Учреждение Российской академии наук

Санкт-Петербургское отделение Математического

института им. В. А. Стеклова РАН

На правах рукописи

Дужин Сергей Васильевич

КОМБИНАТОРНЫЕ АСПЕКТЫ

ТЕОРИИ ИНВАРИАНТОВ ВАСИЛЬЕВА

01.01.04 геометрия и топология

Диссертация

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Санкт-Петербург 2011 Оглавление Глава 1. Введение 5 1.1. Исторические сведения 5 1.2. Узлы и их инварианты 7 1.3. Инварианты конечного типа 1.4. Алгебра хордовых диаграмм 1.5. Основные результаты диссертации Глава 2. Интеграл Концевича 2.1. Простейший интеграл типа Концевича 2.2. Конструкция и основные свойства 2.3. Интеграл Концевича для связок 2.4. Сходимость интеграла 2.5. Инвариантность интеграла 2.6. Изменение количества критических точек 2.7. Универсальный инвариант Васильева Глава 3. Конструкции весовых систем 3.1. Построение весовых систем по графу пересечений хордовой диаграммы 3.2. Ли-алгебраические весовые системы для хордовых диаграмм 3.3. Ли-алгебраические весовые системы для диаграмм Фейнмана 3.4. Ли-алгебраические весовые системы для диаграмм Якоби 3.5. Клейновы весовые системы 3.6. Разложимые кососимметрические функции Глава 4. Оценки размерностей пространств инвариантов 4.1. Оценка сверху для размерности пространств хордовых диаграмм 4.2. Нижняя оценка на основе весовых систем, определяемых графом пересечений 4.3. Нижняя оценка на основе весовых систем, строящихся по алгебрам Ли 4 Оглавление Глава 5. Разное 5.1. Алгебра 3-графов 5.2. Игрушечная теория инвариантов Васильева 5.3. Ориентация зацеплений и инварианты конечного типа 5.4. Разложение Магнуса и полином Конвея 5.5. Доказательство гипотезы Пшитыцкого о парных диаграммах 5.6. Алгоритм вычисления полинома Конвея по двудольному графу Литература Глава Введение Диссертация посвящена исследованию ряда свойств инвариантов конечного типа узлов и зацеплений в трехмерном пространстве (инвариантов Васильева). Полученные результаты носят в основном комбинаторный и алгебраический характер. В настоящей главе мы даем общее введение в предмет; в заключительном параграфе перечислены результаты автора по теме диссертации, доказательства которых распределены по оставшимся четырем главам. 1.1. Исторические сведения Теория узлов появилась в конце XIX века, но вплоть до 1980-х годов воспринималась научной общественностью как уединенная область математики, представляющая интерес лишь для узкого круга специалистов. В последние 15 лет XX века произошла революция, начатая статьей В. Джонса [65] и связанная с работами Э. Виттена, В. Дринфельда, М. Концевича. В результате теория узлов сместилась ближе к магистральному пути развития математики, и были обнаружены ее неожиданные связи с некоммутативной алгеброй, теорией чисел, теоретической физикой. На этой волне и появились инварианты конечного типа.

Инварианты узлов конечного типа были изобретены В. Васильевым в Москве и М. Гусаровым в Петербурге независимо и почти одновременно в конце 1980-х годов. Первые публикации на эту тему (1990) принадлежат В. Васильеву [114, 115, 116]. В 1990–91 году В. И. Арнольд рассказал об открытии Васильева нескольким математикам в Европе и США, а в 1992 году сделал на эту тему доклад на Европейском математическом конгрессе [29]. С этих пор выражение инварианты Васильева стало стандартным, а их исследование превратилось в весьма популярную область исследований, к которой подключились десятки математиков в разных странах.

В настоящей версии текста учтены замечания оппонентов В. Васильева, О. Виро, И. Дынникова и А. Омельченко, которым я выражаю благодарность; исправлены и некоторые другие неточности.

Имеет смысл говорить об инвариантах конечного типа со значениями в произвольной абелевой группе; для определенности мы будем обсуждать комплекснозначные инварианты. Они образуют бесконечномерную алгебру V, фильтрованную конечномерными подпространствами 0 = V1 V0 V1 V2... со свойством Vm · Vn Vm+n.

В 1991 году Дж. Бирман и С.-С. Линь [42] показали, что все известные полиномиальные инварианты узлов выражаются через инварианты Васильева2, а Д. Бар-Натан [31] ввел на градуированном векторном пространстве grV = n 0 Vn /Vn1 две структуры алгебры Хопфа и научился строить линейные функционалы на пространстве grV (весовые системы) по метризованной алгебре Ли и ее конечномерному представлению. В 1992 году М. Концевич [74] определил весовые системы со значениями в универсальной обертывающей метризованной алгебры Ли, а также построил универсальный инвариант конечного типа со значениями в пополненном пространстве grV = n 0 Vn /Vn1.

Тогда же были поставлены основные проблемы новой теории, остающиеся открытыми до сих пор:

(1) Найти размерности пространств Vn или хотя бы их асимптотику при n.

(2) Является ли универсальный инвариант Васильева полным инвариантом (ориентированного) узла? То есть, верно ли, что если два узла K1 и K2 различны, то найдется инвариант конечного типа v такой, что v(K1 ) = v(K2 )?

(3) Верно ли, что инварианты Васильева различают ориентацию узла? Иными словами, существует ли пара взаимно обратных узлов K, K и такой инвариант Васильева v, что v(K) = v(K )? Известно [72], что такой инвариант, если он существует, должен иметь степень не меньше 13. Новая наука быстро стала популярной и оказала сильнейшее воздействие на теорию узлов, зацеплений и 3-мерных многообразий. За 20 лет по этой тематике было опубликовано несколько сотен работ, см. [119]. Среди наиболее значимых продвижений отметим следующие:

• Рациональность интеграла Концевича (доказана Ле и Мураками [82]).

2Отчасти это было сделано уже в работе Гусарова [55].

3В недавней статье В. Турчина [112] приводятся аргументы в пользу того, что такие инварианты действительно должны существовать, но только в степенях, бльших 20.

• Существование инвариантов конечного типа, не являющихся квантовыми инвариантами (П. Вожель [120], Я. Либерум • Гауссово-диаграммные формулы, изобретенные М. Поляком и О. Виро [104] и доказательство М. Гусаровым [57] теоремы о том, что любой инвариант Васильева может быть представлен • Доказательство Д. Бар-Натаном [32] теоремы о том, что инварианты Васильева различают косы 4, а также классифицируют длинные зацепления с точностью до гомотопии.

• Теория класперов Хабиро–Гусарова [60, 56].

• Работы В. Васильева [117, 118], в которых описывается общая техника получения комбинаторных формул для классов когомологий в дополнениях к дискриминантам (классы нулевых когомологий это в точности инварианты конечного типа).

• Явные и неявные формулы для интеграла Концевича некоторых узлов и зацеплений [38, 39, 106, 75, 84].

1.2.1. Определение и примеры. Узел окружности S в трехмерное пространство R, рассматриваемое с точностью до изотопии, то есть гладкой деформации, во время которой не допускаются самопересечения кривой. В зависимости от контекста, мы будем понимать под узлом либо индивидуальную гладкую замкнутую кривую в R3, либо класс эквивалентности таких кривых относительно изотопии.

Вместо узлов в R3 можно рассматривать узлы в трехмерной сфере S 3 ; одноточечная компактификация пространства индуцирует взаимно-однозначное соответствие изотопических типов тех и других. Кроме того. вместо обычных (замкнутых) узлов можно изучать длинные узлы, т. е. вложения R1 R3, совпадающие вне некоторого компакта со стандартным вложением t (t, 0, 0) и рассматриваемые с точностью до изотопии, неподвижной на бесконечности.

Одноточечная компактификация R3 приводит, опять же, ко взаимнооднозначному соответствию; таким образом, все три варианта теории узлов эквивалентны между собой.

4Этот факт является также прямым следствием трудной теоремы Т. Коно [73], доказанной еще до введения инвариантов конечного типа.

Пример замкнутого узла и соответствующего ему длинного узла:

При изучении узлов часто возникает необходимость в рассмотрении произвольных зацеплений, то есть гладких вложений несвязного объединения S 1 · · · S 1 R3, также рассматриваемых с точностью до изотопии.

Чтобы изобразить узел k : S 1 R3 на бумаге, выберем разложение пространства R3 в прямую сумму горизонтальной плоскости и вертикальной прямой l и рассмотрим проекцию : R вдоль l. При необходимости, отображение k нужно подвергнуть малому шевелению, с тем чтобы проекция (k(S 1 )) оказалась кривой общего положения, то есть гладкой и с конечным числом перекрестков (самопересечений кратности два с неколлинеарными касательными векторами). В каждом перекрестке полученной кривой при помощи небольшого разрыва отмечается, какая ветвь узла проходит выше (является переходом ), а какая ниже (является проходом ) относительно проекции.

Получаемая в итоге картинка называется плоской диаграммой узла. Мерой сложности узла естественно считать минимальное число перекрестков на его плоской диаграмме.

Тривиальный узел (эквивалентный плоской окружности) имеет сложность 0, сложности 1 и 2 не бывает, а простейший нетривиальный узел с тремя перекрестками существует в двух разновидностях и называется трилистником.

Приведем несколько примеров узлов:

Тривиальный узел Левый трилистник Правый трилистник Восьмерка Узел 1.2.2. Ориентация. Мы считаем окружность S 1 и пространство R3 ориентированными. Отражение относительно плоскости меняет ориентацию пространства. Изменение направления обхода кривой на противоположное меняет ориентацию узла. Естественно выделить классы узлов, которые остаются эквивалентными себе при таких преобразованиях.

Узел называется зеркальным, если он эквивалентен своему зеркальному отражению.

Примеры. (1) Узел восьмерка зеркален. Это можно доказать явным построением изотопии. (2) Трилистник не является зеркальным узлом. Это следует, например, из того, что базисный инвариант Васильева третьей степени принимает на левом и правом трилистниках разные значения.

Узел называется обратимым, если он эквивалентен своему обратному, т. е. тому же узлу, проходимому в обратном направлении.

Примеры. (1) Трилистник обратим, так как направление обхода можно заменить на обратное плавным поворотом на 180 вокруг некоторой оси. (2) Узел 817 необратим: при замене ориентации он переходит в свой зеркальный образ, неэквивалентный исходному узлу (эта нетривиальная теорема была доказана в 1979 году А. Каваути [69]).

1.2.3. Инварианты узлов. Для различения узлов используются инварианты, т. е. функции, сопоставляющие узлу некоторый объект (число, многочлен, группу и т. д.) и не меняющиеся при изотопиях. Известно очень много разных инвариантов узлов. Наиболее удобны на практике полиномиальные инварианты, допускающие определение посредством скейн-соотношений, т. е. соотношений между значениями инварианта на узлах, отличающихся лишь локально в окрестности некоторого перекрестка. Из множества таких инвариантов мы приведем определение лишь одного: многочлена Конвея (по поводу других инвариантных полиномов см., например, [103]).

Определение. Многочлен Конвея C это инвариант ориентированных зацеплений (в частности, узлов), принимающий значения в кольце Z[t], удовлетворяющий соотношению ( скейн-соотношение Конвея ) и равный 1 на тривиальном узле.

Три диаграммы, фигурирующие в соотношении Конвея, отличаются друг от друга лишь внутри пунктирной окружности, а снаружи нее совпадают. Поскольку такие перестройки меняют число связных компонент, определение имеет смысл только для совокупности всех зацеплений. Применяя скейн-соотношение достаточно много раз, любое зацепление можно свести к тривиальному узлу, и результат вычислений не зависит от последовательности действий (в этом и состоит теорема Конвея). Можно проверить, что для узлов полученный инвариант не меняется ни при замене ориентации, ни при зеркальном отражении и содержит только четные степени переменной t. Примеры: для трилистника, восьмерки и узла 817 (см. рисунок выше) многочлены Конвея равны соответственно 1 + t2, 1 t2, 1 t2 2t4 t6.

Заметим, кстати, что в заключительном параграфе главы 5 будут приведены два новых алгоритма подсчета полинома Конвея для довольно широкого класса парных графов (в который, в частности, попадают все упомянутые).

1.3.1. Определение. В упрощенном виде идея Васильева заключается в том, что нужно ввести в рассмотрение, помимо обычных узлов, еще так называемые особые узлы, и определить продолжение инвариантов, определенных первоначально для обычных узлов, на множество всех особых узлов. Это позволяет заменить альтернированную сумму большого числа обычных узлов одним особым узлом и быстро сводит изучение инвариантов конечного типа к комбинаторике.

Особым узлом называется гладкое отображение K : S 1 R3, являющееся вложением всюду, кроме конечного числа простых двойных точек (т. е. точек самопересечения с трансверсальными касательными векторами).

Обозначим через Emb (Imm) пространство всех вложений (погружений) окружности в R3. Разность = Imm \ Emb есть, по Васильеву, дискриминант пространства Imm5. Дополнение к дискриминанту, т. е. собственно пространство Emb состоит из связных компонент, отвечающих изотопическим типам (обычных) узлов; чтобы перейти от одного типа к другому, необходимо пересечь дискриминант. Полезно представлять себе множество всех особых узлов с одной двойной точкой как главную часть дискриминанта ; для перехода из одной компоненты связности пространства Emb в любую другую достаточно несколько раз пересечь эту главную часть, т. е. сделать несколько замен перекрестков на диаграмме узла.

Множество всех особых узлов с n двойными точками, рассматриваемых с точностью до изотопии, мы обозначим через Kn. В частности, K0 это множество (классов эквивалентности) обычных узлов.

Буквой K без индекса мы будем обозначать объединение всех Kn.

5Наше изложение сильно упрощено по сравнению с исходным подходом В. Васильева [114] и дает лишь общую картину, достаточную для понимания дальнейшего.

Диаграмма особого узла отличается от диаграммы обычного узла тем, что на ней, кроме точек прохода и перехода, есть еще точки самопересечения, которые на рисунках мы будем изображать жирными точками.

Пусть f : K0 C некоторый инвариант узлов. Продолжение инварианта f на особые узлы это функция f : K C, совпадающая на K0 с f и удовлетворяющая скейн-соотношению Васильева В этом соотношении фигурируют три особых узла, диаграммы которых совпадают между собой всюду, кроме указанного фрагмента.

Оба узла, стоящие в правой части, имеют на одну двойную точку меньше, чем узел, стоящий в левой части. Пользуясь этим соотношением рекуррентно, всякий инвариант, заданный первоначально на обычных узлах, можно продолжить на множество всех особых узлов.

В отличие от рекуррентного определения многочлена Конвея, данного выше, в этом случае вполне очевидно, что продолжение не зависит от порядка, в котором применяется скейн-соотношение Васильева.

Функция f : K0 C называется инвариантом Васильева порядка (или степени) n, если ее продолжение на множество особых узлов обращается в нуль на всех узлах, имеющих более чем n точек самопересечения.

1.3.2. Пример. Коэффициент cn при tn в многочлене Конвея узла есть инвариант порядка n. В самом деле, сопоставив скейнсоотношение Конвея (1) со скейн-соотношением Васильева (2), мы видим, что значение продолженного C на особом узле или зацеплении с n + 1 особой точкой есть многочлен, делящийся на tn+1 ; следовательно, коэффициент при tn в нем равен 0. Можно доказать, что для узлов при четном n порядок инварианта cn равен ровно n.

1.3.3. Инварианты малых степеней. Множество Vn всех инвариантов Васильева порядка n со значениями в поле образует векторное пространство, так как линейная комбинация нескольких таких инвариантов всегда принадлежит Vn. Нас, в частности, будет интересовать вопрос, чему равна размерность этого пространства, т. е. сколько существует линейно независимых инвариантов Васильева данного порядка.

Пример. Пространство V0 одномерно и состоит только из констант.

В самом деле, если f V0, то f обращается в нуль на любом особом узле, имеющем хотя бы одну двойную точку. В силу определения, это значит, что значение f на обычном узле не меняется при замене любого прохода на переход. Но такими действиями любой узел можно распутать, т. е. свести к тривиальному узлу. Значит, значение нашего инварианта f на любом узле равно его значению на тривиальном узле и, таким образом, f есть константа.

Аналогичное утверждение имеет место и для инвариантов Васильева порядка 1. Его доказательство не намного сложнее предыдущего.

Оказывается, что пространство V2 двумерно. Кроме констант, оно содержит еще один нетривиальный базисный элемент, например второй коэффициент полинома Конвея c2. (То, что c2 не есть константа, видно из приведенных выше значений многочлена Конвея на некоторых узлах.) Причину, по которой нетривиальные инварианты Васильева появляются только в порядке 2, можно объяснить следующим образом.

Пусть v инвариант Васильева порядка n. Рассмотрим его значения на особых узлах, имеющих ровно n двойных точек. В силу соотношения Васильева и ввиду того, что v обращается в нуль на любом узле, у которого больше, чем n двойных точек, значение v(K) не изменится, если узел K подвергнуть произвольной деформации (включая замены проходов на переходы и обратно), при которой двойные точки остаются на месте. Следовательно, значение v(K) зависит лишь от порядка, в котором при обходе узла на нем встречаются двойные точки.

Если двойная точка одна (a), то она может встретиться только так: aa. Если же двойных точек две (a и b), то есть две возможности, а именно, aabb и abab, которые не переходят друг в друга при циклических перестановках. Различные варианты чередования двойных точек при обходе узла удобно кодировать посредством хордовых диаграмм.

1.3.4. Хордовые диаграммы. Хордовая диаграмма степени n это ориентированная окружность, в которой проведены n хорд, все концы которых различны.

Хордовые диаграммы рассматриваются как чисто комбинаторный объект: расстояние между концами хорд и форма хорд не имеют никакого значения, важен лишь порядок, в котором пары точек, соединенных хордами, следуют по кругу. Хордовая диаграмма это то же самое, что слово в алфавите из n букв a1,..., an, в котором каждая буква встречается ровно два раза. Такие слова рассматриваются с точностью до циклических перестановок входящих в них букв и произвольной перенумерации переменных a1,..., an.

Примеры. Существует (Здесь и далее подразумевается, что внешняя окружность ориентирована против часовой стрелки.) Каждому особому узлу K, имеющему n двойных точек, отвечает определенная хордовая диаграмма (K) степени n, например:

1.3.5. Основная теорема. Пусть CDn множество всех хордовых диаграмм степени n. Их число #(CDn ) дает оценку сверху на зазор между размерностью пространства Vn и размерностью пространства Vn1 Vn. В самом деле, мы только что объяснили, как по инварианту Васильева порядка n построить функцию на множестве хордовых диаграмм порядка n. Если обозначить пространство всех функций на множестве хордовых диаграмм порядка n через Fn, то мы получаем линейное отображение : Vn Fn. По определению, ядро этого отображения состоит в точности из инвариантов Васильева порядка n 1, и мы имеем линейное вложение факторпространства Отсюда следует, что размерности всех пространств Vn конечны, причем А чему равен образ отображения ? Как можно охарактеризовать функции на множестве хордовых диаграмм, принадлежащие образу этого отображения, т. е. происходящие из инвариантов Васильева? Такие функции называются весовыми системами, а ответ на заданный вопрос дает следующая теорема Васильева–Концевича.

Теорема 1.1. (1) (В. Васильев) Всякая весовая система удовлетворяет (а) одночленным соотношениям: f (D) = 0 для любой диаграммы D, содержащей изолированную хорду, то есть хорду, не пересекающую никаких других хорд.

(б) четырехчленным соотношениям (фигурирующие здесь хордовые диаграммы отличаются друг от друга положением одной хорды; предполагается, что к пунктирным участкам окружности может быть приложен любой набор хорд, один и тот же во всех четырех случаях).

(2) (М. Концевич) Любая функция на множестве CDn, удовлетворяющая а) и б), происходит из некоторого инварианта Васильева порядка n.

Итак, чтобы определить число dn = dim Vn dim Vn1, нужно составить и решить систему линейных уравнений, в которой неизвестные это значения весовой системы на хордовых диаграммах степени n, а уравнения получаются из всевозможных 1- и 4-членных соотношений. Здесь удобно перейти на двойственную точку зрения, определив пространство An такое, что A есть в точности пространn ство весовых систем.

ство, порожденное всеми хордовыми диаграммами степени n по модулю одночленных (приравнивание нулю любой диаграммы, содержащей изолированную хорду) и четырехчленных соотношений, определенных выше.

Приведем конкретный пример 4-членного соотношения:

его можно переписать так:

В 4-членном соотношении участвуют три участка окружности, показанные сплошными линиями на выше приведенных диаграммах.

Нарисовав эти участки в виде трех вертикальных линий, мы можем переписать 4-членное соотношение в следующем виде :

где обозначает количество концов хорд, в которых ориентация вертикальных линий на данной картинке направлена вниз. Такую форму записи 4-членного соотношения мы будем называть горизонтальным 4-членным соотношением. 1.3.6. Размерности и их асимптотика. Вручную легко сосчитать пространства An для степеней 4. Ответ такой. Пространства A1, A2, A3, A4 имеют размерности 0, 1, 1, 3 соответственно; базисами С ростом n число переменных и уравнений в системе для определения размерности пространства An растет суперэкспоненциально.

Используя описанный прямой подход, на компьютере удалось сосчитать размерность и базис An только для n 9 [31]. Размерности пространств An для n = 10, 11 и 12 были найдены Я. Кнайсслером [72], используя более продвинутую технику (алгебру Вожеля [120]).

Вот таблица всех известных к настоящему времени точных значений размерностей (здесь P = n 1 Pn примитивное подпространство, см. следующий раздел):

Асимптотика чисел dim An при n также до сих пор неизвестна. Наилучшая оценка сверху принадлежит Д. Цагиру [123]; в упрощенной форме она утверждает, что dim An асимптотически меньше, 6Это соотношение под названием innitesimal braid relation появилось впервые в работе Т. Коно [73] еще до провозглашения теории инвариантов Васильева.

чем n!/an для любой константы a < 2 /6. Рекордную нижнюю оценку получил О. Дасбах [48], использовавший технику работы [3]; он доказал, что dim Pn растет быстрее, чем e для любого b < 2/3.

Наилучшая оценка снизу на размерности пространств An, которую удается отсюда вывести, это что dim An en/ logc n для любой константы c < 2 /6. Во всяком случае, легко видеть, что субэкспоненциальная асимптотика для dim Pn влечет за собой субэкспоненциальную же асимптотику для dim An. Таким образом, имеющаяся верхняя оценка факториальна, а нижняя строго меньше экспоненты, и зазор между обеими оценками остается весьма значительным.

1.4.1. Биалгебра A. Устройство векторных пространств An = Vn /Vn1 помогает понять мультипликативная структура, которая имеется в прямой сумме Произведение двух хордовых диаграмм определяется так: две окружности разрываются и склеиваются в одну в соответствии с ориентацией:

Хордовая диаграмма, которая получается в правой части этого соотношения, зависит, вообще говоря, от того места, где разрываются окружности, но с учетом 4-членных соотношений (в факторпространстве A) умножение определено корректно (см. [31, 26]). Таким образом, бесконечномерное пространство A является коммутативной градуированной алгеброй (скажем, над полем комплексных чисел).

Поскольку для корректности умножения одночленные соотношения не нужны, имеет смысл определить также бльшую алгебру A, порожденную всеми хордовыми диаграммами по модулю только 4членных соотношений. Помимо естественного эпиморфизма A A, существует также расщепляющее его вложение A A, которое проще всего определить, представляя элементы обеих алгебр как полиномы от примитивных элементов (см. ниже).

В алгебрах A и A можно ввести коумножение по правилу где [D] множество хорд диаграммы D, а DJ диаграмма, содержащая только хорды из подмножества J. Таким образом A (а также A ) превращается в коммутативную кокоммутативную алгебру Хопфа и по теореме Милнора–Мура (см. [89, 26]) совпадает с симметрической алгеброй над своим примитивным подпространством P A. Примитивное подпространство P состоит, по определению, из элементов p A таких что (p) = 1 p + p 1; оно градуировано подпространствами Pn = P An. Выбрав базис в каждом Pn, мы сможем однозначно записать любой элемент алгебры A в виде многочлена от бесконечного набора градуированных переменных. Примитивное пространство алгебры A отличается от примитивного пространства алгебры A добавлением одномерной компоненты P1 = A1, порожденной хордовой диаграммой с одной хордой. Линейное вложение P (A) P (A ) порождает вложение алгебр A A, односторонне обратное естественной проекции A A.

В терминах самих хордовых диаграмм примитивные элементы записываются в виде довольно неуклюжих линейных комбинаций; более удобное описание можно получить при помощи так называемых диаграмм Фейнмана.

1.4.2. Диаграммы Фейнмана. Диаграмма Фейнмана степени n это связный регулярный трехвалентный граф с 2n вершинами, в котором выделен ориентированный цикл, называемый петлей Уилсона, и в каждой вершине, не лежащей на петле Уилсона, задан циклический порядок выходящих из нее ребер.

Хордовые диаграммы являются частным случаем диаграмм Фейнмана7 (у них все трехвалентные вершины лежат на петле Уилсона).

Каждую диаграмму Фейнмана f можно превратить в линейную комбинацию хордовых диаграмм (f ), многократно применяя следующее соотношение STU для разрешения тройных точек, смежных с петлей Уилсона (здесь предполагается, что ребра в трехвалентных вершинах упорядочены против часовой стрелки; при замене порядка в любой вершине диаграмма по определению меняет знак):

7В употреблении терминов диаграмма Фейнмана и петля Уилсона в данном контексте мы следуем Д.Бар-Натану [31]; в калибровочной теории и теории Черна–Саймонса эти слова имеют иной смысл.

Соотношения STU можно использовать и по-другому, а именно, можно рассмотреть векторное пространство, порожденное всеми диаграммами Фейнмана (включая хордовые диаграммы), и его факторпространство C по всем соотношениям STU. Естественное отображение A C является тогда линейным изоморфизмом (см. [31, 26]) и позволяет перенести в C из A умножение и коумножение. Ввиду этого, мы можем не различать обе алгебры и использовать для них общее обозначение A. Диаграммы Фейнмана при этом можно понимать как сокращенную запись линейных комбинаций хордовых диаграмм и называть обобщенными хордовыми диаграммами.

1.4.3. Действие перестановок на диаграммах Фейнмана.

Пусть k число вершин диаграммы Фейнмана, лежащих на петле Уилсона (то есть ее ног ). На множестве диаграмм с k имеется действие группы перестановок Sk, которое нам понадобится в будущем. Оно определяется как композиция диаграммы Фейнмана с диаграммой перестановки, смысл которой ясен из рисунка:

Пример. Соотношение антисимметрии влечет, что диаграмма с петлей равна нулю. Следовательно, с точностью до знака, существует всего 4 различные ненулевые диаграммы Фейнмана степени 2:

а соотношения STU приводят к тому, что dim C2 = dim A2 = 2.

Диаграмма Фейнмана называется связной, если соответствующий граф остается связным после отбрасывания петли Уилсона. На предыдущем рисунке связными являются третья и четвертая диаграммы (линейно зависимые между собой).

Теорема 1.2. [31, 26] Пространство примитивных элементов Pn алгебры A (n 1) совпадает с линейной оболочкой всех связных диаграмм Фейнмана. Примитивное пространство алгебры A отличается от этого только в градуировке 1, а именно, P1 (A) = 0 в то время как dim P1 (A ) = 1.

Примеры.

Пространства P2 и P3 одномерны и порождены, соответственно, В трехмерном пространстве A4 примитивное подпространство P двумерно; в качестве базиса можно взять элементы и.

Оказывается (см. раздел 5.1), что в пространстве всех примитивных элементов P = Pn есть еще внутренняя мультипликативn= ная структура. Именно эта структура позволила Я. Кнайсслеру [72] в 1997 году найти верхнюю оценку для dim Pn при n 12, удивительным образом совпавшую с известной к тому времени нижней оценкой, и тем самым превзойти вычислительный рекорд Д. Бар-Натана 1993 года, нашедшего на компьютере размерности Pn для n 9 прямым методом.

1.4.4. Диаграммы Якоби. Сейчас мы опишем введенную Д. БарНатаном алгебру диаграмм Якоби B, изоморфную как линейное пространство алгебрам A и C, но во многих отношениях более удобную в использовании.

По определению, алгебра B порождена 1-3-валентными графами с заданным циклическим порядком (полу)ребер в каждой трехвалентной вершине, которые удовлетворяют соотношениям двух видов:

(первое соотношение означает замену циклического порядка ребер, сходящихся в одной вершине). Диаграмма Якоби может быть несвязной, при этом требуется, чтобы в каждой компоненте связности была хотя бы одна одновалентная вершина. Умножение в алгебре B определяется через несвязное объединение диаграмм, коумножение как сумма попарных тензорных произведений по всем способам разбиения множества связных компонент на две части.

Мы уже замечали, что диаграммы Фейнмана с петлей равны нулю по соотношениям AS. То же самое верно, разумеется, и для диаграмм Якоби. Дадим менее тривиальное обобщение этого факта: мы сформулируем его для диаграмм Якоби, но аналог верен и для диаграмм Фейнмана.

Определение. Антиавтоморфизмом диаграммы Якоби b называется ее автоморфизм как графа, при котором происходит обращение циклического порядка полуребер в нечетном числе вершин.

Лемма 1.1. Если диаграмма Якоби b допускает антиавтоморфизм, то b = 0 в векторном пространстве B (поскольку характеристика основного поля отлична от 2).

Доказательство. В самом деле, из определения вытекает, что в этом случае b = b.

Взяв среднее арифметическое по всем способам приклеивания петли Уилсона к одновалентным вершинам (как мы делали выше с колесами), любую диаграмму Якоби можно превратить в линейную комбинацию диаграмм Фейнмана. Можно доказать [31, 26], что полученное отображение : B A (над полем характеристики 0) является линейным изоморфизмом; оно согласовано с коумножением, но не сохраняет умножения. Соотношение между алгебрами A и B во многом аналогично соотношению между универсальной обертывающей и симметрической алгебрами данной алгебры Ли. В частности, существует аналог изоморфизма Дюфло–Кириллова B A (см.

[39, 26]).

Работать с диаграммами Якоби удобнее, чем с диаграммами Фейнмана, потому что в пространстве B, помимо общей градуировки половиной числа вершин, есть еще две дополнительные градуировки: по числу компонент связности и по числу одновалентных вершин (последняя превращается даже в мультиградуировку, если число компонент связности больше 1).

В терминах алгебр A и B можно дать комбинаторную переформулировку проблемы обратимости инвариантов конечного типа, упомянутую на стр. 6 (подробнее об этом см. в [26]):

1. существует ли хордовая диаграмма, которая неэквивалентна своему зеркальному отражению по модулю 4-членных соотношений?

2. существует ли ненулевая диаграмма Якоби с нечетным числом одновалентных вершин?

Как вы видите, наиболее элегантно эта проблема звучит на языке диаграмм Якоби; заметим, что даже для диаграмм с тремя одновалентными вершинами она до сих пор открыта.

1.4.5. Линейные хордовые диаграммы. Как мы отмечали выше (см. стр. 7), теория обычных (замкнутых) узлов эквивалентна теории длинных узлов. Соответственно, для инвариантов Васильева возникают линейные хордовые диаграммы, т.е. диаграммы на ориентированной прямой вида по модулю 4-членных соотношений:

Давайте временно обозначим пространство линейных хордовых диаграмм с n хордами по модулю 4-членных соотношений через (An )l.

Пространство (A )l = (An )l таких диаграмм всех степеней являетn ся биалгеброй; произведение в (A )l определяется простой конкатенацией ориентированных прямых.

При замыкании прямой в окружность линейные 4-членные соотношения превращаются в обычные; таким образом мы получаем корректно определенное линейное отображение (An )l An. Очевидно, что это эпиморфизм, ибо прообраз круговой хордовой диаграммы можно найти, разорвав окружность в произвольном месте. Этот прообраз зависит, вообще говоря, от точки разрыва, так что может показаться, что рассматриваемое отображение имеет нетривиальное ядро.

Например, линейная диаграмма, нарисованная выше, при замыкании дает такую же круговую диаграмму, как и показанная ниже:

Замечательно, что по модулю 4-членных соотношений все прообразы любой круговой хордовой диаграммы в (A )l равны (в частности, обе линейные диаграммы, приведенные выше, представляют собой один и тот же элемент пространства (A3 )l ). Этот факт доказывается точно так же, как корректность умножения обычных хордовых диаграмм (см. [31, 26]).

Резюмируя, мы получаем:

Предложение 1.1. Замыкание прямой линии в окружность порождает изоморфизм биалгебр (A )l A.

1.5. Основные результаты диссертации В диссертации представлены следующие результаты, большая часть которых получена автором самостоятельно, а некоторые в соавторстве. Все результаты, кроме указанного в последнем пункте, имеют прямое отношение к теме работы. Последний же результат, полученный, когда текст диссертация уже начал верстаться, имеет косвенную связь с инвариантами Васильева, так как там речь идет о полиноме Конвея, коэффициенты которого, как известно, являются инвариантами конечного порядка.

(1) Введение понятия графа пересечений хордовой диаграммы (раздел 3.1) и получение с его помощью первой нетривиальной нижней оценки на размерность пространства инвариантов Васильева (раздел 4.2).

(2) Доказательство первой нетривиальной верхней оценки на размерность пространства инвариантов Васильева посредством изучения хребтовых диаграмм (раздел 4.1).

(3) Получение суперполиномиальной нижней оценки на размерность примитивного пространства в алгебре хордовых диаграмм при помощи весовой системы, построенной по алгебре Ли glN (раздел 4.3).

(4) Полное доказательство теоремы Концевича об универсальном инварианте Васильева с заполнением всех пробелов оригинального доказательства (глава 2).

(5) Введение и изучение клейновых весовых систем (раздел 3.5).

Описание, в связи с этим, разложимых кососимметрических функций (раздел 3.6).

(6) Введение и изучение алгебры 3-графов (раздел 5.1).

(7) Построение теории игрушечных инвариантов Васильева, в известном смысле двойственной обычной теории (раздел 5.2).

(8) Доказательство существования инварианта Васильева, различающего ориентацию двухкомпонентных струнных зацеплений (раздел 5.3).

(9) Вычисление символа полинома Конвея на трехструнных крашеных косах, полученного с использованием короткого замыкания кос и разложения Магнуса (раздел 5.4).

(10) Компьютерно-вычислительные результаты: (а) нахождение системы образующих алгебры 3-графов до степени 20 (пункт 5.1.3), (б) нахождение значений Ли-алгебраических весовых систем на образующих алгебр диаграмм Якоби (пункт 3.3), (в) явное разложение логарифма ассоциатора Дринфельда по базису свободной алгебры Ли, состоящему из слов Линдона (упоминается в разделе 5.4.6), (г) доказательство Предложения 5.2 из раздела 5.3.

(11) Изобретение двух способов вычисления полинома Конвея для парных узлов (раздел 5.6).

Интеграл Концевича изобретен в 1992 году [74] как средство доказательства сформулированной выше (с. 14) теоремы Васильева– Концевича. В своей публикации М.Концевич ограничился лишь изложением самой конструкции и привел идеи доказательства основных его свойств. Первое полное доказательство теоремы Концевича было дано в статье С.В.Чмутова и автора [4], вначале появившейся в как препринт института Макса Планка. Ниже мы в основном следуем обновленному изложению, данному в книге [26] и исправляющему некоторые неточности работы [4].

Интеграл Концевича является далеко идущим обобщением простой интегральной формулы для числа зацепления, которую мы сейчас опишем. 2.1. Простейший интеграл типа Концевича Число зацепления двух ориентированных пространственных кривых K и L это, говоря неформально, количество оборотов (со знаком), которое одна кривая совершает вокруг другой. Более строгое определение: затянем одну из кривых ориентированным диском и возьмем коэффициент пересечения второй кривой с этим диском.

Для числа зацепления существует комбинаторная формула, которую можно сформулировать так (доказательство см. в [26]). Рассмотрим плоскую диаграмму данного зацепления и рассмотрим сумму знаков тех перекрестков, где K проходит над L (она же равна сумме знаков тех перекрестков, где L проходит над K, или полусумме знаков всех перекрестков между данными кривыми самопересечения кривых не учитываются).

Представим трехмерное пространство R3 как прямое произведение комплексной прямой C с координатой z и вещественной прямой R с координатой t. Вложим зацепление L = K L в пространство R3 = Cz Rt так, чтобы координата t была функцией Морса на L.

1Некоторые говорят, что интеграл Концевича обобщает известную формулу Гаусса, которая выражает индекс зацепления через степень сферического отображения, но это не так.

Это значит, что во всех точках, где t как функция параметра на кривой имеет нулевую производную, ее вторая производная не должна обращаться в нуль.

Теорема 2.1. Оказывается, что число зацепления можно тогда сосчитать по такой формуле: