МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

УДК 539.12

Малышев Максим Алексеевич

ПРОЦЕССЫ РОЖДЕНИЯ

ПРЯМЫХ ФОТОНОВ И ЛЕПТОННЫХ ПАР

В ПОДХОДЕ kT -ФАКТОРИЗАЦИИ КВАНТОВОЙ

ХРОМОДИНАМИКИ

Специальность 01.04.23 Физика высоких энергий Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физ.-мат. наук в.н.с. НИИЯФ МГУ Зотов Н.П.

Москва – Содержание Введение 1 Теоретический подход к исследованию процессов рождения в столкновениях частиц высоких энергий 1.1 Уравнения КХД-эволюции партонных распределений в протоне....... 1.1.1 Структурные функции глубоконеупругого рассеяния и партонные распределения................................ 1.1.2 Уравнения Докшицера-Грибова-Липатова-Альтарелли-Паризи (DGLAP)................................... 1.2 Физика малых x и kT -факторизация квантовой хромодинамики....... 1.2.1 Современный статус kT -факторизации.................. 1.2.2 Уравнение Балицкого-Фадина-Кураева-Липатова (BFKL)....... 1.2.3 Уравнение Катани-Чиафалони-Фиорани-Маркезини (CCFM)..... 1.3 Сечения процессов высоких энергий и неинтегрированные функции распределения партонов в kT -факторизационном подходе............... 1.3.1 Функции распределения Кимбера-Мартина-Рыскина (KMR)..... 1.3.2 Функции распределения Катани-Чиафалони-Фиорани-Маркезини (CCFM).................................... 1.3.3 Кинематика и сечения процессов высоких энергий в kT -факторизационном подходе............................... 2 Процессы рождения прямых фотонов и лептонных пар на современных коллайдерах в коллинеарном приближении и kT -факторизационном подходе КХД 2.1 Статус исследования процессов рождения прямых фотонов.......... 2.2 Статус исследования процессов рождения лептонных пар........... 3 Матричные элементы процессов рождения прямых фотонов и лептонных пар в подходе kT -факторизации 3.1 Матричные элементы для инклюзивного рождения прямых фотонов в адронных столкновениях............................... 3.2 Матричные элементы для фоторождения прямых фотонов.......... 3.3 Матричные элементы для ассоциативного рождения прямых фотонов и тяжелых кварков в адрон-адронных столкновениях при энергиях коллайдеров Tevatron и LHC.................................... 3.4 Матричные элементы для рождения лептонных пар при энергиях коллайдеров Tevatron и LHC................................ 4 Численные результаты исследования процессов рождения прямых фотонов и лептонных пар в подходе kT -факторизации 4.1 Инклюзивное рождение прямых фотонов при энергиях коллайдеров LHC и HERA......................................... 4.2 Ассоциативное рождение прямых фотонов со струями при энергии коллайдера HERA...................................... 4.3 Ассоциативное рождение прямых фотонов с b, c-струями при энергиях коллайдеров Tevatron и LHC.............................. 4.4 Рождение лептонных пар при энергиях коллайдеров Tevatron и LHC.... Заключение Благодарности Список литературы Введение В настоящее время общепринятой теорией сильного взаимодействия, определяющего структуру и динамику адронов, является квантовая хромодинамика (КХД), в основе которой лежит представление о фундаментальных частицах кварках и глюонах, несущих особый заряд, называемый цветом [1]. Кварки в современном представлении являются точечными частицами с дробным (по отношению к электрону) электрическим зарядом, взаимодействующими посредством обмена глюонами квантами калибровочного векторного поля. Адроны состоят либо из трех кварков (барионы), либо из пары кварк-антикварк (мезоны) и не имеют цветового заряда. Важной особенностью КХД является то, что соответствующая константа связи велика при низких энергиях, что приводит к неприменимости теории возмущений и конфайнменту (невылетанию) кварков в адронах. В то же время, благодаря явлению асимптотической свободы, при высоких энергиях можно использовать фундаментальные степени свободы (т.е. кварки и глюоны) и работать в рамках обычной пертурбативной теории. КХД является неотъемлемой частью Стандартной модели, которая в связи с недавним экспериментальным открытием бозона Хиггса значительно упрочилась как базовая теория физики элементарных частиц.

Теория возмущений КХД приводит к тому, что партонные (кварковые и глюонные) функции распределения зависят от масштаба жесткого подпроцесса, µ2 Q2. Их поведение определяется эволюционными уравнениями. Точный вид этих уравнений зависит от точности, с которой учитываются логарифмические вклады типа ln µ2 /2 и ln 1/x. Суммирование слагаемых вида s lnn µ2 в ведущем логарифмическом приближении КХД привоn дит к уравнениям эволюции DGLAP [2–5]. При этом производится учет диаграмм лестничного типа с обменами глюонами и кварками. В этих диаграммах поперечные импульсы испускаемых партонов строго упорядочены по kT (т.е. k2 k2 T ), поэтому поперечiT i+ ными импульсами кварков и глюонов, участвующих в жестком взаимодействии, можно пренебречь по сравнению с µ2 (коллинеарное приближение). Однако в области высоких энергий (малых x) необходимо учитывать также слагаемые, пропорциональные степеням ln 1/x. Суммирование таких членов приводит к так называемым неинтегрированным (т.е.

зависящим от поперечного импульса kT ) функциям распределения глюонов f (x, k2 ), коT торые определяют вероятность обнаружить внутри протона глюон, несущий долю x продольного импульса начального протона и обладающий поперечным импульсом kT. Эти функции подчиняются уравнениям эволюции BFKL [6–8] или CCFM [9–12]. При этом поперечные импульсы испускаемых глюонов не упорядочены вдоль цепочки эволюции. С помощью уравнения CCFM также суммируются слагаемые вида ln 1/(1 x) и вводится угловое упорядочение испусканий глюонов, которое позволяет корректно учесть эффекты когерентности. Как было показано в работе [12], уравнение эволюции CCFM в пределе асимптотических энергий сводится к уравнению BFKL и эквивалентно уравнению DGLAP при больших x и µ2. Такой подход приводит к обобщению факторизации функций распределения и матричных элементов жесткого партонного подпроцесса за коллинеарное приближение КХД. Эту обобщенную факторизацию называют kT -факторизацией [13–16] (для более детального рассмотрения смотрите обзоры [17–19]).

Уравнение BFKL предсказывает быстрый рост глюонных плотностей при малых x ( x, где 1 + интерсепт так называемого жесткого Померона BFKL). Такое поведение ведет к нарушению условия унитарности [13], поэтому ясно, что на определенном масштабе партонная динамика должна видоизмениться вследствие учета некоторых дополнительных факторов. Действительно, предсказываемый уравнениями эволюции партонных распределений быстрый рост плотностей глюонов и морских кварков при x приводит к нелинейному взаимодействию партонов внутри протона, что в результате дает замедление роста партонных плотностей, известное как эффект насыщения. Соответствующая физика может быть описана нелинейным уравнением Балицкого-Ковчегова [17–21].

Эти нелинейные взаимодействия приводят к образованию партонной системы, близкой к равновесной, с некоторым определенным значением среднего поперечного импульса kT и соответствующей шкалой насыщения Qs (x). Такого рода система получила название конденсата цветного стекла (Color Glass Condensate, CGC) [22,23] и может быть представлена как Бозе-конденсат глюонов с медленным по сравнению с естественными временными масштабами изменением полей. Соответствующий подход опирается на понятия классических цветных полей, порождаемых некоторым распределением случайных цветных источников, которые возникают вследствие быстрого движения партонов.

В настоящей работе в рамках kT -факторизации рассматриваются процессы инклюзивного и ассоциативного рождения прямых фотонов со струями в адронных и электронпротонных столкновениях при энергиях коллайдеров Tevatron, LHC и HERA [24]. Фотоны называются прямыми, если они испускаются непосредственно взаимодействующими кварками. В этом случае можно получить более "чистый" сигнал, чем, например, в случае рождения тяжелых кварков, т.к. нет необходимости вводить дополнительные механизмы адронизации в конечном состоянии. Отдельный интерес представляет исследование полуинклюзивного рождения прямых фотонов, когда в эксперименте регистрируется также ассоциированная адронная струя. Считается, что в таких процессах ярче проявляются эффекты, не учитываемые стандартным коллинеарным подходом КХД. Определенным усовершенствованием анализа рождения прямых фотонов с ассоциированной струей является тагирование струй, как, например, регистрация адронных струй от тяжелых кварков в недавнем анализе коллабораций D [25–27] и CDF [28,29]. Наконец, логичным продолжением исследования рождения прямых фотонов является изучение рождения лептонных пар, являющихся результатом распада виртуального фотона или промежуточного Z-бозона.

Этот процесс позволяет исследовать партонные распределения в области чрезвычайно малых x (вплоть до 106 в эксперименте LHCb). В данной работе мы рассмативаем процесс рождения лептонных пар при энергиях коллайдеров Tevatron и LHC.

Основной целью диссертации является исследование в рамках kT -факторизационного подхода КХД процессов инклюзивного и ассоциативного со струями рождения прямых фотонов и рождения лептонных пар при энергиях современных коллайдеров с целью получения адекватного описания современных экспериментальных данных, а также поиска эффектов физики малых x и универсальных партонных распределений.

На защиту выносятся следующие основные результаты, определяющие научную новизну работы:

1. В рамках kT -факторизационного подхода КХД проведены расчеты полных и дифференциальных сечений процессов инклюзивного рождения прямых фотонов при энергиях коллайдера LHC. Показано, что экспериментальные данные коллабораций CMS [30] и ATLAS [31] могут быть описаны с помощью неинтегрированных функций распределения Кимбера-Мартина-Рыскина (KMR) [32, 33], а также набором A0 [34], полученным из численного решения уравнений Катани-ЧиафалониФиорани-Маркезини, с учетом вкладов от морских кварков на ранней стадии эволюции партонного каскада. Были вычислены матричные элементы вне массовой оболочки для подпроцессов q g q и q q g.

2. В рамках kT -факторизационного подхода КХД проведены расчеты полных и дифференциальных сечений инклюзивного и ассоциативного рождения прямых фотонов при энергиях коллайдера HERA. С помощью функций распределения KMR [32, 33] и рассмотрения матричных элементов подпроцессов 2 3 совместно с вкладом от "box" -подпроцесса было получено лучшее описание экспериментальных данных коллаборации ZEUS [35] в более широкой кинематической области. Был вычислен матричный элемент вне массовой оболочки для подпроцесса g q q, и было показано, что этот вклад совместно с вкладом подпроцесса q qg эффективно включают вклады от подпроцессов 2 2 в kT -факторизационном подходе.

3. В рамках kT -факторизационного подхода КХД проведены расчеты полных и дифференциальных сечений процессов ассоциативного рождения прямых фотонов с адронными струями от тяжелых (b и c) кварков при энергиях коллайдера Tevatron. Было получено лучшее описание экспериментальных данных коллабораций D [25, 26] и CDF [28, 29] по сравнению с результатами вычислений в рамках стандартного коллинеарного подхода в следующем за главным порядке теории возмущений КХД.

Были вычислены матричные элементы вне массовой оболочки для подпроцессов q Q qQ и q q q q. Получены предсказания для сечений рассмотренных процессов при энергиях коллайдера LHC.

4. В рамках kT -факторизационного подхода КХД проведены расчеты полных и дифференциальных сечений процессов рождения лептонных пар при энергиях коллайдеров Tevatron и LHC. Было получено хорошее описание большого набора экспериментальных данных коллабораций CDF [38–41], D [42] и CMS [43]. Был вычислен матричный элемент вне массовой оболочки для подпроцесса qg ql+ l.

Все перечисленные выше результаты были получены либо самим автором, либо при его определяющем участии. Достоверность результатов обеспечивается строгостью используемых автором методов квантовой теории поля и физики высоких энергий, применением современных систем символьных вычислений, а также сравнением полученных результатов с экспериментальными данными, многие из которых являются критичными к основным характеристикам kT -факторизационного подхода.

Полученные в работе результаты по рождению прямых фотонов с тяжелыми кварками были использованы при анализе экспериментальных данных коллаборациями D и CDF на коллайдере Tevatron, а результаты для фоторождения прямых фотонов на коллайдере HERA были использованы коллаборацией ZEUS. Вычисления для коллабораций D и ZEUS продолжаются. Эти и другие результаты, полученные в данной работе, могут быть использованы для исследования различных процессов в физике высоких энергий в НИИЯФ МГУ, ОИЯИ, ГНЦ ИФВЭ, ИЯИ, ФИАН, в других международных научных центрах, а также в различных студенческих курсах. Вычисленные в работе внемассовые матричные элементы различных подпроцессов КХД могут быть включены в Монте-Карло генераторы для получения и анализа экспериментальных данных.

Общее число публикаций 8. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [44–47] и докладывались на международных конференциях Photon’2011, Спа (Бельгия); QFTHEP’2011, Сочи; DIS’2012, Бонн (Германия); XXI балдинский семинар по проблемам физики высоких высоких энергий "Релятивистская ядерная физика и квантовая хромодинамика", Дубна, 2012; QFTHEP’2013, Санкт-Петербург; Летняя школа "Физика тяжелых кварков и адронов", Дубна, 2013.

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка цитированной литературы. Объем диссертации составляет 89 страниц. Диссертация содержит 31 рисунок и таблицу. Список литературы содержит 185 ссылок.

В первой главе представлен обзор литературы о теоретическом и экспериментальном статусе исследования структуры адронов. В рамках КХД описаны различные методы исследования партонных распределений в адронах; выписаны основные уравнения, описывающие эволюцию этих распределений; изложены основные положения kT факторизационного подхода; описаны используемые в данной работе неинтегрированные функции распределения.

Во второй главе кратко обозначено современное состояние исследования процессов рождения прямых фотонов и лептонных пар в коллайдерных экспериментах.

В третьей главе описано вычисление матричных элементов подпроцессов КХД для процессов рождения прямых фотонов в электрон-протонных и адронных столкновениях, а также для рождения лептонных пар в адронных столкновениях.

В четвертой главе kT -факторизационный подход применяется для исследования процессов инклюзивного и ассоциативного со струями (в том числе со струями тяжелых кварков) рождения прямых фотонов, а также электрон-позитронных пар при энергиях коллайдеров HERA, Tevatron и LHC.

В заключении кратко сформулированы основные результаты работы и обсуждаются перспективы дальнейших исследований.

1 Теоретический подход к исследованию процессов рождения в столкновениях частиц высоких энергий 1.1 Уравнения КХД-эволюции партонных распределений в протоне 1.1.1 Структурные функции глубоконеупругого рассеяния и партонные распределения Глубоконеупругое рассеяние лептонов на нуклонах дает важную информацию об их структуре. Такое исследование подобно опыту Резерфорда. Резерфорд, рассматривая рассеяние -частиц на атомах, сделал вывод о существовании сложной структуры атома. Оказалось, что атом состоит из "точечного" положительного ядра и окружающих его электронов. Если использовать электроны более высокой энергии, то можно наблюдать упругое рассеяние на ядре. Однако при еще больших энергиях, в сечении будет доминировать вклад от упругого рассеяния на объектах, составляющих ядро протонах и нейтронах.

Таким образом, с увеличением энергии рассеиваемого электрона мы проникаем на все более глубокий уровень материи. Можно ожидать, что точно также мы сможем разрешить и структуру протона.

Оказывается, что структура нуклона хорошо описывается партонной моделью. Партоны это составляющие нуклона, на которых и происходит рассеяние высокоэнергетичных электронов. Роль партонов в нуклоне играют валентные кварки. Нуклон состоит из трех кварков, которые обеспечивают его квантовые числа: заряд, спин, изоспин, барионное число и др. Кроме того, в нуклоне происходит постоянное рождение кварк-антикварковых пар. Получающиеся при этом кварки называются морскими. Наконец, существует нейтральная составляющая, которую "не видно" при электромагнитном рассеянии. Этими частицами являются глюоны кванты сильного взаимодействия.

Следуя [48, 49], рассмотрим глубоконеупругое рассеяние электрона на протоне Прежде всего, введем необходимые обозначения и будем далее пренебрегать массой электрона. В лабораторной системе 4-импульсы протона и электрона выписываются в следующем виде:

Определим дополнительные кинематические переменные следующим образом:

где угол рассеяния электрона.

Поскольку конечное состояние X не является отдельным фермионом, который описывается дираковским спинором, запишем сечение в виде:

Здесь лептонный тензор Lµ имеет вид:

а адронный тензор Wµ определяется как Если изначально протон неполяризован, то в наиболее общем виде Wµ должен быть построен из gµ и компонент векторов p и q. Матрицы µ не входят в рассмотрение, так как сечение уже просуммировано и усреднено по спинам. Таким образом, адронный тензор имеет вид:

Тензор Lµ симметричен, поэтому свертка возможных антисимметричных членов W µ с Lµ зануляется. Поэтому такие члены не включаются в выражение для адронного тензора.

Можно также убедиться, что q µ Lµ = q Lµ = 0.

Из закона сохранения тока µ J µ = 0 qµ J µ = 0 получаем, что qµ W µ = q W µ = 0.

Из этого условия получаем:

Поэтому только два неупругих формфактора независимы:

Таким образом, можно выразить адронный тензор через два независимых форм-фактора:

Тогда, сворачивая (7) с (14) и используя формулы (2), можно получить:

Окончательно для искомого сечения получим:

Для точечных дираковских частиц получим:

Эти комбинации зависят только от безразмерного отношения = 2M/q 2 и не зависят ни от какого масштаба масс.

При фиксированном значении = 2M/Q2 наблюдается явление бьёркеновского скейлинга, а именно:

Это означает, что при фиксированном неупругие структурные функции не зависят от Q2. На самом деле КХД предсказывает нарушение скейлинга (см. Раздел 1.1.2). Тем не менее, поскольку это нарушение происходит логарифмически по Q2, приближенный бьёркеновский скейлинг все же имеет место.

Уменьшая длину волны фотона, мы можем "видеть" протон во все более и более мелком масштабе. Если протон составная частица, то такие высокоэнергетичные фотоны должны "увидеть" его структуру. При этом, мы сможем наблюдать упругое рассеяние электрона на партонах, и формфакторы приобретут вид (17) (18), только масса протона M заменится на массу партона m. Таким образом, если неупругие структурные функции не зависят от Q2 при фиксированном, то можно сделать вывод о наличии внутри протона свободных партонов. Такое поведение действительно наблюдалось в экспериментах на Стэнфордском линейном ускорителе.

Перейдем теперь к непосредственному описанию партонной модели. Введем распределение партонов по доле продольного импульса:

это плотность вероятности взаимодействия фотона с партоном, несущим долю x импульса исходного протона p. Все доли x в сумме должны давать единицу, поэтому:

Рассмотрим кинематику процессов при переходе от протона к партонной модели:

Здесь мы приписали партону переменную массу xM, чего, строго говоря, делать нельзя:

если импульс партона равен xp, то его энергия будет равна xE только тогда, когда m = M = 0. Отсюда следует, что при распаде массивной частицы угол между продуктами распада должен быть отличен от нуля. Поэтому следует взять систему отсчета, в которой |p| m, M. Тогда все последующее изложение будет точным.

Используя (17) и (18), а также известные свойства -функции, можно получить:

Таким образом, Суммируя F по всем партонам, и усредняя по распределению (21), получаем:

Здесь ei - это заряд соотвествующего партона. Таким образом, получаем:

Здесь x = 1/ = Q2 /2M: наличие -функции говорит о том, что виртуальный фотон может быть поглощен партоном только при определенном значении x.

Далее преобразуем сечение (16), учитывая соотношения (31), (32) и (29). Перейдя к переменным x и y, где y pq/pk = 1 pk/pk = 1 E /E = /E, мы можем переписать неупругое сечение в виде:

Учтем, что Mmax x2 y 2 = Q2 /4ME, где max = E. Тогда получим:

Пренебрегая массами и учитывая, что при этом s 2pk = 2ME, а также формулы (29) и (31), можно преобразовать сечение партонной модели следующим образом:

Эта формула связывает экспериментально измеримое сечение со структурной функцией образом, мы можем получить информацию о кварковой составляющей протона. То же самое можно проделать для электрон-нейтронного рассеяния, можно рассмотреть также рассеяние нейтрино на адроне.

Тем не менее, таким образом нельзя получить данные о глюонной составляющей, поскольку глюонные функции распределения не входят в выражение для сечения. В то же время глюоны переносят порядка 50% импульса протона. Чтобы показать это, рассмотрим интеграл:

Здесь g доля импульса, переносимая глюонами. Интегрируя структурные функции протона F2 и нейтрона F2 и пренебрегая вкладом s-кварков, можно получить:

где - это соответствующие доли импульса u- и d-кварков:

Решая систему (37) (38), находим, что u = 0, 36, d = 0, 18. Таким образом, для доли импульса, переносимой глюонами, получаем:

Информацию о глюонных распределениях можно получить, если рассматривать ситуацию, когда скейлинг нарушен, следовательно, имеет место эволюция партонов, когда кварки начинают рождаться из глюонов (см. Раздел 1.1.2). В работах [50–53] были предложены определенные процедуры для получения глюонной функции распределения при малых значениях переменной x < 102. Так, пренебрегая вкладом кварков при таких малых x, можно получить следующие соотношения в главном (LO) и следующем за главным (NLO) порядках теории возмущений КХД соответственно:

где функция N(x, Q2 ) зависит от xg(x, Q2 ) при достаточно больших значениях x > 102 и может быть хорошо определена из экспериментальных данных.

Согласно методу работ [50, 51], продольная структурная функция FL (x, Q2 ) F2 (x, Q2 ) 2xF1 (x, Q2 ) в NLO-приближении КХД может быть записана как:

где При малых x < 102 справедливы следующие соотношения [51]:

поэтому 1.1.2 Уравнения Докшицера-Грибова-Липатова-Альтарелли-Паризи Как было отмечено в выше, бьёркеновский скейлинг нарушается в логарифмическом масштабе. Такое поведение структурных функций может означать, что валентные кварки сами по себе имеют структуру. С другой стороны, это явление предсказывается квантовой хромодинамикой: кварки могут испускать глюоны, которые уносят часть их импульса.

Таким образом виртуальный фотон с достаточно высоким Q2 может "разрешать" кварк во все более уменьшающемся масштабе 1/Q2. Далее введем новое обозначение для масштаба µ2 Q2.

Такое поведение называется эволюцией партонов и описывается соответствующими эволюционными уравнениями. При выводе таких уравнений приходится суммировать слагаемые, содержащие так называемые большие логарифмы S (µ2 ) lnn µ2 /2, S (µ2 ) lnn 1/x, S (µ2 ) lnn 1/(1 x).

Уравнения Докшицера-Грибова-Липатова-Альтарелли-Паризи (DGLAP) [2–5] суммируют большие логарифмы S (µ2 ) lnn µ2 /2, возникающие в результате множественного испускания глюонов, и имеют вид:

Рис. 1: Схематическое изображение эволюции DGLAP.

где qi (x, µ2 ) и g(x, µ2) кварковые и глюонные функции распределения соответственно, а функции расщепления Pij (x), задающие плотность вероятности рождения партона i из партона j, имеют следующий вид в лидирующем порядке теории возмущений КХД:

где nf число кварковых ароматов, участвующих в эволюции, а также введен функционал 1/(1 x)+ :

Отметим, что при выводе уравнений (50) (51) существенно, что импульсы испускаемых глюонов строго упорядочены (см. Рис. 1):

В том же приближении бегущая константа связи S (µ2 ) вычисляется из ренормгруппового уравнения в однопетлевом приближении:

где b = 11 2nf /3. Решением этого уравнения будет:

Решение уравнений (50) (51) совместно с (59) позволяет вычислить партонные распределения для любого значения µ2 при заданных начальных условиях. Сложностью, однако, является то, что эти начальные условия определяются режимом сильной связи и не вычисляются в рамках пертурбативной КХД. Их можно определить эмпирически из экспериментов по глубоконеупругому рассеянию при заданном Q2 1 ГэВ2 (см. Раздел 1.1.1). Решения уравнений DGLAP в NLO приближении дают хорошее описание экспериментальных данных (см., например, измерения структурных функций на коллайдере HERA [54, 55]).

1.2 Физика малых x и kT -факторизация квантовой хромодинамики Согласно теореме факторизации [56–59], сечение процесса высоких энергий представимо в виде свертки партонных распределений, включающих непертурбативные эффекты больших расстояний, с партонными матричными элементами, вычисляемыми методами теории возмущений. Так, например, для процесса инклюзивного рождения прямого фотона в адронных столкновениях, формула для дифференциального сечения в коллинеарной факторизации будет иметь вид:

где fi/A (x, µ2 ) и fj/B (x, µ2 ) функции распределения партонов i и j в адронах A и B соответственно, µ2 характерный энергетический масштаб жесткого партонного подпроцесса i + j + X с сечением d. При этом функции распределения могут быть получены из уравнений DGLAP (50) (51).

Однако, в области энергий современных коллайдеров предположения партонной модели о коллинеарной факторизации функций распределения партонов и сечений подпроцессов могут нарушаться: сечения подпроцессов и функции распределения начинают зависеть от поперечного импульса партонов kT [6–8,13–16]. Области малых значений x оказывается более адекватен kT -факторизационный подход КХД, основанный на уравнении эволюции BFKL. В нем вместо коллинеарных функций распределения используются так называемые неинтегрированные партонные плотности, зависящие от kT. В таком случае дифференциальное сечение (60) можно записать в следующем виде:

Отметим, что теперь партоны i и j находятся вне массовой оболочки и обладают виртуальной массой m2 = k 2 k2. Следовательно, поляризационный тензор начальных виртуальных частиц должен быть модифицирован по сравнению со стандартным выражением [6–8, 13–16].

Так рассмотрим для начала виртуальный глюон с 4-импульсом k, испущенный кварком, находящимся на массовой поверхности и обладающим 4-импульсом p: q(p) q (p ) + g(k). Вычисляя шпур вдоль кварковой линии, получим:

где mq масса кварка. Пренебрегая в области малых x вторым слагаемым в формуле (62), с помощью разложения Судакова k µ = xpµ + kT получим:

В пределе k2 0 выражение (63) переходит в стандартное выражение:

Пусть теперь начальный кварк, находящийся на массовой поверхности, излучает квант (например, глюон) и становится внемассовым кварком с 4-импульсом k. Для соответствующей диаграммы запишем [60]:

где T это та часть начального матричного элемента, которая осталась неизменной.

Выражение между T µ и Tµ теперь играет роль спиновой матрицы плотности для кварков вне массовой оболочки. Используя условие u(p)(p) = p +mq и выполняя соответствующие преобразования алгебры -матриц в безмассовом пределе (mq 0), получим:

Используя судаковское разложение k = xp + kT и пренебрегая в пределе малых x вторым слагаемым в скобках в выражении (66), получим:

Таким образом, спиновая матрица плотности кварков вне массовой оболочки дается выражением x, тогда как фактор 2/xk 2 должен быть отнесен к кварковой функции распреp деления.

Окончательно выпишем спиновую матрицу плотности внемассового кварка с импульсом k = xP + kT в пределе mq 0 в так называемом приближении малых x:

где P - импульс начального протона. Легко показать, что в пределе kT 0 на массовой оболочке будем иметь:

1.2.1 Современный статус kT -факторизации Важной задачей современных теоретических исследований является поиск точной формулировки kT -факторизации. Теоретическое обоснование kT -факторизации оказывается значительно более сложным по сравнению с коллинеарной факторизацией: в последней происходят важные сокращения после выполнения интегрирования по партонным импульсам, тогда как в kT -факторизации соответствующее интегрирование не производится.

Несмотря на эту сложность, в вопросе доказательства kT -факторизации в последнее время наметился значительный прогресс (см., например, работы [61–64]). Недавно, исходя из требований факторизации, наибольшей универсальности и внутренней согласованности, было получено новое определение kT -зависимых партонных распределений [65]. Было показано, что kT -факторизация имеет место в рождении адронов и струй в противоположных направлениях в e+ e -аннигиляции, процессе рождения лептонных пар Дрелла-Яна и полуинклюзивном глубоконеупругом рассеянии. Так, например, выражение для адронного тензора, следующее из вывода факторизации [65], содержит слагаемое Y (Q, qT ), обеспечивающее согласование в области больших qT, в которой kT -факторизация перестает работать. Что касается процессов рождения струй или адронов в адронных столкновениях (а также в процессах рождения кваркониев и бозонов Хиггса), то ситуация оказывается более сложной, но и в этих случаях в последнее время были получены обнадеживающие результаты в доказательстве kT -факторизации [66–69].

В адророждении kT -факторизационный подход основывается на работах [14–16]. В соответствующей факторизационной формуле в физической калибровке (nA = 0, nµ = aP1 + bP2 ) партонные сечения сворачиваются с неинтегрированными функциями распределения, определяемыми из уравнения BFKL [15]. Такой подход достаточно широко используется в феноменологических вычислениях. В частности, процедура пересуммирования инклюзивных жестких сечений в главном неисчезающем порядке теории возмущений КХД в kT -факторизации была использована для изучения рождения прямых фотонов [70, 71] и процесса Дрелла-Яна [72].

Отдельным вопросом является доказательство калибровочной инвариантности амплитуд подпроцессов, вычисленных в рамках kT -факторизационного подхода. Рассмотрим случай рождения калибровочного бозона в глюон-глюонном слиянии [73] (см. также [74]).

Вообще говоря, необходимо рассматривать расширенный набор диаграмм, включая такие, в которых внемассовые глюоны излучаются протонами (адронами), лежащими на массовой поверхности. Полный набор таких диаграмм в первом неисчезающем порядке теории возмущений КХД будет содержать нефакторизуемые диаграммы (см. Рис. 2), которые в сумме дадут некоторую эффективную вершину. В калибровке Фейнмана она примет вид липатовской вершины [75]:

где P1,2 импульсы начальных протонов, импульсы глюонов выражаются как k1 = P1 + k1T, k2 = P2 + k2T, а MT = s + (k2 + k2 ). Липатовская вершина, как можно показать, удовлетворяет тождеству Уорда (k1, k2 )k = 0. Пренебрегая обмениваемым импульсом при взаимодействии глюонов с входящими частицами, можно получить эйкональную вершину, которая не зависит от спина частицы:

Далее оказывается возможным удалить внешние кварковые линии и ассоциировать с внешними глюонами нефизические поляризации µ = 2Piµ / s. Можно выбрать специi альную физическую калибровку n•A = 0 (nµ = aP1 +bP2 ). Свертка эйкональной вершины с глюонным тензором поляризации в такой калибровке дает:

Рис. 2: Пример нефакторизуемой диаграммы для процесса рождения калибровочного Это приводит к тому, что нефакторизуемые диаграммы дают нулевой вклад, поскольку P1 dµ P2 = 0. Поэтому липатовская вершина может быть заменена обычной трехглюонной вершиной с учетом выражения (63) для поляризационного тензора внемассовых глюонов.

Это обеспечивает калибровочную инвариантность исследуемых подпроцессов.

Недавно было показано, что kT - и коллинеарную факторизации можно представить как результат некоторого приближения более общей (полностью неинтегрированной) факторизации [76,77]. При этом было получено, что kT -факторизация сводится к коллинеарной, если партонные распределения имеют острый максимум по kT, а 4-импульсы частиц, входящих в жесткий подпроцесс пространственноподобны.

Феноменологических исследования, основанные на kT -факторизационном подходе КХД, ведутся достаточно интенсивно уже в течение двух десятилетий. Здесь из большого количества работ отметим только некоторые из них (см. также обзоры [17–19]). В частности, были изучены процессы рождения тяжелых кварков [78–86], бозонов Хиггса [87–89], J/-мезонов [90–95] и др., а также структурные функции протона [96, 97]. Краткий обзор исследований процессов рождения прямых фотонов и лептонных пар в рамках kT факторизационного подхода дан в Главе 2.

1.2.2 Уравнение Балицкого-Фадина-Кураева-Липатова (BFKL) Как было упомянуто в Разделе 1.1.2, при выводе уравнениий DGLAP производится суммирование cлагаемых, содержащих большие логарифмы вида S (µ2 ) lnn µ2 /2. В то же время, при высоких энергиях s, а следовательно, при малых значениях x 1/ s, становятся важны слагаемые, пропорциональные S (µ2 ) lnn s/2 n Учет таких членов возможен в рамках подхода Балицкого-Фадина-Кураева-Липатова (BFKL) [6–8]. Этот подход позволяет получить поведение структурных функций в области малых x и приводит к неинтегрированным (т.е. зависящим от поперечного импульса партона kT ) функциям распределения партонов.

Уравнение BFKL для глюонной функции распределения можно получить, рассматривая глюонную лестницу, аналогичную той, которая используется для вывода уравнения DGLAP. Однако, условие сильного упорядочивания DGLAP (57) в случае подхода BFKL не имеет места. Вместо него используется упорядочение по доле продольного импульса:

Соответствующая лестница изображена на Рис. 3.

Уравнение BFKL для глюонной функции распределения в лидирующем логарифмическом (по ln 1/x) приближении может быть представлено в виде:

где fg (x, k2 ) неинтегрированная функция распределения глюонов и введено обозначение S 3S /.

Неинтегрированная функция распределения fg (x, k2 ) связана со стандартной коллиT неарной функцией xg(x, µ2 ) формальным соотношением:

Из уравнения (77) можно получить следующее поведение структурной функции в области малых x:

где = S ln 2 0.53 при S 0.2; параметр связан с пересечением траектории Померона P (0) = 1 +. Такой вид зависимости x приводит к росту сечений s, что соответствует результатам теории полюсов Редже (см., например, [98]) при высоких энергиях. Таки образом, уравнение BFKL устанавливает связь между КХД и теорией полюсов Редже. Как отмечалось во введении, такой рост сечений приводит к нарушению условия унитарности, а описание экспериментальных данных, полученных на ep-коллайдере HERA, приводит к меньшему значению эффективного 0.3.

Корректный учет следующего за главным порядка уравнения BFKL (NLO BFKL) был произведен в работах [99,100]. Был рассмотрен процесс столкновения фотонов с большими виртуальностями, и были получены предсказания в NLO BFKL-приближении, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными.

В экспериментах динамику BFKL можно протестировать на таких процессах, как рождение струй вперед (с большими псевдобыстротами) или рождение двух струй сопоставимых поперечных импульсов, разделенных большим интервалом по псевдобыстроте. На коллайдере HERA было изучено рождение струй вперед [101, 102] и было показано, что предсказания подхода BFKL в главном логарифмическом приближении находятся в лучшем согласии с данными, чем результаты теории DGLAP (см. также обзоры [17–19]).

Для корректного описания экспериментальных данных в подходе DGLAP необходимо было учитывать некоторые дополнительные вклады. Исследование предсказаний BFKLэволюции в следующем за главным логарифмическом приближении при энергиях LHC интенсивно проводятся в настоящее время (см., например, [103]).

1.2.3 Уравнение Катани-Чиафалони-Фиорани-Маркезини (CCFM) В подходе Катани-Чиафолони-Фиорани-Маркезини [9–12] помимо членов с S lnn 1/x производится суммирование также членов с большими логарифмами вида S lnn 1/(1 x).

Кроме того, учитывается эффект цветовой когерентности.

Суть явления цветовой когерентности состоит в следующем. Рассмотрим внемассовый глюон, распадающийся в два вторичных глюона, расходящихся под углом 1. Один из них пусть далее испускает еще один глюон под углом 2, причем 2 > 1. Тогда в момент испускания поперечная компонента длины волны этого глюона больше, чем поперечное пространственное разделение пары вторичных глюонов. В этом случае этот глюон не может разрешить цвета каждого из пары вторичных глюонов, но может разрешить цвет первоначального глюона. Таким образом, амплитуда такого процесса идентична амплитуде процесса, в котором конечный глюон испускается под углом 2 непосредственно первичным глюоном. Цветовая когерентность приводит к тому, что последовательное испускание глюонов в каскаде упорядочено по углам раствора, т.е. i < i1.

Максимально допустимый угол определяется жестким подпроцессом рождения кварковой пары, на которой происходит рассеяние виртуального фотона (см. Рис. 4). В переменных Судакова импульс кварковой пары можно записать как:

где P1,2 4-импульсы начальных частиц. Аналогично для глюонов из каскада запишем:

где i = (1zi )xi1, xi = zi xi1, а s = (P1 +P2 )2. Переменная i связана с углом испускания глюона по отношению к первоначальному протону, а xi и i доли импульсов промежуточного и испущенного глюонов соответственно. zi это отношение долей энергии при рождении i-ого глюона из i 1-ого, а qiT поперечный импульс испущенного глюона.

Теперь условие углового упорядочивания можно записать в виде:

или иначе где введены масштабированные поперечные импульсы qi :

Отметим, что условие (84) переходит в упорядочивание по поперечным импульсам (57) при больших z, тогда как при z 0 поперечные импульсы не упорядочены.

Уравнение эволюции CCFM можно записать в виде [12]:

где z = x/x, а kT = (1 z)/zq + kT, причем вектор q имеет азимутальный угол. Неинтегрированная глюонная функция распределения xA(x, k2, µ2) связана со стандартной коллинеарной функцией формальным соотношением:

Судаковский форм-фактор S дается формулой:

Функция расщепления P выписывается в виде:

где несудаковский форм-фактор задается выражением:

Поскольку верхний предел интеграла по z ограничен -функциями zi z min(1, kiT /ri ), несудаковский формфактор можно переписать в следующем виде:

Уравнение CCFM определенным образом "связывает" уравнения DGLAP и BFKL, поскольку в пределе асимптотических энергий оно почти эквивалентно уравнению BFKL [104–106], а при больших x и Q2 похоже на уравнение DGLAP.

Важным преимуществом подхода CCFM по сравнению с подходом BFKL является то, что первый можно относительно просто использовать для создания генераторов событий, которые позволяют исследовать неинклюзивные процессы и проводить количественное сравнение с экспериментальными данными. Таким генератором является, например, генератор CASCADE [107]. Он используется наряду с другими Монте-Карло генераторами при анализе различных экспериментальных данных (см., например, недавние работы [108, 109]).

1.3 Сечения процессов высоких энергий и неинтегрированные функции распределения партонов в kT -факторизационном В коллинеарном подходе, основанном на уравнениях эволюции DGLAP, рассматриваются функции распределения партонов, зависящие только от переменной x и масштаба µ2.

Вследствие условия сильного упорядочивания (57) поперечный импульс входящего партона пренебрежимо мал kT µ2, поэтому коллинеарные распределения от него не зависят.

В то же время в подходах BFKL и CCFM зависимость плотностей партонов от поперечного импульса получается естественным образом. Такие функции распределения называются неинтегрированными и являются необходимым компонентом kT -факторизационного подхода.

В данной работе использовались 2 набора неинтегрированных распределений функции Кимбера-Мартина-Рыскина [32, 33] и функции CCFM [34].

1.3.1 Функции распределения Кимбера-Мартина-Рыскина (KMR) В рамках подхода КМR поперечный импульс начальных кварков и глюонов возникает на последнем этапе партонной эволюции. Метод KMR предлагает ослабить условие сильного упорядочивания DGLAP (57). Эффективно такая процедура будет учитывает большую часть следующих за главными логарифмических членов, т.е. слагаемых типа S (S ln µ2 )n1 (в главном логарифмическим приближении учитываются только члены типа (S ln µ2 )n ).

Сама процедура состоит в следующем. Исходя из уравнений DGLAP в главном порядке (50) (51), взятых на масштабе kT, запишем:

Здесь Pab - функции расщепления. Два слагаемых в правой части уравнения соответствуют реальному испусканию и виртуальным вкладам соответственно. Дополнительный фактор во втором слагаемом позволяет избежать двойного учета партонов из s и t каналов.

Фактор эквивалентен фактору 1/2, когда мы интегрируем по и суммируем по b.

Виртуальные (петлевые) вклады можно просуммировать во всех порядках, используя форм-фактор Судакова, который дает вероятность эволюции от масштаба kT до масштаба µ без испускания партона. Дифференцируя это выражение получим так что уравнение DGLAP перепишется в виде Неинтегрированная функция распределения определяется как Это определение имеет смысл в области kT > µ0, где µ0 1 ГэВ - это минимальный масштаб, при котором действительно уравнение DGLAP. Интегрируя по поперечному импульсу до факторизационного масштаба, получаем:

Таким образом, нормировочное условие (78) будет удовлетворено, если мы определим