«АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ЗАДАЧАХ С НЕИЗВЕСТНЫМ УРОВНЕМ ДИНАМИЧЕСКОЙ ПОМЕХИ ...»

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

ГАНЕБНЫЙ СЕРГЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

В ЗАДАЧАХ С НЕИЗВЕСТНЫМ УРОВНЕМ

ДИНАМИЧЕСКОЙ ПОМЕХИ

05.13.18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук В.С. Пацко Екатеринбург Оглавление Введение Список обозначений 1 Метод адаптивного управления 1.1 Постановка задачи........................ 1.2 Основная идея метода...................... 1.3 Алгебраические операции над стабильными мостами.... 1.4 Построение семейства {Wk }.................. 1.5 Управление в скалярном случае с ограничением по модулю 1.6 Управление в векторном случае с независимыми покомпонентными ограничениями.................... 1.7 Управление в случае произвольного ограничения...... 1.8 Случай двумерной эквивалентной игры............ 1.9 Разработанный комплекс программ.............. 1.10 Пример.............................. 2 Доказательства теорем о гарантии 2.1 Теорема о гарантии в случае скалярного управления при помощи поверхности переключения................ 2.2 Теорема о гарантии для случая экстремального прицеливания 3 Две задачи об управлении самолетом в условиях ветрового возмущения 3.1 Модель динамики самолета................... 3.1.1 Дифференциальная система............... 3.1.2 Номинальное движение и линеаризация....... Оглавление 3.1.3 Модель микровзрыва ветра............... 3.2 Задача о посадке самолета................... 3.2.1 Постановка задачи.................... 3.2.2 Влияние нелинейностей и предположения об измерении скорости ветра................... 3.2.3 Результаты моделирования при микровзрыве ветра. 3.2.4 Результаты моделирования при постоянном ветре.. 3.3 Задача о преодолении препятствия по высоте............................. 3.3.1 Постановка задачи.................... 3.3.2 Влияние расчета прогнозируемого времени и нелинейности на результаты моделирования.......... 3.3.3 Моделирование с постоянным ветром......... 3.3.4 Моделирование при микровзрыве ветра........ Приложение: дополнительные графики Литература Введение Диссертация посвящена разработке способа адаптивного управления для систем с неизвестным уровнем динамической помехи.

С содержательной точки зрения термин “адаптивное управление” означает, что система функционирует в условиях, когда свои собственные параметры или некоторые параметры, связанные с помехой, известны неточно и система “адаптируется”, “подстраивается” под эти неизвестные параметры, имея перед собой ту или иную основную цель управления. Круг подобных задач является очень широким. Конкретные исследования базируются, как правило, на некоторой более узкой математической теории. Например, широко используются результаты теории устойчивости и теории стабилизации.

Данная работа опирается на теорию антагонистических дифференциальных игр.

1. Теория антагонистических дифференциальных игр интенсивно развивается с начала 60-х годов прошлого века. Решающий вклад в ее становление внесли Н.Н. Красовский, Л.С. Понтрягин, А.И. Субботин, R. Isaacs, M.G. Crandall, P.L. Lions, А.Б. Куржанский, Ю.С. Осипов, Б.Н. Пшеничный, А.Г. Ченцов, Ф.Л. Черноусько, L. Berkovitz, P. Bernhard, A. Blaquire, J.V. Breakwell, W.H. Fleming, G. Leitmann.

Существенные теоретические результаты, в том числе в направлении разработки численных методов, получены в работах Э.Г. Альбрехта, В.Д. Батухтина, С.А. Брыкалова, Н.Л. Григоренко, П.Б. Гусятникова, М.И. Зеликина, А.Ф. Клейменова, А.В. Кряжимского, Н.Ю. Лукоянова, А.А. Меликяна, Е.Ф. Мищенко, М.С. Никольского, В.В. Остапенко, А.Г. Пашкова, Н.Н. Петрова, Е.С. Половинкина, Н.Н. Субботиной, А.М.

Тарасьева, В.Е. Третьякова, В.И. Ухоботова, В.Н. Ушакова, А.А. Чикрия, M. Bardi, T. Basar, A.E. Bryson, I. Capuzzo-Dolcetta, P.M. Cardaliaguet, R.J. Elliot, M. Falcone, Y.C. Ho, J. Lewin, A.W. Merz, G.J. Olsder, M. Quincampoix, E. Roxin, P. Saint-Pierre, J. Shinar, P. Soravia.

Основные принципиальные результаты опубликованы в работах [1, 2, 34,35,43,44,46,48–50,55,58,65,70,73]. Численным методам для нелинейных дифференциальных игр с геометрическими ограничениями на управления игроков посвящены работы [21,39,51,53,55–57,59,65,84], для игр с линейной динамикой работы [2, 5, 6, 9, 20, 37, 38, 42, 45, 63, 72].

2. Стандартной в теории антагонистических дифференциальных игр является задача с фиксированным моментом окончания, в которой цель первого игрока приведение фазового вектора системы в момент окончания на некоторое терминальное множество, цель второго игрока противоположна. Множество разрешимости задачи (максимальный стабильный мост) обладает свойством: если движение начинается внутри этого множества, то первый игрок при правильном поведении гарантированно достигает цели игры, если же движение начинается вне этого множества, то второй игрок имеет возможность не допустить попадания движения на терминальное множество (теорема об альтернативе [35, 70]). Для игр с линейной динамикой, фиксированным моментом окончания и выпуклым терминальным множеством t-сечения максимальных стабильных мостов являются выпуклыми. Свойство выпуклости упрощает вычислительные алгоритмы [18, 23, 27, 40, 61, 79]. Линейность динамики и фиксация момента окончания позволяют переходить к эквивалентной дифференциальной игре, размерность фазового вектора которой совпадает с числом координат, в которых задается терминальное множество (по несущественным координатам терминальное множество цилиндрично). Особенно эффективными являются алгоритмы для случая, когда подпространство координат, определяющих терминальное множество, имеет малую размерность. Для двумерного случая такие алгоритмы описаны в [8, 20, 30, 71, 72], для трехмерного в [22, 24, 25, 29, 52].

Подчеркнем, что стандартные постановки предполагают задание геометрических ограничений на управляющие воздействия как первого, так и второго игроков. Отметим также, что позиционное управление первого игрока, осуществляющего наведение, использует максимум своих возможностей управляющие воздействия берутся с границы множества, задающего геометрическое ограничение.

3. Естественной сферой применения математических методов теории управления и методов антагонистических дифференциальных игр являются задачи об управлении самолетом в условиях ветровых возмущений.

Большое влияние на развитие современных исследований в этой области ренциальных игр впервые были применены к задачам об управлении самолетом при наличии ветровых возмущений В.М. Кейном [31, 32]. Задача об управлении на посадке рассматривалась в работах [4, 7, 10–13, 15–17, 19, 28, 33, 62, 78]. Задачи о взлете и о прекращении посадки исследовались в [14, 54, 64, 66, 74, 82].

В задачах об управлении самолетом (как и во многих других практических постановках) первый игрок трактуется как некое полезное управление, а второй игрок как природная или информационная помеха. При использовании стандартного подхода возникает ряд вопросов. Во-первых, если ограничение на полезное управление, как правило, определяется вполне естественно (техническое ограничение на действие неких органов управления), то ограничение на природную помеху бывает сложно строго обосновать. Разработанные в рамках теории дифференциальных игр методы построения управления требуют задания обоих ограничений, и получаемое решение зависит от выбранных ограничений. Во-вторых, встает вопрос о целесообразности управления, всегда использующего максимум своих возможностей, так как природная и информационная помехи не являются антагонистами первому игроку. Они могут действовать оптимальным образом в этом случае использование максимального управления оправдано, но в большинстве случаев их действие оптимальным не является, оно может быть достаточно слабым в этом случае использование максимального допустимого управления явно является излишним.

4. В диссертации предложен метод управления, который, сохраняя идеологию гарантированных результатов, справляется с перечисленными проблемами. Считаем, что по постановке задачи задано терминальное множество и оговорено ограничение на полезное управление. Какое-либо ограничение на действие помехи по постановке задачи не предполагается. Вместо этого, в рамках предложенного метода, выбирается множество, имеющее смысл ожидаемого “разумного” ограничения на помеху. Предлагаемый метод с содержательной точки зрения обеспечивает следующее: 1) если уровень помехи не превосходит заданный ожидаемый уровень, то существует гарантия выполнения цели игры приведения движения на терминальное множество; 2) при этом, если действует помеха малого уровня, то достижение цели игры происходит с использованием малого уровня полезного управления; 3) если помеха оказывается большей ожидаемого уровня, то гарантии выполнения цели игры нет, но существуют оценки терминального промаха.

ческую помеху неизвестного уровня. Поэтому называем его адаптивным.

Возможно также употребление термина робастное управление [68].

Построение линейного робастного управления для H -задач на базе теории дифференциальных игр с линейно-квадратичным функционалом платы рассмотрено в [60]. Исследованы линейные робастные регуляторы в задачах L1-оптимизации [3, 47, 67]. Близкое к описанному понятие робастности использовано в [83].

Предлагаемый метод формирования адаптивного управления основан на построении семейства вложенных друг в друга стабильных мостов, каждый следующий из которых соответствует большему уровню помехи. Мосты строятся в рамках эквивалентной линейной дифференциальной игры, размерность фазового вектора которой совпадает с размерностью терминального множества. Специальные правила пропорциональности, доказанные в работе для линейных игр, позволяют построить все семейство мостов, вычислив лишь один “главный” максимальный стабильный мост и один дополнительный. Это является большим достоинством для численной реализации данного метода, так как численное построение мостов является ресурсоемкой операцией.

Рассмотрены три варианта построения управления обратной связи на основе полученного семейства мостов. Первый способ использует поверхность переключения и применим для случая скалярного полезного управления, ограниченного по модулю. Второй способ является эмпирическим расширением первого и предназначен для случая векторного управления с независимыми покомпонентными ограничениями. Третий способ опирается на метод экстремального прицеливания и может быть использован при произвольном ограничении на полезное управление.

Отметим, что общая идея метода построение семейства вложенных мостов, соответствующих возрастающей помехе, применима и для задач с нелинейной динамикой. Однако в этом случае не действуют правила пропорциональности, специфические для линейных задач, поэтому построение искомого семейства может быть весьма трудным.

5. Перейдем к изложению содержания диссертации по главам.

В первой главе дается постановка задачи, подробно описывается построение семейства мостов на основе свойств сохранения стабильности при алгебраических операциях над мостами, излагаются три способа конструирования управления на базе полученного семейства: для скалярного управления первого игрока с ограничением по модулю, в случае векторного управления с независимыми покомпонентными ограничениями, при произвольном ограничении. Для первого и третьего способов сформулированы теоремы о гарантии. Описан разработанный комплекс программ для случая двумерной эквивалентной игры. В конце главы применение метода адаптивного управления продемонстрировано на модельной задаче конфликтно-управляемого маятника.

Во второй главе приведены доказательства двух теорем о гарантии, сформулированных в первой главе.

Третья глава посвящена результатам моделирования предложенного метода в задаче о посадке самолета и в задаче о преодолении самолетом препятствия по высоте. Приведены результаты моделирования для случаев постоянного ветрового возмущения и помехи, взятой из модели микровзрыва ветра. Исследование задачи о посадке примыкает к работам, выполненным в 80-е годы в Институте математики и механики УрО РАН и Ленинградской академии гражданской авиации. Постановка задачи о преодолении препятствия предложена А.И. Красовым (фирма “Новые информационные технологии в авиации”, Санкт-Петербург).

6. На защиту выносятся следующие результаты.

1) Разработка метода адаптивного управления, применимого для задач, в которых задано геометрическое ограничение на полезное управление, а какое-либо ограничение на динамическую неантагонистическую помеху неизвестно. Формулировка и доказательство теорем о гарантии для данного метода.

2) Создание комплекса программ численного построения трех вариантов адаптивного управления для случая двумерного терминального множества. Дополнительно комплекс позволяет вычислять максимальные стабильные мосты, множества достижимости и проводить моделирование движений под действием различных управлений и помех.

3) Применение разработанного комплекса к исследованию задачи о посадке самолета и задачи о преодолении препятствия по высоте при наличии ветрового возмущения.

Список обозначений В диссертации есть некоторое перекрытие обозначений, поскольку в первой и второй главах используются обозначения стандартные для теории дифференциальных игр, а в третьей стандартные в инженерной практике для самолетных задач.

Список обозначений для первой и второй глав:

фазовый вектор исходной системы;

фазовый вектор эквивалентной системы;

интервал времени игры;

момент окончания игры;

управления первого и второго игроков (полезное управление и ограничение на полезное управление;

“разумное” ограничение на ожидаемый уровень помехи;

Qmax терминальное (целевое) множество;

Wmain, Wadd главный и дополнительный мосты в процедуре построения адаптивного управления;

{Wk } семейство стабильных мостов при построении адаптивного управления;

Pk, Qk, Mk параметры мостов семейства {Wk };

функция с множествами уровня Wk.

Список обозначений для третьей главы:

xg, yg, zg продольная, вертикальная и боковая координаты самолета;

Vxg, Vyg, Vzg соответствующие скорости;

P, e, r, a сила тяги; отклонения руля высоты, руля направления, элеронов;

ps, es, rs, as соответствующие командные положения переменные полезного управления;

Wxg, Wyg, Wzg компоненты скорости ветра переменные возмущения;

управление по углу тангажа в задаче о преодолении самолетом преu пятствия по высоте;

командное управление по тяге в задаче о преодолении препятствия;

текущее время;

обратное время;

оценка времени до момента окончания;

вертикальный (продольный) канал;

xV M, xLM фазовые векторы вертикальной и боковой линеаризованных V M, LM фазовые векторы эквивалентных систем для вертикального и бокового каналов.

Глава Метод адаптивного управления Описывается постановка задачи с неизвестным уровнем динамической помехи. Предлагаемый метод адаптивного управления базируется на построении семейства вложенных стабильных мостов. Рассмотрены три варианта конструирования управления обратной связи, использующих данное семейство.

Сформулированы теоремы о гарантии. Приведен раздел, посвященный разработанному комплексу программ. Глава заканчивается результатами моделирования, иллюстрирующими применение метода адаптивного управления к модельной задаче конфликтно-управляемого маятника.

1.1 Постановка задачи Исходная игра. Рассмотрим линейную дифференциальную игру с фиксированным моментом окончания:

Здесь x m-мерный фазовый вектор системы; момент окончания игры; T промежуток времени игры; M терминальное (целевое) множество, представляющее собой выпуклый компакт в n-мерном пространстве;

uиv управления первого и второго игроков, трактуемые как полезное управление и помеха. Управление первого игрока ограничено выпуклым компактом P, ограничение на управление второго игрока считается неизвестным. Матричнозначные функции A, B и C непрерывны. Считаем, что множество M содержит некоторую окрестность нуля своего пространства, множество P содержит нуль своего пространства.

Цель первого игрока приведение выделенных n m компонент вектора x на терминальное множество M в момент окончания, значения остальных компонент являются несущественными.

Если к игре (1.1) добавить ограничение v Q, то получится стандартная игра сближения-уклонения [35].

Требуется построить управление обратной связи первого игрока, называемое адаптивным, которое на содержательном уровне можно определить следующим образом.

Определение 1. Адаптивным (робастным) управлением будем называть управление обратной связи, не выходящее за ограничение P и удовлетворяющее условиям:

1. Если реализация помехи не превосходит некоторого критического уровня, а начальная позиция принадлежит некоторому оговоренному множеству, то управление должно гарантировать выполнение цели игры приведение на терминальное множество.

2. При этом, чем меньше уровень помехи и чем ближе к нулю начальное положение, тем меньше должен быть уровень управления, гарантирующего приведение на терминальное множество.

3. Если же реализация помехи больше критического уровня, либо начальная точка находится далеко от нуля, то допускается отклонение от терминального множества терминальный промах. В этом случае управление минимизирует промах.

Отметим, что если мы возьмем начальное положение x0 = 0 и зафиксируем управления игроков, равные нулю, то движение в силу линейности системы останется в нуле. Поскольку терминальное множество содержит некоторую окрестность нуля, такое движение реализует цель первого игрока. Теперь допустим небольшое отклонение начального положения от нуля и присутствие некоторой небольшой помехи. Мы хотим построить управление, которое, используя в этом случае лишь малую часть своих возможностей, гарантированно сохранит движение около нуля и приведет его на некоторую внутреннюю область терминального множества. С увеличением начального отклонения и уровня помехи (вплоть до некоторого критического уровня) естественно увеличивается и уровень управления (вплоть до максимального ограничения P ), требуемый для приведения на терминальное множество M. Допускается и дальнейшее увеличение уровня помехи, в этом случае желательно оценить множество терминального промаха.

Замечание 1. В рассматриваемой задаче мы не вводим какой-либо минимизируемый функционал. Вместо этого на содержательном уровне задаем условия, соответствующие естественным техническим требованиям гарантированное выполнение цели игры и малое управление при малых помехах, и постараемся предложить по возможности простой для численной реализации метод, удовлетворяющий этим условиям.

Эквивалентная игра. При помощи стандартного преобразования [35, с. 160] перейдем к системе, в правой части которой нет фазовой переменной:

Это преобразование позволяет также понизить размерность задачи до n размерности подпространства терминального множества M.

Переход осуществляется при помощи равенств x(t) = n,m(, t)x(t), B(t) = n,m (, t)B(t), C(t) = n,m(, t)C(t), где n,m (, t) n строк фундаментальной матрицы Коши для системы x = A(t)x, соответствующие подпространству координат, в которых задано множество M.

В новой задаче первый игрок, как и прежде, пытается привести движение системы на терминальное множество M в момент окончания.

Формула x = n,m (, t)x дает значения n выделенных компонент фазового вектора системы (1.1) в момент при “свободном” движении этой системы (т.е. при нулевых управляющих воздействиях u, v) из положения x в момент t. В теории антагонистических дифференциальных игр с геометрическими ограничениями на управления игроков игру с динамикой (1.2) называют эквивалентной по отношению к игре с динамикой (1.1). Это связано с тем, что оптимальная гарантия в позиции (t, x) для игры (1.1) совпадает с оптимальной гарантией в игре (1.2) в позиции (t, n,m(, t)x). Более того, если для игры (1.2) построено управление U (t, x), гарантирующее некоторый результат, то управление будет обеспечивать тот же результат в игре (1.1).

Мы также будем называть игру (1.2) эквивалентной. Все дальнейшие рассуждения будем проводить для игры (1.2). Полученное в результате управление при помощи (1.3) переносится на исходную игру (1.1).

Стабильные мосты. В последующем изложении нам понадобятся понятия стабильного и максимального стабильного мостов. Рассмотрим стандартную игру сближения-уклонения [35, 70]:

Здесь дифференциальная система и промежуток времени взяты из игры (1.2). Терминальное множество M и ограничения на управления игроков P Rp, Q Rq произвольные выпуклые компакты, которые будем рассматривать как параметры игры.

Ниже u(·) и v(·) будут обозначать измеримые функции времени со значениями в множествах P и Q, соответственно. Пусть x ·; t, x, u(·), v(·) движение системы (1.4) (а следовательно, и системы (1.2)), выходящее в момент t из точки x под действием управлений u(·) и v(·). Символом E(t) = x Rn : (t, x) E обозначим сечение множества E T Rn в момент t T.

Следуя известному подходу [35, 70], дадим определения стабильного и максимального стабильного мостов.

Определение 2. Множество W T Rn называется стабильным мостом (u-стабильным мостом в терминологии [35]) для системы (1.4) с некоторыми фиксированными параметрами P, Q и M, если W () M и выполнено следующее свойство стабильности: для любой позиции (t, x) W, любого t [t, ] и любого управления v(·), определенного на промежутке [t, t ], можно подобрать управление u(·) так, что пара t, x(t) = t, x(t; t, x, u(·), v(·)) остается в множестве W в любой момент t [t, t].

Определение 3. Максимальное по включению множество W T Rn, W () = M, обладающее свойством стабильности, называется максимальным стабильным мостом.

Согласно [35, 70], максимальный стабильный мост всегда существует и ности системы (1.4) и выпуклости множества M. Теорема об альтернативе [35, 70] утверждает: 1) если начальная позиция (t0, x0) принадлежит максимальному стабильному мосту, то при правильных действиях первого игрока движение придет на терминальное множество, что бы ни делал второй игрок; 2) если же начальная позиция не принадлежит мосту, то второй игрок гарантирует уклонение от терминального множества вне зависимости от действий первого игрока.

Процедуры численного построения максимальных стабильных мостов для случая n = 2 описаны в [20, 30, 71, 72], для случая n = 3 в [22, 24, 25, 29, 52].

1.2 Основная идея метода Рассмотрим семейство множеств {Wk }, k K (K R+ множество индексов), удовлетворяющее следующим свойствам:

1. Каждое множество Wk является стабильным мостом игры (1.4) с параметрами (Pk, Qk, Mk ).

2. Каждое следующее множество охватывает предыдущее: Wk1 Wk для любых k1 < k2. Объединение множеств Wk заполняет все пространство игры T Rn.

3. Для некоторого индекса kmain имеем где P и M заданы по постановке задачи (1.2), а Qmax выбираемое нами ограничение на помеху, которое выполняет роль критического уровня. Мост Wmain = Wkmain назовем главным.

4. Мосты, лежащие внутри главного, назовем внутренними. При любых 0 < k1 < k2 < kmain для них выполнены вложения 5. Мосты, охватывающие главный, назовем внешними. Для них при kmain < k1 < k2 выполнены соотношения Таким образом, получаем семейство вложенных друг в друга стабильных мостов, соответствующих набору возрастающих параметров. Идея построения управления следующая. Пусть текущая позиция (t, x) находится вблизи границы некоторого моста Wk, который соответствует параметрам (Pk, Qk, Mk ). Будем каким-либо образом использовать этот мост для построения управления на малом промежутке времени. При этом управление будет ограничено соответствующим множеством Pk, а рассчитывать будем на помеху уровня не более, чем Qk. Если реализация помехи действительно будет соответствовать уровню Qk и она будет вести себя “разумно”, то движение останется вблизи границы выбранного моста. Если же помеха слабее или не ведет себя оптимально, то движение уйдет внутрь. В случае, когда реализация помехи больше ограничения Qk, она, при правильном действии, имеет возможность увести движение от выбранного моста. Таким образом, в зависимости от действий помехи, на следующем шаге можем получить либо тот же мост, либо вложенный мост с меньшим индексом, либо охватывающий мост с большим индексом. Соответственно изменятся выбранный мост Wk, оценка ограничения на действующую помеху Qk, ограничение на используемое управление Pk.

Следовательно, метод управления по текущей позиции оценивает уровень действующей помехи. Различные варианты развития движения проиллюстрированы на рис. 1.1.

Рис. 1.1: Движение при адаптивном управлении: (1) если помеха слабее ожидаемой, (2) если помеха соответствует ожидаемой и действует близким к оптимальному способом, (3) если помеха сильнее ожидаемой.

Множество Qmax играет роль критического уровня помехи, при котором максимально допустимое управление, ограниченное множеством P, будет гарантировать приведение на заданное по постановке задачи множество M.

Начальная позиция при этом может быть где угодно внутри главного моАлгебраические операции над стабильными мостами ста Wmain.

Очевидно, управление на основе семейства {Wk } удовлетворяет содержательным требованиям к адаптивному управлению согласно определению 1. В следующих разделах будет описан эффективный метод построения семейства {Wk } и даны три способа выбора управления при помощи этого семейства.

1.3 Алгебраические операции над стабильными мостами Для метода построения семейства {Wk }, который будет описан в следующем разделе, нам понадобятся свойства сохранения стабильности при операциях сложения и умножения на скаляр. Доказательства этих свойств опираются только на определения стабильных и максимальных стабильных мостов.

Для множеств в пространстве T Rn введем операции сложения и умножения на скаляр:

Верны следующие утверждения.

Утверждение 1. Пусть W стабильный мост игры (1.4) с некоторыми параметрами (P, Q, M), k произвольное число. Тогда множество kW является стабильным мостом игры (1.4) с параметрами (kP, kQ, kM).

Доказательство. При k = 0 утверждение очевидно. Ниже полагаем k = 0.

Зафиксируем произвольную позицию (t, x) kW и момент времени t [t, ]. Пусть второй игрок выбирает некоторое управление v(t) kQ на интервале [t, t ]. Покажем, как можно выбрать управление u(t) kP, t [t, t], первого игрока, чтобы включение t, x(t) kW выполнялось на движении x(·) = x ·; t, x, u(·), v(·).

Обозначим z = 1 /k · x, v (t) = 1/k · v(t). Имеем (t, z) W. Поскольку W является стабильным мостом, то каким бы ни было управление v (t) Q, t [t, t ], второго игрока, можно подобрать управление u(t) P, t [t, t ], такое, что движение z(·) = x ·; t, z, u(·), v(·) будет давать включение t, z(t ) W.

Положим u(t) = k(t), t [t, t ]. Учитывая специфический вид систеu мы (1.4) (отсутствие фазовой переменной в правой части и линейность по управлениям), получаем, что x(t) = kz(t) для любого t [t, t ]. Таким образом, t, x(t) kW, что и означает стабильность множества kW.

Утверждение 2. Если в условиях утверждения 1 стабильный мост W является максимальным, то множество kW также будет максимальным стабильным мостом.

Доказательство. При k = 0 утверждение очевидно. Ниже полагаем k = 0.

Обозначим W = kW. В силу утверждения 1 следует, что W является стабильным мостом игры (1.4) с параметрами (kP, kQ, kM).

Предположим, что W не является максимальным стабильным мостом.

Обозначим максимальный стабильный мост через W. Имеем W W, W = W.

Рассмотрим множество W = 1/k · W. Имеем W W, W = W. Из утверждения 1 получаем, что множество W является стабильным мостом игры (1.4) с параметрами (P, Q, M). Получаем противоречие: максимальный стабильный мост W вложен в стабильный мост W этой же игры.

Утверждение 3. Пусть W1 и W2 стабильные мосты игры (1.4) с параметрами (P1, Q1, M1) и (P2, Q2, M2), соответственно. Предположим, что t-сечения этих множеств не пусты для всех t T. Тогда множество W1 + W2 является стабильным мостом игры (1.4) с параметрами (P1 + P2, Q1 + Q2, M1 + M2).

Доказательство. Положим W = W1 + W2. Возьмем произвольную позицию (t, x) W и произвольный момент времени t [t, ]. Пусть второй игрок выбрал некоторое управление v(t) Q1 + Q2, t [t, t]. Ниже будет показано, как подобрать управление первого игрока u(t) P1 + P2, t [t, t], что для движения x(·) = x ·; t, x, u(·), v(·) выполняется включение t, x(t) W.

Зададим измеримые управления v1(·) и v2(·) второго игрока так, что v1(t) Q1, v2(t) Q2 и v1(t) + v2(t) = v(t), t [t, t].

Пусть i = 1, 2. Используя стабильность множества Wi, можно подобрать управление ui(t) Pi, t [t, t], так, что движение z i (·) = x ·; t, z, ui(·), vi(·) удовлетворяет включению t, z i (t ) Wi.

Обозначим u(t) = u1(t) + u2(t), t [t, t]. Учитывая вид системы (1.4), получаем x(t) = z 1 (t) + z 2 (t). Поэтому t, x(t) W, что означает стабильность множества W1 + W2.

Замечание 2. Сумма двух максимальных стабильных мостов является стабильным мостом, но не обязательно максимальным стабильным. Приведем контрпример.

Рис. 1.2: Контрпример. Сумма двух максимальных стабильных мостов.

Рассмотрим игру с простыми движениями:

Возьмем два набора параметров, показанных на рис. 1.2: P1 = Q2 = [1, 1] {0}, P2 = Q1 = {0, 0}, M1 = M случае первый игрок при отсутствии второго будет увеличивать сечение моста, приведя его в момент окончания к восьмиугольнику W1(1). Во втором случае второй игрок будет мост сжимать, превратив его сечение в момент окончания в отрезок W2(1). Сумма этих двух сечений показана справа. Далее построим максимальный стабильный мост в игре с параметрами (P1 + P2, Q1 + Q2, M1 + M2). Так как возможности игроков здесь равны, все сечения максимального стабильного моста W1+2 будут равняться терминальному множеству M1 + M2.

Построение семейства {Wk } 1. Выбор критического уровня помехи Qmax. Главный мост. Выберем множество Qmax Rq выпуклый компакт, содержащий нуль. Это множество будет играть роль критического уровня помехи максимального уровня, при котором еще гарантируется приведение на терминальное множество.

Построим главный мост Wmain максимальный стабильный мост игры (1.4) с параметрами (P, Qmax, M). Множество Qmax следует выбирать так, чтобы для главного моста выполнялось условие замкнутая окрестность нуля пространства Rn радиуса.

где O() Дополнительный мост. Кроме главного, нам понадобится дополнительный мост Wadd максимальный стабильный мост, соответствующий ограничениям Padd = {0} (управление первого игрока нулевое), Qadd = Qmax и терминальному множеству Madd, которое выбирается так, чтобы выполнялось аналогичное (1.5) вложение Легко предложить (при зафиксированном ) способ выбора минимального Madd. Для этого рассмотрим трубку множества достижимости G за второго игрока в игре (1.4) с ограничением v Qmax, выпущенную в начальный момент интервала T из окрестности нуля O(). Поскольку управление первого игрока нулевое, множество достижимости будет совпадать с максимальным стабильным мостом, построенным от терминального множества G(). Полагаем Madd = G(), Wadd = G. Условие (1.6) выполняется автоматически.

В дальнейшем в качестве дополнительного моста Wadd будем брать множество G. Чтобы подчеркнуть это, условимся писать MG вместо Madd.

Построение семейства стабильных мостов. Рассмотрим семейство множеств где k действительные числа.

1.5. Управление в скалярном случае с ограничением по модулю Из условий (1.5) и (1.6) получаем строгое вложение множеств друг в друга. Из утверждений раздела 1.3 следует, что множество Wk при 0 k 1 является максимальным стабильным мостом, соответствующим параметрам (kP, kQmax, kM), а при k > 1 стабильным мостом, соответствующим P, kQmax, M + (k 1)MG. Т.е. семейство множеств {Wk }, построенное по формуле (1.7), удовлетворяет условиям раздела 1.2 (с множеством индексов K = [0, +)).

Подчеркнем, что построение множеств Wk согласно (1.7) опирается на вычисление одного максимального стабильного моста (главный мост) и одного множества достижимости (дополнительный мост), что делает такую схему очень удобной для численной реализации.

Зададим функцию V : T Rn R функцию уровня семейства {Wk }:

Из соотношений (1.5) и (1.6) вытекает, что функция x V (t, x) для любого t T удовлетворяет условию Липшица с константой = 1 /.

Замечание 3. Множество Qmax задает форму ограничения на возмущение, управление же подстраивается под уровень действующей помехи, определяемый как kQmax. Увеличение Qmax (пока это не противоречит условию (1.5)) увеличивает допустимую помеху, при которой гарантируется приведение на терминальное множество, но уменьшает размеры главного моста Wmain совокупность позиций, для которых обеспечивается эта гарантия.

Замечание 4. В этом разделе эффективное построение семейства {Wk } предложено для линейных систем. Общую идею, описанную в разделе 1.2, можно применить и к нелинейным системам, если для них известны методы построения стабильных мостов. Однако неочевидным является вопрос, каким образом выбирать параметры мостов, чтобы обеспечить их вложенность друг в друга.

1.5 Управление в скалярном случае с ограничением по модулю Пусть управление первого игрока скалярное и ограничено по модулю:

1.5. Управление в скалярном случае с ограничением по модулю Предположим, что вектор-функция B(t) липшицева с константой, = maxtT |B(t)|. В этом случае управление обратной связи можно строить при помощи поверхности переключения.

Через A(t, x) обозначим прямую в пространстве Rn, параллельную вектору B(t) и проходящую через точку x:

Пусть Минимум достигается, поскольку функция x V (t, x) непрерывна и уходит в бесконечность при |x|. Так как эта функция является квазивыпуклой (т.е. ее множества Лебега выпуклы), то минимум реализуется либо в точке, либо на отрезке.

Если B(t) = 0, будем считать V(t, x) V (t, x).

Для любого t T положим Введем также множества Множество (t) является замкнутым, множества (t) и +(t) находятся по разные стороны от него. Эти три множества делят пространство Rn на три части.

Зададим функцию и многозначную функцию В качестве стратегии U первого игрока можно взять произвольную однозначную выборку из многозначной функции U0 :

1.5. Управление в скалярном случае с ограничением по модулю Таким образом, управление U (t, x) “переключается” на множестве (t).

Для простоты множество (t) будем называть поверхностью переключения, соответствующей моменту t.

Ниже будет сформулирована теорема о гарантии, обеспечиваемой первому игроку произвольной однозначной выборкой U U0. Чтобы описать влияние малых неточностей при построении поверхности переключения (t), будут рассмотрены множества r (t) (t), r > 0, и определена многозначная функция Ur такая, что U0 (t, x) Ur (t, x).

Если B(t) = 0, положим Множество r (t) назовем геометрическим r-расширением множества (t) в направлении вектора B(t). Если B(t) = 0, будем считать r (t) = (t) = Введем множества r (t) и r (t), отличающиеся от множеств (1.8) заменой (t) на r (t), и определим многозначную функцию Ur (t, x), отличающуюся от функции (1.9) заменой (t) на r (t) и ±(t) на r (t).

Пусть первый игрок применяет некоторую однозначную стратегию U Ur в дискретной схеме управления [35, 70] с шагом. На каждом интервале дискретной схемы вырабатываемое управление постоянно. Выбирая программное управление v(·) второго игрока и начальную позицию (t0, x0), получаем движение t x(t) системы (1.2).

Справедлива следующая теорема о гарантии.

Теорема 1. Пусть r 0иU стратегия первого игрока такая, что U (t, x) U (t, x) для всех (t, x) T Rn. Выберем произвольно t0 T, x0 Rn и > 0. Предположим, что управление второго игрока на промежутке [t0, ] будет ограничено множеством k Qmax, k 0. Обозначим Пусть x(·) движение системы (1.2), выходящее из точки x0 в момент t0 под воздействием стратегии U в дискретной схеме управления с шагом и некоторого управления v(·). Тогда реализация u(t) = U t, x(t) управления первого игрока подчиняется включению При этом значение V t, x(t) функции V удовлетворяет неравенству 1.6. Управление в векторном случае с независимыми покомпонентными Здесь Доказательство теоремы приведено во второй главе.

1.6 Управление в векторном случае с независимыми покомпонентными ограничениями Пусть управление первого игрока векторное с независимыми покомпонентными ограничениями:

Тогда, по аналогии с предыдущим, можно использовать набор поверхностей переключения. Считаем, что векторы Bi(t) столбцы матрицы B(t) удовлетворяют условию Липшица.

Через Ai (t, x) обозначим прямую в пространстве Rn, параллельную вектору Bi(t) и проходящую через точку x. Пусть Положим Множество i (t) задает поверхность переключения для i-ой компоненты управления.

Зададим функцию и многозначную векторную функцию 1.7. Управление в случае произвольного ограничения В качестве стратегии U первого игрока можно взять произвольную однозначную выборку из многозначной функции U0.

Этот метод является эмпирическим расширением предыдущего. Со строгой математической точки зрения он может давать ошибки в случае, когда поверхности переключения частично или полностью “слипаются” друг с другом (такое может происходить в точках негладкости границ мостов). Однако в практических задачах метод можно использовать, и он дает результаты сравнимые с результатами следующего метода.

1.7 Управление в случае произвольного ограничения Пусть P произвольное выпуклое компактное ограничение, содержащее нуль. Для выбора управления u(t, x) будем использовать идею экстремального прицеливания [35, 36, 70].

Зафиксируем число > 0 расстояние прицеливания. Найдем k = min V (t, z) по z из шара радиуса с центром в точке x. Число k является индексом наименьшего моста, находящегося от текущей точки на расстоянии, не превышающем.

Пусть точка z на границе сечения Wk (t) ближайшая к точке x. В качестве управления u(t, x) возьмем произвольный вектор из Pk, дающий максимальное скалярное произведение с вектором прицеливания l = z x:

Здесь Pk ограничение на управление первого игрока, соответствующее мосту Wk. Напомним, что Pk = min(k, 1) · P.

Отметим, что если точка x отстоит от нуля на расстояние меньшее, то u(t, x) = 0, что означает прицеливание на мост W0, которому соответствует ограничение P0 = {0}.

Сформулируем теорему о гарантии. Предварительно введем несколько обозначений.

Множество достижимости за первого игрока обладает линейным ростом по t. В качестве оценки скорости возьмем номером j вектора u.

Символом обозначим максимум из констант Липшица для отображений t Bj (t).

Пусть оценка покоординатного отклонения множества P от нуля, т.е. maxj max {|uj | : u P }.

Теорема 2. Пусть > 0 и U стратегия первого игрока, осуществляющая прицеливание при заданном расстоянии. Выберем произвольно t0 T, x0 Rn и > 0. Предположим, что управление v(·) второго игрока на промежутке [t0, ] будет ограничено множеством k Qmax, k 0. Обозначим движение системы (1.2), выходящее из точки x0 в моПусть x(·) мент t0, порожденное стратегией U в дискретной схеме управления с шагом и управлением v(·). Тогда реализация u(t) = U t, x(t) управления первого игрока подчиняется включению При этом значение V t, x(t) функции V удовлетворяет неравенству Здесь Доказательство теоремы приведено во второй главе.

Замечание 5. Для построения управления при помощи экстремального прицеливания следует описать способ выбора наименьшего моста, отстоящего в текущий момент от заданной точки на расстояние, не большее.

Сечения стабильных мостов описываем при помощи опорных функций.

Значение опорной функции множества A на векторе l определяется в виде При численных построениях мы аппроксимируем выпуклые сечения мостов выпуклыми многогранниками (если фазовое пространство эквивалентной игры двумерное, то выпуклыми многоугольниками). Выпуклый 1.7. Управление в случае произвольного ограничения многогранник можно точно описать опорной функцией, если в качестве набора L единичных векторов l взять совокупность, содержащую нормали ко всем его граням. Соответственно, точка z принадлежит выпуклому многограннику, если она удовлетворяет системе неравенств Мост, на который осуществляется прицеливание из текущей позиции (t, x), определяется при помощи следующего алгоритма. Пусть сечение главного моста задается опорной функцией main (l), сечение дополнительного моста функцией add (l). Предположим, что сечения этих мостов и сечения мостов Wk, ими порождаемых, описываются при помощи одного и того же набора векторов L.

1) Если x, то прицеливаемся на нулевой мост, k = 0.

2) Иначе определяем число k по формуле Если получившееся k не превосходит единицы, то для прицеливания используем мост Wk, т.е. принимаем k = k.

3) Если число k больше единицы, то Докажем сформулированное правило.

Предположим, что искомое сечение соответствует k 1. Тогда оно задается формулой Wk (t) = kWmain (t). Рассмотрим многогранник, получаемый из сечения Wmain(t) главного моста умножением на коэффициент k и увеличением по всем направлениям из L на расстояние. Этот многогранник описывается системой неравенств причем точка x лежит на его границе. Стало быть, и при некотором L Следовательно, Получили значение, соответствующее формуле (1.10).

Пусть искомое сечение соответствует k > 1. Тогда Wk (t) = Wmain(t) + (k 1)Wadd(t). Аналогично предыдущему получаем при некотором L. Отсюда следует, что k вычисляется по формуле (1.11).

1.8 Случай двумерной эквивалентной игры Если в исходной системе (1.1) множество M определяется лишь двумя координатами фазового вектора x (т.е. n = 2), то при переходе к системе (1.2) получаем размерность фазового вектора x равную двум. Множества Wk (t) в этом случае представляют собой множества на плоскости.

Для случая n = 2 разработаны [30] эффективные алгоритмы и программы построения максимальных стабильных мостов в линейных антагонистических дифференциальных играх. Эти программы используются при конструировании сечений максимальных стабильных мостов Wmain и Wadd.

Рис. 1.3: Управление при помощи поверхности переключения в скалярном случае.

Рис. 1.4: Управление при помощи поверхности переключения в векторном случае.

Рис. 1.5: Управление при помощи экстремального прицеливания.

На рис. 1.3 показана иллюстрация способа управления при помощи поверхности переключения при скалярном управлении. Множество (t) назовем линией переключения для момента t. Выбор управляющего воздействия состоит из двух частей: выбор знака и выбор модуля. В каждый момент времени t имеем семейство вложенных множеств Wk (t) на плоскости.

На каждом из этих множеств найдем точки, для которых прямая, параллельная вектору B(t), является опорной к множеству. Соединив эти точки, получим линию (t), определяющую знак управления. Модуль управляющего воздействия задается формулой няющего начало координат с границей множества Wmain(t).

Управление в векторном случае при помощи поверхностей переключения поясняется на рис. 1.4. Знак каждой из компонент управляющего воздействия определяется из положения текущей точки относительно соответствующей линии переключения. Модуль каждой из компонент управляющего воздействия определяется так же, как и в предыдущем способе.

На рис. 1.5 проиллюстрировано управление при помощи экстремального прицеливания. Определяется минимальный мост, отстоящий от текущей точки не далее фиксированного расстояния. Выбирается вектор управления, дающий максимальный сдвиг в сторону ближайшей точки этого моста. Модуль управления соответствует ограничению, при котором построен выделенный мост.

1.9 Разработанный комплекс программ На основе предложенного теоретического метода построения адаптивного управления создан комплекс программ, предназначенный для численного исследования задач, имеющих эквивалентный фазовый вектор размерности два. Это имеет место в случае линейной игры с фиксированным моментом окончания и фазовой переменной любой размерности, но с терминальным множеством, задаваемым двумя компонентами фазового вектора в момент окончания. Комплекс позволяет:

• численно строить адаптивное управление на основе поверхностей переключения в случае скалярного полезного управления, ограниченного по модулю, либо в случае векторного управления с независимыми покомпонентными ограничениями;

• строить адаптивное управление при помощи экстремального прицеливания в случае произвольного компактного ограничения на полезное управление;

• проводить моделирование движения линейных систем под действием произвольных управлений;

• численно строить максимальные стабильные мосты и множества достижимости в двумерном пространстве.

Комплекс реализован на языке программирования C# в системе Visual Studio 2003.

Комплекс состоит из нескольких библиотек и использующих их программ. Основная библиотека Robust реализует описанные выше вычисления. Перечислим ее основные компоненты.

1. Класс Bridge реализует вычисление максимального стабильного моста. На входе принимает: матрицы A, B, C, множества P, Q, два номера целевых фазовых переменных, двумерное терминальное множество M, интервал времени [0, ] и шаг дискретной схемы. На выходе: набор многоугольников, приближающих сечения максимального стабильного моста по времени.

2. Класс ReachSet реализует вычисление множества достижимости. На входе, соответственно, принимает: матрицы A, B, множество P, два номера целевых фазовых переменных, двумерное начальное множество Z0, интервал времени [0, ] и шаг дискретной схемы. На выходе: набор многоугольников, приближающих сечения множества достижимости.

3. Класс RobustControl вычисляет адаптивное управление на основе поверхностей переключения. Поддерживает интерфейс IControl общий интерфейс всех классов, реализующих методы управления. На входе принимает те же параметры, что и класс Bridge. Используется из других классов через метод GetControl(t, x) интерфейса IControl.

4. Класс RobustAimControl вычисляет адаптивное управление на основе экстремального прицеливания. Входные параметры те же, что и для класса RobustControl, и дополнительно, расстояние прицеливания.

Используется через методы интерфейса IControl.

5. Класс Simulator проводит моделирование линейной дифференциальной игры. На входе принимает: матрицы A, B, C, начальную точку x0, интервал времени [0, ], шаг дискретной схемы, два класса, реализующих интерфейс IControl и производящих управления первого и второго игроков.

Библиотека Widgets используется для графического вывода полученных результатов.

В библиотеке Aircraft содержатся нелинейная и линеаризованные системы динамики самолета. Задачам управления самолетом в условиях ветровых возмущений посвящена третья глава.

На основе этих библиотек создано несколько программ. Программа AirSimulator предназначена для моделирования задачи о посадке самолета, программа AirEvade1D для моделирования задачи о преодолении самолетом препятствия по высоте, программа Missiles для задачи перехвата одного слабоманеврирующего объекта другим [80, 81].

Видеофайлы, показывающие результаты моделирования в движении, представлены в Интернете: для задачи о посадке самолета на странице [99], для задачи о перехвате на странице [100].

В заключение этого раздела отметим, что одно- и двумерные задачи являются наиболее простыми. На основе алгоритмов построения максимальных стабильных мостов в трехмерном [22, 24, 25, 52] и многомерном [18, 27] случаях могут быть созданы соответствующие реализации предложенного метода адаптивного управления. Вариант программы для трехмерного случая описан в [29].

1.10 Пример Применение метода адаптивного управления к достаточно сложным задачам рассматривается в третьей главе. В этом разделе рассмотрим применение метода к модельной задаче конфликтно-управляемого маятника.

Динамику маятника запишем в линеаризованной форме Промежуток времени T выберем равным [0, 10], шаг дискретной схемы возьмем 0.05. Управление первого игрока ограничим неравенством |u| 1.

Для построения адаптивного управления следует выбрать критический уровень помехи Qmax. Возьмем его в виде |v| 1.

Для данной задачи управление можно строить при помощи поверхности переключения, как в разделе 1.5, либо при помощи экстремального прицеливания, как в разделе 1.7. Два этих способа дают практически одинаковые реализации управления. Для сравнения на рис. 1.6 показаны графики реализаций управления для случая синусоидальной помехи уровня 1.0. Как видно, два метода выбора управления дают одинаковые значения всюду, кроме нескольких тактов дискретной схемы. Поэтому в дальнейшем все моделирование будет проводиться для метода с поверхностью переключения из раздела 1.5. Сечение поверхности переключения в момент времени t называем линией переключения.

Два моста из семейства {Wk } показаны на рис. 1.7. Представлены шесть Рис. 1.6: Реализации управления для а) метода с поверхностью переключения, б) метода экстремального прицеливания.

ординатах x1, x2 эквивалентной системы (1.2). Жирной линией обозначен главный мост Wmain = W1, тонкой линией мост W1.1, пунктиром линия переключения.

Для моделирования движения системы осталось задать начальное положение системы и какое-либо управление помехи. Начальное положение выберем нулевым и рассмотрим несколько вариантов поведения второго игрока.

Можно задать управление второго игрока как программное управление. Возьмем синусоиду с периодом 7 и с амплитудами 0.5, 1.0 и 1.2, что соответствует уровню вполовину меньшему, чем ожидаемый Qmax ; уровню, соответствующему ожидаемому; и уровню большему. На рис. 1.8 показаны траектории реализовавшихся движений и графики управлений. Траектории системы в координатах x1, x2 эквивалентной игры (1.2) для трех вариантов помехи приведены на рис. 1.8а. Точками обозначены положения в момент окончания на фоне круга терминального множества. На рис. 1.8б представлены те же траектории, но в исходных координатах x1, x2 системы (1.1). Рис. 1.8в содержит графики реализаций управления первого игрока, пунктирными линиями показано ограничение P = [1, 1] на управление первого игрока. Рис. 1.8г дает графики реализаций помехи, пунктиром показан критический уровень помехи Qmax.

Как видно, три представленных траектории выходят из одной точки, а затем под действием помех различного уровня расходятся. Поскольку действуют подобные помехи, то результирующие траектории, а также реализации управления получаются похожими, с разницей в уровнях, на которых происходит стабилизация. Все три движения приходят в момент окончания на терминальное множество, хотя в третьем случае это не гарантировалось.

Рассмотрим другой вариант помехи “экстремальное” управление второго игрока [26]. Для этого зафиксируем ограничение на управление второго игрока и обратимся к стандартной дифференциальной игре с геометрическими ограничениями на управления обоих игроков и функцией платы в виде функции Минковского от терминального множества M. Для такой игры при помощи линий переключения можно построить оптимальное управление второго игрока, которое и будем называть экстремальным. Так же, как и в случае с синусоидой, будем использовать три вида ограничений:

0.5 · Qmax, 1.0 · Qmax и 1.2 · Qmax.

Результаты моделирования представлены на рис. 1.9. Обозначения совпадают с обозначениями рис. 1.8. Естественно, экстремальная помеха оказывается хуже синусоиды. Она выводит движение системы на мост, ей соответствующий, при этом адаптивное управление выходит на соответствующий уровень. В дальнейшем управление и помеха, парируя друг друга, держат позицию системы на одном уровне вблизи границы данного моста. В результате движение, порожденное помехой уровня 0.5 · Qmax, приходит внутрь терминального множества, движение уровня 1.0 · Qmax на его границу, а движение уровня 1.2 · Qmax заканчивается терминальным промахом, который можно оценить мостом W1.2.

Обратим внимание, что реализация экстремального управления второго игрока имеет три переключения. Столько же нулей было у выбранной синусоидальной помехи. Синусоиды с большим и, в особенности, с меньшим периодом давали бы более хорошие результаты для первого игрока.

Рис. 1.8: Результаты моделирования при синусоидальной помехе: а) траектории движения в эквивалентных координатах x1, x2 для случаев (1) синусоиды уровня 0.5, (2) уровня 1.0, (3) уровня 1.2; б) траектории тех же движений в исходных координатах x1, x2 ; в) графики реализаций управления; г) графики реализаций помехи.

Рис. 1.9: Результаты моделирования при экстремальной помехе: а) траектории движения в эквивалентных координатах x1, x2 для случаев (1) экстремальной помехи уровня 0.5, (2) уровня 1.0, (3) уровня 1.2; б) траектории тех же движений в исходных координатах x1, x2; в) графики реализаций управления; г) графики реализаций помехи.

Глава Доказательства теорем о гарантии Приведены доказательства двух теорем о гарантии, сформулированных в первой главе. Первая теорема описывает случай, когда используется управление при помощи поверхности переключения. Вторая когда используется вариант метода экстремального прицеливания для адаптивного управления.

2.1 Теорема о гарантии в случае скалярного управления при помощи поверхности переключения Ниже приведено доказательство теоремы 1 из раздела 1.5. Для удобства повторим ее формулировку.

Теорема 1. Пусть r 0иU стратегия первого игрока такая, что U (t, x) Ur (t, x) для всех (t, x) T Rn. Выберем произвольно t0 T, x0 Rn и > 0. Предположим, что управление второго игрока на промежутке [t0, ] будет ограничено множеством k Qmax, k 0. Обозначим Пусть x(·) движение системы (1.2), выходящее из точки x0 в момент t0 под воздействием стратегии U в дискретной схеме управления с шагом и некоторого управления v(·). Тогда реализация u(t) = U t, x(t) управления первого игрока подчиняется включению 2.1. Теорема о гарантии в случае скалярного управления при помощи При этом значение V t, x(t) функции V удовлетворяет неравенству Здесь Приведенное доказательство использует некоторые элементы схемы рассуждений из [41].

Для записи изменения функции V вдоль движения x(·) системы (1.2) на некотором промежутке [t1, t2] введем обозначение Вспомогательные утверждения. Для компактных множеств X, Y в Rn пусть хаусдорфово отклонение множества X от множества Y.

Символом Gk (t; t, x) при k 0 обозначим множество достижимости системы (1.2) в момент t t из состояния x в момент t с использованием всевозможных измеримых программных управлений u(t) P, v(t) kQmax на промежутке [t, t]. Положим Здесь O() окрестность нуля радиуса.

Лемма 1. Пусть Пусть x(·) движение системы (1.2) в силу программных управлений u(t) P, v(t) kQmax, выходящее в момент t из точки x. Тогда справедлива оценка Доказательство. Обозначим t = t +. Поскольку x intWk (t), то c = V (t, x) k. Поэтому, используя свойства функции V, по управлению v(·) можно найти такое управление u(·), что u (t) cP P, где c = V (t, x), и 2.1. Теорема о гарантии в случае скалярного управления при помощи при этом движение x (·), выходящее в момент t из точки x и порождаемое управлениями u (·) и v(·), удовлетворяет включению Имеем Символом обозначим оператор ортогонального проектирования пространства Rn на подпространство, ортогональное вектору B(t).

Принимая во внимание, что управления u(t) и u (t) ограничены по модулю числом µ, функция B(t) удовлетворяет условию Липшица с постоянной и B(t) = 0, из соотношения (2.7) получим Пусть x ближайшая к множеству Wc (t) точка на прямой A t, x(t).

Из включения x (t) Wc (t), вытекающего из неравенства (2.6), и определения оператора следует, что Отсюда, учитывая липшицевость функции x V (t, x) и равенство c = V (t, x), получаем Требуемое неравенство (2.5) вытекает из неравенства (2.8) и того, что Лемма 2. Пусть выполнены условия (2.4). Предположим, что 2.1. Теорема о гарантии в случае скалярного управления при помощи Пусть x(·) движение системы (1.2) в силу постоянного управления и некоторого управления v(t) kQmax, выходящее в момент t из точки x. Тогда справедлива оценка Доказательство. Обозначим t = t +, c = V (t, x). Как и в начальной части доказательства леммы 1, по заданному v(·) выберем управление u(·), u(t) cP, где c = V (t, x), так чтобы соответствующее движение x(·), выходящее в момент t из точки x, удовлетворяло включению Положим Покажем, что Рассмотрим случай Имеем x (t) + (t), z +(t). Поскольку u(t) u (t), t [t, t], то при B(t) = 0, используя представление (2.12), получаем, что точка z лежит на прямой A t, x (t) относительно точки x (t) в направлении вектора B(t).

Отсюда, учитывая квазивыпуклость функции x V (t, x), выводим неравенство (2.13).

В случае неравенство (2.13) доказывается аналогично.

Поскольку правая часть неравенства (2.13) не превышает c, получаем включение z Wc (t). Стало быть, 2.1. Теорема о гарантии в случае скалярного управления при помощи Используя определение вектора z, имеем Поэтому Требуемое неравенство (2.10) вытекает из того, что Лемма 3. Пусть Пусть x(·) движение системы (1.2) в силу постоянного управления (2.9) и некоторого управления v(t) kQmax, выходящее в момент t из точки x. Предположим, что при всех t [t, t]. Тогда справедлива оценка Доказательство. Без ограничения общности рассмотрим случай, когда Предположим, что максимальный момент из промежутка [t, t], когда V t, x(t) = Пусть t V (t, x).

Разделим интервал [t, t] моментами t1, t2,..., tm (t1 = t, tm = t) с шагом так, чтобы для любых n = 1, 2,..., m 1 выполнялось соотношение Это можно сделать, опираясь на предположение о расположении точки x(t) относительно поверхности переключения (t). Отметим, что при любом n имеет место неравенство 2.1. Теорема о гарантии в случае скалярного управления при помощи Рассмотрим произвольный промежуток времени [tn, tn+1]. Символом xn (·) обозначим движение системы (1.2) в силу постоянного управления un(t) V tn, x(tn) µ первого игрока и оговоренного в формулировке леммы управления v(·) второго игрока, выходящее в момент tn из точки x(tn ).

В силу леммы 2 имеем неравенство Оценим V (tn+1, x(tn+1)) через V (tn+1, x(tn+1)):

Поскольку x(tn+1) x(tn+1) = Здесь воспользовались неравенством вытекающим из неравенства (2.16).

В силу соотношений (2.18), (2.19) получаем Согласно неравенству (2.20) Из неравенства (2.17) и последних двух неравенств следует неравенство 2.1. Теорема о гарантии в случае скалярного управления при помощи которое запишем при помощи обозначения (2.3) в виде Отметим, что Займемся оценкой величины Рассмотрим геометрическую прогрессию Из соотношений (2.21), (2.22), (2.24) видно, что Имеем Здесь использовано равенство m 1 = (t t)/.

Соотношения (2.23), (2.25), (2.26) приводят к неравенству которое справедливо при разбиении промежутка [t, t] с любым достаточно малым шагом. Получили противоречие с предположением (2.15).

Таким образом, оценка (2.14) доказана.

Следующая лемма дает тривиальную оценку изменения функции V вдоль движения системы (1.2) при некотором допустимом программном управлении первого игрока и ограниченном программном управлении второго игрока.

2.1. Теорема о гарантии в случае скалярного управления при помощи Лемма 4. Пусть Пусть x(·) движение системы (1.2) в силу программных управлений u(t) P и v(t) kQmax, выходящее в момент t из точки x. Тогда справедлива оценка Доказательство. Пусть c = V (t, x). По управлению v(·) построим такое управление u (·), что u(t) P и движение x(·), выходящее в момент t из точки x под действием u(·) и v(·), удовлетворяет включению Следовательно, Поскольку Учитывая условие Липшица для функции x V (t, x), имеем Это вместе с неравенствами (2.29) и (2.30) дает неравенство (2.28).

Доказательство теоремы. Установим справедливость неравенства (2.2).

При выполнении этого неравенства также выполняется и включение (2.1), поскольку На промежутке времени [t0, ] выделим замкнутые интервалы, на которых x(t) intWk (t). Вне этих интервалов имеем V t, x(t) < k s, и неравенство (2.2) автоматически выполняется.

Пусть [, ] произвольный из указанных интервалов. Считаем, что его нельзя расширить влево с соблюдением условия x(t) intWk (t). Тогда либо V, x () = k, либо V (, x ()) > k. Последний случай возможен лишь при = t0.

2.1. Теорема о гарантии в случае скалярного управления при помощи Докажем соотношение (2.2) на промежутке [, ].

1. Пусть > 0, > 0. Положим А. Выделим вдоль движения x (·) “петли”, связанные с заходом в множество r (t). Определим также свободные промежутки.

Двигаясь от к, находим первый момент t, когда x(t) r (t). Такой момент назовем моментом начала первой петли и обозначим t1. Далее отмечаем момент t1 окончания первой петли как последний момент t на промежутке [t1, t1 + h] [, ], в который x(t) r (t). Момент t1, в частности, может совпадать с t1.

В качестве момента t2 начала второй петли возьмем первый момент t [t1 + h, ], когда x(t) r (t). Затем отмечаем момент t2 окончания второй петли как последний момент t на промежутке [t2, t2 + h] [, ], когда x(t) r (t).

Продолжая такой процесс, получим набор петель на [, ].

Удаляем из [, ] внутренность промежутков построенных петель. Получаем упорядоченный набор отрезков времени. Каждый из них называем свободным промежутком. Он может быть вырожденным, т.е. состоящим из одной точки.

Если на [, ] петли отсутствуют, то считаем [, ] свободным промежутком.

Б. Пусть [, ] некоторый свободный промежуток. Покажем, что приращение функции V на нем описывается неравенством Нижний индекс f подчеркивает, что изменение функции V подсчитывается на свободном промежутке.

На внутренности свободного промежутка движение x (·) идет по одну сторону от множества а стало быть, и по одну сторону от множества В момент t начала очередного дискрета времени при 2.1. Теорема о гарантии в случае скалярного управления при помощи выбирается управление которое действует до начала следующего дискрета. В силу леммы 3 имеем Var V, [t, t + ] Производя суммирование для всех дискретов времени, начинающихся на полуинтервале [, ), получаем Здесь t начало первого дискрета на [, ).

Для промежутка [, t ] в силу леммы 4 находим Складывая два последних неравенства, приходим к оценке (2.32).

В. Будем говорить, что [, ] промежуток вида E1, если он составлен из некоторой петли [ti, ti] и примыкающего к ней справа свободного промежутка. Промежуток [, ] вида E1 при дополнительном условии + h будем называть промежутком вида E2.

Оценим приращение функции V вдоль движения x(·) на промежутке вида E1.

Рассмотрим промежуток петли [ti, ti]. Воспользовавшись леммой 1 при = ti ti, получим Поскольку ti ti h, то второе слагаемое в правой части можно заменить на µh(ti ti ). Учитывая неравенство справедливое в силу неравенства V (t, x) r (ti ), приходим к соотношению На свободном промежутке [ti, ] имеем неравенство (2.32) при = ti, объединяя которое с неравенством (2.33) с учетом соотношения ti ti, получим 2.1. Теорема о гарантии в случае скалярного управления при помощи Нижний индекс 1 подчеркивает, что подсчет приращения функции V происходит на промежутке вида E1.

Перейдем к оценке приращения Var2 функции V вдоль движения x(·) на промежутке вида E2. Поскольку в этом случае h, то из соотношения (2.31) следует неравенство Привлекая неравенство (2.34), получим Г. Рассмотрим промежуток [, t] (t ). Представим его составленным из первого свободного промежутка [, t], конечного числа промежутков вида E2, идущих друг за другом от момента t до некоторого момента t (их суммарный промежуток времени есть [t, t]), и остаточного промежутка [t, t] вида E1. Применяя последовательно оценки (2.32), (2.35) и (2.34), имеем Подставляя h по формуле (2.31), получим момент, когда x (t) (t). Обозначим его t. Пусть t последний на [, t] момент, когда x (t) r (t). Имеем Для промежутков [, ] и [t, t], опираясь на леммы 3, 4 (так же, как при выводе неравенства (2.32)), получим Для промежутка [t, t], обращаясь к лемме 1 при = 0, имеем 2.2. Теорема о гарантии для случая экстремального прицеливания Поэтому, учитывая неравенство приходим к оценке Объединяя неравенства (2.37), (2.38), получим 3. Опираясь на неравенство (2.36) для случая, когда > 0, > 0, и на неравенство (2.39) в случае = 0, 0, имеем оценку В момент значение V, x() функции V равняется либо k, либо V (t0, x0). Таким образом, Подставив это неравенство в соотношение (2.40) и приняв во внимание, что получаем неравенство (2.2).

2.2 Теорема о гарантии для случая экстремального прицеливания Ниже приведено доказательство теоремы 2 из раздела 1.7. Повторим ее формулировку.

Теорема 2. Пусть > 0 и U стратегия первого игрока, осуществляющая прицеливание при заданном расстоянии. Выберем произвольно t0 T, x0 Rn и > 0. Предположим, что управление v(·) второго игрока на промежутке [t0, ] будет ограничено множеством k Qmax, k 0. Обозначим движение системы (1.2), выходящее из точки x0 в моПусть x(·) мент t0, порожденное стратегией U в дискретной схеме управления с 2.2. Теорема о гарантии для случая экстремального прицеливания шагом и управлением v(·). Тогда реализация u(t) = U t, x(t) управления первого игрока подчиняется включению При этом значение V t, x(t) функции V удовлетворяет неравенству Здесь Доказательство. Пусть x(t) точка, на которую осуществляется прицеливание из точки x(t). Для получения оценок (2.41) и (2.42) достаточно доказать оценку Включение (2.41) вытекает из (2.43) с учетом правила построения экстремального прицеливания для адаптивного управления. Неравенство (2.42) следует из того, что точки x(t) и x(t) отстоят на расстояние, не большее.

1. Пусть на некотором интервале [t, t + ) действует экстремальное управление u первого игрока. Оно является постоянным и вырабатывается в момент t из условия прицеливания на сечение Wc (t ) моста, соответствующего индексу c. Расстояние от точки x(t) до сечения Wc (t ) не превосходит. Единичный вектор прицеливания l(t) направлен из точки x(t) к ближайшей на Wc (t) точке x (t).

Предположим, что помеха не превышает уровень c Qmax, соответствующий мосту Wc. Пусть v(·) реализация помехи на [t, t +). Из условия стабильности множества Wc подберем измеримую функцию u(·) со значениями в Pc = min {c, 1} · P так, чтобы получившееся движение, выходящее из точки x (t), на [t, t + ) шло по сечениям Wc (t). Положение этого движения в момент t + обозначим через b.

Символом e обозначим положение в момент t + движения из точки x(t) в силу постоянного экстремального управления u первого игрока и помехи v(·). Оценим расстояние между точками e и b.

Рассмотрим вспомогательное движение из точки x(t), которое является копией движения в силу стабильности из точки x (t). Обозначим через a его положение в момент t +.

Вначале оценим превышение точки e над точкой a по направлению l(t).

Имеем Так как вектор u выбран из условия экстремального прицеливания по вектору l(t), первый из интегралов в последней правой части неотрицателен.

Поэтому В оценке стоит 2, т.е. покоординатный размах множества P.

Итак, Используем оценку снизу, поскольку нас интересует превышение точки e над точкой a по отношению к направлению l(t).

Расстояние между точками e и b оценивается неравенством 2.2. Теорема о гарантии для случая экстремального прицеливания Здесь учтено, что точки e и a принадлежат множеству достижимости первого игрока. Размах множества достижимости оценивается числом 2d.

Точка e может лежать по направлению l(t) ниже точки b. Тогда Получаем, что и в этом случае выполнена оценка (2.44).

2. Итак, получили оценку (2.44), которая справедлива при условии, что уровень помехи соответствует мосту, на который прицеливаемся.

Но оценка корнем неудобна для дальнейшего использования. Подменим ее более грубой оценкой. А именно Такая оценка выполнена при всех y > 0 и y В нашем случае возьмем y = 2. В силу (2.44) и (2.45) получим Обозначим Таким образом, Мы оценили расстояние в момент t + от точки x(t + ) до сечения Wc (t + ) моста, на который прицеливались в момент t.

3. Оценим значение c, которое соответствует моменту t + и представляет собой минимум функции V (t +, z) по z из шара радиуса с центром в точке x(t + ) = e. Пусть f точка минимума. Она является ближайшей к x(t + ) точкой множества Wc (t + ).

2.2. Теорема о гарантии для случая экстремального прицеливания Точка f может лежать как внутри шара радиуса, так и на его границе.

Но если она лежит внутри, то из определения функции V следует, что f является точкой глобального минимума (равного нулю).

1) Предположим, что точка b Wc (t + ), о которой говорилось в пункте 1, расположена вне шара радиуса с центром в точке e. Пусть h точка на границе этого шара, принадлежащая отрезку eb. Имеем Опираясь на (2.46), заключаем, что точка h отстоит от точки b на расстояние 2 (). Следовательно, Поскольку где x(t) точка, на которую прицеливались в момент t, то Получаем 2) Пусть точка b лежит в шаре радиуса с центром в точке e. Тогда V (t +, f ) V (t +, b) и значит Итак, для подпункта 1) справедлива оценка (2.47), для подпункта 2) оценка (2.48). В итоге, всегда Таким образом, оценили приращение функции V для точек прицеливания.

4. Пусть t произвольный момент времени из промежутка [t0, ]. Для доказательства неравенства (2.43) оценим изменение V (, x( )) на интервале [t0, t]. Если V (t, x(t)) s в рассматриваемый момент t, то неравенство (2.43), очевидно, выполнено. Далее полагаем, что V (t, x(t)) > s.

Пусть t момент последнего выхода точки x( ) на промежутке [t0, t) на уровень s функции V.

При использовании первым игроком дискретной схемы управления выбор управляющего воздействия производится в начальный момент очередного дискрета длины. Такие моменты называем дискретными. Предположим, что на (t, t) есть хотя бы один дискретный момент. Символом t обозначим ближайший справа к t дискретный момент. Ближайший слева к t дискретный момент обозначим t.

На [t, t] идут полные дискреты. Их количество (t t)/. Получаем с учетом (2.49) оценку На [t, t], снова с учетом (2.49), выполнена оценка Если на интервале (t, t) нет полных дискретных промежутков (т.е. t = t), то приращение функции V в оценке (2.50) получаем нулевым.

Оценим приращение V (, x( )) на [t, t].

В момент t имеем V (t, x(t)) = s. На [t, t] действует возмущение v(·).

Его уровень не больше k s. По функции v(·) находим управление ust (·) так, что движение xst(·) из точки x(t) в силу ust(·), v(·) идет на [t, t] по мосту Ws.

Расхождение двух движений:

Имеем Следовательно, 2.2. Теорема о гарантии для случая экстремального прицеливания 1) Пусть точка xst(t) лежит вне шара радиуса с центром в точке x(t).

Рассмотрим точку h на границе шара, принадлежащую отрезку, соединяющему точки x(t) и xst (t). Учитывая (2.52), получим 2) Пусть точка xst (t) принадлежит шару радиуса с центром в точке x(t). Тогда Таким образом, в случаях 1), 2) верна оценка Собирая оценки (2.50), (2.51), (2.53), получаем Если на интервале (t, t) нет дискретных моментов, то оценки (2.50) и (2.51) не используются. В этом случае приращение функции V на [t, t] описывается оценкой (2.53) при t = t.

Учитывая, что приходим к оценке (2.43).

Глава Две задачи об управлении самолетом в условиях ветрового возмущения В данной главе показано применение метода адаптивного управления к двум задачам, связанным с управлением самолетом при наличии неизвестных ветровых помех. В первой из них задаче о посадке рассматривается этап снижения самолета по глиссаде, который заканчивается при пересечении торца взлетно-посадочной полосы. В этот момент требуется обеспечить нахождение вертикального и бокового отклонений, а также соответствующих скоростей в заданных допустимых множествах. Вторая задача об уклонении от вертикального препятствия имеет дело с ситуацией, когда самолет, летящий на небольшой высоте, обнаруживает перед собой препятствие, которое необходимо обойти по высоте.

Моделирование движений проводится в рамках нелинейной дифференциальной системы, соответствующей средне-магистральному самолету. При построении адаптивного управления в обеих задачах используется линеаризация относительно соответствующего номинального движения. Предполагаем, что все фазовые переменные измеряются точно.

Глава начинается с описания нелинейной системы, процесса расчета номинального движения, формул линеаризации. Эта часть является общей для обеих задач. Далее рассматривается нии препятствия по высоте. Представлены результаты моделирования при различных ветровых помехах.

3.1 Модель динамики самолета 3.1.1 Дифференциальная система 1. Системы координат. При описании динамики самолета используется несколько систем координат.

Нормальная земная система координат связана с фиксированной точкой на поверхности земли. Полагаем, что в плоскости земли задано некоторое номинальное направление, которому соответствует ось xg. Ось yg направлена вертикально, ось zg характеризует боковое отклонение от номинального направления (рис. 3.1).

Начало связанной системы координат совпадает с центром масс самолета. Ось x направлена вдоль строительной оси самолета, ось z перпендикулярно оси x в плоскости крыльев, ось y перпендикулярно плоскости xz.

Различаются также земная скорость скорость самолета относительно земли, и воздушная скорость скорость относительно окружающих воздушных масс.

2. Основная часть дифференциальной системы. Для описания динамики самолета используется нелинейная 12-мерная модель [10, 78]. Эти него транспортного самолета:

Здесь:

xg, yg, zg продольная, вертикальная и боковая координаты центра масс самолета в нормальной земной системе координат;

Vxg, Vyg, Vzg соответствующие земные скорости;

x, y, z угловые скорости вращения относительно осей связанной системы координат.

В правую часть входят следующие величины:

плотность воздуха;

воздушной скорости;

V = (Vxg + Vyg + Vzg )1/ Wxg, Wyg, Wzg составляющие скорости ветра;

Ix, Iy, Iz, Ixy размах крыла;

средняя аэродинамическая хорда;

cx, cy, cz, mx, my, mz аэродинамические коэффициенты сил и моментов в связанной системе координат;

ускорение свободного падения;

угол установки двигателей.

Управление осуществляется за счет силы тяги P, отклонения элеронов a, рулей высоты e и направления r. Величины a, e, r входят в аэродинамические коэффициенты. Сила тяги и руль высоты в основном определяют движение самолета в вертикальной плоскости, элероны и руль направления в боковой.

Ветровое возмущение влияет на воздушную скорость.

3. Аэродинамические коэффициенты и числовые параметры.

Углы атаки и скольжения вычисляются по следующим формулам:

Численные выражения для аэродинамических коэффициентов и используемые числовые параметры взяты из [10,78] и соответствуют самолету Ту-154.

Коэффициенты cx, cy, cz в связанной системе координат задаются через соответствующие коэффициенты cx, cy, cz в полусвязанной системе:

Полусвязанная система отличается от связанной поворотом в плоскости xy на угол атаки.

Коэффициенты mx, my, mz определяются соотношениями mr = (0.0005 0.00003), mr = (0.00135 0.000015), mz = 0.033 0.017 0.013e + 0.047st 1.29z /V.

Здесь st отклонение стабилизатора. Стабилизатор орган управления, функционально эквивалентный рулю высоты. При задании режима полета устанавливаются номинальные значения силы тяги и отклонения руля высоты. Чтобы сделать номинальное отклонения руля высоты нулевым, его заменяют отклонением стабилизатора.

В формулах, определяющих аэродинамические коэффициенты cx, cy, cz, mx, my, mz, все угловые величины (а именно:,, e, r, a, x, y, z, st ) следует брать в градусах.

В расчетах использовались следующие численные значения:

Ixy = 0.5 106 кг · м2, = 1.72 град.

4. Инерционность управления. Для учета инерционности управления по рулю высоты, рулю направления и элеронам добавим к основной системе простейшие соотношения Здесь ke = kr = ka = 4 [1/с]. Новыми управляющими воздействиями становятся командные значения es, rs, as.

Инерционность отработки командного сигнала управления силой тяги опишем уравнением где kp = 1 [1/с], kp = 3538 [Н/с·град], p = 41.3 [град]. Такая форма записи ориентирована на случай, когда командный сигнал по силе тяги формируется при помощи ручки механизма управления тягой (ручка сектора газа). Другое описание, аналогичное (3.3), имеет вид где kp = 1 [1/с]. Различие между (3.3) и (3.4) не носит принципиального характера. Соотношение (3.3) используется в задаче о посадке, соотношение (3.4) в задаче о преодолении препятствия по высоте.

5. Инерционность ветра. Также можно ввести предположение об инерционности ветра:

Новыми управляющими воздействиями ветрового возмущения становятся Fx, Fy, Fz.

Предположение об инерционности ветра будет использовано в задаче о посадке при построении стратегии управления, так как иначе, при заданных терминальных множествах, наличие только одной составляющей Wyg, стесненной условием |Wyg | 3 м/с, при остальных компонентах помехи равных нулю, уже приводит к обрыву главного моста т.е. второй игрок при правильном поведении гарантирует уклонение от терминального множества.

3.1.2 Номинальное движение и линеаризация 1. Расчет номинального прямолинейного движения. Ось xg направим вдоль проекции прямолинейной номинальной траектории на плоскость земли. Режим полета задается при помощи V0 номинальной воздушной скорости и угла наклона траектории. Учитываются также предположения о номинальных значениях компонент скорости ветра. Полагаем равными нулю номинальные углы крена 0 и скольжения 0, а также угловые скорости x0, y0, z0. На основании этих данных можно рассчитать номинальные скорости движения Vxg0 и Vyg0, углы атаки 0, рыскания и тангажа 0, силу тяги P0 и отклонение стабилизатора st.

1) При заданной ожидаемой продольной скорости ветра Wxg0 (значения Wzg0, Wyg0 равны нулю) сначала рассчитываем номинальные скорости по координатам, а также величины q и :

Поскольку Wzg0 = 0, то 0 = 0.

Далее используем итерационную процедуру. Воспользуемся формулами:

Здесь углы берутся в радианах.

На первой итерации полагаем P(0) = 0, (0) = 0. Из (3.6) находим (0) =. Далее переходим к расчету следующей итерации. Порядок вычислений:

cx(1) из (3.9), cy(1) из (3.8), (1) из (3.10), (1) = (1) + из (3.6), P(1) из (3.7).

В итоге находим пять величин для следующего шага итерации.

Для задачи о посадке самолета параметры движения следующие:

Получаемые номинальные значения:

Номинальное значение ps0 определяется из равенства kpP0 = kp (ps + p ).

Получаем ps0 = 76.5 град. Номинальные значения es0, rs0, as0 остальных управлений равны нулю.

Для задачи о преодолении препятствия на этапе горизонтального полета до обнаружения препятствия:

Получаемые номинальные значения:

После обнаружения препятствия, для параметров используемых при моделировании, получаем Vxg0 = 69.82 м/с, Vyg0 = 4.99 м/с, 0 = 5.99 град, 0 = 10.07 град, 2) Если заданы ожидаемые продольная Wxg0 и боковая Wzg0 скорости ветра (значение Wyg0 равно нулю), то можно использовать следующую процедуру. В ней дополнительно определяется номинальный угол рыскания 0. Вычислим:

Используем формулы На первой итерации полагаем (0) = 0. Находим (0) = из (3.12), cx(0) = cx(0) = 0.21 из (3.13) и (3.14), P(0), cy(0), cy(0) получим из (3.15), (3.16), (3.17). Далее вычисляем (1), (1), cx(1), cx(1), P(1), cy(1), cy(1) из (3.11), (3.12), (3.13), (3.14), (3.15), (3.16), (3.17).

2. Линеаризация нелинейной системы. После расчета номинальных движений проводим линеаризацию нелинейной системы, учитывая соотношения инерционности управления, согласно формулам из [10]. Полученная линейная система практически распадается на две подсистемы: продольновертикального и бокового движений. Вертикальный канал не оказывает влияния на боковой, а боковой оказывает влияние на вертикальный, но очень слабое, этим влиянием пренебрегаем.

Фазовые переменные линейных систем записываются с символом, так как это системы в отклонениях. Вычисление номинальных значений скоростей, угла тангажа и силы тяги описано в предыдущем пункте, номинальные значения остальных координат нулевые.

Линейная система вертикального канала имеет вид:

Здесь Ненулевые элементы матриц AV M, B V M, C V M определяются по формулам AV M = q0Sb/Iz · Vyg0m /V02, AV M = q0Sb/Iz · (m )/V0, AV M = q0Sb/Iz · m, AV M = q0Sb/Iz · mz, AV M = q0Sb/Iz · me, Здесь c обозначает производную cx по в номинальной точке cx0. Другие подобные величины имеют сходное значение.

В случае использования соотношения (3.3) получаем B8,1 = kp /m · 180/, при использовании (3.4) имеем B8,1 = kp.

Линейная система бокового канала:

Здесь Ненулевые элементы матриц ALM, B LM, C LM :

Отметим, что при вычислении номинальных значений аэродинамических коэффициентов сил и моментов, а также номинальных значений для их производных угловые величины следует брать в радианах.

В вертикальном канале управляющими воздействиями являются командное отклонение руля высоты es и командное отклонение силы тяги (ps при использовании уравнения (3.3) и up в случае (3.4)), возмущение продольный Wxg и вертикальный Wyg ветер. Есть еще одно управление стабилизатор st, эквивалентный рулю высоты. Полагаем, что он устанавливается в номинальное положение и при моделировании не меняется. В боковом канале управляющие воздействия командные отклонения руля направления rs и элеронов as, возмущение боковой ветер Wzg.

Для задачи о посадке самолета, при рассчитанных ранее параметрах номинального движения, получаем матрицы:

Для задачи о преодолении препятствия, при горизонтальном полете:

На этапе обхода препятствия, при заданных условиях моделирования (описанных в разделе 3.3):

3.1.3 Модель микровзрыва ветра При моделировании в качестве ветровой помехи часто будем брать модель микровзрыва ветра. Микровзрыв ветра это природное явление, которое возникает, когда нисходящий поток воздуха ударяется о землю и далее расходится горизонтально с образованием вихрей. Когда самолет проходит зону микровзрыва, сначала он попадает в поток встречного ветра, который в течение достаточно быстрого времени десятков секунд меняется на нисходящий, затем на попутный. Такое изменение является очень сложным с точки зрения аэродинамики самолета. Встречный поток воздуха увеличивает воздушную скорость и, соответственно, подъемную силу, попутный или нисходящий поток наоборот. Резкая смена направления ветра со встречного на попутный приводит к резкому падению подъемной силы.

Для моделирования используется модель микровзрыва ветра из статьи [69]. Модель основана на теории гидродинамики. В пространстве задается тор, рис. 3.2. Вне тора создается турбулентность, внутри же происходит пропорциональное уменьшение скорости ветра при приближении к основному кольцу тора. Параметры микровзрыва: V скорость ветра в центральной точке (эта скорость не является максимальной, у края тора скорость ветра может быть до двух раз больше), h высота центральной точки, R радиус основного кольца тора, RC = 0.8h радиус кольца тора, x0, y0 положение центра тора в плоскости земли.

3.2 Задача о посадке самолета 3.2.1 Постановка задачи Известно, что самыми сложными и опасными этапами полета являются взлет и посадка. Применение метода адаптивного управления к задаче о посадке является естественным: во-первых, требуется гарантированное успешное завершение движения вне зависимости от действий ветровой помехи (заключенной в разумных пределах); во-вторых, в большинстве случаев ветер не является экстремальным, тогда требуется обеспечить небольшие управляющие воздействия и небольшие перегрузки.

Будем рассматривать предпоследний этап захода на посадку, когда самолет снижается по прямолинейной глиссаде. Этот этап заканчивается при пересечении торца взлетно-посадочной полосы (ВПП), рис. 3.3. За ним следует снижение до касания шасси, короткий период пробега на колесах главной стойки шасси, затем этап пробега на всех колесах.

1. Моделирование движения. Моделирование движения самолета проводится в исходной нелинейной системе (3.1) с добавлением уравнений (3.2), (3.3), учитывающих инерционность отработки управляющих воздействий.

2. Глиссада и прогнозируемое обратное время. Из точки, расположенной на высоте 15 м над торцом ВПП, выпускаем под углом 240 прямолинейную глиссаду номинальную траекторию движения. Рассчитываем параметры номинального движения по глиссаде.

Вводится прогнозируемое обратное время = xRW xg (t) /Vxg (t), где xRW положение торца ВПП. Моментом остановки моделирования, соответственно, считаем = 0.

3. Предположение об инерционности ветра. Проводится линеаризация нелинейной системы относительно номинального движения. Затем добавляем к линеаризованным системам уравнения инерционности ветра (3.5).

Добавление уравнений инерционности ветра приводит к появлению в линейных системах трех новых фазовых переменных компонент скорости ветра, которые при построении управления требуется как-то задавать.

Если считать, что скорость ветра замеряется, то эти переменные при построении управления задаются точно. Если нет, полагаем их нулевыми. В дальнейшем будем использовать первый вариант. Различия при моделировании первого и второго вариантов представлены в разделе 3.2.2.

4. Вспомогательные дифференциальные игры. Ставятся две вспомогательные линейные дифференциальные игры с фиксированным моментом окончания.

Для вертикального канала:

Здесь xV M 10-мерный фазовый вектор, включающий шесть фазовых переменных, две переменные, описывающие инерционность управления, и две переменные, описывающие инерционность ветра. Матрицы AV M +, B V M +, C V M + соответствуют матрицам AV M, B V M, C V M с добавлением к ним соотношений, описывающих инерционность ветра. Через 0 обозначается время, необходимое для достижения торца ВПП при номинальном движении.

Полезное управление и помеха ограничены значениями Целевое множество M V M представляет собой шестиугольник в пространстве yg Vyg с вершинами Момент окончания полагаем равным нулю. Ограничения на помеху трактуются как “предполагаемые”, “разумно заданные”. Их описание требуется для построения адаптивного управления.

Для бокового канала:

Здесь xLM 9-мерный фазовый вектор, включающий шесть фазовых переменных, две переменные, описывающие инерционность управления, и одну, описывающую инерционность ветра. Полезное управление и помеха ограничены значениями Целевое множество M LM представляет собой шестиугольник в пространстве zg Vzg с вершинами (6, 0), (6, 1.5), (0, 1.5), (6, 0), (6, 1.5), (0, 1.5).

Так как стабильные мосты в рассматриваемых играх значительно изменяются только на некотором начальном промежутке обратного времени = t, а затем лишь монотонно увеличиваются, будем вычислять их только до момента = 15 с. Момент = 15 с соответствует времени номинального прохождения высоты принятия решения (60 м), после которой прерывать процесс посадки запрещено. Для бльших моментов будем 3.2.2. Влияние нелинейностей и предположения об измерении скорости брать сечение, найденное для = 15 с. Положение в плоскости эквивалентной игры при > 15 с будем задавать при помощи фундаментальной матрицы, вычисленной в момент = 15 с.

Отметим также, что при построении управления вместо абсолютного обратного времени используем прогнозируемое обратное время, которое зависит от продольной скорости и, соответственно, изменяется неравномерно. Это приводит к некоторым дополнительным погрешностям.

5. Построение управления. С помощью стандартного преобразования перейдем к эквивалентным играм вида (1.2).

Для вертикального канала:

Здесь фазовый вектор V M в момент окончания совпадает с вектором, составленным из третьей и четвертой координат (вертикальное отклонение yg и вертикальная скорость Vyg ) исходной системы вертикального канала.

Для бокового канала:

Двумерный фазовый вектор LM в момент окончания совпадает с вектором, составленным из первой и второй координат (боковое отклонение zg и боковая скорость Vzg ) исходной системы бокового канала.

В двух указанных играх строим главный и дополнительный стабильные мосты. На их основе по формуле (1.7) раздела 1.4 получаем семейство множеств {Wk }.

Далее строим адаптивное управление на основе экстремального прицеливания по правилу, описанному в разделе 1.7. Внутри главного моста уровень управления выбирается пропорционально расстоянию до его границы, вне максимально возможный.

На рис. 3.4 и 3.5 показаны сечения главного моста для вертикального и бокового каналов.

3.2.2. Влияние нелинейностей и предположения об измерении скорости Рис. 3.4: Несколько сечений главного моста вертикального канала.

3.2.2. Влияние нелинейностей и предположения об измерении скорости Рис. 3.5: Несколько сечений главного моста бокового канала.

3.2.2. Влияние нелинейностей и предположения об измерении скорости 3.2.2 Влияние нелинейностей и предположения об измерении скорости ветра В этом разделе собраны сравнительные результаты моделирования, которые позволяют оценить влияние отклонений от стандартной линейной дифференциальной игры, используемой для построения управления.

При переходе к линейной системе учитываем дополнительно три уравнения, описывающие инерционность ветра. Мы можем считать, что скорость ветра измеряется точно, и тогда при построении управления трем новым фазовым переменным придаем их истинное значение. Либо можем считать, что ветер нам неизвестен, и полагать эти переменные нулевыми.

Начальная точка: 8000 м от торца ВПП по оси xg, 40 м вверх и 80 м вбок от глиссады.

На рис. 3.6 представлены результаты моделирования линейной системы бокового канала, проведенного при постоянном ветре Wzg = 8 м/с. Линии красного цвета соответствуют ситуации с измерением скорости ветра, зеленого без измерения. На рисунке показаны: траектория системы в плоскости эквивалентной игры (с увеличенным фрагментом участка с терминальным множеством), фазовая траектория системы в плоскости zg Vzg (также с увеличенным фрагментом), графики управлений. Для последних по горизонтальной оси откладываем прямое время, возрастающее от нулевого начального момента.

Как видно, траектории очень похожи и идут достаточно близко, кроме промежутка близкого к моменту окончания, где они расходятся. Расхождение достаточно сильное и приводит к терминальному промаху.

Моделирование движения в рамках нелинейной системы демонстрирует другой характер отклонения от идеализированного результата. Считаем, что скорость ветра замеряется. Результаты моделирования представлены на рис. 3.7. Ветровое возмущение бралось из модели микровзрыва.

Красный цвет соответствует движению нелинейной системы, зеленого линейной. Приведены графики траекторий и управлений в вертикальном канале.

Хотя видны расхождения в траекториях, терминальные точки оказываются достаточно близко, иногда за счет чуть более сильного управления.

3.2.2. Влияние нелинейностей и предположения об измерении скорости Рис. 3.6: Влияние измерения скорости ветра на результаты моделирования линейной системы бокового канала: а) траектория в координатах эквивалентной системы, б) увеличенный фрагмент с терминальным множеством, в) траектория в координатах zg Vzg, г) увеличенный фрагмент; графики управлений. Красный цвет с измерением скорости ветра, зеленый без измерения.

3.2.2. Влияние нелинейностей и предположения об измерении скорости Рис. 3.7: Влияние нелинейности системы на результаты моделирования вертикального канала: а) траектория в координатах эквивалентной системы, б) увеличенный фрагмент с терминальным множеством, в) траектория в координатах yg Vyg, г) увеличенный фрагмент; графики управлений.

Красный цвет нелинейная система, зеленый линейная.