«НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ И ПОЛУГРУППЫ ФЕЛЛЕРА ...»

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

Гуревич Павел Леонидович

УДК 517.95

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

И ПОЛУГРУППЫ ФЕЛЛЕРА

специальность

01.01.02 — дифференциальные уравнения Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор А. Л. Скубачевский Москва — 2008 Оглавление Введение Глава I. Нелокальные эллиптические задачи с нелинейными преобразованиями переменных 1. Некоторые определения и результаты из теории линейных операторов. Функциональные пространства................ 2. Постановка задачи в ограниченной области............ 3. Нелинейные преобразования вблизи начала координат...... 4. Фредгольмова разрешимость нелокальных задач и устойчивость индекса................................. Глава II. Сильные решения нелокальных эллиптических задач в плоских углах в пространствах Соболева 5. Функциональные пространства.................... 6. Постановка нелокальной задачи в ограниченной области..... 7. Нелокальные задачи в плоских углах в пространствах Соболева Глава III. Сильные решения нелокальных эллиптических задач в ограниченной области в пространствах Соболева 8. Отсутствие собственных значений оператора L() на прямой Im = 1 l 2m............................ 9. Нелокальные задачи в весовых пространствах с малым показателем веса................................. 10. Правильное собственное значение оператора L() на прямой Im = 1 l 2m............................ 11. Нелокальные задачи с однородными нелокальными условиями.. 12. Примеры................................ Глава IV. Обобщенные решения нелокальных эллиптических задач 13. Обобщенные решения нелокальных задач............. 14. Фредгольмова разрешимость нелокальных задач.......... 15. Устойчивость индекса при возмущении дифференциального оператора младшими членами...................... 16. Устойчивость индекса при возмущении нелокальных условий.. 17. Неустойчивость индекса........................ Глава V. Гладкость обобщенных решений нелокальных эллиптических задач 18. Сохранение гладкости обобщенных решений............ 19. «Пограничный» случай. Условия согласования........... 20. Нелокальные условия специального вида. Регулярные и нулевые правые части.............................. 21. Нарушение гладкости обобщенных решений............ 22. Пример................................. Глава VI. Полугруппы Феллера и двумерные диффузионные процессы 23. Нелокальные задачи в пространствах непрерывных функций.. 24. Ограниченные возмущения диффузионных процессов....... 25. Неограниченные возмущения диффузионных процессов...... 26. Несуществование полугрупп Феллера................ Литература Введение Актуальность темы Настоящая диссертация посвящена следующим взаимосвязанным вопросам:

разрешимости и гладкости решений эллиптических уравнений с нелокальными краевыми условиями и существованию полугрупп Феллера, возникающих в теории многомерных диффузионных процессов.

Обыкновенные дифференциальные уравнения с нелокальными условиями, возникающими в гидродинамике, рассматривал еще А. Зоммерфельд [101]. Впоследствии одномерные нелокальные задачи изучали В. А. Ильин [29], В. А. Ильин и Е. М. Моисеев [30], А. Крол [90], М. Пиконе [92], А. Л. Скубачевский [99], Я. Д. Тамаркин [68], А. А. Шкаликов [69] и др.

В 1932 г. Т. Карлеман [76] рассмотрел задачу о нахождении голоморфной функции в ограниченной области G, удовлетворяющей следующему условию:

значение неизвестной функции в точке y границы G связано со значением в каждой точке (y), где : G G — гладкое невырожденное преобразование, ((y)) = y, y G. В работе [76] эта задача сводится к сингулярному интегральному уравнению со сдвигом. С такой постановкой задачи связаны дальнейшие исследования сингулярных интегральных уравнений со сдвигом, отображающим границу области на себя и порождающим конечную группу (подробную библиографию можно найти, например, в книге Н. И. Мусхелишвили [44]), а также работы, в которых изучаются эллиптические уравнения, содержащие сдвиг области на себя (см. монографию А. Б. Антоневича и А. В. Лебедева [71]). Эллиптические уравнения с абстрактными нелокальными краевыми условиями изучались в работах Р. Билза [72], Ф. Браудера [73], М.

И. Вишика [7], М. Шехтера [95]. При этом на абстрактные операторы налагались условия, гарантирующие выполнение неравенства коэрцитивности. В ряде случаев накладывались ограничения на сопряженный оператор.

В 1969 г. А. В. Бицадзе и А. А. Самарский [5] рассмотрели принципиально иную нелокальную эллиптическую задачу, возникающую в теории плазмы:

ищется гармоническая в ограниченной области G функция, удовлетворяющая нелокальным условиям, связывающим значения искомой функции на многообразии 1 G со значениями на некотором многообразии, лежащем внутри области G; на множестве G \ 1 ставится условие Дирихле. В случае прямоугольной области эта задача была решена в работе [5] сведением к интегральному уравнению Фредгольма второго рода и применением принципа максимума.

В случае произвольной области и общих нелокальных условий задача была сформулирована как нерешенная [54]. (Укажем также работу А. Крола [90], в которой отмечена важность развития теории нелокальных краевых задач.) Различные варианты и обобщения нелокальных задач, которые содержат преобразования переменных, отображающие границу в замыкание области, рассматривали А. В. Бицадзе [3,4], А. К. Гущин [25], А. К. Гущин и В. П. Михайлов [26,27], Н. В. Житарашу и С. Д. Эйдельман [28], В. А. Ильин и Е. И. Моисеев [31], К. Ю. Кишкис [33,34], Б. П. Панеях [48], Я. А. Ройтберг и З. Г. Шефтель [52, 53], А. П. Солдатов [66] и др.; при этом особое внимание уделялось разрешимости нелокальных задач. Спектральные свойства нелокальных задач в многомерном случае исследовались Е. И. Моисеевым [42, 43], М. А. Мустафиным [45]. Отметим, что в цитированных работах изучается либо двумерный случай, либо уравнения второго порядка, либо накладываются достаточно жесткие условия на геометрию носителя нелокальных членов (например, предполагается, что носитель нелокальных членов лежит внутри области или имеет пересечение только с той частью границы, где задано «локальное» условие Дирихле).

Основы теории линейных эллиптических уравнений порядка 2m с нелокальными краевыми условиями общего вида были заложены в работах А. Л. Скубачевского и его учеников [35, 49, 50, 56, 58, 59, 61–63, 65, 97, 99, 100]: приведена классификация по типу нелокальных условий, доказаны априорные оценки и построены правый и левый регуляризаторы в пространствах Соболева или весовых пространствах (в зависимости от типа нелокальных условий), а также получена асимптотика решений вблизи точек сингулярности. Для ряда задач изучены спектральные свойства и свойства индекса соответствующих операторов. В частности, было показано, что свойства задачи существенным образом зависят от геометрии носителя нелокальных членов. Проиллюстрируем возможные случаи на следующем примере.

Пусть G Rn (n 2) — ограниченная область с границей G = 1 2 K, где — открытые связные (в топологии G) (n1)-мерные многообразия класса C, K = 1 2 — (n 2)-мерное связное многообразие без края класса C (если n = 2, то K = {g1, g2 }, где g1, g2 — концы кривых 1, 2 ). Пусть в окрестности каждой точки g K область G диффеоморфна n-мерному двугранному (плоскому, если n = 2) углу. Рассмотрим в области G нелокальную задачу Здесь b C (R2 ); — бесконечно дифференцируемые невырожденные преобразования, отображающие некоторую окрестность O многообразия на множество (O ) так, что ( ) G. Точки множества K назовем точками сопряжения нелокальных краевых условий.

В работах А. Л. Скубачевского предложена следующая классификация:

Первый класс задач (а также его обобщения на случай абстрактных нелокальных операторов в краевых условиях) является наиболее изученным: свойства нелокальной задачи во многом близки к свойствам соответствующей «локальной» задачи (когда b (y) 0). В частности, нелокальная задача фредгольмова в обычных пространствах Соболева и ее индекс равен индексу «локализованной» задачи, а соответствующая задача со спектральным параметром однозначно разрешима при достаточно больших значениях параметра (см. [56, 58, 99]). В случае когда спектр локальной задачи дискретный, нелокальная задача также имеет дискретный спектр, а система ее корневых функций образует базис Абеля в соответствующем пространстве Соболева (см. [49, 50]).

Существенно более сложная ситуация имеет место для второго и третьего классов. Для второго класса нелокальных задач кривая ( ) может пересекаться (в том числе касаться) границы области, а в более общем случае даже частично совпадать с границей. Для третьего класса задач считаем, что подход носителя нелокальных членов в точках сопряжения к границе области некасательный, что существенно для используемого в диссертации метода.

В работах [59, 100] показано, что в случае пересечения носителя нелокальных членов с границей области решения могут иметь степенные особенности вблизи точек сопряжения краевых условий даже в случае бесконечно гладкой границы и бесконечно дифференцируемой правой части. Поэтому такие задачи рассматривались ранее в специальных весовых пространствах, учитывающих возможные особенности решений. Наиболее удобными при этом оказались пространства В. А. Кондратьева, введенные им при исследовании «локальных» краевых задач в областях с угловыми или коническими точками.

В работах [35, 59, 62, 63] доказана фредгольмова разрешимость нелокальных задач в пространствах В. А. Кондратьева, а в работе [97] показано, что если носитель нелокальных членов не пересекается с точками сопряжения краевых условий (рис. 2), то индекс нелокальной задачи равен индексу соответствующей локальной; в противном случае (рис. 3) это, вообще говоря, уже неверно.

Отметим, что нелокальные эллиптические задачи с касательным подходом кривой ( ) к границе области в точках сопряжения краевых условий в отдельных случаях изучались в работах [4, 34] методами теории функций комплексного переменного, однако общая теория нелокальных краевых задач в этом случае не развита.

Независимо от упомянутых работ, нелокальные эллиптические задачи возникли в теории многомерных диффузионных процессов, описывающих с вероятностной точки зрения поведение частицы в области G. В работах [78, 79] В. Феллер показал, что всякому одномерному (n = 1) диффузионному процессу соответствует некоторая сильно непрерывная неотрицательная сжимающая полугруппа в пространстве C(G) или некотором его подпространстве. Впоследствии такие полугруппы получили название полугрупп Феллера. Кроме того, В. Феллер получил необходимые и достаточные условия того, что обыкновенный дифференциальный оператор второго порядка является генератором (инфинитезимальным производящим оператором) указанной полугруппы. Полученные им краевые условия, задающие область определения оператора, являются нелокальными.

В многомерном случае (n 2) общий вид генератора полугруппы Феллера был получен А. Д. Вентцелем [6]. Им было доказано, что генератор полугруппы Феллера есть эллиптический дифференциальный оператор второго порядка (возможно, с вырождением), область определения которого состоит из непрерывных (один или два раза непрерывно дифференцируемых, в зависимости от процесса) функций, удовлетворяющих нелокальным краевым условиям. Нелокальное слагаемое представляет собой интеграл от функции по замыканию области относительно неотрицательной борелевской меры µ(y, d), y G.

В наиболее сложном случае, когда мера атомарна, нелокальные условия могут принимать вид (2). Их вероятностный смысл таков: частица, попадая в точку y, может через некоторое случайное время с вероятностью b (0 b 1) оказаться в точке (y) (такое поведение частицы называют “скачком”), либо с вероятностью 1 b поглотиться границей — в этом случае процесс завершается.

В общем случае краевые условия содержат производные от неизвестной функции до второго порядка включительно, что соответствует, помимо поглощения, отражению частицы от границы области, диффузии вдоль границы и явлению вязкости.

Следующая задача остается при n 2 нерешенной. Пусть задан эллиптический интегро-дифференциальный оператор, область определения которого описывается нелокальными краевыми условиями общего вида [6]. Будет ли такой оператор (или его замыкание) генератором полугруппы Феллера?

Различают два класса нелокальных краевых условий: трансверсальные и нетрансверсальные. В трансверсальном случае порядок нелокальных членов меньше порядка локальных, тогда как в нетрансверсальном порядки совпадают.

Трансверсальный случай изучали K. Сато и Т. Уено [94], Дж. М. Бони, П. Коредж и П. Приоре [75], С. Ватанабе [105], К. Таира [102–104], Й. Ишикава [89] и многие другие. В работах А. Л. Скубачевского [60,64,98] был предложен метод изучения более сложного нетрансверсального случая. Этот метод основан на использовавшейся ранее (см. [56, 59]) в теории нелокальных задач идее отделения нелокальных членов от локальных граничных операторов и теореме Хилле—Иосиды. Впоследствии метод был развит в работах [9, 10, 80, 81].

Помимо приложений нелокальных эллиптических задач к теории плазмы и теории диффузионных процессов, укажем на важные приложения, возникающие в теории функционально-дифференциальных уравнений (см. монографию [99] и приведенную там библиографию), теории параболических задач с нелокальными краевыми условиями (см. [96]), в авиационно-космической технике при моделировании многослойных пластин и оболочек [47, 91, 99], в задачах терморегуляции при описании процессов в химических реакторах и системах климат-контроля (см. [24, 77]), а также в теории управления (см., например, [70]). Кроме того, отметим монографию А. Бенсусана и Ж.-Л. Лионса [74], где, в частности, рассматриваются эллиптические интегро-дифференциальные операторы в связи с вопросами стохастической теории управления.

В последнее время развивается также теория нелокальных нелинейных уравнений и неравенств и ее приложения. В этой связи упомянем статью [41], в которой изучаются дифференциальные неравенства с нелокальными слагаемыми (там же можно найти ссылки на работы других авторов).

До сих пор [59, 62, 63, 83] в общей теории эллиптических задач с нелокальными краевыми условиями предполагалось, что преобразования вблизи точек сопряжения краевых условий линейны, а именно представляют из себя композицию операторов сдвига, поворота и гомотетии. В гл. I рассматривается задача с нелинейными преобразованиями. Оказывается [14], такая задача не есть малое или компактное возмущение соответствующей задачи с линейными преобразованиями. Однако в работе показано, что при переходе от линейных преобразований переменных к нелинейным оператор задачи в весовых пространствах В. А. Кондратьева остается фредгольмовым и его индекс не меняется. Для простоты изложения мы считаем, что n = 2, однако соответствующие результаты переносятся и на случай n 3 (см. [14]).

Ранее вопрос о фредгольмовости неограниченного нелокального оператора в L2 (G) в случае подхода носителя нелокальных членов к границе области изучался лишь тогда, когда нелокальные условия заданы на сдвигах границы [57, 61], или же в случае нелокального возмущения задачи Дирихле для уравнения второго порядка [25–27]. Разрешимость нелокальных эллиптичеl+2m ских задач в пространствах Соболева W l+2m (G) = W2 (G) (где 2m — порядок эллиптического уравнения, l 0) прежде не исследовалась. Основная трудность заключается в том, что решения нелокальной задачи могут иметь степенные особенности вблизи некоторых точек и, вообще говоря, не принадлежат «нужному» пространству Соболева. Соответствующие вопросы изучены в гл. II–IV. Показано, что фредгольмова разрешимость ограниченного оператора в пространствах Соболева W l+2m (G) определяется расположением собственных значений некоторой вспомогательной оператор-функции L() (зависящих от комплексного параметра ), структурой жордановых цепочек, отвечающих этим собственным значениям, а также выполнением определенных алгебраических соотношений между эллиптическим оператором и операторами в нелокальных краевых условиях. Изучены нелокальные краевые условия как с нулевой правой частью, так и с произвольной. Неограниченный оператор в L2 (G), заданный на обобщенных решениях нелокальной задачи (функциях из W (G), 0 2m 1), оказывается фредгольмовым вне зависимости от расположения собственных значений оператор-функции L(). При помощи понятия раствора между неограниченными операторами (см. [32]) исследована устойчивость индекса нелокальных операторов в L2 (G) при возмущении эллиптического уравнения младшими членами и краевых условий нелокальными операторами.

В работе [36] рассматривался вопрос о гладкости вблизи угловой или конической точки обобщенных решений из пространства Соболева W m (G) эллиптического уравнения порядка 2m c условием Дирихле на границе. В частности, было доказано, что решения можно сделать сколь угодно гладкими за счет уменьшения раствора угла. Принципиально иная ситуация имеет место в случае нелокальных краевых условий. В [59, 100] показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться вблизи гладкой границы или вершины малого угла. С другой стороны, наличие нелокальных членов с достаточно большими по модулю коэффициентами может обеспечить гладкость обобщенных решений вблизи вершины угла, большего. В гл. V изучена гладкость обобщенных решений из W (G), 0 2m 1, эллиптических уравнений порядка 2m; рассматриваются нелокальные краевые условия как с нулевой, так и с произвольной правой частью.

Вопрос о существовании полугрупп Феллера в нетрансверсальном случае рассматривался в работах [60,98] при условии, что коэффициенты нелокальных операторов убывают при стремлении аргумента к границе области. В [10, 81] изучены краевые условия в случае, когда коэффициенты при нелокальных членах вблизи точек сопряжения краевых условий меньше единицы. Показано, что нелокальную задачу (после сведения на границу) можно рассматривать в определенном смысле как возмущение «локальной» задачи Дирихле. Предельный случай, когда коэффициенты при нелокальных членах равны единице, до сих пор оставался неизученным (больше единицы коэффициенты быть не могут [6]).

В гл. VI исследованы нетрансверсальные нелокальные условия, допускающие этот предельный случай. Получены достаточные условия на борелевскую меру µ(y, d) (носитель которой содержится в замыкании области), гарантирующие, что соответствующий нелокальный оператор будет генератором полугруппы Феллера. При этом изучены как ограниченные, так и неограниченные возмущения эллиптического оператора.

Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы. Главы содержат параграфы, которые имеют сплошную нумерацию (всего — 26 параграфов). Параграфы, в свою очередь, разделены на пункты. Нумерация пунктов двойная: первое число означает номера параграфа, второе — номер пункта внутри параграфа. Во введении нумерация формул одинарная. В гл. I–VI нумерация формул, теорем, лемм и т. д. двойная; например, первое число номера формулы означает номер параграфа, второе — номер формулы внутри параграфа.

Обозначим где, r — полярные координаты точки y, 1 < 0 < 2 и 2 1 < 2.

Через O (0) обозначим -окрестность начала координат. Введем множества Пусть G R2 ограниченная область с границей G, содержащей начало координат. Считаем, что G O (0) = K для некоторого > 0, а в окрестности каждой точки y G \ {0} граница области G бесконечно гладкая.

В гл. I–V рассматривается нелокальная краевая задача где P(y, D) — собственно эллиптический в G оператор порядка 2m с гладкими комплекснозначными коэффициентами;

Bµ0 (y, D), Bµ1 (y, D) — дифференциальные операторы порядка mµ с гладкими на G \ {0} комплекснозначными коэффициентами (при стремлении y G к началу координат коэффициенты и все их производные имеют, вообще говоря, лишь односторонние пределы); коэффициенты операторов Bµ1 (y, D) имеют носитель, сосредоточенный в некоторой достаточно малой окрестности начала координат; — заданные в некоторой окрестности диффеоморфизмы такие, что ( ) G, (0) = 0 и кривые ( ) имеют некасательный подход к границе G в начале координат; B2 u = B2 u|G\O (0) (1 > 0) — абстрактные нелокальные операторы, отвечающие нелокальным членам с носителем вне 1 -окрестности начала координат; при y G система операторов {Bµ0 (y, D)}m удовлетворяет условию накрытия (условию Лопатинского) по отношению к оператору P(y, D) (в начале координат значения коэффициентов операторов Bµ0 (y, D) понимаются в смысле односторонних пределов).

Примером оператора B2 может служить оператор где b C (R2 ) и сужения преобразования на G \ {0} и ( = 1, 2) являются гладкими невырожденными преобразованиями, причем (G \ {0}) G и (G \ {0}) G \ O1 (0).

Для любого l 0 и любого a R обозначим через Ha (G) пополнение множества бесконечно дифференцируемых в G функций с носителем в G \ {0} по норме В гл. I исследуется фредгольмовость оператора а также устойчивость его индекса при замене преобразований на, имеющих ту же линейную часть вблизи начала координат, что и.

В § 1 доказаны вспомогательные результаты из теории линейных операторов, а также даны определения функциональных пространств.

В § 2 рассматривается постановка нелокальной задачи (3), (4) в весовых пространствах в ограниченной области, а также модельной задачи в плоском угле.

Там же вводится модельный оператор L() : W l+2m (1, 2 ) W l (1, 2 ) C2m ( C), который соответствует нелокальной задаче вблизи начала координат, записанной в полярных координатах, r (с последующим преобразованием Меллина r ). Спектральные свойства оператора L() играют принципиальную роль при изучении разрешимости и гладкости решений задачи (3), (4).

В § 3 изучаются свойства нелокальных операторов с нелинейными преобразованиями вблизи начала координат.

В § 4 доказана априорная оценка решений задачи (3), (4) и построен правый регуляризатор в весовых пространствах при условии, что прямая Im = a + l 2m не содержит собственных значений оператора L(). Отсюда следует фредгольмовость оператора В этом же параграфе доказано, что индекс оператора L определяется линейной частью преобразований.

Главы II–VI посвящены свойствам решений задачи (3), (4): в гл. II и III изучаются сильные решения из пространств Соболева, в гл. IV и V — обобщенные решения из пространств Соболева, а в гл. VI — решения в пространствах непрерывных функций. Соответствующие результаты базируются на разрешимости этой же задачи в весовых пространствах. Учитывая результаты гл. I, мы ограничимся далее рассмотрением преобразований, линейных вблизи начала координат. Теоремы гл. II–VI доказаны для общего случая, когда на границе G имеется конечное число угловых точек, которые делят G на конечное число частей, причем на каждой из частей задано свое краевое условие, содержащее, вообще говоря, несколько нелокальных слагаемых. Однако для наглядности ограничимся во введении рассмотрением задачи (3), (4) в описанной выше области G.

В гл. II изучаются модельные нелокальные задачи в плоских углах.

В § 5 вводятся функциональные пространства.

В § 6 рассматривается постановка нелокальной задачи (3), (4) в ограниченной области, а также модельных задач в плоских углах в пространствах Соболева. Операторы модельных задач в плоских углах заданы формулами где Bµ0 (D) и Bµ1 (D) — главные однородные части операторов Bµ0 (0, D) и Bµ1 (0, D).

Изучаемые в этой главе свойства операторов L и L в пространствах Соболева играют существенную роль при исследовании разрешимости и гладкости обобщенных решений нелокальных задач в ограниченной области.

В § 7 строятся «решения» модельных задач в пространствах Соболева с точностью до функций, имеющих ноль определенного порядка в начале координат. Рассматриваются две ситуации: когда прямая Im = a + 1 l 2m не содержит собственных значений оператора L() и когда содержит только правильное собственное значение (т. е. такое собственное значение 0, для которого не существует присоединенных векторов, а для любого собственного вектора () функция ri0 (), будучи записанной в декартовых координатах y, есть полином). Во втором случае на правые части уравнения и нелокальных краевых условий накладываются (интегральные) условия согласования в начале координат. Условия согласования возникают за счет того, что операторами задачи оказываются связанными определенными алгебраическими соотношениями.

(Точнее, алгебраические соотношения возникают между операторами Dy P(D), || = l 1, и D Bµ (D), где — единичный вектор, параллельный.) Глава III посвящена разрешимости задачи (3), (4) в плоской ограниченной области в пространствах Соболева.

Будем говорить, что функция принадлежит W l1/2 (G \ {0}), l 1, если W l1/2 (G \ O (0)) при всех > 0 и ее сужение на принадлежит W l1/2 ( ). Предполагается, что операторы B2 действуют ограниченным образом из пространства W l+2m (G \ O1 (0) ) в пространство W l+2mmµ 1/2 (G \ {0}) (ср. (5)). Напомним, что при стремлении y G к началу координат коэффициенты операторов Bµ0 (y, D) и Bµ1 (y, D) и все их производные имеют, вообще говоря, лишь односторонние пределы; поэтому рассматриваются следовые пространства, заданные на множестве G \ {0}.

Обозначим В § 8 доказывается, что ограниченный оператор фредгольмов тогда и только тогда, когда на прямой Im = 1 l 2m нет собственных значений оператора L().

В § 9 рассматривается оператор действующий в весовых пространствах с малым показателем веса a > 0. Здесь Rl (G, G) — некоторое конечномерное пространство функций, имеющих осоa бенность в начале координат. Оно возникает за счет того, что при a l+ 2m 1 включение u Ha (G), вообще говоря, не влечет включение La u Ha (G, G). Действительно, можно подобрать такую функцию u Ha (G), для которой будут нарушены условия согласования, т. е. B2 u будет принадлежать l+2mmµ 1/ Доказывается, что если на прямой Im = a + 1 l 2m нет собственных значений оператора L(), то оператор La фредгольмов. Отсюда, в частности, следует, что если правая часть задачи (3), (4) принадлежит Ha (G, G) и удовлетворяет конечному числу условий ортогональности, то существует решение u Ha (G).

В § 10 рассматривается случай, когда на прямой Im = 1 l 2m имеется только правильное собственное значение оператора L(). В этом случае в силу результатов § 8 оператор L : W l+2m (G) W l (G, G) не фредгольмов (его образ незамкнут). Поэтому задаче (3), (4) ставится в соответствие другой оператор Здесь S l (G, G) — множество правых частей задачи (3), (4) из пространства Соболева W l (G, G), удовлетворяющих интегральным условиям согласования вблизи начала координат (ср. § 7), а Rl (G, G) — некоторое конечномерное подпространство в W l (G, G). Доказывается, что оператор L фредгольмов.

Фредгольмовость нелокальных операторов в §§ 8–10 доказывается по единой схеме. Конечномерность ядра вытекает из конечномерности ядра задачи (3), (4) в «подходящих» весовых пространствах. Для того чтобы показать конечномерность образа, при помощи результатов гл. II строится правый регуляризатор.

При помощи результатов § 10, в § 11 показано, что если прямая Im = 1 l 2m содержит только правильное собственное значение, то задача с однородными краевыми условиями (в отличие от задачи с неоднородными краевыми условиями) может оказаться фредгольмовой. Улучшение свойств задачи происходит за счет того, что условия согласования могут оказаться выполненными для любого вектора правых частей задачи, который имеет нулевую компоненту, отвечающую правой части краевых условий.

В § 12 приведены примеры, иллюстрирующие общие теоремы гл. III. На примерах, в частности, можно наблюдать следующие эффекты.

1. Даже в случае бесконечно гладкой границы нелокальная задача может не быть фредгольмовой в пространствах Соболева при сколь угодно малых коэффициентах в нелокальных членах. С другой стороны, при достаточно больших коэффициентах задача становится фредгольмовой.

2. Фредгольмова разрешимость нелокальной задачи в пространствах Соболева W l+2m (G) зависит от показателя l. Например, задача может быть фредгольмовой при четных l и иметь незамкнутый образ при нечетных l.

По сути, эти эффекты обусловлены тем, что при изменении коэффициентов в нелокальных членах и показателя l в пространстве Соболева W l+2m (G) меняется взаимное расположение собственных значений оператора L() и прямой Im = 1 l 2m, структура жордановых цепочек, отвечающих собственным значениям, а также структура алгебраических соотношений между операторами В гл. IV изучаются обобщенные решения задачи (3), (4).

Зафиксируем целое такое, что 0 2m 1. В § 13 определяется обобщенное решение задачи (3), (4) как функция, принадлежащая W (G)W 2m (G\ O (0)) при всех > 0 и удовлетворяющая уравнению (3) почти всюду и краевым условиям (4) в смысле следов. Таким образом, обобщенное решение может иметь особенность вблизи начала координат — точки сопряжения нелокальных условий.

В § 14 доказывается фредгольмова разрешимость неограниченного оператора P : D(P) L2 (G) L2 (G), действующего по формуле В § 15 установлено, что индекс оператора P : D(P) L2 (G) L2 (G) не меняется при добавлении младших членов в эллиптическом уравнении, а в § доказана устойчивость индекса при добавлении в краевые условия нелокальных членов с коэффициентами, имеющими ноль определенного порядка в начале координат. В обоих случаях основная трудность заключается в том, что при возмущении оператора P меняется его область определения. Для доказательства устойчивости индекса используется понятие раствора между неограниченными операторами (см. [32]) и сведение к операторам, действующим в весовых пространствах.

В § 17 показано, что при добавлении в краевые условия нелокальных членов со сколь угодно малыми коэффициентами, не равными нулю в начале координат, индекс оператора P может меняться. Там же приведены примеры оператора P, спектр которого занимает всю комплексную плоскость.

Глава V посвящена гладкости обобщенных решений u W (G) задачи (3), (4) при условии, что f0 L2 (G), fµ W 2mmµ 1/2 (G \ {0}).

Обозначим через множество всех собственных значений оператора L(), лежащих в полосе 1 2m < Im < 1 (в частности, множество может быть пусто).

В § 18 предполагается, что выполнено следующее условие.

Условие 1. На прямой Im = 1 2m нет собственных значений оператора L(), а все собственные значения из множества правильные.

Получены достаточные условия того, что любое обобщенное решение задачи (3), (4) принадлежит W 2m (G). Эти условия сформулированы в терминах собственных векторов, соответствующих собственным значениям из множества.

Назовем эти условия «условиями на структуру собственных векторов».

В § 19 исследуется так называемый пограничный случай, а именно предполагается, что выполнено следующее условие.

Условие 2. На прямой Im = 1 2m имеется единственное собственное значение оператора L(), и оно правильное; все собственные значения из множества также правильные.

Наряду с «условиями на структуру собственных векторов» получены (интегральные) условия согласования, которым должны удовлетворять правые части fµ и операторы B0, B1 и B2 для того, чтобы любое обобщенное решение задачи (3), (4) принадлежало W 2m (G). В §§ 18 и 19 рассматриваются краевые условия как с нулевой правой частью, так и с произвольной.

В § 20 изучаются нелокальные краевые условия специального вида, для которых «условия на структуру собственных векторов» не влияют на гладкость обобщенных решений задачи (3), (4).

В § 21 рассмотрены случаи, когда гладкость обобщенных решений может нарушаться. Показано, что как условия 1 и 2, так и «условия на структуру собственных векторов» являются в общем случае существенными.

В § 22 приведен пример, иллюстрирующий результаты §§ 18–21.

В гл. VI изучается вопрос о существовании полугрупп Феллера, возникающих в теории многомерных диффузионных процессов при описании движения частицы в области с вероятностной точки зрения. Рассмотрим эллиптический дифференциальный оператор P(y, D) второго порядка с гладкими вещественнозначными коэффициентами, такой, что P(y, D)1 0, y G. Область определения оператора P(y, D) задается нелокальными краевыми условиями нетрансверсального типа (ср. (4)) Здесь b C (R2 ) — вещественнозначные функции такие, что supp b O (0) и0 b (y) 1, а (y, ·) — неотрицательная борелевская мера.

Нелокальные условия (6) можно также записать в виде Здесь µ(0, ·) = 0 и µ(y, ·) = (y, ·) + (y, ·) при y G \ {0}, причем (y, ·) — неотрицательная атомарная мера, заданная следующим образом:

где Q — произвольное борелевское множество, Q — характеристическая функция множества Q. Нелокальное условия (7) есть частный случай краевого условия, полученного в работе [6].

В § 23 доказаны теоремы об однозначной разрешимости в пространстве непрерывных функций эллиптического уравнения с нелокальными краевыми условиями (6) в случае, когда (y, ·) 0. Исследование разрешимости нелокальных задач в пространствах непрерывных функций основано на теоремах об однозначной разрешимости в весовых пространствах (см. [23]) и результатах об асимптотике решений нелокальных задач (см. [13]).

При помощи результатов § 23 и теоремы Хилле—Иосиды в §§ 24 и 25 получены достаточные условия на меру µ(y, ·) в терминах геометрической структуры носителя меры, гарантирующие существование полугруппы Феллера, соответствующей нелокальным краевым условиям (6). Предполагается, что µ(y, ·) = (y, ·) + (y, ·) (см. выше), причем мера (y, ·) представима в виде суммы трех неотрицательных борелевских мер: первая имеет носитель, отделенный от начала координат, вторая обладает некоторым свойством малости, а третья порождает в соответствующих пространствах компактный оператор.

Отметим, что в работах [10, 81] предполагались выполненными условия b (0) < 1 или 0 b (0) < 1/2, = 1, 2 (в зависимости от структуры меры (y, ·)). В настоящей работе предполагается, что 0 b (0) 1, = 1, 2, и В § 24 получены условия на меру (y, ·), при которых неограниченный оператор PB : D(PB ) CB (G) CB (G), заданный формулой является генератором полугруппы Феллера. Здесь CB (G) — множество непрерывных в G функций, удовлетворяющих нелокальным условиям (6); P1 — ограниченный в C(G) оператор такой, что если функция u C(G) достигает в точке y 0 G положительного максимума, то P1 u(y 0 ) 0. Оператор P1 представляет собой обобщение ограниченного интегрального оператора вида где m(y, ·) — неотрицательная борелевская мера на G.

В § 25 исследован случай неограниченного в C(G) оператора P1, обобщающего интегральный оператор вида (ср. [74, 81, 82, 103]) где F — пространство с -алгеброй F и борелевской мерой, вектор-функция z(y, ) и скалярная функция m(y, ) ограничены и -измеримы по, m(y, ) 0, y + z(y, ) G для всех y G, F. При этом оператор PB : D(PB ) CB (G) CB (G) вида (9), вообще говоря, уже незамкнут. Получены условия на меру (y, ·), при которых замыкание оператора PB есть генератор полугруппы Феллера.

В § 26 построены примеры, в которых нарушаются некоторые из указанных выше условий на коэффициенты в нелокальных условиях, структуру преобразований переменных или на борелевскую меру (y, ·). Показано, что замыкание соответствующего оператора PB не является генератором полугруппы Феллера.

Для этого доказывается, что образ оператора PB qI не совпадает с CB (G) при некотором q > 0, и применяется теорема Хилле—Иосиды.

В частности, построен пример, когда в начале координат задано условие Дирихле, а в некоторой его проколотой окрестности b1 (y) = b2 (y) = 1, т. е.

нарушено условие (8). C вероятностной точки зрения это означает следующее:

начало координат есть точка завершения процесса, однако из сколь угодно малой его окрестности происходят скачки с вероятностью 1.

В работе рассматривается двумерный случай, однако отметим, что результаты гл. I о разрешимости нелокальных задач в весовых пространствах В. А.

Кондратьева справедливы и в Rn при n 3, когда граница области содержит особенности типа ребер. Также на n-мерный случай могут быть перенесены некоторые результаты, касающиеся гладкости обобщенных решений, подобно тому, как это сделано в работах В. А. Кондратьева (см., например, [37]). Для обобщения на n-мерный случай результатов о существовании полугрупп Феллера необходимо дальнейшее развитие теории нелокальных эллиптических задач: изучение асимптотики решений вблизи особенностей границы типа ребер, а также разрешимости в весовых пространствах и пространствах Соболева на основе Lp (G), p > 2, и в пространствах Гельдера.

Результаты диссертационной работы излагались на семинаре в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН под руководством академика РАН С. М. Никольского и чл.-корр. РАН Л. Д. Кудрявцева; на семинарах механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова: под руководством М. И. Вишика, под руководством В. А. Кондратьева, под руководством А. И.

Прилепко, под руководством А. А. Шкаликова; на семинаре в Российском университете дружбы народов под руководством А. Л. Скубачевского; на семинаре в Московском энергетическом институте под руководством Ю. А. Дубинского; на семинаре университета им. Юстуса-Либига г. Гиссена (Германия) под руководством Х.-О. Вальтера; на семинаре университета г. Цюриха (Швейцария) под руководством Г. Аманна; на семинаре университета г. Ла Рошеля (Франция) под руководством М. Киране; на семинаре университета г. Пуатье (Франция) под руководством А. Ружиреля; на семинаре университета г.

Тулузы (Франция) под руководством Ю. Егорова; на семинаре университета г. Кардифа (Великобритания) под руководством В. Буренкова и В. Эванса; на семинаре университета г. Хайдельберга (Германия) под руководством В. Егера;

на семинаре университета г. Карлсруэ (Германия) под руководством К. Винерса и Н. Нойс; на семинаре университета г. Ульма (Германия) под руководством В. Арендта и В. Балсера; на семинаре в Свободном университете г. Берлина (Германия) под руководством Б. Фидлера.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [14–23, 85–88] и следующих тезисах международных конференций.

1. Gurevich P. L. Asymptotics and smoothness of generalized solutions for nonlocal elliptic problems// Тезисы Международной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и приложения». Беер-Шева. Израиль. — 2002. — C. 25-26.

2. Gurevich P. L. Nonlocal elliptic problems in Sobolev spaces// Тезисы Третьей международной конференции по дифференциальным и функциональнодифференциальным уравнениям. Москва. МАИ. — 2002. — C. 41-42.

3. Gurevich P. L. Nonlocal elliptic problems near the boundary in Sobolev spaces// Тезисы Международной конференции «Колмогоров и современная математика», посвященной столетию со дня рождения А. Н. Колмогорова. Москва. Математический институт им. В. А. Стеклова. — 2003. — C. 176-177.

4. Gurevich P. L. Nonlocal elliptic problems with nonlinear argument transformations near the boundary// Тезисы Международной конференции «Нелинейные уравнения с частными производными». Алушта. Украина. — 2003. — C. 86-87.

5. Gurevich P. L. Elliptic problems with nonlocal conditions near the boundary// Тезисы Международной конференции по дифференциальным уравнениям с частными производными, посвященной В. А. Солонникову. Феррара.

Италия. — 2003. C. 13.

6. Gurevich P. L. On Fredholm solvability of nonlocal elliptic problems in Sobolev spaces// Тезисы Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной И. Г. Петровскому.

Москва. МГУ им. М. В. Ломоносова. — 2004. — C. 81-82.

7. Gurevich P. L. Elliptic equations with nonlocal boundary-value conditions on Sobolev spaces// Тезисы Международной конференции «Функциональные пространства, теория аппроксимации, нелинейный анализ», посвященной столетию С. М. Никольского. Москва. Математический институт им. В. А. Стеклова. — 2005. — C. 288.

8. Gurevich P. L. Regularity of generalized solutions to nonlocal elliptic problems// Тезисы Четвертой международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям. Москва. Математический институт им. В. А. Стеклова. — 2005. — C. 42-43.

9. Gurevich P. L. Generalized solutions to nonlocal elliptic problems// Тезисы Международной конференции «Нелинейные уравнения с частными производными», посвященной О. А. Ладыженской. Алушта. Украина. — 2005. — 10. Gurevich P. L. Unbounded operators corresponding to nonlocal elliptic problems in Sobolev spaces// Тезисы Международной конференции «Тихонов и современная математика». Москва. МГУ им. М. В. Ломоносова. — 2006. — Раздел 1, с. 93-94.

11. Gurevich P. L. Elliptic problems with nonlocal boundary-value conditions// Тезисы Международного конгресса математиков. Мадрид. Испания. — 12. Гуревич П. Л. Нелокальные эллиптические задачи и полугруппы Феллера в нетрансверсальном случае// Тезисы Международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посвященной 85летию Л. Д. Кудрявцева. Москва. — 2008. — C. 250-251.

Все результаты совместной статьи [23], включенные в диссертацию, получены лично автором.

Нелокальные эллиптические задачи с нелинейными преобразованиями переменных 1. Некоторые определения и результаты В этом параграфе мы дадим некоторые определения из теории линейных операторов, а также докажем две леммы, которые будут использованы в настоящей работе.

Пусть H1 и H2 — гильбертовы пространства, и пусть P : D(P) H1 H2 — линейный (вообще говоря, неограниченный) оператор, где D(P) обозначает область определения оператора P.

Определение 1.1. Оператор P называется фредгольмовым, если он замкнут, имеет замкнутый образ и размерность его ядра ker P и коразмерность образа R(P) конечны. Число ind P = dim ker P codim R(P) называется индексом фредгольмова оператора P.

Пусть A : D(A) H1 H2 — линейный оператор.

Определение 1.2 (см. [32, 38]). Оператор A называется компактным относительно P или просто P-компактным, если D(P) D(A) и для любой последовательности un D(P) такой, что {un } и {Pun } ограничены, последовательность {Aun } содержит сходящуюся подпоследовательность.

Введем понятие раствора между линейными операторами. Пусть S : D(S) H1 H2 — линейный оператор. В пространстве H1 H2 зададим норму оператора S.

Определение 1.3 (см. [32]). Число (P, S) = max{(P, S), (S, P)} называется раствором между операторами P и S.

Раствор между операторами позволяет оценивать «близость» двух неограниченных операторов, имеющих, вообще говоря, различные области определения (см. [32]).

Докажем следующие два вспомогательных результата.

Лемма 1.1. Пусть H, H1, и H2 — гильбертовы пространства, A : H H1 — линейный ограниченный оператор, T : H H2 — компактный оператор.

Предположим, что для некоторых, c > 0 и f H выполнено неравенство Тогда существуют такие операторы M, F : H H1, что M 2 и оператор F конечномерный.

Доказательство. Как известно (см., например, [51, гл. 5, § 85]), всякий компактный оператор есть предел в операторной норме последовательности конечномерных операторов. Следовательно, существуют такие операторы M0, F0 :

и из (1.1) вытекает Обозначим через ker (F0 ) ортогональное дополнение в H к ядру оператора F0.

Так как конечномерный оператор F0 отображает ker (F0 ) на свой образ взаимно однозначно, то подпространство ker (F0 ) конечномерно. Обозначим через I единичный оператор в H, а через P0 оператор ортогонального проектирования на ker (F0 ). Очевидно, AP0 : H H1 — конечномерный оператор. Кроме того, поскольку I P0 — оператор ортогонального проектирования на ker (F0 ), имеем F0 (I P0 ) = 0. Следовательно, подставляя в (1.2) функцию (I P0 )f вместо f, получим Обозначая M = A(I P0 ) и F = AP0, завершаем доказательство.

Лемма 1.2. Пусть H — гильбертово пространство и I — единичный оператор в пространстве H. Пусть M и S = U + F, > 0, — такие семейства ограниченных в пространстве H операторов, что где c1, c2 > 0 не зависят от, и операторы F и S2 компактны. Тогда операторы фредгольмовы при любых достаточно малых > 0.

Доказательство. Для доказательства леммы построим правый и левый регуляризаторы для оператора L. Имеем Из (1.3) следует, что где c3 > 0 не зависит от. Отсюда и из теоремы 16.2 в [38] вытекает, что при всех достаточно малых > 0 операторы I M2 M U U M фредгольмовы.

Далее, используя компактность операторов F и S2 и применяя теорему 16. в [38], видим, что операторы L (I (M + S )) также фредгольмовы. Теперь из теоремы 15.2 в [38] следует существование таких ограниченных операторов R и компактных операторов T1, что Аналогично доказывается существование ограниченных операторов R2 и компактных операторов T2 таких, что Утверждение леммы вытекает из соотношений (1.4) и (1.5) и из теорем 15. и 14.3 в [38].

и непрерывно дифференцируемых функций Пусть X — непустое множество в Rn, n 1. Обозначим через C(X) множество непрерывных в X функций. Если X — компакт, то C(X) — банахово пространство с нормой Пусть X и M — замкнутые множества, причем множество X непусто. Через C (X) обозначим множество сужений на X бесконечно дифференцируемых в Rn функций. Через C0 (X \ M ) обозначим множество бесконечно дифференцируемых в Rn функций с компактным носителем в X \ M.

Для любой области Q Rn и любого l 0 (здесь и далее, если не оговорено противное, число l целое) обозначим через C l (Q) (C l (Q)) множество l раз непрерывно дифференцируемых в Q (в Q) функций. В частности, C 0 (Q) = C(Q) и C 0 (Q) = C(Q).

Обозначим где, r — полярные координаты точки y, 1 < 0 < 2 и 2 1 < 2.

Через O (0) обозначим -окрестность начала координат. Введем множества Всюду в этой главе будем обозначать через G R2 ограниченную область с границей G, содержащей начало координат. Считаем, что G O (0) = K для некоторого > 0. Предположим, что в окрестности каждой точки y G \ {0} граница области G бесконечно гладкая.

пространство Соболева с нормой (при l = 0 полагаем W 0 (Q) = L2 (Q)). Здесь и далее = (1,..., n ), || = 1 + · · · + n, D = Dy11... Dyn, Dyj = i/yj. Если необходимо явно указать, по каким переменным мы дифференцируем функцию u, то будем писать Dy u, Dy u и т. д. Для l 1 Q с нормой Через Wloc (Q) обозначим множество, состоящее из всех распределений u на Q таких, что u W l (Q) для любых C0 (Q).

Рассмотрим следующие случаи: Q = K, Q = K d (d > 0) и Q = G. Для люl l бого l 0 и любого a R обозначим через Ha (Q) = Ha (Q, {0}) пополнение множества C0 (Q \ {0}) по норме следов на гладкой кривой 1 Q с нормой 2. Постановка задачи в ограниченной области Рассмотрим линейные дифференциальные операторы P(y, D) и Bµs (y, D), порядка 2m и mµ соответственно с комплекснозначными коэффициентами (µ = 1,..., m; s = 0, 1). Предположим что коэффициенты оператора P(y, D) бесконечно гладкие в G, а коэффициенты операторов Bµs (y, D) бесконечно гладкие Сформулируем условия на операторы P(y, D) и Bµ0 (y, D), которые будут соответствовать «локальной» эллиптической задаче (см., например, [39, гл. 2, § 1].

Условие 2.1. Оператор P(y, D) собственно эллиптичен на G.

Условие 2.2. Для любого y и любого y G \ O (0) система операторов {Bµ0 (y, D)}m удовлетворяет условию накрытия (условию Лопатинского) по отношению к оператору P(y, D).

Подчеркнем, что нормальность операторов Bµ0 (y, D) не предполагается.

Введем операторы B0 : Ha (G) Ha Bµ0 (y, D)u(y)|G ; здесь и далее в этой главе a R, l 0 — такое целое число, Определим операторы, соответствующие нелокальным условиям вблизи начала координат. Пусть ( = 1, 2) — бесконечно дифференцируемые невырожденные преобразования, отображающие некоторую окрестность O кривой на множество (O ) так, что ( ) G и Выберем настолько малым (см. ниже замечание 2.2), чтобы существовала окрестность O1 (0) такая, что O1 (0) O (0) и 2. O (0) O1 (0).

Условие 2.3. При y O (0) преобразование имеет вид где G композиция поворота на угол вокруг начала координат и гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом > 0, = 1, 2.

Таким образом, оператор G переводит сторону угла K в полупрямую {y R2 : r > 0, = 0}, лежащую внутри угла K.

Замечание 2.1. Условие 2.3 означает, в частности, что кривая ( ) подходит к границе G в точке 0 некасательным образом.

В этой главе будем использовать обозначения O0 (0) O (0) O1 (0). Рассмотрим функцию C (R2 ) такую, что Введем ограниченные операторы B1 : Ha (G) Ha формуле где (Bµ1 (y, D)v)(is (y)) = Bµ1 (y, Dy )v(y )|y = (y).

Так как B1 u = 0, если supp u G \ O0 (0), то будем говорить, что операторы B1 соответствуют нелокальным членам с носителем вблизи начала координат.

Обозначим Рассмотрим ограниченный оператор удовлетворяющий следующему условию.

Условие 2.4. Существуют такие числа 1 > 2 > 0 и > 0, что выполнены неравенства где µ = 1,..., m, c1, c2 > 0 не зависят от u.

Из (2.4) следует, что B2 u = 0, если supp u O1 (0). Поэтому будем говорить, что операторы Bµ соответствуют нелокальным членам с носителем вне начала координат.

Отметим, что априори мы не предполагаем наличия какой-либо связи между числами 1, 2, в условии 2.4 и числом 0 в условии 2.3.

Будем изучать нелокальную эллиптическую задачу Примером задачи (2.6), (2.7) может служить задача (6.9), (6.10) из п. 6. (глава II) при N = 1 (более подробно см. [14]).

Введем следующий оператор, отвечающий задаче (2.6), (2.7) в весовых пространствах:

Замечание 2.2. Покажем, что число 0 в определении нелокальных операторов B1 может быть выбрано сколь угодно малым.

Пусть число 0 таково, что 0 < 0 < 0. Рассмотрим такую функцию C (R2 ), что и введем оператор B1 : Ha (G) Ha Очевидно, где B2 = B1 B1 +B2. Легко видеть, что оператор B1 B1 удовлетворяет условию 2.4 при некоторых 1, 2,. Таким образом, мы всегда можем выбрать сколь угодно малым (быть может, за счет модификации оператора B2 и значений 1, 2 и ).

2.2. Сведение к модельным задачам в плоских углах При изучении задачи (2.6), (2.7) особое внимание следует уделять поведению решений в окрестности начала координат. Рассмотрим соответствующую модельную задачу в плоском угле. Для этого формально положим Тогда в силу условия 2.3 задача (2.6), (2.7) примет в -окрестности начала координат следующий вид:

Здесь = 1, 2; µ = 1,..., m; Bµs (y, D), s = 0, 1, — линейные дифференциальные операторы порядка mµ с переменными коэффициентами класса C.

Обозначим через P(D) и Bµs (D) главные однородные части операторов P(0, D) и Bµs (0, D) соответственно. Положим Введем ограниченные операторы где При этом считаем, что оператор L определен на функциях с носителем, сосредоточенным в окрестности начала координат (в частности, с таким носителем, что (y) K при y supp U ).

Очевидно, операторы L и L соответствуют модельным задачам с нелинейными и линеаризованными преобразованиями соответственно.

Запишем операторы P(D) и Bµs (D) в полярных координатах следующим образом: P(D) = r2m P(, D, rDr ), Bµ (D) = rmµ Bµ (, D, rDr ), где D = i/, Dr = i/r. Рассмотрим оператор (аналитическую оператор-функцию, зависящую от параметра C) L() : W l+2m (1, 2 ) W l (1, 2 ) C2m, заданную формулой где Отметим, что множество собственных значений оператора L() образует дискретное множество [62].

3.1. Нелинейные преобразования в полярных координатах В работе [14] показано, что оператор, соответствующий задаче с нелинейными преобразованиями переменных, не является малым или компактным возмущением оператора, соответствующего задаче с линеаризованными преобразованиями. Поэтому для доказательства фредгольмовой разрешимости задачи с нелинейными преобразованиями мы заново получим априорные оценки решений и построим правый регуляризатор. Для этого предварительно изучим некоторые свойства преобразований вблизи начала координат.

Используя формулу Тейлора, нетрудно получить следующее утверждение, которое будет использовано при доказательстве леммы о представлении преобразований в полярных координатах (см. лемму 3.2).

k = 0,..., k0, где ck > 0 не зависит от r. Пусть f (r) = rl h(r) при некотором Ck > 0 не зависит от r.

Следующая лемма описывает структуру нелинейных преобразований в полярных координатах — такое представление оказывается более удобным в случае, когда мы имеем дело с весовыми пространствами.

Лемма 3.2. При достаточно малом преобразование (y)| представимо в полярных координатах в виде где (r), R (r) — бесконечно гладкие функции, такие, что Здесь k 1; c, ck > 0 не зависят от.

Доказательство. Пусть (y) = (1 (y), 2 (y)). Используя (2.1) и формулу Тейлора в окрестности r = 0, получаем обращаются в нуль одновременно; это вытекает из невырожденности матрицы Якоби преобразования y (y) в начале координат. Пусть, например, Тогда в силу (3.4) при достаточно малом и преобразование | в полярных координатах имеет вид Из (3.4) и формулы Тейлора имеем Полагая получим формулу (3.1) и неравенства (3.2).

Докажем первое неравенство в (3.3). Согласно (3.6) c при r.

Поэтому в силу (3.1) и (3.7) достаточно доказать ограниченность частных проk изводных Dr 1. Запишем что = O(r). Следовательно, |r | c. Теперь требуемое утверждение следует из леммы 3.1.

Похожим образом доказывается и второе неравенство в (3.3). Из (3.1) и (3.7) следует соотношение показать, что утверждение следует из леммы 3.1.

Существование такого вытекает из леммы 3.2.

Введем бесконечно дифференцируемые функции i () и i (), i = 0,..., 4, такие, что Рассмотрим преобразование (y), действующее в полярных координатах по формуле В силу леммы 3.2 имеем (y)| = (y)| ; поэтому в дальнейшем будем считать, что преобразование (y) задается формулой (3.10). Теперь (y), вообще говоря, может иметь особенность в начале координат, так как новое преобразование (y) совпадает со старым (y) только на.

Определение 3.1. Для любой функции W (y) обозначим W (y) = W ( (G y)).

В силу леммы 3.2 преобразование (G y) в полярных координатах имеет вид где (r) = (1 r), R (r) = R (1 r). Легко видеть, что и R также удовлетворяют неравенствам (3.2), (3.3).

3.2. Свойства операторов, содержащих нелинейные преобразования, в весовых пространствах Лемма 3.3. При достаточно малом > 0 для любой функции W Ha (K) такой, что supp W K, имеем 1 W Ha (K) и где c > 0 не зависит от W и.

Доказательство. При доказательстве леммы будем пользоваться следующим очевидным утверждением:

Из формулы (3.11) и неравенств (3.8) следует, что преобразование (3.11) отображает K {y : || < } в K. Кроме того, из неравенств (3.2), (3.3) следует, что модуль якобиана преобразования (3.11) при малых ограничен и отличен от нуля в K {y : || < }. Отсюда вытекает справедливость леммы при l = с функцией 0 вместо 1.

Рассмотрим функции 0 C0 (R) (p = 0,..., l), такие, что 0 = 0, 0 = 1, 0 () = 1 при supp 0 (p = 1,..., l). Пусть лемма верна при l = p с функцией 0 вместо 1 ; докажем, что она верна при l = p с функцией довательно, по индуктивному предположению 0 1 W, 0 W Ha (K).

Отсюда, из соотношений неравенств (3.2), (3.3) и леммы 2.1 [36] получим Кроме того, из соотношения W Ha (K), вложения Ha (K) Hap (K) и утверp ждения леммы при l = 0 получим 0 W Hap (K). Отсюда, из (3.12) и (3.14) следует, что D (0 W ) Ha+||p (K), || требуемое утверждение.

Таким образом, оператор W 1 W является ограниченным в Ha (K).

Лемма 3.4. Для любой функции W Ha (K) такой, что supp W K, и где c > 0 не зависит от W и.

Доказательство. Рассмотрим функции 1 C0 (R) (p = 1,..., l), такие, что Пусть || = 1; тогда неравенство (3.15) достаточно доказать для случая, когда вместо оператора D стоят операторы 1,. Рассмотрим, например, 1 (остальные операторы рассматриваются аналогично). Первое из оператор r соотношений (3.13) совместно с формулой Лейбница дает Отсюда, из последнего неравенства в (3.2) и последнего неравенства в (3.3) получим Оценка (3.16) и лемма 3.3 доказывают лемму при || = 1 с функцией 1 вместо 2.

где D||1 и D1 — некоторые обобщенные производные порядков || 1 и соответственно. В силу индуктивного предположения для каждой из двух норм в правой части (3.17) справедливы оценки Отсюда и из (3.17) вытекает требуемое утверждение.

По сути, множитель возникает в оценке (3.15) за счет того, что как уменьшаемое, так и вычитаемое в левой части неравенства содержат одно и то же преобразование переменных (G y), но уменьшаемое есть производная от преобразованной функции, а вычитаемое — преобразование от производной.

Лемма 3.5. Для любой функции U Ha (K) такой, что supp U K, выполняется неравенство где c > 0 не зависит от U и.

Доказательство. Используя непрерывность оператора взятия следа в весовых пространствах, получим Оценим первую норму в правой части неравенства (3.19):

Вторая норма в правой части неравенства (3.19) оценивается при помощи леммы 3.4:

Из (3.19)–(3.21) следует утверждение леммы.

Отметим, что правая часть неравенства (3.18) содержит норму разности непреобразованной и преобразованной функций. Для оценки таких разностей нам понадобится следующая Лемма 3.6. Для любой функции W Ha+1 (K) такой, что supp W K, выполняется неравенство где c > 0 не зависит от W и.

Доказательство. Записывая аргументы функций W и W в полярных координатах, получим Оценим квадрат первой нормы в правой части (3.23), используя неравенство Шварца:

Учитывая ограничения на носители функций W, 1 и неравенства (3.8), поменяем порядок интегрирования по и ; в результате, используя (3.2), получим Аналогичным образом оценивается квадрат второй нормы в правой части (3.23).

Таким образом, множитель в неравенстве (3.22) возникает, если увеличить показатель дифференцируемости на 1 (левая часть (3.22) содержит норму в Ha (K), а правая — в Ha+1 (K)). Это объясняется тем, что, в отличие от неравенства (3.15), в данном случае оценивается разность двух функций, одна из которых не содержит преобразование переменных, а другая содержит.

4. Фредгольмова разрешимость нелокальных задач В данном пунтке докажем априорную оценку для оператора L, гарантирующую конечномерность его ядра и замкнутость образа.

Условие 4.1. Прямая Im = a+1l 2m не содержит собственных значений оператора L().

Лемма 4.1. Пусть выполнены условия 2.1–2.4 и 4.1. Тогда где c > 0 не зависит от u.

Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 4.1 в [23], используя принцип разбиения единицы и формулу Лейбница, сведем доказательство леммы 4.1 к доказательству при достаточно малом > 0 априорной оценки где c > 0 не зависит от U.

Итак, докажем (4.1). В силу условия 4.1 и теоремы 2.1 в [62] оператор L :

Ha (K) Ha (K, ) имеет ограниченный обратный. Следовательно, применяя лемму 3.5, для U Ha (K), supp U K, получим где k1, k2,... > 0 не зависят от U и.

Оценим последнюю норму в (4.2). По теореме 4.1 в [40] В силу леммы 3.6 и непрерывности вложения Ha (K) Hal2m+1 (K) имеем Для оценки первой нормы в правой части (4.3) воспользуемся формулой Лейбница и леммами 3.3 и 3.4:

|| 2m1 ||=2m|| Используя лемму 3.6 и непрерывность вложения Ha (K) Ha+1+||l2m (K) Аналогично, из леммы 3.4 следует, что Теперь оценка (4.1) вытекает из (4.2)–(4.8) при достаточно малом.

В силу компактности вложения Ha (G) Ha+1l2m (G) (см. лемму 3. в [36]), из леммы 4.1 следует, что оператор L имеет конечномерное ядро и замкнутый образ.

4.2. Построение правого регуляризатора.

Фредгольмова разрешимость нелокальных задач В этом пункте будет построен правый регуляризатор для оператора L, что совместно с леммой 4.1 позволит доказать фредгольмовость нелокальной краевой задачи (2.6), (2.7).

Лемма 4.2. Пусть выполнены условия 2.1–2.4 и 4.1. Тогда существует такой ограниченный оператор R : Ha (G, G) Ha (G) и компактный оператор T : Ha (G, G) Ha (G, G), что где I — единичный оператор в Ha (G, G).

Доказательство. 1. Аналогично доказательству теоремы 5.2 в [23], используя принцип разбиения единицы и формулу Лейбница, сведем доказательство леммы 4.2 к доказательству следующего утверждения: для всех достаточно малых > 0 существуют ограниченные операторы R, M и компактный Ha (K, ) и Ha (K, ) соответственно и удовлетворяющие условиям Mf Ha (K,) cf Ha (K,). Здесь d1 — число, определенное в (2.2), а c > 0 не Итак, построим операторы R, M и T, удовлетворяющие соотношению (4.9).

при |y| оценка где c > 0 не зависит от. Пусть, кроме того,, будучи записанной в полярных координатах, не зависит от.

Положим f = {fµ }. В силу условия 4.1 и теоремы 2.1 в [62] оператор L : Ha (K) Ha (K, ) имеет ограниченный обратный. Следовательно, мы можем определить операторы по формулам центром в начале координат.

Введем операторы действующие по формулам Установим связь между операторами P, B, B и R0, R. При этом мы будем использовать следующее свойство весовых пространств (см. лемму 3.5 в [36]):

оператор вложения при любом d > 0 компактен.

Из формулы Лейбница, ограниченности носителя supp и компактности вложения (4.11) следует, что операторы. Аналогично, на то, что выражение {...} есть вектор, компоненты которого определяются индексами, µ.

Покажем, что каждое слагаемое, стоящее под знаком суммы в (4.13), есть компактный оператор. Пусть i есть функции, введенные по формулам (3.9).

Введем также функции 0, 1 C (Rn ), где d1 и d2 — числа, определенные в (2.2). Тогда в силу непрерывности оператора взятия следа в весовых пространствах Так как носитель функции 1 ограничен и отделен от нуля, а функция равна нулю вблизи сторон угла K, то мы можем воспользоваться теоремой 5. в [39, гл. 2]: используя соотношение PL1 (0, f ) = 0, из (4.14) получим Так как носитель функции 0 ограничен, то из последнего неравенства и компактности вложения (4.11) следует, что Наконец, из (4.15) получим формулу для композиции B R :

2. Введем оператор R : Ha (K, ) Ha (K), действующий по формуле Здесь R : Ha () Ha (K) — ограниченный оператор, действующий по формуле Аналогично (4.12) и (4.16) доказывается, что где T, T2 — компактные операторы, действующие в тех же пространствах, что и операторы T, T2.

Покажем, что R удовлетворяет соотношению (4.9). Из формул (4.12) и (4.17) следует, что где T3 : Ha (K, ) Ha (K) — компактный оператор.

Далее, учитывая, что (d1 y/2)B R0 f0 B R0 f0, при помощи (4.18) получим Отсюда, используя (4.16), получаем Рассмотрим выражение, стоящее под знаком первой суммы в правой части (4.20). По лемме 3. Повторяя выкладки (4.3)–(4.8) применительно к U = R f, из (4.21) и (4.12) получим Отсюда, из неравенства (4.10) и ограниченности оператора L1 : Ha (K, ) l+2m Ha (K) окончательно выводим Следовательно, по лемме 1. причем Mµ 2k7, а оператор Fµ конечномерный.

Аналогично доказывается, что слагаемые, стоящие во второй сумме в правой части (4.20), представимы в виде «оператор с малой нормой + конечномерный».

Отсюда, из (4.20) и (4.19), полагая supp (f0, f ) O (0), получаем соотношение (4.9).

Теперь мы можем доказать фредгольмовость оператора L : Ha (G) Ha (G, G).

Теорема 4.1. Пусть выполнены условия 2.1–2.4 и 4.1. Тогда оператор L :

Ha (G) Ha (G, G) фредгольмов.

Доказательство. Фредгольмовость оператора L : Ha (G) Ha (G, G) следует из лемм 4.1 и 4.2 настоящей работы и теорем 7.1 и 15.2 в [38].

по отношению к нелинейным возмущениям преобразований Покажем, что индекс задачи определяется только линейной частью преобразований в окрестности начала координат.

Обозначим через, = 1, 2, преобразования, обладающие теми же свойствами, что и (см. § 2). Рассмотрим операторы Введем операторы Bµ = B0 + B1 + B2 и (ср. (2.8)).

Теорема 4.2. Пусть выполнены условия 2.1–2.4 и 4.1, причем условие 2. выполнено для преобразований и с одним и тем же линейным оператором G. Тогда операторы L, L : H l+2m (G) Hl (G, G) фредгольмовы и ind L = ind L.

Доказательство. Введем оператор Lt : Ha (G) Ha (G, G) по формуле Очевидно, L0 = L, L1 = L.

Преобразования и совпадают с точностью до бесконечно малых в окрестности начала координат; поэтому в силу теоремы 4.1 операторы Lt фредгольмовы при всех t. Далее, для любых t0, t где kt0 > 0 не зависит от t [0, 1]. Следовательно, по теореме 16.2 в [38] имеем ind Lt = ind Lt0 для всех t из некоторой достаточно малой окрестности точки t0. Указанные окрестности покрывают отрезок [0, 1]. Выделяя конечное подпокрытие, получаем ind L = ind L0 = ind L1 = ind L.

Замечание 4.1. Результаты этой главы обобщаются на случай, когда область G содержится в Rn (n 2), граница области состоит из N открытых связных (в топологии G) (n 1)-мерных многообразий i класса C, причем в окрестN ности каждой точки g G \ i область G диффеоморфна n-мерному двуi= является неподвижной точкой преобразований, входящих в нелокальные условия, но имеет конечную орбиту (более подробно см. [14]).

нелокальных эллиптических задач в пространствах Соболева В этом параграфе мы введем обозначения и определим функциональные пространства, которые используются в главах II–VI.

5.1. Пространства непрерывных функций Обозначим через G R2 ограниченную область с границей G. Введем мноN где i — открытые (в топологии G) кривые класса C. Для простоты обозначений будем считать, что число точек множества K равно числу кривых i (все результаты без труда обобщаются на более общий случай). Предположим, что в окрестности каждой точки gj K область G совпадает с плоским углом стороны которого обозначим через здесь, r — полярные координаты с полюсом в точке gj, 0 < j <.

Пусть X и M — замкнутые множества, причем множество X непусто. Наряду с пространствами, введенными в п. 1.2, рассмотрим пространства (если X M =, то считаем, что CM (X) = C(X)).

Введем также пространство вектор-функций с нормой Для функций из введенного в п. 1.2 пространства Соболева докажем следующий результат.

f (y) = 0 в некоторой окрестности начала координат (для каждого s своя окрестность) и f s f в W l (R2 ).

Доказательство. Как известно, множество C0 (R2 ) плотно в W l (R2 ). С другой стороны, по теореме вложения Соболева и теореме Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве множество {u W l (R2 ) : D u(0) = 0, || l 2} есть замкнутое подпространство коl нечной коразмерности в W (R ). Следовательно, по лемме 8.1 в [38] множество D u(0) = 0, || l 2}. Таким образом, достаточно доказать лемму для функции f C0 (R2 ) такой, что D f (0) = 0, || t < 1 и (t) = 0 при t > 2. Положим где r = |y| и s = 1, 2,.... Очевидно, s (y) = 1 при |y| > es и |D s (y)| c /(r|| s) для любого || 1, где c > не зависит от не зависит от s и y. Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что последовательность s f сходится к f в W l (R2 ) при s.

Для описанных в п. 5.1 области G и части границы i введем пространdef ства Соболева отрицательного порядка. Для l (W l (G)) пространство, сопряженное1 с W l (G) относительно расширения скалярного произведения в L2 (G). Норма в W l (G) определяется следующим образом:

Для l 1 обозначим через W (l1/2) (i ) = (W l1/2 (i )) пространство, сопряженное с W l1/2 (i ) относительно расширения скалярного произведения в L2 (i ). Норма в W (l1/2) (i ) определяется следующим образом:

вектор-функций В § 22 (глава V) рассматриваются нелокальные возмущения задачи Дирихле для оператора Лапласа. В этом случае m = 1, mi1 = 0, и пространства (5.2) будем обозначать следующим образом:

Не путать с пространством, сопряженным с W l (G), где W l (G) — замыкание множества C0 (G) по норме пространства W (G).

вектор-функций в плоских углах и пространства вектор-функций на дугах где числа j определяют растворы углов Kj.

Для любого множества M и любого d > 0 обозначим через Od (M ) dокрестность множества M :

где dist(y, M ) = inf |y |.

Для любого d > 0 обозначим пространства вектор-функций Для любого l состоящее из функций f0, удовлетворяющих соотношениям При l = 0, 1 полагаем S l (G) = W l (G).

Для каждой кривой i (i = 1,..., N ) обозначим через gi1 и gi2 ее концевые точки. Напомним, что в некоторой окрестности точки gi1 (gi2 ) область G совпадает с плоским углом, а кривая i совпадает с отрезком Ii1 (Ii2 ). Пусть i1 (i2 ) — 0 обозначим через S l+2mm1/2 (G) подпространство проДля любого l странства W l+2mm1/2 (G), состоящее из таких функций {fiµ }, что Положим S l (G, G) = S l (G) S l+2mm1/2 (G).

2 обозначим через S l (K) подпространство пространства W l (K), Для любого l состоящее из таких функций {fj }, что При l = 0, 1 полагаем S l (K) = W l (K).

0 обозначим через S l+2mm1/2 () подпространство проДля любого l странства W l+2mm1/2 (), состоящее из таких функций {fjµ }, что l + 2m mjµ 2 < 0, то соответствующие условия отсутствуют.

Положим S l (K, ) = S l (K) S l+2mm1/2 ().

Аналогично вводятся пространства Рассмотрим следующие случаи:

1. Q = Kj, Q = Kj (d > 0) или Q = R2 ; обозначим M = {0};

2. Q = G; обозначим M = K.

Для любого l 0 и любого a R обозначим через Ha (Q) = Ha (Q, M) пополнение множества C0 (Q \ M) по норме следов на гладкой кривой Q с нормой В главе VI, наряду со стандартными нормами, нам потребуются нормы в весовых пространствах, зависящие от параметра q > 0. Положим Из лемм 7.1 и 7.2 в [23] следует, что где c > 0 не зависит от u и q > 0.

Докажем ряд вспомогательных результатов о связи между пространствами Соболева и весовыми пространствами Кондратьева. Зафиксируем произвольный индекс i и положим = i. Пусть g \. Без ограничения общности будем считать, что g = 0 и совпадает с осью Oy1 в достаточно малой окрестности O (0) начала координат. Введем обозначения G = G O (0), = O (0) и положим Ha (G ) = Ha (G, {0}).

> 0 (если l = 1, полагаем P (y) 0); в частности, u Hl1+ (G );

Доказательство вытекает из леммы 4.9 в [36] при l = 1 и из леммы 4. 1. (r) = P1 (r) + (r) для 0 < r <, где P1 (r) = 2. (d /dr )|r=0 = (d P1 /dr )|r=0 для = 0,..., l 2;

Доказательство. Рассмотрим функцию u W l (G ) такую, что u| = и для фиксированного k где c > 0 не зависит от.

Доказательство. Из соотношений (5.10) и леммы 5.3 (части 1 и 2) следует, что где Если k = l 2, то сумма в (5.12) отсутствует и утверждение леммы вытекает из (5.13) и части 3 леммы 5.3.

Непосредственно проверяется, что r Hl2k+ ( ) для указанных и любого > 0. Следовательно, утверждение леммы вытекает из (5.12), (5.13) и части леммы 5.3.

Лемма 5.5. Пусть u Ha+k (), k, l N, a R, и пусть B C (G ), Доказательство. Из формулы Тейлора вытекает, что |D B| = O rk|| для любого ; следовательно, Лемма 5.6. Пусть Ha+k ( ), k, l N, a R, и пусть b C ( ), rs r= Доказательство. Обозначим через C (R) продолжение функции b(y1 ) на R и введем функцию B(y1, y2 ) = 1 ), (y1, y2 ) R2. Очевидно, Пусть u Ha+k (G ) — такое продолжение функции, что где c1 > 0 не зависит от. Теперь утверждение леммы вытекает из (5.15), (5.16) и леммы 5.5.

где G0 — композиция операторов поворота на угол 0 ( < 0 ) и гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом 0 > 0.

Доказательство. Записывая функцию u в полярных координатах (, r), имеем Рассмотрим функцию v1. По лемме 4.15 в [36] Отсюда и из леммы 4.8 в [36] следует, что v1 H0 (R2 ) и Осталось показать, что Для 0 > 1 (случай 0 < 0 < 1 рассматривается аналогично) имеем Используя неравенство Шварца и меняя пределы интегрирования, получаем оценку (5.18):

Нам также понадобятся весовые пространства отрицательного (дробного) сопряженное с Ha (i ) относительно расширения скалярного произведения в L2 (i ). Норма в Ha (i ) задается следующим образом:

Лемма 5.8. Для любых l Z и a R пространство Ha+1 (i ) есть плотное где c > 0 не зависит от g.

Доказательство. Если l = 1, 2,..., то заключение леммы вытекает из определения весовых пространств. Случай l = 1, 2,... следует из соображений двойственности.

Рассмотрим случай l = 0. Пусть g Ha+1 (i ). Используя эквивалентные нормы в весовых пространствах (см. лемму 1.3 в [40]), нетрудно проверить, что В силу (5.19) и принадлежности g Ha+1 (i ) получаем Предположим противное. Тогда найдется такой ненулевой элемент (пространство Ha (i ) гильбертово и, значит, рефлексивно), что, g = 0 для всех Ha+1 (i ). Следовательно, Учитывая, что C0 (i ) плотно в Ha (i ), заключаем, что g = 0.

вектор-функций В § 22 (глава V), а также в главе VI рассматриваются нелокальные возмущения задачи Дирихле для дифференциального оператора второго порядка. В этом случае m = 1, mi1 = 0, и пространства (5.20) будем обозначать следующим образом:

Помимо стандартных норм в этих пространствах, в главе VI мы будем пользоваться следующими нормами, зависящими от параметра q > 0:

В § 25 (глава VI) будем использовать следующие банаховы пространства с нормами, зависящими от параметра q > 0:

• HN,a (G) = CN (G) Ha (G) с нормой пространства вектор-функций Аналогично вводятся пространства Обозначим через P(y, D) и Biµs (y, D) линейные дифференциальные операторы порядка 2m и miµ соответственно с комплекснозначными коэффициентами класса C -coefficients, а через P0 (y, D) и Biµs (y, D) — главные однородные части операторов P(y, D) и Biµs (y, D) (i = 1,..., N, µ = 1,..., m, s = 0,..., Si ).

Сформулируем условия на операторы P(y, D) и Biµ0 (y, D), которые будут соответствовать «локальной» эллиптической задаче (см., например, [39, гл. 2, § 1].

Условие 6.1. Оператор P(y, D) собственно эллиптичен на G.

В частности, условие 6.1 означает, что для всех R2 и y G выполнена оценка Условие 6.2. Для любого y i, i = 1,..., N, система {Biµ0 (y, D)}m удовлетворяет условию накрытия (условию Лопатинского) по отношению к оператору P(y, D).

Условие 6.2 означает следующее. Пусть y i. Без ограничения общности предположим, что вблизи заданной точки y кривая i определена уравнением y2 = 0. Пусть многочлен есть остаток от деления Biµ0 (y, 1, ) на M+ (y, ), где 1 (y),..., m (y) — корни многочлена P0 (y, 1, ) с положительной мнимой частью, причем P0 (y, 1, ), Biµ0 (y, 1, ) и M+ (y, ) рассматриваются как многочлены от. Тогда условие 6.2 означает, что Так как каждая из дуг i, i = 1,..., N, — компакт, то Подчеркнем, что нормальность операторов Biµ0 (y, D) на дугах i в общем случае не предполагается.

Рассмотрим операторы заданные формулами Определим операторы, соответствующие нелокальным условиям вблизи множества K. Пусть is (i = 1,..., N, s = 1,..., Si ) — бесконечно дифференцируемые невырожденные преобразования, отображающие некоторую окрестность Oi кривой i O (K) на множество is (Oi ) так, что is (i O (K)) G и Таким образом, преобразования is отображают дуги i O (K) внутрь области G, а их концевые точки i K — в концевые точки.

Уточним структуру преобразований is вблизи множества K. Обозначим преобразование is : Oi is (Oi ) через +1, а через 1 : is (Oi ) Oi — преобразование, обратное к is. Назовем орбитой точки g K, и обозначим Orb(g), множество всех точек вида ±1q (... ±11 (g)) K (1 sj Sij, j = 1,..., q), т. е. всех тех, которые можно получить, применяя к g последовательно преобразования +1j или 1j, отображающие точки множества K в K.

Очевидно, для любых g, g K либо Orb(g) = Orb(g ), либо Orb(g) Orb(g ) =. Далее будем считать, что множество K состоит из одной орбиты (все результаты без труда переносятся на общий случай, когда K состоит из конечного числа непересекающихся орбит). Для простоты обозначений предположим также, что множество (орбита) K состоит из N точек: g1,..., gN.

Выберем настолько малым (ср. замечание замечание 2.2), чтобы существовали окрестности O1 (gj ) точек gj K, такие, что O1 (gj ) O (gj ) и Для каждой точки gj i K зафиксируем преобразование Yj : y y (gj ), представляющее из себя композицию сдвига на вектор Ogj и поворота на некоторый угол так, что 0, = (1) j } (, r — полярные координаты с полюсом в начале координат, 0 < j < ) те же2, что в п. 5.1.

Рассмотрим следующее условие (см. рис. 6.1).

Условие 6.3. Пусть gj i K и is (gj ) = gk K; тогда преобразование есть композиция операторов поворота и гомотетии с центром в начале координат.

Замечание 6.1. Из условия 6.3 и предположения is (i ) G, в частности, следует, что если g is (i \i )j K =, то кривые is (i ) и j пересекаются в точке g под ненулевым углом.

Выберем число 0, 0 < 0, удовлетворяющее следующему условию: если gj i и is (gj ) = gk, то O0 (gk ) is O (gj ) O1 (gk ). Рассмотрим функцию C (R2 ) такую, что Введем ограниченные операторы B1 : W l+2m (G) W l+2mmiµ 1/2 (i ) по формуле здесь Biµs (y, D)v is (y) = Biµs (y, Dy )v(y )|y =is (y).

Строго говоря, введенные здесь углы Kj получаются из углов Kj, описанных в п. 5.1, посредством сдвига на вектор Ogj и поворота, однако в дальнейшем мы будем их отождествлять.

Рис. 6.1. Преобразование Y2 11 Y11 : O (0) O1 (0) — композиция операторов поворота и гомотетии Так как B1 u = 0, если supp u G \ O0 (K), то будем говорить, что операiµ торы Biµ соответствуют нелокальным членам с носителем вблизи множества K.

Как и ранее, обозначим Введем ограниченные операторы удовлетворяющие следующему условию.

Условие 6.4. Существуют такие числа 1 > 2 > 0 и > 0, что выполнены неравенства Из неравенства (6.5) следует, что B2 u = 0, если supp u O1 (K). Поэтому будем говорить, что операторы B2 соответствуют нелокальным членам с носителем вне множества K.

Условия 6.1–6.4 считаем выполненными в главах II–V; в главах IV и V условие 6.4 рассматривается при l = 0. В главе VI условия 6.1–6.4 будут заменены их аналогами.

Отметим, что априори мы не предполагаем связи между числом 0 в определении операторов B1 и числами 1, 2, в условии 6.4.

Будем изучать нелокальную эллиптическую задачу Введем следующий ограниченный оператор, соответствующий задаче (6.7), (6.8) в пространствах Соболева:

где W l (G, G) — пространство, определенное в п. 5.2.

Определение 6.1. Функция u W l+2m (G) называется сильным решением задачи (6.7), (6.8) с правой частью {f0, fiµ } W l (G, G), если выполнено равенство Lu = {f0, fiµ }.

В дальнейшем сильные решения задачи (6.7), (6.8) будем называть просто решениями.

Приведем пример задачи с нелокальными условиями, удовлетворяющими условиям этого параграфа.

Пусть операторы P(y, D) и Biµs (y, D) — те же, что и выше. Обозначим через is (i = 1,..., N, s = 1,..., Si ) невырожденные преобразования класса C, отображающие некоторую окрестность Oi кривой i на is (Oi ) так, что is (i ) G. Отметим, что в этом примере мы изначально не предполагаем выполненными соотношения (6.3).

Рассмотрим нелокальную задачу Выберем > 0 настолько малым, чтобы для любой точки g K множество O (g) пересекалось с кривой is (i ) только тогда, когда g K is (i ).

Предположим, что выполнено условие 6.3. В силу замечания 6.1 условие 6. представляет собой ограничение на геометрическую структуру носителя нелокальных членов вблизи множества K. Однако если is (i \ i ) G \ K, то на геометрическую структуру кривых is (i ) вблизи G никаких ограничений не налагается (ср. [59, 63]).

Обозначим где функция определена в (6.4). Тогда задача (6.9), (6.10) принимает вид (6.7), (6.8).

Аналогично доказательству леммы 2.5 в [63] (где следует заменить весовые пространства на соответствующие пространства Соболева) можно показать, что операторы B2 удовлетворяют условию 6.4.

6.3. Сведение к модельным задачам в бесконечных углах Как и в главе I, особое внимание следует уделять поведению решений вблизи множества K, состоящего из точек сопряжения краевых условий. Рассмотрим соответствующую модельную задачу в плоских углах. Для этого мы формально положим Обозначим u(y) при y O1 (gj ) через uj (y). Если gj i, y O (gj ), is (y) O1 (gk ), то обозначим u(is (y)) через uk (is (y)). Тогда в силу предположения (6.11) нелокальная задача (6.7), (6.8) в -окрестности множества K примет вид Пусть y y (gj ) — описанные выше преобразования координат. Введем функции где = 1 ( = 2), если преобразование y y (gj ) переводит i в сторону j (j2 ) угла Kj, и переобозначим y через y. Тогда в силу условия 6.3 задача (6.7), (6.8) примет вид суть линейные дифференциальные операторы порядков 2m и mjµ (l + 2m 1) соответственно с переменными коэффициентами класса C :

mjµ Gjks — оператор поворота на угол jks и гомотетии с коэффициентом jks > 0, причем |(1) bj + jks | < bk, если (k, s) = (j, 0) (см. замечание 6.1), и jj0 = 0, jj0 = 1 (т. е. Gjj0 y y).

Очевидно также, что В главах II–VI будем использовать обозначения Продолжим коэффициенты операторов Pj (y, D) и Bjµ (y, D) в R2 так, чтобы получились гладкие функции с компактным носителем. Рассмотрим оператор L : W l+2m (K) W l (K, ), заданный формулой где W l+2m (K) и W l (K, ) — пространства, определенные в п. 5.2. Оператор L соответствует задаче (6.12), (6.13).

Обозначим через Pj (D) и Bjµks (D) главные однородные части операторов Pj (0, D) и Bjµks (0, D) соответственно. Наряду с задачей (6.12), (6.13) будем изучать модельную нелокальную задачу Рассмотрим оператор L : W l+2m (K) W l (K, ), заданный формулой и соответствующий задаче (6.16), (6.17) в пространствах Соболева.

Запишем операторы Pj (D) и Bjµks (D) в полярных координатах следующим образом: Pj (D) = r2m Pj (, D, rDr ), Bjµks (D) = rmjµ Bjµks (, D, rDr ), где D = i/, Dr = i/r. Рассмотрим оператор (аналитическую операторфункцию, зависящую от параметра C) L() : W l+2m (, ) W l [, ], заданный формулой где Bjµ (, D, ) = пространства W l+2m (, ) и W l [, ] введены в п. 5.2.

Основные определения и факты касательно собственных значений и собственных и присоединенных векторов аналитических оператор-функций можно найти в [12]. В дальнейшем для нас будет принципиально, что спектр оператора L() дискретный, а именно справедлива следующая лемма.

Лемма 6.1 (см. лемму 2.1 в [62]). Для любого C оператор L() фредгольмов и ind L() = 0.

Спектр оператора L() дискретный. Для любых чисел c1 < c2 полоса c1 < Im < c2 содержит не более конечного числа собственных значений оператора L().

7. Нелокальные задачи в плоских углах 7.1. Построение «решения» в случае отсутствия собственных значений оператора L() на прямой Im = 1 l 2m В этом пункте считаем выполненным следующее условие.

Условие 7.1. Прямая Im = 1 l 2m не содержит собственных значений оператора L().

Рассмотрим операторы где j — единичный вектор, сонаправленный с лучом j. Используя правило дифференцирования сложной функции, запишем где Bjµks (D) — однородные дифференциальные операторы порядка l + 2m 1 с постоянными коэффициентами. В частности, так как Gjj0 y y. Формально заменяя нелокальные операторы в (7.1) на соответствующие локальные операторы, введем операторы Если l 1, то наряду с системой (7.2) рассмотрим операторы Система операторов (7.2) и (7.3) играет существенную роль в доказательстве следующей леммы, позволяющей сводить задачи в пространствах Соболева к задачам в весовых пространствах.

Лемма 7.1. Пусть выполнено условие 7.1. Тогда существует такой линейный ограниченный оператор что для любой функции f = {fj, fjµ } D(A) функция V = Af удовлетворяет следующим условиям: V = 0 при |y| 1, Доказательство. 1. Введем оператор ставящий в соответствие функции fjµ W l+2mmjµ 1/2 (j ) ее продолжение также такое продолжение функции fj из Kj на R2, что продолженная функция (которую также обозначим fj ) равна нулю при |y| 2. Соответствующие операторы продолжения можно выбрать линейными и ограниченными (см. [67, гл. 6, § 3]).

Рассмотрим следующую линейную алгебраическую систему относительно всех частных производных D Wj, || = l + 2m 1, j = 1,..., N :

(j = 1,..., N, = 1, 2, µ = 1,..., m, || = l 1). Каждый из операторов Bjµ (D), заданных формулой (7.2), есть сумма «локальных» операторов, поэтому систему (7.7), (7.8) можно рассматривать как алгебраическую. Предположим, что система (7.7), (7.8) имеет единственное решение для любой правой части. Обозначим через Wj решение системы (7.7), (7.8). Очевидно, что Wj W 1 (R2 ) и Wj = 0 при |y| 2. В силу леммы 4.17 в [36] существует линейный ограниченный оператор ставящий в соответствие системе {Wj }||=l+2m 2. Покажем, что функция V = (V1,..., VN ) искомая. Неравенство (7.5) следует из соотношений (7.10), леммы 5.2 и ограниченности оператора (7.9).

Докажем (7.4). Так как функции Wj представляют из себя решение алгебраической системы (7.7), (7.8), а функции Vj удовлетворяют (7.11), то Далее, из (7.10) и (5.6) получаем Комбинируя эти равенства с соотношениями (7.13) и леммой 5.2, видим, что {Pj (D)Vj fj } H0 (K).

Теперь покажем, что Для этого перейдем в (7.12) от «локальных» операторов Bjµ (D) обратно к нелокальным Dj Bjµ (D). Используя лемму 5.7, из (7.12) получим Из (7.15) и леммы 4.18 в [36] получаем Из неравенств (7.16), соотношений (5.6) и (7.10) и леммы 4.7 в [36] следует, что r12(l+2mmjµ ) |Bjµ (D)V fjµ |2 dr Комбинируя это неравенство с включением из (7.17) и леммы 4.16 в [36] получаем (7.14). Используя ограниченность операторов (7.6) и (7.9), нетрудно также доказать оценку (7.4).

3. Осталось показать, что система (7.7), (7.8) имеет единственное решение для любой правой части. Очевидно, эта система состоит из (l + 2m)N уравнений относительно (l + 2m)N неизвестных. Следовательно, достаточно показать, что соответствующая система с нулевой правой частью имеет только тривиальное решение. Предположим противное: существует такой нетривиальный набор чисел {qj } (j = 1,..., N, || = l + 2m 1), что после подстановки в левую часть системы (7.7), (7.8) чисел qj вместо D Wj, ее правые части обратятся в ноль. Рассмотрим однородный полином Qj (y) степени l + 2m 1 такой, что D Qj (y) qj. Тогда Pj (D)Qj (y) 0 (так как D Pj (D)Qj (y) 0 для всех Заметим, что Bjµks (D)Qk (y) const, а операторы Gjks переводят константу в себя. Следовательно, наряду с (7.18) имеем Так как Bjµ (D)Q — однородный полином степени l + 2m mjµ 1, то в силу (7.19) Bjµ (D)Q|j 0. Таким образом, видим, что вектор-функция Q = (Q1,..., QN ) есть решение задачи (6.16), (6.17) с нулевой правой частью. Следовательно, Pj (, D, rDr ) rl+2m1 Qj () 0, (jks )(l+2m1)mjµ Bjµks (, D, rDr ) rl+2m1 Qk ( + jks ) |=(1) j 0, где Qj (y) rl+2m1 Qj (). Однако тождества (7.20) означают, что где Q = (Q1,..., QN ). Это противоречит предположению о том, что прямая Im = 1 l 2m не содержит собственных значений оператора L().

Следствие 7.1. Построенная в лемме 7.1 функция V удовлетворяет неравенству Доказательство. В силу неравенства (7.4), достаточно оценить разности Первая из этих разностей содержит слагаемые вида где a и a — бесконечно дифференцируемые функции. Зафиксируем число a, 0 < a < 1. Учитывая, что V = 0 при |y| 1, и используя лемму 5.5 и неравенство (7.5), получим Аналогично, пользуясь определение весовых пространств и неравенством (7.5), получим Похожим образом оценивается выражение (Bjµ (y, D) Bjµ (D))V.

Рассмотрим ситуацию, когда прямая Im = 1 l 2m содержит собственные значения оператора L(). Пусть 0 — одно из таких собственных значений.

Определение 7.1. Будем говорить, что 0 — правильное собственное значение оператора L(), если 1. ни один из собственных векторов () = (1 (),..., N ()), соответствующих 0, не имеет присоединенных, 2. для любого собственного вектора () = (1 (),..., N ()), соответствующего 0, функции ri0 j (), j = 1,..., N, являются полиномами по переменным y1, y2.

Собственное значение 0, не являющееся правильным, будем называть неправильным собственным значением.

Замечание 7.1. Понятие правильного собственного значения впервые было введено В. А. Кондратьевым [36] для «локальных» эллиптических краевых задач в областях с угловыми или коническими точками на границе.

Очевидно, если 0 — правильное собственное значение, то Re 0 = 0. Следовательно, прямая Im = 1l 2m может содержать не более одного правильного собственного значения. При этом функции ri0 j () являются однородными полиномами степени i0.

В пп. 7.2–7.4 будем считать выполненным следующее условие.

Условие 7.2. Прямая Im = 1 l 2m содержит единственное собственное значение 0 = i(1 l 2m), и это собственное значение правильное.

При выполнении этого условия заключение леммы 7.1 уже неверно, так как алгебраическая система (7.7), (7.8) может не иметь решения для некоторой правой части, а система операторов (7.2), (7.3) уже не является линейно независимой. Действительно пусть () = (1 (),..., N ()) — собственный вектор, отвечающий правильному собственному значению 0 = i(1 l 2m). Тогда по определению правильного собственного значения функция Qj (y) = rl+2m1 j () есть однородный полином степени l + 2m 1 по переменным y = (y1, y2 ). Повторяя рассуждения части 3 в доказательстве леммы 7.1, видим, что после подстановки в левую часть системы (7.7), (7.8) чисел qj = D Qj вместо D Wj ее правая часть обращается в ноль. Следовательно, система (7.2), (7.3) линейно зависима.

В этом случае, вместо пространств S l (K, ), мы будем использовать пространства S l (K, ) (определенные ниже). Отметим, что множество S l (K, ) не будет замкнуто в топологии пространства W l (K, ).

Выберем из системы (7.2), состоящей из однородных дифференциальных операторов порядка l + 2m 1, максимальное число линейно независимых операторов и обозначим их Любой оператор Bjµ (D), не вошедший в систему (7.22), представим в виде где jµ µ — некоторые константы.

Рассмотрим функции f = {fj, fjµ } W l (K, ), удовлетворяющие условиям Здесь индексы j,, µ соответствуют операторам (7.22), а индексы j,, µ — операторам из системы (7.2), не вошедшим в систему (7.22); jµ — некоторые фиксированные продолжения функций fjµ to R2, определяемые оператором (7.6);

jµ µ — константы из соотношения (7.23). Если система (7.2) линейно незавиj сима, то множество условий (7.24) пусто.

Заметим, что выполнение условий (7.24) не зависит от выбора продолжения функций fjµ в R2. Действительно, пусть jµ — некоторое продолжение, отличное от jµ. Тогда (jµ jµ )|j = 0; следовательно, по теореме 4. в [36] Теперь дополним систему (7.22) дифференциальными операторами порядка l+2m1 из системы (7.3) таким образом, чтобы получившаяся система состояла из линейно независимых операторов и любой оператор D Pj (D)Uj, не вошедший в (7.25), был представим в виде где pj,,µ и pj, — некоторые константы.

Продолжим компоненты fj W l (Kj ) вектора f на все R2. Продолженные функции также обозначим через fj W l (R2 ). Рассмотрим функции f, удовлетворяющие условиям Здесь индексы j,, µ и j, соответствуют операторам (7.25), а индексы j, соответствуют операторам из системы (7.3), не вошедшим в (7.25); pj µ и pj — константы из соотношений (7.26). Аналогично предыдущему можно показать, что выполнение условий (7.27) не зависит от выбора продолжения функций fj и fjµ в R2.

система (7.25) содержит все операторы из (7.3).

Введем аналог множества S l (K, ) в случае, когда выполнено условие 7.2.

Обозначим через S l (K, ) множество функций f W l (K, ), удовлетворяющих условиям (5.6), (5.7), (7.24) и (7.27). Пространство S l (K, ) с нормой является полным. (В определении нормы (7.28) индексы j,, µ и j, соответствуют операторам, не вошедшим в систему (7.25).) Введем также пространство Очевидно, имеют место вложения Докажем некоторые важные свойства пространства S l (K, ). Следующая лемма показывает, что если функция U W l+2m (K) с компактным носителем удовлетворяет конечному числу условий ортогональности вида то правая часть соответствующей нелокальной задачи принадлежит S l (K, ).

Лемма 7.2. Пусть выполнено условие 7.2. Предположим, что U S l+2m (K) и supp U Od1 (0) (число d1 определено в (6.15)). Тогда Доказательство. 1. Положим f = {fj, fjµ } = LU. Из предположений леммы следует, что f W l (K, ), supp f O (0) и функции fj и fjµ удовлетворяют соотношениям (5.6) и (5.7) соответственно.

Обозначим через jµ W l+2mmjµ (R2 ) продолжение функции fjµ, определяемое оператором (7.6). Покажем, что По лемме 5.7 Bjµ (D)U Dj доказательства (7.32) достаточно показать, что поэтому соотношения (7.33) следуют из леммы 4.8 в [36]. Соотношение (7.32) доказано.

Операторы Bjµ (D)U удовлетворяют соотношениям (7.23); следовательно, в силу (7.32) функции jµ удовлетворяют соотношениям (7.24).

Аналогично из (7.32), равенств Pj (D)Uj fj = 0 и соотношений (7.26) вытекает, что функция f удовлетворяет соотношениям (7.27). Следовательно, f S l (K, ), и, как нетрудно проверить, справедливо первое неравенство в (7.31).

2. Теперь для доказательства того, что LU S l (K, ), достаточно показать, что где Uj W l+2m (R2 ) — продолжение функции Uj W l+2m (Kj ) в R2 (которое также обозначим через Uj ). Эти выражения состоят из слагаемых вида где a и a — бесконечно дифференцируемые функции.

Так как Uj W l+2m (R2 ), то D Uj H1 (R2 ). Отсюда и из леммы 5.5 вытекает, что a (y) a (0) D Uj H0 (R2 ).

Функция a D Uj (|| l + 2m 2) принадлежит W 2 (R2 ). Отсюда, из соотношений (7.30) и леммы 5.2, следует, что a D Uj Ha (R2 ) Ha1 (R2 ), a > 0.

Пусть 0 < a < 1; тогда в силу компактности носителя функций Uj получаем a D Uj H0 (R2 ). При этом, как нетрудно проверить, выполнено также второе неравенство в (7.31).

Следующая лемма показывает, что множество S l (K, ) незамкнуто в топологии пространства W l (K, ).