«БРЫКИНА ИРИНА ГРИГОРЬЕВНА МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ И ТРЕНИЯ ПРИ ПРОСТРАНСТВЕННОМ ГИПЕРЗВУКОВОМ ЛАМИНАРНОМ ОБТЕКАНИИ ТЕЛ ВО ВСЕМ ДИАПАЗОНЕ ЧИСЕЛ РЕЙНОЛЬДСА 01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы Диссертация на ...»

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ

ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА»

На правах рукописи

БРЫКИНА ИРИНА ГРИГОРЬЕВНА

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ И ТРЕНИЯ

ПРИ ПРОСТРАНСТВЕННОМ ГИПЕРЗВУКОВОМ ЛАМИНАРНОМ

ОБТЕКАНИИ ТЕЛ ВО ВСЕМ ДИАПАЗОНЕ ЧИСЕЛ РЕЙНОЛЬДСА

01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва -

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………………………………………

ЧАСТЬ I. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

ЗАДАЧ ОБТЕКАНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА В РАМКАХ

ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ…………………………………………………

1. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ОКОЛО ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ И СТРЕЛОВИДНЫХ КРЫЛЬЕВ

БЕСКОНЕЧНОГО РАЗМАХА, ОБТЕКАЕМЫХ ПОД УГЛОМ АТАКИ…………………………… 1.1. Постановка задачи………………………………………………………………… 1.2. Метод последовательных приближений для решения уравнений пограничного слоя в сжимаемом газе………………………………………………… 1.3. Аналитическое решение задачи в первом приближении……………………….. 1.4. Вывод формул для теплового потока и напряжения трения, отнесенных к их значениям в точке торможения……………………………………………………….. 1.5. Результаты расчетов теплового потока и напряжения трения на поверхности длинных крыльев, обтекаемых под углами атаки и скольжения. Сравнение аналитических решений с численными …………………………………………..….

2. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ОКРЕСТНОСТИ ПЛОСКОСТИ СИММЕТРИИ

ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ…………………………………………………………………………………. 2.1. Итерационный алгоритм в окрестности плоскости симметрии.

Аналитическое решение……………………………………………………………….. 2.2. Решение для относительного теплового потока и напряжения трения………... 2.3. Сравнение аналитических решений с численными на линии растекания (стекания) трехмерных тел, обтекаемых под углом атаки

3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ…………………… 3.1. Метод последовательных приближений для решения трехмерных уравнений пограничного слоя……………………………………………………….... 3.2. Решение в первом приближении. Формулы для относительных значений теплового потока и компонент напряжения трения…………………………………. 3.3. Сопоставление аналитических решений с численными ……………………..…

4. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК К ИДЕАЛЬНО КАТАЛИТИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

ЗАТУПЛЕННЫХ ТЕЛ ПРИ ПРОСТРАНСТВЕННОМ ОБТЕКАНИИ

ДИССОЦИИРОВАННЫМ И ИОНИЗОВАННЫМ ГАЗОМ……………………………………….. 5. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ………….. 5.1. Определение метрических коэффициентов для уравнений трехмерного пограничного слоя в системе координат, связанной с линиями тока внешнего невязкого течения ……………………………………………………………………... 5.2. Метод последовательных приближений в случае малости вторичного течения………………………………………………………………………………….. 5.3. Аналитическое решение…………………………………………………………... 5.4. Обтекание пластины под углом скольжения при наличии на ее поверхности эллиптического цилиндра……………………………………………………………... 5.5. Обтекание произвольных эллипсоидов под углом атаки……………………...

6. О СХОДИМОСТИ МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ДЛЯ

УРАВНЕНИЙ ПОГРАНСЛОЙНОГО ТИПА……………………………………………………

ЧАСТЬ II. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

ЗАДАЧ ГИПЕРЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ ПРИ УМЕРЕННЫХ ЧИСЛАХ

РЕЙНОЛЬДСА………………………………………………………………………………………..

1. ТОНКИЙ ВЯЗКИЙ УДАРНЫЙ СЛОЙ ОКОЛО ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ И КРЫЛЬЕВ

БЕСКОНЕЧНОГО РАЗМАХА, ОБТЕКАЕМЫХ ПОД УГЛАМИ АТАКИ И СКОЛЬЖЕНИЯ……….

1.1. Постановка задачи…………………………………………………………..…… 1.2. Метод последовательных приближений для решения уравнений тонкого вязкого ударного слоя. Исследование сходимости………………………………... 1.3. Аналитическое решение задачи………………………………………………… 1.4. Решение для теплового потока, отнесенного к его значению в точке торможения…………………………………………………………………………… 1.5. Сравнение аналитических решений с численными решениями уравнений полного и тонкого вязкого ударного слоя и уравнений Навье–Стокса…………… 2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ТОНКИЙ ВЯЗКИЙ УДАРНЫЙ СЛОЙ……………………………... 2.1. Постановка задачи трехмерного обтекания затупленных тел однородным газом в рамках модели тонкого вязкого ударного слоя……………………………. 2.2. Метод последовательных приближений для решения трехмерных уравнений……………………………………………………………………………... 3. ТЕЧЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ЛИНИИ ТОРМОЖЕНИЯ ТРЕХМЕРНОГО ТЕЛА……………… 3.1. Решение уравнений тонкого вязкого ударного слоя в окрестности линии торможения трехмерного тела……………………………………………………….. 3.2. Сопоставление аналитических решений с численными…..…………………..

4. ТЕЧЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ПЛОСКОСТИ СИММЕТРИИ ПРИ ТРЕХМЕРНОМ

ОБТЕКАНИИ……

4.1. Уравнения тонкого вязкого ударного слоя в окрестности плоскости симметрии трехмерного течения…………………………………………………….. 4.2. Аналитическое решение. Сравнение с численным решением………………... 4.3. Распределение относительного теплового потока вдоль плоскости симметрии тел, обтекаемых под углом атаки………………………………………. 5. ТЕЧЕНИЕ ОКОЛО БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ТРЕХМЕРНОГО ТЕЛА……………………... 5.1. Аналитическое решение трехмерных уравнений тонкого вязкого ударного слоя. Сравнение аналитических решений с численными………………………….. 5.2. Относительный тепловой поток на боковой поверхности тела……………….

6. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК К ПОВЕРХНОСТИ ЗАТУПЛЕННЫХ ТЕЛ, ОБТЕКАЕМЫХ

ХИМИЧЕСКИ НЕРАВНОВЕСНЫМ ПОТОКОМ ГАЗА……………………………………….... 6.1. Постановка задачи трехмерного обтекания затупленных тел химически реагирующим газом в рамках тонкого вязкого ударного слоя……………………. 6.2. Распределение относительного теплового потока вдоль идеально каталитической поверхности…………………………………………………………

ЧАСТЬ III. МЕТОД ПОДОБИЯ ТРЕХМЕРНЫХ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ

ГИПЕРЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ…………………………………………………………………….

1. МЕТОД ПОДОБИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЯ ТРЕНИЯ

В ОКРЕСТНОСТИ ПЛОСКОСТИ СИММЕТРИИ ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ………………... 1.1. Соотношения подобия в окрестности плоскости симметрии………..……….. 1.2. Тестирование метода подобия для однородного газа в рамках модели тонкого вязкого ударного слоя………………………………………………….. 1.3. Применение метода подобия в рамках уравнений Навье–Стокса….................

2. МЕТОД ПОДОБИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЯ ТРЕНИЯ

НА ПОВЕРХНОСТИ ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЛ, ОБТЕКАЕМЫХ ПОД УГЛОМ АТАКИ……………… 2.1. Соотношения подобия в общем случае трехмерного течения………………... 2.2. Эквивалентное осесимметричное тело…………………………………………. 2.3. Конвертирующая программа……………………………………………………. 2.4. Тестирование метода подобия для однородного газа………………………….

3. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПОДОБИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ И

НАПРЯЖЕНИЯ ТРЕНИЯ ПРИ ХИМИЧЕСКИ НЕРАВНОВЕСНОМ ОБТЕКАНИИ……………… 3.1. Тестирование метода подобия для химически реагирующего газа в рамках модели тонкого вязкого ударного слоя……………………………………………... 3.2. Тестирование метода подобия для химически реагирующего газа в рамках модели полного вязкого ударного слоя……………………………………………...

ЧАСТЬ IV. КОНТИНУАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

ГИПЕРЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА …..............

1. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ ГИПЕРЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ

ЗАТУПЛЕННЫХ ТЕЛ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА………………………………… 1.1. Асимптотическая оценка членов уравнений Навье–Стокса при малых числах Рейнольдса…………………………………………………………………… 1.2. Вывод уравнений полного и тонкого вязкого ударного слоя из уравнений Навье–Стокса при малых числах Рейнольдса………………………………………. 1.3. Вывод асимптотически корректных граничных условий для моделей полного и тонкого вязкого ударного слоя…………………………………………... 1.4. Асимптотически согласованные модели ВУС и ТВУС………………..............

2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТОНКОГО ВЯЗКОГО УДАРНОГО СЛОЯ

ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА………………………………………………………. 2.1. Режимы и параметры гиперзвукового течения разреженного газа…………... 2.2. Асимптотический метод решения уравнений ТВУС………………………….. 2.3. Аналитические решения для коэффициентов теплопередачи, трения и давления в переходном режиме пространственного обтекания тел………………. 2.4. Оценка точности и области применимости асимптотического решения…….. 3. ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ КОНТИНУАЛЬНЫХ МЕТОДОВ…………………………….. 3.1. Континуальные подходы к моделированию гиперзвукового обтекания тел разреженным газом. Сопоставление с результатами расчетов методом Монте-Карло ………………………………………………………………………….. 3.2. Сравнение континуальных решений с решениями кинетических уравнений.. 3.3. Область применимости континуальных моделей……………………………… ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………………........ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………………………………….

ВВЕДЕНИЕ

При спуске космических аппаратов и метеороидов в атмосфере Земли они последовательно проходят различные режимы сверх- и гиперзвукового обтекания, которые можно условно разбить на: свободномолекулярный режим; переходной от свободномолекулярного к континуальному режиму (режиму сплошной среды); «навьестоксовский»; «погранслойный». Эти режимы характеризуются разными диапазонами изменения чисел Рейнольдса набегающего потока, в каждом из этих режимов течение газа традиционно описывается адекватными своему режиму математическими моделями. При исследовании теплообмена и аэродинамики гиперзвуковых летательных аппаратов возникает необходимость решения пространственных задач обтекания затупленных тел вязким теплопроводным газом во всех режимах. Экспериментальное моделирование гиперзвуковых высотных течений около таких аппаратов в лабораторных условиях сильно ограничено в настоящее время. Применение к решению сложных трехмерных задач обтекания с учетом реальных физико-химических процессов численных методов требует больших вычислительных затрат, особенно задач обтекания разреженным газом в переходном режиме. Поэтому, наряду с развитием численных методов, важна разработка эффективных приближенных и аналитических методов, обладающих достаточной точностью, которые полезны для корректной постановки экспериментов, интерпретации результатов численного моделирования и могут применяться в практике проведения многочисленных расчетов при варьировании параметров обтекания и формы тела, необходимых при проектировании перспективных гиперзвуковых летательных аппаратов.

При больших числах Рейнольдса основной математической моделью, применяемой в практике расчетов аэродинамики и теплообмена летательных аппаратов, является модель пограничного слоя, предложенная Прандтлем Л. [1], в которой возмущенная область течения между бесконечно-тонкой ударной волной и телом разбивается на прилегающий к поверхности тонкий пограничный слой и внешнее невязкое течение.

Такой режим течения можно назвать «погранслойным». Классичеcкая теория пограничного слоя изложена в монографиях Лойцянского Л.Г. [2] и Шлихтинга Г. [3].

Уравнения трехмерного ламинарного пограничного слоя в для произвольной поверхности были получены Т. Леви-Чивита [4], затем, иным путем, Хоуэрзом Л. [5]. Строгий вывод уравнений трехмерного пограничного слоя для произвольной поверхности в несжимаемой жидкости и в сжимаемом газе дан В.В. Струминским в работах [6, 7], где показано, что эти уравнения являются предельной формой уравнений Навье–Стокса при неограниченном возрастании числа Рейнольдса.

Задачи обтекания в рамках уравнений пограничного слоя решались до широкого внедрения ЭВМ в практику газодинамических расчетов, и для их решения разработаны не только "точные" численные, но и приближенные методы – различные интегральные методы, методы, основанные на упрощении системы уравнений, и другие.

Развивался интегральный метод Польгаузена К. [8], разные варианты и обобщения которого приведены в книге Л.Г. Лойцянского [2], применительно не только к двумерным, но и к трехмерным задачам. Например, в работе Тиммана Р., Цаата Ю. [9] – к исследованию пограничного слоя в несжимаемой жидкости на трехосных эллипсоидах, профили продольной и поперечной скорости характеризовались двумя параметрами, определяемыми из интегральных соотношений импульсов. В работе Смита Р., Ченга П.

[10] трехпараметрический интегральный метод применен к исследованию пограничного слоя в сжимаемом газе на острых конусах под углом атаки. В работе Смита Р., Юнга А.

[11] рассмотрено несколько методов приближенного решения интегральных уравнений импульсов пространственного несжимаемого пограничного слоя, в основе которых лежит метод Польгаузена, при наличии положительных и отрицательных градиентов давления.

В работах А.М. Гришина [12, 13 и др.] вариант метода интегральных соотношений применен для решения уравнений температурных и диффузионных пограничных слоев и предложена его модификация, в результате которой метод из интерполяционного становится итерационно-интерполяционным. В дальнейшем этот метод был обобщен на трехмерные уравнения параболического типа, современное состояние метода изложено в монографии Гришина А.М., Зинченко В.И. и др. [14].

Большое распространение получил «обобщенный» метод интегральных соотношений, предложенный А.А. Дородницыным [15], используемый для решения пространствeнныx задач пограничного слоя в работах Башкина В.А. [16-18], Баринова В.А. [19] и других. Этим методом исследовались течения на бесконечных цилиндрических телах со скольжением [16,19], на острых эллиптических конусах под углом атаки [17] и на линиях растекания [18].

В ряде работ применялся интегральный параметрический метод Л.Г. Лойцянского [20]. Метод основан на том, что параметpы, выражающие влияние внешних условий, переводятся в число независимыx переменных, что позволяет получить уравнения пограничного слоя в "универсальном" виде, одинаковом для всех частных заданий распределения скорости на внешней границе. Метод был распространен на расчет течения в трехмерном пограничном слое в работах Богдановой В.В. [21, 22] – в осесимметричном канале в случае закрученного внешнего потока и на равномерно вращающемся крыле, Зубцова А.В. [23] – на плоской пластине с цилиндрическим препятствием, и других.

Широкое применение нашел метод так называемой «осесимметричной аналогии», когда трехмерный пограничный слой исследуется с помощью упрощенной системы уравнений, получающейся в результате использования предположения о малости скорости, поперечной линиям тока внешнего течения, например, в работах [24-31].

Хейз В. [24] первым заметил, что допущение о малой интенсивности вторичного течения в системе координат, связанной с линиями тока внешнего невязкого течения, приводит к линеаризации уравнения движения для вторичного течения и позволяет свести систему уравнений пространственного пограничного слоя к двумерным уравнениям. Позже в работе Эйшелбреннера Е., Ударта A. [25] отмечалось, что при малой интенсивности вторичного течения уравнения, описывающие пограничный слой в несжимаемой жидкости, приводятся к форме, аналогичной уравнениям пограничного слоя на осесимметричных телах. Кук Дж. [26] показал, что подобная связь существует и для уравнений пограничного слоя в сжимаемом газе. В работах Чэна [27], Рэйнберда В., Краббе Р., Джурвикса Л. [28], Фэннелопа К. [29], и др. на основании экспериментальных и теоретических исследований авторы пришли к выводу, что гипотеза о малом вторичном течении может дать удовлетворительные результаты, когда угол между направлениями невязких линий тока и предельных линий тока на теле не превышaет 25°-30°. В работе Фэннелопа К. [29] уравнения трехмерного пограничного слоя в сжимаемом газе сводятся к системе двумерных уравнений в результате систематического применения метода малых возмущений, где малый параметр связан с кривизной линий тока в невязком течении.

Эффeктивным оказался интегральный метод последовательных приближений, предложенный Г.А. Тирским [32, 33] для решения двумерных задач пограничного слоя.

Надо отметить, что в описанных выше приближенных методах решение задач пространственного пограничного слоя в сжимаемом газе не доводится до конечных аналитических выражений и приходится так или иначе при6егать к численным расчетам дифференциальных уравнений, хотя и более простых, чем исходные. Применение же метода последовательных приближений позволяет получать по единому алгоритму как "точные" численные решения путем вычисления достаточно большого числа приближений, так и аналитические решения в первом приближении. Сходимость метода исследовалась численно в работе Ковач Э.А., Тирского Г.А. [33] и была доказана аналитически на модельной задаче в работе автора [34].

Этот метод в разных вариациях успешно применялся к решению различных пространственных задач в работах [35-43] и др. В работах Тирского Г.А., Шевелева Ю.Д.

[35] и Шахова Н.Н., Шевелева Ю.Д. [36] предложена вариация метода последовательных приближений для решения уравнений несжимаемого и сжимаемого трехмерного пограничного слоя в локально-автомодельном приближении. В работе автора [37], предположении малости вторичного течения получено аналитическое решение для скорости и трения на телах, обтекаемых несжимаемой жидкостью, метод применен к задаче обтекания пластины с цилиндрическим препятствием под углом скольжения. В работе автора [39] метод применен к исследованию течения в пограничном слое на произвольных эллипсоидах, обтекаемых несжимаемой жидкостью под углом атаки. В работах автора [40-43], совместных с Гершбейном Э.А., Пейгиным С.В., методом последовательных приближений получены аналитические решения уравнений сжимаемого пространственного пограничного слоя на проницаемой поверхности в задачах обтекания стреловидных крыльев бесконечного размаха под углом атаки, в окрестности плоскости симметрии и на боковой поверхности затупленных тел.

Аналитические выражения для распределения теплового потока, отнесенного к его значению в точке торможения, были получены ранее для осесимметричного обтекания в работе Лиза Л. [44] в ряде предположений и в работе Кемпа Н., Роуза П., Детры Р. [45], уточняющей формулу Лиза путем аппроксимации численных расчетов системы локальноавтомодельных уравнений пограничного слоя. В ряде работ были получены аппроксимационные приближенные формулы для расчета теплового потока в точке торможения, например, для осесимметричного течения в работах Фэя Д., Ридделла Ф.

[46], Суслова О.Н. [47], для трехмерного – Решотко И. [48], Тирского Г.А. [49] и других, из которых самой известной и широко применяемой является формула Фэя и Ридделла.

Краткий обзор некоторых приближенных методов расчета теплопередачи при больших числах Рейнольдса дан в работе Джарнетта Ф., Гамильтона и др. [50].

При исследовании гиперзвукового обтекания затупленных тел при умереннобольших и умеренно-малых числах Рейнольдса (навье-стоксовский режим обтекания) вязкость и теплопроводность газа оказывают влияние в значительной части ударного слоя и модель в виде бесконечно-тонкой ударной волны, вязкого пограничного слоя около поверхности тела и разделяющей их области невязкого течения перестает быть справедливой. С уменьшением числа Рейнольдса головная ударная волна и пограничный слой постепенно утолщаются, а размеры невязкой области уменьшаются, cтановится существенным влияние процессов переноса на параметры течения непосредственно за утолщенной ударной волной, и также влияние скольжения и скачка температуры на поверхности. Впервые вопрос о влиянии вязкости и теплопроводности на течение rаза за сильно искривленной ударной волной рассматривался в работе Седова Л.И., Михайловой М.П., Черного Г.Г. [51]. Различные типы разреженных течений и их асимптотический анализ около лобовой поверхности затупленного тела обсуждаются в работах Пробстейна Р., Кемпа Н. [52], Хейза У., Пробстина Р. [53], Маркова А.А., Чудова Л.А. [54], Авдуевского В.С., Иванова А.В. [55] и других.

В этом режиме, соответствующем участку траектории спуска гиперзвуковых аппаратов в атмосфере Земли 60-100 км (при радиусе носового затупления 1 м, эти границы условны и зависят от конкретной задачи, в частности, от каталитических свойств поверхности) задачи обтекания решаются в рамках системы уравнений Навье–Стокса (НС) или ее различных упрощенных моделей. Уравнения НС является наиболее общей моделью течений в режиме сплошной среды. Моделирование течений около обтекаемых сверхзвуковым потоком тел на основе полных уравнений НС (Головачев Ю.П. [56], Таннехилл Дж. и др. [57] и другие), позволяют исследовать структуру сложных течений с зонами сильного вязко-невязкого взаимодействия, скачками уплотнения, отрывами, рециркуляцией и пр. Однако расчёты течений на основе полных уравнений НС являются достаточно трудоёмкими, особенно при решении сложных трехмерных задач с учетом неравновесных физико-химических процессов. При больших числах Re и большой протяженности области интегрирования потребности в вычислительных ресурсах при численном решении уравнений НС значительно возрастают. При малых числах Re они тоже велики, так как внешняя граница области интегрирования, где задаются условия в невозмущенном набегающем потоке при сквозном счете, отодвигается все дальше от поверхности тела. Иногда при решении уравнений НС в качестве внешней границы области интегрирования выделяется головная ударная волна, при этом значения функций за ее фронтом находятся из обобщенных соотношений Ренкина–Гюгонио, вывод которых дан, например, в работе Толстых А.И. [58] и Тирского Г.А. [59].

В то же время в случае стационарных вязких течений во многих практически важных случаях описание течений с достаточной точностью возможно в рамках более простых математических моделей, численная реализация которых требует существенно меньших вычислительных затрат. Поэтому в настоящее время наряду с использованием полных уравнений НС для расчёта вязких течений около движущихся со сверхзвуковой скоростью тел широко распространены упрощённые подходы.

Начиная с 1960-х годов было предложено много упрощенных асимптотическими и другими оценочными методами с использованием свойств конкретной задачи уравнений НС для решения различных внешних и внутренних задач аэродинамики вязкого теплопроводного газа при умеренно больших и умеренно малых числах Re. Наиболее известными упрощенными моделями являются модели тонкого, или гиперзвукового, вязкого ударного слоя (ТВУС), полного вязкого ударного слоя, или вязкого ударного слоя (ВУС), и параболизованные уравнения НС (ПУНС).

Первой из этих систем упрощенных уравнений НС исторически является модель тонкого вязкого ударного слоя ТВУС, полученная Ченгом К. [60, 61] путем асимптотического анализа уравнений НС для умеренно больших чисел Re >> 1 при:

М2 >> 1, 1 получаются физически некорректные результаты – давление обращается в ноль на теле ~ при 60°. В случае обтекания тел с убывающей кривизной поверхности, таких как параболоиды и гиперболоиды, модель ТВУС дает удовлетворительные результаты достаточно далеко от точки торможения.

Модель вязкого ударного слоя (ВУС) была предложена в работе Дэвиса Р. [74]. Эта модель является композитной – уравнения ВУС включают в себя все члены уравнений пограничного слоя и все члены уравнений Эйлера (в отличие от модели ТВУС), т.е. в ней содержится механизм передачи возмущений вверх по потоку. В качестве граничных условий на ударной волне, форма которой находится в процессе решения задачи, ставятся обобщенные соотношения Ренкина–Гюгонио. В этих соотношениях в модели Дэвиса [74], как и в ряде последующих работ, использующих эту модель, допущена ошибка: в условиях для касательной скорости и температуры стоят производные по нормали в системе координат, связанной с поверхностью обтекаемого тела, а должны быть в системе координат, связанной с поверхностью ударной волны. Эта ошибка отмечалась в работе Ли К., Гупты Р, Мосса Дж. и др. [75] и в совместной с Роговым Б.В., Тирским Г.А. работе автора [76], однако, как показывают численные расчеты, при гиперзвуковых скоростях она не оказывает существенного влияния на распределения теплового потока, напряжения трения и давления по лобовой поверхности тела.

Cистема уравнений ВУС широко и успешно используется для расчёта параметров сверх- и гиперзвукового обтекания наветренной части затупленных тел (см., например, обзоры Тирского Г.А. [77] и Алексина В.А., Маркова А.А., Рогова Б.В., Тирского Г.А.

[78]). Эта система является эволюционной по продольной координате, соответствующей преимущественному направлению течения, и для ее численного решения были развиты эффективные итерационно-маршевые методы, например, в работах Васильевского С.А., Тиpcкого Г.А., Утюжникoва С.В. [79], Ковалева В.Л., Крупнова А.А., Тиpcкого Г.А. [80], Рогова Б.В., Соколовой И.А. [81], которые позволяют существенно сократить затраты вычислительных ресурсов на решение задачи обтекания по сравнению с затратами, необходимыми для нахождения решения в рамках полных уравнений НС.

Параболизованные уравнения НС (ПУНС) были предложены Толстых А.И. [82] и в несколько ином виде Головачевым Ю.П., Поповым Ф.Д. [83] для задач сверхзвукового обтекания тел в предположении наличия преимущественного направления течения. В отличие от «классических» моделей ТВУС и ВУС, существуют разные вариации уравнений ПУНС (например, Афонина Н.Е., Громов В.Г. [84], Гершбейн Э.А., Колесников А.Ф. [85], Гершбейн Э.А., Щербак В.Г. [86]). Все они содержат полностью члены уравнений Эйлера и в них, как и в модели ВУС, существует механизм передачи возмущений вверх по потоку. Модели ПУНС содержат вторую производную по нормальной координате от нормальной компоненты вектора скорости, что дает возможность ставить граничные условия в невозмущенном набегающем потоке и проходить сквозным счетом через структуру ударной волны. Этим свойством не обладают модели ТВУС и ВУС. Модели ПУНС, как и модели ТВУС и ВУС, не содержат вторые производные вдоль продольной переменной, соответствующей маршевому направлению.

Это свойство является характерным для упрощенных моделей уравнений НС и дает возможность находить решения стационарных задач маршевыми методами.

Исследования пределов применимости упрощенных моделей и их точности проводились на основе сравнения их решений друг с другом и с решениями уравнений НС во многих работах: Головачева Ю.П., Кузьмина Ф.Д., Попова Ф.Д. [87], Сриваставы Б., Верле М., Дэвиса Р. [88], автора [89, 90], Ли К., Гупты Р, Мосса Дж. и др. [75], Головачева Ю.П. [56], Тиpcкого Г.А., Утюжникoва С.В. [91], Власова В.И., Горшкова А.Б.

[92] и других. Выбор модели определяется постановкой конкретной задачи и происходит на основе асимптотических и других оценок для данного класса течений, на основе сравнений с решениями, полученными в рамках более точных моделей, с результатами экспериментов, на основе оптимального сочетания простоты математической модели и ее численной или иной реализации с точностью даваемых на ее основе результатов.

Отметим, что для исследования задач обтекания при умеренных числах Re мало развивались приближенные методы, позволяющие находить аналитические решения или упростить задачу, в отличие от решения таких задач в рамках теории пограничного слоя, что отмечалось, например, в работе Джарнетта Ф., Гамильтона и др. [50], где дан обзор приближенных методов расчета теплопередачи при больших числах Re. Аналитические решения уравнений ТВУС были получены для точки торможения осесимметричного тела в работах Ченга К. [60, 61], Шидловского В.П. [93], Магомедова К.М. [66]. Приближенные аппроксимационные зависимости для оценки теплопередачи в точке торможения, являющиеся своего рода обобщением формулы Фэя и Риддела, предложены в работах Провоторова В.П., Степанова Э.А. [94], Ботина А.В., Провоторова В.П., Степанова Э.А.

[95], Егорова И.В., Кузнецова М.М., Соколова Л.А. [96].

В работах Зоби И. [97], Гупты Р., Мосса Дж., Симмондса А. и др. [98], Зоби И., Симмондса А. [99] и других делается попытка свести решение трехмерной задачи к двумерной и для оценки тепловых потоков в окрестности плоскости симметрии космического корабля Space Shuttle используется обычное осесимметричное решение для тела, образованного вращением линии растекания, при этом наветренная поверхность в окрестности плоскости симметрии заменяется подходящим гиперболоидом. Однако, как показано в работах автора [100, 101] (совместных с Русаковым В.В., Щербаком В.Г.) использование такого решения для произвольной поверхности может приводить к значительным ошибкам, так как в таком подходе не учитывается влияние реальной поперечной кривизны поверхности, а оно может быть велико. Аналогичный подход для расчета теплопередачи в плоскости симметрии летательного аппарата использовался в работе Гусева В.Н., Егорова И.В., Провоторова В.П. [102]. В работе Егорова И.В., Провоторова В.П., Степанова Э.А. [103] предложены аппроксимационные формулы для распределения теплового потока, отнесенного к его значению в точке торможения, вдоль гиперболоидов вращения с учетом каталитической активности поверхности.

Приближенные методы решения пространственных задач гиперзвукового обтекания при умеренных числах Re начали разрабатываться в работах автора с конца 70-х годов. Сравнительная простота математической модели ТВУС, параболический характер ее уравнений, позволили разработать на ее основе приближенные методы расчета тепловых потоков и напряжения трения на наветренной стороне обтекаемых гиперзвуковым потоком газа затупленных тел. В работах автора [89, 90] был разработан метод последовательных приближений для решения уравнений ТВУС в случае условий прилипания [89] и условий скольжения на стенке [90] и получены аналитические решения для осесимметричных течений. В дальнейшем в ином виде метод применялся в работах Гершбейна Э.А., Юницкого С.А. [104] и Гершбейна Э.А., Щелина В.С., Юницкого С.А.

[105] для решения некоторых пространственных задач, при этом не учитывались эффекты скольжения и в [105] – продольные составляющие градиента давления, что приводит к большой ошибке при определении напряжения трения; при организации итерационного процесса приближения не удовлетворяли условиям на ударной волне, что ведет, как показано в работах автора [89] и [106] (совместной с Русаковым В.В.) к значительному снижению точности решения в первом приближении.

Приближенные аналитические решения пространственных задач обтекания:

стреловидных крыльев под углом атаки, окрестности точки торможения двоякой кривизны, плоскости симметрии и боковой поверхности затупленных тел получены разработанным методом последовательных приближений в работах автора [70] (совместной с Гершбейном Э.А.), [71, 72] (совместных с Русаковым В.В.), [73] (совместной с Русаковым В.В. Щербаком). В работах автора [107] и [108, 109] (совместных с Русаковым В.В. Щербаком) предложены простые формулы для распределения относительных тепловых потоков на идеально-каталитической поверхности затупленных тел, обтекаемых химически неравновесным потоком газа.

В работах автора [110] (совместной с Русаковым В.В.), [111-113] (совместных с Русаковым В.В. Щербаком), [114] (совместной с К. Скоттом), [115-116] развит метод подобия для расчета теплопередачи и напряжения трения на наветренной стороне пространственных затупленных тел, обтекаемых под углом атаки, который сводит решение трехмерной задачи к решению осесимметричной. Метод обладает хорошей точностью и применим для различных моделей течения – ТВУС, ВУС, уравнений НС как для однородного газа, так и с учетом реальных физико-химических процессов и позволяет решать трехмерные задачи обтекания, используя программы расчета осесимметричных течений, что существенно расширяет возможности и экономит вычислительные ресурсы.

При исследовании теплообмена и аэродинамики космических аппаратов, движущихся в атмосфере Земли на высотах выше 100 км, возникает необходимость решения задач гиперзвукового обтекания не только в континуальном, но и в переходном от свободномолекулярного к континуальному режиме течения. Переходной режим обтекания характеризуется большими числами Кнудсена набегающего потока Kn = l /R (l – средняя длина свободного пробега в набегающем потоке, R0 – характерный размер тела), или малыми числами Рейнольдса Re, определяющими степень разреженности газа.

Течение в переходном режиме наиболее строго описывается в рамках модели, основанной на решении кинетического уравнения Больцмана для одночастичной функции распределения. Это нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию функции распределения, содержит интеграл столкновений, с вычислением которого связаны основные трудности при решении уравнения Больцмана. Развиты эффективные численные методы решения кинетического уравнения Больцмана (Йен С.

[117], Аристов В.В. [118], Черемисин Ф.Г. [119] и др.), однако решение пространственных задач гиперзвукового обтекания в рамках уравнения Больцмана при больших числах Маха представляет до сих пор сложную вычислительную проблему.

Предложены разные более простые модели кинетических уравнений, основанные на различных приближениях интеграла столкновений. Первой из них и достаточно распространенной является модель Бхатангара П., Гросса И., Крука М. [120] (модель BGK, или уравнение Крука) с достаточно простым модельным интегралом столкновений.

При переходе к сплошной среде уравнение Крука дает число Прандтля, равное единице, в то время как его значение для одноатомного газа равно 2/3 (Крук М.[121]). Широкое распространение получило кинетическое уравнение с модельным интегралом столкновений в виде S–модели Е.М. Шахова [122, 123]. Несмотря на то, что это уравнение значительно проще точного уравнения Больцмана, оно также является сложным интегродифференциальным уравнением и требует больших вычислительных затрат для решения даже двумерных задач гиперзвукового обтекания при относительно умеренных числах Маха (И.Г. Брыкина, Б.В. Рогов, Г.А. Тирский, В.А. Титарев, С.В. Утюжников [124]).

Наличие в безразмерном уравнении Больцмана числа Kn перед полной производной от функции распределения в фазовом пространстве координат и скоростей позволяет построить асимптотические приближения этого уравнения, эффективные для решения задач гиперзвуковой аэродинамики и теплообмена при достаточно больших и достаточно малых числах Kn. В свободномолекулярном режиме обтекания (Kn >> 1) уравнение Больцмана допускает точное решение в виде равновесной по скоростям функции распределения Максвелла, в этом случае определение аэродинамических сил и потоков тепла на стенку можно свести к квадратурам. Для гиперзвуковых течений решение для коэффициентов теплопередачи, трения и давления представляется в виде соотношений, зависящих от числа Маха набегающего потока, температуры поверхности и угла между нормалью к поверхности и скоростью набегающего потока с точностью до коэффициентов диффузного отражения и аккомодации (Хейз У., Пробстин Р. [53]).

Когда число Kn достаточно мало, разложение функции распределения в окрестности локального термодинамического равновесия (в окрестности равновесной по скоростям функции Максвелла) по степеням числа Kn с использованием метода Чепмена– Энскога (Чепмен С., Каулинг Т. [125]) в нулевом приближении приводит к уравнениям Эйлера, а в первом приближении – к уравнениям Навье–Стокса, с потерей возможности описывать процессы, протекающие за время между столкновениями частиц и в областях порядка длины свободного пробега, например, в кнудсеновских слоях и в структуре ударных волн. Вывод уравнений Эйлера и Навье–Стокса из уравнения Больцмана для химически реагирующего многокомпонентного газа дан в монографии Алексеева Б.В., Гришина А.М. [126]. Уравнение Больцмана, в отличие от уравнений гидродинамики, описывает процессы, протекающие в масштабах временных и пространственных кнудсеновских слоев, однако решение краевых задач в рамках этого уравнения требует применения трудоемких численных методов, в то время как континуальные уравнения допускают в ряде случаев аналитические решения содержательных краевых задач.

Во втором приближении метода Чепмена–Энскога получаются уравнения Барнетта.

Использование этих уравнений позволило достичь определенного успеха в задаче о структуре ударной волны (Галкин В.С., Шавалиев М.Ш. [127], Йан К., Агарвал Р. [128] и др.) по сравнению с уравнениями НС, которые дают при больших числах Маха толщину ударной волны значительно меньше, чем в эксперименте. Однако надежды на улучшение результатов решения задач сверхзвукового обтекания в области малых чисел Re с применением уравнений Барнетта по сравнению с результатами, полученными на основе уравнений НС, не оправдались. Так, согласно численному решению задачи обтекания пластины с острой передней кромкой в работе Таннехилла Дж., Эйслера Г. [129], уравнения Барнетта дают менее точное описание поля течения, чем уравнения НС. В работах Когана М.Н. [130], Имлэя С. [131] показано, что учет барнеттовских членов ухудшает согласование теоретических и экспериментальных результатов при числах Kn, приближающихся к границе применимости уравнений НС. В работе Когана М.Н. [130] сделан вывод, что уравнения Барнетта могут улучшить результаты решения задач обтекания только в случаях, когда уравнения НС имеют приемлемую точность, однако там, где уравнения НС непригодны, непригодны и уравнения Барнетта.

В настоящее время основным, широко применяемым, подходом к моделированию двумерных и трехмерных гиперзвуковых течений в переходном режиме обтекания является метод прямого статистического моделирования Монте-Карло в разных вариантах (Берд Г. [132], Мосс Дж., Берд Г. [133], Иванов М.С., Гимельшейн С.Ф. [134], Мунц Е.

[135], Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е. [136] и другие). Методы прямого статистического моделирования требуют очень больших затрат вычислительных ресурсов, которые возрастают при моделировании «околоконтинуальных» течений из-за сильного возрастания числа моделирующих частиц.

В последние годы стали развиваться гибридные методы, сопрягающие численное решение кинетического уравнения Больцмана или модельных кинетических уравнений, или решение, полученное методом прямого статистического моделирования, с решением континуальных уравнений, например, в работах Колобова В.И., Асланбекова Р.Р., Аристова В.В. и др. [137], Дешене Т., Бойда И. [138] и других.

Существуют еще приближенные полуэмпирические «мостовые» методы, которые интерполируют коэффициенты сопротивления и теплопередачи между их значениями в свободномолекулярном режиме обтекания и континуальном (обычно в пограничном слое), применяемые для расчета сопротивления и теплопередачи летательных аппаратов ([94, 139-144] и др.), а также для расчета конвективного теплообмена метеороидов ([145, 146] и др.) в переходном режиме гиперзвукового обтекания. Такие мостовые методы бывают полезны, хотя они дают весьма приближенную зависимость этих коэффициентов как от газодинамических параметров обтекания, так и от геометрических параметров обтекаемого тела, что может приводить к значительным ошибкам, как отмечается, например, в работе И.Г. Брыкиной, В.П. Стулова [146]. Отметим, что в работе Джейна А., Хейза Дж. [142] для распространения мостового метода на обтекание трехмерных тел использовался разработанный автором в части III метод подобия.

Исследования по выяснению возможности распространения континуального подхода для решения задач гиперзвуковой аэротермодинамики при малых числах Re и определению границ его применимости предпринимались, начиная с 60-х годов, в работах [52, 60, 61, 148-157] и др. Сложилось мнение, существовавшее до недавнего времени, что континуальный подход неприменим для решения таких задач при достаточно малых числах Re. В частности, это связано с тем, что во многих расчетах коэффициенты теплопередачи и трения, даже с учетом скорости скольжения и скачка температуры на поверхности, начиная с некоторых чисел Re превышали свои значения в свободномолекулярном режиме обтекания, т.е. получались физически неверные результаты. Так, наилучшие из полученных решений уравнений Навье–Стокса с учетом эффектов скольжения дают правильное, согласующееся с результатами метода МонтеКарло, предсказание теплового потока в точке торможения затупленного тела примерно до чисел Кнудсена набегающего потока Kn 1. (Гупта Р., Симмондс А. [151], Гокен Т., МакКормак Р. [154], частная беседа с Сахаровым В.И.).

В работах Кузнецова М.М., Никольского В.С. [158, 159], Кузнецова М.М., Липатова И.И., Никольского В.С. [160] на основе асимптотического решения кинетического уравнения Больцмана с модельным оператором столкновений с применением метода Максвелла получена система макроскопических уравнений (двумерная и трехмерная), описывающая течение многоатомного газа в тонком вязком ударном слое с нелинейной зависимостью компонент тензора напряжений и вектора теплового потока от производных компонент продольной скорости по поперечной координате, более точная, чем система уравнений ТВУС, основанная на уравнениях НС.

Аналогичная система уравнений была получена из тринадцатимоментных уравнений Грэда [173] в приближении тонкого слоя в работах Ченга и др. [155, 156] для одноатомного газа. Такую систему уравнений с нелинейной зависимостью компонент тензора напряжений и вектора потока тепла от производных компонент продольной скорости по поперечной координате Ченг называет системой уравнений ТВУС, основанной на кинетической теории, а обычную систему уравнений ТВУС – основанной на уравнениях НС. В работах [155, 156] выведен принцип взаимосвязи этих двух систем уравнений, записанных в переменных Мизеса или Дородницына-Лиза, и показано теоретически, что тепловой поток и напряжение трения могут определяться из системы уравнений, основанной на уравнениях НС, т.е. на них не оказывают влияния неравновесные эффекты, выражаемые нелинейными членами (в рассмотренном приближении). Ченг считает это кинетическим обоснованием применимости континуального подхода для расчета теплового потока и напряжения трения в переходном режиме обтекания, которое объясняет полученное в [155, 156] хорошее согласование решений для этих величин в рамках модели ТВУС, основанной на уравнениях НС, с результатами расчетов методом Монте-Карло при больших числах Kn (до Kn 10) вне формальных пределов применимости уравнений НС. Это не относится к полю течения – профилям скорости, плотности и температуры, которые сильно различаются для систем уравнений ТВУС, основанных на уравнениях НС и на кинетической теории.

Континуальный подход для исследования теплопередачи и трения на затупленных телах в переходном режиме гиперзвукового обтекания, основанный на использовании асимптотически согласованных моделей ВУС и ТВУС, развивался в работах автора [161совместных с Б.В. Роговым, Г.А. Тирским), [171] (совместных с Б.В. Роговым), [172] (совместных с Б.В. Роговым, Г.А. Тирским, С.В. Утюжниковым) и др.

Путем асимптотического анализа при малых числах Re из уравнений НС выведены уравнения ВУС и ТВУС, выведены корректные, согласующиеся с уравнениями, граничные условия для этих моделей на ударной волне и на поверхности тела [76, 168, 172]. В работах [161-166] получены асимптотические решения уравнений ТВУС для коэффициентов трения и теплопередачи и показано, что модель ТВУС при стремлении числа Re к нулю дает свободномолекулярные пределы для этих коэффициентов (при единичном коэффициенте аккомодации). Аналогичный результат был получен ранее Ченгом [60] для точки торможения осесимметричного тела при нулевой температуре стенки и линейной зависимости коэффициента вязкости от температуры. Проведены сравнения [162-172] численных и аналитических континуальных решений с решениями кинетических уравнений и расчетами методом Монте-Карло, показавшие хорошее согласование континуальных решений для коэффициентов теплопередачи и трения с кинетическими во всем переходном режиме обтекания.

Провоторов В.П., Рябов В.В. [174], Гупта Р., Симмондс А. [151] и др.) показали, что в переходном режиме обтекания (на высотах выше 100 км при радиусе затупления тела ~ 1 м) при скоростях, характерных для планирующей траектории спуска космических аппаратов в атмосфере Земли, неравновесные физико-химические процессы в воздухе и каталитические свойства поверхности оказывают слабое влияние на теплопередачу и напряжение трения на поверхности, течение становится замороженным и вполне удовлетворительно описывается в рамках однородного совершенного газа.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Пространственные задачи гиперзвукового обтекания тел вязким теплопроводным газом являются одними из наиболее важных задач аэротермодинамики, связанных с разработками современных гиперзвуковых летательных аппаратов, движущихся в верхних слоях атмосферы Земли. Экспериментальное моделирование гиперзвуковых высотных течений около таких аппаратов в лабораторных условиях сильно ограничено в настоящее время. Численное моделирование сложных трехмерных задач обтекания с учетом физико-химических процессов, зависящих от многих определяющих параметров, требует больших затрат вычислительных ресурсов и позволяет получать достаточно точные результаты для каждой конкретной комбинации этих параметров. В то же время исследование зависимостей аэродинамических и тепловых характеристик от высоты и скорости полета, угла атаки, геометрической формы тела, требует расчетов многочиcленных вариантов. Поэтому актуальна разработка эффективных приближенных методов, которые позволяют значительно сократить вычислительные затраты, получить аналитические решения, полезные для постановки экспериментов и интерпретации результатов численного моделирования и могут применяться в практике проведения многочисленных расчетов при варьировании параметров обтекания и формы тела, необходимых при проектировании перспективных гиперзвуковых летательных аппаратов.

Разработанность темы. Для различных режимов гиперзвукового ламинарного обтекания тел, соответствующих спуску космических аппаратов в атмосфере Земли:

переходного от свободномолекулярного к континуальному, «навье-стоксовского» и «погранслойного», разработаны приближенные и аналитические методы расчета теплопередачи и трения на наветренной стороне пространственно обтекаемых тел.

Получены приближенные аналитические решения двумерных и трехмерных задач обтекания тел совершенным газом во всех режимах. Получены простые выражения для теплового потока к идеально-каталитической поверхности тел, обтекаемых химически реагирующей смесью газов при больших и умеренных числах Рейнольдса. Разработан метод подобия, позволяющий решать трехмерные задачи вязкого обтекания в рамках упрощенных и полных уравнений Навье–Стокса с учетом неравновесных химических реакций и каталитических свойств поверхности, используя при этом программы расчета осесимметричных течений. Разработаны континуальные методы, позволяющие рассчитывать тепловой поток и напряжение трения на лобовой поверхности затупленных тел при малых числах Рейнольдса в переходном режиме обтекания.

Основные цели работы – это разработка эффективных приближенных методов решения задач гиперзвукового вязкого обтекания при малых, умеренных и больших числах Рейнольдса Re, ориентированных на быстрый расчет тепловых потоков и сил вязкого трения на лобовой поверхности летательных аппаратов:

Получение аналитических решений пространственных задач ламинарного обтекания затупленных тел совершенным газом во всем диапазоне чисел Re в рамках моделей пограничного слоя и тонкого вязкого ударного слоя.

Получение выражений для теплового потока на идеально-каталитической поверхности затупленных тел, пространственно обтекаемых гиперзвуковым потоком химически реагирующего газа при больших и умеренных числах Re.

Разработка метода подобия для расчета теплопередачи и напряжения трения на наветренной стороне пространственных тел, обтекаемых под углом атаки гиперзвуковым потоком вязкого газа с учетом реальных физико-химических процессов и каталитических свойств поверхности, позволяющего решать трехмерные задачи, используя программы расчета осесимметричных течений в рамках упрощенных и полных уравнений Навье– Стокса.

Исследование возможности применения континуальных моделей в переходном от континуального к свободномолекулярному режиме обтекания. Разработка континуальных методов расчета теплопередачи и трения на лобовой поверхности тел, обтекаемых гиперзвуковым потоком разреженного газа при малых числах Re, гораздо более простых и требующих существенно меньших вычислительных ресурсов по сравнению с применяемым в настоящее время методом прямого статистического моделирования Монте-Карло.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты, выносимые на защиту.

Разработан метод последовательных приближений для решения уравнений тонкого вязкого ударного слоя, позволяющий получать как численные, так и приближенные аналитические решения. Метод последовательных приближений для решения уравнений пограничного слоя обобщен на случай пространственных течений. С использованием этого метода получены:

Аналитические решения трехмерных уравнений ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе при обтекании под углом атаки затупленных стреловидных крыльев большого удлинения, окрестности плоскости симметрии и боковой поверхности пространственных тел при наличии вдува (отсоса) с поверхности в зависимости от параметров внешнего невязкого обтекания.

Простые аналитические решения для теплового потока и напряжения трения на поверхности пространственных тел, отнесенных к их значениям в точке торможения, в рамках модели пограничного слоя, в зависимости от параметров внешнего невязкого обтекания.

Аналитические решения трехмерных уравнений пограничного слоя в несжимаемой жидкости в случае малости вторичных течений.

Аналитические решения двумерных и трехмерных уравнений тонкого вязкого ударного слоя при обтекании осесимметричных тел, затупленных стреловидных крыльев большого удлинения, окрестности плоскости симметрии и боковой поверхности пространственных тел.

Простые аналитические решения для относительного теплового потока на поверхности затупленных пространственных тел, обтекаемых гиперзвуковым потоком газа при умеренных и больших числах Re в зависимости от геометрических параметров тела и температуры поверхности и решения, имеющие более широкую область применимости, чем модель тонкого вязкого ударного слоя, зависящие от геометрии тела и давления.

Показано, что эти решения для относительного теплового потока могут использоваться на идеально-каталитической поверхности пространственных тел, обтекаемых гиперзвуковым потоком химически неравновесного газа.

Предложены выражения для теплового потока на идеально-каталитической поверхности пространственных тел, обтекаемых гиперзвуковым потоком химически реагирующего газа, в рамках модели пограничного слоя.

Разработан на основе обнаруженных параметров подобия метод подобия для расчета тепловых потоков и напряжения трения на лобовой поверхности трехмерных тел, обтекаемых под углом атаки, который сводит решение трехмерной задачи к решению двумерных уравнений с переменным, зависящим от геометрии, числом Re для эквивалентных осесимметричных тел, построенных специальным образом для меридиональных сечений реального тела. Получены формулы и создана конвертирующая программа для расчета всех параметров эквивалентного тела в зависимости от геометрии реального тела, угла атаки и угла меридиональной плоскости. Метод подобия применим в рамках разных моделей вязкого течения – уравнений Навье–Стокса, полного и тонкого вязкого ударного слоя, пограничного слоя – как для течений однородного газа, так и для химически неравновесного многокомпонентного газа для разных каталитических свойств поверхности.

Путем асимптотического анализа уравнений Навье–Стокса для гиперзвукового обтекания затупленных тел разреженным газом при малых числах Re выведены уравнения вязкого ударного слоя (ВУС) и тонкого вязкого ударного слоя (ТВУС), ранее полученные только для больших чисел Re. Выведены асимптотически согласующиеся с уравнениями граничные условия на ударной волне и на теле для моделей ТВУС и ВУС при малых числах Re. Предложено модифицированное условие для скачка температуры на поверхности в модели ВУС. Показано, что эти граничные условия с учетом кривизны поверхности существенно улучшают предсказание теплопередачи и трения в рамках модели ВУС и расширяют область ее применимости.

Получены асимптотические решения уравнений ТВУС при малых числах Re для коэффициентов теплопередачи, трения и давления на лобовой поверхности пространственных тел, обтекаемых разреженным газом, в зависимости от параметров набегающего потока и геометрических параметров тела, приближающиеся к решениям в свободномолекулярном режиме обтекания при единичном коэффициенте аккомодации с уменьшением числа Re.

Показана возможность применения разработанных асимптотически согласованных моделей ТВУС и ВУС для расчета теплопередачи и трения на лобовой поверхности затупленных тел, обтекаемых гиперзвуковым потоком разреженного газа в переходном от континуального к свободномолекулярному режиме обтекания.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы заключается в получении приближенных аналитических решений сложных в математическом отношении трехмерных задач обтекания затупленных тел гиперзвуковым потоком вязкого теплопроводного газа во всем диапазоне чисел Re, в обнаружении подобия трехмерных и осесимметричных вязких течений, в разработке асимптотически согласованных континуальных моделей, которые могут применяться для расчета теплопередачи и трения на лобовой поверхности тел в переходном режиме обтекания.

Аналитические решения для теплового потока и напряжения трения на лобовой поверхности пространственных тел для разных режимов ламинарного обтекания гиперзвуковых летательных аппаратов при их спуске в атмосфере Земли полезны для аналитической формулировки вариационных задач, для интерпретации результатов численного моделирования, корректной постановки экспериментов. Они позволяют быстро проводить многочисленные расчеты при варьировании параметров обтекания и формы тела, необходимые при проектировании новых гиперзвуковых летательных аппаратов. Аналитические решения полезны также для определения конвективного теплообмена метеороидов при их движении в атмосфере Земли.

Метод подобия для расчета теплопередачи и трения на лобовой поверхности пространственных тел, обтекаемых под углом атаки, позволяет решать трехмерные задачи гиперзвукового обтекания с учетом реальных физико-химических процессов в рамках полных и упрощенных уравнений Навье–Стокса, используя имеющиеся программы расчета осесимметричных течений, что существенно расширяет возможности и экономит вычислительные ресурсы.

напряжения трения на лобовой поверхности гиперзвуковых летательных аппаратов в переходном режиме обтекания, гораздо более простые, чем используемый в настоящее время метод прямого статистического моделирования Монте-Карло, позволяют значительно сократить вычислительные затраты.

Достоверность и апробация результатов. Все полученные аналитические решения сравнивались с численными решениями и с экспериментальными данными, на основании сравнений оценены их точность и область применимости. Сходимость метода последовательных приближений исследовалась численно и на модельной задаче – аналитически. Метод подобия тщательно тестировался в рамках разных моделей вязкого течения – уравнений Навье–Стокса, полного и тонкого вязкого ударного слоя, как для совершенного газа, так и для химически реагирующего. Достоверность континуальных решений в переходном режиме обтекания подтверждена сравнением с численными решениями кинетического уравнения Больцмана с модельными интегралами столкновений, с результатами, полученными методом прямого статистического моделирования Монте-Карло и с решением в свободномолекулярном режиме.

Результаты работы докладывались и обсуждались на:

Всесоюзной школе-семинаре по численным методам механики вязкой жидкости, Махачкала, 1978; Всесоюзном совещании-семинаре по механике реагирующих сред, Красноярск, 1988; Всесоюзной школе-семинаре по современным проблемам механики жидкости и газа, Иркутск, 1990; Школе-семинаре ЦАГИ «Механика жидкости и газа», ЦАГИ, 1992; Европейском симпозиуме по Аэротермодинамике космических аппаратов, ESA, Нордвик, Нидерланды, 1994; Международной школе института современных исследований НАТО «Молекулярная физика и гиперзвуковые течения», Аквафреда де Маратеа, Италия, 1995; Совещании-семинаре НАСА по Исследованию теплопередачи и обтекания и дизайну космических аппаратов, Хьюстон, США, 1997; Международном симпозиуме по Входу в атмосферу летательных аппаратов и систем, Аркашон, Франция, 1999; Конференции, посвященной 40-летию НИИ механики МГУ, Москва, 1999;

Международной конференции по численному моделированию в механике сплошной среды, Прага, Чешская Республика, 2000; VШ, IX и X Всеросссийских съездах по теоретической и прикладной механике: Пермь 2001, Нижний Новгород, 2006, 2011;

Европейской конференции Евромех по Аэродинамике и термохимии высокоскоростных течений, Марсель, Франция, 2002; Всероссийской конференции «Аэродинамика и газовая динамика в XXI веке», посвященной 80-летию академика Г.Г. Черного, Москва, МГУ, 2003; Всероссийских школах-семинарах «Современные проблемы аэрогидродинамики»:

Туапсе, 2003, 2005, 2006, 2007, 2010; Международных симпозиумах по Динамике разреженного газа (RGD-24, -25, -26, -27, -28): Бари, Италия, 2004, Санкт-Петербург, 2006, Киото, Япония, 2008, Пасифик Гроувс, США, 2010, Сарагосса, Испания, 2012;

Международных конференциях Восток–Запад по Высокоскоростным течениям (WEHSF):

Пекин, Китай, 2005, Москва, 2007; Ломоносовских чтениях МГУ: Москва, 2005, 2007, 2009, 2010, 2012; Всероссийской конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», посвященной 100-летию со дня рождения академика Л.И. Седова, Москва, 2007; Всероссийском семинаре по аэрогидродинамике, посвященном 90-летию со дня рождения С.В. Валландера, Санкт-Петербург, 2008; Международной научнотехнической конференции «Авиадвигатели XXI века», Москва, 2010; Международной конференции по прикладной математике и информатике, посвящённой 100-летию со дня рождения А.А. Дородницына, Москва, 2010; Международной научной конференции по механике «Шестые Поляховские чтения», Санкт-Петербург, 2012; семинарах НИИ механики МГУ: по газовой динамике под рук. акад. Г.Г. Черного; по физико-химической газодинамике под рук. проф. Г.А. Тирского; по физико-химической кинетике под рук.

проф. С.А. Лосева, семинаре кафедры гидромеханики МГУ «Механика сплошной среды»

под рук. акад. А.Г. Куликовского, проф. В.П. Карликова, чл.- корр. О.Э. Мельника.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 53 статьи, в том числе – из перечня ВАК.

Личный вклад автора. Основные результаты, представленные в диссертации:

разработанные методы – метод последовательных приближений, метод подобия, аналитические решения, разработка континуальных моделей при малых числах Рейнольдса – вывод уравнений и граничных условий, получены лично автором; оценка точности и области применимости аналитических решений, метода подобия и разработанных моделей проводились лично и совместно с соавторами под руководством автора. Автору принадлежит основной вклад в постановку задач и анализ результатов, подготовка статей к публикации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4-х частей, заключения и списка литературы из 248 наименований. Объем 320 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор литературы по теме диссертации, обсуждается актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели работы и полученные новые результаты, отмечены их теоретическая и практическая значимость, достоверность и апробация, дано краткое описание содержания диссертации.

В ЧАСТИ I исследуется пространственное обтекание тел при больших числах Рейнольдса в рамках теории ламинарного пограничного слоя.

В первом разделе рассматривается течение в пограничном слое (ПС) на затупленных крыльях бесконечного размаха, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа под углами атаки и скольжения и на осесимметричных телах. Поверхность тела предполагается либо непроницаемой, либо через нее производится вдув или отсос газа.

Уравнения ПС решаются обобщенным на случай пространственного течения интегральным методом последовательных приближений, предложенным Г.А. Тирским [32] для двумерных (2D) задач ПС. Дан итерационный алгоритм, по которому, задав нулевое приближение, можно определить все последующие приближения для искомых функций. Получены аналитические решения в первом приближении для коэффициентов трения и теплопередачи, компонент скорости и энтальпии. На линии торможения крыла с непроницаемой поверхностью для величин теплового потока и напряжения трения, отнесенных к их значениям при нулевом угле скольжения, получены простые выражения в зависимости от угла скольжения (стреловидности) и температуры поверхности. В случае проницаемой поверхности получены простые зависимости от параметра вдува (отсоса) и температуры поверхности величин теплового потока и коэффициентов трения, отнесенных к их значениям для непроницаемой поверхности.

Для величин теплового потока и компонент напряжения трения на непроницаемой поверхности, отнесенных к их значениям в точке торможения, получены аналитические зависимости от температуры поверхности, числа Прандтля Pr, параметров внешнего невязкого течения и угла скольжения (для крыльев).

Показано путем расчета течения около тел разной формы, для разных углов скольжения и атаки, что распределения вдоль поверхности крыла относительных значений теплового потока и компонент напряжения трения слабо зависят от угла скольжения, температуры поверхности Tw (отнесенной к температуре торможения набегающего потока), числа Pr, отношения удельных теплоемкостей, параметра (предполагается, что коэффициент вязкости пропорционален температуре в степени ).

Исследовано влияние параметра вдува (отсоса) на коэффициенты теплопередачи и трения на поверхности. Оценена точность полученных аналитических решений путем сравнения с численным решением, с результатами Башкина В.А. [16] и с экспериментальными данными Беквиса И., Галлахера Дж. [175].

Во втором и третьем разделах рассматривается течение в пространственном ПС в окрестности плоскости симметрии и около боковой поверхности затупленных тел.

Метод последовательных приближений обобщен на случай полностью трехмерных (3D) течений в ПС в сжимаемом газе. Получено аналитическое решение задачи в первом приближении. Для непроницаемой поверхности найдена связь коэффициентов трения и теплопередачи в точке торможения 3D тела с их значениями в точке торможения осесимметричного тела. Для проницаемой поверхности получены простые зависимости от параметра вдува (отсоса) коэффициентов трения и теплопередачи в точке торможения, отнесенных к их значениям для непроницаемой поверхности.

Для распределений вдоль непроницаемой поверхности 3D тела теплового потока и компонент напряжения трения, отнесенных к их значениям в точке торможения, получены простые аналитические выражения в виде интегралов вдоль линии растекания (стекания) и вдоль линий тока внешнего невязкого течения на боковой поверхности. Эти выражения зависят от параметров невязкого течения, числа Pr и температуры поверхности Tw.

Оценена точность аналитических решений путем сравнения с численными расчетами тепловых потоков и компонент напряжения трения на поверхности 3D затупленных тел разной формы, обтекаемых под разными углами атаки. Показано, что распределения относительных величин практически не зависит от параметров и, числа Pr и Tw (для холодной стенки Tw < 0.5).

В четвертом разделе рассматривается проблема определения теплового потока к идеально каталитической поверхности при пространственном обтекании затупленных тел химически реагирующим газом. В ряде работ – Кемпа Н., Роуза П., Дэтры Р. [45], Громова В.Г. [176], Мурзинова И. Н. [177], Суслова О.Н. [47], Сахарова В.И. [178] и других – было показано, что при обтекании затупленных осесимметричных тел сверхзвуковым потоком химически реагирующего газа распределение вдоль идеально каталитической поверхности теплового потока, отнесенного к его значению в точке торможения, слабо зависит от степени диссоциации и ионизации газа и практически совпадает с распределением, полученным для однородного газа. Это показано во второй части данной работы не только для осесимметричного, но и для пространственного обтекания, рассматриваемого в рамках модели тонкого вязкого ударного слоя. Косвенно это подтверждается и результатами данной части, показавшими слабую зависимость относительного теплового потока от свойств газа, выраженных параметрами и.

Сравнение аналитического решения раздела 1 для относительного теплового потока на сфере с результатами численных расчетов течения диссоциирующего воздуха в ПС работ [45], [177] и с результатами экспериментальных измерений [45] показало хорошую точность аналитического решения и в случае обтекания химически реагирующим газом.

На основании решений, полученных в данной работе, а также в работах Фэя Д., Ридделла Ф. [46] и Суслова О.Н. [47], предложены формулы для определения теплового потока к идеально каталитической поверхности затупленных тел (стреловидных крыльев, линии растекания (стекания) и боковой поверхности 3D тел), обтекаемых сверхзвуковым потоком диссоциированного или ионизованного газа.

В пятом разделе рассматривается течение несжимаемой жидкости в трехмерном ПС на произвольной гладкой поверхности. Уравнения ПС записываются в системе координат, связанной с линиями тока невязкого течения на поверхности. Получены выражения для метрических коэффициентов в этой системе координат, когда уравнение обтекаемой поверхности и скорость внешнего течения заданы в декартовой системе координат. Методом последовательных приближений в предположении, что скорость, поперечная линиям тока внешнего течения, мала, получено аналитическое решение для компонент скорости и напряжения трения для тел произвольной формы.

На основе полученного решения проведено исследование обтекания несжимаемой жидкостью пластины с установленным на ней эллиптическим цилиндром под углом скольжения и трехосных эллипсоидов под углом атаки. Исследовано поведение предельных линий тока на обтекаемых поверхностях. Получена формула, определяющая положение точки отрыва на линии растекания в зависимости от расстояния оси цилиндра до передней кромки пластины и соотношения осей эллиптического препятствия.

Результаты расчета линии отрыва, определенной как огибающая предельных линий тока, и компонент напряжения трения хорошо согласуются с экспериментальными данными Зубцова А.В. [23], численными расчетами Шевелева Ю.Д. [179], Двайера Х. [180] (для пластины) и Шевелева Ю.Д. [181], Вонга К. [182] (для эллипсоидов).

последовательных приближений для уравнений погранслойного типа на простой автомодельной задаче.

В ЧАСТИ II исследуется пространственное гиперзвуковое обтекание тел при умеренно больших и умеренно малых числах Рейнольдса.

В первом разделе рассматривается течение около затупленных крыльев большого удлинения, обтекаемых под углами атаки и скольжения, и осесимметричных тел в рамках модели тонкого вязкого ударного слоя (ТВУС). На ударной волне ставятся обобщенные условия Ренкина – Гюгонио, на поверхности тела – условия скольжения и скачка температуры или условия прилипания при наличии заданного вдува или отсоса газа.

Разработан метод последовательных приближений для решения уравнений ТВУС.

Предложен итерационный алгоритм, по которому, задав нулевое приближение, можно определить все последующие приближения для искомых функций, удовлетворяющие граничным условиям благодаря введению специальных управляющих функций. Этим методом получено численное решение задачи в окрестности линии торможения.

Проведено исследование сходимости метода, показавшее, что при небольших числах Re в основном требуется 1-3 итерации, чтобы получить значения теплового потока и напряжения трения с точностью до 1%. Показано также, что уже первое приближение дает хорошую точность. Получено аналитическое решение уравнений ТВУС в первом приближении разработанного метода для коэффициентов теплопередачи и трения, компонент скорости, энтальпии, давления и отхода ударной волны.

Для теплового потока на непроницаемой поверхности стреловидных крыльев и осесимметричных тел, отнесенного к значению в точке торможения, при Re получены не зависящие от числа Re простые аналитические решения в зависимости от геометрии тела, температуры поверхности Tw, числа Pr и угла скольжения (крылья), а для холодной поверхности (Tw < 0.3) – в зависимости только от геометрии тела.

При получении этих решений давление определялось из уравнений ТВУС, поэтому они применимы там, где применима эта модель. В целях расширения области применимости решений для относительного теплового потока получены выражения, зависящие не только от геометрии тела, но и от давления, которое можно брать из решения задачи невязкого обтекания или из аппроксимационных формул. Показано, что эти выражения позволяют рассчитывать тепловой поток на таких телах, как сфера, до углов 90° и хорошо согласуются с результатами расчетов уравнений Навье–Стокса (НС).

Исследована зависимость коэффициентов трения и теплопередачи от числа Re, угла скольжения и параметра вдува для течений около осесимметричных тел и крыльев разной формы, обтекаемых под углами скольжения и атаки. Показана удовлетворительная точность аналитических решений и оценена область их применимости путем сравнения с численными решениями, полученными в рамках различных моделей: уравнений ТВУС (данная работа, Анкудинов А.Л. [67, 183, 184], Гершбейн Э.А., Щелин В.С., Юницкий С.А. [185], уравнений ВУС (Дэвис [74]), уравнений ПС (Башкин В.А. [16]) и уравнений НС.

Во втором разделе приведена общая постановка задачи трехмерного гиперзвукового обтекания затупленных тел в рамках модели ТВУС. На поверхности тела, которая считается непроницаемой, задаются условия скольжения и скачка температуры (или условия прилипания), на ударной волне – обобщенные условия Ренкина–Гюгонио.

Метод последовательных приближений обобщен на общий случай трехмерных течений в вязком ударном слое. Дан итерационный алгоритм, выражающий каждое последующее приближение для искомых функций через предыдущее.

В третьем разделе рассматривается течение в окрестности линии торможения 3D затупленного тела с разными главными кривизнами в точке торможения. В первом приближении метода последовательных приближений получено аналитическое решение для компонент скорости, энтальпии, давления, коэффициентов трения и теплопередачи.

Выявлен параметр подобия, с помощью которого получена связь теплового потока в критической точке двоякой кривизны с тепловым потоком в критической точке осесимметричного тела. Исследовано влияние отношения главных кривизн, эффектов скольжения и продольных составляющих градиента давления на величины теплового потока и напряжения трения. На основании сравнения аналитического решения с численным оценены его точность и область применимости.

В четвертом и пятом разделах рассматривается течение в окрестности плоскости симметрии и около боковой поверхности 3D затупленных тел. Для замыкания системы уравнений ТВУС в окрестности плоскости симметрии 3D течения использовалась процедура обрезания рядов, аналогичная предложенной в работе Ефимова К.Н., Зинченко В.И. [186]. Получено аналитическое решение задачи в первом приближении метода последовательных приближений. Оценена точность этого решения на основании сравнения с численным решением.

Для теплового потока, отнесенного к значению в точке торможения, получены выражения: в виде интеграла вдоль линии растекания (стекания) в зависимости от геометрических параметров тела – угла между скоростью набегающего потока и нормалью к поверхности, средней кривизны поверхности, кривизны линии растекания в плоскости симметрии и в виде интегралов вдоль меридиональных сечений боковой поверхности тела, также в зависимости только от геометрических параметров. В локально-автомодельном приближении получены совсем простые выражения для относительных тепловых потоков. Численные исследования подтвердили, что при Re распределение относительного теплового потока вдоль поверхности тела практически перестает зависеть от числа Re, слабо зависит от числа Pr, параметров и, температуры поверхности Tw (при Tw (Брыкина И.Г., Гершбейн Э.А., Пейгин С.В. [40]):

Точность полученных формул оценивается ниже путем сравнения с численным решением.

1.4. Вывод формул для теплового потока и напряжения трения, Расчеты по формулам (1.20), полученным при задании нулевого приближения в виде (1.15), (1.16), проведенные для осесимметричных тел и для крыльев различной формы, обтекаемых под углами атаки от 0 до 30° и углами скольжения от 0 до 45°, коэффициентов трения, отнесенных к их значениям в критической точке, слабо зависят от нулевого приближения. (это видно из рис. 1.5, приведенного в разделе 1.6). То, что решение в первом приближении для относительных величин слабо зависит от вида нулевого приближения, можно показать и аналитически.

Коэффициент теплопередачи в первом приближении для произвольного нулевого приближения, не зависящего от s, определяется по формуле (при B = 0 и слабо меняющейся по s температуре стенки):

В критической точке (точке торможения) Таким образом, относительный коэффициент теплопередачи зависит от нулевого приближения только через функцию Bg / Bg (0). Учитывая (1.8), (1.10), получим Покажем, что при некоторых предположениях Bg /Bg (0) =1. Функция 1/l = 1/µ меняется поперек пограничного слоя от 1/lw(s) до 1. Если аппроксимировать 1/l в виде то для холодной поверхности, пренебрегая членами порядка O Tw ue / 2, получим Отметим, что функция Bg/Bg(0) тождественно равна 1, если положить, что l(s) = l(0), как делалось в работе Кемпа, Роуза, Детры [45], где на основании численных расчетов показано, что значение относительного теплового потока q(s)/q(0) слабо зависит от того, учитывать ли локальные значения l(s) или полагать l(s) = l(0).

Заметим, что функция Bg /Bg (0) близка к 1 и тогда, когда одновременно и Tw не очень мало, и µ меняется по s. Расчеты, проведенные с учетом зависимости µ от s при Tw = 0.1 показали, что при задании давления вдоль поверхности по формуле Ньютона функция Bg /Bg (0) принимает значения от 1 до 1.0104 для нулевого приближения (1.15) и от 1 до 1.0115 для нулевого приближения (1.16), когда угол между касательной к контуру тела и направлением набегающего потока меняется от 0 до 60°. Таким образом, полагая Bg /Bg (0) = 1, получим для относительного коэффициента теплопередачи выражение, не зависящее от вида нулевого приближения Для относительного теплового потока q(s)/q(0), учитывая (1.3), получим В случае двумерной задачи обтекания осесимметричного или цилиндрического тела под нулевым углом скольжения формула (1.29) принимает вид Эта формула при = 1 совпадает с формулой, полученной Лизом (Lees L. [44]) при следующих предположениях: = 1, Tw > 1 (Брыкина И.Г., Гершбейн Э.А., Пейгин С.В. [40]).

2.2. Решение для относительного теплового потока и напряжения трения Рассмотрим распределения вдоль поверхности величин теплового потока и компонент напряжения трения, отнесенных к их значениям в точке торможения. В разделе 1 показано, что при обтекании осесимметричных тел и стреловидных крыльев бесконечного размаха различной формы под углом атаки распределения вдоль поверхности относительных величин теплового потока и коэффициентов трения слабо зависят от вида нулевого приближения. Аналогичный результат получен в данном разделе для линии симметрии трехмерного тела. Величины коэффициентов теплопередачи и трения на поверхности, отнесенные к их значениям в критической точке, посчитанные по формулам (2.16), (2.17), (2.19) и по формулам (2.16), (2.18), (2.19) с использованием соответственно нулевых приближений (1.15) и (1.16), мало отличаются друг от друга, что видно из рис. 2.3, приведенного в следующем разделе. То, что решение в первом приближении для относительных величин слабо зависит от вида нулевого приближения, было показано и аналитически аналогично тому, как это было сделано в разделе 1.5 и при тех же предположениях.

Для распределений вдоль непроницаемой поверхности пространственного тела в плоскости симметрии величин теплового потока и компонент напряжения трения, отнесенных к их значениям в критической точке, были получены (аналогично тому, как это сделано в разделе 1.5) простые формулы, не зависящие от вида нулевого приближения:

Формулы для относительных коэффициентов трения выписаны здесь для простоты для холодной поверхности Tw 0, имеющего в начальный момент температуру T, вследствие приложения к его границе термостата с бесконечной теплопроводностью и температурой T0, занимающего полупространство y < 0. Эта задача автомодельна и сводится к решению следующей краевой задачи (Тихонов А.Н., Самарский А.А. [210]):

Здесь коэффициент теплопроводности, плотность, с – теплоемкость материала, заполняющего полупространство y > 0.

Решение задачи (6.1) представляется через интеграл ошибок:

Применяя метод последовательных приближений, описанный в первом разделе, к интегрированию задачи (6.1), получим следующий итерационный процесс, где индекс j означает номер приближения:

Возьмем в качестве нулевого приближения функцию Установим рекуррентный вид для j-го приближения (j). Разложим точное решение задачи в ряд по :

Докажем сначала, что j-е приближение (j)(n) имеет вид Затем найдем (j)() и покажем, что (j)() () при j. Тем самым будет доказано, что приближения, полученные по методу последовательных приближений, с учетом нулевого приближения (6.3), сходятся к точному решению.

Доказательство формулы (6.4) будем проводить по индукции. Для j = 1 имеем Предположим теперь, что формула (6.4) верна для некоторого j. Покажем, что она будет верна также для j + 1. Вычислим Докажем, что Последнее выражение можно представить в виде где a(t, j) – известные числа. Поэтому достаточно показать, что для каждого конечного t.

Докажем по индукции, что выражение (6.6) действительно стремится к нулю, как nte-n при n. Для t = 0 и t =1 это доказано. Пусть это верно для некоторого t 1.

Покажем, что это будет справедливо и для t + 1:

i-е слагаемые внешней суммы по индуктивному предположению стремятся к нулю при n, как nte-n, поэтому все выражение в квадратных скобках стремится к нулю, как nte-n.

Таким образом, утверждение (6.6) доказано, а тем самым доказано и равенство (6.5).

Тогда Докажем следующие два утверждения:

Используя способ доказательства предельного перехода (6.5), можно показать, что утверждения проведем также по индукции. Для j = 0 оно верно. Пусть оно справедливо для некоторого j; покажем, что оно справедливо для j + 1:

Таким образом, равенства (6.7) доказаны. Тогда и для (j+1)(n) получим Т.е., если верна формула (6.4) для индекса j, то она будет справедлива и для индекса j +1.

Итак, формула (6.4) для (j)(n) доказана. Покажем теперь, что (j)() () при j.

Подставляя в формулу (6.4) n = / ( j ) = 2 jn, найдем Здесь была использована формула Валлиса Полученный предел (6.8) совпадает с (6.2), т.е.

Откуда Таким образом, сходимость метода последовательных приближений для задачи (6.1) с начальным приближением (6.3) доказана.

Основные результаты этой части изложены в работах: Брыкина И.Г. [34, 39], Брыкина И.Г., Шевелев Ю.Д. [37], Брыкина И.Г., Гершбейн Э.А., Пейгин С.В. [40-43].

ЧАСТЬ II. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ ГИПЕРЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ

ПРИ УМЕРЕННЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА

1. ТОНКИЙ ВЯЗКИЙ УДАРНЫЙ СЛОЙ ОКОЛО ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ И

КРЫЛЬЕВ БЕСКОНЕЧНОГО РАЗМАХА, ОБТЕКАЕМЫХ

ПОД УГЛАМИ АТАКИ И СКОЛЬЖЕНИЯ

Рассмотрим обтекание гиперзвуковым потоком вязкого однородного сжимаемого газа при умеренных числах Рейнольдса Re гладких затупленных тел двух типов:

осесимметричных тел, обтекаемых под нулевым углом атаки, и стреловидных затупленных крыльев бесконечного размаха, обтекаемых под разными углами атаки.

Течение будем исследовать в рамках модели тонкого вязкого ударного слоя.

Свяжем систему координат x, y, z с обтекаемой поверхностью, как и при исследовании пограничного слоя (рис. 1.1 части I). Координата х это расстояние от точки торможения вдоль контура, у расстояние от поверхности по нормали, z азимутальный угол в случае осесимметричного течения или координата, направленная вдоль образующей, в случае обтекания стреловидного крыла. Определим элемент длины В случае осесимметричного течения = 1, rw расстояние от поверхности тела до оси симметрии, угол между касательной к поверхности и направлением потока на бесконечности, продольная кривизна поверхности. При обтекании стреловидного крыла: = 0, угол между касательной к контуру тела и U проекцией вектора скорости набегающего потока V на плоскость, перпендикулярную образующей, U = Vcos, W составляющая V, направленная вдоль образующей, W = Vsin, угол скольжения, или стреловидности, угол между V и U ( = 0 в осесимметричном случае), кривизна контура крыла, угол атаки угол между некоторой плоскостью (плоскостью симметрии крыла, если оно симметрично) и вектором U, rw — расстояние от поверхности тела до прямой, проходящей через точку торможения и параллельной V.

Пусть u, v, w — составляющие скорости в направлениях x, y, z соответственно (w = 0 в осесимметричном течении),, p, Т, Н, µ,, cp =const плотность, давление, температура, полная энтальпия, коэффициенты вязкости, теплопроводности, теплоемкость газа при постоянном давлении, число Прандтля, плотность набегающего потока, R0 = 1/0 радиус кривизны в точке (на линии в случае крыла) торможения. Все величины с размерностью длины будем считать безразмерными (поделенными на R0).

Введем в ударном слое безразмерные переменные по формулам Уравнения тонкого, или гиперзвукового, вязкого ударного слоя были впервые выведены из уравнений Навье–Стокса Ченгом (Cheng H.K. [61]) для осесимметричных течений для умеренно больших чисел Re, Re >> 1 при следующих условиях:

между этими решениями начинает увеличиваться. Такие характеристики как cfx и, особенно, c fz при небольших углах скольжения слабо зависят от величины этого угла, зависимость же cH от сильнее.

Рис. 1.9. Зависимость от числа Re коэффициентов трения и числа Стантона на линии торможения стреловидного крыла при =45° и 0°, = 0.7, = 1.4, Tw = 0.03. Сплошные кривые – формулы (1.21), штрих-пунктирные – численное решение.

Рис. 1.10. Зависимость от угла скольжения коэффициентов трения и числа Стантона на линии торможения стреловидного крыла при Re = 10, = 0.7, = 1.4, Tw = 0.03. Сплошные кривые – формулы (1.21), штрих-пунктирные – численное решение.

удовлетворительной точности полученных решений (1.21) для практических расчетов тепловых потоков и трения на поверхности при умеренных числах Re.

Проведена также оценка точности формул (1.38) – (1.40) для теплового потока, отнесенного к его значению в точке торможения, путем сравнения результатов, полученных с их помощью, с численными решениями уравнений тонкого вязкого ударного слоя и пограничного слоя. Некоторые примеры сравнений приведены на рис.

1.11-1.14 ( = 0.7 - 0.75, = 1.2 - 1.67).

На рис. 1.11 представлено сравнение для параболического цилиндра, обтекаемого под углами атаки = 15° и 45°, с численными решениями уравнений тонкого вязкого ударного слоя Гершбейна Э.А., Щелина В.С., Юницкого С.А. [185], полученными для чисел Re = 50 и 5000. Рисунки 1.12-1.14 демонстрируют сравнение аналитического решения (1.38) с численными расчетами уравнений пограничного слоя на цилиндрических телах различной формы, обтекаемых под разными углами скольжения и атаки. Расчет q/q в этих случаях проводился при задании давления по формуле Ньютона, что соответствует = 1 в (1.38), так как при этом же распределении давления проводились численные расчеты уравнений пограничного слоя. Результаты сравнений демонстрируют хорошую точность простого аналитического решения для относительного теплового потока по крайней мере до углов атаки 30°.

Рис. 1.11. (слева) Распределение относительного теплового потока вдоль параболического цилиндра. = 0°, = 15° (кривые 1) и 45°(2). Штриховые кривые – формула (1.40), сплошные и пунктирные – численное решение [185] при Re = 50 и 5000, Tw = 0.1.

Рис. 1.12. (справа) Распределение относительного теплового потока вдоль эллиптических цилиндров с соотношением полуосей 0.5, 1, 1.5 (кривые 1, 2, 3). = 0°, = 0°, Tw = 0.05.

Штриховые кривые – формула (1.38), сплошные – расчеты уравнений пограничного слоя В.А. Башкина [16].

Рис. 1.13. (слева) Распределение относительного теплового потока вдоль кругового (кривые 1), эллиптических с соотношением полуосей 0.5 и 0.2 (кривые 2 и 3) и гиперболического (4) цилиндров. = 45°, = 0°. Штриховые кривые – формула (1.40), сплошные – численное решение.

Рис. 1.14. (справа) Распределение относительного теплового потока вдоль параболического цилиндра. = 45°, = 0, 15, 30° (кривые 1, 2, 3). Штриховые кривые – формула (1.40), сплошные – численное решение.

Сравнение с решением уравнений Навье–Стокса.

Для оценки точности формул (1.41), (1.42) проводилось сравнение относительных тепловых потоков, полученных с их помощью, с результатами численных расчетов полных уравнений Навье–Стокса (НС) (И.Г. Брыкина, В.И. Сахаров [212], численные расчеты проводились В.И. Сахаровым) для сверхзвукового обтекания тел разной формы в следующем диапазоне параметров обтекания: M = 4 – 10, Re = 102 – 105, Tw = 0.1 – 0.8, = 0.71 – 0.75, = 1.4, где Re = V R0 / µ(T ), T – температура набегающего потока.

На рис. 1.15 приведены результаты сравнения аналитических решений с решениями уравнений НС для распределения относительных тепловых потоков вдоль поверхности сферы в зависимости от угла = /2 – при разных числах Рейнольдса.

Распределение давления в аналитическом решении бралось из численных расчетов уравнений НС. Результаты представленного сравнения, а также сравнений, проведенных при других числах Re, показывают, что при Re > 500 наблюдается хорошее совпадение аналитических и численных решений. Причем с увеличением числа Рейнольдса точность аналитического решения улучшается. Наибольшее различие решений наблюдается в районе миделевого сечения сферы ( = 90°), где сами тепловые потоки малы.

Рисунок 1.16 демонстрирует тот факт, что с увеличением числа Рейнольдса распределения относительного теплового потока и относительного давления перестают зависеть от числа Re (при Re > 500, или Re > 20). Из рисунка видно, что при Re > распределения давления, полученные из решения уравнений НС и Эйлера (кривая 5), как и следовало ожидать, очень близки, разница между ними небольшая даже при Re = 500 и 100. То, что распределение относительного давления слабо зависит от числа Рейнольдса и не сильно отличается от значения в потоке идеального газа даже при небольших числах Re, отмечалось и в работах Толстых А.И. [149] и Гориславского В.С., Толстых А.И [225].

Поэтому в формулу (1.42) для тепловых потоков можно подставлять распределение давления, найденное из невязкого обтекания. Кривой 6 изображено аналитическое решение, в котором давление взято из решения невязкой задачи.

Рис. 1.15. (слева) Распределение теплового потока вдоль сферы при Re = 500 (кривые 1) и 104 (2).

M = 10, Tw = 0.25. Штриховые кривые – формула (1.42), сплошные – решение уравнений НС.

Рис. 1.16. (справа) Распределения относительных теплового потока и давления вдоль сферы при Re = 100, 500, 3500, 7000-105 (кривые 1 - 4). Сплошные кривые – решение уравнений НС, штриховые кривые 5 и 6 – распределение давления из численных расчетов невязкого течения и формула (1.42) с этим распределением давления. M = 10, Tw = 0.25.

Рисунок 1.17 демонстрирует зависимость относительных тепловых потоков от числа Маха набегающего потока M. Видна слабая зависимость q/q0 от M, причем с увеличением числа Рейнольдса эта зависимость уменьшается. Отметим также хорошую точность формулы (1.42) при разных, даже относительно небольших (4, 6) числах M.

На рис. 1.18 приводятся результаты сравнения аналитического решения с решением уравнений НС для относительных тепловых потоков на поверхности эллипсоидов вращения (с соотношением полуосей b/a = и 1.5, где ось a совпадает с направлением скорости набегающего потока) и параболоида в зависимости от длины дуги, отсчитываемой от точки торможения. На рис. 1.19 аналогичные сравнения показаны для эллипсоида вращения (b/a = 1.5) при разных значениях температуры поверхности.

Рис. 1.17. Распределения q/q0 вдоль сферы при Re = 500, Tw = 0.25, M = 4.11 (1) и 10 (2) и при Re = 3500, Tw = 0.35, M = 6 (3) и 10 (4). Штриховые кривые – формула (1.42), сплошные – уравнения НС.

Рис. 1.18. (слева) Распределения q/q0 вдоль эллипсоидов с b/a = (1) и 1.5 (2) и параболоида (3).

Re = 1000, M = 10, Tw = 0.16. Штриховые кривые – формула (1.42), сплошные – уравнения НС.

Рис. 1.19. (справа) Распределения теплового потока вдоль эллипсоида (b/a = 1.5) при Tw = 0.24 (1) и 0.8 (2). Re = 1000, M = 4. Сплошные кривые – уравнения НС, штриховые – формула (1.41).

Анализ рис. 1.18, 1.19 показывает, что, так же, как и при обтекании сферы, относительные тепловые потоки слабо зависят от числа M, а для достаточно холодной стенки также и от температуры Tw. Везде не вблизи миделева сечения, где тепловые потоки малы, аналитические и численные решения близки, однако для горячей стенки аналитическое решение больше отличается от численного, чем для холодной. В целом проведенный анализ сопоставления аналитических решений с численными решениями уравнений НС показал хорошую точность соотношений (1.41), (1.42).

2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ТОНКИЙ ВЯЗКИЙ УДАРНЫЙ СЛОЙ

2.1. Постановка задачи трехмерного гиперзвукового обтекания затупленных тел Рассмотрим стационарное трехмерное обтекание затупленного тела гиперзвуковым потоком вязкого газа при умеренно малых и умеренно больших числах Рейнольдса Re.

Течение будем исследовать в рамках модели тонкого (гиперзвукового) вязкого ударного слоя, обобщенной на случай пространственных течений (Гершбейн Э.А. [63]).

Пусть поверхность обтекаемого тела задана в декартовой системе координат {yi} уравнением y3 = f(y1, y2), вектор скорости набегающего потока V совпадает по направлению с осью y3, начало координат помещено в точку торможения потока, а оси y и y2 расположены в плоскостях главных кривизн поверхности в критической точке.

Выберем систему криволинейных неортоганальных координат {хi}, нормально связанную с обтекаемой поверхностью: одна из координат х3 – расстояние по нормали к поверхности, а в качестве двух других, выбранных на поверхности, используются декартовы координаты y1 и y2 точки пересечения этой нормали с поверхностью. Координаты хi и уi связаны соотношением:

В приближении тонкого слоя элемент длины имеет вид Здесь g (, = 1, 2) – компоненты метрического тензора.

Уравнения пространственного тонкого вязкого ударного слоя в криволинейной системе координат {хi} имеют вид:

Здесь и далее суммирование по индексам, заключенным в круглые скобки, не производится; R0xi - координаты, i = 1, 2, 3; - плотность, Vui – компоненты вектора скорости, µ0µ - коэффициент вязкости, µ0 – коэффициент вязкости, определяемый по температуре Т0 = V2/(2cp), Т0Т – температура, Т0Тw – температура поверхности, HV2/2 – полная энтальпия, V2p – давление, Pr – число Прандтля, R0 – характерный размер тела, в качестве которого выбирается один из радиусов кривизны в точке торможения.

Индексом «» обозначены значения величин в набегающем потоке.

Коэффициенты A – функции метрического тензора g имеют вид:

На поверхности тела задаются либо условия скольжения и скачка температуры:

где и * - коэффициенты диффузного отражения и аккомодации, которые в расчетах принимались равными единице, либо условия прилипания и заданной температуры стенки На ударной волне ставятся обобщенные условия Ренкина–Гюгонио:

Система уравнений (2.3) имеет особенность в критической точке. Чтобы разрешить эту особенность, перейдем к новым зависим переменным w:

где в выбранной системе координат Перейдем к новым независимым переменным типа переменных Дородницына-Лиза Введем две функции тока и две приведенные функции тока по формулам Уравнения (2.3) в новых переменных приводятся к виду В уравнениях (2.11) производится суммирование по, а во втором и четвертом уравнениях также и по. Коэффициенты B имеют вид Граничные условия с учетом скольжения на поверхности примут вид:

Граничные условия на ударной волне в новых переменных преобразуются к Компоненты напряжения трения на поверхности и тепловой поток, обусловленный в течении со скольжением не только теплопроводностью, но и трением, имеют вид (штрихами обозначены размерные переменные) Коэффициенты трения и число Стантона определяются по формулам 2.2. Метод последовательных приближений для решения трехмерных уравнений Интегральный метод последовательных приближений, разработанный для решения уравнений тонкого вязкого ударного слоя около осесимметричных тел и стреловидных крыльев бесконечного размаха, описанный в первом разделе, был распространен на случай трехмерных течений для решения уравнений (2.11) с граничными условиями (2.13), (2.14).