«КОВАЛЕВ Роман Васильевич РАЗРАБОТКА И РЕАЛИЗАЦИЯ ЭФФЕКТИВНЫХ МЕТОДИК КОМПЬЮТЕРНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ И ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ХОДОВЫХ ЧАСТЕЙ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ ЭКИПАЖЕЙ Специальность 05.22.07 – Подвижной состав ...»

Этман (Etman), Ван Кампен (Van Campen) и Шуфс (Schoofs) в работе [75] (1998) показывают эффективность и надежность применения методов аппроксимации к задачам оптимизации и анализа чувствительности механических систем, приводится пример оптимизации параметров гасителя колебаний. Отмечается, что, несмотря на то, что данных подход широко применяется, например, в структурной оптимизации, он практически не используется для параметрической оптимизации механических систем. Оптимизация тридцати шести параметров подвески колес и двигателя автомобиля с целью уменьшения вибраций, передаваемых пассажирам, с помощью методов аппроксимации была выполнена в [77] (2000).

Ряд методов основан не на приближении поверхности отклика, а на приближении динамического поведения сложной модели более простыми. В работе [71] Бестле (Bestle) и Эберхард (Eberhard) (1996) описывают подход к многопараметрической многокритериальной оптимизации, основанный на упрощении расчетных схем и переходу от одной детализированной пространственной модели к нескольким более простым, когда отдельные группы параметров оптимизируются на отдельных моделях. В работе подчеркивается эффективность такого подхода и отмечается, что модель технической системы, предназначенная для оптимизации, не обязательно должна быть самой сложной, она должна быть приемлемой, с точки зрения сохранения основных моментов динамического поведения системы.

Бакр (Bakr) и др. в работе [68] (2001) предложили метод отображения пространств. Основная идея метода заключается в том, что для оптимизации системы создается две модели: полная модель и упрощенная. Предполагается, что полная модель достаточно точная, а упрощенная модель значительно менее требовательная к вычислительным ресурсам. Использование быстрой упрощенной модели позволяет получить предварительную информацию о поведении полной модели, которая в дальнейшем используется для финальной оптимизации. В работе также предлагаются методы коррекции результатов упрощенной модели по результатам полной модели.

Проф. В. Шилен (W. Schiehlen) в [96] опубликовал один из наиболее полных на сегодняшний день обзоров современного состояния исследований в области динамики систем тел и связанных областях, в том числе и оптимизации механических систем. Отмечены работы Грюбеля (Grbel), Бестле и Эберхарда [69, 70, 71]. В работе [69] Бестле и Эберхард предлагают новый "метод присоединенных переменных" для определения градиента целевой функции в задачах оптимизации механических систем, использующих для определения целевой функции методы моделирования динамики систем тел.

Работа [70] посвящена вопросам многокритериальной оптимизации и методам преобразования векторной целевой функции в скалярную с помощью, описанных в работе, принципов иерархизации и скаляризации. Хансен (Hansen) и Торторелли (Tortorelli) в [79] (1996) использовали такой подход для синтеза плоского механизма, имеющего до шести тел и пятнадцати параметров. В [78] Гонсалес (Goncalves) и Амброзио (Ambrosio) (2003) оптимизируют параметры подвески автомобиля с целью повышения плавности хода с учетом упругости кузова. Отметим, что в работе используется градиентный метод оптимизации, причем градиент целевой функции вычисляется методом конечных разностей.

Как уже отмечено в ряде работ, при оптимизации механических систем, в том числе железнодорожных экипажей, исследователь должен учитывать различные, зачастую конфликтующие, критерии. Таким образом, задача оптимизации является многокритериальной, а соответственно целевая функция – векторной. Как правило, компоненты этой векторной функции не имеют оптимума в одной и той же точке пространства параметров. И для нахождения оптимума необходимо выделить множество точек, удовлетворяющих некоторому условию оптимальности. Такие условия оптимальности были сформулированы Парето в 1906 г. Таким образом, для решения многокритериальной задачи необходимо определить множество Парето-оптимальных точек, из которых исследователь и должен выбрать решение. Как правило, такое решение является компромиссом между конфликтующими критериями. Здесь следует отметить, что полное множество Парето-оптимальных решений может быть построено только по результатам сканирования с анализом условий Парето-оптимальности в каждой точке, что, как показано выше, резко ограничивает применимость данного подхода к задачам большой размерности.

С другой стороны, векторную целевую функцию можно свести к скалярной (называемой обычно функцией полезности), что дает возможность применить к задаче методы нелинейного программирования. В [71] отмечается, что "стратегии, которые приводят векторную задачу оптимизации к задаче нелинейного программирования являются очень эффективными". Несколько таких стратегий рассмотрено в [69]. Подробный обзор современных методов решения задач многокритериальной оптимизации механических систем дан в работе [90] Марлера (Marler) и Ароры (2004).

Для дальнейшего рассмотрения методов многокритериальной оптимизации введем следующие обозначения:

Fi – целевая функция;

F – векторная целевая функция;

Fo – идеальная точка в пространстве критериев;

x – вектор значений параметров оптимизации;

X – пространство параметров;

U – функция полезности;

k – количество целевых функций в векторе F;

p – показатель степени.

Среди методов многокритериальной оптимизации в первую очередь выделяют методы с пред-, постопределением предпочтений и методы без определения предпочтений. Предпочтения, как правило, формулируются в терминах относительной важности достижения целей, входящих в векторную целевую функцию.

Рассмотрим методы с предопределением предпочтений. В [90] отмечается, что для получения функции полезности на практике наиболее часто используют метод взвешенной суммы Разными авторами предлагаются различные модификации этого метода направленные, в основном, на следующие аспекты:

иерархизацию – объединение отдельных целевых функций в группы с последующим назначением группе общего веса в функции полезности;

ранжирование и категоризацию, при которых вес отдельной целевой функции в общей функции полезности назначается не напрямую, а используя опосредованные категории, такие как высокая важность, средняя важность и т.д.

обоснование весовых коэффициентов [52].

Далее отметим минимаксную формулировку метода Чебышева, которая может быть представлена в следующем виде:

А также расширенный или модифицированный метод Чебышева:

Величину рекомендуется принимать в пределах от 0,0001 до 0,01.

Функция полезности также может быть сформулирована как взвешенное произведение:

К методам с предопределением предпочтений также можно отнести лексикографический метод, в котором отдельные функции цели упорядочены в соответствии с их важностью, а задача оптимизации формулируется следующим образом:

Индекс i здесь отражает желаемую последовательность целевых функций, F j ( x ) – оптимум j-ой целевой функции, найденный после j-ой итерации. Велиj чина j меняется на отрезке от 0 до 100 и определяет жесткость накладываемых ограничений: «На каждой следующей итерации не ухудшать j-ую целевую функцию больше, чем на j процентов».

Метод физического программирования дополнительно вводит в рассмотрение некоторую так называемую функцию класса Fc таким образом, что каждый элемент векторный целевой функции F равен Fc(Fi). Эти функции могут быть возрастающие, убывающие, унимодальные и т.д. и позволяют исследователю более четко выразить свои предпочтения.

Доказано, что все рассмотренные выше методы обеспечивают необходимые и достаточные условия Парето-оптимальности [90].

Рассмотрим методы без определения предпочтений. Здесь можно выделить следующие методы.

Метод идеальной точки. Определяется некоторая идеальная точка в пространстве критериев. В процессе оптимизации минимизируется расстояние до идеальной точки, нормированное на значения критериев в идеальной точке.

Существует модификация метода с использованием негативного идеала и максимизацией расстояния до него.

Минимаксный метод формулирует задачу оптимизации в следующем виде:

Рассмотрим методы с постопределением предпочтений. В ряде случаев установление относительной важности критериев может оказаться затруднительным. В таких случаях окончательный выбор следует делать, основываясь на анализе множества Парето-оптимальных точек. Эти методы не требуют от лица, принимающего решение (ЛПР), сравнительной оценки важности достижения той или иной цели, ЛПР рассматривает только различные варианты из найденного множества Парето-оптимальных решений. Перед запуском метода ЛПР должен указать, как много Парето-оптимальных точек должно содержаться в рассматриваемом множестве. Здесь должен быть компромисс между вычислительными затратами и адекватным отражением всего множества Паретооптимальных точек. Методы с постопределением предпочтений направлены в первую очередь на эффективное формирование подмножества Паретооптимальных точек. Подробный обзор этих методов опубликован в [90].

В работе Саати (Saaty) [52] подробно изложены теоретические и прикладные аспекты метода анализа иерархий (МАИ) (1976). Этот метод позволяет объединить критерии в многоуровневую иерархию и, таким образом, построить скалярную целевую функцию. В одной из первых отечественных работ, посвященных МАИ, Симонов В.А. в [54] применил МАИ к обоснованию выбора оптимальных технических решений в задачах проектирования подвижного состава. В работах Андрейчикова А.В. [4] рассмотрены вопросы применения МАИ к выбору оптимального решения в технике. На наш взгляд МАИ имеет ряд преимуществ перед другими методами формирования скалярной целевой функции.

Во-первых, это использование иерархического принципа формирования главной цели, что дает возможность экспертам и лицам, принимающим решения, достаточно полно выразить свои представления о критериях качества и взаимосвязи между ними. Во-вторых, это обоснование ключевой процедуры назначения весов подцелей относительно цели верхнего уровня при помощи матрицы попарных сравнений. МАИ также предоставляет способы проверки непротиворечивости экспертных оценок. Метод анализа иерархий продолжает достаточно активно развиваться в работах отечественных и зарубежных ученых [1, 4, 46, 52, 54]. Проблемы построения целевой функции для оптимизации ходовой динамики железнодорожных экипажей обсуждаются также в работах [23, 24, 35].

1.3. Анализ программного обеспечения для моделирования динамики подвижного состава С начала 70-х годов прошлого века ведутся исследования в области численного моделирования динамики подвижного состава и моделирование сил, возникающих в контакте колесо-рельс. Для этих целей были разработаны такие программные продукты как Vampire (Британские железные дороги), Medyna (Германское авиационное и космическое агентство), Nucars (США) и др. Эти программные комплексы в высокой степени специализированы и оптимизированы с точки зрения минимизации вычислительных затрат при моделировании.

Среди недавних разработок можно отметить программный комплекс Gensys, который вышел в свет в 1999 г. Программы для моделирования динамики механических систем общего назначения (такие как Adams, Simpack, Dads) с недавнего времени также стали включать в себя специализированные модули, ориентированные на расчет динамики железнодорожных экипажей. Adams, Gensys, Nucars, Simpack, Medyna и Vampire были протестированы при помощи тестов, разработанных в Манчестерском университете [82].

Adams появился в начале 70-х и был одним из первых коммерческих программных комплексов для моделирования динамики систем тел. Один из первых материалов на русском языке, касающийся использования Adams для моделирования железнодорожных экипажей был опубликован в еще 1987 г. [11].

В начале своего развития Adams был во многом ориентирован на решение задач линейного анализа. В начале 90-х в результате кооперации разработчиков Adams и железных дорог Нидерландов был разработан специализированный программный комплекс Adams/Rail. Adams/Rail обеспечивает несколько уровней моделирования взаимодействия колесо-рельс, начиная от линейной модели без учета реальных профилей колес и рельсов, до использования нелинейной теории контакта качения. Adams/Rail имеет открытую архитектуру, что позволяет учесть специфические нужды различных пользователей. Для работы в Adams/Rail требуется наличие основных модулей Adams.

A’GEM был разработан на кафедре машиностроения университета г. Кингстона, Канада. Модели железнодорожных экипажей создаются в нем при помощи графического интерфейса AutoCad. Существующая версия работает только под управлением DOS. Функции постпроцессора позволяют проводить исследования во временной и частотной областях, контролировать обезгрузку колес, устойчивость, плавность хода. Отмечается удобный графический интерфейс и широкие возможности анимационного представления результатов решения.

Medyna – интегрированный программный комплекс, включающий множество разнообразных возможностей. Как и ряд других программ, Medyna использует подходы динамики систем тел для автоматического вывода уравнений движения. Для моделирования движения железнодорожного экипажа в кривых вводится подвижная система координат (СК). Абсолютное перемещение экипажа складывается из малых перемещений относительно подвижной СК, связанной с экипажем, и больших перемещений подвижной неинерциальной СК относительно глобальной инерциальной СК. Особое внимание разработчики Medyna уделили моделированию взаимодействия в контакте колесо-рельс.

Предлагаются квазилинейная и нелинейная модели контактных сил. Отметим успешный отечественный опыт использования Medyna: эту программу применял коллектив под руководством Ю.П. Бороненко для решения ряда прикладных задач, в том числе оценки динамических характеристик скоростного поезда «Сокол» [72].

Nucars – программный комплекс для моделирования динамики в режиме тяги и выбега. Позволяет исследовать вход в кривую, установившееся движение в кривой, формы и частоты колебаний. Усовершенствования последних лет превратили программу в мощный универсальный инструмент анализа динамики механических систем. Разработчиками опубликованы тестовые расчеты ряда железнодорожных экипажей. В последние версии добавлен автоматический расчет двухточечного контакта и обнаружение схода. Уточнена модель сил контакта, с точки зрения расчета всползания колеса на рельс.

Программный комплекс Vampire – разработка исследовательской группы Британских железных дорог – имеет двадцатипятилетнюю историю развития. С его помощью исследовано значительное число пассажирских вагонов. Однако Vampire не имеет возможности моделировать клиновые гасители, что не позволяет моделировать широко распространенные в США, Австралии, Южной Африке и России грузовые трехэлементные тележки. Вместе с тем Vampire является мировым лидером по числу используемых рабочих мест. Компания Transportation Technology Center, Inc провела исследования динамики типового европейского пассажирского вагона при помощи Vampire и Nucars. Оба программных комплекса показали одинаковые результаты.

Наряду с ADAMS/Rail, Medyna, ПК Универсальный механизм, ПК Omnisim дает возможность вводить в модель не только абсолютно твердые, но и упругие тела, то есть формировать гибридные модели железнодорожных экипажей. Применение Omnisim к оценке безопасности движения железнодорожных экипажей подробно рассмотрено в [93].

Из отечественных разработок ПО в области моделирования динамики железнодорожных экипажей можно выделить программные комплексы "Универсальный механизм" и "Дионис".

ПК "Универсальный механизм", разрабатывается с конца 80-х годов в Брянском государственном техническом университете под руководством проф. Д.Ю. Погорелова [43, 44]. Первоначально создавался как универсальный инструмент анализа кинематики и динамики механических систем. Позднее был дополнен специализированным железнодорожным модулем, включающим в себя четыре модели контактных сил, а также ряд специализированных инструментов для формирования макрогеометрии пути, профилей колес и рельсов, неровностей путевой структуры и т.д. В последней версии программы уравнения движения железнодорожных экипажей (ЖЭ) строятся в геометрически нелинейной постановке, то есть не производится линеаризация кинематических соотношений, при которой синусы малых углов заменяются углами, а косинусы – единицами. Это позволяет построить более универсальные и строгие модели контакта, чем при формировании геометрически линейных уравнений, описывать движение относительно инерциальной системы координат при движении в кривых и, следовательно, моделировать сцепы вагонов и составы. Рельс является безынерционным силовым элементом, определение положения которого относительно колеса в каждый момент времени, а также решение нормальной задачи контакта опираются на решения нелинейных уравнений равновесия рельса. Данная модель рельса позволяет реализовать одноточечный режим контакта, при котором контакт между колесом и рельсом при произвольных относительных смещениях происходит в одной точке; двухточечный режим контакта (биконтакт), при котором смещение колеса в поперечном направлении вызывает взаимодействие в двух точках: на поверхности катания и на боковой поверхности (гребневой контакт); режим отрыва колеса, при котором контактное взаимодействие отсутствует; режим всползания при биконтакте, когда двухточечный контакт переходит в одноточечный между гребнем колеса и рельсом за счет всползания колеса на рельс. При помощи ПК "Универсальный механизм" проводились исследования всего спектра железнодорожных экипажей: тепловозов, электровозов, грузовых и пассажирских вагонов и специализированных путевых машин [20, 36, 37, 45].

ПК "Дионис" разработан на каф. "Вагоны и вагонное хозяйство" МГУПС (МИИТ) усилиями Г.И. Петрова, В.Д. Хусидова и других. "Дионис" состоит из нескольких независимых между собой вычислительных и функциональных блоков, которые взаимодействуют под управлением главной программы. Для определения сил контактных сил между колесом и рельсом используется гипотеза о характере качения колесной пары, выдвинутая Н.Е. Жуковским. Здесь, во-первых, отметим, что в настоящее время стандартом для подобных программных комплексов де-факто стало использование более современной модели контактных сил Калкера, и в частности алгоритма FastSim [86]. Во-вторых, в отличие от других современных программных комплексов "Дионис" не обладает модулем автоматического синтеза уравнений движения, а включает только модуль численного интегрирования полученных вручную уравнений движения и постпроцессор, что существенно замедляет разработку и отладку математических моделей новых железнодорожных экипажей. Подробный обзор возможностей ПК "Дионис" дан в [41].

Среди отечественных программных комплексов для моделирования динамики железнодорожных экипажей отметим также ПК, созданные А.А. Зарифьяном [6] и Г.А. Бузало [9]. Данные разработки успешно применяются для выполнения прикладных исследований, однако не получили заметного распространения.

В 1998 г. был опубликован Манчестерский тест для моделирования железнодорожных экипажей [82]. Данный тест создавался для того, чтобы сравнить результаты моделирования некоторых тестовых моделей различными программными комплексами, сравнить эффективность применения различных подходов и, тем самым, дать инженерам и исследователям объективные данные для выбора наиболее подходящего для их целей ПК. Для проведения тестов выбраны упрощенные модели типичных железнодорожных экипажей, и некоторые типичные случаи макрогеометрии пути. К настоящему времени результаты опубликованы для следующих ПК: Adams-Rail, Medyna, Nucars, Vampire, Simpack, Gensys и Универсальный механизм.

Рассмотрим ключевые моменты, характеризующие современные ПК моделирования динамики железнодорожных экипажей и перспективы их развития. Во-первых, отметим, что практически все рассмотренные ПК базируются на подходах динамики систем тел и обладают следующими компонентами: препроцессор, предназначенный для полного описания структуры объекта; синтезатор уравнений движения в численном или символьном виде; модуль численного интегрирования уравнений движения объекта и постпроцессор, предназначенный для вывода полученного решения в виде анимации, графиков и таблиц, и, как правило, включающий дополнительный инструменты для прикладных исследований (например, параметрическую оптимизацию). Во-вторых, отметим широко распространенный подход, который заключается в том, что уравнения движения экипажа выводятся для неинерциальной системы координат, которая движется вдоль оси пути. А при рассмотрении абсолютного движения к объекту добавляются силы инерции. В-третьих, отметим, что большинство рассмотренных ПК используют модели контактных сил, основанные на понятиях крипа и сил крипа, в том числе алгоритм FastSim Калкера [86] и модель Шена, Хэдрика и Элкинса [100].

Отметим основные тенденции развития ПК моделирования динамики железнодорожных экипажей. Это, во-первых, естественное движение в сторону уточнения, детализации и расширения расчетных схем: моделирование клиновых гасителей трехэлементных тележек и других пар трения с использованием общего подхода к моделированию контактного взаимодействия [45], моделирование нелинейных пружин, демпферов, резиновых прокладок; моделирование электромеханической системы электровозов в работах Ю.А. Бахвалова, А.А. Зарифьяна, В.Н. Кашникова, П.Г. Колпахчьяна [6].

Во-вторых, отметим следующую тенденцию. В последние годы развитие программных комплексов, накопленный опыт в моделировании динамики железнодорожных экипажей и рост вычислительной мощности персональных компьютеров сделало возможным решение прикладных задач моделирования динамики сцепов (поездов). Моделирование сцепов позволяет более детально рассмотреть взаимодействие вагонов в составе поезда, их продольную динамику при различных условиях движения, макрогеометрии и неровностях пути, параметрах подвижного состава. Эта возможность позволяет исследователям глубже проникнуть в причины, влияющие на сход вагонов с рельсов.

Далее отметим тенденцию применения гибридных расчетных схем в рамках моделирования железнодорожных экипажей, что позволяет провести исследование динамики механической системы с учетом упругости отдельных ее частей. Этому, в частности, посвящены работы [5, 26, 38, 67, 74, 78]. Представление упругих частей конструкций строится, как правило, на основе использования метода конечных элементов. Применение гибридных моделей целесообразно, например, для длиннобазных экипажей, где низшие собственные частоты упругой рамы и твердотельной части оказываются сопоставимыми, а также для исследования плавности хода с учетом вибрационных воздействий от неровностей пути и привода при движении.

Отметим также тенденцию интеграции программных средств моделирования динамики механических систем и оптимизации, что дает исследователю мощные инструменты для более полного и быстрого анализа динамических показателей механических систем, анализа чувствительности, устойчивости и поиска оптимальных значений параметров системы. В качестве примера можно привести решения на базе MathLab/Simulink, Adams/modeFrontier, Simpack. Рассмотренные выше отечественные и многие зарубежные программные комплексы пока не оснащены средствами оптимизации. Так в [75] (1998) отмечается, что «многие пакеты, однако, не имеют в своем составе средств параметрической оптимизации. И для обеспечения возможностей оптимизации должны быть расширены за счет реализации подходящих стратегий оптимизации»1.

Выполненный анализ исследований показал следующее:

к настоящему времени получили достаточное развитие программные комплексы моделирования динамики подвижного состава;

достаточно подробно изучены и широко применяются в задачах оптимизации механических систем методы нелинейного программирования;

Здесь и далее перевод автора отечественные программные комплексы нуждаются в оснащении современными средствами решения задач оптимизации;

в последние десятилетия разработаны и получили практическое применение новые подходы к оптимизации, основанные на: методе нечетких множеств, методе анализа иерархий, генетических алгоритмах и т.д.

указанные методы не достаточно широко разработаны применительно к решению задач оптимизации подвижного состава.

1.3. Постановка задач исследований В настоящее время перед отечественными железными дорогами стоит задача обновления парка подвижного состава и разработки новых вагонов и локомотивов с улучшенными динамическими характеристиками. Задача разработки подвижного состава нового поколения требует широкого применения современных подходов к проектированию, основанных на использовании вычислительной техники.

Отечественный программный комплекс "Универсальный механизм", разработанный под руководством проф. Д.Ю. Погорелова, признан специалистами как надежный и эффективный инструмент моделирования механических систем. Можно отметить значительное число работ посвященных исследованиям и оптимизации динамических качеств железнодорожных экипажей, которые были выполнены с применением этого программного комплекса [14, 19, 20, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 36, 37, 42, 44, 45, 66]. С целью повышения эффективности применения программного комплекса "Универсальный механизм" в задачах проектирования нового и модернизации существующего подвижного состава необходимо оснастить его средствами, позволяющими решать задачи оптимизации.

Как показывает опыт работы с программными комплексами такого рода, требуется критический подход и совершенствование критериев оценки динамических качеств железнодорожных экипажей.

Целью настоящей работы является разработка методик и программных средств оптимизации параметров ходовых частей подвижного состава по динамическим критериям и их применение для решения конкретных задач оптимизации подвижного состава.

Таким образом, для достижения поставленной цели, на наш взгляд, необходимо:

выполнить анализ существующих критериев оценки динамических качеств, с целью упорядочения их структуры и дополнения их перечня;

разработать в рамках классических подходов нелинейного программирования и многокритериальной оптимизации методики применительно к решению задач подвижного состава;

разработать специализированный модуль оптимизации подвижного состава в рамках программного комплекса "Универсальный механизм";

разработать компьютерные модели железнодорожных экипажей в рамках программного комплекса "Универсальный механизм";

решить задачи оптимизации параметров ходовых частей железнодорожных экипажей на основе разработанного модуля и компьютерных выполнить их сравнение с данными натурных испытаний подвижного состава для оценки достоверности полученных результатов.

2. ОПИСАНИЕ ПРИМЕНЯЕМЫХ АЛГОРИТМОВ,

МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И ИХ

ПРОГРАММНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ

Рис. 2.1. Схема параметрической оптимизации компьютерной модели Разработанный модуль включает в себя следующие основные компоненты:

инструмент для сканирования пространства параметров (далее сканирование);

инструмент для оптимизации целевой функции при помощи одной из реализованных стратегий оптимизации: методов Хука-Дживса, Нелдера-Мида, метода комплексов и др. (далее оптимизация);

инструмент для построения поверхности отклика, основанный на использовании теории планирования экспериментов и квадратической аппроксимации (далее аппроксимация);

вспомогательный инструмент для описания целевой функции и поддержки принятия решений, на базе метода анализа иерархий Т. Саати;

службу поддержки распределенных вычислений1.

Основная идея модуля заключается в том, чтобы освободить исследователей от проведения рутинных процедур оптимизации «вручную» и повысить надежность и качество проводимых исследований. Каждый из реализованных инструментов имеет свои преимущества и недостатки, и, соответственно, является более или менее эффективным для решения каждой конкретной задачи.

Все перечисленные инструменты не имеют ограничений по числу исследуемых параметров, т.е. являются многопараметрическими. Размерность определяется только содержанием каждого конкретного исследования с одной стороны и, конечно, затратами машинного времени с другой. Поддержка многокритериальной оптимизации основана на использовании МАИ. Эти инструменты вместе с использованием МАИ и службы распределенных вычислений являются, на наш взгляд, достаточно мощным средством многопараметрической многокритериальной оптимизации.

При работе с программой исследователь описывает план проведения численных экспериментов для сканирования и аппроксимации или параметры, пределы их изменения, точность и целевую функцию для оптимизации. Затем Реализация службы распределенных вычислений выполнена инж. Николаевым Р.Е., ее интеграция в состав модуля параметрической оптимизации ПК УМ выполнена автором запускает расчеты в автоматическом режиме. Ход вычислений протоколируется, а результаты расчетов сохраняются на жесткий диск для последующей обработки. В процессе расчетов доступна текущая статистика: число выполненных экспериментов, время выполнения каждого эксперимента, прогноз времени, необходимого для завершения всех расчетов.

Специальное расширение модуля – служба распределенных вычислений – позволяет использовать всю вычислительную мощность доступных в сети компьютеров для проведения параллельных численных экспериментов, что соответствующим образом сокращает время выполнения всех расчетов1. Инструмент удобно использовать в рамках вычислительных центров и лабораторий.

Базируясь на использовании протокола TCP/IP, сервер распределенных вычислений дает возможность задействовать в проведении расчетов любой компьютер не только в локальной сети, но также и в корпоративной сети или в сети Интернет.

В составе ПК «Универсальный механизм» модуль параметрической оптимизации получил распространение среди инженеров-исследователей, занимающихся проблемами динамики железнодорожных экипажей, и активно используется для проведения прикладных исследовании в следующих ВУЗах, НИИ и предприятиях:

Силезский политехнический университет, Катовице, Польша;

ФГУП ПО Уралвагонзавод, [27];

Моделирование динамики железнодорожного экипажа на пути 500 м в ПК УМ на компьютере с процессором Intel Pentium 4, 2ГГц занимает, как правило, от двух до десяти минут реального времени. Время расчета существенно зависит от целого ряда параметров: числа степеней свободы модели, наличия жестких сил, точности решения, скорости движения экипажа и т.д. Таким образом, на подобном компьютере в сутки можно выполнить примерно триста численных экспериментов 2.2. Сканирование пространства параметров Сканирование пространства параметров – это простой и надежный метод, дающий достаточно полное представление о целевой функции, а также позволяющий отыскать глобальный оптимум. С другой стороны, сканирование – практически незаменимый этап при анализе свойств механических систем с использованием численного моделирования. Однако практическое использование сканирования для решения задач оптимизации железнодорожных экипажей ограничено задачами размерности 4–5 из-за «проклятия размерности». Число экспериментов вычисляется как N = m k, где k – размерность задачи, m – число уровней, на которых варьируется каждый параметр.

Отметим основные особенности программной реализации данного инструмента. В одном проекте сканирования исследователь может объединять произвольное число моделей (см. рис. 2.2, список Семейства альтернатив). Множество альтернатив – точек в пространстве параметров – генерируется автоматически как полное пересечение всех уровней варьирования для каждого исследуемого параметра (см. рис. 2.2, закладка Иерархия параметров). Для каждого семейства альтернатив задаются: параметры модели (инерционные параметры, параметры жесткости и демпфирования), железнодорожных параметры (профили колес и рельсов, неровности пути, параметры макрогеометрии), начальные условия, список динамических переменных моделей для сохранения в процессе расчетов, условия завершения численных экспериментов и параметры численного метода интегрирования уравнений движения.

Рассмотрим также понятие внешних условий. Очевидно, что для более полного изучения свойств модели желательно рассматривать ее поведение на всем множестве реальных условий функционирования: движение в прямых и кривых участках пути, с различными профилями колес и рельсов (новыми и изношенными), скоростями и т.д. Полное пересечение этих условий функционирования дает нам совокупность численных экспериментов, которые будут поставлены для одной альтернативы. Использование понятия внешних условий позволяет явно выделить оптимизируемые параметры и альтернативы для их последующего анализа при помощи МАИ (см. п. 2.5).

Список динамических переменных моделей может включать весь спектр доступных характеристик: координаты, скорости, ускорения любой точки; компоненты и главные векторы сил в контакте колесо-рельс; кинематические характеристики контакта (крипы, угол набегания, положения колеса относительно рельса); усилия в элементах подвески и т.д. Условия завершения численных экспериментов формулируются в виде:

Практика моделирования показывает, что при проведении прикладных исследований список переменных насчитывает десятки и даже сотни различных динамических характеристик моделей в качестве переменной выступает время или динамическая характеристика из списка переменных.

После выполнения всех экспериментов проекта их результаты доступны для анализа (см. рис. 2.3). Можно построить как непосредственно осциллограммы всех сохраненных величин для любой альтернативы, так и выполнить их обработку: построить сводные графики (например, см. рис. 2.11) и поверхности, а также, при необходимости, графики и поверхности для критериев метода анализа иерархий (например, см. рис. 3.13). Графики и поверхности доступны для экспорта в табличный процессор Microsoft Excel в виде диаграмм1.

Реализация процедур экспорта в Microsoft Excel принадлежит В.Н. Языкову 2.3. Использование методов нелинейного программирования Задачу оптимизации на временном интервале t [t 0, t1 ] можно сформулировать следующим образом: найти такое множество параметров оптимизации x*, которое минимизирует (максимизирует) целевую функцию с учетом ограничений внутри пространства параметров Приведенная выше формулировка покрывает множество различных типов оптимизации, которые возникают в рамках исследования динамики механических систем. Целевая функция (1) часто выражается в виде максимальных или интегральных характеристик.

В данном параграфе рассмотрены некоторые наиболее эффективные алгоритмы нелинейного программирования и особенности их реализации в модуле оптимизации ПК УМ. Рассматриваются методы и алгоритмы, позволяющие на итерационной основе получать оценки x* – вектора переменных, которому соответствует оптимальное значение целевой функции F(x). Указанные методы применимы к решению как задач минимизации, так и максимизации.

Методы, ориентированные на решение задач оптимизации, можно разделить на следующие классы: методы прямого поиска, основанные на вычислении только значений целевой функции; градиентные методы, в которых используются значения первых производных F(x); методы второго порядка, в которых наряду с первыми производными используются также вторые производные функции F(x). В приложении указанных методов к оптимизации динамики железнодорожных экипажей практически невозможно получить аналитическое выражение для производных целевой функции. Поэтому при использовании градиентных методов производные вычисляются при помощи конечных разностей, что приводит к росту числа численных экспериментов, но в конечном итоге градиентные методы могут быть эффективнее методов прямого поиска, особенно для задач большой размерности.

С одной стороны, методы нелинейного программирования предполагают формирование скалярной целевой функции. С другой стороны, оптимизация по многим критериям предполагает формирование векторной целевой функции, что в рамках методов нелинейного программирования требует специальных алгоритмов для преобразования векторной целевой функции в скалярную. Одним из таким методов является МАИ (подробнее см. п. 2.5). Его реализация в рамках модуля дает возможность применять методы нелинейного программирования к задачам многокритериальной оптимизации.

Рассмотрим основные положения реализованных методов нулевого порядка. Отметим, что критерием остановки методов является выполнение следующих условий: изменения значений целевой функции на двух последовательных итерациях не станут меньше некоторой величины и/или отклонения в координатах точек не станут меньше заданной для каждого параметра точности. Отметим также, что рассмотренные в данном параграфе методы реализованы согласно их описанию, данному в [47, 49].

Метод Нелдера-Мида. В [49] утверждается, что этот метод отличается высокой надежностью и является «наиболее эффективным из всех известных методов последовательной оптимизации». Является модификацией метода регулярного симплекса, преодолевающей ряд недостатков последнего. Алгоритм начинается с построения исходного регулярного симплекса. Регулярный симплекс в N-мерном пространстве представляет собой многогранник, образованный N+1 равностоящими друг от друга точками-вершинами. Например, в случае двух переменных симплексом является равносторонний треугольник. Далее по некоторым условиям выбирается одна из операций – отражение, растяжение или сжатие с коэффициентами,, соответственно. Итерации продолжаются до тех пор, пока не выполнится одно из условий завершения. Дополнительные исследования показали, что с точки зрения скорости сходимости метода целесообразно устанавливать значения параметров (,, ) = (2; 0,25; 2,5) [49], которые и приняты в ПК УМ.

Метод Хука-Дживса один из методов нулевого порядка, в которых при определении нового направления поиска учитывается информация, полученная на предыдущих итерациях. Процедура представляет собой комбинацию исследующего поиска и ускоряющегося поиска по образцу. Существуют эффективные варианты метода для использования в задачах с ограничениями, которые, однако, могут заканчивать работу преждевременно. Метод характеризуется несложной стратегией поиска и получил широкое распространение.

Метод Пауэлла является одним из самых эффективных методов прямого поиска. Метод ориентирован на решение задач с квадратичными целевыми функциями и основывается на фундаментальных теоретических результатах.

Реализуется как последовательность одномерных поисков вдоль главных осей квадратичной формы. Для одномерного поиска может применяться любой метод одномерной оптимизации, например, метод золотого сечения. Результаты вычислительных экспериментов позволяют утверждать, что метод Пауэлла отличается по меньшей мере столь же высокой надежностью, как и другие методы прямого поиска, и в ряде случаев является значительно более эффективным.

Поэтому проблема выбора алгоритма прямого поиска часто разрешается в пользу метода Пауэлла.

Перейдем к рассмотрению методов первого порядка. Как уже отмечалось ранее, метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла «в течение ряда лет метод продолжает оставаться наиболее широко используемым градиентным методом. Он отличается устойчивостью и успешно применяется при решении самых различных задач, возникающих на практике» [49]. В [47] также отмечено, что «указанный алгоритм … весьма популярен и обладает свойствами хорошей вычислительной устойчивости». Таким образом, следуя рекомендациям, изложенным в [47, 49], в ПК УМ был реализован один из самых эффективных методов первого порядка – метод ДФП. Метод является алгоритмом с переменной метрикой и относится к классу методов сопряженных градиентов [47]. В данной реализации метода используется вычисление градиента функции на основе конечных разностей.

2.4. Аппроксимация поверхности отклика Отметим основные проблемы, возникающие при использовании вышеописанных инструментов оптимизации. Сканирование, давая полную информацию о поверхности отклика, требует больших вычислительных затрат, особенно в случае задач большой размерности. С другой стороны оптимизация, позволяя решать задачи бльшей размерности и отыскивать оптимум целевой функции, не дает никакой целостной информации о поверхности отклика, кроме значений целевой функции в отдельных точках. Для того, чтобы преодолеть указанные недостатки сканирования и оптимизации в рамках модуля оптимизации ПК УМ был разработан инструмент, основанный на идеях теории планирования экспериментов. Основное достоинство этого инструмента состоит в том, что при относительно низких вычислительных затратах на проведение численных экспериментов он позволяет получить поверхности отклика как функцию параметров (другими словами интерполяционную модель), что очень важно для изучения механической системы и понимания путей ее оптимизации.

В случае если «возникает задача построения интерполяционной модели … нас не интересует оптимум. Просто мы хотим предсказывать результат с требуемой точностью во всех точках некоторой заранее заданной области. Тут … необходимо последовательно увеличивать степень полинома до тех пор, пока модель не окажется адекватной» [2]. Как уже отмечалось, в качестве аппроксимирующих функций, как правило, выбираются модели первого или второго порядка. Как показал предварительный анализ, поверхности отклика в задачах моделирования динамики железнодорожных экипажей не могут быть удовлетворительно описаны при помощи линейных функций (см. рис. 2.11, 3.13, 3.15), поэтому при разработке данного инструмента были реализованы методы второго порядка.

Вместе с тем, вопрос о том, насколько близки поверхности, полученные при помощи аппроксимации и сканирования, остается открытым, и без сканирования практически невозможно выдвинуть надежную гипотезу в виде этой поверхности. «За отказ от полного перебора состояний надо чем-то платить.

Цена – это предположения, которые мы должны сделать относительно свойств неизвестной нам модели до начала эксперимента… Мы выбрали предположение об аналитичности функции отклика» [2]. С точки зрения прикладных исследований, выбранные предположения (аналитичность функции отклика и использование модели второго порядка) означают, что приближение будет адекватным в случае, если реальная функция отклика является гладкой и хорошо описывается функцией второго порядка.

Рассмотрим обоснованность выдвинутых допущений. Во-первых, очевидно, что в окрестности рабочих параметров любая механическая система, а железнодорожный экипаж в особенности, должна быть слабо чувствительна к их изменению, а, соответственно, быть гладкой. Во-вторых, известно, что в окрестности оптимума квадратичные целевые функции достаточно хорошо аппроксимируют нелинейные функции (поскольку линейный член разложения Тейлора обращается в нуль) [49].

Для построения моделей второго порядка используются композиционные планы, ядром которых являются ортогональные планы полных факторных экспериментов, дополненные центральной точкой и 2k звездными точками, расположенными парами вдоль координатных осей и удаленными от центральной точки на величину звездного плеча. В [16] отмечается, что наибольшее распространение получили ортогональные центральные композиционные планы (ОЦКП) и рототабельные центральные композиционные планы (РЦКП). Причем, из этих двух планов при проведении вычислительных экспериментов на ЭВМ ОЦКП обеспечивает получение модели с наименьшей погрешностью.

В соответствии с вышеизложенным в модуле оптимизации ПК УМ была реализована аппроксимация поверхности отклика функциями второго порядка на основе ОЦКП. В этом случае количество численных экспериментов вычисляется как N = 2 k + 2k + 1, где k – размерность задачи. В табл. 2.1 дано сравнение числа экспериментов, необходимых для проведения процедур аппроксимации и сканирования в предположении, что при сканировании каждый параметр варьируется на 12-ти уровнях (m=12). Из приведенных в табл. 2.1 данных видно, что уже для двумерных задач число экспериментов, необходимых для аппроксимации значительно меньше, чем для сканирования.

Сравнение необходимого числа экспериментов Размерность Аппроксимация, Сканирование, Рассмотрим более детально особенности реализации данного инструмента в ПК УМ. Работая с инструментом аппроксимация ПК УМ, исследователь, во-первых, задает параметры модели и интервал значений для каждого параметра, а также значения остальных параметров, начальные условия, неровности путевой структуры, параметры макрогеометрии пути, профили колес и рельсов, параметры численного метода интегрирования уравнений движения. Далее согласно ОКЦП вычисляются координаты «ключевых» точек – точек в пространстве параметров, в которых будут проводиться расчеты, а затем выполняется серия численных экспериментов. После выполнения экспериментов во всех ключевых точках, исследователь может построить поверхности отклика для любой динамической характеристики модели (координаты, скорости, ускорения точек, усилия в шарнирах, коэффициенты динамики и т.д. (см. рис. 3.16, 3.17 б) или же для комплексного критерия качества с применением МАИ (см.

рис. 3.11).

При выполнении расчетов в ключевых точках значения обобщенных координат, скоростей, ускорений, а также некоторые другие величины записываются в специальный файл (в терминах ПК УМ XVA-файл). Это позволяет получать осциллограммы любых возможных переменных в ключевых точках, а соответственно и строить поверхности отклика для любых динамических характеристик без повторного проведения численных экспериментов, только с использованием XVA-файлов. Тут следует заметить, что расчет осциллограмм характеристик по XVA-файлам требует чрезвычайно низких вычислительных затрат по сравнению с непосредственным интегрированием. Для железнодорожных экипажей XVA-анализ занимает, как правило, не более 1% от времени основного расчета1. Таким образом, без существенного повышения требуемых вычислительных затрат, исследователь получает возможность строить поверхности отклика для любых динамических критериев качества.

2.5. Многокритериальная оптимизация: метод анализа иерархий В [70, 71, 96] отмечается, что приложение методов оптимизации к техническим задачам, как правило, приводит к необходимости рассмотрения многих критериев, в том числе противоречивых. Таким образом, задача оптимизации должна рассматриваться как многокритериальная. В силу ряда недостатков стратегий оптимизации векторных функций в рамках прикладных исследований обычно используются методы, приводящие векторную целевую функцию к скалярной, а задачу оптимизации к задаче нелинейного программирования. Одним из таких методов является метод анализа иерархий, разработанный Т. Саати и подробно рассмотренный в [4, 52, 54]. Ниже рассмотрим основные моменты реализации и использования МАИ в ПК УМ.

Процедура описания целевой функции при помощи МАИ интегрирована во все реализованные инструменты модуля параметрической оптимизации:

сканирование, оптимизацию, аппроксимацию. В сканировании и аппроксимации МАИ используется в качестве дополнительной возможности, позволяющей оценивать альтернативы и строить поверхности отклика для комплексных криПри использовании XVA анализа значения обобщенных координат и скоростей берутся напрямую из ранее созданного XVA-файла, а не как результат очередного шага численного метода, что и позволяет получить подобное ускорение расчетов. Подробнее о понятии XVA-расчетов см. в [51].

териев качества. В оптимизации МАИ используется непосредственно для описания целевой функции, экстремум которой необходимо отыскать.

МАИ реализован в ПК УМ в его классическом виде [52] с применением элементов теории нечетких множеств [4, 46].

Реализовано несколько способов оценки альтернатив относительно терминальных узлов иерархии. Их можно разбить на две группы: автоматическое оценивание по результатам численных экспериментов и оценивание вручную на основе анализа мнения экспертов.

Рассмотрим применение автоматического оценивания альтернатив в сканировании. Здесь исследователю нужно указать, во-первых, динамическую характеристику, соответствующую физическому смыслу критерия; во-вторых, функционал, преобразующий осциллограмму процесса в одно число. Далее нужно преобразовать значение функционала от переменной для каждой альтернативы в оценку от нуля до единицы. Для этого реализовано два способа оценки: непосредственно по значению функционала и при помощи функций принадлежности, см. рис. 2.4.

Рис. 2.4. Автоматическая оценка альтернатив: интерфейс пользователя Рассмотрим особенности данных подходов. Использование функций принадлежности различных типов (см. рис. 2.5) дает возможность более полно учесть предпочтения экспертов, а использование интервала приемлемых значений [fmin, fmax] позволяет отсеять неподходящие по условиям задачи альтернативы, см. рис. 2.6. С другой стороны, такой подход не всегда удобен, поскольку если интервал приемлемых значений не задан нормами, спецификациями и т.п., то он устанавливается на основе экспертных оценок, что в случае ошибочного выбора интервала может привести к выбраковыванию приемлемых альтернатив и смещению оценок альтернатив. С другой стороны, при решении задач оптимизации, часто важны не абсолютные значения величин, а их относительные значения. Это легко учесть, назначив способ оценки «непосредственно по значению функционала». По результатам сканирования будет автоматически построен вектор функционалов указанной динамической переменной, длина вектора равна количеству альтернатив. Результат нормирования1 этого вектора даст нам вектор оценок альтернатив относительно данного критерия. Оценки будут относиться между собой в тех же пропорциях, что и функционалы.

Рис. 2.5. Часто используемые функции принадлежности Ручная оценка альтернатив относительно критериев может быть выполнена двумя способами: непосредственно при помощи метода попарных сравнеВ МАИ используется такое нормирование, при котором сумма элементов нормализованного вектора равна единице ний и при помощи оценивания относительно стандартов [4]. Первый способ позволяет получить оценки в наибольшей степени отражающие мнения экспертов, однако едва ли может быть применим в реальных задачах, так как число попарных сравнений, которые необходимо выполнить вручную, пропорционально квадрату числа альтернатив. Метод оценивания относительно стандартов проиллюстрирован на рис. 2.7. Суть метода в том, что на первом этапе вводятся уровни качества механической системы относительно данного критерия – стандарты, веса которых назначаются напрямую или при помощи того же метода попарных сравнений, а затем каждой альтернативе ставится в соответствие один из критериев.

Применение МАИ к оптимизации железнодорожных экипажей подробно рассмотрено в п. 3.1.3 на примере оптимизации параметров механизма РУКП перспективного тепловоза производства БМЗ.

2.6. Служба распределенных вычислений В терминах параллельных алгоритмов вычислительным кластером называется совокупность компьютеров, объединенных в вычислительную сеть и используемых для совместного решения определенной задачи. Головной компьютер, как и программа (см. рис. 2.8), выдающая задания и координирующая совместную работу компьютеров кластера, называется сервером кластера. Компьютер и соответствующая программа, работающая под управлением сервера кластера, называется клиентом кластера.

Для повышения эффективности функционирования систем параллельных вычислений в смысле сокращения общего времени проведения расчетов важно обеспечить баланс между производительностью компьютеров и объемом заданий им выдаваемых. Это особенно важно при использовании в составе вычислительного кластера компьютеров с различной производительностью.

Рис. 2.8. Сервер кластера: интерфейс пользователя В [73] отмечается, что наиболее эффективным является метод очереди задач, который заключается в следующем. Формируется очередь задач – список численных экспериментов, которые могут быть выполнены независимо. В рамках ПК УМ очередь задач имеет смысл списка численных экспериментов и в случае сканирования или аппроксимации такой список может быть легко построен. Пусть вычислительный кластер насчитывает n клиентов. Тогда на первом шаге клиентам рассылаются первые n задач из очереди. Далее, после получения результатов от клиента, сервер немедленно высылает этому клиенту новую задачу. Таким образом, распределение задач среди клиентов отражает реальную вычислительную мощность компьютеров без этапа ее явного оценивания. При использовании данного алгоритма распределения заданий время простоя компьютеров не больше, чем время выполнения последнего численного эксперимента. В случае равного числа клиентов кластера и задач полное время выполнения вычислений зависит от компьютера с самыми низкими вычислительными возможностями. Как отмечается в [73], метод очереди задач относительно прост в программной реализации и требует небольших вычислительных затрат в сравнении с другими методами. Оценка времени общего времени выполнения расчетов от числа клиентов в кластере и числа задач, а также оценка процента времени простоя компьютеров дана в [73]. Общий вид сервера кластера представлен на рис. 2.8. 2.7. Критерии оценки динамики экипажей и методика исследований Существует достаточно большое число критериев, которые различные авторы принимают во внимание при оптимизации железнодорожных экипажей по критериям ходовой динамики. Однако практически все исследователи учитывают показатели устойчивости движения в прямых участках пути и показатели износа колесных пар в кривых. Кратко рассмотрим основные современные подходы к определению устойчивости и износа.

2.7.1. Критерии оценки устойчивости движения железнодорожных Для оценки устойчивости в прямых используются различные показатели, и в первую очередь это критическая скорость. В [15] рассматривается поперечная устойчивость железнодорожных экипажей при движении на прямолинейном участке пути, и критическая скорость определяется как пороговое значение скоСервер показан после выполнения серии из 30 численных экспериментов на 3 клиентах кластера рости, при котором начинается резкое нарастание поперечных колебаний экипажа. В указанный момент реализуется предельный цикл процесса контакта гребней колес и головок рельсов. Движение с закритической скоростью сказывается на износе и усталости элементов конструкции железнодорожного экипажа, а также на безопасности движения. Поэтому необходимо, чтобы скорость корректно спроектированного экипажа превышала в достаточных пределах эксплутационную скорость. В [15] отмечается, что с помощью правильного выбора профиля обода колеса, характеристик рессорного подвешивания, а также геометрии тележки можно, увеличить критическую скорость таким образом, чтобы она была вне диапазона эксплуатационных скоростей железнодорожного экипажа.

Могут быть использованы также и косвенные характеристики, такие как поперечные ускорения, рамные силы, силы отжатия рельсов, угол поворота надрессорной балки относительно кузова, смещение колесных пар относительно оси пути. К определению критической скорости возможны два различных подхода – на основании решения задачи об устойчивости по Ляпунову в первом приближении и по результатам численных экспериментов.

Каждый из них имеет свои достоинства и недостатки. Первый подход является в определенном смысле строгим, но предполагает линеаризацию уравнений движения. Адекватная линеаризация, например, модели тележки 18-100, имеющей гасители сухого трения – существнно нелинейные элементы с режимами скольжения и сцепления – представляется, по меньшей мере, задачей неоднозначной.

Кроме того, для понятия устойчивости по Ляпунову, характерно следующее: возмущенные движения осуществляются при действии тех же сил, которые были учтены при описании невозмущенного движения; устойчивость невозмущенного движения рассматривается только по отношению к возмущениям начальных условий, причем начальные и последующие возмущения являются достаточно малыми величинами; интервал времен, на котором рассматривается устойчивость, является бесконечным [65]. При исследовании устойчивости движения реальных систем, например системы железнодорожный экипаж – путь, большинство этих характерных признаков не может быть выполнено. На систему экипаж – путь влияют постоянно действующие конечные возмущения кинематического или силового характера. Определение устойчивости такой системы, кроме того, должно распространятся и на конечный промежуток времени. Тем не менее, метод Ляпунова широко используется в прикладных исследованиях и программном обеспечении для анализа динамики железнодорожных экипажей [15, 28, 106].

В данной работе основные результаты получены при помощи другого подхода к определению критической скорости – экспериментального. Суть метода покажем на примере моделирования порожнего вагона-хоппера. Движение экипажа моделируется в прямой с вертикальными неровностями1. В горизонтальной плоскости путь идеально ровный с единичной горизонтальной неровностью амплитудой 20 мм и длиной 10 м в начале пути. Такая форма неровностей в плане позволяет определить, приводит ли такое возмущение к интенсивным незатухающим поперечным колебаниям экипажа (рис. 2.9), т.е. к неустойчивости движения, или же колебания, возбужденные единичной неровностью, затухают и соответственно экипаж является устойчивым на данной скорости (рис. 2.10).

Описанный подход позволяет сделать вывод об устойчивости экипажа на каждой конкретной скорости при наличии вертикальных неровностей пути.

Рис. 2.9. Осциллограммы поперечных колебаний первой колесной пары относительно головки рельса; скорость 32 м/с Необходимость моделирования на пути с вертикальными неровностями обусловлена наличием в модели вагона-хоппера, а точнее тележки 18-100, клиновых гасителей сухого трения. Наличие таких элементов без достаточно больших внешних возмущений может привести к ситуации, когда силы трения будут удерживать систему в «зоне застоя», другими словами к заклиниванию элементов подвески вагона. Однако для моделей железРис. 2.10. Осциллограммы поперечных колебаний левого первой колесной Предварительный анализ позволил определить, что наиболее информативным для идентификации критической скорости является поперечное смещение колеса относительно рельса, а точнее, мощность этого процесса, которую можно оценить по величине среднеквадратического отклонения (СКО). При этом устойчивому движению экипажа соответствуют колебания без набегания колес гребнями на рельс.

Рассмотрим зависимость СКО поперечных колебаний левого колеса первой колесной пары относительно головки рельса от скорости движения экипажа (рис. 2.11).

Рис. 2.11. Зависимость СКО поперечных колебаний первой колесной пары относительно головки рельса от скорости движения экипажа Отметим, что рассмотренные осциллограммы поперечных колебаний колесных пар зачастую имеют тренд (рис. 2.10, график 1), который приводит к увенодорожных экипажей без сил сухого трения указанная методика может успешно применяться на пути без вертикальных неровностей.

личению СКО. Для удаления тренда был применен фильтр верхних частот с нижней границей 0,1 Гц (рис. 2.10, график 2). На рис. 2.11 представлен график, полученный на основе обработки отфильтрованных осциллограмм. Из него видно, что в диапазоне скоростей от 16 до 20 м/с наблюдается скачок СКО, что соответствует потере устойчивости и переходу в закритическую область.

На рис. 3.6 разность величин СКО поперечных колебаний колес для устойчивого и неустойчивого движения видна еще более ярко (рассмотрена устойчивость движения перспективного локомотива производства БМЗ на скорости 140 км/ч, подробнее см. п. 3.1).

Таким образом, если провести два численных эксперимента по описанной выше методике со скоростями заведомо ниже и выше критической и вычислить величину СКО поперечных колебаний любого колеса относительно рельса, то в дальнейшем, поставив численный эксперимент по той же методике, можно будет дать ответ на вопрос об устойчивости движения экипажа на данной скорости. Методика также позволяет получать зоны устойчивого и неустойчивого движения железнодорожного экипажа на определенной скорости при варьировании параметров модели (см. рис. 3.7). Подобный подход к определению критической скорости экипажей с механизмами радиальной установки колесных пар применяется в работе [95].

Заметим также, что чем длиннее будет путь для каждого численного эксперимента, тем больше будет разница СКО устойчивого и неустойчивого движения. Рекомендуется принимать длину пути не менее 300 м. Отметим также следующую особенность. Так как методика предполагает моделирование движения железнодорожных экипажей на пути с единичной неровностью в начале, и длина этой неровности мала по сравнению с длиной пути1, то можно утверждать, что величины СКО для поперечных колебаний одного из колес произвольной КП относительно рельса и центра масс той же КП относительно идеальной оси пути будут близки. В дальнейшем будем в равной мере пользоваться обоими показателями и назовем их показателями устойчивости.

Рекомендуемая длина неровности – 10 м, рекомендуемая длина пути – 300 м.

2.7.2. Критерии оценки износа поверхностей катания колес и рельсов Актуальность проблемы износа определяется большими эксплуатационными расходами, связанными с износом рельсов и колес подвижного состава. В [30] отмечается, что по оценкам экспертов, ежедневно в мире обтачивается около 70 тысяч колесных пар. Начиная с 1985 г., фактическая интенсивность износа в 3–6 раз превышала предусмотренную нормами эксплуатации пути и подвижного состава. Если в начале 80-х годов срок службы бандажей колесных пар локомотивов составлял 6–7 лет, то в 90-е годы он сократился до 2–3 лет.

Выход рельсов из строя из-за предельного бокового износа увеличился за лет более чем в 3 раза. В [7, 39] также отмечается, что на начало 90-х годов катастрофически возросли темпы износа колёс подвижного состава и рельсов.

В [53] дан один из наиболее полных обзоров современного состояния исследований в области контактных задач железнодорожного транспорта, в том числе подходов к определению износа поверхностей катания колес и рельсов. В нем говорится, что «большинство всесторонне обоснованных и широко распространенных моделей изнашивания, нашедших применение в отрасли железнодорожного транспорта, построено на том, что потеря материала на участке профиля поверхности, прилегающем к его точке, пропорциональна постоянной k материала и сумме локальных работ трения.

…Модель изнашивания предполагает пропорциональную зависимость между изнашиваемым объемом Ve и работой трения Ar:

где k – показатель износа; его значение, установленное экспериментами, 10-4 < k < 10-2 мг/(Нм).»

Отмечается также, что «одними из наиболее неблагоприятных видов износа являются износ гребня колеса и боковой поверхности наружного рельса в кривых участках пути. Такое изнашивание идет интенсивно особенно в случае двухточечного контакта колеса и рельса… Экспериментальные данные, проведенные на опытном тепловозе 2ТЭ116, позволили установить, что боковая сила может достигать 62 кН… Измерения показывают, что коэффициент трения скольжения в контакте гребня и рельса достигает 0,3…0,35, а в отдельных случаях (для линий метрополитена) зафиксированы более высокие его значения (0,5). В этих условиях изнашивание идет настолько интенсивно, что наблюдается отслаивание и вырывы в виде чешуек металла. На шпалах обнаруживается металлическая пыль.» В работе [21] установлено, что в кривых радиуса 350 м при отсутствии смазки отношение бокового износа к вертикальному для стандартных рельсов и рельсов с упрочненной головкой составляет от 3 до 5. На хорошо смазанных рельсах оно может быть меньше единицы.

В работе [63], обобщающей международную практику оценки износа также отмечается, что «…что величина износа рельса и колеса пропорциональна энергии, диссипатированной в процессе преодоления сопротивления качению с проскальзыванием колеса по рельсу. Изнашивание колеса и рельса определяется относительным проскальзыванием и давлением на площадках контакта. В свою очередь относительное проскальзывание и давление зависят от динамических параметров взаимодействия колеса и рельса. Износ в значительной мере определяется свойствами третьего тела, которые зависят от наличия лубрикации, окружающих условий (влажность, дождь, снег) и применения песка.»

Одни из первых отечественных исследователей, применявших компьютерное моделирование для изучения динамики железнодорожных экипажей, в работе [64] в качестве оценки износа использовали мощность сил трения. "Об интенсивности износов можно судить по мощности сил трения. Так как в данной задаче в любой момент времени известны и относительные скорости скольжения, и силы трения между всеми взаимодействующими элементами, то мгновенная мощность сил трения получается перемножением силы на скорость и запоминается ЭВМ как функция времени или пройденного пути. При оптимизации параметров тележки мощность сил трения может рассматриваться как функционал, принимающий минимальное значение при оптимальном сочетании параметров."

Критерии оценки износа гребней колесных пар рассматриваются также в работах [14, 30]. В работах отмечается также фактор износа, предложенный проф. С.М. Андриевским, равный произведению направляющей силы и угла набегания. В [30] вводится также фактор износа для движения в прямых, который равен отношению времени контактирования колеса на гребне к общему времени движения экипажа. Для быстрого решения тангенциальной контактной задачи в рамках моделирования динамики железнодорожных экипажей различными авторами обычно используется алгоритм FASTSIM [86]. В [53] отмечается, что результаты, полученные при помощи алгоритма FASTSIM, обеспечивают расхождение, не превышающее 10…15% при определении формы изношенных поверхностей и 25% для коэффициентов износа по сравнению с результатами исследований, в которых использовалась программа CONTACT Калкера.

Нормальная контактная задача решается обычно при помощи теории Герца. Однако контакт произвольных профилей колеса и рельса далеко не всегда удовлетворяет допущениям теории Герца, например, для контакта конформных профилей изношенных колес и рельсов. Так в [66, 87] опубликованы «быстрые» алгоритмы решения нормальной и тангенциальной контактной задачи в случае негерцевского контакта.

Таким образом, для оценки износа профилей колесных пар будем использовать работу (мощность) сил трения в контакте между колесом и рельсом. Силы трения в контакте будем определять при помощи «быстрых» алгоритмов решения тангенциальной контактной задачи: алгоритма FASTSIM и алгоритма решения негерцевской контактной задачи, изложенного в [66].

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

С ПОМОЩЬЮ РАЗРАБОТАННЫХ МЕТОДИК И

ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

3.1. Оптимизация параметров механизма радиальной установки колесных пар для трехосной тележки магистрального локомотива 3.1.1. Постановка задачи Одним из способов улучшения показателей вписывания железнодорожных экипажей в кривые, снижения угла набегания, работы сил трения, а, следовательно, и массового износа колес и рельсов является применение механизмов радиальной установки колесных пар [94]. Как правило, такие механизмы снижают продольную жесткость связи колесных пар, что позволяет колесным парам самоустанавливаться в положение близкое к радиальному под действием сил в контакте. А кинематическая связь на поворот колесных пар согласованно поворачивает и остальные колесные пары в тележке. Однако применение таких механизмов приводит к ухудшению устойчивости экипажа в прямых участках пути. Для преодоления этого недостатка на такие экипажи устанавливаются специальные гасители. Несмотря на достаточно большое число работ по этой теме [66, 94, 98, 102], вопрос выбора схемы механизма РУКП для каждого конкретного экипажа и его оптимальных параметров требует проведения дополнительных исследований.

В данном параграфе рассмотрено решение задачи оптимизации геометрических параметров механизма РУКП трехосной тележки для нового магистрального шестиосного тепловоза производства БМЗ. Модель тепловоза (рис. 3.1а) включает кузов и две тележки (рис. 3.1б), каждая из которых состоит из трех колесных пар с двигателями, рамы и силовых элементов подвески.

Подробное описание модели дано в работе [19].

Предварительный анализ механизмов РУКП и исследования, проведенные специалистами БГТУ и ООО ПК БМЗ1, показали, что наиболее эффективной для данного экипажа является схема РУКП на базе использования так называемых «навигаторов» – системы продольных тяг, связывающих вместе колесные пары, раму тележки и кузов. Схема механизма изображена на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Схема механизма радиальной установки колесных пар Предварительные исследования позволили также определить близкие к оптимальным значения ряда параметров механизма РУКП. Таким образом, задача оптимизации механизма РУКП свелась к определению наилучших значений выЗагорский М.В, Никифоров Н.И., Погорелов Д.Ю., Симонов В.А.

сот поводков рамы относительно уровня осей колесных пар (параметры a и b, см. рис. 3.2), причем положительные значения параметры принимают выше этого уровня. Критерии оптимальности обсуждаются в следующем параграфе.

3.1.2. Критерии оптимизации Как уже отмечалось выше, механизмы РУКП применяются с целью снижения износа колесных пар и рельсов при движении в кривых участках пути.

Однако известно, что снижение продольной жесткости связей колесных пар с тележкой ведет к ухудшению динамики экипажа. Поэтому при выборе оптимальных значений параметров РУКП необходимо обращать внимание, по крайней мере, на два показателя: фактор износа в кривых и устойчивость в прямых участках пути.

Отметим также следующую особенность механизма навигаторов. Если параметры a и b принимают значения в интервале от 0,2 до 0,44 м, то тяги механизма навигаторов оказываются внутри рамы тележки, что затрудняет проектирование, изготовление и обслуживание данного локомотива. Таким образом, при выборе оптимальных значений параметров представляется необходимым учитывать также данный критерий (ниже – технологичность).