«Безруков Федор Леонидович Туннельные и многочастичные процессы в электрослабой теории и моделях теории поля Специальность 01.04.02 — теоретическая физика Диссертация на соискание ученой степени кандидата ...»

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

На правах рукописи

Безруков Федор Леонидович

Туннельные и многочастичные

процессы в электрослабой

теории и моделях теории поля

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Научные руководители:

доктор физ.-мат. наук, академик В. А. Рубаков, профессор К. Ребби Москва 2003 2 Оглавление Введение Глава 1. Теория SU(2) с хиггсовским дублетом: аналитические результаты 1.1 Обзор задачи туннелирования.................... 1.2 –инстантоны при низких энергиях................. 1.3 Вероятность процессов инстантонного типа при низких энергиях Глава 2. SU(2) теория: численные результаты 2.1 Сведение к сферически симметричной задаче........... 2.2 Разностная форма граничной задачи................. 2.2.1 Дискретизация действия...................... 2.2.2 Граничный член: разложение по собственным модам...... 2.2.3 Граничные условия.......................... 2.3 Поиск решений............................. 2.4 Решения при энергиях, меньших сфалеронной........... 2.4.1 Сравнение с аналитическим результатом............. 2.5 Переход через энергию сфалерона.................. 2.6 Численные результаты......................... 2.7 Ограничения на сечения двухчастичных столкновений...... 2.8 Оценка двухчастичных инстантонных сечений........... Глава 3. Многочастичные процессы в модели 4 3.1 Связь сингулярных решений с сечениями в древесном приближении. Общий формализм...................... 3.2 Разложение по сферическим модам................. 3.3 Численное нахождение древесных сечений............. 3.4 Сравнение численных и аналитических результатов........ Заключение Приложение A. Алгоритм разбиений Литература Введение Стандартная модель фундаментальных взаимодействий, являющаяся калибровочной теорией с группой SU(3)SU(2)U(1), в настоящий момент с высокой точностью описывает большинство наблюдаемых процессов в физике частиц во всем доступном существующим экспериментам диапазоне энергий. Большинство результатов, используемых для описания реальных физических процессов при высоких энергиях, получено в ней в рамках теории возмущений по малой константе связи. Благодаря малости констант связи в электрослабом секторе, и свойству асимптотической свободы квантовой хромодинамики, теория возмущений отлично подходит для описания многих процессов. Однако даже в пределе слабой связи существуют эффекты, не описываемые в рамках теории возмущений.

Одним из таких эффектов является возможность несохранения фермионного (барионного и лептонного) числа в электрослабой теории. Этот эффект связан с нетривиальной структурой вакуума калибровочных теорий: неабелевы калибровочные теории обладают счетным множеством физически эквивалентных вакуумов [1–4]. В рамках теории возмущений существование различных вакуумов, и, соответственно, упомянутый эффект, незаметен. Однако, в полной квантовой теории возможны переходы между этими вакуумами, приводящие в теориях с фермионами при учете аномалии Адлера–Белла–Джекива [5–7] к несохранению фермионных чисел [3, 4].

Интересен вопрос, возможно ли наблюдать такие процессы экспериментально. В электрослабой теории соседние топологически различные вакуумы разделены потенциальным барьером конечной высоты [8, 9]. Классическое нестабильное решение статических уравнений движения, соответствующее вершине этого барьера (строго говоря, седловой точке между вакуумами),— сфалерон — имеет в стандартной электрослабой модели энергию Esph MW /W, или, при стандартных значениях параметров, около 8 ТэВ. При энергиях, много меньших высоты барьера, процессы, описывающие переходы с изменением топологического числа, хорошо описываются в квазиклассическом приближении, которое приводит в данном случае к теории возмущений вокруг классического непертурбативного решения в евклидовом времени, интерполирующего между соседними вакуумами — инстантона [10, 11]. Соответственно, вероятности туннелирования подавлены экспоненциальным фактором вида exp(2Sinst ), где Sinst — евклидово действие инстантона. Sinst обратно пропорционально константе связи, и, следовательно, туннельные процессы сильно подавлены в теориях со слабой связью. В частности, в электрослабой теории действие инстантона Sinst = 4/W, что дает фактор подавления 10170. Это приводит к тому, что при низких энергиях такие процессы практически ненаблюдаемы.

Квантовомеханическая интуиция, основывающаяся на известной задаче о туннелировании через барьер в одномерной квантовой механике, подсказывает, что подавление может пропасть при энергии, равной высоте барьера. Это действительно происходит в процессах при высокой температуре [12–20], большой плотности фермионов [21–25], или при наличии тяжелых фермионов в начальном состоянии [26–28].

Вообще говоря, высота барьера, Esph 8 ТэВ относительно невелика, и сравнима с энергиями, достижимыми на будущих ускорителях. В связи с этим встает вопрос, сохраняется ли экспоненциальное подавление процессов с нарушением фермионных чисел в столкновениях частиц при энергиях, совпадающих с энергией сфалерона, и превышающих ее. В данной задаче одномерная квантовомеханическая аналогия перестает работать, из за наличия у рассматриваемой системы, в дополнение к туннельной координате, внутренних степеней свободы. Другими словами, характерный размер полевой конфигурации сфалерона много больше длины волны сталкивающихся частиц, и даже при высокой энергии переход с изменением топологического числа затруднен. В то же время, применение квазиклассической техники в этой задаче осложнено существенной неквазиклассичностью начального состояния.

В работах [29, 30] было замечено, что при низких энергиях амплитуды процессов 2 N с нарушением топологического числа могут быть найдены с помощью теории возмущений на фоне инстантона. Было получено, что эти амплитуды в ведущем порядке растут с энергией степенным образом, а инклюзивное сечение растет экспоненциально причем насыщается конечным состоянием с большим (порядка 1/W ) числом частиц с относительно малыми энергиями [31–35]. Дальнейшие исследования [36–46] показали, что полное сечение имеет экспоненциальный вид где W — слабая константа связи, а функция FHG выражается в виде ряда по дробным степеням E/Esph, и зависит от константы связи только неявным образом через Esph (см. также обзоры [47–49]). Предэкспоненциальный множитель зависит от константы связи и энергии степенным образом и, следовательно, относительно мало существенен. Ряд теории возмущений следовательно, анализ инстантонных процессов в самой интересной области высоких энергий требует применения непертурбативных методов1.

Экспоненциальная форма полного сечения предполагает, что может существовать квазиклассический метод вычисления FHG (E/Esph ) при любых энергиях, включая E Esph. Однако, как уже было замечено, начальное состояние, содержащее две частицы, не является квазиклассическим. Метод решения этой проблемы был предложен в работах [50–53]. Метод основан на предположении об универсальности функции FHG (E/Esph ), то есть о том, что она не зависит от деталей начального состояния, пока число частиц в нем не становится параметрически большим. Это предположение было проверено явными вычислениями в нескольких порядках теории возмущений по E/Esph в калибровочной теории [51, 54] а также в явно в квантовой мехенике с двумя степенями свободы [55, 56]). Состояние же с несколькими частицами можно рассматривать как предельный случай квазиклассического состояния с числом частиц N = N /W, при стремлении параметра N к нулю. Для многочастичного начального состояния инклюзивное сечение перехода с изменением топологического числа имеет явно квазиклассическую форму Функция же FHG (E/Esph ), отвечающая двухчастичному сечению, получается в пределе N 0, Функция FHG в работе [47] была названа «функцией священного Грааля» из за многих безуспешных попыток найти ее.

Таким образом, можно косвенно вычислить функцию FHG (E/Esph ) квазиклассически.

В рамках этого метода функции F (E/Esph, N ) определяется действием на специальном решении классических уравнений поля на контуре в комплексном времени [52]. Хотя для большинства реалистических моделей найти требуемые решения аналитически затруднительно (единственный результат такого типа был получен в работе [57] в 1+1–мерной модели с потенциалом вида «яма с обрывом»), возможно, по крайней мере в принципе, получить эти решения численно. Кроме этого, можно приближенно решить эту задачу в пределе малых энергий и числа частиц.

В работе [52] было показано, что при низких энергиях можно приблизить решение граничной задачи (будем называть его –инстантоном) цепочкой инстантонов и антиинстантонов, соответственным образом модифицированных и помещенных в определенных местах на евклидовой оси времени. Хотя это приближение оправдано только при E Esph, приближенное решение такого вида дает общее представление о форме –инстантонов во всей области E < Esph. Такое решение было проанализировано в в случае ненулевых N в работе [58] (см. раздел 1.2 настоящей диссертации).

Возможность применения численных методов в данной задаче была продемонстрирована на примере модельной теории поля, описывающей распад ложного вакуума, в работах [53, 59]. Однако применение этого метода при высоких энергиях сталкивается с проблемой — решения граничной задачи, интерполирующие между различными топологическими вакуумами перестают существовать. Эта проблема была отмечена и при анализе распада ложного вакуума [53], и в модельной задаче квантовомеханического туннелирования в системе с двумя степенями свободы [56].

Следует также отметить, что в работе [60] приводится непертурбативный анализ классически разрешенных (надбарьерных) переходов с изменением топологического числа. Однако все решения, найденные в работе [60], являются конфигурациями с большим числом частиц в начальном состоянии, и не отвечают столкновению двух частиц.

В диссертации изучены топологические переходы в калибровочной теории с группой SU(2) и дублетом полей Хиггса. Эта модель соответствует бозонному сектору стандартной электрослабой модели при W = 0. Мы адаптировали квазиклассический метод нахождения вероятностей переходов с изменением топологического числа [50–53] для калибровочных теорий. При этом решается граничная задача для комплексифицированных классических уравнений поля на контуре в комплексном времени. В конечный момент времени поля действительны, что отвечает суммированию по конечным состояниям. В начальный момент на физические возбуждения полей накладываются специальные граничные условия (–граничные условия) обеспечивающие проекцию на состояние с фиксированными числом частиц и энергией. Вместо граничных условий на нефизические возбуждения (имеющиеся в калибровке A0 = 0), накладывается условие фиксации калибровки и закон Гаусса. С помощью компьютерного кода, решающего эту граничную задачу, найдена экспонента подавления вероятностей топологических переходов при энергиях, меньших энергии сфалерона.

Однако при энергиях выше энергии сфалерона было обнаружено, что качественно меняется характер туннелирования — вместо туннелирования в соседний вакуум, система туннелирует на сфалерон, и распадается на элементарные возбуждения классическим образом. Метод, регуляризующий граничную задачу и позволяющий получить решения такого вида, был предложен в работе [61] в случае двумерной квантовой механики.

В работе [62] этот метод был адаптирован к калибровочной теории поля (см. главу 2 настоящей диссертации). Полученные результаты покрывают область энергий, до E 2Esph. Однако непосредственно сами результаты для квазиклассического инклюзивного сечения не позволяют получить сечения топологических переходов в двухчастичных столкновениях, так как необходимо произвести предельный переход (1). Для этого производится экстраполяция полученных данных в N = 0. Два разных метода экстраполяции дают ограничение снизу на показатель экспоненты подавления FHG (E/Esph ), и оценку этого показателя. Сравнение результатов экстраполяции с существовавшими ранее аналитическими предсказаниями теории возмущений на фоне инстантона показывают, что вплоть до энергии сфалерона оба метода дают близкие результаты. Однако при более высоких энергиях численные результаты обнаруживают значительно более сильное подавление. Экстраполяция в область высоких энергий показывает, что по крайней мере до энергии 250 ТэВ сохраняется экспоненциальное подавление сечений.

Однако и в топологически тривиальном секторе в моделях со слабой связью при относительно невысоких энергиях существуют процессы, плохо описываемые теорией возмущений. В этом случае возможны ситуации, когда в теории появляются конкурирующие малые (или большие) параметры. Примером является процесс с большим количеством частиц n в конечном состоянии, сравнимым с обратной константой связи 1.

В обычной теории возмущений даже около топологически тривиального вакуума уже наивная оценка амплитуды дает факториальную зависимость n! от количества частиц в конечном состоянии, что снимает подавление, связанное с константой связи. На древесном уровне можно точно найти выражение для амплитуды процесса рождения одной виртуальной частицей n реальных в теории с лагранжианом (масса положена равной единице) при специальной кинематике: все частицы обладают нулевыми пространственными импульсами [63], Данный результат указывает на полную неприменимость обычной теории возмущений при n > 1, поскольку входит в противоречие с унитарностью теории.

Таким образом, для вычисления данных сечений необходим некоторый непертурбативный метод. Интерес представляет режим где = (E n)/n — средняя кинетическая энергия конечных частиц в системе центра масс. Существующие пертурбативные вычисления [64, 65] свидетельствуют о том, что в этом режиме полное сечение имеет экспоненциальный вид, Это указывает на возможную применимость квазиклассического приближения. В работе [66] сформулирован метод получения экспоненты F (n, ) во всех петлях, сводящийся к решению классической граничной задачи в комплексном времени. При малых n оказывается достаточным решить чисто евклидовы уравнения с определенными граничными условиями. В обычной теории возмущений этот предел отвечает вкладу древесных диаграмм, что дает следующую зависимость от :

Отметим, что в пределах своей области применимости, т. е. при n 1, эта зависимость дает экспоненциальное подавление сечения, если, конечно, функция f () не обращается в бесконечность. Но при росте n функция Ftree (n, ) становится положительной, и подавление пропадает. Следовательно, в этом случае необходимо учитывать петлевые поправки в F (n, ), которые имеют порядок (n)2 и выше (см. например [67]).

В работах [66, 68], была развита квазиклассическая техника для нахождения единственной неизвестной функции f () в (6). Древесное сечение в ней связывается с асимптотикой на бесконечности сингулярного решения уравнений поля в евклидовом четырехмерном пространстве. Гиперповерхность сингулярностей зависит от и определяется в процессе вычислений.

В диссертации сингулярное решение уравнений находится численно для некоторого подкласса поверхностей сингулярности (или, строго говоря, для асимптотик решения на бесконечности, которые определяют поверхность сингулярности). С помощью вариационной процедуры Рэлея–Ритца получено ограничение снизу на Ftree. Полученное ограничение совпадает с аналитическим при низких энергиях. Однако при высоких энергиях оно усиливает все существующие аналитические ограничения на функцию F ().

Кроме этого, подтверждены аналитические предсказания несферичности (в четырехмерном смысле) седловой поверхности сингулярносей.

Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения и дополнения.

В главе 1 описывается общая формулировка квазиклассического метода нахождения инклюзивной вероятности процессов с изменением топологического числа и получены некоторые низкоэнергетические аналитические результаты. В разделе 1.1 приводится формулировка граничной задачи, и рассматриваются общие свойства вероятностей при различных значениях начальной энергии E и числа частиц N. В разделе 1.2 получено аналитическое решение данной задачи при низкой энергии и малом (но ненулевом) начальном числе частиц. Полученные результаты анализируются в разделе 1.3, в частности, проверяется гипотеза о предельном переходе (1) к двухчастичным столкновениям.

Глава 2 посвящена численному исследованию топологических переходов в калибровочной теории. В разделе 2.1 полная граничная задача редуцируется до O(3)–симметричной, что делает численное решение уравнений возможным с использованием современных вычислительных мощностей.

Раздел 2.2 посвящен формулировке решеточной версии граничной задачи:

уравнений поля (раздел 2.2.1) и граничных условий (разделы 2.2.2, 2.2.3).

Итеративный процесс поиска решений граничной задачи описан в разделе 2.3. Решения при энергии, меньшей сфалеронной, описаны в разделе 2.4.

Полученные результаты сравниваются с аналитическими низкоэнергетическими предсказаниями раздела 1.3 в разделе 2.4.1. В разделе 2.5 описывается регуляризация, требуемая для получения решений при высокой энергии (решения, которые туннелируют «на сфалерон»). Раздел 2.6 посвящен общему описанию численных результатов, и проверкам численных методов. В разделах 2.7 и 2.8 описывается экстраполяция в область нулевых N, отвечающую двухчастичным столкновениям, и получены ограничение и оценка показателя экспоненты подавления двухчастичных сечений, соответственно.

В главе 3 рассматриваются процессы многочастичного рождения в теории 4. Общий формализм получения древесных сечений с помощью сингулярных решений уравнений поля приводится в разделе 3.1. В разделе 3.2 проводится разложение по сферическим модам, необходимое для численного решения задачи. Процесс численного решения описан в разделе 3.3. Полученные результаты анализируются в разделе 3.4.

В Заключении сформулированы основные полученные в диссертации результаты.

Дополнение посвящено описанию алгоритма решения дискретизованных уравнений, описанных в главе 2, приспособленного для параллельного проведения вычислений.

В основу диссертации положены работы, выполненные в 1995–2003 годах в Отделе теоретической физики ИЯИ РАН и Центре вычислительных наук Бостонского университета. Основные результаты, полученные в диссертации, были доложены в 1996–2003 гг. на научных семинарах ИЯИ РАН и Бостонского университета, на XXIV Зимней школе ИТЭФ (Снегири, 1996), на 37-ой Международной школе по субъядерной физике (Эриче, Италия, 1999г.), двух Международных школах «Частицы и космология»

(Приэльбрусье, 2001 г. и 2003 г.), на Международном семинаре «КВАРКИЯрославль, 1996г.). Результаты опубликованы в работах [58, 62, 69– 72] Теория SU(2) с хиггсовским дублетом: аналитические результаты 1.1 Обзор задачи туннелирования В неабелевых калибровочных моделях имеется бесконечное число топологически различных вакуумов, нумерующихся целым топологическим числом. Процессы, изменяющие топологическое число вакуума, сопровождаются нарушением фермионных (барионного и лептонного) чисел [4], что чрезвычайно интересно и для физики частиц, и для космологии. Топологически различные вакуумы разделены потенциальным барьером, высота которого, в моделях с механизмом Хиггса, определяется энергией сфалерона. При низких энергиях переходы с нарушением топологического числа могут происходить только туннельным образом, а при достаточно высокой энергии и подходящем начальном состоянии — классическим образом.

Мы будем изучать топологические переходы на примере калибровочной теории с группой SU(2) и хиггсовским дублетом. Эта модель соответствует бозонному сектору стандартной электрослабой модели с нулевым углом смешивания W = 0. В ведущем порядке по константе связи можно пренебречь влиянием фермионов на поведение калибровочных и хиггсовских полей, см. [73]. Действие этой модели дается выражением где с Aµ = Aa a /2 и W = g 2 /4. Дополнительные константы в действии были исключены с помощью специального выбора системы единиц. Размерные параметры легко восстановить в окончательном результате воспользовавшись тем, что для действия (1.1) масса калибровочного базона равна а масса хиггсовского бозона — В вычислениях использовалось значение константы самодействия хиггсовского поля = 0.125, что соответствует равенству масс MH = MW. Зависимость результатов от массы хиггсовского бозона слаба (это было проверено численно), и, следовательно, такой выбор вполне оправдан. Отметим, что часто в формулах будет опускаться общий фактор 1/W, что не вызывает неоднозначностей.

Любая вакуумная конфигурация в этой модели получается из тривиального вакуума Aµ = 0, = v = с помощью некоторого калибровочного преобразования U (x). Мы будем работать в калибровке A0 = 0, в которой вакуумные конфигурации описываются не зависящей от времени калибровочной функцией U (x), отвечающей остаточной калибровочной инвариантности. При этом поля на пространственной бесконечности не могут изменяться в течении эволюции (иначе кинетическая энергия системы обращается в бесконечность). Поэтому необходимо рассматривать только класс функций U (x) с фиксированной асимптотикой на пространственной бесконечности. Часто используется соглашение U (x ) 1, при этом все вакуумные конфигурации описываются отображением пространства R3 с отождествленной бесконечностью (гомотопически эквивалентного S3 ) в калибровочную группу SU(2) S3. Степень этого отображения и является топологическим числом соответствующего вакуума. Такой выбор удобен при анализе возбуждений около топологически тривиального вакуума. В других случаях могут оказаться удобны более сложные выбора поведения калибровочной функции на бесконечности, как то, например, U (x) exp{ix/|x|}, который отображает сферу S2 пространственных бесконечностей на экваториальную сферу S2 калибровочной группы SU(2).

Два простейших соседних калибровочных вакуума модели при таком выборе отображают пространство R3 либо на верхнююи нижнюю полусферы калибровочной группы SU(2), соответственно. При таком выборе калибровки сфалеронная конфигурация имеет наиболее простой вид. Именно такое калибровочное соглашение будет использоваться нами везде, кроме разложения начального состояния по физическим модам.

Мы будем исследовать вероятность топологических переходов в описанной модели с помощью метода, предложенного в работах [50–53]. Основная его идея заключается в том, чтобы вместо процесса с эксклюзивным двухчастичным начальным состоянием, рассматривать процессы с изменением топологии и инклюзивным начальным состоянием с энергией E и квазиклассически большим начальным числом частиц N. Вероятность перехода (E, N ) можно использовать в качестве ограничения на вероятность эксклюзивных двухчастичных процессов [53], а экспонента двухчастичной Рис. 1.1. Контур, используемый для граничной задачи.

вероятности перехода получается в пределе N W N 0.

Инклюзивная вероятность туннелирования из состояния с фиксированной энергией E и числом частиц N вблизи некоторого вакуума в любое состояние вблизи соседнего вакуума определяется, как где S — S-матрица, PE,N проекторы на подпространства с определенной энергией E и определенным числом частиц N, а состояния |i и |f обозначают возбуждения над топологически различными вакуумами.

Сечение (1.5) можно записать в виде функционального интеграла, в котором квазиклассическое приближение соответствует интегрированию методом перевала [50] Здесь — собирательное обозначение для всех физических полей в теории.

Граничные члены Bi и Bf даются выражениями где i,f (k) — пространственные Фурье образы полей в начальный (Ti ) и конечный (Tf ) моменты времени. В конце вычислений подразумевается взятие предела Ti,f. Комплексные переменные интегрирования ak и bk отвечают представлению когерентных состояний [74, 75], использованному для описания начального и конечного состояний; они являются классическими аналогами операторов рождения и уничтожения. Интегрирование по этим переменным обеспечивает суммирование по начальным и конечным состояниям в (1.5). Функциональные интегралы по (x) и (x) соответствуют амплитуде перехода и комплексно сопряженной амплитуде, соответственно. Заметим, что интегрирование присходит и по граничным значениям полей i,f и i,f. Интегралы по T и служат для проецирования на подпространства определенного E и N.

Интеграл (1.6) можно брать в седловом приближении, так как показатель экспоненты пропорционален 1/W, который неявно присутствует в выражении (а N, E 1/W ).

Опишем седловые уравнения для интеграла (1.6). Мы получим, что эти уравнения сводятся к определенной граничной задаче для полей и.

Переменные ak, ak, bk и bk входят в показатель экспоненты квадратичным образом, и интеграл по ним можно взять явно:

где Важным свойством представления (1.8) является то, что в показатель экспоненты в подынтегральном выражении входят только действие и граничные члены. Таким образом дискретизация показателя экспоненты относительно проста.

Обратимся собственно к седловым уравнениям. Варьируя экспоненту по полям (x) и (x), находим т.е. обычные уравнения поля. Граничные условия для этих уравнений получаются при вариации по граничным значениям полей. При конечном времени –функция в выражении (1.8) дает связь f (x) = f (x) (при Tf ). Так как S/(Tf, x) = (Tf, x), получаем Таким образом, в конечной асимптотической области седловые значения полей и совпадают.

Вариация по начальным значениям i и i приводит к уравнениям, которые можно записать в следующем виде, Эти уравнения упрощаются при записи с помощью частотных компонент поля. В начальной асимптотической области (t ), где и удовлетворяют свободным уравнениям поля, можно записать Тогда граничные условия на части A контура принимают вид Наконец, два последних седловых уравнения отвечают вариации экспоненты в (1.8) по отношению к и T. Эти уравнения определяют седловые значения и T в зависимости от E и N. В терминах частотных компонент fk и gk они имеют вид (при условии выполнения граничных условий (1.12)) В этих уравнениях легко узнать выражения для энергии и числа частиц для свободного классического поля, где nk fk gk является числом заполнения для моды с пространственным импульсом k.

Поле (x) в описанной граничной задаче появилось из выражения для комплексно сопряженной амплитуды. Это позволяет предположить, что седловое значение для него является комплексным сопряжением седлового значения (x). Действительно, подстановка совместима с граничной задачей (1.9)–(1.14). В этом случае седловые значения T и чисто мнимые при условии действительности начальной энергии и числа частиц. При этом граничные условия (1.10) обеспечивают асимптотическую действительность поля на части D контура в то время, как уравнение (1.12) связывает положительно и отрицательно частотные компоненты поля в начальной асимптотической области со следующим определением До этого момента, начальное время Ti считалось действительным. Удобнее, однако, переформулировать граничную задачу непосредственно в терминах полей на контуре ABCD. При этом начальное время приобретает мнимую составляющую Im Ti = T /2 (см. рис. 1.1). В начальной асимптотической Рис. 1.2. Контур в комплексном времени, используемый для формулировки граничной задачи (1.20). Перечеркнутые кружки обозначают сингулярности поля. В случае, когда поле сферически симметрично в пространстве, то наиболее близкие к мнимой оси времени сингулярности имеют r = 0, а для других r сингулярности находятся при больших | Re t|.

области легко совершить аналитическое продолжение в комплексное время явным образом с помощью уравнений (1.11). В уравнениях (1.12)–(1.14) это продолжение приводит к замене k на Наиболее простые граничные условия получаются в случае равенства высоты контура в мнимом времени T и параметра T — тогда не зависит В большинстве случаев именно таким вариантом граничной задачи мы и будем пользоваться.

Окончательно, получается следующий метод вычисления экспоненты инклюзивной вероятности топологических переходов Здесь SABCD () — действие на контуре ABCD, параметры T и являются Лежандрово сопряженными к E и N ; параметр T совпадает с высотой контура в мнимом времени, рис. 1.2. Обычно мы будем опускать тильду над перемасштабированными величинами, а также общий фактор 1/W, восстанавливая его только в окончательном результате. Граничный член, роль которого сводится к компенсации зависимости мнимой части действия от начального времени, имеет вид и записывается через фурье компоненты поля на участке A контура:

Само поле должно удовлетворять классическим уравнениям движения В начальный момент времени частотные компоненты должны удовлетворять следующему граничному условию (« граничное условие») Для ненулевого это уравнение подразумевает, что поле продолжено в комплексное пространство. Если поле само по себе комплексное, как, например, в модели (1.1), в комплексное пространство независимо продолжаются его действительная и мнимая части.

На конечном участке контура (CD), поля удовлетворяют условию действительности (для комплексных полей, таких как в (1.1), это означает действительность ( + † )/2 и ( † )/2i).

Уравнения (1.20a)–(1.20c) определяют граничную задачу для нахождения вероятности топологических переходов.

Осталось рассмотреть уравнения, получающиеся при варьировании по вспомогательным параметрам T и :

Они косвенно определяют значения T и для данных энергии и числа частиц. С другой стороны, можно фиксировать T и, решить граничную задачу (1.20), и затем найти соответствующие значения E и N с помощью уравнений (1.21) и (1.22). Это особенно удобно для численных расчетов.

Решение граничной задачи (1.20) выглядит следующим образом. На участке CD контура, решение асимптотически действительно, оно описывает эволюцию системы после туннелирования. С другой стороны, из-за граничного условия (1.20b) поля в начальной асимптотической области существенно комплексны, если = 0. Таким образом, начальное состояние, максимизирующее вероятность (1.6), не описывается действительным классическим полем, т.е. эта стадия эволюции существенно квантовая даже при квазиклассически большом N 1/W.

Обсудим некоторые тонкости описанной граничной задачи. Во первых, условие асимптотической действительности (1.20c) не всегда совпадает с условием действительности при конечном времени. В случае, когда на части CD контура решение стремится к вакуумной конфигурации, то асимптотическое условие (1.20c) обеспечивает действительность решения при любом конечном положительном времени. Действительно, в этом случае при достаточно больших временах система находится в линейном режиме, т.е. решение для каждой частотной составляющей имеет вид An cos(n t) с постоянной амплитудой An. При этом условие (1.20c) означает, что все амплитуды An действительны. Из уравнений движения следует, что решение должно быть действительным и на всем участке CD контура. Такая ситуация отвечает обычному туннелированию в соседний вакуум. Однако, если решение на конечном участке эволюции остается в области взаимодействия, т.е. около от сфалерона, ситуация полностью меняется. Так как одно из возмущений около сфалерона нестабильное, то существуют решения, которые приближаются к сфалерону экспоненциально по комплексифицированному нестабильному направлению, т.е. для отрицательной моды решение имеет вид Bet с комплексной амплитудой B. При этом решение комплексно в любой конечный момент времени, но стремится к действительному при t +. Такие решения отвечают туннелированию на сфалерон. После туннелирования система скатывается в требуемый вакуум классическим образом (вероятность того, что этот вакуум правильный, порядка единицы, что не влияет на показатель экспоненты F ). В разделе 2.5 мы убедимся, что при больших энергиях, E Esph, такая ситуация действительно имеет место.

Во вторых, граничные условия (1.12) на начальном участке контура (наложенные на действительной оси времени) означают, что и = не совпадают при больших отрицательных временах, в то время, как при больших положительных временах они совпадают из-за условия (1.10). Для решений, заканчивающихся вблизи вакуума (и, соответственно, действительных при любом конечном времени t > 0), это означает, что должна существовать точка ветвления в комплексной плоскости времени: контур на рис. 1.2 обходит вокруг нее и не может быть непрерывно продеформирован к действительной оси времени. Однако, этот аргумент не действует для решений, которые заканчиваются вблизи сфалерона при t +. В этом случае точка ветвления между частью AB контура и действительной осью времени может отсутствовать. Это действительно так при достаточно высоких энергиях (см. [61]).

Решения описанной граничной задачи можно найти численно для разных значений E и N. Плоскость E N делится на несколько различных областей (см. рис. 1.3). Энергии E < N · min(MW, MH ) тривиально запрещены кинематически. Для относительно низких энергий (область A), переход между различными топологическими секторами возможен только туннельным образом. При энергии сфалерона, Esph, ситуация меняется. Сфалерон с добавкой небольшого возмущения вдоль нестабильного направления является решением, которое находится в разных топологических секторах при отрицательных и при положительных временах. Так как отрицательная мода у сфалерона по определению единственна, то существует ровно одно решение такого типа, и, следовательно, такое такое решение имеN ет определенное число частиц в начальном состоянии Nsph. При бльших энергиях можно добавлять также возмущения положительных мод вокруг сфалерона и получать решения с различными числами частиц в начальном состоянии, в особенности, с меньшими. Такие решения находятся в области классически разрешенных переходов (область B на рис. 1.3), где процессы с изменением топологического числа не подавлены. На границе между областями A и B находятся решения, которые бесконечно долго находятся около сфалерона (заметим, что так как связанных состояний на фоне поля сфалерона нет [76], любые положительные возмущения над сфалероном улетают за конечное время, то есть решение действительно обязательно сходится к сфалерону).

В классически запрещенной области A есть специальное семейство решений, соответствующих = 0. Они отмечены на рис. 1.3 линией EPI (N ).

Для них граничное условие (1.20b) сводится к условию действительности при Im t = T /2. Решение получившейся граничной задачи называется «периодическим инстантоном», введенном в работе [77]. Периодический инстантон — это действительное периодическое решение Евклидовых уравнений поля с периодом T, имеющее точки остановки при t = 0 и t = iT / (modT ). Аналитическое продолжение периодического инстантона в минковском направлении из точек остановки дает решение, действительное на линиях Im t = 0 и Im t = T /2, и, соответственно, удовлетворяющее граничной задаче (1.20) c = 0. Как и любое другое решение, линеаризующееся при больших отрицательных временах на участке A контура рис. 1.2, периодический инстантон характеризуется определенным числом частиц в начальном состоянии (1.22). Для данной энергии E, меньшей сфалеронной, это число таково, что показатель экспоненты подавления F (E, N ) принимает наименьшее значение, т.е. переходы происходят с максимальной скоростью.

Классически запрещенная область A разделяется на две подобласти.

Для низких энергий (область A.I) система находится около вакуума на конечной стадии эволюции, и, следовательно, граничное условие (1.20c) приводит к точной действительности полей на всем участке CD контура.

При энергиях, превышающих энергию сфалерона (или, точнее, выше некоторой энергии E1 (N )), система заканчивает эволюцию вблизи сфалерона (с разлетающимися волновыми возбуждениям на фоне сфалерона, уносящими излишек энергии). При этом уравнений (1.20c) выполняется только асимптотически. Таким образом, система туннелирует «на верхушку» барьера, создавая классически нестабильную сфалеронную конфигурацию, которая затем распадается с вероятностью порядка единицы в любой из соседних вакуумов. Такая ситуация реализуется в области A.II. Такое качественно новое поведение туннелирования при высоких энергиях связано с появление в бифуркации в решениях, и не наблюдается в теории возмущений в любом порядке. Однако, непертурбативные методы, позволяют наблюдать этот эффект. Интересно отметить, что частично сходный результат был получен в работе [78] для распада ложного вакуума с помощью другого квазиклассического подхода.

1.2 –инстантоны при низких энергиях В работе [52] было показано, что при низких энергиях можно приблизить решение граничной задачи (1.20) («–инстантон») цепочкой инстантонов и антиинстантонов, соответственным образом модифицированных и помещенных в определенных местах на евклидовой оси вермени. Хотя это приближение оправдано только при E Esph, приближенное решение такого вида дает общее представление о форме –инстантонов во всей области E < Esph. Инстантонные и антиинстантонные решения в сингулярной калибровке имеют вид [10, 79]:

где x0 = it — евклидово время. Мы сконструируем –инстантонное решение, поместив инстантоны и антиинстантоны вдоль евклидовой оси времени, как показано на рис. 1.4a, и домножив их на факторы e|n| :

Рис. 1.4. a) –инстантон при низкой энергии, b) инстантон-антиинстантонная пара.

Таким образом инстантоны (подавленные факторами e|n| ) находятся в точках Im t = = T1 + nT, а антиинстантоны — в точках Im t = = T1 + nT, n = 0, ±1, ±2.... В дальнейшем мы убедимся, что размер инстантона мал по сравнению с расстоянием между инстантонами, T, T1, и T, T1 1/(gv). Это оправдывает приближение решения суммой полей инстантонов и антиинстантонов.

Покажем, что решение (1.23) удовлетворяет уравнениям поля (1.20a) на контуре ABCD и граничным условиям (1.20b) и (1.20c) в асимптотических областях A и D, соответственно. Для этого удобно произвести фурье-преобразование инстантонного поля, где Вдоль контура ABCD рисунка 1.2 приближенное решение (1.23) имеет вид суперпозиции «главного инстантона», находящегося в точке Im t = = T1, с малыми вкладами от линеаризовавшихся асимптотик остальных инстантонов и антиинстантонов. Так как вне центрального кора инстантона поля, составляющие инстантон, имеют малый импульс, k 1/T (см. (1.24c)), то их взаимодействие с кором другого инстантона подавлено степенями 2 /T 2. Следовательно, с точностью до поправок порядка O(2 /T 2 ), линейная комбинация (1.23) удовлетворяет уравнениям поля (1.20a).

В асимптотических областях A и D возможно просуммировать вклады от всех инстантонов и антиинстантонов. После перехода в калибровку Aa = 0, получаем Отсюда можно заключить, что граничные условия (1.20b) и (1.20c) действительно выполняются, и описанная конфигурация дает решение граничной задачи (1.20). Для этого требуется произвести сшивку асимптотики (1.25), с асимптотически свободным массивным решением на бесконечном времени [79]. Сшивка производится в области 1/MW, где с хорошей точностью можно использовать как асимптотику решения нелинейных уравнений калибровочного поля в безмассовом случае (1.25), так и решение свободных уравнений в массивном случае, т.е. c k = Разлагая в этой области решение свободных уравнений по mW и сравнивая с (1.25), получаются выражения для частотных компонент fk и gk.

1.3 Вероятность процессов инстантонного типа при низких энергиях Перед тем, как вычислять экспоненту подавления (1.17) на приближенном решении (1.23), полезно рассмотреть вклад от первой инстантон-антиинстантонной пары в мнимую часть действия на контуре ABCD (см.

рис. 1.4b). Так как на этом контуре антиинстантон является комплексным сопряжением инстантона, A(A) (x, t) = [A(I ) (x, t)], то инстантон-антиинстантонная конфигурация C–симметрична, и где SE A) обозначает Евклидово действие инстантон-антиинстантонной пары. Отметим, что сингулярности поля (анти)инстантона, отмеченные на рис. 1.4b пунктирными линиями, не позволяют сдвинуть контур ABCD в любую из областей ±, в которых поле (анти)инстантона обращается в ноль. Величина SE A) естественным образом представляется в виде суммы вкладов инстантона и антиинстантона, (второй член является вкладом кинетического члена хиггсовского поля, а вклад его потенциального члена пренебрежимо мал) и действия взаимодействия инстантона и антиинстантона, вычисленного в работах [80–82], Здесь l = 2T1 — расстояние между инстантоном и антиинстантоном, а поправки, содержащие степени 2 /l 2 в (1.27) и (1.28) опущены.

Окончательно, объединив формулы (1.27) и (1.28), получаем Действие –инстантона состоит из суммы «главного» инстантонного действия (1.27) и членов взаимодействия, которые, с точностью до поправок порядка O(6 /T 6 ), квадратичны по (анти)инстантонным полям. Инстантонинстантонное взаимодействие имеет порядок O(6 /l 6 ) (см. [80–82]) и, таким образом, не дает вклада в действие в пределах нашей точности. Следовательно, действие взаимодействия в –инстантоне состоит из суммы взаимодействий различных инстантон–антиинстантонных пар. Очевидно, что если инстантон и антиинстантон оба находятся с одной стороны (сверху или снизу) от главного инстантона, то контур ABCD может быть сдвинут в область ± без пересечения сингулярностей, и, следовательно, вклад в действие от такой пары равен нулю. Описанный ранее аргумент с C–сопряжением показывает, что даже если инстантон и антиинстантон находятся по разные стороны от главного инстантона, то их вклад в действие все равно равен нулю. Таким образом, ненулевой вклад дает только взаимодействие главного инстантона с различными антиинстантонами. Такие вклады уже были вычислены выше. Суммируя вклады, получаем где в последнем равенстве было использовано интегральное представление для суммы. Наконец, выражение (1.17) дает ответ для показателя экспоненты подавления, Решение (1.23), кроме лагранжевых множителей T и, которые определяются уравнениями (1.13) и (1.14), содержит еще два свободных параметра:

размер инстантона и позицию «главного» инстантона T1. Эти параметры должны выбираться так, чтобы обеспечивать экстремальность показателя экспоненты подавления F. Экстремизация (1.31) по отношению к T1 определяет отношение t1 T1 /T как функцию. Это отношение удовлетворяет уравнению При = 0 (случай периодического инстантона), получается t1 = 1/4, т.е.

антиинстантоны находятся точно посередине между инстантонами. В предельном случае + (это соответствует пределу N 0), t1 обращается в 1/2, t1 1/2, и инстантоны приближаются к соседним антиинстантонам.

При изменении от 0 до +, t1 гладко интерполирует между своими крайними значениями, см. рис. 1.5.

Удобно выразить седловые значения параметров, T и через два интеграла:

Экстремизация выражения (1.31) по дает а из уравнений (1.13) и (1.14) следует, что Уравнение (1.36) явно определяет в виде функции от N /E 4/3. В терминах интегралов IE () и IN (), показатель экспоненты подавления принимает вид (i) Отметим, что поправки к экспоненте подавления, найденные в приближении цепочкой инстантонов, имеют порядок O(6 /T 6 ), где Так как функция IE () ограничена, то (/T )6 O(E 2 g 2 ). Следовательно, Отметим также, что поправки, связанные с полем Хиггса, тоже имеют порядок (/T )6.

(ii) Хотя уравнение (1.36) невозможно решить аналитически для всех [0; +), можно проанализировать асимптотику больших (или, что то же самое, малых N ). При этом получается, что при малых N, где Заметим, что хотя предел N 0 сингулярен, член N log N не зависит от энергии (по крайней мере, в первом порядке теории возмущения). Следовательно, «период» T (E, N ) является регулярной функцией при N = 0:

Рис. 1.6. Перемасштабированный период T, как функция x, и его линейная асимптотика при малых x.

Это оправдывает полиномальную экстраполяцию T в область малых N, которая будет использована в разделе 2.8 для получения оценки показателя подавления. Перемасштабированный период T, как функция x = N /f при фиксированной энергии, и его линейная асимптотика в пределе малых N изображены на рис. 1.6.

(iii) В предельных случаях N = 0 (двухчастичные столкновения) и = 0 (периодический инстантон) ведущие члены порядка (g 2 E)4/3 в показателе экспоненты подавления были найдены в работах [36] и [77], соответственно. Из уравнений (1.37), (1.39) получаем Это совпадает с результатами [36, 77]. Сравнение с результатом для N = подтверждает правильность предположения (1) о восстановлении показателя экспоненты подавления для двухчастичных начальных состояний с помощью предельного перехода N 0.

2.1 Сведение к сферически симметричной задаче Мы ограничим наше рассмотрение только сферически симметричными конфигурациями SU(2) модели [83]. Строго говоря, получаемые при этом результаты соотвествуют s-волновому рассеянию. Существуют аргументы, основывающиеся на пространственной симметрии 2 2 рассеяния вперед и некоторых динамических соображениях, что основной вклад дают именно O(3)-симметричные решения [84]. С другой стороны, ограничение сферически симметричными конфигурациями делает задачу доступной для численного анализа на современных компьютерах.

В сферически симметричной подстановке исходные поля записываются через шесть действительных полей a0, a1,,, µ и, зависящих от двух координат r и t, следующим образом A0 (x, t) = a0 (r, t) · n (x, t) = [µ(r, t) + i(r, t) · n], где n — единичный радиальный трех-вектор, а — произвольный единичный двухкомпонентный столбец. Такая подстановка инвариантна относительно пространственных вращений, дополненных соответствующим глобальным калибровочным преобразованием и вращением из глобальной конспиративной SU(2) симметрии [85]. В терминах новых полевых переменных действие (1.1) принимает вид где индексы µ, пробегают значения 0 и 1, а «тензор напряженности», «ковариантная производная» и поля, определены следующим образом Отметим, что черта над, и Dµ обозначает лишь замену i i в определениях (2.3), что совпадает с комплексным сопряжением только если все шесть полей aµ,,, µ и действительны. При формулировке граничной задачи (1.20) эти поля станут комплекснозначными, и черта не будет соответствовать нормальному комплексному сопряжению. Другими словами, и должны будут рассматриваться как два независимых комплексных поля.

Уравнения движения, получаемые из действия (2.2), имеют вид Первое из них (2.4a) первого порядка по времени и является законом Гаусса.

Сферическая подстановка (2.1) обладает остаточной U(1) калибровочной инвариантностью где (r, t) — калибровочная функция. Комплексные «скалярные» поля и имеют U(1) заряды 1 и 1/2, соответственно. При численном решении уравнений поля необходимо зафиксировать эту остаточную калибровочную инвариантность. Мы будем работать в калибровке a0 = 0. В этой калибровке остается пять свободных полей и пять уравнений движения второго порядка по времени (2.4b)–(2.4f). Выполнение закона Гаусса достаточно потребовать в некоторый один момент времени, при этом за счет пяти оставшихся уравнений движения он будет выполняться всегда. Это, в частности, означает, что одно из уравнений вырождено, а одно из полей не является физическим, т.е. оно может быть выражено через остальные поля и их производные с помощью закона Гаусса. Однако, с вычислительной точки зрения, удобнее иметь дело с пятью однотипными уравнениями второго порядка по времени, а выполнение закона Гаусса обеспечивать с помощью граничных условий.

Кроме этого, в калибровке a0 = 0 остается калибровочная свобода относительно не зависящих от времени калибровочных преобразований, которая тоже должна быть зафиксирована граничными условиями.

Тривиальный пространственно однородный вакуум модели имеет вид Все другие вакуумы могут быть получены из тривиального с помощью калибровочных преобразований вида Непрерывность полей требует, чтобы (r) обращалось в ноль в начале координат. Вакуумы с разным топологическим числам n соответствуют 2n при r. При этом поля исходной четырехмерной модели не зависят от направления при стремлении к пространственной бесконечности, что является обычным выбором в рассмотрении вакуумной структуры калибровочных моделей. При этом топологическое описание структуры вакуума особенно просто — так как сфера S2 пространственных бесконечностей отображается в одну точку в пространстве полей, можно компактифицировать пространство в S3 и рассматривать отображения S3 SU(2), соответствующие чисто калибровочным конфигурациям. Такие отображения, очевидно, характеризуются целым топологическим числом.

Возможен и другой выбор калибровочной функции (r) на пространственной бесконечности (постольку в любом случае поля (2.7) представляют чистую калибровку и не зависят от времени). В нашем случае оказывается удобным выбрать (2n 1) при r. В исходной четырехмерной теории такой выбор, который мы будем называть «калибровкой периодического инстантона», соответствует отображению сферы S2 пространственных бесконечностей в экваториальную сферу S2 калибровочной группы SU(2). Такое поведение функции эквивалентно тому, что при r = 0 и r = накладываются следующие граничные условия:

Условия на поле при r 0 обеспечивает гладкое поведение поля исходной четырехмерной модели в начале координат.

В такой калибровке отсутствует пространственно-однородный вакуум, зато переходы между вакуумами с n = 0 и n = 1 описываются чрезвычайно симметричным образом. Поведение полей и при таком переходе проиллюстрировано на рис. 2.1. На языке исходной четырехмерной модели такой процесс соответствует переходу, при котором калибровочная функция, описывающая вакуумную конфигурацию, принимает значения на нижней полусфере SU(2) до перехода, и на верхней полусфере после перехода.

Начальные –граничные условия в калибровочной теории выглядят доIm Im Im Рис. 2.1. Топологический переход в SU(2) модели с механизмом Хиггса:

поведение полей и. Жирные стрелки показывают направление изменения поля при увеличении радиальной координаты от r = 0 до r =.

Конфигурации полей: (a) до перехода (b) в середине процесса, (c) после перехода.

вольно сложным образом. Причина этого кроется в том, что среди полей a1,,,, одно не является физическим, тогда как –граничные условия (1.20b) должны накладываться только на физические поля. Аналитические выражения физических частотных мод fk, gk через поля,, a довольно громоздки (см. [60, 86]) и здесь не приводятся. Проще, и, более того, точнее в дискретизованном случае, произвести разложение по модам численно в решеточной версии гамильтониана модели. Это разложение будет подробнее рассмотрено при описании дискретизации уравнений.

Чтобы завершить формулировку граничной задачи необходимо добавить закон Гаусса и уравнение, фиксирующее не зависящую от времени остаточную калибровочную инвариантность. Заметим, что оба этих уравнения не являются полными комплекснозначными уравнениями (какими являются –граничные условия), иначе система уравнений будет избыточной. Происходит это потому, что условия действительности на конечном участке контура (1.20c) запрещают калибровочные преобразования с комплексной калибровочной функцией (r), а также обеспечивают обращение в ноль мнимой части закона Гаусса. Таким образом, следует использовать только действительную часть закона Гаусса (2.4a) и уравнение, фиксирующее только действительные калибровочные преобразования. Вместе с четырью граничными условиями это как раз составляет необходимое количество граничных условий — пять (комплексных) уравнений — для системы с пятью комплекснозначными полями a1,,, µ,. Явный вид уравнения, фиксирующего калибровку, тоже будет приведен в 2.2, так как и он удобнее всего формулируется в решеточных терминах.

Еще одной сложностью граничной задачи является ее инвариантность относительно сдвигов вдоль действительного времени. Эта инвариантность должна быть ликвидирована для успешного численного решения уравнений, причем контролируемым образом — иначе невозможно избежать пересечения контура в комплексном времени и особыми точками решения.

Метод фиксации этой нулевой моды тоже будет описан в разделе 2.2.

2.2 Разностная форма граничной задачи 2.2.1 Дискретизация действия систему уравнений в дискретизованном случае, требуется сохранить калибровочную инвариантность при формулировке решеточной версии уравнений движения (2.4b)–(2.4f).

Удобно сначала записать дискретизованную версию действия (2.2). Для этого введем пространственную решетку с узлами ri, i = 0,..., N, причем r0 = 0, rN = L. Временная решетка состоит из узлов tj, j = 1,..., Nt + 1.

Так как мы будем работать в калибровке a0 = 0, то лоренцев индекс у пространственной компоненты калибровочного поля записываться не будет, a1 (r, t) a(r, t). Полевые переменные ij, ij и ij, ij соответствуют значениям полей в узлах решетки, а aij определены на пространственных ребрах решетки. Кроме этого, множитель ri включается в определение aij. Граничные условия, соответствующие калибровке типа периодического инстантона (2.8), принимают вид для всех j. В условии на 0j, пространственная производная в уравнении (2.8) была, кроме того, заменена на ковариантную производную, что непринципиально в континуальном пределе, но позволяет сохранить точную решеточную калибровочную инвариантность в дискретном случае. Таким образом, на решетке имеются следующие комплекснозначные полевые переменные Дискретизованное действие имеет вид с весами где tj+1/2 = tj+1 tj, tj = (tj+1/2 + tj1/2 )/2, выражения для ri имеют аналогичный вид; а hj = 1 для j = 0, Nt и 1/2 для j = 1, Nt +1. Решеточные уравнения поля получаются с помощью варьирования по решеточным полевым переменным действия (2.10), в котором поля на границе 0j, 0j, 0j, 0j и N j, N j, N j, N j предварительно исключены с помощью граничных условий (2.9).

Заметим, что действие (2.10) является инварантным относительно не зависящих от времени решеточных калибровочных преобразований Для возможности однозначного численного решения уравнений эту калибровочную свободу необходимо будет зафиксировать в граничных условиях.

2.2.2 Граничный член: разложение по собственным модам Чтобы записать граничное условие (1.20b) необходимо произвести разложение по нормальным модам. Вообще говоря, на решетке собственные моды более не являются сферическими волнами, как в непрерывном случае. Чтобы получить аналог сферических волн на решетке, рассмотрим квадратичную часть действия (2.10) в пределе непрерывного времени (вообще говоря, при этом мы рассматриваем просто квантово-механическую систему с большим числом степеней свободы) и приведем ее к каноническому виду. Разложение произведем около тривиального вакуума (2.6) (калибровочное преобразование, переводящее конфигурацию в калибровке типа периодического инстантона (2.8) в окрестность этого вакуума, имеет очевидный вид, и будет рассмотрено позднее). Удобно также перейти к «действительным» полям (см. (2.3)), В этих обозначениях квадратичная часть действия (2.10) имеет вид Заметим, что переменные 0, 0, µ0 и 0 не имеют кинетического члена.

Первые три из них определяются с помощью граничного условия при r = 0, Четвертая, 0, может быть исключена с помощью соответствующего уравнения движения:

После того, как переменные с i = 0 исключены, квадратичная часть действия принимает вид где действительные коэффициенты dI и SI J легко получить из выражения (2.13), индексы I, J нумеруют как пространственную координату, так и тип поля, а I обозначает набор полей { i, i, µi, i, ai }. С помощью замены переменных кинетический член действия приводится к каноническому виду, где Симметричная матрица SI J может быть диагонализована, где OKJ — ортогональная матрица. После замены переменных yJ zJ вида действие принимает диагональный канонический вид Таким образом, вектора отвечают в решеточной формулировке теории нормальным модам, и именно их следует использовать вместо обычных сферических волн при формулировке -граничных условий. Соответствующие собственные частоты — это Матрица OKJ и частоты K могут быть найдены численно. Так как они зависят только от параметров пространственной решетки (от размера и шага, в случае однородной решетки) и константы связи, и не зависят от фоновой (вакуумной) конфигурации полей, то численную процедуру диагонализации действия можно производить только один раз для каждого типа решетки.

Только первые 4N 3 собственных векторов (K)I соответствуют физическим модам и имеют отличные от нуля собственные значения K. Оставшиеся N 1 собственных векторов имеют нулевые собственные значения = 0, и соответствуют калибровочным (нефизическим) степеням свободы.

Отметим еще раз, что решеточное калибровочное преобразование (2.11) имеет ровно N 1 параметров.

2.2.3 Граничные условия.

граничные условия. Решеточную версию граничных условий проще всего получить варьируя показатель экспоненты для полной вероятности туннелирования (1.8) по граничным значениям полей. Он может быть записан в виде где многоточие обозначает слагаемые, не дающие вклада в граничные условия, а = e. Следует проварьировать дискретизованную версию (2.14) по zI,1 (значениям z в первом временном слое) и положить затем z = z.

Вариационное уравнение имеет вид что приводит к где производные действия по граничным значениям поля равны классическим импульсам соответствующих нормальных мод:

Здесь индекс I = 1,..., 4N 3 нумерует физические степени свободы. При этом дискретная версия граничного члена (1.18) в показателе подавления принимает вид Можно вернуться к исходным полевым переменным с помощью соотношения Наконец, для преобразования полей из калибровки периодического инстантона (2.8) к виду J (2.12) используется калибровочное преобразование где в вычислениях использовалась константа c = 0.5. (Другие калибровочные преобразования тоже допустимы1, при условии (0) =, (L) = 0).

Это преобразование имеет вид Удобно также иметь (L) = 0, так как при этом калибровочное поле на границе обращается в ноль вместе с пространственными производными хиггсовских полей, что позволяет легко продолжить полевую конфигурацию на решетку большего пространственного размера.

где J обозначает поля модели j, j, µj, j, aj в калибровке периодического инстантона. Матрица gKJ и вектор vac легко могут быть построены из выJ ражения для калибровочного преобразования (2.11) и определения (2.12).

зуют 4N 3 (комплексных) уравнений, а для полной формулировки граничной задачи требуется 5N 4 граничных условий при начальном времени.

Оставшиеся N 1 условий соответствуют N 1 калибровочным (нефизическим) степеням свободы в модели в калибровке a0 = 0. Как было описано в разделе 2.1, вместо граничных условий на эти моды следует использовать N 1 (действительных) уравнений, образующих действительную часть закона Гаусса (2.4a), Re w1,i1 sin(ai1,1 ai1,0 ) w1,i sin(ai,1 ai,0 ) где i = 1,..., N 1. Кроме этого, необходимо зафиксировать оставшуюся калибровочную свободу относительно действительных калибровочных преобразований. Это делается с помощью требования для всех L = 4N 2,..., 5N 4. Соответствующие этим модам частоты равны нулю, L = 0, и отвечают нефизическим степеням свободы, изменяющимся при калибровочных преобразованиях. Таким образом, уравнение (2.19) полностью фиксирует калибровочную свободу с действительными калибровочным функциями. Калибровочные преобразования с мнимыми функциями невозможны, так как они противоречат условиям действительности полей, налагаемым на конечном участке контура (заметим, что сами уравнения поля инвариантны относительно комплексных калибровочных преобразований). Кроме того, действительность полей в конечном состоянии обеспечивает действительность закона Гаусса, и явно требовать равенства нулю его мнимой части не требуется.

Граничные условия на участке D.

участке D контура (1.20c) несложно записать в дискретизованном виде. В предположении, что последние две точки временной решетки, Nt и Nt + 1, находятся на действительной оси времени, они принимают вид Заметим, что требование нахождения двух последних точек на действительной оси не вызывает никаких неудобств, так как любую решетку можно дополнить соответствующим образом.

Для энергий меньших, чем энергия бифуркации E1 (N ), решение тождественно действительно на действительной оси времени, и граничное условие (2.20) можно накладывать в любой удобный момент времени. В реальных вычислениях контур выбирался так, что вершина решетки Nt совпадала с точкой C контура (таким образом, на действительной оси оказывается только две точки решетки, Nt и Nt + 1).

Для энергий больших E1 (N ) решение граничной задачи действительно лишь асимптотически, и накладывать условие (2.20), вообще говоря, нельзя. В этом случае следует применять регуляризованную версию граничной задачи, описанную в разделе 2.5. Граничное условие (2.20) при этом не меняется, но часть CD контура делается настолько длиной, насколько это возможно2 (см. раздел 2.5).

Фиксация инвариантности относительно временных сдвигов. Дополнительной сложностью является наличие у граничной задачи (1.20) инвариантности относительно трансляций вдоль действительного времени (в непрерывном пределе как уравнения, так и граничные условия, инвариантны относительно такого сдвига). Следовательно, чтобы полностью определить решение граничной задачи необходимо зафиксировать позицию решения во времени. Заметим, что инвариантность относительно сдвигов по времени сохраняется только до тех пор, пока контур не пересекает сингулярные точки решения в комплексном времени. Чтобы это предотвратить, необходимо контролировать положения контура во времеи относительно сингулярностей.

В дискретизованных уравнениях описанная инвариантность явно нарушена эффектами дискретизации и конечностью объема. Первые для использовавшихся в вычислениях в SU(2) модели параметров решетки малы и не приводят к наблюдаемым эффектам. Эффект же конечности объема, или, другими словами, эффект нелинейности в -граничных условиях, достаточно силен, и пропадает только при начальных временах Ti много больших, чем достижимые в численных расчетах. Отметим, что эффекты нелинейности в -граничных условиях в силу случайных обстоятельств сокращаются не только при стремлении начального времени к бесконечности, но и если наложить -граничные условия в некоторый определенРеально это означает, что часть CD должна быть достаточно длинной, чтобы конфигурация типа сфалерона, образующаяся после туннелирования, начала распадаться на сферические волны.

ный (конечный и небольшой) момент времени. Это позволяет, казалось бы, решить описанную решеточную граничную задачу без дополнительной фиксации трансляционной инвариантности во времени. Однако при этом система оказывается довольно далеко от линейного режима в начальный момент времени, и интерпретация получаемых решений невозможна.

Заметим еще, что при решении задачи о распаде ложного вакуума [53] линеаризация наступает значительно быстрее, и можно добится того, чтобы эффекты дискретизации и эффекты нелинейности начального состояния были одного порядка.

Оба эффекта не позволяют контролировать положение контура относительно точек ветвления решения в комплексной плоскости.

Наличие в граничной задаче описанной инвариантности означает, что одно из уравнений вырождено (если пренебречь эффектами дискретизации и конечного объема), и может быть опущено. В качестве такого уравнения нами было выбрано одно из действительных уравнений, составляющих -граничное условие (1.20b) для некоторой определенной моды k (это наиболее удобный выбор, хотя другие тоже возможны). При условии, что система находится в линейном режиме на начальном участке контура, это уравнение следует из остальных. Действительно, условия действительности на конечном участке контура обеспечивают действительность (сохраняющейся) энергии. Следовательно линеаризованная энергия (1.21) действительна в начальный момент времени. Тогда одна из мод автоматически удовлетворяет условию (2.21), если все остальные моды удовлетворяют –граничным условиям (1.20b).

Таким образом, возможна следующая модификация уравнений. Одно из уравнений (1.20b) заменяется на или, в дискретизованном виде (см. (2.15)), Соответственно, вместо уравнения (2.21) накладывается трансляционно неинвариантное граничное условие. Выбор последнего определяется исключительно соображениями удобства. Мы контролируем положение решения во времени, с помощью условия, которое фиксирует «центр масс»

поля в начальный момент времени на расстоянии R от начала координат:

Такое предписание работает в том случае, если мода zK, входящая в уравнение (2.22), достаточно заселена в исходном состоянии, иначе «выкидываемое» уравнение (2.21), почти вырождено. C учитетом этого замечания результаты вычислений зависят от выбора моды незначительным образом.

С другой стороны, относительная фаза между fk и gk может использоваться для проверки вычислений. В линейном режиме она должна равняться нулю, и, таким образом, реальное значение этой фазы показывает, насколько близко к линейному режиму система находится в начальный момент времени.

В заключение, перечислим все уравнения, составляющие граничную задачу на решетке. Это полевые уравнения, получаемые вариацией действия (2.10) во всех внутренних узлах решетки (i = 1,..., N 1, j = 0,..., Nt, всего (5N 4)(Nt +1) уравнений), условия действительности на конечном учаске котнура (2.20) (N 1 уравнений), граничные условия (2.15) для всех физических мод, кроме одной моды zK (4N 4 уравнений), действительная часть закона Гаусса (2.18) (N 1 действительных уравнений), равенство нулю действительных частей нулевых мод (2.19), фиксирующее калибровку (N 1 действительных уравнений), и, наконец, пара действительных уравнений (2.22), (2.23) (одно комплекснозначное уравнение).

Вместе это дает (5N 4)(Nt + 3) комплексных уравнений для такого же числа неизвестных.

2.3 Поиск решений Описанные уравнения образуют систему дискретизованных дифференциальных уравнений в частных производных, которые имеют гиперболический вид на минковских участках контура и эллиптический вид на евклидовом участке. Преобразовать данную граничную задачу к начальной невозможно, и необходимо решать имеющуюся ситему уравнений глобально, как набор нелинейных уравнений во всех узлах решетки.

Для решения нелинейных уравнений применяется вариант многомерного метода Ньютона–Рафсона, дающий решение с помощью итеративной процедуры. На каждом шагу решаются линеаризованные уравнения на фоне текущего приближения. Следующее приближение получается после добавления полученного решения к фоновому, после чего процедура повторяется. Преимуществом этого метода является то, что он не требует положительной определенности матрицы вторых производных. Он однако, чувствителен к наличию нулевых мод (нулевых собственных значений в матрице вторых производных). Это свойство является даже некоторым плюсом метода, так как позволяет проверить тот факт, что при изменении параметров не появляется дополнительных семейств решений. Отметим однако, что не все бифуркации решений приводят к появлению нулевых мод в дискретизованной задаче — примером тому является как раз бифуркация при E1 (N ). Связано это с тем, что новое семейство решений, появляющееся при этой энергии, хотя и удовлетворяет исходной аналитической задаче, не является решением дискретизованной версии уравнений.

При отсутствии нулевых мод сходимость алгоритма квадратичная; точность порядка 109 достигается тогда за 3–5 итераций. В присутствии же нулевых мод сходимость значительно замедляется.

Линейные уравнения, получаемые на каждом итеративном шаге, имеют специальный блочно-трехдиагональный вид. Эффективный метод численного решения таких линейных систем описан в дополнении A.

2.4 Решения при энергиях, меньших сфалеронной Для применения метода Ньютона–Рафсона необходимо иметь хорошее начальное приближение для решения. Поэтому использовалась следующая стратегия: сначала находятся решения типа периодического инстантона, соответствующий = 0 [20], которые могут быть получены с помощью простой минимизации евклидова действия. После того, как периодические инстантоны найдены, параметры T и меняются небольшими шагами, при этом каждый раз в качестве начального приближения используется решение, полученное на предыдущем шаге. Не каждом шаге для полученного решения вычисляется энергия решения E, число частиц N и экспонента подавления F (E, N ).

Эта процедура проиллюстрирована на рис. 2.2, где каждая точка представляет одно решение граничной задачи. Исходные конфигурации периодических инстантонов соответствуют точкам на верхней левой линии. Начиная с этих точек увеличивалось, и были получены линии постоянного T, вплоть до линии бифуркации. Данные, полученные таким образом, выстраиваются в почти прямые линии в левой части рис. 2.2.

Граничная задача (1.20)–(1.22) не фиксирует топологические свойства решения явно. Поэтому нет гарантии, что каждое полученное решение описывает переход между топологически различными секторами. Для случая = 0 это обеспечивается правильной топологической структурой периодических инстантонов. Но при ненулевом необходимо проверять, что полученные решения действительно имеют правильные топологические свойства.

Топологические свойства решения связаны с поведением комплексных фаз полей, см. рис. 2.1. Очень полезным оказывается наглядное изображение полевой конфигурации. Пример такой визуализации для характерного поведения полей при относительно низкой энергии приведен на рис. 2.3. На нем изображено поведение поля (r, t), причем цвет отображает фазу поля.

Евклидова часть эволюции наклонена, чтобы выделить ее по сравнению с минковскими частями. В начальном состоянии (левая часть поверхности), имеется возбуждение в виде сферической волны над вакуумом, двигающейся к r = 0. Конечное состояние (правая часть поверхности) содержит расходящуюся волну. Фаза поля себя ведет по разному в начальном и конечном состояниях. Это подтверждает то, что произошел топологический переход (сравните с верхними тремя изображениями на рис. 2.1). Можно отметить также несколько других важных свойств решения. Примерно в середине евклидова участка поле проходит через ноль = 0, что обязательно происходит при переходе между соседними вакуумами; расходящаяся волна имеет широкий плавный профиль, что указывает на то, что после перехода рождается большое число (мягких) частиц; довольно узкая входящая волна свидетельствует о том, что в исходном состоянии заселены более энергичные моды, и, соответственно, число частиц меньше.

нить полученные численно результаты с имеющимся аналитическим предсказанием для низких энергий, описанным в главе 1. Так как аналитические результаты применимы только при низких энергиях, необходимо проэкстраполировать полученную численно F (E, N ) в область E 0. Заметим, что в соответствии с уравнениями (1.36), (1.37), величина зависит от энергии и числа частиц только в комбинации x N /E 4/3, с точностью до поправок O(W E 2 /MW ). На графике 2.4 изображены функции W (x), извлеченные из численных результатов для различных значений энергии, и аналитическое предсказание для предела малых энергий, полученное из (1.36), (1.37). Видно, что для энергий, близких к энергии сфалерона, численный и аналитический результаты различаются довольно сильно, но экстраполяция численных данных в нулевую энергию совпадает Рис. 2.2. Поиск решений. Каждая точка соответствует одному решению граничной задачи. Цвет точек отображает показатель экспоненты подавления F (E, N ). Почти вертикальная линия соответствует энергии бифуркации E1 (N ), (сравни с рис. 1.3).

Рис. 2.3. Поведение поля для решения с N = 1/W и E = 3.35MW /W.

Цвет отображает фазу поля. Часть решения, соответствующая Евклидовой части контура, наклонена для наглядности.

Рис. 2.4. Универсальная функция W (x) (верхняя кривая), пермасштабированные численные результаты (решения T граничной задачи) (1 F )/f при различных энергиях (числа рядам с графиками дают значения безразмерной величины EW / 2MW ), и результат экстраполяции численных данных к нулевой энергии E. Величины f и x определяются уравнениями (1.40) и (1.41): f E 4/3, x N /E 4/3.

Рис. 2.5. Решение для T /2 = 2 и = 3.35, без регуляризации. Для этого решения E/Esph = 1.04, N W = 0.94, так что E > E1 (N ). Видно, что топологические свойства решения неправильные — оно начинает и заканчивается в окрестности одного и того же вакуума.

с аналитическим предсказанием. Это совпадение является нетривиальной независимой проверкой правильности численных вычиcлений.

2.5 Переход через энергию сфалерона Описанная процедура работает только для относительно небольших энергий E Esph. С ростом энергии решения стремятся оставаться все большее время около сфалерона на части CD контура. При приближении энергии к величине E1 (N ) это время стремится к бесконечности. Если продолжать поиск решений граничной задачи (1.20) с условием действительности, наложенном при конечном Tf, то при бльших энергиях решения будут иметь неправильные топологические свойства, т.е. они будут заканчиваться в том же топологическом секторе, что и в начальный момент времени (см.

рис. 2.5).

Линия E1 (N ) — это линия бифуркации, на которой встречаются два типа решений граничной задачи (1.20). Это (i) решения, которые заканчиваются вблизи того же вакуума, что и исходный, и (ii) решения, которые заканчиваются на сфалероне с возбужденными положительными модами (которые, в случае теории поля, быстро улетают на бесконечность в виде сферических волн на фоне поля сфалерона). Первый тип решений нефизический, а экспонента туннелирования определяется именно вторым типом. Для решений типа (ii) условие действительности (1.20c) выполняется только асимптотически, и, соответственно, наложить его численно очень сложно.

Оказывается возможным регуляризовать граничную задачу. Для этого модифицируем выражение для сечения туннелирования следующим образом:

где — малый параметр, а Tint — функционал на решении, характеризующий время, которое система проводит в области взаимодействия (около сфалерона). Это хорошо определенная величина, стремящаяся в пределе 0 к исходному сечению (E, N ). Для решений, которые проводят конечное время в области взаимодействия, добавочный член пропорционален, который будем считать наименьшим параметром в задаче, и не дает существенного вклада в ответ. Однако для решений, заканчивающихся на сфалероне, этот член обращается в бесконечность. Таким образом, решения типа сфалерона не являются седловыми решениями, дающими квазиклассическое приближение для вычисления функционала (2.24).

Более того, если рассматривать непрерывное семейство седловых решений для регуляризованного функционала (2.24), все решения будут интерполировать между одной и той же парой вакуумов. Действительно, все решения регуляризованного функционала заканчиваются вблизи вакуумов, характеризуемых дискретным топологическим числом, которое не может измениться при непрерывном изменении параметров решения.

Функционал (2.25) может быть выбран в виде где f и g некоторые функции, а, как всегда, обозначает поля модели. Он должен обладать следующими свойствами: i) принимать большие положительные значения на конфигурациях, близких к сфалерону (точнее, там, где поля далеки от своих вакуумных значений); ii) не изменять свободную динамику в линейном режиме, или, другими словами, не добавлять квадратичных членов в разложение действия вокруг вакуума (это важно, чтобы не испортить граничные условия); iii) быть калибровочно инвариантным. В остальном выбор функционала произволен, и определяется спецификой задачи и удобством вычисления. Заметим, что возможность изменять функцию f (r) не принципиальна для рассматриваемой здесь модели, но может оказаться полезна в других случаях, например, в задаче о распаде ложного вакуума, где конечное состояние имеет вид пузыря в ложном вакууме, и не может быть близко к вакуумному во всем пространстве.

В случае калибровочной теории с механизмом Хиггса мы использовали функционал Граничная задача, получающаяся из (2.24), совпадает с нерегуляризованной, но с действием, к которому добавлен мнимый член Уравнения движения (2.4) также изменяются соответствующим образом.

Заметим, что время взаимодействия Tint сопряженно к относительно преобразования Лежандра, здесь и далее индекс обозначает, что величина (в данном случае экспонента подавления) вычисляется для регуляризованного сечения (2.24).

Можно также получить следующие полезные соотношения для энергии и числа частиц:

Из этих уравнений видно, как меняются E и N в зависимости от — вдали от линии бифуркации нерегуляризованной задачи E1 (N ) значения E и N слабо зависят от, а при E E1 (N ) где Tint принимает (для малых ) большие значения, зависимость сильная, что приводит к значительному сдвигу точки (E, N ).

С помощью этой регуляризации можно получить экспоненту подавления для всех энергий E. Для этого при энергии меньшей, чем E1 (N ), вводится небольшое ненулевое (в реальных вычислениях использовалась 103 ). После этого получаются решения регуляризованной величина задачи во всей области энергий, автоматически имеющие правильные топологические свойства. Потом на полученных решениях берется предел 0. При стремлении к нулю, решения с E > E1 (N ) остаются все ния туннелируют «на» сфалерон. Причем оказывается, что величины E, N, = 103 отличаются от предельного значения при 0 меньше, F при чем на процент, практически для всех значений E, N, кроме малой области около линии бифуркации E1 (N ). Таким образом, с хорошей точностью на практике можно ограничиться вычислениями с собственно предела Более того, на границе классически разрешенной области решения регуляризованной задачи гладко переходят в классические надбарьерные решения. Действительно, вспомним, что классические надбарьерные решения удовлетворяют T / граничной задаче с нулевыми T и. Причем на границе классически разрешенной области E = E0 (N ) решения граничной задачи испытывают бифуркацию, схожую с бифуркацией при E1 (N ), т.е.

на ней обращается в бесконечность время нахождения решения в области взаимодействия (рядом со сфалероном). Однако в регуляризованной задаче решения такого вида не присутствуют, и эта бифуркация обходится, как и бифуркация при E1 (N ). На границе классически разрешенной области F = 0 по определению. Это позволяет заключить, что в классически разрешенной области регуляризованный показатель экспоненты подавления мал, порядка : F (E, N ) = f (E, N ) + O( 2 ). Из преобразования Лежандра (2.33), (2.34) следует, что значения T и тоже должны быть порядка :

T = (E, N ), = (E, N ), где величины и связаны с начальной энергией и числом частиц (см. выражения (1.13), (1.14)) следующим образом, Таким образом, можно надеяться, что решения в классически доступной области получаются в пределе / = const. В классически доступной области параметры и играют роль, аналогичную T и в классически запрещенной области.

В рассматриваемой калибровочной теории поля есть еще одна проблема, важная для реализации описанной процедуры. При энергиях E < E1 (N ) время T, проведенное на Евклидовой части контура, растет с энергией (в отличие, например, от двумерной квантовой механики [61]), а на границе классически разрешенной области E0 (N ) оно обращается в ноль. Это означает, что T, рассматриваемое как функция энергии при фиксированном (или N ), имеет максимум между E1 (N ) и E0 (N ) (вычисления показывают, что максимум наблюдается при E = E1 (N ), см. рис. 2.7). Для T, близких к максимальному значению, метод Ньютона–Рафсона перестает сходиться, из-за наличия двух близких решений с одинаковыми значениями T. Эта новая «бифуркация» пропадает, если искать решения при фиксированной энергии E, вместо фиксированного T. Чтобы сформулировать граничную задачу с фиксированным E, вместо T, необходимо сделать высоту контура T некоторой (постоянной) произвольной величиной (ответ от нее зависить не должен), и не полагать ее равной T. Это приводит к небольшому видоизменению -граничных условий (см. (1.16)) Также требуется дополнительное уравнение, которое определит величину свободной переменной T. Этим уравнением является уравнение, определяющее энергию решения (1.21). После этой модификации, «бифуркация», отвечающая максимуму T, пропадает. Заметим, однако, что следует применять этот метод с осторожностью — так как на решетках реалистичных на данный момент размеров достичь полностью линейного режима в начальном состоянии невозможно, то разница между T и T должна быть достаточно малой, так как зависимость полей от сдвига в мнимом направлении во времени экспоненциальна. В описываемых вычислениях граничная задача с фиксированным E (T отличается от T ) использовалась только для перехода через максимум T.

В наших вычислениях небольшое ненулевое вводилось, когда энергия решений приближалась к E1 (N ). Одновременно, модификация (2.32) использовалась, чтобы пересечь максимум T при E1 (N ) ( при этом держалось постоянным). На рис. 2.2 решения, полученные таким образом, отвечают точкам на линии, пересекающей линию бифуркаций E1 (N ). При более высоких энергиях модификация (2.32) более не требуется, и использовалась только регуляризация с помощью ненулевого. На рис. 2.2 решения регуляризованной задачи в области A.II соответствуют точкам на кривых линиях в правой части графика (линии постоянного T ). Линия с наибольшей энергией имеет нулевой показатель экспоненты подавления, и соответствует границе классически разрешенной области. Чтобы получить линии с разными значениями T в процессе вычисления были получены также решения, обозначенные на графике зигзагообразной линией в правой части рис. 2.2 (куски «зигзага», направленные поперек к границе классически разрешенной области, получались с помощью одновременного уменьшения T,, с постоянными и, так как для решения задачи в области малых F необходимо использовать меньшие значения регуляризующего параметра Заметим еще, что возможно несколько улучшить точность определения границы классически разрешенной области, воспользовавшись соотношением Если известна неокторая точка вблизи границы с ненулевым F и некоторыми N и E, то можно получить точку на границе с Это использовалось для получения линии E0 (N ) из полученных с помощью решения граничной задачи точек с минимальными значениями F.

2.6 Численные результаты Выбор размера и формы решетки определяется несколькими факторами.

Физический пространственный размер решетки L должен был достаточно большим, чтобы не искажать форму сфалерона. Кроме этого, L определяет, насколько близко к линейному режиму находится в начальном состоянии система: амплитуда сферических волн, определяющая нелинейность, спадает с удалением от начала координат. После выбора L длины частей AB и CD контура полностью определены: длина участка AB контура TAB должна быть несколько меньше L, чтобы входящая волна не достигала в начальный момент времени пространственной границы r = L. Длина участка CD контура TCD может быть равной нулю для энергий, меньших энергии бифуркации, E < E1 (N ). Для больших же энергий TCD подбирается достаточно длинным, чтобы решение успело распасться на возбуждения вокруг вакуума в конечном состоянии, и регуляризация (2.26) не давала значительного вклада в уравнения движения в конечный момент времени, когда накладываются условия действительности.

Пространственный шаг решетки r ограничивает точность по двум причинам. Во первых, он должен быть существенно меньше, чем размер инстантонообразной части конфигурации, т.е. характерный размер, в котором происходит нелинейная эволюция вблизи r = 0 во время собственно топологического перехода. Во вторых, r определяет энергию самой жесткой моды в начальном состоянии, ограничивая, таким образом, наименьшее значение числа частиц N, достижимое при заданной энергии E. Временной шаг решетки t выбирается меньшим, чем r, чтобы гарантировать стабильность численной процедуры.

Объем компьютерной памяти, необходимый для вычислений на решетке пространственного размера Nr и временной длины Nt равен приблизительно 2 Nt (5Nr )2 16 байт (см. приложение A: основные требования налагаются массивами D (+) и D (), оценка предполагает длину представления комплексного числа с двойной точностью 16 байт), а процессорное время одной итерации Ньютона–Рафсона зависит от Nt и Nr как Nt (5Nr )3. В приложении A описано, что алгоритм возможно выполнять параллельным образом, и, следовательно, это время надо, вообще говоря, поделить на число процессоров, участвующих в вычислении3. В целом, основные ограничения накладываются на Nr — увеличение пространственного размера решетки в два раза влечет за собой увеличение требуемого времени по крайней мере в восемь раз.

Основные результаты были получены на решетке пространственного размера L = 8 (т.е. L = 8/ 2MW в физических единицах) и количестве пространственных узлов решетки Nr = 90. Длина начальной минковской части контура TAB равнялась 6. Количество временных точек Nt было равно 200 на участке AB контура, и 150 на евклидовой части BC. Количество точек на части CD было равно 2 для энергий E < E1 (N ), и варьировалось, достигая 400, для энергий, больших энергии бифуркации (там, где использовалась –регуляризация). На решетках максимального размера объем используемой памяти достигал 4 Гб, а одна итерация Ньютона–Рафсона занимала около 3 минут не 16 процессорах суперкомпьютера IBM-RS/6000, или около 15 минут для полного нахождения одной конфигурации поля.

Результаты были получены в области значений E и N, изображенной на рис. 2.2. Для приведенных параметров решетки эта область ограничивается в первую очередь эффектами нелинейности в начальном состоянии, которые препятствуют достижению меньших чисел частиц N. В случае, когда малы одновременно энергия и число частиц (левая нижняя часть графика), также важны эффекты пространственной дискретизации (конечный r).

Для проверки значимости эффектов дискретизации часть вычислений была проделана также на решетках меньших размеров. Приведенные результаты совпадают с результатами, которые получаются на решетке с Nr = 64 с точностью, лучшей 1% (за исключением области очень маленьАлгоритм параллелизуется эффективным образом только в том случае, если Nprocessors < Nt, следовательно наименьшее физическое время пропорционально Nt (5Nr ) EW/MW Рис. 2.6. Зависимость от времени числа частиц (верхний график) и линейной энергии (нижний график) для конфигурации с N = 1/W и E = 3.35MW /W. Полная (нелинейная) энергия изображена пунктирной линией.

ких энергий). При сравнении же с вычислениями на решетке с Nr = совпадение наблюдается только для достаточно больших значений начальных чисел частиц, что и ожидалось.

Степень линеаризации системы в начальном состоянии можно проверить, анализируя зависимость от времени линейной энергии (1.21) и числа частиц (1.22) на участке AB контура. Для полностью линеаризовашейся системы они не должны зависит от времени. Этот тест для характерной конфигурации приведен на рис. 2.6. Линейная энергия совпадает с точной в начальном состоянии с точностью порядка 1%, и даже лучше, что подтверждает то, что система достаточно близка к линейному режиму. Другой тест степени линеаризации дается нарушением граничного условия (2.21), которое было опущено для фиксации инвариантности относительно временных трансляций (см. раздел 2.2). Это нарушение увеличивается при уменьшении N, и, судя по всему, является одним из эффектов, предотвращающих достижения меньших N с использовавшимся размером решетки L = 8. Для достижения лучшей степени линеаризации в начальном состоянии, и, соответственно, достижения меньших чисел частиц N, необходимо добиться увеличения размера решетки.

Возможны также другие проверки самосогласованности вычислений, как то проверка сохранения энергии на решении и проверка выполнения обратного преобразования Лежандра Эти тесты выполняются с точностью лучшей, чем 103. Это означает, что точность результатов определяется в первую очередь степенью линеаризации начального состояния (около 1%).

Линии постоянного T и постоянного приведены на рисунках 2.7 и 2.8.

Из рисунка 2.8 видно, что растет с уменьшением N, как и ожидается, а также что равно нулю на линии периодических инстантонов и границе классически разрешенной области E0 (N ). Линии постоянного T показывают, что на границе E0 (N ) параметр T также обращается в ноль, а максимум при фиксированном N (и при фиксированном ) достигается на линии бифуркаций E1 (N ). Напомним, что около этой линии для решения уравNW нений использовалась модификация граничной задачи, описанная в конце раздела 2.5.

Характерные решения для поля приведены на рис. 2.9. Они соответствуют глубоко туннельному режиму (E < E1 (N )), туннелированию на сфалерон (E > E1 (N )) и классическому надбарьерному процессу при E0 (N ) (все для N = 1). Из распределения цвета (фазы поля ) на рисунках видно, что действительно происходит топологический переход, изображенный на 2.1. Входящая волна в левой части рисунков становится все более острой при увеличении энергии (а число частиц для всех трех рисунков одинаково). На первом рисунке топологический переход происходит на Евклидовой части контура. На втором и третьем рисунках в правой части видна сфалеронообразная конфигурация, с «лишними» расходящимися волнами (возбуждения над сфалероном), в то время как собственно сфалерон распадается значительно позже — в самой правой части картинки, причем при стремлении параметра регуляризации к нулю, момент распада сфалерона сдвигается в сторону больших времен. При больших временах видна также волна, отраженная от границы r = L. Она появляется из-за условий Дирихле (2.9), наложенных при r = L. Эта волна не дает никакого вклада в ответ, так как находится там, где система уже достигла линейного режима (и, соответственно, поля и само действие действительны)4.

То, что при энергии большей энергии бифуркации, E > E1 (N ), решение после туннелирования имеет вид сфалерона со сферическими возбуждениями на его фоне, можно проиллюстрировать, нарисовав пространственное распределение плотности энергии в разные моменты времени после туннелирования, и сравнив его с распределением плотности энергии сфалерона.

Чтобы избавиться от отраженной волны необходим значительно больший пространственный размер решетки.

Рис. 2.9. Поведение поля для решений с N = 1 и E = 3.35 (верхний рисунок), E = 4.48 (средний), E = 5.22 (нижний рисунок). Первая поверхность соответствует глубоко подбарьерному туннелированию, а последняя — почти классическому надбарьерному переходу.

Рис. 2.10. Распределение плотности энергии для нескольких моментов времени Re t (обозначенных числами рядом с графиками) для средней конфигурации на рис. 2.9 (N = 1, E = 3.35). Для сравнения сплошной линией изображено распределение плотности энергии сфалерона.

На рис. 2.10 такой график приведен для среднего решения на рис. 2.9.

При увеличении времени виден улетающий горб энергии, соответствующий сферической волне, а само распределение энергии при этом приближается к распределению энергии сфалерона.

Интересно также заметить, что при уменьшении начального числа частиц N, заселенными оказываются моды с большими энергиями. Это продемонстрировано на рис. 2.11 для энергии, немного меньшей энергии сфалерона.

Наши численные результаты для показателя экспонененты подавления во всей классически запрещенной области приведены на рисунках. 2.12, 2.13. Почти вертикальная линия на рис. 2.12 — эта линия бифуркации, разделяющая области A.I и A.II, где туннелирование происходт качественно различным образом. Она, одновременно, является границей, за которой непосредственное применение метода, описанного в работах [50–53], перестает быть возможным. Из рис. 2.12 видно, что регуляризация позволяет получить результаты при значительно больших энергиях, вплоть до границы классически разрешенной области.

Интересным является сравнение с результатами работы [60], в которой техника Монте-Карло применялась для поиска классических надбарьерных решений5 с минимально возможным числом частиц N при данной энергии E. Это дает приближенную границу (и одноверменно строгое ораничение сверху на нее) классически разрешенной области. Видно, что результаты работы [60] достаточно близки к границе E0 (N ), найденной в наших В работе [60] использовалась константа самодействия хиггсовского поля = 0.1, в отличие от использованной нами = 0.125. Для проверки, нами был произведен ряд вычислений с = 0.1. Зависимость от значения (по карйней мере, в указанных пределах) мала, и просто не заметна на графике. Видимое на рис. 2.13 расхождение отвечает различным параметрам решетки. В методе работы [60] необходимо решать только начальную задачу для уравнений движения, что позволяет использовать значительно большие пространственные размеры решетки с меньшим решеточным шагом.

ОПНЕТ НПДЩ

ОПНЕТ НПДЩ

ОПНЕТ НПДЩ

ОПНЕТ НПДЩ

Рис. 2.11. Распределение числа частиц nk по модам в начальном состоянии для решения с энергией EW /MW = 3.54 и различными N. ai — числа частиц в моде типа в единицах 1/W для мод четырех разных типов (определения см. в [60]). Мода a1 соотвествует бозону Хиггса, а моды a2,3,4 — калибровочному бозону (a2,3 поперечные, a4 — радиальная). По горизонтальной оси отложен номер моды для решетки с пространственным размером r = 8.

Рис. 2.12. Линии F (E, N ) = const. На рисунке нанесены значения показателя экспоненты подавления W log = 4F. Диагнальная линия, направленная из сфалерона в сторону начала координат — линия периодических инстантонов. Энергия E указана в единицах MW /W, число частиц N — в единицах 1/W. Линия с подавлением 0 (F = 0) является границей классически разрешенной области E = E0 (N ). «Размытая» линия является приближенной границей классически разрешенной области, найденной с помощью надбарьерных вычислений в работе [60].