополнительных условий в алгоритм управления представляется нецелесообразным.

Рассуждения, приведенные при выводе дипольного момента (4.1.5) и рассуждения, касающиеся аналогии такого управления с ПД-регулятором, не могут рассматриваться как строгое обоснование работоспособности алгоритма.

Покажем теперь, что предложенный закон управления, тем не менее, позволяет добиться трехосной ориентации спутника в инерциальном пространстве и найдем ограничения, позволяющие его реализовать.

4.2. Исследование переходных процессов Перейдем к аналитическому исследованию динамики спутника под управлением магнитной системы ориентации, реализующей закон управления (4.1.5). Получить аналитические результаты в общем случае движения аппарата представляется затруднительным, поэтому выделим несколько режимов движения и основных допущений, которые позволят получить представление о работе алгоритма (4.1.5) на всем цикле управления.

Во-первых, рассмотрим быстрое вращение аппарата. Перепишем закон управления (4.1.5) в виде где 0. Вектор геомагнитной индукции здесь и далее считаем единичным (его величина постоянна в рамках осредненной модели). Предположим теперь, что коэффициенты k и ka имеют один порядок (их безразмерное отношение имеет порядок единицы, размерность обоих коэффициентов Нм/Тл2). Вопрос наилучшего выбора этих коэффициентов будет рассмотрен далее. При таких предположениях при быстрых вращениях демпфирующая компонента момента превалирует над позиционной, так как 1. Момент тогда приближенно можно представить в виде Однако в этом случае имеем дело с движением аппарата под управлением известного алгоритма «-Bdot». Динамика спутника в этом случае и работа алгоритма были ранее рассмотрены во второй главе. Перейдем поэтому к следующему выделенному этапу движения аппарата.

Основываясь на результатах, полученных во второй главе, можно утверждать гашение угловой скорости аппарата до величины порядка орбитальной ( O 1 ). В этом случае пренебрегать позиционной частью механического момента будет некорректно. Поэтому рассмотрим движение спутника с законом управления (4.1.5), но будем предполагать, что создаваемый при этом механический момент мал в том смысле, что изменение кинетического момента (как величины, так и направления) за оборот спутника по орбите и оборот вокруг центра масс мало по сравнению с его значением. В этом случае можно провести рассуждения, аналогичные проведенным во второй главе.

Для исследования динамики спутника будем использовать уравнения Белецкого-Черноусько, а сам спутник будем считать осесимметричным. Для этого необходимо провести усреднение правой части уравнений вдоль порождающего решения. Чтобы получить усредненные уравнения, необходимо момент представляет собой сумму позиционной и демпфирующей компонент.

Результат осреднения демпфирующей компоненты был получен во второй главе. Покажем, что позиционная компонента не оказывает эволюционного влияния на демпфирование угловой скорости аппарата, то есть Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие Очевидно, S L AS x, причем матрица перехода между инерциальной и связанной системой задается выражением усреднению выражений вида aij akl по быстрым углам и. Для первой компоненты S L имеем S1L a11a12q31 a11a22q32 a11a32q33 a11a13q21 a11a23q22 a11a33q a12a13q11 a12a23q12 a12a33q13 a12a11q31 a12a21q32 a12a31q a13a11q21 a13a21q22 a13a31q23 a13a12q11 a13a22q12 a13a32q13.

Группируя члены при qij, получаем S1L q32 a11a22 a12a21 q33 a11a32 a12a31 q22 a13a21 a11a q23 a13a31 a11a33 q12 a12a23 a13a22 q13 a12a33 a13a32.

Учитывая выражения для aij (1.3.2) и для qij (1.3.1), после усреднения по выкладки нетрудно провести для S 2 L и S3L.

В результате получаем нулевое эволюционное влияние позиционной части демпфирование угловой скорости. Это позволяет перейти к следующему режиму движения спутника и исследованию устойчивости.

4.3. Исследование устойчивости В предыдущем разделе было показано, что закон управления (4.1.5) приводит к демпфированию угловой скорости спутника, при этом величина эго кинетического момента стремится к нулю по экспоненциальному закону [17], [51]. Коэффициенты k и ka теперь могут быть разного порядка, o 1, а спутник обладает трехосным тензором инерции. Запишем уравнения движения (1.3.6) в безразмерном виде, перейдя к дифференцированию по аргументу широты и безразмерному моменту, du cos где 1 – малый параметр. Для того чтобы сделать уравнения (4.3.1) удобными для анализа методами осреднения, приведем все переменные к одному порядку величины (углы имеют порядок единицы, тогда как угловые скорости малы), введя соотношение 2w, где 2 0. Далее, вводя вектор x,,, w1, w2, w3, запишем уравнения (4.3.1) в виде Здесь Предположим пока, что использовать для его анализа формальную процедуру усреднения по явно входящему аргументу широты [64]. Однако в силу того, что усредненные уравнения затем линеаризуются для исследования устойчивости, целесообразно сначала провести линеаризацию, и только потом проводить усреднение.

Линеаризованные уравнения движения имеют вид dw 2B1B2 2B1B3 2( B22 B32 ), 2B2 B3 2(B12 B22 ) 2B1B3, где k ka. Уравнения первого приближения имеют вид где p sin 2, q cos2. Решение уравнений (4.3.4) приводит по каждому углу к затухающим колебаниям. Таким образом, по каждому углу получаем линеаризованные уравнения модельной задачи (4.1.2). Из (4.3.4) видно, что если ka мало ( велико), то степень устойчивости уменьшается – один из Аналогично, если k мало ( мало), то степень устойчивости мала – оба корня близки к мнимой оси. Выпишем корни характеристического многочлена для всех трех уравнений, Введем параметры и новые коэффициенты усиления при помощи выражений Тогда, учитывая выражения для 1 и, корни характеристического многочлена можно записать в виде Выберем моменты инерции аппарата так, чтобы C B A. В этом случае 1 1. Рассмотрим далее три варианта.

I. 2 1 1. Этот случай имеет место для орбит с низким наклонением, когда q велико, а p мало. Коэффициенты усиления могут попасть в одну из трех областей.

1. 8Ka K. В этом случае все подкоренные выражения в (4.3.5) отрицательны и степень устойчивости определяется из выражения Отсюда в силу условия, задаваемого случаем I, получаем 2. 82 K a K. В этом случае все подкоренные выражения положительны и степень устойчивости определяется из выражения Можно показать, что 3. 8Ka K 82 Ka. В этом случае одно или два подкоренных выражения в (4.3.5) положительны, и степень устойчивости может быть равна либо 1, либо Однако, наибольший интерес представляет случай, когда 1 2, что дает или, возвращаясь к исходным обозначениям, На рис. 4.3.1 представлены изолинии значений степени устойчивости для аппарата с тензором инерции J diag 1,2,1.5 кгм2, находящегося на орбите наклонением 30 и высотой 350 км и парабола (4.3.6).

Рис. 4.3.1. Выбор оптимальных коэффициентов усиления.

Рис. 4.3.1 раскрывает смысл параболы (4.3.6) – она указывает на коэффициентов на параболе и задаваясь ограничением на величину дипольного момента катушек, можно определить степень устойчивости. Перейдем к рассмотрению других вариантов.

II. 1 2 1. В этом случае рассуждения, очевидно, принципиально не изменятся, оптимальная парабола задается выражением III. 1 1 2. Такое соотношение верно для орбит с высоким наклонением.

Проведем рассуждения, аналогичные варианту I.

1. 82 K a K. Все подкоренные выражения в (4.3.5) отрицательны, степень устойчивости 2. 81Ka K. В этом случае все подкоренные выражения положительны и степень устойчивости 3. 81Ka K 82 Ka. В этом случае одно или два подкоренных выражения в (4.3.5) положительны, и степень устойчивости может быть равна либо 1, либо 2. Оптимальная парабола задается выражением На рис. 4.3.2 представлены изолинии значений степени устойчивости для аппарата с тем же тензором инерции J diag 1,2,1.5 кгм2, но находящегося на орбите наклонением 70.

Рис. 4.3.2. Оптимальная парабола для орбиты с высоким наклонением.

Рис. 4.3.1 и рис. 4.3.2 схожи, из них видно, что на орбитах с высоким наклонением следует несколько увеличить долю демпфирующей компоненты в управлении. В целом, соотношения (4.3.6) и (4.3.8) позволяют в зависимости от тензора инерции аппарата и наклонения его орбиты выбирать оптимальные коэффициенты усиления.