«Безруков Федор Леонидович Туннельные и многочастичные процессы в электрослабой теории и моделях теории поля Специальность 01.04.02 — теоретическая физика Диссертация на соискание ученой степени кандидата ...»

Рис. 2.13. Зависимость показателя экспоненты подавления от числа частиц N для различных энергий. Числа около графиков — значения энергии в единицах MW /W.

Высокоэнергетическое ограничение на FHG(E) 4FHG Рис. 2.14. Ограничение снизу на показатель экспоненты подавления топологических переходов в двухчастичных столкновениях, штриховая и штрих-пунктирная линия. Пунктирная линия — аналитичесная оценка из работ. [87, 88].

вычислениях.

2.7 Ограничения на сечения двухчастичных столкновений Результаты, приведенные на рис. 2.12 не достигают физически интересного значения N = 0, соответствующего столкновениям частиц. Численное иследование меньших N требует использования решеток большего размера, что требует значительных затрат процессорного времени, даже на современных суперкомпьютерах. Таким образом, для достижения физичиFHG Рис. 2.15. Оценка показателя экспоненты подавления топологических переходов в двухчастичных столкновениях FHG (E) (сплошная линия), ограничение снизу на FHG (E) (штриховая линия), аналитическое предсказание при низких энергиях (2.35) (редкая пунктирная линия) и аналитическая оцена работ [87, 88] (пунктирная линия).

ески интересной области приходится применять экстраполяцию. Первой, самый простой, возможностью экстраполяции, является следующий метод получения ограничения снизу на показатель экспоненты подавления F. Поскольку растет при N 0, а (4)F /N =, то просто продолжив F в N = 0 линейным образом по N для каждой энергии, получаем ограничение снизу на F. Это ограничение показано на рис. 2.14, 2.15, штриховой линией. Видно, что вплоть до энергии 8MW /W 20 ТэВ топологические переходы сильно подавлены: фактор подавления меньше, чем e для значения слабой константы связи W 1/30.

Для очень больших энергий ограничение можно построить, использовав тот факт, что линии постоянного F имеют положительную кривизну в плоскости E N (см. рис. 2.12). Следовательно, линейная экстраполяция этих линий до N = 0 также дает ограничение снизу на показатель экспоненты подавления F (E, N = 0). Это ограничение изображено на рис. 2.14, штрих-пунктирной линией. Оно свидетельствует, что процессы с изменением топологического числа продолжают быть подавлены, по крайней мере, до энергии 250 ТэВ.

2.8 Оценка двухчастичных инстантонных сечений Можно оценить и саму функцию F (E). Хорошая оценка получается, если продолжать в N = 0 не само F (E, N ), а функцию T (N ) при фиксированной энергий. Функция F (E, N ) сингулярна в пределе нулевых N (см.

раздел 1.3), а T (N ) приблизительно линейна по N. Более того, численные результаты показывают, что и при больших N это свойство функции T (N ) сохраняется (см. рис. 2.16). При высоких энергиях (больше E1 (N )) чисEsph Рис. 2.16. Слева: T (N )/2 для различных энергий; у линий указаны значения EW /MW. Точки — результаты численных вычислений, линии — экстраполяция. Справа: результат экстраполяции T (E)/2 в нулевое начальное число частиц.

ленные данные позволяют предположить, что с уменьшением N параметр T выходит на константу, и продолжение его в N = 0 с помощью линейной функции также дает хорошее приближение. С помощью функции T (E) значения показателя экспоненты F (E) восстанавливается с помощью интегрирования уравнения (2.34). Вплоть до энергии сфалерона, полученная таким образом оценка близка к однопетлевому аналитическому результату [43, 89–91], который дает три члена низкоэнергетического разложения, где E0 = 6MW /W. Кроме этого, при энергиях, меньших сфалеронной, наши результаты совпадают с аналитической оценкой работ [87, 88]. С другой стороны, поведение FHG (E) радикально меняется при E Esph. Это отвечает изменению туннельного поведения при E Esph — система начинает туннелировать «на верхушку» барьера. Наши численные результаты показывают, что показатель экспоненты подавления FHG (E) выполаживается, и процессы с измененем топологии в действительности значительно сильнее подавлены при E Esph чем следует из оценки (2.35) или оценки работ [87, 88]. Наша оценка показателя экспоненты туннелирования и аналитические предсказания изображены на рис. 2.15.

Таким образом, несмотря на то, что наши численные результаты охватывают только ограниченную часть возможных значений энергии и начального числа частиц, они позволяют получить и ограничение, и оценку экспоненты подавления процессов с изменением топологического числа в двухчастичных столкновениях в электрослабой теории при энергиях, значительно превышающих энергию сфалерона. Сечение таких процессов остается экспоненциально подавленным вплоть до очень высоких энергий, по крайней мере, порядка 250 ТэВ. В действительности, энергия, при которой экспоненциальное подавление пропадает (если пропадает вообще), вероятно значительно выше; на это указывает сравнение нашего ограничения снизу и собственно оценки экспоненты подавления при энергиях, превышающих Esph, см. рис. 2.15.

3.1 Связь сингулярных решений с сечениями в древесном приближении. Общий формализм Опишем метод нахождения экспоненты для древесных сечений в режиме (4) [66–68]. Рассмотрим процесс распада виртуальной частицы с энергией E и импульсом P = 0 в n реальных частиц в модели с лагранжианом (2). Для этого рассмотрим матричный элемент |S|0 в представлении когерентных состояний [48, 74, 75] в пространстве–времени Минковского ( | — некоторое когерентное состояние) где а граничные члены имеют вид 1 + k2. На древесном уровне интеграл (3.1) определяется знагде k = чением подынтегрального выражения в седловой точке. Условиями экстремальности экспоненты являются классические уравнения поля со следующими граничными условиями:

где ak и ck произвольны. При t решение c (, t, x) имеет только положительно-частотную часть. Из закона сохранения энергии следует, что при t + в нем не должно содержаться отрицательных частот, т. е. ck = 0, а показатель экспоненты в (3.1) обращается в нуль. Таким образом, матричный элемент в древесном приближении имеет вид фурьеобраза седлового решения В соответствии с формализмом когерентных состояний древесную амплитуду 1 n можно выразить из (3.4) следующим образом Для вычисления n-частичного сечения введем производящую функцию где Z — нормировочный фактор. Полное сечение дается формулой в чем можно убедиться [50, 68], непосредственно продифференцировав (3.6) и воспользовавшись формулой (3.5).

С помощью формулы Коши можно переписать выражение для tree в виде Этот интеграл опять можно вычислить с помощью метода перевала, учитывая наличие нулевых мод, отвечающих временным трансляциям, и возможных экспоненциально больших множителей в AE ( ). Для того, чтобы от них избавиться, произведем следующую замену переменных:

В результате этой замены получим Здесь t0, x0 — коллективные координаты, а bk — новые переменные интегрирования, на которые мы наложим в дальнейшем связь, нарушающую трансляционную инвариантность, отвечающую закону сохранения энергииимпульса. В новых переменных выражение (3.7) принимает вид где J содержит -функцию связи на переменные bk и соответствующий детерминант Фаддеева–Попова, который не дает экспоненциального вклада и не будет рассматриваться далее. Интегрирование по (x0 + x0 ) дает просто объемный фактор, который сокращается с Z. Считая, что в AE больше нет экспоненциальных факторов, можем теперь применить метод перевала (седловая точка по переменной (x0 x0 ) равна нулю, так как мы работаем в системе центра масс P = 0, и мы больше не будем выписывать эту переменную):

где Wtree является экстремальным значением функционала по отношению к T = i(t0 t0 ), = ln, bk и bk.

Связь, налагаемая на bk, должна нарушать трансляционную инвариантность в пространстве–времени. Как уже говорилось выше, мы хотели бы наложить условие на bk таким образом, чтобы AE (b ) не содержало экспоненциальных факторов. Продолжим полученное решение c в область комплексного времени, тогда, согласно граничному условию (3.3) и равенству ck = 0, оно должно стремиться к нулю при Im t = +, где — евклидово время. Так как мы не рассматриваем инстантонных эффектов, то есть не интересуемся классическими решениями, регулярными в евклидовом пространстве (в теории 4 с > 0 их просто нет), то c должно быть сингулярным в евклидовом пространстве-времени. В общем случае c имеет особенности на d–мерной поверхности = s (x), при этом s (x) < 0 для решений, гладких на действительной оси времени. Интеграл типа (3.4) определяется особенностями функции c, а именно, он пропорционален exp(Em + iPxm ), где m и xm — координаты особенности, лежащей ближе всего к действительной оси (m < 0). Поэтому, чтобы c (b) не содержало экспоненциальных факторов, потребуем m 0, xm = 0. Другими словами, мы требуем, чтобы поверхность сингулярностей касалась в евклидовом времени снизу поверхности = 0 в точке x = 0, то есть s (x = 0) = 0; и s (x) < 0 при x = 0. Это ограничение нарушает трансляционную инвариантность в пространстве-времени, то есть действительно представляет собой связь, выделяющую нулевые моды.

Кроме того, так как мы работаем в системе центра масс, и в задаче нет выделенного направления (P = 0), то поверхность сингулярности (как и само решение) обладает симметрией относительно пространственных вращений (O(d)-симметрией). Предполагая, что решение, сингулярное на заданной поверхности и спадающее на бесконечности, единственно, получаем, что поверхности сингулярности решений и их частотные компоненты bk, bk находятся во взаимно однозначном соответствии, и варьирование по фурье-компонентам поля bk, bk (удовлетворяющим упомянутому ограничению) и варьирование поверхности сингулярности взаимозаменяемы.

Сформулируем теперь метод получения сечения при любых E и n:

• Находятся O(d)-симметричные решения (, x) евклидовых уравнений поля сингулярные на поверхности s (x) 0, s (0) = 0 и имеющие следующую асимптотику при :

• Вычисляются его частотные компоненты bk и по формуле (3.10) получается W.

Отметим, что в действительности достаточно потребовать только стремления s 0 в точке x = • Экстремизируется W (3.10) по всем описанным поверхностям сингулярностей (это эквивалентно экстремизации по bk с обсуждавшейся выше связью), а также по T и. Тогда древесное сечение дается выражением (3.9).

Решение описанной граничной задачи можно найти аналитически только в специальных предельных случаях (они будут вкратце обсуждаться в разделе 3.4). При численном же вычислении невозможно выполнить экстремизацию функционала (3.10) по бесконечномерному пространству поверхностей сингулярности, можно лишь воспользоваться методом Рэлея– Ритца, т. е. выбрать некоторый конечномерный подкласс этих поверхностей, по которому и максимизировать функционал. Рассмотрим этот проddk bk bk ekT достигает минимального цесс подробнее. Пусть функционал теперь некоторое семейство поверхностей сингулярности (T ). Для него ddk bk bk ekT = C (T ) C(T ) для всех значений T. После взятия седT) лового значения для, равного ln n + ln C(T ), получаем, что Сравнивая W (T1 ) и W (T2 ), можно получить следующие цепочки неравенств:

(при вычислении реализуется второй случай). Таким образом, ограничившись лишь подклассом поверхностей сингулярности, мы получаем ограничение снизу на точное значение Wtree (E, n).

3.2 Разложение по сферическим модам Дальнейшие вычисления будем проводить в (3 + 1)-мерном пространствевремени. Кроме того, мы будем рассматривать только компактные поверхности сингулярности.

Так как единственное требование к поверхности сингулярности состоит в том, что в точке x = 0 она касается плоскости = 0, а в остальных пространственных точках s (x) < 0, можно задавать конфигурации следующим образом. Выберем сферу радиуса Rs, с центром в начале координат.

Будем рассматривать такие конфигурации поля, что в точке = Rs, x = 0 значение поля равно бесконечности, а во всех точках x2 + 2 > Rs оно конечно. Тогда мы можем сказать, что поверхность сингулярности для такого поля касается плоскости = Rs при x = 0 и целиком лежит внутри выбранной сферы, т. е. s (x) Rs. Такое описание подходит лучше всего для поверхностей, имеющих вид немного сжатой с боков сферы, которые, как это будет видно из результатов, нас и интересуют. Остается только совершить замену координат + Rs, чтобы сдвинуть сингулярность в начало координат. Это эквивалентно следующему изменению частотных компонент поля:

где bk — Фурье компоненты поля, сингулярного в точке (Rs, 0).

В предположении, что полевая конфигурация имеет пространственную O(3) симметрию, получаем, что поле является функцией от двух переменных, (, ), где — угол между радиус-вектором и осью, а — длина радиус вектора (в 4-х мерном евклидовом пространстве). Евклидовы уравнения поля можно получить, варьируя следующее действие:

Перейдем к разложению по сферическим модам:

функции n () имеют вид где Kn (x) — функции Макдональда. Коэффициенты bk разложения такой полевой конфигурации по плоским волнам равны:

Соответственно, интеграл в (3.10) выражается через коэффициенты an следующим образом:

где z = 2Rs T. Подставляя разложение по модам (3.15) в (3.14), получаем выражение для действия через сферические моды, условие экстремальности которого и дает представление уравнения (3.11) через сферические моды n ().

На бесконечности частотные компоненты должны иметь вид (3.16), т. е.

не иметь растущей составляющей.

Необходимо также наложить второе граничное условие, которое обеспечит обращение поля в бесконечность на некоторой поверхности сингулярности, удовлетворяющей условиям, описанным в начале раздела. Чтобы корректно сформулировать это условие, необходимо немного отойти от сингулярности, т. е. заменить условие (Rs, 0) = условием (R, 0) = A, где A 1/. При этом около точки (Rs, 0) можно пренебречь в уравнении массовым членом, а поверхность сингулярности в первом приближении заменить плоскостью. Тогда в этой области имеет вид где l(x) — расстояние от точки x до поверхности сингулярности. Отсюда сразу получаем, что настоящая сингулярность находится на расстоянии от начала координат.

Таким образом, поверхность сингулярности, удовлетворяющая необходимым ограничениям (точнее ее форму мы опишем позднее), определяется набором сферических компонент которые должны удовлетворять условию т. е. (R, = 0) = A; а также условию которое в простейшем случае двух не равных нулю компонент cn сводится к тому, что обе они положительны.

Простейшие конфигурации — O(4) симметричны. Они задаются как c0 = A и cn = 0 для всех остальных n и характеризуются в действительности только одним параметром — радиусом поверхности сингулярности Проделаем теперь экстремизацию по параметрам T, и поверхностям сингулярности. С помощью (3.13) и (3.17) можно записать выражение (3.10) в виде где z = 2Rs T. Легко написать условия стационарности этого выражения где I (z) — производная от выражения (3.17). Окончательно имеем где T выражается через из уравнения которое следует из (3.22).

Практически удобнее проводить процедуру экстремизации несколько в другом порядке: зафиксировать некоторое значение T, затем найти минимум по всем поверхностям сингулярности (bk и bk ) величины I (z) и определить соответствующее значение из (3.25).

Заметим, что функция f () не зависит от. Действительно, произведем замену Тогда уравнение (3.11) переходит в уравнение на с = 1, а интеграл (3.17) преобразуется как и зависимость от в выражении (3.24) пропадает. Таким образом, для вычисления f () значение можно положить равным единице.

несложно определить отличие поверхности сингулярности соответствующей полевой конфигурации от сферы. В этом случае поле достаточно велико при = R для всех, что означает, что можно везде в этой области пользоваться приближением безмассового поля. Будем также полагать, что радиус R достаточно велик, чтобы считать в каждой точке поверхность сингулярности плоскостью. Тогда при помощи (3.18) сразу получаем где Rs () = Rs (0) Rs () характеризует отличие поверхности сингулярности от сферической. На рисунке 3.1 изображена форма поверхности сингулярности для характерной конфигурации, использовавшийся при вычислениях.

3.3 Численное нахождение древесных сечений В случае, когда мы ограничиваемся O(4) симметричными решениями (однопараметрическое задание поверхностей сингулярности), задача чрезвыR Рис. 3.1. Поверхность сингулярности при энергии = 10 (сплошная линия).

На бесконечности включена 4-ая сферическая гармоника. Изображена также сфера радиуса R, на которой можно сформулировать условия на cn.

чайно проста: она сводится к решению одного обыкновенного дифференциального уравнения на 0 (). Причем даже необязательно решать граничную задачу, можно задавать различные значения a0 (т. е. начальные условия на бесконечном ) и находить отвечающие им радиусы поверхности сингулярности Rs. Ограничение на f (), полученное этим методом, изображено на рисунке 3.2 сплошной линией [69].

Если же мы не хотим ограничиваться сферически симметричными модами, необходимо, вообще говоря, решать граничную задачу (3.11). Решать ее прямыми методами тяжело по следующей причине: для сходимости суммы (3.17) необходимо быстрое спадание значения n при увеличении номера гармоники (причем требуется это на большом радиусе, т. е. там, где поле уже само по себе мало), а задается конфигурация при таком способе решения формой поверхности сингулярности, т. е. фиксацией больших значений поля; соответственно, задача чрезвычайно неустойчива. По этой же приf() Рис. 3.2. Ограничения на f (). 1) O(4)-симметричное ограничение. 2) Аналитическая оценка в случае малых удельных энергий. 3) Ограничение (снизу) при высоких энергиях. 4) Ограничение Волошина. 5) Ограничение, получемое при включении 4-ой сферической гармоники.

чине невозможно решать граничную задачу в разложении по сферическим компонентам, задавая значения n на радиусе R около сингулярности.

Однако оказывается возможным применить метод, похожий на использованный при решении O(4) симметричной задачи. Фиксируем значения an, т. е. сферический моды на бесконечности (что эквивалентно заданию bk ) и будем решать систему обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными таким образом начальными условиями. При достаточно малом радиусе R поле обратится в бесконечность (точнее, превысит некоторую большую величину A). Если значения cn = n (R) на этом радиусе удовлетворяют условиям (3.20) и (3.21), то данная конфигурация удовлетворяет всем выдвинутым требованиям. Оказывается, что это выполняется при достаточно большом множестве значений an на бесконечности. В частности, можно задавать an равными нулю для всех n = 0, k для некоторого фиксиf() Рис. 3.3. Ограничения на f (). Несферические результаты (увеличенная часть графика на рис. 3.2). 1) O(4)-симметричное ограничение. 2) Ограничение, получаемое при включении 2-ой гармоники. 3) 4-ой гармоники. 4) 6-ой гармоники. 5) Ограничение (снизу) при высоких энергиях.

рованного k.

Основной проблемой такого метода (и вообще почти любого метода, связанного с разложением по частотным составляющим), является необходимость ограничиться при вычислениях конечным числом сферических мод. Но основные вызванные этим искажения в данной задаче проявляются только на достаточно малых расстояниях от поверхности сингулярности (в сильно нелинейной области), и не приводят к значительной ошибке в определении Rs при не слишком высоких энергиях.

Вычисления был реализованы с помощью метода Булича–Стоера [92], основанного на идее аналитического продолжения по величине h шага вычислений на нулевой шаг h = 0, который дает заметный выигрыш по времени по сравнению с методом Рунге–Кутта. Вычисления проводились с 20, 40 и 80 сферическими модами, причем оказалось что 20 вполне достаточно для достижения разумной точности. В этом случае нахождение одной полевой конфигурации (для заданных an ) составляет около 3 минут на компьютере Pentium 166.

Для поиска минимума I (2Rs T ) по an (что эффективно представляет собой минимизацию по bk, bk ) использовался метод многомерного симплектического спуска [92], который не требует никакой дополнительной информации о минимизируемой функции (т. е. не требует знания ее производных). Для нахождения минимума оказывалось необходимым сделать около 50 вычислений I (2Rs T ) для различных конфигураций.

Вычисления производились с заданием на бесконечности двух ненулевых мод a0 и ak. Исследованы были все значения k, меньшие 8. Максимальное отличие от O(4) симметричного результата наблюдалось при k = 4.

Напомним, что так как мы получаем ограничение снизу на f () методом Рэлея–Ритца, то нас интересует именно максимальное получаемое значение f (). На рисунке 3.3 приведены результаты для k = 2, 4 и 6, а также для O(4) симметричного случая. Для меньших энергий отличие от сферического вычисления становится незначительным, а для больших — радиус сингулярности Rs становится малым и возрастает относительная погрешность в его определении. Вычисления для O(4) симметричного случая проводились для большего интервала энергий, что отображено на графике 3. вместе с некоторыми аналитическими результатами (см. раздел 3.4).

Интерес представляет также форма поверхности сингулярности, отвечающая минимальному значению I (2Rs T ). На рисунке 3.1 приведена поверхность, соответствующая значениям = 10 и k = 4.

3.4 Сравнение численных и аналитических результатов В предельных случаях малых и очень больших энергий оказывается возможным провести сформулированную в разделе 3.1 процедуру аналитически [66, 93]. Приведем здесь эти результаты для сравнения.

Низкоэнергетический предел. В случае малых можно рассмотреть решения вида которые удовлетворяет уравнению (3.11) с точностью до O((x s )2 ) (случай, когда s (x) = 0 при всех x, отвечает пороговому рождению частиц с нулевым импульсом). Кроме того, можно найти в явном виде поправки порядков (x s )2 и (x s )4 к этому выражению. В результате можно получить следующую оценку [66, 93]:

Она изображена на рисунке 3.2 пунктирной линией и хорошо совпадает с численной оценкой при < 0.5.

Ультрарелятивистский предел.

пренебречь массовым членом в уравнении поля и рассматривать безмассовую теорию 4. В ней известно O(4) симметричное решение — инстантон Фубини–Липатова [94, 95], из которого просто сконструировать решение, сингулярное в точке = x = 0 [96]:

где Rs — коллективная координата, определяющая размер поверхности сингулярности. В результате получается ограничение [66, 96]:

Эта величина хорошо согласуется с численными оценками при > 50.

В ультрарелятивистском случае также известна оценка изменения величины f () при небольшой вариации формы поверхности сингулярности [93]. Для этого возмущенное решение записывается в виде где Параметры m описывают отклонение поверхности сингулярности от 4сферы. Они могут быть легко выражены через параметры cn раздела 3. путем сравнения формул (3.29) и (3.15), (3.19). Соответствующее изменение f () имеет вид Эту величину можно найти и при вычислениях в несферическом случае. С учетом того, что она найдена в пределе бесконечной энергии, а численный метод применим только при относительно небольших, можно ожидать лишь совпадения по порядку величины, которое и имеет место.

зультат с другими существующими оценками. С помощью работы [97] можно найти альтернативное ограничение на f (), которое получено непосредственным анализом диаграмм. Пусть max — наибольшая из энергий отдельных конечных частиц. Выделим в древесной диаграмме подграф, начинающийся одной виртуальной линией и кончающийся k частицами (в качестве начальной виртуальной линии можно взять любую внутреннюю линию диаграммы). Пропагатор, соответствующий этой виртуальной линии, (sk m2 )1, удовлетворяет неравенствам (здесь использовано неравенство k2 2 m2 < 9 2 (k2 1), которое спраmax 8 max ведливо при k 3, что всегда выполняется для теории 4 ). Так как неравенство (3.30) выполняется для всех пропагаторов диаграммы, имеем для амплитуд неравенство Соответствующее нижнее ограничение на f (), полученное в работе [97], указано на рисунке 3.2.

Как видно из рисунка, полученное в данной работе ограничение гораздо сильнее.

Здесь приходится восстановить массу, которая была ранее положена равной единице.

— Сформулирован метод квазиклассического вычисления вероятностей туннелирования в калибровочных теориях поля, позволяющий исследовать процессы с фиксированной энергией и числом частиц в начальном состоянии. Метод реализован в виде компьютерного кода, эффективно решающего требуемую граничную задачу на параллельных суперкомпьютерах и компьютерных кластерах.

— Обнаружено качественно новое поведение туннельных решений при энергиях, превышающих высоту барьера между калибровочными вакуумами (энергию сфалерона): туннелирование происходит с образованием состояния около вершины барьера (сфалерона), которое затем распадается классическим образом на элементарные возбуждения. Данный эффект не является специфическим для калибровочных теорий поля, а возникает при анализе туннелирования большинства систем со многими степенями свободы.

— Найдена численно вероятность туннелирования в SU(2) модели с хиггсовским дублетом, отвечающим бозонному сектору электрослабой теории с углом смешивания W = 0, для диапазона начальных энергий 0.2 < E/Esph < 2, и числа частиц в начальном состоянии, большем N > 0.4Nsph, где Esph 8 ТэВ — энергия сфалерона, 1.7/W — число частиц, образующихся при распаде сфалерона.

Nsph — Путем экстраполяции результатов в физически интересную область малого числа частиц, соответствующую двухчастичным столкновениям, получено ограничение на вероятность процессов с нарушением фермионных чисел в электрослабой теории. На основе этих данных сделано заключение, что экспоненциальное подавление вероятности таких процессов присутствует, по крайней мере, до энергии 30Esph 250 ТэВ.

— Получена оценка на сечение процессов с нарушением барионного и лептонного чисел в столкновениях при высоких энергиях. Вплоть до энергии сфалерона полученная оценка хорошо воспроизводит существовавшие ранее аналитические результаты, полученные с помощью теории возмущений на инстантонном фоне. При энергии сфалерона поведение сечения радикально меняется, и при дальнейшем росте энергии подавление оказывается существенно сильнее, чем предсказывается аналитическими методами.

— Получено аналитическое решение граничной задачи для процессов инстантонного типа в теории SU(2) при низких энергиях и числах частиц. Полученные результаты использованы для проверки численных расчетов, а также для подтверждения гипотезы о предельном переходе к двухчастичным столкновениям.

— Произведен численный квазиклассический анализ процессов многочастичного рождения в теории 4. Полученные результаты улучшают существующие аналитические ограничения на древесную вероятность многочастичного рождения.

Дискретизованный вариант уравнений поля, полученный из (2.10) имеет вид (здесь jI = {a,,, µ, }(tj, ri ) а I принимает значения от 0 до 5N 4, j = 0... Nt ), а граничные условия Заметим, что в отличие от уравнения поля, граничные условия не являются аналитическими функциями I. Каждая итерация метода Ньютона– Рафсона имеет вид (все остальные вторые производные равны нулю), а следующее приближение дается выражением Соответсвующие выражения для граничных членов получаются аналогичным образом (с точностью до необходимости независимого варьирования по действительным и мнимым частям полей).

Решим сначала все уравнения движения для i = 1,..., Nt 1. Уравнения (A.1) можно записать в матричной форме где Dj(±) = Dj1 · Dj(±), bj = Dj1 · bj. Эта система уравнений решается с помощью варианта алгоритма разбиений для решения трехдиагональных систем уравнений (“divide–and–conquer” algorithm). Исключение uj для некоторого j дает uj+1 = 1 Dj+1 · Dj(+) Так как процесс исключения уравнения изменяет только соседние уравнения, возможно производить исключение всех уравнений с нечетным j одновременно, получая в результате опять систему типа (A.3), но уже в два раза меньшую. Это второй шаг разбиения. После серии таких шагов получается система из двух уравнений для j = 0 и j = Nt :

где D (±) и b имеют значения, полученные в результате исключения всех промежуточных уравнений. Добавив к этим уравнениям уравнения, получившиеся при линеаризации граничных условий, которые связывают u1 с u0 для начальных граничных условий и uNt с uNt +1 для конечных, определяем поправки u1, u0, uNt и uNt +1. Заметим, что так как никакой особой структуры у этих четырех уравнений нет, удобно рассматривать их как одну большую систему из 2 4 (5N 3) действительных линейных уравнений, и решать с помощью любого стандартного метода, например, LU-разложения. Подобный подход позволяет легко добавить в систему несколько дополнительных неизвестных (например T и ), если уравнения, их определяющие, зависят только от полей в слоях -1, 0, Nt, Nt + 1. Это использовалось при решении системы с T = T. Вообще говоря, можно было сделать и свободной переменной, и решать граничную задачу использую в качестве параметров прямо E и N, но это не дает никаких преимуществ с вычислительной точки зрения, и не использовалось.

Дальнейшее восстановление u для всех промежуточных точек легко производится с помощью уравнений (A.3) в порядке обратном порядку исключения уравнений.

Заметим еще, что не обязательно производить исключение уравнении через ряд. Если это исключение производить блоками, то можно добиться эффективного выполнения этого алгоритма на вычислительных кластерах (исключение уравнений через ряд приспособлено только для архитектур с разделяемой памятью). Тогда каждый процессор сключает все уравнения в пределах своего блока, и передает матрицы для граничных уравнений блока единому процессу, которые затем решаются.

1. J. Callan, Curtis G., R. F. Dashen, D. J. Gross. The structure of the gauge theory vacuum // -Phys. Lett. -1976. -B63. -p.334–340.

2. R. Jackiw, C. Rebbi. Vacuum periodicity in a Yang-Mills quantum theory // -Phys. Rev. Lett. -1976. -37. -p.172–175.

3. G. ’t Hooft. Symmetry breaking through Bell-Jackiw anomalies // -Phys.

Rev. Lett. -1976. -37. -p.8–11.

4. G. ’t Hooft. Computation of the quantum effects due to a four- dimensional pseudoparticle // -Phys. Rev. -1976. -D14. -p.3432–3450. erratum: ibid., –1978, –D18. –p.2199.

5. S. L. Adler. Axial vector vertex in spinor electrodynamics // -Phys. Rev.

-1969. -177. -p.2426–2438.

6. J. S. Bell, R. Jackiw. A PCAC puzzle: 0 in the sigma model // -Nuovo Cim. -1969. -A60. -p.47–61.

7. W. A. Bardeen. Anomalous ward identities in spinor field theories // -Phys. Rev. -1969. -184. -p.1848–1857.

8. N. S. Manton. Topology in the Weinberg-Salam theory // -Phys. Rev.

-1983. -D28. -p.2019.

9. F. R. Klinkhamer, N. S. Manton. A saddle point solution in the Weinberg– Salam theory // -Phys. Rev. -1984. -D30. -p.2212.

10. A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. S. Shvarts, Y. S. Tyupkin.

Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations // -Phys. Lett. B59. -p.85–87.

11. А. И. Вайнштейн, В. И. Захаров, В. А. Новиков, М. Шифман. Инстантонная азбука // -УФН. -1982. -136. -С.551–591.

12. V. A. Kuzmin, V. A. Rubakov, M. E. Shaposhnikov. On the anomalous electroweak baryon number nonconservation in the early universe // Phys. Lett. -1985. -155B. -p.36.

13. P. Arnold, L. McLerran. Sphalerons, small fluctuations and baryon number violation in electroweak theory // -Phys. Rev. -1987. -D36. -p.581.

14. P. Arnold, L. McLerran. The sphaleron strikes back // -Phys. Rev. -1988.

-D37. -p.1020.

15. A. I. Bochkarev, M. E. Shaposhnikov. Anomalous fermion number nonconservation at high temperatures: Two-dimensional example // -Mod.

Phys. Lett. -1987. -A2. -p.991.

16. S. Y. Khlebnikov, M. E. Shaposhnikov. The statistical theory of anomalous fermion number nonconservation // -Nucl. Phys. -1988. -B308. -p.885– 17. D. Y. Grigoriev, V. A. Rubakov, M. E. Shaposhnikov. Sphaleron transitions at finite temperatures: Numerical study in (1+1)-dimensions // -Phys. Lett. -1989. -B216. -p.172.

18. A. N. Kuznetsov, P. G. Tinyakov. Periodic instanton bifurcations and thermal transition rate // -Phys. Lett. -1997. -B406. -p.76–82.

19. K. L. Frost, L. G. Yaffe. From instantons to sphalerons: Time-dependent periodic solutions of SU(2)-Higgs theory // -Phys. Rev. -1999. -D60.

-p.105021.

20. G. F. Bonini, S. Habib, E. Mottola, C. Rebbi, R. Singleton, P. G. Tinyakov.

Periodic instantons in SU(2) Yang-Mills-Higgs theory // In Copenhagen 1998, Strong and electroweak matter. -1999. -p. 173–182.

21. V. A. Rubakov, A. N. Tavkhelidze. Stable anomalous states of superdense matter in gauge theories // -Phys. Lett. -1985. -B165. -p.109–112.

22. V. A. Rubakov. On the electroweak theory at high fermion density // -Prog. Theor. Phys. -1986. -75. -p.366.

23. V. A. Matveev, V. A. Rubakov, A. N. Tavkhelidze, V. F. Tokarev.

Nonconservation of the fermion number in a cold dense fermion medium in V-A gauge theories // -Theor. Math. Phys. -1986. -69. -p.961–976.

24. V. A. Matveev, V. A. Rubakov, A. N. Tavkhelidze, V. F. Tokarev. Fermion number nonconservation and cold neutral fermionic matter in (V-A) gauge theories // -Nucl. Phys. -1987. -B282. -p.700–726.

25. D. Diakonov, V. Y. Petrov. Instability of dense baryon matter and baryon number nonconservation at high-energies // -Phys. Lett. -1992. -B275.

-p.459–464.

26. V. A. Rubakov. Electroweak nonconservation of the baryon number in the decay of heavy particles // -JETP Lett. -1985. -41. -p.266–268.

27. J. Ambjorn, V. A. Rubakov. Classical versus semiclassical electroweak decay of a techniskyrmion // -Nucl. Phys. -1985. -B256. -p.434.

28. V. A. Rubakov, B. E. Stern, P. G. Tinyakov. On the electroweak decay of a technibaryon in the soliton model // -Phys. Lett. -1985. -160B. -p.292.

29. A. Ringwald. High-energy breakdown of perturbation theory in the electroweak instanton sector // -Nucl. Phys. -1990. -B330. -p.1.

30. O. Espinosa. High-energy behavior of baryon and lepton number violating scattering amplitudes and breakdown of unitarity in the standard model // -Nucl. Phys. -1990. -B343. -p.310–340.

31. L. McLerran, A. Vainshtein, M. Voloshin. Electroweak interactions become strong at energy above approximately 10-TeV // -Phys. Rev. D42. -p.171–179.

32. V. I. Zakharov. Classical corrections to instanton induced interactions // -Nucl. Phys. -1992. -B371. -p.637–658.

33. S. Y. Khlebnikov, V. A. Rubakov, P. G. Tinyakov. Instanton induced cross-section at high-energies: Leading order and beyond // -Mod. Phys.

Lett. -1990. -A5. -p.1983–1992.

34. M. Porrati. Dispersion relations and finite size effects in high-energy electroweak interactions // -Nucl. Phys. -1990. -B347. -p.371–393.

35. S. Y. Khlebnikov, V. A. Rubakov, P. G. Tinyakov. Breakdown of semiclassical expansion in instanton sector at high-energies // -Nucl.

Phys. -1990. -B347. -p.783–801.

36. S. Y. Khlebnikov, V. A. Rubakov, P. G. Tinyakov. Instanton induced crosssections below the sphaleron // -Nucl. Phys. -1991. -B350. -p.441–473.

37. L. G. Yaffe. Scattering amplitudes in instanton backgrounds // In Santa Fe Workshop on Baryon Violation at the SSC, Santa Fe, NM, Apr 27-30, 1990. -1990. -p. 46–63.

38. P. B. Arnold, M. P. Mattis. Baryon violation at the SSC? Recent claims reexamined // -Phys. Rev. -1990. -D42. -p.1738–1743.

39. A. H. Mueller. First quantum corrections to gluon-gluon collisions in the one instanton sector // -Nucl. Phys. -1991. -B348. -p.310–326.

40. A. H. Mueller. Leading power corrections to the semiclassical approximation for gauge meson collisions in the one instanton sector // -Nucl. Phys. -1991. -B353. -p.44–58.

41. M. B. Voloshin. Quantum corrections on high-energy lines to amplitudes induced by euclidean field solutions // -Nucl. Phys. -1991. -B359. -p.301– 42. S. Y. Khlebnikov, P. G. Tinyakov. Constraint dependence of the instanton calculations and exponentiation of hard - soft corrections at high- energies // -Phys. Lett. -1991. -B269. -p.149–154.

43. P. B. Arnold, M. P. Mattis. Gauge propagator contribution to high-energy baryon number violation // -Mod. Phys. Lett. -1991. -A6. -p.2059–2068.

44. M. P. Mattis, L. D. McLerran, L. G. Yaffe. High-energy anomalous scattering: Is it semiclassical? // -Phys. Rev. -1992. -D45. -p.4294–4302.

45. A. H. Mueller. Baryon number violation in the one instanton sector: A classical procedure of calculation // -Nucl. Phys. -1992. -B381. -p.597– 46. X. Li, L. D. McLerran, M. B. Voloshin, R.-t. Wang. Corrections to highenergy particles interacting through an instanton as quantum fluctuations in the position of the instanton // -Phys. Rev. -1991. -D44. -p.2899–2915.

47. M. P. Mattis. The riddle of high-energy baryon number violation // -Phys.

Rept. -1992. -214. -p.159–221.

48. P. G. Tinyakov. Instanton like transitions in high-energy collisions // -Int. J. Mod. Phys. -1993. -A8. -p.1823–1886.

49. V. A. Rubakov, M. E. Shaposhnikov. Electroweak baryon number nonconservation in the early universe and in high-energy collisions // -Usp.

Fiz. Nauk. -1996. -166. -p.493–537.

50. V. A. Rubakov, P. G. Tinyakov. Towards the semiclassical calculability of high-energy instanton cross-sections // -Phys. Lett. -1992. -B279. -p.165– 51. P. G. Tinyakov. Multiparticle instanton induced processes and B violation in high-energy collisions // -Phys. Lett. -1992. -B284. -p.410–416.

52. V. A. Rubakov, D. T. Son, P. G. Tinyakov. Classical boundary value problem for instanton transitions at high-energies // -Phys. Lett. -1992.

-B287. -p.342.

53. A. N. Kuznetsov, P. G. Tinyakov. False vacuum decay induced by particle collisions // -Phys. Rev. -1997. -D56. -p.1156–1169.

54. A. H. Mueller. Comparing two particle and multiparticle initiated processes in the one instanton sector // -Nucl. Phys. -1993. -B401. p.93–115.

55. G. F. Bonini, A. G. Cohen, C. Rebbi, V. A. Rubakov. Tunneling of bound systems at finite energies: Complex paths through potential barriers // -quant-ph/9901062.

56. G. F. Bonini, A. G. Cohen, C. Rebbi, V. A. Rubakov. The semiclassical description of tunneling in scattering with multiple degrees of freedom // -Phys. Rev. -1999. -D60. -p.076004.

57. D. T. Son, V. A. Rubakov. Instanton - like transitions at high-energies in (1+1)- dimensional scalar models // -Nucl. Phys. -1994. -B422. -p.195– 58. F. Bezrukov, D. Levkov. Theta-instantons in SU(2) Higgs theory // -hepth/0303136.

59. A. N. Kuznetsov, P. G. Tinyakov. Numerical study of induced false vacuum decay at high- energies // -Mod. Phys. Lett. -1996. -A11. -p.479– 60. C. Rebbi, R. Singleton. Computational study of baryon number violation in high- energy electroweak collisions // -Phys. Rev. -1996. -D54. -p.1020– 61. F. Bezrukov, D. Levkov. Transmission through a potential barrier in quantum mechanics of multiple degrees of freedom: complex way to the top // -quant-ph/0301022.

62. F. Bezrukov, D. Levkov, C. Rebbi, V. Rubakov, P. Tinyakov. Semiclassical study of baryon and lepton number violation in high-energy electroweak collisions // -hep-ph/0304180.

63. M. B. Voloshin. On strong high-energy scattering in theories with weak coupling // -Phys. Rev. -1991. -D43. -p.1726–1734.

64. M. V. Libanov, V. A. Rubakov, D. T. Son, S. V. Troitsky. Exponentiation of multiparticle amplitudes in scalar theories // -Phys. Rev. -1994. -D50.

-p.7553–7569.

65. M. V. Libanov, D. T. Son, S. V. Troitsky. Exponentiation of multiparticle amplitudes in scalar theories. 2. Universality of the exponent // -Phys.

Rev. -1995. -D52. -p.3679–3687.

66. D. T. Son. Semiclassical approach for multiparticle production in scalar theories // -Nucl. Phys. -1996. -B477. -p.378–406.

67. М. В. Либанов, В. А. Рубаков, С. В. Троицкий. Многочастичные процессы и квазиклассика в бозонных теориях поля // -Физика элементарных частиц и атомного ядра. -1997. -28. -С.551–614.

68. V. A. Rubakov. Non-perturbative aspects of multiparticle production // In Proc. of the 2nd Rencontres du Vietnam, H Chi Minh City, Vietnam.

-Gif-sur-Yvette: Editions Frontieres. -1995. -p. 435–448.

69. F. L. Bezrukov, M. V. Libanov, S. V. Troitsky. O(4) symmetric singular solutions and multiparticle cross- sections in 4 theory at tree level // -Mod. Phys. Lett. -1995. -A10. -p.2135–2141.

70. Ф. Л. Безруков. Использование классических сингулярных решений для вычисления сечений многочастичных процессов в теории поля // -ТМФ. -1998. -115. -С.358–372.

71. F. Bezrukov, C. Rebbi, V. Rubakov, P. Tinyakov. Instanton-like processes in particle collisions: A numerical study of the SU(2)-Higgs theory below the sphaleron energy // In E. N. Alexeev, V. A. Matveev, K. S. Nirov, V. A. Rubakov, editors, Proc. XI-th Int. School “Particles and Cosmology”, Baksan Valley, Russia, April 18–24, 2001. -INR, Moscow. -2003. -p. 248– 72. F. Bezrukov, D. Levkov, C. Rebbi, V. Rubakov, P. Tinyakov. Suppression of baryon number violation in electroweak collisions: Numerical results // -hep-ph/0305300.

73. O. R. Espinosa. Fermions in anomalous processes // -Nucl. Phys. -1992.

-B375. -p.263–298.

74. Ф. А. Березин. Метод вторичного квантования. -М.: Наука, 1986.

75. А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. -2-е издание. -М.: Наука, 1988.

76. T. Akiba, H. Kikuchi, T. Yanagida. The free energy of the sphaleron in the Weinberg-Salam model // -Phys. Rev. -1989. -D40. -p.588.

77. S. Y. Khlebnikov, V. A. Rubakov, P. G. Tinyakov. Periodic instantons and scattering amplitudes // -Nucl. Phys. -1991. -B367. -p.334.

78. M. B. Voloshin. Catalyzed decay of false vacuum in four-dimensions // -Phys. Rev. -1994. -D49. -p.2014–2018.

79. I. Affleck. On constrained instantons // -Nucl. Phys. -1981. -B191. -p.429.

80. D. Forster. On the forces between instantons and anti-instantons // -Phys.

Lett. -1977. -B66. -p.279.

81. J. Callan, Curtis G., R. F. Dashen, D. J. Gross. Toward a theory of the strong interactions // -Phys. Rev. -1978. -D17. -p.2717.

82. D. Diakonov, V. Y. Petrov. Instanton based vacuum from feynman variational principle // -Nucl. Phys. -1984. -B245. -p.259.

83. B. Ratra, L. G. Yaffe. Spherically symmetric classical solutions in SU(2) gauge theory with a higgs field // -Phys. Lett. -1988. -B205. -p.57.

84. T. M. Gould, S. D. H. Hsu. Space-time symmetries and semiclassical amplitudes // -Mod. Phys. Lett. -1994. -A9. -p.1589–1602.

85. P. Sikivie, L. Susskind, M. B. Voloshin, V. I. Zakharov. Isospin breaking in technicolor models // -Nucl. Phys. -1980. -B173. -p.189.

86. E. Farhi, J. Goldstone, A. Lue, K. Rajagopal. Collision induced decays of electroweak solitons: Fermion number violation with two and few initial particles // -Phys. Rev. -1996. -D54. -p.5336–5360.

87. A. Ringwald. Electroweak instantons / sphalerons at VLHC? // -Phys.

Lett. -2003. -B555. -p.227–237.

88. A. Ringwald. From QCD instantons at HERA to electroweak B+L violation at VLHC // -hep-ph/0302112.

89. V. V. Khoze, A. Ringwald. Total cross-section for anomalous fermion number violation via dispersion relation // -Nucl. Phys. -1991. -B355.

-p.351–368.

90. D. I. Diakonov, V. Y. Petrov // In Proc. XXVI LINP Winter School.

LINP, Leningrad. -1991.

91. A. H. Mueller. On higher order semiclassical corrections to high-energy cross-sections in the one instanton sector // -Nucl. Phys. -1991. -B364.

-p.109–126.

92. W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery. Numerical recipes in C: the art of scientific computing. -Second edition. -Cambridge University Press, 1992.

93. F. L. Bezrukov, M. V. Libanov, D. T. Son, S. V. Troitsky. Singular classical solutions and tree multiparticle cross- sections in scalar theories // -hep-ph/9512342.

94. S. Fubini. A new approach to conformal invariant field theories // -Nuovo Cim. -1976. -34A. -p.521–566.

95. Л. Н. Липатов. Расходимость ряда теории возмущений и псевдочастицы // -Письма в ЖЭТФ. -1977. -25. -С.116–119.

96. S. Y. Khlebnikov. Semiclassical approach to multiparticle production // -Phys. Lett. -1992. -B282. -p.459.

97. M. B. Voloshin. Estimate of the onset of nonperturbative particle production at high-energy in a scalar theory // -Phys. Lett. -1992. -B293.

-p.389–394.