«ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СЛАБЫХ УДАРНЫХ ВОЛН В ДИССИПАТИВНЫХ И СЛУЧАЙНОНЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАДАЧАМ МЕДИЦИНСКОЙ И АТМОСФЕРНОЙ АКУСТИКИ ...»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

На правах рукописи

Хохлова Вера Александровна

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СЛАБЫХ УДАРНЫХ ВОЛН

В ДИССИПАТИВНЫХ И СЛУЧАЙНОНЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАДАЧАМ

МЕДИЦИНСКОЙ И АТМОСФЕРНОЙ АКУСТИКИ

01.04.06 – акустика Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Москва, 2012 год 1 Оглавление Предисловие ……………………………………………………….

Введение …………………………………………………………….

Нелинейные взаимодействия пилообразных волн и Глава ударных импульсов за случайным фазовым экраном..

Вводные замечания …………………………………………..........

1. Статистические характеристики нелинейной пилообразной волны 1. за фазовым экраном в приближении нелинейной геометрической акустики (НГА) ……………………………………………………….

Статистика нелинейного поля одиночного N-импульса за фазовым 1. экраном. Приближение НГА ………………………………………… Статистика нелинейной N-волны за экраном при учете дифракции 1. Искажение поля сфокусированного ультразвукового пучка 1. конечной амплитуды за случайным фазовым слоем ……………….

Заключительные замечания ………………………………………….

1. Распространение нелинейных акустических сигналов Глава в случайно-неоднородной движущейся среде:

численный и физический эксперименты 2.1 Вводные замечания.……………………………………….................

2.2 Моделирование распространения сферически расходящихся Nимпульсов в однородной нелинейной среде c релаксацией ……….

2.3 Сравнение результатов численного и физического экспериментов по распространению мощных N-импульсов в однородном воздухе 2.4 Метод калибровки широкополосных микрофонов с использованием нелинейных эффектов …………………………….

2.5 Эволюционное уравнение для нелинейных волн в неоднородных движущихся средах. Теоретическая модель ………………………..

2.6 Нелинейные и дифракционные эффекты при распространении N-волн в случайно-неоднородной движущейся среде.

Численный эксперимент ……………………………………………..

2.7 Сравнение результатов моделирования и эксперимента ………… 2.8 Заключительные замечания ………………………………………… Асимптотический спектральный метод. Разрывные волны в Глава средах с различным частотно-зависимым поглощением 3.1 Вводные замечания ………………………………………….............

3.2 Асимптотический спектральный метод восстановления разрывных функций по конечному спектру……………………………………..

Асимптотический метод решения уравнения простых волн ……..

Учет разрыва производной в профиле волны ……………………...

Формирование двух разрывов на периоде волны ………………….

Использование асимптотики в виде решения Фея для описания ударных фронтов конечной ширины …...………………..................

Разрывные волны в средах со степенным частотным законом поглощения, близким к линейному ………………

Разрывные волны в средах с селективным поглощением второй гармоники …………………………………………

Нелинейное насыщение в среде с частотно - зависимым усилением …………………………………………

Асимптотический подход для моделирования ограниченных пучков разрывных волн с использованием неоднородной пространственной сетки Заключительные замечания ………………………………………..

Нелинейные взаимодействия разрывных волн в Глава ближнем поле ультразвукового излучателя Вводные замечания …………………………………………............

Спектральный алгоритм расчета ближнего поля мощного поршневого излучателя …...…………………………………............

Сравнение численного решения с известными данными измерений и моделирования…………………………………

Основные характеристики нелинейного поля. Эффект формирования двух разрывов на периоде волны…..………............

Сравнение результатов моделирования и данных эксперимента для разрывного профиля волны……..………

Заключительные замечания ………………………………………..

Нелинейные импульсные поля прямоугольных Глава фокусирующих излучателей диагностического Вводные замечания. Нелинейные методы современной ультразвуковой медицинской диагностики и проблема калибровки высокоамплитудных полей диагностических датчиков ……….…...

Постановка задачи для численного моделирования……………….

Результаты моделирования, сравнение с экспериментом …………..

Заключительные замечания..………………………………………… Глава 6 Численный и физический эксперименты в задачах характеризации нелинейных полей источников ультразвуковой хирургии Вводные замечания ………………………………………………… Основные уравнения для моделирования полей HIFU-излучателей в воде …………………………………………………………………..

Метод определения параметров нелинейных фокусированных полей HIFU-излучателей в воде ……………………………………..

Фокусировка мощных ультразвуковых пучков в воде и предельные значения параметров разрывных волн ………………..

Пространственное распределение параметров акустического поля в нелинейных фокусированных пучках …………………………….

Влияние аподизации поля на излучателе на проявление нелинейных эффектов при фокусировке …………………………...

Трехмерные нелинейные поля ультразвуковых терапевтических решеток ……………………………………………………………….

Метод эквивалентного излучателя для описания HIFU-полей Заключительные замечания ………………………………………..

Глава 7 Ультразвуковая хирургия с использованием высокоамплитудных разрывных волн Вводные замечания …………………………………………...........

Основные уравнения для моделирования полей HIFU-излучателей в ткани и соответствующего теплового воздействия на ткань …….

Метод определения параметров нелинейного акустического поля в фокусе при распространении в биологической ткани ……….…..

Нелинейные эффекты при использовании сканирующего режима облучения ткани …………………………………………………..…..

Нелинейные эффекты при использовании сканирующего режима облучения гелевого фантома ……….…………...…………………… Эффект локального сверхбыстрого кипения в ткани при воздействии фокусированным пучком разрывных волн …………..

Нелинейные эффекты при облучении ткани через грудную клетку Заключительные замечания ………………………………………..

Заключение Приложения Литература Предисловие Результаты исследований, представляемые в данной диссертации, были получены в течение около 20-ти лет моей работы на кафедре акустики физического факультета МГУ.

В предисловии мне хотелось бы вспомнить и поблагодарить моих родных, коллег и друзей, с которыми прошли эти и более ранние годы.

C детских лет мне посчастливилось расти в окружении физиков. Мой папа, А.И. Ковригин, организовывал летом поездки с палатками, водными лыжами и виндсерфингом, зимой – катание на горных лыжах в Подмосковье и на Кавказе. В этом участвовали многие сотрудники, аспиранты и студенты Корпуса нелинейной оптики.

Хочется сказать слова благодарности папиным коллегам и друзьям, которые многому меня научили и во многом служили и служат для меня примером. Я также с благодарностью вспоминаю спортивную школу на Ленинских горах и насыщенные пять лет учебы во 2-й физико-математической школе, своих одноклассников и учителей, каждый из которых был яркой личностью.

Конечно, был неудивителен выбор физического факультета МГУ и потом кафедры общей физики и волновых процессов. Я искренне признательна лекторам и преподавателям физфака, таким разным, неформальным и увлеченным своим делом, как были наши преподаватели математики С.А. Габов и Б.Н. Химченко. Моим научным руководителем и учителем в студенчестве и аспирантуре был О.В. Руденко, благодаря которому я начала заниматься задачами нелинейной акустики и который всегда с большим вниманием относился к моей деятельности, в то же время не ограничивая самостоятельность. Вместе с ним я перешла на кафедру акустики, на которой в 1990 году закончила аспирантуру и была оставлена на работу. Я признательна сотрудникам кафедры В.А. Красильникову, Л.К. Зарембо, В.А. Бурову, Ю.Н. Макову, П.Н. Кравчуну, В.Г. Можаеву, А.И. Коробову, П.С. Ланде, В.А. Гордиенко и Б.И. Гончаренко, интерес, профессионализм и поддержка которых всегда ощущалась в научной и учебной работе.

Много связано и с сотрудниками других институтов. Так, исследования по терапевтическим решеткам были выполнены с Л.Р. Гавриловым из Акустического института им. Н.Н. Андреева, одним из мэтров медицинского терапевтического ультразвука у нас в стране. Общение с ним всегда было очень живо, приятно, очень помогало и поддерживало. Всегда ощущалась дружеское отношение наших коллег из Института общей физики РАН Л.М. Крутянского и А.П. Брысева, с которыми были выполнены эксперименты с селективным фазовым слоем.

Остальные экспериментальные исследования и ряд теоретических работ выполнялись при сотрудничестве с зарубежными научными центрами США, Франции и Англии. Я благодарна М. Гамильтону из университета шт. Техас в Остине, с которым в 1993 году были выполнены совместные работы по развитию параксиального подхода к описанию нелинейных звуковых пучков. Уже более 15 лет моя научная работа тесно связана с исследованиями, проводимыми в Центре промышленного и медицинского ультразвука университета шт. Вашингтон в Сиэтле. Взаимодействие с директором Центра Л. Крамом, а также с М. Аверкью, благодаря которому началось это сотрудничество, Р. Кливлендом и многими другими сотрудниками Центра было для меня неотъемлемой частью исследований и большим положительным жизненным опытом, дружбой с интересными, увлеченными людьми научного сообщества медицинского ультразвука.

Совместная работа в лаборатории с сильными экспериментаторами М. Бэйли, П. Качковским, Дж. Хванг, М. Кейни и другими многому меня научила и позволила почувствовать круг задач, для которых комбинация физического и численного эксперимента могла бы поднять на новый уровень качество их решения. Особенности распространения мощного ультразвука в биологических тканях с использованием асимптотического спектрального подхода исследовались совместно с моей аспиранткой С.С. Кащеевой. Идеи экспериментов по характеризации ударно-волновых полей источников ультразвуковой хирургии и исследованию новых механизмов воздействия ультразвука на ткани явились продолжением численных исследований, проведенных совместно с аспиранткой О.В. Бессоновой.

Ценным опытом было экспериментальное исследование новых нелинейнодифракционных эффектов в ближнем поле поршневых излучателей, которое было инициировано результатами численного эксперимента и проводилось в сотрудничестве с Д. Катиньолем, директором лаборатории Ультразвука Института здоровья и медицинских исследований Франции г. Лиона. Многолетнее взаимодействие с Д. Катиньолем и сотрудниками этого института Ж.И. Шаплоном и С. Лафоном оказало большое влияние на выбор направлений исследований в области медицинского ультразвука.

Эксперименты в области аэроакустики были выполнены в лаборатории механики жидкостей и акустики Высшей инженерной школы г. Лиона, Франция. Вместе с Ф. БланБеноном мы являлись со-руководителями недавно защитивших кандидатские диссертации аспирантов М.В. Аверьянова и П.В. Юлдашева, которые непосредственно проводили измерения. Большую помощь оказал С. Оливьер и другие сотрудники лаборатории.

Совместное руководство аспирантами, постановка задач, выполнение совместных проектов позволило приобрести опыт в решении практических задач нелинейной аэроакустики и физики нелинейных волн в случайно-неоднородных средах.

Возможность проведения экспериментов, связанных с разработкой современных многоэлементных излучателей ультразвуковой хирургии и исследованием нелинейных эффектов в полях таких решеток, была предоставлена нам Дж. Хэндом, коллегой Л.Р. Гаврилова из Имперского колледжа в Лондоне. Цикл экспериментальных работ, связанный с ультразвуковым облучением тканей через ребра, был проведен в Национальной физической лаборатории в Теддингтоне моей аспиранткой С.М. Шмелевой (Бобковой) и А. Шоу, специалистом по задачам метрологии медицинского ультразвука.

Многолетняя дружба связывает меня с Г. тер Хаар из Института онкологических исследований в г. Саттоне в Великобритании, где моей аспирантке Е.А. Филоненко была предоставлена возможность реализовать в эксперименте для клинической системы ультразвуковой хирургии предсказанные численно ударноволновые режимы облучения ткани.

Лаборатория 3-66 на физфаке это второй дом, куда всегда хочется приходить.

Атмосфера понимания, юмора, энтузиазма, дружелюбия и высокой требовательности к себе была создана и сохраняется ее сотрудниками, аспирантами и студентами.

О.А. Сапожников и В.Г. Андреев всегда были надежной опорой в научной и преподавательской работе. Я особенно благодарна Олегу Сапожникову, с которым мы вместе учились, начиная с 1-го курса, а потом работали на протяжении уже более 30 лет.

У него всегда можно было получить ценный профессиональный совет и дружескую поддержку при решении не только научных, но и обычных жизненных проблем. Спасибо А.В. Шанину, который часто подстраховывал меня в учебной работе. Выполнение представляемой работы было бы невозможно без аспирантов и студентов, которыми мне посчастливилось руководить и при этом многому научиться. Шестеро из них уже стали кандидатами наук, многие успешно работают в области акустики и смежных дисциплин в нашей стране и за рубежом.

Выполнение и написание настоящей работы было бы невозможным без поддержки моей мамы и папы, моего мужа Мити, его мамы Елены Михайловны, дочек Тани и Маши.

Их помощь дома, участие и искренний интерес к моей работе, уважительное и дружеское отношение к моим коллегам и ученикам всегда ощущались и были очень важными для меня. Я уверена, что завершение данной диссертации очень порадовало бы моего папу, памяти которого я бы хотела посвятить эту работу.

Введение В настоящей диссертационной работе представлены результаты исследований, им. М.В. Ломоносова в период 1991 – 2011 г.г. Диссертация посвящена комплексному теоретическому и экспериментальному исследованию нелинейно-дифракционных явлений, сопровождающих распространение интенсивных акустических волн с ударными фронтами в средах со сложным частотным законом поглощения и случайнонеоднородных средах [12- Проведенные исследования в основном, связаны с современными проблемами аэроакустики и медицинской акустики, которые являются яркими примерами областей физики нелинейных волн в слабодиспергирующих средах, где результаты фундаментальных исследований находят успешное практическое применение [6, 7]. До недавнего времени наиболее известным практическим приложением нелинейных эффектов в акустике являлась разработка параметрических антенн в гидроакустике [8]. В последние годы интенсивно развивается направление неинвазивной ультразвуковой хирургии (или HIFU - общепринятое сокращение от словосочетания High Intensity Focused Ultrasound) с использованием фокусированного ультразвука большой интенсивности [9]. Широко используются новые нелинейные методы ультразвуковой медицинской визуализации и неразрушающего контроля, основанные на генерации в биологических тканях отличается от квадратичного по частоте закона классических жидкостей [15], что приводит к новым особенностям в распространении разрывных акустических волн. Задачи, связанные с распространением волн в турбулентной атмосфере и развитие различных моделей случайно-неоднородных сред [16, 17], привлекают к себе повышенное внимание исследователей в связи с развитием сверхзвуковой гражданской авиации и проблемой звукового удара [18 -1920]. Несмотря на различия в плане практического применения, перечисленные выше задачи могут быть описаны в рамках единого математического аппарата нелинейных эволюционных уравнений физики нелинейных волн в средах со слабой дисперсией [21, 22].

Следует выделить две важные особенности, отличающие научное направление, развиваемое в данной работе. Во-первых, в ней рассматриваются взаимодействия сильно искаженных акустических сигналов, которые принципиальным образом отличаются от взаимодействий квазигармонических нелинейных волн [23]. Описание акустических полей с разрывами является гораздо более сложной задачей как в плане построения теоретических моделей, так и в численном моделировании. Хотя первые алгоритмы моделирования нелинейных дифрагирующих пучков с использованием удароулавливающих схем Годунова были созданы в 1970-х годах [24], для моделирования условий эксперимента численные расчеты стали использоваться лишь в последние годы.

Это является второй особенностью данной работы: использование численного эксперимента как инструмента в решении рассматриваемых задач в комплексе с проводимыми физическими экспериментами. Такой подход и разработанные численные алгоритмы под конкретные экспериментальные установки позволили не только существенно расширить круг поддающихся решению задач, но и обеспечить новый, более высокий уровень их исследования.

Таким образом, АКТУАЛЬНОСТЬ ДАННОЙ РАБОТЫ связана с быстрым развитием новых практических приложений мощного ультразвука. Наиболее важным примером являются современные медицинские приложения, как, например, неинвазивная ультразвуковая хирургия с использованием высокоинтенсивных фокусированных пучков и нелинейная диагностика. При воздействии ультразвука на биологическую ткань образующиеся в профиле нелинейной волны ударные фронты играют важную, а иногда и определяющую роль. Однако по-прежнему не существует общепринятых методов характеризации ультразвуковых ударноволновых полей, создаваемых устройствами ультразвуковой хирургии, а также полного понимания физических механизмов вызываемых разрывными ультразвуковыми волнами биологических эффектов. Развитие нелинейных методов является перспективным для медицинской ультразвуковой диагностики. Исследование нелинейно-дифракционных эффектов в импульсных полях, создаваемых медицинскими датчиками, необходимо для эффективного использования их преимуществ. В области аэроакустики актуальной является проблема оценки шумовой безопасности в связи с развитием сверхзвуковой гражданской авиации. Здесь необходимо развитие различных моделей сред со случайными неоднородностями как распределенными в пространстве, так и в сосредоточенными в слое. Для понимания физических явлений, связанных с распространением мощного ультразвука и его воздействия на среды распространения также необходимо развитие адекватных моделей, подтвержденных в экспериментах. С теоретической точки зрения, эти задачи могут быть описаны в рамках моделей распространения нелинейных дифрагирующих волн в средах в различными типами диссипации и в присутствии неоднородностей. Создание таких комплексных теоретических и экспериментальных моделей и разработка методов решения соответствующих нелинейных волновых уравнений является важной частью данной работы.

Основные ЦЕЛИ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ состоят в следующем:

1. Развитие теоретических моделей и исследование на их основе распространения нелинейных акустических волн за случайным фазовым экраном. Исследование возможности селективного разрушения поля гармоник в фокусированном пучке конечной амплитуды после прохождения случайного фазового слоя специальной конфигурации.

2. Теоретическое и экспериментальное исследование статистических распределений и средних характеристик нелинейных акустических волн с ударными фронтами в случайнонеоднородных средах с учетом дифракционных эффектов, диссипативных и релаксационных процессов, а также многократного образования случайных каустик.

3. Разработка асимптотического метода описания разрывных решений эволюционных уравнений нелинейной акустики с использованием ограниченного спектра. Исследование особенностей распространения разрывных акустических волн в средах с различным частотно-зависимым поглощением.

4. Исследование нелинейно-дифракционных эффектов в ограниченных звуковых пучках со сложной пространственной структурой ближнего поля.

5. Создание численной модели для трехмерных импульсных фокусированных пучков, учитывающей нелинейные и дифракционные эффекты, а также частотно-зависимое поглощение в биологических тканях. Исследование пространственной структуры поля высших гармоник для улучшения качества диагностических изображений.

6. Развитие комбинированного экспериментального и численного метода количественной характеризации параметров ударно-волновых полей излучателей для ультразвуковой хирургии в воде и биологической ткани. Разработка метода определения параметров нелинейных фокусированных ультразвуковых пучков в биологической ткани по данным измерений либо моделированя в воде (нелинейный дирейтинг).

7. Развитие новых принципов неинвазивной ультразвуковой хирургии с использованием облучения в режиме высокоамплитудных разрывных волн. Создание численных моделей для расчета нелинейных полей современных излучателей, в том числе многоэлементных фазированных решеток в воде и в ткани в различных клинических условиях.

8. Количественное исследование явления усиления теплового воздействия ультразвука на ткань за счет нелинейных эффектов в режимах, характерных для приборов неинвазивной ультразвуковой хирургии. Исследование эффекта сверхбыстрого нагрева и возникновения локального кипения в биологической ткани в фокусе излучателя при облучении в режиме разрывных волн и физических механизмов вызываемых при этом биологических эффектов.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА представленной работы заключается в следующем:

1. Развиты новые аналитическая и численная модели для описания статистических свойств параметров нелинейных волн за случайным фазовым экраном. Аналитическая модель построена на основе приближения нелинейной геометрической акустики. В численной модели учитывается влияние пространственных масштабов фазовых флуктуаций экрана, совместное влияние нелинейных, дифракционных и диссипативных эффектов, что существенно расширяет область ее применимости. Показано теоретически и подтверждено экспериментально, что при использовании физически реализуемого фазового слоя специальной конфигурации возможно селективное влияние на качество фокусировки различных гармоник слабо фокусированного пучка конечной амплитуды.

2. Получено модифицированное нелинейное уравнение эволюционного типа, описывающее распространение нелинейных акустических сигналов в неоднородной движущейся среде с учетом флуктуаций скорости среды, поперечных направлению распространения волны. Впервые построены решения для функций распределения и средних характеристик нелинейного акустического волн с разрывами в случайно неоднородной движущейся среде при учете дифракции, многократного образования каустик, вязкого поглощения и релаксации, а также эффектов, связанных с продольными и поперечными флуктуациями неоднородного поля скорости среды. Теоретические результаты подтверждены в модельных физических экспериментах.

3. Предложен, обоснован и реализован новый экспериментальный метод калибровки широкополосных микрофонов по нелинейному удлинению N-волны в среде с поглощением и релаксацией в воздухе с использованием определения длительности импульса по положениям нулей в его спектре.

4. Получена замкнутая система конечного числа связанных нелинейных уравнений, описывающая разрывные решения эволюционных уравнений нелинейной акустики, и разработана процедура восствновления разрывного профиля на основе получаемого решения. Построенная модель позволила выявить новые особенности взаимодействиях разрывных волн в средах с различной зависимостью поглощения от частоты.

5. Показаны особенности изменения пространственной структуры различных параметров нелинейных дифрагирующих ультразвуковых полей, связанные с образованием разрывов.

Обнаружен эффект формирования и взаимодействия двух разрывов на одном периоде волны в ближнем поле плоского поршневого излучателя и в фокальной области сходящегося пучка за счет интерференции прямой и краевой волн.

6. Развита новая численная модель, позволяющая рассчитывать импульсные поля ультразвуковых диагностических датчиков произвольной геометрии с учетом нелинейности, произвольного частотного закона поглощения среды и дисперсии скорости звука. На основе полученных численных решений продемонстрированы преимущества метода диагностики на второй гармонике и необходимость учета характерного для биологических тканей линейного по частоте закона поглощения.

7. Предложен, обоснован и подтвержден в численном и физическом экспериментах новый метод определения параметров нелинейного сильно фокусированного акустического пучка в биологической ткани на основе полученных в воде результатов моделирования или измерений.

8. Разработан новый численный алгоритм для моделирования трехмерных нелинейных ультразвуковых полей мощных многоэлементных терапевтических решеток в условиях образования ударных фронтов в области фокуса. Показано, что при уровнях интенсивности, допускаемых для современных решеток, в их фокусе образуется высокоамплитудный ударный фронт, даже при облучении через ребра. Показана применимость модели эквивалентного осесимметричного излучателя для упрощения расчета поля терапевтической решетки в области фокуса.

9. Показано, что в условиях, характерных для современной клинической практики, образование разрывов и поглощение энергии волны на ударных фронтах могут приводить к локальному нагреву биологической ткани до температур выше 100°С и возникновению кипения в течение нескольких миллисекунд, что позволяет реализовать ряд новых биоэффектов.

Совокупность научных результатов диссертации может рассматриваться как существенный вклад в актуальное научное направление «Мощные ультразвуковые поля в случайно-неоднородных и диссипативных средах», заключающееся в создании новых комплексных экспериментально-теоретических моделей описания разрывных волн, разработке методов их решения, выявлении новых нелинейно-дифракционных явлений, возникающих в турбулентной среде и при фокусировке ударно-волновых акустических пучков высокой интенсивности, исследовании новых механизмов ударноволнового воздействия на среды типа биологических тканей.

ДОСТОВЕРНОСТЬ представленных в диссертационной работе результатов подтверждается соответствием результатов теоретических исследований данным проведенных численных и физических экспериментов, а также теоретическим расчетам и данным, полученным в работах других авторов.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ РАБОТЫ

Развитая в работе модель распространения нелинейного импульса за случайным фазовым экраном может быть использована для быстрой оценки статистики акустического поля, используя в качестве входных данных всего три параметра:

нелинейную длину, рефракционную длину фазового экрана и характерный размер неоднородностей. Специальный фазовый слой может использоваться для селективного воздействия на поле отдельных гармоник, в частности, для управления качеством их фокусировки в нелинейном пучке в некоторых задачах ультразвуковой диагностики.

Созданный в работе комплекс программ на основе нелинейного волнового уравнения эволюционного типа может использоваться для одновременного расчета статистических распределений, а также пиковых и средних характеристик нелинейных акустических полей в случайно-неоднородной движущейся среде. Для одиночных импульсов с ударным фронтом развитые методы позволяют получать характерные значения флуктуаций амплитуды и ширины фронта в неоднородной среде. Эти результаты важны для практических задач аэроакустики, подводной акустики и медицинского ультразвука. Проведенные эксперименты по распространению мощных акустических импульсов в турбулентной воздушной среде показали возможность исследования формирования случайных фокусов первого и высших порядков в лабораторных условиях.

Разработанный экспериментальный метод калибровки широкополосных микрофонов по нелинейному удлинению N-волны с учетом вязкости и релаксационных явлений может использоваться в лабораторных условиях для измерения спектральных характеристик измерительных систем в воздухе при изменении их составляющих, геометрии или изменении характеристик с течением времени.

В области задач медицинской акустики предлагаемая работа является основой для разработки новых стандартов описания полей, создаваемых устройствами неинвазивной хирургии, что будет способствовать повышению безопасности и эффективности и, таким образом, дальнейшему внедрению этого метода для лечения больных. Нелинейная модель для импульсных излучателей может использоваться при калибровке полей и определении индексов безопасности датчиков диагностического ультразвука. Полученные калибровочные кривые по изменению коэффициентов концентрации поля в нелинейном пучке позволяют рассчитать параметры поля в фокусе произвольного поршневого ультразвукового преобразователя при любом уровне его возбуждения. Данные результаты представляют несомненную практическую важность и могут использоваться для оценки нелинейных эффектов в фокусе терапевтических излучателей и выбора оптимальных уровней облучения. Модель эквивалентного осесимметричного излучателя может быть использована для количественной оценки параметров нелинейных полей, создаваемых многоэлементными решетками ультразвуковой хирургии в области фокуса в широком диапазоне параметров и мощностей излучения.

Представленный новый метод определения параметров нелинейного поля в фокусе ультразвукового преобразователя в ткани на основе данных, полученных в воде, необходим для планирования хирургических процедур. Результаты моделирования могут быть использованы как альтернатива физическим измерениям даже при наличии ударных фронтов в профиле волны. Созданный комплекс программ расчета полей многоэлементных решеток позволит характеризовать возможности нелинейных режимов облучения для конкретных приборов ультразвуковой хирургии и может использоваться для оптимизации конфигурации решетки на этапе разработки прибора.

Предсказанный в моделировании и получивший подтверждение в эксперименте эффект сверхбыстрого нагревания ткани до температур выше 100°С и возникновения кипения за несколько миллисекунд после начала воздействия ультразвуком позволяет визуализировать область воздействия HIFU при разработке клинических протоколов облучения, прицеливании, мониторинге воздействия в режиме реального времени.

Полученные предварительные результаты показывают перспективность использования новых физических механизмов контролируемого теплового и механического разрушения ткани в методах HIFU с использованием ударноволнового воздействия.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ:

1. Развитая дифракционная модель позволяет определять статистические характеристики нелинейной N-волны за случайным фазовым экраном путем численного расчета по достаточно длинной реализации. Статистика поля за экраном определяется амплитудой волны, рефракционной длиной и пространственным масштабом экрана.

Приближение нелинейной геометрической акустики в данной задаче справедливо до расстояний 0.3 от рефракционной длины.

2. При помощи специального ”резонансного” фазового слоя возможно селективное воздействие на определенные частоты нелинейной волны, приводящее, например, к разрушению фокусировки одних спектральных компонент сфокусированного пучка и сохранению фокусировки других.

3. Развитый в работе численный алгоритм позволяет моделировать распространение квазиплоских периодических и импульсных акустических сигналов в неоднородных движущихся средах с учетом эффектов нелинейности, дифракции, продольной и поперечной компонент флуктуаций скорости среды, вязкости и релаксации. Результаты моделирования, получившие подтверждение в эксперименте, позволяют предсказывать пространственную структуру акустического поля в турбулентной движущейся среде, определить статистические распределения, пиковые и средние характеристики параметров поля в условиях многократного формирования случайных фокусов.

4. Разработанный метод абсолютной калибровки широкополосных микрофонов в газах, основанный на численном расчёте и измерении нелинейного удлинения N-волны по положениям нулей в её спектре, позволяет определять чувствительность микрофонов в условиях проявления эффектов вязкости и релаксации среды.

5. Полученные количественные данные численного моделирования для коррекции коэффициентов концентрации и насыщения ультразвукового поля в фокусе нелинейного пучка позволяют рассчитать различные характеристики нелинейно-искаженных профилей волны в широком интервале параметров и мощностей фокусирующих поршневых преобразователей, использующихся в устройствах ультразвуковой хирургии.

6. Интерференция прямой и краевой волн в ограниченных пучках, создаваемых плоскими и фокусирующими поршневыми источниками, может приводить к формированию двух ударных фронтов на одном периоде волны при её распространении в режиме развитых разрывов.

7. Разработанный новый алгоритм перенесения данных измерений акустического поля в воде на поглощающие среды, основанный на масштабировании давления на излучателе, позволяет определять значения различных параметров акустического поля, таких как пиковые давления, интенсивность и мощность тепловыделения, в фокальной области излучателей для ультразвуковой хирургии в клинических условиях облучения ткани.

8. Образование ударного фронта в профиле волны в фокальной области пучка в биологической ткани может приводить к ее сверхбыстрому локальному нагреванию до температуры кипения и формированию паровых пузырьков в течение нескольких миллисекунд. Аналитическая оценка, основанная на теории слабых ударных волн, позволяет предсказать время возникновения кипения в ткани с точностью 10%.

9. Разработанный новый алгоритм позволяет рассчитывать трехмерные нелинейные поля современных терапевтических решеток с локализованным образованием ударных профилей. Результаты численного эксперимента показывают, что при достижимых уровнях мощностей возможно сильное проявление нелинейных эффектов и формирование разрывов в профиле волны в фокусе с амплитудой 60-100 МПа даже при фокусировке через грудную клетку.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Основные результаты исследований, представленных в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих профильных научных конференциях: International Symposia on Nonlinear Acoustics (Bergen, Norway, 1993; Nanjing, China, 1996; Goettingen, Germany, 1999; Moscow, Russia, 2002; Stockholm, Sweden, 2008), Всероссийских школах-семинарах «Волновые явления в неоднородных средах» (1998, 2000, 2010, п. Красновидово, Московская обл.), IEEE Ultrasonics Symposia (Seattle, USA, 1995; Sendai, Japan, 1998;

Montreal, Canada, 2004; Vancouver, Canada, 2006; Rome, Italy, 2009); World Congress on Ultrasonics (Berlin, Germany, 1995), Intern. Congresses on Ultrasonics (ICU, Santiago, Chile, 2009; Gdansk, Poland, 2011; Intern. Congresses on Acoustics (Seattle, USA, 1998; Rome, Italy, 2001; Madrid, Spain, 2007; Sydney, Australia, 2010), French Congresses on Acoustics (Lousanna, 2000; Lyon, 2010); Joint Congress CFA/DAGA, 2004, Strasbourg, France; Meetings of the Acoustical Society of America (ежегодно с 1993 г.), Congress of World Federation for Ultrasound in Medicine and Biology, Florence, Italy, 2000; Forum Acusticum (Budapest, Hungary, 2005); 14th Intern. Congress on Sound and Vibration 2007, Cairns, Australia; сессиях Российского акустического общества (1997, 2000, 2001, 20042011), 2-й межд. конф.

«Фундаментальные проблемы физики» (Саратов, 2000); XII Школе «Нелинейные Волны – 2004», Нижний Новгород; Intern. Symposia on Therapeutic Ultrasound (Chongqing, China, 2001; Lyon, France, 2003; Kyoto, Japan, 2004; Boston, USA, 2005; Oxford, UK, 2006; Seoul, Korea, 2007; Minneapolis, USA, 2008; Aix-En-Provence, France, 2009; NY, USA, 2011);

Межд. симпозиумах «MRI-guided Focused Ultrasound Surgery», Washington, D.C., USA, 2008 и 2010; Ultrasonics International (Granada, Spain, 2003), Евразийских конгрессах по медицинской физике и инженерии «Медицинская физика» (Москва, 2001 и 2005), межд.

конференции «Progress in Nonlinear Science» (Нижний Новгород, 2001), 2-й межд.

конференции «Frontiers of Nonlinear Physics», Нижний Новгород, 2004, межд.

симпозиумах “Topical Problems of Nonlinear Wave Physics” (Нижний Новгород, 2003 и 2005); трехстороннем русско-французско-германском семинаре “Computational Experiment in Aeroacoustics”, Светлогорск, 2010; Межд. конференции «Advanced Metrology for Ultrasound in Medicine» Teddington, UK, 2010; Межд. онкологическом научнообразовательном форуме «Онкохирургия-2010, В будущее через новые технологии», Москва, 2010; Ломоносовских чтениях, Москва, МГУ, 2011.

Материалы диссертации также представлялись на семинарах кафедры акустики физического факультета МГУ, Акустического института им. Н.Н. Андреева, Института общей физики РАН, Научно-исследовательского вычислительного центра и факультета фундаментальной медицины МГУ; на семинарах следующих зарубежных научных институтов: The University of Texas at Austin, Austin, USA (1993, 1996), Applied Physics Laboratory, University of Washington, Seattle, USA (19952011), Dept. of Physics, Potsdam University, Potsdam, Germany (1999, 2002), Physics Dept., Royal Marsden Hospital, Sutton, UK (1999), Universit du Maine, Le Mans, France (2000), Dept. of Aerospace and Mechanical Engineering, Boston University, Boston, USA (2000), Institut National de la Sant et de la Recherche Mdicale, Unit 556, Lyon, France (2002, 2006), The University of Tokyo, Tokyo, Japan (2003), Ecole Centrale de Lyon, Lyon, France (2003); как приглашенные лекции на научных международных школах «Linear and nonlinear acoustic wave propagation in heterogeneous media: modern trends and application», Les Houches, France, 2008; «Therapeutic Ultrasound» (Cargese, France, 2007, 2009, Les Houches, 2011); на конгрессе World Federation for Ultrasound in Medicine and Biology, Vienna, Austria, 2011.

ПУБЛИКАЦИИ

По теме диссертации опубликовано 37 статей в рецензируемых отечественных и зарубежных научных журналах, включенных в перечень ведущих периодических изданий ВАК, в числе которых «Акустический журнал», «Вестник Московского университета.

Серия 3. Физика, астрономия», «Известия РАН. Серия физическая», «Physics of Wave Phenomena», «The Journal of the Acoustical Society of America», «IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control», «Ultrasound in Medicine and Biology».

Кроме того, по материалам работы опубликовано более 50 статей в трудах конференций и сборниках и более 60 тезисов докладов.

СТРУКТУРА И ОБЪЁМ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, приложений и списка литературы.

Работа изложена на 323 страницах и содержит 169 рисунков и 1 таблицу.

Список литературы включает 331 наименование.

ЛИЧНЫЙ ВКЛАД АВТОРА

Все изложенные в диссертации оригинальные теоретические и численные результаты получены лично автором, либо при его непосредственном участии. Выбор задач, моделей и методов исследований осуществлялся автором. Оригинальные экспериментальные результаты получены при определяющей роли автора в постановке экспериментов в комплексе с проводимыми теоретическими исследованиями, в обработке и обсуждении получаемых данных, подготовке публикаций.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении обсуждается актуальность темы исследований, приводятся цели, научная новизна, практическая ценность работы и защищаемые положения, даётся краткая аннотация содержания глав. В вводном параграфе каждой из 7 оригинальных глав диссертации приводится обзор литературы и обсуждается состояние проблемы, соответствующей исследованиям главы. В заключительном параграфе каждой из глав приводятся краткие выводы и обсуждаются перспективы дальнейших исследований. В заключении к диссертации сформулированы основные полученные в работе результаты.

Далее приведены приложения, в которых описываются различные численные алгоритмы решения модельных нелинейных эволюционных уравнений, разработанных и использованных при выполнении работы. Численные алгоритмы основаны на методе расщепления по физическим факторам и использовании различных конечно-разностных схем, оптимизированных для каждого из операторов интегрирования [25, 26]. В конце приводится список цитированной литературы.

Оригинальная часть диссертации включает в себя несколько взаимосвязанных циклов исследований. Первый из них описан в главах 1 2 и посвящён исследованиям статистических свойств случайных акустических полей с разрывами. Основными особенностями здесь является рассмотрение многомерных акустических полей, одновременный учет нелинейных и дифракционных явлений, многократного прохождения нелинейной волны через образующиеся случайные каустики, возможность одновременного расчета статистических распределений, пиковых и средних параметров акустического поля из полученных численных решений.

В первой главе рассматриваются статистические свойства нелинейных акустических полей за случайным фазовым экраном. Результаты данной главы основаны на анализе аналитических решений, получаемых в приближении нелинейной геометрической акустики (НГА) [2, 27], а также численных решений уравнений ХохловаЗаболотской-Кузнецова (ХЗК) [28, 29] и Вестервельта [30]. Статистика акустического поля в данной задаче определяется начальной модуляцией фазы волны бесконечно тонким фазовым слоем. Вначале задача исследуется аналитически, используя приближение НГА.

На основе полученного аналитического решения для сходимости лучей за экраном рассчитываются и анализируются функции распределения и средние характеристики амплитуды периодической пилообразной волны (§1.2) и одиночного N-импульса (§1.3).

Рассматриваются модели широкополосного и узкополосного экранов с гауссовской статистикой сходимости лучей. Полученные решения позволяют описать статистику поля до образования первых каустик. Далее, чтобы учесть дифракционные эффекты и прохождение волны через области случайных фокусировок, задача исследуется численно на основе уравнения ХЗК (§1.4). Рассматривается модель фазового экрана с гауссовским спектром, свойства которого задаются двумя пространственными масштабами. Один характерный масштаб это длина рефракции или характерное расстояние, на котором образуется большинство первых каустик. В приближении НГА длина рефракции определяет статистику сходимости лучей. Другой масштаб это длина корреляции или характерный размер неоднородностей экрана, который не учитывается в модели НГА. На основе гипотезы эргодичности по результатам моделирования с длинными реализациями фазового экрана рассчитываются функции распределения, средние значения и дисперсия амплитуды случайного поля N-волны за экраном. Обсуждается влияние нелинейных эффектов на усиление либо ослабление поля в случайных фокусах, а также влияние размеров неоднородностей на эффективность фокусировок. Сравниваются результаты моделирования с аналитическими решениями, что позволяет сделать вывод об ограничениях применимости приближения НГА. Последняя часть главы посвящена исследованию идеи о принципиальной возможности использования резонансного фазомодулирующего слоя для избирательного воздействия на гармоники нелинейной волны (§1.5). Искусственное введение резонансной дисперсии является альтернативой идее резонансного поглощения с целью воздействия на каскадный процесс перетекания энергии волны вверх по спектру при распространении нелинейной волны в слабодиспергирующей среде [31]. Эта задача исследуется в работе теоретически и экспериментально на примере фокусировки нелинейного пучка через физически реализуемый фазовый экран специальной конфигурации. Обсуждается возможность изменения качества фокусировки различных гармоник в пучке при помощи резонансных фазовых искажений, вносимых специальным фазовым слоем.

Во второй главе рассматриваются физическая и численная модели, позволяющие исследовать статистику нелинейных акустических полей в турбулентной атмосфере с учетом эффектов дифракции, вязкости, релаксации, а также влияния продольной и поперечной к направлению волны компонент случайной скорости среды. Вначале описываются теоретическая модель и результаты предварительных расчетов (§2.2) и измерений (§2.3) нелинейных сферически расходящихся N-волн в однородной атмосфере.

На основе полученных результатов находятся характерные пространственные масштабы проявления нелинейных эффектов, релаксации и термовязкого поглощения в условиях более сложных измерений в турбулентном потоке. Далее определяются основные параметры N-волн для статистических исследований и влияние ограниченности полосы чувствительности измерительной системы на определение этих параметров. Описывается новый подход к определению длительности N-волны, форма которой искажается при регистрации, и разработанный в работе метод калибровки широкополосных микрофонов в поглощающей среде, основанный на нелинейном удлинении импульса (§2.4).

Для теоретического описания распространения N-волны и статистики акустического поля в нелинейной турбулентной среде предлагается новое эволюционное уравнение, учитывающее векторные свойства скорости движения среды (§2.5). Обсуждаются общие свойства решений полученного уравнения. Численно исследуется влияние случайных фокусировок, нелинейности, дифракции, различных составляющих скорости среды на статистику поля (§2.6). Результаты моделирования сравниваются с данными физического эксперимента, в котором измеряются статистические характеристики турбулентных полей скорости среды и параметров генерируемых искровым источником высокоамплитудных N-волн в турбулентном потоке (§2.7). Описывается разработанная экспериментальная установка и измерения, проведенные в Высшей инженерной школе г. Лиона (Франция) по распространению генерируемой искровым источником N-волны в турбулентном потоке.

Обсуждаются отличия по сравнению с проведенными ранее модельными экспериментами [32]. Увеличение характерных масштабов новой установки, ширины турбулентного слоя, скорости потока и длительности N-волны позволили выявить влияние случайных каустик на статистику параметров акустической волны, обеспечить многократное формирование случайных каустик, а также уменьшить относительное влияние диссипативных эффектов, связанных с термовязкими и релаксационными механизмами поглощения.

Третья глава диссертации посвящена развитию нового асимптотического спектрального подхода для моделирования акустических волн с разрывами в нелинейных средах с произвольным законом поглощения и соответствующей дисперсией скорости звука. Основная идея метода основана на априорном знании высокочастотной асимптотики спектра разрывных функций, S() 1/. Это позволяет заменить спектр волны в его высокочастотной части на аналитическое выражение для спектра пилообразной волны в системе связанных уравнений для взаимодействующих гармоник и при восстановлении разрывного решения. В §3.2 обсуждаются известные из литературы примеры, в которых высокочастотные асимптотики разрывных функций использовались как косметическая процедура при восстановлении по конечному спектру временных функций с особенностью типа математического разрыва [33]. В данной главе работы предложено использовать асимптотику пилообразной волны не только на этапе восстановления разрывного профиля, но и непосредственно при решении нелинейного волнового уравнения. Принцип построения замкнутой системы связанных нелинейных уравнений для конечного числа гармоник описывается в §3.3 на примере решения уравнения простых волн. Сравнение численных решений, описывающих эволюцию профиля исходной гармонической волны, с известными аналитическими результатами подтверждает, что разработанный подход позволяет с высокой степенью точности моделировать распространение разрывных волн при помощи относительно небольшого числа гармоник (30 – 50). Обобщение развитого метода на случай, когда в профиле волны, наряду с разрывом, содержится особенность следующего порядка в виде разрыва производной, приводится в §3.4 на примере распространения одиночного импульса с ударным фронтом. Дальнейшее развитие метода позволяет учесть возможность образования двух разрывов на одном периоде волны (§3.5). Для решения задачи о распространении нелинейной волны в слабопоглощающей среде в качестве модели используется уравнение Бюргерса и асимптотика Фея, описывающая структуру ударного фронта конечной ширины (§3.6).

Далее разработанный асимптотический подход используется для исследования ряда ранее не решенных задач о влиянии различных видов частотного закона поглощения и дисперсии среды на эволюцию распространяющихся в такой среде разрывных возмущений. Так, в §3.6 рассматриваются особенности распространения нелинейных волн в средах со степенным частотным законом поглощения, близким к линейному. Такая зависимость закона поглощения типична для мягких биологических тканей [6, 15].

Исследуется влияние параметров степенного закона поглощения, отличного от хорошо изученного квадратичного закона, и дисперсии скорости звука на эволюцию профиля, структуру ударного фронта и поглощение энергии волны. Приводится теоретическая оценка устойчивости разрывной структуры ударного фронта волны в таких средах. В §3. рассматривается задача о влиянии селективного по частоте поглощения на второй гармонике на формирование и эволюцию разрыва в профиле исходно гармонической волны. В §3.9 рассматриваются эффекты насыщения при распространении акустических волн в активной среде, т.е. в среде с частотно зависимым усилением, характерным для термоакустических двигателей [34]. Численно описывается процесс стабилизации параметров акустического поля за счет усиления нелинейных эффектов, образования разрывов и соответствующего нелинейного поглощения. Модификация асимптотического метода для численного моделирования нелинейных акустических пучков с учетом дифракционных эффектов описывается в §3.10. Здесь для оптимизации алгоритма также вводится пространственно-неоднородная сетка, соответствующая геометрии дифрагирующего пучка. В качестве примера рассматриваются разрывные решения для пучка исходно гармонических волн с гауссовской пространственной аподизацией.

Следующий цикл работ рассматривается в четвертой главе и связан с численным и экспериментальным исследованием нелинейно-дифракционных эффектов в пучках поршневых излучателей со сложной осциллирующей пространственной структурой ближнего поля. Основные параметры разработанного для решения данной задачи численного алгоритма описаны в §4.2. Алгоритм основан на интегрировании уравнения ХЗК в спектральном представлении и оптимизирован для моделирования разрывных решений. В качестве граничного условия рассматривается плоский поршневой излучатель. В §4.3 поводится тестирование развитого алгоритма путем моделирования проведенного ранее эксперимента и сравнения численных решений с данными измерений для гармоник и расчетов с использованием другого независимого алгоритма [35, 36].

Далее проводится детальное исследование особенностей нелинейно-дифракционных явлений в пучке, когда ударные фронты образуются в ближней зоне излучателя (§4.4). В этой части основное внимание уделяется особенностям искажения профиля волны, образованию и эволюции разрывных фронтов. Рассматриваются такие важные метрологические характеристики акустического поля, как пиковые значения давления в профиле волны, интенсивность и полная мощность пучка. Обсуждается обнаруженный в численном моделировании новый эффект формирования двух разрывов на периоде волны в ближнем поле дифрагирующего пучка. Для подтверждения полученных в численном эксперименте новых результатов проводится эксперимент, который описывается в §4.5.

Пятая глава посвящена построению новой численной модели и исследованию нелинейных импульсных полей, создаваемых прямоугольными фокусирующими излучателями диагностического ультразвука, работающими в режиме визуализации с использованием высших гармоник. Предложенная модель является обобщением известной конечно-разностной схемы на основе уравнения ХЗК для аксиальносиммеричных пучков в среде с вязкостью и теплопроводностью [37, 38]. Модификация разработанного в данной части диссертации алгоритма включает в себя учет произвольного частотного закона поглощения, соответствующей дисперсии и произвольной геометрии излучателя. В § 5.2 дается постановка задачи и обосновывается ее актуальность для диагностических ультразвуковых систем. Приводятся результаты численных расчетов, полученных с использованием нового алгоритма, для типичной ультразвуковой фазированной решетки марки P4-2, используемой в диагностической ультразвуковой системе Philips HDI-5000 в режиме визуализации на второй гармонике.

Для биологической ткани используется линейный по частоте закон поглощения, для воды - классическая квадратичная зависимость, обусловленная процессами вязкости и теплопроводности. Обсуждаются преимущества современного нелинейного метода звуковидения на основе второй гармоники, отличия в результатах моделирования при выборе различных законов поглощения. Проводится сравнение поля второй гармоники, возникающей за счет нелинейности при излучении основной частоты, с линейным полем на удвоенной частоте излучения. Анализируются пространственные распределения, показывающие основные преимущества использования второй гармоники. Адекватность и точность получаемых в численном эксперименте результатов подтверждается данными измерений акустического поля для рассматриваемого диагностического датчика (§ 5.3).

В шестой главе разрабатывается новый подход к характеризации пучков, создаваемых излучателями мощного фокусированного ультразвука современных устройств неинвазивной ультразвуковой хирургии. В отличие от раннее используемых методов, данный поход основан на комбинации измерений ультразвукового поля и численного моделирования. Суть метода заключается в использовании полученных в эксперименте результатов сканирования поля в режиме линейной фокусировки пучка, при небольших уровнях работы излучателя, для постановки граничных условий в численной модели. Дальнейшее детальное исследование параметров поля в рабочем диапазоне мощностей излучателя как в линейном режиме, так и в условиях сильного проявления нелинейных эффектов, в воде и при облучении ткани, проводится в численном эксперименте. Точность результатов тестируется с помощью сравнения отдельных наиболее важных рассчитанных и измеренных параметров поля, к примеру, профилей волны в фокусе излучателя. Основой для данного подхода послужили результаты исследований, проведенных в главе 4. Полученные результаты показывают, что численный эксперимент может служить эффективным дополнением, а часто и надежной заменой гораздо более трудоемких измерений. При этом результаты численного эксперимента, лишенного ограничений измерительных систем, могут даже превосходить по точности данные, получаемые в физическом эксперименте.

Описание основных уравнений, граничных условий и физических параметров для моделирования ультразвуковых пучков в воде приводится в § 6.2. Развитый комплексный метод характеризации нелинейных фокусированных ультразвуковых полей представлен в § 6.3 на примере типичного для HIFU излучателя. Далее проводится исследование изменения коэффициентов концентрации и предельных значений различных параметров акустического поля при нелинейной фокусировке (§ 6.4). Характерные особенности пространственных распределений нелинейных ультразвуковых пучков рассматриваются в § 6.5. Обсуждаются основные эффекты, проявляющиеся по мере усиления начальной амплитуды пучка: сильная пространственная локализации пикового положительного давления и образующихся ударных фронтов, расширение области пикового отрицательного давления, смещение пиковых давлений вдоль оси и другие. Влияние пространственной аподизации поля на излучателе исследуется в § 6.6 на примере гауссовского и поршневого источников. Наиболее сложный с точки зрения численного моделирования случай исследования трехмерных разрывных полей, создаваемых многоэлементными двумерными фазированными решетками, рассматривается в § 6.7.

Разработанный для решения данной задачи численный алгоритм не имеет мировых аналогов. Новый метод использования модели эквивалентного поршневого излучателя для упрощения описания нелинейных эффектов в фокальной области решетки описывается в § 6.8. Метод позволяет связать результаты прямого моделирования полей решеток, которые на сегодняшний день является уникальными, с более реализуемыми результатами расчетов и измерений для более простых конфигураций излучателей.

Развитые в заключительной седьмой главе диссертации подходы и полученные результаты представляют физическую основу для нового направления в неинвазивной ультразвуковой хирургии с использованием ударноволнового воздействия. Выполнение данной части работы также проходило при комплексном использовании численного и физического экспериментов. Основные уравнения, граничные условия, физические и безразмерные численные параметры для моделирования приводятся в § 7.2. Новый метод определения параметров нелинейного ультразвукового поля в биологической ткани, необходимый для планирования терапевтической процедуры облучения, представлен в § 7.3. Нелинейные эффекты, принципиально реализуемые только в присутствии разрывов, демонстрируются в моделировании и эксперименте при сканирующем режиме создания тепловых разрушений в биологической ткани в форме полос (§ 7.4). Это, в первую очередь, существенное увеличение размеров области разрушения по сравнению с облучением в режимах гармонических или слабо искаженных нелинейных волн и возможность визуализации области облучения с использованием диагностического ультразвука в режиме B-моды. Физические механизмы усиления эффективности воздействия и повышенной эхогенности в ткани в таких режимах облучения более детально исследуются в § 7.5. Здесь в качестве фантома ткани используется прозрачный гель с параметрами, близкими к биологической ткани, но отличающийся меньшим коэффициентом поглощения. Прозрачность гелевого фантома позволяет использовать, наряду с ультразвуковыми методами, оптическую визуализацию изменений в фокальной области пучка в образце. Более слабое поглощение ультразвука в геле приводит к усилению относительной роли нелинейных эффектов при нагревании фантома в режиме развитых разрывов, поскольку эффективное поглощения энергии волны на разрывном фронте не зависит от линейного коэффициента поглощения в среде [1, 3]. В численном и физическом экспериментах показывается, что возникновение яркого эхогенного пятна на диагностическом ультразвуковом изображении связано с нагревом среды ударными волнами до температуры кипения и образованием парогазовых полостей миллиметровых размеров – сильных рассеивателей диагностических импульсов. На больших мощностях образование пузырей кипения и одновременное повышение эхогенности на ультразвуковом изображении регистрировалось уже на первом же кадре видеосъемки, т.е.

меньше, чем за 30 мс облучения. Этот временной интервал почти на два порядка меньше традиционного времени облучения в HIFU, в течение которого ожидается значительное повышение температуры ткани. Следует отметить, что наблюдаемые ранее в HIFU эффекты, вызванные появлением пузырьков, обычно не связывали с нагревом ткани разрывными волнами до температур кипения и часто ошибочно объясняли возникновением под действием отрицательной фазы волны кавитацией [39]. Новый эффект сверхбыстрого нагревания гелевого фантома и образцов ткани ударными волнами исследуется теоретически и экспериментально в § 7.6. Для сравнения эффектов кавитации и кипения в эксперименте используются дополнительные методы регистрации пузырьков с помощью высокоскоростной съемки в геле, регистрации нелинейного рассеяния нагревающей волны в виде высокочастотного широкополосного шума и измерения флуктуаций напряжения на излучателе, возникающих за счет отражения фокусированной волны от пузырьков. Проверяется в эксперименте возможное влияние неоднородностей ткани, препятствующее формированию ударных фронтов в ткани. В теоретических исследованиях используется несколько подходов различной степени сложности.

Обсуждаются перспективы использования ударноволновых полей и образования пузырьков кипения для разработки новых подходов к контролируемому тепловому и механическому разрушению ткани. В § 7.7 исследуется возможность реализации ударноволнового воздействия при облучении через грудную клетку таких органов, как, например, печень и сердце. Уровни давления, которые возможно реализовать с учетом ограничений на начальную интенсивность излучателя, отражение, поглощение и дополнительные дифракционные эффекты при распространении ультразвука через ребра, могут быть недостаточны для формирования разрывов в фокусе. Исследования проводятся с использованием нового развитого для терапевтических решеток алгоритма и показывают принципиальную возможность реализации таких режимов облучения.

В Заключении приводятся основные результаты работы. В приложениях описываются особенности разработанных численных алгоритмов. В конце диссертации помещён список цитируемой литературы. Ссылки на публикации автора в тексте диссертационной работы выделены подчёркиванием.

Нелинейные взаимодействия пилообразных волн и ударных импульсов за случайным фазовым экраном 1.1. Вводные замечания Изучение статистических проблем в нелинейной акустике в основном шло по пути описания временной статистики одномерных шумовых волн, распространяющихся в регулярной однородной среде. Подробно были исследованы задачи о нелинейном искажении спектров и корреляционных функций интенсивного шума [40], взаимодействиях случайных волн с разрывами [41, 42], трансформации вероятностных распределений [41, 43, 44]. Неодномерные задачи, учитывающие влияние дифракции и пространственных неоднородностей среды, изучены гораздо менее полно. В работах [40, 45] рассматривались нелинейные и дифракционные эффекты в звуковых пучках со случайной поперечной пространственной структурой. Однако применимость развитого метода ограничивалась случаем слабого проявления нелинейности.

В настоящее время большое внимание привлекает к себе проблема распространения в неоднородных средах сильно искаженных нелинейных акустических волн, содержащих разрывы. С точки зрения практических приложений этот интерес связан с развитием сверхзвуковой авиации и проблемой звукового удара [20, 46], а также с применением мощного ультразвука в медицине - экстракорпоральной литотрипсии [47, 48], ультразвуковой хирургии и развитием нелинейных методов ультразвуковой визуализации [10, 49, 50]. Измерения волн звукового удара, прошедших сквозь турбулентную область атмосферы, показали, что существенное влияние на форму волны оказывают локализованные в приземном слое неоднородности типа атмосферной турбулентности и облачности [515 - 53]. Неоднородности биологической ткани (слои кожи и жира, соединительные ткани) могут искажать фокусировку пучков, создаваемых устройствами ультразвуковой хирургии, уменьшая полезное воздействие или приводя к нежелательным побочным эффектам из-за поражения здоровых тканей [54, 55]. В полях медицинских диагностических ультразвуковых приборов, при построении изображения на основе генерируемых в ткани высших гармоник, искажение фокусировки на неоднородностях ткани уменьшает пространственное разрешение изображений, чувствительность и увеличивает ошибки измерений [50, 56, 57]. В то же время результаты недавних исследований показывают, что при определенных условиях фокусировка гармоники в неоднородной среде может иметь преимущества по сравнению с обычной фокусировкой пучка, излучаемого на частоте гармоники [50, 58].

Параллельно в нелинейной акустике недиспергирующих сред давно обсуждается формированию разрывов и усиленному нелинейному поглощению акустических волн.

Такой контроль можно осуществлять, например, путем введения резонансных поглотителей на выбранных гармониках [59, 60] или путем введения начального фазового сдвига между гармониками (предискажение профиля) [61, 62]. По аналогии со вторым методом специально подобранные фазовые неоднородности среды для избирательной расфазировки выделенной гармоники могут представлять интерес как еще один перспективный метод управления процессом генерации гармоник.

Целью данной главы является развитие модели случайного фазового экрана и исследование статистических свойств нелинейных акустических волн за экраном. Также теоретически и экспериментально проверяется гипотеза о возможности избирательного периодических волн. Отметим, что бесконечно тонкий модулирующий фазу волны экран является простейшей моделью случайно-неоднородной среды, позволяющей выявить многие существенные эффекты, характерные и для более сложных неоднородных сред.

Бльшая часть результатов для модели фазового экрана связана с описанием линейных волн [63]. Модель также используется в численных расчетах как аппроксимация слоя случайно-неоднородной среды на шаге сетки вдоль направления распространения волны [64 -6 66]. В нелинейной акустике такая модель ранее не рассматривалась.

Результаты и выводы главы основаны на анализе аналитического решения задачи в приближении нелинейной геометрической акустики (НГА) [23], а также численных решений уравнений Хохлова-Заболотской-Кузнецова [28, 29] и Вестервельта [30].

Построение приближенной аналитической модели нелинейного поля за экраном позволило адекватно описать основные физические явления и эффекты, сопровождающие распространение интенсивного звука в случайно-неоднородной среде. В то же время получение численных решений в рамках более сложных моделей позволило существенно расширить как круг исследуемых задач, так и точность их решения. Полученные в данной главе результаты опубликованы в работах [676 869-707172].

1.2. Статистические характеристики нелинейной пилообразной волны за фазовым экраном в приближении нелинейной геометрической акустики (НГА) Рис. 1.1. Геометрия акустических лучей и исходной плоской нелинейной волны до и после прохождения через случайный фазовый звука, p0(t) - произвольная функция, описывающая исходный временной профиль волны.

Ясно, что начальное искажение фазового фронта волны будет приводить к появлению случайным образом расположенных областей как расходимости волны, так и сфокусированных участков фронта. При этом пространственная структура акустического поля в произвольном сечении нелинейной среды x за экраном будет иметь вид хаотически расположенных пятен различной интенсивности, статистика которых будет определяться как статистикой исходной пространственной модуляции, так и нелинейнодифракционными эффектами, по-разному проявляющимися в областях сходимости и расходимости волнового фронта.

Распространение волны за экраном будем описывать уравнением ХохловаЗаболотской (ХЗ):

где 0 – равновесная плотность среды, - параметр нелинейности, - лапласиан по поперечным координатам.

Решение уравнения (1.1) будем искать в виде где функция описывает искажение формы исходного фронта волны 0 (r ), временная координата T учитывает различную фазовую задержку. В приближении нелинейной геометрической акустики (НГА) уравнение (1.1) после подстановки (1.2) переходит в систему для двух неизвестных функций р и [23]:

Первое из уравнений системы (1.3) совпадает с уравнением эйконала линейной геометрической акустики [2]. Второе уравнение типа переноса описывает изменение профиля волны, обусловленное нелинейностью среды и геометрией - сходимостью либо расходимостью - волнового фронта. Ограничимся здесь рассмотрением наиболее простой модели одномерного фазового экрана, когда его характеристики и соответственно форма фазового фронта волны за ним изменяются лишь в одном поперечном направлении у (рис. 1.1). Тогда в системе (1.3) лапласиан и градиент по поперечным координатам равны, соответственно, = 2 y 2, = y. Модифицированные уравнения типа (1.3) использовались для описания волн в непрерывной неоднородной плоскослоистой среде [73] Уравнение эйконала (1.3) в случае одномерной модуляции фронта волны легко преобразуется в уравнение простых волн для функции наклона лучей = y к координате распространения x:

неявное решение которого, пересечения лучей. Здесь случайная функция 0 ( y ) = 0 ( y ) y характеризует угол наклона лучей на границе при х = 0. Второе уравнение системы (1.3) тогда запишется как Уравнение (1.5) также можно решить точно для произвольного исходного профиля волны координатами (х,у), однозначно определяется и равен наклону фиксированного луча при х = 0, удобно перейти к лагранжевой пространственной переменной - поперечной координате луча при х = 0 и решать уравнение (1.5) в новых координатах, т.е. описывать искажение профиля волны на фиксированном луче. После замены пространственных координат (х, у) на (x, = y ( x, y )x ), имеем:

Здесь производная y в новых переменных x,, в соответствии с (1.4), записывается как:

и может быть представлена в виде полной производной, поскольку функция = y ( x, y )x и не изменяется с расстоянием х. Функция ( x, ) = 1 + x имеет смысл площади поперечного сечения лучевой трубки на расстоянии х от экрана между двумя близкими лучами, вышедшими из точки с координатами (x = 0, ).

Введем далее функцию V = p 1 / 2 и новую координату = 1 / 2 ( x1, )dx1. После преобразования переменных от приобретает следующий вид:

Учитывая условие на границе V ( = 0,, T ) = p 0 ( y =, T ), общее решение уравнения (1.8) запишется как Возвращаясь к исходным переменным, имеем:

Общее неявное решение (1.10) уравнения переноса (1.5) описывает эволюцию произвольного исходного профиля волны начальной поперечной координатой y ( x = 0 ) =.

Перейдем теперь к рассмотрению конкретного примера. Пусть исходный профиль волны имеет форму симметричной периодической пилы с постоянной амплитудой разрывов a0. Форма одного из периодов волны при х = 0 имеет вид линейной функции:

p 0 = (T )a 0, где < T <, - циклическая частота волны. Легко показать, что за экраном пилообразная форма волны будет сохраняться, поскольку в приближении НГА не учитываются эффекты дифракции, меняться будет лишь амплитуда а разрывных фронтов за счет нелинейного затухания и различной сходимости либо расходимости лучей:

увеличиваться и, соответственно, будут усиливаться эффекты нелинейного поглощения; в областях расходимости лучей - уменьшаться. Пользуясь решением (1.10), легко получить выражение для амплитуды волны a ( x, ) на фиксированном луче:

где x н = с0 0 a 0 - характерная нелинейная длина.

Заметим, что, согласно (1.7), полученное решение (1.11) определяется функцией, которая имеет смысл сходимости лучей y при х =0 (второй производной функции пропускания фазового экрана) и может быть выражена через функцию сходимости y (x, y ) и на произвольном (до пересечения лучей) расстоянии x. Если начальный фазовый сдвиг фронта есть величина случайная, то амплитуда разрывов в волне за экраном также становится случайной, и ее статистика, в соответствии с (1.11), определяется статистикой сходимости лучей, приходящих в точку наблюдения. Таким образом, статистические характеристики амплитуды исходной регулярной пилообразной волны в некотором сечении нелинейной среды за экраном могут быть найдены в два этапа. Сначала, пользуясь уравнением (1.4), нужно исследовать пространственную статистику сходимости лучей y. Далее, соотношение (1.11) позволяет найти средние значения и вероятностные распределения для амплитуды волны.

Поскольку наклон лучей ( x, y ) описывается уравнением простых волн (1.4), задача о преобразовании статистики сходимости лучей аналогична задаче об изменении статистики производных в простой волне. Как известно [43], одноточечная функция распределения простой волны W ( ) не изменяется в области до образования разрывов (пересечения лучей в данном случае), а эволюцию функции распределения производных W ( y ) можно проанализировать аналитически, используя связь между статистикой воли Римана в лагранжевых и эйлеровых координатах [41]. В данном случае лагранжевой переменной является начальная поперечная координата y ( x = 0 ) =, из которой выходит фиксированный луч. Используя формулы связи [41] между одноточечными функциями распределения полей ( ), ( y ) и производных, y в лагранжевых (на определенном луче на расстоянии x от экрана) и эйлеровых (в определенной точке пространства (х, у)) координатах, получим следующие формулы для вероятностных распределений функций сходимости где ' = y, W0 ( ') - исходное распределение 0 y при x = 0.

Рассмотрим эволюцию начального гауссовского распределения сходимости лучей:

Здесь x р - рефракционная длина, т.е. характерное расстояние, на котором появляются пересечения лучей.

Рис. 1.2. Функции распределения сходимости акустических лучей W G = x р ' на различных расстояниях x x р от экрана (цифры у кривых).

распределение при x = 0.

сильно сфокусированных лучей.

Перейдем теперь к описанию амплитудных характеристик акустического поля за экраном. Найдем обратную функцию в решении (1.11) для сходимости ( x, y ) как функции амплитуды a ( x, y ) и, переходя к безразмерным переменным, получим:

где вспомогательная функция f = 1 2 Az A, A = a a 0, z = x x н - расстояние в длинах нелинейности, параметр D = xн x р характеризует относительное влияние Рис. 1.3. Зависимости разности интенсивностей случайно модулированной и плоской плоской волн (штриховые кривые) и дисперсии волны (штриховые кривые) и среднеквадратичного отклонения расстояния в нелинейных длинах значений параметра D = 2; 4. Кривые были z = x xн для различных значений параметра D = x н x р (цифры у кривых).

рисунка, модулированная волна поглощается в среднем быстрее, чем регулярная плоская, однако различие не превышает 10%, дисперсия распределения растет с увеличением пройденного волной расстояния. Указанные эффекты проявляются тем сильнее, чем сильнее исходная модуляция фронта (большие значения параметра D).

На рис. 1.4 изображены функции распределения (1.16), рассчитанные для различной степени начальной модуляции фронта волны на расстоянии z = 0.25 от экрана. Сплошная вертикальная линия соответствует исходному -образному распределению. Видно, что при отсутствии модуляции (D = 0) распределение сохраняет -форму, нелинейное затухание волны приводит к смещению пика распределения в сторону меньших значений амплитуды - вертикальная штриховая линия на рисунке. Модуляция фронта приводит к расширению распределения, максимум плотности вероятности смещается в сторону меньших значений амплитуды по сравнению с плоским случаем. В то же время появляется "хвост" в области больших значений амплитуды, что соответствует увеличению вероятности флуктуационных выбросов - росту интенсивности волны, происходящему в областях случайных фокусировок. Аналогичная трансформация вероятностных распределений амплитуды N-волн после прохождения тонкого турбулентного слоя наблюдалась экспериментально в работе [74].

Рис. 1.4. Функции распределения Рис. 1.5. Зависимости вероятности превышения амплитуды A = a a 0 пилообразной волны пикового давления A = a a 0 над уровнем линия - исходное -распределение) и z = расстояния z = x x н для различных степеней 0.25 (штриховые кривые) при различной модуляции D = 1 (сплошные кривые) и D = 0. степени модуляции волны D = x н x р (штриховые кривые). Вертикальный масштаб (цифры у кривых).

Представляет интерес количественная оценка вероятности наблюдения больших амплитудой модулированной волны уровня в k = 1; 1.5; 2 раза по сравнению с амплитудой нелинейной плоской волны на тех же расстояниях. Видно, что вероятность наблюдения в случайной волне пикового значения, большего, чем в плоской (k = 1), уменьшается линейно от значения P = 0.5 при z = 0. Эта зависимость объясняется геометрией сходимости лучей за экраном: области пространства, занимаемые сходящимися лучами, где амплитуда выше, сужаются (рис. 1.1) и легко показать (1.12), что вероятность раза не превосходит, соответственно, 2% и 0.5%.

1.3. Статистика нелинейного поля одиночного N-импульса за фазовым экраном. Приближение НГА Рассмотрим теперь статистические характеристики акустического поля одиночного разрывного импульса (N-волны) при распространении за случайным фазовым экраном.

Пусть на статистически однородный фазовый экран (рис. 1.1) падает N-волна, профиль которой имеет вид: p(x=0)= p0()= -a0 /0 при -0 0)=0.5+x/xр, где =(2)1/2 и =0.5 для распределений (1.14) и (1.19), соответственно. Распределение в области положительных значений ’ становится более острым и смещается в сторону меньших значений нормированной амплитуды A = a a 0 N-волны при широкополосной (а) и узкополосной (б) z = x x н = 0.25 (а) и 0.4(б) от экрана для различных соотношений между нелинейной и распределения амплитуды при x = 0.

широкополосной (а) и узкополосной (б) исходной модуляции фaзового фронта на определенном расстоянии от экрана x/xн=0.25 (а) и x/xн = 0.4 (б) для различных соотношений между нелинейной и рефракционной длинами D = xн/xр (цифры у кривых).

Вертикальные сплошные линии соответствуют дельтаобразным распределениям на тех же расстояниях в отсутствие модуляции, штриховые - исходные распределения при х = 0. В случае плоской волны (D = 0) распределение сохраняет дельтаобразную форму, нелинейное затухание волны приводит к смещению пика распределения в сторону меньших значений амплитуды. При случайной исходной модуляции фронта происходит расширение распределений, при этом максимум плотности вероятности смещается в сторону меньших значений амплитуды по сравнению с плоским случаем. В то же время возрастает плотность вероятности больших значений амплитуды, что обусловлено ростом амплитуды волны в областях случайных фокусировок. Как уже упоминалось раньше, подобная трансформация вероятностных распределений амплитуды N-волн после прохождения тонкого турбулентного слоя наблюдалась в модельных экспериментах [74].

Сравнение распределений на рис.1.7 (а) с рассчитанными для периодической пилообразной волны (рис.1.4), показывает, что для одиночной N-волны смещение плотности вероятности в сторону меньших значений амплитуды происходит более медленно. Это связано с более медленным затуханием энергии на разрывах в N-волне a ~ (1+x/xн)-1/2 по сравнению с периодической волной a ~ (1+x/xн)-1.

амплитуды большей, чем определенное значение A для широкополосной (а) и узкополосной (б) моделей экрана. Значения амплитуды нормированы на соответствующую амплитуду регулярной (при отсутствии модуляции) нелинейной волны A/Aрег=А·(1+x/xн)1/ на том же расстоянии. Цифры у кривых соответствуют расстояниям от экрана в длинах рефракции, сплошные линии соответствуют случаю слабого проявления нелинейности (x/xн = 0.1 на данном расстоянии x/xр), штриховые - случаю сильного проявления нелинейности (x/xн = 10). Видно, что при удалении от экрана изменение распределения вероятности становится более размытым, возрастает вероятность наблюдения больших значений амплитуды. Усиление нелинейных эффектов приводит к еще более плавному спаду кривой кумулятивной вероятности, однако этот эффект является достаточно слабым.

На рис.1.8 нанесены также точки, соответствующие результатам экспериментов, проведенных в работах [74, 75]. Результаты качественно согласуются с полученными здесь аналитическими оценками.

Рис. 1.8. Кумулятивные распределения Рис. 1.9. Функции распределения времени вероятности нормированной амплитуды нарастания dT ударного фронта для A/Aрег = А(1+x/xн)1/2 для двух моделей широкополосной (а) и узкополосной (б) узкополосной (б) модуляцией. Цифры у рассчитаны на расстояниях от экрана в кривых соответствуют расстояниям от длинах нелинейности x/xн=0.25 (а) и экрана в длинах рефракции, сплошные x/xн=0.4 (б) для различных соотношений кривые соответствуют случаю слабой между нелинейной и рефракционной нелинейности (x/xн=0.1 на данном длинами D=xн/xр (цифры у кривых).

расстоянии x/xр), штриховые - сильной Вертикальные сплошные линии нелинейности (x/xн=10). дельтаобразные распределения на тех же Экспериментальные точки соответствуют расстояниях в отсутствие модуляции, данным измерений, полученным в работах штриховые - исходные распределения при Важной характеристикой волны звукового удара является время нарастания или ширина ударного фронта. Рассмотрим здесь вероятностные характеристики этой величины, исходя из предположения, что в области вдали от пересечения лучей ширина ударного фронта может быть аппроксимирована величиной, обратно пропорциональной амплитуде волны, как и в плоском случае [21]. В данном приближении функция распределения времени нарастания легко находится из распределения (1.20) для амплитуды волны. На рис.1.9 изображены функции распределения времени нарастания dT, нормированного на начальную ширину ударного фронта, для двух рассматриваемых моделей экранов. Распределения рассчитаны на определенном расстоянии в длинах нелинейности от экрана x/xн=0.25 (а) и x/xн=0.4 (б) для различных соотношений между нелинейной и рефракционной длинами D=xн/xр (цифры у кривых). Вертикальные сплошные линии - дельтаобразные распределения на тех же расстояниях в отсутствие модуляции, штриховые - исходные распределения при х = 0. Видно, что плотность вероятности смещается в сторону увеличения времени нарастания, что обусловлено с одной стороны, уменьшением среднего значения амплитуды волны за счет нелинейного затухания и, с другой стороны, дефокусировкой лучей. Тенденция к увеличению в среднем времени нарастания ударного фронта волны после прохождения случайно-неоднородного слоя неоднократно наблюдалась в экспериментах [51, 75 -7 77]. Влияние областей случайных фокусировок проявляется в расширении распределения и в область меньших значений времени нарастания.

1.4. Статистика нелинейной N-волны за экраном при учете дифракции В данной части работы, в отличие от приближения НГА, использующегося в предыдущих двух параграфах, задача о распространении N-волны большой амплитуды за случайным фазовым экраном решается численно на основе уравнения ХЗ (1.1). Обсудим преимущества такого обобщения полученных аналитических решений данной задачи.

Решения, полученные в приближении НГА, справедливы только до расстояний, где образуются первые каустики, т.е. площадь какой-либо лучевой трубки обращается в ноль.

В аналитическом решении для N-волны не учитывается нелинейная зависимость скорости распространения ударного фронта от его амплитуды, приводящая к дополнительным искажениям волнового фронта. Этот эффект может быть рассмотрен в рамках приближения НГА, однако в этом случае аналитического решения построить не удается.

При лучевом подходе также не учитываются дифракционные эффекты, поэтому сохраняется симметричная форма N-волны, тогда как в действительности при измерении профилей волн звукового удара, прошедших турбулентный слой, наблюдаются более сложные профили, например, U-волны, волны с двумя пиками давления, либо сглаженные профили [75]. В приближении НГА статистические свойства акустического поля на выбранном расстоянии от экрана зависят только от соотношения рефракционной и нелинейной длин. При учете дифракционных эффектов, существенное влияние на свойства акустического поля оказывает еще один параметр, а именно корреляционная длина флуктуаций фазового экрана. При малых масштабах флуктуаций фазы фокусировка будет происходить от небольших участков поверхности экрана, а при больших – с больших апертур. При одном и том же расстоянии до каустик, амплитуда поля в них будет выше для больших масштабов флуктуаций. Следовательно, для корректного описания дифракционных эффектов при прохождении волны через каустики необходимо учитывать функцию пространственной корреляции фазового экрана.

Таким образом, численное решение уравнения Хохлова-Заболотской (ХЗ) позволяет учесть корреляционные свойства экрана, совместное влияние нелинейных и дифракционных эффектов, а также делает возможным описание статистики поля при прохождении случайных каустик и за каустиками. Учитывая свойство эргодичности, расчет одного случая и достаточно большой реализации позволяет сразу определить вероятностные распределения и средние значения всех параметров акустического поля за экраном.

Итак, рассмотрим, как и ранее, распространение вдоль оси x исходно плоской Nволны перпендикулярно к одномерному фазовому экрану, расположенному при x = (рис. 1.10). Для удобства расчетов запишем уравнение ХЗ (1.1) в следующих безразмерных переменных:

Здесь P = p/p0 – акустическое давление, нормированное на начальную амплитуду Nволны p0, = х/ – координата вдоль направления распространения волны и = y/ – поперечная координата, нормированные на длину N- волны = c0T0, c0 – скорость звука в среде, = 2 T0 – безразмерное время, нормированное на начальную длительность Nволны T0, = t x c0 – время в бегущей системе координат. В уравнение (1.21) входит безразмерный нелинейный параметр N = 2 p 0 / c0 0 = / x n, где x n = T0 c 0 0 2p 0 – характерная нелинейная длина, на которой амплитуда плоской N-волны уменьшается в 2 раз. Уравнение (1.21) решается численно (см. приложение 2).

В качестве граничного условия задается N-волна со случайной временной задержкой P ( = 0,, ) = P0 ( 2 ( )), где функция P0() определяет профиль N-волны с безразмерной длительностью 2. Ограничимся рассмотрением модели случайного Рис. 1.10. Распространение исходно плоской Nшума [65]. В этом методе амплитуды волны за бесконечно тонким фазовым экраном Характерная рефракционная длина экрана обозначена как xr, максимальное расстояние в расчетах составляет xмакс = 3xr.

умноженные на коэффициент – гауссовская спектральная плотность мощности фазового экрана ( ), G0 – амплитуда спектра, l – корреляционная длина, определяющая характерный масштаб флуктуаций фазы, n – номер дискретной пространственной Фурье гармоники, k – шаг дискретизации между гармониками. Действительная и мнимая части результата обратного дискретного преобразования Фурье дают две статистически независимые реализации фазового экрана.

Флуктуации фазы ( ) имеют гауссовскую функцию распределения с нулевым средним значением и дисперсией D0:

Вторая производная функции фазового экрана, 2 2, определяющая сходимость лучевых трубок в каждой точке с поперечной координатой, также имеет гауссовскую функцию распределения [70]:

Величина r = 1/D2, обратная дисперсии распределения функции сходимости D2, соответствует характерной длине рефракции, т.е. расстоянию, на котором образуется большинство первых каустик. Поскольку уравнение ХЗ справедливо для параксиального распространения волн и небольших углов дифракции [78], то для моделирования рефракционная длина была выбрана достаточно большой как по сравнению с корреляционной длиной, так и по сравнению с длиной начальной N-волны: r = 63.

Гауссовский спектр, задаваемый уравнением (1.22), характеризуется двумя независимыми параметрами: амплитудой G0 и характерной корреляционной длиной l. Согласно общим свойствам гауссовских случайных процессов, характерная рефракционная длина r связана с параметрами G0 и l как:

На рис. 1.11 слева представлены примеры реализаций двух фазовых экранов, обладающих одной и той же рефракционной длиной r, но разными корреляционными Рис. 1.11.

положительного давления N-волны за фазовыми экранами различными корреляционными длинами: a) l = и б) l = 6. Нелинейная длина n = 8r, рефракционная длина r = 63. Профили N-волны, изменения фазы для второго экрана с рассчитанные вдоль горизонтальной пунктирной линии (область фокусировки) в точках 1-3, рассчитанные вдоль горизонтальной штрихмелкомасштабного экрана. Это легко пунктирной линии (область дефокусировки) в Распределение пикового положительного давления вдоль вертикальной штриховой линии флуктуаций фазы пропорциональна на рис. 1.11 (a) показано на рис. 1.14 (б).

случае гауссовского спектра (1.22) справедливо соотношение: D02 = 2 G0 / l. Используя формулу (1.25) и исключая G0, можно найти, что D0 = l 2 / r 3, т.е. дисперсия пропорциональна квадрату корреляционной длины. Следовательно, флуктуации второго фазового экрана, будут более интенсивны, чем флуктуации первого, что и наблюдается на рис. 1.11. В приближении НГА эти два фазовых экрана с одинаковой рефракционной длиной эквивалентны в статистическом смысле и порождают одинаковые решения для функции распределения амплитуды N-волны. При учете дифракции, решения для них будут различными.

На рис. 1.11 (а,б) справа представлены характерные примеры пространственных распределений пикового положительного давления P+ за экранами. Для наглядности, ширина областей, показанных в качестве примера, гораздо меньше ширины всей области моделирования. Расчеты проводились для безразмерной нелинейной длины n = 8r и безразмерной рефракционной длины r = 63. В целом за экраном наблюдается сложная картина акустического поля; фокальные области формируются на различных расстояниях от фазового экрана и имеют различную степень концентрации поля, зависящую от размера и амплитуды конкретной неоднородности фазового экрана. Первые области фокусировок большой амплитуды (каустики) расположены приблизительно на расстоянии рефракционной длины r от фазового экрана. Это расстояние отмечено на рисунке вертикальной штриховой линией. На расстояниях, превышающих рефракционную длину, также наблюдаются случайные фокусы, которые обусловлены крупномасштабными флуктуациями фазы. В среднем амплитуда N-волны в этих дальних фокусах меньше, чем в ближних, что в основном связано с проявлением сильного нелинейного поглощения.

Сравнение рис. 1.11 (а) и (б) показывает, что большие по размеру флуктуации фазы приводят к более интенсивным фокусировкам. Например, максимум безразмерного давления на рис. 1.11 (а) составляет P+ = 1.8, а на рис. 1.11 (б) P+ = 3.1. В то же время, для экрана с большей корреляционной длиной наблюдается меньшее количество фокусов.

Таким образом, при той же рефракционной длине, мелкомасштабные модуляции волнового фронта, по сравнению с крупномасштабными модуляциями, приводят к большему количеству случайных фокусировок, но с меньшим пиковым давлением.

Эффективность фокусировки в каустиках также сильно зависит и от нелинейных эффектов. Будем сравнивать результаты нелинейных расчетов с результатами, полученными при линейном распространении N-волны. Если нелинейные эффекты достаточно сильны, то распространение N-волны сопровождается эффективным поглощением энергии на ударных фронтах, вследствие чего ее амплитуда быстро уменьшается на пути от экрана до каустик. С другой стороны, нелинейное уменьшение ширины ударного фронта в областях увеличения амплитуды приводит к улучшению фокусировки, поскольку профиль волны в каустике дифференцируется (с некоторой поправкой на поглощение и нелинейные эффекты). При не очень больших амплитудах Nволны эффект нелинейного улучшения фокусировки будет превосходить эффект от нелинейного поглощения. Наоборот, если амплитуда достаточно велика, то фокусировка оказывается слабее, чем при линейном распространении. Таким образом, эффективность фокусировки поля в случайных каустиках зависит от рефракционной длины и является немонотонной функцией амплитуды исходной волны.

Такое немонотонное поведение эффективности фокусировки в зависимости от нелинейных эффектов проиллюстрировано на рис.1.12 (а, б). На рис. 1.12 (а) показаны распределения пикового давления вдоль продольной координаты при фиксированной поперечной координате = 56.7 (горизонтальная штриховая линия на рис. 1.11 (а)).

Выбранная траектория проходит через каустику. На рис. 1.12 (б) показано распределение пикового давления вдоль поперечной координаты на расстоянии рефракционной длины от экрана = r (вертикальная штриховая линия на рис. 1.11 (а)). Для сравнения представлены результаты расчетов в линейном и трех нелинейных режимах распространения. Сплошная линия соответствует линейному распространению (1), а в расчете нелинейных режимов использовались следующие значения нелинейных длин:

n = 8r – штриховая линия (2), n = 2r – пунктирная линия (3) и n = r – штрихпунктирная (4). Из рис. 1.12 видно, что пиковое давление в фокусе при слабом проявлении нелинейных эффектов, n = 8r (2), примерно на 10% превосходит пиковое Рис. 1.12. Изменение положительного пикового давления вдоль горизонтальной a) и вертикальной б) штриховых линий на рис. 1.11 (a) при различных нелинейных длинах: 1) n = (линейное распространение), 2) n = 8r, 3) n = 2r, and 4) n = r. Кривая 2) соответствует реализации поля пикового давления, показанной на рис. 1.11 (а).

давление в линейном случае. Кривые (3) и (4) соответствуют гораздо более сильному проявлению нелинейности, при которой нелинейное поглощение на ударном фронте доминирует над эффектом улучшения фокусировки. При этом пиковое давление меньше, чем в линейном случае, уменьшается при дальнейшем увеличении нелинейности, наблюдается смещение максимума поля в направлении фазового экрана.

нелинейности, дифракции и случайных фокусировок показано на рис.1.13. Профили волны рассчитаны на различных расстояниях от экрана вдоль белых горизонтальных линий на рис. 1.11 (а). Штриховая линия проходит через каустику, а штрихпунктирная – через низкоамплитудную область дефокусировки. Белыми точками на рис. 1.11 (а) отмечены расстояния, на которых были рассчитаны профили. Нумерация точек соответствует нумерации профилей на рис. 1.13. Начальный профиль N-волны показан наблюдающиеся при распространении через каустику, показаны на рис. 1.13 (а): в зоне фокусировки ( = r) профиль имеет несимметричную U-образную форму с большим положительным пиковым давлением (2, штриховая линия); на больших расстояниях = 2r (3, пунктирная линия) пиковое давление в профиле меньше, наблюдается длинный «хвост» давления и за счет нелинейных эффектов увеличивается длительность импульса.

дефокусировки. Наблюдаются двухпиковый (5, пунктирная линия) и сглаженный (6, штриховая линия) профили, которые образуются в результате интерференции рассеянных волн с различающимися временами прибытия.